STUDIUL FUNCŢIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR

PROFESOR Maria HODORCOLEGIUL TEHNIC “APULUM” ALBA IULIA

Teorema lui FermatFie f: E -> R , E interval iar x0 un punct de extrem din

interiorul intervalului. Dacă funcţia f este derivabilă în x0, atunci f’(x0) = 0.

Interpretare geometrică:Din f’(x0) = 0, rezultă că tangenta la grafic în punctul (x0 , f(x0) ) este paralelă cu axa Ox.Teorema lui Fermat spune că: graficul unei funcţii derivabile are tangentă paralelă cu axa Ox în punctele sale de extrem (de maxim sau de minim) care nu coincid cu extremităţile graficului.

Observaţii:

- Teorema lui Fermat are un caracter local, vizând comportarea funcţiei în vecinătatea unui punct fixat;

- Dacă punctul x0 ∊ E n-ar fi în interiorul intervalului, atunci concluzia teoremei lui Fermat nu mai este adevărată. Este suficient să considerăm funcţia f:[0,l]→R, f(x) = x pentru care f'(x) = 1, (⦡)x ∊[0,l];- Reciproca teoremei lui Fermat, în general, nu esteadevărată, adică derivata unei funcţii se poate anula într-un punct, fără ca acesta să fie punct de extrem. De exemplu funcţia f : R →R, f(x) = x3 pentru care f'(x) = 3x2 şi deci f'(0) = 0, dar x0 = 0 nu este punct de extrem pentru f;

- Un punct x0 ∊ E poate fi punct de extrem pentru f fără săexiste f’(x0). Aşa este funcţia f:R—>R, f(x) =|x|, pentru care xo = 0 este punct de minim, dar ştim că f nu este derivabilă în x0 = 0;- Dacă f : E —> R este o funcţie derivabilă pe un intervaldeschis E, atunci zerourile derivatei f' sunt numite puncte critice ale lui f pe E.

În concluzie: Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcţii derivabile f sunt printre punctele critice, adică punctele de extrem local ale lui f sunt printre soluţiile ecuaţiei f'(x) = 0 .

Teorema lui Lagrange

Fie o funcţie f:[a,b] —>R, a,b ∊ R, a<b. Dacă: 1) f este continuă pe intervalul închis [a,b]; 2) f este derivabilă pe intervalul deschis (a,b);

atunci există cel puţin un punct c din intervalul deschis (a,b),c ∊ (a,b) pentru care f(b)- f(a) = (b-a)f'(c).

Egalitatea care apare în teoremă se numeşte „formula lui Lagrange".Interpretare geometrică:

Formula lui Lagrange scrisă sub forma

exprimă faptul că există pe graficul funcţiei f cel puţin un punct (c, f(c) ) , diferit de extremităţi, în care panta tangentei (f'(c)) să fie egală cu panta coardei determinată de punctele A(a,f(a)), B(b,f(b)), ceea ce înseamnă că această tangentă este paralelă cu coarda AB.

Consecinţă a teoremei lui LagrangeIntervale de monotonieCorolar: f : E → R, E interval, o funcţie derivabilă.1) dacă f'(x) ≥ 0,(V)x E, atunci∊ f este crescătoare pe E;2) dacă f'(x) ≤ 0,(\/)x E, atunci∊ f este descrescătoare pe E.sau1') dacă f'(x)>0,(V)x E, atunci∊ f este strict crescătoare2') dacă f'(x)<0,(V)x E, atunci∊ f este strict descrescătoare

Observaţii:Pentru a marca monotonia unei funcţii utilizând semnul

derivatei se utilizează tabele ca cele de mai jos unde în linia corespunzătoare lui f am indicat prin săgeţi orientate în sus faptul că funcţia este (strict) crescătoare pe E sau prin săgeţi orientate în jos pentru a marca faptul că funcţia este (strict) descrescătoare pe E.

Comentariu metodic

Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funcţii derivabile f : E → R, E nu neapărat interval din R se procedează astfel:- se calculează derivata f' a funcţiei f;- se rezolvă (în R) ecuaţia f'(x) = 0, x ∊E;- se determină intervalele în care f' păstrează acelaşi semn;- se ţine seama de corolarul de mai sus şi se stabilesc intervalele de monotonie.

Rolul derivatei întâi:Utilizând monotonia unei funcţii, putem stabili punctele

de minim sau maxim local pentru o funcţie derivabilă. Un punct x0 din interiorul domeniului de definiţie E este punct de minim local dacă avem situaţia din tabelul de mai jos:

Punctul xo din interiorul domeniului de definiţie E este punct de maxim local dacă avem situaţia din tabelul de mai jos:

Să observăm că în ambele cazuri există o vecinătate V a lui xo în care are loc inegalitatea f(x)≥f(x0) sau f(x)≤f(x0), oricare x Є V.

Observaţie importantăSe ştie deci, că eventualele puncte de extrem local

sunt soluţii ale ecuaţiei f'(x) = 0, pentru o funcţie derivabilă f. Să reţinem însă că absenţa punctelor critice (soluţii ale ecuaţiei f'(x) = 0 ) nu înseamnă inexistenţa valorilor minimale sau maximale. Spre exemplu, pentru funcţia:

Avem tabelul

Punctul x = 0 este punct de minim fără ca f să fie derivabilă în x=0, f‘s(0) = -1, f‘d(0) = 0

Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilorConvexitate şi concavitate

Definiţie:O funcţie f : E → R, E R interval, se numeşte convexă ⊆pe intervalul E dacă oricare x1,x2 Є E, oricare t Є[0,1] are loc inegalitatea: f((1-t)x1 + tx2)≤(1-t)f(x1)+tf(x2) O funcţie f: E → R, E R interval, se numeşte concavă pe ⊆intervalul E dacă oricare x1 , x2 Є E, oricare t Є [0,1] are loc inegalitatea: f((1-t)x1 + tx2)≥(1-t)f(x1)+tf(x2).

Interpretare geometrică:

Punctul C’ aparţinând graficului are coordonatele (xt, f(xt)) . Semnificaţia inegalităţii f(xt)≤yc , funcţie convexă, este aceea că graficul funcţiei f este situat sub orice coardă dacă unim două puncte situate pe graficul funcţiei, cu abscisele aparţinând lui E.

Analog, semnificaţia inegalităţii f(xt)≥yc , funcţie concavă, este că graficul funcţiei f este situat deasupra coardei determinate de orice două puncte situate pe graficul funcţiei, cu abscisele aparţinând lui E. În limbajul trivial spunem despre graficul convex, având forma secţiunii unui vas cu gura în sus, că „ţine apa", în timp ce graficul concav „nu ţine apa".

Condiţie suficientă de convexitate(concavitate):Teoremă:Fie f:[a,b] →R, a<b o funcţie de două ori derivabilă pe [a,b].

Dacă f"(x)≥0, oricare xЄ(a,b), atunci funcţia f este convexăpe intervalul [a,b].

Dacă f"(x) ≤0, oricare xЄ(a,b), atunci funcţia f este concavă pe intervalul [a,b].

Comentariu metodic: Intervale de convexitate (concavitate)

Pentru determinarea intervalelor de convexitate (concavitate) se recomandă parcurgerea următoarelor etape:- Se calculează f";- Se rezolvă ecuaţia f"(x) = 0;- Cu ajutorul rădăcinilor derivatei a doua se determină intervalele pe care derivata a doua păstrează acelaşi semn;- Dacă f" > 0 pe un interval, atunci f este convexă pe acel interval;- Dacă f" < 0 pe un interval, atunci f este concavă pe acel interval.

Inegalitatea lui Jensen:Dacă f : I → R, I interval, este o funcţie convexă, atunci

Dacă f este concavă, atunci are loc inegalitatea de sens contrar.

Principii pentru găsirea maximelor şi minimelorP1. Dacă o funcţie f: I —> R (I R este interval) ⊂ îşi

atinge minimul (sau maximul) global într-un punct xo Є I, atunci:- funcţia f + k (k constantă reală) îsi atinge minimul (saumaximul) global în acelaşi punct xo, minimul (sau maximul) global fiind f(xo) + k;- funcţia kf (k constantă reală strict pozitivă) îsi atinge minimul (sau maximul) global tot în punctul x0, minimul (sau maximul) global fiind kf(xo);

Acest principiu ne permite să suprimăm într-o funcţie toţi termenii/factorii constanţi, când căutăm minimele şi maximele, şi să studiem numai restul, căci valorile astfel găsite pentru variabilele independente rămân neschimbate.

Principii pentru găsirea maximelor şi minimelor

P2. Dacă o funcţie f: I —> R *+ (I R este interval) ⊂ îşi atinge minimul (sau maximul) global într-un punct x0 I, atunci ∊funcţia 1/f îşi atinge maximul (sau minimul) global în acelaşi punct x0, maximul (sau minimul) global fiind 1/f(x0).

Principii pentru găsirea maximelor şi minimelor

P3. Fiind date funcţiile f, f1 ,f2:I→R (I ⊂ R este interval), dacă f = f1 + f2 şi dacă f1 , f2 îşi ating minimele (sau maximele) globale într-un acelaşi punct x0 ∊ I, atunci şi funcţia f îşi atinge minimul (sau maximul) global tot în xo; extremul lui f este egal cu suma extremelor funcţiilor f1, f2.În cazul în care f = f1 - f2 , atunci putem găsi minimul funcţiei f căutând minimul lui f1 şi maximul lui f2 şi făcând diferenţa lor. Pentru a găsi maximul lui f căutăm maximul lui f1 şi minimul lui f2 şi facem diferenţa lor.

Principii pentru găsirea maximelor şi minimelor

P4. Fiind date funcţiile f, f1 ,f2:I→R*+ (I ⊂ R este interval), dacă f = f1 ⋅ f2 şi dacă f1 , f2 îşi ating minimele (sau maximele) globale într-un acelaşi punct x0 Є I, atunci şi funcţia f îşi atinge minimul (sau maximul) global tot în xo; extremul lui f este egal cu suma extremelor funcţiilor f1, f2.

În cazul în care f = f1 / f2 , atunci putem găsi minimul funcţiei f căutând minimul lui f1 şi maximul lui f2 şi făcând câtul lor. Pentru a găsi maximul lui f căutăm maximul lui f1 şi minimul lui f2 şi facem câtul lor.

Principii pentru găsirea maximelor şi minimelor

P5. Dacă o funcţie f2:I→R*+(I ⊂ R este interval) îşi atinge minimul (sau maximul) global într-un punct x0 ∊ I, atunci funcţia f2 îşi atinge minimul (sau maximul) global în acelaşi punct x0. Acest principiu se poate aplica la cuburi sau la orice putere naturală.

MULŢUMESC!