Struktur Aljabar II.pdf

  • View
    412

  • Download
    133

Embed Size (px)

Text of Struktur Aljabar II.pdf

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    Outline STRUKTUR ALJABAR LANJUT (Bagian 2)(Pengantar Teori Ring)

    Antonius Cahya Prihandoko

    Universitas JemberIndonesia

    Prodi Pendidikan Matematika FKIPUniversity of Jember

    Indonesia

    Jember, 2009

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    Outline

    Disajikan oleh

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    Outline

    Outline

    1 Ring Polinomial

    2 Homomorfisma Ring

    3 Ring Faktor

    4 Ideal Maksimal dan Prima

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    Outline

    Outline

    1 Ring Polinomial

    2 Homomorfisma Ring

    3 Ring Faktor

    4 Ideal Maksimal dan Prima

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    Outline

    Outline

    1 Ring Polinomial

    2 Homomorfisma Ring

    3 Ring Faktor

    4 Ideal Maksimal dan Prima

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    Outline

    Outline

    1 Ring Polinomial

    2 Homomorfisma Ring

    3 Ring Faktor

    4 Ideal Maksimal dan Prima

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Polinomial

    Definisi PolinomMisalkan R adalah ring. Polinom f (x) dengan koefisiendalam R adalah sebuah penjumlahan formal takhingga

    i=0 aixi, dimana ai R dan ai = 0 untuk semua kecuali

    sejumlah hingga nilai i . ai adalah koefisien-koefisien darif (x). Jika untuk i > 0, ai 6= 0 maka nilai terbesar dari i yangdemikian disebut derajat dari f (x). Jika tidak ada i > 0yang demikian maka f (x) berderajat nol.

    Ring PolinomialHimpunan R[x ] dari semua polinom dalam indeterminasi xdengan koefisien dalam ring R merupakan sebuah ringdibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinom.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Polinomial

    Definisi PolinomMisalkan R adalah ring. Polinom f (x) dengan koefisiendalam R adalah sebuah penjumlahan formal takhingga

    i=0 aixi, dimana ai R dan ai = 0 untuk semua kecuali

    sejumlah hingga nilai i . ai adalah koefisien-koefisien darif (x). Jika untuk i > 0, ai 6= 0 maka nilai terbesar dari i yangdemikian disebut derajat dari f (x). Jika tidak ada i > 0yang demikian maka f (x) berderajat nol.

    Ring PolinomialHimpunan R[x ] dari semua polinom dalam indeterminasi xdengan koefisien dalam ring R merupakan sebuah ringdibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinom.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Polinomial

    Ring Komutatif dengan UnityJika R komutatif maka demikian juga R[x ], dan jika Rmemiliki unity 1 maka 1 juga merupakan unity dalam R[x ]

    Integral Domain dan FieldPengembangan selanjutnya dari teorema ini adalah jika Dadalah sebuah integral domain maka demikian juga D[x ].Secara khusus, jika F merupakan sebuah field, maka F [x ]merupakan sebuah integral domain.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Polinomial

    Ring Komutatif dengan UnityJika R komutatif maka demikian juga R[x ], dan jika Rmemiliki unity 1 maka 1 juga merupakan unity dalam R[x ]

    Integral Domain dan FieldPengembangan selanjutnya dari teorema ini adalah jika Dadalah sebuah integral domain maka demikian juga D[x ].Secara khusus, jika F merupakan sebuah field, maka F [x ]merupakan sebuah integral domain.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Evaluasi

    Definisi Homomorfisma EvaluasiMisalkan F adalah subfield dari field E , adalah sebarangelemen dalam E , dan x adalah sebuah indeterminasi.Pe-metaan : F [x ] E dengan

    (a0+a1x +a2x2+ ...+anx

    n) = a0+a1+a22+ ...+an

    n

    merupakan sebuah homomorphisma.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Nol dari suatu Polinom

    Definisi Nol dari suatu PolinomMisalkan F adalah subfield dari field E , dan E .Misalkan f (x) = a0 + a1x + ...+ anxn F [x ], dan : F [x ] E merupakan sebuah homomorphismaevaluasi. Misalkan f () menotasikan

    (f (x)) = a0 + a1+ ...+ ann

    Jika f () = 0, maka disebut nol dari f (x).

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Algoritma Pembagian dalam F[x]

    Algoritma Pembagian PolinomMisalkan

    f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn

    danf (x) = b0 + b1x + b2x2 + ...+ bmxm

    merupakan dua polinom dalam F [x ], dengan an dan bmkeduanya adalah elemen tak nol dalam F [x ] dan m > 0.Maka ada polinom-polinom q(x) dan r(x) dalam F [x ]sedemikian hingga f (x) = g(x)q(x) + r(x), dengan derajaddari r(x) kurang dari m = derajad dari g(x).

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Algoritma Pembagian dalam F[x]

    Akibat 1Sebuah elemen a F merupakan nol dari f (x) F [x ] jikahanya jika x a merupakan faktor dari f (x) dalam F [x ].

    Akibat 2Suatu polinom taknol f (x) F [x ] yang berderajad n dapatmemiliki paling banyak n nol dalam field F .

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Algoritma Pembagian dalam F[x]

    Akibat 1Sebuah elemen a F merupakan nol dari f (x) F [x ] jikahanya jika x a merupakan faktor dari f (x) dalam F [x ].

    Akibat 2Suatu polinom taknol f (x) F [x ] yang berderajad n dapatmemiliki paling banyak n nol dalam field F .

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Definisi Homomorfisma RingSuatu pemetaan dari ring R ke ring R disebuthomomorphisma jika

    (a + b) = (a) + (b)

    dan(ab) = (a)(b)

    untuk semua elemen a dan b dalam R.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Sifat-sifat Dasar HomomorfismaMisalkan adalah homomorphisma dari ring R ke ring R,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

    1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka(0) = 0 merupakan identitas jumlahan dalam R;

    2 a R, (a) = (a);3 Jika S subring pada R, maka (S) adalah subring pada

    R;4 Jika S adalah subring pada R, maka 1(S) adalah

    subring pada R;5 Jika R memuat unity 1 dan (1) 6= 0, maka (1)

    merupakan unity untuk R.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Sifat-sifat Dasar HomomorfismaMisalkan adalah homomorphisma dari ring R ke ring R,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

    1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka(0) = 0 merupakan identitas jumlahan dalam R;

    2 a R, (a) = (a);3 Jika S subring pada R, maka (S) adalah subring pada

    R;4 Jika S adalah subring pada R, maka 1(S) adalah

    subring pada R;5 Jika R memuat unity 1 dan (1) 6= 0, maka (1)

    merupakan unity untuk R.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Sifat-sifat Dasar HomomorfismaMisalkan adalah homomorphisma dari ring R ke ring R,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

    1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka(0) = 0 merupakan identitas jumlahan dalam R;

    2 a R, (a) = (a);3 Jika S subring pada R, maka (S) adalah subring pada

    R;4 Jika S adalah subring pada R, maka 1(S) adalah

    subring pada R;5 Jika R memuat unity 1 dan (1) 6= 0, maka (1)

    merupakan unity untuk R.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Sifat-sifat Dasar HomomorfismaMisalkan adalah homomorphisma dari ring R ke ring R,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

    1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka(0) = 0 merupakan identitas jumlahan dalam R;

    2 a R, (a) = (a);3 Jika S subring pada R, maka (S) adalah subring pada

    R;4 Jika S adalah subring pada R, maka 1(S) adalah

    subring pada R;5 Jika R memuat unity 1 dan (1) 6= 0, maka (1)

    merupakan unity untuk R.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Sifat-sifat Dasar HomomorfismaMisalkan adalah homomorphisma dari ring R ke ring R,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

    1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka(0) = 0 merupakan identitas jumlahan dalam R;

    2 a R, (a) = (a);3 Jika S subring pada R, maka (S) adalah subring pada

    R;4 Jika S adalah subring pada R, maka 1(S) adalah

    subring pada R;5 Jika R memuat unity 1 dan (1) 6= 0, maka (1)

    merupakan unity untuk R.

  • SAL Bagian 2

    Antonius CP

    RingPolinomial

    Homomomorfisma

    Ring Faktor

    IdealMaksimaldan Prima

    Homomorfisma Ring

    Sifat-sifat Dasar HomomorfismaMisalkan adalah homomorphisma dari ring R ke ring R,maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :

    1 Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka(0) = 0 merupakan identitas jumlahan dalam R;

    2 a R, (a) = (a);3 Jika S subring pada R, maka (S) adalah subring pada

    R;4 Jika S adalah subring pada R, maka 1(S)