Universitatea OVIDIUS Constanţa

FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

• Specializarea MATEMATICĂ-INFORMATICĂ

• Specializarea MATEMATICĂ

• Specializarea MATEMATICĂ-FIZICĂ

• Specializarea MATEMATICĂ-INFORMATICĂ (în limba engleză)

• Specializarea PRELUCRAREA INFORMATICĂ A DATELOR ECONOMICE

LICENTA 2005

MATEMATICA INFORMATICA

SUBIECTE DE MATEMATICA

SUBIECTE TEORETICE Algebra 1. Grupuri: definitie, exemple. Ordinul unui element intr-un grup. Primele proprietati. 2. Subgrupuri: definitie, exemple. Operatii cu subgrupuri. Subgrupurile grupului (Z,+). 3. Echivalente associate unui grup. Teorema lui Lagrange. 4. Morfisme de grupuri. Imaginea si nucleul unui morfism de grup. Endomorfismele grupurilor (Z,+) si (Q,+). 5. Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri si aplicatii la caracterizarea grupurilor ciclice. 6. Inele si corpuri: definitii si exemple. Elemente speciale intr-un inel unitar: elemente inversabile, divizori ai lui zero, elemente nilpotente. 7. Inelul claselor de resturi modulo n. Elemente speciale in Zn. 8. Functie polinomiala. Proprietatea de universalitate a inelului K[X]. Analiza 9. Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi. 10. Functii continue intre doua spatii metrice. Caracterizari echivalente. 11. Teorema lui Fubini pentru integrala Riemann. 12. Operatori liniari si continui intre doua spatii normate. Norma unui operator liniar si continuu. 13. Teorema categoriei a lui Baire si Principiul marginirii uniforme. 14. Teorema aplicatiei deschise. 15. Teorema graficului inchis. Geometrie 16. Formula Gauss: derivata covariantă 17. Teoremele lui Lancret. 18. Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz. şi consecinţe: normă şi unghi pentru vectori în spaţii vectoriale euclidiene. Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale 19. Ecuaţii diferenţiale total exacte. Factor integrant. 20. Principiul maximului pentru ecuatii liniare eliptice de ordinul al II-lea.

Mecanica analitica 21. Expresiile vitezei şi acceleraţiei în componente carteziene, polare şi în sistemul lui Frénet. Probabilitati si statistica 22. Definitia axiomatica a probabilitatii. Enuntati si demonstrati cel putin 5 proprietati ale sale. 23. Definitia probabilitatii conditionate. Enuntati si demonstrati Formula Probabilitatii Totale si Formula lui Bayes. 24. Media si dispersia unei variabile aleatoare oarecare: definitii si proprietati.

Analiza numerica

25. Conditii necesare si suficiente ca o matrice sa fie convergenta. 26. Metoda Jacobi – convergenta pentru matrici strict diagonal dominante. 27. Proprietati pentru multimea LSS(A ;b). Cercetari operationale 28. Condiţiile de optimalitate Kuhn-Tucker în programarea neliniară. 29. Condiţiile de optimalitate în programarea convexă în cazul funcţiilor nediferenţiabile. 30. Duala în sens Wolfe. Teorema directă de dualitate.

PROBLEME Algebra

1. Fie ε ∈ C cu ε2 + ε + 1 = 0 si Ζ[ε] = { a + bε⏐a, b ∈ Z}. (a) Demonstrati ca Ζ[ε] este subinel al lui C. (b) Determinati multimea elementelor inversabile ale inelului Ζ[ε] si aratati ca aceasta multime formeaza grup cu inmultirea numerelor complexe. (c) Fie G grupul de la (b). Demonstrati ca G ≅ Ζ6 si precizati un izomorfism f : G → Ζ6. 2. Determinati elementele inversabile, divizorii lui zero si elementele nilpotente ale inelului de clase de resturi Ζ12. Aratati ca multimea elementelor inversabile formeaza grup cu inmultirea izomorf cu grupul lui Klein. 3. Fie R un inel unitar si Z(R) = { a ∈R⏐ax = xa, ∀ x ∈ R } (a) Demonstrati ca Ζ(R) este subinel unitar al lui R (centrul inelului R ) . (b) Determinati centrul inelului Mn (A), al matricelor patratice cu elemente in inelul comutativ si unitar A. (c) Fie A, B inele comutative si unitare. Demonstrati ca Mn (A) M≈ n (B) daca si numai daca A B. ≈4. Dati cate un exemplu de sistem omogen de patru ecuatii liniare cu patru necunoscute pentru care spatiul solutiilor sa aiba dimensiunea egala cu: (a) 1; (b) 2; (c) 3.

5. Fie vectorii f1=(1,1,0), f2=(0,1,0) din R3. Completati sistemul de vectori {f1, f2} pana la o baza a lui R3. 6. Fie V spatiul vectorial real al polinoamelor din R[X] de grad cel mult 3. (a) Determinati dimensiunea lui V si precizati doua baze diferite ale lui V. (b) Fie D : V→ V, definita de D(f) = f ` ( derivata lui f ). Demonstrati ca D este o aplicatie liniara si scrieti matricea lui D intr-o baza a spatiului. (c) Gasiti valorile proprii ale lui D. Analiza

7. Fie . Studiati natura seriei ( ∞∈ ,0a ) ( )∑∞

=1 !n

n

nan .

8. Fie definita prin RRf →2: ( ) ( ) ( )( ) ( )

. 0,0, daca 0,

0,0, daca ,, 44

3

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

yx

yxyx

xyyxf Studiati

continuitatea lui in punctul f ( )0,0 .

9. Calculati integrala dubla [ ] [ ]∫∫× +

+

2,12,1

.1

dxdyxyyx

10. Determinati sirurile de numere reale ( ) Nnnx ∈ R⊂ care au proprietatea: un sir

este convergent catre zero daca si numai daca seria ∑ este

convergenta.

( ) Nnna ∈ R⊂∞

=1nnn xa

11. Sa se arate ca multimea [ ]1,0:0 0

Caxan n

nn

n ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<∑ ∑∞

=

∞

=

este de prima categorie

Baire in , nu este rara si nu este deschisa in . ]1,0[C ]1,0[C

Geometrie 12. Se consideră suprafaţa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )222122212221221121 3,33,33, xxxxxxxxxxxxf −−+−+= . (a) Să se calculeze coeficienţii primelor două forme fundamentale. (b) Să se calculeze curbura Gauss într-un punct oarecare. 13. Geodezicele sferei. 14. Utilizând procedeul Gramm-Schmidt, să se ortogonalizeze sistemul de vectori:

{ }321 ,, eeeS = , unde ( ) ( ) ( )0,1,1,1,0,1,1,1,0 321 === eee . 15. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei c:R R→ 3 , c(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t) Ecuatii diferentiale si ecuatii cu derivate partiale 16. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei:

xxyxyyx 395 2'''2 +=+− pentru x>0.

17. Să se determine soluţia problemei Cauchy:

2)0,(,632

222 xxuyx

yux

xuy ==

∂∂

+∂∂

18. Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei:

19. Rezolvati ecuatia Bernoulli:

22' 1

yxxyy =+

2x y 2 x y 4 y′⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ . 20. Rezolvati ecuatia Clairaut: y x y ln y′ ′= ⋅ − . Precizati care este solutia singulara. 21. Folosind metoda matriciala rezolvati sistemul:

x x y zy x y tz 3x z

′ = − −⎧⎪ ′ = + +⎨⎪ ′ = + −⎩ t

0=

0.

. 22. Determinati tipul ecuatiei:

2 2xx yy x yu y u u u x− + − + . Aduceti-o la forma normala si precizati

transformarea corespunzatoare. 23. Aduceti ecuatia la forma normala prin calculul autovalorilor:

xy yz zx4u 2u 2u 0+ + = . 24. Aduceti ecuatia la forma normala prin formare de patrate:

xx yy zz tt xy zx xt yz yt ztu 2u 3u 4u 2u 2u 2u 4u 4u 6u+ + + + + + + + + =Precizati transformarea corespunzatoare.

Mecanica analitica

25. Se dă cubul (cu latura l ) din figura alăturată,

acţionat în B de forţa BP→

avand modulul P2

şi în E de forţa avand modulul EP→

P3 . Se

cere:

(a) reducerea acestor forţe în O şi C;

(b) să se verifice invarianta trinomului;

(c) ecuaţia axei centrale.

26. Se cere ecuaţia traiectoriei, viteza şi acceleraţia unui punct ale cărui ecuaţii parametrice în coordonate polare sunt : r = ; ate bt=θ , cu a, b constante reale.

Statistica si probabilitati

27. Se considera 2 urne avand urmatoarele compozitii date sub forma (nr. bile albe, nr. bile negre): U1(5, 5); U2(4, 6). Din prima urna se extrag 3 bile cu revenire, iar din urna a doua se extrag 3 bile fara revenire. Se cer: (a) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra. (b) Probabilitatea ca din urna a doua sa se fi extras doua bile albe si una neagra. (c) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, si din urna a doua sa se fi extras acelasi lucru. (d) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, sau din urna a doua sa se fi extras acelasi lucru. 28. O companie a realizat un studiu legat de limbile straine cunoscute de angajati si a constatat ca 20% dintre acestia vorbesc franceza, 30% vorbesc engleza si 40% vorbesc cel putin una dintre cele doua limbi straine. Se cer: (a) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca ambele limbi straine. (b) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca franceza, stiind ca vorbeste si engleza. (c) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca engleza, stiind ca vorbeste si franceza. (d) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca numai engleza. (e) Probabilitatea ca un angajat sa nu vorbeasca nici una dintre cele 2 limbi straine.

29. Se considera esantionul ( observat asupra unei variabile aleatoare X de tip absolut continuu, cu densitatea de repartitie data de

Se cere:

)

)

nxx ,...,1

( ) ).,0(,,0

10,;

1

∞∈⎩⎨⎧ ≤≤

=−

αα

αα

restinxx

xf

(a) Sa se scrie functia de verosimilitate pt. esantionul dat. (b) Sa se determine estimatia de verosimilitate maxima a lui α in acest caz. (c) Sa se determine si estimatorul prin metoda momentelor. Ce concluzie rezulta? 30. Se considera variabila aleatore X repartizata Binomial de parametri

, deci ( 1,0, ∈∈ pNn ( ).,~ pnBinomialX Sa se determine functia caracteristica corespunzatoare si, cu ajutorul ei, sa se detremine media si dispersia variabilei X.

SUBIECTE PROPUSE LA INFORMATICA

SUBIECTE TEORETICE

Programarea calculatoarelor 1. Reprezentarea binara a numerelor intregi si operatii pe biti (!, &, |, <<, >>, >>>). 2. Instructiuni de decizie si repetitive. OSC 3. Arhitectura stratificata a sistemului de calcul 4. Performanta sistemului de calcul 5. Adresarea indexată. Sisteme de operare 6. Structurile de date utilizate de sistemul de operare pentru implementarea gestiunii fişierelor cu index-noduri. Algoritmi si structuri de date I/II 7. Metoda Divide et Impera si aplicatii. 8. Metoda Greedy si aplicatii Programare orientata spre obiect 9.Moştenire şi polimorfism. Implementarea in Java a relatiei de generalizare/specializare. 10. Colectii de obiecte.

Reţele de calculatoare 11. Nivelul legǎtura de date: protocoalele Ethernet - IEEE 802.3; 12. Dirijarea bazata pe flux 13. Comunicatia client – server cu program client si program server 14. Protocolul SNMP (C7) Programare concurenta si distribuita 15. Modelul Client/Server. Comunicarea prin sockets in Java utilizand protocolul TCP. 16. Pachetul java.net.Clasa URL.Clasa InetAddress.Exemple. Baze de date 17. Algoritmul de traducere a diagramelor Entităţi - Asociaţii în schemele MMED corespunzătoare şi teorema sa de caracterizare (enunţ şi demonstraţie). 18. Algoritmul de asistenţă a proiectării cheilor şi teorema sa de caracterizare (enunţ şi demonstraţie)

Sisteme informatice 19. Procesul RUP de proiectare a sistemelor informatice. Elemente, etape, caracterizari 20. Diagrama variantelor de utilizare. Motivatie. Elementele sale. Aplicabilitate.

PROBLEME

Programarea calculatoarelor 1. Scrieti un program care preia de la tastatura un numar natural si afiseaza pe ecran reprezentarea hexazecimala a acestuia. 2. Scrieti un program pentru rezolvarea problemei ”Turnurile din Hanoi”. OSC 3. Sa se realizeze un program, in limbaj de asamblare, care realizeaza conversia unui numar de 2 cifre din ASCII in valoare numerica 4. Sa se realizeze un program, in limbaj de asamblare, care afiseaza pe ecran rezultatul operatiei de adunare a doua numere de doua cifre introduse de la tastatura. 5. Sa se realizeze un program, in limbaj de asamblare, care afiseaza pe ecran rezultatul operatiei de inmultire a doua numere de doua cifre introduse de la tastatura

Sisteme de operare 6. Creaţi un fişier de comenzi Linux (script) care se va lansa cu un parametru (nume reprezentând ID-ul unui utilizator) şi va executa, succesiv, următoarele operaţii:

-crearea structurii:

/home/myname DD1 DD2

DD3 DD4 DD5

DD6

- transferul controlului către operator pentru a-i permite editarea cu vi a unui text ce

va fi salvat în fisierul exercitiu în directorul DD4, - copierea fişierului exercitiu in DD6, - afişarea listei utilizatorilor conectaţi şi redirectarea ei către fişierul cine din DD3, - căutarea în acest fişier a utilizatorului cu numele dat ca parametru de intrare în

script şi afişarea liniei corespunzătoare acestuia, dacă e conectat, sau afişarea mesajului “ nume inactiv “ dacă nu e conectat.

Algoritmi si structuri de date I/II 7. Scrieti un program pentru determinarea arborelui de cost minim (Prim sau Kruskal). 8. Problema « Partitie » (ONI2003 cls. X – backtracking sau programare dinamica!). Programare spre obiecte 9. Sa se scrie un program (applet) care sa ajute un elev sa invete înmulţirea a două numere formate din câte o cifră. Programul ar trebui sa genereze aleator numere intre 0 şi 9, inclusiv şi să afişeze în bara de stare a applet-ului mesaje de genul : “Cat face 6 ori 7?” Elevul raspunde intr-un câmp de text şi apasă Enter, iar programul verifica raspunsul. Daca este corect, programul alege la intamplare unul din mesajele “Foarte bine!”, “Raspunsul este corect”, “Excelent!”, “Corect”, il afiseaza si apoi generează şi afişează o alta intrebare. Daca raspunsul este gresit, afiseaza unul din raspunsurile generate tot aleator: “Nu. Mai incearca!”, “Gresit. Mai incearca o data”, “Ai gresit, dar nu renunta”, “Nu este rezultatul corect”. Apoi lasa elevul sa raspunda la aceasta intrebare pana cand da raspunsul corect. In plus, programul ar trebui sa contorizeze raspunsurile corecte si incorecte. Dupa ce elevul a raspuns de 10 ori, programul ar trebui sa calculeze procentul raspunsurilor

corecte. Daca acest procent este mai mic de 75, se va afisa mesajul: “Ar trebui sa te meditezi” si se va reseta programul, astfel incat un alt elev sa-l incerce. 10. Sa se realizeze un applet care simuleaza jocul: “Ghiceste numarul”. Applet-ul afiseaza mesajul: “Ghiceste un numar intre 1 si 1000” langa un camp de text, iar numarul ar trebui generat aleator intre 1 si 1000. Utilizatorul introduce un numar in campul de text si apasa Enter. Daca valoarea este incorecta, programul ar trebui sa afiseze in bara de stare a applet-ului unul din cele doua mesaje “Numarul introdus este prea mare. Mai incearca” sau “Numarul introdus este prea mic. Mai incearca”, in functie de numarul introdus. Apoi programul ar trebui sa stearga numarul introdus in campul respectiv. Cand utilizatorul a introdus o valoare corecta, se va afisa in bara de stare mesajul: ”Felicitari.Ai ghicit numarul!”. In plus, programul va contoriza incercarile de a ghici ale jucatorului. Daca numarul de incercari este mai mic sau egal cu 10, se va afisa mesajul: “Ori stii secretul, ori esti norocos!”. Daca jucatorul ghiceste numarul in exact 10 incercari, programul afiseaza mesajul: “Stii secretul!”, iar daca l-a ghicit in mai mult de 10 incercari, ar trebui sa afiseze: “Ar fi trebuit sa ghicesti numarul pana acum!”. Reţele de calculatoare 11.

O nouă reţea este proiectată pentru companie. Folosind un IP de reţea de Clasă C, ce mască de subreţea va pune la dispoziţie câte o subreţea utilizabilă pentru fiecare departament, în timp ce se permit suficiente adrese de host utilizabile pentru fiecare department specificat în figură? Sa se scrie adresele IP pentru toate gazdele din figura, organizate pe departamente, specificand totodata adresele de subretea si de broadcast pentru fiecare departament. 12. Considerand o anumita topologie de retea sa se aplice algoritmul de dirijare cu vectori distanta in scopul obtinerii noii tabele de dirijare catre toate posibilele destinatii. 13. Determinarea domeniilor mastii de inlocuire 14. Lista de acces extinsa Programare concurenta si distribuita 15. Realizati un Server Web simplu, capabil sa raspunda cererilor de descarcare a unui fisier efectuate prin comanda GET. 16. Aplicatie Chat care foloseste socketuri.

Baze de date 17. Fie funcţiile CodNumericPersonal : PERSOANE ↔ NAT(13), Prenume : PERSOANE → CHAR(32), Nume : PERSOANE → CHAR(32), DataNaşterii : PERSOANE → DATE şi LocNaştere : PERSOANE → LOCALITĂŢI. a) Să se demonstreze că are loc următoarea funcţional dependenţă: CodNumericPersonal → Prenume • Nume • DataNaşterii • LocNaştere b) Are loc şi următoarea funcţional dependenţă ? De ce ? CodNumericPersonal → Prenume•Nume•DataNaşterii•LocNaştere•CodNumericPersonal c) Dar LocNaştere → Prenume•Nume•DataNaşterii•CodNumericPersonal ? De ce ? 18. . Fie programul Datalog¬ următor: (1) segment(x,y)←puncte(x,y) (2) segment(x,y) ←puncte(x,z), segment(z,y) poligoane(x,y) ←segment(x,y), ¬ poligoane(y,x) Este acest program sigur? De ce? Este programul stratificat? De ce? Să se scrie dizecuaţiile şi ecuaţia corespunzătoare primelor două reguli ale programului. Fie relaţia Puncte cu următorul conţinut:

X Y V1 Z1V1 Z2Z1 Z2Z1 Z3Z2 Z4

Să se calculeze, cu strategia semi-naivă, cel mai mic punct fix al relaţiei segment pentru acest conţinut, rezolvând ecuaţia obţinută la punctul c. Prin ce diferă soluţia astfel calculată de închiderea tranzitivă a relaţiei Puncte? De ce?

Sisteme informatice 19. Sa se construiasca diagrama variantelor de utilizare pentru urmatoarea problema: Este necesară crearea unui sistem informatic care ar permite gestionarea mai simplă şi mai exactă a metodei de înscriere la cursurile opţionale propuse studenţilor. Astfel, profesorii vor putea să propună cursuri în sensul larg, i.e. ei pot să propună nemijlocit cursuri opţionale, sau cursurile opţionale sunt propuse de profesori şi apoi confirmate de catedre, sau/şi acelşi curs poate fi ropus de mai mulţi profesori, etc. Apoi studenţii se înregistrează la cursurile dorite. Ei trebuie să asculte K cursuri opţionale timp de un semestru. Numărul K depinde de anul de studii. Astfel studenţii trebuie să-şi aleagă cursurile dorite. Acest lucru poate fi realizat prin mai multe metode. Un curs este anulat dacă la el sau înscris mai puţin de M studenţi. Un curs nu poate fi frecventat de mai mult decât de N studenţi. Perioada de înregistrare este de până la începerea noului an de studii. Până la această dată studenţii sunt în drept să-şi modifice doleanţele. Cursuri opţionale sunt prevăzute în ambele semestre. La începutul anului de studii sistemul va furniza informaţia despre cursurile care vor fi ascultate şi studenţii respectivi. Fiecare student va primi lista cursurilor care urmează să le asculte.

La sfârşitul anului, studenţii vor putea să obţină lista notelor şi a creditelor obţinute la cursurile opţionale. Profesorul va putea să vadă lista studenţilor înscrişi la el la curs, să pună note studenţilor. 20.Sa se prezinte un exemplu de implementare a sablonului de proiectare orientat pe obiect Facade.

LICENTA 2005

SPECIALIZAREA MATEMATICA

SUBIECTE TEORETICE

Algebra 1. Grupuri: definitie, exemple. Ordinul unui element intr-un grup. Primele proprietati. 2. Subgrupuri: definitie, exemple. Operatii cu subgrupuri. Subgrupurile grupului (Z,+). 3. Echivalente associate unui grup. Teorema lui Lagrange. 4. Morfisme de grupuri. Imaginea si nucleul unui morfism de grup. Endomorfismele grupurilor (Z,+) si (Q,+). 5. Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri si aplicatii la caracterizarea grupurilor ciclice. 6. Inele si corpuri: definitii si exemple. Elemente speciale intr-un inel unitar: elemente inversabile, divizori ai lui zero, elemente nilpotente.

7. Inelul claselor de resturi modulo n. Elemente speciale in nZ . 8. Constructia inelului de polinoame intr-o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp comutativ K. Elemente inversabile in K[X]. Teorema impartirii cu rest in inelul K[X]. 9. Functie polinomiala. Proprietatea de universalitate a inelului K[X]. Geometrie 10. Formula Gauss: derivata covariantă 11. Ecuaţiile Gauss şi Codazzi-Mainardi 12. Consecinţe ale reperului Darboux asupra geodezicelor suprafeţelor. 13. Teorema Gramm-Schmidt. 14. Teoremele lui Lancret. 15. Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz. şi consecinţe: normă şi unghi pentru vectori în spaţii vectoriale euclidiene. 16. Interpretarea geometrică a curburii Gauss. Analiza si analiza functionala 17. Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi. 18. Operatori liniari si continui intre doua spatii normate. Norma unui operator liniar si continuu. 19. Teorema categoriei a lui Baire si Principiul marginirii uniforme. 20. Teorema aplicatiei deschise. 21. Teorema graficului inchis. Ecuatii diferentiale si ecuatii cu derivate partiale 22. Ecuaţii diferenţiale total exacte. Factor integrant. 23. Teorema de caracterizare a soluţiilor prelungibile la dreapta. 24. Principiul tare de maxim (al lui Hopf) si consecinte directe.

Mecanica si astronomie 25. Torsor. Proprietăţi. 26. Expresiile vitezei şi acceleraţiei în componente carteziene, polare şi în sistemul lui Frénet. 27. Legile lui Kepler. Cercetari operationale 28. Condiţiile de optimalitate Kuhn-Tucker în programarea neliniară. 29. Condiţiile de optimalitate în programarea convexă în cazul funcţiilor nediferenţiabile. 30. Duala în sens Wolfe. Teorema directă de dualitate. 31. Metoda direcţiilor admisibile pentru programarea convexă cu restricţii liniare: testul de optimalitate şi îmbunătăţirea soluţiei. Probabilitati si statistica 32. Definitia axiomatica a probabilitatii. Enuntati si demonstrati cel putin 5 proprietati ale sale. 33. Definitia probabilitatii conditionate. Enuntati si demonstrati Formula Probabilitatii Totale si Formula lui Bayes. 34. Media si dispersia unei variabile aleatoare oarecare: definitii si proprietati. 35. Definiti functia caracteristica. Enuntati proprietatile sale. Demonstrati cel putin 3. 36. Legea numerelor mari. 37. Teorema limita centrala. Calcul numeric 38. Proprietatea de aproximare pentru polinoamele Lagrange. 39.Principiul contractiei pe ).2( ≥nRn

40. Descompunerea Choleski pentru matrici simetrice si pozitiv definite - existenta.

PROBLEME

Algebra 1. Fie ε ∈ C cu ε2 + ε + 1 = 0 si Ζ[ε] = { a + bε⏐a, b ∈ Z}.

(a) Demonstrati ca Ζ[ε] este subinel al lui C. (b) Determinati multimea elementelor inversabile ale inelului Ζ[ε] si aratati ca

aceasta multime formeaza grup cu inmultirea numerelor complexe. (c) Fie G grupul de la (b). Demonstrati ca G ≅ Ζ6 si precizati un izomorfism f : G →

Ζ6. 2. Determinati elementele inversabile, divizorii lui zero si elementele nilpotente ale

inelului de clase de resturi Ζ12. Aratati ca multimea elementelor inversabile formeaza grup cu inmultirea izomorf cu grupul lui Klein.

3. Fie R un inel unitar si Z(R) = { a ∈R⏐ax = xa, ∀ x ∈ R } (a) Demonstrati ca Ζ(R) este subinel unitar al lui R (centrul inelului R ) .

(b) Determinati centrul inelului Mn (A), al matricelor patratice cu elemente in inelul comutativ si unitar A.

(c) Fie A, B inele comutative si unitare. Demonstrati ca Mn (A) M≈ n (B) daca si numai daca A B. ≈

4. (a) Fie A ∈ Mn (C) cu valorile proprii λ1 , λ2 ,..., λn , si polinomul caracteristic P = det( A - XIn ). Se noteaza Tr(A) suma elementelor de pe diagonala principala a lui A. Demonstrati ca Tr(A) = λ1 + ... + λn si det(A) = λ1 · ... · λn .

(b) Demonstrati ca daca p este un numar natural nenul, atunci det (Ap - XpIn ) = (λ1

p - Xp ) ... (λnp - Xp ).

Deduceti ca Ap are valorile proprii λ1p , ... λn

p. (c) Determinati valoarea determinantului unei matrice X ∈ M3 (C) , in functie de a = Tr(X), b = Tr(X2 ), c = Tr(X3 ).

5. Fie vectorii f1=(1,1,0), f2=(0,1,0) din R3. Completati sistemul de vectori {f1, f2} pana la o baza a lui R3.

6. Fie V spatiul vectorial real al polinoamelor din R[X] de grad cel mult 3. (a) Determinati dimensiunea lui V si precizati doua baze diferite ale lui V. (b) Fie D : V→ V, definita de D(f) = f ` ( derivata lui f ). Demonstrati ca D este o

aplicatie liniara si scrieti matricea lui D intr-o baza a spatiului. (c) Gasiti valorile proprii ale lui D.

7. Fie X ∈ Mn (R) o matrice cu rang X=1. (a) Demonstrati ca exista doua matrice U ∈ Mnx1 (R) si V ∈ M1xn (R) astfel incat X =

UV. (b) Pentru p natural si nenul, determinati in functie de U si V matricea Xp.

Geometrie 8. Dacă d este distanţa de la origine la planul tangent în punctul M şi K este curbura Gauss a suprafeţei în M, suprafeţele pentru care

constdK

n =

se numesc suprafeţe Ţiţeica. Arătaţi că suprafaţa având ecuaţia algebrică 1=xyz

este suprafaţă Ţiţeica. 9. Se consideră suprafaţa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )222122212221221121 3,33,33, xxxxxxxxxxxxf −−+−+= . a) Să se calculeze coeficienţii primelor două forme fundamentale. b) Să se calculeze curbura Gauss într-un punct oarecare.

10. Utilizând procedeul Gramm-Schmidt, să se ortogonalizeze sistemul de vectori: { }321 ,, eeeS = , unde ( ) ( ) ( )0,1,1,1,0,1,1,1,0 321 === eee .

11. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei c:R R→ 3 , c(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t).

Analiza si analiza functionala

12. Fie definita prin RRf →2: ( ) ( ) ( )( ) ( )

. 0,0, daca 0,

0,0, daca ,, 44

3

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

yx

yxyx

xyyxf Studiati

continuitatea lui in punctul ( ). f 0,0

13. Calculati integrala dubla [ ] [ ]∫∫× +

+

2,12,1

.1

dxdyxyyx

14. Sa se arate ca operatorul lui Volterra, , este

corect definit, este liniar si continuu si || V||=1.

∫=→x

dttfxVfCCV0

)())((],1,0[:]1,0[:

15. Sa se arate ca multimea [ 1,0:0 0

Caxan n

nn

n ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<∑ ∑∞

=

∞

=

]

x ∈=∀ ∈

este de prima categorie Baire

in , nu este rara si nu este deschisa in . ]1,0[C ]1,0[C16. Fie un sir de numere reale cu proprietatea

, rezulta ( ) Nnnaap ∈=∞<≤ ,1

( ) pNnn lx ( ) pNnnn lxa ∈∈ si operatorul de multiplicare, qpa llM →:( )( ) ( ) .: NnnnNnna xaxM ∈∈ =

Sa se arate ca: (i) este corect definit, este liniar si continuu si ca aM .∞∈ la (ii) .sup n

Nna aaM

∈∞==

Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale 17. Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei:

22' 1

yxxyy =+

18.Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: xxyxyyx 395 2'''2 +=+−

pentru x>0. 19. Rezolvati ecuatia Bernoulli:

2x y 2 x y 4 y′⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ . 20. Rezolvati ecuatia Clairaut: y x y ln y′ ′= ⋅ − . Precizati care este solutia singulara.

21. Rezolvati problema lui Cauchy:

⎨ ′ = −⎩ , cu . 22. Folosind m triciala rezolvati sistemul:

t

⎪ ′ = + +⎨⎪ ′ = + −⎩ . 23. Determinati tipul ecuatiei:

0 . Aduceti-o la forma normala si preci i transformarea corespunzatoare.

. 25. Aduceti ecuatia la forma norm are de patrate:

4u 6u 0.+ + =recizati transformarea corespunzatoare.

ecanica si astronomie

26. Se dă cubul (cu latura l ) din figura alăturată,

acţionat în B de forţa

x 3x 3y′ = −⎧ (0) 3y 3x y (0) 0

xy

=⎧⎨ =⎩

etoda max x y z′ = − −⎧y x y tz 3x z

2 2u y u u u x− + − + =xx yy x y

zat24. Aduceti ecuatia la forma normala prin calculul autovalorilor:

xy yz zx4u 2u 2u 0+ + =ala prin form

xx yy zz tt xy zx xtu 2u 3u 4u 2u 2u 2u 4u+ + + + + + + yz yt ztP

M

BP P2 şi în E de forţ E avand

modulul

a P→

P3 .

→

avand modulul

Se cere:

reducerea acestor forţe în O şi C;

să se verifice invarianta trinomului;

ecuaţia axei centrale.

27. Se cere ecuaţia traiectoriei, viteza ş ţia unui punct ale cărui ecuaţii i acceleraparametrice în coordonate polare sunt : r = ate ; bt=θ , a si b fiind parametrii reali.

28. Se dă sistemul cu două grade de libertate din figura

nosc forţele G→

alăturată,

unde se cu , P→

, F→

, Q→

şi lungimea barelor

OA = 2l1 şi OB = 2l2 .

poziţia de echilibru.

29. Enunţaţi şi demonstraţi teorema cosinusului din trigonometria sferică. ecare ABC

Se cere să se determine

30. Dacă D este un punct situate pe latura BC a unui triunghi sferic oaratunci avem relaţia:

cos sin cos sin cos sinAD BC AB CD AC BD= + 31. Să se demonstreze că dacă două triunghiuri sferice au două latu respectiv egale

aţia:

rişi unghiurile formate de ele inegale, laturile opuse acestor unghiuri sunt inegale şi anume la unghiul mai mare se opune latura mai mare. 32. Să se arate că în orice triunghi sferic ABC avem rel

( ) ( ) ( )sin sin sin sinp a p b p c p− + − + − − = 4sin sin sin2 2 2a b c⋅ ⋅ ,

p fiind semiperimetrul triunghiului 2

a b cp + +⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Probabilitati si Statistica nd urmatoarele compozitii date sub forma (nr. bile albe, nr.

a

e fi extras doua bile albe si una neagra.

din

d) xtras doua bile albe si una neagra, sau

33. Se considera 2 urne avabile negre): U1(5, 5); U2(4, 6). Din prima urna se extrag 3 bile cu revenire, iar din urna doua se extrag 3 bile fara revenire. Se cer:

a) Probabilitatea ca din prima urna sa sb) Probabilitatea ca din urna a doua sa se fi extras doua bile albe si una neagra. c) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, si

urna a doua sa se fi extras acelasi lucru. Probabilitatea ca din prima urna sa se fi edin urna a doua sa se fi extras acelasi lucru.

34. O companie a realizat un studiu legat de limbile straine cunoscute de angajati si a constatat ca 20% dintre acestia vorbesc franceza, 30% vorbesc engleza si 40% vorbesc cel putin una dintre cele doua limbi straine. Se cer:

a) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca ambele limbi straine. b) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca franceza, stiind ca vorbeste si engleza. c) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca engleza, stiind ca vorbeste si franceza. d) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca numai engleza. e) Probabilitatea ca un angajat sa nu vorbeasca nici una dintre cele 2 limbi straine.

35. Se da variabila aleatoare ( ) ,0,0,,~ >> βαβαParetoX avand densitatea de

repartitie data de ( ) .,0

,1

⎪⎩

⎪⎨⎧

>= +

restin

xxxf βαβα

α

Se cere:

a) Sa se arate ca f este densitate de repartitie. b) Pentru X, sa se determine media, dispersia si ( ) nXE n , fiind un numar natural nenul. 36. Se considera esantionul ( observat asupra unei variabile aleatoare X de tip

absolut continuu, cu densitatea de repartitie data de

Se cere:

)nxx ,...,1

( ) ).,0(,,0

10,;

1

∞∈⎩⎨⎧ ≤≤

=−

αα

αα

restinxx

xf

a) Sa se scrie functia de verosimilitate pt. esantionul dat. b) Sa se determine estimatia de verosimilitate maxima a lui α in acest caz. c) Sa se determine si estimatorul prin metoda momentelor. Ce concluzie rezulta? Calcul numeric 37. Folosind principiul contractiei, sa se aproximeze 1 7 cu o eroare mai mica decat 10-4.

38. Sa se aproximeze prin metoda trapezelor 1

2

0

ln( 1)x dx+∫ cu o eroare mai mica decat

1/2400.

39. Pentru , rezolvati sistemul Ax=b, determinand mai intai o

descompunere LU pentru matricea A a) direct (prin identificare) si b) cu ajutorul eliminarii Gaus.

1 4 0 02 1 3 si 62 0 1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟40. Pentru , determinati A

2 1 01 2 1

0 1 1A

−⎛ ⎞⎜= − −⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

-1 folosind metoda Gaus-Jordan.

LICENTA 2005

MATEMATICA FIZICA

SUBIECTE DE MATEMATICA Subiecte teoretice Algebra 1. Grupuri: definitie, exemple. Ordinul unui element intr-un grup. Primele proprietati. 2. Subgrupuri: definitie, exemple. Operatii cu subgrupuri. Subgrupurile grupului (Z,+). 3. Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri si aplicatii la caracterizarea grupurilor ciclice. 4. Inele si corpuri: definitii si exemple. Elemente speciale intr-un inel unitar: elemente inversabile, divizori ai lui zero, elemente nilpotente.

5. Inelul claselor de resturi modulo n. Elemente speciale in nZ . 6. Constructia inelului de polinoame intr-o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp comutativ K. Elemente inversabile in K[X]. Teorema impartirii cu rest in inelul K[X]. 7. Functie polinomiala. Proprietatea de universalitate a inelului K[X]. Analiza si analiza functionala 8. Functii continue intre doua spatii metrice. Caracterizari echivalente. 9. Operatori liniari si continui intre doua spatii normate. Norma unui operator liniar si continuu. 10. Teorema graficului inchis. 11. Teorema Hahn-Banach. Geometrie 12. Formula Gauss: derivata covariantă 13. Teoremele lui Lancret. 14. Interpretarea geometrică a curburii Gauss. Ecuatii diferentiale si ecuatii cu derivate partiale 15. Teorema de caracterizare a soluţiilor saturate la dreapta. 16. Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare. Metoda variaţiei constantelor. 17. Stabilitatea sistemelor diferenţiale liniare. Mecanică, Astronomie şi Mecanica mediilor continue 18. Torsor. Proprietăţi.

19. Expresiile vitezei şi acceleraţiei în componente carteziene, polare şi în sistemul lui Frénet. 20. Noţiuni şi teoreme generale ale dinamicii punctului material. 21. Legile lui Kepler. 22.Ecuaţia de conservare a masei în diverse sisteme de coordinate pentru medii continue compresibile şi incompresibile. Probabilitati si statistica 23. Definitia axiomatica a probabilitatii. Enuntati si demonstrati cel putin 5 proprietati ale sale. 24. Definitia probabilitatii conditionate. Enuntati si demonstrati Formula Probabilitatii Totale si Formula lui Bayes. 25. Media si dispersia unei variabile aleatoare oarecare: definitii si proprietati. 26. Definiti functia caracteristica. Enuntati proprietatile sale. Demonstrati cel putin 3. Calcul numeric si analiza numerica 27. Proprietatea de aproximare pentru polinoamele Lagrange. 28. Metoda Newton pentru ecuatii neliniare pe R – convergenta metodei. 29. Conditii necesare si suficiente ca o matrice sa fie convergenta. 30. Metoda Jacobi – convergenta pentru matrici strict diagonal dominante. Probleme Algebra 1. Sa se arate ca nu exista nici un subinel al inelului matricelor patratice de ordinul 3. M 3(R), izomorf cu corpul numerelor complexe. 2. Fie ε ∈ C cu ε2 + ε + 1 = 0 si Ζ[ε] = { a + bε⏐a, b ∈ Z}.

(a) Demonstrati ca Ζ[ε] este subinel al lui C. (b) Determinati multimea elementelor inversabile ale inelului Ζ[ε] si aratati ca

aceasta multime formeaza grup cu inmultirea numerelor complexe. (c) Fie G grupul de la (b). Demonstrati ca G ≅ Ζ6 si precizati un izomorfism f : G → Ζ6.

3. Determinati elementele inversabile, divizorii lui zero si elementele nilpotente ale inelului de clase de resturi Ζ12. Aratati ca multimea elementelor inversabile formeaza grup cu inmultirea izomorf cu grupul lui Klein.

4. Fie vectorii f1=(1,1,0), f2=(0,1,0) din R3. Completati sistemul de vectori {f1, f2} pana la o baza a lui R3.

5. Fie V spatiul vectorial real al polinoamelor din R[X] de grad cel mult 3. (a) Determinati dimensiunea lui V si precizati doua baze diferite ale lui V. (b) Fie D : V→ V, definita de D(f) = f ` ( derivata lui f ). Demonstrati ca D este o aplicatie liniara si scrieti matricea lui D intr-o baza a spatiului. (c) Gasiti valorile proprii ale lui D.

Analiza si analiza functionala

6. Calculati integrala dubla [ ] [ ]∫∫× +

+

2,12,1

.1

dxdyxyyx

7. Sa se arate ca operatorul lui Volterra, , este

corect definit, este liniar si continuu si || V||=1.

∫=→x

dttfxVfCCV0

)())((],1,0[:]1,0[:

8. Sa se arate ca multimea [ 1,0:0 0

Caxan n

nn

n ⊂⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<∑ ∑∞

=

∞

=

] este de prima categorie Baire in

, nu este rara si nu este deschisa in . ]1,0[C ]1,0[C 9. Fie un sir de numere reale cu proprietatea ( ) Nnnaap ∈=∞<≤ ,1 ( ) pNnn lxx ∈=∀ ∈ , rezulta si operatorul de multiplicare, ( ) pNnnn lxa ∈∈ qpa llM →:

( )( ) ( ) .: NnnnNnna xaxM ∈∈ = Sa se arate ca: (i) este corect definit, este liniar si continuu si ca aM .∞∈ la (ii) .sup n

Nna aaM

∈∞==

Geometrie 10. Se consideră suprafaţa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )222122212221221121 3,33,33, xxxxxxxxxxxxf −−+−+= . a)Să se calculeze coeficienţii primelor două forme fundamentale. b)Să se calculeze curbura Gauss într-un punct oarecare.

11. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei c:R R→ 3 , c(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t) Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale 12. Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: xxyxyyx 395 2'''2 +=+−

pentru x>0.

13. Să se arate că problema Cauchy:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++= −

0)0()1ln(2 4' 4

yyey x

admite soluţie unică definita pe R.

14. Să se determine soluţia problemei Cauchy:

2)0,(,632

222 xxuyx

yux

xuy ==

∂∂

+∂∂

15. Determinaţi soluţia generală a ecuaţiei:

22' 1

yxxyy =+

16. Rezolvati ecuatia Bernoulli:

2x y 2 x y 4 y′⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ . 17. Rezolvati ecuatia Clairaut: y x y ln y′ ′= ⋅ − . Precizati care este solutia singulara. 18. Determinati tipul ecuatiei:

2 2xx yy x yu y u u u x− + − + 0=

0.

. Aduceti-o la forma normala si precizati transformarea corespunzatoare. 19. Aduceti ecuatia la forma normala prin formare de patrate:

xx yy zz tt xy zx xt yz yt ztu 2u 3u 4u 2u 2u 2u 4u 4u 6u+ + + + + + + + + =Precizati transformarea corespunzatoare.

Mecanică, Astronomie şi Mecanica mediilor continue

20. Se dă sistemul cu două grade de libertate din figura

alăturată, unde se cunosc forţele , G→

P→

, F→

, şi lungimea

barelor OA = 2l

Q→

1 şi OB = 2l2 . Se cere să se determine poziţia de

echilibru.

21. Enunţaţi şi demonstraţi teorema cosinusului din trigonometria sferică. 22. Dacă D este un punct situate pe latura BC a unui triunghi sferic oarecare ABC atunci avem relaţia:

cos sin cos sin cos sinAD BC AB CD AC BD= + 23. Să se demonstreze că dacă două triunghiuri sferice au două laturi respectiv egale şi unghiurile formate de ele inegale, laturile opuse acestor unghiuri sunt inegale şi anume la unghiul mai mare se opune latura mai mare. 24. Să se arate că în orice triunghi sferic ABC avem relaţia:

( ) ( ) ( )sin sin sin sinp a p b p c p− + − + − − = 4sin , sin sin2 2 2a b c⋅ ⋅

p fiind semiperimetrul triunghiului 2

a b cp + +⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

.

25. Determinaţi gradientul şi divergenţa unui câmp vectorial . v→

Probabilitati si statistica 26. Se considera 2 urne avand urmatoarele compozitii date sub forma (nr. bile albe, nr. bile negre): U1(5, 5); U2(4, 6). Din prima urna se extrag 3 bile cu revenire, iar din urna a doua se extrag 3 bile fara revenire. Se cer:

a) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra. b) Probabilitatea ca din urna a doua sa se fi extras doua bile albe si una neagra. c) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, si din

urna a doua sa se fi extras acelasi lucru. d) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, sau

din urna a doua sa se fi extras acelasi lucru.

27. O companie a realizat un studiu legat de limbile straine cunoscute de angajati si a constatat ca 20% dintre acestia vorbesc franceza, 30% vorbesc engleza si 40% vorbesc cel putin una dintre cele doua limbi straine. Se cer:

a) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca ambele limbi straine. b) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca franceza, stiind ca vorbeste si engleza. c) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca engleza, stiind ca vorbeste si franceza. d) Probabilitatea ca un angajat sa vorbeasca numai engleza. e) Probabilitatea ca un angajat sa nu vorbeasca nici una dintre cele 2 limbi straine.

Calcul numeric si analiza numerica

28. Pentru , rezolvati sistemul Ax=b, determinand mai intai o

descompunere LU pentru matricea A a) direct (prin identificare) si b) cu ajutorul eliminarii Gaus.

1 4 0 02 1 3 si 62 0 1 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟29. Pentru , determinati A

2 1 01 2 1

0 1 1A

−⎛ ⎞⎜= − −⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

-1 folosind metoda Gaus-Jordan.

30. Scrierea pe componente pentru metoda Gaus-Seidel.

SUBIECTE DE FIZICA

1. Principiile mecanicii clasice 2. Dinamica punctului material: teoreme de variatie si legi de conservare 3. Mişcarea oscilatorie armonic şi oscilatorie amortizată 4. Unde elastice 5. Principiul I al Termodinamicii. Coeficienţi termici, capacităţi calorice ale sistemelor

termodicamice simple 6. Procesul termodinamic politrop 7. Principiul II al Termodinamicii. Procese reversibile şi ireversibile 8. Potenţiale termodinamice 9. Câmpul electric. Potenţial electric 10. Curentul electric continuu. Tensiunea electromotoare 11. Inducţia electromagnetică 12. Mărimi sinusoidale şi reprezentarea în complex. Calculul circuitelor RLC în regim

sinusoidal

13. Justificarea principiilor opticii geometrice pe baza principiului lui Fermat. 14. Reflexia şi refracţia luminii pe suprafeţe sferice 15. Ecuaţia undelor electromagnetice. Soluţii în unde monocromatice plane. 16. Interferenţa luminii. Interfranja în cazul dispozitivul interferenţial de tip Young 17. Modele atomice semicuantice 18. Natura fotonică a radiaţiei electromagnetice (efectul fotoelectric şi efectul Compton) 19. Radiaţii X (spectre de raze X, legea Moseley, aplicaţii) 20. Dezintegrări radioactive (legea dezintegrării, tipuri de dezintegrări, aplicaţii) 21. Principiile fizicii statistice. Ansamblul statistic clasic. 22. Ansamblul canonic. Statistica Maxwell-Boltzmann. 23. Statisticile Bose-Einstein si Fermi-Dirac – Generalităţi 24. Inversia de populaţie. Condiţii de realizare a efectului laser 25. Proprietăţile radiaţiei laser şi tipuri de laseri 26. Descărcări electrice în plasma la presiune redusă. Descărcarea luminiscentă 27. Funcţii de undă ale stărilor staţionare în cristale. Funcţii de undă Bloch 28. Semiconductori intrinseci şi semiconductori extrinseci 29. Statistica purtătorilor de sarcină în semiconductori 30. Fenomene de transport în semiconductori

Bibliografie

1. A. Hristev, Mecanică fizică şi Acustică, E.D.P., Bucureşti, 1982. 2. V. Georgescu, M. Sorohan, Fizică moleculară, Ed. Universităţii “Al.I. Cuza”, Iaşi,

1996. 3. V. Ciupină, Electricitate şi Magnetism, Ovidius University Press, Constanţa, 2003. 4. M. Gîrţu, Optică, Ovidius University Press, Constanţa, 2003. 5. S. Muscalu, Fizică atomică şi nucleară, E.D.P., Bucureşti, 1980. 6. Gh. Ciobanu, Curs de Termodinamică şi Fizică statistică, Litografia Univ. Bucureşti,

1978. 7. I. Iova, Spectroscopie şi Laseri, Univ. Bucureşti, 1984. 8. I. Iova, I. Popescu, E. Toader, Fizica plasmei şi Aplicaţii, Ed. Ştiinţifică şi

Enciclopedică, Bucureşti, 1981. 9. V. Ciupină, Fizica semiconductorilor, E.D.P., Bucureşti, 1998.

LICENTA 2005

SPECIALIZAREA: MATEMATICA INFORMATICA IN LIMBA ENGLEZA

MATHEMATICS

THEORETICAL TOPICS

Algebra 1. Groups: definition, examples. Order of an element of a group. First properties. 2. Subgroups of a group. Operations with subgroups. Subgroups of (Ζ,+). 3. Equivalences associated to a group. Lagrange theorem for a finite group. 4. Group morphisms. Image and kernel of a group morphism. Endomorphisms of the groups (Ζ,+ ),(Q,+). 5. Rings and fields. Definitions, examples. Special elements in a unitary ring: units, zero-divisors, nilpotent elements. 6. The ring of cosets of Ζ modulo n. Special elements in Ζn. Analysis and Functional Analysis 7. Convergence tests for real series with positive numbers. 8. Linear and continuous operators between two normed spaces. The norm of a linear and continuous operator. 9. The Hahn-Banach theorem. Geometry 10. Gauss’ formula. Covariant derivative. 11. Lancret’s theorems. 12. Cauchy-Buniakovski-Schwarts inequality and consequences: the norm and the angle for two vectors in the Euclidian vector spaces. 13. The geometric interpretation of Gauss curvature.

PDE +ODE 14. Maximum Principle for elliptic linear equations of second order. 15. Maximum Strong Principle (of Hopf) and direct corollaries. Mechanics 16. Torque. Properties. 17. The expressions of velocity and acceleration in cartezian, polar and Frénet coordinates.

Numerical Calculus and Numerical Analysis 18. Approximation property for Lagrange’s polynomials. 19. Choleski factorization for symmetric and positive definite matrices - the existence. 20. Proprieties for the set LSS(A ;b). 21. Computation of the minimal norm solution xLS using QR factorization and complete QR factorization. 22. Kaczmarz’s and Cimmino’s methods – overview (geometric interpretation and construction of sequences). Operational Research 23. Duality Theorems. 24. Optimality in nonlinear programming. Kuhn-Tucker optimality conditions. Probability and Statistics 25. Axiomatical definition of probability and its properties. 26. Distribution function of the random variable and its characteristic properties. 27. Mean Value and Variance: definitions and properties. 28. Law of Large Numbers (Chebyshev’s form). 29. Characteristic function of the random variable: definition and properties. 30. Central Limit Theorem for independent, identically distributed random variables. PROBLEMS

Algebra 1. Let ε ∈ C, ε2 + ε + 1 = 0 and Ζ[ε] = {a + bε⏐a, b ∈ Z}.

(a) Prove that Ζ[ε] is a subring of C. (b) Find G = U(Ζ[ε]) and prove that this is a group with respect to multiplication in

C. (c) Prove that G ≅ 6Z and find this isomorphism of groups.

2. Find the invertible elements (the units), zero divisors and nilpotent elements in the ring Ζ12. Prove that U(Ζ12) is isomorphic to the Klein group. 3. Let R be a unitary ring and Z(R) = {a ∈R⏐ax = xa, ∀ x∈R}

(a) Prove that Ζ(R) is a unitary subring of R ( the center of R) . (b) Find Ζ(Mn(A)), where A is a unitary commutative ring and Mn(A) is the ring of n-matrices over A. (c) Let A, B be two unitary commutative rings. Prove that Mn(A)≈Mn(B) if and only

if A B. ≈ Analysis and Functional Analysis

4. Let . Study the nature of the series ( ∞∈ ,0a ) ( )∑∞

=1 !n

n

nan .

5. Let be given by RRf →2: ( ) ( ) ( )( ) ( )

. 0,0, if 0,

0,0, if ,, 44

3

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠+=

yx

yxyx

xyyxf Study the continuity

of in the point . f ( )0,0

6. Find the value of integral [ ] [ ]∫∫× +

+

2,12,1

.1

dxdyxyyx

7. Prove that Volterra operator given by is well

defined, linear and continuous and

]1,0[]1,0[: CCV → ( ) ∫=x

dttfxVf0

)()(

1=V . 8. Let , be a real sequence with the property ∞<≤ p1 ( ) Nnnaa ∈= ( ) pNnn lxx ∈=∀ ∈ , it follows that ( ) and let be the multiplication operator given by pNnnn lxa ∈∈ ppa llM →:

( )( ) ( ) NnnnNnna xaxM ∈∈ = . Prove that: i) is well defined, linear and continuous and aM ∞∈ la . ii) n

Nna aaM

∈∞== sup .

Geometry 9. Let us consider the surface:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )222122212221221121 3,33,33, xxxxxxxxxxxxf −−+−+= . a) Compute the coefficients of the first two fundamental forms. b) Compute Gauss curvature in a random point.

10. Using Gramm-Schmidt’s procedure, construct an othonormal basis starting from the following system of vectors: { }321 ,, eeeS = , where ( )1,1,01 =e , ( )1,0,12 =e , . ( )0,1,13 =e 11. Compute the curvature and the torsion of the curve ,

.

3: RRc →( )ttttc 3,sin2,cos2)( =

PDE+ODE 12. Solve the Bernoulli equation: 2x y 2 x y 4 y′⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ . 13. Solve the Cauchy Problem:

x 3x 3y 3x y′ = −⎧

⎨ ′ = −⎩

y

0=

, with . (0) 3(0) 0

xy

=⎧⎨ =⎩

14. Determine the type of the equation: 2 2

xx yy x yu y u u u x− + − + .

Find its normal form and specify the corresponding transformation. 15. Find the normal form for the following equation by computing the eigenvalue:

xy yz zx4u 2u 2u 0+ + = . Give the corresponding transformation. Mechanics

16. Given the following cube acted, as in the

figure, in B by the force with modulus BP→

P2 and in E

by the force with modulus EP→

P3 . Find:

a) the torque in O and C;

b) ; oR M→ →

⋅

c) the central axis.

17. Find the inertial moment of a cylinder.

Numerical Analysis 18. Using fixed point iteration on R, approximate 1 7 with accuracy of 10-4.

19. Using trapezoidal rule, approximate 1

2

0

ln( 1)x dx+∫ with accuracy of 1/2400.

20. For , solve the system Ax=b, finding first an LU

factorization for the matrix A a) directly b) using gaussian elimination.

1 4 0 02 1 3 si 62 0 1 2

A b⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟⎟21. For , find A

2 1 01 2 1

0 1 1A

−⎛ ⎞⎜= − −⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

-1 using Gauss-Jordan’s method.

22. Prove that the matrix norm ∑=∞

jiji

aA max is compatible with the vector norm

.max iixx =

∞

23. For , compute x10 101 si b= 111 3

A⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

LS using the pseudoinverse A+.

Let . We denote by S, and H respectively, the following sets:

0,,0, ≠∈≠∈ bRbandaRa n

}.,,{},0,,{ baxRxHaxRxS nn >=<∈=>=<∈=

24. Prove that .2 aabSH +=

25. Prove that .,)( 2 aa

axxxPS><

−=

26. Prove that .,)( 2 aa

baxxxPH−><

−=

Probability and Statistics 27. Find probability that between 25 persons at least two persons have the same birthday. 28. Let (x1, … , xn) ~ X : Bi (n;p), i.e., we have the sample (x1, … , xn) of size n from binomial distribution with parameters n and p, n = 1, 2, …, p ∈(0,1). For example, X may be interpreted as the total numbers of heads after n tossings of the coin. Let’s consider the following hypothesis:

a) H: the coin is golden; b) H: the coin is not perfect; c) H: the coin is not perfect, if n is known, i.e., n=n0; d) H: the coin is perfect, if n is unknown.

Which of them are statistical hypotheses and what is the type of each statistical hypothesis? 29. What type of error we have if testing hypotheses: a) the alternative hypothesis H1 was rejected, in fact H1 being true? b) alternative hypothesis H1 was accepted, in fact H1 being false? 30. Statistically it was proved that endurance of an auto tire may be considered as a random variable X ~ N(30000km,(800km)2). Some changes in the process of production were processed. A sample of 100 tires have x = 29000km. On the base of this sample with the level of significance α = 0.05, verify if the new method of production conduct to the decreasing of the tire’s endurance. Remark: For level of significance α = 0.05 the α-quantum xα = -1.64, i.e., Φ(-1.64) = 0.05.

INFORMATICS

THEORETICAL TOPICS

Operating Systems 1. Process states in multiprogramming systems and interrupts based mechanisms for changing the process state. 2. Virtual memory: definition and models. Page table as a function and the mechanism used to obtain physical address from virtual address.

Computational Geometry 3. Diagrame Voronoi.

Grafica pe calculator 4. Manipularea obiectelor primitive 5. Utilizarea modificatorilor OOP 6. Object Oriented Database Connectivity 7. Java threads Database 8. State and proof the key propagation principle. 9. State and proof the theorem of structural functions characterization. 10. State and proof the theorem of relationship’s structural keys characterization.

Formal languages 11. Chomsky’s hierarchy of grammars. Relations between the languages generated by grammars. 12. Regular expressions. Equivalence between regular expressions and finite automata. 13. Finite automata with ε transitions. Converting an ε-NFA to an equivalent DFA. 14. Regular grammars. Equivalence between regular grammars and finite automata. Compilers 15. Lexical analysis. Design steps of a lexical analyzer. 16. Nonrecursive predictive parsing. LL(1) grammars. 17. LR parsers. The efficient method for constructing of a LR parser. 18. Semantic analysis. Syntax-directed definitions. Computer Networks 19. Ethernet/IEEE 802.3: Frame Formats, Comparison, Functionality. 20. IP Addresses, Classes, Subnets

PROBLEMS 1.

Create a Linux script that gets an argument (name – representing a user ID) and executes the following sequence of operations: - creates directory structure:

/home/myname DD1 DD2

DD3 DD4 DD5

DD6

- transfers control to the operator in order to edit a text using vi, text saved as the

file exercise in DD4, - copy the file exercise in DD6, - display the list with the users connected to the system in a file cine in DD3, - lookup in this file for the user whose name is the argument from the command

line, - display the corresponding line if the user is connected or the message “name

inactiv” if the user is not connected. 2.

Let P1, P2 and P3 be processes in a multiprogramming system. They produce outputs by displaying characters with “putc” and are synchronized using two semaphores: “L” and “R”.

semaphore L=3, R=0 /*semaphores definitions and initialization*/ /*P1 code*/ /*P2 code*/ /*P3 code*/ L1: L2: L2: DOWN(L); DOWN(R); DOWN(R); putc(‘C’); putc(‘A’); putc(‘D’); UP(R); putc(‘B’); UP(R); goto L1; goto L2; goto L3;

a. Specify the number of „D” characters which will me displayed by executing this

set of processes. Explain. b. Prove that the sequence of characters CABABDDCABCABD is not a possible

output for this execution.

3.

Let P1, P2 and P3 be processes in a multiprogramming system. They produce outputs by displaying characters with “putc” and are synchronized using two semaphores: “L” and “R”.

semaphore L=3, R=0 /* semaphores definitions and initialization */ /*P1 code*/ /*P2 code*/ /*P3 code*/ L1: L2: L2: DOWN(L); DOWN(R); DOWN(R); putc(‘C’); putc(‘A’); putc(‘D’); UP(R); putc(‘B’); UP(R); goto L1; goto L2; goto L3;

a. Specify the minimum number of characters „A” which can be displayed. Explain. b. Prove that the sequence of characters CABACDBCABDD is a possible output for

this execution. OOP 4. Write an application with GUI, that displays the result of an arithmetic operation (+, -, *, /) selected by the user. The operands are inputted in two text boxes. 5. Write a Java application that makes a connection to an Access database and implements next operations: a. Create a table „students” with next structure: - ID_STUD – integer - NUME – text - AN – integer - MEDIE – integer b. Insert lines in the table c. Display the number of students stored in the table

Database 6. Let us consider the following 5 functions:

SocialSecurityNumber : PERSONS ↔ NAT(13), FirstName : PERSONS → CHAR(32), LastName : PERSONS → CHAR(32), BirthDate : PERSONS → DATE, and BirthPlace : PERSONS → CITIES.

a) Prove that the following functional dependency (fd) holds: SocialSecurityNumber → FirstName • LastName • BirthDate • BirthPlace b) Is the following fd holding too ? Why ?

SocialSecurityNumber → FirstName•LastName•BirthDate•BirthPlace•SocialSecurityNumber

c) How about BirthPlace →FirstName•LastName•BirthDate•SocialSecurityNumber ? Why ?

7. Let us consider the following 5 functions:

Continent : COUNTRIES → CONTINENTS, Country : STATES → COUNTRIES, CountryName : COUNTRIES ↔

CHAR(32), #Continent : CONTINENTS ↔ NAT(2), and #Country : COUNTRIES ↔

NAT(3) a) Which ones of them might and which ones should be propagated where? Why?

b) Which ones of the propagated ones are one-to-one? Why? c) Is it possible to propagate #Continent to STATES? Is it advisable? How about CountryName in STATES? Why? 8. Let us consider the following 6 functions: Country : CITIES → COUNTRIES,

Capital : COUNTRIES ↔ CITIES, CountryName : COUNTRIES ↔ CHAR(32), Population : COUNTRIES ↔ NAT(16), #City : CITIES ↔ NAT(8), and #Country : COUNTRIES ↔ NAT(3)

Prove that the following fd holds: Capital → Population ° Country Is there any function f : CHAR(32)→ NAT(8) which is making the following

diagram commutative ? How many of them are possible? Why?

Capital COUNTRIES CITIES

CountryName #City

CHAR(32) NAT(8) f

c) If it exists, under what circumstances would f be one-to-one ?

9. Let us consider the following mathematical relation: BORROWS ⊆ BOOKS ×

×READERS × BORROW_DATE.

a) How many internal functionalities might it have in total? Which ones would be those non-redundant and full? Why?

b) How many are trivial? Which ones would be those non-trivial, non-redundant, full and minimal? Why?

c) Which is the maximum theoretical number of structural keys that this relation might simultaneously has? How many does it actually have? Which ones are them? Why?

10. Let us consider the following mathematical relation: ENROLL_CONDS ⊆ ⊆PRECONDITIONS × COURSES, where PRECONDITIONS ⊆ COURSES.

a. Model it by using a relationship. b. Model it equivalently without relationships. c. What would happen if its graph would be cyclic? Why?

11. Consider a meta-catalog db storing data about db users (id, name, account, password), user groups (id, name), and their corresponding privileges (user or group, object, privilege type) over the objects stored in the dbs (id, object type, object designation), as well as, of course, types of privileges (id, designation) and types of privileges (id, designation).

a. Design the corresponding relational scheme and give a possible valid instance of it (minimum 2 tuples per relation).

b. Write the SQL statement computing the answer to the following question: “Which are the users (name, number of groups the user belongs to), in the descending order of the number of groups and ascending order of their names, that belong to at least two groups that contain just one user?”

Formal languages 12. Let G be the grammar with productions: S → aA | a A → aA | bB B → bB | b a) According to Chomsky’s hierarchy, specify type of grammar G. b) Describe with a regular expression, the language generated by the grammar. c) Construct a finite automaton, which accepts the language generated by the grammar. d) In the case that the automaton from the step 3 is nondeterministic, construct an

equivalent deterministic automaton. e) Determine an equivalent regular expression with that from the step 2, but obtained

from reduction of finite automaton from the previous step.

13. Let L be the language of palindrome over {a,b}. a) Construct a grammar least context free that generates L. b) Construct a regular expression that describes L. c) For the regular expression b(b+a)*b construct a finite automaton that accepts the

language described by this regular expression. d) In the case that the automaton from the step 3 is nondeterministic, construct an

equivalent deterministic automaton. e) For the automaton obtained at previous step, construct a regular grammar that

generates the language accepted by automaton. 14. Let G=(V, Σ, R, P) be the following grammar with productions

R → RR | R* | R+R | (R) | a | b which generates the language of regular expressions over {a, b} that contain least a and b. a) According to Chomsky’s hierarchy, specify type of grammar G. b) Show that this grammar is ambiguous by constructing two leftmost derivations for

some word. c) Show that this grammar is ambiguous by constructing two derivation trees for some

word. d) Eliminate the ambiguity from grammar, taking account the precedence and

associatively of the operators. e) If the grammar obtained at previous step is left recursive, eliminate the left recursion

to obtain an equivalent grammar.

Compilers 15. Write a JLex specification which resolve the real numbers, arithmetic and relational operators, the keywords: if, else, while, until and the parenthesis. 16. Let G=(V, Σ, R, P) be the following grammar with productions:

E E or E | E and E | not E | (E) | id ≥ id | true | false a) Prove that G is an ambiguous grammar. b) Construct the canonical collection of LR(1) elements set for this grammar. c) Verifies that G is a LALR grammar. Otherwise, eliminate the conflicts taking the

best semantically decisions.

17. Let G=(V, Σ, R, P) be the grammar of decimal binary numbers: S→ L.L | L L→ LB | B B → 0 | 1

a) Compute the values of FIRST and FOLLOW functions for each nonterminal of the grammar.

b) Construct the parsing table of an nonrecursive predictive parser for this grammar and verify if G is an LL(1) grammar.

c) Write an S-attributed syntax-direct definition to compute the value of each binary number generated by S.

18. Let G=(V, Σ, R, P) be the following grammar with productions:

E → while E do E | id:=E | E+E | id Construct a LR(1) analyzer using the LALR method. Verify that G is an LALR grammar. In the negative case, remove the conflicts taking the best semantically decisions. Verify the analyzer for the input while id do id:=id+id. What do you obtain on output? Computer Networks 19. Uses the forward search algorithm (Dijkstra’s Algorithm) for completes the routing table. 20. Subnetting a. Assume that you have been assigned the 200.35.1.0/24 network block. Define an extended-network-prefix that allows the creation of 20 hosts on each subnet. b. What is the maximum number of hosts that can be assigned to each subnet? c. What is the maximum number of subnets that can be defined? d. Specify the subnets of 200.35.1.0/24 in binary format and dotted decimal notation. e. List range of host addresses that can be assigned to Subnet #6 (200.35.1.192/27) f. What is the broadcast address for subnet 200.35.1.192/27?

PIDE LICENTA 2005

SUBIECTE TEORETICE

Analiza matematica 1. Derivabilitatea functiilor de variabila reala: definitii si proprietati. Algebra liniara si geometrie analitica 2. Spatii vectoriale. Baza. Dimensiune. Definitii. Proprietati. Exemple. 3. Matricea de trecere de la o baza la alta baza. Matematici discrete 4. Algoritmul lui Ford de determinare a drumului de lungime minima 5. Algoritmul lui Ford-Fulkerson pentru obtinerea unui flux maxim 6. Metoda drumului critic. Operatii critice 7. Drumuri Hamitoniene; Algoritmul lui Chen Informatica 8. Instructiuni repetitive : sintaxa si exemple de utilizare. 9. Declararea variabilelor de tip array si exemple de utilizare. Probabilitati si statistica 10. Definitia axiomatica a probabilitatii. Enuntati si demonstrati cel putin 5 proprietati ale sale. 11. Media si dispersia unei variabile aleatoare oarecare: definitii si proprietati. Sisteme de operare

12. Memoria virtuală: definiţie şi modele. Tabela de pagini văzută ca funcţie şi mecanismul de obţinere a adresei fizice din adresa virtuală. 13. Structurile de date utilizate de sistemul de operare pentru implementarea gestiunii fişierelor cu index-noduri. Baze de date 14. Modelul relational pt. baze de date; algebra relationala.

Tehnici de programare avansata 15. Mostenirea – Java. 16. Instructiuni de decizie – sintaxa si exemple de utilizare

Reţele de calculatoare 17. Nivelul legǎtura de date: protocoalele Ethernet - IEEE 802.3; 18. Protocolul Token Ring – IEEE 802.5 19. Dirijarea pe calea cea mai scurta 20. Dirijarea bazata pe flux Logica computationala 21. Calculul propozitional: abordare algebrica, forme normale, algoritmi. Cercetari operationale 22. Caracteristicile modelului de asteptare cu o statie de servire, sosiri Poisson si timp de servire exponential in cazul stationar. 23. Jocuri matriciale. Legatura cu problemele de programare liniara. 24. Probleme de tip transport. Metoda distributiv - modificata de obtinere a solutiei optime. 25. Dualitatea in programarea liniara

PROBLEME

Algebra 1) Fie aplicaţie liniară care are în baza canonică matricea

. Să se verifice dacă este diagonalizabilă.

33: ℜ→ℜf

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

335335

5511A f

2) Ce relaţie trebuie să satisfacă scalarul α astfel încât vectorii ( )2,,11 += ααv ,

( )αα −= ,,1 22v , ( )2

3 ,1, ααα −=v să formeze o bază în ? 3ℜ

Algebra liniara si geometrie analitica 3. Fie aplicaţie liniară care are în baza canonică matricea

. Să se verifice dacă este diagonalizabilă

33: ℜ→ℜf

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

335335

5511A f

Matematici discrete 4. Pentru graful de mai jos sa se aplice:

1. sa se determine drumul de lungime minima sau maxima aplicand algoritmul lui Ford

2. sa se determine drumul critic 3

4

Informatica 5. Sa se da o tabla de sah de marime m*m. Se cere sa scrie un program care calculeeaza toata combinatiile posibile de asezare a m dame astfel incat acestea sa nu se atace intre ele. 6. Sa se ordoneze crescator si descrescator elementele dintr-un vector. Probabilitati si statistica 7. Se considera 2 urne avand urmatoarele compozitii date sub forma (nr. bile albe, nr. bile negre): U1(5, 5); U2(4, 6). Din prima urna se extrag 3 bile cu revenire, iar din urna a doua se extrag 3 bile fara revenire. Se cer:

a) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra. b) Probabilitatea ca din urna a doua sa se fi extras doua bile albe si una neagra. c) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, si din

urna a doua sa se fi extras acelasi lucru. d) Probabilitatea ca din prima urna sa se fi extras doua bile albe si una neagra, sau

din urna a doua sa se fi extras acelasi lucru. 8. Se considera urmatoarele punctaje obtinute de un grup de elevi la un test:

4

2 4

5

3 3

1

7

35 40 46 37 50 49 33 42 47 49 36 34 41 42 48 38 39 44 47 50 37 38 47 44 45 31 42 37 41 44 43 36 47 50 45 32 39 42 45 49 32 36 48 43 41 33 39 43 48 45

Se cere: a) Sa se grupeze datele pe baza intervalelor urmatoare: [31,35]; [36,40]; [41,45];

[46,50]. b) Sa se traseze histograma corespunzatoare datelor grupate. c) Sa se calculeze frecventele relative, cele absolute cumulate crescator si cele

absolute cumulate descrescator. d) Sa se determine media, moda si mediana.

9. Se considera urmatoarele esantioane reprezentand dimensiuni ale aceluiasi produs fabricat de 6 companii diferite (denumite simbolic A-F). Se cer: Companie Dimensiuni

A 5,5,5,5,5 B 6,5,5,5,4 C 9,9,5,1,1 D 9,5,5,5,1 E 9,5,5,5,5,5,5,5,5,1 F 9,9,9,4,4,3,3,3,3,3

a) Sa se determinea media, dispersia si mediana pentru fiecare esantion in parte. b) Sa se determine media esantionului obtinut din concatenarea celor 6 esantioane. Sa se traseze si poligonul frecventelor absolute corespunzatoare esantionului concatenat. c) Daca pretul produselor este acelasi indiferent de fabricant, de la care companie ati prefera sa cumparati produsul? De ce? Baze de date 10. Se da schema unei baze de date:

Furnizori(CodF, DenumireF, Localitate, CodFiscal, Adresa) Produse(CodP, DenumireP, Um) Oferta(CodF, CodP, Pret)

Sa se exprime in algebra relationala cererea : care sunt furnizorii (DenumireF, Localitate) care ofera produsul cu codul “P123” la un pret mai mic sau egal cu 1000.

11. Sa se aduca la forma normala 3 relatia: Oferta(CodF, CodP, DenumireF, Localitate, CodPostal, DenumireP, Um, Pret)

avand cheia formata din atributele CodF si CodP. Se dau deasemenea dependentele functionale: (CodF, CodP) → Pret; CodF → DenumireF; CodF → Localitate;

CodP → DenumireP; CodP → Um; Localitate → CodPostal

12. Sa se realizeze o subrutina VBA care completeaza campul Media din tabela Candidati(Nume, Nota1, Nota2, Nota3, Media) pe baza notelor Nota1, Nota2 si Nota3

stiind ca ponderile acestora sunt respectiv 20%, 30% si 50%. Se presupune ca tabela este completata cu date pentru Nume, Nota1, Nota2 si Nota3. 13. Sa se descrie un obiect de tip Form al SGBD-ului Access, din punct de vedere al structurii, evenimentelor si subrutinelor, pentru adaugarea de noi inregistrari in tabela T avand schema T(C1, C2, C3). Obiectul va reactiona prin mesaje de eroare in limba romana si va trata corespunzator situatiile conflictuale legate de integritatea cheii (campul C1) si a tipului de date pt. campurile C1(intreg) si C2(data calendaristica). Tehnici de programare avansata

14. Sa se realizeze un program pentru determinarea Cmmdc-ului. 15. Sa se realizeze un program care determina:

a) elementul maxim dintr-un vector b) elementul minim dintr-un vector c) pozitile pe care se afla aceste elemente dintr-un vector.

16. Sa se scrie un program care sa calculeze transpusa unei matrice 17. Sa se scrie un program care sa preia o matrice patratica de la tastatura cu elemente de tip intreg. Sa se calculeze suma elementelor de pe diagonala principala si suma elementelor de pe diagonala secundara. 18. Sa se scrie un program in care implementeaza operatia de reuniune a doua multimi de numere intregi. Reţele de calculatoare 19.

O nouă reţea este proiectată pentru companie. Folosind un IP de reţea de Clasă C, ce mască de subreţea va pune la dispoziţie câte o subreţea utilizabilă pentru fiecare departament, în timp ce se permit suficiente adrese de host utilizabile pentru fiecare department specificat în figură? Sa se scrie adresele IP pentru toate gazdele din figura, organizate pe departamente, specificand totodata adresele de subretea si de broadcast pentru fiecare departament. 20. Considerand o anumita topologie de retea sa se aplice algoritmul de dirijare cu vectori distanta in scopul obtinerii noii tabele de dirijare catre toate posibilele destinatii. 21. Considerand o anumita topologie de retea sa se aplice algoritmul de dirijare folosind starea legaturilor in scopul obtinerii noii tabele de dirijare catre toate posibilele destinatii.

Logica computationala 22. Sa se da formula:

))(())(( rqprqpE ⊃∧≡⊃⊃= , cu p, q, r variabile propozitionale, este valida. a) Sa se aduca formula la forma conjunctiv-normala b) sa se dem ca formula este valida.

23. Se dau predicatele: student(N, S, A) ce aserteaza ca studentul N este inscris la sectia S in anul A; sectie(S,F,T) ce aserteaza ca sectia S apartine facultatii F si are un numar T de ani de

studiu;

Sa se exprime in limbajul Prolog urmatoarele intrebari: a) Este oare “Popescu Eugen” student ? iar daca raspunsul este Da, la ce sectii, ce

facultati si in ce ani. b) Care sunt studentii de la sectia “PIDE” din ultinul an de studiu.

Cercetari operationale 24. Se da urmatoarea problema de programare liniara:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥+≥+≥++

0,2

72343

)1024inf(

yxyx

yxyx

yx

Sa se scrie duala sa si sa se rezolve problema mai simpla. 25. Se da urmatoarea problema de transport:Un produs se afla de pozitat in 3 depozite, in prinmul fiind disponibile 200 unitati, in al doilea 150 iar in al treilea 50. Se cunosc necesitatile fiecarui centru: 150, 50, 100 si 100. Se mai cunosc si costurile de la cetru la consumator: Primul centru transporta de la depozitul 1 cu 7 u. m. de la depozitul 2 cu 3 u.m. iar de la depozitul 3 cu 3 u.m. Al doilea centru transporta cu preturile 4, 4, 5; al treilea cu preturile 2, 3, 5; iar al patrulea cu preturile 2, 1, 3.

Sa se intocmeasca un plan de transport astfel incat centrele sa fie satisfacute si costul total de transport sa fie minim, prin toate cele trei metode.

REGULAMENT PRIVIND ORGANIZAREA SI DESFASURAREA

EXAMENULUI DE LICENTA, DIPLOMA SI MASTERAT in anul universitar 2004/2005

I. Documente de baza folosite: - Prezentul Regulament a fost elaborat in temeiul prevederilor Legii Invatamantului nr. 84/1995, modificata si republicata, a Legii Acreditarii Universitare, nr. 88/1993, a Legii Invatamantului nr. 60/2000, a Ordinului MEC nr. 3333/2.03.2004 si a Cartei Universitatii “Ovidius”. - Regulamentul Cadru stabileste regulile generale privind organizarea si desfasurarea examenelor de finalizare a studiilor in Universitatea “Ovidius”, urmand ca in baza acestuia, facultatile si departamentele sa-si elaboreze regulamente specifice. - Universitatea “Ovidius” este o institutie de invatamant superior acreditata in conditiile legii si, in consecinta, este institutie organizatoare a examenelor de finalizare a studiilor. II. In conformitate cu ordinul MEC nr. 3333/2.03.2004 privind cadrul general de organizare a examenelor de finalizare a studiilor in invatamantul superior: 1. In invatamantul universitar de lunga durata, specializarile Matematica, Matematica – Informatica, Matematica-Fizica si Matematica-Informatica cu predare in Limba Engleza se finalizeaza prin examen de licenta, iar de scurta durata,-Prelucrarea informatica a datelor economice si Tehnologie Informatica, - examen de diploma. 2. Structura examenului de licenta si a examenului de diploma este urmatoarea: a. Proba 1 – Evaluarea cunostintelor fundamentale si de specialitate; b. Proba 2 – Prezentarea si sustinerea lucrarii de licenta, respectiv a lucrarii de licenta/ diploma. 3. Examenul de disertatie consta dintr-o singura proba si anume: - Prezentarea si sustinerea lucrarii de disertatie. 4. La fiecare proba, examinarea se incheie prin acordarea unei note, nota de promovare fiind cel putin 5.00, cu exceptia examenului de disertatie la care nota de promovare este de cel putin 6.00. 5. Un examen este promovat daca probele componente sunt sustinute si promovate, iar media aritmetica a notelor acordate acestora – media de promovare a examenului – este de cel putin 6,00. 6. Senatul universitatii decide daca promovarea unei probe intr-o sesiune anterioara, sustinuta la universitatea Ovidius, poate fi recunoscuta. III. Organizarea examenului de licenta in sesiunile din iunie 2005 si ianuarie-februarie 2006 se face in conformitate cu prevederile prezentului Regulament si a Metodologiei cadru a Ministerului Educatiei si Cercetarii. 1. Examenul de licenta/diploma se desfasoara in perioada 14-30 iunie 2005 si in perioada 1-7 februarie 2006 , in urmatoarea ordine:

- examen scris la Proba 1; - sustinerea lucrarii de licenta/diploma (Proba 2); Examenul de diseratie se desfasoara prin sustinerea lucrarii de disertatie in perioada

10-20 iunie 2005. 2. Comisiile de examen se propun si se aproba in Consiliul Profesoral al facultatii inainte de sfarsitul lui noiembrie 2004 si contin cate un presedinte, 4-6 membri, un secretar. Pot fi propusi in comisie ca presedinti numai profesorii si conferentiarii universitari, iar ca membri, numai cadre didactice care au doctoratul. Presedintele comisiei, dupa numirea sa, raspunde de stabilirea tematicii pentru Proba 1 si de comunicarea acesteia catre studentii anilor terminali. Tematica se aproba in Consiliul Profesoral al facultatii.

3. Candidatii la examen prezinta la inscriere, un certificat de competenta lingvistica de specialitate intr-o limba de larga comunicare internationala, eliberat de catedra de profil. Se va proceda, dupa cum urmeaza: a. Absolventii de la specializarile de lunga durata care au avut in planul de invatamant ca disciplina obligatorie sau facultativa o limba straina timp de minimum 4 semestre, si au avut note de promovare, vor primi certificatul de competenta lingvistica pe baza acestor note; in acest caz, certificatul poate fi colectiv, pe baza listei semnate de decanul facultatii. b. Idem, pentru absolventii de la specializarile de scurta durata, care au avut timp de 2

semestre, o limba straina, ca disciplina obligatorie sau facultativa si au primit note de promovare.

c. Absolventii care poseda atestate de limba straina de la institutii si organizatii recunoscute sau care au efectuat in timpul studiilor stagii de minimum 6 luni la universitati din strainatate vor primi si ei certificate de competenta lingvistica. Absolventii de la sectia Matematica-Informatica in limba engleza vor primi certificat colectiv de competenta lingvistica in limba engleza semnat de decan. d. Absolventii care nu se incadreaza in prevederile de la punctele a, b si c, vor primi certificat de competenta lingvistica numai daca vor promova examenul de limba straina organizat de catedra de specialitate. d. Comisia de examen poate sa puna intrebari, la Proba 2, si in limba in care

absolventii poseda certificat de competenta lingvistica. e. Absolventii sectiei de Matematica-Informatica in limba engleza vor desfasura

examenul (ambele probe) in limba engleza. 4. Proba 1 este eliminatorie si se desfasoara sub forma de lucrare scrisa. Candidatii care nu promoveaza examenul la Proba 1 nu participa la examenul de la Proba 2. Sustinerea lucrarii de licenta.diploma/disertatie se face in sedinta publica. Nota la lucrarea de licenta/diploma/disertatie se acorda de comisie (in care este cooptat si indrumatorul lucrarii), pe baza sustinerii lucrarii in plenul comisiei. Fiecare membru al comisiei propune o nota de la 10 la 1, nota finala la lucrare rezultand din media aritmetica a acestor note, nota minima fiind 5.00, cu exceptia lucrarii de disertatie la care nota de promovare este de cel putin 6.00. Indrumatorul lucrarii de licenta/diploma/disertatie va acorda o singura nota. 5. Media examenului de licenta/diploma se stabileste ca media aritmetica a notelor obtinute de absolvent la Probele 1 si 2 ale examenului de licenta/diploma. Media minima de promovare a examenului de licenta/diploma este de 6.00. 6. Rezultatele obtinute de candidati pentru fiecare proba se comunica/afiseaza in ziua sustinerii acesteia, la sediul Facultatii de Matematica si Informatica, de catre presedintele comisiei de examen. 7. Eventualele contestatii privind rezultatele unei probe se depun, la secretariatul facultatii, in termen de 24 ore de la comunicarea/afisarea rezultatelor, si se rezolva, in termen de 48 ore de la data depunerii, de catre o Comisie de analiza a contestatiilor, numita de decanul facultatii. Daca diferenta dintre nota initiala si cea acordata dupa contestatie este mai mare sau egala cu 0.50 puncte, nota finala este cea acordata de Comisia de analiza a contestatiilor. 8. Un examen nepromovat poate fi repetat intr-o sesiune ulterioara cu suportarea cheltuielilor aferente. 9. Absolventilor invatamantului superior de lunga durata/studii aprofundate – masterat/de scurta durata care au promovat examenul de licenta/disertatie/diploma li se elibereaza, contra taxa, documentele legale corespunzatoare. 10. Absolventilor care nu au promovat examenul de licenta/diploma/disertatie li se elibereaza, la cerere si contra taxa, Certificatul de absolvire a studiilor universitare de

lunga durata/scurta durata/studii aprofundate-masterat, insotit de copia dupa foaia matricola. 11. Absolventii promotiilor anterioare care se vor prezenta in sesiunile pentru examenul de licenta vor sustine examenele dupa sistemul stabilit in acest Regulament.

IV. Alte date privind examenul de licenta: In perioada 1-10 iunie, candidatii se vor inscrie pentru examenul de licenta/diploma/disertatie, completand cererile tip si depunand la Secretariatul facultatii lucrarea de licenta/diploma/disertatie.Lucrarea trebuie sa fie legata si sa cuprinda cca. 40-70 pag. Indrumatorii vor preda la Secretariat referatele asupra lucrarilor indrumate, cu precizarea notelor acordate acestora, inainte de 1 iunie. Candidatii ale caror lucrari obtin note sub 5.00 de la indrumator nu se pot prezenta la examenul de licenta /diploma/disertatie. Secretariatul facultatii intocmeste dosarele celor care se prezinta la examen (situatia cu mediile pe ani de studii, media generala pe cei 4 ani). Probele din sesiunea iunie 2005 se desfasoara dupa cum urmeaza: - examen scris la Proba 1: 14 iunie 2005; - sustinerea lucrarii de licenta/diploma: 17,18 iunie 2005. - sustinerea lucrarii de disertatie: 15,16 iunie 2005. Data si ora de intrare la fiecare proba sunt anuntate cu 24 de ore inainte de proba respective de secretarul de comisie. Notele probelor scrise si de la sustinerea lucrarii de licenta/diploma vor fi trecute in catalog cu semnaturile membrilor comisiei, de catre secretarul comisiei. Rezultatele se vor afisa dupa fiecare proba. In final secretarul comisiei examenului de licenta/diploma/disertatie va completa Anexa nr.2 cu rezultatele centralizate. Dosarele cu toate lucrarile comisiei examenului de licenta/diploma/disertatie vor fi predate, sub semnatura, secretarului facultatii si vor fi pastrate permanent. Lucrarile de diploma ale studentilor admisi vor fi predate, sub semnatura, la Secretariatul facultatii (lucrarile vor avea termen de arhivare 5 ani, cu comisie de selectionare).

Decan,

Prof. univ. dr. Wladimir-Georges Boskoff

Licenta 2005

Tehnologie Informatica Sisteme de operare 1. Stările proceselor în sistemele cu multiprogramare şi mecansime bazate pe întreruperi pentru modificarea stării unui proces. 2. Problematica comunicării între procese prin memorie comună şi soluţia de principiu. 3. Memoria virtuală: definiţie şi modele.Tabela de pagini văzută ca funcţie şi mecanismul de obţinere a adresei fizice din adresa virtuală. 4. Structurile de date utilizate de sistemul de operare pentru implementarea cu index noduri a gestiunii fişierelor. 5.Procese şi fire de execuţie: analiza paralelă. Retele de calculatoare 6. Retele de calculatoare: algoritmi de rutare. 7. Internet Protocol: retele şi subreţele – aplicaţii. 8. Nivelul legătură de date (Modelul OSI) – Standardele IEEE 802.3; IEEE 802.5 Baze de date 9. Algebra relationala. Operatori. 10. Modelul Entitate – Asociere. 11. Modelul relaţional al datelor. 12. Limbajul de interogare a datelor SQL. Comanda SELECT. Cercetări operaţionale 13. Dualitatea în programarea liniară.Rezolvarea simultană a unui cuplu de probleme duale. 14. Rezolvarea modelelor de tip transport. 15. Rezolvarea jocurilor matriceale.