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Lecture No. : 2 ال رة ض حا م ل ا ة ي ن ا ث

Stiffness 2

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Page 1: Stiffness 2

Lecture No. : 2 ال ثانيةالمحاضرة

Page 2: Stiffness 2

Stiffness methodprincipals

Page 3: Stiffness 2

10 KNA B

Example 1:

Calculate the horizontal displacement of point B due to the shown force

F = k

Page 4: Stiffness 2

Stiffness

Stiffness Calculation methods :

First Method

F=1A B

F = k 1 = k

k = 1

Page 5: Stiffness 2

Stiffness

Stiffness Calculation methods :

Second Method

FA B

F = k F = k x 1

k = F

Page 6: Stiffness 2

10 KNA B

F = k

return to original example

k was calculated

Page 7: Stiffness 2

Example 2:

Calculate the horizontal displacement of points (1, 2) due to the shown forces, where k1 and k2 are known

F2

F11 2

k1k2

Page 8: Stiffness 2

F2

F11 2

k1k2

d1 d2

Page 9: Stiffness 2

F2

F11 2

k1k2

d1 d2

First Step

d1 =1 d2 =0

Page 10: Stiffness 2

1 2

d1=1

d1 =1 d2 =0

Page 11: Stiffness 2

1 2

d1=1

k1k2

k1k1

k2k2

Page 12: Stiffness 2

1 2k1k2

k1k1

k2k2

k1+k2

d1=1

k2

Page 13: Stiffness 2

F2

F11 2

k1k2

d1 d2

Second Step

d1 =0 d2 =1

Page 14: Stiffness 2

1 2

d2=1

d1 =0 d2 =1

Page 15: Stiffness 2

k1 k2

k2k2

1 2

d2=1

Page 16: Stiffness 2

k2 k2

k1 k21 2 d2=1

k2k2

Page 17: Stiffness 2

Summary1 2k1

k2

k1+k2

d1=1

k2

k2 k2

k1 k21 2 d2=1

Page 18: Stiffness 2

1 2k1k2

k1+k2

d1=1

k2

1 2k1k2

2(k1+k2)

d1=2

2 k2

Page 19: Stiffness 2

1 2k1k2

k1+k2

d1=1

k2

1 2k1k2

d1(k1+k2)

d1

d1 k2

Page 20: Stiffness 2

k2 k2

k1 k21 2 d2=1

2 k2 2 k2

k1 k21 2 d2=2

Page 21: Stiffness 2

k2 k2

k1 k21 2 d2=1

d2 k2

k1 k21 2 d2

d2 k2

Page 22: Stiffness 2

Summary1 2k1

k2

d1(k1+k2)

d1

d1k2

d2k2 d2k2

k1 k21 2 d2

Page 23: Stiffness 2

1 2k1k2

d1(k1+k2)

d1

d1k2

d2k2 d2k2

d2

k1k2

d1(k1+k2) - d2k2

d1

d2k2 - d1k2

d2

Page 24: Stiffness 2

k1k2

d1(k1+k2) - d2k2

d1

d2k2 - d1k2

d2

F1 = d1(k1+k2) - d2k2

F2 = d2k2 - d1k2

Page 25: Stiffness 2

k1k2

d1(k1+k2) - d2k2

d1

d2k2 - d1k2

d2

F1 = d1(k1+k2) - d2k2F2 = d2k2 - d1k2

k1+k2F1

F2

=d1

d2

- k2

k2- k2

Page 26: Stiffness 2

k1+k2F1

F2

=d1

d2

- k2

k2- k2

F = K D

Page 27: Stiffness 2

F = K D

k1+k2F1

F2

=1

0

- k2

k2- k2

k1+k2F1

F2

=

d1

d2

- k2

k2- k2d1 =1 d2 =0

k1+k2F1

F2

=- k2

1 2k1k2

k1+k2

d1=1

k2

Page 28: Stiffness 2

F = K D

k1+k2F1

F2

=0

1

- k2

k2- k2

k1+k2F1

F2

=

d1

d2

- k2

k2- k2

d1 =0 d2 =1F1

F2

=- k2

k2

k2 k2

k1 k21 2 d2=1

Page 29: Stiffness 2

F = K Dk1+k2F1

F2

=

d1

d2

- k2

k2- k2

D = K-1 Fk1+k2 F1

F2

=

d1

d2

- k2

k2- k2

-1

Page 30: Stiffness 2

Example 3:Calculate the horizontal displacement of points (1, 2, 3) due to the shown forces, where k1, k2 and k3 are known

F11 2

k1k2

F3

3

k3

F2

Page 31: Stiffness 2

F11 2

k1k2

F3

3

k3

F2

Modeling

d1 d2d3

Page 32: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F = K D

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Page 33: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

First column in Stiffness matrix

d1 =1 d2 =0 d3 =0

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

1

0

0

k11

k21

k31

=

F1

F2

F3

Page 34: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

First column in Stiffness matrix

d1 =1 d2 =0 d3 =0

1 2

k1k2

3

k3

d1=1

k1k1k2 k2

k1+k2 - k2 0

Page 35: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

First column in Stiffness matrix

d1 =1 d2 =0 d3 =0

1 2 3d1=1

k1+k2 - k2 0

k11

k21

k31

=

F1

F2

F3

=

k1+k2

- k2

0

Page 36: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Second column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =1 d3 =0

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

0

1

0

k12

k22

k32

=

F1

F2

F3

Page 37: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

second column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =1 d3 =0

1 2

k1k2

3

k3

d2=1

k2k2k3 k3

k2+k3 - k3- k2

Page 38: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Second column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =1 d3 =0

1 2 3d2=1

k12

k22

k32

=

F1

F2

F3

= k2+k3

- k3

k2+k3 - k3- k2

- k2

Page 39: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Third column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =0 d3 =1

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

0

0

1

k13

k23

k33

=

F1

F2

F3

Page 40: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Third column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =0 d3 =1

1 2

k1k2

3

k3

d3=1

k3k3

- k30 k3

Page 41: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Third column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =0 d3 =1

1 2 3 d3=1

k13

k23

k33

=

F1

F2

F3

=

k3

0

- k30 k3

- k3

Page 42: Stiffness 2

Summaryk11

k21

k31

=

k1+k2

- k2

0

k12

k22

k32

= k2+k3

- k3

- k2k13

k23

k33

=

k3

0

- k3

K =

k1+k2

- k2

0

k2+k3

- k3

- k2

k3

0

- k3

Page 43: Stiffness 2

F1

F2 =

F = K D

F3

d1

d2

d3

k1+k2

- k2

0

k2+k3

- k3

- k2

k3

0

- k3

D = K-1 F

Page 44: Stiffness 2

Example 4:Calculate the horizontal displacement of points (1, 2, 3) due to the shown forces, where k1, k2 and k3 as shown, and check the results with the first principals

F1=200kN

1 2k1=200kN/cm

F3=150kN

3

F2=100kN

k2=100kN/cm k3=50kN/cm

Page 45: Stiffness 2

From the previous example

K =

k1+k2

- k2

0

k2+k3

- k3

- k2

k3

0

- k3 =

300

- 100

0

150

- 50

- 100

50

0

- 50

F1=200kN

1 2k1=200kN/cm

F3=150kN

3

F2=100kN

k2=100kN/cm k3=50kN/cm

Page 46: Stiffness 2

F1=200kN

1

F3=150kN

3

F2=100kN

F1

F2 =

F3

200

-100

150

2

Page 47: Stiffness 2

F = K D200

-100

150

=

300

- 100

0

150

- 50

- 100

50

0

- 50

d1

d2

d3

D = K-1 F

Page 48: Stiffness 2

D = K-1 F

200

-100

150

=

300

- 100

0

150

- 50

- 100

50

0

- 50

d1

d2

d3

-1

200

-100

150

=

300

- 100

0

150

- 50

- 100

50

0

- 50

d1

d2

d3

Page 49: Stiffness 2

300

- 100

0

150

- 50

- 100

50

0

- 50

-1

=

0.005

0.005

0.005

0.005

0.015

0.015

0.005

0.015

0.035

200

-100

150

=

d1

d2

d3

0.005

0.005

0.005

0.005

0.015

0.015

0.005

0.015

0.035

=

1.25

1.75

4.75

Page 50: Stiffness 2

=

d1

d2

d3

1.25

1.75

4.75

Page 51: Stiffness 2

From the first principals

F1=200kN

1 2k1=200kN/cm

F3=150kN

3

F2=100kN

k2=100kN/cm k3=50kN/cm

Draw the N.F.D

15050

250

Page 52: Stiffness 2

From the first principalsF1=200kN

1 2k1=200kN/cm

F3=150kN

3

F2=100kN

k2=100kN/cm k3=50kN/cm

15050

250

=F

k

=sp

250

200=

50

100=

150

50= 1.25 = 0.5 = 3.0sp

sp

sp

sp

sp

Page 53: Stiffness 2

From the first principalsF1=200kN

1 2

F3=150kN

3

F2=100kN

= 1.25

= 1.75

= 1.25 = 0.5 = 3.0sp sp sp

= sp

= sp + sp

= 4.75 = sp + sp+ sp

=

d1

d2

d3

1.25

1.75

4.75

Page 54: Stiffness 2

SummaryF1

1 2

k1k2

F3

3

k3

F2

k11F1

F2 = k21

F = K D

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

The Stiffness equation

Page 55: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

First column in Stiffness matrix

d1 =1 d2 =0 d3 =0

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

1

0

0

k11

k21

k31

=

F1

F2

F3

Page 56: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Second column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =1 d3 =0

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

0

1

0

k12

k22

k32

=

F1

F2

F3

Page 57: Stiffness 2

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

d1

d2

d3

Third column in Stiffness matrix

d1 =0 d2 =0 d3 =1

k11F1

F2 = k21

F3 k31

k12

k22

k32

k13

k23

k33

0

0

1

k13

k23

k33

=

F1

F2

F3

Page 58: Stiffness 2

F = K D

D = K-1 F

Page 59: Stiffness 2

Questions