TUGAS STRUKTUR ALJABAR

Tentang

CATATAN STRUKTUR ALJABAR

Oleh :

Tadris Matematika

Bp. 2010

Dosen Pembimbing

Andi Susanto, S.Si, M.Si

JURUSAN PRODI MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

IMAM BONJOL PADANG

2013 M/1434H

OPERASI BINER

Definisi 1.1

Jika S adalah suatu himpunan yang tidak kosong maka operasi biner o (dibaca

“Bundaran”) pada S adalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap

pasangan berurutan.

(a, b) ∈ S x S dengan tepat satu elemen (a o b) ∈ S.

Secara simbolik definisi 1.1 yaitu operasi biner o ditulis:

o : S x S S

contoh:

A = {2 , 4 ,6 ,8 , … } yaitu himpunan bilangan asli genap dan dipandang operasi +,

yaitu operasi penjumlahan seperti yang telah kita kenal. Maka + merupakan

operasi biner A, sebab jumlah setiap dua bilangan asli genap selalu merupakan

bilangan asli genap dalam A.

B = {1 , 3 ,5 ,7 , …} yaitu himpunan bilangan asli ganjil dan pandang operasi – yaitu

operasi pengurangan. Perhatikan bahwa 1 – 7 = -6 dan -6 ∈ B maka – bukan

merupakan operasi biner pada B, sebab ada hasil pengurangan dua anggota B

yang bukan merupakan anggota B.

Jenis-Jenis Operasi Biner

1. Bersifat komutatif

Definisi

Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S dikatakan komutatif bila dan

hanya bila untuk setiap x, y ∈ S maka x o y = y o x

Dengan simbol logika ditulis:

Operasi biner o pada S, komutatif bila dan hanya bila ∀ x, y ∈ S,

x o y = y o x

2. Bersifat assosiatif

Definisi

Suatu operasi biner o paa suatu himpunan S bersifat asosiatif bila dan hanya

bila untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku ( x o y) o z = x o ( y o z)

Dengan symbol logika dituliskan:

Operasi biner o pada S bersifat asossiatif bila dan hanya bila

∀ x, y, z ∈ S, (x o y) o z = x o (y o x)

3. Elemen identitas

Definisi

Suatu himpunan S dikatakan mempunyai mempunyai elemen identitas

(elemen netral) terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ada elemen u ∈ S

sedemikian hingga untuk setiap x ∈ A berlaku x o u = u o x = x.

Teorema 1. 1

Jika himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas maka

elemen identitas itu tunggal.

Bukti:

Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas

U1 dan U2 dengan U1 . U2 ∈ S. karena U1 elemen identitas dari S dan U2 ∈ S

maka U1 o U2 = U2 o U1 = U2. Demikian pula, karena U2 elemen identitas dari S

dan U1 ∈ S maka U2 o U1 = U1 o U2 = U1. Jadi U1 = U2. Ini berarti elemen

identitas dari S terhadap operasi biner o adalah tunggal.

4. Invers

Definisi

Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas u.

suatu elemen y ∈ S dikatakan invers dari x ∈ S terhadap operasi biner o bila

dan hanya bila x o y = y o x = u.

Invers dari x terhadap suatu operasi biner ditulis x-1 (dibaca “invers x”).

Teorema

Misalkan o adala

h suatu operasi biner pada himpunan S. Jika x ∈ S mempunyai invers terhadap

operasi o maka invers dari x tersebut tunggal.

Bukti:

Misalkan invers dari x ∈ S terhadap operasi biner o adalah X1 dan X2 dengan

X1, X2 ∈ S dan misalkan elemen identitas S terhadap operasi biner o adalah u.

karena X1 adalah invers dari x maka X o X1= X1 o X = X1. Demikian pula,

karena X2 adalah invers dari x maka X o X2 = X2 o X = X2. Maka X1 = X2. Ini

berarti bahwa invers dari x terhadap operasi biner adalah tunggal.

Definisi 1.6

Misalkan operasi-operasi biner ∆ dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S

(1) Jika untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku x ∆ (y o z) = (x ∆ y) o (x ∆z), maka

pada s berlaku sifat distributive kiri ∆ terhadap o.

(2) Jika untuk setiap x, y, z ∈ S berlaku (y oz) ∆ x=( y ∆ x) o (z ∆ x) maka

pada S berlaku sifat distributive kanan ∆ terhadap o.

Contoh:

Misalkan B = {…,−3 ,−2 ,−1 , 0 , 1 ,2 , 3 ,…} dan dipandang operasi

penjumlahan + seperti yang sudah dikenal, sedang operasi ∆ pada B

didefinisikan jika a, b , c ∈ B maka a ∆ b = a2b. ambil sembarang a, b, c ∈ B

maka a ∆ (b+c) = a2 (b+c) = a2b + a2c dan (a ∆ b) + (a ∆ c) = a2b + a2c.

Jadi, a ∆(b + c) = (a∆ b) + (a ∆ c¿. maka pada B berlaku sifat distributive kiri

∆ terhadap penjumlahan. Sedangkan (a + b) ∆ c = (a + b)2 c = a2c + 2abc + b2c

dan (a ∆ c¿ + (b ∆ c¿ = a2c + b2c.

Maka (a + b) ∆ c ≠ (a∆ c) + (b ∆ c¿ .

Ini berarti bahwa pada B tidak berlaku sifat distributive kanan operasi

∆ terhadap penjumlahan.

GRUP

GRUP DAN SIFAT-SIFATNYA

A. Grup

Definisi

Suatu himpunan tak kosong G dikatakan grup terhadap operasi biner ∘ jika

dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:

Operasi ∘ pada G bersifat asosiatif yaitu setiap a ,b , celemen G maka

(a∘b)∘c=a∘(b∘ c )

G terhadap operasi biner∘mempunyai elemen identitas, yaitu ada

u∈G sedemikian sehingga a∘u=u∘a=a , untuk setiapa∈G .

Setiap elemen G mempunyai invers terhadap operasi biner ∘dalam G,

yaitu untuk setiap

a∈G sedemikian sehingga a∘a−1=a−1∘a=u , u adalahelemenidentitas dari

G

Grup G dapat dinyatakan dengan (G ,∘). Tidak setiap grup memiliki sifat

komutatif terhadap operasi binernya. Contohnya pada perkalian matrik,

A x B ≠ B x A

Operasi biner ∘ pada G bersifat komutatif, yaitu:

Setiap a ,b∈G maka a∘b=b∘a. Maka grup (G, ∘) disebut grup abelian

atau grup komutatif.

Contoh:

1. Himpunan bilangan bulat B={…,−2 ,−1, 0,1,2 , ..} terhadap operasi

biner penjumlahan +.

a. Sifat asosiatif dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan-bilangan

bulat bersifat asosiatif.

(−2+1 )+4=−2+(1+4 )=3

b. B terhadap operasi + mempunyai elemen identitas yaitu 0,

sebab untuk setiap a∈B maka a+0=0+a=a

c. Setiap elemen B mempunyai invers terhadap operasi +, yaitu

setiap a∈B

ada a−1=−a∈B sehingga a+(−a )=(−a )+a=0.

Jadi, (B, +) merupakan suatu grup.

d. Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap a ,b∈B

maka a+b=b+a Contoh, −2+1=1+ (−2 )=−1

Jadi (B, +) suatu grup abelian.

2. Himpunan bilangan rasional positif Q+¿¿ dengna operasi ∘ berikut

adalah grup.

a∘b=ab2

; setiap a ,b∈Q+¿¿

Bukti :

Uji sifat asosiatif

(a∘b )∘c=( ab2 )∘ c=

( ab2 )c

2=

( abc2 )2

=abc4

a∘ (b∘c )=a∘( bc2 )=

a( bc2 )

2=

( abc2 )2

=abc4

Untuk setiap a ,b , c∈Q+¿ .Jadi (a∘b )∘ c=a∘( b∘ c ) ,¿yaitu operasi ∘ asosiatif.

Uji elemen identitas

Untuk sebarang a∈Q+¿¿, perhatikan elemen x dengan a∘ x=a

(cukup diperiksa identitas kanan saja karena ∘ komutatif).

a∘ x=a ↔( ax2 )=a

↔ ax=2a

↔ x=2, (karena a ≠ 0¿

Karena 2∈Q+¿ ¿, sehingga a∘2=a untuk setiap a∈Q+¿¿ maka

elemen 2 identitas di Q+¿¿.

Uji invers

Untuk a∈Q+¿¿ sebarang perhatikan y dengan a∘ y=2

a∘ y=2 ↔( ay2 )=a

↔ ay=4

↔ y=4a

,

Karena y= 4a

juga berada di Q+¿¿ untuk setiap a∈Q+¿¿,sehingga

a∘ 4a=2 , maka elemen

4a

adalah invers dari a di Q+¿¿,

Karena itu terbukti Q+¿¿ membentuk grup terhadap ∘.

3. G={2,4,8 } dengan operasi perkalian modulo 14 merupakan suatu

grup. 8 × 4=32=4 (mod 14) sebab (32 - 4) adalah kelipatan dari 14.

Tabel berikut menyatakan semua hasil operasi perkalian modulo 14

pada G = {2,4,8}.

x 2 4 8

2

4

8

4

8

2

8

2

4

2

4

8

Uji sifat asosiatif

(2×2 ) × 4=¿4× 4

¿16↔ 2(mod 14)

2 × (2 × 4 )=2× 8

¿16↔ 2(mod 14)

Jadi (2×2 ) × 4=2× (2× 4 )=2 Terbukti

Uji elemen identitas

G terhadap operasi perkalian modulo 14 mempunyai elemen

identitas yaitu 8

Bukti:

2 x8=16=2 (mod 14)

4 x8=32=4(mod 14)

8 x 8=64=8(mod 14)

a x e=a eadalah elemen identitas dari G.

Jadi, 8 merupakan elemen identitas dari operasi perkalian modulo

14.

Uji Invers

Setiap anggota G mempunyai invers terhadap operasi perkalian

modulo 14.

Bukti:

2, 4, 8 merupakan anggota G, ada 2-1, 4-1, 8-1 anggota G sedemikian

hingga a x a−1=e , e=8

a x a−1=8

2-1 = 4

4-1 = 2

8-1 = 8

Terbukti, setiap anggota G mempunyai invers terhadap operasi

perkalian modulo 14. Jadi, (G ,∘) merupakan suatu grup.

(G ,∘)adalah suatu grup abelian (grup komutatif).

Bukti:

2, 4, 8 anggota G

2 x 4=4 x 2=8(mod 14)

4 x8=8 x 4=4(mod 14)

2 x8=8 x2=2 (mod 14)

Terbukti, bahwa (G ,∘) merupakan grup abelian.

Suatu grup dengan operasi biner perkalian disebut grup multiplikatif.

Suatu grup dengan operasi biner penjumlahan disebut grup aditif.

Banyaknya elemen suatu grup G ditulis dengan notasi “ n(G)” dan disebut

order dari grup G.

Suatu grup yang banyaknya elemen tak berhingga (infinite) adalah

grup tak berhingga (grup infinite).

Suatu grup yang banyaknya elemen berhingga disebut grup berhingga

(grup finite).

Jika banyak elemen himpunan G sedikit maka untuk memeriksa apakah G

terhadap suatu operasi merupakan suatu grup atau bukan, disusun tabel

hasil operasi setiap pasang elemen-elemen G. Untuk memudahkan dalam

melihat sifat-sifatnya maka penyusunan tabel selalu memperhatikan hal-

hal sebagai berikut:

1) Elemen identitas ditulis pertama kali.

2) Urutan penulisan elemen-elemen disusun mendatar dan menurun

harus sama.

3) Elemen pertama dalam mengoperasikan diambil dari elemen-

elemen yang disusun menurun, dan elemen keduanya diambil dari

elemen-elemen yang disusun mendatar.

4) Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap baris maupun

kolom memuat semua elemen dari grup tersebut.

Contoh:

1. M = {1, 2, 3, 4} dan operasi perkalian modulo 5. Hasil perkalian

modulo 5 pada M ditunjukkan dalam tabel berikut ini:

Merupakan operasi biner, karena setiap hasil operasi perkalian modulo 5 dari

elemen M adalah elemen M pula.

Sifat asosiatif

x 1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

2 4 1 3

3 1 4 2

4 3 2 1

(2 x1 ) x3=2 x (1 x 3 )

2 x3=2 x 3

1=1

Elemen identitas

Elemen identitas dari M dicari dengan melihat baris atau kolom

dari hasil operasi yang urutan elemen-elemennya sama dengan

urutan pada baris pertama atau kolom pertama.

Dalam hal ini, elemen identitas dari M adalah 1.

Memiliki invers

Invers setiap elemen dicari dengan melihat hasil operasi yang sama

dengan elemen identitas.

Misalnya, 3−1 dicari dengan melihat 3 pada kolom pertama ke

kanan sampai 1, terus ke atas hingga baris pertama, yaitu 2. Berarti

3−1=2. Dan dari 3 pada baris pertama menurun hingga 1, terus ke

kiri hingga kolom pertama yaitu 2, berarti 3−1=2,

Sifat komutatif

Ditunjukkan bahwa tabel simetris terhadap diagonal utama (garis

putus-putus pada tabel). Hal ini disebabkan letak dari a x b dan

b x a simetris terhadap diagonal utama.

Memperhatikan hal itu semua, M terhadap operasi perkalian modulo 5

membentuk suatu grup.

2. K = {a, b, c, d} dan operasi biner ∘ pada K didefinisikan menurut tabel

berikut ini:

∘ a b cd

a

b

c

d

b d ac

d c ba

a b cd

c ad b

Uji sifat asosiatif

(a∘a)∘b=b∘b=c …(1)

a∘(a∘b)=a∘d=c…(2)

Persamaan (1) dan (2) sama hasilnya yaitu c. jadi terbukti operasi

biner ∘ pada K bersifat asosiatif.

Uji elemen identitas

Elemen identitas dari K dicari dengan melihat baris atau kolom

dari hasil operasi yang urutan elemen-elemennya sama dengan

urutan pada baris pertama atau kolom pertama. Elemen identitas

dari K adalah c.

a∘ c=a

b∘ c=b

c ∘c=c

d ∘c=d

Uji Invers

a∘a-1 ¿d

Invers setiap elemen dicari dengan melihat hasil operasi yang sama

dengan elemen identitas.

a-1 =d

Dicari dengan melihat a pada kolom pertama ke kanan sampai c,

terus ke atas hingga baris pertama, yaitu d.

Berarti a-1 = d

Jadi, K terbukti merupakan grup.

(K,∘) suatu grup abelian (grup komutatif)

a∘b=b∘a

d=d

Hal ini disebabkan dari a∘b dan b∘a simetris terhadap diagonal

utama. Jadi, terbukti bahwa (K,∘) merupakan grup abelian (grup

komutatif).

B. Sifat-sifat Grup

Setelah diberikan pengertian mengenai grup, berikut ini diberikan

beberapa sifat

dasar yang dimiliki oleh grup.

Teorema . Sifat Kanselasi (penghapusan)

Diberikan grup (G,∘) , maka untuk setiap a,b,c ∈ G, berlaku:

1. Kanselasi kiri.

Jika a∘b = a∘ c maka b=c.

2. Kanselasi kanan.

Jika b∘a=c∘a maka b=c.

Bukti:

1. Diambil sebarang a ,b , c∈G. Diketahui G merupakan grup dan

a∈G maka ada a−1 ϵ G

sehingga

a∘a−1=a−1∘a=u, dengan u elemen identitas dari (G ,∘).

Menurut ketentuan a∘b=a∘cjika kedua ruas dioperasikan

a−1 dari kiri, maka

a−1∘(a∘b)=a−1∘(a∘c )

(a−1∘a)∘b=(a−1∘a)∘c         sifat asosiatif

u∘b=u∘ c dengan a−1∘a=u

b=c

Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup G berlaku sifat

kanselasi kiri.

2. Diambil sebarang a ,b , c∈G. Diketahui G merupakan grup dan

a∈G maka ada a−1 ϵ G

sehingga

a∘a−1=a−1∘a=u, dengan u elemen identitas dari (G ,∘).

Menurut ketentuan b∘a=c∘ajika kedua ruas dioperasikan

a−1 dari kanan, maka

(b∘a)∘a−1=(c∘a)∘a−1

b∘ (a∘a−1 )=c∘ (a∘a−1 )         sifat asosiatif

b∘u=c ∘u dengan a−1∘a=u

b=c

Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup G berlaku sifat

kanselasi kanan.

Teorema. (Ketunggalan Elemen Identitas)

Diberikan grup (G ,∘) , maka untuk setiap a ,b∈G,maka persamaan-

persamaan a∘ x=b dan y ∘a=b mempunyai penyelesaian tunggal.

Bukti:

Pertama dibuktikan bahwa persamaan a∘ x=b mempunyai

penyelesaian.

Diambil sebarang a∈G dan G suatu grup maka a−1 ϵ G

Dari ketentuan a∘ x=b

a−1∘(a∘ x)=a−1∘b

(a−1∘a)∘ x=a−1∘b

u∘ x=a−1∘b

x=a−1∘b

a−1∘b adalah penyelesaian dari persamaan a∘ x=b. Selanjutnya

dibuktikan tunggalnya penyelesaian a∘ x=b. Misalkan persamaan

a∘ x=b mempunyai penyelesaian x1dan x2 berarti

a∘ x1=bdan a∘ x2=b . Sehingga a∘ x1=a∘ x2. Dengan sifat kanselasi

diperoleh x1=x2.

Jadi persamaana∘ x=b mempunyai penyelesaian tunggal.

Teorema.

Jika (G ,∘) suatu grup, maka untuk setiap a ϵ G, invers dari invers a

adalah a atau ditulis:

∀a ϵ G ,(a¿¿−1)−1=a .¿

Bukti:

a ϵ G dan G suatu grup maka ada dengan tunggal a−1 ϵ G

sedemikian hingga a−1∘a=u …………(i)

a ϵ G dan G suatu grup maka ada dengan tunggal (a¿¿−1)−1 ϵ G¿

sehingga (a¿¿−1)−1∘a−1=u¿ …………(ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan (a¿¿−1)−1∘a−1=a∘a−1¿ dengan sifat

konselasi a−1 diperoleh (a¿¿−1)−1=a .¿

Terbukti

Teorema.

(G ,∘) adalah suatu grup, maka untuk setiap a ,b ϵ G berlaku

(a∘b)−1=b−1 a−1

Bukti:

a ,b ϵ G maka (a∘b ) ϵ G sehingga (a∘b)−1 ϵ G dan

(a∘b )∘(a∘b)−1=u ……………(i)

Perhatikan bahwa (a∘b )∘(b¿¿−1∘a−1)=(a∘ (b∘b−1 ))∘a−1 ¿ (sifat

asosiatif)

¿ (a∘u )∘a−1

¿a∘a−1

¿u

Jadi (a∘b )∘(b¿¿−1∘a−1)=u¿…………(ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa

(a∘b )∘(a∘b)−1=(a∘b )∘(b¿¿−1∘a−1)¿

Dengan sifat kanselasi didapat (a∘b)−1=(b¿¿−1∘a−1)¿.

Terbukti

Definisi.

Jika (G ,∘) adalah suatu grup, a ϵ G dan m bilangan bulat positif,

maka

am=a∘a∘a∘…∘a sebanyak m faktor.

a0=u yaitu elemen identitas.

a−m=(a¿¿−1)m=a−1∘a−1∘a−1∘…∘a−1¿ sebanyak m faktor.

Catatan :

Jika ¿ yaitu suatu grup aditif, a ϵ G dan m bilangan bulat positif,

maka

ma=a+a+a+…+a , sebanyak m suku.

0 a=u yaitu elemen identitas grup aditif.

−ma=m (−a )=(−a )+ (−a )+(−a )+…+(−a) , sebanyak m suku.

Teorema

Apabila (G ,∘) suatu grup dan a ϵ G serta m , n bilangan-bilangan

bulat positif, maka am∘an=am+n .

Bukti:

am∘an=(a∘a∘a∘…∘a )⏟m faktor

∘ (a∘a∘a∘…∘a )⏟n faktor

¿ (a∘a∘a∘…∘a )⏟m+n faktor

¿am+n

Terbukti

Contoh:

1. (G ,∘) suatu grup dan a ϵ G serta m bilangan-bilangan bulat positif

serta n adalah bilangan bulat negatif dengan |m|>|n| maka

buktikan bahwa am∘an=am+n .

Bukti:

Misalkan n=−r dengan r bilangan bulat positif dan karena

|m|>|n|maka m>r.

am∘an=am∘a−r

¿am∘(a−1)r

¿ (a∘a∘a∘…∘a )⏟mfaktor

∘(a

−1∘a−1∘a−1∘…∘a−1 ¿ ¿⏟r faktor

¿ (a∘a∘a∘…∘a )⏟(m−1 ) faktor

∘ (a∘a−1 )⏟u

∘(a−1∘a−1∘a−1∘…∘a−1 ¿ ¿⏟

(r−1 ) faktor

¿ (a∘a∘a∘…∘a )⏟(m−2) faktor

∘ (a∘a−1 )⏟u

∘(a−1∘a−1∘a−1∘…∘a−1 ¿ ¿⏟

(r−2) faktor

dan seterusnya.

¿ (a∘a∘a∘…∘a )⏟(m−r)faktor

karena m>r

¿am−r

¿am+n karena – r=n

Teorema.

(G ,∘) suatu grup dan a ϵ G serta m , n bilangan-bilangan bulat

positif, maka

(am)n=amn .

Bukti:

(am)n=(am∘am∘am∘…∘am )⏟n faktor

¿am+m+m+…+m⏟n suku

¿anm

¿amn

Terbukti

Contoh:

1. Jika (G ,∘) suatu grup sedemikian rupa hingga setiap a ϵ G

berlaku (a∘b)2=a2∘b2 maka buktikan bahwa (G ,∘) suatu grup

abelian.

Bukti:

(a∘b)2=a2∘b2 ketentuan

(a∘b )∘ (a∘b )=(a∘a )∘(b∘b) definisi

¿ sifat asosiatif

(a∘b )∘a=(a∘a )∘b sifat kanselasi

a∘ (b∘a )=a∘(a∘b) sifat asosiaif

b∘a=a∘b sifat kanselasi

Karena untuk setiap a ,b ϵ G, b∘a=a∘b maka (G ,∘) suatu grup

abelian.

2. Jika ¿ suatu grup abelian, a ,b ϵ G dan n suatu bilangan bulat

positif, buktikanlah bahwa n (a+b )=na+nb

Bukti:

n (a+b )= (a+b )+ (a+b )+ (a+b )+…+(a+b )⏟n suku

¿a+ (b+a )+ (b+a )+ (b+a )+…+(b+a )⏟+ b( n−1) suku

¿a+ (a+b )+ (a+b )+ (a+b )+…+(a+b )⏟+ b

( n−1) suku , karena G

grup abelian

¿a+a+(b+a )+(b+a )+(b+a )+…+(b+a )⏟+b+ b( n−2) suku

dan seterusnya.

¿a+a+a+…+a⏟ +

nsukub+b+b+…+b⏟

nsuku

¿na+nb

Terbukti

SUBGRUP DAN SIFAT-SIFATNYA

A. Pengertian subgrup

Suatu himpunan bagian H dalam grup G mungkin kosong dan juga mungkin

tidak kosong. Subgroup dari G haruslah himpunan tak kosong di G. Himpunan

Z, Q, R dan C membentuk grup terhadap operasi yang sama, yaitu

penjumlahan (+). Disamping itu terdapat hubungan antar ketiganya yaitu :

Z Ì Q Ì R Ì CKarena itu Z merupakan subgrup dari Q , R dan C, begitu juga dengan Q

yang merupakan subgrup dari R dan C begitu seterusnya. Untuk lebih

jelasnya akan terlihat pada definidi berikut .

Definisi :

Misalkan (G,○) suatu grup, H disebut subgrup dari G jika H kompleks dari G

dan  (H, ○) merupakan  suatu  grup.    H  subgrup dari  grup G jika H

kompleks dari G dan H juga suatu grup terhadap operasi yang sama pada G.

Contoh :

a) G = (1, -1, i, -i } dengan i = √−1 maka (G,x) merupakan grup dan H={1, -

1} adalah subgrup dari G karena H ≠ ø, H G sehingga H kompleks dari

(H,x) juga suatu grup.

b) (Z,+) merupakan subgrup dari (Q,+)

B. Teorema tentang Subgrup

Teorema 1 :

Misalkan G adalah grup dan H kompleks dari G

H subgrup dari G jika dan hanya jika ( a, b ∈ H) berlaku :

i. a○b ∈ H dan

ii. a-1  ∈ H

Bukti:

Diketahui G adalah grup dan H kompleks dari G

( ) H subgrup dari G maka H juga merupakan grup sehingga ( a, b ∈ H)

pasti berlaku

(i). ab ∈ H dan (ii). a-1∈H

( ) a, b ∈ H berlaku i. ab ∈ H dan ii. a-1∈ H.

Akan  ditunjukkan  H  subgrup dari  G berarti  H  merupakan  grup, 

sebagai berikut :

Tertutup diketahui dari i

Asosiatif : ambil sebarang x, y, z ∈ H maka x, y, z ∈ G karena H ʗ

G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z = x(yz)

Ada  elemen  satuan : dari ii.  diketahui  a ∈ H berlaku a-1 ∈  H 

dan menurut i. berlaku aa-1 ∈ H dan aa-1 = e maka e ∈ H

Setiap elemen dalam H mempunyai invers diketahui dari ii.

Teorema 2 :

(G;○) suatu grup, H ≠ ø dan H ∈ G. H subgrup dari G jika dan hanya jika

untuk setiap a, b ∈ H berlaku a ○ b-1∈ H

Bukti:

[ ] Akan dibuktikan jika H subgrup dari G maka untuk setap a, b ∈ H

berlaku a ○ b ∈ H. H subgrup dari G berarti (H;○) suatu grup.

Ambil b ∈ H, karena H suatu grup maka b-1∈H.

Ambil a ∈ H dan b-1 ∈ H dan H suatu grup maka a○b-1 ∈ H.

[ ] Akan dibuktikan jika untuk setiap a,b ∈ H berlaku a ○ b-1 ∈ H maka H

adalah subgrup dari G.

H ≠ ø, ambil sebarang c ∈ H, manurut ketentuan c ○ c-1∈ H. Karena c ○

c-1 = u maka u ∈ H. ini berarti H memuat elemen identitas u.

Ambil sebarang d ∈ H,dan u ∈ H menurut ketentuan maka u ○ d-1∈ H.

Karena u ○ d-1 = d-1maka d-1 ∈ H. Ini berarti setiap elemen H mempunyai

invers c ∈ H dan d-1 ∈ H maka c ○ (d-1)-1∈ H. Padahal c ○ (d-1)-1 = c ○ d

maka c ○ d ∈ H. Jadi jika c, d ∈ H maka c ○ d ∈ H. Hal ini berarti H

tertutup terhadap operasi ○. H G dan (G;○) suatu grup, maka operasi ○⊂

pada H bersifat asosiatif pula.

Maka terbukti bahwa H suatu grup dan merupakan subgrup dari G.

Teorema 3 :

(G,○) suatu grup berhingga. H ⊂ G dan H ≠ ø H adalah subgrup dari G

jika dan hanya jika untuk setiap a, b ∈H, a○b ∈ H (H tertutup terhadap

operasi ○)

Bukti :

[ ] Akan dibuktikan jika H subgrup dari G maka H tertutup terhadap

operasi ○.

H subgrup dari G. maka (H;○) suatu grup. Berarti untuk tiap a, b ∈ H maka a○b ∈ H (H tertutup terhadap operasi ○)

[ ] Akan dibuktikan jika untuk setiap a, b ∈ G, a ○ b ∈ H maka H

subgrup dari G

Ambil sebarang a ∈ H, karena H tertutup terhadap operasi ○, maka

a○a = a2 ∈, a2○a = a3∈ H, dan seterusnya an ∈ H jadi a1, a2, a3,…an , ∈ H. Tetapi H adalah himpunan berhingga, maka pasti ada

pengulangan dalam a1, a2, a3,…an.

Misalkan ada bilangan-bilangan bulat r dan s dengan ○<r<s yang

memenuhi ar = as. Berarti ar-s = u ( elemen identitas dalam H). karena

r-s-1>○, maka ar-s-1 ∈ H.

ar-s-1 = a-1 sebab a○ar-s-1 = ar-s = u. Jadi a-1 ∈ H. sifat asosiatif dari

operasi ○ pada mengikuti sifat asosiatif ○ pada G.

Terbuktilah bahwa H adalah subgrup dari G.

Contoh :

B adalah himpunan bilangan bulat dan (B;+) suatu grup. B3 adalah

himpunan bilangan bulat kelipatan 3, dan (B3;+) merupakan suatu grup. B3 ⊂ B maka B3 adalah subgrup dari B.

B5 adalah himpunan bilangan bulat kelipatan 5 dan (B5;+) merupakan

suatu grup pula. B5 ⊂ B maka B5 adalah subgrup dari B.

Apakah B3 B5 merupakan subgrup dari B?

B3 B5 = B15 yaitu himpunan bilangan bulat kelipatan 15. (B15;+)

merupakan suatu grup pula. B15 ⊂ B, maka B15 adalah subgrup dari B.

Jadi B3 B5 adalah subgroup dari B.

Secara umum hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 4 :

(G;○) suatu grup.

Apabila H dan K adalah subgrup dari G maka H K juga subgroup dari

G.

Bukti :

Ambil sebarang a, b ∈ H∩ K maka a, b ∈ K dan a, b ∈ H. a, b ∈ H dan H

suatu subgroup maka a○–b ∈ H. a, b ∈ K dan K suatu subgrup maka a○b ∈ H.

a○b ∈ H dan a○b ∈K maka a○b ∈ H∩ K.

jadi H∩ K tertutup terhadap operasi ○….(i)

Ambil sebarang a∈ H∩ K maka a ∈ H dan a ∈ K.

a∈H dan H suatu subgroup maka a-1 ∈H

a∈K dan K suatu subgroup maka a-1 ∈K

a-1 ∈ H dan a-1 ∈ K maka a-1∈ H∩ K.

Jadi setiap elemen H∩ K mempunyai invers….(ii)

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa H∩ K merupakan

subgroup dari G.

Defenisi :

(G;○) suatu grup. K dan H masing-masing adalah himpunan bagian dari G

maka KH (hasil kali H dan K) adalah himpunan semua elemen (a○b)

dengan a∈K dan b∈H. Atau ditulis :

KH = {(a○b) │a∈K dan b∈H}.

Definisi :

(G;○) suatu grup dan H adalah himpunan bagian dari G. maka H-1 adalah

himpunan semua elemen a-1 dengan a∈H. atau ditulis :

H-1 = {a-1│a∈H}

Teorema 5 :

(G; ○) suatu grup. Jika H subgrup maka :

i. HH = H

ii. H-1 = H

Bukti :

i. Ambil sembarang y ∈ HH maka y = a ○ b dengan a, b ∈ H. a,b ∈ H

dan H suatu subgrup maka a○b ∈ H, y∈HH, y = a○b dan a○b ∈ H

berarti y ∈ H.

Jadi HH⊂H … (1)

Ambil z ∈ H dan u ∈ H sebab H subgroup maka z○u ∈ HH tetapi

karena z○u = z maka z ∈ HH.

Jadi H⊂HH …(2)

Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa HH = H

ii. Ambil sembarang a ∈ H dank arena H suatu subgroup maka a-1 ∈ H.

Menurut defenisi, jika a-1 ∈ H maka (a-1)-1 ∈ H-1

Karena (a-1)-1 = a maka a ∈ H-1

Jadi, jika a ∈ H maka a ∈ H-1 berarti H⊂ H-1…(1)

Ambil sebarang b ∈ H-1 maka b = y-1∈ H.

b = y-1 dan y-1 ∈ H maka b ∈ H.

jadi, jika b ∈ H-1 maka b ∈ H, berarti H-1 ⊂H …(2)

dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa H-1 = H.

Teorema 6:

Misalkan  G suatu  grup,  sedangkan H  dan  K  masing - masing  subgrup

dari  G, maka : HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK =

KH.

Bukti :

Diketahui G grup, H subgrup dari G dan K subgrup dari G (Þ) HK juga

subgrup dari G ditunjukkan HK = KH (HK Ì KH dan HK Ì KH)

1) Menurut teorema . HK subgrup maka (HK)-1 = HK

Ambil x ÎHK = (HK)-1 maka x = t-1 untuk setiap t Î HK berarti t = hk

untuk setiap t Î H, kÎ K. karena H dan K subgrup maka h-1 ∈ H, k-1∈ K,

sehinga x = t-1 = (hk)-1= k-1h-1∈ KH Jadi ∀x ∈ HK ⇒ x KH atau HK ∈ ⊂

KH.

2) Menurut teorema, H dan K subgrup maka H-1= H dan K-1= K

Ambil sebarang a,c H dan b, d K, dan k arena H dan K masing-∈ ∈

masing subgrup dari G maka a ○ c H dan b ○ d K.∈ ∈

Ambil (a ○ b) ∈ HK dan (c ○ d) ∈ HK maka

(a ○ b) ○ (c ○ d) = ((a ○ b) ○ c) ○ d sifat asosiatif

= (a ○ (b ○ c ))○ d sifat asosiatif

= (a ○ (c ○ b)) ○ d HK=KH

= ((a ○ c) ○ b) ○ d sifat asosiatif

=(a ○ c) ○ (b ○ d) sifat asosiatif

Jadi (a ○ b) ○ (c ○ d) = (a ○ b) ○ (c ○ d),

Karena a ○ c ∈ H dan b ○ d ∈ K, maka (a ○ c) ○ (b ○ d)∈ HK.

Sehingga (a ○ b) ○ (c ○ d) ∈ HK pula.

Hal ini berarti HK tertutup terhadap operasi biner …… (i)

Ambil a ∈ H dan b ∈ K maka (a ○ b) ∈ HK

a ∈ H dan H subgrup maka a-1 ∈ H

b ∈ K dan K subgrup maka b-1 ∈ K

a-1 ∈ H dan b-1 ∈ K maka (a-1 ○ b-1) ∈ HK

ingatlah bahwa (a ○ b)-1 = b-1 ○ a-1

= a-1 ○ b-1

Karena HK = KH sehingga (a ○ b)-1 ∈ HK pula.

Jadi jika (a ○ b) ∈ HK maka (a ○ b)-1 ∈ HK. Ini berarti setiap

elemen HK mempunyai invers terhadap operasi ○ ……. (ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa HK adalah subgrup dari G

GRUP SIKLIK DAN GENERATOR

Definisi ( perkalian )

Grup (G, o) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian

sehingga G = {an| n Є Z}. Elemen a disebut generator dari grup

siklik tersebut.

Defenisi ( terhadap penjumlahan )

Grup (G, +) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian

sehingga G = {na | n Є Z}.

Definisi 2.5

Grup G dikatakan grup siklik bila dan hanya bila ada elemen a Є

G sedemikian sehingga hingga setiap elemen y Є G, y = am

dengan m bilangan bulat. Elemen a Є G disebut penghasil

(generator) dari G.

Contoh 2.11

(1)B = himpunan bilangan bulat, terhadap operasi

penjumlahan. B merupakan suatu grup. Grup B ini dapat

dipandang sebagai grup siklik dengan generator 1.

Setiap bilangan bulat positif n dapat dinyatakan sebagai

jumlah n suku yang semua sukunya 1.

Misalnya 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Karena banyaknya

elemen B (order grup B) tak berhingga, maka B disebut

grup siklik tak berhingga.

(2)Himpunan bilangan bulat modulo n terhadap operasi

penjumlahan modulo 6 juga merupakan suatu grup

siklik dengan order 1 atau (n - 1).

Misalkan G = { 0, 1,2,3,4,5} terhaap operasi

penjumlahan modulo 6 adalah grup siklik dengan

generator 1 atau 5, sebab

(2) (5) = 10 ≡ 4 (mod 6), 4 Є G

(3) (5) = 15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G

(4) (5) = 20 ≡ 2 (mod 6), 2 Є G

(5) (5) = 25 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G

(6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6), 0 Є G

(7) (5) = 35 ≡ 5 (mod 6), 5 Є G

Dan seterusnya.

(-1) (5) = -5 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G

(-2) (5) = -10 ≡ 2 (mod 6), 4 Є G

(-3) (5) = -15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G

Dan seterusnya.

Sehingga untuk setiap bilangan bulat m maka m

(5) Є G.

Note:

-5 = 6 (-1) + 1

-10 = 6 (-2) + 2

-15 = 6 (-3) + 3 , dan seterusnya

Contoh :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu grup terhadap operasi

perkalian (G, o)

Tentukan grup siklik dari grup tersebut!

Penyelesaian :

Generator dari G = { -1, 1 } adalah -1 dan 1

[-1] = {(−1¿¿n | n Є Z }

= {(−1)0, ¿,(−1)2, … }

= {-1,1}

[1] = {(1)n | n Є Z}

= {(1)0, (1)1, (1)2, … }

= {1}

Generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :

[-1] = {-1, 1}

Generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :

[1] = {1}

Teorema :

Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.

Bukti :

Misalkan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi

perkalian dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {an

| n Є Z}.

Ambil x, y Є G, sehingga x = am dan y = an, untuk m, n Є Z.

x o y = amo an = am+n = an+m = an o am = y o x

Jadi (G, o) merupakan Grup Komutatif.

Misakan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi

penjumlahan dan merupakan pembangun dari G, sehingga G =

{na | n Є Z}.

Ambil x, y Є Z sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Є Z.

x + y = na + ma = (n + m) a = (m + n) a = ma + na = y +

x

Jadi, (G, +) Merupakan Grup Komutatif.

Definisi 2.6

Jika G suatu grup dan a Є G, Periode (order) dari a adalah

bilangan bulat positif terkecil m sedemikian hingga am = u, jika

tak ada bilangan bulat positif demikian, maka dikatakan bahwa

a berperiode tak berhingga. Periode a ditulis p (a).

Pada contoh 2.11 (2).

P (5) = 6 sebab (6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6)

P (4) = 3 sebab (3) (4) = 12 ≡ 0 (mod 6)

Selanjutnya periksalah bahwa p (3) = 2, p (2) =3, p (1) = 6 dan

p (0) = 1

Contoh 2.12 perhatikan gambar 2.3

Misalkan s (O, 900) adalah rotasi dengan pusat O dan sudut putaran 900 berlawanan arah dengan arah

0 perputaran jarum jam.

Jika S (O, 900) = S maka S (O, 1800)

= S2, S (0, 2700) = S3, dan S (O, 3600)

= S4 = I yaitu transportasi

Identitas.

Pandang himpunan T = {I, S, S2,S3}. Maka dengan mudah dapat

ditunjukkan bahwa T terhadap operasi perkalian o merupkan

suatu grup.

Grup T inipun merupakan grup siklik dengn generator S atau S3

(mengapa ?).

Coba periksalah bahwa periode setiap elemennya adalah p (I) =

1, p (S) = 4, p (S2) = 2 dan p (S3) = 4.

Perhatikan lagi contoh 2.11 (2), yaitu G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan grup siklik

dengan generator I atau S, sedangkan order grup G yaitu n (G) =

6. Mengingat generator G maka grup siklik G dapat ditulis

sebagai

{0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1} atau

{0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5}.

Perhatikan bahwa factor persekutuan terbesar dari 1 dan 6 yaitu

(1,6) = 1. Begtu pula (5,6) = 1.

Demikian pula pada contoh 2.12, T = {I, S, S2,S3} terhadap

operasi perkalian o, T merupakan suatu grup siklik dengan

Gambar 2.4

generator S atau S3. Order grup T yaitu n (T) = 4. Perhatikan pula

bahwa (4,1) = 1 dan (4,3) = 1.

Contoh-contoh ini membawa kita kepada teorema berikut ini:

Teorema 2.13

Jika (G; o) suatu grup siklik dengan order k. a t Є G dengan o < t <

k, maka a t merupakan generator dari G bila dan hanya bila (k, t)

= 1.

Bukti:I. Dibuktikan: jika (k, t) = 1 maka a t generator G.

G = {a, a2, a3, … ,ak−1, ak = u}.

Kita pernah mempelajari dalam Teori Bilangan,

Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol, maka a

dan b saling prima jika dan hanya jika ada bilangan-

bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1.

jika (k, t) = 1 maka ada bilangan –bilangan x dan y

sedemikian sehingga kx + ty = 1

Sehingga ty = 1 – kx

Karena p (G) = k maka ak = u.

Perhatikan bahwa

(a t ¿¿y = a ty = a1−kx = a o a−kx = a o (ak¿¿−x = a o u−x = a

o u = a

Jadi ¿ = a

Ini berarti bahwa elemen a dihasilkan oleh

perpangkatan a t.

Oleh karena setiap elemen G merupakan

perpangkatan dari a, maka setiap elemen G dapat

dihasilkan oleh perpangkatan dari a t. Jadi a t adalah

generator G.

II. Dibuktikan : Jika a t generator G maka (k, t) = 1.

a t generator G, maka setiap elemen G merupakan

perpangkatan dari a t.

a Є G dan misalkan a = (a t ¿¿y dengan y bilangan

bulat, maka

a o a−1 = a ty o a−1

u = a ty−1

ak= a ty−1

Ini berarti (ty-1) merupakan kelipatan dari k,

misalkan ty-1 = kx,

maka kx – ty = 1

Dan disimpulkan bahwa (k, t) = 1. (Terbukti)

Contoh 2.13 Jika G = {a, a2, a3, a4, …, u = a16} suatu grup

siklik.

Maka generator G adalah a, a3, a5, a7, a9, a11, a13 atau

a15

Perhatikan himpunan P = {u, a4, a8, a12} terhadap

operasi perkalian o seperti pada G. periksalah bahwa P

merupakan suatu grup dan karena P ∁ G maka P

subgroup dari G.

P merupakan grup siklik pula dengan generator a4

atau a12.

Teorema 2.14

Setiap subgroup dari grup siklik adalah grup siklik pula.

Bukti : Misalkan G suatu grup siklik dengan generator a, maka

setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a. ambil H

suatu subgroup dari G yang tidak hanya terdiri atas elemen

identitas saja.

Misalkan m adalah bilangan bulat positif terkecil

sedemikian hingga

am ∈ H.

Ambil sembarang elemen ak ∈ H.

Dalam teori Bilangan,

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka

ada dengan tunggal pasangan bilangan-bilangan bulat

dengan q dan r yang memenuhi b = qa + r dengan 0 < r <

a

kita telah mengetahui bahwa setiap bilangan bulat k dapat

dinyatakan sebagai.

K = qm + r dengan 0 ≤ r ¿ m

Maka ak = aqm + r = aqm o ar

a-qm o ak = ar

(am)-q o ak = ar

am ∈ H dan H suatu subgroup maka (am)-q∈ H.

(am)-q ∈ H dan ak ∈ H dan karena H suatu subgroup, maka

(am)-q o ak∈ H.

Karena (am)-q o ak = ar maka ar ∈ H pula.

Ingat ketentuan di atas bahwa jika ∅ ¿ r ¿ m maka ar ∈ H

tidak mungkin terjadi, sebab m adalah bilangan bulat

positif terkecil sehingga am ∈ H, maka satu-satunya

kemungkinan adalah r = ∅ berarti ak = aqm = (am)q.

Hal ini menunjukkan bahwa H merupakan subgroup siklik

dengan generator am.

GRUP PERMUTASI

Pada bagian terdahulu sudah di jelaskan konsep dasar dari grup. Beberapa

contoh sederhana sudah diperkenalkan. Pada bagian ini akan di bahas lebih

mendalam tentang grup dan subgrup. Grup yang dibahas di sini tidak sekedar

dibangun dari sebuah himpuan tak kosong, lebih lanjut akan di bangun dari

transformasi yang terjadi pada sebuah himpunan. Selanjutnya akan di bahas suatu

hubungan amat penting yang berlaku antara suatu grup hingga dengan subgrup.

Orde dari setiap subgroup dari grup hingga membagi orde dari grupnya.

A. Grup Permutasi

Definisi :

Suatu permutasi dari himpunan A didefinisikan sebagai suatu fungsi bijektif pada A

Contoh :

1. Jika A¿ {1,2,3 } maka permutasi dari himpunan A adalah ….

α β

Permutasi αdan β masing – masing dinotasikan dengan α=(12 312 3) dan

β=(12 321 3)

Dari contoh di atas maka notasi dari permutasi dapat disimpulkan sebagai berikut :

Jika An=¿ {1,2,3… n}¿ maka suatu fungsi berikut :

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 f(1) = j1

2 f(2) = j2

3 f(3) = j3

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

n f(n) = jn

Merupakan permutasi jika f bijektif dan ji ϵ An untuk i=1,2,3 , …n permutasi

tersebut di sajikan dengan notasi dua baris berikut ini :

( 123…nj1 j2 j3 … jn

)2. Misalkan A={1,2,3 },maka semua permutasi pada A adalah…..

α 0=(1 2 31 2 3)α 1=(1 2 3

2 3 1)α2=(1 2 33 1 2)

β1=(1 2 31 3 2) β2=(1 2 3

3 2 1)β3=(1 2 32 1 3)

Maka di peroleh SA={α 0 , α1 , α 2 , β1 , β2 , β3 }. Misalakan permutasi ini kita

komposisi kan maka :

α 1 dengan β3 ini berarti:

α 1 (1 )=2 ,α 1 (2 )=3 , α1 (3 )=1 dan

β3 (1 ) = 2,β3 (2 ) = 1,β3 (3 ) = 3,

maka :

(α 1 ο β3 ) (n )=α 1 (β3 (n ) )

n=1 (α 1 ο β3 ) (1 )=α1 (β3 (1 ))=α 1 (2 )=3

n= 2 (α 1 ο β3 ) (2 )=α1 (β3 (2 ) )=α 1 (1 )=2

n = 3 (α 1 ο β3 ) (3 )=α 1 (β3 (3 ) )=α1 (3 )=1

dapat di notasikan sebagai berikut:

α 1 ο β3=(1 2 32 3 1)(1 2 3

2 1 3)=(1 2 33 2 1)=β2

Operasi biner pada SA secara lengkap dapat disajikan dengan table cayley

berikut

ο α 0 α 1 α 2 β1 β2 β3

α 0 α 0 α 1 α 2 β1 β2 β3

α 1 α 1 α 2 α 0 β3 β1 β2

α 2 α 2 α 0 α 1 β2 β3 β1

β1 β1 β2 β3 α 0 α 1 α 2

β2 β2 β3 β1 α 2 α 0 α 1

β3 β3 β1 β2 α 1 α 2 α 0

Teorema :

Misalkan A adalah himpunan tak kosong dan SA={α|α Permutasi dari A } maka SA

merupakan grup terhadap komposisi fungsi

Bukti :

Misalkan A sebuah himpunan tak kosong dan SA himpunan semua pemutasi pada A.

Untuk membuktikannya sebuah grup maka harus memenuhi sifat:

Bersifat assosiatif

Komposisi fungsi bersifat assosiatif

Mempunyai elemen identitas

Misalkan i=A → A dengan i (b )=b untuk setiap i ϵ A jelas i ϵ SA

Ambil sembarang α ϵ SA

Di peroleh (iα ) (b )=i (α (b ) )=α (b ) dan (αi ) (b )=α (i (b ) )=α (b )

Jadi iα=αi untuk setiap α ϵ SA

Dengan demikian imerupakan elemen netral di SA

Mempunyai invers

Ambil sebarang α ϵ SA

Misalkan α=b→ α (b ) untuk setiap b ϵ A

Defenisikan α−1: A → A denganα−1 (b )=b' apabila α ( b' )=b

Diperoleh i (b )=b=α (b' )=α (α−1 (b ) )=(α α−1 ) (b )dan

i ( b' )=b '=α−1 ( b )=α−1 (α (b' ))=(α−1 α ) (b ' ) untuk setiap b ,b−1 ϵ A

Jadi

α α−1=α−1α=i

Dengan demikian setiap elemen di SA mempunyai invers di SA

Karena semua sifat telah di penuhi maka dapat di simpulkan bahwa SAadalah

sebuah grup terhadap komposisi fungsi.

Definisi :

Misalkan A adalah himpunan berhingga { 1,2,3…n}. grup dari semua permutasi

pada A yaitu SAdisebut grup simetris derajat n, dan di notasikan dengan Sn. Grup Sn

memiliki n ! elemen dimana

n !=n (n−1 ) (n−2 )⋯ (3 ) (2 ) (1 )

KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE

A. KOSET

Misalkan S3adalah suatu grup permutasi dengan S3= {α 0 , α 1 , α2 , β1, β2, β3 } di

komposisi terhadap H = {α 0 , α1 , α 2} adalah suatu subgrup dari. Ambil suatu

elemen dari S3misalkan α 0=(1 2 31 s2 3) di bentuk suatu himpunan dari hasil

perkalian setiap elemen H dengan α 0

α 0 ο α 0=α0

α 1 οα0 ¿α 1

α 2 ο α 0 = α 2

Himpunan semua hasil kali elemen H dengan α 0 ditulis Hα 0 dan di sebut

koset kanan dan H dalam S3

Hα 0=¿{α 0 , α1 , α 2}

definisi:

Jika H suatu subgrup dari grup (G,ο¿dan a ϵ G maka :

i. Ha = { h ο a│ hϵ H } di sebut koset kanan dari H dalam G

ii. Ah = { a ο h│ hϵ H } di sebut koset kiri dari H dalam G

Teorema

(G,ο¿ suatu grup ,H adalah subgrup dari G dan a,b ϵ G,maka:

i. Ha = H jika dan hanya jika a ϵ H

ii. Ha = Hb jika dan hanya jika a ο b−1 ϵ H

iii. b ϵ Ha jika dan hanya jika Ha = Hb

iv. jika Ha ≠ Hb, maka Ha Hb ¿∅

v. jika a ≠ u maka Ha bukan subgrup dari G

vi. Ha ekuivalen dengan Hb(Ha Hb ¿\

Bukti

i. (⟹¿

karena Ha = H maka h οa ϵ H ,untuk setiap h ϵ H , karena u οa = a

ϵ H

(⟸¿

ambil sekarang h ϵ H , karena a ϵ H maka h οa ϵ H sehingga Ha

⊂H , Mengingat sifat tertutup dalam H,maka persamaan h = x οa

selalu mempunyai penyelesaian dalam H.

Jadi H ⊂ Ha, Ha ⊂Hdan H ⊂ Ha maka Ha = H

ii. (⟹¿

u ϵ H maka u οa = a ϵ H , karena a ϵ H dan Ha = Hb maka a ϵ Hb.

Jadi a = h ο b untuk semua b H .

a ο b−1=¿ (h ο b )ο b−1

a ο b−1=¿h ο¿ ο b−1 ¿

a ο b−1=h

karena h ϵ H maka a ο b−1 ϵ H pula

(⟸¿

a ο b−1 ϵ H , misalkan a ο b−1 = h untuk suatu h ϵ H

a = h ο b

ambil x ϵ Ha, maka x = h1 ο a untuk suatu h1 ϵ H

x = h1 ο (h ο b ¿

x = ¿¿ h) ο b misalkan h1 ο h = h2 ϵ H

x = h2 οb

ini berarti x ϵ Hb

jadi, Ha ⊂Hb

a = h ο b maka b = h−1ο a

ambil y ϵ Hb maka y = h’ ο b untuk h’ ϵ H

y = h’ο¿ a) karena b = h−1ο a

y = (h’ο h−1¿ ο a misalkan h’ο h−1=h' ' ϵ H

y = h’’ο a

ini berarti y ϵ Ha

jadi Hb ⊂ Ha

Ha ⊂Hb dan Hb ⊂ Ha maka Ha=Hb

iii. (⟹¿

b ϵ Ha, misalkan b =h j ο a untuk suatu h j ϵ H

b οa-1= (h j ο a )ο a-1

b οa-1= h j ο¿ a ο a-1)

b οa-1= h j οu

b οa-1= h j ,h j ϵ H

maka b οa-1ϵ H

berdasarkan teorema (ii) b οa-1ϵ H maka Ha=Hb

(⟸¿

b ϵ Hb, sebaba H memuat u sehingga uο b=b , b ϵ Hb dan Ha= Hb

maka b ϵ Ha.

iv. Andaikan Ha Hb ≠∅ , misalkan c ϵ Ha Hb maka cϵ Ha dan c ϵ

Hb ,menurut teorema(iii) cϵ Ha jika dan hanya jika Ha=Hb , c ϵ

Hb jika dan hanya jika Hb=Hc, maka dapat disimpulkan Ha=Hb,

Jadi, Ha Hb ≠∅⟶ Ha=Hb

Ini kontraposisi dari implikasi ,jika jika Ha ≠ Hb maka Ha Hb ¿∅

v. Hu=H, jika a≠ u maka Ha≠ Hu dan Ha Hu ¿∅ ,sehingga karena u

ϵ Hu maka u∉H a, jadi Ha bukan subgrup dari G, karena tidak

memuat elemen identitas u.

vi. Untuk membuktikan bahwa Ha Hb maka diadakan perkawanan

dari Ha dengan Hb dengan aturan: h

ο a ϵ Ha dikawankandenganh οb ϵ Hb .

perkawanan ini suatu pemetaan, sebab apabila h1 οa = h2 οa

untuk h1 , h2 ϵ H maka dengan sifat kanselasidiperoleh h1= h2 .

Sehingga h1 οb = h2 οb. Pemetaan itu 1-1, sebab apabila h1 οb =

h2 οb maka h1= h2, sehingga h1 οa = h2 οa

pemetaan itu onto, sebab setiap elemen Hb, misalnya h1 οb

menentukan h1 ϵ H , sehingga h1 οa ϵ H yang menjadi kawan dari

h1 οb. Maka pemetaan itu 1-1 dan onto sehingga Ha Hb

B. Teorema Lagrange

     Suatu pedoman yang sering digunakan untuk menentukan banyaknya

subgrup yang berbeda dari suatu grup terhingga, yaitu banyaknya anggota dari

subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya. Teorema tersebut

dikenal sebagai Teorema Lagrange.

Teorema 1.

Jika G suatu grup berhingga dan H subgroup dari G, maka order dari H

membagi habis order dari G (ditulis m(H)|n(G))

Bukti :

Misalkan G grup berhingga dan H subgrup dari G

Maka jelas H juga terhingga. Sebut   (H) = m dan (G) = n

Karena (H) = m, maka H mempunyai m anggota yang berbeda.

Tulis m anggota dari H tersebut, yaitu h1, h2, h3, …, hm

Oleh karena itu, untuk sebarang a anggota elemen  G, koset kanan Ha yaitu:

Ha = { h1a, h2a,  …, hma}

Jelas hia ≠ hja untuk i ≠ j.

(karena jika diandaikan  hia=hja, maka hukum pencoretan kanan memberikan

hi=hj, yang kontradiksi dengan asumsi bahwa hi ≠ hj untuk  i ≠ j).

Jadi, Ha mempunyai m anggota yang berbeda.

Sehingga setiap koset dari H di G memuat m anggota yang berbeda.

Selanjutnya , misalkan G memuat  k  koset kanan yang berbeda itu.

Akibatnya k koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda.

Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:

                  (G) = mk

atau   n   = mk

Jadi m | n

ini berarti (H) membagi (G).

Karena n = mk, maka n/k  = m, akibatnya indeks subgrup dari grup terhingga,

membagi orde grup tersebut.

Definisi :

Misalkan G suatu grup dan H subgrup dari G maka a kongruen dengan b

modulo H,ditulis a ≡ b (mod H ) bila dan hanya bila a.b−1∈H

Teorema 2:

Jika G suatu grup dan H adalah subgrup dari G maka untuk setiap a

∈G , Ha={ y∈G∨a ≡ y (mod H)} =ã

Definisi :

Jika G suatu grup dan H adalah suatu subgrup dari G, maka indeks dari H

dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dan di tulis iG(H ).

Jika G suatu grup berhingga , maka iG ( H )= n(G)n(H )

Teorema 3 :

Jika G suatu grup berhingga dan a ∈G maka p(a)| n(G) yaitu periode a

membagi habis orde G

Teorema 4 :

Jika G suatu grup berhingga yang berorder bilangan prima maka G

merupakan grup siklik

Bukti :

Misalkan m bilangan prima. maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja,

dan subgrup dari G hanyalah {e} dan G saja. Ambil x ∈G dengan x ∈ e

maka himpunan perpangkatan bilangan asli dari x, yaitu H = { x, x2, x3,…, xm

= e } merupakan subgrup dari G. karena x ∈ e maka H = G. Dan karena H

grup siklik maka G juga grup siklik.

HOMOMORFISMA DAN ISOMORFISMA

A. Homomorfisma

Definisi: Homomorfisma Grup

Diketahui (G, ) dan (G', ) ∗ merupakan grup. Pemetaan ϕ :G →G' disebut

homomorfisma dari G ke G' jika dan hanya jika untuk setiap a,b∈G

berlaku ϕ (a b) =ϕ (a)∗ ϕ (b)

Contoh

dengan operasi penjumlahan Modula 4, dan

dengan operasi perkalian modulo 5. dan masing-masing

merupakan grup. Table-tabel berikut adalah table operasi biner pada

+ 0 1 2 3

0

1

2

3

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

3 0 1 2

1 2 4 3

1

2

3

4

1 2 3 4

2 4 3 1

4 3 1 2

3 1 2 4

Di bentuk persamaan dan di definisika sebagai

( 2), (3)= 3

Periksalah bahwa untuk setiap berlaku bahwa

Misalkan :

Contoh:

Misalkan suatu grup, pemetaan di definisikan oleh

untuk setiap x . Untuk a, b maka u dan

sehingga

Jadi suatu homorfisma. Homomorfisma ini adalah homomorfisma trivial,

homomorfisma lainya adalah

yang didefinisikan oleh untuk x

Lemma

Diketahui G,G' grup dan ϕ :G →G' merupakan homomorfisma grup, maka

keempat

sifat berikut berlaku:

(i). Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ (e) merupakan elemen

identitas e ' di G'

(ii). Jika a∈G, maka ϕ (a-1 ) = ϕ (a)-1

(iii). Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ (H ) merupakan subgrup

pada G'

(iv). Jika K ' merupakan subgrup pada G' , maka ϕ −1 (K ') merupakan

subgroup pada G.

Teorema 3.11

Misalkan (G; dan( G’; masing-masing adalah grup. Pemetaan ϕ :G

→G' merupakan homomorfisma , maka:

(i) ϕ(u), u elemen identitas dalam G dan u’ adalah elemen identitas dalam G

(ii)ϕ (x-1)= ϕ(x)-1 untuk setiap x G

ϕ (x)-1 di maksud ϕ(x) -1 yaitu inver’s dari ϕ (x) dalam G

bukti:

(i) u’ adalah elemen identitas dalam G’, maka ϕ (x) u’= ϕ (x) untuk x

G, x G dan u G maka x u=x, sehingga ϕ (x u) = ϕ (x).

jadi ϕ (x) ϕ (u)ϕ (x) ϕ (u) Karena ϕ homomorfisma

u’= ϕ (u)

(ii) u’= ϕ (u)= (x x-1) untuk setiap x G

maka u’ = ϕ (x) ϕ (x)-1 karena ϕ suatu homomorfismaϕ (x)-1 u’ = ϕ (x)-1 ϕ (x) ϕ (x)-1

ϕ (x)-1=u’ ϕ (x)-1

ϕ (x)-1= ϕ (x)-1 untuk setiap x dalam G

Contoh 1:

Misalkan grup G dan G’ yang masing-masing mempunyai identitas

. paling sedikit terdapat satu homomorfisma : G→ G’ yaitu

dengan sifat untuk setiap a . Jelaskan bahwa pemetaan

adalah suatu homomorfisma, sebab jika maka homomofirma ini

disebut juga homomorfisma trivial.

Homomorfisma trifial belum dapat memberikan informasi tentang,

struktur suatu grup dengan memperhatikan sifat struktur grup yang lain,

sekarang perhatikan teorema berikut:

Contoh:2

Misalkan s, grup simetris derajat n, dan didefenisikan n 2 sebagai

0 jika permutasi genap

1 jika permutasi ganjil

Tunjukkan bahwa adalah suatu homomorfisma

Penyelesaian:

Untuk sebarang permutasi di n pasti genap atua ganjil dan tidak mungkin

berlaku keduanya. Sehingga nilai selalu ada dan tuggal di 2. Karena itu

suatu pemetaan. Sekarang tinggal ditunjukkan bahwa ) =

) untuk setiap n. misalkan n sebarang. Akan ditunjukkan

untuk semua kemungkinan kasus untuk .

Kasus dan , keduanya genap atau keduanya ganji.

Jika dan , permutasi genap(ganjil), maka keduanya merupakan hasilkali

sejumlah genap (ganjil) dari transposisi. Akaibatnya merupakan hasilkali

sejumlah genap permutasi. Jadi adalah permutasi genap. Karena itu

diperoleh.

permutasi genap permutasi genap.

Dan

permutasi ganjil permutasi ganjil

kasus dan , berturut-turut genap dan ganjil atau ganjil dan genap.

Jika dan beturut-turut permutasi genap dan ganjil (ganjil dan genap),

maka merupakan hasil kali sejumlah genap + ganjil (ganjil +genap), yaitu

sejumlah ganjil dari transposisi. Akibatnya merupakan permutasi ganjil.

Karena itu diperoleh.

berturut-turut permutasi genap dan ganjil

permutasi ganjil

Dan

berturut-turut permutasi genap dan ganjil

permutasi ganjil

Dari semua kemungkinan untuk nilai berlaku

, karenanya adalah suatu homomorfisma.

Contoh 3:

Misalkan adalah grup dari semua fungsi dari terhadap operasi

penjumlahan, dengan adalah grup bilangan riil. Untuk ,

didefenisikan

c :

dengan c : untuk setiap . Ternyata c adalah suatu

homomorfisma.

Bukti:

Ingat kembali defenisi penjumlahan dari dua fungsi, yaitu untuk setiap

dan setiap

Misalkan , maka

c c c

Untuk setiap

Defenisi 3.3:(Image,Range,dan Invers)

Misalkan : adalah suatu pemetaan, dan . Image dari

A di Y, ditulis dengan adalah himpunan.

{

Himpunan dikatakan juga range dari invers dari B di X ditulis -1 [B]

adalah himpunan.

{ x ⎸ .

Teorema 1.12

Misalkan adalah suatu homomorfisma grup.

1. Maka sub grup dari maka ) sub grup dari

2. Jika sub grub dari maka -1 ( dari

Bukti:

Akan dibuktikan bagian 1 dari teorema. Misalkan H adalah suatu sub grup dari

, dan misalkan

dan dua elemen sebarang di . Karena adalah

homomorfisma maka

) b).

Tinggal ditunjukkan invers dari elemen di ker ) juga berada disana.

Misalkan ker , maka dan . Menggunakan teorema 3.4

dperoleh

-1) -1] -1

Dengan demikian -1 juga berada di ker . Dengan demikian lengkap bukti

bahwa Ker subgrup di G.

Teorema 1.13 : Misalkan adalah homomorfisma dan

Ker . Jika maka himpunan

-1

Adalah koset kiri ( ) dari yang juga koset kanan dari

Bukti:

Pembuktian ini hanya untuk koset kiri, sedangkan koset kanan dijadikan

sebagai latihan. Misalkan adalah homomorfisma dan . akan

dibuktikan bahwa

{

Ambil sembarang yang memenuhi = . Maka

[ ]-1

Dimana identitas di . Menurut teorema 3.4 [ ]-1 -1)

sehingga diperoleh -1 . . jadi -1 , yaitu -1

untuk suatu h di H, akibatnya dan . Ini menunjukan

bahwa

{ }

Sebaliknya misalkan , maka untuk suatu h di H.

sehingga diperoleh

.

Karena maka jelas berada didalam himpunan

{ . Jadi { .

Dengan demikian menjadi lengkap bukti teorema, yaitu

{

Suatu kesimpulan amat penting yang dapat difahami dari Teorema 3.8 adalah,

jika adalah homomorfisma dan Ker dan

untuk ,maka dan . Sifat ini perlu untuk diingat

untuk memudahkan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang

menyangkut dan homomorfisma.

Teorema 1.14:

Suatu homomorfisma adalah injektif jika dan hanya jika

Ker .

Bukti:

Misalkan Ker dan sebarang. Maka oleh Teorema 3.8 diperoleh

{ ,

Yaitu koset kiri yang memuat . Ini menunjukkan bahwa untuk setiap

dengan maka , yang menunjukan bahwa

adalah injektif.

Sebaliknya misalkan injektif. Menurut Teorema 3.4 , identitas

di . Karena injektif maka hanya yang memenuhi ,

sehingga Ker .

Dari teorema di ataa telah diperlihatkan bahwa untuk menunjukkan bahwa

suatu homomorfisma merupakan pemetaan satu-satu ( injektif )

dapat digunakan sifat kornel, yaitu jika Ker . Begitu juga untuk

menunjukkan bahwa adalah pemetaan “pada” surjektif dapat pula

digunakan sifat image yaitu jika

B. Isomorfisma

Definsi (Isomorfisma)

Diketahui G,G' grup dan ϕ :G→G' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕdisebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan bijektif.

Istilah yang lainnya:

1. Homomorfisma disebut epimorfisma apabila setiap

ada sehingga dengan kata lain setiap

elemen mempunyai kawan elemen . Dapat pula dikatakan bahwa

homomorfisma dari G atau disingkat homomorfisma onto.

2. Homomorfisma disebut monomorfisma jika suatu pemetaan

satu-satu dari G ke G’. dengan kata lain, jika maka x=y

untuk x,y G.

3. Homomorfisma disebut isomorfisma jika sekaligus

epimorfisme dan monomorfisme, yaitu suatu homomorfisma satu-satu

dari G ke G’.

Contoh: Diketahui merupakan grup terhadap operasi penjumlahan

bilangan bulat. Maka,ϕ :→ dengan ϕ (a) = −a , untuk setiap a∈ merupakan homomorfisma

grup

Grup G dan grup G’ dikatakan isomorfisma jika ada isomorfisma dari G ke G’.

selanjutnya notasi G G’. pada contoh 3.8 G P{ 0,1,2,3} suatu grup dengan

operasi penjumlahan modulo 4 dan G’={1,2,3,4} suatu grup dengan operasi

perkalian modulo 5, G G’.

Contoh: B={ 0,1,2} yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3. B terhadap

operasi penjumlahan modulo 3 merupakan suatu grup G={ I,S3,S,S2} yaitu

suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi dengan s adalah rotasi

terhadap pusat segitiga dengan putar 120o. table opersai pada B dan G adalah

sebagai berikut:

+ 0 1 2

0

1

2

0 1 2

1 2 0

2 0 1

Tabel ( B;+)

Tabel ( G; )

I S S2

I

S

S

I S S2

S S2 I

S2 I S

Pemetaan didefinisikan oleh dan 2

2=

Jadi suatu homomorfisma Nampak bahwa suatu pemetaan satu-satu dan

onto maka suatu isomorfisma. Jadi B G.

Teorema 2.1:

Diketahui ϕ :G→G' homomorfisma grup dengan ker (ϕ ) = H . Maka

pemetaan

μ :G H →ϕ (G) yang didefinisikan μ (aH ) =ϕ (a) untuk setiap aH ∈G H

merupakan isomorfisma grup.

Bukti:

Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa μ merupakan pemetaan. Diambil

sebarang

(aH ),(bH )∈G H dengan aH = bH dan akan ditunjukkan bahwa μ (aH ) = μ

(bH ).

Karena aH = bH , akibatnya ab−1∈H dan dengan demikian ϕ (ab−1 ) = e

' . Karena

ϕ (ab−1 ) = e ' , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ab a b a b e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−

− = − = = atau dengan kata lain ϕ (a) =ϕ (b) . Karena

sesuai definisi μ berlaku μ (aH ) =ϕ (a) dan μ (bH ) =ϕ (b) , dengan

demikian berlaku

μ (aH ) = μ (bH ). Jadi, μ merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa μ merupakan homomorfisma grup.

Diambil

sebarang (aH ),(bH )∈G H , diperhatikan bahwa

μ ((aH )(bH )) = μ ((ab)H ) =ϕ (ab) =ϕ (a)ϕ (b) = μ (aH )μ (bH ) .

Jadi, terbukti bahwa μ merupakan homomorfisma grup.

Diambil sebarang y∈ϕ (G) , maka y =ϕ (a) untuk suatu a∈G dan

dengan demikian

dapat dipilih x = aH ∈G H sehingga μ ( x) = y . Jadi, μ merupakan

pemetaan surjektif.

Diambil sebarang x∈ker (μ ) . Karena ker (μ ) ⊆ G H , maka x =

aH untuk suatu a∈G.

Karena μ (x) = μ (aH ) =ϕ (a) = e ' dan karena ker (ϕ ) = H

berakibat a∈H . Karena

a∈H , berakibat aH = H dan dengan demikian x = H . Jadi,

diperoleh ker (μ ) = {H}

dan menurut Lemma E3.6 berakibat μ merupakan pemetaan injektif.

Jadi, karena μ merupakan homomorfisma grup yang surjektif

sekaligus injektif, maka μ

merupakan isomorfisma grup.

RING

PENGERTIAN, TIPE-TIPE KARATERISTIK RING

Definisi 4.1:

Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda-tanda + dan ∙ merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut:

a. sifat tertutup pada operasi +

Untuk setiap a,b ∈R, dapat ditemukan dengan tunggal elemen c∈R, sedemikian hingga a+b=c

b. sifat asosiatif terhadap operasi +¿

Untuk setiap a,b,c ∈R berlaku (a+b)+c=a+(b+c)c. Ada elemen identitas terhadap operasi +¿. Ada u∈R sedemikian hingga untuk

setiap a∈Rberlaku a+u=u+a=a

d. Setiap elemen R mempunyai invers terhadap operasi +¿. Untuk setiap a∈R

dapat ditemukan (−a)∈Rsedemikian a+ (−a )=(−a )+a=u

e. Sifat komutatif terhadap operasi +¿. Untuk setiap a ,b∈Rberlaku a+b=b+a

f. Sifat tertutup terhadap operasi ∙ (perkalian). Untuk setiap a,b∈R, dapat

ditemukan dengan tunggal c∈R sedemikian hingga a ∙b=c

g. Sifat asosiatif terhadap operasi ∙ (perkalian). Untuk setiap a,b,c∈R berlaku

(a ∙ b ) ∙ c=a ∙(b ∙ c )

h. Sifat distributif operasi ∙ terhadap operasi +¿. Untuk setiap a,b,c ∈R berlaku:

i. a ∙ (b+c )=a ∙ b+a ∙ c

ii. (b+c ) ∙ a=b ∙ a+c ∙ a

Himpunan R terhadap operasi yang disajikan dengan tanda +¿dan ∙ merupakan suatu

Ring yang sifat-sifatnya di kelompokkan menjadi 3, yaitu:

Sifat-sifat a,b,c,d dan e menyatakan bahwa Rterhadap operasi +¿ merupakan

suatu Grup Abelian.

Sifat-sifat f dan g menyatakan bahwa R terhadap operasi ∙ bersifat tertutup dan

asosiatif.

Sifat h menyatakan bahwa R terhadap operasi-operasi ∙ dan +¿ berlaku sifat

distributif kiri dan sifat distributif kanan.

Contoh 1:

Tunjukkan bahwa E={0,1,2,3,4,5 } merupakan suatu Ring terhadap operasi-operasi

penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6.

Jawab:

Untuk menunjukkan bahwa E merupakan suatu Ring terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian, susun table operasi penjumlahan dan perkalian modulo 6.

Table (E,+)

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

Table (E,∙)

∙ 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

1. Tunjukkan bahwa E terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan grup abelian

jika a ,b , c∈E, maka:

a) Sifat tertutup terpenuhi : a+b mod 6 ∈E

Misal: 4+5=9.

9 mod 6=3, 3∈Eb) Sifat asosiatif terpenuhi.

Berdasarkan table (E,+)

(3+4 )+5=3+(4+5) (3+4 )+5=1+5=0

3+( 4+5 )=3+3=0

Jadi, (3+4 )+5=3+(4+5 )=0. Terbukti

c) Elemen identitas dalam E terhadap operasi penjumlahan modulo 6 adalah 0,

sebab untuk setiap a∈ E maka a+0=0+a=a

Misal: 4+0=0+4=4, 4 mod 6 = 4 5+0=0+5=5, 5 mod 6 = 5

d) Setiap elemen E mempunyai invers terhadap operasi +¿.

Missal: 3∈R ,dapat ditentukan (−3¿∈R sedemikian hingga

a+ (−a )=(−a )+a=u maka 3+(−3 )=(−3 )+3=00 mod 6 = 0

e) Sifat komutatif terhadap +¿.

Missal: 5+4=4+5=3,

Himpunan E memenuhi kelima sifat grup abelian.

2. Tunjukkan bahwa E tertutup dan asosiatif terhadap operasi ∙ (perkalian).

Untuk setiap a ,b , c∈E a) Sifat tertutup terpenuhi untuk operasi ∙ .

Missal: 3 ∙5=15.

15 mod 6=3, 3∈Eb) Sifat asosiatif terpenuhi untuk operasi ∙ .

Misal: berdasarkan table (E,∙) (4 ∙5 ) ∙3=4 ∙ (5 ∙3 )

(4 ∙5 ) ∙3=2 ∙3=0

4 ∙ (5 ∙ 3 )=4 ∙ 3=0

Jadi, (4 ∙5 ) ∙3=4 ∙ (5 ∙3 )=0 terbukti

3. Sifat distributif operasi ∙ terhadap operasi +¿ terpenuhi.

i. Distributif kanan

Misal: 2 ∙ (1+5 )=2∙ 1+2 ∙5 2 ∙ (1+5 )=2∙ 0=0

2 ∙1+2 ∙ 5=2+4=0

Jadi, 2 ∙ (1+5 )=2∙ 1+2 ∙5=0 terbukti

ii. Distributif kiri

Misal: (3+1 ) ∙2=3 ∙2+1 ∙2 (3+1 ) ∙2=4 ∙ 2=2

3 ∙2+1 ∙ 2=0+2=2

Jadi, (3+1 ) ∙2=3 ∙2+1 ∙2=2 terbukti

Telah ditunjukkan bahwa himpunan E merupakan Grup Abelian, bersifat tertutup dan

asosiatif terhadap perkalian, dan bersifat distributif operasi ∙ terhadap operasi +¿,

sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan E merupakan Ring.

Contoh 2:

C = {(a, b) | a dan b bilangan-bilangan real}. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada C berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:

(a ,b)+(c ,d)=(a+c ,b+d) dan

(a ,b) .(c , d)=(ac – bd , ad+bc )

Tunjukkan bahwa C merupakan suatu Ring.

Jawab:

I. Tunjukkan bahwa C memenuhi sifat Grup Abelian, yaitu:

1. Menurut defenisi penjumlahan pada C, C bersifat tertutup terhadap penjumlahan,

yaitu jumlah dua pasangan berurutan merupakan suatu pasangan berurutan pula.

2. Sifat asosiatif penjumlahan pasangan-pasangan berurutan mengikuti sifat asosiatif

penjumlahan bilangan-bilangan real, yaitu untuk setiap a ,b , c , d ,e , f ∈Rberlaku:

((a,b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f)= ((a + c) + e, (b + d) + f)= (a + (c + e), b + (d + f))= (a, b) + ((c, d) + (e, f))

3. C terhadap penjumlahan tersebut mempunyai elemen identitas, yaitu (0, 0), maka

untuk setiap (a, b) ∈ C sedemikian hingga a+u=u+a=a, maka

(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)4. Setiap (a, b) ∈ C mempunyai invers terhadap penjumlahan, dapat ditentukan

(−a ,−b)∈C sedemikian hingga a+ (−a )=(−a )+a=u, maka

(a, b) + (-a, -b) = (-a, -b) + (a, b) =( 0, 0)5. Sifat komulatif penjumlahan pasangan-pasangan berurutan mengikuti sifat komulatif

penjumlahan bilangan-bilangan real sebagai berikut:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)= (c + a, d + b)= (c, d) + (a, b), untuk setiap (a, b) , (c, d) Є C

Jadi (C, +) merupakan suatu Grup Abelian

II. Tunjukkan bahwa C bersifat tertutup dan asosiatif terhadap perkalian.

6. Menurut defenisi perkalian pasangan-pasangan berurutan tersebut, perkalian dua

pasangan berurutan merupakan suatu pasangan berurutan pula. Jadi C bersifat

tertutup terhadap perkalian.

7. Sifat asosiatif perkalian pasangan-pasangan berurutan dalam C mengikuti sifat-sifat

asosiatif dan distributif perkalian dalam himpunan bilangan real.

((a,b) . (c,d)) . (e,f) = (ac – bd, ad + bc) . (e, f)= ((ac – bd) e – (ad + bc) f, (ac – bd) f + (ad + bc) e)= (ace – bde – adf – bcf, acf – bdf + ade + bce)= ((ace – adf) – (bcf + bde), (acf + ade) + (bce- bdf)= (a (ce – df) – b (cf + de), a (cf + de) + b (ce – df)= (a, b) . (ce – df, cf + de)= (a, b) . ((c, d). (f, f))

8. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan pada C ditunjukkan sebagai

berikut:

(a, b) , ((c, d) + (e, f) = (a, b) . (c + e, d+ f)

= (a (c + e) – b (d + f), a (d + f) + b (c + e)= (ac + ae – bd – bf, ad + af + bc + be)= ((ac – bd) + (ae – bf), (ad + bc) + (af + be)= (ac – bd, ad + bc) + (ae - bf, af + be)= (a, b) . (c, d) + (a, b) . (e, f)

Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan pada C, yaitu: ((c, d) + ( e, f) . (a, b) = (c+e,d+f).(a,b)

= ((c+e).a-(d+f).b),((c+e).b+(d+f).a)=(ca+ea-db-fb, cb+eb+da+fa)= ((ca-db)+(ea-fb), (cb+da)+(eb+fa))=(ca-db,cb+da)+(ea-fb,eb+fa)=(c, d) . (a, b) + (e, f) . (a, b).

Karena C terhadap operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua sifat-sifat

Ring, maka (C,+,∙) merupakan suatu Ring.

Contoh3:Misalkan B adalah himpunan bilangna bulat. Operasi-operasi ⊕ dan ⊙ berturut-turut

didefenisikan sebagai berikut.

Untuk setiap a ,b∈B berlaku a⊕b=a+b+1 dan a⊙b=a+b+ab.

Tunjukkan bahwa B merupakan suatu Ring komutatif! Apakah B merupakan Ring

dengan elemen satuan?

Jawab:I. Diperhatikan B terhadap operasi⨁

1. B terhadap operasi⨁ bersifat tertutup, sebab jika a ,b∈B maka a⨁b yaitu

a+b+1∈B.

2. Sifat asosiatif ⨁ pada B ditunjukkan, a ,b , c∈B ,maka

(a⨁b )⨁c ¿(a+b+1)⨁c¿(a+b+1)+c+1¿a+(b+c+1)+1¿a⨁ (b+c+1)¿a⨁ b⨁c

3. Elemen identitas dalam B terhadap ⨁ adalah -1, sebab

a⨁−1=a+(−1)+1=a dan (−1)⨁a=(−1)+a+1=a

4. Jika a ∈B maka invers a terhadap⨁ adalah –(a+2) dan (-a-2), sebab

a⨁(−a−2)=a+(−a−2)+1=−1 dan

(−a−2)⨁a=−a−2+a+1=−15. Sifat komutatif terpenuhi, a ,b∈B, maka a⨁b=a+b+1

¿b+a+1

¿b⨁ a

II. Perhatikan B terhadap operasi⊙6. B terhadap operasi⊙ bersifat tertutup, sebab jika a ,b∈B maka a⊙b yaitu

a+b+ab∈B.

7. Sifat asosiatif ⊙ pada B ditunjukkan sebagai berikut:

a ,b , c∈B ,(a⊙b)⊙c=(a+b+ab)⊙c

¿(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c . ¿a+b+ab+c+ac+bc+abc …(i)

a⊙ (b⊙ c )=a⊙(b+c+bc ) ¿a+(b+c+bc)+a (b+c+bc )¿a+b+c+bc+ab+ac+abc …(ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa (a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙ c)

8. Sifat distributif kiri⊙terhadap ⨁ ditunjukkan sebagai berikut:

a ,b , c∈B , a⊙(b⨁c )=a⊙(b+c+1)

¿a+b+c+1+ab+ac+a¿(a+b+ab)+(a+c+ac )+1¿(a+b+ab)⨁(a+c+ac )¿(a⊙b)⨁(a⊙ c)

Sifat distributif kanan⊙ terhadap ⨁ pada B.

(b⨁c)⊙a=(b+c+1)⊙a¿(b+c+1)+a+a (b+c+1)¿b+c+1+a+ab+ac+a¿(a+b+ab)+(a+c+ac )+1¿(a⊙b)⨁(a⊙ c) terbukti

Jadi(B ,⨁ ,⊙) merupakan suatu Ring .

SIFAT-SIFAT RING

Misalkan R adalah suatu Ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Elemen

identitas terhadap penjumlahan dalam R dinyatakan dengan 0. Elemen identitas terhadap

perkalian (elemen satuan) dalam R dinyatakan dengan 1 dan invers a∈R terhadap

penjumlahan dinyatakan dengan (-a). Maka untuk setiap a∈R berlaku :

a+0=0+a=a ,

a ∙1=1 ∙ a=a dan

a+(−a)=(−a)+a=0.

Teorema 4.1

Misalkan R adalah suatu Ring dengan operasi-operasi perkalian dan penjumlahan, maka:

i. a ∙0=0∙ a=0 untuk setiap a∈R

ii. – (−a)=a dan– (a+b)=(−a)+(−b) untuk setiap a ,b∈R

iii. a (−b)=(−a)b=−(ab) untuk setiap a ,b∈R

iv. (−a)(−b)=a . b untuk setiap a ,b∈R

v. a (b – c)=a∙ b – a ∙ cdan (b−c )∙ a=b ∙ a– c ∙ auntuk setiap a ,b , c∈R

Bukti :

i. a ∙0=a ∙(0+0) sifat elemen identitas 0 dan R

a ∙0=a ∙0+a ∙ 0 sifat distribusi kiri.0+a ∙0=a ∙0+a ∙ 0 sifat elemen identitas 0 dan R

0=a ∙0 sifat kanselasi dalam grup R terhadap penjumlahan.Kemudian,

0 ∙ a=(0+0)a sifat elemen identitas 0 dan R

0 ∙ a=0∙ a+0 ∙ a sifat distribusi kanan 0+0∙ a=0 ∙ a+0 ∙ a sifat elemen identitas dalam R 0=a ∙0 sifat kanselasi dalam grup R terhadap penjumlahan Karena a elemen sembarang dalam R, maka untuk setiap a∈R , berlaku

a ∙0=0∙ a=0.ii. a∈R maka (−a)+a=0

(−a)∈R maka (−a)+(−(−a))=0Jadi (−a)+a=(−a)+(−(−a)) a=−(−a). sifat kanselasi dalam grup aditif

Jika a ,b∈R dapat ditemukan (−a ) ,(−b)∈ R sedemikian hingga

( (−a )+(−b ) )+ (a+b )¿((−b)+(−a))+(a+b)

¿(−b)+((−a)+(a+b)) sifat asosiatif penjumlahan

¿(−b)+((−a)+a)+b¿ sifat asosiatif penjumlahan

¿(−b)+b sifat elemen identitas penjumlahan

¿0 sifat invers penjumlahan.

((−a)+(−b))+(a+b)=0Ini berarti bahwa (−a)+(−b)=−(a+b)

iii. a ∙(−b)+a ∙b=a (−b+b) sifat distributif kiri

¿a ∙0 sifat invers penjumlahan

a .(−b)+a .b=0 sifat elemen identitas penjumlahan

Jadi a (−b) adalah invers dari ab, yaitu a (−b)=−(ab) .

(−a) ∙ b+a ∙b=(−a+a) ∙b sifat distributive kanan

¿0 ∙ b sifat invers penjumlahan

(−a) ∙ b+a ∙b=0 sifat elemen identitas penjumlahan

Jadi (−a) ∙ b adalah invers dari ab, yaitu (−a)b=−(ab).

Sehingga a (−b)=(−a)b=−(ab)

iv. Gunakan sifat bahwa a (−b )=−ab dan – (−a )=a

(−a ) (−b )=−( (−a ) b )¿−¿¿a ∙bv. a ,b , c∈R maka a ∙(b – c )=a(b+(−c))

¿a ∙b+a∙(−c)¿a ∙b+(−(a ∙ c )) ¿a ∙b – a∙ c .

TIPE-TIPE RING

Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan u, maka u sendiri adalah invers terhadap

perkalian dari u yaitu u−1= u. Tetapi elemen-elemen R yang lain belum tentu mempunyai

invers terhadap perkalian. Misalnya, himpunan bilangan bulat terhadap penjumlahan dan

perkalian aritmetika merupakan suatu ring dengan elemen satuan u=1 dan 1−1= 1. Tapi

elemen-elemen lainnya tidak mempunyai invers terhadap perkalian dalam himpinan bilangan

bulat.

Defenisi 4.2

Misalkan R suatu Ring dengan elemen identitas terhadap penjumlahan adalah z, suatu elemen

a ≠ z dalam R disebut pembagi nol, jika ada suatu elemen b≠ z dalam R sedemikian

sehingga a∙b = z atau b∙a = z.

Selanjutnya elemen identitas terhadap penjumlahan dalam u suatu ring disebut elemen nol.

Dalam aritmetika, apabila hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan 0 maka a = 0 atau

b = 0. Maka ring bilangan bulat tidak memuat pembagi nol.

Contoh:

i) H = {0 , 1 ,2 ,3 , 4 , 5 } terhadap penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6

merupakan suatu ring. Ring H ini memuat pembagi nol, sebab 2.3 = 0 dan 3.2 = 0

ii) M adalah himpunan semua matriks berordo 2 x 2 . M terhadap penjumlahan dan

perkalian matriks merupakan suatu ring. Ring M ini pun memuat pembagi nol,

sebab:

[0 10 0] [0 2

0 0] = [0 00 0] dan [0 2

0 0][0 10 0] = [0 0

0 0]Dari defenisi 4.2 tersebut dapat dimengerti bahwa ring R tidak memuat pembagi

nol, jika dan hanya jika untuk setiap a,b ∈ R berlaku jika a.b = z, maka a = z

atau b = z, atau dapat dikatakan bahwa ring R tidak memuat pembagi nol jika dan

hanya jika untuk setiap a,b ∈ R jika a ≠ z dan b ≠ z maka a.b ≠ z.

z adalah elemen nol dari R.

Defenisi 4.3

Jika R suatu ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat elemen pembagi nol

maka R disebut daerah integral (integral domain).

KARAKTERISTIK SUATU RING

Misalkan R suatu ring dengan operasi – operasi penjumlahan dan perkalian. Elemen

sembarang a∈R dan m suatu bilangan bulat positif, maka :

ma=a+a+a+…+a (sebanyak mkali ).

( – m )a=(−a )+ (−a )+(−a )+…+(−a ) (sebanyak mkali ) .

Jika m=0 ,0a=z dengan z adalah elemen nol dalam R. Untuk setiap a ,b∈R dan m , n

bilangan – bilangan bulat berlaku :

i. (m+n ) a=ma+na

ii. m (a+b )=ma+mb

iii. m (na )=(mn)a

Definisi 4.4

Misalkan R suatu ring dengan elemen nol adalah z. Jika untuk setiap a∈R ada bilangan

bulat positif terkecil nsedemikian sehinggana=zmaka dikatakan bahwa ring R mempunyai

karakteristik n. Jika tidak ada bilangan positif ndemikian maka dikatakan bahwa ring R

mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.

Contoh

i. B= {0,1,2,3,4,5,6 } adalah suatu ring dengan penjumlahan modulo 7 dan perkalian

modulo 7. Elemen identitas terhadap penjumlahan modulo 7 adalah 0. Untuk setiap

a∈B, 7 ∙ a=0. Misalnya 7 ∙5=35=0 (modulo 7 ) , 7 ∙ 4=28=0 (modulo 7)dan

sebagainya. Dan ring tidak ada bilangan bulat positif n<7, sehingga n ∙a=0. Jadi

Ring B mempunyai karakteristik 7.

ii. Misalkan M= {a ,b , c , d } adalah suatu Ring. Operasi penjumlahan pada M

didefinisikan sebagai berikut :

+ a b c d

a c d a b

b

c

d

d c b a

a b c d

b a d c

Berdasarkan tabel di atas, elemen identitas terhadap penjumlahan (elemen nol) dari

M adalah c. Karena a + a = b + b = c + c = d + d = c. Maka ring M mempunyai

karakteristik 2.

HOMOMORFISMA RING

Setelah mempelajarai ring, sifat – sifat dan tipe dari ring, maka selanjutnya

akan dipelajari tentang homomorfisma ring. Tidak jauh berbeda dengan dengan

homormorfisma yang telah dipelajari sebelumnya.

Defenisi

Misalkan ( R; + , .) dan ( R; ⊕ .⊙) masing-masing adalah ring dan pemetaan f : R ---

> R’. pemetaan f disebut homomorpisma dari R ke R’ apabila memenuhi sifat-sifat ;

∀ a,b ∈ R berlaku :

( i ) f(a + b) = f(a) ⊕f(b)

( ii ) f(a . b) = f(a) ⊙ f(b).

Jika pada defenisi di atas f : R --- > R’ suatu pemetaan satu – satu dan onto, maka f

suatu isomorfisma. Selanjutnya jika f = R --- > R’ suatu isomorfisma maka dikatakan

bahwa R isomorfisma dengan R’ dan ditulis R≈R.

Contoh 1

Misalkan R = {a, b, c, d} dan R’ = {p, q, r, s} masing – masing adalah ring,

tabel operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R didefenisikan seperti pada

tabel-tabel berikut ini :

+ a b c d

a

b

c

d

a b c d

b a d c

c d a b

d c b a

. a b c d

a

b

c

d

a a a a

a b c d

a c d b

a d b c

Tabel operasi penjumlahan ( ⊕ ) dan perkalian (⊙ ) pada R’

didefenisikan pada tabel berikut :

⊕ p q r s

p

q

r

s

r s p q

s r q p

p q r s

q p s r

⊙ p q r s

p

q

r

s

s p r q

p q r s

r r r r

q s r p

Pemetaan f : R --- > R’ didefenisikan oleh f(a) = r, f(b) = q dan f(c) = s dan f(d) = p

jelas bahwa f suatu pemetaan satu-satu dan onto. Selanjutnya apakah homomorfisma

dari R ke R’.

ambil b,c ∈ R, maka :

f(a + c) = f(d) tabel operasi penjumlahan pada R

= p

= q ⊕ s tabel operasi penjumlahan pada R’

f(a + c) = f(b) ⊕ f(c).

dan

f(a . c) = f(c) tabel operasi perkalian pada R

= s

= q ⊙ s tabel operasi perkalian pada R’

f(a . c) = f(b) ⊙ f(s)

jadi f merupakan homomorfisma dari R ke R’

Elemen identitas terhadap penjumlahan (elemen nol) pada R adalah a, elemen

nol pada R’ adalah r dan f(a) = r. Tampak disini bahwa peta (bayangan) elemen nol

dari R karena isomorfisma dari f merupakan elemen nol dari R’. Elemen satuan pada

R adalah b. elemen satuan pada R’ adalah q dan f(b) = q. Tampak di sisni bahwa peta

dari elemen satuan pada R. karena isomorfisma f merupakan elemen satuan pada

R’.peta dari invers terhadap penjumlahan suatu elemen R oleh isomorfisma f adalah

invers terhadap penjumlahan dari elemen tersebut.

Contoh 2

Misalkan R adalah ring bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian seperti

dalam aritmatika. R’ adalah himpunan semua bilangan genap. Operasi-operasi pada

R’ adalah penjumlahan seperti dalam aritmatika dan perkalian * pada R’

didefenisikan oleh :

a∗b=ab2

, untuk setiap a, b ∈ R’

(R’; + . *) merupakan suatu homorfisma ring. Periksa !

Misalkan pemetaan f : R--- > R’ didefenisikan oleh f(x) = 2x, untuk setiap x ∈ R’.

kita akan menunjukkan bahwa f suatu isomorfisma f : R--- > R’ tersebut adalah suatu

pemetaan satu-satu, sebab untuk sembarang a,b ∈ R dengan f(a) = f(b) maka 2a + 2b

atau a = b

f : R --- > R’ tersebut adalah suatu pemetaan onto, sebab untuk setiap a, b ∈ R, f(a) =

2a. ini berarti setiap elemen R’ merupakan peta (bayangan) dari elemen R.

selanjutnya ditunjukkan bahwa f : R --- > R’ suatu homomorfisma.

Ambil a, b ∈ R, maka :

f(a + b) = 2(a + b)

= 2a + 2b

f(a + b) = f(a) + f(b)

dan

f(a . b) = 2 (a . b)

= 2a . 2b

2

= 2a * 2b

F(a . b) = f(a) * f(b)

Jadi f : R --- > R’ suatu homomorfisma.

Karena f : R --- > R’ suatu pemetaan satu satu dan onto maka f suatu isomorfisma.

Contoh

Misalkan R adalah suatu ring bilangan kompleks dengan penjumlahan dan perkalian

dan ring

R′ = [( a b−b a)∨a ,b bilangan−bilangan real] dengan penjumlahan dan perkalian

matriks. Pemetaan f : R R′ didefenisikan oleh:

f ( a+bi )=( a b−b a) untuk setiap a,b bilangan real

Akan ditunjukakan bahwa f : R R′ suatu homomorfisma.

Ambil x,y ∈ R dengan x=a+bi dan y=c+di

Maka f ( x+ y )=f (a+bi+c+di )

¿ f ((a+c )+ (b+d ) i)

¿( a+c b+d−b−d a+c)

¿( a b−b a)+( c d

−d c ) ¿ f ( a+bi )+f (c+di )

¿ f ( x )+ f ( y )

Dan f (x , y ) ¿ f (a+bi)(c+di)

¿ f ( (ac−bd )+(ad+bd ) i )

¿( ac−bd ad+bd−ad−bd ac−bd )

¿( a b−b a)( c d

−d c) ¿ f ( a+bi ) ∙ f (c+di)

¿ f ( x ) ∙ f ( y )

Jadi f : R R′ suatu homomorfisma.

f : R R′ tersebut suatu pemetaan satu-satu, sebab jika x=a+bi dan y=c+di

sembarang bilangan kompleks dalam R dengan f ( x )=f ( y ), yaitu

f ( a+bi )=f (c+di )

( a b−b a)=( c d

−d c )a=c dan b=d

a+bi=c+di

x= y

f : R R′ tersebut suatu pemetaan onto, sebab untuk setiap ( a b−b a)∈ R′ maka

ada (a+bi)∈ R sehingga f ( a+bi )=( a b−b a)

Jadi f : R R′ suatu isomorfisma, atau R ≈R′

Perhatikan contoh di atas, elemen nol dari R adalah (0+oi ), elemen nol dari R′ adalah

(0 00 0) dan f (0+oi )=(0 0

0 0)Elemen satuan dari R adalah (1+oi ), elemen satuan dari R′ adalah

(1 00 1) dan f (1+oi )=(1 0

0 1)Invers terhadap penjumlahan (negatif) dari x=a+bi dalam R adalah −x=−a−bi

maka

f (−x )=f (−a−bi)

¿(−a −bb −a)

¿( a b−b a)

¿−f (a+bi )

f (−x )=−f (x )

Ini berarti peta invers penjumlahan dari elemen dalam R adalah invers penjumlahan

dari peta elemen tersebut. Hal-hal itu mengarahkan kita pada teorema berikut:

Teorema 1:

Jika f suatu homomorfisma dari Ring R onto ring R′ maka:

i. Peta dari elemen nol dalam R adalah elemen nol dalam R′ atau f ( z )=z '

dengan zdan z ' berturut-turut adalah elemen-elemen nol dalam R dan R '.

ii. Peta invers penjumlahan (negatif) dari setisp elemen R adalah invers

penjumlahan dari peta elemen tersebut, yaitu f (−x )=−f (x ) untuk setiap

x∈ R.

Bukti: i. Ambil sembarang a∈R maka a+ z=z+a=a

Perhatikan a+ z=a untuk setiap a∈R, maka:

f ( a+z )=f (a)

f ( a )+f ( z )=f (a ) , f adalah homomorfisma

f ( a )+f ( z )=f (a )+z ' , z ' elemen nol dalam R '

f ( z )=z, sifat kanselasi dalam grup aditif R '

Dengan jalan yang mirip dari z+a=auntuk setiap a∈R Diperoleh pula bahwa

f ( z )=z '

(ii) Misalkan z adalah elemen nol dalam R dan ambil sembarang x∈ R maka

x+(−x )=(−x )+x=z

Perhatikan x+(−x )=z untuk setiap x∈ R, maka:

f ( x )+(−x )=f (z )

f ( x )+ f (−x )=f (z ) f suatu homomorfisma

Dan dari x+(−x )=z untuk setiap x∈ R maka:

f ¿

f (−x )+( x )=f (z ) f suatu homomorfisma,

Jadi untuk setiap x∈ R, f ( x )+ f (−x )=f (−x )+f ( x )=f ( z )

Mengingat (i) diatas f ( z )=z ' adalah elemen nol dalaa R ', maka f (−x) adalah invers

terhadap penjumlahan dari f (x) dalam R.

Jadi f (−x )=−f ( x ) untuk setiap x∈ R.

SUBRING

Misalkan R adalah ring, S adalah himpunan bagian dari R dan S ≠∅ . Jika S

terhadap operasi–operasi yang sama dengan operasi-operasi pada R merupakan suatu

ring, maka dikatan bahwa S adalah subring dari R.

Contoh :

T = {p,q,r,s} operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada T berturut-turut

didefenisikan seperti pada tabel 1 dan 2. Sekarang pada himpinan S = {p,q}. Operasi-

operasi penjumlahan dan perkalian pada S berturut-turut didefenisikan pada tabe 3

dan 4.

Tabel 1 (T ; +) Tabel 2 (T ; .)

+ p q r S

p P q r S

q q P S R

r r s P P

s s r q Q

Tabel 3 (S ; +) Tabel 4 (S ; .)

+ p q

P p q

q q p

Perhatikan bahwa tabel 3 bagian dari tabel 1 dan tabel 4 badian dari tabel 2, dapat

diperiksa bahwa (S ; +, .) merupakan suatu ring. Sehingga S adalah subring dari T.

. p q r s

P P p P P

Q P q P Q

R P r P R

S p s p s

. p q

P P P

Q p q

Misalkan S adalah subring dari ring R dengan operasi-operasi penjumlahan dan

perkalian. Maka S⊂R dan S merupakan suatu ring, sehingga terhadap penjumlahan S

merupakan grup abelian. Jadi S merupakan subgrup dari R.

Menurut teorema 2.8 (modul 2). S subgrup dari R jika dan hanya jika untuk setiap

a ,b∈S berlaku a .b−1∈S. Karena operasi pada subgrup S adalah penjumlahan yang

di tulis –b. Sehingga syarat a .b−1∈Sditulis a+ (−b )=a−b∈S. Mengingat S subring

dari R atau S suati ring maka S harus memenuhi sifat tertutup terhadap perkalian.

Selanjutnya, karena S⊂R maka sifat asosiatif perkalian dan sifta distributif perkalian

terhadap penjumlahan pada S mengikuti sifat asosiatif dan sifat distributif pada R.

Hal ini membawa kita pada teorema berikut ini.

Teorema 5.1

Misalkan R suatu ring dengan penjumlahan dan perkalian, S himpunan

bagian dari R dan S ≠∅ . Maka S subring dari R bila dan hanya bila untuk setiap a, b

∈ S berlaku (a – b) ∈ S dan a . b ∈ S.

Bukti :

I : di buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ S berlaku (a – b) ∈ S dan a . b ∈ S.

Subring dari R, maka S suatu ring. S suatu ring maka S terhadap penjumlahan

merupakan suatu grup abelian.

Ambil sembarang a, b ∈ S

a, b ∈ S dan S suatu subgroup terhadap penjumlahan maka –b ∈ S, a ∈ S dan –b ∈ S

serta S suatu grup terhadap penjumlahan maka a + (-b) = a – b ∈ S.

a, b ∈ S dan S suatu ring maka a.b ∈ S.

jadi untuk setiap a, b ∈ S berlaku (a - b) ∈ S dan a . b ∈ S.

II : dibuktikan jika untuk setiap a, b ∈S berlaku (a – b) ∈S dan a . b ∈S, maka S

subring dari R. ambil a ∈S, maka menurut ketentuan (a – a) ∈S .a – a = a + (-a) = z,

yaitu elemen nol dalam S. ini berarti S memuat elemen nol.

Ambil b ∈S dan z∈S maka (z – b) ∈S dan z – b = z + (-b) = -b. sehingga −b∈S .

ini berarti setiap elemen S mempunyai invers terhadap penjumlahan.

Ambil a∈S dan −b∈S maka a – (-b) ∈S dan a – (-b) = a + b karena −b∈S maka

b∈S.

Hal ini menunjukkan bahwa S bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Selanjutnya

karena S⊂R dan R suatu ring, maka pada S memenuhi pula sifat asosiatif dan sifat

komutatuf penjumlahan, sifat asosiatif perkalian serta sifta distributive terhadap

perkalian.

Jadi semua aksioma ring dipenuhi oleh S, maka S merupakan suatu ring. S

merupakan suatu ring, S⊂R dan S suatu ring dengan operasi-operasi yang sama

dengan ring R, maka S adalah subring dari R.

IDEAL

Dalam suatu ring, subring-subring tertentu mempunyai peranan yang mirip dengan

subrup normal dalam suatu grup. Tipe subring seperti ini disebut ideal.

Definisi 5.1 :

Misalkan R suatu ring dan U ⊂ R dengan U ≠ ∅ , maka U disebut ideal kiri dari R

dan hanya bila memenuhi :

(i) Untuk setiap a,b ∈ U, maka a + (-b) ∈ U atau (a - b) ∈ U

(ii) Untuk setiap a ∈ U dan setiap r ∈R maka r.a ∈ U

Jika (ii) diganti dengan “Untuk setiap a ∈ U dan setiap r ∈R maka a.r ∈ U”

Maka U disebut ideal kanan dari R.

Jika (ii) diganti dengan “Untuk setiap a ∈ U dan setiap r ∈R berlaku r.a ∈ U dan a.r

∈ U”

Maka U disebut ideal dua sisi dari R atau ideal dari R.

Contoh :

R = {a,b,c,d,e,f,g,h}. operasi penjumlahan terlihat pada Tabel 5.3 (R; +) dan

perkalian pada

Tabel 5.4(R; . ). Periksa Tabel 5.3 (R; +) dan Tabel 5.4(R; . ) adalah ring. U =

{a,b,c,d} periksa apakah U ideal !

+ a b c d e f g h a a b c d e f g hb b c d e f g h ac c d e f g h a bd d e f g h a b ce e f g h a b c df f g h a b c d eg g h a b c d e fh h a b c d e f g

Tabel 5.3 (R; +)

Tabel 5.4(R; . )

Untuk memeriksa Tabel 5.3 (R; +) dan Tabel 5.4(R; . ) adalah ring, lihat kembali

definisi 4.1 pada hal. 4.2 tentang sifat-sifat memenuhi suatu ring.

Sifat tertutup terhadap operasi +

R = {a,b,c,d,e,f,g,h}

a + b = b , b ∈R .

Sifat asosiatif terhadap operasi +

(a + b) + c = a + (b + c)

b + c = a + d

d = d

Sifat komutatif terhadap operasi +

a + b = b + a

b = b

Selanjutnya dapat di coba sendiri !

Ideal kanan

a.a = a b.a = a c.a = a d.a = a karena ke-4 ∈ U, maka

merupakan

a.b = a b.b = b c.b = c d.b = d ideal kanan

a.c = a b.c = a c.c = a d.c = a

. a b c d e f g ha a a a a a a a ab a b a b a b a bc a c a c a c a cd a d a d a d a de a e a e a e a ef a f a f a f a fg a g a g a g a gh a h a h a h a h

a.d = a b.d = b c.d = c d.d = d

a.e = a b.e = a c.e = a d.e = a

a.f = a b.f = b c.f = c d.f = d

a.g = a b.g = a c.g = a d.g = a

a.h = a b.h = b c.h = c d.h = d

Ideal kiri

a.a = a a.b = a a.c = a a.d = a maka U ≠ ideal kiri

b.a = a b.b = b b.c = a b.d = b

c.a = a c.b = c c.c = a c.d = c ∴ U = ideal kanan U

≠ Ideal

d.a = a d.b = d d.c = a d.d = d U ≠ ideal kiri

e.a = a e.b = e e.c = a e.d = e

f.a = a f.b = f f.c = a f.d = f

g.a = a g.b = g g.c = a g.d = g

h.a = a h.b = h h.c = a h.d = h

Teorema 5.2

Apabila U1 dan U2 masing-masing adalah ideal dalam ring R, maka U1 ∩ U2

adalah ideal dalam R pula.

Bukti :R

U1 ∩ U2

U1 adalah ideal dalam ring R, U1 terhadap (+) subring dari R

U2 adalah ideal dalam ring R, U2 terhadap (+) subring dari R

U1 ∩ U2 subring dari R

1) Ambil a,b ∈ (U1 ∩ U2)

uu

a ∈ (U1 ∩ U2)

b ∈ (U1 ∩ U2) a + (-b) = a – b ∈ (U1 ∩ U2) ……(*)

2) ∀ a ∈ (U1 ∩ U2) , ∀ x ∈ R

a ∈ U1 a ∈ U2

a.x∈ U1 a.x∈ U2

x.a ∈ U1 x.a ∈ U2

Diperoleh :

a.x∈ U1 dan a.x∈ U2 ⟶ a.x∈ (U1 ∩ U2) ……... (**) ideal kanan

x.a ∈ U1 dan x.a ∈ U2 ⟶ x.a∈ (U1 ∩ U2) ………(***) ideal kiri

∴ dari (*),(**),(***) diperoleh U1 ∩ U2 adalah ideal dalam R

Teorema 5.3

Misalkan f adalah homomorpisma dari ring R ke ring R’ dengan z’ adalah elemen nol

dalam R’, maka K= {x∈K|f ( x )=z ' } merupakan ideal dalam R.

Bukti :

Misalkan z adalah elemen nol dalam R, maka f(z)=z’, sehingga z∈K . jadi K bukan

himpunan kosong.

Ambil a ,b∈K maka f ( a )=z ' dan f (b )=z'

f ( a−b )=f ( a+(−b ) ) a ,b∈R pula

¿ f ( a )+f (−b ) f homomorpisma

¿ f ( a )−f (b ) f (−b )=−f ( b )untuk setiap b∈R ¿ z '−z '

¿ z ' sifat elemen noldalam R'

f ( a−b )=z '

Jadi (a−b¿∈K ………………..( i )

Ambil sembarang a∈K dan r∈R maka f (a )=z '∈ R' dan f (r )∈R'

f ( a .r )=f (a ) . f (r ) f homomorpisma

¿ z ' . f (r )

¿ z ' sifat elemen noldalam R'

f ( ar )=z ' berarti ar∈K ………………( ii )

Ambil sembarang a∈K dan r∈R makar . a∈K

f (r . a )=f (r ) . f (a ) f homomorpisma

¿ f (r ). z '

¿ z ' sifat elemen noldalam R'

f (ra )=z ' berartir . a∈K ……………….(iii)

Dari ( i ), ( ii ) dan ( iii ) disimpulkan bahwa K adalah suatu ideal dalam R.

Misalkan R suatu ring komutatif dan suatu elemen a∈R maka dapat ditunjukkan

bahwa Ra= {r . a|r∈ R } adalah suatu ideal dalam R.

Ambil m1∈ Ramaka m1=r1 . adenganr1∈ R , dan

m2∈ Ramaka m2=r2 . adenganr2∈R

m1−m2=r1 . a−r2 . a

¿ (r1−r2 ) .a

r , r1∈ R makar 1 . r∈R , sehingga (r1−r2 ). a∈Ra

Jadi (m¿¿1−m2)∈ Rauntuk setiapm1 .m2∈ Ra¿ ……………( i )

Ambil m∈Ra makam=r . ad enganr∈R dan ambilr1∈R maka

r1 . m=r1 . (r . a )

¿ (r1 . r ) . a

r , r1∈ R makar 1 . r∈R , sehingga (r1 . r ) .a∈ Ra

Jadi r1 . m∈Ra untuk setiapr1∈ R dan m∈Ra …………….(ii)

dari (i) , (ii) dan R suatu ring komutatif maka Ra suatu ideal dalam R. selanjutnya Ra

disebut ideal yang dihasilkan oleh a dan ditulis (a) . jadi Ra = (a). selanjutnya a

disebut penghasil Ra. Suatu ideal yang dihasilkan oleh suatu elemen dari ring R

disebut ideal utama dalam R.

Contoh 5.6

misalkan B adalah suatu ring bilangan bulat dan U adalah himpunan bilangan

bulat kelipatan 12. Maka dapat ditunjukkan bahwa U adalah ideal utama yang

dihasilkan oleh 12 dalam ring B. U dapat pula dihasilkan oleh (-12) dan tidak dapat

dihasilkan oleh elemen lainnya dalam B.

Selanjutnya 12 disebut penghasil (generator) dari U. Penghasil dari U yaitu

12, kecuali sebagai elemen dari U, juga sebagai elemen dari ideal-ideal utama : D

yang dihasilkan oleh 6, E yang dihasilkan oleh 4, F yang dihasilkan oleh 3, H yang

dihasilkan oleh 2 dan B sendiri. Nampak bahwa ∁ D , U ∁ E , U ∁ F ,U ∁ H dan U ∁ B.

Dan 12 tidak termuat dalam ideal utama dari B yang memuat 12.

Dari contoh tersebut dapat dimengerti bahwa suatu ideal utama dalam B yang

dihasilkan oleh suatu bilangan bulat m merupakan himpunan bagian dari dari setiap

ideal utama yang dihasilkan oleh faktor dari m. Apabila m suatu bilangan prima

maka ideal utama dalam B yang dihasilkan oleh m hanyalah (m) dan B sendiri.

Misalnya T=(7 )={7 x|x∈B } adalah suatu ideal utama dalam B yang dihasilkan oleh

7. Ambil sembarang a ,b∈B sedemikian hinggaa . b∈T maka pastilah

a∈T atau b∈T .

Misal 28 T, 28 = 14 . 2 maka 14 T dan 2 T∈ ∈ ∉

28=7 .4 maka7∈T dan 4∉T

Defenisi 5.3

Misalkan R suatu ring komutatif dan U suatu ideal dalam R, maka U disebut ideal

prima bila dan hanya bila untuk setiap a ,b∈R jika a .b∈U makaa∈U ataub∈U .

Contoh 5.7

B adalah ring bilangan bulat, maka :

1) K = (11) = {11 x|x∈B } adalah ideal prima dalam B, sebab jika

a .b∈K maka a∈K ataub∈K .

2) T = (6) = {6 x|x∈B } bukan ideal prima dalam B, sebab ada a ,b∈B sedemikian

a .b∈T tetapia∉T dan b∉T .Misalnya 12∈T dan12=3 . 4 serta 3∉T dan 4∉T .

Defenisi 5.4

Misalkan R suatu ring komutatif dan U suatu ideal sejati. Maka U disebut ideal

maksimal dalam R bila dan hanya bila ideal U tidak termuat dalam ideal lainnya

kecuali U sendiri dan R.

Pada contoh 5.7, K adalah ideal maksimal dalam b, sebab K tidak termuat dalam ideal

lainnya dalam ring B kecuali K sendiri dan B. sedangkan T = (6) bukan ideal

maksimal, sebab T = (6) termuat dalam ideal (2) dan juga termuat dalam ideal (3)

dalam B.

Teorema 5.4

Misalkan B suatu ring bilangan bulat dan U suatu ideal dalam B, maka U suatu ideal

maksimal dari B bila dan hanya bila ideal U dihasilkan oleh suatu bilangan prima.

Bukti :

Misalkan U suatu ideal yang dihasilkan oleh p dalam B, maka U suatu ideal utama

dalam B. Setiap ideal dalam b merupakan ideal utama.

I. Dibuktikan : jika p bilangan prima maka U=( p) suatu ideal maksimal dari B.

sehingga harus diperlihatkan bahwa ideal U tidak termuat dalam ideal lainnya

kecuali dalam B dan U sendiri.

Andaikan ada ideal T dalam B yang memuat U dengan T ≠ B dan T ≠ U,

maka T merupakan ideal utama dalam B. Misalkan T = (q) dengan

q∈B ,U ⊂T atau ( p )⊂ (q ) maka p=a . q untuk suatu bilangan bulat a.

P bilangan prima dan p = a . q maka q = 1 atau q = p

Jika q = 1 maka (q) = (1) atau T = B

Jika q = p maka (q) = (p) atau T = U

Kedua kesimpulan ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa T ≠ B dan

T≠U. maka pengandaian tersebut harus diingkar sehingga tidak ada ideal dalam b

yang memuat U. Berarti U ideal maksimal dalam B.

II. Dibuktikan : jika U = (p) ideal maksimal dalam B maka p bilangan prima.

Andaikan p bilangan komposit maka p = m . n dengan m ≠ 1 dan n ≠ 1.

Misalkan ideal utama yang dihasilkan oleh m adalah T, yaitu T = (m) maka

U ⊂T⊂B . Dan misalkan ideal utama yang dihasilkan oleh n adalah s, yaitu S =

(n) maka U ⊂S⊂B .

U ⊂T⊂B dan U⊂ S⊂B berarti U termuat dalam ideal S dan T. Jadi U bukan

ideal maksimal dari B. Hal ini telah membuktikan kontrapositif dari II. Sehingga II

telah terbukti pula.

DAERAH INTEGRAL

A. DAERAH INTEGRAL1. Elemen Pembagi Nol dan SifatnyaDefinisi.1.A:Misalkan R suatu ring dan a R, a 0 maka:1. a disebut elemen pembagi nol kiri jika b ÎR, b 0 sehingga a.b = 02. Jika b ÎR, b 0, b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol kanan.3. Jika b ÎR, b 0, sehingga a.b = b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi

nol.4. a disebut elemen bukan pembagi nol jika (b ÎR, b 0, ab 0) atau

(ab = 0 Þb = 0)5. Elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol karena

0.a = a.0 = 0 dengan a 0. Tetapi apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena b R, e.b = b.e = b.

Definisi 2.A:Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya bila a 0. Tetapi jika a = 0, maka elemen 0 ini sering kali disebut elemen pembagi nol tak sejati.Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika a,b ÎZ dan a.b = 0 maka pasti a = 0 atau b = 0.

Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati.Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati

Definisi 3.A:Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk setiap a,b ÎR, jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0. Atau dengan kontraposisi: a ≠ 0 dan b ≠ 0 ⇒ a.b ≠ 0.

2. Integral Domain (Daerah Integral)Definisi 2.B:Sebuah ring komutatif dengan elemen kesatuan/elemen identitas (unity) dan tidak memuat pembagi nol disebut integral domain.

Jadi suatu ring R disebut daerah integral jika:1. R merupakan ring komutatif.2. R mempunyai elemen identitas e terhadap perkalian.3. R tidak mempunyai pembagi nol.

Contoh:1.    Buktikan bahwa R = {Bilangan genap} dengan operasi + dan * adalah daerah

integral!Bukti:a) (R, +, *) merupakan ring komutatif

a. a, bÎ R, a + b Î RMisal: b = 2m,  a = 2na + b = 2m + 2n = 2(m + n) Î RTerbukti bersifat tertutup terhadap operasi +

b. ( a, bÎ R) a + b = b + aMisal: a = 2m,  b = 2na + b = 2m + 2n = 2n + 2m = a + b Terbukti bersifat komutatif terhadap operasi +

c.   ( a, b, c Î R)  (a + b) + c = a + (b + c)Misal: a = 2m,  b = 2n,   c = 2p(a + b) + c   = (2m + 2n) + 2p

= 2 (m + n) + 2p = 2 (m + n + p)= 2 (m + (n + p)= 2m + 2 (n + p)= 2m + (2n + 2p)= a + (b + c)

Terbukti bersifat asosiatif terhadap operasi +d.   e Î R, a + e = e + a = a

Misalnya: a = 2ma + e  = a dan e + a  = a 2m + e = 2m  dan e + 2m = 2m2m + e – 2m = 2m – 2m                  e + 2m – 2m = 2m – 2me + 0 = 0                                   e + 0 = 0e = 0                                                e = 0Terbukti memiliki elemen identitas terhadap operasi +, yaitu e = 0

e. a Î R, a-1 Î R, a + a-1 = a-1 + a = eMisal: a = 2m,  e = 0a + a-1 = e              dan              a-1 + a = e2m + a-1 = 0                               a-1 + 2m = 02m + a-1- 2m = 0 – 2m             a-1 + 2m – 2m = 0 – 2m a-1 + 0  = -2m                           a-1 + 0   = -2m a-1 = -2m                                    a-1 = -2m

Terbukti memiliki elemen invers terhadap operasi +, dengan a-1  = -2m

f. a, bÎ R, a.b Î RMisal: a = 2m,  b = 2n a.b = 2m.2n= 4mn Î R.Terbukti bersifat tertutup terhadap operasi .

g. a, b, c Î R (a.b).c = a.(b.c)Misal: a = 2m,   b = 2n,    c = 2p(a.b).c = ( 2m.2n).2p= 2m.2n.2p= 2m.(2n.2p)= a.(b.c)Terbukti bersifat asosiatif terhadap operasi .

h. a, b Î R, a.b = b.aMisal: a = 2m,   b = 2na.b = 2m.2n = 2n.2m = b.a Terbukti bersifat komutatif terhadap operasi .

i. a, b, c Î R a.(b + c) = a.b + a.c dan a, b, c Î R (b + c).a = b.a  + c.aMisal: a = 2m,    b = 2n,    c = 2pc.(a + b) = 2p(2m + 2n) = (2p.2m) + (2p.2n)= (c.a) + (c.b)Terbukti bersifat distributif kiri terhadap operasi + dan . (a + b).c = (2m + 2n) .2p= (2m.2p) + (2n.2p)= (a.c) + (b.c)Terbukti bersifat distributif kanan terhadap operasi + dan .

b) R mempunyai elemen identitas e terhadap operasi .Misalnya: a = 2ma.e  = a                dan                     e.a  = a2m.e = 2m                                     e.2m = 2m           2m.e : 2m = 2m : 2m                     e.2m : 2m = 2m : 2me.1 = 1                                           e.1  = 1e = 1                                              e = 1Terbukti memiliki elemen identitas terhadap operasi . yaitu e = 1

c) R tidak punya pembagi nolAkan dibuktikan bahwa R tidak memuat pembagi nol.

Ambil sebarang a ≠ 0  R. Kemudian untuk a.b = 0, dengan a ≠ 0 maka haruslah b = 0. Misal: a = 2ma.b = 0(2m).b = 0(2m).b : (2m)   = 0 : 2mb.1 = 0b = 0

Ini berarti tidak ada b ≠ 0  R yang memenuhi persamaan a.b = 0, maka terbukti bahwa R tidak punya pembagi nol.Jadi, karena semua syarat a, b dan c terpenuhi maka (R, +, .) merupakan daerah integral.

Teorema 1

Sifat kanselasi terhadap perkalian terhadap D suatu daerah integral, a,b,c, ∈D dan c≠ z dengan z elemen nol dari D

i. Jika a . c=b .c maka a=b ii. Jika c .a=c .b maka a=b

Bukti:

i. a . c=b .ca . c−b .c=z(a−b ) . c=z sifat distribusia−b=z c ≠ zdan D tidak memuat pembagi nol a=b

ii. c .a=c .bc .a−c .b=zc . (a−b )=z sifat distribusi

a−b=z c ≠ zdan D tidak memuat pembagi nol a=b

Teorema 2

Misalkan D suatu daerah integral dan U suatu ideal dalam D. maka D/U suatu daerah integral bila dan hanya bila U suatu ideal prima dalam D

Bukti :

Jika U=D, maka diambil U<D

I. Dibuktikan bahwa U suatu ideal prima dalam D. D/U suatu daerah

integral. Diambil a,b ∈ D dengan a ≠ z sedemikian sehingga a.b ϵ U. maka

(a+u) . (b+u) = a . b + U = U. ini berarti a + U = U atau b + U = U, karena

D/U tidak memuat pembagi nol. Jadi a.b ∈ U akibatnya a∈U atau b ∈ U.

U adalah suatu ideal prima dalam D

II. Dibuktikan bahwa D/U suatu daerah integral. D suatu daerah integral

maka D suatu ring komutatif dengan elemen satuan. Sehingga D/U

merupakan suatu ring komutatif dengan elemen satuan pula. Ambil a+U,

b+U ∈ D/U dengan a.b ∈ D sedemikian hingga ( a + U ) . ( b + U ) = a . b

+U = U

a.b ∈ U dan a.b = Z atau b = Z. dan karena U suatu ideal prima dalam D

maka a = Z atau b = Z. sehingga a + U atau b + U merupakan elemen nol

dalam D/U. D/U tidak memuat pembagi nol. D/U suatu ring komutatif

dengan elemen satuan dan tanpa pembagi nol berarti D/U suatu daerah

integral

misalkan D suatu daerah integral dan c ∈ D, apabila c mempunyai invers

terhadap perkalian yang berada dalam D maka c disebut unit dari D.

misalkan c suatu unit dari daerah integral D dan a,b ∈ D sedemikian

hingga b = c.a , maka b disebut kawan (associate) dari a

Contoh 2

(i) B suatu ring bilangan bulat maka B merupakan daerah integral, maka unit-

unit dari B hanyalah 1 dan -1.

Jika a ∈ B maka kawan dari a dalam b adalah a dan –a, sebab a = 1.a dan a = (-1) . (-a)

(ii) Pada contoh 6.1 D = { a + b√17 │a,b bilangan bulat } adalah suatu daerah

integral. Tentukan unit-unit dari D dan elemen dari D yang merupakan

kawan dari 2 - √17 ?

Penyelesaian :

Misalkan a + b√17 adalah suatu unit dalam D maka ada x + y √17 ϵ D

sedemikian hingga ( a + b√17 ) . ( x + y√17 ) = 1, yaitu a + b√17

mempunyai invers terhadap perkalian

( ax + 17 by ) + ( ay + bx )√17 = 1 + 0√17.

Maka diperoleh system persamaan dalam x,y yaitu

ax + 17 by = 1bx + ay = 0

dengan menyelesaikan system persamaan diperoleh

x = a

a2−¿17 b2¿ dan y =

−b

a2−17 b2 ……………….(1)

x + y√17 ∈ D maka x dan y bilangan-bilangan bulat. Dari (1) dan x,y

bilangan-bilangan bulat maka a2- 17b2 = ± 1dengan a, b bilangan bulat

jadi a + b√17 merupakan unit dalam D apabila a2-17b2 = ± 1

jika a = 1 dan b = 0, yaitu 1 + 0√17 = 1 adalah unit dari D

jika a = -1 dan b = 0, yaitu -1 + 0√17 = -1 adalah unit dari D

jika a = 4 dan b = 1, yaitu 4 + √17 adalah unit dari D

jika a = -4 dan b = 1, yaitu -4 + √17 adalah unit dari D

selanjutnya karena ( 2 - √17 ) ( 4 + √17 ) = -9 - 2√17

-9 - 2√17 adalah kawan dari 2 - √17

FIELD

Definisi 1

Misalkan R ring dengan elemen satuan dan a∈ R. elemen a dikatakan unit di

R jika terdapat b∈ R sehingga ab = ba = 1 dimana b disebut juga invers dari

a terhadap perkalian.

Himpunan semua unit dalam ring yang mempunyai elemen satuan

membentuk suatu grup terhadap operasi perkaliannya.

Teorema 1

Karakteristik dari suatu field adalah nol atau suatu bilangan prima

Bukti :

Field yang mempunyai karakteristik nol jelas ada. Sehingga kita hanya membuktikan jika karakteristik field D adalah berhingga maka bilangan itu suatu bilangan prima.

Misalkan karakteristik field D adalah m, dan m bukan bilangan prima. Maka m=m1 . m2 dengan m1 ,m2 bilangan-bilangan bulat dan 1<m1<m ,1<m2<m.

Jika u elemen satuan dalam D, dan m karakteristik dari D maka

mu=z (elemen nol dalam D).

m u=(m1 m2) u

¿ (m1u ) .(m2u)

Jadi (m1u ) . ( m2 u )=z sehingga m1u=z atau m2u=z. Hal ini bertentangan

dengan m adalah karakteristik dari D yaitu m bilangan bulat terkecil

sedemikian m . a=z untuk setiap a∈D sebab m1<m dan m2<m. Oleh

karena itu pengandaian bahwa m bukan bilangan prima tidak benar, jadi m

adalah bilangan prima.

Definisi 2

Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan

a. R dikatakan ring divisi ( division ring ) jika setiap elemen tak nol di R adalah

unit

b. R dikatakan field, jika R adalah ring divisi komutatif. Ring divisi tak

komutatif disebut skewfield

Jadi suatu field F memenuhi :

1. ( F, +, . ) merupakan ring dengan elemen satuan2. ( F - {0}, . ) merupakan grup abelian

Teorema

Teorema 2

Setiap field merupakan daerah integral.

Bukti :

misalkan F adalah field dan α sebarang elemen taknol di F. Misalkan berlaku

αb=0 untuk suatub∈F .Karena a ≠ 0 , maka aadalah suatu unit di F. Sehingga

diperoleh:

b=1 b=( a−1 a ) b=a−1 ( ab )=a−1 0=0

Karena itu setiap elemen tak nol di F tidak mungkin merupakan pembagi nol.

Jadi F adalah daerah integral

Teorema 3

Setiap daerah integral hingga merupakan field

Bukti:

Misalkan D daerah integral hingga dengan kode n, yaitu

D = { a1, a2 ,… , an }

Misalkan a sebarang elemen tak nol di D. akan ditunjukkan bahwa a suatu

unit di D. untuk indek I ≠ j, tidak mungkin aa i = aa j karena pada D berlaku

hokum kansellasi

Jadi D = { aa1,aa2,…,aan }

Karena itu terdapat suatu indeks k, hingga aak= 1. Jadi a unit di D. karena itu

D adalah suatu field.

LAMPIRAN

1. Mengapa grup dinotasikan dengan (G,∘)?

Karena grup merupakan sebuah himpunan yang tak kosong dan himpunan

tersebut dinyatakan dengan huruf kapital yaitu G, dan ∘ merupakan operasi

binernya.

Karena grup merupakan suatu himpunan, dimana himpunannya adalah

himpunan tak kosong, untuk memudahkan penotasiaannya maka diambil

huruf awalnya yaitu huruf kapital G, karena dalam grup tersebut juga terdapat

operasi biner, maka dinotasikan dengan ∘. Sebenarnya grup tersebut boleh

saja dinotasikan dengan notasi lain, misalnya (Z, +) yang menyatakan grup,

dimana Z adalah himpunan bilangan bulat, dan + merupakan operasi biner

penjumlahan. Jadi (Z, +) merupakan notasi untuk grup pada bilangan bulat

terhadap operasi penjumlahan. Grup tersebut boleh dinotasikan dengan notasi

lain, tergantung operasi dan himpunannya.

2. Mengapa elemen identitas dilambangkan dengan u? Dan bagaimana

menjelaskannya kepada siswa?

Elemen identitas boleh saja dilambangkan dengan notasi lain, seperti “i” atau

“u”. asalkan dicantumkan keterangan yang menyatakan kalau notasi tersebut

adalah elemen identitas. Apabila digunakan “i” menimbulkan keraguan karena

menyerupai angka 1.

Elemen identitas itu ialah apabila beberapa bilangan dioperasikan dengan

suatu bilangan (identitas) menghasilkan bilangan itu sendiri atau tidak

menghasilkan bilangan lain. Suatu bilangan tersebut dinamakan elemen

identitas. Contoh : himpunan bilangan bulat positif terhadap operasi perkalian,

elemen identitasnya yaitu 1, karena

1 x 1 = 1

2 x 1 = 2

3 x 1 = 3 , begitu seterusnya.

3. Mengapa elemen identitas pada contoh 3 halaman 3 adalah 8?

Karena setiap anggota himpunan G = {2,4,8} terhadap perkalian modulo 14

apabila dioperasikan dengan 8 menghasilkan dirinya juga, sesuai dengan

pengertian elemen identitas.

2 x 4=4 x 2=8(mod 14)

4 x8=8 x 4=4(mod 14)

2 x8=8 x2=2 (mod 14)

4. Kenapa elemen invers pada contoh 3 halaman 3 tidak 1, karena apabila

dioperasikan dengan 1 akan menghasilkan identitas?

Karena 1 bukan anggota dari himpunan G. Sesuai dengan definisi, elemen invers

merupakan anggota dari himpunan tersebut.

5. Pada teorema 5, m dan n adalah bilangan-bilangan bulat positif maka berlaku

am∘an=am+n . Tetapi pada contoh soal n merupakan bilangan bulat negatif?

Bertentangan dengan teorema?

Berdasarkan teorema nilai m, n adalah bilangan bulat positif. Pada contoh soal n

merupakan bilangan bulat negatif, tetapi ada ketentuan atau syaratnya yaitu |m|>|n|.

Terlihat disini bahwa nilai n akan selalu positif karena n dimutlakkan. Apabila tidak

ada tanda mutlak maka bertentangan dengan teorema.

Dalam matematika operasi bilangan pada bilangan real hanya ada dua, yaitu

perkalian dan penjumlahan. Jika terdapat bilangan negatif maka digunakan sifat

invers. Begitu juga dengan bilangan berpangkat, tidak memuat bilangan negatif

sebenarnya, hanya boleh menggunakan sifat invers.

6. Pada teorema 2.14, dimana letak ketunggalannya untuk

13 = 2 . 6 + 1

13 = 3 . 4 + 1

Penjelasan:

Berdasarkan teorema pada teori bilangan bahwa

b = qa + r untuk 0 < r < a

untuk sebuah pasangan bilangan bulat (a,b) terdapat tunggal

pasangan bilangan

(q, r)

(a,b) = (q,r)

(13,6) = (2,1)

(13,4) = (3,1)

Nah, disini terlihat untuk setiap pasangan (13,6) hanya

mempunyai pasangan penyelesaian tunggal yaitu (2,1).

Untuk (13,4) hanya mempunyai pasangan penyelesaian tunggal

(3,1).

7. Berdasarkan definisi 2.6, jelaskan maksud dari am = u

Penjelasan:

m disini merupakan generator atau perulangan berapa kali dia

berulang sampai menemukan identitasnya

8. Apa perbedaan antara koset kanan dan koset kiri?

Penjelasan:

Koset kanan dan koset kiri hampir sama, hanya saja pada defenisi koset kanan

didefenisikan sebagai Ha = {h ° a|h Î H}dan koset kiri didefenisikan sebagai aH

= {a° h|hÎH}. tetapi pada pengerjaannya sama saja.

9. Jelaskan definisi homomorfisma dengan bahasa yang mudah di mengerti?

Penjelasan:

Dalam makalah sudah di jelaskan bahwasanya homomorfisma adalah: Diketahui (G , ο ) dan ( G ,∗¿

Merupakan grup. Pemetaan ϕ :G→ G ' disebut homomorfisma dari G ke G’ jika dan hanya jika untuk

Setiap a, b ϵ G berlaku ϕ ( a∘b¿=ϕ (a )∗ϕ (b ) . dari definisi ini sudah dapat di ambil Kesimpulan bahwasanya homomorfisma adalah hubungan dua buah grup yang operasinya Tidak diketahui dengan menghasilkan ruas kiri dan ruas kanannya sama.

Agar mudah dalam memahami definisi homomorfisma dapat dilihat dari contoh sebagai berikut:

Telah diketahui G={ 0,1,2,3} dengan operasi penjumlahan modulo 4, dan

G’={1,2,3,4} dengan operasi perkalian modulo 5, (G,+) dan ( G,∘ ¿ masing-

masing merupakan grup. Dari tabel dapat kita lihat operasi biner G dan G’.

Di bentuk persamaan ϕ :G→ G' hasil nya ϕ (0 )=1 , ϕ (1 )=2 , ϕ (2 )=3 , ϕ (3 )=4

Dapat kita buktikan sesuai definisi homomorfisma adalah dua buah grup yang memiliki Operasi yang berbeda tetapi menghasilakan hasil yang sama.

Disini dapat kita periksa bahwa untu x,y ϵ G berlaku bahwa

ϕ ( x+ y )=ϕ ( x )∗ϕ ( y )

Misalkan: ϕ (3+2 )=ϕ (3 )∘ϕ (2 ) (pada mod empat )

ϕ (1 )=ϕ¿) (ϕ (1 ) pada operasi¿ adalah 2)

jadi, 2= 2 terbukti bahwasanya homorfisma adalah hubungan dua buah

grup yang berbeda operasinya yang menghasilkan nilai yang sama.

10. Apakah homomorfisma itu hanya berfungsi satu-satu saja atau bagaimana,

jelaskan?

Berdasarkan defenisi homomorfisma bahwasanya homomorfisma memiliki

hubungan antara grup yang satu dengan grup yang lainya. Pada contoh yang

ada pada makalah mungkin memang yang terlihat fungsi satu-satu saja.

Berdasarkan definisi yang ada ,isomorfisma pasti homomorfisma, tetapi

homomorfisma belum tentu isomorfisma, berdasarkan hal ini homomorfisma

memiliki peluang selain berfungsi satu-satu juga memiliki hubungan yang

lainnya, hal yang pasti adalah setiap homomorfisma memiliki hubungan dari

grup ke grup liainya.

11. Ada definisi isomorfisma, monomorfisma dan epimorfisma. Berdasarkan definisi

isomorfisma bahwa dalam hal ini sudah terdapat monomorfisma dan epimorfisma

kenapa harus dibahas kembali mengenai epimorfisma dan ontomorfisma?

Dilihat dari definisi isomorfisma: isomorfisma adalah diketahu G, G’ grup dan

ϕ :G→ G ' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕdisebut isomorfisma grup

jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan injektif. Sebenarnya mempelajari

monomorfisma dan epimorfisam adalah jembatan untuk menyebrangi

isomorfisma, karna kalau belum paham apa itu monomorfisma dan epimorfisma

maka isomorfisama juga tidak akan paham, dilihat dari definisi isomorfisma

adalah grup yang memiliki fungsi satu-satu dan pada. Jadi bagai mana kita akan

mempelajari isomorfima jika tidak menguasai monomorfisma dan epimorfisama

(sangat penting untuk dipelajari).

12. Pada sifat yang poin e, dikatakan bahwa himpunan itu memenuhi sifat komutatif

terhadap operasi +, apakah harus komutatif juga terhadap perkalian?

Berdasarkan definisi, suatu himpunan dikatakan Ring jika memenuhi ke 8 syarat

yang telah di cantumkan, yang dikelompokkan menjadi 3 kelompok , salah

satunya adalah komutatif terhadap +. Jika suatu himpunan sudah komutatif saja

dan memenuhi ke 7 syarat yang lain, maka himpunan itu sudah bisa dikatakan

sebuah Ring. Namun jika himpunan tersebut juga komutatif terhadap perkalian,

maka ia disebut dengan Ring Komutatif.