Subiectul nr. 1NOIUNI ELEMENTARE DE ASTRONOMIE GEODEZICMicarea
de revoluie a PmntuluiAstronomia geodezicse sprijin pe dou pri mari
ale astronomiei generale i anume:
astronomiasfericiastronomiapractic.Astronomiasfericstudiaz micarea
aparentaatrilori definirea diferitelor sisteme de coordonate pentru
fixarea acestora pe sfera cereasc. De asemenea, sunt cercetate
fenomenele astronomice care modific coordonatele atrilor, precum i
problema timpului. Astronomia practic trateaz diferite metode de
observaii astronomice i calcule aferente pentru deducerea
coordonatelor atrilor i coordonatele diferitelor puncte
astronomo-geodezice de pe suprafaa Pmntului. Tot
naceastpartesuntcuprinseaparatelei
instrumenteleastronomicecucaresefac observaiile menionate. Datele
furnizate de astronomia geodezic sunt folosite de geodezie n
urmtoarele mprejurri: determinareaelipsoidului terestru,dup metoda
arcelor,unde metodele astronomice se folosesc la
calculareaamplitudiniiarcelorde pesuprafaaPmntuluisaudupmetoda
suprafeelor,cndse utilizeaz deviaiile relative ale verticalei,
rezultate din compararea coodonatelor geodezice cu coordonatele
astronomice; dac este adoptat o suprafa de referin pentru forma i
dimensiunile Pmntului, prin compararea coordonatelor geodezice i
astronomice prin punctele comune, se cerceteaz abaterile geoidului
fa de suprafaa de referin; latitudinea i longitudinea astronomice,
determinate ntr-un anumit punct al triangulaiei geodezice, au
constituit elementele de plecare iniiale pentru valorile
coordonatelor geodezice;
determinarealongitudiniiiaazimutuluinunelepunctealetriangulaiei
geodeziceconstituieun mijloc important de control; determinrile de
azimute astronomice n lungul traseelor de poligonometrie de
precizie pot constitui mijloace independente de control al acestor
lucrri; nregiunile foartegreuaccesibile i de importan economic,
punctele astronomice pot constitui baza
geometricpentruridicriletopografice; deoarece determinrile
astronomice sunt afectate de deviaia verticalei, aceste ridicri
sunt potrivite numai la scri mici 1:100000 i mai mici; n sfrit, n
anumite situaii, folosirea azimutelor astronomice poate fi foarte
eficace i economic la determinarile de puncte geodezice de ordin
inferior.11.1. Micarea de revoluie a PmntuluiDin oricare punct al
Globului ar fi privit cerul nstelat, acesta ne apare ca o calot
sferic infinit n al crui centru se afl observatorul. Pe aceast sfer
se vd proiectate stelele. Sfera corespondent a primit numele de
Sfer Cereasc.Locul stelelor pe sfera cereasc va fi dat de direcia n
care ele se vd, deprtarea lor rmnnd nedeterminat.Ipoteze pentru un
model simplificat al problemelor astronomiei practice: Pmntul este
un corp rigid i cu potenial constant; Axa de Rotaie a Pmntului ocup
o poziie constant nspaiu (i n interiorul Pmntului). Aceast
rotaienjurulproprieiaxesedesfoar pe parcursul a 24 de
ore,determinnd alternana dintre noapte i zi; viteza de rotaie este
constant; micareaPmntului njurulSoarelui (365-366zile),
denumitmicarederevoluie, arelabaz legile lui Kepler; stelele sunt
foarte ndeprtate de Pmnt i de aceea pot fi considerate ca puncte
fixe; propagarea razelor de lumin se face n linie dreapt cu vitez
constant.Toate ipotezele menionate mai sus au caracter
simplificator, nefiind strict adevrate.Legile lui KeplerPmntul, la
fel ca toate planetele, se deplaseaz n Univers dup legi care au
fost formulate de Kepler(1609-1619)
dupperioadeextremdendelungatedeobservaii.Planetes=rtcitor(limba
greac).Legea 1Planetele descriu elipse n micarea lor. Soarele se
afl ntr-unul dintre focare. Soarele fiind o stea, are o poziie fix.
Soareleseaflntr-unul dintrefocare.Fiecareplanetareorbitproprie,
ceaaPmntului numindu-se ecliptic. Ecliptica poate fi aproximat
printr-un cerc cu raza de aproximativ 150 000 000
km.2FFOeclipticaaPmntul Fig. 1.1. EclipticaPe ecliptic se pot
defini: punctul vernal poziia Pmntului la echinociul de primvar,cnd
ziua este egal cu noaptea pe ntregul Glob (~ 23 martie); afeliu
poziia Pmntului la solstiiul de var, cnd este ziua cea mai lung (~
3 iulie);poziiaPmntului laechinociul
detoamn,cndziuaredevineegalcunoapteape ntregul Glob (~ 23
septembrie); periheliu poziia Pmntului la solstiiul de iarn, cnd
este noaptea cea mai lung(~ 3 ianuarie); este numit linia
echinociilor; este numit linia solstiiilor.Micarea de revoluie se
face de la vest la est. Privind de pe Pmnt, ni se pare c Soarele se
deplaseaz de la est la vest (micarea aparent a Soarelui).Legea
2Raza vectoare a planetei descrie arii egale n intervale de timp
egale. Sau dup S. Heitz:: vectorul depoziieheliocentrical Pmntului
areovitezareolarconstant. Renumitul astronomromn,I.
Stamatinenunlegea2aluiKepleri subforma: vitezaareolaresteconstant,
adicsuprafaa descris de Pmnt Soare, nunitatea de timp, este
constant.Legea 3Raportul dintre ptratul perioadei de rotaie (T) i
cubul semiaxei mari (a) ale planetelor este o mrime constant:GMaTaT
32223121. (1.1)Constanta GM este denumit constant gravitaional
geocentrici a fost determinat abia n epoca geodeziei cu satelii.
AIG recomand n anul 1980 urmtoarele valori:. kg s m 10 672 , 6 G; s
m 10 860047 , 39 GM1 2 3 112 3 13 (1.2)Proprietile stelelorStelele,
inclusivSoarele, aumicri proprii foartelente, caresepot puneneviden
prin observaii preluatedinmarileobservatoarealelumii, cu
instrumentedeosebitdeprecise, laintervale relativ mari de timp. Din
acest motiv, n astronomia de poziie se consider c stelele au o
poziie fix la un moment dat, pe bolta cereasc, pentru oricare punct
de pe Pmnt. Afirmaia se poate explica printr-un 3 = 23,5Axa de
rotaie instantanee a Pmntului ( Axa Lumii ) exemplusimplu.
Secunosccca90deconstelaii pesferacereasc, ceamai
apropiataflndu-sela aproximativ 4,3 ani-lumin de Pmnt (viteza
luminii c 3 105 km/s).Dac s-ar considera dou puncte diametral opuse
pe Pmnt (M i M ) ar rezulta un unghi la centru (), observat n
centrul constelaiei de numai 0001 , 0 , ceea ce nu este practic
posibil de msurat.R 6,37 103 km (raza Pmntului);e 4 1013 km
(distana de la Pmnt la prima stea);Planul perpendicular
peAxaLumiicaretreceprincentrul Sferei Cereti intersecteazSfera
Cereasc dup Ecuatorul Ceresc. n raport de ecliptic se pot defini de
asemenea:polul nord() i respectiv polulsud( )aieclipticii. Axa se
numete Axa Precesiei, din considerente care se vor expune puin mai
jos.Planul eclipticiieste nclinat fa deEcuatorul Ceresccu un unghi,
numitnclinarea (oblicitatea) eclipticii i care are valoarea
aproximativ de: 23,5. Punctul vernal determinat de intersecia
ecuatorului ceresc cu ecliptica, atunci cnd Soarele trece din
emisfera sudic n emisfera nordic (la echinociul de primvar ~ 23
martie) .Planulparalel cuEcuatorulCeresc,
caretreceprincentrulPmntuluiintersecteazsuprafaa
acestuiadupEcuatorul Terestru. PlanulEcuatorului
Cerescpoateficonsiderat congruentcuplanul Ecuatorului
Terestru.4RROeMMFig. 1.2. Poziia Pmntului fa de constelaia cea mai
apropiat. = 23,5Axa de rotaie instantanee a Pmntului ( Axa Lumii )
Subiectul nr. 2Precesia i nutaia1.2. Precesia i nutaiaMicrile de
rotaie, precum i cea de revoluie a Pmntului, au loc n Univers fiind
influenate de micrile celorlalte planete. Din aceste motive,
anumite mrimi (distana de la Pmnt la constelatiile stelare, viteza
de rotaie a Pmntului, poziia Axei Lumii, .a.) se modific ntimp.
MS
Planul orbitei micrii de revoluie a Pmntului nu rmne fix; el se
nclin cu cca7 4 pe secol (7 4 , 0 pe an) datorit influenei
exercitate, n primul rnd de planetele Venus i Jupiter. Acest
fenomen este denumit precesie planetar (care reprezint, de fapt,
influena de atracie a tuturor planetelor).Efectele precesiei sunt
extrem de complexe. Dintre acestea se menioneaz: datoritprecesiei,
punctul vernalsedeplaseazpeecliptic, nsensul decreterea ascensiei
drepte;axa de rotaie a Pmntului nu rmne fix, ci descrie o micare
conic, care se nchide dup cca. 26000 ani.518,42 aniSensul
precesiei(~26000 ani) = 23,5PsPn (~Steaua Polara ) EEAxa precesiei
generaleFig. 1.4. Precesia i nutaia.Precesia + nutaiaAxa de rotaie
instantanee a Pmntului ( Axa Lumii ) EclipticaEcuatorul
cerescprecesie planetar a47(23,5x2)18,6
aninutatia18'',42ani26000dePeste precesie se suprapune o oscilaie
permanent a axei de rotaie a Pmntului, numit nutaie. Prin urmare,
conul precesiei nu este neted ci este un con ondulat.Nutaia se
datoreaz, n special, nclinrii orbitei Lunii n raport cu ecliptica (
0 5 ).Perioadanutaieiestemultmaimic,42 , 8 1 comparativcu47pentru
precesie,rezultnd un ciclu al nutaiei de 18,6 ani, care difer mult
de cel al precesiei planetare (~ 26000 ani).Concluzie:
PoziiilepunctelorPniPsnusuntfixeideaceeanastronomiapracticintervinnoiunile
poziia medie, respectiv poziia instantanee (momentan) a
polului.6Fig. 1.5. Detalii privind nutaia.1.3.Puncte, direcii i
plane fundamentale definite nraport cu punctul de staieSgur -
direcia firului cu plumb (verticala locului) n punctul
S;Aceastafiguranutrebuiefacuta, ci doar inteleasa, insensul
deaexplicacevadinfrazele urmatoaren oricare punct S de pe suprafata
Pmntului acioneaz o infinitate de fore (cap 2). Rezultanta acestora
se numete greutate sau gravitate, notat Sgur n Fig. 1.6. Direcia i
sensul acestei fore coincid cu direcia firului cu plumb sau direcia
perpendicular pe suprafaa unui lichid aflat n stare linistit, n
punctul S. Datorit structurii interne a Pmntului, a altor cauze
care se vor examina ulterior,verticala loculuiesteocurboarecare,
denumitaliniedefor. Tangentalaliniadeforintersecteazsfera
cereascnzenit(Z)inadir( Z ).
Dupaceastdireciesemsoaracceleraiagravitii ) g ( ise caleaz n staie
orice instrument geodezic. Planul determinat de Axa Lumiiiverticala
loculuin punctul M intersecteazSfera Cereasc dup un cerc mare
denumit meridianul punctului M (sau meridianul locului).7Fig. 1.6.
Puncte, direcii i plane fundamentale definite nraport cu punctul de
staie.Analog, nlocalitateaGreenwichdinapropieredeLondra,
undefuncioneazaunobservator astronomicfundamental cupeste200deani
vechime,AxaLumiiiverticalaloculuiformeaz, n pilastrul principal
alObservatorului astronomic Grenwich, meridianul origine(pentru
determinrile de longitudini astronomice i de timp universal).Planul
perpendicular pemeridianul locului i caretreceprinpunctul
MintersecteazSfera Cereasc dup un plan numit planul orizontului
(orizontul
locului).Meridianulintersecteazorizontulndoupuncte:punctulcardinalnordirespectivpunctulcardinal
sud (notate cu N i respectiv S).EcuatorulCeresc
intersecteazorizontuln dou puncte cardinale: est i respectiv vest
(notate E i W).Plan vertical:orice plan care conine verticala
loculuii se intersecteaz cu sfera cereasc este denumit plan
vertical. Planul vertical determinat de verticala locului i de
direcia est vest se numete primul vertical.Cercul
denlimehsaualmucantaratulsteleiesterezultatul intersecieiSferei
Cereticu planul perpendicular pe verticala locului i care trece
prin steaua considerat. Complementul inaltimii stelei se numeste
distanta zenitala : z = 90 - h1.4. Sisteme de coordonate utilizate
frecvent n astronomia de poziie (sisteme
astronomo-geodezice)Astronomia de poziieeste o parte aplicativ a
astronomiei. n cadrul astronomiei de poziie se studiaz aparatele i
metodele necesare pentru determinarea coordonatelor astronomice ale
punctelor de pe suprafaa Pmntului, precum i azimutele astronomice
ale unor direcii de interes.Deoarece
preciziadepoziionareapunctelor, realizat deastronomie, estedoar
deordinul metrilor, astfel de determinri au un anumit rost, atunci
cnd punctele sunt situate la distane foarte mari ntre ele. Metodele
astronomiei geodezice se folosesc numai n cazul reelelor geodezice
internaionale sau reelelor geodezice de ordin superior naionale,
numite i retele astronomo-geodezice.n principiu, un sistem inerial
este un sistem de referin care poate fi definit prin mrimi naturale
i careseafl ntr-ostarederepaus sau, mai realist,
nstaredemicareuniform, neaccelerat, cunoscut.1.4.1. Sistemul
Inerial Convenional. Acest sistem este cunoscut n literatura de
specialitate internaional subdenumireadeConventional Inertial
System(CIS), fiindunsistemcarepoatefi considerat fix sau cu
deplasri cunoscute nUnivers.8SistemulInerial
Convenionalesteutilizat
pentrudescriereatraiectoriilorsateliilorartificiali. Sistemul este
preluat din astronomia de poziie i poate fi descris astfel: planul
de baz al sistemului este Ecuatorul Ceresc originea sistemului O se
afl n centrul de mas al Pmntului; axa zTtrece prin polul nord
ceresc mediu, la momentul 1 ianuarie 2000, ora 12 (timp universal
TU). Aa cum s-a mentionat anterior, polul nord ceresc are o
deplasare pe sfera cereascdatorat influenelor de atracie ale
planetelor din Univers precesia i nutaia sub forma unei micri
conice (de form neregulat, spiral). Ecliptica este nclinat n raport
cu ecuatorul ceresc cu un unghi , variabil, n valoare medie de cca
23,5; axa xT trece prin punctul vernal (echinociul de primvar).
Planul (xT,yT) coincide cu EcuatorulCeresc; axa yT completeaz
sistemul cartezian.Poziia stelei(sau a satelitului S) poate fi
definit n CISn dou moduri: prin coordonate carteziene (xT, yT, zT)
i prin coordonate sferice ecuatoriale (r, , ): r raza vectoare (n
astronomia de poziie se alege r = 1) ascensia dreapt;
declinaia;91.4.2. Coordonate astronomice de poziie ale punctului S
sunt: latitudinea astronomic (S) pentru care se pot formula
urmtoarele definiii (Fig. 1.6): nlimea polului deasupra
orizontului; unghiul format de Axa Lumii cu planul orizontal;
unghiul format de verticala locului cu Ecuatorul Ceresc;
longitudinea astronomic (S): unghiul diedru format de meridianul
astronomic al locului cu meridianul astronomic origine (al
punctului Greenwich),cele doua coordonate definesc poziia
verticalei in punctul de staie S.1.4.3. Coordonateorizontale.
Asacums-amai mentionat, planulcaretreceprinverticala locului (Z Z )
se numete plan vertical. Poziia stelei pe Sfera Cereasc se poate
realiza n funcie de interseciileplanului verticalcuorizontul
locului, respectivcualmucantaratul stelei. Coordonatele
corespendente se numesc coordonate orizontale i pot fi definite dup
cum urmeaz: azimutulastronomicaldireciei M, (notat a), se msoar n
planul orizontului locului, n raport cu direcia sud. Se atrage
atenia c azimutul geodezic (notat A) se determin n raport cu
direcia nord.A 180 a. (1.6) nlimea stelei (deasupra orizontului) h
(arcul0 S) sau distana zenital a stelei z (arcul z)n (Fig. 1.6): h
+ z = 90.(1.7)10Subiectul nr. 3INTRODUCERE N GEODEZIA FIZICSisteme
de coordonate naturale utilizate frecvent n geodezia fizic
(teoretic)Sisteme de coordonate geodezice convenionale2.1. Sisteme
de coordonate naturale utilizate frecvent n geodezia fizic
(teoretic)Aa cums-a menionat i n capitolul anterior, exist o
legatur de principiu (chiar o interptrundere) ntre principalele
sisteme de coordonate utilizate n astronomia de poziieigeodezia
fizic (teoretic).2.1.1. Sistemul Inerial Convenional (se va detalia
in maxim doua trei randuri ce s-a scris in capitolul
anterior)2.1.2. Sistemul Terestru Convenional (denumit Conventional
Terrestrial System CTS) sau Origine Internaional Convenional
(Conventional International Origin CIO). Acest sistem este folosit,
de asemenea, att n astronomia de poziie ct i n geodezia fizic. M
11Fig. 2.1. Sistemul Terestru Convenional (CTS).SgorSHXTOYCTSXCTS
(GAM)S0Gsfera cereascSZT ZCTSCIOMeridianul astronomic origine(al
punctului Greenwich)GeoidulGEcuatorul CerescPnCercul orar
alpunctului vernal Sistemul Terestru Convenional (CTS) este
sistemul de referin fundamental al geodeziei fizice, avnd legturi
simple laSistemul Inerial Convenional(o rotaie a planului
(XCTSYCTS) n raport cu planul (XT YT) cu unghiul G denumit unghi
sideral la Greenwich in planul Ecuatorului Ceresc).Prin unghiul
sideral la Greenwich se orienteaz Pmntul n spaiul inerial n raport
cu stelele.Sistemul CTS poate fi descris astfel: originea O a
sistemului se afl n centrul de mas al Pmntului (de aceea sistemul
este denumit geocentric), la fel ca i n sistemul CIS;
axaZCTScoincidecuaxaZT, fiindorientat dingeocentrusprePolul
NordCerescmediu (Originea Convenional Internaional); axa XCTS se
afl situat la intersecia dintre planul meridian astronomic al
punctului Greenwich cu planul Ecuatorului Ceresc. n raport de
aceast ax se msoar longitudinile astronomice ; axa YCTS completeaz
sistemul cartezian (XCTS, YCTS, ZCTS).Prin punctul S situat pe
suprafaa fizic a Pmntului trece verticala locului, denumit i linie
de for, materializat n Fig. 1.6 prin sg. Aceasta este, n principiu,
o curb oarecare (perpendicular pe suprafeele de nivel pe care le
ntlnete) aa cum se va trata mai n detaliu n cap. 2.n cadrul
sistemului CTS se opereaz, de regul, cu coordonatele astronomice S
i S, care se definesc n felul
urmtor:S(latitudineaastronomicgeodezic) esteunghiul format
deverticalalocului cuecuatorul
ceresc;S(longitudineaastronomicgeodezic) este unghiul diedru format
de meridianul astronomic instantaneu (n timpul msurrii) al
punctului S i meridianul origine (al punctului
Greenwich).GeodeziaaintrodusosuprafaauxiliarconvenionalGeoidul(Listing1873),
careeste suprafaa de nivel zero folosit n geodezie n sistemele de
altitudini .Rezult cea de a treia coordonat orSH altitudinea
ortometric a punctului S, care mpreun cu S i S pot defini poziia
punctului S pe suprafaa fizic a Pmntului.2.2. Sisteme de coordonate
geodezice convenionaleAceste sisteme sunt definite prin elemente
care nu au echivalente naturale.2.2.1. Sistemul decoordonate
elipsoidale.DeoareceGeoiduleste osuprafa complex, extrem de
ondulat, descrierea sa geometric (sau analitic) este imposibil.
Geoidul poate fi reprezentat doar printr-oecuaiedenaturfizic,
devenindastfel osuprafadereferinnmultesistemede
altitudini.Pentruaseputeaefectuacalculecompletensistemespaiale,
Geoidul afost nlocuit n
Geodezieprintr-unelipsoidderotaie(cuturtiremiclapoli). nacest fel
calculeledingeodezia 12Ze( ) 21S( ) 2tStS( ) 31S( ) 3tS( ) 1tS'0 H
L BZ Y XSeS S Se e e0'eS S SetetettH L BZ Y XSZCTS(CIO) YeYCTS
XeXCTS (GAM)LSS1BS Fig. 2.2. Poziia relativ a Elipsoidului de
Referin n raport de Geoid. 0GN Elipsoidul de Referin
Geoidulsuperioar devin nu numai mai simple dar conduc, n acelasi
timp, la poziionarea punctelor geodezice cuoprecizierelativmult mai
marencomparaiecupoziionrileastronomice, careaucaracterabsolut.n
decursul anilor s-au folosit mai muli elipsoizi de referin, pentru
a cror determinare s-au folosit diverse soluii: originea sistemului
elipsoidal Oe s fie situat ct mai aproape de centrul de mas O al
sistemului CTS; axa de coordonate OeXe s fie ct mai apropiat de
OXCTS, i n mod analog se intenioneaz cu celelalte dou axe OeYe i
respectiv OeZe; elipsoidul (suprafadeordinul II) sfiencadrat
optimal ninteriorul suprafaei geoidului (abateri pozitive i
negative ct mai mici i egale numeric ntre cele dou suprafee, astfel
nct suma ptratelor abaterilor dintre cele dou suprafee s fie un
minim).netapaactual receptoarele careprimescsemnaledelaconstelaiile
desatelii determin coordonatele carteziene etetetZ Y Xla nivelul
terenului: ) 1 (t eetS O X , ) 2 (t eetS O Y i ) 3 (t eetS O Z
.13OeZCTS ZTSimultan se determin un alt grup de trei coordonate
care definesc, de asemenea, poziia spaial (tridimensional) a
punctului de staie S:
BSLSHeS.Pentruelucidareadefiniiilorcarevorurmaestenecesarintroducereanoiuniidenormalla
elipsoid N. Aceasta este o dreapt ce trece prin punctul de staie St
oarecare de pe suprafaa Pmntului i este perpendicular pe
elipsoid.Normala la elipsoid mpreun cu axa Ze formeaz meridianul
geodezic al punctului S.Acum se pot defini primele dou coordonate
geodezice folosite n geodezia elipsoidal:BS = latitudinea geodezic
(unghiul format de normala la elipsoid cu planul ecuatorului
su);LS=longitudinea geodezic(unghiul diedru format de meridianul
geodezic al punctului considerat cu planul meridianului geodezic al
observatorului Greenwich);Analog ca n sistemul anterior,
coordonatele BS, LS definesc doar poziia n spatiu a normalei N la
elipsoid. Pentru definirea poziiei punctului Stde pe suprafaa
terenului mai este necesar o a treia coordonat elipsoidal i
anume:eSH = altitudinea elipsoidala punctului S, raportat, de
aceast dat, la suprafaa elipsoidului folosit.Precizia de
determinare actual a coordonatelor etetetZ , Y , Xeste situat n
domeniul centimetrului, fiindcucel
puinunordindemrimesuperioarpreciziei
obinutdegeodezienepocaanterioar apariiei sateliilor artificiali ai
Pmntului.Geodezia elipsoidal clasic (pn la apariia sateliilor
artificiali) lucreaz cu punctele proiectate pe elipsoidul de
referinta 0S. Acestea au urmtoarele coordonate: coordonate
carteziene: Xe = ) 1 (1S Oe, Ye = ) 2 (1S Oe, Ze = ) 3 (1S Oe;
coordonate geodezice BS, LS, 0 HeS'0.Elipsoidul folosit
actualmentenaranoastrnmodoficial esteelipsoidulKrasovski. n
perioada 1930-1950 s-a folosit elipsoidul Hayford. n ultimul
deceniu se utilizeaz pe scar relativ larg sistemul geodezic de
referin WGS-84. Asupra acestor aspecte se va reveni n capitolul
urmtor.2.2.2. Sistemul de coordonate plane. Deoarece calculele pe
elipsoidul de referin sunt dificil de efectuat, acestea sunt
necesare numai pentru distane foarte mari (20 60 km) n lucrrile de
geodezie superioar. Pentrulucrri desfuratepesuprafeemici
(topografie, cadastru) punctelegeodezicese
proiecteazntr-unplandeproiecie,
problematiccesevaabordalaoaltdisciplinuniversitar: cartografia
matematic.14ZCTS ZTSubiectul nr. 4Datele geodezice de referinCmpul
gravific(la acest subiect recunosc ca sunt 11 pagini, dar nu am
putu sa le despart.Daca se scriu doua trei pagini fata/verso
punctand lucrurile esentiale e destul de bine)2.3. Datele geodezice
de referin2.3.1. Datele geodezice fundamentale de referin servesc
la ncadrarea optim a elipsoidului de referin n interiorul
geoidului, pentru suprafaa avut n vedere (o ar, un grup de ri, un
continent .a.).SeconsiderFunpunctfundamentalpentru care se cunosc
att coordonatele astronomice de poziie (F, F) ct i coordonatele
geodezice elipsoidale (BF, LF).15Fig. 2.3. Datele geodezice
fundamentale de referin.Elipsoidul de referinuForFH' 'eOFFBFF'
'0F'0FZOeXOeYOeOeOLFZCTS ZTZe(CIO)YeYCTSXeXCTSGeoidulPunctul F este
un punct de la care se ncep calculele n reeaua geodezic considerat
i de aceea el este denumitpunct fundamental.Deregul,punctul
fundamental este reprezentat de un observator astronomic cu mare
tradiie (cu peste 100 ani vechime sau chiar mult mai mult) n care
exist un pilastru principal al crui centru reprezint aa numitul
punct fundamental.Exemple:1. n anul 1930 s-a adoptat ca punct
fundamentalpentru Romniaobservatorul astronomic militar din Dealul
Pisculuicuovechimede120ani.Acest observator capunct fundamental al
reelei de triangulaie a Romniei a fost folosit n perioada
1930-1950.2. Observatorul de la Pulkovo, situat n Federaia Rus, la
cca 2000 km de Bucureti, are o vechime de cca 200 ani. A fost
folosit ca punct fundamental pentru reeaua Europei de est, iar
pentru Romnia ntre 1950i pnn prezent.n Romnia, sistemul oficial de
coordonate B, L are ca elipsoid de referin elipsoidul Krasovski iar
ca punct zero fundamental Observatorul astronomic din Pulkovo
(Federaia Rus).2.3.2. Datele geodezice de referinsunt acele mrimi
strict necesare i suficiente pentru a ncadra o anumit reea geodezic
n sistemul de coordonate corespondent. n cazul unei reele de
nivelment, datele geodezice de referin sunt reprezentate de cota
unui singur punct de nivelment, din reeaua dat. n cazul unei reele
de triangulaie datele geodezice de referin sunt reprezentate de:
coordonatele x, y ale unui punct geodezic din reeaua geodezic;
orientarea pentru o latur din reeaua geodezic; mrimea pentru o
distan (care va reprezenta scara reelei). n cazul unei reele de
trilateraien care se msoar toate lungimile, datele geodezice de
referin sunt reprezentate de: coordonatele x, y ale unui punct
geodezic din reeaua geodezic; orientarea pentru o latur din reeaua
geodezic.Reelele careaunstructura lor mai mult dect strictul
necesar i suficient se numesc reele geodezice constrnse (se va
reveni ulterior n manual cu explicaii suplimentare).2.3.3.
Amplasarea punctului zero fundamental n reeaua de nivelment. Orice
ar are o reea de nivelment naional mprit pe ordine, care trebuie s
porneasc de la o anumit cot (zero) ce se poate transmite n
continuare pentru un anumit teritoriu. n acest mod se realizeaz
referina n lucrrile de nivelment. rile cu deschidere la mare
folosesc n acest scop instrumente amplasate n apropierea
litoralului numite maregrafe care nregistreaz continuu variaia
nivelului zero al mrii respective.16Maregraful este un instrument
care are ca piesa principal un plutitor amplasat pe un canalfoarte
ngust, prin care vine ap de la mare n stare linitit. Creterea,
respectiv descreterea nivelului apei este transmis acestui plutitor
i instrumentul nregistreaz (continuu) variaiile respective.Pot
interveni dou mari cauze care genereaz aceste variaii: variaii ale
nivelul mrii; tasri sau ridicri ale uscatului.Pentru rezolvarea
acestor probleme complexe s-au realizat reele naionale (i chiar
internaionale) de maregrafe, legate ntre ele prin nivelment de
precizie (denumit i nivelment de coast). O concluzie dedus recent
de AIG este aceea c nivelul Oceanului mondial crete cu aproximativ
+ 0,1 mm/an.n anul 1930 s-a introdus, pentru Romnia, punctul zero
fundamental la Marea Neagr.n anul 1950, datorit influenelor
sovietice din acea vreme, s-a introdus punctul zero fundamental la
Marea Baltic iar n anul 1975 s-a revenit la punctul zero
fundamental Marea Neagr, reprezentat de reperul de nivelment de
adncime din Capela Cimitirului Militar din Constana.2.4. Cmpul
gravificUn punct material S situat pe suprafaa Pmntului este supus
aciunii unor fore multiple: gravitaia sau fora de atracie) (F care
este ndreptat spre centrul de mas al Pmntului; foracentrifug ) (q
provocatdemicareaderotaieaPmntului i careestendreptatctre
exteriorul Pmntului; forele de atracie exercitate de alte corpuri
cereti (dintre care forele de atracie ale Soarelui, datorit masei
sale i, respectiv ale Lunii, datorit apropierii sale de Pmnt, sunt
cele mai impotante). Se poate arta c:300qF. (2.7)17Datoritacestei
relaii, punctele, obiectelei persoaneleimeninpoziia pe Pmnt. Asupra
punctuluiPacioneaz, nprincipiu,toateplanetele din Univers, dar pe
msur ce distana crete,se micoreaz fora de atracie a acestora. De
aceea, de regul se iau n consideraie doar: este fora de atracie a
Soarelui; este fora de atracie a Lunii.Suma tuturor forelor care
acioneaz asupra punctului P se numete gravitategsau greutate:+ + q
F g++ q F + . (2.8)Pmntul este un corp elastic, care i modific
forma n timp, diametrul su ( 13000 km)are variaii, n zonele cele
mai elastice, de maxim 30 cm. Abordarea acestei probleme fiind
foarte dificil, n cadrul cursului, Pmntul se consider un corp
rigid.Sensul gravitii este sensul direciei firului cu plumb. Toate
instrumentele (topografice,geodezice etc.) sunt orientate n timpul
msurrii dup directia gravitii, prin calaj. Deoarece Pmntul are
structur diferit, forele F ignu sunt paralele pe suprafaa Pmntului.
Dup un calaj parfect, axa principal a instrumentului notat, de
obicei, cu V V este orientat dupg(verticala locului sau a punctului
de staie).Regiunea din spaiu n care se extinde influena complex a
atraciei gravitaionale i a rotaiei Pmntului constituie cmpul
gravitii sau cmpul gravific. Deoarece activitatea geodezic (cu
toate ramurile sale topografia, cadastrul .a.) se desfoar n cmpul
gravific, fiind influenat efectiv de acesta, este necesar studierea
(teoretic)a componentelor sale. Din aceste studii vor rezulta ns
concluzii deosebit de importante pentru geodezia aplicativ. 2.4.1.
Fora de atracie (gravitaia). Potrivit cu legea atraciei universale
a lui Newton fora de atracie reciproc F dintre 2 mase punctiforme
m1 i m2, situate la distana d este dat de relaia:022 1d fdm mG ,
(2.9)unde : - d0 este versorul forei de atracief;- G este constanta
atraciei universale. 18fff fFr a intra n detaliile care intereseaz
n mod deosebit geofizica se prezint unele informaii privind variaia
n mrimea densitii ce se pot urmri n figura urmtoare (Socolescu .a.,
1975).ntr-o prim zonare, de ordinul I, structura intern a Pmntului
este reprezentat de 3 geosfere: crusta terestr, mantaua terest i
nucleul. Limitele dintre aceste sfere se numesc 19DISCONTINUITI =
5,66 g/cm3 Gutenberg/OldhamFig. 2.6. Variaia densitii ctre
interiorul Pmntului.Crusta terestraMantauaNucleulA. Mohorov = 11,76
g/cm3 = 14 g/cm3 = 16 g/cm3 = 4,64 g/cm3 = 2,9 g/cm36378 km5150
km4700 km2900 km984 km30 km0 = 2,7 g/cm3discontinuiti de ordinul I:
discontinuitatea Mohorovii (denumit curent discontinuitatea Moho) i
respectiv discontinuitatea Oldham ori Gutenberg. Se apreciaz c
discontinuitatea Moho se afl la o distan medie de 33 km,
punctndu-se,ns, i variaii concave de 40-50 km, sub blocurile
continentale, i ondulaii convexe de pn la 5 km, sub zonele
oceanice.Crusta terestr este constituit din dou strate: stratul
bazaltic continuu i stratul granitic discontinuu, ambele de grosimi
variabile. Deasupra acestor strate urmeaz depozitele
stratuluisedimentar, care are, de asemenea, grosimi
variabile.Pentru stratul granitic se accept densitatea g = 2,7
g/cm3, iar pentru calcule mai precise 2,67 g/cm3.n continuare pot
fi mentionate i submpriri, respectiv discontinuiti de ordinul II, a
cror poziionare pe vertical n raport cu scoara terestr nu este
unanim acceptat n lucrrile de specialitate.2.4.2. Fora centrifug.
Datorit micrii de rotaie a Pmntului n jurul axei sale, punctulP
este supus unei fore centrifugeqcare este situat ntr-un plan
paralel cu planul ecuatoruluiterestru al punctului
P.20S(x,y,z)OXYZxyqOqxqy||X||YqrpS(x,y,z)S0yxrpFig. 2.7. Fora
centrifug.2.4.5. Gravitatea(greutatea) msurat (g).Aa cums-aartat
anterior, gravitatea este componenta tuturor forelor care acioneaz
asupra punctului P. n acest manual, se vor lua n consideraie doar
componentele principale menionate anterior.q F g + (2.55)Lucrndu-se
cu puncte de mas egal cu unitatea, gravitatea este numeric egal cu
acceleraia sa. Unitatea de msur n sistemul CGS este galul (1 gal =
1 cm s-2), denumire adoptat n memoria marelui nvat italian Galileo
Galilei. Deoarece la pol mrimea gravitaiei este aprximativ egal cu
983 gal, iar la ecuator 978 gal ar rezulta o variaie mult prea puin
semnificativ n aceast unitate de masur. De aceea n geodezia fizic
se lucreaz n miligali (1 mgal = 10-3 gal), instrumentele de msur
actuale avnd o precizie de ordinul a t0,01 mgal sau chiar i mai
bun.Mrimile care formeaz obiectul determinrilor gravimetrice sunt:-
acceleraia gravitii g;- variaii ale acceleraiei gravitii g;-
derivate de ordinul 2 ale geopotenialului Wyy Wxx, Wxy Wyz, Wzz.Aa
cum s-a menionat, acceleraia gravitii prezint variaii locale i
temporale, care depind de o mutitudine de factori, dintre care cei
mai importani sunt urmtorii: Forma Pmntului.Considerndu-se valorile
normale ale acceleraiei gravitii (care va fi definit ulterior, n
acest capitol):ge 978032.7 mgal; gp 983218.66 mgal, (2.56)se
nregistreaz o variaie ntre ecuator i pol de aproximativ + 5185,96
mgal.21SrFgqFig. 2.8. Greutatea g (n ipoteza formei sferice a
Pmntului). Distribuiaidensitateamaselorninteriorul
Pmntului.Variaiiledegravitategeneratede aceti factori se pot
constata prin msurtori gravimetrice efectuate pe ap i apoi, n
apropiere, pe uscat, respectiv pe o vale i pe dealul apropiat etc.
Diferenele dintre valorile msurate i reduse la suprafaa geoidului,
notategri valorilenormalealeacceleraiei gravitii
(consideratepeelipsoid)nusunt constante, diferenele maxime gr putnd
atinge valori de ordinul 200 mgal.
Influenelediverseexercitatedecorpurilecereti.Variaiiletemporale,
nregistratenpuncte staionare, datorate n mod deosebit Lunii i
Soarelui, sunt mai mici de 0.3 mgal. Gradientul vertical al
gravitii.Variaiagravitii nfunciedecotaHestedeaproximativ 0,0848
mgal/m. Modificri n potenialul gravitii. Acestea sunt datorate
circuitului apei n atmosfer, micrilor maselor n interiorul
Pmntului, deplasrilor polului mecanic .a., influena lor ajungnd
pentru un punct dat, la mrimi de ordinul a 0.01 mgal pentru un
deceniu.Dup cum se vede, variaiile gravitii sunt caracterizate prin
ordine de mrime cu totuldiferite i, ca atare, aparatele i metodele
de msurare trebuie s asigure o precizie corespunztoare acestei
variaii, n funcie de scopul urmrit.Msurtorile de gravitate se
bazeaz n prezent, pe utilizarea fenomenelor de oscilaie, de cdere
liber a corpurilor i de modificare a echilibrului unui sistem
deformabil, existnd urmtoarea clasificare uzual:Metoda dinamic, n
care msurarea gravitii se realizeaz prin urmrirea n timp a unor
corpuri nmicare. Aparatulclasicpentruacest
grupdemetodeestependulul.Dupmsurareaperioadei de oscilaie i a altor
parametri necesari, se calculeaz valoarea gravitii n punctul de
observaie.Rezultate mai precise s-au obinut prin procedee care
determin valori absolute ale acceleraiei gravitii, bazate pe legea
miscrii rectilinii uniform accelerate n cderea liber a
corpurilor.Metoda static, folosit la evaluarea variaiei gravitii
din punct n punct sau n timp, pentru un acelai loc, const n
examinarea strii de echilibru a unui sistem deformabil, asupra
cruia acioneaz simultan gravitatea (ca for independent sau ntr-un
cuplu de fore) i un factor antagonist de natur elastic (for sau
cuplu de fore). Instrumentul tipic pentru aceast metod este
gravimetrul static.Determinarea unor derivate de ordinul 2 ale
potenialului se bazeaz, n principiu, pe utilizarea unei metode
statice, care const n urmrirea strii de echilibru a unei prghii
suspendat de un fir de torsiune. Aciunea este reprezentat de un
cuplu gravitaional (n care intervin derivatele de ordinul 2 ale
potenialului), iar reaciunea de cuplul de torsiune al firului de
suspensie. Presupunnd constant coeficientul de torsiune al firului
sau cunoscnd legea sa de variaie, modificarea strii de echilibru
dintr-22unpunct naltul estedatorat, nprimul rnd, variaiilor
derivatelor deordinul 2alepotenialului. Acestea au dimensiunile
unui gradient, de exemplu:xgxWWzxxgradient orizontal, n direcia x
al gravitii.Gradientul vertical al gravitii Wzz nu este msurabil,
putnd fi determinat doar indirect. Unitatea de msur pentru aceste
derivate de ordinul 2 ale potenialului este reprezentat de variaia
de 0,1 mgal pe distana de 1 km:E scmcmskmmgal1 10 110101 . 011 . 02
952 3 , (2.57)fiindnumitEtvs, nonoareasavantului
maghiarcarearealizat aparatul pentrumsurareaacestei mrimi, numit
balan de torsiune.2.4.5.2. Msurtori relative de gravitate
(g).Variaiile acceleraiei gravitii sunt determinate cu ajutorul
aparatelor pendulare i respectiv al gravimetrelor.Determinri
relative cu aparate pendulare. n punctele P1 (iniial), unde
acceleraia gravitii g1 este cunoscut i n punctul P2, unde urmeaz s
se determine g2 se msoar perioadele T1 i respectiv T2 cu un anumit
pendul. Relaia (2.61) pentru aceste dou situaii fiind:;gL2 T1r1
2r2gL2 T , (2.67) se obine mrimea cutat: 22211 2TTg g (2.68)n
relaia (2.68) nu intervine lungimea redus Lr, ceea ce determin
simplificri remarcabile n msurtorile absolute. Principiile de
construcie a gravimetrelor.Gravimetrele moderne sunt gravimetre
mecanice, al cror
sistemdefuncionaresebazeazpeposibilitateadeconstatareaunormodificri
nstareade echilibru a unui sistem deformabil (resorturi, sisteme de
resorturi sau sisteme de torsiune), n funcie de variaiile
acceleraiei gravitii.Variaia deformriisistemului elastic (deci
implicit variaia acceleraiei gravitii) este pus n eviden de un
sistem indicator. Exigenele de determinare cu un gravimetru sunt
reflectate de erori de msurare de ordinul a t0,01 mgal sau i mai
mici (erori relative mai mici de 1 10-8). Aceast precizie
demsuraredeosebitestensoiti dealtecaliti remarcabile:
construcierobust, greutatemic, uurin de manipulare chiar n puncte
greu accesibile i n condiii dificile de exploatare.Una dintre
clasificrile uzuale ale gravimetrelor este urmtoarea:23
gravimetreneastatizate,careconinsistemedeformabileacrorvariaiedelapoziiade
echilibru este direct proporional cu variaia gravitii;
gravimetreastatizate,caresunt astfel realizatenct sconinunelement
suplimentar (denumit labilizator) care intervine la modificarea
strii de echilibru, adugnd aciunea sa la aciunea gravitii.2.4.5.3.
Retele gravimetricePunctul fundamental n reeaua gravimetric.Reeaua
gravimetric a rii noastre are ca reper fundamental
staiadependulSurlari,dincadrulObservatorului geomagnetical
Academiei Romne. Determinrile au fost efectuate n anii 1947 i 1948
cu un aparat tetrapendular Askania, de catre M. Socolescu
obinndu-se valoarea 980542.90 mgl n sistemul vechi Potsdam
(Khnen-Furtwngler) bazat pe msurtori cu aparate pendulare,
efectuate ntre anii 1898-1906 ( 3 . 981275 vechiPotsdamg mgal).n
gravimetrie este de remarcat, mult mai pregnant dect n cazul
triangulaiei sau nivelmentului, definirea unui sistem internaional
de referin, la care urmeaz s se racordeze reelele naionale.De
menionat c la nivel internaional au intervenit modificri importante
n intervalul de timp scurs, astfel c la a XIV a Adunare general a
UIGG desfurat la Lucerna n anul 1967 a fost recomandat o nou
valoare a gravitii la Potsdam: 1967Potsdamg= 981260 mgal. (2.72)O
origine internaional modern a fost definit la a XV-a Adunare
general a UIGG din anul 1971, desfurat la Moscova, cnd s-a hotrt
adoptarea Sistemului internaional de referin a crui denumire n
limba englez este International Gravity Standardization Net 1971
(IGSN71). Acesta nlocuiete sistemul Potsdam, fiind reprezentat de
1854 staii gravimetrice. Sistemul este caracterizat printr-o
precizie de ordinul t0.1 mgal, chiar de t0.01 mgal.Reelele
gravimetrice pot fi clasificate n: reele gravimetrice de sprijin;
reele gravimetrice de prospeciuni.Dintre reelele gravimetrice de
sprijin trebuie menionat n primul rnd reeaua gravimetric
internaional la care se racordeaz reelele naionale gravimetrice,
sistemul internaional astfel creat avnd o importan deosebit n
studierea formei i dimensiunilor Pmntului.Liniile i bazele
gravimetrice etalon au fost create de ctre Uniunea Internaional de
Geodezie i Geofizic pentru asigurarea unei bune racordri a
lucrrilor gravimetrice internaionale. Acestea au fost determinate
cu cea mai mare precizie posibil i la ele se racordeaz lucrrile
gravimetrice naionale.24Pentru scopuri naionale, fiecare ar are un
numar oarecare de baze gravimetrice etalon, pe care se verific i se
calibreaz periodic aparatura existent n exploatare. La noi n ar se
folosete baza gravimetricdinPoianaBraov, constituitdintrei
puncte(A1, A2, A3)pentrucares-audeterminat diferenele de gravitate
avute la dispoziie (GAK, Nrgaard, Worden .a.) rezultnd:06 . 0 94 .
492 1t A Ag gmgal;10 . 0 51 . 783 1t A Ag gmgal.(2.73)2.4.6.
Gravitatea normal ( ).Pentru numeroase scopuri, geodezia folosete,
de foarte mult timpi noiuneadegravitatenormalcareseobineprincalcul,
cuunefort infinit mai micdect gravitatea msurat. Formulele de
calcul sunt recomandate de AIG la diferite intervale de timp.
Astfel, n 1980 se recomand:1980 = 978032.7(1+0.0053024 sin2B
0.00000058 sin22B), (2.74)unde B este latitudinea
punctului.Variaiagravitii
normaledeasupraelipsoiduluidepindededensitateamaselorexistententre
elipsoid i suprafaa fizic.Fig. 2.13. Variaia gravitii normale
deasupra elipsoidului.n geofizic i n geodezie se consider de multe
ori c ntre suprafaa elipsoidului i suprafaa fizic este aer liber
iar oamenii de tiin au determinat o formul de calcul a gravitii
normale la nivelul terenului.
Subiectul nr. 525P(H)Helipsoidul de referinP0()Suprafee
echipoteniale2.5. Suprafee echipoteniale2.5.1. Suprafee de nivel,
geoidul, linii de for. Relaia cunoscut:) , cos( s g g gdsdWs , dW =
0sau, prin integrare:W (x, y, z) = constant = c. (2.83)Aceast
expresie reprezint ecuaia unor suprafee echipoteniale, denumite de
ctre Laplace,suparafee de nivel. Rezult c suprafeele de nivel sunt
perpendiculare, n oricare din punctele lor,pe direcia gravitii.
Datorit structurii interne a Pmntului aceste suprafee sunt foarte
complexe,cu multe ondulaii, fr muchii sau vrfuri.Schimbndu-se
valoarea constantei c din relaia (2.83) se obin diverse suprafee de
nivel.Dintre suprafeele de nivel posibile, pentru geodezie o
importan deosebit o are suprafaa de nivel zero, denumit geoid,
noiune introdus de ctre Listing n anul 1873. Aceast suprafa
echipotenial a fost propus de ctre Gauss ca figur matematic a
Pmntului:W (x, y, z) = W0 = constant. (2.84)AIG recomand n anul
1980:W0 = (6263686 t3) 10 m2s-2(2.85)Fiind n permanen perpendicular
pe direcia gravitii, geoidul are o configuraie foarte complex.
Modificrile de densitate din interiorul Pmntului conduc la
schimbarea geometrieisuprafeelor de nivel (inclusiv a geoidului)
deoarece curbura acestora depinde de densitatea . Din acest motiv
este imposibil o formulare analitic-matematic a acestei suprafee
complexe,dependent n permanen de distribuia i densitatea maselor n
interiorul Pmntului.Geoidul este definit uzual ca suprafaa medie a
mrilor linitite prelungit pe sub continente.26H. Bruns a formulat
scopul principal al geodeziei fizice ca fiind determinarea
suprafeelor de nivel ale cmpului gravitii, ceea ce echivaleaz cu
determinarea funciei potential W(x, y, z). n adevr, cunoscnd
expresia potenialului unui corp, se pot face estimri privind forma
suprafeeisale.Deoarece suprafeele de nivel sunt suprafee
echipoteniale, diferena de potenial dintre dou suprafee de nivel
este o mrime constant. Rezult c creterea de potential (deci de
lucru mecanic) nu depinde de drumul parcurs, pentru trecerea unui
punct de pe o suprafa de nivel pe alta (traseul 1 sau traseul 2 n
Fig. 2.14).Prin urmare, suma creterilor de potenial pe un contur
nchis, indiferent de sensul de parcurgere, este zero:0 dW .
(2.86)Oaltadirecieimportantpentru geodezie este directia h, paralel
cu direcia gravitii, adic perpendicular la suprafaa de nivel:1 )
cos( t h , g . (2.87) Pentru deprtarea dintre suprafeele de nivel
se alege sensul cresctor spre exteriorul suprafeei Pmntului (sensul
invers foreig ) i ca urmare din relaia (2.87) se va lua semnul
minus. Cu aceasta, se obine din relaia de baz (2.55):gdhdW
,(2.88)2712W + dWWFig. 2.14. Seciune prin suprafaa de nivel.unde dh
reprezint distana dintre suprafeele de nivel caracterizate prin
potenialele W i respectiv W + dW.Relaia (2.88) reprezint un exemplu
de legtur dintre aspectul geometric h i cel dinamic W n cadrul
problematicii abordate n geodezia fizic.Deoarece gec < gpol,
rezult c distana dintre dou suprafee de nivel se micoreaz de la
ecuator spre pol, deci suprafeele de nivel nu sunt paralele ntre
ele.Dinrelaia(2.88) semai
poatededuceoproprietateremarcabilasuprafeelordenivel.Deoarece ntre
dou suprafee de nivel g nu poate lua niciodat valoarea infinit,
rezult c distana dh, dintre aceste suprafee nu poate fi niciodat
zero. Aceasta nseamn c suprafeele de nivel nu se ating i nu se
ntretaie niciodat.Datorit structuriineomogene a Pmntului,suprafeele
de nivel suntsuprafee continue,nchise, frmuchii sauvrfuri.
Rezultcliniilecare intersecteazsuprafeele denivel sub unghiuri
drepte, vor avea o anumit curbur. Ele se numesc linii de for.
Tangenta la linia de for ntr-un punct P d direcia gravitiig , care
poate fi materializat prin directia firului cu plumb. O imagine
aproximativ, intuitiv, a suprafeelor de nivel i liniilor de for
este reprezentat n Fig.2.15.Segmentul de linie de for cuprins ntre
poziia punctului pe suprafa fizic a PmntuluiP i proiecia sa pe
geoid P0 se numete altitudinea ortometric ORPH .2.5.2.
Consecineleneparalelismului suprafeelordenivel.Pentruaurmri
uneledintre consecinele neparalelismului suprafeelor de nivel
pentru lucrrile geodezice, ne vom referi la sistemul dealtitudini
ortometrice, ncaregeoidul
estesuprafaadereferiniaraltitudineaortometriceste segmentul de
linie de for cuprins ntre poziia punctului, pe suprafaa terestr, i
respectiv pe geoid. Din figura 2.16-a se observ c suma diferenelor
de nivel elementare, msurate pe traseul cuprins ntre 28PorPHlinie
de forsuprafaa de nivelW = WPgeoid W = W0Fig. 2.15. Suprafaa de
nivel, linii de for.P0punctele A i B, notat ABBAh h nu este egal cu
diferena altitudinilor ortometrice ale punctelor A i B, notate
orAHi orBH .Cuaceastremarcsepunenevidenfaptul crezultatul obinut
direct prinlucrrilede nivelment geometric BAheste dependent de
traseul parcurs.Generaliznd(Fig. 2.16-b), rezult csumelediferenelor
denivel elementare, msuratepe traseele 1 i 2, nu vor fi egale ntre
ele, nici chiar n cazul ideal al observaiilor geodezice perfecte,
fr erori de masurare. n consecin, n poligonul format, va rezulta o
nenchidere, care se mai numete i eroare de principiu a
nivelmentului geometric geodezic.29BB0orBHAA0orAHgeoidA1aFig. 2.16.
Consecinele neparalelismului suprafeelor de nivel asupra
determinrilor nivelitice pe linii i poligoane de mari
dimensiuni.Subiectul nr. 6Sisteme de altitudini2.6. Sisteme de
altitudiniExist un numr relativ mare de sisteme de altitudini,
dintre care se vor meniona n continuare cele mai cunoscute.La un
sistem de altitudini, trebuiesc definite:suprafaa de referin;
definiia cotei (altitudinii) n sistemul respectiv;transformarea
diferenei de nivel msurate prin nivelment geometric (care este
unic) n sistemul de altitudini considerat.2.6.1. Numere
geopoteniale. Notm cu 0 punctul iniial (fundamental) n reeaua de
nivelment de la care pornete o linie de nivelment spre punctul P n
lungul creia s-au msurat att diferene de nivel ct i acceleraiile
gravitii. Din formula fundamental se obine: P0p pP0P00h g C W W dW
gdh.(2.96)Diferena CP ntre potenialul geoidului W0 i potenialul
suprafeei de nivel WP a punctului P este denumit numrul geopotenial
al punctului P, noiune introdus n anul 1955 n cadrul
AIG.Concluzii:Numrul geopotenial caracterizeaz, n mod natural, o
suprafa de nivel, fiind acelai pentru toate punctele situate pe
aceeai suprafa.( ) 1 n n1 n n2 12 11 01 0Ph2g g... h2g gh2g gC+ +
++ + ++ + . (2.97) Numrul geopotential se poate determina prin
efectuarea celor dou tipuri de lucrri: lucrri gravimetrice (g);
lucrri de nivelment geometric (h).2.6.2. Altitudinea
dinamic.Noiunea de altitudine dinamica a fost introdus de Helmert n
anul 1873. Dac ne referim ns la numrul geopotential CP, altitudinea
dinamic notat Hd se obine prin 30mprireanumruluigeopotenialcuo
valoare constant ianumecuvaloarea gravitiinormale,la altitudinea de
45, raportat la alipsoidul de referin:45P dPCH.(2.98)Din punct de
vedere dimensional altitudinile dinamice sunt exprimate n metri, ns
ele nu au o semnificaie geometric. Astfel, altitudinea dinamic a
unui punct nu poate fi reprezentat ca o distan de la o anumit
suprafa la punctul considerat. Aceste altitudini pstreaz, n
continuare, semnificaia fizic generat de mprirea numerelor
geopoteniale cu o constant aleas n mod convenional.Sistemul de
altitudini dinamice este caracterizat printr-o proprietate deosebit
i anume: punctele situate pe o anumit suprafa de nivel au aceeasi
altitudine dinamic.Referitor la nota de la nceputul paragrafului se
menioneaz: suprafaa de referin este geoidulcu potenialul (cunoscut)
W0; altitudineadinamicapunctuluiP(dPH )este definitcu
relaia(2.98),unde:45este gravitatea normal la nivelul elipsoidului
la latitudinea B = 45; 45 = 980617.6 mgali.Corecia dinamic:Pentru
dou puncte A i B diferena de altitudini dinamice poate fi scris sub
forma:( )
,_
B0A045A B45dAdBdB Agdh gdh1C C1H H H ; (2.99) BABAdB Ah g gdh H
45 451 1 . (2.100)2.6.3. Altitudinea ortometric. Definiia
altitudinii ortometrice este:PorPCg1H (2.105)undegreprezint media
valorilor gravitii n lungul liniei de for P0P atunci cnd se are n
vedere un numr infinit de segmente.Deoarece mrimeageste imposibil
de determinat practic, sistemul de altitudini ortometrice este un
sistem de altitudini ideal, de referin.Diferena de nivel n sistemul
de altitudini ortometrice se calculeaz cu relaia:orAB ABorABh H + ,
(2.106)unde orABreprezint corecia ortometric pe traseul
AB:31B4545BA4545ABA4545 orABHgHghg + . (2.107)2.6.4.
AltitudineaHelmert.Valoareamedie g , dinrelaia(2.105),
princaresedefinete altitudineaortometricnfunciedenumrul
geopotenial, nupoatefi determinatpractic, nmod riguros. Deaceea,
nlocul acestei mrimi s-auintrodusaltevalori,
nfunciedeanumiteipoteze, rezultnd diverse sisteme de
altitudini.Gradientul gravitaii n interiorul Pmntului este o mrime
de extrem de variabil, practic din punct n punct. Ca o mrime medie
se poate consideraHHg0848 . 0 . Rezult c graviatatea medie, notat g
, ntrevaloareanpunctual demsurareP(g) i npunctul reduspegeoidP(g0)
sepoate determina cu formula:H g g 0424 . 0 + , (2.78)Altitudinea
Helmert poate fi scris sub forma:H gCHP HP0424 . 0 +.
(2.108)AceastrelaieafostdedusdeHelmertnanul1890ideaceeaaltitudinilecorespondente
poart numele su.2.6.5. Altitudinea ortometric sferoidic.Sistemul de
altitudini sferoidice a fost unul dintre celemai
folositesistemenetapadedezvoltareageodeziei noricarear,
cndnusedispuneade msurtori gravimetrice. Dac nrelaia (2.107)
seintroduceg , se obineexpresia coreciei ortometrice
sferoidice:B4545BA4545ABA4545 orsABH H h + . (2.109)Formula de
calcul practic a coreciei ortometrice sferoidice, folosit i n tara
noastra n trecut, precumi nmulte alte ri dinEuropas-a dedus
princonsiderareaneparalelismului normal al suprafeelor de nivel (i
n care caz este valabil aproximaia menionat g ). Astfel, pentru
trasee de nivelment care merg dinspre sud spre nord, rezult din
(2.105): dHdH. (2.110)Pentru calculul practic n ara noastr s-au
considerat tronsoane n lungime de 1 km (ceea ce corespunde,
aproximativ, pentru B =' 1 ) obinndu-se:322.9.6. Altitudini
normale. n ara noastr este folosit, n prezent, ca sistem oficial de
altitudini, sistemul de altitudini normale, fondat teoretic de M.S.
Molodenski n anul 1945.Plecnd de la dificultile reale pe care le
prezint utilizarea altitudinilor ortometrice, dintre care
cunoaterea gravitii medii g n lungul liniei de for reprezint
impedimentul principal,Molodenski propune ca n locul cmpului
gravitii s se utilizeze campul gravitii normale.Acceptndaceast
ipotez, formulele de calcul se pot determina prinutilizarea
formulelor corespondente de la sistemul de altitudini ortometrice.
Astfel, definiia altitudinii normale a punctului P, notat nPH ,
este:PnPC1H, (2.113). Introducerea noiunii de sistem normal a
condus i la necesitatea schimbrii suprafeei de referin, n spe a
geoidului, folosit n sistemul ortometric.Pentru a nelege mai usor
caracterul suprafeei de referin n cazul sistemului normal, ne bazm
pe altitudinile elipsoidiceHe,definiten raport de elipsod, n cele
dou sisteme de altitudini avute n vedere (Fig. 2.17):PorPePN H H +
;PnPePH H + . (2.118)33PNPcvasigeoidgeoidelipsoidorPH nPHP0P0P 0P
P0geoid cvasigeoidFig. 2.17. Sistemele de altitudini ortometrice i
normale.Cu N se noteaz ondulaiile geoidului, care sunt specifice
utilizrii sistemului de altitudiniortometrice, iar cu perturbaiile
sau anomaliile altitudinilor.Se presupune o suprafa astfel
construit (Fig. 2.17), nct segmentul de normal la elipsoid sa fie
egal cu n orice punct n care se cunoate aceast cantitate. M.S.
Molodenski a denumitaceast suprafa cvasigeoid. Pe suprafee acvatice
ntinse (mari, oceane) cvasigeoidul coincide cu geoidul, sub
continente existnd diferene care depind de structura intern a
Pmntului. Pentru reperi de nivelment apropiai, situai la 1 3 km, pe
un traseu de la sud spre nord, se poate aplica i urmtoarea
formul:cmed AB mmABnAnBB kH h ) g (1h H H + , (2.119)unde: hAB este
diferena de nivel msurat;m valoarea acceleraiei gravitii normale,
calculat pentru media latitudinilor Bmedi la cota medie Hmed a
celor doi reperi;(g )m valoarea medie a anomaliilor acceleraiei
greutii, corespunzatoare celor doi reperi.34 33Subiectul nr.
7Noiuni de Geodezia
elipsoidalaFiguraPmntuluiesteaproximatnmodcurentngeodezieprintr-unelipsiodderotaie
cu turtire mic la poli. ncadrulgeodeziei elipsoidale estecuprinsi
studierea suprafeei elipsoidului n general,ca suprafa matematic,
pentru a obine fundamentarea metodelor de rezolvare a problemelor
geodezice. De menionat, de asemenea, c n mod obinuit, rezolvrile pe
elipsoid au n vedere numai coordonatele geodezice, urmnd ca
determinarea altitudinilor s fie realizat n mod separat. Aceast
separare, dintre determinarile de B i L pe de o parte i de He pe de
alt parte, a fost condiionat n special de dificultile care
caracterizeaz utilizarea n bloc a unghiurilor zenitale i respectiv
a unghiurilor (direciilor) orizontale, distanelor .a. Cele dou
categorii de msurtori geodezice sunt influenate n mod diferit de
fenomenul de refracie atmosferic i, ca urmare, au precizii i
domenii de utilizare diferite.Numeroase lucrri elaborate n ultimele
decenii i probabil i nc multe altele din deceniile care vin, repun
i vor repune n discuie posibilitile concrete de elaborare a
unorreele geodezice tridimensionale, a cror prelucrare s permit
elaborarea simultan, n mod unitar, a celor trei coordonate B, L,
He, care descriu poziia punctelor pe suprafaa Pmntului.Din
considerente de ordin didactic expunerea din manual se va opri la
cazul curent ntlnit n practica geodezic, de separare a aa-numitei
probleme planimetrice de problema altitudinii, prin care se
determin poziia punctelor geodezice. Se nelege c noiunea de problem
planimetric este improprie,
deoareceseopereazcucoordonatelegeodeziceBi L,
caresereferlasuprafaaelipsoidului de referin i nu la un plan
oarecare.Inconsecvena poate fi acceptat deoarece transcalcularea
coordonatelor B i L n coordonate plane nu reprezint dificulti
deosebite.n mod obinuit, n cadrul geodeziei elipsoidale sunt
studiate i reducerile observaiilor geodezice
efectuatepesuprafaaPmntuluilasuprafaa elipsoidului de
referin.Dinconsiderente generate de extinderealimitatacursului,
acestecorecii nuvorfi abordatenmanual. nacelai senssepoate meniona
c obiectul geodeziei elipsoidale cuprinde i alte probleme complexe,
cum ar fi de exemplu
calculeledetreceredelaunelipsoiddereferinlaaltul
(aa-numiteleformuledifereniale)acror expunere depeste, de asemenea,
cadrul acestui manual.35 33Pentruaoferi legturacualtepublicaii,
dinalteri, semenioneazcpentrunoiuneade geodezie elipsoidal se mai
ntalnesc:geodezie sferoidal(Zakatov 1976,Bagratuni 1962etc.),
geodeziematematic(Jordan1958etc.),geodeziegeometric(Heiskanen1969),
obiectul destudiu rmnnd, n principiu, acelai. n unele dintre
publicaiile menionate sunt studiate i teoriile matematice ale
proieciilor cartografice. n manualul de fa aceste aspecte nu vor fi
abordate deoarece ele constituie obiectul destudiual
uneialtedisciplinedinplanulde nvmntianumecartografiamatematic.
Rezultatele obinute la aceast disciplin vor fi utilizate ns n
exemplificrile numerice care nsoesc prezentarea metodelor de
prelucrare a observaiilor din reelele geodezice.3.1. Parametrii
elipsoidului de rotaie. Legturi ntre parametriPentru prezentarea
formulelor i dezvoltrilor ulterioare este necesar prezentarea
parametrilor geometrici prin care se poate defini, un elipsoid de
rotaie (Fig. 3.1.):
Fig. 3.1. Sisteme de coordonate convenionale.
B O A O a semiaxa mare (raza ecuatorial); (3.1) semiaxa
mic;(3.2) turtirea geometric; (3.3)36LBPEXXS0G) 2 (S) 1 (S) 3
(SPExxZSHenormala laelipsoidtS MBED Equation.3 oError! Bookmark not
defined. ddOD OC b ab afS2 2b a E excentricitatea liniar; (3.4)22
2ab ae prima excentricitate (numeric); (3.5)22 2bb ae a doua
excentricitate (numeric);(3.6)bac2 raza de curbur polar.
(3.7)Elipsoidul de rotaie poate fi definit prin doi parametri
geometrici, dintre care unul trebuie s fie liniar (lungime). Primii
trei parametri se mai numesc i parametri principali. n lucrri mai
dezvoltate se utilizeaz i ali parametri geometrici.ntre parametrii
geometrici ai elipsoidului de rotaie se pot stabili cu uurin
urmtoarele relaii principale de legtur:( ) f a b 1 ; (3.8)( )2 2 2e
1 a b ; (3.9)22' 111 1 1ee f++ ;(3.10)222 2e 1ef f 2 e + ;(3.11)(
)22222e 1ef 1f f 2e ;(3.12)( )222e 1 be 1be 1af 1ac + ;(3.13)aEe
;(3.14)bEe ;(3.15)Elipsoidul de referin, este elipsoidul folosit la
un moment dat, ntr-o ar sau n mai multe ri,
pentrurezolvareaproblemelor geodezice.
Acestaesteunelipsoidderotaiecuturtiremiclapoli. Reamintind c
parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaie au fost definii
anterior, n Tabelul 3.1. se prezint valorile numerice ale
parametrilor a i f pentru elipsoizii de referin care au fost
utilizai n decursul anilor n ara noastr, precum i pentru elipsoidul
caracteristic Sistemului Mondial de Referin WGS-84 folosit
actualmente n geodezia cu satelii.37 MBED Equation.3 oError!
Bookmark not defined. ddTabelul 3.1. Elipsoizi de referin utilizai
n RomniaDenumirea elipsoidului de referinAnul determinariiSemiaxa
marea[m]Turtirea numeric fPerioada de utilizare n RomaniaBessel
1841 6337397.115 1:299.1528 1873 1916Clarke 1880 6378243.000
1:293.5 1916 1930Hayford 1909 6378388.000 1:297.0 1930
1951Krasovski 1942 6378245.000 1:298.3 1951 prezentWGS-84 1984
6378137.000 1:298.2572235631990 prezent(neoficial)3.2. Sisteme de
coordonate utilizate frecvent n geodezia elipsoidalPentru
reprezentarea punctului St (situat pe suprafaa fizic a Pmntului) n
geodezie se folosesc. n principal. dou sisteme de coordonate
reprezentate n Fig. 3.2 i descrise n continuare detaliat. rFig.
3.1. Sisteme de coordonate utilizate frecvent n geodezia
elipsoidal.3.2.1. Sistemul cartezian geodezic (X Y Z) Pentru
simplificarea notaiilor renunm la indicele inferior e la sistemul
cartezian.originea O a sistemului se afl n centrul elipsoidului de
referin;axa X i axa Y sunt situate n planul ecuatorului
elipsoidului; axa X este situat n meridianul geodezic al celebrului
observator astronomic Greenwich situat n apropierea Londrei
(meridianul zero sau meridianul origine);38( ) 1S', ,, ,L
BtZtYtXtSLBPEXZ zYS0PGO( ) 1tS( ) 3S MBED Equation.3 oError!
Bookmark not defined. dd( ) 2tS) 2 (SStSxN' 0 , ,, ,eH L BZ Y
XScercul paraleluluipunctului Smeridianul origine(al punctului
Greenwich)meridianul punctelor St i SeStHPrinpunctul
StsepoateduceosingurnormallaelipsoidN. carenutreceprincentrul
elipsoidului dect n urmtoarele cazuri particulare: punctul St se
afl n P sauP ; punctul St se afl pe ecuator (deci exist o
infinitate de puncte). normala N intersecteaz elipsoidul n punctul
S.Observaii:ngeodeziacusateliisedetermincoordonatelecartezieneXtYtZtalepunctului
Stdepe suprafaa fizic:( ) 1t e tS O X ; ( ) 2t e tS O Y ; ( ) 3t e
tS O Z
.(3.17)ngeodeziaelipsoidalseopereazcupuncteraportatepeelipsoidul
dereferin. degenul punctului S. ale crui coordonate carteziene
sunt:( ) 1eS O X ; ( ) 2eS O Y ; ( ) 3eS O Z .(3.18)3.2.2.
SistemuldecoordonategeodeziceB.L.Sistemulde coordonate utilizat
este acelai (X Y Z). Punctele St i S au ns coordonate diferite:a)
Latitudinea geodezic B este unghiul format de normala la elipsoid N
cu planul ecuatorului (sensul pozitivdemsurarealatitudinii
Bestedelaecuator sprenormal). Rezultcexistlatitudini nordice i
respectiv latitudini sudice.b) LongitudineageodezicLesteunghiul
diedruformat demeridianul punctului Stconsiderat i meridianul
origine.Meridianul unui punct reprezint seciunea determinat prin
elipsoid de ctre un plan care trece prin punctul considerat i prin
axa polilorP P .Cameridianorigineesteacceptat unanimmeridianul
geodezical observatorului astronomic Greenwich. Acest observator
este utilizat i n astronomie (ndeplinete rolul deorigine pentru
longitudinile astronomice i respectiv pentru timp aa numitul timp
universal notat TU).Atenie.CoordonatelegeodeziceB.
Lnudefinescpoziianspaiuapunctului Stci doara normalei N la
elipsoid. Pentru definirea n spaiu a punctului St mai este necesar
o mrime:c) Altitudinea geodezic eStH:teSSS Ht.(3.19)Se pot meniona
urmtoarele localiti situate la limite extreme pentru teritoriul rii
noastre: limita nordic: comuna Horoditea5 1 48 B ; limita sudic:
Zimnicea7 3 43 B ;39 limita de est: Sulina 1 4 29 L ; limita de
vest: Beba Veche:5 1 20 L .Ca latitudine medie pentru ntrega ar se
consider Bm = 46.Punctul S. ca proiecie pe elipsoid a punctului St.
n lungul normaleiN are aceleai coordonate geodezice B. L cu cele
ale punctului St. ns He = 0.40Subiectul nr. 8Ecuaiile parametrice
ale elipsei meridiane. Ecuaiile parametrice ale elipsoidului de
rotaie.Raze de curbur principale3.3. Ecuaiile parametrice ale
elipsei meridianeEcuaia general a unui elipsoid de rotaie. exprimat
sub form implicit:0 1bZaY X2222 2 ++
(3.20)estepuinfolositngeodeziaeliopsoidal.
nmodfrecventseopereazcuecuaiileparametrice. n funcie de
coordonatele geodezice B i L. adic:( )( )( ).; ,; ,B Z ZL B Y YL B
X X (3.21)Pentrudeducereaacestoraesteutil ssedetermine. nprealabil.
ecuaiileparametriceale elipsei meridiane: x = x (B). z = z (B).
deoarece legtura dintre coordonatele X. Y. Z i respectiv x. z(Fig.
3.2) este imediat:. z Z; L sin y Y; L cos x X (3.22)Fig 3.2.
Ecuaiile parametrice ale elipsei meridiane.41S(B)Z zS(3)Sx90+BBr
xS0OzAa cum este cunoscut. ecuaia elipsei meridiane sub form
implicit este:0 1bzax) z , x ( f2222 + .(3.24)Dac se folosete un
alt parametru geometric n locul semiaxei mici:) e 1 ( a b2 2 2 .
(3.9)rezult:0 ae 1zx2222 + .(3.25)Se prefer formulele parametrice
ale elipsei n care intervine singurul parametru al punctului S
(latitudinea geodezic B).Coeficientul unghiular al tangentei la
elips n punctul S este:tg (90 + B) = ctg B.(3.26)Acest coeficient
unghiular poate fi exprimat i analitic ca fiind egal cu prima
derivat a funciei (3.24) de dou variabile. Difereniala total a
acestei funcii este:. 0 dzzfdxxfdf +(3.27)Din expresia de mai sus
rezult prima derivat a funciei. a crei semnificaie este panta
tangentei la curb:ctgBz fx fdxdz .(3.28)Sau sub forma:zfxfdxdz
.(3.29)3.4. Ecuaiile parametrice ale elipsoidului de
rotaieRevenindlaobservaiiledelanceputul paragrafului anterior
inlocuind n ecuaiile (3.22)rezultatele obinute cu relaiile (3.45) i
(3.46) se obin ecuaiile parametrice ale elipsoidului de
rotaie:42.VB sin ) e 1 ( cWB sin ) e 1 ( aZ;VL sin B cos cWL sin B
cos aY;VL cos B cos cWL cos B cos aX2 2 (3.47)3.5. Raze de curbur
principalePrin normala N ntr-un punct oarecare de pe suprafaa
elipsoidului pot trece o infinitate de plane. denumite plane
normale (deoarece conin N). Aceste plane intersecteaz elipsoidul
dup o infinitate de seciuni. denumite seciuni normale.Seciunile
care nu trec prin normal (care nu conin normala) se numesc seciuni
nclinate (ex.: seciuneaperpendicularpeaxapolilor.care
intersecteazelipsoiduldupcerculparalel alpunctului
respectiv).Dintre seciunile normale posibile una are raza de curbur
maxim i una are raza de curbur minim; acestea se numesc seciuni
normale principale i au proprietatea de a fi perpendiculare ntre
ele.3.5.1. Seciunea meridian.Seciunea meridian (care. aa cum se va
arta n continuare are raza de curbur minim) este reprezentat de
meridianul punctului S.Seciuneameridianareformaunei elipse.
fiindobinutdininterseciaplanului meridiancu elipsoidul de rotaie.
Raza de curbur a acestei elipse se noteaz cu M:dBdsBslim M0 B
.(3.48)n care ds este elementul de arc de elips:ds2 = dx2 +
dz2.(3.49)Rezult astfel:2 2dBdzdBdxM ,_
+ ,_
.(3.50)Calculul derivatelor necesare n relaia (3.50) se
realizeaz prin considerarea formulelor (3.39)i respectiv (3.46).
Astfel. de exemplu. prima derivat din (3.50) este:1]1
+ B cos B sin e 2 ) B sin e 1 ( B cos21) B sin e 1 ( B sin
adBdx2232 2212 2.(3.51)care. dup transformri simple. devine:4332W)
e 1 ( B sin adBdx .(3.52)Analog. se poate calcula i cealalt derivat
necesar. rezultnd:32WB cos ) e 1 ( adBdz .(3.53)n acest fel se
poate determina expresia razei de curbur a elipsei meridiane:32W) e
1 ( aM .(3.54)Prin transformri simple se poate deduce expresia:2 2
2V ) e 1 ( W .(3.55)astfel nct. prin considerarea i a relaiei
(3.40) rezult o alt posibilitate de exprimare a razei de curbur a
elipsei meridiane:3VcM .(3.56)Se observ c raza de curbur a elipsei
meridiane crete odat cu creterea latitudinii geodezice B. de la
ecuator spre pol.La ecuator. unde B = 0. rezult:. a ) e 1 ( a M; 1
W200< (3.57)La pol. unde B = 90. rezult:.; 19090a c MV>
(3.58)3.5.2. Seciunea primului verticaleste reprezentat de seciunea
normal perpendicular pe seciunea meridian. Seciunea primului
vertical i seciunea nclinat. a paralelului n punctul considerat. au
aceeai tangent. Se obine astfel legtura dintre raza de curbur a
primului vertical notat cu N i raza de curbur a paralelului. notat
r. legtur care satisface o celebr teorem. a lui Meusnier. din
geometria suprafeelor:B cos N r .(3.59) Deoarece r x (conform cu
(3.23)). se obine n continuare. prin utilizarea relaiilor
(3.45):VcWaB cosrN .(3.60)Din cele de mai sus rezult semnificaia
geometric a razei de curbur a primului vertical N = SS0n Fig.
3.2.44rSe observ c i raza de curbur a primului vertical are o
variaie de la ecuator la pol. crescnd n mrime odat cu creterea
argumentului B:La ecuator. unde B = 0. rezult:;; 100a NW; ) 1 (20a
e a M < .0 0 N M < (3.61)La pol. unde B = 90. rezult:;;
19090a c NV> ;90c M .90 90 N M (3.62)Numai la pol cele dou raze
de curbur principale M i N sunt egale. n celelalte situaii raportul
dintre razele de curbur ale seciunilor normale principale va fi:1 B
cos e 1 VMN2 2 2 + .(3.63)Rezult N M. motiv pentru care raza de
curbur N a primului vertical se mai numete i marea normal.Raza de
curbur a seciunii meridiane (M) precum i raza de curbur a seciunii
primului vertical (N) se pot calcula n funcie de parametrii
elipsoidului a. e2 i de latitudinea B a punctului S (sunt funcii de
poziia punctului pe un anumit elipsoid dat).45rSubiectul nr. 9Raza
de curbur a unei seciuni normale oarecari n funcie de razele de
curbur principale i azimutul geodezic A.Raza de curbur medie
Gauss3.6.Razadecurburaunei seciuni normaleoarecari
nfunciederazeledecurbur principale i azimutul geodezic A rrrr Se
consider un punct S pe elipsoid (situat pe un anumit meridian i pe
un anumit paralel). Prin acest punct se poate duce normala N la
suprafa (o unic posibilitate). Prin normal trec o infinitate de
plane normale. care intersecteaz elipsoidul dup seciuni normale.
fiecare avnd o alt raz de curbur.AzimutulAesteunghiul formatdecurba
c (directia S S ) cu direcia nord a meridianului. Se poate
demonstra formula Euler de calcul a razei de curbur a unei seciuni
normale. de azimut A:A M A NMNRA2 2sin cos + .(3.64)Dinrelaiademai
susseobservcrazadecurburaunei seciuni normaleoarecareeste exprimat
nfunciedeazimutul suAi. ncazul elipsoidului derotaie.
decurburileseciunii meridianului (M) i. respectiv. a primului
vertical (N). 46rprimul verticalmeridianul punctului Sparalelul
punctului SOBPPS0AEENS(c)Fig. 3.3. Razele de curbur a seciunilor
normale.3.7. Raza de curbur medie GaussMedia aritmetic a razelor de
curbur ale seciunilor normale care trec printr-un punct situat pe
elipsoid. atunci cnd numrul acestor seciuni tinde ctre infinit. se
numete raz medie de curbur sau raz medie Gauss. notat R: +A 2 A0 A2
20 AA2A sin M A cos NMNlim R .(3.67)Pentru a realiza media
aritmetic din relaia (3.67) utilizm urmtoarea schi ajuttoare:Fig.
3.5. Raza medie Gauss.Privind n lungul normalei N care trece prin
punctul S. meridianul (A = 0g) i primul vertical (A = 100g) se
reprezint ntr-un plan tangent la elipsoid. n acest punct. prin
linii drepte. Celelalte seciuni normale (de azimut oarecare Ai) se
reprezint prin curbe. Intervalul dintre acestea este considerat
finit (mic) A n Fig 3.5.Raza medie Gauss variaz. de asemenea. n
funcie de latitudinea geodezic B. nregistrnd la fel cu M i N. o
cretere de la ecuator (B = 0) la pol (B = 90):;0a b R < a ceaR
> 21290) 1 (.(3.73)Raza medie Gauss are o aplicabilitate
deosebit n geodezie i n cartografia matematic.47A = 0gSAiAA =
100g3.9. Arce elementareFie punctele S1 i S2 (situate pe acelasi
meridian) i respectiv S1 i S3 (situate pe acelai paralel). aa cum
este reprezentat n Fig. 3.6.Se va presupune c punctele S1. S2i
S3sunt finit apropiate. astfel nct arcul de meridian s1-2 (dintre
S1 i S2) i respectiv arcul de meridian sp (dintre S1 i S3) sunt
considerate finit mici i denumite arce elementare.3.9.1. Elementul
de arc de meridian.Deoarece raza de curbur M a elipsei pe care se
afl punctele S1 i S2 a fost definit cu relaia:dBdsBslim M0 B
.(3.48)lungimea arcului elementar de meridian dintre aceste puncte
se determin prin integrarea: 2121BBss2 1MdB ds s.(3.76) Lungimea
arcului de meridian de la ecuator pn la punctul considerat S(B)
poate fi determinat cu formula de mai sus. prin particularizrile:
B1 = 0 i respectiv B2 B.Se pot reine i urmtoarele valori:111 s1
km;(3.88)48L1PE'PGOe2L) L ; B B B ( S1 1 2 2 + ) L L L ; B ( S1 2 1
3 + ) L ; B ( S1 1 1pss1-2r1r11B2B1BO01SFig. 3.6. Arce elemetare
(de meridian i de paralel).1832 s1 m (mil marin);(3.89) 311 s
m.(3.90)3.9.2. Elementul de arc de paralel. Dac se au n vedere
punctele S1 i S2 (Fig. 3.6). situate pe
paralelulderazar1(latitudineaB1)la longitudinile L1i respectiv L2=
L1+L. lungimea arcului de paralel sp. dintre cele dou puncte va
fi:sp = r1(L2-L1)arc1. (3.91)Expresiademai naintepoatefi
determinat. deoarecer1=constant (pentruunparalel dat) rezultnd:sp=
N1cos B1 ( )1 2L L/. (3.92)De reamintit c 3437.7468 .49Subiectul
nr. 10Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic micRezolvarea
triunghiurilor geodezice miciRezolvarea preblemelor geodezice (de
baz) pe elipsoidul de rotaie3.10. Excesul sferic al unui triunghi
elipsoidic micPentru situaiile curent ntlnite n practica geodezic.
unde distanele dintre puncte s < 60 km. triunghiurile geodezice
(denumitetriunghiuri elipsoidicemici) sunt rezolvate catriunghuri
sferice. considerndu-se c acestea sunt amplasate.fiecare. pe sfere
medii Gauss proprii. de raze iBR. unde Bi sunt latitudinile
geodezice ale centrelor de greutate ale triunghiurilor
respective.Chiar i dupintroducereaacestor simplificri.
ngeodezienus-auaplicat direct formulele trigonometriei sferice. ci.
aa cum se va vedea. s-au aplicat metode specifice. care vor fi
examinate n continuare. i care au dus la importante economii de
calcule.Suma unghiurilor A. B. C dintr-un triunghi geodezic
amplasat pe o sfer medie Gauss de raz R (presupuse ca neafectate de
erori de msurare) este ntotdeauna mai mare dect 200g. diferena
rezultat fiind denumit exces sferic: = A + B + C 200g. (3.95)Fig.
3.9. Excesul sferic.Iniial se calculeaz o latitudine medie
provizorie:3B B BB*3*2*1 *+ + .(3.96)cu care se poate calcula raza
medie Gauss provizorie (relaia (3.71)).Suprafeele fusurilor sferice
pot fi exprimate sub o prim form:, ) ' (; ) ' (; ) ' (B A C S C AB
S CCC B A S BBBC A S AA + + + + (3.97)50A BABCCOunde.
cuSs-anotatsuprafaa(pesfer)atriunghiuluigeodezic considerat.Din
nsumareacelor trei relaii rezult:S R S R S CC BB AA 2 2 2 3 ) ' ( )
' ( ) ' (2 2+ + + + .(3.98)De asemenea. suprafeele fusurilor
sferice se pot exprima i sub forma:, 4400) ' (; 4400) ' (; 4400) '
(222RCCCRBBBRAAAgggggg (3.99)din a cror nsumare se obine:) (2002) '
( ) ' ( ) ' (2g g ggC B ARCC BB AA + + + +.(3.100)Din egalarea
relaiilor (3.98) i (3.100) rezult:( ) S C B A Rg g g g g + + 400
200 22 .(3.101)de unde:2cc2gccRSRS2400 .(3.102)Cu cc s-a notat
numrul de secunde dintr-un radian. care este cc =2000000cc/=
636619.7723.Strict riguros. n relaia (3.101) de determinare a
excesului sferic ar trebui folosit suprafaa S pe sferatriunghiului
geodezic. Deoarecemrimeaacesteianusepoatedeterminanaceastetapa
calculelor. precum i datorit faptului c se au n vedere triunghiuri
geodezice mici (cu laturi s < 60 km) se poate folosi suprafaaSn
plan a triunghiului considerat. Este recomandat ca n triunghiul
plan s se efectueze o prelucrare preliminar. aproximativ. astfel
nct suma unghiurilor s fie 200g.' SFig. 3.10. Triunghiul plan
ajuttor la calculul excesului sferic.n aceste condiii. rezult:51AB
Cc ba2' sin ' '2' sin ' '2' sin ' ' A c b B b a C b aS .(3.103)iar
excesul sferic se va calcula cu relaia:2cc ccRS .(3.104)Relaia de
mai sus se poate aplica i pentru situaii mai rar ntlnite (60 km
< s
