Struktur Aljabar

Catatan KuliahStruktur Aljabar

Aleams Barra

Copyright c© 2015 Aleams Barra

Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the“License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may ob-tain a copy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. Unlessrequired by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License isdistributed on an “AS IS” BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND,either express or implied. See the License for the specific language governing permissions andlimitations under the License.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0

Daftar Isi

1 Materi Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Teori Himpunan 51.1.1 Operasi pada Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Diskusi Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Pemetaan 61.2.1 Pendefinisian Pemetaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Beberapa Pemetaan Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Kardinalitas Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Operasi Biner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Diskusi Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Aksioma Grup 15

2.2 Beberapa Contoh Grup 162.2.1 Grup Komutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Grup Tak Komutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Contoh Nongrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4 Diskusi Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Beberapa Sifat Grup 192.3.1 Ketunggalan Identitas dan Unsur Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Hukum Pembatalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Diskusi Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Sisa Bilangan Bulat 222.4.1 Sekilas Teori Bilangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Kriteria Subgrup 31

3.2 Grup Siklik 343.2.1 Orde Unsur di Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2 Diskusi Lanjutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Grup Permutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Perkalian di Sn 39

4.2 Putaran 40

4.3 Transposisi 43

5 Relasi Ekivalen dan Teorema Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Partisi dan Relasi Ekivalen 45

5.2 Relasi Ekivalen dari Subgrup 47

5.3 Teorema Lagrange 50

Teori HimpunanOperasi pada HimpunanDiskusi Lanjutan

PemetaanPendefinisian PemetaanBeberapa Pemetaan KhususKardinalitas HimpunanOperasi BinerDiskusi Lanjutan

1. Materi Pendahuluan

1.1 Teori HimpunanSecara naif himpunan didefinisikan sebagai kumpulan atau koleksi dari objek-objek yang berbeda.Pendefinisian himpunan dapat melalui pendaftaran semua anggotanya, seperti pada himpunan{1,2,3} atau {α,b,2015, hitam} ataupun dengan mendeskripsikan syarat keanggotan himpunantersebut seperti dalam himpunan {x real | −3 < x≤ 90} atau {n bulat positif | 5 faktor dari n}.Jika a merupakan anggota himpunan A kita tuliskan a ∈ A. Sedangkan jika b bukan anggotahimpunan A, kita tuliskan b 6∈ A. Himpunan kosong atau himpunan hampa adalah himpunanyang tidak memiliki anggota dan kita notasikan dengan /0.

Diskusi 1.1 Apakah artinya dua himpunan dikatakan sama? Bagaimana cara kita memeriksabahwa dua himpunan merupakan himpuanan yang sama? �

1.1.1 Operasi pada HimpunanMisalkan A dan B menyatakan himpunan. Berikut adalah beberapa notasi yang berkaitan denganhimpunan yang sudah kita ketahui:◦ A ⊆ B (atau pada sebagian buku A ⊂ B). Notasi ini di baca A himpunan bagian dari B.

Artinya bahwa semua unsur(anggota) di A merupakan unsur di B.◦ A∪B := {x | x anggota A atau anggota B}◦ A∩B := {x | x di A dan x anggota B}◦ A\B := {x | x ∈ A tapi x 6∈ B} (sebagian buku menggunakan notasi A−B untuk A\B)◦ A×B := {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}.

Himpunan bilangan asli, bulat, rasional dan real berturut-turut dinotasikan dengan N,Z,Q danR.

Diskusi 1.2 Misalkan A = {n ∈ Z : cos(nπ) = 0}, B = {bilangan bulat ganjil}, C = {n ∈N :n = 5k untuk suatu k bulat}.

1. Deskripsikan himpunan D := N\B2. Apakah hubungan antara D dan A3. Tentukan A∪B4. Tentukan C∩D

�

6 Bab 1. Materi Pendahuluan

Diskusi 1.3 Buktikan pernyataan berikut1. A∩B⊆ A2. A⊆ A∪B3. Jika A⊆ B maka A∩B = A4. Jika A⊆ B maka A∪B = B5. A∩A = A6. A∪A = A

�

1.1.2 Diskusi Lanjutan

Diskusi 1.4 Buktikan bahwa1. A\B = A\(A∩B)2. Jika A⊆ B maka A\C ⊆ B\C3. (A\B)∪ (B\A) = (A∪B)\(A∩B)

�

Diskusi 1.5 Tunjukkan bahwa1. A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)2. A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)

�

Diskusi 1.6 Pada awal perkembangan teori himpunan diyakini bahwa apapun yang anggota-anggotanya dapat dideskripsikan, merupakan himpunan. Akan tetapi matematikawan BertrandRussel, menunjukkan bahwa jika kita memperbolehkan pendefinisian himpunan seperti ituakan timbul suatu paradoks. Tinjau koleksi semua himpunan yang bukan merupakan anggotadirinya sendiri, R = {x : x 6∈ x}. Tunjukkan bahwa R ∈ R jika dan hanya jika R 6∈ R. �

1.2 Pemetaan

1.2.1 Pendefinisian PemetaanDalam banyak situasi kita ingin memberikan atribut terhadap anggota-anggota suatu himpunan.Misalkan untuk himpunan

M = { mahasiswa matematika ITB },

kepada masing-masing anggotanya kita ingin memberikan atribut usia atau misalkan atributnomor mahasiswa. Dalam hal ini pemberian atribut ini bisa dipandang sebagai pengaitan setiapunsur di M dengan suatu bilangan bulat.

Kita bisa meninjau situasi ini sebagai pemasangan antara masing-masing unsur di M dengansuatu bilangan bulat yang menyatakan usianya. Untuk menyatakan pemasangan ini kita bisamenggunakan diagram anak panah, misalnya

Ahmad → 19

Nina → 20

Ani → 19

Bobby → 22...

...

1.2 Pemetaan 7

Kita bisa memperumum situasi ini. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita beri aturanbagaimana kita memasangkan masing-masing dari unsur di A dengan suatu unsur di B. Karenakita bisa memberikan beragam aturan pemasangan, untuk membedakan mereka kita berikan namakepada cara kita memasangkan unsur-unsur di A dengan unsur-unsur di B. Aturan pemasanganf yang memasangkan unsur-unsur di A dengan unsur-unsur di B, ditulis f : A→ B. Jika a ∈ A,unsur di B yang dipasangkan dengan a ini kita nyatakan dengan f (a). Sebagai contoh, alih-alihdengan menggunakan anak panah, jika A = {Ahmad, Nina, Ani, Bobby}, B = Z dan f : A→ Badalah aturan yang memasangkan masing-masing unsur di A dengan usianya, kita bisa tuliskan

f (Ahmad) = 19

f (Nina) = 20

f (Ani) = 19

f (Bobby) = 22

Definisi 1.2.1 Pemetaan f dari A ke B, ditulis f : A → B, adalah suatu aturan f yangmemasangkan masing-masing unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Himpunan A dise-but domain dan himpunan B disebut kodomain dari f . Himpunan semua unsur di B yangmerupakan hasil peta dari f , yakni

f (A) = { f (a) | a ∈ A}= {b ∈ B | b = f (a) untuk suatu a ∈ A}

disebut sebagai daerah hasil dari f .

Diskusi 1.7 Misalkan f : A→ B suatu pemetaan.1. Apakah boleh terdapat b,c ∈ B yang berbeda sehingga f (a) = b dan f (a) = c?2. Misalkan b ∈ B. Apakah boleh terdapat a,x ∈ A yang berbeda sehingga f (a) = b dan

f (x) = b?3. Misalkan b ∈ B. Apakah selalu terdapat a ∈ A sehingga f (a) = b?

�

Salah satu cara pendefinisian suatu pemetaan f : A→ B adalah dengan mendaftarkan pemasangansemua unsur di A dengan di B seperti yang kita lihat pada contoh sebelum definisi di atas. Caralain adalah dengan memberikan deskripsi atau formula pemasangan seperti apa yang dilakukanoleh f . Untuk lebih jelasnya kita lihat contoh-contoh berikut:

� Contoh 1.1 Misalkan A = {1,2,3},B = {a,b, · · · ,z},C = {Mahasiswa Matematika ITB}Berikut ini merupakan contoh-contoh pemetaan:◦ f : A→ B dengan f (1) = a, f (2) = i dan f (3) = u◦ g : C→ B dengan g adalah pemetaan yang mengkaitkan masing-masing mahasiswa dengan

huruf awal namanya.◦ h : B→ A dengan h memetekan semua huruf vokal ke 1 dan memetakan semua huruf

konsonan ke 2.◦ p : A→ N dengan p(x) = 2015x.

�

Diskusi 1.8 Misalkan A = {a,b} dan B = {−1,0,1}1. Buat suatu pemetaan dari A ke B.2. Buat suatu pemetaan dari B ke A.3. Ada berapa banyak pemetaan dari A ke B?4. Ada berapa banyak pemetaan dari B ke A?


5. Buat suatu dugaan mengenai banyaknya pemetaan dari A ke B dengan A,B masing-masing merupakan himpunan dengan m dan n unsur.

�

1.2.2 Beberapa Pemetaan KhususKita ingin memberikan perhatian khusus kepada dua jenis pemetaan f : A→ B. Yang pertamaadalah pemetaan yang memetakan dua unsur berbeda di A ke dua unsur yang berbeda di B.Sedangkan yang kedua adalah pemetaan dimana setiap unsur di B memiliki pasangannya di A.Secara formal kedua jenis pemetaan tersebut kita definisikan sebagai berikut:

Definisi 1.2.2 Misalkan f : A→ B suatu pemetaan.◦ Pemetaan f dikatakan satu-satu (injektif) jika untuk setiap a1,a2 berbeda di A berlaku

f (a1) 6= f (a2).◦ Pemetaan f dikatakan pada (surjektif) jika untuk setiap b ∈ B terdapat a ∈ A sehingga

f (a) = b.◦ Pemetaan f dikatakan satu-satu pada (bijektif) jika f sekaligus satu-satu dan pada

(injektif dan surjektif).

Diskusi 1.9 Masing-masing pemetaan f berikut merupakan pemetaan dari R ke R. Periksapemetaan yang mana saja yang satu-satu dan yang mana yang pada

1. f (x) = |x|2. f (x) = sinx3. f (x) = x3 + x

�

Definisi 1.2.3 Diberikan pemetaan f : A→ B dan g : B→ C. Kita bisa membuat suatupemetaan dari A ke C dengan menggunakan pemetaan f dan g. Pemetaan baru ini kitaberi nama g◦ f (dibaca f komposisi g) dan agar ia menjadi suatu pemetaan maka kita harusmendeskripsikan aturan pengaitan unsur-unsur di A dengan unsur-unsur di C oleh g◦ f . Untuksetiap a ∈ A, pemetaan f memberikan unsur f (a) ∈ B. Karena g mengaitkan semua unsur diB dengan suatu unsur di C, khususnya kita memiliki g( f (a)) di C. Pemetaan g◦ f mengaitkana ∈ A dengan g( f (a)) ∈C. Secara singkat kita tuliskan sebagai

(g◦ f )(a) := g( f (a))

Misalkan f : A→ B merupakan pemetaan yang satu-satu dan pada. Kita bisa mendefinisikanpemetaan g : B→ A sebagai berikut: untuk setiap b ∈ B, karena f pada maka terdapat a ∈ Asehingga f (a) = b. Ada berapa unsur a ∈ A yang bersifat demikian? hanya satu! karena dengankeinjektifan f dijamin bahwa unsur di A yang berbeda dari a akan dipetakan ke unsur di B yangberbeda. Dengan demikian g : B→ A memenuhi syarat suatu pemetaan.

Sekarang dari f dan g kita peroleh fungsi g◦ f : A→ A dan f ◦g : B→ B. Perhatikan bahwauntuk setiap a ∈ A berlaku

(g◦ f )(a) = g( f (a)) = a (1.1)

Kesamaan terakhir diperoleh dari definisi g. Jika f memasangkan a dengan f (a), maka g akanmemasangkan f (a) dengan a, sehingga g( f (a)) = a.

Dilain pihak, misalkan b ∈ B. Karena f pada, maka ada a ∈ A sehingga f (a) = b. Menurutdefinisi g berlaku

( f ◦g)(b) = f (g(b)) = f (a) = b (1.2)

1.2 Pemetaan 9

Dari kedua sifat di atas kita lihat bahwa f dan g merupakan aturan pemasangan yangberkebalikan. Jika a dipasangkan dengan f (a) oleh f , maka g memasangkan f (a) dengana. Demikian juga jika g memasangkan b dengan g(b), maka f memasangkan g(b) dengan b.Karena sifat berkebalikan ini kita katakan bahwa f dan g saling invers.

Jika f dan g saling invers, g kita sebut sebagai invers dari f , ditulis g = f−1. Demikian pulaf adalah invers dari g dan bisa kita tuliskan f = g−1.

Diskusi 1.10 Jika f : A→ B satu-satu dan pada, tunjukkan bahwa terdapat pemetaan B→ Ayang juga satu-satu pada. �

Diskusi 1.11 Misalkan f : A→ B dan g : B→C adalah pemetaan.1. Jika f dan g satu-satu, tunjukkan bahwa g◦ f juga satu-satu2. Jika f dan g pada, tunjukkan bahwa g◦ f juga pada3. Jika g◦ f satu-satu, yang manakah diantara f dan g yang satu-satu?4. Jika g◦ f pada, yang manakah diantara f dan g yang juga pada?

�

Diskusi LanjutanJika f : A→ B satu-satu dan pada, tunjukkan bahwa terdapat pemetaan B→ A yang juga satu-satupada.

Diskusi 1.12 Cari suatu pemetaan f : R→ R yang bersifat:1. pada tapi tidak satu-satu2. satu-satu tapi tidak pada

�

Diskusi 1.13 Berikan contoh pemetaan f : A→ A (jika ada) dengan banyaknya anggota Aberhingga dan bersifat:

1. pada tapi tidak satu-satu2. satu-satu tapi tidak pada

�

Diskusi 1.14 Misalkan f : A→ B pada. Jika g : B→C dan h : B→C adalah pemetaan yangmemenuhi g◦ f = h◦ f , buktikan bahwa g = h. �

Diskusi 1.15 Misalkan f : B → C satu-satu. Jika g : A → B dan h : A → B memenuhif ◦g = f ◦h, buktikan bahwa g = h. �

1.2.3 Kardinalitas HimpunanSuatu himpunan A beranggotakan n unsur kalau semua unsurnya bisa kita labeli dengan bilangan1,2, . . . ,n, yakni yang kita bisa katakan yang mana unsur yang pertama, kedua, ketiga danseterusnya sampai ke yang n. Dengan kata lain himpunan A beranggotakan n unsur jika terdapatpemetaan yang satu-satu pada f : {1,2, . . . ,n}→ A. Mengapa satu-satu? karena kita ingin labelyang berbeda diperuntukkan untuk dua unsur A yang berbeda. Mengapa pada? karena setiapunsur di A punya label!

Ketika A mempunyai takberhingga banyaknya anggota, konsep banyaknya anggota menjadisedikit problematis. Apakah cukup kita katakan bahwa banyaknya anggota dari A tak berhinggabanyaknya? Bagaimana jika kita mempunya dua himpunan yang sama-sama memiliki takber-


hingga banyak anggota. Apakah kita bisa serta merta mengatakan bahwa keduanya mempunyaibanyak anggota yang sama? Apakah himpunan N dan N∪{0} mempunyai banyak anggotayang sama atau yang terakhir lebih banyak dari yang pertama? Keduanya jelas mengandung takberhingga banyaknya unsur dan mungkin kita bisa berhenti saja sampai tarap itu. Akan tetapi kitabisa menanyakan lebih lanjut, meski dua buah himpunan mempunyai takberhingga banyaknyaunsur bisa kah kita menciptakan suatu konsep yang bisa membedakan tingkat ketakberhinggaan?Secara intuitif kita menduga bahwa banyaknya anggota R jauh lebih banyak dari banyaknyaanggota N. Tapi bagaimana kita mengukurnya?

Alih-alih kita memberikan ukuran tertentu yang bisa membedakan tingkat ketakhinggaan,kita akan mendefinisikan kapan dua buah himpunan kita katakan mempunyai “banyak anggota”yang sama. Misalkan kita punya himpunan A yang berisi sejumlah orang dan himpunan B yangberisi sejumlah kursi. Kita bisa mengatakan bahwa banyaknya anggota A sama dengan B jikakita bisa membuat masing-masing orang di A menduduki kursi di B sehingga tidak ada kursi diB yang kosong. Tapi ini bisa kita lihat sebagai aturan pemasangan orang dengan kursi, yaknipemetaaan A−→ B yang satu-satu dan pada. Kita akan gunakan konsep ini untuk mengatakandua himpunan mempunyai banyak anggota yang sama.

Definisi 1.2.4 Himpunan A dan B kita katakan mempunyai kardinalitas (banyaknya anggota)yang sama jika terdapat pemetaan f : A→ B yang satu-satu dan pada. Kardinalitas darihimpunan A kita notasikan dengan |A|.

Kita akan mencoba menggunakan definisi di atas untuk melihat apakah N dan N∪{0}mempunyai kardinalitas yang sama.

� Contoh 1.2 Lorong pada hotel Hilbert sisi-sisinya memuat hotel sebanyak |N| yang diberinomor 1,2,3, . . .. Suatu waktu datanglah tamu sebanyak |N∪{0}|. Kita bisa membuat masing-masing tamu mendapatkan kamar dengan cara berikut. Pertama |N| orang dari tamu tersebutkita minta untuk menempati |N| kamar yang tersedia? Bagaimana dengan sisa tamu yang satuorang, dimana ia harus kita tempatkan? Mudah! Kita minta ia untuk menempati kamar pertama.Tamu sebelumnya yang mengisi kamar tersebut kita minta pindah ke kamar 2, tamu dari kamar 2pindah ke kamar 3. Begitu kita lakukan seterusnya sehingga untuk setiap n tamu yang tadinyamengisi kamar ke-n pindah ke kamar-n+1. Dengan cara ini kita berhasil memberikan kamarkepada setiap orang.

Yang kita lakukan di atas bisa kita nyatakan dalam bahasa pemetaan. Pemetaan yangkita gunakan untuk menunjukkan |N| = |N∪ {0}| adalah pemetaan f : N∪ {0} → N yangdidefinisikan melalui f (x) = x+1. Pemetaan ini pada karena setiap kali kita mengambil unsurn ∈ N maka n−1 ∈ N∪{0} dan

f (n−1) = (n−1)+1 = n.

Pemetaan f juga satu-satu, karena jika f (x) = f (y) maka x+1 = y+1, yang berakibat x = y. �

Diskusi 1.16 Tunjukkan bahwa interval (0,1) dan interval [0,1] mempunyai kardinalitasyang sama. �

� Contoh 1.3 Akan ditunjukkan bahwa |Z|= |N|. Idenya sebagai berikut: kita pecah bilanganbulat menjadi bilangan bulat negatif dan tak negatif. Pembagian ini membuat kita memiliki duahimpunan yang masing-masing beranggotakan sebanyak |N|. Untuk melabeli kedua himpunan inikita juga perlu memecah N ke dalam himpunan yang masing-masingnya mempunyai kardinalitas|N|. Sebagai contoh kita bisa melakukannya dengan memecah N ke dalam bilangan asli genapdan bilangan asli ganjil. Dari sini kita bisa melabeli bilangan negatif dengan bilangan asli ganjildan bilangan tak negatid dengan bilangan asli genap.

1.2 Pemetaan 11

Bil. bulat negatif -1 -2 -3 -4 · · ·Label 1 3 5 7 · · ·

Bil. bulat tak negatif 0 1 2 3 · · ·Label 2 4 6 8 · · ·

Dari tabel di atas, kita bisa membuat pemetaan f : Z→ N yang satu-satu pada melaluipendefinisian berikut

f (n) :=

{−n+1

2 jika n ganjiln2 −1 jika n genap

�

Diskusi 1.17 Tunjukkan bahwa pemetaan f pada contoh di atas bersifat satu-satu pada. �

Selain dengan menunjukkan adanya bijeksi, untuk menunjukkan bahwa kardinalitas duabuah himpunan itu sama bisa kita gunakan teorema berikut.

Teorema 1.2.1 — Schröder-Bernstein. Jika terdapat pemetaan satu-satu f : A→ B danpemetaan satu-satu g : B→ A maka |A|= |B|.

Diskusi 1.18 Suatu himpunan A dikatakan terbilang jika |A| berhingga atau |A|= |N| Buk-tikan bahwa himpunan berikut terbilang

1. N×N2. Z×Z3. Q

�

Diskusi Lanjutan

Diskusi 1.19 Tunjukkan bahwa interval (0,1) dan R mempunyai kardinalitas yang sama. �

Diskusi 1.20 Tunjukkan bahwa R tidak terbilang. �

1.2.4 Operasi BinerPandang himpunan bilangna bulat Z. Ketika kita menjumlahkan dua bilangan bulat a dan bkita memperoleh bilangan bulat lain a+b. Dengan demikian penjumlahan di Z adalah aturanyang mengkaitkan setiap pasang bilangan bulat (a,b) dengan bilangan bulat lain a+ b. Jadipenjumlahan bilangan bulat adalah pemetaan dari Z×Z ke Z dengan aturan pengaitan diberikanoleh (a,b) 7→ a+b.

Dengan melihat contoh di atas, kita bisa definisikan operasi pada himpunan sebagai berikut:

Definisi 1.2.5 Operasi Biner pada himpunan A adalah pemetaan dari A×A ke A.

Selanjutnya operasi biner ini kita sebut sebagai operasi saja tanpa ada tambahan kata binerdibelakangnya. Bila kita mempunyai pemetaan f : A×A→ A biasanya kita menuliskan petadari (a,b) sebagai f (a,b). Karena f (a,b) ∈ A kita bisa mengoperasikannya dengan unsur c ∈ Ayang lain. Hasil operasi f terhadap pasang ( f (a,b),c) adalah f ( f (a,b),c). Bisa kita lihat bahwapenulisan semacam ini sangat tidak nyaman. Karena hal ini, alih-alih memberi nama operasidengan nama yang umum untuk fungsi, seperti f , kita akan menggunakan nama seperti ? untuksuatu operasi.


Untuk operasi ? : A×A→ A kita kaitkan (a,b) dengan a?b. Sekarang dengan notasi ini, jikakita ingin mengoperasikan a?b dengan unsur c ∈ A yang lain, kita dapatkan (a?b)? c. Notasiini terlihat lebih sederhanda dibanding dengan notasi f ( f (a,b),c) sebelumnya.

Diskusi 1.21 injau operasi + pada bilangan bulat Z. Misalkan O dan E berturut-turutmenyatakan himpunan bilangan bulat ganjil dan himpunan bilangan bulat genap. Tunjukkanbahwa + juga merupakan operasi pada E. Apakah hal yang serupa berlaku untuk O? �

� Contoh 1.4 Misalkan A = {a,b}. Untuk mendefiniskan operasi ∗ pada A. Kita harusmengkaitkan semua pasang di A×A dengan suatu unsur di A. Salah satu cara adalah den-gan mendaftarkan semua unsur di A×A dan kita kaitkan masing-masing pasang tersebut denganunsur di A. Sebagai contoh kita bisa mendefinisikan ? sebagai berikut:

a?a = b a?b = a

b?a = b b?b = a

Karena operasi ini setiap saat dikenakan kepada pasang bilangan, notasi a?b?c tidak mempunyaiarti. Di lain pihak kita bisa menghitung (a?b)?b atau a? (b?b). Notasi (a?b)?b mempunyaiarti kita pertama operasikan dulu a dan b dan kemudian hasilnya kita operasikan lagi dengan b.Untuk notasi yang kedua, a? (b?b), kita lakukan operasi antara a dengan hasil pengoperasian bdan b.

Ketika bekerja dengan suatu operasi yang baru kita harus bisa melepaskan diri dari sifat-sifat operasi yang telah kita kenal. Sebagai contoh, karena terbiasa dengan perkalian bilanganreal, kita cenderung berasumsi bahwa sifat (ab)c = a(bc) berlaku juga untuk operasi yang lain.Perhatikan bahwa untuk operasi ? di atas,

(a?b)?b = a?b = a

sedangkan

a? (b?b) = a?a = b.

Jadi (a?b)?b 6= a? (b?b). �

� Contoh 1.5 Misalkan H adalah koleksi semua subhimpunan dari {1,2,3,4}. Jika A,B ∈H ,notasi A+B tidak punya arti tertentu, karena yang kita jumlahkan biasanya adalah bilangan.Mengingat hal tersebut, kita bisa mendefinisikan operasi yang menggunakan simbol + pada H ,misalnya dengan mendefinisikan A+B := A∪B. Pendefinisian ini kita baca sebagai berikut:setiap kali kita menjumpai notasi A+B, ia harus kita baca sebagai A∪B. Sebagai contoh,{1,3,4}+{2,3}= {1,3,4}∪{2,3}= {1,2,3,4}. �

� Contoh 1.6 Pendefinisian operasi yang baru seringkali juga menggunakan operasi yang sudahkita ketahui sebelumnya. Misalnya kita ingin mendefinisikan suatu operasi ? pada himpunanR. Pada himpunan ini kita sudah mengetahui dua macam operasi, yakni penjumlahan (+) danperkalian (·). Sekarang misalkan kita mendefinisikan operasi ? sebagai berikut

a?b := (a ·b)+a

Jika operasi penjumlahan dan perkalian di bilangan real keduanya memenuhi a+b = b+a dana ·b = b ·a, apakah sifat yang sama dipenuhi oleh ?? Dengan kata lain, apakah a?b = b?a?Perhatikan bahwa a ? b = (a · b) + a sedangkan b ? a = (b · a) + a. Jika a ? b = b ? a maka(a · b)+ a = (b · a)+ b. Karena perkalian bersifat komutatif, maka ini berakibat a = b. Dantentunya ini tidak selalu benar. Ini menunjukkan bahwa jika sejak awal kita pilih a dan b sehinggamereka berbeda, dipastikan bahwa a?b 6= b?a.

1.2 Pemetaan 13

Untuk lebih meyakinkan, biasanya kita memberikan contoh spesifik yang menunjukkanbahwa memang a?b berbeda dengan b?a. Sebagai contoh, dengan mengambil a = 0 dan b = 1kita peroleh 0?1 = (0 ·1)+0 = 0 sedangkan 1?0 = (1 ·0)+1 = 1. Jadi 0?1 6= 1?0 dan iniberakibat a?b = b?a tidak berlaku secara umum.

�

Definisi 1.2.6 Suatu operasi ? pada A dikatakan◦ asosiatif, jika untuk setiap a,b,c ∈ A berlaku a? (b? c) = (a?b)? c.◦ komutatif, jika untuk setiap a,b ∈ A berlaku a?b = b?a

Jika kita mengacu kepada sifat operasi + dan · pada bilangan real, selain mereka memiliki sifatasosiatif dan komutatif ada sifat lainnya yang dimiliki oleh kedua operasi ini. Perhatikan bahwa0 dan 1 adalah bilangan real yang bersifat

0+a = a dan a+0 = a untuk setiap a ∈ R

dan

1 ·a = a dan a ·1 = a untuk setiap a ∈ R

Disini kita katakah bahwa 0 merupakan unsur identitas operasi penjumlahan dan 1 merupakanunsur identitas operasi perkalian.

Untuk unsur identitas dari operasi yang lebih umum kita definisikan sebagai berikut:

Definisi 1.2.7 Misalkan ? adalah operasi pada A. Unsur e ∈ A dikatakan sebagai unsuridentitas dari operasi ? jika untuk setiap a ∈ A berlaku

a? e = a dan e?a = a.

� Contoh 1.7 Definisikan operasi ? pada R melalui

a?b := a+b+1.

Apakah operasi ini memiliki unsur identitas? Agar suatu unsur e ∈ R merupakan unsur identitas,paling tidak haruslah a? e = a untuk setiap a ∈ R. Akan tetapi ini berakibat

a = a? e

= a+ e+1 (definisi operasi ?)

Ini mengakibatkan 0 = e+ 1 dan dari sini kita peroleh e = −1. Apa yang telah kita lakukanmenunjukkan bahwa agar a? e = a maka haruslah e =−1. Apakah ini sudah menjamin bahwa−1 merupakan identitas dari operasi ?? Belum! Ingat agar suatu e bisa kita katakan unsuridentitas, ia harus memenuhi dua syarat, yang pertama a? e = a untuk setiap a dan yang keduae?a = a untuk setiap a.

Perhatikan bahwa untuk setiap a ∈ R berlaku

a? (−1) = a+(−1)+1 = a

dan

(−1)?a = (−1)+a+1 = a.

Jadi benar bahwa −1 adalah unsur identitas dari operasi ? pada R. �


Diskusi 1.22 Diantara operasi-operasi pada R yang didefinisikan berikut, yang mana sajayang memiliki sifat asosiatif? komutatif ? memiliki unsur identitas?

1. a?b = 20152. a?b = a2 +b3. a?b = 2a+b4. a?b = a−b5. a?b = 3ab

�


Diskusi 1.23 Misalkan A = {1,2, . . . ,n}. Nyatakan dengan Sn koleksi semua pemetaanf : A→ A yang satu-satu pada. Definisikan operasi ◦ pada Sn melalu pengaitan ( f ,g) 7→ f ◦gdengan f ◦g adalah komposisi dari g diikuti oleh f .

1. Apakah operasi ◦ bersifat asosiatif?2. Apakah operasi ◦ bersifat komutatif?3. Jika syarat satu-satunya dihilangkan dari syarat keanggotaan di Sn, apakah ◦ tetap

merupakan operasi di Sn?�

Diskusi 1.24 Misalkan ? operasi yang bersifat asosiatif. Tunjukkan bahwa

a? (b? (c?d)) = ((a?b)? c)?d

�

Aksioma GrupBeberapa Contoh Grup

Grup KomutatifGrup Tak KomutatifContoh NongrupDiskusi Lanjutan

Beberapa Sifat GrupKetunggalan Identitas dan Unsur InversHukum PembatalanDiskusi Lanjutan

Sisa Bilangan BulatSekilas Teori BilanganResidu

2. Teori Grup

2.1 Aksioma GrupKetika suatu himpunan A dilengkapi dengan operasi ?, untuk memberik penekanan terhadap op-erasi tersebut A akan kita tuliskan sebagai (A,?). Hal ini penting terutama ketika suatu himpunanmemiliki lebih dari satu operasi. Sebagai contoh himpunan bilangan real R mempunyai operasipenjumlahan dan perkalian. Untuk memberi penekanan operasi mana yang sedang kita tinjauketika kita bicara tentang R, kita masing-masing tuliskan R sebagai (R,+) atau (R, ·). Kita akanmeninjau sifat-sifat apa saja yang dimiliki oleh kedua operasi pada R tersebut.

Sifat-sifat (R,+).◦ Penjumlahan bersifat asosiatif.◦ Terdapat unsur identitas penjumlahan, yakni 0 ∈ R◦ Untuk setiap a ∈ R terdapat −a ∈ R sehingga baik a+(−a) maupun (−a)+a keduanya

adalah identitas. Atau dengan kata lain untuk setiap a∈R terdapat−a∈R yang memenuhi

a+(−a) = 0 dan (−a)+a = 0

◦ Penjumlahan bersifat komutatif.Bagaimana dengan operasi perkalian? Sifat-sifat apa saja yang dimiliki (R, ·)? Mudah kita

periksa bahwa perkalian bersifat asosiatif dan komutatif. Operasi perkalian di R juga memilikiunsur identitas, yakni 1. Sekarang, untuk setiap a ∈R apakah kita bisa selaku menemukan b ∈Rsehingga a ·b = 1 dan b ·a = 1? Ya, kecuali ketika a = 0! Dengan demikian jika 0 kita keluarkandari R maka (R\{0}, ·) juga memiliki keempat sifat yang dimiliki oleh (R,+) di atas.

Sekarang kita akan abstraksikan keempat sifat yang dimiliki oleh (R,+) dan (R\{0}, ·) danmemberikan nama khusus kepada himpunan yang memiliki keempat sifat tersebut.

Definisi 2.1.1 Himpunan yang dilengkapi operasi (A,?) disebut sebagi grup jika memenuhi:1. a? (b? c) = (a?b)? c untuk setiap a,b,c ∈ A (sifat asosiatif)2. terdapat e ∈ A (disebut unsur identitas operasi ?) yang memenuhi

a? e = a dan e?a = a

untuk setiap a ∈ A.

16 Bab 2. Teori Grup

3. untuk setiap a ∈ A terdapat b ∈ A (yang bergantung kepada a) yang memenuhi

a?b = e dan b?a = e.

Unsur b disebut sebagai invers dari a dan sering dituliskan sebgai b = a−1.

2.2 Beberapa Contoh Grup2.2.1 Grup Komutatif

Berikut akan kita tinjau contoh-contoh group yang beberapa diantaranya tak asing bagi kita.

� Contoh 2.1 Di atas telah kita lihat bahwa (R,+) merupakan grup. Pada kuliah Aljabar LinierElementer, kita pernah mempelajari bahwa empat aksioma pertama dari ruang vektor yang terkaitdengan operasi jumlah, persis merupakan aksioma grup yang komutatif. Dengan demikian untuksetiap ruang vektor V , (V,+) selalu merupakan grup komutatif. Contoh ini meliputi tapi tidakterbatas pada ruang vektor Rn, ruang vektor himpunan matriks real berukuran m×n, himpunanPn(R) polinom real berderajat kurang dari sama dengan n dan sebagainya. �

� Contoh 2.2 Himpunan Z dan Q merupakan subhimpunan dari R. Jelas bahwa operasipenjumlahan di R jika kita batasi pada masing-masing Z atau Q tetap berlaku. Mudah untukdiperiksa bahwa (Z,+) dan (Q,+) merupakan grup. Situasi dimana subhimpunan dari suatugrup tetap merupakan grup akan kita bahas pada subbab mengenai subgrup. Setelah kita ketahuikriteria yang menjamin kapan suatu subhimpunan dari suatu grup juga merupakan grup kita akanmendapat contoh grup yang lebih kaya. �

Diskusi 2.1 Untuk A dan operasi yang diberikan periksa apakah A merupakan grup1. A = {0}, penjumlahan2. A = {−1,1}, perkalian3. A = himpunan bilangan bulat , a?b = a−b.4. A = himpunan bilangan real positif , perkalian5. A = {−1,0,1}, perkalian6. A = {2m : m ∈ Z}, perkalian7. A = matriks 2×2 dengan determinan positif , operasi perkalian matriks.

Berikut ini merupakan contoh tak trivial pertama dari grup. �

� Contoh 2.3 Definisikan operasi ? pada R\{−1} melalui

a?b = ab+a+b untuk setiap a,b ∈ R\{−1}

◦ Ambil a,b,c ∈ R\{−1}. Perhatikan bahwa

(a?b)? c = (ab+a+b)? c

= (ab+a+b)c+(ab+a+b)+ c

= abc+ac+bc+ab+a+b+ c

di lain pihak

a? (b? c) = a? (bc+b+ c)

= a(bc+b+ c)+a+(bc+b+ c)

= abc+ab+ac+a+bc+b+ c

Karena penjumlahan biasa di R bersifat komutatif, maka

abc+ac+bc+ab+a+b+ c = abc+ab+ac+a+bc+b+ c

2.2 Beberapa Contoh Grup 17

sehingga

(a?b)? c = a? (b? c)

◦ Untuk kemudahan langkah berikutnya kita buktikan terlebih dahulu sifat komutatifnya.Ambil a,b ∈ R\{−1}. Perhatikan bahwa

a?b = ab+a+b = ba+b+a = b?a.

Jadi sifat komutatif dipenuhi.◦ Untuk unsur identitas, kita akan melakukan analisis pendahuluan untuk membuat dugaan

apa yang menjadi unsur identitasnya. Jika e adalah unsur identitas, maka paling tidakuntuk setiap a ∈ R\ haruslah berlaku

a = a? e = ae+a+ e

Dengan mencoret a dari kedua ruas kita peroleh 0 = ae+ e = (a+1)e. Karena a 6=−1maka a+1 6= 0. Dengan demikian agar (a+1)e = 0 haruslah e = 0.Langkah pencarian kandidat apa yang kira-kira akan menjadi unsur identitas yang sesuaiseperti diperlihatkan di atas bisa kita lakukan pada kertas buram yang tidak perlu kitatunjukkan secara eksplisit pada eksposisi yang kita berikan. Untuk langkah formal menun-jukkan bahwa memang unsur identitasnya adalah 0 bisa kita lakukan sebagai berikut.Perhatikan bahwa untuk setiap a ∈ R\{−1} berlaku

a?0 = a ·0+a+0 = a

Karena operasi ? komutatif, maka 0 ? a = a ? 0 = a. Jadi 0 adalah unsur identitas di(R\{−1},?).◦ Ambil a ∈ R\{−1}. Klaim bahwa invers dari a adalah b = − a

a+1 (coba lakukan anali-sis pendahuluan seperti sebelumnya untuk melihat mengapa dipilih b yang seperti ini).Perhatikan bahwa

a?b = ab+a+b = a(− a

a+1

)+a+

(− a

a+1

)= a− a2 +a

a+1= 0

Karena operasi ? komutatif, maka kita juga mendapatkan b ? a = a ? b = 0 dan kitasimpulkan bahwa b adalah invers dari a.

Dari semua langkah di atas kita simpulkan bahwa (R\{−1},?) merupakan grup komutatif. �

2.2.2 Grup Tak KomutatifSemua contoh grup di atas merupakan grup komutatif. Berikut ini merupakan contoh pertamakita tentang grup tak komutatif.

� Contoh 2.4 Pada Diskusi 1.2.5 kita telah mendefinisikan himpunan Sn. Kita akan tinjau kasuskhusus dimana n = 3. Suatu unsur f ∈ S3 akan kita tuliskan sebagai

f =(

1 2 32 3 1

).

Notasi ini memiliki arti bahwa f adalah pemetaan dari {1,2,3} ke {1,2,3} dengan f (1) =2, f (2) = 2 dan f (3) = 1. Berikut adalah semua unsur di S3.

f0 =

(1 2 31 2 3

)f1 =

(1 2 31 3 2

)f2 =

(1 2 32 1 3

)f3 =

(1 2 32 3 1

)f4 =

(1 2 33 1 2

)f5 =

(1 2 33 2 1

)


Manakala kita punya pemetaan f ,g,h (dengan domain apapun) sehingga ( f ◦g)◦h terdefinisi,maka untuk setiap x di domain berlaku

( f ◦g)◦h(x) = ( f ◦g)(h(x)) = f (g(h(x))) .

Di sisi lain

f ◦ (g◦h)(x) = f ((g◦h)(x)) = f (g(h(x)))

Jadi secara umum ( f ◦g)◦h = f ◦ (g◦h), yakni operasi komposisi selalu bersifat asosiatif.Perhatikan bahwa pemetaan f0 adalah pemetaan identitas, memetakan setiap unsur di {1,2,3}

ke dirinya sendiri. Akibatnya untuk setiap i = 1,2,3,4,5 berlaku

fi ◦ f0 = fi dan f0 ◦ fi = fi.

Jadi f0 adalah unsur identitas di (S3,◦).Untuk unsur invers, f3 dan f4 saling invers, sedang sisanya mempunyai invers dirinya sendiri.

Terakhir (S3,◦) bukan grup komutatif karena sebagai contoh f 1◦ f2 = f4 sedangkan f2 ◦ f2 = f3.�

Berikut adalah contoh lain dari grup yang tidak komutatif.

� Contoh 2.5 Definisikan GLn(R) sebagai himpunan matriks dengan entri real berukuran n×nyang mempunyai invers. Telah dipelajari di Aljabar Linier Elementer bahwa perkalian matriksbersifat asosiatif tapi tidak bersifat komutatif (jika anda belum pernah melihat buktinya, silakancoba buktikan). Unsur identitas di GLn(R) adalah matriks In, yakni matriks yang semua entridiagonal utamanya 1 dan 0 selain itu. Kemudian sesuai definisi dari GLn(R) setiap unsurnyamemiliki invers perkalian. Jadi GLn(R) grup yang tidak komutatif.

Diskusi 2.2 Untuk setiap a,b ∈ R definisikan pemetaan Ta,b : R→ R melalui

Ta,b(x) := ax+b.

Definisikan T := {Ta,b : a 6= 0}. Tunjukkan bahwa (T ,◦) (disini ◦ merupakan komposisi)merupakan grup. Apakah ia grup komutatif? �

�

2.2.3 Contoh Nongrup� Contoh 2.6 Diberikan suatu himpunan A. Definisikan himpunan kuasa P(A) yang anggotanyaadalah semua himpunan bagian dari A. Definisikan operasi + pada P(A) melalui X +Y := X∪Yuntuk setiap X ,Y ∈P(A).

Perhatikan bahwa untuk setiap X ,Y,Z di P(A) berlaku

(X +Y )+Z = (X ∪Y )∪Z = X ∪Y ∪Z = X ∪ (Y ∪Z) = X +(Y +Z)

Himpunan kosong /0 merupakan unsur identitas di (P(A),+) karena untuk setiap X ∈P(A)berlaku

X + /0 = X ∪ /0 = X dan /0+X = /0∪X = X

Akan tetapi jika X 6= /0, X tidak memiliki invers karena untuk setiap Y ∈P(A) berlaku X ∪Y ⊇X ! /0, akibatnya X +Y 6= /0 untuk setiap Y ∈P(A). Karena kita bisa menemukan unsur diP(A) yang tidak memiliki invers, maka (P(A),+) bukan merupakan grup. �

2.3 Beberapa Sifat Grup 19

� Contoh 2.7 Didefinisikan operasi ? pada himpunan A = {1,2,3,4,5} melaui tabel di bawahini. Perhatikan bahwa 1 adalah unsur identitas dari (A,?). Kemudian untuk setiap a ∈ A berlakua2 = 1. Jika A grup maka menurut Diskusi 2.15, A grup komutatif. Akan hal tersebut tidakmungkin, karena menurut tabel berlaku 2?3 = 4 6= 5 = 3?2. Jadi A bukan grup.

? 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 52 2 1 4 5 33 3 5 1 2 44 4 3 5 1 25 5 4 2 3 1

�

Diskusi 2.3 Cara yang lebih langsung untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan yangdilengkapi suatu operasi bukan grup adalah dengan menunjukkan ada aksioma grup yangdilanggar. Aksioma grup yang mana sajakah yang dilanggar oleh (A,?) pada Contoh 2.7? �


Diskusi 2.4 Misalkan A suatu grup. Ambil satu unsur tertentu x ∈ A. Definisikan operasi ?pada A melalui a?b := axb. Periksa apakah (A,?) merupakan grup. �

Diskusi 2.5 Diberikan himpunan A. Definisikan operasi 4 pada himpunan kuasa P(A)melalui

X4Y := (X ∪Y )\(X ∩Y ).

Periksa apakah (P(A),4) merupakan grup. �

Diskusi 2.6 Misalkan A = {a,b,c}. Definisikan operasi ? pada A melalui:

a? x = a, b? x = b dan c? x = c untuk setiap x ∈ A.

Tunjukkan:1. Operasi ? bersifat asosiatif.2. Terdapat e ∈ A sehingga x? e = x untuk setiap x ∈ A.3. Untuk setiap x ∈ A terdapat y ∈ A sehingga y? x = e

Apakah (A,?) suatu grup? jelaskan! �

2.3 Beberapa Sifat GrupMulai saat ini dan seterusnya ketika kita bicara suatu grup umum A, kita akan selalu mengasum-sikan bahwa operasi yang berlaku adalah operasi perkalian. Kemudian ketika kita bekerja digrup (A, ·) kita tidak akan menuliskan notasi perkaliannya secara eksplisit. Sebagai contoh a ·bakan kita tuliskan sebagai ab saja.

2.3.1 Ketunggalan Identitas dan Unsur Invers


Teorema 2.3.1 Misalkan (A, ·) suatu grup. Maka1. Terdapat tepat satu unsur identitas di (A, ·).2. Setiap unsur a ∈ A tepat memiliki satu buah invers.3. Untuk setiap a ∈ A berlaku (a−1)−1 = a.4. Untuk setiap a,b ∈ A berlaku (ab)−1 = b−1a−1

Bukti. 1. Misalkan e1,e2 adalah unsur identitas. Dengan memandang e1 sebagai unsuridentitas, kita peroleh e1e2 = e2. Dilain pihak, dengan memandang e2 sebagai unsuridentitas diperoleh e1e2 = e1. Dengan demikian

e1 = e1e2 = e2.

2. Ambil a ∈ A. Misalkan b1,b2 adalah invers dari a dan misalkan e adalah unsur identitas(yang tunggal) di A. Perhatikan bahwa

b1 = b1e definisi unsur identitas

= b1(ab2) karena b2 invers dari a

= (b1a)b2 sifat asosiatif

= eb2 karena b1 invers dari a

= b2 sifat unsur identitas

3. Perhatikan bahwa unsur (a−1)−1 adalah unsur invers dari a−1. Karena a−1 invers dari amaka berlaku

aa−1 = e dan a−1a = e.

Dengan demikian a memenuhi kriteria invers dari a−1. Karena (a−1)−1 dan a keduanyainvers dari a−1 dan invers dari setiap unsur di A bersifat tunggal, maka haruslah

(a−1)−1 = a.

4. Unsur (ab)−1 adalah unsur invers dari ab. Dilain pihak

(ab)(b−1a−1) = a(bb−1)a−1 = aea−1 = aa−1 = e

dan

(b−1a−1)ab = b−1(a−1a)b = b−1eb = b−1b = e.

Jadi b−1a−1 juga merupakan invers dari ab. Dari ketunggalan invers kita simpulkan bahwa

(ab)−1 = b−1a−1.

Diskusi 2.7 Misalkan A grup. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

(a−1ba)n = a−1bna

�

�

2.3.2 Hukum Pembatalan

2.3 Beberapa Sifat Grup 21

Teorema 2.3.2 — Hukum Pembatalan. Misalkan a,b merupakan unsur di grup A.1. Jika terdapat c ∈ A sehingga ac = bc, maka a = b.2. Jika terdapat c ∈ A sehingga ca = cb, maka a = b.

Bukti. 1. Dengan mengalikan c−1 dari sebelah kanan persamaan ac = bc kita peroleh

ac = bc

acc−1 = bcc−1

a = b.

2. Serupa dengan pembuktian di atas.�

Misalkan (A, ·) suatu grup dengan unsur identitas e. Untuk setiap a∈ A dan n∈Z definisikanan sebagai berikut

an :=

a ·a · · ·a︸︷︷︸n

jika n > 0

e jika n = 0a−1 ·a−1 · · ·a−1︸︷︷︸

|n|

jika n < 0

Dengan definisi di atas kita peroleh sifat perpangkatan sebagaimana perpangkatan bilangan realyang kita kenal.

Diskusi 2.8 Misalkan A himpunan berhingga yang dilengkapi dengan operasi yang asosiatifdan memenuhi hukum pembatalan (lihat Teorema 2.3.2).

1. Untuk setiap a ∈ A definisikan pemetaan à : A→ A dan ra : A→ A melalui à(x) = axdan ra(x) = xa. Tunjukkan bahwa à dan ra merupakan pemetaan yang satu-satu danpada.

2. Diberikan a ∈ A, tunjukkan bahwa terdapat b ∈ A sehingga ab = a. Tunjukkan bahwacb = c untuk setiap c ∈ A.

3. Tunjukkan bahwa terdapat d ∈ A sehingga dc = c untuk setiap c ∈ A.4. Tunjukkan bahwa b = d dan simpulkan bahwa b adalah unsur identitas di A.5. Buktikan bahwa setiap unsur di A memiliki invers dan simpulkan bahwa A adalah grup.

�

Proposisi 2.3.3 Untuk setiap m,n ∈ Z berlaku dan a ∈ (A, ·)

am ·an = am+n dan (am)n = amn

Bukti. Diserahkan kepada pembaca. �

Diskusi 2.9 Misalkan A grup komutatif. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n dansetiap a,b ∈ A berlaku (ab)n = anbn. �

Diskusi 2.10 Jika A grup hingga, tunjukkan bahwa terdapat bilangan asli N sehingga aN = euntuk setiap a ∈ A. (Petunjuk: pandang himpunan {am : m ∈ N}) �



Diskusi 2.11 Misalkan A suatu grup sehingga untuk setiap a,b ∈ A berlaku (ab)2 = a2b2.Buktikan bahwa A komutatif. �

Diskusi 2.12 Di S3 (lihat Contoh 2.4) cari dua unsur g dan h sehingga (gh)2 6= g2h2. �

Diskusi 2.13 Misalkan A suatu grup sehingga a2 = e untuk setiap a ∈ A. Tunjukkan bahwaA komutatif. �

Diskusi 2.14 Jika A adalah grup dengan 3 atau 4 unsur. Tunjukkan bahwa A komutatif. �

Diskusi 2.15 Jika banyaknya unsur di grup A genap, buktikan terdapat a 6= e di A sehinggaa2 = e. �

Diskusi 2.16 Misalkan A suatu grup sehingga terdapat n ∈ N sehingga

(ab)i = aibi

untuk setiap i ∈ {n,n+1,n+2}. Tunjukkan bahwa A komutatif. �

2.4 Sisa Bilangan Bulat2.4.1 Sekilas Teori Bilangan

Sebelum berbicara tentang bilangan bulat residu kita akan melakukan sedikit review tentangteori bilangan. Kita awali dengan aksioma keteraturan.

Teorema 2.4.1 — Aksioma Keteraturan Bilangan Asli. Setiap himpunan bagian tak hampaS dari N selalu memiliki unsur terkecil.

Misalkan m,n bilangan bulat dengan n > 0. Perhatikan himpunan T = {m+ kn : k ∈ Z}.Perhatikan bahwa m+ |m|n ∈ T dan m+ |m|n≥ m+ |m| ≥ 0. Dengan demikian T mengandungunsur yang positif. Sekarang jika kita kumpulkan semua unsur taknegatif di T dan kita namai S,yakni S := {t ∈ T : t ≥ 0} maka menurut aksioma di atas, S memiliki unsur terkecil, sebut ia r.

Karena r ∈ T maka r = m−qn untuk suatu q ∈ Z. Atau bisa kita tuliskan

m = qn+ r.

Karena r ∈ S, jelas bahwa r ≥ 0. Andaikan r ≥ n maka r = m−qn≥ n. Ini berakibat

r > r−n = m− (q+1)n≥ 0.

Tapi ini berarti bahwa r−n adalah unsur di S yang lebih kecil dari r, bertentangan dengan faktabahwa r adalah unsur terkecil di S. Jadi haruslah r < n. Hasil di atas kita rumuskan dalamteorema berikut.

Teorema 2.4.2 — Algoritma Pembagian Euclid. Misalkan m,n ∈ Z dengan n > 0. Makaterdapat q ∈ Z sehingga

m = qn+ r

2.4 Sisa Bilangan Bulat 23

dengan 0≤ r < n.

Diskusi 2.17 Buktikan bahwa q dan r pada algoritma Euclid (Teorema 2.4.2) bersifat tunggal.�

Diskusi 2.18 Jika kita terapkan algoritma Euclid kepada bilangan asli a,b secara berulang-ulang kita peroleh

a = qb+ r0 dengan b > r0

b = q1r0 + r1 dengan r0 > r1

r0 = q2r1 + r2 dengan r1 > r2

......

rn−2 = qnrn−1 + rn dengan rn−1 > rn

Karena barisan b > r1 > r2 > · · · > rn−1 > rn ≥ 0 menurun, untuk suatu n tertentu akankita peroleh rn = 0. Menurut soal sebelumnya dari langkah pertama algoritma euclid kitaperoleh (a,b) = (b,r0). Dari langkah berikutnya kita peroleh (b,r0) = (r0,r1) dan seterusnya.Akibatnya kita peroleh

(a,b) = (b,r0) = (r0,r1) = · · ·= (rn−1,rn)

Karena rn = 0 maka (a,b) = (rn−1,0) = rn−1.Gunakan metode ini untuk menentukan (2015,1581). �

Definisi 2.4.1 Bilangan bulat m 6= 0 kita katakan membagi n, ditulis m | n jika terdapat k ∈ Zsehingga km = n. Misalkan a,b ∈ Z dengan a,b tidak keduanya nol. Bilangan bulat positif ddisebut pembagi sekutu terbesar dari a dan b jika◦ d membagi a dan b, yakni d | a dan d | b.◦ jika terdapat bilangan bulat c yang juga membagi a dan b maka c juga membagi d (jika

c | a dan c | b maka c | d).Pembagi sekutu terbesar dari a dan b kita tuliskan sebagai (a,b).

Perhatikan bahwa berdasarkan definisi keterbagian, untuk setiap setiap m 6= 0 berlaku |m| | 0dan |m| |m. Kemudian jika c |m karena m | |m|maka jelas c | |m|. Dengan demikian (m,0) = |m|.

Teorema berikut merupakan suatu cara bagaimana kita bisa memperoleh pembagi sekututerbesar dari dua bilangan. Meskipun hasilnya tidak praktis untuk mencari pembagi sekutu besar,namun hasil ini secara teori merupakan hasil yang akan sering dipergunakan.

Teorema 2.4.3 Misalkan a,b bilangan bulat yang tidak keduanya nol. Maka (a,b) adalahunsur positif terkecil di himpunan

Sa,b := {ax+by : x,y ∈ Z}.

Bukti. Karena (a,b) = (−a,b) = (−a,−b), tanpa mengurangi keumuman kita asumsikan a >0,b≥ 0. Jika b = 0, seperti yang sudah disinggung di atas (a,b) = (a,0) = a dan di lain pihakSa,0 = {ax : x ∈ Z} unsur positif terkecilnya adalah juga a.

Sekarang kita bisa anggap b > 0 dan misalkan unsur positif terkecil di Sa,b adalah t. Kitabisa tuliskan t = ax0 +by0 untuk suatu x0,y0 ∈ Z.


Akan kita tunjukkan bahwa t | a dan t | b. Dengan algoritma Euclid, tuliskan a = qt+ r untuksuatu q ∈ Z dan 0≤ r < t. Jika r 6= 0 maka

r = a−qt = a−q(ax0 +by0) = a(1−qax0)+b(−qy0) ∈ Sa,b

Berarti r adalah unsur di Sa,b yang lebih kecil dari t (kontradiksi!). Dengan demikian haruslahr = 0 dan ini berakibat t | a. Dengan cara serupa kita dapatkan t | b.

Jika c | a dan c | b maka a = kc dan b = lc untuk suatu k, l ∈ Z. Akibatnya

t = ax0 +by0 = c(kx0)+ c(ly0) = c(kx0 + ly0).

Jadi c | t dan kita simpulkan bahwa t = (a,b). �

Diskusi 2.19 Untuk bilangan bulat a,b yang tidak keduanya nol jelaskan mengapa (a,b) =(−a,b) = (−a,−b) dan jelaskan mengapa dalam pembuktian Teorema 2.4.3 penggunaanhasil ini membuat kita dapat mengasumsikan a > 0. �

Diskusi 2.20 Tunjukkan bahwa jika a = qb+ r maka (a,b) = (b,r). �

Dalam situasi ketika a,b hanya mempunya pembagi sekutu 1 kita punya nama tersendiri.

Definisi 2.4.2 Bilangan bulat a,b dikatakan saling relatif prima atau a relatif prima terhadap(a,b) jika (a,b) = 1.

Konsekuensi langsung dari Definisi 2.4.2 dan Teorema 2.4.3 adalah teorema berikut.

Teorema 2.4.4 — Bezout. a dan b relatif prima jika dan hanya jika terdapat x0,y0 ∈ Zsehingga ax0 +by0 = 1.

Berikutnya akan kita bahas mengenai bilangan prima

Definisi 2.4.3 Bilangan asli p > 1 disebut prima jika p = ab dengan a,b asli maka salah satudari a atau b adalah 1.

Beberapa sifat tentang bilangan prima kita daftarkan dalam proposisi berikut

Proposisi 2.4.5 Misalkan p bilangan prima1. Untuk setiap bilangan bulat a berlaku salah satu dari (p,a) = 1 atau p | a.2. Jika p prima dan a,b bulat sehingga p | ab maka p | a atau p | b.

Bukti. 1. Ambil a ∈ Z. Jika (p,a) = d 6= 1 maka p = dc untuk suatu c asli. Dari definisibilangan prima dan fakta d 6= 1 maka haruslah c = 1. Akibatnya d = dc = p dan (p,a) = p.Dari sini kita simpulkan p | a (lihat Diskusi). Jika p - a, tulis a = qp+ r dengan 0≤ r < p.Perhatikan bahwa r = a− qp ∈ Ap,a dan lebih kecil dari p. Kontradiksi dengan faktabahwa p adalah unsur taknegatif terkecil di Sp,a.

2. Karena p | ab, tulis ab = pz untuk suatu z bulat. Misalkan p - a maka menurut hasilsebelumnya di atas, (p,a) = 1. Menurut Teorema Bezout, kita bisa menuliskan

1 = px0 +ay0

untuk suatu bilangan bulat x0,y0. Kalikan kedua ruas dengan b kita peroleh

b = bpx0 +aby0 = p(bx0)+ p(zy0) = p(bx0 + zy0).

Jadi p | b.�


Dan terakhir teorema tentang faktorisasi prima yang kita berikan tanpa bukti.

Teorema 2.4.6 — Faktorisasi Prima. Untuk setiap bilangan asli n> 1 terdapat secara tunggalpenulisan

n = pa11 pa2

2 · · · pakk

dengan p1, . . . , pk adalah bilangan prima yang berbeda dan a1, . . . ,ak bilangan bulat positif.

2.4.2 ResiduDiberikan bilangan asli n. Untuk setiap bilangan bulat x definisikan [x]n (atau [x] saja bila konteksn nya jelas) sebagai residu(sisa) pembagian x dengan n. Ingat bahwa dengan algoritma Euclid,kita bisa tuliskan x = qn+ r untuk suatu bilangan bulat q,r yang tunggal (lihat Diskusi 2.17)dengan 0≤ r < n. Dari sini kita lihat bahwa sisa pembagian x oleh n adalah r. Dengan demikian[x]n = r.

Beberapa contoh konkrit dapat dilihat sebagai berikut

� Contoh 2.8 Perhatikan bahwa 2015 = 201 ·10+5 dan 25 = 2 ·10+5. Dengan demikian

[2015]10 = 5 = [25]10

Akan tetapi karena [2015]11 6= [25]11 karena 2015 = 183 · 11 + 2 dan 25 = 2 · 11 + 3 yangmengakibatkan [2015]11 = 2 sedangkan [25]11 = 3. �

Diberikan bilangan asli n, kita ingin meninjau himpunan Zn := {[x]n : x ∈ Z}. Sisa rhasil pembagian bilangan bulat x yang diperoleh dari algoritma Euclid selalu memenuhi 0 ≤r < n. Dengan demikian sebagai himpunan Zn tidak lain adalah himpunan {0,1, . . . ,n− 1}.Sebagaimana ditunjukkan oleh contoh di atas, terdapat x,y bulat yang berbeda sehingga [x]n =[y]n. Berikut adalah karakterisasi kapan hal tersebut bisa terjadi.

Proposisi 2.4.7 [x] = [y] ∈ Zn jika dan hanya jika n | (x− y).

Bukti. Misalkan [x] = [y] = r dengan 0≤ r < n. Maka x = q1n+ r dan y = q2n+ r untuk suatuq1,q2 ∈ Z. Akibatnya

x− y = (q1n+ r)− (q2n+ r) = (q1−q2)n.

Jadi n | (x− y).Sebaliknya jika n | (x− y), tulis x− y = qn untuk suatu n. Dari sini diperoleh x = qn+ y.

Jika y = q1n+ r untuk suatu q1,r ∈ Z dengan 0 ≤ r < n maka [y] = r dan x = qn+q1n+ r =(q+q1)n+ r. Akibatnya juga diperoleh [x] = r = [y]. �

Selanjutnya kita akan mendefinisikan dua macam operasi pada Zn.

Definisi 2.4.4 Penjumlahan dan perkalian di Zn didefinisikan melalui

[x]+ [y] := [x+ y] dan [x] · [y] := [xy]

Ada beberapa hal yang perlu kita waspadai dalam pendefinisian di atas. Yang pertama adalahcara kita memaknai notasi [x]+ [y] := [x+ y]. Pada ruas kiri notasi + bisa kita gantikan dengannotasi lain yang menandakan bahwa ia operasi, misalnya ⊕ atau ?. Sedangkan notasi + padaruas kanan adalah notasi penjumlahan pada bilangan bulat.

Ingat bahwa penjumlahan yang selama ini kita akrab dengannya adalah penjumlahan bilanganreal. Sedangkan dalam hal ini kita mempunyai himpunan Zn yang cukup asing, yang masing-masing unsurnya berbentuk [x] untuk suatu x bulat. Jadi pada himpunan Zn ini, notasi [x]+ [y]


adalah suatu notasi yang tidak punya arti, kecuali kalau kita memaknainya. Dalam pendefinisian[x] + [y] := [x+ y] kita memaknai [x] + [y] sebagai sisa pembagian bilangan bulat x+ y olehn. Sebagai contoh dengan definisi ini, nilai [2015]11 +[25]11 adalah [2040]11. Karena 2040 =185 ·11+5, maka [2040]11 = 5 dan kita tuliskan [2015]11 +[25]11 = 5.

Hal yang kedua yang patut kita perhatikan adalah apakah operasi di Zn ini terdefinisi denganbaik? Suatu unsur di Zn bisa memiliki beberapa “wajah”. Sebagai contoh [2015]10 dan [25]10adalah dua wajah yang berbeda dari satu unsur di Z10. Kita ingin pendefinisian operasi di Zn

tidak bergantung penampilan unsur-unsur yang terlibat dalam operasi. Jika [x1] dan [x2] duawajah dari satu unsur yang sama di Zn sudah seyogyanga [x1] + [y] = [x2] + [y] untuk setiap[y] ∈ Zn. Keberlakuan sifat ini tidak tampak secara kasat mata sehingga harus kita buktikan.

Proposisi 2.4.8 Operasi jumlah dan kali di Zn terdefinisi dengan baik.

Bukti. Misalkan x1,x2 dan y1,y2 adalah bilangan bulat sehinga [x1] = [x2] dan [y1] = [y2] di Zn.Akan ditunjukkan bahwa

[x1]+ [y1] = [x2]+ [y2] dan [x1] · [y1] = [x2] · [y2].

Menurut definisi penjumlahan dan perkalian di Zn pernyataan di atas benar jika dan hanya jika

[x1 + y1] = [x2 + y2] dan [x1y1] = [x2y2].

Menurut Lemma 2.4.7 untuk membuktikannya kita cukup menunjukkan bahwa

n | ((x1 + y1)− (x2 + y2)) dan n | (x1y1− x2y2) .

Karena [x1] = [x2] dan [y1] = [y2] maka n | (x1 − x2) dan n | (y1 − y2). Akibatnya n |(x1− x2)+(y1− y2)) yang ekivalen dengan n | ((x1 + y1)− (x2 + y2)). Akibat lainnya adalahn | ((x1− x2)y1 +(y1− y2)x2) yang ekivalen dengan n | (x1y1− x2y2). �

Berikutnya kita berikan contoh suatu operasi di Zn yang tidak terdefinisi dengan baik.

� Contoh 2.9 Definisikan operasi ? di Z7 melalui [x]? [y] :=[|x|+ y

]. Perhatikan bahwa

[−5]+ [3] = [5+3] = [8] = 1

Karena di Z7 berlaku [−5] = [2] harusnya [−5]+ [3] = [2]+ [3]. Akan tetapi

[2]+ [3] = [2+3] = 5 6= [−5]+ [3].

Jadi operasi ? tidak terdefinisi dengan baik. �

Diskusi 2.21 Masalah adanya beberapa penampilan berbeda untuk satu unsur sebetulnyabukanlah hal yang baru buat kita. Bilangan rational Q bisa kita definisikan melalui Q := {a

b :a,b ∈ Z,b 6= 0}. Di Q dua unsur 3

5 dan 5185 adalah dua wajah yang berbeda dari satu unsur di

Q. Di Q berlaku

ab=

xy

jika dan hanya jika ay = bx.

Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian di Q yakni

ab+

cd

:=ad +bc

bddan

ab· c

d:=

acbd

terdefinisi dengan baik. �


Berikutnya akan kita tunjukkan bahwa (Zn,+) membentuk grup komutatif.

Proposisi 2.4.9 Untuk setiap bilangan asli n, (Zn,+) adalah grup komutatif.

Bukti. ◦ Penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif. Berarti untuk setiap x,y bulatberlaku x+ y = y+ x. Akibatnya

[x]+ [y] = [x+ y] = [y+ x] = [y]+ [x].

Jadi operasi penjumlahan di Zn juga komutatif.◦ Karena penjumlahan bilangan bulat bersifat asosiatif, maka untuk setiap x,y,z bulat berlaku

([x]+ [y])+[z] = [x+y]+[z] = [(x+y)+z] = [x+(y+z)] = [x]+[y+z] = [x]+([y]+ [z]) .

◦ Karena untuk setiap x ∈ Z berlaku

[x]+ [0] = [x+0] = [x]

dan juga [0]+ [x] = [x]+ [0] = [x] (karena penjumlahan komutatif) maka [0] adalah unsuridentitas penjumlahan di Zn.◦ Untuk setiap bilangan bulat x berlaku

[x]+ [−x] = [x+(−x)] = [0]

dan juga [−x]+ [x] = [0] (dari kekomutatifan). Jadi [−x] adalah invers dari [x].Dari semua di atas kita simpulkan (Zn,+) merupakan grup komutatif. �

Diskusi 2.22 Periksa apakah operasi ? di Zn melalui [x]? [y] := [2x+3y] terdefinisi denganbaik? Apakah (Zn,?) membentuk grup? �

Bagaimana dengan (Zn, ·)? apakah juga membentuk grup? Karena [x] · [1] = [x] dan [1] · [x] =[x] maka [1] adalah unsur identitas dari operasi perkalian. Untuk n> 1 kita mempunyai [0]n 6= [1]ndan untuk setiap x ∈ Zn kita punya

[0] · [x] = [0 · x] = [0] 6= [1].

Jadi [0] tidak pernah mempunyai invers perkalian di Zn.Bagaimana jika kita keluarkan [0] dari Zn terlebih dahulu? Pandang Z×n := Zn\{[0]}. Kita

ingin mengetahui apakah (Z×n , ·) membentuk grup. Jika n tidak prima, tulis n = ab dengan1 < a,b < n. Perhatikan [a], [b] ∈ Zn tetapi [a] · [b] = [ab]n = [n]n = [0] 6∈ Zn. Jadi untuk n tidakprima operasi perkalian tidak tertutup di Z×n .

Untuk n prima kita dapatkan hasil berikut.

Proposisi 2.4.10 Jika n prima maka (Z×n , ·) adalah grup komutatif.

Bukti. Sifat keasosiatifan berlaku karena dengan keasosiatifan perkalian bilangan bulat kitapunyai

([a][b]) [c] = [ab][c] = [(ab)c] = [a(bc) = [a][bc] = [a] ([b][c]) untuk setiap [a], [b], [c]inZn.

Untuk sifat keasosiatifan, kita juga memperolehnya sebagai konsekuensi kekomutatifan perkalianbilangan bulat. Untuk setiap [a], [b] ∈ Zn berlaku

[a][b] = [ab] = [ba] = [b][a].


Unsur [1] di Zn merupakan unsur identitas operasi perkalian karena untuk setiap [a] ∈ Zn berlaku

[a][1] = [a ·1] = [a].

dan dari kekomutatifan juga berlaku [1][a] = [a][1] = [a].Sekarang akan kita tunjukkan bahwa setiap unsur di Z×n mempunyai invers. Ambil x bulat

sehingga [x] 6= [0]. Maka n - x (lihat Proposisi 2.4.7). Menurut Proposisi 2.4.5 (1) ini berakibat(n,x) = 1. Sekarang dengan teorema Bezout kita bisa menemukan s, t bulat sehingga ns+xt = 1.Dari sini didapat

[1] = [ns+ xt] = [ns]+ [xt] = [0]+ [x][t] = [x][t]

Karena perkalian bersifat komutatif, maka [t][x] = 1. Jadi [t] adalah invers perkalian dari [x]. �

Diskusi 2.23 Buat tabel penjumlahan di Z6 dan perkalian di Z×7 . �

Diskusi 2.24 Tentukanlah invers perkalian dari [2015] di Z×101. �

Definisi 2.4.5 Untuk setiap bilangan asli n definisikan

Un := {[a] ∈ Zn : [a][b] = [1] untuk suatu [b] ∈ Zn}

Perhatikan bahwa operasi perkalian [a][b] := [ab] di Un memiliki sifat keasosiatifan, kekomu-tatifan dan juga memiliki unsur identitas [1]. Pembuktian sifat-sifat tersebut persis sama ketikakita membuktikan bahwa (Z×n , ·) merupakan grup di Proposisi 2.4.10. Sedangkan eksistensiinvers bagi setiap unsur di Un dijamin lewat definisi Un itu sendiri. Dengan demikian (Un, ·)merupakan grup komutatif.

Perhatikan bahwa pada pembuktian Proposisi 2.4.10 eksistensi invers dari [x] dijamin danhanya ada ketika (x,n) = 1. Dengan demikian Un dapat kita definisikan ulang sebagai himpunan

Un = {[a] : 0≤ a < n dan (a,n) = 1}.

Sebagai contoh U8 = {[1], [3], [5], [7]} dan U12 = {[1], [5], [7], [11]}.Definisi 2.4.6 Fungsi Euler ϕ adalah fungsi dengan domain bilangan asli yang didefinisikanmelalui

ϕ(n) := |Un|= |{a | 1≤ a < n,(a,n) = 1}|.

Dengan kata lain ϕ(n) menghitung banyaknya bilangan asli yang kurang dari n yang relatifprima dengan n.

Kita akan gunakan hasil berikut tanpa pembuktian.

Teorema 2.4.11 Misalkan ϕ adalah fungsi Euler. Maka berlaku1. Fungsi ϕ bersifat multiplikatif, yakni untuk setiap bilangan asli a,b yang saling relatif

prima berlaku

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).

2. Untuk setiap bilangan prima p berlaku ϕ(pk) = pk−1(p−1).


Hasil pada teorema di atas memungkinkan kita untuk menghitung nilai ϕ(n) untuk setiapbilangan asli n. Caranya adalah pertama dengan menuliskan faktorisasi prima untuk n, yaitun = pk1

1 pk22 · · · p

ktt dengan p1, p2, . . . , pt adalah bilangan prima yang berbeda. Ini mengakibatkan

setiap pasang bilangan prima diantara mereka relatif prima. Hal ini mengakibatkan

ϕ(n) = ϕ(pk11 ) · · ·ϕ(pkt

t )

dan masing-masing ϕ(pkii ) dapat dihitung dengan menggunakan teorema di atas.

� Contoh 2.10 Kita akan menghitung nilai ϕ(5000). Perhatikan faktorisasi prima dari 5000adalah 1000 = 23 ·54. Akibatnya

ϕ(5000) = ϕ(23)ϕ(54)

=(22(2−1)

)(53(5−1)

)= 4×500

= 2000.

�

Kriteria SubgrupGrup Siklik

Orde Unsur di GrupDiskusi Lanjutan

3. Subgrup

3.1 Kriteria Subgrup

Operasi penjumlahan yang berlaku di bilangan bulat sama dengan penjumlahan di bilangan real.Selain itu Z merupakah himpunan bagian dari R. Jadi grup (Z,+) merupakan suatu grup yangterkadung dalam grup yang lebih besar (R,+). Demikian pula himpunan bilangan real positif R+

yang dilengkapi dengan operasi perkalian merupakan suatu grup yang terkandung di grup yanglebih besar (R\{0}, ·). Secara umum situasi seperti ini kita tuangkan kedalam konsep berikut.

Definisi 3.1.1 Misalkan (A,?) suatu grup. Suatu himpunan bagian B ⊆ A yang takkosongdikatakan merupakan subgrup jika (B,?) juga merupakan grup. Jika B merupakan subgrupdari A kita tuliskan B≤ A.

Jika kita bisa menemukan cara yang mudah untuk memeriksa bahwa suatu subhimpunan Bdari A merupakan subgrup make kita akan menemukan lebih banyak contoh grup yang lainnya.Agar (B,?) menjadi grup, tentunya ia harus memenuhi semua aksioma grup. Ingat bahwa karenaoperasi ? bersifat asosiatif untuk setiap unsur-unsur di A. Karena B merupakan himpunan bagiandari A pengoperasian unsur-unsur di B bisa dipandang sebagai pengoperasian unsur-unsur di A.Dengan demikian sifat asosiatif otomatis dipenuhi oleh ? di B.

Perlu diperhatikan bahwa ? mungkin bukan operasi di B dalam artian bahwa tidak adajaminan a1 ?a2 ∈ B untuk setiap b1,b2 ∈ B. Dengan demikian salah satu syarat perlu agar (B,?)merupakan grup adalah pengoperasian setiap dua unsur di B tetap menghasilkan suatu unsur diB.

Bagaimana dengan unsur identitas? Apakah (B,?) memiliki identitas? Karena A grup makaterdapat unsur identitas e ∈ A sehingga a? e = a = e?a untuk setiap a ∈ A. Untuk setiap b ∈ B,jelas b ∈ A. Akibatnya berlaku e?b = b = b? e. Jika saja e ini juga merupakan unsur di B, makaia adalah unsur identitas di (B,?).

Serupa dengan kasus identitas, setiap unsur b ∈ B jika kita pandang sebagai unsur di Amemiliki unsur invers di A. Agar B menjadi grup, kita harus pastikan bahwa invers dari b inijuga ada di B.

Dari pengamatan di atas kita punya kriteria yang menentukan suatu himpunan bagian menjadisubgrup.

Proposisi 3.1.1 Misalkan A suatu grup dan B himpunan bagian dari A yang takkosong. Jika1. b1b2 ∈ B untuk setiap b1,b2 ∈ B,

32 Bab 3. Subgrup

2. unsur identitas grup A merupakan anggota B, dan3. invers dari setiap unsur b ∈ B juga merupakan anggota B,

maka B adalah subgrup dari A.

Misalkan b,c ∈ B. Unsur c jika kita pandang sebagai unsur di A memiliki invers c−1. Jikauntuk setiap b,c ∈ B berlaku bc−1 ∈ B, maka khususnya ketika c = b kita peroleh e = bb−1 ∈ B.Jadi unsur identitas adalah unsur di B dan syarat kedua pada proposisi di atas dipenuhi. Sekaranguntuk b = e berlaku c−1 = ec−1 ∈ B. Karena ini berlaku untuk setiap c ∈ B ini menandakanbahwa setiap unsur di B inversnya juga di B. Jadi syarat ketiga juga dipenuhi. Karena c−1 ∈ Bmaka bc= b(c−1)−1 ∈B dan ini berlaku untuk setiap b,c di B. Jadi syarat pertama juga dipernuhi.Pengamatan ini kita simpulkan dalam hasil berikut.

Teorema 3.1.2 Misalkan B himpunan bagian takkosong dari grup A. Jika untuk setiap b,c∈Bberlaku bc−1 ∈ B maka B adalah subgrup dari A.

Diskusi 3.1 Misalkan A grup hingga. Jika B himpunan bagian takkosong dari A yangmemenuhi bc ∈ B untuk setiap b,c ∈ B. Tunjukkan bahwa B merupakan subgrup dari A. �

Diskusi 3.2 Berikan contoh bahwa hasil di Diskusi 3.1 tidak berlaku ketika A grup dengantakberhingga banyaknya unsur. �

Dengan adanya Teorema 3.1.2 di atas, dalam beberapa kasus pengecekan apakah suatu him-punan B merupakan suatu grup menjadi lebih mudah. Kita bisa menunjukkannya dengan caramenunjukkan bahwa B merupakan subgrup dari suatu grup A yang lebih besar.

� Contoh 3.1 Kita akan menunjukkan bahwa (Z,+)≤ (R,+) dengan menggunakan Teorema3.1.2. Ingat bahwa operasi yang terlibat disini adalah operasi penjumlahan. Dalam operasiini invers dari b tidak dituliskan sebagai b−1 tapi sebagai −b. Dengan demikian yang inginkita tunjukkan adalah bahwa untuk setiap a,b ∈ Z berlaku a+(−b) ∈ Z. Tapi hal ini cukupjelas karena untuk setiap bilangan bulat b, bilangan −b juga bilangan bulat dan penjumlahanbilangan bulat adalah bilangan bulat juga. Jadi a−b = a+(−b) ∈ Z dan Z adalah subgrup dariR. Dengan cara serupa kita bisa tunjukkan juga bahwa (Q,+) adalah subgrup dari (R,+). �

Diskusi 3.3 Tunjukkan bahwa (Q\{0}, ·)≤ (R\{0}, ·). �

� Contoh 3.2 Pandang himpunan S := {x ∈ R\{0} : x2 ∈Q} yang anggotanya adalah semuabilangan real yang hasil kuadratnya adalah bilangan rasional. Akan ditunjukkan bahwa S ≤R\{0} (dengan operasi perkalian). Ambil x,y ∈ S. Kita akan periksa apakah xy−1 ∈ S. Untukmenunjukkan bahwa xy−1 ∈ S kita harus tunjukkan bahwa (xy−1)2 ∈Q.

Perhatikan bahwa(xy−1)2

= x2 (y−1)2(karena perkalian komutatif di R)

= x2 (y2)−1(mengapa?)

Karena x,y ∈ S maka menurut definisi x2,y2 ∈ Q. Sekarang karena (Q\{0}, ·) merupakansubgrup dari R\{0} (lihat Diskusi 3.3) maka x2

(y2)−1 ∈Q. Dengan demikian S≤ R\{0}. �

3.1 Kriteria Subgrup 33

Diskusi 3.4 Misalkan B≤ A dengan A komutatif. Untuk setiap bilangan asli n definisikan

n√

B := {a ∈ A : an ∈ B}.

Periksa apakah n√

B merupakan subgrup dari A. �

� Contoh 3.3 Definisikan SLn(R)⊆ GLn(R) sebagai himpunan semua matriks yang berdeter-minan 1. Perhatikan bahwa det(In) = 1. Jadi In ∈ SLn(R) dan SLn(R) 6= /0. Jadi khususnyaidentitas dari grup GLn(R) merupakan unsur di SLn(R).

Jika M,N ∈ SLn(R) maka detM = detN = 1. Karena determinan bersifat multiplikatif, makadet(MN) = detM detN = 1 ·1 = 1. Jadi MN ∈ SLn(R).

Terakhir untuk setiap matriks M ∈ SLn(R) berlaku

detM det(M−1) = det(MM−1) = det In = 1

Ini berakibat det(M−1) = 1 dan M−1 ∈ SLn(R).Menurut Proposisi 3.1.1 kita simpulkan bahwa SLn(R). �

Diskusi 3.5 Periksa apakah On(R) := {M ∈ GLn(R) : MT = M−1} merupakan subgrup dariGLn(R). �

Diberikan grup A, himpunan-himpunan berikut merupakan subgrup-subgrup dari A yang akanmemegang peranan cukup penting pada pembahasan kita selanjutnya.

Definisi 3.1.2 Pusat dari A, ditulis Z(A) adalah himpunan semua unsur di A yang komutatifdengan semua unsur di A yang lainnya, yakni

Z(A) := {a ∈ A : ab = ba untuk setiap b ∈ A}

Jika A komutatif maka untuk setiap a ∈ A dan b ∈ B berlaku ab = ba. Dengan demikian Akomutatif jika dan hanya jika Z(A) = A.

Diberikan subhimpunan H dari grup A, pemusat H di A adalah himpunan

CA(H) := {a ∈ A : ah = ha untuk setiap h ∈ H}

Dengan notasi ini kita ketahui bahwa Z(A) =CA(A).

Kita lihat bahwa kriteria menentukan subgrup dengan menggunakan Teorema 3.1.2 terlihatlebih mudah dibandingkan dengan menggunakan Proposisi 3.1.1 karena lebih sedikit syarat yangharus diperiksa. Tapi ini tidak selamanya benar seperti yang terjadi kalau kita ingin membuktikanbahwa Z(A) merupakan subgrup dari A.

Pertama karena e ∈ A komutatif dengan setiap unsur di A, jelas a ∈ Z(A). Khususnya darisini kita mengetahui bahwa Z(A) takhampa dan mengandung unsur identitas e.

Sekarang untuk setiap a,b ∈ Z(A) dan c ∈ A berlaku

(ab)c = a(bc) asosiatif

= a(cb) karena b ∈ Z(A)

= (ac)b asosiatif

= (ca)b karena a ∈ Z(A)

= c(ab) asosiatif

Dengan demikian ab ∈ Z(A), yakni Z(A) tertutup terhadap operasi.

34 Bab 3. Subgrup

Terakhir untuk setiap a ∈ Z(A) kita peroleh ab = ba untuk setiap b ∈ A. Dari sini diperoleh

ab = ba

a−1(ab)a−1 = a−1(ba)a−1

ba−1 = a−1b.

Akibatnya a−1 ∈ Z(A). Dengan demkian semua syarat pad Proposisi 3.1.1 dipenuhi dan kitasimpulkan bahwa Z(A) merupakan subgrup dari A.

Diskusi 3.6 Buktikan bahwa untuk setiap himpunan bagian H dari grup A berlaku CA(H)≤ A.�

Diskusi Lanjutan

Diskusi 3.7 Misalkan A,B≤G. Buktikan bahwa A∩B≤G dan ketika G komutatif himpunanAB = {ab : a ∈ A,b ∈ B} juga merupakan subgrup dari G. �

Diskusi 3.8 Misalkan A,B,C ≤ G dengan G komutatif. Jika A⊆C tunjukkan bahwa (AB)∩C = A(B∩C). �

Diskusi 3.9 Misalkan A,B adalah subgrup dari G. Tunjukkan bahwa A∪B ≤ G jika danhanya jika A⊆ B atau B⊆ A. �

Diskusi 3.10 Misalkan G suatu grup dan e unsur identitas di G. Tetapkan suatu bilangan asliN. Definisikan

A := {x ∈ G : xN = e} dan B := {xN : x ∈ G}.

Jika G komutatif, tunjukkan bahwa A dan B subgrup dari G. Berikan contoh yang menun-jukkan bahwa hal tersebut tidak lagi berlaku ketika G tidak komutatif. �

Diskusi 3.11 Tunjukkan bahwa sebuah grup berhingga jika dan hanya jika memiliki berhinggabanyaknya subgrup. �

3.2 Grup Siklik

Diberikan suatu grup A dan suatu unsur a ∈ A. Tinjau himpunan yang didefinisikan melalui

〈a〉 := {am : m ∈ Z}

Perhatikan bahwa dengan menggunakan kriteria subgrup (Teorema 3.1.2), mudah kita lihatbahwa 〈a〉 merupakan subgrup dari A. Kita katakan 〈a〉 sebagai subgrup yang dibangun oleh adan kita katakan a sebagai pembangun dari 〈a〉.

� Contoh 3.4 Pandang unsur 2 di grup (Z,+). Karena disini operasi grupnya adalah operasi

3.2 Grup Siklik 35

penjumlahan, maka 〈2〉= {2m : m ∈ Z} dengan 2m mempunyai arti

2m =

2+2+ · · ·+2︸︷︷︸m

jika m > 0

0 jika m = 0(−2)+(−2)+ · · ·+(−2)︸︷︷︸

|m|

jika m < 0

Perhatikan bahwa −2 juga merupakan pembangun dari 〈2〉 karena 〈2〉= 〈−2〉. �

Definisi 3.2.1 Suatu grup A disebut grup siklik jika terdapat a ∈ A sehingga A = 〈a〉.

� Contoh 3.5 (Z,+) merupakan grup siklik karena 1 dan−1 masing-masing adalah pembangundari Z. �

� Contoh 3.6 (Zn,+) merupakan grup siklik untuk setiap n. Jelas [1] merupakan pembangundari Zn. Kita klaim bahwa [3] juga pembangun di Z8. Perhatikan bahwa

[3]+ [3]+ [3] = [3+3+3]8 = [1].

Karena setiap unsur di Z8 bisa dituliskan sebagai [1]+ · · ·+[1]︸︷︷︸k

maka setiap unsur di Z8 bisa

dituliskan sebagai [3]+ · · ·+[3]︸︷︷︸3k

. Hal ini dikarenakan kita bisa menggatikan setiap [1] pada

[1]+ · · ·+[1]︸︷︷︸k

dengan [3]+ [3]+ [3]. �

Diskusi 3.12 Tunjukkan bahwa [x] ∈ Zn merupakan pembangun dari (Zn,+) jika dan hanyajika (x,n) = 1. �

Diskusi 3.13 Misalkan A grup siklik dan a adalah pembangunnya. Buktikan bahwa ak jugapembangun dari A jika dan hanya jika (n,k) = 1. �

3.2.1 Orde Unsur di GrupDefinisi 3.2.2 Misalkan A suatu grup dan a ∈ A. Bilangan asli terkecil n sehingga an = 1disebut sebagai orde dari a. Dalam hal ini kita tulis ord(a) = n. Jika untuk setiap n ∈ Nberlaku an 6= e maka kita katakan bahwa a mempunyai orde takhingga.

� Contoh 3.7 Di Z×7 kita peroleh ord([2]) = 3 karena

[2]1 = [2], [2]2 = 4 dan [2]3 = [8] = [1].

�

� Contoh 3.8 Di (Z,+) setiap unsurnya mempunyai order takberhingga. Jika x 6= 0 ∈ Zmempunyai orde berhingga n maka berlaku nx = 0 yang jelas tidak mungkin karena n dan xkeduanya taknol. �

Di atas kita mempunyai contoh suatu grup dengan takberhingga banyak unsur yang semuaunsur nonidentitasnya memiliki orde takhingga. Tapi hal ini tidak berlaku untuk semua grupdengan takhingga unsur. Pandang grup (R\{0}, ·). Grup ini mengandung takberhingga unsurdan mengandung unsur −1 yang berorde 2.

36 Bab 3. Subgrup

Bagaimana dengan grup hingga. Misalkan a adalah suatu unsur grup hingga A. Karena sifatketertutupan operasi di A himpunan {am : m∈Z}merupakan himpunan bagian dari A. Jika untuksetiap i, j berbeda berlaku ai 6= a j maka {am : m ∈ Z} mengandung takhingga banyak unsur. Inijelas tidak mungkin karena ia merupakan himpunan bagian dari himpunan hingga A. Dengandemikian ada i < j ∈ Z sehingga ai = a j. Dari sini didapat a j−i = e. Jika kita bentuk himpunan{k ∈N : ak = e} maka himpunan ini takkosong dan menurut aksioma keteraturan bilangan asli iamemiliki unsur terkecil. Dengan demikian untuk setiap a ∈ A dengan A berhingga, ord(a) jugaberhingga.

Diskusi 3.14 Misalkan ord(a) = n. Tunjukkan bahwa untuk setiap 0 ≤ i < j < n berlakuai 6= a j. �

Diskusi 3.15 Misalkan ord(a) = n. Buktikan bahwa ai = a j jika dan hanya jika n | (i− j). �

Diskusi 3.16 Misalkan A grup hingga. A merupakan grup siklik jika dan hanya jika terdapata ∈ A sehingga ord(a) = |A|. �

Dari diskusi di atas bisa kita lihat bahwa orde dari a juga menyatakan kardinalitas dari A.Sehingga untuk kasus di teori grup kita katakan juga bahwa order dari grup 〈a〉 adalah jugaord(a). Secara umum kita gunakan definisi berikut.

Definisi 3.2.3 Jika A adalah suatu grup maka orde dari A adalah banyaknya unsur di A.

Misalkan ord(a) = n. Untuk i yang manakah ai = e? Ketika i merupakan kelipatan n, katakani = kn maka jelas

ai = akn = (an)k = ek = e.

Sebaliknya jika ai = e dengan menuliskan i = qn+ r dengan 0≤ r < n kita peroleh

e = ai = aqn+r = aqnar = ar.

Jika r 6= 0 maka r adalah bilangan asli yang kurang dari n yang memenuhi ar = e. Ini bertentangandengan fakta bahwa n = ord(a). Jadi r = 0 dan akibatnya i = qn.

Dari pengamatan ini kita peroleh hasil berikut.

Proposisi 3.2.1 Misalkan ord(a) = n. Maka ak = e jika dan hanya jika n | k.

Diberikan grup siklik A = 〈a〉. Kita ingin mengetahui orde dari ak ∈ A. Jika k | n maka(ak) n

k = an = e. Sehingga alamiah kalau kita menduga bahwa ord(ak)= n

k . Dugaan ini benar,karena jika ada 0 < s < n

k sehingga (ak)s = e maka ks < k(n/k) = n adalah bilangan yang kurangdari n yang memenuhi aks = e. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ord(a) = n.

Bagaimana jika k - n. Apakah orde dari ak? Jika kita berhasil menemukan m | n sehingga〈am〉= 〈ak〉 maka menurut pengamatan diatas ord

(ak)= ord(am) = n/m.

Teorema 3.2.2 Misalkan ord(a) = n. Maka 〈ak〉= 〈a(n,k)〉 dan ord(ak)= n

(n,k) .

Bukti. Dari pengamatan di atas, kita cukup menunjukkan bahwa 〈ak〉= 〈a(n,k)〉. Tulis d = (n,k).Karena d | k kita bisa tuliskan k = sd untuk suatu s. Akibatnya ak = (ad)s. Ini menunjukkanbahwa ak ∈ 〈ad〉 dan berakibat 〈ak〉 ⊆ 〈ad〉.

Berdasarkan Teorema 2.4.3, tulis d = kx+ny untuk suatu x,y. Karena an = e maka ad =akxany = (ak)x. Ini menunjukkan bahwa 〈ad〉 ⊆ 〈ak〉. �

3.2 Grup Siklik 37

� Contoh 3.9 Kita ingin mengetahui subgrup seperti apa sajakah yang dimiliki oleh (Z,+).Misalkan B ≤ Z dengan B 6= {0}. Karena B 6= {0} maka ada bilangan asli yang merupakanunsur dari B. Misalkan b adalah bilangan asli terkecil yang terdapat di B. Ambil unsur lain c ∈ B.Tanpa mengurangi keumuman bisa kita asumsikan bahwa c > b.

Perhatikan bahwa c−b ∈ B. Bahkan kita bisa mengurangkan b berulang-ulang dari c, yaknic− b− b− ·· ·− b sampai suatu saat dihasilkan bilangan taknegatif terkecil r yang bisa kitalakukan dengan cara ini. Karena r ∈ B, maka tidak mungkin 0 < r < b (karena b bilangan asliterkecil di B). Jadi haruslah r = 0 dan dengan demikian c = kb untuk suatu k.

Ini menunjukkan bahwa semua unsur di B merupakan kelipatan b. Dari sini disimpulkanbahwa B = 〈b〉. �

C Argumen untuk menunjukkan bahwa r = 0 pada Contoh 3.9 di atas bisa dibuat lebih elegandengan menggunakan algoritma Euclid.

Teorema 3.2.3 Setiap subgrup dari suatu grup siklik juga merupakan grup siklik.

Diskusi 3.17 Gunakan pendekatan yang serupa dengan Contoh 3.9 untuk membuktikanTeorema 3.2.3. �

Sekarang kita akan menjawab ada berapa banyak subgrup dari suatu grup siklik. Sebelumnyakita memerlukan hasil berikut yang kita tuliskan sebagai bahan diskusi.

Diskusi 3.18 Misalkan A grup siklik dengan orde n dan dengan pembangun a. Jika n = stdengan s, t ∈ N. Maka B = 〈as〉 adalah satu-satunya subgrup dari A dengan orde t. �

Sekarang kita lihat bagaimana kita menggunakan hasil pada diskusi di atas untuk mendaf-tarkan semua subgrup dari suatu grup siklik hingga.

� Contoh 3.10 Pandang grup siklik Z12. Grup ini merupakan grup berorde 12. Faktorisasiprima dari 12 adalah 12 = 22 ·3. Semua faktor dari 12 selalu berbentuk 2i ·3 j dengan i∈ {0,1,2}dan j ∈ {0,1}. Banyaknya faktor dari 12 sama dengan banyaknya cara memilih i dan j, yaknisebanyak 3×2 = 6. Mereka adalah 1,2,3,4,6,12

〈[1]〉= Z12 berorde 12

〈[2]〉= {[0], [2], [4], [6], [8], [10]} berorde 6

〈[3]〉= {[0], [3], [6], [9]} berorde 4

〈[4]〉= {[0], [4], [8]} berode 3

〈[6]〉= {[0], [6]} berorde 2

〈[12]〉= {[0]} berorde 1

�

Diskusi 3.19 Misalkan A dengan pembangun a merupakan grup siklik dengan orde 15.Daftarkan semua subgrup dari A dan nyatakan masing-masing subgrup tersebut sebagai 〈at〉untuk suatu bilangan asli t. �


38 Bab 3. Subgrup

Diskusi 3.20 Misalkan 〈a〉 berorde 18. Tentukan semua pembangun dari 〈a〉 �

Diskusi 3.21 Daftarkan semua subgrup di Z18. �

Diskusi 3.22 Misalkan A suatu grup. Buktikan bahwa 〈a〉= 〈a−1〉. �

Diskusi 3.23 Misalkan A subgrup dari Z30 berorde 10. Tentukan semua pembangun dari A.�

Diskusi 3.24 Misalkan p bilangan prima dan misalkan grup A memiliki lebih dari p−1 unsurberorde p. Tunjukkan bahwa A bukan grup siklik. �

Diskusi 3.25 Misalkan A grup hingga. Untuk setiap a,b ∈ A tunjukkan bahwa ord(ab) =ord(ba). �

Diskusi 3.26 Buktikan bahwa tidak ada grup yang tepat memiliki dua unsur berorde 2. �

Perkalian di SnPutaranTransposisi

4. Grup Permutasi

4.1 Perkalian di Sn

Pada Contoh 2.4 kita telah melihat bahwa himpunan semua pemetaan f : {1,2,3} → {1,2,3}yang satu-satu pada, S3, membentuk grup yang tak komutatif. Secara umum kita definisikanterminologi berikut.

Definisi 4.1.1 Grup permutasi atas himpunan {1,2, . . . ,n} disebut Sn adalah himpunan semuafungsi satu-satu dan pada f : {1,2, . . .n} → {1,2, . . . ,n} yang dilengkapi dengan operasikomposisi fungsi.

Pada Contoh 2.4 kita telah mengecek dengan cukup cermat bahwa S3 memang merupakangrup. Demikian juga dengan Sn, ia merupakan grup. Keasosiatifan operasi di Sn otomatisdiperoleh dari keasosiatifan komposisi fungsi. Unsur identitas di Sn adalah pementaan yangmemetakan setiap unsur ke dirinya sendiri. Untuk unsur invers, karena setiap unsur di Sn

merupakan fungsi yang satu-satu dan pada, maka ia memiliki invers.Sebagaimana yang pernah kita lihat sebelumnya, unsur-unsur di Sn dapat dinyatakan sebagai

matriks dengan dua baris. Sebagai contoh unsur α =

(1 2 3 4 53 1 2 5 4

)merupakan suatu unsur

di S5. Notasi tersebut merupakan kependekan dari notasi berikut α =

1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 1 2 5 4

yakni pemetaan α : {1,2,3,4,5}→ {1,2,3,4,5} yang bersifat

α(1) = 3, α(2) = 1, α(3) = 2, α(4) = 5, dan α(5) = 4.

Karena operasi di Sn merupakan komposisi fungsi, maka hasil dari komposisi kita baca dari

kiri ke kanan. Sebagai contoh untuk melihat hasil operasi(

1 2 3 4 53 1 2 5 4

)(1 2 3 4 54 1 3 2 5

)kita lihat kolom demi kolom dari matriks yang terletak paling kanan. Pertama kita lihat kolompertama, kita lihat bahwa permutasi yang paling kanan memetakan 1 ke 4. Kemudian kitalihat permutasi berikutnya dan memeriksa kolom yang baris pertamanya mengandung 4. Disitukita lihat bahwa permutasi ke dua memetakan 4 ke 5. Dengan demikian komposisi dari keduapermutasi memetakan 1 ke 5. Untuk lebih jelasnya bisa kita lihat dengan bantuan diagram panah

40 Bab 4. Grup Permutasi

berikut1 2 3 4 5↓

3 1 2 5 4

1 2 3 4 5↓4 1 3 2 5

.

Dari diagram tersebut kita bisa lihat bahwa kita punya rangkaian pemetaan 1→ 4→ 5. Kemudianuntuk yang lainnya berturut-turut kita lihat

2→ 1→ 3

3→ 3→ 2

4→ 2→ 1

5→ 5→ 4

Dengan demikian kita peroleh bahwa(1 2 3 4 53 1 2 5 4

)(1 2 3 4 54 1 3 2 5

)=

(1 2 3 4 55 3 2 1 4

)

Diskusi 4.1 Tentukan invers dari(

1 2 3 4 53 1 2 5 4

). �

Diskusi 4.2 Tentukan hasil dari(1 2 3 4 55 3 1 2 4

)(1 2 3 4 51 5 4 2 3

)(1 2 3 4 51 2 4 5 3

)�

4.2 Putaran

Pandang permutasi di S6 berikut α =

(1 2 3 4 5 63 1 2 5 4 6

). Permutasi ini bisa ditampilkan

melalui diagram putaran berikut

1

3 2 4 5 6

Agar notasi yang digunakan lebih ringkas, setiap putaran dituliskan sebagai barisan bilangan(a1 a2 a3 a4

). Notasi ini menunjukkan bahwa permutasi ini memetakan a1 → a2,a2 →

a3,a3→ a4,a4→ a1. Dengan notasi ini permutasi α di atas bisa kita tuliskan sebagai

α =(1 3 2

)(4 5

)(6).

Lebih lanjut agar lebih ringkas setiap putaran yang memetakan suatu bilangan ke dirinya sendiridihilangkan sehingga sekarang α dapat dituliskan sebagai

α =(1 3 2

)(4 5

).

Pada penulisan di atas kita lihat bahwa putaran(1 3 2

)dan

(4 5

)tidak mengandung

angka yang sama. Kita memerlukan suatu terminologi untuk mendeskripsikan situasi semacamini.

4.2 Putaran 41

Definisi 4.2.1 Dua putaran(a1 a2 · · · ak

)dan

(b1 b2 · · · bm

)dikatakan saling lepas

jika himpunan {a1,a2, . . . ,ak} dan {b1,b2, . . . ,bm} tidak beririsan.

Diskusi 4.3 Nyatakan permutasi(

1 2 3 4 5 66 1 2 4 3 5

)dan

(1 2 3 4 5 66 4 3 2 5 1

)sebagai

perkalian putaran yang saling lepas. �

Teorema 4.2.1 Setiap permutasi dapat dituliskan sebagai perkalian putaran yang saling lepas.

Diskusi 4.4 Buktikan Teorema 4.2.1. �

� Contoh 4.1 Ketika kita mempunyai dua putaran yang tidak saling lepas, misalnya(1 2 6

)dan

(3 1 4 6

)kita bisa memandang masing-masingnya sebagai dua unsur berbeda di S6.

Dengan menggunakan cara pandang ini penulisan(1 2 6

)(3 1 4 6

)dapat dilihat sebagai

perkalian dua buah permutasi.Permutasi yang paling kanan memetakan 1→ 4 dan dilanjutkan oleh permutasi kedua yang

memetakan 4→ 4 karena permutasi kedua tidak mengandung angka 4 yang berarti memetakan4 ke dirinya sendiri. Dengan demikian secara keseluruhan perkalian dua putaran tersebutmelakukan pemetaan 1→ 4. Berikutnya putaran paling kanan memetakan 4→ 6 dan kemudianoleh putaran berikutnya 6→ 1 sehingga secara keseluruhan 4→ 1. Dari 1→ 4 dan 4→ 1 kitamemperoleh putaran

(1 4

).

Dengan cara serupa kita peroleh rangkaian pemetaan 2→ 6→ 3→ 2 sehingga didapatputaran

(2 6 3

). Karena 5 tidak termuat di kedua putaran, maka perkalian dua putaran diatas

memetakan 5 ke dirinya sendiri. Dengan demikian dari apa yang dilakukan di atas, perkalianputaran

(1 2 6

)(3 1 4 6

)dapat ditulis ulang sebagai perkalian putaran

(2 6 3

)(1 4

)(ingat kita membacanya dari kanan terlebih dahulu) �

Diskusi 4.5 Nyatakan permutasi di S6 berikut sebagai perkalian putaran yang saling lepas1.(1 4 6

)(2 4 5

)2.(1 2 3

)(3 5 6

)�

Perhatikan bahwa pada Contoh 4.1 kita mendapat perkalian putaran(2 6 3

)(1 4

)dengan

pertama kali melihat ke bilangan yang mana 1 dipetakan. Jika kita mulai dengan bilangan yanglain, misalnya dengan mencoba melihat 2 dipetakan ke bilangan yang mana maka kita akanmendapatkan perkalian putaran

(1 4

)(2 6 3

). Ini menunjukkan bahwa

(2 6 3

)(1 4

)=(

1 4)(

2 6 3). Fenomena ini berlaku secara umum sebagaimana dinyatakan dalam hasil

berikut.

Teorema 4.2.2 Jika α,β ∈ Sn adalah dua putaran yang saling lepas maka αβ = βα .


Definisi 4.2.2 Permutasi di Sn yang berbentuk(a1 a2 · · · am

)kita katakan sebagai

putaran dengan panjang m.

Misalkan α =(a1 a2 · · · am

)adalah putaran dengan panjang m. Kita lihat bahwa α

memetakan ai ke ai+1 untuk 1 ≤ i < m dan memetakan am ke a1. Dengan demikian jika kitaterapkan α sebanyak j kali terhadap ai kita peroleh α j(a1) = a j+1 untuk j < m. Khususnya


ketika j = m− 1 kita dapatkan αm−1(a1) = am sehingga kalau kita terapkan α sekali lagidiperoleh

α(αm−1(a1)) = α(am) = a1.

Jadi αm(a1) = a1.Sekarang untuk ai secara umum, juga kita peroleh

αm(ai) = α

m (α

i−1(a1))= α

i−1 (αm(a1)) = αi−1 (αm(a1)) = α

i−1(a1) = ai.

Dengan demikian αm memetakan setiap ai ke ai atau dengan kata lain αm = e, unsur identitas diSn. Tidak hanya itu m juga merupakan orde dari α .

Diskusi 4.7 Misalkan α ∈ Sn adalah putaran dengan panjang m. Buktikan bahwa ord(α) = m.�

Diskusi 4.8 Buktikan jika α,β ∈ Sn berturut-turut merupakan putaran dengan panjang ` danm yang saling lepas maka ord(αβ ) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari ` dan m. �

Diskusi 4.9 Tentukan orde dari(1 3 2

)(4 6

). �

Pada contoh di atas kita bisa menentukan orde dari perkalian dua putaran yang salinglepas. Sekarang pertanyaannya adalah bagaimana caranya kita menentukan orde dari sebarangpermutasi σ ∈ Sn? Pertama kita bisa tuliskan σ sebagai perkalian dari putaran yang saling lepasdan kemudian kita bisa menggunakan teorema berikut untuk menentukan orde dari σ .

Teorema 4.2.3 Misalkan σ ∈ Sn dapat dituliskan sebagai perkalian putaran σ =αn1αn2 · · ·αnk

dengan αn j adalah putaran dengan panjang n j. Maka orde dari σ adalah kelipatan persekutuanterkecil dari n1,n2, . . . ,nk.

Diskusi 4.10 Tentukan orde dari

α =(1 2 5

)(3 4

)(6 7

)dan

β =(2 3 5

)(1 5 7

)(4 6 5

)di S7. �

Diskusi 4.11 Misalkan α ∈ Sn. Tunjukkan bahwa

α(a1 a2 · · · an)α−1 = (α(a1) α(a2) · · · α(an))

�

Diskusi 4.12 Dua unsur α,β di Sn dikatakan sekawan jika terdapat σ ∈ Sn sehingga β =σασ−1. Buktikan jika α,β sekawan maka ord(α) = ord(β ). �

4.3 Transposisi 43

Diskusi 4.13 Tentukan pemusat dari himpunan {(1 2 4)} di S5. �

4.3 TransposisiDefinisi 4.3.1 Transposisi adalah putaran dengan panjang dua.

Diskusi 4.14 Nyatakan(1 3 2

)sebagai perkalian transposisi. �

Diskusi 4.15 Nyatakan(a1 a2 · · · an

)sebagai beberapa transposisi. �

Misalkan terdapat n buah kursi yang dinomori dari 1 sampai dengan n. Kemudian terdapatn orang yang juga dinomori dari 1 sampai dengan n. Mula-mula setiap orang mendudukikursi dengan nomor yang sesuai dengan nomor dirinya. Ketika orang-orang ini diminta untukmenempati kursi dengan susunan tertentu dapatkah susunan ini didapatkan dengan cara menukarposisi duduk dari dua orang pada setiap saatnya dan melakukan hal ini beberapa kali?

Misalkan kita ingin mengatur agar orang ke 1,2, . . . ,n menduduki kursi ke i1, i2, . . . , in.Misalkan orang ke n belum menduduki kursi yang diminta. Agar ia bisa menduduki kursi ke inorang ke n dan orang ke in bisa saling bertukar tempat duduknya. Setelah ini dilakukan makaorang ke-n sudah menduduki tempat duduk yang sesuai dan paling banyak tinggal n−1 oranglagi yang belum duduk sesuai dengan tempat yang diminta. Akan tetapi kita bisa melakukanhal yang serupa seperti sebelumnya terhadap orang ke-n−1. Dengan melakukan prosedur iniberulang-ulang banyaknya orang yang tempat duduknya tidak sesuai akan semakin kecil danketika tinggal dua orang yang tersisa yang belum duduk dengan sesuai kita tinggal menukartempat duduk mereka supaya semuanya duduk sesuai dengan pengaturan yang diinginkan.

Jika kita asosiasikan sembarang pengaturan tempat duduk sebagai suatu unsur di Sn dansetiap penukaran tempat duduk dari dua orang kita asosiasikan dengan transposisi, ilustrasi diatas menunjukkan bahwa setiap permutasi dapat dinyatakan sebagai perkalian dari transposisi-transposisi.

Teorema 4.3.1 Setiap permutasi dapat dituliskan sebagai perkalian transposisi.


Diskusi 4.17 Buktikan bahwa setiap permutasi di Sn dapat dinyatakan sebagai perkaliantransposisi-transposisi yang berbentuk

(1 2

),(1 3

),(1 4

), . . . ,

(1 n

). �

Diskusi 4.18 Buktikan bahwa setiap permutasi di Sn dapat dinyatakan sebagai perkaliantransposisi-transposisi yang berbentuk

(1 2

),(2 3

),(3 4

), . . . ,

(n−1 n

). �

Berikut ini adalah diskusi yang membawa kita kepada fakta bahwa unsur identitas di Sn tidakbisa dinyatakan sebagai perkalian sebanyak gannjil kali transposisi.

Diskusi 4.19 1. Tunjukkan bahwa(a n

)(a b

)=(a b

)(b n

)dan

(c n

)(a b

)=(

a b)(

c n)

untuk c 6∈ {a,b}.


2. Tunjukkan bahwa setiap permutasi di Sn dapat dituliskan ke dalam bentuk(αm βm

)· · ·(αk+1 βk+1

)︸︷︷︸tidak mengandung n

(αk n

)· · ·(α1 n

)︸︷︷︸mengandung n

(4.1)

3. Andaikan e dapat dituliskan sebagai perkalian sebanyak ganjil transposisi. Nyatakanperkalian tersebut ke dalam bentuk perkalian transposisi seperti dalam persamaan 4.1dengan banyaknya transposisi yang paling minimal. Hasilkan suatu kontradiksi danbuktikan Teorema 4.3.2.

�

Teorema 4.3.2 Unsur identitas di Sn hanya bisa dinyatakan sebagai perkalian sebanyak genaptransposisi.

Diskusi 4.20 Tunjukkan bahwa suatu permutasi tidak bisa dinyatakan sekaligus sebagaiperkalian dari genap buah transposisi dan ganjil buah transposisi. �

Definisi 4.3.2 Suatu permutasi dikatakan sebagai permutasi genap (permutasi ganjil) jikapermutasi tersebut dapat dinyatakan sebagai perkalian dari genap (ganjil) buah transposisi.

Definisi 4.3.3 Misalkan σ ∈ Sn. Tanda dari permutasi σ ditulis sgn(σ) didefinisikan melalui

sgn(σ) :=

{1 jika σ permutasi genap−1 jika σ permutasi ganjil

Definisi 4.3.4 Grup berayun An adalah himpunan semua permutasi genap di Sn.

Diskusi 4.21 Buktikan bahwa An merupakan sugbrup dari Sn. �

Diskusi 4.22 Tentukan kardinalitas dari An. �

Diskusi 4.23 Tunjukkan bahwa perkalian dua buah transposisi dapat dinyatakan sebagaiperkalian putaran dengan panjang 3. Ini menunjukkan bahwa setiap unsur di An dapatdituliskan sebagai perkalian putaran dengan panjang 3. �

Diskusi 4.24 Buktikan bahwa setiap putaran dengan panjang 3 dapat dituliskan sebagaiperkalian putaran yang berbentuk

(1 2 a

)dengan a ∈ {3,4, . . . ,n} �

Partisi dan Relasi EkivalenRelasi Ekivalen dari SubgrupTeorema Lagrange

5. Relasi Ekivalen dan Teorema Lagrange

5.1 Partisi dan Relasi EkivalenDefinisi 5.1.1 Himpunan bagian A1,A2, . . . ,Ak dari A dikatakan merupakan partisi dari Aatau mempartisi A jika

1. A = A1∪A2∪·· ·∪Ak,2. Ai∩A j = /0 jika i 6= j.

C Untuk situasi yang paling umum, banyaknya himpunan yang mempartisi A tidak mestiberhingga, ia bisa saja takberhingga bahkan mungkin tak terhitung. Akan tetapi dalam babini kita akan lebih sering melihat kasus dimana hanya terdapat hingga himpunan bagianyang mempartisi A.

Misalkan A1,A2, . . . ,Ak mempartisi A. Definisikan relasi ∼ pada A melalui a∼ b jika danhanya jika terdapat i sehingga a dan b keduanya termuat di Ai. Dari definisi ini jelas bahwa a∼ a.Kemudian jika a∼ b maka jelas bahwa b∼ a. Kemudian yang terakhir, jika a∼ b dan b∼ c,maka terdapat i dan j sehingga a,b ∈ Ai dan b,c ∈ A j. Karena b ∈ Ai∩A j 6= /0 maka haruslahAi = A j. Dengan demikian a,b,c ∈ Ai = A j. Khususnya kita dapatkan a∼ c.

Ketiga sifat relasi yang dimiliki di atas memegang peranan yang sangat penting dalam babini dan kita abstraksikan sebagai berikut.

Definisi 5.1.2 Suatu relasi∼ pada himpunan A disebut sebagai relasi ekivalen jika memenuhi1. untuk setiap a ∈ A berlaku a∼ a (sifat refleksif)2. jika a∼ b maka b∼ a (sifat simetris)3. jika a∼ b dan b∼ c maka a∼ c (sifat transifit)

Misalkan ∼ merupakan relasi ekivalen pada himpunan A. Untuk setiap a ∈ A definisikan,[a] := {x ∈ A : x∼ a}, yakni himpunan semua unsur di A yang berelasi dengan a. Untuk setiapa ∈ A, himpunan [a] kita sebut sebagai kelas ekivalen dari a. Jika kita punya dua kelas ekivaln [a]dan [b] dan mereka merupakan himpunan yang sama, yakni [a] = [b], pertama dari sifat refleksifrelasi ∼ kita miliki a ∈ [a] dan b ∈ [b]. Karena [a] = [b] maka a ∈ [b] (dan tentunya b ∈ [a]). Inimengakibatkan a∼ b dan oleh sifat simetris juga berlaku b∼ a.

Jika dua kelas beririsan, katakan [a]∩ [c] 6= /0 maka terdapat d ∈ [a]∩ [c]. Karena d ∼ [a] dand ∼ [c] maka a∼ d dan d ∼ c. Dari sifat transitif ∼ kita peroleh a∼ c. Sekarang untuk setiap

46 Bab 5. Relasi Ekivalen dan Teorema Lagrange

x ∈ [a] kita dapatkan x ∼ a. Karena juga a ∼ c, maka lagi-lagi karena sifat transifit x ∼ c. Inimenunjukkan bahwa [a]⊆ [c]. Dengan cara serupa dapat kita tunjukkan bahwa [c]⊆ [a]. Dengandemikian [a] = [c].

Dari dua observasi di atas kita peroleh Proposisi berikut.

Proposisi 5.1.1 Misalkan ∼ adalah relasi ekivalen pada himpunan A.1. [a] = [b] jika dan hanya jika a∼ b.2. Jika [a]∩ [c] 6 /0 maka [a] = [c].3. Koleksi semua kelas ekivalen yang saling lepas mempartisi A.

Bukti. Bukti (1) dan (2) sudah terkandung pada pengamatan di atas, selanjutnya kita hanyabuktikan (3). Misalkan [ai], i ∈ I adalah kumpulan semua kelas ekivalen yang saling lepas, yakniuntuk i 6= j berlaku [ai]∩ [a j] = /0. Karena [ai], i ∈ I meliputi semua kelas ekivalen yang salinglepas yang mungkin, untuk setiap a ∈ A maka terdapat i0 ∈ I sehingga [ai0 ] = [a]. Menurut hasildi (1), ini berakibat a ∈ [ai]. Ini menunjukkan bahwa setiap unsur di A terkandung di salah satukelas ekivalen [ai] untuk suatu i. Dengan kata lain A =

⋃i∈I[ai].

Disisi lain kita sudah mengasumsikan bahwa memang koleksi himpunan bagian [ai] untuki ∈ I saling lepas. Dengan demikian koleksi himpunan bagian [ai], i ∈ I mempartisi A. �

Dari proposisi di atas dan penjelasan sebelumnya dapat kita lihat kaitan yang sangat eratantara partisi dan relasi ekivalen. Dari suatu partisi kita bisa mendefinisikan suatu relasi ekivalendan sebaliknya dari suatu relasi ekivalen pada suatu himpuanan A kita bisa mendapatkan koleksihimpunan bagian bagian dari A yang mempartisi A.

Definisi 5.1.3 Misalkan ∼ suatu relasi ekivalen pada A. Koleksi semua kelas ekivalen yangdiperoleh dari relasi ∼ kita notasikan dengan A/∼, yakni

A/∼:= {[a] : a ∈ A}.

Ketika [a] = [b] unsur a dan b masing-masingnya kita sebut sebagai wakil dari kelas [a] = [b].Dengan notasi ini kelas [a] bisa kita lihat sebagai himpunan semua wakil dari kelas [a].

Berikut ini akan kita lihat beberapa contoh dari relasi ekivalen dan kelas ekivalen.

� Contoh 5.1 Definisikan relasi ∼ pada Z melalui

x∼ y jika dan hanya jika x− y genap .

Karena x− x = 0 merupakan bilangan genap, maka x ∼ x untuk setiap x ∈ Z. Jadi ∼ bersifatrefleksif. Misalkan x,y ∈ Z sehingga x∼ y. Menurut definisi x− y adalah bilangan genap. Akantetapi y− x = −(x− y) juga bilangan genap. Dengan demikian y ∼ x dan ∼ bersifat simetris.Sekarang misalkan x,y,z ∈ Z sehingga x ∼ y dan y ∼ z. Dari definisi x− y dan y− z adalahbilangan genap. Karena penjumlahan dua bilangan genap tetap genap maka

x− z = (x− y)+(y− z) bilangan genap.

Jadi x∼ z dan ∼ bersifat transitif.Dari semua sifat yang kita tunjukkan di atas kita simpulkan bahwa relasi∼ di atas merupakan

relasi ekivalen. Jika x ganjil x− y genap jika dan hanya jika y ganjil. Dengan demikian semuabilangan ganjil berkumpul dalam satu kelas [x]. Dalam hal ini kita bisa pilih 1 sebagai wakilnyadan menuliskan [1] sebagai himpunan semua bilangan ganjil. Dengan cara serupa semua bilangangenap akan terkumpul dalam satu kelas ekivalen [0]. Dengan demikian Z/∼= {[0], [1]}.

�


� Contoh 5.2 Definisikan relasi ∼ pada Z melalui

a∼ b jika dan hanya jika a | b.

Jelas relasi ini refleksif karena untuk setiap bilangan bulat a | a. Relasi ini juga bersifat transitifkarena jika a | b dan b | c, kita bisa tuliskan b = ka dan c = mb untuk suatu K,m ∈ Z. Akibatnyac = mb = (mk)a dan kita peroleh a | c. Ini menunjukkan jika a∼ b dan b∼ c maka a∼ c.

Akan tetapi relasi ∼ tidak bersifat simetris. Sebagai contoh 3∼ 6 karena 3 | 6. Akan tetapisebaliknya tidak berlaku 6 tidak membagi 3. Jadi 6 6∼ 3. Dengan demikian kita simpulkan bahwa∼ bukan relasi ekivalen. �

� Contoh 5.3 Definisikan relasi ∼ pada R\{0} melalui

x∼ y jika dan hanya jikaxy∈Q\{0}.

Dengan definisi ini sebagai contoh√

2 ∼√

50 karena√

2√50

=√

25√

2= 1

5 ∈ Q. Kita akan periksaapakah relasi ini merupakan relasi ekivalen. Untuk setiap x ∈ R\{0} karena x

x = 1 ∈ Q\{0}jelas bahwa x ∼ x. Jika x ∼ y maka x

y ∈ Q. Tulis xy =

ab dengan a,b bulat. Dari sini diperoleh

yx =

ba ∈Q\{0}. Dengan demikian y∼ x.

Jika x ∼ y dan y ∼ z maka xy ,

yz ∈ Q\{0}. Perkalian dua bilangan rasional taknol adalah

bilangan rasional taknol juga. Jadi xz =

xy ·

yz ∈ Q\{0}. Jadi x ∼ z. Dengan demikian relasi ∼

merupakan relasi ekivalen. �

Diskusi 5.1 Tunjukkan bahwa untuk dua bilangan prima yang berbeda p dan q kelas ekivalen[√

p] dan [√

q] merupakan dua kelas ekivalen yang berbeda. Karena ada takberhinggabanyaknya bilangan prima maka ada takberhingga banyak kelas ekivalen yang berasal darirelasi ∼ pada Contoh 5.3. �

Diskusi 5.2 Periksa apakah relasi ∼ yang didefinisikan pada himpunan-himpunan berikutmerupakan relasi ekivalen. Jika bukan, sebutkan sifat yang mana saja yang dilanggar olehrelasi tersebut yang membuatnya gagal menjadi relasi ekivalen.

1. pada R\{0} dengan x∼ y⇔ xy 6= 0.2. pada R dengan x∼ y⇔ xy = 0.3. pada R dengan a∼ b⇔ |a−b|< 2.4. pada R2 dengan (a,b)∼ (x,y)⇔ 2a−b = 2.5. pada R2 dengan (a,b)∼ (x,y)⇔ a2 +b2 = x2 + y2.

�

5.2 Relasi Ekivalen dari SubgrupMisalkan A grup dan S suatu subgrup dari A. Kita akan memanfaatkan operasi yang terdapatpada A untuk mendefinisikan suatu relasi ekivalen. Seperi biasa untuk grup yang operasinyatidak kita ketahui akan kita anggap memiliki operasi perkalian.

Definisikan relasi ∼ pada A melalui

a∼ b⇔ ab−1 ∈ S.

Akan kita periksa apakah relasi ini merupakan relasi ekivalen. Pertama karena S memuat unsuridentitas e dan aa−1 = e untuk setiap a ∈ A, maka menurut definisi relasi di atas jelas bahwaa∼ a. Berikutnya misalkan a∼ b. Berarti ab−1 ∈ S. Karena S suatu subgrup maka untuk setiap


s ∈ S invers dari s juga di S. Dengan demikian ba−1 = (ab−1)−1 ∈ S. Ini menunjukkan bahwab∼ a.

Terakhir, jika a∼ b dan b∼ c maka ab−1,bc−1 ∈ S. Karena S tertutup terhadap perkalianmaka ac−1 = (ab−1)(bc−1) ∈ S. Jadi a ∼ c dan kita simpulkan bahwa ∼ merupakan relasiekivalen pada A.

Definisi 5.2.1 Relasi ekivalen di atas kita katakan sebagai relasi ekivalen yang diperoleh darisubgrup S. Dalam hal ini himpunan semua kelas ekivalen A/∼ akan kita tuliskan sebagaiA/S untuk menekankan peranan S dalam pendefinisian relasi ekivalen. Himpunan A/S kitasebut sebagai himpunan hasil bagi

Diskusi 5.3 Misalkan A grup dan S suatu subgrup dari S. Definisikan relasi ∼ melalui

a∼ b⇔ a−1b ∈ S.

Tunjukkan bahwa ∼ merupakan relasi ekivalen. �

Dapat kita lihat dari Diskusi di atas dan pemaparan sebelumnya bahwa kita memiliki duacara untuk membuat relasi ekivalen pada A dengan menggunakan subgrup S. Kedua cara ituyakni pendefinisian relasi ekivalen ∼ lewat

a∼ b⇔ ab−1 ∈ S (5.1)

dan lewat

a∼ b⇔ a−1b ∈ S. (5.2)

Kelas ekivalen yang dihasilkan oleh kedua relasi ekivalen di atas akan sama-sama kita tuliskansebagai A/S. Untuk memperjelas relasi ekivalen yang mana yang dipergunakan untuk meng-hasilkan A/S kita akan menggunakan notasi [a]r untuk menuliskan anggota A/S yang diperolehdari relasi ekivalen yang didefinisikan pada 5.1 dan [a]` untuk menuliskan anggota A/S yangdiperoleh dari relasi ekivalen pada 5.2.

Jadi

[a]r = [b]r⇔ ab−1 ∈ S

dan

[a]` = [b]`⇔ a−1b ∈ S.

Definisi 5.2.2 Misalkan S adalah subgrup dari A. Untuk setiap a ∈ A berturut-turut notasikandengan aS dan Sa himpunan

aS := {as : s ∈ S}

dan

Sa := {sa : s ∈ A}.

Kedua himpunan aS dan Sa berturut-turut kita sebut sebagai koset kiri dan koset kanan dari S.

Proposisi 5.2.1 Pada kelas ekivalen A/S untuk setiap a ∈ A berlaku [a]` = aS dan [a]r = Sa.


Bukti. Misalkan b ∈ [a]`. Maka [a]` = [b]` dan a−1b ∈ S. Akibatnya b = a(a−1b) ∈ aS. Jadi[a]` ⊆ aS. Sebaliknya, ambil b ∈ aS. Maka b = as untuk suatu s ∈ S. Dengan mengalikan a−1

dari sebelah kiri kepada kedua ruas, diperoleh a−1b = s∈ S. Jadi [a]` = [b]` dan b∈ [a]`. Dengandemikian aS⊆ [a]`. �

Diskusi 5.4 Buktikan bahwa [a]r = Sa. �

Penggunaan notasi koset kiri atau kanan sebagai anggota A/S memudahkan kita untukmelihat relasi ekivalen yang mana diantara relasi ekivalen pada Persamaan 5.2 atau 5.1 yangdigunakan. Sebagai contoh, ketika anggota A/S kita tuliskan sebagai koset kiri, maka aS = bSjika dan hanya jika as1 = bs2 untuk suatu s1,s2 ∈ S. Akibatnya a−1b = s1s−1

2 ∈ S. Berarti yangdipergunakan adalah relasi ekivalen: a∼ b⇔ a−1b ∈ S. Hal yang serupa juga berlaku ketikakita menuliskan anggota A/S sebagai koset kanan, maka dari relasi Sa = Sb dapat kita tunjukkanbahwa ab−1 ∈ S sehingga a∼ b⇔ ab−1 ∈ S.

Akan tetapi ketika A merupakan grup komutatif, kita mempunyai kebebasan untuk menuliskanunsur di A/S sebagai koset kiri atau koset kanan mengingat kekomutatifan mengakibatkanaS = Sa untuk setiap a ∈ A.

� Contoh 5.4 Tinjau 2Z = {2k : k ∈ Z} sebagai subgrup dari (Z,+). Dari subgrup ini kitaperoleh himpunan kelas R/Z dengan

Za = Zb⇔ a−b ∈ 2Z.

(karena Z merupakan grup dengan operasi penjumlahan, maka ab−1 kita tuliskan sebagai a−b)Tapi ini persis kelas ekivalen yang diperoleh lewat relasi pada Contoh 5.1. �

Diskusi 5.5 Tunjukkan bahwa relasi ekivalen pada contoh 5.3 merupakan relasi ekivalenyang diakibatkan oleh suatu subgrup. �

� Contoh 5.5 Tinjau subgrup siklik 〈n〉= nZ dari Z. Kita akan melihat koleksi kelas ekivalenZ/nZ. Anggota Z/nZ akan kita tuliskan sebagai kelas ekivalen [x]. Perhatikan bahwa

[x] = [y]⇔ x− y ∈ nZ

atau dengan kata lain

[x] = [y]⇔ n | (x− y).

Kita lihat bahwa ini adalah kriteria kesamaan dua unsur di Zn. Himpunan Z/nZ mempunyain buah kelas ekivalen yang berbeda, yakni [0], [1], . . . , [n− 1]. Dengan demikian kita bisamenganggap Zn sebagai himpunan kelas ekivalen Z/nZ. �

Diskusi 5.6 Temukan suatu subgrup S dari S3 sehingga terdapat σ ∈ S3 yang membuatσS 6= Sσ . �

Diskusi 5.7 Apakah ada subgrup T dari S3 sehingga untuk setiap σ ∈ S3 berlaku σT = T σ?�

Diskusi 5.8 Misalkan aS = xS dan bS = yS di A/S. Tentukan syarat cukup dan perlu bagi Sagar (ab)S = (xy)S. �


5.3 Teorema LagrangeMisalkan A suatu grup dan S subgrup dari A. Koset-koset kiri (atau kanan) yang berbeda di A/Smempartisi himpunan A. Jika A merupakan grup hingga, maka ada berhingga banyaknya koset-koset kiri di A/S yang berbeda, sebut mereka a1S,a2S, . . . ,akS. Lemma berikut menunjukkanbahwa masing-masing koset mempunyai kardinalitas yang sama.

Lemma 5.3.1 Misalkan A grup dan S subgrup dari A. Untuk setiap a ∈ A berlaku |aS|= |S|.

Diskusi 5.9 Buktikan Lemma 5.3.1 di atas, dengan memberikan suatu pemetaan yang satu-satu dan pada dari S ke aS. �

Sebagai konsekuensi dari lemma di atas kita peroleh salah satu teorema penting dalam teorigrup.

Teorema 5.3.2 — Teorema Lagrange. Misalkan A suatu grup hingga dan S subgrup dari A.Maka |S| membagi |A|.

Bukti. Misalkan a1S,a2S, . . . ,akS adalah semua koset kiri yang berbeda di A/S. Koset-koset inimempartisi A, yakni A =

⋃kj=1 a jS dan aiS∩ a jS = /0 untuk i 6= j. Dengan demikian menurut

Lemma 5.3.1

|A|= |a1S|+ |a2S|+ · · ·+ |akS|= |S|+ |S|+ · · ·+ |S|= k|S|.

Dengan demikian |S| membagi |A|. �

� Contoh 5.6 Pandang grup S3. Grup ini mempunyai 3! = 6 anggota. Karena 5 tidak habismembagi 6, Teorema Lagrange menjamin bahwa Sn tidak mempunyai subgrup dengan 5 anggota.�

Diskusi 5.10 Banyaknya koset kiri yang berbeda di A/S sama dengan banyaknya koset kananyang berbeda. �

Karena Teorema Lagrange hanya terkait dengan grup hingga, untuk menghindari pengulan-gan yang berlebihan dalam subbab ini kita asumsikan semua grup yang terlibat merupakan grupberhingga.

Definisi 5.3.1 Misalkan A grup dan S suatu subgrup dari A. Banyaknya koset kiri (kanan)yang berbeda di A/S disebut sebagai indeks dari S di A dan dinotasikan dengan [A : S].

Dengan demikian menurut Teorema Lagrange kita peroleh hasil berikut.

Proposisi 5.3.3 Jika S adalah subgrup dari A maka berlaku

A = [A : S]|S|.

Berikut beberapa akibat dari Teorema Lagrange

Proposisi 5.3.4 Jika A grup hingga, maka untuk setiap a ∈ A berlaku ord(a) membagi |A|.

Diskusi 5.11 Buktikan Proposisi 5.3.4 di atas.Petunjuk: terapkan teorema Lagrange pada subgrup 〈a〉. �

Proposisi 5.3.5 Misalkan A grup. Untuk setiap a ∈ A berlaku a|A|= e.

5.3 Teorema Lagrange 51

Diskusi 5.12 Buktikan Proposisi 5.3.5. �

Teorema Lagrange memberikan jaminan bahwa kardinalitas dari suatu subgrup selalu mem-bagi kardinalitas grup yang mengandungnya. Adalah alamiah untuk menanyakan kebalikan darihal ini. Jika t adalah suatu bilangan yang membagi |A|, kardinalitas grup A, adakah subgrup Sdari A sehingga |S|= t? Ternyata jawabannya tidak, seperti yang diperlihatkan dalam contohberikut.

� Contoh 5.7 Pandang grup A4. Unsur di A4 yang berorde 3 adalah putaran dengan pan-jang 3 di S4. Banyaknya cara memilih 3 unsur dari 4 unsur yand disediakan adalah

(43

)= 4

cara. Banyaknya cara penyusunan 3 huruf a,b,c ada sebanyak 3! = 6 cara. Ketiga putaran(a b c

),(b c a

)dan

(c a b

)merupakan putaran yang sama. Dengan demikian banyaknya

putaran dengan panjang 3 yang berbeda ada sebanyak 4 ·3!/3 = 8 buah.Andaikan A4 memiliki suatu subgrup dengan orde 6, sebut subgrup ini B. Misalkan σ ∈ A4

berorde 3. Jika σ 6∈ B maka B 6= σB. Karena |A4|= 12 dan |B|= 6 maka haruslah A4 = B∪σB.Jika σ2 ∈ σB maka σ = σ−1σ2 ∈ B. Dengan demikian haruslah σ2 ∈ B. Akan tetapi karena Bsugrup dan σ berorde 4 maka σ = (σ2)2 ∈ B yang bertentangan dengan fakta bahwa σ 6∈ B.

Argumen di atas menunjukkan bahwa kedelapan unsur di A4 yang berorde 3 semuanyamerupakan anggota B. Akan tetapi ini adalah hal yang absurd mengingat B hanya memiliki 6anggota. Dengan demikian tidak mungkin terdapat subgrup B dari A4 yang berorde 6. �

Berikut beberapa aplikasi Teorema Lagrange pada teori bilangan. Sebelumnya kita akanmemerlukan definisi berikut.

Definisi 5.3.2 Diberikan bilangan bulat n. Kita tuliskan a≡ b (mod n) jika dan hanya jikan | (a−b).

Teorema 5.3.6 — Fermat. Jika p prima, maka untuk setiap a yang bukan kelipatan p berlakuap−1 ≡ 1 (mod p)

Bukti. Pandang grup (Z×p , ·) (lihat Proposisi 2.4.10). Grup ini mempunyai banyak anggotasebanyak p− 1. Ambil a yang bukan kelipatan p. Maka [a] ∈ Zp dan [a] 6= [0]. MenurutProposisi 5.3.5 berlaku [ap−1] = [a]p−1 = [1] ∈ Zp. Tapi ini berarti ap−1 ≡ 1 (mod p). �

Teorema 5.3.7 — Euler. Misalkan a ∈ Z dengan (a,n) = 1. Maka

aϕ(n) ≡ 1 (mod n).

Diskusi 5.13 Buktikan Teorema Euler di atas (Petunjuk: pandang grup Un) �

� Contoh 5.8 Kita akan menentukan sisa pembagian 72015 ketika dibagi 13. Perhatikan bahwa13 merupakan bilangan prima. Menurut Teorema Euler berlaku 712 ≡ 1 (mod 13). Tulis2015 = 12 ·167+11. Sekarang di Z13 berlaku

[7]2015 =([7]12)167 · [7]11 = [1]167 · [7]11 = [7]12 · [7]−1 = [7]−1 = [2].

Dengan demikian 72015 ≡ 2 (mod 13) atau dengan kata lain sisa pembagian 72015 oleh 13 adalah2. �

Diskusi 5.14 Misalkan A grup dengan kardinalitas A merupakan bilangan prima. Tunjukkanbahwa A merupakan grup siklik. �


Diskusi 5.15 Misalkan A grup dengan |A|= pq dengan p dan q dua bilangan prima berbeda.Buktikan bahwa setiap subgrup sejati dari A merupakan grup siklik �

Diskusi 5.16 Misalkan H adalah subgrup dari S4 yang mengandung(1 2

)dan

(2 3 4

).

1. Tunjukkan bahwa H mengandung usur berorde 4.2. Buktikan bahwa 12 | |H| dan |H| | 24.3. Jika |H|= 12 tunjukkan bahwa A4 mengandung subgrup berorde 6.4. Buktikan bahwa H = S4.

�

Diskusi 5.17 Misalkan A suatu grup yang tepat memiliki satu subgrup B berorde p dan satusubgrup C berorde q dengan p,q bilangan prima berbeda.

1. Tunjukkan bahwa B∪C 6= A.2. Ambil a ∈ A\(B∪C). Tentukan ord(a).3. Buktikan bahwa A grup siklik.

�

Diskusi 5.18 Misalkan A grup komutatif yang memiliki paling sedikit 3 unsur berorde 3.Tunjukkan bahwa 9 | |A|. �

Diskusi 5.19 Buktikan bahwa A5 tidak memiliki subgrup berorde 30. �

Documents

Struktur Aljabar