STATISTIKA INDUSTRI 2

TIN 4004

Pertemuan 5

• Outline: – Uji Chi-Squared – Uji F – Uji Goodness-of-Fit – Uji Contingency – Uji Homogenitas

• Referensi: – Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and

Probability for Engineers, 5th Ed. John Wiley & Sons, Inc., 2011.

– Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K., Probability & Statistics for Engineers & Scientists , 9th Ed. Prentice Hall, 2012.

– Weiers, Ronald M., Introduction to Business Statistics, 7th Ed. South-Western, 2011.

Uji Variansi – Konsep Dasar

• Menguji variansi populasi atau standard deviasi

• Digunakan untuk pengukuran produk, proses, metode kerja

– Membandingkan produktivitas dan variabilitas proses atau metode kerja

• Pada saat asumsi variansi sama tidak dapat dipenuhi, uji ini lebih tepat digunakan daripada uji t dua populasi

• Populasi dari sampel berdistribusi normal

Uji Variansi - Rumus

• Data statistik sampel:

- = Variansi sampel

- = Variansi populasi

- = nilai dari hipotesis

- Statistik uji: (distribusi chi-squared)

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑛 − 1)𝑠2

σ02 ; 𝜈 = 𝑑𝑓 = 𝑛 − 1

n = ukuran sampel

Langkah-langkah pengujian : a. Uji hipotesis

• H0 : σ = σ0

H1 : σ ‡ σ0

• Tingkat signifikansi : α

• Statistik uji : 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑛−1)𝑠2

σ02

• Daerah kritis (Daerah penolakan H0)

• Daerah penerimaan H0

b. Uji hipotesis • H0 : σ = σ0

H1 : σ > σ0

• Tingkat signifikansi : α

• Statistik uji : 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑛−1)𝑠2

σ02

• Daerah kritis (Daerah penolakan H0)

• Daerah penerimaan H0

Langkah-langkah pengujian :

c. Uji hipotesis

• H0 : σ = σ0

H1 : σ < σ0

• Tingkat signifikansi : α

• Statistik uji : 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑛−1)𝑠2

σ02

• Daerah kritis (Daerah penolakan H0)

• Daerah penerimaan H0

Langkah-langkah pengujian :

Latihan Soal

• Dalam kondisi normal, standard deviasi dari paket-paket produk dengan berat 40 ons yang dihasilkan suatu mesin adalah 0,25 ons. Setelah mesin berjalan beberapa waktu, diambil sampel produk sejumlah 20 paket, dari sampel tersebut diketahui standard deviasi beratnya adalah 0,32 ons. Apakah mesin tersebut masih bisa dikatakan bekerja dalam keadaan normal? Gunakan α = 0,05.

Jawaban Latihan Soal Diketahui: n = 20 s = 0,32 ons Uji hipotesis • H0 : σ = 0,25 H1 : σ > 0,25 • Tingkat signifikansi : α = 0,05

• Statistik uji : 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑛−1)𝑠2

σ02 =

(19)(0,322)

(0,252)= 31,1296

• Daerah kritis (Daerah penolakan H0)

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 𝜒0,05;(19)

2 = 30,144

• Kesimpulan: karena 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 = 31,1296 > 𝜒0,05;(19)

2 = 30,144 maka H0

ditolak artinya mesin sudah tidak bekerja dalam kondisi normal

Latihan Soal

• Sebuah perusahaan aki mobil mengklaim bahwa lifetime dari produknya berdistribusi normal dengan standard deviasi (σ) 0.9 tahun. Jika hasil random sampling dari 10 sampel menunjukkan bahwa standard deviasi 1.2 tahun. Benarkah klaim σ > 0.9 tahun? Gunakan α = 0,05.

Jawaban Latihan Soal Diketahui: n = 10 s = 1,2 tahun Uji hipotesis • H0 : σ = 0,9 H1 : σ > 0,9 • Tingkat signifikansi : α = 0,05

• Statistik uji : 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑛−1)𝑠2

σ02 =

(9)(1,22)

(0,92)= 16

• Daerah kritis (Daerah penolakan H0)

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 𝜒0,05(9)

2 = 16,919

• Kesimpulan: karena 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 = 16 < 𝜒0,05(9)

2 = 16,919 maka H0 diterima

artinya lifetime produk berstandard deviasi 0,9 tahun

Soal

Uji Variance Dua Populasi

• Menguji kesamaan variansi 𝜎12dan 𝜎2

2 dari dua populasi

• 𝐻0: 𝜎12=𝜎2

2

• 𝐻1: 𝜎12<𝜎2

2; 𝜎12>𝜎2

2; 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜎12 ≠ 𝜎2

2

• Menggunakan Uji F

– Syarat:

• Kedua populasi independent dan berdistribusi normal

• Sample yang digunakan independent dan random

Uji Variance Dua Populasi: Uji F

Latihan Soal

• Sebuah eksperimen dilakukan untuk membandingkan dampak abrasive wear pada 2 material. Uji yang sama dilakukan pada 12 material A dan 10 material B. Dari hasil uji diketahui bahwa rata-rata kedalaman pada material A 85 unit ukur dengan standard deviasi 4, rata-rata material B 81 unit ukur dengan standard deviasi 5. Dapatkah disimpulkan bahwa abrasive wear material A lebih besar dari material B sebesar 2 unit ukur (α = 0.05)? Asumsi populasi normal dan variansi keduanya sama.

Latihan Soal

Soal

Uji Goodness-of-Fit

• Menguji keseusaian suatu distribusi pada suatu model populasi Distribusi populasi tidak diketahui Misal: kita ingin menguji hipotesa bahwa suatu populasi berdistribusi

normal

• Prosedur pengujian berdasarkan distribusi chi-square

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑜𝑖−𝑒𝑖)2

𝑒𝑖

𝑘𝑖=1 ; 𝜈 = 𝑘 − 1

• 𝐻0: 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 "… "

• 𝐻1: 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 "… " • 𝑜𝑖 = 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑑 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦, 𝑒𝑖 = 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦, 𝑘 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑦

• Jika frekuensi observasi berbeda dengan frekuensi ekspektasi, 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 akan besar, artinya “poor fit”.

• Terima 𝐻0 jika “good fit”, Tolak 𝐻0 jika “poor fit” • Critical Region hanya berada pada “tail” kanan distribusi chi-square:

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 𝜒α,𝜈

2

Contoh Soal • Uji hipotesa bahwa populasi dari data berikut adalah distribusi uniform: (α

= 0.05)

• 𝐻0: 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚

• 𝐻1: 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚

• 𝜒0.05 (6−1)2 = 11.070

• 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 = 1.7 < 𝜒α,𝜈

2 = 11.070, 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎𝐻0, 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚

Frekuensi 1 2 3 4 5 6

Observasi 20 22 17 18 19 24

Ekspektasi 20 20 20 20 20 20

Latihan Soal

• Baca: Montgomery (2011), hal 331-332

Uji Independen (Categorical Data) Uji Tabel Contingency

• Uji hipotesa tentang independensi dua variabel klasifikasi

• Menggunakan Uji Chi-Squared

• Tabel contingency: tabel yang menunjukkan frekuensi pengamatan

• Tabel contingency yang terdiri atas “r” baris dan “c” kolom disebut juga dengan tabel r x c

Uji Independen (Categorical Data) Langkah-langkah pengujian hipotesis:

• 𝐻0: 𝑝𝑖1= 𝑝𝑖2 = ⋯ = 𝑝𝑖𝑐= 𝑝; 𝑖 = 1,2,3,… 𝑟

• 𝐻1: 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑎

• Tingkat signifikansi : α

• Data sampel :

Uji Independen (Categorical Data) Rumus

• Statistik uji:

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑜𝑖𝑗−𝑒𝑖𝑗)2

𝑒𝑖𝑗

𝑐𝑗=1

𝑟𝑖=1

𝑜𝑖𝑗 = 𝑥𝑖𝑗; 𝑒𝑖𝑗 =(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑥 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠)

𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

• Critical region: 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 𝜒α,𝜈

2 ; 𝜈 = (𝑟 − 1)(𝑐 − 1)

Latihan Soal

• Untuk menentukan apakah terdapat hubungan antara performansi karyawan dalam program training yang diadakan perusahaan terhadap keberhasilan perusahaan mereka dalam tugas-tugas pekerjaannya, diambil sampel sebanyak 400 karyawan. Hasilnya disajikan dalam tabel berikut:

Gunakan α = 0,01 untuk menguji hal tersebut

Jawaban Latihan Soal

• 𝐻0: 𝑝1= 𝑝2 = 𝑝3= 𝑝 ⇛ performansi karyawan dalam program training dengan keberhasilan perusahaan adalah independen

• 𝐻1: 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑎

• Tingkat signifikansi : α = 0.01

• Data sampel :

Jawaban Latihan Soal

• Statistik uji:

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 =

(𝑜𝑖𝑗−𝑒𝑖𝑗)2

𝑒𝑖𝑗

𝑐𝑗=1

𝑟𝑖=1

=(23 − 16,8)2

16,8+(60 − 52,6)2

52,6+(29 − 42,6)2

42,6+(28 − 25)2

25+(79 − 78,5)2

78,5

+(60 − 63,5)2

63,5+(9 − 18,2)2

18,2+(49 − 56,9)2

56,9+(63 − 45,9)2

45,9= 20,34

• Critical region: 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 𝜒0,01;(4)

2 ; 𝜈 = (3 − 1)(3 − 1)

𝜒0,01;(4)2 = 13,277

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 = 20,34 > 𝜒0,01;(4)

2 = 13,277

• Kesimpulan: 𝑇𝑜𝑙𝑎𝑘 𝐻0; performansi karyawan dalam program training dengan

keberhasilan perusahaan adalah tidak independen

Soal

Uji Homogeneity: Test for several proportion

• Kelanjutan dari uji beda dua proporsi atau beda diantara 𝑘 proporsi.

• 𝐻0: 𝑝1= 𝑝2 = 𝑝3 = ⋯ = 𝑝𝑘

• 𝐻1: 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑎

Latihan Soal

• Pada sebuah toko, dilakukan pengumpulan data untuk mengetahui apakah proporsi kerusakan yang dilakukan oleh pekerja shift siang, sore, dan malam adalah sama. Data yang diperoleh adalah sbb:

Dengan menggunakan tingkat signifikan 0.025, tentukan apakah proporsi kerusakan ketiga shift tersebut sama?

Shift Siang Sore Malam

Kerusakan 45 55 70

Tanpa kerusakan 905 890 870

Jawaban Latihan Soal Uji hipotesis • 𝐻0: 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝3 𝐻1: 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 α = 0,025 • Daerah kritis (Daerah penolakan H0)

𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 𝜒0,025;(2)

2 = 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 > 7.378

• Kesimpulan: karena 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔2 = 6,29 < 𝜒0,025;(2)

2 = 7.378 maka 𝐻0

diterima artinya proporsi kerusakan sama pada semua shift

Shift Siang Sore Malam Total

Kerusakan 45 (57.0) 55 (56.7) 70 (56.3) 170

Tanpa kerusakan 905 (893.0) 890 (888.3) 870 (883.7) 2665

Total 950 945 940 2835

Soal

• Tabel berikut menunjukkan dampak yang terjadi akibat perubahan temperatur terhadap 3 jenis material.

Gunakan tingkat signifikansi 0,05 untuk menguji apakah probabilitas akan terjadi keretakan pada ketiga material akibat temperatur tersebut sama.

Pertemuan 6 - Persiapan

• Tugas: – Bentuk kelompok terdiri dari maks. 3 mahasiswa – Cari kasus di sekitar anda, lakukan pengambilan sample,

lakukan uji hipotesis – Satu kasus hanya untuk satu kelompok – Satu metode uji hipotesa hanya boleh digunakan oleh

maks. dua kelompok – Laporan dalam bentuk PPT – Laporan di-email ke agustina.eunike@ub.ac.id – Deadline pengumpulan: 25 Oktober 2012 (12:00 am)

• Baca: – Regresi Linier