STAtOR - VVSOR

STAtORpe

riodi

ek v

an d

e VV

S j

aarg

ang

10

num

mer

2,

juni

200

9

Nog drie keer wikken na het wegen; kwaliteitsmetingen bij TNT Post

Revenue management voor airport parking

En we wachtten nog lang en gelukkig

Ultieme wereldrecords in de atletiek

Kansrekening in de muziek

Het individu in psychologisch onderzoek

What’s happening in statistics?

In Memoriam Roel van Strik

2 STAtOR juni 2009|2

STAtORJaargang 10, nummer 2, juni 2009

STAtOR is een uitgave van de Vereniging voor Statistiek en Operationele Research (VVS). STAtOR wil leden, bedrijven en overige geïnteresseerden op de hoogte houden van ontwikkelingen en nieuws over toepassingen van statis-tiek en operationele research. Verschijnt 4 keer per jaar.

Redactie Goos Kant (hoofdredacteur), Ana Isabel Barros, Mirjam Moerbeek, Gerrit Stemerdink (eindredacteur), Hilde Tobi, Marnix Zoutenbier. Vaste medewerkers: Johan van Leeuwaarden, Fred Steutel

Kopij en reacties richten aanProf. dr. G. Kant (hoofdredacteur), Faculteit der Economische Wetenschappen van de Universiteit van Tilburg, Postbus 90153, 5000 LE Tilburg, telefoon 013 - 4668234, mobiel 06-11045089, <[email protected]>.

Bestuur van de VVSVoorzitter: prof. dr. R. Gill <[email protected]> Secretaris: dr. C.G.H. Diks <[email protected]>Penningmeester: prof. dr. ir. C.A.G.M. van Montfort <[email protected]>Statistische dag: prof. dr. A.W. van der Vaart <[email protected]>Namens de Bedrijfssectie (BDS): prof. dr. R.J.M.M. Does <[email protected]>Namens de Biometrische Sectie (BMS):prof. dr. A.H. Zwinderman <[email protected]>Namens de Economische Sectie (ECS): dr. P.H.F.M. van Casteren <[email protected]>Namens het Ned. Genootschap voor Besliskunde (NGB): prof. dr. J.J. van de Klundert <[email protected]>Namens de Sectie Mathematische Statistiek (SMS): dr. P.J.C. Spreij <spreij@science. uva.nl>Namens de Sociaal Wetenschappelijke Sectie (SWS): prof. dr. J.K. Vermunt <[email protected]>

Leden- en abonnementenadministratie van de VVSVVS, Postbus 244, 6700 AE Wageningen, telefoon 0317 - 419572, fax 0317 - 421364, <[email protected]>. Raadpleeg onze website over hoe u lid kunt worden van de VVS of een abonnement kunt nemen op STAtOR of op een van de andere periodieken.

VVS-websitehttp://www.vvs-or.nl

AdvertentieacquisitieMarieke Klein, p/a Vrije Universiteit, afdeling Econometrie & Operationele Research, De Boelelaan 1105, 1085 HV Amsterdam, <[email protected]>. STAtOR ver-schijnt in maart, juni, september en december.

Ontwerp en opmaakPharos | M. van Hootegem, Nijmegen

Uitgever© Vereniging voor Statistiek en Operationele ResearchISSN 1567-3383

3Redactioneel

4Nogdriekeerwikkennahetwegen;kwali-teitsmetingenbijTNTPost

Henk van der Brug & Hansje Huson

9 Revenuemanagementvoorairportparking Maarten Soomer

15 Enwewachttennoglangengelukkig–column

Johan van Leeuwaarden

17 Ultiemewereldrecordsindeatletiek John Einmahl & Sander Smeets

22 Kansrekeningindemuziek Marguerite J.N. Brouwer & Fred W. Steutel

25 Hetindividuinpsychologischonderzoek Ellen Hamaker

28 What’shappeninginstatistics?–column Fred Steutel

30 InMemoriamRoelvanStrik Theo Stijnen & Wim Hop

Inhoud


Erzijnverschillentussenmensen:deéénwoontinGroningen,deanderinMaastrichtofAmsterdam.Deeenhoudtzichbezigmetoperationsresearch,de ander met statistiek of kansrekening. De eenwerktopeenuniversiteit,deanderopeenonder-zoeksinstituut. Het is waarschijnlijk dat er ookverschillenzijnindedagwaaropdezeSTAtORbijde lezers werd bezorgd. Wellicht ontving u dezeSTAtOReendageerderdanuwcollega,ofjuisteendaglater.HetstrevenvanTNTistenminste95%vandegepostebrievendevolgende(werk-)dagtebezorgen.DebijdragevanHenkvanderBrugenHansjeHusongaatoveronderzoeknaardeover-komstduurvanpost.

Er zijn verschillen tussen de bedragen die pas-sagiersbetalenvooreenstoelopdezelfdevlucht.Ook de bedragen die van automobilisten in deVerenigde Staten worden gevraagd om bij eenluchthaven te mogen parkeren kunnen verschil-len. Dit komt door het toepassen van RevenueManagement, een methode om de omzet te ver-hogendoordebeschikbarecapaciteitopeenslim-memanierteverkopen.HetartikelvanMaartenSoomer beschrijft deze toepassing van RevenueManagementindeVS.

Er zijn verschillen tussen mensen. Toch kunnendeze verschillen niet zonder meer gebruikt wor-den om inzicht te krijgen in processen die zichbinnen individuen afspelen. Om een inzicht tekrijgen in processen binnen individuen moetgebruik gemaakt worden van andere analyse-technieken dan de standaardmethodes die in depsychologie worden gebruikt, zoals te lezen is inhetartikelvanEllenHamaker.

Binnen de sport draait alles om verschillen inprestaties van sporters of teams. In de bijdragevanJohnEinmahlenSanderSmeetsoverultiemewereldrecords in de atletiek wordt de kwaliteitvandehuidigewereldrecordsopde100meterende marathon bepaald met behulp van extreme-waardentheorie.Tevenswordtdevraaggesteldofhethuidigewereldrecordhetultiemerecordisofdaternógsnellergelopenkanworden.

Musici verschillen wat betreft hun voorkeurenvooreenmuziekstuk.MargueriteBrouwerenFredSteutel beschrijven een procedure waarmee eengroep musici op een zo eerlijk mogelijke maniereen muziekstuk kiest. De vraag is hoe groot dekansisdathenditgaatlukken.

InzijncolumnisFredSteutelopzoeknaarrecentehoogtepuntenbinnenstatistiek,kansrekeningenoperations research. Fred wacht nog op het ant-woordopdevraag‘What’shappeninginSTAtOR?’.Over wachten gesproken, de column van JohanvanLeeuwaardenheeftalsonderwerpdeDeensewiskundigeAgnerKrarupErlang,diewordtgezienalsgrondleggervandewachttijdtheorie.

ZoalselkekeerhebbenweerooknunaargestreefddezeSTAtORtevullenmetbijdragenuitverschil-lende toepassingsgebieden, om aan te kunnensluiten bij verschillende interesses. Er zijn ver-schillen. Maar al zijn er verschillen tussen men-sen, de redactie wenst een ieder even veel lees-pleziertoe!

De redactie.

Er zijn verschillen…


Al sinds eind jaren tachtig – lang voor de invoe-ringvandewettelijkekwaliteitsnorm–laatTNTPost onafhankelijk onderzoek uitvoeren naar deoverkomstduurvandelossepost.Onderregievan

Intomart GfK versturen anonieme panelledendagelijks overal in Nederland ‘proefbrieven’. Denietalszodanigherkenbarebrievenzijnvoorzienvaneenuniekecode.Eendeelisbovendienuitge-

Henk van der Brug & Hansje Huson

Nog drie keer wikken na het wegenVandaag gepost, morgen bezorgd is niet alleen de ambitie van TNT Post, het postbedrijf heeft ook

een wettelijke verplichting om gemiddeld minstens 95% van alle brieven de volgende (werk-)dag

te bezorgen. Het onafhankelijke onderzoek naar de kwaliteit van de overkomstduur van de post

speelt daarom een cruciale rol in de bedrijfsvoering en de externe verantwoording. Om te waar-

borgen dat het onderzoek het correcte kwaliteitscijfer oplevert, worden de kwaliteitscijfers meer-

dere keren gewikt en gewogen: jaarlijks buigen TNT Post, een externe accountant en toezichthou-

der OPTA zich over de resultaten en de opzet van het onderzoek.

KWALITEITSMETINGEN BIJ TNT POST


rust met een zender (transponder). Het ontvan-gendepanellidmeldtdecodeenopwelkedatumde brief is aangekomen terug aan Intomart. Zokan worden bepaald welk percentage van debrieven op tijd bezorgd is. De toevoeging vanenkele tienduizenden proefbrieven kan wordenbeschouwd als het trekken van een steekproefuit de post. Het basisprincipe van het onderzoekis eenvoudig: een proefbrief is op tijd of te laatbezorgd. Het kwaliteitscijfer wordt bepaald aande hand van het percentage vertraagde brievenuithetonderzoek.

Risico op vertraging

Nietelkebriefloopthetzelfderisicoopvertraging.Indemeestelandenisdegeografiedebelangrijk-ste risicofactor, maar in Nederland speelt dezefactorhaastgeenrol.Zesfactorenblijkenhiereengrote invloed te hebben op de overkomstduur:handgeschreven adressen hebben een groterekansverkeerdgelezenteworden,brievenmeteengroterformaaten/ofgewichtdoorlopeneenandersorteerprocesendepostbezorginginstadswijkenheefteenanderekwaliteitdanbezorginginmeer

landelijke gebieden. En omdat de hoeveelheidverzonden post vaste fluctuaties kent, zowel perweekdag als gedurende het jaar, zijn ook week-dag en maand van verzending onderscheidendefactoren. Om een representatief beeld te krijgenmoetenbrievenmetdezekenmerkennaarratoindesteekproefvertegenwoordigdzijnofmoetach-terafnaardezekenmerkenwordengewogen.

Samenstelling poststroom

Deproefbrievenwordenzoveelmogelijkineven-redigheid met de poststroom verzonden. Om desamenstellingvandepoststroominbeeldtebren-gen, wordt in de sorteercentra een steekproefgetrokken. De sorteermachines hebben een spe-ciaal ‘steekproefvak’ en zijn zo geprogrammeerddat ze een systematische steekproef trekken uitde poststukken. Van deze stukken wordt hand-matigeengrootaantaluiterlijkekenmerkenvast-gelegd. Voor de poststukken die niet machinaalgesorteerd worden, wordt per stroom een apartesteekproefgetrokken.

Objectieve buitenstaander

TNTPostbeschouwtde informatieoverdegede-tailleerde samenstelling van de poststroom alsvertrouwelijk. Voor toezichthouder OPTA is diteen lastig probleem. Zij moeten het onderzoekbeoordelenopdeugdelijkheid,maarhebbengeentoegang tot alle gegevens. Een door OPTA aan-gewezen externe accountant controleert nu als‘objectieve buitenstaander’ de totstandkomingvan het kwaliteitscijfer. De accountant beschiktover alle onderliggende informatie, voert diver-se audits uit en vraagt een verklaring over degevolgde werkwijze. Pas na goedkeuring van deaccountant rapporteert TNT Post het definitievekwaliteitscijferaanOPTA.

Het sorteerproces van TNT PostZes dagen per week komen de postbezorgersvan TNT Post langs alle 7,2 mln Nederlandsehuishoudens.Jaarlijksbezorgenzeintotaal4,7miljard stuks geadresseerde post. De post diedebezorgersbijzichhebbenistotophuisnum-mer gesorteerd in de vaste loopvolgorde vanhunbestelronde. Deze sortering gebeurt nage-noeg volledig machinaal. Alleen brieven metafwijkende formaten of zonder postcode wor-denhandmatiggesorteerdenookbijvoorbeeldrouwbrievendoorlopeneenapartproces.


Toetsing achteraf

De steekproef wordt ingericht op basis van depoststroom van het vorig jaar. Door de opkomstvan alle elektronische media en de concurrentieop de postmarkt verandert de poststroom in deloopder jarenechtergaandewegvansamenstel-ling. Daarom vindt op verzoek van OPTA ach-terafnogeenwegingplaatsopbasisvanactuelegegevensoverdepoststroom.Wegingopallezeskenmerken tegelijk geeft echter problemen. Hetaantal categorieën is dan zo groot, dat de cel-vulling ondanks de omvang van het onderzoek

onvoldoende is. Daarom worden alleen de driemeestonderscheidendekenmerkenindeweginggebruikt:gewicht,schriftsoortenperiodevanhetjaar.Alsextracontroleopdezoverkregenkwali-teitsscorewordtaanvullendperkenmerkgetoetstofdescoreanderszouuitpakkenwanneerderes-terende kenmerken (zoals formaat en weekdag)ookmeegewogenzoudenworden.

Strakke uitvoering

Het hoge kwaliteitsniveau stelt hoge eisen aandeuitvoeringvanhetonderzoek.Eenwaterdichteprocedure en een strak regime zijn noodzake-lijk om meetfouten te voorkomen. De verzenderdient de proefbrieven strikt op de aangegevendagteverzenden.Omvergissingenuittesluiten,wordt een proefbrief alleen in de meting mee-genomen wanneer een panellid het verzendenvan de proefbrieven direct per e-mail bevestigt.Dergelijke voorzorgsmaatregelen zijn geen over-bodigeluxe:eenanderekwaliteitsmetingmeteenminder strakke uitvoering bleek voor dezelfdesoortpostophetzelfdetrajecttenonrechtetoteengemiddeld1%lagerekwaliteitteleiden.

Kwaliteitsrisico’s

Het sorteren en bezorgen van post is ondanksalle mechanisatie geen echt industrieel proces.Het zeer tijdkritische sorteerproces bestaat uit(machinale) sorteerslagen met daaromheen ver-schillende overslag- en transportstappen. Hetproceskentverschillendekwaliteitsrisico’s:men-selijkefouten,zoalshetverkeerdlabelenvaneenbak of rolcontainer, technische storingen aan desorteermachines en lastig te beheersen externefactoren als autopech of files. Bij het huidigekwaliteitsniveau zijn procesverstoringen onmid-dellijkzichtbaarindekwaliteitsmetingen.Omdat

Kwaliteit en concurrentieIndeper1april2009vollediggeliberaliseerdeNeder-landse postmarkt zal de concurrentie zich vrijwelvolledig richten op de veelal voorgesorteerde par-tijen post van zakelijke verzenders. De met eenpostzegel gefrankeerde losse post, die onder meervia de ruim 18.000 tweelingbrievenbussen wordtgepost, beschouwen concurrenten als nauwelijksinteressant.Dezepostmoethetvolledigesorteerpro-ces doorlopen en is dan ook de meest bewerkelijkepoststroom. Door onder meer een wettelijke kwali-teitsverplichtingwildeoverheidgaranderendateengoede postale dienstverlening ook voor consumen-tenbeschikbaarblijft.TNTPostbeschouwthandhavingvanhet(ookinter-nationaalgezien)zeerhogekwaliteitsniveaualseenstrategische doelstelling. In de organisatie krijgtmendaarom–vandirectietotoperationeelmanage-ment – doelstellingen over de te behalen kwaliteit.In de interne sturing speelt de informatie uit hetkwaliteitsonderzoek dan ook een belangrijke rol.BovendienkanTNTPosthiermeeobjectiefaantonendat het voldoet aan de door de overheid gesteldekwaliteitseisen.Alsgevolgvandeliberaliseringzijnimplicietookdezeeisenaangepast:inderapportageover de kwaliteit van de overkomstduur mag TNTPostdezakelijkepostna1aprilnietmeermeetellen.


de kwaliteitslat procestechnisch al zeer hoogligt, is de nauwkeurigheid van het onderzoekvan groot belang. De huidige steekproefomvangbeperkt de onnauwkeurigheid tot 0,2% (twee-zijdig 95%-betrouwbaarheidsinterval) en maakthet bovendien mogelijk de kwaliteitscijfers totopvestigingsniveauuittesplitsen,zodatbepaaldkanwordenofdeverschillendeinternemanage-mentdoelstellingenzijnbehaald.

Wisselende afhankelijkheden

Statistisch gezien zit het venijn bij dit onder-zoek in de berekening van de variantie van hetpercentage vertraagde brieven. De voortdurendwisselende afhankelijkheden in het sorteerpro-ces maken deze variantieberekening complex.Tijdenshetprocesiselkeindividuelebriefvoort-

durend onderdeel van een cluster: een brief zitmet andere brieven in een tweelingbrievenbus,ineenbak,ineenrolcontainerofineenauto.Dieclustering verandert echter bij elke processtap:nadesorteringzitdebriefineenanderebak,naoverslagineenandererolcontainerofauto.Dezewisselendeafhankelijkhedenzijntecomplexomexacttekunnenmodelleren.Devariantieschatteruit de in 2004 voor het eerst gebruikte Europesenorm voor het postale kwaliteitsonderzoek losseposthadeengoedebenaderingmoetenzijn,maarbleektotnegatievevariantiestekunnenleiden.

Bijdrage te verwaarlozen

Omtoteenbeterebenaderingtekomenisin2006een werkgroep opgericht, waarin TNT Post eenactieverolheeftgespeeld.Denieuwontwikkelde

Kwaliteit van de postbezorging door TNT Post (% op tijd) over de afgelopen jaren

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

97%

96%

95%

94%

93%

92%

91%

90%

losse post

overall score

wettelijkenorm


variantieschatter is gebaseerd op een model vanhet Duitse onderzoeksbureau Quotas GmbH. Inditmodelwordthetprocesvanhetverzendenvanproefbrieven beschouwd als een tweetrapssteek-proef.Indeeerstetrapwordenverzendersenont-vangersgetrokkenuitallemogelijkepostadressen(verzenderskiezeneenvastetweelingbrievenbusom hun stukken te posten). In de tweede trapwordenproefbrieventoegewezenaaneenverzen-der en een ontvanger. Er worden drie mogelijkeinvloedsfactorenonderscheiden:deverzender,deontvangerenderelatieverzender-ontvanger.

De variantieschatter bestaat uit drie delendie de relatie-tot-totaal variatie, de intra-relatievariatieende inter-relatievariatieaangeven.Determenuithetderdedeel,metdecovariantietus-sen relaties met dezelfde verzenders en dezelfdeontvangers,blekenbijdeuitwerkingvoordiversesituaties een te verwaarlozen bijdrage aan devariantie te geven. Door deze ingewikkelde ter-menuitdeschatterwegtelatenwerddevarian-tieberekening bovendien veel beter toepasbaarvoor postbedrijven uit de nieuwe lidstaten, dieeen veel minder uitgebreid kwaliteitsonderzoekdoen(Concept Norm EN 13850:2008 Postal services - Quality of service - Measurement of the transit time of end-to-end services for single piece mail).

Lean Six Sigma

Ookvoorinternekwaliteitsverbeterprojectenwordtgebruik gemaakt van de informatie uit de kwali-teitsmetingen. De transponders in de steekproef-brieven maken het mogelijk om te traceren waarin het proces vertragingen zijn opgetreden. In de‘LeanSixSigma’projectenwordtdankbaargebruikgemaakt van de enorme hoeveelheid meetgege-vens.Deoplossingendieopbasisvandezemetho-diek worden aangegeven, leiden niet alleen totkwaliteitverbeteringmaarooktotbesparingenalsgevolgvaneeneffectievereprocesvoering.

Lastig traject

Afgezienvandevariantieberekeningishetonder-zoek statistisch gezien niet bijzonder gecompli-ceerd. Alle randvoorwaarden, zoals de te onder-zoeken invloedsfactoren en de vereiste proporti-onaliteitvandesteekproef,makendeberekeningvanhetkwaliteitscijferechtertochtoteenlastigtraject.Hoeweldealgemeneopzetvanhetonder-zoek gelijk blijft, duiken er elk jaar weer bijzon-derhedenop.Ermoetrekeningwordengehoudenmetdedynamiekvandeoperationeleenadmini-stratieveprocessenwaarvoortdurendoptimalisa-tiesenprocesverbeteringenwordendoorgevoerd,die aanpassingen aan de onderzoeksopzet nodigmaken.Zostaatditjaarinhettekenvandewijzi-gingeninderegelgevingdoorderecentevolledigeliberaliseringvandeNederlandsepostmarkt.

TNT Post Kwantitatieve OndersteuningDe statistische expertise rond het kwaliteitsonder-zoek wordt geleverd door de afdeling Kwantitatieve Ondersteuning. Dit interne adviesbureau van TNT Post ondersteunt al ruim twintig jaar directie, management en medewerkers bij het cijfermatig onderbouwen van hun beleidskeuzes en beslissingen. Bij alle grote strategische reorganisaties wordt de afde-ling in een vroeg stadium betrokken. Daarnaast buigt Kwantitatieve Ondersteuning zich over praktische commerciële en operationele vragen. De adviseurs gebruiken modellen en technieken uit de toegepaste wiskunde, statistiek en econometrie. Ze combineren hun specialistische vakkennis met een grondige kennis van de bedrijfsprocessen. TNT Post Kwantitatieve Ondersteuning heeft regel-matig vacatures voor startende of ervaren academici met een achtergrond in de statistiek, econometrie of operations research. Ook zijn er mogelijkheden voor stageplaatsen.

Henk van der Brug is manager van TNT Post Kwantitatieve Ondersteuning en als statistisch adviseur nauw betrokken bij de kwaliteitsmetingen. E-mail: <[email protected]>.Hansje Huson is oud-medewerker van de afdeling en heeft tegenwoordig haar eigen communicatiebureau (www.hansjehuson.nl).


De passagier die naast je zit in het vliegtuig heeft waarschijnlijk een heel andere prijs betaald

voor zijn ticket dan jij. Hetzelfde kan je nu ook gebeuren als je in de VS bij een luchthaven par-

keert. Dit komt omdat bij beide Revenue Management wordt toegepast. Revenue Management

is een methode om de omzet te verhogen door de beschikbare capaciteit op een slimme manier

te verkopen. Hierbij worden verschillende prijzen aan verschillende klanten aangeboden. Om te

bepalen op welk moment hoeveel capaciteit tegen welke prijs verkocht moet worden, worden

statistische en optimalisatiemodellen gebruikt. In dit artikel wordt de introductie van Revenue

Management bij Park ’N Fly beschreven. Park ’N Fly is marktleider in off-airport parking in de VS.

Maarten Soomer

REVENUE MANAGEMENT VOOR AIRPORT PARKING


RevenueManagementisindejarentachtigvandevorigeeeuwindeluchtvaartindustriegeïntrodu-ceerd.VantoenafbepaaltRevenueManagementvoor veel luchtvaartmaatschappijen het verschiltussenwinstenverlies.Voorelkevluchtwordtindetail bepaald hoeveel stoelen op welk momenttegen welke prijs aangeboden worden. Vandaardatdepassagieropdestoelnaastjeinhetvlieg-tuig een heel andere prijs voor zijn ticket heeftbetaald. Het succes van Revenue Managementin de luchtvaart heeft er voor gezorgd dat dezemethode inmiddels ook in veel andere sectorenwordttoegepast,zoalsbijhotels,touroperatorsenautoverhuurbedrijven.

Revenue Management kan toegepast wordenvoor producten of diensten waarvan de capaci-teit vast ligt en beperkt houdbaar is; het aantalstoelenineenvliegtuigligtvastenkannietuit-gebreidwordenalsertoevalligmeervraagis.Eenlege stoel kan niet meer verkocht worden nadathetvliegtuigisopgestegen.

Alsdemarginalekostenvoorhetbedienenvaneen extra klant laag zijn, levert het meer op omeen klant voor een lage prijs te accepteren danomcapaciteitongebruikttelaten.Wekunnendecapaciteitimmersnietopslaantotdaterweereenklant komt die een hogere prijs wil betalen. Alsde totale (vaste) kosten hoog zijn, zal het verko-penvanallecapaciteittegeneenlageprijsechterniet genoeg opbrengen om winst te maken. Devaste kosten voor het uitvoeren van een vluchtzijnhoog(kerosine,personeel,vliegtuigen),maarhangennauwelijksafvanhetexacteaantalpas-sagiersaanboord.

Om toch winstgevend te zijn moeten we decapaciteit daarom tegen verschillende prijzenaanbieden. Voor elke vlucht moet er wordenbepaaldwelkgedeeltevande(resterende)stoe-len tegen welke prijs te verkopen. Dit gebeurtmet behulp van wiskundige modellen. Zo kun-nen we voorkomen dat er veel stoelen onbezetblijven,maarookdaterteveelstoelenvooreen

telageprijsverkochtworden.Om verschillende prijzen te kunnen vragen,

moeten er wel verschillende groepen klantenbestaan, die bereid zijn om verschillende prijzentebetalen.Ookmoetenwedezegroepenkunnenonderscheiden,bijvoorbeeldaandehandvanhetverkoopkanaal,hetmomentvanreserverenofdegekozenaanvullendeproductvoorwaarden(zoalsannulering-ofwijzigingsmogelijkheden).

Ookparkeerplaatsenzijn‘beperkthoudbaar’:We kunnen de capaciteit van een lege parkeer-plaatsnietopslaanenlatergebruiken.Devastekosten (kapitaal, infrastructuur, personeel) voorhetexploiterenvanparkeerfaciliteitenzijnhoog.Een extra auto die parkeert leidt echter nauwe-lijks tot extra kosten. Hiermee is ook voor par-keren aan de basisvoorwaarden voor RevenueManagement voldaan. Het project bij Park ‘NFly,datinhetvervolgvanditartikelbeschrevenwordt, heeft inderdaad bewezen dat RevenueManagement ook succesvol kan worden toege-pastbijhetexploiterenvanparkeerfaciliteiten.

Park ’N Fly

IndeVSisdeautohetbelangrijkstevervoersmid-del. Hierdoor is er (ook) rond luchthavens eengrote behoefte aan parkeerplaatsen. Er zijn vaaknietvoldoendeparkeerplaatsenopdeluchthavenzelfenbovendienzijndezevaakduur.Ditmaakt‘off-airport’ parking een populair fenomeen.Hierbij wordt er parkeergelegenheid in de buurtvan de luchthaven aangeboden in combinatiemetshuttlevervoervanennaardeluchthaven.

Park ’N Fly is de marktleider op het gebiedvan off-airport parking in de VS. Zij beheren 18parkeerfaciliteiten bij 12 luchthavens, waaronderde grote internationale luchthavens bij Atlanta,Dallas, Houston, Minneapolis, San Francisco enLos Angeles. In totaal exploiteren ze meer dan25.000parkeerplaatsen.


In 2007 is bij Park ’N Fly een project uitge-voerd dat erop gericht was zowel een RevenueManagementstrategietebepalenalsdebijbeho-rendemodellentedefiniërenenimplementeren.

Park ’N Fly richt zich vooral op de zakelijkereiziger. Dit wordt gedaan door het leveren vanexcellenteservice.Depassagierwordtbijzijnautoopgehaalddoordeshuttle,zodathijniethoefttelopenmetzijnbagage.Errijdtookminstenselke5minuteneenshuttletussenhetparkeerterreinendeluchthaven,zodatreizigersnietwordengecon-fronteerdmetonnodigewachttijden.

KlantenkunnenhunparkeerplekvantevorenonlinereserverenviadewebsitevanPark ’NFly.Demeesteklantenmakenechtergeenreserveringvantevoren.Ookzijnerverschillendekortingen,bijvoorbeeldviakortingsbonnenofvoorsenioren.Eenaantalbedrijvenheefteencorporate accountbijPark’NFlywaarmeehunmedewerkerskortingkrijgen.Deregulieretarievenverschillenperloca-tie,maarliggenoverhetalgemeenrondde$10perdag.Eenonlinereserveringismeestaleendollarperdaggoedkoper.

Uit verschillende systemen zijn er veel databeschikbaar. Voor elke auto is bekend op welkmoment deze binnenkwam en weer wegging.Ookiserbekendofenwanneerdeklantgereser-veerdhad,viaeencorporate accountparkeerdeofeenbepaaldekortingkreeg.Opdezemanierishetparkeergedraggeanalyseerd.

Hieruit bleek dat veel locaties gedurende eenaantal dagen in het midden van de week (bijna)helemaal vol zijn. De grootste groep klanten dieopdezedagenparkeertheeftgeenreserveringofkortingenenbetaaltdusdevolleprijs.Ookzijnerrelatief veel klanten die gebruik maken van eencorporate account. De gemiddelde parkeerduurvandezegroepenklantenismaareenpaardagen.Deze klanten lijken zakelijke reizigers te zijn diemeergefocustzijnopservicedanopprijs.

In het weekend en in vakanties is het vaakminder druk. Dit geldt vooral op locaties waarveel (of goedkopere) concurrentie is. Op dezetijdstippenishetpercentageklantendatgebruikmaaktvaneenkortingsregelingveelgroter.Dezeklantenlijkendus(prijsgevoelige)recreatieverei-

Figuur 1: Verdeling over de weekdagen van de aankomstdag voor verschillende groepen klanten. Lichtblauw: Klanten tegen het reguliere tarief en met corporate accounts. Donkerblauw: reizigers die gebruik maken van een kortingsrege-ling (geen actietarief)

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

Su Mo Tu We Th Fr Sa


zigerstezijn.Metderegulieretarieven(enkortin-gen)wordenerkennelijknognietgenoegvandittypereizigersaangetrokkenwaardoorerveellegeplekkenoverblijven.

Om de bezetting te verhogen zouden we detarieven kunnen verlagen. Dit levert echter nietgegarandeerd een hogere omzet op omdat deomzetvandehuidigeklanten(gedurendederestvandeweek)hierdoorookomlaaggaat.

Het toepassen van Revenue Managementmaakthetmogelijkomverschillendeprijzenvoordezeverschillendegroepenklantenaantebiedenen tegelijkertijd de beschikbaarheid van (lagere)prijzentebeperken.InhetgevalvanPark’NFlyiservoorgekozenomderestcapaciteit(zoalsdelegeplekkeninhetweekend)tegeneenlageprijsviaeennieuwonlinekanaalgerichtopderecreatievereizigerteverkopen.Denadrukligtbijditkanaalop de lage prijs. Er wordt wel duidelijk gemaakt

dathetomeenactietariefgaatmeteenbeperktebeschikbaarheid.

Modellen

Bij het toepassen van deze strategie is het heelbelangrijkomvandagtotdagtebepalenhoeveelplaatsenermaximaaltegendezeactieprijsaange-bodenmogenworden:Alserteveelplaatsenver-kochtworden,zijnergeenplekkenmeerbeschik-baarvoor(zakelijke)reizigersdiezonderreserve-ringkomenaanrijdeneneenhogertariefbetalen.Als er te weinig plekken verkocht worden tegenhetactietariefdanblijvenernogsteedslegeplek-kenover.InbeidegevallenlooptPark’nFlyomzetmis. Omdat er grote fluctuaties zijn in bezettingopverschillendedagenenweken,wordtditaan-tal plaatsen voor elke parkeerdag apart bepaald.

Figuur 2: Voorbeeld EMSR methode

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00

500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700

$ 10

$ 9

$ 8

$ 7

$ 6

$ 5

$ 4

$ 3

$ 2

$ 1

$ 0

verk

oopk

ans

aantal te bewaren plaatsen

marginale opbrengst


Ookwordtdezeschattingregelmatigherberekendopbasisvanactueleboekingsgegevens.

Bij deze berekeningen wordt een statistischvraagvoorspellingsmodel gebruikt. Met behulpvan historische data wordt voor elke dag eenvoorspelling gedaan van het aantal auto’s dataanwezigzalzijnopdeparkeerplaats,uitgesplitstnaar verschillende type klanten. Hierbij wordtrekeninggehoudenmetweekpatronen(verdelingoverdeweekdagen)entrendsindedata.

Devraagvoorspellingisvervolgensinvoervooreenoptimalisatiemodel.Ermoetwordenbepaaldhoeveel plaatsen er per dag maximaal mogenworden verkocht tegen het actietarief. Dit wordtgedaan door steeds de verwachte opbrengst van

hetverkopenvannogeenparkeerplaatstegenhetregulieretarieftevergelijkenmethetactietarief.Zolangdeeerstegroteris,willenwedezeparkeer-plaats ook nog‘bewaren’ voor reguliere klanten.Zo kunnen we dus bepalen hoeveel plaatsen wemoeten‘bewaren’ en hoeveel er daarna overblij-ven om te verkopen tegen het actietarief. Dit ishetzogenaamdeExpectedMarginalSeatRevenueModel (EMSR) van Belobaba (1989). In figuur 2wordt deze methode geïllustreerd met een voor-beeld: Het actietarief is hierin $6 (60% van hetregulieretariefvan$10).Indegrafiekishetaan-tal plaatsen dat ‘bewaard’ wordt voor reguliereklantenafgezettegendekansdataldezeplaatsenverkochtworden.Doordezekanstevermenigvul-

Figuur 3: Voorbeeld prijsgevoeligheid: Geschatte aantal boekingen en opbrengst bij verschillen de tarieven

schatting boekingen

waargenomen boekingen

verwachte opbrengst

$ 1 $ 2 $ 3 $ 4 $ 5 $ 6 $ 7 $ 8 $ 9 $ 10


digenmethetregulieretariefwordtdeverwachtemarginaleopbrengstberekend.Indegrafiekisteziendathetgeenzinheeftmeerdan593plaatsente bewaren omdat de marginale opbrengst danlagerisdan$6.

Bij Park ‘N Fly wordt er bij gebruik van demethode nog een verder onderscheid gemaakttussenverschillendegroepenklanten.Eenanderecomplicerendefactorisdaterrekeningmoetwor-den gehouden met de overlap in dagen tussenklantenmetverschillendeparkeerlengtes.

Ookmoetperlocatiedehoogtevanhetactie-tariefwordengekozen.Hetnieuweonlinekanaalbiedtdemogelijkheidomhetactietariefregelma-tigaantepassen.Verschillendetarievenwordeneen aantal weken gehanteerd. Dit levert infor-matie op over het aantal boekingen bij verschil-lende prijzen. Hiermee kan de prijsgevoeligheidvan de klanten geschat worden (zie figuur 3). Deklantendieboektenviahetnieuweonlinekanaalblekeninderdaadprijsgevoeligtezijn.Eenkleinetariefsverlagingleiddemeestaltoteengrotestij-ginginhetaantalboekingen.Metbehulpvandegeschatte prijsgevoeligheid kan dan het tariefwordenbepaalddatdemeestewinstoplevert(ziefiguur3).Vanwegedegroteprijsgevoeligheidligtdittariefmeestalveronderhetregulieretarief.Bijde vaststelling van het actietarief moet natuur-lijk ook rekening worden gehouden met de boe-kingslimieten en capaciteit. Dit kan betekenendat er een hoger tarief wordt gekozen omdat devraagbijeenlagertariefstructureelhogerisdandeboekingslimieten.

Resultaten

Het nieuwe online reserveringskanaal is zeersuccesvol gebleken. Het aantal boekingen (tegenhetactietarief)viaditkanaalisrelatiefgroot.Hetkomt regelmatig voor dat de boekingslimietenworden bereikt en de parkeerplaatsen die tegen

het actietarief worden aangeboden dus warenuitverkocht. Het is gelukt om via dit kanaal eennieuwegroep(prijsbewuste)klantenaantetrek-ken.Ditblijktookuithetfeitdathetaantaltrans-actiesviadeandere(albestaande)kanalentegenhogeretarievennietsignificantisafgenomen.

Het toepassen van Revenue Management opdeverschillendeparkeerfaciliteitenheeftgemid-deld tot een omzetstijging van meer dan 7%geleid. De winststijging is nog groter omdat ernauwelijksextrakostengemaaktwordenvoorhetnieuwereserveringskanaal.

Hiernaast heeft het project Park ‘N Fly ookinzicht gegeven in het parkeergedrag van hunklanten.Ondanksdaterdatabeschikbaarwaren,werd hier in het verleden weinig meegedaan.Hetbedrijfheeftvanditprojectgeleerdommeergebruiktemakenvankwantitatieveanalyses,bij-voorbeeldommarketingactiesteevalueren.

Revenue Management is een goed voorbeeldvan succesvolle toepassing van OR-technieken.Tegenwoordig zijn in bijna elk bedrijf veel databeschikbaaroverhetgedragvanklanten.Inveelbedrijven wordt echter weinig met deze datagedaan. Revenue Management is een methodediedezegegevensopeenslimmemaniergebruiktom de winst te maximaliseren. Ook in anderesectorenzijnerveelmogelijkhedenomdezedatate gebruiken voor het toepassen van RevenueManagementensoortgelijketechnieken.

LiteratuurP.P. Belobaba. Application of a probabilistic decision model to airline seat inventory control. Operations Research, 37(2), 183–197, 1989.

Dr. Maarten Soomer is werkzaam als Revenue Management consultant bij ORTEC. Hij is een van de oprichters van PReMa, het netwerk voor Pricing & Revenue Management professionals uit het bedrijfsleven en de academische wereld. PReMa organiseert regelmatig seminars en netwerkevenementen. Zie voor meer infor-matie: www.prema-netwerk.nl. E-mail: <[email protected]>.


De Deense wiskundige Agner Krarup Erlang(1878-1929) wordt gezien als de grondlegger vande wachrijtheorie. Hij groeide op in het dorpjeLønborgwaarzijnvaderschoolmeesterwas,kreegnadebasisschoolprivélessenenhadeenvoorlief-devoorpoëzieensterren.Metdefinanciëlesteunvan verre familie kon hij naar de UniversiteitvanKopenhagen,waarhijin1901afstudeerdeinde wiskunde. De zeven jaren daarop gaf Erlangles op verschillende scholen, in de voetsporentredend van zijn vader. Maar zijn hart lag bijhet onderzoek, en in 1908 accepteerde hij eenbaan als wetenschappelijk medewerker bij hetKopenhaagse telefoonbedrijf. Geïnspireerd doordegloednieuwetelefooncentralespubliceerdehijin 1909 de eerste stochastische modellering vanwachtendeklanten.Derestisgeschiedenis.

Erlangberekendeondermeerdeblokkerings-kans (verloren gesprekken) en de wachtkans(vertraagde gesprekken), nu beter bekend als deErlang B en C formule. Het was het prille beginvanhetvakgebieddateerstcongestion theoryenlater queueing theory ging heten. Wachten doenwe veelvuldig en allemaal. Vandaar ook dat dewachtrijtheorie,ofbeter‘vanjeergernisjeberoepmaken’,uitgroeidetoteennietmeerwegteden-ken onderdeel van de toegepaste kansrekening.Het geesteskind van Erlang werd dit jaar hon-derdenleeftmeerdanooit.Omdatluisterbijtezetten reisde ik af naar Denemarken voor TheErlangCentennial.DriemooievoorjaarsdageninKopenhagen.

Hetwachtrijgalavingaanop1april,ineenzaalmetkroonluchtersenborstbeelden,opeensteen-

EN WE WACHTTEN NOG LANG EN GELUKKIG

Johan van Leeuwaarden

Købe

nhav

ns U

nive

rsite

t. Fo

to: H

eine

Ped

erse

n

c o l u m n


worpafstandvandestoffigekamerwaarErlanghonderd jaar daarvoor zijn formules had uitge-dokterd.SirJohnKingmanopendehetbalmeteenprachtigbetoogoverdeeerste,maarmeernogdetweedeeeuwvanonsvakgebied.Anderelezingenvolgden, en na een dag doordrenkt van ErlangsABC werd er getoost op de toekomst. Feestelijk,hoewelnetalsanderedelenvanScandinaviëookDenemarkennietbepaaldeenplaatsisomdron-kenteworden.Mijnglasdrogehuiswijnbleek120kronen waard. Erlang wist beter en verkoos eenlevenalsgeheelonthouder.

Maar het was mooi om nuchter te vertoevenin de stad van de meester. Op dag twee van hetgalapasseerdedefotovanErlangmeermalenderevue.Deindringendeblikwaarmeehijvanafhetdiaschermsteedsweerdezaalinkeek gafmehetgevoel dat hij onder ons was. De hoge resolutieverschafte hem een haast lijfelijke aanwezig-heid. Wel bleef hij zwijgen, zoals het de legendebetaamt. Erlang, zijn naam werd vereeuwigd inde internationale eenheid van telefoonverkeer,een kansverdeling, een programmeertaal en eenhandvol formules. Wie was de man achter diebaardenwatwasdesleuteltotzijnsucces?

Om te beginnen was Erlang ontegenzeggelijkde allereerste. Voor de geschiedschrijving pret-tig, want tijdgenoten in je vaarwater kunnen jeonderdompelen. Het lot kent wrede spelingen,maar Erlang was zijn tijd zo ver vooruit dat nie-mand zal betwisten dat hem de ultieme eer van

eerste toekomt. Daarnaast was Erlangs werk ingrote mate conceptueel. Hij ontwikkelde welis-waar een specifiek model, maar voor de analysedaarvanintroduceerdehijPoissonaankomstenenstatistisch evenwicht: methoden die zeer bruik-baar bleken en later in meer beproefde vormenverschenen in de theorie van de stochastischeprocessen.PólyaenSzegöschrevenhetal:‘An idea which can be used only once is a trick. If one can use it more than once it becomes a method’. Daarbijkwam dat Erlangs resultaten esthetisch waren:fraaivanvormenrijmendmetde intuïtie.MaarbovenalwasErlangswerkverrevanaf,endat isuitstekend, want niemand zit te wachten op hetlaatstewoord.Erlangsoorspronkelijkewerkkreegvele vervolgen en werd daarmee tijdloos. Erlangwerkte, bewust of onbewust, aan de voorlopervan het monster dat internet heet, het allesver-bindendenetwerk,ofinKingmanswoorden:‘the ultimate telephone exchange’.

Terug naar Kopenhagen. Tijdens de laatstedans, het vorstelijke conferentiediner, begon ikme af te vragen wat Erlang zelf nu van dit alleszou vinden. Zou Erlang hebben voorzien dat wehonderd jaar na dato zouden klinken op zijnhersenspinsels?Zouhijhebbengewetenwatzijnwerkteweegzoubrengenennuergensintevre-denheidtoekijken?Bespiegelingendiealsvanzelfopborrelen bij gelegenheden als deze. Het toe-tje met dessertwijn werd uitgeserveerd. Voldaanmaar onwetend nam ik nog een slok toen eenvoormijnieuweoberalsuithetnietsverscheen.Hetkunnendevijfglazenwijngeweestzijn,maarikmeendeindeogenvandiebebaardeobermetvlinderdas de blik van de meester te herkennen.Endeober,diezelfgeendruppeldronk,schonkdeglazenzwijgzaambijenzagdathetgoedwas.

Johan van Leeuwaarden is werkzaam in de groep Stochastische Besliskunde bij de faculteit Wiskunde en Informatica van de TU Eindhoven. Tevens is hij research fellow bij EURANDOM. E-mail: <[email protected]>.

Agner Krarup Erlang


Extreme-waardentheorie wordt gebruikt bij sta-tistische problemen waarbij onwaarschijnlijkegebeurtenisseneenrolspelen.Dezetheoriemaakthet mogelijk om de staart van een kansverde-ling te benaderen. Met behulp hiervan kunnenonder meer grote kwantielen van kansverdelin-gengeschatworden.

Extreme-waardentheorie kent veel mogelijke

toepassingen. Wij focussen op atletiek en onder-zoeken wat het ultieme wereldrecord is op de100mendemarathon,voormannenenvoorvrou-wen. Onder het ultieme wereldrecord verstaanwe de snelste tijd die in de zeernabije toekomstgelopen zou kunnen worden. Naast het ultiemewereldrecord wordt ook de kwaliteit van de hui-digewereldrecordsgeschat.

Op de Olympische Spelen in Beijing liep Usain Bolt een fenomenale wereldrecordtijd van 9,69

seconden op de 100 meter. Is dit het ultieme wereldrecord of kan er nog veel sneller gelopen

worden? Om deze vraag te beantwoorden, passen we extreme-waardenstatistiek toe. We

bestuderen naast de 100 meter voor mannen ook de 100 meter voor vrouwen en de marathon

voor mannen en voor vrouwen. Tevens bepalen we de kwaliteit van de huidige wereldrecords

op de genoemde disciplines.

John Einmahl & Sander Smeets

ULTIEME WERELDRECORDS IN DE ATLETIEK

Usa

in B

olt,

win

naar

van

gou

d op

de

100,

200

en

4 x

100

met

er

tijde

ns d

e O

lym

pisc

he S

pele

n in

Bei

jing.


De data

Voor elk van deze vier atletiekdisciplines verza-melen we eerst de beste m persoonlijke recordsindeperiodejanuari1991–juni2008.Wehebbenervoorgekozenomdatavanvóór1991tenegeren.Zoproberenwezoveelmogelijkdopinggerelateer-detijdentevermijden.Aangezienwealleenper-soonlijkerecordsopnemeninonzedatalijstkomtelkeatleetslechtséénkeervoor.Ditzorgtervoordatdedatavrijwelonafhankelijkvanelkaarzijn.Het aantal waarnemingen varieert van 479 voorde100metervrouwentot1329voordemarathonmannen. Drie van de vier huidige wereldrecordsvallen niet in onze waarnemingsperiode en zijndaaromnietopgenomenindedata.Tabel1geefteenoverzicht.

Extreme-waardentheorie

We starten met een korte introductie van deextreme-waardentheorie. Xn:n is het maximumvan n onafhankelijke en gelijkverdeelde sto-chasten. Veronderstel dat de kansverdeling vanXn:n , geschaald en gecentreerd met twee deter-ministischerijenanenbn,convergeertalsnnaaroneindiggaat.Ditbetekentdat

voor een zekere verdeling G. Dit noemen we

ook wel de extreme-waardenconditie. Extreme-waardentheorieverteltonsnumeeroverdever-deling G. De rijen an en bn, kunnen namelijk zogekozen worden dat de limietverdeling G gelijkis aan de zogeheten extreme-waardenverdelingG° waarbij G° (x) = exp({(1+°x)-1/°). Merk opdatdezeextreme-waardenverdelingwordtgeken-merkt door slechts een parameter: de extreme-waardenindex°,eenreëelgetal.

Een extreme-waardenindex ° kleiner dan 0garandeertdathetrechtereindpuntvandekans-verdeling eindig is. Voor ons onderzoek dienenwedaaromtewetenof°kleinerdan0is. Indatgeval is met behulp van het bovenstaande heteindpunttebenaderen.Deformuleisbn/k{an/k /°.De parameter k heeft te maken met het aantalwaarnemingen dat wordt meegenomen in deschatting;meerhierover volgtlater.Omheteind-puntteschattendienenuiteindelijkdeextreme-waardenindex ° en de twee rijen an/k en bn/kgeschatteworden.

Het schatten van °

We gebruiken drie bekende schatters voor °: demomentenschatter, de maximum-likelihood-schatterendeadaptedHillschatter.Nadatweonzen waarnemingengeordendhebben,gebruikenwedek grootstewaarnemingenvoorde° -schatters.Voor grotere k nemen we meer waarnemingen

DISCIPLINE AANTAL WAARNEMINGEN SNELSTE TIJD LANGZAAMSTE TIJD

100m mannen 762 9,72 10,30

100m vrouwen 479 10,65 11,38

marathon mannen 1329 2:04:26 2:13:36

marathon vrouwen 981 2:15:25 2:36:06

Tabel 1: Samenvatting gebruikte data

limP((Xn:n {bn)/an ∙ x)=G(x)n!1


meeinonzeschatterenwordtdevariantiekleiner.Echter, hoe groterk hoe verder we van de staartvandeverdelingverwijderdzijn.Eengrotekkandaarom onzuiverheid veroorzaken. Uiteindelijkzullen we een juiste balans tussen onzuiverheiden variantie moeten vinden. In de praktijk blijktditeennogallastigeklustezijn.

Figuur1geeftdedrie° -schattersweervoorde100mmannen.Voorlagek-waardessuggereertdegrafiekinderdaadeengrotevariantie;voorgrotewaardes vank wordt de mogelijke onzuiverheidzichtbaar door het omhoog lopen van de schat-ters.

Om een juiste keuze voor k te maken heb-ben we ervoor gekozen om de Aymptotic MeanSquaredError(AMSE)vandeschatterteminima-liserenoverk.DeAMSEbijeenbepaaldek isgede-finieerd als de gekwadrateerde asymptotischeonzuiverheidplusdeasymptotischevariantievande schatter. Het schatten van de variantie en inhetbijzonderhetschattenvandeonzuiverheidis

echter niet eenvoudig. We hebben een methodeuitBeirlantetal(2004)aangepast.Dedefinitievewaarde van elke ° -schatter is vervolgens geba-seerd op het gemiddelde van de° -schatters overhet gekozen k-gebied. Omdat we drie verschil-lende° -schattershebbenresulteertditindriever-schillende waardes voor° . Om ten slotte op éénwaarde voor° uit te komen, kiezen we de medi-aan van deze drie. De gevonden waardes voor° zijnweergegevenintabel2.

DISCIPLINE ° -SCHATTER

100m mannen –0,19

100m vrouwen –0,18

marathon mannen –0,31

marathon vrouwen –0,07

Tabel 2: De geschatte waardes van °

Figuur 1: De drie °-schatters als functie van k. De momenten-, maximum-likelihood- en adapted Hillschatter worden respectievelijk weergeven door de zwarte, blauwe en gele lijn. De rode lijn geeft de uiteindelijke schatting van ° aan


Zoals eerder vermeld, dient° kleiner te zijn dan0 om het bestaan van het eindpunt te kunnengaranderen. De ° voor de marathon vrouwen isechter zo dicht bij 0 dat het niet zeker is dat dewerkelijke° kleiner is dan 0. Daarom kiezen weervoor om het eindpunt van de marathon vrou-wennietteschatten.

Het schatten van het eindpunt

Omtoteeneindpunttekomenzijnnogeenschat-tervooran/kenbn/knodig.Deschattersvooran/ken bn/k zijn gebaseerd op twee veel gebruikteschatters (zie bijvoorbeeld de Haan en Ferreira,2006). Net zoals de° -schatters, hangen ook dezeschatters af van k. Voor ° was het mogelijk omeenoptimalewaardevoork tebepalen;voordezeschatter kiezen we ervoor om deze afhankelijk-heid van k te behouden. De geschatte waardenvoor ° , an/k en bn/k worden dan ingevuld in deeindpuntformule.Degrafiekinfiguur2geeftheteindpunt voor de 100 meter mannen als functie

vank.Dezegrafiekgeeftalweerdathetgeschatteeindpunt rond de 9,50 seconden ligt. Een AMSEmethodeishiermoeilijkertoetepassen.Dekeuzevoork isdaaromgebaseerdopdeeerdergevondenwaardesvank voorhetschattenvan° .

De ultieme wereldrecords

De horizontale lijn in bovenstaande grafiek laatzien dat het uiteindelijk geschatte eindpuntvoorde100metermannenligtbij9,51seconden.Dit kan daarom geïnterpreteerd worden als hetgeschatteultiemewereldrecord.Dezelfdemetho-deszijntoegepastomtekomentotdeeindpuntenvandeoverigetweedisciplines.Tabel3geefteenoverzicht.

De100metervoormannenenvrouwenlateneenmogelijkeverbeteringzienvanrespectievelijk0,18seconden(1.9%)en0,16seconden(1.5%).Voorhetgeschatteultiemewereldrecordisookeen95%linkszijdig betrouwbaarheidsinterval bepaald.Deze ondergrenzen liggen nog wat tienden van

Figuur 2: Het geschatte eindpunt voor de 100m mannen als functie van k. De rode lijn geeft de uiteindelijke schatting van het eindpunt weer


eensecondelager.Hetultiemewereldrecordvoorde marathon is slechts 4 seconden verwijderdvanhethuidigewereldrecord.Deondergrenslaatechter zien dat er nog een verbetering van 1:06minutenmogelijkis.

De kwaliteit van het huidige wereldrecord

De gebruikte kwaliteitsmaat is gebaseerd op hetverwachteaantalatletendathethuidigewereld-record kan verbeteren. Voor het schatten van ditverwachte aantal gebruiken we de methode uitEinmahlenMagnus(2008),dieuniformverdeeldewaardentussen0en1geeft.Hoedichterbij1,hoebeter het huidige wereldrecord. Tabel 4 geeft dekwaliteitvandehuidigewereldrecordsvoorelkediscipline:

Watmeteenopvalt,isdehogekwaliteitvanallevier de wereldrecords. Het huidige wereldrecordop de marathon mannen van Haile Gebrselassie

heeft echter de hoogst mogelijke kwaliteit. Eenverbetering van dit wereldrecord is daarom ergmoeilijk;zekermoeilijkerdaneenverbeteringvandewereldrecordsinandereatletiekdisciplines.Deverbeteringvanhetwereldrecordopde100mvanUsainBoltblijkthet‘minstmoeilijk’tezijn!

LiteratuurJ. Beirlant, Y. Goegebeur, J. Segers, J. Teugels (2004), Statistics of Extremes: Theory and Applications, Wiley, Chicester.J. Einmahl, J. Magnus (2008), ‘Records in Athletics through Extreme-Value Theory’, Journal of the American Statistical Association, Vol. 103, 1382-1391.L. de Haan, A. Ferreira (2006), Extreme Value Theory: An Introduction, Springer, New York.

John Einmahl is hoogleraar statistiek aan de Universiteit van Tilburg, Dept. Econometrie & OR en CentER. E-mail: [email protected] Smeets is werkzaam als junior actuaris bij AZL te Heerlen.E-mail: <[email protected]>.

DISCIPLINE HUIDIGE WR ULTIEME WR ONDERGRENS ULTIEME WR

100m mannen 9,69 9,51 9,21

100m vrouwen 10,49 10,33 9,88

marathon mannen 2:03:59 2:03:55 2:02:53

Tabel 3: De huidige en ultieme wereldrecords. De laatste kolom geeft de 95%-ondergrens voor het ultieme wereldrecord aan

DISCIPLINE HUIDIGE WR KWALITEIT HUIDIGE WR

100m mannen 9,69 0,73

100m vrouwen 10,49 0,98

marathon mannen 2:03:59 1,00

marathon vrouwen 2:15:25 0,74

Tabel 4: De kwaliteit van de huidige wereldrecords op een schaal van 0 tot 1


Drie muzikanten willen een stuk kiezen omsamen te spelen. Ze kunnen kiezen uit 22 moge-lijkheden en willen dat zo eerlijk mogelijk doen.Zebesluitentotdevolgendeprocedure:elkvandedriekiestonafhankelijkvandeanderen7stukkenuitmetdebedoelingeenstuktegaanspelendatinelkvandedriegekozenzeventallenvoorkomt.

Probleem:hetisnietzekerdatervoldoendeover-lap in de zeventallen zal zijn. Vraag: wat is dekans dat het lukt, dat wil zeggen wat is de kansdatdedriezeventallenminstenséénmuziekstukgemeenhebben,dathundoorsnedenietleegis?

Het ligt voor de hand om het probleem watalgemener te bekijken. Het blijft over een trio

Marguerite J.N. Brouwer & Fred W. Steutel

Een schijnbaar eenvoudige vraag over het kiezen van een muziekstuk voor een trio leidt tot een

kansrekening probleem met een aantal onverwachte kanten.

KANSREKENING IN DE MUZIEK


gaan, maar het aantal muziekstukken waaruitgekozenkanworden,wordtgegeneraliseerdtotnenhetaantalstukkendatelkvandemuzikantenkiestwordtaangegevenmetk.WatkunnenwetewetenkomenoverdetoevalsvariabeleS=S(k,n),het aantal stukken in de doorsnede van de driek-tallen?

Verwachting en variantie

Wezoudenliefstdekansverdelingwetenvanhetaantal stukken, zeg S, dat door alle drie musiciwordt gekozen, maar dat lijkt (te) lastig. Omdatverwachting nemen een lineaire operatie is: E(X+Y)=EX+EY,kunnenweESuitrekenen:

S(k,n)=X(1)+X(2)+…+X(n),

Waarbij X(j) de bijdrage is van het j-de muziek-stuk tot de de gemeenschappelijke doorsnede.Natuurlijk kan X(j) alleen maar nul of een zijn.DitbetekentdatEX(j)=P(X(j)=1).DekansdatX(1)een is, is gelijk aan de kans dat alle drie spelersnummer1kiezen.Dekansdateenspelernummer1 kiest is k/n, en omdat de spelers onafhankelijkvanelkaarkiezenisdekansdatzealledrienum-mer1kiezengelijkaan (k/n)3.Ditgetal is tevensde verwachting van het aantal (nul of een) keerdat1indedoorsnedevoorkomt.Ditgeldtvoorallen nummers, dus het verwachte aantal nummersindedoorsnedeisnkeerzogroot,datwilzeggengelijkaank3/n2,dus

ES(k,n)=k3/n2.(1)

Voor n = 22 en k = 7 levert dit ES(7,22) = 0,79. Ditbetekent dat P(S > 0), de kans op een niet-lege

doorsnede,kleinerisdan0,79.Opeensoortgelijkemanier kan de variantie van S worden uitgere-kend.Wevinden

VarS(k,n)=ES(k,n)-ES(k,n)(ES(k,n)–ES(k-1,n-1)).(2)

Wekomenhieraanheteindenogevenopterug.

De kans op een niet-lege doorsnede

We berekenen nu de kans dat de doorsnede nietleegis:P(S>0).Hetismakkelijkeromdecomple-mentaire kans uit te rekenen, dus P( S = 0) is dekansopgeengemeenschappelijkekeuze.

Wat moet hiervoor allemaal gebeuren? Welatendedriemuzikanten,zegI,IIenIII,naelkaark stukken kiezen. Voor muzikant I zijn er geenbeperkingen;hijmagkiezenwathijwil.Detwee-de mag ook kiezen wat hij wil, maar het is ver-standig om zijn keuzes uit te splitsen naar hetaantal nummersdathij met I gemeen heeft, zegm,waarbijmdewaarden0,1,…,kkanaannemen.SpelerIIImaggeennummeruitdedoorsnedevandekeuzenvanIenIIkiezen.Zoalsbekendwordthetaantalmogelijkhedenomb‘dingen’tekiezenuit a dingen gegeven door de binomiaalcoëffi-ciënt

µ

ab¶

=a!/(b!(a-b)!).

Het totaal aantal mogelijkheden dat een spelerheeftomkstukkentekiezenuitdebeschikbarenisdus

µ

nk¶

.Dekansdateenspelereenspecifiekekeuzemaaktisgelijkaanhetaantalmogelijkhe-denvoordezespecifiekekeuzegedeelddoor

µ

nk¶

.OmdatspelerIallesmagkiezen,isdekansdathijkstukkenkiest–onverschilligwelke–gelijkaan1.SpelerIImagm(gelijkaan0,1,…,k)stukkenkie-

The

Gry

phon

Trio

. Fot

o: K

azuk

i Ish

ikur

a


zenvandekdieIalheeftgekozenenk-muitdeoverigen-k;datgeeft

µ

k

m¶ µ nk

- -

km¶

mogelijkheden.TenslottemagspelerIIIgeenvandezemstukkenkiezen; hij kiest dus alle k stukken uit n-m. Ditleidt tot

µ

n - k

m ¶

mogelijkheden. Voor vaste mgeeftditsamen

µ

k

m

¶ µ nk

- -

km

¶µ n -

k m

¶

mogelijkheden.Omallemogelijkhedentekrijgenmoeten we deze uitdrukking sommeren over dewaarden 0, 1, 2, , …, k voor m. Om de kans uit terekenenmoetenwedezesomnogdelendoorhettotaal aantal mogelijkheden voor spelers I en II.Hetantwoordwordtdus

Voorn=22enk=7levertditP(S(7,22)>0)=0,55

De drie muzikanten hadden dus meer dan 50%kans om minstens 1 muziekstuk gelijk te kiezen.Methungevoelsmatiggekozenaantalvan7uitde22warenzeopdegoedeweg.Overigensbleekookdatze1stukgemeenschappelijkhaddengekozen.Datstaatnuophetrepertoire!

Deeersteauteurvondexactdezelfdeoplossingals hierboven door op een heuristische manier,beginnend met simpele gevallen, een formule afteleidenvoordekansopeenlegedoorsnedebijkeuzevankuitn.Hierbijkwameneensoortrupspatronen in de driehoek van Pascal naar vorenwaaruit de oplossing ook voor willekeurige k ennzondermeeraf te lezenbleek!Voordeverderebespreking hiervan is in dit artikel helaas geenplaats.

Indetabelhieronderzijnvooreenaantalwaar-denvankenndegroothedenES(k,n),VarS(k,n)enP(k,n):=P(S(k,n)>0)aangegeven.Hetisnietmoei-lijkominteziendatP(k,n)=1alsk>2n/3.

P(10,3) = 0,257 P(10,5) = 0,823 P(10,7) = 1

P(15,5) = 0,470 P(15,7) = 0,870 P(15,10) = 1,000

P(20,5) = 0,286 P(20,7) = 0,632 P(20,10) = 0,972

P(22,7) = 0,552 P(22,9) = o,857; P(22,11) = 0,920

P(30,5) = 0,134 P(30,10) = 0,323 P(30,15) = 0,996

P(50,5) = 0,049 P(50, 15) = 0.781 P(50,20) = 0,981

Benaderingen

Hiervoor hebben we ES(k,n) en Var S(k,n) uitge-rekend. De waarden van deze grootheden zullenweinig verschillen voor waarden van (n,k) diedichtbijelkaarliggen.Volgensdeformules(1)en(2) zijn dan ES(k,n) en Var S(k,n) bijna gelijk. DitsuggereertdatS(k,n)bijbenaderingeenPoisson-verdelingheeftmetparameterμgegegevendoorμ=k3/n2.Voorn=22enk=7vindenwedanμ=0,71,zodatP(S(7,22)>0)¼1-exp(-0,71)=0,51,nietzoveelverschillendvande0,55dieweinsectie3hebbengevonden.Hetvoordeelvandezebenade-ringisdatweookdekansenopbijvoorbeeld3of4tespelenstukkenkunnenbenaderen.

Dank We danken Cor Schuurmans, meteoroloog en amateur muzikant, voor zijn immer inspirerende opmerkingen.

Marguerite J.N. Brouwer is fysisch geograaf, oud-werknemer van Shell en amateur muzikant. E-mail: <[email protected]>Fred Steutel is emeritus hoogleraar kansrekening aan de TU Eindhoven. E-mail: <[email protected]>.

P(S(k,n)=0)=1/

µnk¶

2k§

m=oµ

k

m

¶ µ nk

- -

km

¶µ n -

k m

¶


Toen ik in 1994 aan de opleiding Psychologie inUtrecht begon, verwachtte ik dat in deze studiehetindividucentraalzoustaan.Ikwasdanook–enigszins onaangenaam – verrast toen ik merktedat wetenschappelijk psychologisch onderzoekvrijweluitsluitendgebaseerdisoprepresentatievesteekproevendiewordengebruiktomtekunnengeneraliserennaardepopulatie.Ditroeptdevraagop hoe deze eenzijdige nadruk op de populatiein psychologisch onderzoek is ontstaan, wat debeperkingenervanzijn,enofereenalternatiefis.

Een korte geschiedenis

Vier grondleggers van de statistische methodesdie vandaag de dag gebruikt worden in psy-chologisch onderzoek zijn Francis Galton, KarlPearson, Charles Spearman en Ronald AylmerFisher. Alle vier waren zij geïnteresseerd in demogelijkheidomdeideeënvanDarwinovererfe-lijkheid en natuurlijke selectie toe te passen opde verdeling van menselijke eigenschappen indepopulatie(Cowles1989;Desrosières1998).Omdit te onderzoeken richtte Galton in 1884 zijnantropometrischelaboratoriumop,waarhijmen-tale en fysieke kenmerken mat van meer dan

9000personen.Galtonwaszelfnietinstaatdezegegevensopmathematischewijzesamentevat-ten, maar hij spoorde Pearson aan om hier eenmaat voor te ontwikkelen, wat resulteerde in debekendeproductmomentcorrelatiecoefficiënt.

Om intelligentie – wat destijds werd gezienals gelijk aan evolutionaire ‘fitness’ – te meten,gebruikte Galton verschillende fysiologischematen, zoals reactietijd en sensorische activatie.Dergelijkematenblekenechterweinigsamenhangte vertonen met elkaar of met andere variabe-len die golden als externe maten voor intelligen-tie, zoals opleiding en beroep. Spearman weet ditgebrek aan samenhang aan meetfouten en ont-wikkelde een primitieve vorm van factoranalyseomhetgemeenschappelijkeindezematen,wathijalgemeneintelligentieof‘g’noemde,tebepalen.

HetwerkvanGaltonenPearsonwasgebaseerdop zeer grote steekproeven en zij bekommerdenzichnietovermogelijkediscrepantiestussenpopu-latie- en steekproefparameters. Fisher realiseer-de zich echter dat dergelijke grote steekproevenonpraktisch waren en ontwikkelde daarom tech-niekenomdeschattingvaneenparametertekun-nenvergelijkenmeteentheoretischeparameter.

Detechniekendiezodoendewerdenontwikkeld,blekenbijzondernuttigvoordemaatschappij.Door

Wetenschappelijk psychologisch onderzoek is voornamelijk gebaseerd op het onderzoeken van re-

presentatieve steekproeven zodat de resultaten gegeneraliseerd kunnen worden naar de populatie

waaruit de steekproef afkomstig is. Hoewel dit een zinvolle aanpak is wanneer we populaties willen

beschrijven, is het niet per se informatief als we geïnteresseerd zijn in psychologische processen die

zich afspelen binnen het individu. Om dat laatste te onderzoeken kan gebruik worden gemaakt van

tijdreeksanalyse, een klasse van technieken die vooral veel in de econometrie wordt gebruikt.

Ellen Hamaker

HET INDIVIDU IN PSYCHOLOGISCH ONDERZOEK


de industrialisatie waren veel specifieke beroepenontstaanenhierdoorgroeidedenoodzaakommen-senopgrondvanhunintelligentieencapaciteitente selecteren. De succesvolle toepassing van intel-ligentietests in het onderwijssysteem en het legerovertuigdehetgrotepubliekaanhetbeginvande20steeeuwvanhetbelangvandezevormvanpsy-chologie.Uiteindelijkwerdendeanalysetechniekendiewarenontwikkeldinhetkadervanintelligentie-en erfelijkheidsonderzoek ook gebruikt om anderepsychologischefenomenenteonderzoeken.

Beperking van populatietechnieken

Een belangrijk deel van de psychologie houdt zichbezig met de verdeling van eigenschappen zoalsintelligentieofextraversieindepopulatie,hoeder-gelijkeeigenschappensamenhangenindepopula-tie,enhoeditkanverschillentussenpopulaties.Voordezevraagstukkenzijndetechniekendieoorspron-kelijk waren ontwikkeld vanuit een interesse naarerfelijkheiduitermategeschikt.Erisechterookeenbelangrijk deel van de psychologie dat zich bezig-houdt met processen, zoals informatieverwerking,emotieregulatie, of dyadische interacties, zoals tus-senmoederenkindoftussenechtgenoten.Dergelijkepsychologischeprocessenvindenplaatsbinnen(of,in het geval van een dyade, tussen) individuen, enhetisnietvanzelfsprekenddatdezefenomenenookhetbestonderzochtkunnenwordenmettechniekendiezijnontwikkeldomdeverdelingvanvariabelenineenpopulatieteonderzoeken.

Sommige psychologische onderzoekers zijn vanmening dat verschillen tussen individuen gebruiktkunnen worden om inzicht te krijgen in processenbinnenindividuen.DitwordtheelexplicietverwoorddoorMcCraeenJohn,tweebelangrijkepersoonlijk-heidsonderzoekers: ‘Personality processes, by defini-tion, involve some change in the thoughts, feelings, and actions of an individual; all these intra-individual changes seem to be mirrored by interindividual diffe-rences in characteristic ways of thinking, feeling, and

acting’(McCrae&John1992,p.199)Hetisechtereenvoudigomtelatenziendathet

verband dat binnen een persoon bestaat (intra-individueel) geen enkele relatie hoeft te hebbenmetwatmenoppopulatieniveau (interindividu-eel)vindt.Latenwehiervoorkijkennaarderelatietussen sociaalheid (sociability) en verlegenheid,twee indicatoren van extraversie. Op populatie-niveaubestaateennegatievesamenhangtussendezetweevariabelen:mensendiehoogscorenopverlegenheid, scoren over het algemeen laag opsociaalheid en vice versa. Dit is links in figuur 1weergegeven. Maar wat zegt dit over de manierwaarop die twee variabelen samenhangen bin-nen een persoon over de tijd en in verschillendesituaties? Betekent de negatieve samenhang oppopulatieniveaudatalseenbepaaldpersoonzichineenbepaaldesituatieminderverlegenvoelthijzichzelfookalssocialerervaartenomgekeerd?

Wanneerwekijkennaarderelatietussensoci-aalheid en verlegenheid binnen personen zoalsin figuur 1 weergegeven, worden drie zaken dui-delijk. Ten eerste is de variatie binnen personenmindergrootdandevariatietussenpersonen.Tentweede blijkt dat de relatie tussen de variabelenbinnen personen niet gelijk hoeft te zijn aan derelatie tussen de variabelen op populatieniveau.Tenderdeblijktdatderelatietussendevariabelenbinnenpersonenookweerkanverschillentussenpersonen.VoorpersoonAbestaatdezelfdenega-tieve relatie tussen verlegenheid en sociaalheidalsoppopulatieniveau;voorpersoonBhangendetweevariabelennietsamen;envoorpersoonCiser een positief verband, misschien omdat als hijeensterkerebehoeftevoeltomsociaaltezijn,zijngevoelensvanverlegenheidooktoenemen.

Bovenstaand voorbeeld maakt duidelijk dater geen één op één relatie is tussen dat wat oppopulatieniveaugevondenwordt,endatwatzichbinnen personen afspeelt. Om een beter inzichtte krijgen in hoe processen zich binnen indivi-duenontvouwenoverdetijd,moetenwegebruikmaken van andere analysetechnieken dan de


standaardmethodes die binnen de psychologieonderwezenengebruiktworden.

Tijdreeksanalyse als alternatief

Tijdreeksanalyseiseentechniekdieveelindeeco-nomie wordt gebruikt, bijvoorbeeld om dagkoer-sen,werkeloosheidscijfersofomzettemodellerenentevoorspellen.Menspreektvaneentijdreeksals er een groot aantal (bijvoorbeeld 50 of meer)herhaaldemetingenvanhetzelfdegevalzijn.Hetkandaarbijgaanomeenpopulatiewaarvanmenherhaaldelijkhetpercentagewerkelozenbepaalt,het kan de dollar zijn waarvan men dagelijksbepaaltwatdestandtenopzichtevandeeurois,maarhetkanookeenpersoonzijnwaarvanher-haaldelijkwordtgemetenhoesnelhijreageertopeenstimulusopeencomputerscherm,ofwaarvanmendagelijksdestemmingbepaalt.

Eenvandetoepassingenvantijdreeksanalyseinpsychologischonderzoekisomnategaanofdedimensies(offactoren)dieonderliggendzijnaandeverschillentussenpersonenookopindividueelniveau terug te vinden zijn. Een andere toepas-sing bestaat uit het onderzoeken hoe twee (ofmeer)variabelenelkaarbeïnvloeden.Denkhierbijaan het modelleren van dyadische interacties inobservatiestudies,waarbijonderzochtwordtofenhoepartnerselkaarbeïnvloeden,maarookaandemogelijkheid om aanwijzingen voor een causalerelatietussentweevariabelen,bijvoorbeeldangst

endepressie,tevinden:volgenveranderingeninangst op veranderingen in depressie, of omge-keerd?Tevenskantijdreeksanalysegebruiktwor-denomteonderzoekenofeenbepaaldebehande-lingeffectheeftgehadopeenspecifiekindividu,waarbijmenrekeninghoudtmetdevariabiliteitdieerbinnenditindividuoverdetijdbestaat.

Mijn huidige onderzoek is vooral gericht op(het gebruik van) regime-switching modellen.Dergelijke modellen bieden de mogelijkheid omteonderzoekenofeenpersoonswitchttussenver-schillende psychologische toestanden. Een voor-beeld hiervan is de stemmingswisselingen vanmanisch-depressievepatiënten,dieswitchentus-seneentoestandvanmanieeneentoestandvandepressie.Recenthebikmetcollega’sverschillen-deregime-switchingmodellenvergelekenomdestemmingsfluctuaties van een manisch-depres-sieve patiënt te beschrijven (Hamaker, Grasman,en Kampuis, in druk). Dergelijk onderzoek kanhelpenommeerinzichttekrijgeninhetdisfunc-tionerenvandeonderliggendemechanismesdievanbelangzijnvooremotieregulatie.

Combineren van tijdreeksanalyse en populatietechnieken

Watvaakalsnadeelwordtgezienvanhetgebruikvantijdreeksanalyseinpsychologischonderzoek,is dat er voor ieder individu wat anders uit kankomen.Degeuitekritiekhierbijisdatdituiteinde-lijkzalresulterenineenafzonderlijkepsychologie

Figuur 1. Relatie tussen sociaalheid en verlegenheid tussen personen (links), en voor drie personen op intra-individueel niveau (herhaalde metingen). De gemiddeldes van de drie personen over de tijd zijn aangegeven met A, B en C

sociaalheid sociaalheid

verle

genh

eid

verle

genh

eid

verle

genh

eid

verle

genh

eid

INTERINDIVIDUEEL PERSOON A PERSOON B PERSOON C

sociaalheidsociaalheid


vooriederindividu,zodatervanwetenschapwei-nigmeerterechtkomt.Hoeweleendergelijkeont-wikkelingnatuurlijknietwenselijkis,moetmenzichookrealiserendatalsdieverschillenbestaan,het probleem niet is opgelost door gebruik temaken van technieken die dergelijke verschillenuitsluiten.Alsmengeïnteresseerdisinpsycholo-gischeprocessenishetvanbelangomtechniekentegebruikendieenerzijdsrechtdoenaanhetindi-vidu, en anderzijds ook de mogelijkheid biedenominformatievaneengrootaantalindividuenopkwantitatievewijzesamentevatten.

Voor een deel wordt hieraan tegemoet geko-men door bestaande multilevel (of random coëf-ficiënt) modellen voor longitudinale data. Veelvan deze modellen zijn echter ontwikkeld vooreen klein aantal herhaalde metingen en geveneen weinig gedetailleerd beeld van de processendiezichbinnenindividuenafspelen.Eenbelang-rijke uitdaging waar psychometrici en statisticidaarom nu voor staan, is het ontwikkelen vanmeergeavanceerdemultilevelmodellen.Eengoeduitgangspunt hiervoor zijn de tijdreeksmodellendie hun nut al hebben bewezen als het gaat omhetbeschrijvenvanpsychologischeprocessenopindividueelniveau.

LiteratuurCowles, M. (1989). Statistics in psychology: An historical perspective. Hillesdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Desrosières, A. (1998). The politics of large numbers. Cambridge: Harvard University Press. Hamaker, E.L., Grasman, R.P.P.P., & Kamphuis, J.-H. (in druk). Regime-switching models to study psychological processes. In P.C.M. Molenaar & K. Newell (Eds). Learning and development: Individual pathways of chan-ge. American Psychological Association.McCrae, R.R., & John, O.P. (1992). An introduction to the Five-Factor model and its applications. Journal of Personality, 60, 175-215.

Ellen Hamaker is universitair docent en onderzoeker aan de Universiteit Utrecht, departement Methoden en Tech-nieken, Faculteit Sociale Wetenschappen. Zij ontving in 2005 een VENI subsidie van NWO voor het project ‘Time series models to study nonstationary psychological processes’.E-mail: <[email protected]>.

Een recent artikel van E. van Nierop in Statistica Neerlandica(63(1))heeftalstitel‘Why do statistics journals have low impact factors?’ Een beetje eentreurigstemmendekwestie.Devraagiseigenlijk:‘Waarom worden statistiektijdschriften mindergeciteerd dan andere?’ Er is een soort conclusie,dieeropneer lijkt tekomendatstatistiekartike-len meer tijd nodig hebben om door te dringen.Ergovertuigendklinkthetallemaalniet.Isernietmeer–ofeigenlijk,minder–aandehand?Deacht

WHAT’S HAPPENING IN STATISTICS ?De auteur is op zoek naar recente hoogte-

punten in de statistiek, en ook – terloops

– naar hoogtepunten in de kansrekening en

Operations Research. Waar zijn de onver-

wachte statistische schoonheden, waar de

nooit geziene bloeiwijzen; kortom, waar staan

de mooiste (verse) statistische bloemen?

Antwoord: Ik weet het niet! Een zoektocht:

‘Sag mir wo die Blumen sind!’

Fred Steutel

c o l u m n


artikelen in de genoemde Statistica Neerlandica gevensamen127referenties.Veel,vindik.Ikhoudvanartikelenmetnuloféénreferentie;diebren-genwatnieuws.Jemoetookbijvoorkeurnietaandelijstvanreferentieskunnenzienwiedeauteuris.Inditnummerstaan15zelfverwijzingenenvierverwijzingennaarStatistica Neerlandica,voorna-melijkdoorNederlanders.

Ik denk dat de verklaring voor de geringeimpact van de statistiek te vinden is op de ach-terkant van het Statistica-nummer in kwestiezelf. De volgende onderwerpen komen aan deorde:density estimation;2x2tables;second-order analysis;control charts;sampling inspection, non-parametric setting. Op zichzelf is daar misschienniksmismee,maartoenikvijftigjaargeledenophet Mathematisch Centrum (CWI) werkte, ginghet daar ook al over. Met dit grote verschil: toenwarenallerleivandiedingennieuw.Metnamedeparametervrijestatistiekwasnieuw,erwashaastelkedagweereennieuwemethodeenerwerdenparametervrije toetsen naar Nederlandse statis-tici genoemd: Hemelrijk, Van der Waerden, Vander Vaart en Terpstra. De begrippen maximum likelihoodensufficient statisticwarennieuweninzekeremateopwindend.Watisernunogopwin-dendindestatistiek?

Inmijnboekenkaststaaneenpaardeeltjesvande American Mathematical Society met de titel‘What’shappeningintheMathematicalSciences?’Daarstaatvanallesinoveropwindendeontwik-kelingen in de wiskunde. Een paar voorbeelden:getaltheorie (laatste stelling van Fermat doorAndrew Wiles, nieuws over priemgetalparen),topologie(bewijsvanhetvermoedenvanPoincarédoor de wereldvreemde Rus Grigori Perelman),meetkunde(Penrosetilingsenvijfzijdigesymme-trie),Fractalsenallerhandeanderenieuwighedenindestromingsleer,maarnietsoverstatistiek.Waternoghetdichtstebijkomt,isdeontwikkelingvan‘randomalgoritmen’indegetaltheorie,langgele-den in gang gezet door de beroemde Hongaarse

wiskundigePálErdős.Weliswaarkreegdestatis-ticus S.R. Srinivasa Varadhan onlangs (2007) deAbelprijs(Nobelprijsvoordewiskunde)voorzijnjarenlange wiskundige werk op het terrein vanLarge Deviations,maardatwastocheigenlijkoudnieuws.Devraagdievoordehandligtis‘What’shappening in Statistics?’ Wie het weet, mag hetzeggen.Ofzoudestatistiek‘klaar’zijn,zoalshon-derdjaargeledenvolgenssommigendewiskundeklaarwas,enzoalsnueenenkelingdenktdatdenatuurkundeklaaris.

Ik moet hier bij aantekenen dat ik het ant-woord in ieder geval niet zelf kan geven: ik benkansrekenaar,eeneenvoudigwiskundige,gespe-cialiseerdindekansrekening.Ikprotesteeraltijdalsiemandmijstatisticusnoemt–ikvindstatis-tiekveeltemoeilijk.

Ik moet toegeven dat ik ook in de kansreke-ning weinig opzienbarend nieuws kan melden.De opleving van oneindige deelbaarheid, waar-aanikhebbijgedragen,isuitgewoed,endekwan-tumkansrekening is (nog) niet echt uit de verfgekomen. Dus, what’s happening in probability?De‘bloemen’ zullen mogelijk (blijven) bloeien inhetgrensgebiedvankansrekeningenfysica.

Hoe is het dan met de Operations Research?De wachttijdtheorie gaat door, nu vooral voornetwerken, en geholpen door de toegenomenrekenkracht;maarechtehappenings?Nee.Lineairprogrammeren is altijd nog populair evenals detravelling salesman,maarbeidenzijnaljarenoud.Danisernogdecryptografie.AlshetalORis,danishettochvooreengrootdeelgetaltheorie:steedsgroterepriemgetallen.Ishetechtallemaalniks,ofbenikoverdrevenpessimistisch?

Devoordehandliggendevraagis:‘What’shap-peningin(hetvak)STAtOR?’

Fred Steutel is emeritus hoogleraar Kansrekening aan de TU Eindhoven. E-mail: <[email protected]>.


Roel van Strik, emeritus-hoogleraar BiostatistiekaanhetErasmusMedischCentrumteRotterdam,overleedop7april2009.Zijnoverlijden,op82-jari-geleeftijd,kwamnietonverwacht.AlgeruimetijdleedhijaaneenernstigevormvanAlzheimer.

Als zoon van een boer werd van hem verwachtdathijooitzijnvaderopzouvolgeninhetbedrijf.Na de middelbare school besloot Roel echter datdestatistiekmeerzijn interessehad.Nademili-taire dienst ging hij werken bij het NatLab vanPhilipsinEindhovenwaarhijzichverdiepteindestatistiekonderleidingvanwijlenprofessorH.C.Hamaker. Later vertrok hij naar Philips Duphar,eenphamaceutischbedrijfdatnuonderdeelisvanSolvayPharmaceuticals,omdebiometrischeafde-ling te gaan leiden. Hij ontwikkelde zich tot eenleidende en gerespecteerde statisticus, hetgeenals een grote prestatie gezien mag worden vooreenautodidactzonderacademischeopleiding.

Na het samengaan van de toenmalige in 1966opgerichte Medische Faculteit Rotterdam ende Nederlandse Economische Hogeschool in deErasmusUniversiteitRotterdamin1973werdRoelvanStrikgevraagdomeenafdelingBiostatistiekoptezettenbijdeMedischeFaculteit(nuErasmusMC). Hij werd lector in de biostatistiek, en enigejaren later werd hij tot hoogleraar benoemd.Samen met wijlen professor Henk de Jonge vande Leidse Universiteit en professor Chris Rümke

vandeVrijeUniversiteitteAmsterdamwasRoelvan Strik een van de grondleggers van de medi-sche statistiek in Nederland. Zijn bijdrage aandeontwikkelingenverbreidinghetvakgebied isvan groot belang geweest. De hulpmiddelen diedestatisticusindievroegejarenterbeschikkingstondenwarenzeerbeperkt.Voorhetrekenwerkwasmenindie70-erjarenaangewezenopmain-frame computers en ponskaarten, PC’s kwamenpas in de tachtiger jaren, en programmatuurmoest men veelal zelf ontwikkelen. Onder zijnleidingwerdeninRotterdambijvoorbeeldFortranprogramma’s ontwikkeld om nieuwe methodenzoalslogistischeregressieenCox-regressietekun-nenuitvoeren.Dezeprogramma’swerdenbinnenNederlandopruimeschaalgebruikt.

Roel was zeer actief binnen de VVS en deInternational Biometric Society (IBS). Hij wasvoorzitter van de Medisch Biologische Sectie(MBS)vandeVVSenvanANed(deNederlandseafdeling van de IBS). Een speciale plaats in zijnhart had hij voor de ISCB (International Societyfor Clinical Biostatistics). Hij was een van deoprichters in 1979 en organiseerde 3de bijeen-komst van de vereniging welke plaats vond inRotterdam. Gedurende de jaren 1983-1984 washij president van de ISCB. Door de jaren heenbleef hij de ISCB dienen in diverse hoedanighe-den. Vele jaren was hij lid van het College terBeoordelingvanGeneesmiddelen.

In Memoriam Roel van Strik


Op professioneel gebied hield Roel het meestvan zijn consultataties aan onderzoekers envanzijnonderwijsactiviteiten.Zijncollegesaande medische studenten werden door deze zeergewaardeerd. Hij maakte daarbij gebruik vaneen grote verzameling van statistische attri-buten, zoals valse dobbelstenen en een Galtonbord, en in zijn uitgebreide serie collegedia’s(Powerpoint e.d. hebben Roel nooit kunnenbekoren) was een groot aantal statistischegrappen opgenomen. De syllabus MedischeStatistiek die Roel samen met Henk de JongeenChrisRümkehadgeschrevenwasvermaard.ToenRoeleindtachtigerjarenbeslootomdesyl-labustevervangendooreenmodernboekoverdebiostatistiekwerdhierovergeklaagddoordestudenten.Zijprefereerdendeoudesyllabusdienogsteedscirculeerde.

Na een opmerkelijke en lange carrière in de bio-statistiekgingRoelin1966metemeritaat,op70-jarige leeftijd. Wetenschappelijke bijeenkomstenbleef hij volgen. De laatste ISCB-bijeenkomst diehijbijwoondevoorzijnziektewasde24e,in2002teDijon.HijwasertrotsopnooiteenenkeleISCBbijeenkomstgemisttehebben.

Wij zullen hem niet alleen als een bevlogenbiostatisticus herinneren, maar ook als een sti-mulerende,vriendelijkeenvrolijkeman,meteengoed gevoel voor humor en als heel aangenaamgezelschap.Onzecondoleancesgaanuitnaarzijnechtgenote,kinderenenkleinkinderen.Wijwen-senheneniedereendiezichmetRoelverbondenvoeltveelsterkte.

TheoStijnenWimHop

Modelleren met AIMMS

AIMMS is een handelsmerk van

Paragon Decision Technology B.V.

Schipholweg 1, 2034 LS Haarlem

Tel. 023 5511512, [email protected]

www.aimms.com

AIMMS is een compleet modelleersysteem dat mensen helpt Operations Research (OR) succesvol in te zetten. Velerlei modellen (LP, MIP, NLP, MINLP, etc) zijn eenvoudig en snel in AIMMS te bouwen en op te lossen met standaard solvers of geavanceerde technieken zoals kolomgeneratie, stochastische programmering, Benders decompositie en Outer Approximation. OR onderwijs met AIMMSDe grafische modelleeromgeving en de geïntegreerde visualisatie-mogelijkheden maken AIMMS tot een ideaal softwarepakket om te gebruiken in het onderwijs. Een compleet academisch licentiepakket kost 450 Euro. Ondersteunend materiaal is gratis beschikbaar op onze website, zoals:• Leerboek “Optimization Modeling” met OR toepassingen van oplopende moeilijkheidsgraad• Uitgewerkte applicatie-voorbeelden in AIMMS• Introductie-cursussen voor zelfstudie (Tutorials)

Commerciële toepassingenBedrijven in uiteenlopende sectoren gebruiken AIMMS-applicaties om hun bedrijfsvoering te optimaliseren, bijvoorbeeld in productieplanning, supply chain management, netwerkontwerp, procesoptimalisatie, risicobeheersing en portfoliobeheer. Referenties zijn te vinden op onze website.

Ervaar zelf het gemak van AIMMS! Download een gratis 30-dagen proeflicentie: www.aimms.com/try.

Bij ORTEC zit je goed!

ORTEC LogisticsGroningenweg 6k2803 PV GoudaTel.: 0182-540 [email protected]

ORTEC FinanceMax Euwelaan 783062 MA RotterdamTel.: 010-498 66 66hr@ortec-fi nance.com

www.werkenbijortec.com

Bij ORTEC wordt wereldwijd gewerkt aan

complexe optimalisatievraagstukken in

diverse logistieke en fi nanciële sectoren.

Onze medewerkers helpen klanten

gefundeerde beslissingen te nemen met

gebruik van wiskundige modellen en het

toepassen van simulatie- en optimalisatie-

technieken.

ORTEC is een professionele, jonge organisatie

met volop doorgroeimogelijkheden. Tijdens

of na je studie kun je bij ons aan de slag. Je

wordt direct op projecten ingezet en krijgt veel

eigen verantwoordelijkheid. Wij bieden een

werkomgeving met voldoende ruimte om je

talenten te ontwikkelen binnen jouw interesse-

gebied, zowel nationaal als internationaal.

Spreekt dit je aan en volg je een studie

Econometrie, Operationele Research,

Informatica of Wiskunde of heb je deze

voltooid en heb je affi niteit met statistische

modellen en de logistieke of fi nanciële wereld,

dan zit je bij ORTEC goed!

Vertel ons hoe jij je talent wilt inzetten voor de

verbetering van onze producten en diensten

en de verdere internationale groei van ORTEC.

Op onze website www.werkenbijortec.com

vind je meer informatie over werken bij ORTEC

en een actueel overzicht van vacatures en

stage- of afstudeermogelijkheden. Zit jouw

ideale functie of onderwerp er niet bij, stuur

dan een open sollicitatie.

Documents

STAtOR - VVSOR