Struktur Aljabar II

  • View
    1.129

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

TEORI RING, STRUKTUR ALJABAR 2,TUGAS

Text of Struktur Aljabar II

  • STRUKTUR ALJABAR II

    RING

    DisusunOleh:

    KELOMPOK III

    SRI WAHYUNI SAM (101104001)

    APRISAL (101104004)

    AZLAN ANDARU (101104006)

    PRIMA MITRA (101104020)

    MUH.ICHSAN NAWAWI (101104024)

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMTIKA DAN ILMU PEMNGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

    2012

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    2

    PETA KONSEP

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    3

    RING

    Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya

    mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-

    sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua

    operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan o dinamakan Ring.

    1. RING

    Definisi:

    Suatu ring (R,+,o) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner

    penjumlahan (+) dan perkalian (o) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

    1. Tertutup,

    Misalkan a dan b adalah anggota R maka a dan b tertutup bila + =

    2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+),

    Misalkan , , maka (a + b) + c = a + (b + c)

    3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+),

    Misalkan maka a + e = e + a = a

    4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+),

    Misalkan maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0

    5. Komutatif terhadap penjumlahan (+),

    Misalkan , maka a + b = b + a

    6. Tertutup terhadap penjumlahan (+),

    Misalkan a dan b adalah anggota R,maka a dan b tertutup bila .

    7. Assosiatif terhadap perkalian (o),

    Misalkan , , maka (a . b) . c = a . (b . c)

    8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (o),

    Misalkan maka a . e = e . a = a

    9. Distributif perkalian (o) terhadap penjumlahan (+),

    Misalkan , , maka

    a . (b + c) = (a . b) + (a . c) dan (a + b) . c = (a . c) + (b . c)

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    4

    Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua

    operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila :

    Suatu ring (R,+,o) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan o. Yang

    dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-

    sifat berikut berlaku.

    1. (R,+) merupakan grup komutatif

    2. (R,o) merupakan semigrup

    3. , , berlaku:

    a. . + = . + .

    b. (x+y) . z = x.z+y.z

    Contoh:

    Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ringdengan operasi

    yang diberikan

    1. (Z, + , o)

    2. (Q, + , o)

    3. (R, + , o)

    4. (C, + , o)

    5. (Zn, + , o)

    6. (M(2,Z), + , o)

    7. (Z[2], + , o)

    8. (fR, + , 0)

    9. ( RxS, + , o), dengan R dan S masing-masing merupakan ring

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    5

    Contoh 1:

    Z4 merupakan suatu Ring.

    Akan ditunjukkan bah wa Z4 = {0,1,2,3} merupakan suatu Ring bila memenuhi:

    1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)

    Tertutup

    Ambil sebarang nilai dari Z4

    Misalkan 0, 1, 2, 3 4

    1 + 0 = 1

    1 + 1 = 2

    1 + 2 = 3

    1 + 3 = 0

    Karena hasilnya 0, 1, 2, 3 4, maka tertutup terhadap 4,

    Assosiatif

    Ambil sebarang nilai dari 4,

    Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 4

    (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

    a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

    sehingga:

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    6

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Maka 4assosiatif

    Adanya unsur satuan atau identitas

    Ambil sebarang nilai dari 4

    o misalkan 0 4

    0 + e = e + 0 = 0

    o misalkan 1 4

    1 + e = e + 1 = 1

    o misalkan 2 4

    2 + e = e + 2 = 2

    o misalkan 3 4

    3 + e = e + 3 = 3

    maka 4 ada unsur satuan atau identitas

    Adanya unsur balikan atau invers

    o Ambil sebarang nilai dari 4, misalkan 0 4, pilih 0 4, sehingga

    0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1

    = 0

    o Ambil sebarang nilai dari 4, misalkan 1 4, pilih 3 4, sehingga

    1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1

    = 3

    o Ambil sebarang nilai dari 4, misalkan 2 4, pilih 2 4, sehingga

    2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1

    = 2

    o Ambil sebarang nilai dari 4, misalkan 3 4, pilih 1 4, sehingga

    3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1

    = 1

    maka Z4 ada unsur balikan atau invers

    Komutatif

    Ambil sebarang nilai dari 4

    misalkan a = 2, b = 3 4

    (a + b) = (2 + 3) = 1

    (b + a) = (3 + 2) = 1

    Sehingga :

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    7

    (a + b) = (b + a) = 1

    maka Z4 komutatif

    Jadi Z4 = {0,1,2,3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)

    2. Semigrup terhadap perkalian (Z4, o)

    Tertutup

    Ambil sebarang nilai dari 4

    Misalkan 0, 1, 2, 3 4

    1 . 0 = 0

    1 . 1 = 1

    1 . 2 = 2

    1 . 3 = 3

    karena hasilnya 0, 1, 2, 3 4, maka tertutup terhadap 4

    Assosiatif

    Ambil sebarang nilai dari Z4

    misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 4

    (a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2

    a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

    Sehingga :

    (a . b) . c = a . (b . c) = 2

    maka Z4 assosiatif

    Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (4, o).

    3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

    Ambil sebarang nilai dari 4

    misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 4

    a.(b + c) = 2.(1 + 3) (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

    = 2.(0) = 2 + 6

    = 0 = 0

    maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    8

    (a + b).c = (2 + 1).3 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

    = (3).3 = 2 + 3

    = 1 = 1

    maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1

    Jadi, 4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadappenjumlahan.

    Karena 4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada,

    maka 4 adalah suatu Ring (4,+,o).

    Contoh 2:

    Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,o)

    Akan dibuktikan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring.

    -1 1

    -1 1 -1

    1 -1 1

    Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa R = {-1, 1} hanya tertutup terhadap operasi

    perkalian dan tidak tertutup terhadap penjumlahan karena terdapat unsur 0 yang

    bukan elemen dari R = {-1, 1}.

    Jadi dapat disimpulkan bahwa R = {-1, 1}, (R,+,o) bukan merupakan suatu Ring

    karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z2 = {0, 1},

    (Z2,+,o)merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan

    danmemenuhi sifat-sifat dari Ring.

    2. RING KOMUTATIF

    Definisi:

    Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,o) dikatakan suatu Ring

    (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila :

    1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif

    2. (R,o) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif

    3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

    + -1 1

    -1 0 0

    1 0 0

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    9

    Jika pada ring R, berlaku sifat a.b = b.a, a,b R, maka R dikatakan Ring Komutatif

    (Comutative Ring).

    Contoh 3:

    Dari contoh 1, tunjukan bahwa Ring (Z4,+,o) merupakan suatu Ring Komutatif.

    Penyelesaian:

    Dari contoh 1, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring.

    Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.

    a . b = b . a, , 4

    Ambil sebarang nilai dari 4, misalkan 2 dan 3 4(pada tabel sebelumnya)

    2 o4 3 = 2

    3 o4 2 = 2

    sehingga 2 o4 3 = 3 o4 2 = 2

    Karena Ring (4,+,o) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (4,+,o)

    tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

    Contoh 4:

    Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemenbilangan

    genap dan ganjil adalah suatu Ring Komutatif.

    Dari tabel 6.2.akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakansuatu Ring

    Komutatif bila memenuhi :

    Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

    Tertutup

    Ambil sebarang nilai dari P

    misalkan genap, ganjil P

  • KELOMPOK III | STRUKTUR ALJABAR II

    10

    genap + genap = genap

    genap + ganjil = ganjil

    ganjil + ganjil = genap

    karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

    Assosiatif

    Ambil sebarang nilai dari P

    misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P

    (a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

    a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

    Sehingga :

    (a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

    maka P assosiatif

    Adanya unsur satuan atau identitas

    Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genapP,

    sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

    Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,

    sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap

    maka P ada unsur satuan atau identitas

    Adanya unsur balikan atau invers

    Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,

    sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1

    = genap

    Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,

    sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1

    = ganjil

    maka P ada unsur balikan atau invers

    Komutatif

    Ambil sebarang nilai dari P

    misalkana = genap, b = ganjil P

    (a