BAB I

TEORI GRUP

Mengawali bab ini, kita kembali menengok ke belakang pada bab sebelumnya.

Misalkan S himpunan yang tak kosong, kita definisikan A(S) himpunan semua pemetaan

satu-satu dari S pada S. Untuk sebarang f,g di A(S) kita kenakan operasi perkalian fog yaitu

komposisi dari fungsi f dan g. Berdasarkan penyelidikan, kita telah peroleh fakta berikut.

1. Jika f,g A(S), maka fog juga dalam A(S). Fakta ini mengatakan bahwa dengan operasi

komposisi fungsi, A(S) bersifat tertutup.

2. Untuk sebarang tiga unsur f,g,h A(S), berlaku fo(goh) = (fog)oh. Fakta ini mengatakan

bahwa operasi komposisi dalam A(S) memenuhi sifat asosiatif.

3. Terdapat idS unsur yang sangat khas dalam A(S) yang memenuhi, idSof = f = foidS untuk

setiap fA(S). idS ini disebut unsur identitas untuk A(S) relatif terhadap operasi

komposisi dalam A(S).

4. Untuk setiap fA(S), terdapat unsur f –1 juga dalam A(S) sedemikian sehingga fof –1 =

idS = f –1of. Fakta ini menunjukkan bahwa setiap unsur dalam A(S) memiliki invers yang

juga dalam A(S).

Berdasarkan penyelidikan di A(S) khususnya apabila S mempunyai 3 unsur atau

lebih, maka dapat kita temukan unsur-unsur f dan g dalam A(S) sedemikian sehingga fog

gof.

Fakta-fakta yang dapat kita peroleh dalam A(S) sebagaimana dikemukakan di atas

merupakan salah satu contoh yang mengilhami adanya konsep grup seperti disajikan pada

Definisi 1.1 berikut.

1.1. DEFINISI. Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan membentuk grup, jika

dalam G dapat didefinisikan suatu operasi biner, yang dinamakan operasi perkalian, ditulis

“.” sedemikian sehingga

(1).a.bG, untuk setiap a,bG

(2).a.(b.c) = (a.b).c, untuk semua a,b,cG

(3).Terdapat unsur eG sedemikian sehingga a.e = e.a = a, untuk setiap aG

(4).Untuk setiap aG, terdapat a-1G sedemikian sehingga a.a-1 = a-1.a = e.

1

Selanjutnya, suatu grup G dikatakan Abelian (Komutatif), jika untuk setiap a,bG

berlaku a.b = b.a. Grup yang tidak komutatif disebut Grup Non-Abelian.

Setelah memperhatikan Definisi 1.1, maka secara mudah kita dapat menyimpulkan

bahwa A(S) dengan operasi komposisi di dalamnya seperti dikemukakan di atas (sebelum

Definisi 1.1) merupakan grup, meskipun bukan grup Abelian. Jika S himpunan hingga dan

memiliki n unsur, maka grup A(S) akan disimbol dengan Sn.

Hal lain yang menjadi karakteristik suatu grup adalah jumlah unsurnya. Jumlah

unsur dari suatu grup G, disimbol o(G), dan disebut orde dari G. Tentu saja, jika kita ingin

membicarakan ciri ini, maka hanya akan menarik apabila o(G) hingga (finite). Grup G yang

o(G) hingga, disebut grup hingga.

1.2. CONTOH-CONTOH : (a). Misalkan G himpunan bilangan bulat, dan kita artikan

operasi biner a.b untuk a,bG adalah penjumlahan pada bilangan bulat, yaitu a.b = a + b.

Maka segera dapat ditunjukkan bahwa G bersifat tertutup dengan operasi ini, karena hasil

penjumlahan dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Demikian juga sifat

asosiatif dengan operasi ini pada bilangan bulat, jelas dipenuhi. Selanjutnya, yang berperan

sebagai e dalam G adalah 0 karena untuk setiap aG, berlaku a + 0 = a = 0 + a, dan setiap

unsur aG mempunyai a-1 = -a juga unsur dalam G.

(b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real. Perhatikan Tabel berikut:

1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

Berdasarkan Tabel di atas dapat dilihat bahwa G bersifat tertutup, dapat ditunjukkan bahwa

operasinya memenuhi sifat asosiatif, unsur identitasnya adalah e = 1. Selanjutnya, 1-1 = 1

dan (–1)-1 = -1. Lebih dari itu, dapat juga ditunjukkan bahwa G membentuk grup komutatif

dengan o(G) = 2

(c). Jika S = {x1,x2,x3}. S3 adalah himpunan semua fungsi 1-1 dari S pada S,

diberikan operasi komposisi pada fungsi-fungsi, maka

S3 = {e, f, g, fog, g2, gof}

2

dengan

f : x1 x2 g : x1 x2

x2 x1 x2 x3

x3 x3 x3 x1

o e f g fog g2 gof

e e f g fog g2 gof

f f e fog g gof g2

g g gof g2 f e fog

fog fog g2 gof e f g

g2 g2 fog e gof g f

gof gof g f g2 fog e

Dengan memperhatikan tabel di atas, maka S3 dengan operasi komposisi fungsi bersifat

tertutup, sifat asosiatif dalam S3 dengan operasi ini dipenuhi sebagai sifat warisan operasi

komposisi fungsi-fungsi sebarang, kemudian dengan operasi ini S3 memiliki unsur

identitas, yaitu pemetaan identitas e, dan setiap unsur dalam G memiliki invers dalam S3

juga, yaitu: e-1 = e S3, f-1 = f S3, g-1 = g2 S3, (fog)-1 = fog S3, (g2)-1 = g S3, dan (gof)-1 =

gof S3, Dari sini berarti bahwa S3 membentuk grup. Karena gof fog maka S3 bukan grup

Abelian. Dengan demikian S3 membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(S3) = 6.

Untuk menyederhanakan bentuk, selanjutnya untuk sebarang a,bG akan

digunakan notasi a.b = ab. Kemudian kita juga akan menyatakan, a0 = e, a1 = a, a2 = aa, a3

= aa2, … , ak = aak-1. Demikian juga kita nyatakan, a-2 = (a-1)2, a-3 = (a-1)3, … , a-k = (a-1)k.

(d). Misalkan n sebarang bilangan bulat positif. Kita konstruksi suatu grup orde n

sebagai berikut. G = {aii = 0,1, … ,n}, dengan mendefinisikan a0 = e, aiaj = ai+j jika i + j <

n, dan aiaj = ai+j-n, jika i + j n. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa G membentuk

grup. Grup ini disebut grup siklik orde n.

Untuk memperjelas contoh ini, misalkan n = 5, maka kita mempunyai G = {e, a, a2,

a3, a4}. Selanjutnya perhatikan Tabel berikut.

. e a a2 a3 a4

3

e e a a2 a3 a4

a a a2 a3 a4 e

a2 a2 a3 a4 e a

a3 a3 a4 e a a2

a4 a4 e a a2 a3

Jelas, dengan operasi yang diberikan, G bersifat tertutup. Selanjutnya dapat dengan

mudah ditunjukkan bahwa dengan operasi ini, dalam G berlaku sifat asosiatif. Kemudian,

bahwa dalam G terdapat unsur identitas, yaitu e, dan setiap unsur dalam G memiliki invers

dalam G yaitu: e-1 = eG, a-1 = a4 G, (a2)-1 = a3 G, (a3)-1 = a2 G, dan (a4)-1 = a G.

Lebih dari itu, bahwa jika ai dan aj sebarang dalam G, maka aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i +

j < 5 dan aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j 5, dengan demikian dalam G berlaku sifat

komutatif. Jadi, G merupakan grup Abelian (periksa!).

(e) Misalkan G = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} dan dalam G dilengkapi dengan operasi

perkalian, dengan hasil lengkap dari pengoperasian unsur-unsur dalam G, disajikan pada

tabel berikut.

. 1 -1 i -i j -j k -k

1 1 -1 i -i j -j k -k

-1 -1 1 -i i -j j -k k

i i -i -1 1 k -k -j j

-i -i i 1 -1 -k k j -j

j j -j -k k -1 1 i -i

-j -j j k -k 1 -1 -i i

k k -k j -j -i i -1 1

-k -k k -j j i -i 1 -1

Dengan memperhatikan tabel di atas, maka G dengan operasi perkalian bersifat tertutup.

Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa operasi dalam G memenuhi sifat asosiatif. Unsur

identitas dalam G adalah 1. Untuk setiap unsur dalam G memiliki invers dalam G juga,

yaitu: 1-1 = 1 G, -1-1 = -1G, i-1 = -iG, (-i)-1 = iG, j-1 = -jG, (-j)-1 = jG, i-1 = -kG

dan (-k)-1 = kG. Dari sini berarti bahwa G membentuk grup. Karena ij ji, maka G

4

bukan grup Abelian. Dengan demikian G membentuk grup hingga non-Abelian dengan

o(G) = 8. Grup ini dikenal grup Quaternion.

(f) Misalkan G = dengan operasi perkalian

matriks dalam G, yaitu jika A = dan B = matriks-matriks sebarang dalam

G, maka ad – bc 0 dan wz – xy 0. Sekarang, perhatikan bahwa

AB = .

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian,

(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) 0.

Ini menunjukkan bahwa, ABG.

Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G, karena jika A =

, B = , dan C = matriks-matriks sebarang dalam G, maka

A(BC) = =

=

=

= = (AB)C.

Selanjutnya, I = adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1 0, dan kita

ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks.

5

Akhirnya, jika A = G, maka ad – bc 0. Sekarang pandang matriks D =

yang dibangun dari A. Matriks D ini merupakan unsur dalam G,

karena

- = 0.

Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian bahwa G

sebuah grup.

Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P = dan Q = , maka

jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.3 – 0.1 = 6 0 dan 3.1 – 1.(-1) = 4 0.

PQ = = = = QP.

Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).

(g). Misalkan G = dengan operasi perkalian

matriks. Perhatikan bahwa jika A = dan B = matriks-matriks sebarang

dalam G, maka ad – bc = 1 dan wz – xy = 1. Sekarang, perhatikan bahwa

AB = .

Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian,

(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) = 1.1 = 1.

Ini menunjukkan bahwa, ABG.

Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal ini dapat

dipandang sebagai sifat yang diwarisi dari Contoh 1.2(e).

Selanjutnya, I = adalah unsur G karena 1(1) – 0(0) = 1, dan kita ketahui

bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks.

6

Akhirnya, jika A = G, maka ad – bc = 1. Sekarang pandang matriks D =

yang dibangun dari A. Matriks D ini merupakan unsur dalam G,

karena - = = 1. Oleh karena AD = I

= DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.

Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P = dan Q = , maka

jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.(½) – 0.1 = 1 dan 3.1 – 2.1 = 1.

PQ = = = = QP.

Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).

(h). Misalkan G = dengan operasi perkalian

matriks. Perhatikan bahwa jika A = dan B = matriks-matriks sebarang

dalam G, maka a2 + b2 0 dan w2 + x2 0. Sekarang, perhatikan bahwa

AB = = dan .

(aw - bx)2 + (ax + bw)2 = (a2 + b2)(w2 + x2) 0.

Ini menunjukkan bahwa, ABG.

Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal ini dapat

dipandang sebagai sifat diwarisi dari Contoh 1.2(e).

Selanjutnya, I = adalah unsur G karena 12 + 02 = 1 0, dan kita ketahui

bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks.

7

Akhirnya, jika A = G, maka a2 + b2 0. Sekarang pandang matriks D =

yang dibangun dari A. Matriks D ini merupakan unsur dalam G, karena

+ = 0.

Oleh karena AD = I = DA, maka berarti B = A-1 . Ini melengkapi pembuktian bahwa G

sebuah grup.

Sekarang, jika P = dan R = matriks-matriks dalam G sebarang,

maka

PR = = =

= = RP.

Ini membuktikan bahwa G merupakan grup komutatif (Abelian).

(i) Perhatikan bahwa setiap dalam G sebagaimana pada Contoh 1.2(g)

dapat dinyatakan sebagai aI + bJ dimana I = , dan J = . Sekarang pandang

G = {aI + bJ a,bR, a2 + b2 0} dengan I dan J sebagaimana disebutkan di atas.

Perhatikan bahwa untuk setiap a1I + b1J dan a2I + b2J dalam G, diperoleh (a1I + b1J)

(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J, karena J.J = -I, dan dapat ditunjukkan bahwa

(a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2 = (a12 + b1

2)(a22 + b2

2) 0, dengan demikian (a1I + b1J)( a2I +

b2J) G. Jadi dengan operasi ini dalam G, sifat ketertutupannya dipenuhi.

Selanjutnya, dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa operasi dalam G memenuhi

sifat asosiatif.

Kemudian, perhatikan bahwa I G, karena I = aI + bJ dipenuhi oleh a = 1 dan b =

0. Lebih dari itu, untuk sebarang a1I + b1J G, I(a1I + b1J) = a1I + b1J = (a1I + b1J)I, oleh

karena itu I merupakan unsur satuan dalam G.

8

Selanjutnya, jika a1I + b1J G sebarang, maka berarti a12 + b1

2 0. Dari sini kita

peroleh

+ = 0.

Oleh karena itu

I - J G, dan

(a1I + b1J)( I - J) = I = ( I - J) (a1I + b1J),

dengan demikian

(a1I + b1J)-1 = I - J.

Ini melengkapi pemeriksaan kita bahwa G membentuk grup.

Terakhir, jika a1I + b1J dan a2I + b2J unsur-unsur dalam G sebarang, maka (a1I +

b1J)(a2I + b2J) = (a1a2 - b1b2)I + (a1b2 + b1a2)J = (a2a1 – b2b1)I + (a2b1 + b2a1)J = (a2I + b2J)

(a1I + b1J). Jadi G suatu grup komutatif.

(j). Misalkan Gp =

dengan operasi

perkalian pada bilangan bulat modulo p. Sebagai ilustrasi, misalkan p = 2, maka diperoleh

G2 = {I, A1, A2, A3, A4, A5}, dimana I = , A1 = , A2 = , A3 = , A4

= , dan A5 = . Untuk melihat bahwa G2 membentuk grup, kita perhatikan

tabel berikut.

. I A1 A2 A3 A4 A5

I I A1 A2 A3 A4 A5

A1 A1 I A4 A5 A2 A3

A2 A2 A5 I A4 A3 A1

A3 A3 A4 A5 I A1 A2

9

A4 A4 A3 A1 A2 A5 I

A5 A5 A2 A3 A1 I A4

Dari Tabel di atas, maka diperoleh bahwa G2 dengan operasi perkalian matriks

bilangan bulat modulo 2 bersifat tertutup, kemudian dapat ditunjukkan bahwa operasi ini

memenuhi sifat asosiatif. Selanjutnya, dengan operasi ini G2 memiliki unsur identitas, yaitu

I = , dan setiap unsur dalam G2 memiliki invers dalam G2 juga, yaitu: I-1 = I G2,

A1-1 = A1 G2, A2

-1 = A2 G2, A3-1 = A3 G2, A4

-1 = A5 G2, dan A5-1 = A4 G2. Dari sini

berarti bahwa G2 membentuk grup. Karena A2A1 = A5 A4 = A1A2 maka G2 bukan grup

Abelian. Dengan demikian G2 membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(G2) = 6.

1.3. LEMMA. Jika G grup, maka

(a) Elemen identitas dari G adalah tunggal.

(b) Setiap aG mempunyai invers tunggal dalam G

(c) Untuk setiap aG, berlaku (a-1)-1 = a.

(d) Untuk semua a,bG, (ab)-1 = b-1a-1.

BUKTI. Untuk membuktikan bagian (a), cukup kita memisalkan e dan f keduanya

unsur-unsur identitas dalam G. Pandang e sebagai unsur identitas dalam G dan f sebagai

suatu unsur dalam G. Maka harus memenuhi f = ef. Sebaliknya, jika kita memandang f

sebagai unsur identitas dalam G dan e sebagai suatu unsur dari G, maka juga kita

memperoleh hubungan e = ef. Oleh karenanya kita peroleh e = f. Ini menunjukkan bahwa

unsur identitas dalam G adalah tunggal.

Selanjutnya, misalkan aG sebarang. Jika x dan y unsur-unsur dalam G yang

keduanya merupakan invers dari a, maka berlaku ax = e = xa dan ay = e = ya. Oleh karena

itu kita peroleh

x = ex = (ay)x = (ya)x = y(ax) = ye = y.

Ini membuktikan bahwa invers dari a tunggal.

Bagian (c) diperoleh dengan memperhatikan bahwa a-1(a-1)-1 = e = a-1a. Menurut

bagian (b) di atas disimpulkan bahwa (a-1)-1 = a..

10

Bagian (d) dapat ditunjukkan bahwa (ab)(b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 = (a(bb-1)a-1 =

(ae)a-1 = aa-1 = e. dan juga (b-1a-1)(ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-1a)b) = b-1(eb) = b-1b = e.

Menurut Lemma 1.3(b), disimpulkan bahwa (ab)-1 = (b-1a-1).

1.4. LEMMA. Diberikan a,bG, maka persamaan ax = b dan ya = b mempunyai

solusi tunggal untuk x dan y dalam G. Khususnya, hukum-hukum pencoretan

(1) au = aw mengakibatkan u = w; dan

(2) ua = wa mengakibatkan u = w.

berlaku dalam G.

BUKTI. Perhatikan bahwa jika ax = b, maka a(a-1b) = (aa-1)b = eb = b. Oleh karena

itu solusi untuk x bagi persamaan ax = b adalah x = a-1b. Untuk membuktikan ketunggalan

solusi ini, misalkan x1 juga solusi dari persamaan ax = b. Maka ax1 = b. Dari sini diperoleh

x1 = ex1 = (a-1a)x1 = a-1(ax1) = a-1b. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ax

= b.

Perhatikan bahwa jika ya = b, maka (ba-1)a = b(a-1a) = be = b. Oleh karena itu

solusi untuk y bagi persamaan ya = b adalah y = ba-1. Untuk membuktikan ketunggalan

solusi ini, misalkan y1 juga solusi dari persamaan ya = b. Maka y1a = b. Dari sini diperoleh

y1 = y1e = y1(aa-1) = (y1a)a-1 = ba-1. Ini membuktikan ketunggalan solusi dari persamaan ya

= b.

Selanjutnya, jika au = b = aw, maka kita dapat memandang u dan w sebagai solusi

dari persamaan ax = b. Karena ketunggalan solusi dari persamaan ini, maka kita peroleh u

= w. Ini membuktikan (1). Demikian juga, jika ua = b = wa maka kita dapat pula

memandang u dan w sebagai solusi dari persamaan ya = b. Karena sifat ketunggalan solusi

dari persamaan tersebut, maka disimpulkan bahwa u = w, yang melengkapi pembuktian

untuk (2).

SOAL –SOAL

1. Berikut ini diberikan himpunan-himpunan G dengan mendefinisikan operasi di

dalamnya. Periksalah, apakah setiap G dengan operasi tersebut membentuk grup. Jika

tidak berikan alasan seperlunya.

a. G = himpunan semua bilangan bulat dengan operasi, ab = a – b.

11

b. G = himpunan bilangan bulat positif, dengan operasi perkalian biasa pada bilangan

bulat.

c. G = {a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6}, dimana aiaj = ai+j jika i + j < 7 dan aiaj = ai+j-7, jika i + j

– 7.

d. G = himpunan semua bilangan rasional dengan penyebut bilangan ganjil, dengan

operasi ab = a + b, yaitu penjumlahan biasa pada bilangan rasional.

2. Buktikan bahwa jika G suatu grup abelian, maka untuk semua a,bG dan semua

bilangan bulat n, berlaku (ab)n = anbn [Petunjuk: Gunakan prinsip Induksi Matematika].

3. Jika G suatu grup sedemikian sehingga (ab)2 = a2b2, untuk semua a,bG, tunjukkan

bahwa G abelian.

4. Dalam S3, berikan sebuah contoh dari dua unsurnya x, y sedemikian sehingga (xy)2

x2y2.

5. Dalam S3, tunjukkan bahwa terdapat empat unsur yang memenuhi x2 = e dan tiga unsur

yang memenuhi y2 = e.

6. Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup G merupakan invers dari dirinya

sendiri, maka G abelian.

7. Jika G merupakan grup orde genap, buktikan bahwa G mempunyai suatu unsur a e

sedemikian sehingga a2 = e.

8. Misalkan G himpunan semua matriks real 22, , dimana ad – bc 0 suatu

bilangan rasional. Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks.

9. Misalkan G himpunan semua matriks real 22, , dimana ad 0. Buktikan

bahwa G membentuk grup dibawah perkalian matriks. Apakah G Abelian?

10. Misalkan G himpunan semua matriks real 22, , dimana a 0. Buktikan

bahwa G membentuk grup abelian dibawah perkalian matriks.

12

BAB II

SUBGRUP

Marilah kita mengingat kembali grup semua bilangan bulat G dengan operasi

penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, kemudian kita memisalkan H himpunan semua

bilangan bulat genap. Jelas H bukan himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian

sejati dari G. Ada sesuatu yang cukup menarik dalam hal ini, jika dalam H diberikan

operasi biner sebagaimana pada G, yaitu operasi penjumlahan pada bilangan-bilangan

bulat, maka kita akan memperoleh bahwa dengan operasi yang sama dengan dalam G, H

memenuhi sifat-sifat: (1) ketertutupan, dalam arti bahwa penjumlahan sebarang dua

bilangan genap menghasilkan bilangan genap, (2) asosiatif sebagai sifat yang diwarisi dari

G, (3) terdapat unsur identitas, yaitu bilangan bulat genap 0, dan (4) setiap unsur dalam H

juga memiliki unsur invers yang juga berada di H. Dari keempat sifat ini berarti H terhadap

operasi dalam G membentuk grup.

Definisi berikut ini merupakan konsep dasar dari subgrup dari suatu grup yang

pada prinsipnya merupakan bentuk perumuman dari fenomena-fenomena yang

digambarkan melalui contoh-contoh yang salah satunya diilustrasikan pada contoh di atas.

2.1. DEFINISI. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G dikatakan subgrup dari G,

jika dengan operasi yang sama dengan operasi dalam G, H membentuk grup.

Perlu dicermati,bahwa Definisi 2.1 ini mengatakan bahwa dalam H dikenakan

operasi yang sama dengan dalam G. Oleh karena itu meskipun H himpunan bagian tak

kosong dari G, dan H membentuk grup, tetapi dengan operasi yang berbeda dengan operasi

dalam G, maka H bukanlah subgrup dari G. Misalkan G grup semua bilangan bulat dengan

operasi penjumlahan sebagaimana pada Contoh 1.2(a) dan H = {1, -1}. H membentuk grup

dengan operasi perkalian pada bilangan-bilangan real, sebagaimana Contoh 1.2(b). Dalam

kasus ini, meskipun H subhimpunan tak kosong dari G, tetapi H bukanlah subgrup dari G.

Hal lain yang dapat peroleh dari Definisi 2.1 di atas, bahwa jika H subgrup dari G

dan K subgrup dari H, maka K merupakan subgrup dari G.

13

2.2. LEMMA. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G merupakan subgrup dari G

jika dan hanya jika

(1). abH, untuk semua a,bH

(2). jika aH, maka a-1H.

BUKTI. Anggaplah H subgrup dari G, maka menurut definisi, H dengan operasi

dalam G memenuhi 2.2.(1) dan 2.2.(2).

Sebaliknya, anggaplah syarat 2.2.(1) dan 2.2.(2) berlaku dalam H. Untuk

menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka kita harus dapat

menunjukkan bahwa dalam H berlaku sifat asosiatif dan adanya unsur identitas dalam H.

Sifat asosiatif, jelas dipenuhi, karena H merupakan subhimpunan dari G. Sementara itu

untuk membuktikan adanya unsur identitas, perhatikan bahwa misalkan aH, maka

menurut 2.2.(2), a-1H, dan aa-1 = e. Karena 2.2.(1), maka eH. Ini melengkapi

pembuktian bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan subgrup dari G.

Lemma 2.2 di atas mengatakan bahwa apabila kita ingin memeriksa apakah suatu

subhimpunan, H dari grup G merupakan subgrup dari G, maka cukup menunjukkan tiga

hal, yaitu: (1) H bukan himpunan kosong, (2) dengan operasi dalam G memenuhi sifat

ketertutupan, dan (3) untuk setiap unsur dalam H memiliki invers juga dalam H.

2.3. LEMMA. Jika H subhimpunan hingga dari grup G, dan H tertutup dibawah

operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G

BUKTI. Untuk membuktikan lemma ini, kita cukup membuktikan bahwa jika aH,

maka a-1H. Untuk keperluan ini, misalkan aH sebarang. Karena H tertutup, maka a2 =

aaH, a3 = aa2H, … , amH, … . Akan tetapi, H himpunan berhingga, oleh karena itu

mesti terdapat r > s > 0 sedemikian sehingga ar = as. Dengan hukum pencoretan, diperoleh

ar-s = e. Karena r - s > 0, maka ini menyebabkan eH. Selanjutnya, karena r – s – 1 0,

maka ar-s-1H. Karena aar-s-1 = e = ar-s-1a, maka a-1 = ar-s-1G.

2.4. CONTOH-CONTOH. (a). Misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi

penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3,

yaitu H = {3n n bilangan bulat}. H , karena 0 = 3(0), yang berarti 0H. Sementara

itu, untuk sebarang a,b H, kita mempunyai a = 3n1 dan b = 3n2 untuk suatu n1, n2

14

bilangan bulat. a + b = 3n1 + 3n2 = (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) +(n1

+ n2) = 3(n1 + n2) H, dengan demikian H dengan operasi dalam G bersifat tertutup.

Selanjutnya, -a = -(3n1) = - (n1 + n1 + n1) = (-n1) + (-n1) + (-n1) = 3(-n1) H. Keseluruhan

langkah ini menunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G.

Kita dapat mendefinisikan hal serupa untuk Hn, yaitu himpunan semua bilangan

bulat kelipataan n. Maka Hn akan membentuk subgrup dari G.

(b). Misalkan S sebarang himpunan, A(S) himpunan semua fungsi satu-satu dari S

pada S. Maka A(S) membentuk grup dibawah operasi komposisi fungsi-fungsi. Jika x0S,

definisikan H(x0) = {fA(S)f(x0) = x0}. Untuk membuktikan bahwa H(x0) merupakan

subgrup dari A(S), pertama-tama kita segera memiliki pemetaan identitas, e, sebagai salah

satu unsur dalam H(x0), karena e(x) = x untuk semua x S, dengan demikian H(x0) .

Selanjutnya, kita ambil sebarang f1 dan f2 dalam H(x0), (f1f2)(x0) = f1(f2(x0)) = f1(x0) = x0,

dengan demikian f1f2 dalam H(x0). Kemudian, untuk sebarang f1 dalam H(x0) yang berarti

f1(x0) = x0, karena f1 A(S) maka kita mempunyai f1-1(x0) = x0 yang membuktikan bahwa

f1-1 di H(x0), dan berarti melengkapi pemeriksaan kita terhadap H(x0) sebagai subgrup dari

A(S).

(c). Misalkan G sebarang grup, aG. Misalkan (a) = {aii = 0, 1, 2, … }. (a)

merupakan subgup dari G (Periksa!). (a) disebut subgrup siklik dari G yang dibangun oleh

a. Jika untuk suatu a, G = <a>, maka G disebut grup siklik yang dibangun oleh a.

(d). Misalkan G grup bilangan real tak nol dibawah operasi perkalian, dan misalkan

H subhimpunan dari G yang terdiri atas semua bilangan rasional positif, maka H

merupakan subgrup dari G.

(e). Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan, dan H himpunan

semua bilangan bulat, maka H merupakan subgrup dari G.

(f). Misalkan G grup semua matriks real 22, , dengan ad – bc 0

dibawah operasi perkalian matriks.

15

Misalkan H himpunan semua matriks dalam G yang berbentuk . Perhatikan

bahwa H, karena (1)(2) = 2 0, dengan demikian H .

Sekarang misalkan , H sebarang, maka kita mempunyai a1d1

0 dan a2d2 0.

= dan (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2) 0,

dengan demikian H. Jadi, H dengan operasi dalam G bersifat tertutup.

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika H maka H, karena

= = 1 0.

= =

yang berarti bahwa

= H.

Jadi, H merupakan subgrup dari G.

(g). Misalkan G = dengan operasi perkalian

matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup. Misalkan H =

16

, dan perhatikan bahwa H, karena + = 1, dengan

demikian H .

Sekarang misalkan , H sebarang, maka kita mempunyai a12

+ b12 = 1 dan a2

2 + b22 = 1.

= dan

(a1a2 – b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2 = (a12 + b1

2)( a22 + b2

2) = 1.1 = 1,

dengan demikian H. Jadi, H dengan operasi dalam G bersifat

tertutup.

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika H maka jelas H, dan

= =

yang berarti bahwa

= H.

Jadi, H merupakan subgrup dari G.

(h) Misalkan H grup sebagaimana Contoh 2.4(f), dan jika K = ,

maka K merupakan subgrup dari H. Perhatikan bahwa K, karena itu K .

Sekarang misalkan , K sebarang, maka =

, dengan demikian K. Jadi, K dengan operasi dalam H

bersifat tertutup.

17

Selanjutnya, perhatikan bahwa jika K maka K.

= =

yang berarti bahwa

= K.

Jadi, K merupakan subgrup dari H.

(i). Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi dimana a dan b

bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah operasi perkalian pada

bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2 = 1}. Perhatikan bahwa untuk setiap

a1 + b1i dan a2 + b2i dalam H, diperoleh (a1 + b1i)( a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i,

karena i2 = -1. Dapat ditunjukkan bahwa (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2 = (a12 + b1

2)(a22 + b2

2)

= 1, dengan demikian (a1 + b1i)( a2 + b2i) H. Jadi dengan operasi ini dalam G, sifat

ketertutupannya dipenuhi. Jika a1 + b1i H, maka - i H, karena

+ = = 1, dan (a1 + b1i)( - i) = 1 = ( - i) (a1 +

b1i), dengan demikian (a1 + b1i)-1 = - i H. Ini melengkapi pemeriksaan kita

bahwa H merupakan subgrup dari G.

2.5. DEFINISI Misalkan G grup, dan H subgrup dari G. Untuk sebarang a,bG, kita

mengatakan a kongruen b modulo H, ditulis a b mod H, jika ab-1H. Selanjutnya, kita

notasikan himpunan semua x unsur dalam G dimana a kongruen x modulo H dengan [a].

Atau, [a]H = {xGa x mod H}.

2.6. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah operasi

penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua bilangan bulat

kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan

bulat k, 2 (3k + 2) mod H, karena 2 – (3k + 2) = -3k =3(-k) H, dengan demikian [2]H =

18

{3n + 2 n bilangan bulat}. Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh [1]H =

{3n + 1 n bilangan bulat}.

(b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f}, maka g g

mod H, sebab gg-1 = e H, dan g fg mod H, sebab g(fg)-1 = g(fg) = g(g2f) = g3f = ef = f

H. Dengan demikian [g]H = {g, fg}. Jika kita memisalkan N = {e, g, g2} maka kita

mempunyai f f mod N, sebab ff-1 = e N, f gf mod N, sebab f(gf)-1 = f(fg2) = (ff)g2 =

eg2 = g2 N, dan f fg mod N, sebab f(fg)-1 = f(fg) = (ff)g = eg = g N. Dengan demikian

[f]N = {f, gf, fg} = {f, fg, g2f}.

(c) Misalkan G grup semua matriks real 22, , dengan ad – bc 0 dibawah

operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam G yang berbentuk

. Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Jika A

= , maka AG, dan apabila p,q,r bilangan-bilangan real sedemikian sehingga q

2p, r 0, maka

A = = H.

Ini berarti bahwa A mod H. Dengan demikian,

[A]H = .

(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi dimana a dan b

bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah operasi perkalian pada

bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2 = 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah

ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Jika z = 4 + 3i, maka zG, dan apabila p,

q bilangan-bilangan real sedemikian sehingga p2 + q2 = 25 , maka

z(p + qi)-1 = (4 + 3i) = + i.

19

Karena + = = 1, maka z(p + qi)-1 H. Ini berarti bahwa z

(p + qi) mod H. Dengan demikian,

[z]H = {p + qi G p2 + q2 = 25} .

2.7. LEMMA. Misalkan G grup, H subgrup dari G, dan a,bG. Relasi a b mod H

merupakan relasi ekivalen.

BUKTI. Untuk membuktikan ini, maka ada tiga hal yang harus kita tunjukkan, yaitu:

(i). a a mod H

(ii). Jika a b mod H, maka b a mod H; dan

(iii). Jika a b mod H dan b c mod H, maka a c mod H.

Untuk membuktikan (i), perhatikanlah bahwa e = aa-1. Karena H subgrup dari G,

maka aa-1H. Dengan demikian a a mod H.

Selanjutnya, anggaplah a b mod H, maka berarti, ab-1H. Perhatikan bahwa ba-1

= (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1. Karena ab-1H dan H subgrup dari G, maka ba-1 = (ab-1)-1H. Jadi b

a mod H.

Kemudian, anggaplah a b mod H dan b c mod H, yang berarti bahwa ab-1H

dan bc-1H. Perhatikan bahwa ac-1 = (ae)c-1 = (a(b-1b))c-1 = ((ab-1)b)c-1 = (ab-1)(bc-1).

Karena ab-1H dan bc-1H, sementara itu H subgrup dari G, maka ac-1 = (ab-1)(bc-1)H.

Ini membuktikan bahwa a c mod H.

Jika G grup semua bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan dan H = Hn

subgrup G yang mengandung semua bilangan bulat kelipatan n, maka relasi a b mod H,

yaitu ab-1H, dibawah notasi penjumlahan, menyatakan “a – b suatu kelipatan dari n”.

Dalam Teori Bilangan ini dikenal dengan bilangan-bilangan kongruen modulo n.

2.8. DEFINISI. Jika H subgrup dari grup G, dan aG. Definisikan Ha = {hahH}

dan aH = {ahhH}. Ha dan aH, berturut-turut, disebut Koset Kanan dari H dalam G dan

Koset Kiri dari H dalam G.

2.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat di bawah operasi

penjumlahan pada bilangan-bilangan bulat, dan H himpunan semua bilangan bulat

kelipatan 3, yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Perhatikan bahwa

20

H + 2 = {h + 2 hH} = {3n + 2 n bilangan bulat}.

2 + H = {2 + h hH} = {2 +3n n bilangan bulat}.

Demikian juga, dengan cara yang sama kita bisa peroleh

H + 1 = {h + 1 hH} = {3n + 1 n bilangan bulat}.

1 + H = {2 + h hH} = {1 +3n n bilangan bulat}.

(b) Jika S3 = {e, g, g2, f, fg, fg2} = {e, g, g2, f, fg, gf}, dan H = {e, f}, maka H

merupakan subgrup dari S3.

Hg = {eg, fg} = {g, fg}, dan gH = {ge, gf} = {g, gf}.

Pada kasus ini terlihat bahwa Hg gH.

Jika kita mempunyai N = {e, g, g2} maka N juga merupakan subgrup dari S3.

Nf = {ef, gf, g2f} = {f, gf, fg} dan fN = {fe, fg, fg2} = {f, fg, gf}.

(c) Misalkan G grup semua matriks real 22, , dengan ad – bc 0 dibawah

operasi perkalian matriks, dan H himpunan semua matriks dalam G yang berbentuk

. Pada Contoh 2.4(f) telah ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Jika A

= , maka AG, dan apabila a,b, dan d bilangan-bilangan real sedemikian sehingga a

0, dan d 0, maka

HA = {hAhH} =

= .

Sedangkan

AH = {AhhH} =

= .

Dari sini nampak bahwa, apabila kita mempunyai B = H, maka

21

BA = = , tetapi AB = = , dengan

demikian AB BA. Ini suatu bukti bahwa koset kanan dari H dalam G tidak sama dengan

koset kiri dari H dalam G.

(d) Misalkan G grup semua bilangan kompleks yang tak nol, a + bi dimana a dan b

bilangan-bilangan real yang tidak kedua-duanya nol, dibawah operasi perkalian pada

bilangan kompleks. Misalkan H = {a + bi G a2 + b2 = 1}. Pada Contoh 2.4(i) telah

ditunjukkan bahwa H merupakan subgrup dari G. Jika z = 4 + 3i, maka

H(4 + 3i) = {(a + bi) (4 + 3i) a2 + b2 = 1} = {(4a – 3b) + (3a + 4b)i a2 + b2 = 1}

= {p + qi G p2 + q2 = 25}.

2.10. LEMMA Misalkan H subgrup dari G. Maka untuk semua aG, Ha = [a]H =

{xGa x mod H}.

BUKTI. Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa Ha [a]H. Untuk itu misalkan x

Ha sebarang. Maka x = ha untuk suatu h H. Dari sini, ax-1 = a(ha)-1 = a(a-1h-1) =

(aa-1)h-1 = eh-1 = h-1. Karena H subgrup dari G, maka h-1H. Dengan demikian ax-1H. Ini

mengatakan bahwa a x mod H. Jadi x[a]H. Ini membuktikan bahwa Ha [a]H.

Sebaliknya, misalkan y[a]H sebarang, maka ay-1H. Karena H subgrup dari G,

maka ya-1 = (ay-1)-1H. Dengan demikian ya-1 = h untuk suatu hH. Hal ini diikuti y =

haH. Ini mengatakan bahwa yHa. Jadi [a]H Ha. Ini melengkapi pembuktian Ha =

[a]H.

Lemma di atas menghasilkan suatu fakta bahwa G merupakan dekomposisi dari

Ha, untuk semua aG. Karena itu, untuk sebarang dua koset kanan dari H dalam G adalah

sama atau saling lepas.

2.11. LEMMA. Misalkan G grup dan H subgrup dari G, dan aG. Jika aH, maka

Ha = H.

BUKTI. Karena aH, dan H subgrup dari G, maka sebarang hH berlaku haH,

dengan demikian Ha H. Sebaliknya, untuk sebarang hH berlaku h = he = h(a-1a) =

(ha-1)a. Karena H subgrup dari G, maka ha-1 H, dengan demikian hHa, yang

mengakibatkan H Ha. Jadi Ha = H.

22

2.12. LEMMA Terdapat korespondensi satu-satu antara sebarang dua koset kanan

dari H dalam G.

BUKTI. Misalkan Ha dan Hb sebarang dua koset kanan dari H dalam G. Definisikan

f : Ha Hb, denga f(ha) = hb, untuk semua hH. Jelas f merupakan fungsi dari Ha ke

dalam Hb, sebab jika h1a dan h2a dalam Ha sebarang dengan h1 = h2, maka f(h1a) = h1b =

h2b = f(h2a). Selanjutnya, misalkan x,yHa sebarang sedemikian sehingga f(x) = f(y).

Misalkan x = h1a dan y = h2a. Karena f(x) = f(y), maka berarti h1b = h2b. Dengan

menggunakan hukum pencoretan, diperoleh h1 = h2. Ini mengakibatkan x = y. Jadi, f 1-1.

Terakhir, untuk membuktikan bahwa f suatu surjeksi, misalkan y = hb Hb sebarang, maka

tentu haHa, dan f(ha) = hb = y. Karena itu f merupakan suatu korespondensi satu-satu

antara sebarang dua koset kanan dari H dalam G.

2.13. TEOREMA LAGRANGE. Jika G suatu grup hingga dan H subgrup G, maka

o(H) merupakan pembagi o(G), yaitu, terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga o(G) =

ko(H).

BUKTI. Perhatikan bahwa H = He, merupakan suatu koset kanan dari H dalam G,

dengan demikian menurut Lemma 2.12, bahwa sebarang koset kanan dari H dalam G

mempunyai o(H) unsur. Karena G hingga, maka H juga subgrup hingga dari G. Karena itu,

misalkan k menyatakan banyaknya koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Menurut

Lemma 2.10, bahwa sebarang dua koset kanan dari H yang berbeda dalam G tidak

mempunyai unsur persekutuan. Hal ini mengatakan bahwa o(G) = ko(H). Ini melengkapi

pembuktian Teorema Lagrange.

Sebagai konsekuensi dari Teorema Lagrange 2.13, jika kita memiliki G = S3 = {e,

g, g2, f, fg, fg2} yang berarti o(G) = 6, maka orde dari H, subgrup sebarang dari G hanya

mungkin memiliki orde pembagi dari 6, yaitu: 1, atau 2, atau 3, atau 6.

2.14. DEFINISI. Jika H subgrup dari G, indeks dari H dalam G adalah banyaknya

koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Kita simbolkan iG(H). Dalam kasus G grup

hingga, maka iG(H) = o(G)/o(H).

23

2.15. DEFINISI. Jika G suatu grup dan aG, orde (periode) dari a adalah bilangan

bulat positif terkecil m, sedemikian sehingga am =e. Jika tidak ada m yang demikian, maka

kita katakana a berorde tak hingga. Sebagaimana grup, kita juga menggunakan o(a) untuk

menyatakan orde dari a.

2.16. AKIBAT DARI TEOREMA LAGRANGE. (1). Jika G suatu grup hingga, dan

aG, maka o(a) pembagi dari o(G).

BUKTI. Pandang (a) subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a. (a) mengandung e,

a, a2, a3, … . Karena ao(a) = e, maka paling banyak unsur dari (a) adalah o(a), sebab jika

tidak maka terdapat 0 i < j < o(a) sedemikian sehingga ai = aj. Dengan demikian aj-i = e

untuk 0 < j – i < o(a). Ini kontradiksi dengan keberadaan o(a) sebagai orde dari a. Karena

itu, grup siklik yang dibangun oleh a mempunyai o(a) unsur. Menurut Teorema Lagrange

2.13, o(a) merupakan pembagi dari o(G).

(2). Jika G suatu grup hingga, maka ao(G) = e.

BUKTI. Dengan menggunakan Akibat 2.16(1) kita mempunyai o(a) pembagi o(G),

yang berarti bahw o(G) = mo(a) untuk suatu bilangan bulat m. Oleh karena itu

ao(G) = amo(a) = (ao(a))m = em = e.

(3) Jika G suatu grup hingga yang ordenya bilangan prima p, maka G membentuk grup

siklik.

BUKTI. Anggaplah G mempunyai subgrup H yang nontrivial. Karena o(H) harus

membagi o(G) = p, maka o(H) = 1 atau o(H) = p. Jika o(H) = 1, maka H = (e), sedangkan

jika o(H) = p, maka G = H. Sekarang misalkan a e G, dan H = (a). H merupakan

subgrup siklik dari G, dan H (e), karena a e. Jadi H = G. Ini mengatakan bahwa G

grup siklik dengan orde p, dan setiap unsur dalam G dibangun oleh a.

Misalkan H dan K keduanya subgrup dari G, definisikan HK = {xG x = hk,

hH, kK}. Contoh ilustrasi, pandang grup S3, dan misalkan H = {e, f}, K = {e, gf}. H dan

K adalah sub-sub grup siklik dari G dengan orde 2, karena f2 = (gf)2 = e. Perhatikan bahwa

HK = {ee, egf, fe, fgf} = {e, gf, f, g2}. Disini, HK terdiri atas 4 unsur, menurut Teorema

24

Lagrange, HK bukan merupakan subgrup dari S3, sebab 4 bukan pembagi dari o(S3) = 6.

Juga perhatikan bahwa KH = {ee, ef, gfe, gff} = {e, f, gf, g} HK.

2.17. LEMMA Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G. HK merupakan

subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.

BUKTI. Aggaplah HK = KH; yaitu jika hH dan kK, maka hk = h1k1, untuk suatu

h1H dan k1K. Untuk membuktikan bahwa HK subgrup dari G, maka kita harus dapat

membuktikan bahwa HK bersifat tertutup dan setiap unsurnya memiliki invers di dalam

HK juga. Untuk itu misalkan x = hkHK dan y = h’k’HK. Maka xy = hkh’k’. Karena HK

= KH, maka kh’ = h2k2 untuk suatu h2H dan k2K. Karena itu, xy = h(h2k2)k’ = (hh2)(k2k’)

HK. Jadi, HK bersifat tertutup. Demikian juga bahwa x-1 = (hk)-1 = k-1h-1 KH = HK. Ini

melengkapi pembuktian bahwa HK subgrup dari G. Sebaliknya, anggaplah HK subgrup

dari G. Untuk sebarang hH dan kK berlaku h-1k-1HK. Karena HK subgrup dari G,maka

kh = (k-1)-1(h-1)-1 = (h-1k-1)-1 HK. Ini menunjukkan bahwa KH HK. Selanjutnya, karena

HK subgrup, maka x-1 = hk HK untuk suatu hH dan kK, apabila x HK. Akan tetapi

x = (x-1)-1 = (hk)-1 = k-1h-1 KH. Ini mengatakan bahwa HK KH. Jadi HK = KH.

2.18. LEMMA AKIBAT. Misalkan H, K keduanya subgrup dari grup G. Jika G grup

Abelian, maka HK merupakan subgrup dari G.

BUKTI. Karena G grup Abelian, dan H, K subgrup-subgrup dari G maka HK = KH.

Oleh karena itu menurut Lemma 2.17, HK merupakan subgrup dari G.

2.19. LEMMA AKIBAT. Misalkan H subgrup dari G, maka HH merupakan subgrup

dari G, dan HH = H.

BUKTI. Menurut Lemma 2.17, jelas bahwa HH subgrup dari G. Selanjutnya, karena

H subgrup dari G, maka HH H, dan jika hH sebarang, maka h = he HH, oleh karena

itu H HH. Jadi HH = H.

2.20. DEFINISI. Misalkan G grup dan gG. Normalizer atau Centralizer dari g

dalam G, ditulis N(g), adalah himpunan semua unsur x dalam G sedemikian sehingga xg =

gx. Jadi, N(g) = {xGxg = gx}.

2.21. LEMMA. Jika G grup dan gG, maka N(g) merupakan subgrup dari G.

25

BUKTI. Misalkan gG. Jelas N(g) , karena eg = ge, dengan demikian eN(g).

Selanjutnya, jika y,zN(g) sebarang, maka

(yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz).

Ini menunjukkan bahwa yzN(g), dengan demikian N(g) bersifat tertutup. Kemudian

untuk sebarang xN(g) kita peroleh

x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x-1x)g)x-1

= (eg)x-1 = gx-1.

Ini menunjukkan bahwa x-1N(g), dan melengkapi pembuktian kita.

2.22. DEFINISI. Misalkan G grup, Center dari G, ditulis ZG, adalah himpunan

semua unsur z dalam G sedemikian sehingga zg = gz untuk semua gG. Jadi, ZG =

{zGzg = gz, untuk semua gG}. Jadi, ZG = , dimana N(g) Centralizer dari

g dalam G.

2.23. LEMMA. Jika G grup sebarang, maka ZG merupakan subgrup dari G.

BUKTI. Jelas ZG , karena eg = ge untuk semua gG, dengan demikian eZG.

Selanjutnya, jika y,zZG sebarang, maka yg = gy dan zg = gz untuk semua gG. Sehingga

untuk semua gG diperoleh

(yz)g = y(zg) = y(gz) = (yg)z = (gy)z = g(yz).

Ini menunjukkan bahwa yzZG, dengan demikian ZG bersifat tertutup. Kemudian untuk

sebarang x ZG dan untuk semua gG kita peroleh

x-1g = (x-1g)e = (x-1g)(xx-1) =((x-1g)x)x-1 = (x-1(gx))x-1 = (x-1(xg))x-1 = ((x-1x)g)x-1

= (eg)x-1 = gx-1.

Ini menunjukkan bahwa x-1 ZG, dan melengkapi pembuktian kita.

SOAL-SOAL:

1. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa HK juga merupakan subgrup

dari G.

2. Jika H subgrup dari G, dan aG, Misalkan aHa-1 = {aha-1hH}, maka tunjukkanlah

bahwa aHa-1 merupakan subgrup dari G.

3. Daftarkan semua koset kanan dari H dalam G dimana

26

a. G = (a) suatu grup siklik orde 10 dan H = (a2) subgrup dari G yang dibangun oleh

a2.

b. G seperti bagian a. di atas, H = (a5) subgrup dari G yang dibangun oleh a5

c. G = A(S), S = {x1,x2,x3} dan H = {fGf(x1) = x1}

4. Daftarkan semua koset kiri dari H dalam G pada soal 3.

5. Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, Hn subgrup dari G yang

memuat semua himpunan bilangan bulat kelipatan n. Tentukan indeks dari Hn dalam G,

dan daftarkan semua koset kanan dari Hn dalam G.

6. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H), yaitu himpunan

{xGxh = hx, untuk semua hH}. Buktikan bahwa C(H) merupakan subgrup dari G.

7. Jika H subgrup dari G, dan misalkan N(H) = {aG aHa-1 = H}. Buktikanlah bahwa

N(H) merupakan subgrup dari G, dan N(H) H.

8. Misalkan pemetaan fab untuk bilangan-bilangan real a dan b, memetakan masing-

masing bilangan real kepada bilangan real dengan aturan fab : x ax + b. Misalkan G =

{faba 0}. Buktikan bahwa G membentuk grup dibawah operasi komposisi fungsi.

Tentukan rumus pemetaan untuk fabofcd.

9. Dalam grup G dalam soal no.8, misalkan N = {f1bG}, buktikan bahwa

a. N subgrup dari G

b. Jika aG, nN, maka ana-1N.

27

BAB III

SUBGRUP NORMAL DAN GRUP KUOSIEN

A. Subgrup Normal

Misalkan G = S3 dan H = {e, f} subgrup dari G. Karena iG(H) = 3, maka kita

mempunyai tiga koset kanan dari H yang berbeda dalam G, yaitu:

H = He = {e, f} = Hf

Hg = {g, fg} = Hfg

Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf

dan juga kita mempunyai tiga koset kiri dari H yang berbeda dalam G, yaitu:

H = eH = {e, f} = fH

gH = {g, gf} = Hgf

g2H = {g2, g2f = fg} = Hfg.

Disini kita memperoleh fakta bahwa Hg gH dan juga Hg2 = g2H. Karena itu gH bukan

koset kanan dari H dalam G, yang secara umum bahwa koset-koset kiri dari H dalam G

bukan merupakan koset kanan dari H dalam G.

Selanjutnya, pada kasus lain jika kita pilih N = {e, g, g2} subgrup dari G = S3, maka

kita mempunyai iG(N) = 2, yang berarti terdapat dua koset kanan dari N yang berbeda

dalam G, yaitu:

Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2,

Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg,

dan juga terdapat dua koset kiri dari N yang berbeda dalam G, yaitu:

eN = N = {e, g, g2}

fN= {f, fg, fg2 = gf} = fgN = gfN.

Pada kasus ini, terlihat bahwa setiap koset kiri dari N dalam G juga merupakan koset kanan

dari N dalam G.

Sekarang kita akan mendefinisikan subgrup khusus dari suatu grup, yang

selanjutnya akan kita jelaskan sifat-sifat yang dihasilkan oleh definisi ini dengan fakta

yang dikemukakan pada paragraf sebelumnya.

28

3.1. DEFINISI. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan subgrup normal

dari G jika dan hanya jika untuk setiap gG dan nN, berlaku gng-1 N.

Definisi 3.1. di atas dapat dijelaskan kembali seperti berikut. Jika gG dan

misalkan gNg-1 = {gng-1 nN}, maka N dikatakan subgrup normal dari G jika dan hanya

jika gNg-1 N untuk setiap gG.

3.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi

penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3,

yaitu H = {3n n bilangan bulat}. Telah ditunjukkan pada Contoh 2.4(a), H merupakan

subgrup dari G. Sekarang jika gG, dan h H sebarang, misalkan h = 3n1 untuk suatu

bilangan bulat n1 , maka

ghg-1 = g + 3n1 + (-g) = g + n1 + n1 + n1 + (-g).

Karena G adalah grup komutatif, maka

g + n1 + n1 + n1 + (-g) = g + (-g)+ n1 + n1 + n1 = 3n1 H.

Ini membuktikan bahwa H subgrup normal dari G.

(b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, g2, gf} sebagaimana Contoh 1.2(c), dan H = {e,

f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Selanjutnya, jika kita memilih gG dan

fH, maka kita peroleh

gfg-1 = gfg2 = ggf = g2f = fg H.

Oleh karena itu, H bukan subgrup normal dari G.

Akan tetapi jika N = {e, g, g2}, subgrup dari G, maka N merupakan subgrup dari G.

Perhatikan bahwa

eee-1 = e N, ege-1 = g N, eg2e-1 = g2N,

fef -1 = e N, fgf -1 = g2 N, fg2f -1 = gN,

geg -1 = e N, ggg -1 = g N, gg2g -1 = g2N,

fge(fg) -1 = e N, fgg(fg) -1 = g2 N, fgg2(fg) -1 = gN,

gfe(gf) -1 = e N, gfg(gf) -1 = g2 N, gfg2(gf) -1 = gN,

g2e(g2) -1 = e N, g2g(g2) -1 = g N, g2g2(g2) -1 = g2N.

Dari sini, kita peroleh bahwa setiap xG dan nN, berlaku xnx-1N, dengan demikian N

subgrup normal dari G.

29

(c) Misalkan G = dengan operasi perkalian

matriks. Telah ditunjukkan pada Contoh 1.2(f), G membentuk grup. Misalkan H =

. Pada Contoh 2.4(g) telah diperlihatkan bahwa H merupakan subgrup dari

G. Sekarang jika kita memilih A = G dan B = H, maka

ABA-1 = =

Karena , maka ABA-1 H, dengan demikian H bukan subgrup normal dari G.

Pada kenyataannya untuk sebarang QH, dapat dipenuhi PQP-1H jika dan hanya jika

PH. (Periksa!)

3.3. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N dikatakan subgrup normal

dari G jika dan hanya jika gNg-1 = N untuk setiap gG.

BUKTI. Jika gNg-1 = N untuk setiap gG, maka jelaslah bahwa gNg-1 N untuk

setiap gG. Akibatnya menurut Definisi 3.1 N merupakan subgrup normal dari G.

Sebaliknya, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan gG sebarang, maka menurut

Definisi 3.1, berlaku gNg-1 N. Selanjutnya, karena N subgrup normal dari G, maka

berlaku juga. g-1Ng = g-1N(g-1)-1 N. Akibatnya,

N = eNe = g(g-1Ng)g-1 gNg-1.

Karena ini berlaku untuk sebarang gG, maka diperoleh gNg-1 = N untuk setiap gG.

Perlu dicermati, bahwa Lemma 3.3. ini tidak mengatakan bahwa untuk setiap gG

dan nN berlaku gng-1 = n. Hal ini dapat diberikan contoh kontra berikut ini. Misalkan G =

S3 dan N = {e, g, g2} (dapat ditunjukkan bahwa N subgrup normal dari G).

fgf-1 = fgf = ffg2 = g2 g.

Akan tetapi jika G grup komutatif, maka semua N subgrup dari G merupakan subgrup

normal, dan berlaku untuk setiap gG dan setiap nN berlaku gng-1 = n. (Buktikan!)

30

3.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N subgrup normal dari G jika

dan hanya jika setiap koset kanan dari G merupakan koset kiri dari N dalam G.

BUKTI. Pertama-tama anggaplah N subgrup normal dari G, maka menurut Lemma

3.3., gNg-1 = N untuk setiap gG, yang diikuti oleh gN = Ng untuk setiap gG. Jadi koset

kanan dari N dalam G juga merupakan koset kiri dari N dalam G.

Sebaliknya, anggaplah setiap koset kanan dari N dalam G merupakan koset kiri dari

N dalam G. Misalkan gG sebarang, dan gN koset kiri dari N dalam G. Menurut hipotesis,

gN juga merupakan koset kanan dari N dalam G. Karena g = ge gN dan karena g juga

merupakan unsur dalam Ng, maka berarti g gN Ng. Akibatnya, Ng = gN. Dari sini,

kita peroleh bahwa untuk sebarang gG, berlaku

gNg-1 = Ngg-1 = Ne = N

Jadi menurut Lemma 3.3, N subgrup normal dari G.

Salah satu contoh konkrit bagi Lemma 3.4, dapat kita lihat pada paragraf-paragraf

awal Bab ini. Jika kita mempunyai grup G = S3 dan N = {e, g, g2}, maka berdasarkan

Lemma 3.4, N merupakan subgrup normal dari G. Sementara itu apabila kita mempunyai

grup G = S3 juga dan H = {e, f}, maka H bukanlah subgrup normal dari G, karena tidak

memenuhi syarat cukup bagi H untuk menjadi subgrup normal.

3.5. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup dari G. N merupakan subgrup normal

dari G jika dan hanya jika hasil kali dua koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset

kanan dari N dalam G.

BUKTI. Pertama-tama, anggaplah N subgrup normal dari G. Misalkan a,bG

sebarang, maka Na dan Nb adalah koset-koset kanan dari N dalam G. Karena N subgrup

normal dari G dan dengan menggunakan Lemma 3.4., maka

(Na)(Nb) = N(aN)b = N(Na)b = (NN)(ab) = Nab,

yang juga merupakan koset kanan dari N dalam G.

Sebaliknya, anggaplah bahwa perkalian dua koset kanan dari N dalam G juga meru-

pakan koset kanan dari N dalam G. Misalkan gG sebarang, maka g-1G. Ng dan Ng-1

merupakan dua koset kanan dari N dalam G, sehingga menurut hipotesis bahwa (Ng)(Ng-1)

suatu koset kanan dari N dalam G. Akan tetapi

e =gg-1 = (eg)(eg-1) (Ng)(Ng-1).

31

Di pihak lain, karena N juga suatu koset kanan dari N dalam G dan jelas eN, maka N

(Ng)(Ng-1) , yang berakibat N = (Ng)(Ng-1). Oleh karena itu, untuk sebarang nN,

berlaku

gng-1 = egng-1 = n(n-1gng-1) nN = N.

Ini membuktikan bahwa N subgrup normal dari G.

3.6. LEMMA. Misalkan M dan N keduanya subgrup normal dari grup G. Maka MN

juga merupakan subgrup normal dari G.

BUKTI. Jelas, MN , karena eM dan eN yang mengakibatkan e = eeMN.

Selanjutnya, jika m1n1, m2n2 unsur-unsur di MN, maka

(m1n1)(m2n2) = m1n1m2n1-1n1n2

Karena M subgrup normal dari G, maka n1m2n1-1M, dengan demikian (m1n1)(m2n2) =

m1n1m2n1-1n1n2 = (m1n1m2n1

-1)(n1n2)MN. Ini membuktikan bahwa MN bersifat tertutup.

Selain itu,

(m1n1)-1 = n1-1m1

-1 = m1-1(m1n1

-1m1-1)

Karena N subgrup normal dari G, maka m1n1m1-1N, dengan demikian (m1n1)-1MN.

Sampai disini, kita telah mebuktikan bahwa MN subgrup dari G, tinggal membuktikan

bahwa MN subgrup normal dari G. Untuk keperluan ini, misalkan gG dan mnMN

sebarang.

gmng-1 = (gmg-1)(gng-1)

Karena M dan N keduanya subgrup normal dari G, maka ruas kanan dari persamaan di atas

merupakan unsur di MN. Ini melengkapi pembuktian Lemma 3.6 di atas.

B. GRUP KUOSIEN ATAU GRUP FAKTOR

Misalkan G suatu grup dan N subgrup normal dari G. Perhatikan bahwa kita

mempunyai Ng untuk semua gG yaitu koset-koset kanan dari N dalam G. Kita notasikan

himpunan semua koset kanan dari N yang berbeda dalam G dengan G/N, yaitu

G/N = {Ng gG}.

Disini, jelas bahwa G/N , sebab N = Ne merupakan suatu koset kanan dari N dalam G,

jadi N G/N. Oleh karena N subgrup normal dari G, maka kita mempunyai sifat bahwa

32

perkalian sebarang dua koset kanan dari N dalam G juga merupakan koset kanan dari N

dalam G (Lemma 3.5).

Berikut ini kita akan menunjukkan bahwa dengan operasi perkalian koset-koset

kanan sebagaimana pada Lemma 3.5, G/N membentuk grup.

3.7. TEOREMA. Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka G/N membentuk

grup.

BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 3.5, kita akan mendefinisikan operasi

perkalian dalam G/N, dengan

(Ng1)(Ng2) = N(g1g2) untuk semua g1,g2G.

Dari sini berarti sifat ketertutupan G/N dengan operasi ini telah dipenuhi. Tinggal kita

membuktikan sifat-sifat lain, yaitu: keberlakuan sifat asosiatif operasi ini dalam G/N,

eksistensi unsur identitas operasi dalam G/N, dan keberadaan unsur invers dalam G/N bagi

semua unsur dalam G/N. Untuk itu, misalkan g1, g2 dan g3 unsur-unsur dalam G dan X =

Ng1, Y = Ng2 dan Z = Ng3.

X(YZ) = (Ng1)((Ng2)(Ng3)) = (Ng1)(N(g2g3) = N(g1(g2g3)) = N((g1g2)g3)

= (N(g1g2))(Ng3) = ((Ng1)(Ng2))(Ng3) = (XY)Z.

Jadi, sifat asosiatif dipenuhi oleh operasi perkalian ini.

Selanjutnya, perhatikanlah bahwa N = Ne merupakan unsur dalam G/N, dan

perhatikan juga bahwa

XN = (Ng1)N = (Ng1)(Ne) = N(g1e) = Ng1 = X, dan

NX = N(Ng1) = (Ne)(Ng1) = N(eg1) = Ng1 = X.

Jadi, N merupakan unsur identitas dalam G/N menurut operasi perkalian dalam G/N.

Akhirnya, kita mempunyai g1-1 juga merupakan unsur dalam G, oleh karena itu Ng1

-

1G/N.

(Ng1)(Ng1-1) = N(g1g1

-1) = Ne = N, dan (Ng1-1)(Ng1) = N(g1

-1g1) = Ne = N.

Akibatnya, Ng1-1 = (Ng1)-1.

Ini melengkapi pembuktian kita terhadap Teorema 3.7.

Grup G/N disebut grup kuosien (grup faktor) dari G oleh N.

3.8. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan bulat dan N himpunan

bilangan bulat kelipatan 5, yaitu N = {5g gG}. Telah ditunjukkan bahwa N merupakan

33

subgrup dari G, dan karena G grup Abelian, maka N merupakan subgrup normal dari G.

Dengan demikian menurut Teorema 3.7. kita pasti mempunyai G/N = {N + g gG}, yaitu

grup kuosien dari G oleh N. Sekarang kita akan menentukan o(G/N), yaitu banyaknya

unsur dalam G/N.

Perhatikan bahwa N, N + 1, N + 2, N + 3, dan N + 4 merupakan unsur-unsur dalam

G/N. Misalkan gG sebarang, maka kita dapat nyatakan

g = 5g0 + h

untuk suatu g0G dan h sisa pembagian dari g oleh 5, yaitu h = 0, atau 1, atau 2, atau 3,

atau 4, sehingga

N + g = N + (5g0 + h) = (N + 5g0) + h.

Karena 5g0 N, maka N + 5g0 = N. Akibatnya, N + g = N + h. Dri sini berarti

G/N = {N, N + 1, N + 2, N + 3, N + 4}

Karena itu, o(G/N) = 5.

Contoh 3.8(a) di atas, dapat diperluas pada sebarang bilangan bulat n, dengan

mengambil N = {ng gG}. Dengan cara yang sama, maka dengan mudah dapat

diperoleh

G/N = {N, N + 1, N + 2, … , N + (n –1)},

dan kemudian diperoleh o(G/N) = n.

(b) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c), dan H = {e,

f}. Telah ditunjukkan bahwa H subgrup dari G. Koset-koset kanan dari H dalam G, adalah

H = He = {e, f} = Hf

Hg = {g, fg} = Hfg

Hg2 = {g2, fg2 = gf} = Hgf

Karena itu kita mempunyai G/H = {H, Hg, Ng2}. Akan tetapi, G/H bukan grup, karena H

bukan subgrup normal dari G.

(c) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} sebagaimana Contoh 1.2(c), dan N = {e,

g, g2} subgrup dari G. Telah ditunjukkan bahwa N subgrup normal dari G. Koset-koset

kanan dari N dalam G, adalah

Ne = N = {e, g, g2} = Ng = Ng2,

Nf = {f, gf, g2f = fg} = Ngf = Nfg,

34

Karena itu kita mempunyai G/N = {N, Nf}. Karena N subgrup normal dari G, maka

menurut Teorem 3.7, G/N merupakan grup, dan o(G/N) = 2.

3.9. LEMMA AKIBAT. Jika G grup komutatif dan N subgrup normal dari G, maka

G/N membentuk grup komutatif.

BUKTI. Berdasarkan Teorema 3.7, kita mempunyai grup kuosien G/N. Selanjutnya,

jika X = Ng1 dan Y = Ng2 unsur-unsur sebarang dalam G/N maka XY = (Ng1)(Ng2) =

N(g1g2). Karena G grup komutatif, maka g1g2 =g2g1. Akibatnya, N(g1g2) = N(g2g1) = (Ng2)

(Ng1) = YX.

3.9. LEMMA. Jika G grup hingga dan N subgrup normal dari G, maka o(G/N) =

.

BUKTI. Karena o(G) berhingga, maka banyaknya koset kanan dari N dalam G juga

berhingga, yang berakibat iG(N) berhingga, yaitu iG(N) = o(G)/o(N). Oleh karena G/N

adalah himpunan semua koset kanan dari N yang berbeda dalam G, maka berarti

o(G/N) = iG(N) = .

SOAL – SOAL.

1. Jika G grup, dan H subgrup dari G dengan iG(H) = 2, maka buktikanlah bahwa H

subgrup normal dari G.

2. Jika N subgrup normal dari grup G dan H sebarang subgrup dari G, maka buktikanlah

bahwa NH subgrup dari G.

3. Tunjukkanlah bahwa irisan dari dua subgrup normal dari grup G juga merupakan

subgrup normal.

4. Jika H subgrup dari grup G dan N subgrup normal dari G, maka tunjukkanlah bahwa

HN merupakan subgrup normal dari G.

5. Jika H subgrup dari grup G, misalkan N(H) = {gG gHg-1 = H}. Buktikanlah bahwa:

a. N(H) subgrup dari G.

b. H subgrup normal dari N(H).

c. Jika K subgrup dari G, dan H subgrup normal dari K, maka K N(H).

d. H subgrup normal dari G jika dan hanya jika N(H) = G.

35

6. Misalkan N dan M subgrup-subgrup normal dari grup G, dan NM = (e).

Tunjukkanlah bahwa untuk sebarang nN dan mM berlaku nm = mn.

7. Jika T subgrup siklik normal dari grup G, maka tunjukkanlah bahwa setiap subgrup

dari T merupakan subgrup normal dari G.

8. Misalkan G himpunan semua matriks 22, dimana ad 0 dibawah operasi

perkalian matriks. Misalkan N = . Buktikanlah bahwa:

a. N subgrup normal dari G.

b. G/N merupakan grup Abelian.

36

BAB IV

HOMOMORFISMA GRUP

4.1 DEFINISI. Suatu pemetaan f dari grup G ke dalam grup disebut

homomorfisma grup atau homomorfisma dari G ke dalam , jika dan hanya jika untuk

setiap a,bG berlaku f(ab) = f(a)f(b).

Perlu dicatat bahwa pada Definisi 4.1 di atas melibatkan dua operasi biner, yang

terlihat pada ekspresi f(ab) = f(a)f(b). Di ruas kiri, operasi biner yang dipergunakan adalah

operasi biner dalam G, sedangkan di ruas kanan yang dipergunakan adalah operasi biner

pada . Untuk menjelaskan lebih detail dari Definisi 4.1, akan dikemukakan beberapa

contoh, akan tetapi sebelumnya kita perlu mendefinisikan terlebih dahulu tentang kernal

suatu homomorfisma grup dari suatu grup kedalam grup lain.

4.2. DEFINSI. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup .

Kernel dari f, disimbol Kf, adalah himpunan semua xG yang dipetakan oleh f ke ,

dimana unsur identitas dalam . Atau, dengan kata lain,

Kf = {xG f(x) = }

4.3. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f : G G

dengan f(x) = e (unsur identitas dalam G) untuk setiap xG. Maka jelas f suatu

homomorfisma, karena untuk setiap a,bG, berlaku

f(ab) = e = ee = f(a)f(b).

Disini, e merupakan unsur identitas dalam G, sehingga kernel dari f adalah Kf = G, karena

semua unsur dalam G dipetakan oleh f ke e. Pada kasus ini, kita sebut f homomorfisma

konstan e.

(b) Misalkan G grup sebarang, dan definisikan f : G G dengan f(x) = x untuk

setiap xG. Fungsi f ini juga merupakan homomorfisma, sebab untuk setiap a,bG,

berlaku

f(ab) = ab = f(a)f(b).

Sedangkan kernel dari f adalah Kf = {e}, karena jika a e, maka f(a) = a e, jadi aKf.

Lebih dari itu, f bersifat injektif, karena jika a,bG sebarang dengan f(a) = f(b), maka a =

37

f(a) = f(b) = b. Kemudian, f juga bersifat surjektif, karena apabila yG sebarang, kita dapat

memilih yG ini sehingga f(y) = y. Pada kasus ini, f kita sebut dengan homomorfisma

identitas pada G, disimbol idG. Jadi, idG(x) = x untuk setiap xG.

(c) Misalkan G grup bilangan real dengan operasi penjumlahan pada bilangan-

bilangan real, dan grup bilangan real tanpa nol di bawah operasi perkalian pada

bilangan-bilangan real. Definisikan f : G , dengan f(x) = 3x untuk setiap xG.

Perhatikan bahwa G dan memiliki operasi biner yang berbeda. Untuk menunjukkan

bahwa f suatu homomorfisma, maka kita harus periksa bahwa untuk setiap a,bG berlaku

f(ab) = f(a)f(b). Tetapi hal ini tidaklah sulit dilakukan, karena

f(ab) = f(a + b) = 3a + b = 3a3b = f(a)f(b).

Jadi, f suatu homomorfisma. Kita peroleh juga bahwa f bukan fungsi dari G pada , karena

3x selalu bernilai positif untuk bilangan real x berapapun, akan tetapi f suatu injeksi, karena

jika x,yG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 3x = 3y = f(y), maka x = y (Periksa!).

Selanjutnya, kita mempunyai unsur 1 sebagai unsur identitas dalam , sehingga kernel

dari f adalah Kf = {xG 3x = 1} = {0}, karena apabila x 0, maka f(x) = 3x 30 = 1.

(d) Misalkan G = S3 = {e, f, g, fg, gf, g2} dan = {e, f}. Definisikan : G

dengan (f ig j) = f i, i = 0,1, dan j = 0,1,2. Dari pendefinisian seperti ini, kita mempunyai G

= {e, f, g, fg, gf, g2} = {f 0g0, f 1g0, f 0g1, f 1g1, f 1g2, f 0g2}, dan diperoleh

(e) = (ee) = (f 0g0) = f0 = e,

(f) = (fe) = (f 1g0) = f1 = f,

(g) = (eg) = (f 0g1) = f0 = e,

(fg) = (f 1g1) = f 1 = f,

(gf) = (fg2) = (f 1g2) = f 1 = f, dan

(g2) = (eg2) = (f 0g2) = f 0 = e.

Nilai-nilai dari (f ig j) diperlihatkan pada Tabel 4.1, dan nilai-nilai dari (f i)(g j) diperli-

hatkan pada Tabel 4.2 (i = 0,1, dan j = 0,1,2).

Tabel 4.1. Nilai-nilai dari (figj) (i = 0,1, dan j = 0,1,2)

e f g fg gf g2

38

e e f e f e f

f f e f e e f

g e f e f e f

fg f e f e e f

gf f e f e e f

g2 e f e f e f

Perlu dicatat, bahwa hasil yang tercantum pada Tabel 4.1 adalah hasil dari peta perkalian

dua unsur dalam G oleh pemetaan , dan tidak diartikan sebagai operasi biner

(perkalian) dalam G. Jadi, e = (ee), bukan e = ee, f = (fg), bukan f = fg, dan

seterusnya.

Tabel 4.2. Nilai-nilai dari (f i)(g j) (i = 0,1, dan j = 0,1,2)

. (e) (f) (g) (fg) (gf) (g2)

(e) e f e f e f

(f) f e f e e f

(g) e f e f e f

(fg) f e f e e f

(gf) f e f e e f

(g2) e f e f e f

Berdasarkan hasil-hasil pada Tabel 4.1. dan Tabel 4.2, maka kita berkesimpulan bahwa

(figj) = (fi)(gj), (i = 0,1, dan j = 0,1,2), untuk semua figjG, (i = 0,1, dan j = 0,1,2).

Tambahan lagi, kernel dari adalah K = {e, g, g2}, karena (e) = (g) = (g2) = e.

(e) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan pada bilangan-

bilangan bulat, dan = G. Definisikan f : G dengan f(x) = 2x untuk semua xG

[disini 2x diartikan sebagai x + x, bukan perkalian 2 dengan x]. Jika a,bG sebarang, maka

f(a + b) = 2(a + b) = (a + b) + (a + b) = (a + a) + (b + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b).

Jadi, f merupakan suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {0}, sebab jika x 0

maka f(x) = 2x = x + x 0, yang mengakibatkan xKf. Tambahan juga bahwa f suatu

39

injeksi, karena jika x,yG sehingga x y, maka 2x = x + x y + y = 2y. Akan tetapi f

bukan suatu surjeksi, karena tidak ada aG yang dipetakan oleh f ke 3 .

(f) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol dengan operasi perkalian, dan = {1, -

1} dengan operasi: 1(1) = 1 = (-1)(-1), dan 1(-1) = -1 = (-1)(1). Definisikan fungsi f : G

, dengan

f(x) =

Misalkan a,bG sebarang, maka kita mempunyai empat kasus, yaitu:

Kasus I. Jika a,b keduanya bilangan real positif, maka kita mempunyai ab bilangan

positif, sehingga f(ab) = 1 = (1)(1) = f(a)f(b).

Kasus II. Jika a positif dan b negatif, maka kita mempunyai ab bilangan negatif.

Karena itu, f(ab) = -1 = (1)(-1) = f(a)f(b).

Kasus III. Jika a negatif dan b positif, maka kita mempunyai ab bilangan negatif.

Karena itu, f(ab) = -1 = (-1)(1) = f(a)f(b).

Kasus IV. Jika a,b keduanya bilangan real negatif, maka kita mempunyai ab

bilangan positif, sehingga f(ab) = 1 = (-1)(-1) = f(a)f(b).

Dari sini, kita peroleh kesimpulan bahwa f merupakan homomorfisma, dengan kernelnya

adalah Kf = {xG x bilangan real positif}.

(g) Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, dan grup

bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo n.

Definisikan f : G dengan f(x) = t, dimana t adalah sisa pembagian dari x oleh n.

Untuk menunjukkan bahwa f merupakan suatu homomorfisma, maka misalkan a,bG

sebarang.

f(ab) = f(a + b) =t0, dimana t0 adalah sisa pembagian dari a + b oleh n.

Karena sifat ketertutupan dari , maka kita mempunyai t0 = t1 + t2 dimana t1 adalah sisa

pembagian dari a oleh n dan t2 adalah sisa pembagian dari b oleh n. Oleh karena itu,

f(ab) = t0 = t1 + t2 = f(a) + f(b) = f(a)f(b).

Jadi, f suatu homomorfisma. Kernel dari f adalah Kf = {xG x = nt, t bilangan bulat}.

40

(h) Misalkan G grup bilangan real positif dengan operasi perkalian, dan grup

bilangan real dengan operasi penjumlahan. Definisikan fungsi f : G dengan f(x) = 10log(x) untuk setiap xG. Misalkan a,bG sebarang, maka kita mempunyai hubungan

f(ab) = 10log(ab) = 10log(a) + 10log(b) = f(a) + f(b) = f(a)f(b).

Dari sini, disimpulkan bahwa f suatu homomorfisma. Sebagai tambahan, bahwa f suatu

injeksi, karena jika x,yG sebarang sedemikian sehingga f(x) = 10log(x) = 10log(y) = f(y),

maka x = y (Periksa!). Selanjutnya, kita mempunyai 0 sebagai unsur identitas dalam ,

karena itu, kernel dari f adalah Kf = {xG 10log(x) = 0} = {1}.

(i) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk , sehingga ad

0, dengan operasi perkalian matriks-matriks. Misalkan juga grup bilangan real tanpa

nol dengan operasi perkalian. Definisikan f : G dengan f = ad untuk setiap

G. Jika X = dan Y = unsur-unsur sebarang dalam G, maka kita

mempunyai XY = = , f(X) = a1d1, dan f(Y) = a2d2.

f(XY) = f = (a1a2)(d1d2) = (a1d1)(a2d2) = f(X)f(Y).

Jadi, f suatu homomorfisma.

Selanjutnya, kita mempunyai 1 sebagai unsur identitas dalam , karena itu

kernel dari f adalah Kf = = .

Tambahan lagi, bahwa pada kenyataannya, f merupakan fungsi dari G pada , karena jika

y sebarang, kita dapat memilih X = G sehingga f(X) = f = y.

4.4. LEMMA. Misalkan G grup dan N subgrup normal dari G, oleh karenanya kita

mempunyai grup kuosien G/N. Definisikan f : G G/N dengan f(x) = Nx untuk semua

xG. Maka f merupakan suatu homomorfisma dari G pada G/N. Atau dengan kata lain,

bahwa G/N merupakan peta homomorfisma dari G. Selanjutnya, Kernel dari f adalah N.

41

BUKTI. Misalkan a,bG sebarang.

f(ab) = N(ab) = (Na)(Nb) = f(a)f(b).

Ini menunjukkan bahwa f merupakan suatu homomorfisma. Selanjutnya, untuk

membuktikan bahwa f suatu surjeksi, maka kita ambil XG/N sebarang dan misalkan X =

Ny untuk suatu yG. Dengan memilih yG ini, maka kita mempunyai f(y) = Ny = X.

Sekarang, misalkan kernel dari f adalah Kf. Jika xKf, maka f(x) = N (unsur identitas

dalam G/N). Di pihak lain, f(x) = Nx, dengan demikian Nx = N. Ini menghasilkan xN. Ini

menunjukkan bahwa KfN. Sebaliknya, jika yN, maka f(y) = Ny, dan karena yN, maka

menurut Lemma 2.11 f(y) = N, dengan demikian yKf. Ini menunjukkan bahwa N Kf,

yang melengkapi pembuktian bahwa kernel dari f adalah N.

Berikut ini adalah lemma yang memberikan jaminan bahwa kernel dari suatu

homomorfisma dari grup G ke dalam bukan himpunan kosong.

4.5. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G ke dalam , maka

(1) f(e) = , dimana unsur identitas dalam .

(2) f(x-1) = f(x)-1, untuk setiap xG.

BUKTI. Untuk membuktikan (1), perhatikan bahwa untuk setiap xG kita

mempunyai

f(x) = f(x) = f(xe) = f(x)f(e).

Dengan menggunakan sifat pencoretan dalam , kita peroleh f(e) = .

Sementara itu, untuk membuktikan (2), perhatikan bahwa untuk setiap xG berlaku

f(x)f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = , dan

f(x-1)f(x) = f(x-1x) = f(e) = .

Ini membuktikan bahwa f(x-1) = f(x)-1.

Lemma 4.5 di atas, mengatakan bahwa e merupakan unsur dalam kernel dari

sebarang homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain. Jadi, kernel dari

homomorfisma dari suatu grup kedalam grup lain bukan himpunan kosong.

4.6. LEMMA. Jika f suatu homomorfisma dari G kedalam dengan kernel K, maka

K merupakan subgrup normal dari G.

42

BUKTI. Terlebih dahulu kita akan membuktikan bahwa K merupakan subgrup dari

G. Sifat K segera dipenuhi dengan jaminan Lemma 4.5(1), tinggal kita tunjukkan

bahwa K memenuhi sifat ketertutupan terhadap operasi dalam G, dan keberadaan unsur

invers dari semua unsur dalam K yang harus juga terdapat dalam K. Untuk ini, misalkan

x,yK sebarang.

f(xy) = f(x)f(y) = = , dan

f(x-1) = f(x)-1 = -1 = ,

yang keduanya berturut-turut menyatakan bahwa xyK dan x-1K. Jadi, K merupakan

subgrup dari G.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa K subgrup normal dari G. Perhatikan

bahwa untuk sebarang gG dan kK, berlaku

f(gkg-1) = f(g)f(k)f(g-1) = f(g) f(g-1) = f(g)f(g)-1 = .

Dari sini, kita peroleh bahwa gkg-1K. Jadi K merupakan suatu subgrup normal dari G.

Oleh karena K merupakan subgrup normal dari grup G sebagaimana hasil Lemma

4.6, maka berdasarkan Teorem 3.6 dan Lemma 4.4, diperoleh bahwa kita pasti memiliki

G/K yang merupakan peta homomorfisma dari grup G.

4.7. DEFINISI. Misalkan G dan grup-grup, f suatu homomorfisma dari G ke

dalam dengan kernel, K. Jika maka kita definisikan himpunan semua peta invers

(inverse image) dari dibawah f, ditulis If-1( ), sebagai

{xGf(x) = }

4.8. LEMMA. Jika G dan grup, f suatu homomorfisma dari G ke dalam dengan

kernel, K dan misalkan pula . Maka If-1( ) = Kx dimana x peta invers tertentu yang

sebarang dari oleh f dalam G.

BUKTI. Jika = (unsur identitas dari ), maka menurut Definisi, If-1( ) = K

berlaku secara trivial. Jika , misalkan xG sebuah peta invers dari oleh f, yaitu f(x)

= . Kita klaim bahwa If-1( ) = Kx. Untuk membuktikan ini, misalkan yKx sebarang.

Maka y = kx untuk suatu kK. Karena itu f(y) = f(kx) = f(k)f(x) = f(x) = . Ini

menunjukkan bahwa y If-1( ) dengan demikian Kx If

-1( ).

Sebaliknya, misalkan z If-1( ) sebarang maka f(z) = = f(x). Karenanya = f(z)

(f(x))-1 = f(z)f(x-1) = f(zx-1). Mengikuti ini, diperoleh zx-1K yang berarti zx-1 = k1 untuk

43

suatu k1 K. Dari sini z = k1xKx. Jadi If-1( ) Kx. Ini melengkapi pembuktian klaim

kita.

4.9. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup bilangan real tanpa nol dibawah

operasi perkalian pada bilangan real dan = {-1,1} dengan operasi perkalian. Pandang

fungsi f : G dengan f(x) = 1 jika x bilangan real positif dan f(x) = -1 jika x bilangan

real negatif. Menurut Contoh 4.3(f), f merupakan suatu homomorfisma dengan kernel, K =

{xGf(x) = 1} = {xG x bilangan real positif}. Berdasarkan Lemma 4.8 di atas,

diperoleh If-1(1) = K dan If

-1(-1) = {xG x bilangan real negatif} = Ky dimana y bilangan

real negatif.

(b) Misalkan G grup semua matriks real 22 yang berbentuk , sedemikian

sehingga ad 0, dengan operasi perkalian matriks-matriks dan grup bilangan real tanpa

nol dengan operasi perkalian pada bilangan-bilangan real. Sekarang pandang suatu

pemetaan f dari G ke dalam dengan f = ad untuk setiap G.

Sebagaimana pada Contoh 4.3(i), f merupakan suatu homomorfisma dari G ke dalam

dengan kernel

K = .

Selanjutnya, misalkan = 2 , maka

f –1(2) = = .

Menurut Lemma 4.8, dengan memisalkan a = p dan b = 2q, maka diperoleh f –1(2) = K

, karena G yang merupakan suatu peta invers dari 2 . Dapat juga kita

memisalkan a = 2p dan b = -p + q, untuk memperoleh f –1(2) = K , karena

G juga merupakan suatu peta invers dari 2 .

44

4.10. DEFINISI. Suatu homomorfisma f dari G ke dalam dikatakan suatu

isomorfisma jika f pemetaan satu-satu (one-to-one mapping).

Sebagai contoh untuk isomorfisma dari suatu grup ke grup yang lain, antara lain

telah kita peroleh pada Contoh 4.3(b), (c), (e) dan (h).

4.11. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup

dengan kernel K. f merupakan suatu isomorfisma jika dan hanya jika K = (e).

BUKTI. Dengan menggunakan Lemma 4.8 diperoleh bahwa jika K = (e), maka

untuk sebarang , If-1( ) = (e)x = {x} dengan demikian f suatu fungsi satu-satu.

Sebaliknya, jika f pemetaan satu-satu, maka untuk sebarang xK, f(x) = = f(e). Karena f

satu-satu, maka x = e. Ini membuktikan bahwa K(e). Sebaliknya, secara trivial berlaku

(e) K, karena K merupakan subgrup dari G. Dari sini disimpulkan bahwa K = (e).

4.12. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup dengan

kernel K, maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K ke dalam .

BUKTI. Misalkan f fungsi dari G pada dengan pengaitan f : x f(x) untuk setiap

xG, dan g fungsi G kedalam G/K dengan pengaitan g : x Kx untuk setiap xG. Telah

ditunjukkan bahwa g bersifat pada (Lemma 4.4) dan kernel dari g adalah K. Sekarang

bangun fungsi h dari G/K ke dalam , dengan pengaitan h : Kx f(x) untuk setiap xG.

Perhatikan diagram berikut.

Pengaitan untuk f, g, dan h digambarkan seperti diagram berikut.

45

Akan ditunjukkan bahwa h suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K ke

dalam . Pertama-tama kita akan tunjukkan bahwa h merupakan suatu pemetaan, dalam

arti bahwa kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx f(x) terdefinisi dengan

baik (well-defined). Untuk itu, misalkan x1, x2 G sebarang, sedemikian sehingga Kx1 =

Kx2. Karena itu x1 = kx2 untuk suatu kK, dan akibatnya h(Kx1) = f(x1) = f(kx2) = f(k)f(x2) =

f(x2) = f(x2) = h(Kx2). Ini mengatakan bahwa pengaitan untuk h well-defined.

Selanjutnya, misalkan Kx1 dan Kx2 unsur-unsur dalam G/K. h((Kx1)(Kx2)) =

h(K(x1x2)) = f(x1x2) = f(x1)f(x2) = h(Kx1)h(Kx2). Jadi h merupakan suatu homomorfisma.

Sekarang untuk membuktikan bahwa h suatu isomorfisma, tinggal menggunakan

Teorema Akibat 4.11 dengan menunjukkan bahwa kernel dari h adalah (K). Untuk itu

misalkan Kh kernel dari h. Jika XKh sebarang, maka X = Kx untuk suatu xG dan h(X) =

h(Kx) = . Di pihak lain, h(Kx) = f(x), yang mengakibatkan f(x) = , dan dengan demikian

xK (kernel dari f). Menurut Lemma 2.11, X = Kx = K(K), jadi Kh(K). Sebaliknya, jika

Y = K(K), maka h(Y) = h(K) = h(Ke) = f(e) = unsur identitas dalam , sehingga dengan

demikian YKh. Jadi (K)Kh, dan ini melengkapi pembuktian bahwa kernel dari h adalah

(K). Karena K unsur identitas di G/K, maka menurut Teorema Akibat 4.11, h merupakan

isomorfisma dari G/K ke dalam .

4.13. DEFINISI. Dua grup G dan dikatakan isomorfik jika terdapat isomorfisma

dari G pada . Dalam kasus ini, ditulis G .

4.14. LEMMA. Jika G sebarang grup, maka G G.

BUKTI. Apabila kita memilih fungsi f : G G sebagaimana pada Contoh 4.3(b),

yaitu f(x) = x untuk setiap xG, maka kita mempunyai suatu isomorfisma dari G pada G.

Ini membuktikan bahwa G G.

46

4.15. LEMMA. Misalkan G dan dua grup sebarang. Jika G , maka G.

BUKTI. Misalkan f : G suatu isomorfisma dari G pada . Definisikan :

G, dengan (y) = f -1(y) untuk setiap y . Jelas ini suatu pemetaan karena sifat dari f

sebagai isomorfisma. Kita akan menunjukkan bahwa merupakan suatu isomorfisma dari

pada G. Sekarang, misalkan a,b sebarang

f((ab)) = f(f -1(ab)) = (ff -1)(ab) = (ab) = ab = (a) (b) = (ff -1)(a)(ff -1)(b)

= f(f -1(a))f(f -1(b)) = f((a))f((b)) = f((a)(b)).

Karena f suatu isomorfisma, maka (ab) = (a)(b). Jadi merupakan suatu

homomorfisma.

Selanjutnya, misalkan a,b sebarang, dengan (a) = (b). Maka a = (a) =

(ff -1)(a) = f(f -1(a)) = f((a)) = f((b)) = f(f -1(b)) = (ff -1)(b) = (b) = b. Ini membuktikan

bahwa suatu pemetaan yang bersifat injektif (1 – 1).

Akhirnya, misalkan xG sebarang, maka kita mempunyai f(x) , sehingga (f(x))

= f-1(f(x)) = (f-1f)(x) = idG(x) = x. Ini membuktikan bahwa bersifat surjektif, yang

melengkapi pembuktian bahwa suatu isomorfisma dari pada G. Jadi G.

4.16. LEMMA. Jika G, , dan grup-grup sebarang. Jika G dan ,

maka G .

BUKTI. Misalkan f suatu isomorfisma dari G pada , dan g suatu isomorfisma dari

pada . Sekarang, definisikan h : G , dengan h(x) = g(f(x)) untuk setiap xG. Jelas,

h merupakan suatu pemetaan. Selanjutnya, misalkan a,bG sebarang, maka kita peroleh

h(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = h(a)h(b).

Ini menujukkan bahwa h suatu homomorfisma.

Untuk membuktikan bahwa h bersifat injektif, misalkan a,bG dengan h(a) = h(b).

Dari sini berarti g(f(a)) = g(f(b)) dan oleh karena g suatu isomorfisma, maka f(a) = f(b).

Mengikuti ini, karena f suatu isomorfisma, maka a = b. Ini menunjukkan bahwa h suatu

injeksi.

Terakhir, untuk membuktikan bahwa h bersifat surjeksi, misalkan z sebarang.

Karena g suatu surjeksi, maka terdapat y sehingga g(y) = z, dan karena f suatu surjeksi,

maka terdapat xG sehingga f(x) = y. Dengan demikian kita mempunyai xG sehingga

47

h(x) = g(f(x)) = g(y) = z.

Ini membuktikan bahwa h suatu surjeksi. Jadi kita telah membuktikan bahwa h suatu

isomorfisma dari G pada , yang melengkapi pembuktian G .

4.17. LEMMA AKIBAT. Relasi isomorfik, , pada himpunan grup-grup merupakan

relasi ekivalen.

BUKTI. Lemma Akibat 4.17 ini merupakan rangkumam dari Lemma 4.14, Lemma

4.15, dan Lemma 4.16.

4.18. TEOREMA. Jika f suatu homomorfisma dari grup G pada grup dengan

kernel K, maka G/K.

BUKTI. Pada Teorema 4.12 kita telah membuktikan bahwa terdapat isomorfisma h

dari G/K ke dalam dengan pengaitan h : Kx f(x) untuk semua xG. Disini kita tinggal

menunjukkan bahwa h merupakan suatu surjeksi apabila f suatu surjeksi Untuk keperluan

ini, misalkan y sebarang. Karena f suatu surjeksi, maka terdapat xG sedemikian

sehingga y = f(x). Pilih KxG/K, sehingga diperoleh h(Kx) = f(x) = y. Ini membuktikan

bahwa h bersifat pada, dan sekaligus melengkapi pembuktian bahwa G/K , dan

menurut Lemma 4.15 ini membuktikan juga bahwa G/K.

4.19. LEMMA. Misalkan G, grup-grup, f homomorfisma dari G ke dalam

dengan kernel K. Jika subgrup dari , maka H = f-1( ) = {xG f(x) } merupakan

subgrup dari G yang memuat K. Lebih dari itu, jika subgrup normal dari , maka H

juga merupakan subgrup normal dari G.

BUKTI. Jelas KH, karena jika xK, maka f(x) = , dengan demikian xH.

Selanjutnya, jelas juga bahwa H , sebab f(e) = , yang berarti bahwa eH.

Kemudian, jika x,yH sebarang, maka f(x) dan f(y) , dengan demikian

f(xy) = f(x)f(y) , dan f(x-1) = (f(x))-1 ,

yang berturut-turut, membuktikan bahwa xyH dan x-1H. Jadi, H = f-1( ) merupakan

subgrup dari G yang memuat K.

Tinggal kita membuktikan bahwa H subgrup normal dari G jika subgrup normal

dari . Untuk keperluan ini, misalkan gG dan hH sebarang.

f(ghg-1) = f(g)f(h)f(g-1) = f(g)f(h)(f(g))-1.

48

Karena subgrup normal dari , maka f(g)f(h)(f(g))-1 , yang diikuti oleh ghg-1H.

Perlu dicatat bahwa menurut Teorema 4.18, G/K. Karena KH, maka f : H

juga pemetaan dari H pada , yang secara jelas mempunyai kernel K. Akibatnya,

H/K.

4.20. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam grup ,

dengan kernel K. Misalkan pula L subgrup dari G yang memuat K.

(1) Jika L0 = L, maka f(L0) = f(L).

(2) Jika = f(L) = {f(x) xL} yaitu peta dari L oleh f, maka merupakan subgrup dari

. Jika L subgrup normal dari G, maka juga merupakan subgrup normal dari .

(3) Jika T = {xG f(x) }, maka T = L.

BUKTI. (1) Jelas, karena untuk setiap yf(L0) juga merupakan unsur di f(L),

demikian sebaliknya. Karena itu f(L0) = f(L).

(2) Jelas = f(L) , karena eL yang menghasilkan f(e) . Selanjutnya, jika

y1,y2 , maka terdapat x1,x2L sehingga f(x1) = y1 dan f(x2) = y2.

y1y2 = f(x1)f(x2) = f(x1x2), dan

y1-1 = f(x1)-1 = f(x1

-1).

Karena L subgrup dari G maka x1x2L dan x1-1L, dengan demikian y1y2 dan y1

-1 .

Jadi, subgrup dari .

Sekarang jika L subgrup normal dari G yang memuat K, misalkan ,

sebarang, maka terdapat gG dan lL sehingga f(g) = dan f(l) = . Karena itu

= f(g)f(l)(f(g))-1 = f(g)f(l)f(g-1) = f(glg-1).

Karena L subgrup normal dari G, maka glg-1L. Akibatnya, . Jadi, merupakan

subgrup normal dari .

(3) Karena merupakan subgrup dari , maka menurut Lemma 4.19, T

merupakan subgrup dari G yang memuat K. Selanjutnya, jelas bahwa LT, karena untuk

sebarang lL, f(l) , yang berarti juga lT. Sebaliknya, misalkan tT sebarang, maka

f(t) . Karena itu terdapat l0L sehingga f(t) = f(l0) yang diikuti f(tl0-1) = f(t)f(l0)-1 = .

Dengan demikian tl0-1KL. Akibatnya, tLl = L. Dari sini disimpulkan bahwa TL.

Karena kita telah mempunyai LT, maka T = L.

49

4.21. LEMMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada grup , dengan

kernel K. Maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan semua subgrup dari G

yang memuat K dengan himpunan subgrup dari .

BUKTI. Misalkan menyatakan himpunan semua subgrup dari G yang memuat K

dan menyatakan himpunan semua subgrup dari . Definisikan suatu fungsi f dari ke

dalam , dengan pengaitan f(H) = f(H) = {f(h) hH}, yaitu peta dari H oleh f, untuk

setiap H. Menurut Lemma 4.20(1), pengaitan ini well-defined atau dengan kata lain,

pengaitan tersebut mendefinisikan suatu pemetaan. Berdasarkan Lemma 4.20(3) pemetaan

f suatu injeksi, dan menurut Lemma 4.19, f merupakan suatu surjeksi. Dengan demikian,

f merupakan suatu korespondensi satu-satu antara dan .

Lemma 4.21 mengatakan bahwa, jika f suatu pemetaan dari grup G pada grup

dengan kernel K, maka banyaknya subgrup dari G yang memuat K sama dengan

banyaknya subgrup dari .

4.22. TEOREMA. Misalkan f suatu homomorfisma dari grup G pada grup dengan

kernel K. Misalkan pula subgrup normal dari , dan N = {xG f(x) }. Maka G/N

. Secara ekivalen, G/N .

BUKTI. Perhatikan diagram berikut.

Definisikan pengaitan untuk f, h, , , dan seperti pada diagram berikut.

50

Dengan pengaitan seperti diagram di atas, telah ditunjukkan bahwa dan well-defined.

Berdasarkan diagram pengaitan di atas pula, kita disarankan mendefinisikan suatu

pengaitan h dari G ke dalam dengan h : x f(x), untuk setiap xG. Pertama-tama

kita harus tunjukkan bahwa h well-defined. Untuk itu, misalkan x1,x2G sebarang dengan

x1 = x2. Karena itu kita mempunyai f(x1) = f(x2), dengan demikian h(x1) = f(x1) = f(x2) =

h(x2). Jadi, h well-defined.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu homomorfisma. Karena

itu, misalkan x1,x2G sebarang.

h(x1x2) = f(x1x2) = (f(x1)f(x2)) = ( f(x1))( f(x2)) = h(x1)h(x2).

Ini membuktikan bahwa h suatu homomorfisma.

Kemudian akan ditunjukkan bahwa h merupakan suatu surjeksi. Untuk ini,

misalkan sebarang, dengan = untuk suatu . Karena f suatu fungsi

dari G pada , maka kita mempunyai yG sehingga f(y) = . Dari sini,

h(y) = f(y) = = .

Jadi, h suatu surjeksi.

Terakhir kita tinggal menunjukkan bahwa kernel dari h, Kh = N. Sekarang misalkan

xKh sebarang, maka h(x) = f(x) = , karena unsur identitas dalam . Dari sini

berarti f(x) dan karena itu xN. Jadi, Kh N. Sebaliknya, misalkan yN sebarang,

maka f(y) . Karena itu h(y) = f(y) = . Akibatnya yKh, dengan demikian N Kh. Ini

melengkapi pembuktian bahwa Kh = N. Kesimpulan bahwa G/N segera kita

peroleh dengan menggunakan Lemma 4.19. Kemudian, karena G/K , dan N/K ,

maka secara ekivalen kita mempunyai G/N .

SOAL – SOAL:

51

1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan

homopmorfisma? Buktikan kebenaran setiap jawaban yang anda kemukakan. Jika

pemetaannya merupakan suatu homomorfisma, tentukanlah kernelnya!

a. G adalah grup semua bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, = G, dan

f(x) = x2 untuk semua xG.

b. G, sebagaimana pada (a), dan f(x) = 2x untuk semua xG.

c. G adalah grup semua bilangan real terhadap operasi penjumlahan, = G, dan f(x)

= x + 1 untuk semua xG.

d. G, sebagaimana pada (c), dan f(x) = 13x untuk semua xG.

e. G sebarang grup komutatif, = G, dan f(x) = x5 untuk semua xG.

2. Misalkan G sebarang grup dan g suatu unsur tertentu dalam G. Didefinisikan fungsi f :

G G dengan f(x) = gxg-1 untuk semua xG. Buktikan bahwa f merupakan

isomorfisma dari G pada G.

3. Misalkan V himpunan semua bilangan real, dan untuk bilangan real a, b, dan a 0

misalkan ab : V V didefinisikan oleh ab(x) = ax + b. Misalkan G = {aba,b

bilangan real, a 0} dan N = {1bG}. Buktikan bahwa N subgrup normal dari G dan

G/N grup bilangan real tak nol dengan operasi perkalian.

4. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian dan misalkan

N himpunan bilangan kompleks yang modulusnya 1. Tunjukkanlah bahwa G/N

isomorfik dengan grup semua bilangan real positif dibawah operasi perkalian.

5. Misalkan G grup bilangan kompleks tanpa nol dibawah operasi perkalian, dan grup

matriks real yang berbentuk dimana a dan b tidak keduanya 0 dibawah

operasi perkalian matriks. Tunjukkanlah bahwa G dan isomorfik.

6. Misalkan G grup bilangan real dibawah operasi penjumlahan dan N subgrup dari G

yang memuat semua bilangan bulat. Buktikanlah bahwa G/N isomorfik dengan grup

semua bilangan kompleks yang modulusnya 1 dibawah operasi perkalian bilangan

kompleks.

52

BAB V

AUTOMORFISMA

Pada Bab IV, kita telah mengenal banyak hal tentang homomorfisma dari suatu

grup ke grup lain. Kasus yang cukup menarik adalah pembahasan tentang homomorfisma

dari sutu grup pada grup lain. Lebih khusus lagi, pada bab ini kita akan mengenal

isomorfisma (homomorfisma satu-satu) dari suatu grup pada grup itu sendiri. Sebagai

contoh sederhana, misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, dan

didefinisikan pemetaan idG : G G dengan pengaitan idG(x) = x untuk semua xG. Pada

Contoh 4.3(b), idG ini merupakan suatu isomorfisma dari G pada G, dan kemudian idG ini

kita mengenalnya dengan nama homomorfisma identitas.

Untuk pembahasan kita selanjutnya, kita mengawalinya dengan definisi berikut.

5.1. DEFINISI. Misalkan G grup sebarang. Pemetaan f : G G dikatakan

automorfisma, jika f suatu isomorfisma dari G pada G.

5.2. CONTOH-CONTOH. (a) Misalkan G grup sebarang. Homomorfisma identitas,

idG merupakan isomorfisma dari G pada G (Contoh 4.3(b)), dengan demikian idG suatu

automorfisma dari G.

(b) Misalkan G grup komutatif dan g : G G dengan g(x) = x-1 untuk setiap xG.

Jelas g merupakan suatu homomorfisma, karena jika x1,x2G sebarang, maka

g(x1x2) = (x1x2)-1 = x2-1x1

-1 = x1-1x2

-1 = g(x1)g(x2).

Selanjutnya, jika x1,x2G dengan g(x1) = g(x2), maka

x1 = (x1-1)-1 = g(x1)-1 = g(x2)-1 = (x2

-1)-1 = x2.

Ini menunjukkan bahwa g suatu injeksi. Kemudian, apabila yG sebarang, maka y-1G,

dan g(y-1) = (y-1)-1 = y. Dengan demikian g suatu surjeksi. Karena itu, g merupakan suatu

automorfisma dari G.

(c) Misalkan G grup sebarang, aG, dan misalkan a : G G suatu pemetaan

dengan a(x) = axa-1 untuk setiap xG. Jika x1, x2G sebarang, maka

a(x1x2) = a(x1x2)a-1 = (ax1a-1)(ax2a-1) = a(x1)a(x2),

dengan demikian a merupakan suatu homomorfisma. Sekarang, misalkan kernel dari a

adalah K. Jika xK, maka e = a(x) = axa-1, yang diikuti oleh a = ea = ax. Dengan sifat

53

kanselasi pada G, diperoleh x = e<e>. Dengan demikian kita mempunyai K<e>.

Sebaliknya, secara trivial, karena a suatu homomorfisma, maka <e> K. Dengan

demikian K = <e>. Karena itu, menurut Teorema Teorema 4.11, a suatu isomorfisma.

Selanjutnya, misalkan yG sebarang, maka dengan memilih x = a-1yaG, kita peroleh

a(x) = axa-1 = a(a-1ya)a-1 = y,

dengan demikian a suatu surjeksi. Karena itu, a suatu isomorfisma dari G pada G,

dengan demikian a automorfisma dari G. Pada contoh ini, a dinamakan automorfisma

dalam dari G yang bersesuaian dengan a.

Sekarang kita misalkan G sebarang grup. Jika kita mengumpulkan semua

automorfisma dari G, maka kita akan mempunyai himpunan semua automorfisma dari G,

kita namakan saja Aut(G). Dari fakta-fakta pada Contoh 5.2, maka kita dapat simpulkan

bahwa Aut(G) . Perlu dicermati bahwa Aut(G) A(G) himpunan dari semua

korespondensi satu-satu antara G dan G. Lemma berikut menjelaskan tentang struktur

aljabar dari Aut(G).

5.3. LEMMA. Jika G grup, dan misalkan Aut(G) himpunan semua automorfisma

dari G, maka dibawah operasi komposisi fungsi, Aut(G) membentuk grup.

BUKTI. Untuk menyimpulkan bahwa Aut(G) sebagai grup dibawah operasi

komposisi fungsi-fungsi, cukup kita tunjukkan bahwa Aut(G) merupakan subgrup dari

A(G), karena kita telah ketahui bahwa dengan operasi ini A(G) membentuk grup.

Sehubungan dengan itu, sekarang misalkan 1 dan 2 unsur-unsur dalam Aut(G) sebarang,

dan untuk setiap x,yG, berlaku

1(xy) = 1(x)1(y), dan juga 1(xy) = 2(x)2(y).

Oleh karena itu,

21(xy) = 2(1(xy)) = 2(1(x)1(y)) = 2(1(x))2(1(y))

= 21(x) 21(y).

Ini membuktikan bahwa 21 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G. Selanjutnya,

karena 1,2Aut(G)A(G), maka jelaslah 21A(G), dengan demikian 21Aut(G).

Akibatnya, dibawah operasi dalam A(G), Aut(G) bersifat tertutup

Selanjutnya, karena 1Aut(G) A(G), maka terdapat 1-1A(G) sedemikian

sehingga 11-1 = idG = 1

-11. Akibatnya,

1-1(xy) = 1

-1(idG(x)idG(y)) = 1-1(11

-1(x)11-1(y)

54

= 1-1(1((1

-1(x)1-1(y))) = 1

-11((1-1(x)1

-1(y))

= idG(1-1(x)1

-1(y)) = 1-1(x)1

-1(y),

dengan demikian 1-1 merupakan homomorfisma dari G ke dalam G. Karena 1

-1A(G)

juga, maka berarti 1-1Aut(G). Ini melengkapi pembuktian bahwa Aut(G) suatu subgrup

dari A(G). Akibatnya, dibawah operasi komposisi fungsi-fungsi, Aut(G) membentuk grup.

5.4. LEMMA. Terdapat automorfisma non-trivial dari sebarang grup G.

BUKTI. Misalkan G grup sebarang. Jika G grup komutatif, maka perhatikan kembali

Contoh 5.2(b), yang meperlihatkan bahwa fungsi g suatu automorfisma dari grup abelian

G. Jika terdapat x0G sedemikian sehingga x0 x0-1, maka g(x0) = x0

-1 x0, dengan

demikian g idG. Apabila G grup non-abelian, maka perhatikan pula Contoh 5.2(c) yang

telah memperlihatkan kepada kita bahwa a merupakan automorfisma dari G yang

bersesuaian dengan suatu aG. Karena G non-Abelian, maka terdapat a,bG sedemikian

sehingga ab ba, dengan demikian a(b) = aba-1 b, yang mengakibatkan a idG. Dari

kedua kasus tersebut di atas, maka kita peroleh fakta bahwa untuk sebarang grup G (baik

abelian maupun non-abelian) selalu terdapat automorfisma non-trivial dari G, yaitu

autoforfisma yang bukan homomorfisma (yang pada akhirnya automorfisma) identitas

5.5. LEMMA. Misalkan Autd(G) = {aAut(G) aG}, yaitu himpunan semua

automorfisma dalam dari G yang besesuaan dengan aG, a. maka Autd(G) merupakan

subgrup dari Aut(G).

Autd(G) ini disebut grup automorfisma dalam dari G.

BUKTI. Telah diperlihatkan pada Lemma 5.4, bahwa Autd(G) . Sekarang,

misalkan a,bAutd(G) sebarang. Untuk setiap xG berlaku

(ab)(x) = a(b(x)) = a(bxb-1) = a(bxb-1)a-1 = (ab)x(b-1a-1)

= (ab)x(ab)-1 = ab(x).

Ini menunjukkan bahwa ab = abAutd(G), dengan demikian Autd(G) tertutup terhadap

operasi dalam Aut(G). Selanjutnya, perhatikan bahwa a-1Aut(G). Untuk setiap xG,

berlaku

aa-1(x) = a(a

-1(x)) = a(a-1x(a-1)-1) = a(a-1x(a-1)-1)a-1

= (aa-1)x((a-1)-1)a-1 = x = idG(x),

dan juga

55

a(x) = (a(x)) = (axa-1) = a-1(axa-1)(a-1)-1

= (a-1a)x((a-1)(a-1)-1) = x = idG(x),

dengan demikian (a)-1 = Autd(G). Ini melengkapi pembuktian Lemma 5.5.

5.6 LEMMA. Misalkan G sebarang grup, Autd(G) grup semua automorfisma dalam

dari G, dan Z center dari G. Maka Autd(G) G/Z.

BUKTI. Bangun suatu pengaitan dari G ke dalam Autd(G) dengan : x x,

untuk setiap xG. Jika x1,x2G, sedemikian sehingga x1 = x2, maka untuk setiap xG

berlaku

(x1)(x) = (x) = x1xx1-1 = x2xx2

-1 = (x) = (x2)(x).

Ini menunjukkan bahwa (x1) = (x2), dengan demikian berarti bahwa suatu pemetaan.

Sekarang, pandang pemetaan : G Autd(G), dengan pengaitan (x) = x,

untuk semua xG. Misalkan x1,x2G sebarang. Untuk semua gG berlaku

((x1)(x2))(g) = (g) = (x2gx1-1) = x1(x2gx2

-1)x1-1

= (x1x2)g(x2-1x1

-1) = (x1x2)g(x1x2) = (g)

= (x1x2)(g).

Ini mengatakan bahwa (x1x2) = (x1)(x2), karena itu merupakan homomorfisma.

Selanjutnya, misalkan YAutd(G) sebarang, misalkan Y = b untuk suatu bG.

Pilih a = bG, sehingga untuk setiap xG berlaku

(a)(x) = a(x) = axa-1 = bxb-1 = b(x) = Y(x),

dan ini mengatakan bahwa suatu surjeksi.

Terakhir, misalkan kernal dari adalah K. Jika yK, maka untuk setiap gG

berlaku (y)(g) = idG(g) = g. Di pihak lain, (y)(g) = y(g) = ygy-1, dengan demikian g =

ygy-1. Dari sini kita mempunyai gy = yg untuk semua gG, yang memberikan arti bahwa

yZ, karena Z center dari G dan akibatnya KZ. Sebaliknya, apabila zZ, maka berarti zg

= gz untuk semua gG, dengan demikian untuk setiap gG, diperoleh

(z)(g) = z(g) = zgz-1 = gzz-1 = g = idG(g).

Ini menunjukkan bahwa (z) = idG, mengikuti ini diperoleh bahwa zK. Dengan demikian

ZK Kesimpulannya, Z = K. Kesimpulan bahwa G/Z Autd(G) diperoleh setelah

menerapkan Teorema 4.18.

56

5.7. LEMMA. Misalkan G suatu grup dan f automorfisma dari G. Jika aG dengan

o(a) = n untuk suatu bilangan bulat positif n, maka o(f(a)) = o(a).

BUKTI. Misalkan a unsur dalam grup G, dengan o(a) = n. Karena f automorfisma,

maka (f(a))n = f(an) = f(e) = e. Sementara itu apabila (f(a))m = e untuk suatu bilangan bulat

sedemikian sehingga 0 < m < n, maka f(am) = (f(a))m = = e = f(e). Karena f suatu

isoomorfisma, maka am = e. Hasil ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa an = e, dimana n

bilangan bulat positif, dengan demikian maka haruslah o(f(a)) = o(a).

SOAL-SOAL

1. Periksalah, pemetaan manakah dari kasus-kasus berikut ini yang merupakan

automorfisma dari grup yang diberikan? Buktikan kebenaran setiap jawaban yang anda

kemukakan.

a. G, grup semua bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, dan T(x) = - x untuk

semua xG.

b. G, grup semua bilangan rel positif terhadap operasi perkalian, dan T(x) = x2 untuk

semua xG.

c. G, grup siklik orde 12, dan T(x) = x3 untuk semua xG.

d. G = S3, dan T(x) = x-1 untuk semua xG.

2. Misalkan G grup, gG, dan : G G suatu pemetaan dengan (t) = g-1tg untuk setiap

tG. Tunjukkan bahwa

a. merupakan automorfisma dari G.

b. bukan automorfisma dalam dari G yang bersesuaian dengan g. Selanjutnya

berikanlah syarat perlu sehingga menjadi automorfisma dalam dari G yang

bersesuaian dengan g.

3. Misalkan G grup, dan H subgrup dari G, suatu automorfisma dari G. Jika (H) =

{(h) hH}, maka buktikanlah bahwa (H) subgrup dari G.

4. Misalkan G grup, T suatu automorfisma dari G, dan N subgrup normal dari G. Jika T(N)

= {T(n) nN}, maka buktikanlah bahwa T(N) merupakan subgrup normal dari G.

5. Buktikan bahwa jika G = S3, maka G Autd(G).

57

6. Misalkan G grup. Buktikanlah bahwa Autd(G) merupakan subgrup normal dari Aut(G).

7. Misalkan G grup orde 4, G = {e, a, b, ab}, a2 = b2 = e, ab = ba. Tentukanlah Aut(G).

8. Misalkan G grup dan Z center dari G. Jika automorfisma dari G, buktikanlah bahwa

(Z) Z.

9. Misalkan G grup dan suatu automorfisma dari G. Jika untuk aG, N(a) = {xG xa =

ax}, buktikanlah bahwa N((a)) = (N(a)).

58