Štapni elementi opterećeni uzdužnom silom

Stubovi su štapni elementi opterećeni relativno velikim silama pritiska u odnosu na momente savijanja. Usljed deformacije štapa w(x), momentu savijanja M1 prema teoriji 1. reda pridodaje se tzv. moment deformacije, xwNxM (6-215)

tako da se odgovarajući moment savijanja uvećava: xMxMxM 12 (6-216) Teorija 2. reda uzima u obzir ovaj efekat i time se smanjuje kapacitet nosivosti stuba.

Osjetljivost stuba na djelovanja data u teoriji 2. reda

mogu se opisati pomoću koeficijenta vitkosti:i

lo .

Zamjenjujuća dužina štapa l0 određuje se za svaki model stuba zasebno, na osnovu rubnih uslova, te krutosti stuba i priključnih elemenata na stub.

Na slici su skicirani osnovni Euler-ovi slučajevi za koje

su date granice zamjenjujućih dužina štapova.

Stubovi male vitkosti

Ukoliko se nosivost stuba kroz deformaciju smanjuje do 10 %, može se zanemariti uticaj po teoriji 2. reda. Ovaj kriterij vrijedi kod stubova sa konstantnim ekscentricitetom sile ukoliko vitkost ne prekoračuje graničnu vitkost crit: 25crit za 36,0u (6-217)

ili

u

crit

15

za 36,0u (6-218)

gdje je:

u - bezdimenzionalna veličina normalne sile za granično stanje nosivosti:Af

N

cd

Sdu

crit stubovi nisu vitki presječne sile mogu se odrediti po teoriji 1. reda.

Mehanizam nosivosti štapnog elementa opterećenog na savijanje sa podužnom silom

Slučaj 1: Centrični pritisak

Presječne sile, NS=-F, MS=0, stvaraju jednolike deformacije u poprečnom presjeku, 2s1sc (6-219)

Iz zakona ponašanja materijala, dobijaju se pripadajuća naprezanja c, s1, s2. Reaktivne presječne sile su:

2s2s1s1sccR AAAN (6-220)

0MR Iz uslova NS = NR, za pretpostavljeni poprečni presjek dobije se stanje deformacija, odnosno za dato stanje deformacija potrebna armatura.

Savijanje sa uzdužnom silom pritiska – mali ekscentricitet

FNS ; FeMS (Presječne sile u poprečnom presjeku A-A)

Poprečni presjek napregnut na pritisak (naponsko stanje I).

Moment savijanja dovodi do zaokretanja ravnine deformacija. Za razliku od centričnog pritiska, ekscentrični pritisak dovodi do rasterećenja ruba 1. Na suprotnom rubu 2 dobijamo veće deformacije usljed pritiska c2 i ovaj rub označavamo kao “pritisnuti rub pri savijanju”.

A

cc dAC 2ss2s2s AC

2sc2 CCC

1ss1s1s1 ACC

Vanjska uticajna sila F mora biti u ravnoteži sa reaktivnim silama C2 i C1.

Savijanje sa uzdužnom silom pritiska – srednji ekscentricitet

Kod malog ekscentriciteta nul-tačka linije deformacije leži izvan poprečnog presjeka. Deformacija c1 je negativna. Sa povećanjem ekscentriciteta opterećenja deformacija pritiska c1 će biti sve manja. Kod srednjeg ekscentriciteta dolazi do promjene predznaka deformacije c1. Poprečni presjek prelazi u naponsko stanje II. Zategnuta armatura još nije dostigla granicu tečenja. Deformacija čelika s1 je u elastičnom području.

Kod srednjeg ekscentriciteta javlja se zategnuta reaktivna presječna sila,

1ss1s1s1 EATT

Rezultantna sila pritiska je:

2sc2 CCC

Rastojanje između sile zatezanja T1 i sile pritiska C2 odgovara kraku unutrašnjih sila z.

Savijanje sa uzdužnom silom pritiska – veliki ekscentricitet

Kod velikog ekscentriciteta dolazi do tečenja zategnute armature As1.

Pri dimenzioniranju presjeka sile akcije premještaju se u težište zategnute armature:

FN 1s1s zeFM

z

MC 1s

2 Nz

MT 1s

1s

Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja – veliki ekscentricitet

FN

1s1s zeFM

Nz

MT 1s

1s

Savijanje sa uzdužnom silom zatezanja – mali ekscentricitet

Ukoliko se linija djelovanja sile F nalazi između armature As1 i As2 kompletan poprečni presjek je

napregnut na zatezanje,

0Cc

.

s

s1s z2

ezNT

s

s2s z2

ezNT

Potrebna armatura je: As1,2 = TS1,2/fy

Centrično zatezanje

2

NTT 2s1s

y2s1s f2

NAA

Reaktivne presječne sile

Reaktivne presječne sile određuju se za pretpostavljeno stanje deformacija i dijele na dio presječne sile koji preuzima beton (Nc, Mc) i dio presječne sile koji preuzima armatura (NS, MS).

Dio reaktivne presječne sile koju preuzima beton

Tok naprezanja u betonu dijeli se u dva područja. U području 2 sa visinom x 0

raspodjela naprezanja je konstantna. Pripadajući dio reaktivnih presječnih sila je:

oc2c xbfN

2

x

2

hxbfM o

oc2c

U području 1 raspodjela naprezanja je parabolična.

o

u

z

z

c1c dzbzN o

u

z

z

c1c dzbzzM

Rješenjem integrala primjenom Simpson-ovog pravila dobije se,

b46

zzN umo

ou1c

bzz4z

6

zzM uummoo

ou1c

Prema tome, dio reaktivne presječne sile koju preuzima beton je:

2c1cc NNN 2c1cc MMM

Za određivanje reaktivnih presječnih sila koriste se tabele i dijagrami, kao pomoćni alat za dimenzioniranje. Ovi pomoćni alati urađeni su za bezdimenzionalne veličine reaktivnih presječnih sila svedene na jedinicu poprečnog presjeka.

oc

2c2c bhf

N

2

1

bhf

M oo2

c

2c2c

c

u

c

m

c

oou1c ff

4f6

u

c

um

c

mo

c

oou1c ff

4f6

Kod srednjih i velikih ekscentriciteta poprečni presjek prelazi u naponsko stanje II

Jedinični poprečni presjek u naponskom stanju II (c2(-)cp(-))

Jedinični poprečni presjek u naponskom stanju II (c2(-)cp(-))

Dio reaktivne presječne sile koju preuzima armatura

1s2c1c

2c1s dhh

2s2c1c

2c2s dh

1ss1s 2ss2s

2s2s1s1ss AAN

2s2s2s1s1s1ss d

2

hAd

2

hAM

Reaktivne presječne sile su:

U zavisnosti od oblika i dimenzija poprečnog presjeka urađeni su dijagrami interakcije bezdimenzionalnih veličina reaktivnih presječnih sila.

ccd

Sd

Af

N

hAf

M

ccd

Sd

Na narednom slajdu dat je primjer dijagrama interakcije za pravougaoni poprečni presjek armiran armaturom sa naprezanjem na granici izduženja 500 MPa.

Dijagram interakcije za dimenzioniranje stubova prema teoriji I.reda

Vitki stubovi

Vitki stubovi jesu stubovi izloženi izvijanju.

U teoriji stabilnosti deformaciona linija štapa pretpostavlja se u sinusnom obliku

o

2 l

xsinexw

oo

2 l

xcos

lexw

o

2o

2

2 l

xsin

lexw

U označenom poprečnom presjeku m-m važi:

11 eNM 2eNM

2112 eeNMMM Diferencijalna jednačina savijanja grede linearizirane je uz pretpostavku da je deformacija e2 relativno mala u odnosu na dužinu štapa ( o2 le ).

xwEJ

xMx r

Iz prethodnih izraza za mjerodavni poprečni presjek x = l/2, dobije se reaktivni moment savijanja

22o

2

r el

EJM

2o

2

E l

EJN

2Er eNM

- Euler-ova sila

Teorija 2.reda kod linearnog ponašanja materijala

Za odgovarajuću deformaciju štapa e2 dobije se ravnoteža između aktivnog i reaktivnog momenta savijanja,

1N

Ne

eE

12

Ako je deformacija štapa manja od vrijednosti e2, štap se vraća u ravnotežni položaj jer je aktivni moment savijanja Ma veći od reaktivnog momenta savijanja Mr. Prema tome, deformacija štapa je manja od potrebne.Ako se poveća deformacija štapa za vrijednost +e tako da se izgubi ravnoteža, reaktivni momenat Mr je veći od aktivnog Ma. Deformacija štapa se smanjuje. Štap se ponovno vraća u ravnotežno stanje e2. U ovom slučaju kako god se štap deformiše vraća se u položaj e2. Dakle, imamo posla sa stabilnom ravnotežom.

Centrično pritisnut štap N<NE

Centrično pritisnut štap Euler-ovom silom (silom izvijanja) N=NE

Kod centrično opterećenog stuba, kod kojeg je N NE ravnotežna tačka G leži u koordinatnom početku (e2 = 0).

Za N = NE pravci akcije i reakcije se preklapaju. Svaka deformacija štapa e2 daje moguće ravnotežno stanje (indiferentna ravnoteža). Za N = NE presječna tačka G nalazi se u beskonačnosti.

Nelinearno ponašanje materijala (armirani beton)

Kod nelinearnog ponašanja materijala tok reakcije više nije pravac

Iako se teoretski susrećemo sa dva stanja ravnoteže P1 i P2, praktično je u praksi samo prvo stanje stabilno stanje.

Nelinearno ponašanje materijala (slučaj nestabilnosti)

Ako normalna sila N raste, pravac akcije zaokreće se oko presječne tačke S. Obje tačke P1 i P2 se približavaju jedna drugoj, sve dok se ne nađu u istoj tački K. Sila N za koju je pravac akcije tangenta na krivu reakcije jeste kritična normalna sila NK. U ravnotežnoj tački K je nestabilno stanje ravnoteže. Kritična sila NK odgovara graničnom stanju nosivosti.

Određivanje kritičnog opterećenja pomoću M/ dijagrama u mjerodavnom poprečnom presjeku

U pojednostavljenju postupka idemo korak dalje da liniju savijanja uzimamo kao sinusnu liniju. Iz diferencijalne jednačine savijanja grede dobije se:

220

2

2 el

Kritična deformacija štapa ek je:

k2

20

k2

lee

Moment savijanja

21K2 eeNM

Geometrijske imperfekcije i nepoželjan ekscentricitet

Kod bočno pomjerljivog vrha stuba, os štapa će se zaokrenuti u odnosu na vertikalu za mjeru a.

l100

1a

Uslovi koji trebaju biti ispunjeni su:

- Vitki stubovi (crit): 200

1a

- Stubovi koji nisu vitki (crit): 400

1a

Računski dodatni ekscentricitet ea je:2

le 0

aa

Ovaj ekscentricitet se pribraja već predviđenom ekscentricitetu opterećenja e0 prema teoriji 1. reda.

N

Me 1

0 a01 eee

U svakom poprečnom presjeku stuba potrebno je usvojiti minimalni ekscentricitet:

20

he tot

Vremenski ovisne deformacije

Kako je momenat usljed puzanja betona obično mali, dovoljno je izvršiti približno određivanje dejstva:

Sd

cr2cr M

Mee cr21tot eeee

Prethodne jednačine zasnivaju se na tome da je plastična deformacija poprečnog presjeka cr jednaka po veličini elastičnoj deformaciji el od kvazi-stalnog dejstva Mcr

Postupak pomoću modela stuba

Postupak pomoću modela stuba zasniva se na dva pojednostavljenja: 1. Kompleksni problem nosivosti prema teoriji 2. reda svodi se na razmatranje pojedinačnih štapova. 2. Dimenzioniranje štapova provodi se korištenjem jednostavnih modela.

Za dimenzioniranje koristi se iteracioni postupak određivanja presječnih sila

xxw 21 cxcdxxxw xwNxMxM 112

Općenito se problem rješava primjenom metode konačnih elemenata i odgovarajućih algoritmama za određivanje materijalne i geometrijske nelinearnosti.Osim visoko teoretskih kompjuterskih modela, koriste se i jednostavni modeli. Ako se uzme da je deformacija štapa približno sinusne forme dobije se izraz za zakrivljenost poprečnog presjeka:

220

2

2 el

Ukoliko želimo da raspodjela zakrivljenosti odgovara što više stvarnosti, prethodna jednačina poprima sljedeći oblik

220

2 el

Ukoliko odnos M/ uzmemo približno linearan i raspodjelu krivljenja prema teoriji 2. reda kao paraboličnu, dobiju se za slijedeći izrazi:

Pojednostavljeno dimenzioniranje modela stubova prema EC2

Pojednostavljeno se usvaja bilinearan dijagram reaktivne normalne sile, momenta i zakrivljenosti. Pri tome se pravac akcije i otpornosti (reakcija) dodiruju u tački izvijanja K.

Tačka K se dobije za stanje deformacije kod kojeg dolazi do tečenja ili zatežuće ili pritisnute armature.

N/M interakcioni dijagram za datu površinu armature As U gornjem području N/M krive (NNbal) deformacija u pritisnutoj armaturi je na granici tečenja yd (s2 = yd), dok deformacija u zategnutoj armaturi s1 varira. U donjem području N/M krive (NNbal) deformacija u zategnutoj armaturi je na granici tečenja yd (s1 = yd), dok deformacija u pritisnutoj armaturi s2 varira. U tački Nbal (balansna tačka) deformacija u pritisnutoj armaturi As2 je deformacija tečenja yd (-), a u zategnutoj armaturi As1 deformacija tečenja yd (+).

Pripadajuće krivljenje bal je:

a

2 ydbal

Pojednostavljenje za gornji dio krive (NNbal) postiže se ako se uzme linearan odnos između krivljenja k i normalne sile.

balud

Sdud2 NN

NNk

bal2K k

U području donjeg dijela krive (NNbal) prema EC2 uzima se kritično krivljenje konstantno:

bal2K k 1k 2

Ovom aproksimacijom nalazimo se na strani sigurnosti. Stvarna raspodjela N/ dijagrama prikazana je isprekidanom linijom.

Granična nosivost poprečnog presjeka Nud za centrični pritisak

ccdc AfN

sydcud AfNN

Simetrično armiran pravougaoni poprečni presjek:Balansirano deformaciono stanje (s1 = yd =-s2)

ccdcdbal Af4,0h4,0bfN

Dodatni ekscentricitet usljed deformacije štapa e2 je:

bal2

20

K2

20

2 k10

lle

1NN

NNk

balud

Sdud2

2a0tot eeee

Dimenzioniranje stubova u mjerodavim poprečnim presjecima vrši se za vanjske sile:

SdN totSdSd eNM

Izravnavanje prelaznog područja između teorije 1.reda i teorije 2.reda

Nesigurnost rezultata dimenzioniranja u području 15 35 pokriva se faktorom k1:

75,020

k1

Tok dimenzioniranja modela stubova prema EC21. ccdc AfN

2. cbal N4,0N

3. sydcud AfNN

4. balud

Sdud2 NN

NNk

za NSd Nbal

1k 2 za NSd Nbal

5. 2yd

2yd

k kd9,0

2k

a

2

6. 75,020

k1

1

7. k1

20

2 k10

le

8. a01 eee

9. 21tot eee

10. SdN

totSdSd eNM

11. Dimenzioniranje poprečnog presjeka za presječne sile NSd, MSd As 12. U slučaju ponavljanja vraćamo se na korak 3.

13. Ako je cyd

Sdmin,ss A003,0

f

N15,0AA

uzima se minimalna armatura.

Nepomjerljivi i pomjerljivi ramovi

Proračun pomoću modela stuba je dovoljno tačan za nepomjerljive ramove.

Stubovi stepenasto promjenljivog presjeka

Nepomjerljivi višespratni ramovi

Zamjenjujuća dužina štapa l0 za stubove između čvora A i B određuje se:

col0 ll 0,1

4,0lJE

lJEkk

bbcm

colcolcmBA

gdje je: lcol – dužine stubova lb – rasponi greda Jcol – momenti inercije stubova Jb – moment inercije greda Ecm – sekantni modul elastičnosti betona - koeficijent koji uzima u obzir način oslanjanja rigli rama = 1 – kruto ili elastično oslanjanje = 0,5 – zglobno oslanjanje = 0 – konzolne grede

Nomogram za određivanje koeficijenta za nepomjerljive ramove

Granična vitkost

Granična vrijednost vitkosti za nepomjerljive ramove je:

01

02lim e

e225

Pomjerljivi ramovi

Kod bočno pomjerljivih sistema određuje se stepen bočne pomjerljivosti da bi se utvrdilo je li moguće primijeniti postupak sa zamjenjujućim štapovima ili nije.

Ukrućene nosive konstrukcije

Pomjerljivi višespratni ramovi mogu se tretirati kao nepomjerljivi sistemi ukoliko su ukrućeni elementi nosive konstrukcije simetrično raspoređeni i ispunjavaju slijedeće kriterije ukrućenja:

11 n1,02,0:3n

6,0:3n1

ccm

Vtot JE

Fh

gdje je: - mjera za bočnu pomjerljivost n1 – broj spratova htot – ukupna visina nosive konstrukcije mjerena od temelja ili određene nepomjerljive ravnine Ecm – sekantni modul elastičnosti betona Jc – suma momenata inercije svih vertikalnih ukrućenih elemenata u promatranom smjeru savijanja FV – suma svih vertikalnih opterećenja (uključujući vlastitu težinu) u upotrebnom stanju (F = 1) koja djeluje kako na ukrućene tako i na neukrućene elemente

Opterećenje H usljed zakošenja a:

n

1iajij VH

200

1

l100

1a

Neukrućene nosive konstrukcije

Ramovi bez elemenata za ukrućenje mogu se smatrati nepomjerljivim, što znači proračun prema teoriji 1. reda, ako svaki stub rama koji nosi više od 70% srednje vertikalne sile NSd,m ima vitkost manju od granične vitkosti crit.

2

VFm,Sd n

FN

NSd,m – srednje vertikalno opterečenje FV – suma svih vertikalnih sila (uključujući vlastitu težinu) F – faktor opterećenja za ULS

Kod vitkih sistema, primjena postupka sa zamjenjujućim štapovima nije tačna. Za dokaz nosivosti sistema uzimanje u obzir nelinearnog ponašanja materijala je neophodno. Međutim i kod ovog slučaja -nomogram je od velike pomoći za prvi korak preddimenzioniranja armature.

Nomogram za određivanje koeficijenta za pomjerljive ramove

Zamjenjujući ekscentricitet

Da bismo pritisnuti štap rama sveli na model stuba, osim zamjenjujuće dužine l0, potreban nam je konstantni zamjenjujući ekscentricitet ee.

0102 ee

02011e e6,0e4,0e

022e e4,0e

2ee1ee eeiee

Ukupni ekscentricitet prema postupku modela stuba, mjerodavan za dimenzioniranje u odgovarajućem poprečnom presjeku je:

2aetot eeee

Osim toga, krajevi štapova se dimenzioniraju za ekscentricitete koje srećemo na krajevima (e01 i e02), pri čemu je minimalni ekscentricitet koji se usvaja za proračun

20

hemin 0

Imperfekcije

Kod pojedinačnih štapova i nepomjerljivih sistema imperfekcije geometrije i hvatišta opterećenja uzimaju se u proračun preko neželjenog ekscentriciteta ea. Ovaj ekscentricitet dobije se ukoliko se os štapa zaokrene za ugao a.

Kod dokaza nosivosti pomjerljivih sistema u svakom slučaju se imperfekcija mora uzeti u obzir.

Na prethodnoj slici pokazane su dvije mogućnosti uzimanja u obzir imperfekcije, i to:

- preko zakošenja sistema za ugao a

- preko zakošenja opterećenja (dodatna horizontalna sila H).

aijij VH

Dvoosni ekscentricitet

Sd

y,Sdz

Sd

z,Sdy N

Me

N

Me

Ukoliko hvatište opterećenja ey i ez pada u šrafirano područje može se sa dovoljnom tačnošću provesti odvojeni dokaz za pojedine glavne osi.

To je slučaj ukoliko su ispunjeni sljedeći uslovi:

2,0he

be2,0

be

he

z

y

y

z

Zamjenjujuća širina b' za odvojeni dokaz oko slabije z osi

U slučaju da je ez0,2h mora se raditi odvojeni dokaz u poprečnom smjeru (oko slabije glavne osi z) sa umanjenom širinom b’. Vrijednost b’ odgovara visini pritisnute zone x za savijanje oko jače glavne osi y u naponskom stanju I.Ukoliko kriteriji iz prethodnih jednačina nisu ispunjeni, onda je potrebno provesti tačniji dokaz pomoću prostornog štapnog modela (3D-ram).