STATISTIKA NON PARAMETRIK

UJI K SAMPEL INDEPENDEN(UJI KRUSKAL-WALLIS)

NAMA : SRI TRISNAYANTINIM : G1D 010 038

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS MATARAM2013UJI KRUSKAL-WALLISSalah satu jenis uji pada statistika non parametrik adalah Uji K Sampel Independen yang terdiri dari Perluasan Uji Median dan Uji Kruskal-Wallis. Dalam makalah hal ini akan dibahas Uji Kruskal-Wallis. Uji Kruskal-Wallis dikembangkan dan diperkenalkan oleh William H. Kruskal dan W. Allen Wallis pada tahun 1952. Uji ini merupakan perluasan dari uji Mann-Whitney, tetapi apabila kasus yang diselidiki hanya dua sampel, maka uji Kruskal-Wallis setara dengan uji Mann-Whitney. Uji Kruskal-Wallis atau disebut juga analisis varian ranking satu arah Kruskal-Wallis adalah uji yang sangat berguna untuk menentukan apakah k sampel independen berasal dari populasi-populasi yang berbeda. Uji ini digunakan untuk membandingkan tiga atau lebih kelompok data sampel. Harga-harga sampel hampir selalu berbeda, persoalannya adalah apakah perbedaan-perbedaan antara harga sampel-sampel itu menandai perbedaan-perbedaan populasi yang sesungguhnya, atau perbedaan itu semata-mata karena variasi yang terjadi secara kebetulan sebagaimana yang diharapkan dapat terjadi diantara sampel-sampel random dari populasi yang sama. Uji Kruskal-Wallis menguji hipotesis nol bahwa k sampel berasal dari populasi yang sama atau populasi-populasi identik, dalam hal harga rata-ratanya. Uji ini membuat anggapan bahwa variable yang dipelajari mempunyai distribusi kontinu. Uji ini menuntut pengukuran variabelnya paling lemah dalam skala ordinal.Uji Kruskal-Wallis merupakan alternative dari uji ANOVA dan digunakan jika salah satu syarat atau asumsi dari uji ANOVA tidak terpenuhi. Uji Analysis of Variance (ANOVA) digunakan dalam menguji kesamaan mean( rataan) lebih dari dua sample populasi.Uji ANOVA merupakan salah satu uji parametrik dan memiliki beberapa syarat untuk menggunakannya yaitu :1. Data harus terdistribusi normal2. Data harus homogen3. Memiliki variansi yang sama4. Sampel yaNg akan diuji harus independentSebelum melakukan analisis menggunakan uji ANOVA pastikan syarat-syarat tersebut terpenuhi, jika tidak terpenuhi maka dapat digunakan Uji Kruskal-Wallis.A. AsumsiAdapun asumsi-asumsi dalam Uji Kruskal-Wallis antara lain :i. Data terdiri dari k sampel acak independen ()ii. Variabel yang diamati kontinuiii. Data sekurang-kurangnya berskala ordinaliv. Populasi-populasi identik kecuali dalam hal lokasi yang mungkin berbeda untuk sekurang-kurangnya satu populasi

B. HipotesisH0 : Sampel berasal dari populasi yang sama (1 = 2 = = k)H1 : Sampel berasal dari populasi yang berbeda (1 2 k) Uji Kruskal-Wallis menguji hipotesis nol (H0) apakah k sampel berasal dari populasi yang sama atau populasi-populasi identik. Sedangkan untuk hipotesis alternatifnya (H1) adalah k sampel independen berasal dari populasi-populasi yang berbeda, dalam hal harga rata-rata atau meannya (paling sedikit/minimal satu i yang berbeda).

C. Statistik UjiSatistik uji untuk uji Kruskal-Wallis adalah :

Keterangan : k= banyak sampelN = jumlah sampel = total peringkat pada kelompok ke-i= jumlah sampel pada kelompok ke-i

D. Angka SamaJika angka sama terjadi cukup banyak, kita harus menyesuaikan statistik uji dengan menambahkan faktor koreksi, dimana faktor koreksinya sebagai berikut :

Keterangan :T = t3-t (t adalah banyak observasi-observasi atau nilai pengamatan berangka sama dalam sekelompok skor yang berangka sama).N = jumlah sampelT = jumlah semua kelompok berangka sama

Sehingga diperoleh statistik uji dengan faktor koreksi sebagai berikut :

Dalam kebanyakan kasus, faktor koreksi tersebut dapat diabaikan jika yang terlibat dalam angka sama tidak lebih dari 25% dari observasi.

E. Kaidah Pengambilan Keputusani. Untuk k = 3 dan ni 5, maka nilai H hitung dibandingkan dengan nilai tabel statistik uji Kruskal-Wallis. Dimana jika : Hhitung Htabel , maka H0 diterima Hhitung Htabel , maka H0 ditolakii. Untuk ni 5, maka nilai H hitung dibandingkan dengan nilai tabel Chi-Square. Dimana jika : H , maka H0 diterima H , maka H0 ditolak Keterangan : db = k-1

F. Tingkat SignifikansiTingkat signifikansi adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Angka tingkat signifikansi menunjukkan seberapa besar tingkat kepercayaan penelitian. Tingkat signifikansi yang digunakan adalah sebesar , dimana didasarkan pada tingkat kepercayaan (confidence interval) yang ditentukan oleh peneliti.

G. ProsedurAdapun prosedur-prosedur dalam uji Kruskal-Wallis adalah sebagai berikut :i. Beri peringkat untuk keseluruhan data ii. Hitung total peringkat data untuk masing-masing kelompok (Ri)iii. Tentukan statistik uji (Hhitung)iv. Bandingkan statistik uji (Hhitung) dengan : Nilai tabel statistik uji Kruskal-Wallis jika k = 3 dan ni 5 Nilai tabel Chi-Square jika ni 5H. Penyelesaian Uji Kruskal-Wallis Menggunakan Software SPSSContoh Kasus :Sebuah survey menanyakan kepada kepala rumah tangga (bapak/ibu) tentang pendapat "Apakah program KB mampu meningkatkan kesejahteraan keluarga?. Pilihan jawaban responden dari "Sangat Tidak Setuju" sampai dengan "Sangat Setuju". Peneliti ingin melihat apakah ada perbedaan pendapat antar responden yang didasarkan pada pendidikan responden (SD hingga Perguruan Tinggi).Data hasil penelitian disajikan dalam tabel di bawah ini :Pendidikan

SD (1)SMP (2)SMA (3)PT (4)

1233

2444

3324

1245

4152

1353

444

15

12

4

4

3

3

Keterangan : Pendapat responden (bapak/ibu rumah tangga) mengenai "Apakah program KB mampu meningkatkan kesejahteraan kesejahteraan keluarga?1 = Sangat tidak setuju2 = Tidak setuju3 = Kurang setuju4 = Setuju5 = Sangat setuju

Kode Pendidikan :1 = SD2 = SMP3 = SMA4 = PT

Prosedur Ujii. Input data seperti berikut : Variable view

Data view

ii. Klik Analyze Nonparametric Tests K independent samples

iii. Kemudian akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini :

iv. Pindahkan variabel pendapat bapak/ibu program KB ke test variable list, dan variable pendidikan ke grouping variable

Pada test type pilih Kruskal-Wallis H

v. Pada Gouping Variable klik Define Range.Kemudian akan muncul kotak dialog seperti di bawah ini :

Masukan angka : Minimum = 1 dan Maximum= 4 (Merupakan kode pendidikan SD = 1 dan PT = 4)

vi. Klik Continue, lalu klik OK.

vii. Akan muncul hasil output sebagai berikut :

Keterangan :

i. Tabel 1 (Tabel Ranks) menunjukkan nilai rata-rata dari perangkingan terhadap jawaban responden, terlihat bahwa nilai mean rank untuk responden dengan tingkat pendidikan SD adalah yang terendah, ini menunjukkan pendapat responden dengan tingkat pendidikan SD mengenai program KB paling rendah sedangkan nilai mean rank untuk responden dengan tingkat pendidikan SMA adalah yang tertinggi, ini menunjukkan pendapat responden dengan tingkat pendidikan SMA mengenai program KB adalah yang paling tinggi.ii. Pada Tabel 2 (Tabel Statistics), nilai Asymp. Sig = 0.015 ( sehingga diperoleh :Nilai signifikansi (pvalue) (0,015 0,05), maka H0 ditolak dan dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan rata-rata pendapat mengenai apakah program KB mampu meningkatkan kesejahteraan keluarga antar kelompok responden yang didasarkan pada tingkat pendidikan.

I. Komparasi Ganda Pada Uji Kruskal-WallisJika H0 ditolak, maka paling sedikit (minimal) ada satu di antara sampel tersebut yang berasal dari populasi yang berbeda, tetapi tidak diketahui sampel yang mana. Oleh karena itu, dilakukan komparasi ganda.Ilustrasi :Misalkan terdapat sebuah data dengan sampel A, B, dan C, dan setelah dilakukan uji Kruskal-Wallis disimpulkan H0 ditolak, yang berarti tidak semua sampel berasal dari populasi yang sama/identik. Selanjutnya ingin diketahui sampel-sampel manakah yang berasal dari populasi yang sama dan sampel-sampel manakah yang berasal dari populasi yang berbeda. Apakah , , dan satu sama lain berbeda atau apakah perbedaan hanya terdapat diantara dan saja, diantara dan saja, atau diantara dan saja. Maka untuk mengetahuinya, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut :i. Hitung :

ii. Hitung :Komparasi :

iii. Hitung : dimana : Sedangkan, untuk angka sama :

iv. Kriteria PengujianSebagai contoh : Sampel A dan sampel B dikatakan berasal dari populasi yang sama/identik = , jika : Sampel A dan sampel B dikatakan berasal dari populasi yang berbeda jika :

J. Contoh Soal1. Seorang peneliti ingin mengetahui apakah ada perbedaan prestasi kerja dari pegawai lulusan SMA/sederajat (A), diploma politeknik (B), dan sarjana perguruan tinggi (C). Penelitian dilakukan pada 3 kelompok sampel yang diambil secara acak. Hasil penelitiannya dinyatakan pada tabel di bawah ini :

SMA/Sederajat (A)Diploma politeknik (B)Sarjana perguruan tinggi (C)

6182115

83109147

96124149

101132166

128135

Dengan = 5 %, dapatkah disimpulkan bahwa ada perbedaan prestasi kerja dari pegawai lulusan SMA/sederajat (A), diploma politeknik (B), dan sarjana perguruan tinggi (C) ?

Jawab : Hipotesis :H0 : A = B = C(Tidak terdapat perbedaan prestasi kerja dari pegawai lulusan SMA/sederajat (A), diploma politeknik (B), dan sarjana perguruan tinggi (C))H1 : A B C(Terdapat perbedaan prestasi kerja dari pegawai lulusan SMA/sederajat (A), diploma politeknik (B), dan sarjana perguruan tinggi (C))

Langkah-langkah :i. Beri peringkat untuk keseluruhan data

SMA/Sederajat (A)PeringkatDiploma politeknik (B)PeringkatSarjana perguruan tinggi (C)Peringkat

6118221157

833109614712

964124814913

10151321016614

128913511

Dimana : k = 3n1 = 5n2 = 5n3 = 4N = 5 + 5 + 4 = 14

ii. Hitung total peringkat data untuk masing-masing kelompok (Ri)Diperoleh : R1 = 22R2 = 37R3 = 46

iii. Tentukan statistik uji (Hhitung)

6,4057

iv. Bandingkan statistik uji (Hhitung) dengan nilai tabelKarena k = 3, n1 = 5, n2 = 5, dan n3 = 4, maka nilai Hhitung dibandingkan dengan nilai tabel statistik uji Kruskal-Wallis, dimana diperoleh Htabel = 5,6429 ( = 5 %)Kesimpulan :Karena diperoleh Hhitung Htabel (6,4057 5,6429), maka H0 ditolak dan dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan prestasi kerja dari pegawai lulusan SMA/sederajat, diploma politeknik, dan sarjana perguruan tinggi.

2. Suatu survey terhadap variasi cost of dinner (dalam US $) pada tiga tipe restoran di suatu kota di Amerika menghasilkan data sebagai berikut :

Sit-down Restaurant (A)Cafetaria (B)Fast-food Restaurant (C)

10,009,859,50

9,2510,158,75

10,509,957,95

10,358,009,75

8,8510,457,75

11,009,659,00

11,509,358,35

Dengan = 5 %, dapatkah disimpulkan bahwa ada perbedaan cost of dinner pada tiga tipe restoran yang berbeda?Jawab : Hipotesis :H0 : A = B = C(Tidak terdapat perbedaan cost of dinner pada tiga tipe restoran yang berbeda)H1 : A B C(Terdapat perbedaan cost of dinner pada tiga tipe restoran yang berbeda)

Langkah-langkah :i. Beri peringkat untuk keseluruhan dataSit-down RestaurantPeringkatCafetariaPeringkatFast-food RestaurantPeringkat

10,00159,85139,5010

9,25810,15168,755

10,50199,95147,952

10,35178,0039,7512

8,85610,45187,751

11,00209,65119,007

11,50219,3598,354

Dimana : k = 3n1 = 7n2 = 7n3 = 7N = 7 + 7 + 7 = 21

ii. Hitung total peringkat data untuk masing-masing kelompok (Ri)Diperoleh : R1 = 106R2 = 84R3 = 41

iii. Tentukan statistik uji (Hhitung)

8,1113

iv. Bandingkan statistik uji (Hhitung) dengan nilai tabelKarena k = 3, ni > 5, yaitu n1 = 7, n2 = 7, dan n3 = 7, maka nilai Hhitung dibandingkan dengan nilai tabel Chi-Square, dimana diperoleh . ( = 5 %)

Kesimpulan :Karena diperoleh Hhitung (8,113 5,991) maka H0 ditolak dan dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan cost of dinner pada tiga tipe restoran yang berbeda.

3. Sebuah survey menanyakan kepada kepala rumah tangga (bapak/ibu) tentang pendapat "Apakah program KB mampu meningkatkan kesejahteraan keluarga?. Pilihan jawaban responden dari "Sangat Tidak Setuju" sampai dengan "Sangat Setuju". Peneliti ingin melihat apakah ada perbedaan pendapat antar responden yang didasarkan pada pendidikan responden (SD hingga Perguruan Tinggi).Data hasil penelitian disajikan dalam tabel di bawah ini :

Pendidikan

SD (1)SMP (2)SMA (3)PT (4)

1233

2444

3324

1245

4152

1353

444

15

12

4

4

3

3

Keterangan : Pendapat responden (bapak/ibu rumah tangga) mengenai "Apakah program KB mampu meningkatkan kesejahteraan kesejahteraan keluarga?1 = Sangat tidak setuju2 = Tidak setuju3 = Kurang setuju4 = Setuju5 = Sangat setuju

Kode Pendidikan :1 = SD2 = SMP3 = SMA4 = PTJawab : Hipotesis :H0 : 1 = 2 = 3 = 4(Tidak terdapat perbedaan pendapat antar responden mengenai program KB yang didasarkan pada tingkat pendidikan)H1 : 1 2 3 4(Terdapat perbedaan pendapat antar responden mengenai program KB yang didasarkan pada tingkat pendidikan)

Langkah-langkah :i. Beri peringkat untuk keseluruhan dataPendidikan

SD (1)PeringkatSMP (2)PeringkatSMA (3)PeringkatPT (4)Peringkat

13,529,5316,5316,5

29,5426426426

316,5316,529,5426

13,529,5426533,5

42613,5533,529,5

13,5316,5533,5316,5

426426426

13,5533,5

13,529,5

426

426

316,5

316,5

Dimana : k = 4n1 = 9n2 = 6n3 = 13n4 = 7N = 9 + 6 + 13 + 7 = 35

ii. Hitung total peringkat data untuk masing-masing kelompok (Ri)Diperoleh : R1 = 95,5R2 = 81,5R3 = 299R4 = 154

iii. Tentukan statistik uji (Hhitung)Karena angka sama terjadi cukup banyak, kita harus menyesuaikan statistik uji dengan menambahkan faktor koreksi, dimana faktor koreksinya sebagai berikut :

Mencari besar faktor koreksi

Peringkattt3T

3,5

3,5

3,56216210

3,5

3,5

3,5

9,5

9,5

9,56216210

9,5

9,5

9,5

16,5

16,5

16,5

16,58512504

16,5

16,5

16,5

16,5

26

26

26

26

261113311320

26

26

26

26

26

26

33,5

33,546460

33,5

33,5

2304

Diperoleh :

Sehingga diperoleh statistik uji dengan faktor koreksi sebagai berikut :

iv. Bandingkan statistik uji (Hhitung) dengan nilai tabelKarena k = 3, ni > 5, yaitu n1 = 9, n2 = 6, n3 = 13 dan n4 = 7, maka nilai Hhitung Htabel dibandingkan dengan nilai tabel Chi-Square, dimana diperoleh . ( = 5 %)

Kesimpulan :Karena diperoleh Hhitung (185,0594 7,815) maka H0 ditolak dan dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan pendapat antar responden mengenai program KB yang didasarkan pada tingkat pendidikan.

LAMPIRAN