Struktur Aljabar

  • View
    1.672

  • Download
    32

Embed Size (px)

Text of Struktur Aljabar

BAB ITEORI GRUPMengawali babini, kita kembali menengokkebelakangpadababsebelumnya. MisalkanShimpunan yangtak kosong, kita definisikanA(S) himpunan semua pemetaan satu-satudariSpadaS. Untuk sebarang f,gdiA(S) kita kenakan operasi perkalianfogyaitukomposisi dari fungsifdang. Berdasarkanpenyelidikan, kita telah peroleh fakta berikut.1. Jika f,g A(S), maka fog juga dalam A(S). Fakta ini mengatakan bahwa dengan operasi komposisi fungsi, A(S) bersifat tertutup.2. Untuk sebarang tiga unsur f,g,h A(S), berlaku fo(goh) = (fog)oh. Fakta ini mengatakan bahwa operasi komposisi dalam A(S) memenuhi sifat asosiatif.3. Terdapat idS unsur yang sangat khas dalam A(S) yang memenuhi, idSof = f = foidS untuk setiapfA(S).idSini disebutunsur identitasuntukA(S) relatif terhadap operasi komposisi dalam A(S).4. Untuk setiap fA(S), terdapat unsur f 1juga dalam A(S) sedemikian sehingga fof 1= idS = f 1of. Fakta ini menunjukkan bahwa setiap unsur dalam A(S) memiliki invers yang juga dalam A(S).BerdasarkanpenyelidikandiA(S)khususnyaapabilaSmempunyai 3unsuratau lebih, maka dapat kita temukan unsur-unsur f dan g dalam A(S) sedemikian sehingga fog gof.Fakta-fakta yang dapat kita peroleh dalam A(S) sebagaimana dikemukakan di atas merupakan salah satu contoh yang mengilhami adanya konsep grup seperti disajikan pada Definisi 1.1 berikut.1.1. DEFINISI. Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan membentuk grup, jika dalam G dapat didefinisikan suatu operasi biner, yang dinamakan operasi perkalian, ditulis . sedemikian sehingga (1). a.bG, untuk setiap a,bG(2). a.(b.c) = (a.b).c, untuk semua a,b,cG(3). Terdapat unsur eG sedemikian sehingga a.e = e.a = a, untuk setiap aG1(4). Untuk setiap aG, terdapat a-1G sedemikian sehingga a.a-1 = a-1.a = e.Selanjutnya, suatu grup G dikatakan Abelian (Komutatif), jika untuk setiap a,bG berlaku a.b = b.a. Grup yang tidak komutatif disebut Grup Non-Abelian.Setelah memperhatikan Definisi 1.1, maka secara mudah kita dapat menyimpulkan bahwa A(S) dengan operasi komposisi di dalamnya seperti dikemukakan di atas (sebelum Definisi 1.1) merupakan grup, meskipun bukan grup Abelian. Jika S himpunan hingga dan memiliki n unsur, maka grup A(S) akan disimbol dengan Sn.Hal lainyangmenjadi karakteristiksuatugrupadalahjumlahunsurnya. Jumlah unsur dari suatu grup G, disimbol o(G), dan disebut orde dari G. Tentu saja, jika kita ingin membicarakan ciri ini, maka hanya akan menarik apabila o(G) hingga (finite). Grup G yang o(G) hingga, disebut grup hingga.1.2. CONTOH-CONTOH:(a). Misalkan Ghimpunan bilangan bulat, dan kita artikan operasi biner a.b untuk a,bG adalah penjumlahan pada bilangan bulat, yaitu a.b = a + b. Maka segera dapat ditunjukkan bahwa G bersifat tertutup dengan operasi ini, karena hasil penjumlahan duabilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Demikian juga sifat asosiatif dengan operasi ini pada bilangan bulat, jelas dipenuhi. Selanjutnya, yang berperan sebagai e dalam G adalah 0 karena untuk setiap aG, berlaku a + 0 = a = 0 + a, dan setiap unsur aG mempunyai a-1 = -a juga unsur dalam G.(b). Misalkan G = {1,-1} dibawah operasi perkalian pada bilangan real. Perhatikan Tabel berikut:1 -11 1 -1-1 -1 1Berdasarkan Tabel di atas dapat dilihat bahwa G bersifat tertutup, dapat ditunjukkan bahwa operasinya memenuhi sifat asosiatif, unsur identitasnya adalah e= 1. Selanjutnya, 1-1= 1 dan (1)-1 = -1. Lebih dari itu, dapat juga ditunjukkan bahwa G membentuk grup komutatif dengan o(G) = 22(c). JikaS={x1,x2,x3}.S3adalahhimpunansemuafungsi 1-1dariSpadaS, diberikan operasi komposisi pada fungsi-fungsi, maka S3 = {e, f, g, fog, g2, gof} denganf : x1 x2g : x1 x2x2 x1x2 x3x3 x3x3 x1oe f g fog g2gofe e f g fog g2goff f e fog g gof g2g g gof g2f e fogfog fog g2gof e f gg2g2fog e gof g fgof gof g f g2fog eDenganmemperhatikantabeldi atas,makaS3dengan operasi komposisi fungsi bersifat tertutup, sifat asosiatif dalam S3dengan operasi ini dipenuhi sebagai sifat warisan operasi komposisi fungsi-fungsi sebarang, kemudian dengan operasi ini S3 memiliki unsur identitas, yaitupemetaanidentitase, dansetiapunsur dalam Gmemiliki invers dalam S3juga, yaitu:e-1= eS3,f-1= fS3,g-1= g2S3, (fog)-1= fogS3, (g2)-1= gS3, dan (gof)-1= gofS3, Dari sini berarti bahwa S3membentuk grup. Karenagof fogmakaS3bukan grup Abelian.Dengan demikianS3membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(S3) = 6. Untuk menyederhanakan bentuk, selanjutnya untuk sebaranga,bGakan digunakan notasi a.b = ab. Kemudian kita juga akan menyatakan, a0 = e, a1 = a, a2 = aa, a3 = aa2, , ak = aak-1. Demikian juga kita nyatakan, a-2 = (a-1)2, a-3 = (a-1)3, , a-k = (a-1)k. (d). Misalkan nsebarang bilangan bulat positif. Kita konstruksi suatu grup orde n sebagai berikut. G = {ai1 i = 0,1, ,n}, dengan mendefinisikan a0 = e, aiaj = ai+j jika i + j 3< n, dan aiaj = ai+j-n, jika i + j n. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa G membentuk grup. Grup ini disebut grup siklik orde n.Untuk memperjelas contoh ini, misalkan n = 5, maka kita mempunyai G = {e, a, a2, a3, a4}. Selanjutnya perhatikan Tabel berikut.. e a a2a3a4e e a a2a3a4a a a2a3a4ea2a2a3a4e aa3a3a4e a a2a4a4e a a2a3Jelas, dengan operasi yang diberikan, G bersifat tertutup. Selanjutnya dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa dengan operasi ini, dalam G berlaku sifat asosiatif. Kemudian, bahwa dalam G terdapat unsur identitas, yaitu e, dan setiap unsur dalam G memiliki invers dalam G yaitu: e-1 = eG, a-1 = a4 G, (a2)-1 = a3 G, (a3)-1 = a2 G, dan (a4)-1 = a G. Lebih dari itu, bahwa jika ai dan aj sebarang dalam G, maka aiaj = ai+j = aj+i = ajai untuk i + j< 5 dan aiaj= ai+j= aj+i= ajaiuntuk i + j 5, dengan demikian dalam Gberlaku sifat komutatif. Jadi, G merupakan grup Abelian (periksa!).(e) Misalkan G= {1, -1,i, -i,j, -j,k, -k} dan dalam Gdilengkapi dengan operasi perkalian,dengan hasil lengkap dari pengoperasian unsur-unsur dalam G, disajikan pada tabel berikut.. 1 -1 i -i j -j k -k1 1 -1 i -i j -j k -k-1 -1 1 -i i -j j -k ki i -i -1 1 k -k -j j-i -i i 1 -1 -k k j -jj j -j -k k -1 1 i -i-j -j j k -k 1 -1 -i ik k -k j -j -i i -1 1-k -k k -j j i -i 1 -14Dengan memperhatikan tabel di atas, maka Gdengan operasi perkalian bersifat tertutup. Selanjutnya,dapatditunjukkan bahwa operasi dalam Gmemenuhi sifat asosiatif. Unsuridentitasdalam Gadalah1.Untuksetiapunsurdalam Gmemiliki invers dalam G juga, yaitu: 1-1 = 1 G, -1-1 = -1G, i-1 = -iG, (-i)-1 = iG, j-1 = -jG, (-j)-1= jG,i-1= -kGdan (-k)-1 = kG. Dari sini berarti bahwa G membentuk grup. Karena ij ji, maka G bukan grup Abelian. Dengan demikian G membentuk grup hingga non-Abelian dengan o(G) = 8. Grup ini dikenal grup Quaternion. (f) MisalkanG= ''

,`

.|0 , , , , bc ad d c b ad cb aRdengan operasi perkalian matriksdalam G, yaitujikaA =

,`

.|d cb adanB=

,`

.|z yx wmatriks-matrikssebarang dalam G, maka ad bc 0 dan wz xy 0.Sekarang, perhatikan bahwa AB =

,`

.|+ ++ +

,`

.|

,`

.|dz cx dy cwbz ax by awz yx wd cb a. Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian, (aw + by)(cx + dz) (cw + dy)(ax + bz) = (ad bc)(wz xy) 0.Ini menunjukkan bahwa, ABG.Hukumasosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalamG,karena jikaA=

,`

.|d cb a, B =

,`

.|s rq p, dan C =

,`

.|z yx w matriks-matriks sebarang dalam G, makaA(BC) =

,`

.|d cb a]]]

,`

.|

,`

.|z yx ws rq p =

,`

.|d cb a

,`

.|+ ++ +sz rx sy rwqz px qy pw= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,`

.|+ + + + + ++ + + + + +sz rx d qz px c sy rw d qy pw csz rx b qz px a sy rw b qy pw a= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,`

.|+ + + + + ++ + + + + +z ds cq x dr cp y ds cq w dr cpz bs aq x br ap y bs aq w br ap=

,`

.|+ ++ +ds cq dr cpbs aq br ap

,`

.|z yx w = (AB)C.5Selanjutnya,I=

,`

.|1 00 1adalahunsurGkarena1(1)0(0)=1 0, dankita ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks.Akhirnya, jika A =

,`

.|d cb aG, maka ad bc 0. Sekarang pandang matriks D =

,`

.| bc adabc adcbc adbbc addyangdibangundariA. MatriksDini merupakanunsurdalam G, karena

,`

.|

,`

.| bc ad abc ad d -,`

.|

,`

.| bc ad cbc ad b = ( )bc adbc adbc ad 12 0.Oleh karena AD= I= DA, maka berartiB= A-1. Ini melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.Sekarang, jika kita memilih matriks-matriks P =

,`

.|3 01 2 dan Q =

,`

.| 1 11 3, maka jelas P dan Q unsur-unsur di G, karena 2.3 0.1 = 6 0 dan 3.1 1.(-1) = 4 0.PQ =

,`

.|3 01 2

,`

.| 1 11 3 =

,`

.| 3 31 7

,`

.|4 20 6 =

,`

.| 1 11 3

,`

.|3 01 2 = QP.Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian).(g). Misalkan G= ''

,`

.|1 , , , , bc ad d c b ad cb aRdengan operasi perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika A =

,`

.|d cb a dan B =

,`

.|z yx w matriks-matriks sebarang dalam G, maka ad bc = 1 dan wz xy = 1.Sekarang, perhatikan bahwa AB =

,`

.|+ ++ +

,`

.|

,`

.|dz cx dy cwbz ax by awz yx wd cb a. Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian, (aw + by)(cx + dz) (cw + dy)(ax + bz) = (ad bc)(wz xy) = 1.1 = 1.Ini menunjukkan bahwa, ABG.6Hukum asosiatif dipenuhi oleh perkalian matriks-matriks dalam G. Hal ini dapat dipandang sebagai sifat yang diwarisi dari Contoh 1.2(e).Selanjutnya,I=

,`

.|1 00 1adalah unsur Gkarena 1(1) 0(0) = 1, dan kita ketahui bahwa I merupakan matriks identitas relatif terhadap operasi perkalian matriks.Akhirnya, jika A =

,`

.|d cb aG, maka ad bc = 1. Sekarang pandang matriks D =

,`

.| bc adabc adcbc adbbc addyangdibangun