SÜ - A Demirkol -örnekleme

İşaretler ve Sistemler – Signals & Systems : Örnekleme-ayrık dönüşümler Dr. A.Demirkol

1

BÖLÜM 9

ÖRNEKLEME TEORİSİ

GİRİŞ Bir işaretin, kendisinden eşit zaman aralıklarıyla alınan örneklerden tekrar elde edilebilmesi önemlidir. Sürekli işaretten alınan örnekleri, diğer bir deyişle ayrık noktaları göz önüne alalım. Bazen alınan örnekleri sağlayacak kaynak işaretler birden fazla olabilir. Yani aynı ayrık noktaları verecek işaret sayısı oldukça fazla olabilir. Aşağıdaki şekil bu yaklaşıma örnektir. )(2 tf )(1 tf

)(3 tf t T3− T2− T− 0 T T2 T3 Şekil 1 Farklı sürekli işaretlerin aynı T zamanlarında aynı değerleri üretmesi Verilen şekil örnekleme teorisinin önemini ve özelliğini çok açık olrak vurgulayan çarpıcı bir örnektir. Görüldüğü gibi üç sürekli ve farklı işaretin )(1 tf , )(2 tf ve )(3 tf eşit uzaklıktaki (zamanlardaki, kT) kesişimleri aynı ayrık noktaları vermektedir. Kesişimler dikkate alındığında

)()()( 321 kTfkTfkTf == durumu söz konusudur. Aynı değerleri, örnekleri veya ayrık noktaları veren birden fazla tesadüfi işaret ortaya çıkmıştır. Üç işaret aynı değerleri verdiğine göre bu noktalardan acaba tekrar orijinal üç işareti elde etmek mümkün olabilecek mi. Ortada üçtane sürekli-zaman işareti ve bir tanede bunların kesişim değerlerinden oluşan ayrık-zaman noktalı bir işaret var. Duruma göre ayrık işaret birden fazla sürekli işaretten elde edilebilmektedir. Bunun tersi doğrumudur?. Elde edilen ayrık-zamanlı işaret eğer tekrar sürekli-zaman işaretlerini oluşturabilecekse bu mantıklı olurdu. Ama ortada şu sorun vardır : tek bir ayrık-zamanlı işaretten nasıl olacak ki üç tane farklı sürekli-zaman işareti elde edilebilecektir?. Bu mümkün olamaz. Tek bir ayrık-zamanlı işaret yine bir sürekli-zaman işaretini tam olarak oluşturabilecektir. Örnekte görülen )(),(),( 321 tftftf işaretleri aynı ortak noktalara sahip olmasına rağmen, her bir işaretin bu tür ayrık noktalardan tekrar elde edilebilmesi için bazı ön koşullara gerek vardır.


2

Örneğin işaretlerden herhangi birinin ayrık noktalardan tekrar elde edilebilmesi için söz konusu ayrık noktaların (örneklerin) sayısı (hacmi) önemlidir. Her işaret için bu ayrık noktaların sayısı farklı olacaktır. Bu sayı neye göre değişecektir?. İşaretin içeriğiyle ilgili en önemli parametre olan frekans bu açıdan belirleyicidir. Bu durum yukarıdaki

)(),(),( 321 tftftf şekillerinde görülmektedir. İşaretler aynı noktaları sağlamasına rağmen her biri farklı frekanslardadır. Bu farklı işaretlerden elde edilen noktaların sayısı farklı olacağı için bu örneklerden tekrar orijinal sürekli-zaman (analog) işaretlerin tekrar elde edilmesi de mümkün olmayacaktır. Çünkü farklı frekanslı işaretler demek, her birinin farklı ayrık noktaları olabileceği anlamına gelmektedir. Eğer farklı frekanslı işaretlerden daima aynı sayıda örnek noktası alınırsa durum şöyle açıklanabilir: aynı parçayı farklı frekanslardaki müzik aleti ile çalmayla eş değerdir. Bu durumda kulağa tam kıvamında (frekansında) sesler gelebileceği gibi daha düşük kalitede seslerde duyabileceğiz. Bu kalitesiz sesler daha ziyade olması gerekenden daha düşük frekansla çalındığında çıkan seslerle ilgilidir. İşte aynı müzik parçasının olması gerekenden daha düşük frekansla çalınması durumunda sesin bayılması (fading) gibi bir ses ortaya çıkar. Bu duruma örnekleme teorisinde “örtüşme” (aliasing) denilmektedir. Bunun sinema filmlerindeki arabaların dönen tekerinin sanki duruyormuş gibi yada geri dönüyormuş gibi görünmesiyle bağlantısı var. Buna sebep olan gözümüzün seyretme anındaki frekansının tekerin frekansından düşük olmasıyla açıklanabilir. Verilen şekle göre teorik açıdan bu örneklenmiş işaretten tekrar orijinal işaretler

)(),(),( 321 tftftf elde edilebileceklermiş gibi görünüyor?. Ancak bunun böyle olamayacağı örnekleme teorisi ile açıklanabiliyor. Örnekleme teorisi ile yukarıdaki işaretlerle oluşan karmaşa ortadan kalkmakta ve işaretlerin örneklerinden tekrar elde edilmesi üzerine kural ve standart getirilmektedir. Bu teori yardımıyla her farklı işaretin örnek sayısı farklı alınmakta ve sonuçta bu örneklerden orijinal işaret tekrar elde edilmektedir. Örnekleme teorisi bunu sorun (örtüşme, aliasing) kabul eder ve oluşmamasının standardını ortaya koyar. Mevcut sürekli-zaman işaretlerinin aynı ayrık noktaları (örnekleri) oluşturmaları mümkündür ve bu örtüşme (aliasing) olarak adlandırılan kavram ile açıklanabiliyor. Eğer )(),(),( 321 tftftf işaretleri aynı örnekleme frekansıyla örnekleniyorlarsa )( ve)( 32 tftf işaretlerinin frekansları

)(1 tf işaretinin frekansının “örtüşeni (aliasing)” olması durumunda, )( ve)( 32 tftf işaretlerinin oluşturacağı örnekler )(1 tf ile aynı olacaktır. Yukarıdaki şekil böyle bir duruma uygun düşmektedir. Ancak bu durumda her üçü aynı örnekleri göstermesine rağmen, bu örneklerden sadece )(1 tf işareti tam olarak tekrar elde edilebilirken (reconstruction), aynı örneklerden )( ve)( 32 tftf işaretleri tekrar elde edilemeyeceklerdir. Bu, örnekleme teorisinin önemli bir sonucudur. Farklı işaretlerin açıklanan sebeplerden dolayı oluşan örneklerinden orijinal işaretlerin tekrar elde edilemeyişleri “band-sınırlı” kavramıyla da açıklanabilir. Band sınırlı işaretlerin değerleri belirli bandın dışında sıfırdır (Fourier transformasyonları sıfır; Bω π2> için 0)( =ωF ). Böylece band-sınırlı işaretin en yüksek frekans değerine (B Hz) göre örnekler alınacağından ve bu değer her bir işaret için farklı olacağından, sonuçta alınan örneklerde farklı olacaktır. Diğer bir deyişle birden fazla farklı ama band-sınırlı işaret yukarıdaki şekle benzer aynı noktaları oluşturmayacaktır artık. Bu yolla örneklemenin özelliği ve önemi ortaya çıkmaktadır. Buna göre birbirinden farklı olan her bir işaretin örnekleme frekansına göre alınan örnekleri veya ayrık noktaları farklı olacağından, yukarıdakine benzer olarak aynı değerleri veren farklı birden fazla işaret artık söz konusu olmayacaktır.


3

Örnekleme Belli koşullar altında sürekli-zaman (analog) işareti kendisinden alınan örneklerle ayrık formda gösterilebileceği gibi (construction), bunun sonucunda aynı örneklerden tekrar elde de edilebilir (reconstruction). Bunun için öncelikle işaretin band-sınırlı (band-limited) olması gerekecektir. Böyle bir band sınırının örneğin B Hz olduğu kabul edelim. Bu koşul sağlandıktan sonra örneklerin zamanda (zamana bağlı olarak) eşit aralıklarla alınması gerekecektir. Bu eşit aralıkların örnekleme frekansı olarak tanımlanan SF frekansının, band-sınırlı işaretin frekansının en az iki katı (2B) veya iki katından büyük ( B2≥ ) olması gerekir :

BF 2S ≥ Bu denklem, yöntemi geliştiricisinin adıyla anılan Nyquist örneklem kuralı olarak bilinmektedir. Burada sF örnekleme frekansı, B de örneği alınacak band-sınırlı sürekli-zaman işaretinin frekansıdır. Örnekleme frekansının minumum değerinin

BF 2minS- = olması gerekir, ki bu durumdaki Nyquist miktarı (rate) olarak anılır ( NFF =min-S ). Bu koşullar altında sürekli-zaman işaretinin örneklenerek ayrık-zaman formunda gösterilmesi işlemine kısaca “örnekleme” veya genel anlamda buna imkan tanıyan işaret analizlere “örnekleme teorisi” adı verilmektedir. Ayrıca ilgili koşullar altında ( BF 2s ≥ ) sürekli işaretten alınan numunelere de “örnek” adı verilmektedir. Örnekleme teorisinin uygulanabilmesi için iki temel kriter olan

1. Band-sınırlı işaret 2. Örnekleme frekansı ( BF 2s ≥ )

Band Sınırlı İşaretin Örneklenmesi ve Konvülasyon Fourier transformasyonuna göre band dışında (band genişliği : 12 ωω − ) Fourier transformasyonu sıfır olan [ 0)( =ωF ] işaret band sınırlıdır. İşaretin sonsuz büyüklükteki

) , ( ∞+−∞=ω band genişliğinde olması durumunda işaretin enerjisinden dolayısıyla da band genişiğinden bahsetmek mümkün olmaz. Bu yüzden örneklenmeye dahil olacak işaret band sınırlı ve Fourier transformasyonu mevcut olmalıdır. Diğer yandan niçin örnekleme frekansı örneklenecek işaretin frekansının veya band genişliğinin iki katı olmalıdır?. Bu sorunun cevabını sinusoidal yaklaşımla verebiliriz. Eğer iki aynı frekanslı (hızdaki) sinusoidal işaret mevcut ise aşağıda şekil (a) daki gibi düşünebiliriz. Her ikisi aynı frekanstadır ( 21 ωω = ). Bu durumda aynı A noktasından harekete başlayan araçlar olarak düşündüğümüzde birinin diğerini geçerek B noktasına daha önce gelmesi mümkün olmayacaktır. Şimdi işaretlerimizin farklı hızlarda olduğu (b) seçeneğini göz önüne alalım.


4

1ω A B 2ω Şekil 2a): Aynı Frekanslı işaretler 21( ωω = ) 1ω 12ω Şekil 2b): Farklı frekanslı işaretler 1ω 1ω 1ω 12ω A B C D Şekil 2c): Farklı işaretlerin Frekans Davranışı


5

Görüldüğü gibi (b) de işaretlerden birinin frekansı diğerinin iki katıdır ( 1ω , 12ω ). Diğer bir deyişle birinin hızı diğerinin iki katıdır. Eğer bu iki işaret (c) de gösterildiği gibi A noktasından hareket ederlerse hızlı araç yavaş aracın aldığı mesafenin iki katını katetmiş olacaktır. Buna göre aynı hızda gittiklerinde yavaş araç C noktasına geldiğinde hızlı araç D noktasına varmış olacaktır. Burada şunu da düşünebiliriz. Hızlı aracın, yavaş aracın ilk noktasından itibaren BC aralığındaki tüm noktalarını tek tek görebilmesi için onu yakalayıp ve C deki görünen uç noktasının önüne geçmesi gerekir. Bunu hızlı aracın yavaş aracın önce arkasını sonra aracın içindeki en arkadaki yolcuları, devamla ortadaki ve en öndeki yolcuları ve de şöförünü geçtikten sonra bu kez yavaş aracın önüne geçmesi işlemine benzetmek mümkündür. Bu aslında tipik bir konvülasyon işlemidir. Buradan şu sonuç ortaya çıkıyor ki bir periodluk ve bir frekanslı (bir saykıl) bir işaretten her alteransta bir örnek alabilmek için, ikinci işaretin frekansının en az birinci işaretin frekansının iki katı olma zorunluluğu vardır. Bu yüzden örneklemede örnekleme frekansı, işaret frekansının en az iki katı olması kuralı vardır ( BF 2s ≥ ). Bundan dolayı 1ω frekanslı işaret en az 12ω frekanslı işaretle örneklenmelidir. Bu durumu vurguladığımız gibi konvülasyonlada açıklamız mümkündür. 1ω 1ω 12ω A B C D Şekil 2d): Konvülasyon : Farklı işaretlerin Frekans Davranışı : 11 2* ωω Buna göre hızlı işaret yavaş işaretin solundan (sıfır noktasından) başlayarak yavaş işlemle ilgili kesişen ortak noktaları belirleyecektir. Bu ortak noktalarda örneklenen noktalar olarak düşünülebilir. Bu ortak noktalar iki farklı işaretin frekans konvülasyonu olarak düşünülebilir ( 11 2* ωω ).


6

Nyquist Örnekleme frekansı Temel olarak Nyquist kuralı Shannon bilgi teorisi üzerine kurulu ve onun sonucu olan bir yaklaşımdır. Bu yaklaşımın ifadesine göre

)1(log2N

S

PP

BC +=

Belli bir C bilgi kapasitesinin işaretin band genişliği B (Hz), işaretin gücü SP ve NP gürültüyle ilişkilidir. Sürekli-zaman işaretinin band sınırlı olması anlaşıldıktan sonra, örnekleme teorisi uygulanabilirdir. Bunun için alınacak örneklerin zaman olarak birbirlerinden eşit ve de yakın aralıklarla dizilmiş olması gerekecektir. Bu homojen aralığı sağlayan kavram örnekleme frekansı olarak anılmaktadır ve SF ile gösterilmektedir. Bu değer ile yukarıda band sınırlı işaretin en yüksek değerli frekansını gösteren B değeri arasında örneklemeyi gerçekleyecek bir bağıntı mevcuttur. Nyquist örnekleme frekansı olarak anılan

Nf frekansı SF örnekleme frekansının yarısına eşittir.

2S

NF

f =

Bu kurala göre, örnekleme frekansı SF , band sınırlı işaretin (maksimum B frekanslı) frekansının en az iki katı kadar olmalıdır koşulu sağlanmalıdır.

BF 2S ≥ Nyquist kuralı olarak anılan bu yöntemin garanti edilmesi durumunda ancak band-sınırlı sürekli işaret tekrar örneklerinden elde edilebilmektedir. Bunun sağlanamaması durumunda tekrar elde etme (reconstruction) mümkün olmayacaktır. Minumum anlamda dahi en azından

BF 2min-N = olmalıdır. Bu durumdaki frekansa Nyquist miktarı (frekansı) denilmektedir ( NN FF =min- ). Örnekleme frekansına göre örnekler eşit zaman aralıklarıyla alınacağı için aynı zamanda örnekleme periodu ( ST ) kavramıda gündemde olacaktır. Buna göre örnekleme periodu, örnekleme frekansı ve Nyquist değeri arasında

BT

BF 212S

S ≥=≥

ve

BT

21

S ≤

bağıntıları olacaktır. Buna göre örnekleme periodu ST , band-sınırlı işaretin belirttiği B21

değerinden bile küçük alınmalıdır gerçeği ortaya çıkar.


7

Bunun daha yalın bilinen anlamı, örneklenecek sürekli işaretten alınacak örnekler zaman olarak birbirine son derece yakın olacaktır. Burada frekans açısından örnekleme

spektrumunda sF örnekleme frekansı her birinin aralığı B21 olan çok sayıda örnekle dolu

olacaktır. Bunun sonucu olarak birbirine son derece yakın ve çok sayıda örnek alınacak demektir ki, buda sağlıklı bir örneklemenin gereğidir. Örneklemede kullanılan terimler )(ωF B− 0 B ω Şekil 3 Band sınırlı işaret Nyquist miktarı (rate) ( NF ) : BFN 2= , Minumum örnekleme frekansını göstermektedir. Nyquist frekansı ( Nf ): Nyquist miktarı olarakda bilinir ama genel olarak ayrık sistemlerin bir özelliğidir. Bazen 2/NF olarak da adlandırılır. Bu açıdan işaretteki en yüksek frekanslı bileşene eşit olduğu düşünülebilir ( Bf N = ) Örnekleme frekansı : NS FF 2> , Örtüşme olmaması ve işaretin örneklerinden elde edilmesi için gereklidir. İşaret frekansı (B) : Örneklenecek işaretteki en yüksek frekans


8

Örnek Verilen işaretlerin Nyquist miktarını ve Nyquist aralığını bulun. a) ) 100(sin tc π b) ) 50(sin) 100(sin tctc ππ + Çözüm Nyquist oranı olarak istenen BFS 2= ve Nyquist aralığı olarak istenen de BT 2/1= dir. Buna göre a) ) 100(sin tc π de band genişliğini bulmak için ) 100(sin tc π fonksiyonunun Fourier transformasyonunu bulmamız gerekiyor. Daha önceden

)2

() (sinWωrecttWcW

⇔π

olduğunu bildiğimize göre, ) 100(sin tc π fonksiyonunun Fourier transformasyonunu

) 2

(Wωrect gibi bulmamız gerekiyor. Bunun için ) 100(sin tc π fonksiyonunu önce

) (sin tWcWπ

gibi düzenlememiz gerekecek. Bunun için

)200

(rect 01.0

200(rect

100) 100(sin100

100) 100(sin

π

ππππ

ππ

πππ

ω

ωtctc

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

) 2

(rect)200

(rect 01.0Wωω

=π

Buradan BW ππ 2200 == , HzB 100= ve HzBFS 2002 == , sBT 05.02/1 == . b) ) 50(sin) 100(sin tctc ππ + de band genişliği olarak en yüksek frekansa sahip bileşenin değeri alınacağı için bu durumda HzB 100= olacağından Nyquist oranı ve aralığı (a) daki ile aynı olacaktır. HzBFS 2002 == , sBT 05.02/1 == .


9

Örnek Verilen işaretinn Nyquist miktarını ve Nyquist aralığını bulun. ) 100(sin)( 2 tctf = Çözüm Nyquist oranı olarak istenen BFS 2= ve Nyquist aralığı olarak istenen de BT 2/1= dir. Buna göre

) 100(sin30)( 2 tctf = işaretinin band genişliğini bulmak için ) 100(sin30 2 tc fonksiyonunun Fourier transformasyonunu bulmamız gerekiyor. Daha önceden

)2

()2 (sin

22

WωtWcW

Δ⇔π

olduğunu bildiğimize göre, ) 100(sin30 2 tc fonksiyonunun Fourier transformasyonunu

) 2

(Wω

Δ gibi bulmamız gerekiyor. Bunun için )2

(Wω

Δ fonksiyonunu önce )2 (sin

22 tWcW

π

gibi düzenlememiz gerekecek. Bunun için

)400

( 3.0

2002( 3.0)

2 200(sin

2200

200230) 100(sin 22

π

πππ

ππ

ππ

ω

ωtctc

Δ=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

×Δ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

) 2

()400

( 3.0Wωω

Δ=Δπ

Buradan BW ππ 2200 == , HzB 100= ve HzBFS 2002 == , sBT 05.02/1 == . Impuls Dizisiyle Örnekleme Örnekleme amacıyla kullanılabilecek delta, sinc, impuls dizisi ve sıfır-dereceli tutucu gibi çeşitli örnekleme fonksiyonları ve sistemleri vardır. Bunların içinde impuls dizisi olarak anılan

∑∞

−∞=

−=k

kTttf )()( δ

fonksiyonu en tanınan ve kullanılanıdır. Bu fonksiyonu zaman ve frekans içeriği açısından tanımak ve hatırlamakta fayda var. Bunun için )(tf işaretinin )(ωF Fourier transformasyonunun nasıl elde edildiğini tekrar gözden geçirelim.


10

Örnek

∑∞

−∞=

−=k

kTttf )()( δ fonksiyonunun Fourier transformasyonunu hesaplayınız.

Çözüm Verilen )(tf fonksiyonunu periodik (T) olduğundan Fourier serisi karşılığı Şekil (a) daki gibi olacaktır. )(tf )(ωF T

Tπ2

t ω

T2− T− 0 T T2 T3 Tπ4

− Tπ2

− 0 Tπ2

Tπ4

Tπ6

- a - - b - Şekil 4 (a) Periodik impuls dizisi (b) periodik impuls Fourier transformasyonu Daha önceden Fourier transformasyonundan

)( 21

0 0 ωωe tωj −⇔ δ

π

)( 2 0

0 ωωe tωj −⇔ δπ

tωjetf 0 )( =

)( 2)( 0ωωωF −= δπ olduğunu biliyoruz. Buna göre

∑∑∞

∞=

∞

∞=

−⇔-k

0-k

)( 2 0 kωωaea ktωkj

k δπ

∑∞

∞=

−=-k

0 )( 2)( kωωaωF k δπ

2 )( 0-k

0

Tωeatf tωkj

kπ

== ∑∞

∞=

Bu denklem bir impuls dizisi (train) biçimindeki bir Fourier serisidir. Serinin katsayısı


11

Tdtet

Ta

T

T

tωkjk

1 )(1 2/

2/

0 == ∫−−δ

olarak hesaplanır. Buna göre impuls dizisinin bütün terimleri özdeş ve real olup T1 değerine

eşit vede çift fonksiyon şeklindedir. Bulunan katsayı yukarıda spektrum ifadesinde yerine yazılırsa

∑

∑∑∞

∞=

∞

∞=

∞

∞=

−=

−=−=

-k0

-k0

-k0

)( 2

)( 1 2 )( 2 )(

kωωT

kωωT

kωωaωF k

δπ

δπδπ

elde edilir. Bulunan )(ωF spektrumu yukarıdaki Şekil (b) de gösterilmiştir. Farkedileceği gibi zaman domenindeki impuls aralıkları perioda (T ) bağlı olarak büyüdükçe, frekans domenindeki impuls aralıkları da giderek daralmakta ve frekans bileşenleri birbirine yakınlaştığından, spektrumda daha fazla ve dar aralıklı bileşenlerden oluşan bir yoğunluk söz konusu olmaktadır. Bulunan ifadeler tanımlamalara uygun olarak

∑∑∞

∞=

∞

∞=

−⇔-k

0-k

)( 2 0 kωωT

ea tωkjk δπ

biçiminde de gösterilebilir. Bu koşulları taşıyan impuls dizisi önemli bir örnekleme fonksiyonudur. Aşağıda şekil (c) de verilen impuls dizisi (impuls train) fonksiyonu genelde en rağbet görenidir. Bu fonksiyon alternatif isim olarak tarak (comb) fonksiyonu olarak da anılır. Bir band-sınırlı sürekli-zaman işaretinden alınan örneklerin ayrık-zaman sistemde işlenmesinin örnekleme teorisi ile mümkün olduğunu biliyoruz. Bunun için sürekli işaretten alınacak örneklerin birbirine yeterince yakın ve de sayısının yeterince yüksek olması gerekir. Çünkü işlem sonucunda bu örnekler kullanılarak sürekli işaret tekrar elde edilecektir. Bu yüzden alınacak örnek sayısının miktarı ve sayısı önemlidir. Örnekleme teorisi uygulanırken hatırlanacağı gibi band-sınırlı (B Hz) işaretin )(tf Fourier transformasyonu belli band aralığının ( BωB ππ 22 <<− ) dışında sıfır ( 0)( =ωF ) olarak kabul edilmekteydi. Bu şartlardaki örnekleme frekansının SF değeri Nyquist kuralına göre BF 2S ≥ veya diğer bir deyişle örnekleme periodunun ST , BT 2/1S ≤ olduğunu biliyoruz. Bunu ispat etmek mümkündür. Örneklenecek band-sınırlı işaret olarak )(tf ve onun Fourier transformasyonunun sırasıyla (a) ve (b) olarak aşağıdaki gibi olduğunu kabul edelim.


12

)(ωF )(tf A t Bπ2− Bπ2 ω 0 B )(HzF - a - - b – )(ωPT )()( ttp Tδ=

Tπ2

t T s2ω− sω− 0 sω s2ω s3ω ω - c - - d - )(tp )(ωPT

)(tf )(tf )(ωF )(ωF - e - - f - LPF )(ωF )(tf A/T t Bπ2 sω ω 0 B sF F (Hz) - g- - h - Şekil 5 Örneklenmiş işaret ve Fourier spektrumu


13

Spektrumdan da görüldüğü gibi işaret B ile band-sınırlıdır. İşareti )(tf örneklemek için saniyedeki örnek sayısını gösteren örnekleme frekansını SF kabul edelim. Örneklemeyi yapmak üzere bir örnekleme fonksiyonuna (işaretine) ihtiyacımız olacaktır. Bunuda T periodlu birim impuls dizisi (unit impuls train) olarak )(tTδ fonksiyonuyla gösterelim (şekil (c)). Şekil (c) den de görüldüğü gibi örnekleme fonksiyonu olarak birim impuls fonksiyonu

)(tδ kendisini her bir T periodunda tekrarlayan )(tTδ özelliğinde ortaya çıkmıştır. Kullanılan )(tTδ , impuls örnekleme fonksiyonu olarak adlandırılır. Örneklemeyi belirleyen en önemli fonksiyondur. Örnekleme bu fonksiyonun perioduna göre yapılıyor olsa da aslında

bu değer )(tf işareti tarafından B

T21

≤ olarak belirlenmektedir. Dolaysıyla örnekleme

fonksiyonu )(tTδ nin T periodunu bunun dışında belirleme durumu söz konusu olamaz. Böyle bir teşebbüs “oversampling veya undersampling” olarak anılan durumlara sebebiyet verir ki bunlarda örnekleme teorisinde arzulanmayan durumlardır. Buradaki T periodu örnekleme periodu ( ST ) olup, örnekler arasındaki ardışık zamanı göstermektedir. Bu şekilde nTTTT ,,3,2 , L olacak şekilde örnek noktaları saptanır. Bunlar

)(tf işareti baz alınarak yapıldığından, zaman ekseninde olacağından örnek anları ( nTTTT ,,3,2 , L ) aynı zamanda “t” ye karşılık gelecektir. Bundan dolayı daha doğru gösterim olarak nTTTTt ,,3,2 , L= alınması daha tutarlı olacaktır. Yani örnekler “t” nin

nTTTT ,,3,2 , L anlarında gerçeklenecek demektir. Şekil (e) deb de görülebileceği gibi örnekleme band-sınırlı işaretin )(tf , impuls örnekleme fonksiyonu )()( ttp Tδ= ile çarpımı ( )()( tptf × ) olarak gelişecektir.

)( )( )()()(

tptfttftf T

=×= δ

)(tf örneklenmiş işarete ait fonksiyondur. )(tTδ impuls fonksiyonunu temsil eden )(tp

örnekleme fonksiyonunun örneklemeye uygun biçiminin zaman domeninde

∑∞

−∞=

−=n

nTttp )()( δ

ve frekans domenindeki değerinin ise

∑∞

−∞=

−=n

sT nωωT

ωP )(2)( δπ

olduğunu yukarıda göstermiştik. Eğer örnekleme )(tf nin nTTTTt ,,3,2 , L= olacak şekilde “n” tane noktasına göre yapılırsa verilen ifade

∑∞

−∞=

−=

=

nT nTtnTf

tptftf

)( )(

)( )()(

δ


14

olarak elde edilecektir (şekil (g)). Denklem ve Şekil (g) ye göre işaret fonksiyonu )(tf , T-periodlu örnekleme fonksiyonu )(tTδ ile çarpıldığından bunun anlamı )(tf işareti de her bir T periodunda kendisini tekrarlayacak demektir. Bir başka deyişle )(tTδ ile )(tf işaretinden her bir T anında bir örnek alınacaktır. Burada üzerinde durulması gereken ayrıntı )(tTδ fonksiyonunun da T periodlu olduğundan dolayı trigonometrik Fourier serisi ile ifade edilebilmesi durumudur. Bunun karşılığının daha önceki bölümlerden (Fourier serisi)

sssss 22 ]3cos22cos2cos21[1)( FT

ωωωωT

tT ππδ ==++++= L

olduğunu biliyoruz. Buna göre )()()( ttftf Tδ×= ifadesini tekrar düzenlersek

]3cos)(22cos)(2cos)(2)([1)( )()( sss L++++== ωtfωtfωtftfT

ttftf Tδ

Şekil (g) gibi elde edilir. Buradan )(tf nin spektrumu olan )(ωF yi bulmak için )(tf nin Fourier transformasyonunun alınması gerekecektir.

]{}3cos)(2{}2cos)(2{}cos)(2{)}({[1)}({ sss LFωtfFωtfFωtfFtfFT

tfF ++++=

denklemde görülen sωtf cos)( ifadesinin Fourier transformasyonunu da daha önceki Fourier transformasyonu bölümünden

)]()([21

] )( )([21

])[(21}cos )({

00

0

00

00

ωωFωωF

etfetf

eetftωtfF

tωjtωj

tωjtωj

++−=

+=

+=

−

−

olduğunu biliyoruz. Bu yaklaşım denklemdeki her terime aynen

)]()([21 }cos)({ sss nωωFnωωFnωtfF ++−⇔

gibi uygulanırsa

)(

, 3 , 2 , 1 ,0 )(1

])3()3()2()2()()()([1)}({

s

ssssss

ωF

nnωωFT

ωωFωωFωωFωωFωωFωωFωFT

tfF

n

=

±±±=−=

+++−+++−+++−+=

∑∞

−∞=

L

L

elde edilir. )(ωF ifadesini biraz daha kompakt olacak formda toparlarsak )(tf nin Fourier transformasyonu olarak )(ωF


15

∑∞

−∞=

−=n

nωωFT

ωF )(1)( s

elde edilmektedir (şekil (h)). Bu denklemin zaten Şekil (b) ile (d) nin çarpımlarından oluştuğu görülmektedir.

)(*)( )( )()(

tptfωPωFωF T

==

Örneklenmiş İşaretin Spektrumu Yukarıdaki şekilden bazı kesitleri burada ele almamızda fayda var. Bunun için band sınırlı işaretimiz )(tf ve Fourier spektrumu aşağıdaki gibi olsun. )(ωF )(tf A t Bπ2− Bπ2 ω 0 B )(HzF - a - - b – Şekil 6 Örneklenecek Band sınırlı )(tf işareti ve )(ωF Fourier spektrumu Görüldüğü gibi şekil (b) den )(tf işaretinin band sınırlı (B) olduğu görülmektedir. Böyle bir işareti en az 2B frekansıyla örneklemek istersek, işaretin örneklenmiş versiyonu ve bu örneklenmiş versiyonunun spektrumu olarak aşağıdaki şekiller karşımıza çıkacaktır. LPF )(ωF )(tf A/T t Bπ2 sω ω 0 B sF F (Hz) - c- - d - Şekil 7 Örneklenmiş işaret ve Fourier spektrumu


16

Şekil (c) ve de (d) den görüldüğü gibi örneklenmiş işaretin spektrumu (Fourier uzayı), şekil (b) nin frekans olarak sıralı kopyalarından oluşmaktadır. Bunun sebebi şöyle açıklanabilir.

Her örnek BF 2S ≥ veya B

T21

≤ kuralına göre alındığından, dolayısıyla her örnek şekil (b)

deki spektrum gibi olacaktır. Bu şekilde kaçtane örnek alındıysa, her örnek de her seferinde şekil (b) gibi olacağından, sonuçta örneklenmiş işaretin spektrumu orijinal işarete ait band sınırlı işaretin kopyalarından oluşan spektrum olacaktır. Burada dikkat edilirse örnekleme fonksiyonu olarak kullanılan delta fonksiyonu ( )()( ttp Tδ= ) “ T ” örnekleme periodlu olduğundan, örneklenecek )(tf işareti kTt = koşuluyla örneklenerek )(tf işaretine dönüşmüştür. Burada aslında gerçek dönüşüm

][

)()()(kf

kTftftf=

==

biçimindedir. Her örnek “ T ” örnekleme periodlu olmak üzere çok sayıda “k” tane örnekten oluşacağı için her bir kTt = anı sonuçta farklı örnekleme frekanslarına karşı gelecektir ( LL ,,,, 21 SkSS ωωω ) . Bu yüzden (d) deki örnekleme spektrumunun da çok sayıda ( LL ,,,, 21 SkSS ωωω ) noktasından oluşması da doğaldır. Her bir nokta “k” değerine bağlı olarak işaretin kTt = anındaki değerine karşılık gelmektedir. Az örnekleme (undersampling) durumu Burada impuls dizisi (impuls train) ile ideal olarak örneklenen bir işaretin frekansının Nyquist oranını sağlamadığı ( Mωω 2s < ) sağlamadığı durum göz önüne alınmıştır. Örnekler arasındaki boşluk (period) veya frekans aralığı Mωω 2s > koşulunu sağlanamadığından alınan örnekler yeterli mesafelerde tam olarak konuşlanacağı yerde, yetersiz aralık (space) yüzünden birbirlerini örten veya birbirleriyle örtüşen şekilde oluşarak spektrumda çözünürlüğü zayıflatan sonucunda işaret veya bilginin örneklerinden tekrar oluşturulamayacağı bir soruna sebebiyet veren bir durum hasıl olmaktadır. Örtüşme veya “aliasing” adı verilen bo durum ciddi bir soruna işaret etmektedir. Bu hem Shannon hemde Nyquist ile belirtilen kuralların ihlal edilidiği durumu belirttiğinden, dolaysıyla bilginin gerekli gösterimi, işlenmesi veya tekrar elde edilmesinin söz konusu olamayacağı ciddi bir soruna sebebiyet vermektedir. Bu sorunun önüne geçmek için anti-aliasing (örtüşme karşıtı) adıyla anılan özel filtreler kullanılmaktadır. Bir tür ön filtreleme (pre-filter) tipindeki bu yöntemle olabildiğince örtüşme probleminin önüne geçilmeye çalışılır. Örtüşme problemine karşıt örtüşme filtresi (anti-aliasing filter) Örtüşmenin yarattığı sorunun çözümü için özel tip filtreleme kullanılmaktadır. Örneklenecek işaretin en yüksek frekansına gore dizayn edilmiş örnekleme sistemi, örnekleme başlamadan once analog işareti en yüksek frekans bileşenine gore filter eder. Bunun anlamı şudur ; eğer bir analog ses örneklenecekse bir ses işaretindeki bulunabilecek en yüksek frekans belirlidir (3 kHz civarı). Örnekleyici bu frekansın üzerindeki bileşenleri bastıracak veya filter edecektir. Çünkü bazen gürültünün de sebep olabileceği bazı nedenlerden dolayı ses işaretinde 3 KHz in üstünde yüksek frekanslı bileşenler olabilir. Bu durumda bunların elimine edilmeleri gerekir. Aksi taktirde “örtüşme (aliasing)” problemi kaçınılmaz olur.


17

Yüksek örnekleme (oversampling) durumu Nyquist oranının gerektirdiğinden daha fazla örnek alınma işlemine oversampling veya “aşırı örnekleme” denilmektedir. Bu yaklaşım her ne kadar örtüşme durumunu kesinlikle bertraf etse de ve işaretin örneklerinden çok rahat şekilde elde edilmesini sağlasa da oversampling durumunun gereksiz ve yararsız olduğu düşünülebilir. En önemli handikapı fazla örnek alınması dolaysıyla yapılacak işlem karmaşası ve işlem hacminin yanı sıra bu şekilde olası kullanılacak hesaplama elemanlarının kabiliyetlerini veya maliyetlerini de olumsuz etkileyebileceği düşünülebilir. Bunun yanı sıra fazla sayıda örnek alınması genel ve spesifik anlamda ideal bir örneklemeden de uzak bir durumdur. Örnek

) 5(sin)( 2 tctf π= işaretini

Örnekleme frekansı ( SF )

Örnekleme periodu (T)

5 Hz 0.2 10 Hz 0.1 20 Hz 0.05

Tablodaki parametrelere göre örnekleyerek sonuçlarını tartışalım. Çözüm İlk olarak ) 5(sin)( 2 tctf π= işaretinin zaman ve frekans )(tf - )(ωF domenindeki görünümü aşağıdaki şekilde verilen (a) ve (b) deki gibi olacaktır. ) 5(sin)( 2 tctf π= işaretinin band genişliğini bulmak için ) 5(sin 2 tc π fonksiyonunun Fourier transformasyonunu bulmamız gerekiyor. Daha önceden

)2

()2 (sin

22

WωtWcW

Δ⇔π

olduğunu bildiğimize göre, ) 5(sin 2 tc π fonksiyonunun Fourier transformasyonunu )2

(Wω

Δ

gibi bulmamız gerekiyor. Denklemde görülen “Δ ” üçgen fonksiyonu operatörüdür. Bunun

için ) 2

(Wω

Δ fonksiyonunu önce )2 (sin

22 tWcW

π gibi düzenlememiz gerekecek. Bunun için

)20

(

102( )

2 10(sin

210

10230) 5(sin 22

π

ππ

ππ

πππ

ω

ωtctc

Δ=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

×Δ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

) 2

()20

(Wωω

Δ=Δπ


18

Buradan BW ππ 210 == , HzB 5= olarak bulunur. Şimdi bu durumu örnekleme frekansının HzFS 5= alındığı koşula göre irdeleyelim.

a) HzFS 5= için

HzFS 5= örnekleme frekansı HzBFS 102 =≥ koşulunu sağlayamadığından şekil (d) de görüldüğü gibi örtüşme olacaktır. Diğer bir deyişle gereğinden az örnek alındığından örtüşme probleminden dolayı işaretin örneklerinden elde edilebilmesi mümkün değildir. Dolayısıyla veri kaybı söz konusu olacaktır. b) HzFS 10= için

HzB 5= olduğundan 101052102S ==×≥=≥ BF koşulu gereği kritik örnekleme söz konusudur. Yani örtüşme yok ancak işaret minumum örnekleme frekansıyla örneklenmektedir. Herhangi bir örtüşme veya riskli durum olmadığından, işaret örneklerinden rahatlıkla elde edilebilecektir. Buna dair şekli de (f) de görmekteyiz. c) HzFS 20= için

HzB 5= olduğundan 1052202S =×>>=≥ BF koşulu gereği aşırı örnekleme söz konusudur. Yani gereğinden fazla örnek alınmıştır. Herhangi bir örtüşme veya riskli durum olmadığından, işaret örneklerinden rahatlıkla elde edilebilecektir. Buna dair şekli de (h) de görmekteyiz. Her bir durumla ilgili şekilleri de göz önüne alan detaylı analiz aşağıdadır. 1. HzF 5S = bu frekans BF 2S ≥ kuralı gereğince 1055252s ≠=×≥=≥ BF sağlayamamaktadır. Diğer bir deyişle en az 10 örnek yerine HzF 5S = gereğince yalnızca 5 tane örnek yapılabilmektedir. Bu durumda olması gerekenden daha az sayıda örnekleme olduğundan undersampling yani az örnekleme veya örnekleme altı durumu oluşmaktadır. Bu durum Şekil (d) de gösterilmiştir. Alınan örnekler arasında yeterince boşluk olmadığından

(B

T21

> ) örnekler birbirlerini örtecek şekilde dizilmişlerdir. Bu örtüşme durumu aliasing

olarak bilinir ve sağlıklı bir örnekleme yapılmadığını gösterir. Bu durumda önemli bir sonuç olarak, başlangıç )(tf band-sınırlı işareti kendisini oluşturan )(tf örneklerinden tekrar elde edilemeyecektir.


19

2. HzF 10S = bu frekans BF 2S ≥ kuralı gereğince 101052102S ==×≥=≥ BF koşulunu sağlamaktadır. Diğer bir deyişle gereken en az 10 örnek HzF 10S = gereğince sağlanmaktadır. Bu durumda olması gereken kadar sayıda örnekleme olduğundan Nyquist rate yani normal örnekleme durumu oluşmaktadır. Bu durum Şekil (f) de gösterilmiştir. Alınan örnekler

arasındaki boşluk (B

T21

= )yeterli olduğundan örnekler örtüşmemekte ve aliasing sorunu

oluşmamaktadır. Bu durumdaki )(ωF nin spektrumu, normal koşullardaki )(1 ωFT

spektrumunun kendisini periodik olarak tekrarladığı normal spektrumdan oluşacaktır (Şekil-d). Bu durumda )(tf band-sınırlı işareti kendisini oluşturan )(tf örneklerinden tekrar elde edilebilecektir. Bu Şekil (f) den de görülmektedir. )(ωF işareti, )(ωF spektrumunun gösterildiği gibi bir alçak geçiren filtreden (LPF) geçirilmesiyle elde edilmektedir (reconstruction). 3. HzF 20s = Bu frekans BF 2s ≥ kuralı gereğince 102052202s >=×≥=≥ BF koşulunu sağlamaktadır. Diğer bir deyişle gereken en az 10 örnek gerekirken HzF 20s = gereğince 20 tane örnek temin edilerek daha fazlası sağlanmaktadır. Bu durumda olması gereken sayıdan fazla örnekleme olduğundan oversampling yani aşırı örnekleme veya örnek fazlalığı durumu oluşmaktadır. Bu durum Şekil (h) de gösterilmiştir. Alınan örnekler arasındaki boşluk

(B21 ) den daha fazla olduğundan örnekler örtüşmemekte ve aliasing sorunu hiç

oluşmamaktadır. Bu durumda )(tf band-sınırlı işareti kendisini oluşturan )(tf örneklerinden tekrar rahatlıkla elde edilebilecektir. Ek olarak )(ωF nin spektrumu, normal koşullardaki

)(1 ωFT

spektrumunun kendisini periodik olarak 20 Hz aralıklarla tekrarladığı spektrumdan

oluşacaktır (Şekil-h). Burada da )(ωF işareti, )(ωF spektrumunun gösterildiği gibi bir alçak geçiren filtreden (LPF) veya benzer yapıdaki pratik bir filtreden geçirilmesiyle elde edilmektedir (reconstruction).


20

)(tf )(ωF (a) (b) ω 2.0− 0 2.0 t π10− π10 5− 5 F (Hz) )(tf (c) )(ωF (d) ω 4.0− 2.0− 0 2.0 t π40− π20− π20 π40 20− 5− 5 20 F (Hz) )(tf (e) İdeal filtre )(ωF (f) t 1.0− 0 1.0 2.0 3.0 π40− π10− π10− π40 ω 20− 5− 5 20 F (Hz) )(tf )(ωF (g) Pratik filtre (h) 3.0− 1.0− 0 2.0 t π40− π10− π10 π40 ω Şekil 8 Az değerle örnekleme ve aşırı değerle örnekleme


21

Bunların ışığında yukarıda verilen ) 10(sin)( 2 tctf π= işaretinin verilen tablodaki parametrelere göre örneklenmesiyle oluşan sonuçlar aşağıdaki tabloda toparlanmıştır.

Örnekleme frekansı ( SF )

Örnekleme periodu (T) )(1)( ωF

TωF = Durum

5 Hz 0.2 )

20(

πω

Δ Undersampling

10 Hz 0.1 )

20( 2

πω

Δ Nyquist oranı

20 Hz 0.05 )

20( 4

πω

Δ Oversampling

İşaretin tekrar elde edilişi üzerine Yeniden oluşturma (reconstruction) olarak bilinen bu proseste örneklenmiş işaret örneklerinden tekrar elde edilmeye çalışılmaktadır. Bunun için iki temel şartın : band-sınırlı (B Hz) işaret ve Nyquist oranının BFS 2≥ sağlandığını başından kabul ediyor ve bu şartlar altında yeniden oluşturma işlemini analiz edeceğimiz belirtmemiz gerekiyor. Ingilizcesi “reconstruction” olarak bilinen bu işlemin diğer bir adı da “interpolasyon” dur. Bir tür ana işarete yaklaşma veya onu kestirme yoluyla elde etme anlamına gelen bu teknikle yukarıdaki iki kritere göre örneklenmiş sürekli-zaman işareti )(tf , örneklerinden ( )(tf ) elde edilmektedir. )(tf veya )(ωF nın elde edilme işlemi için örneklenmiş işaretin aşağıdaki şekildeki gibi B Hz-bandlı ve T kazançlı (gain) ideal bir alçak geçiren filtreden (LPF)

geçirilerek elde edildiğini biliyoruz. Aynı şekilde örneklenmiş işaretin )(1 ωFT

bileşenlerinden oluştuğunu da görmekteyiz. Bu nedenle yeniden elde etme (reconstruction) işlemi için B Hz-bandlı ve T kazançlı (gain) ideal bir alçak geçiren filtreden (LPF) geçirilme gereği vardır. Şimdi yeniden oluşturma prosesinin matematiksel gösterimine geçebiliriz. Burada verilen band-sınırlı )(tf işaretinin örneklenmiş )(tf işaretinden elde edilişi ele alınacaktır. Bu işlem yapılırken örneklenmiş işaretin ideal bir alçak geçiren filtreden geçirildiği göz önüne alınarak grafiksel bir yöntem izlenecektir. Hatırlanacağı gibi örneklenmiş işaret

)( )()( tptftf =

∑∞

−∞=

−=n

nTttp )()( δ

olarak elde edilmekteydi. Buradan tekrar )(tf nin elde edilmesi için


22

)(*)( )( thtftf r =

∑∞

−∞=

−=n

r nTthnTftf )( )( )(

örneklenmiş işaret )(tf ile filtre fonksiyonu )(th nin konvülasyonunun alınacağını görmekteyiz. Aşağıdaki verilen şekil yeniden oluşturma işleminin frekans domenindeki (ω ) aşamalarını göstermektedir. )(tp )(tf )(tf )(th , )(ωH )(tf r - a - )(ωF 1 Mω− 0 Mω ω - b - )(ωF

T1 Mωω 2s >

sω Mω− 0 Mω sω ω - c -


23

)(ωH T )( sc MM ωωωω −<< cω− 0 cω ω - d - )(ωFr 1 Mω− 0 Mω ω - e - Şekil 9 Sürekli-zaman işaretinin örneklerinden elde edilmesi (reconstruction) Şekil (c) de yer alan örneklenmiş )(ωF işareti )(th olarak verilen filtre fonksiyonunun Fourier transformasyonudur. Verilen ifadeden )(th filtre fonksiyonunun aslında ideal alçak geçiren filtre olduğunu düşünürsek ifadesinin

tωtωTω

thc

cc

)sin(

)(π

=

olduğunu buradan işaretin ,

∑∞

−∞= −−

=n

r nTtωnTtωTω

nTftf)( ))(sin(

)( )(c

cc

π

olarak tekrar elde edilebileceğini görmekteyiz. Burada Nyquist oranını sağlamak üzere

2/sc ωω = olarak alınmıştır.


24

Yeniden Elde Etmede Zorluklar İşaretin örneklerinden tekrar elde edilmesiyle (reconstruction) ilgili sorunlar mevcuttur. Bu anlamda ele alınması gereken iki husu var. Biri kullanılan ideal filtre diğeride örtüşme probleminin yarattığı olumsuzluktur. Her ikisine kısaca değinilecektir. İlk olarak ideal filtre ele alınacaktır. 1. İdeal filtre problemi Bir işaretin örneklerinden tekrar elde edilmesinde bazı zorluklar vardır. Özellikle kullanılacak pratik alçak geçiren filtre açısından bazı problemler mevcuttur. Örneğin örneklenmiş işaretin spektrumu (b) deki gibi olsun. Bu durumda kesik çizgilerle belirtilmiş bir dikdörtgen tipli alçak geçiren filtre kullanılırsa başlangıca yakın düşük frekanslı bileşenleri geçireceğinden, sonuçta )(tf ile tanımlanan band sınırlı işaretin frekans eşdeğerini geçirmiş olacağından, bu da )(tf işaretinin tekrar örneklerinden elde edilmesi demek olacağından, yapılanlar doğru ve tutarlıdır. Ancak problem ideal bir filtrenin kullanılamama durumundan kaynaklanmaktadır. Çünkü özellikle de minumum örnekleme frekansı seçildiğinde BF 2s = aşağıdaki durum söz konusu olacaktır. LPF )(ωF )(tf A/T t Bπ2 sω ω 0 B sF F (Hz) -a- - b - Şekil 10 Minumum örnekleme frekansına ( BF 2s = ) ve Fourier spektrumu Bu durumda şekil (b) incelendiğinde görülebileceği gibi örneğe ait spektrumdaki bileşenler arasında bir boşluk olmayacaktır. İşaretler birbirlerine göre tam sınır değerlerindedir. Zorluk bu noktadan itibaren başlıyor. Çünkü böyle bir durum için kesik çizgilerle belirtildiği gibi tam ideal bir alçak geçiren filtre kullanılma zorluluğu vardır. Ancak biliyoruz ki pratik filtre tasarımında filtrenin yalnızca geçirme kısmı olmayıp, aynı zamanda band geçiş ve band söndüren kısımları da mevcuttur. Dolayısıyla şekil (b) deki gibi ideal bir alçak geçiren filtre kullanılması mümkün olmayacaktır. Bu da direkt olarak bir işaretin örneklerinden elde edilemeyeceği anlamına gelen bir zorluğu gösterir. Bu yüzden örnekleme kesinlikle BF 2S > kuralına uygun olarak yapılmalıdır. Bu andaki görüntüde aşağıdaki gibi olacaktır.


25

LPF )(ωF )(tf A/T t Bπ2 sω ω 0 B sF F (Hz) -a- - b - Şekil 11 Örneklenmiş işaret ve Fourier spektrumu Görülebileceği gibi en azından BF 2S > ile yapılan örneklemede (b) deki gibi örnekler arasında boşluk olacaktır. Böyle bir durumda idealden ziyade şekilde görüldüğü gibi yamuk tipli bir tür pratik alçak geçiren filtre kullanımı mümkün olacaktır. Bu ilk duruma göre daha uygulanabilirdir. Ancak bu kez de Paley-Wiener koşuluna göre, filtre realizasyonu için hiçbir zaman söndürme bandı genlik kazancı sıfır olamayacağından ( 0)( ≠jωH , başka bir sorunla karşı karşıya kalırız. Neticede en azından örneklemenin BF 2S > kuralına göre yapılması durumunda örneklerden orijinal işaretin elde edilmesinin daha mümkün olabildiği görülmektedir. En azından orijinal işarete oldukça yakın bir işaretin elde edilmesi söz konusu olur. Bu şekilde en az bilgi kaybı yaşanır. 2. Örtüşme problemi Bir işaretin örneklerinden tekrar elde edilmesindeki diğer bir güçlükte örneklerin örtüşmesinden kaynaklanan pronlemdir. Bunun örnekleme frekansının işaret frekansından küçük olduğu durumlarda oluştuğunu bilmekteyiz ( BF 2S < ) . Yukarıda ele alınan örnekleme durumu aşağıdaki gibi tekrar göz önüne alınırsa ) 10(sin)( 2 tctf π= işaretinin HzF 5S = lik frekansla örneklenmesi durumunda BF 2S ≥ kuralı gereğince 1055252S ≠=×≥=≥ BF sağlayamadığından en az 10 örnek yerine HzF 5S = gereğince yalnızca 5 tane örnek yapılabilmektedir. Bu durumda olması gerekenden daha az sayıda örnekleme olduğundan örtüşme (aliasing) durumu oluşmaktadır. Bu durumda aşağıda (b) deki işaret örtüşmeden dolayı Şekil (d) deki gibi olmaktadır. Bu alınan örnekler arasında yeterince boşluk

olmadığından (B

T21

> ) örnekler birbirlerini örtecek şekilde dizilmişlerdir. Bu durumda

sağlıklı bir örneklemeden bahsetmek mümkün değildir. Bunun sonucu olarak, orijinal )(tf band-sınırlı işaret kendisini oluşturan )(tf örneklerinden tekrar elde edilemeyecektir.


26

)(tf )(ωF ω 2.0− 0 2.0 t π10− π10 5− 5 F (Hz) (a) (b) )(tf )(ωF 4.0− 2.0− 0 2.0 t π40− π20− π20 π40 ω 20− 5− 5 20 F (Hz) (c) (d) Şekil 12 Örnekleme ve örtüşme Bu durumda yapılması gereken ilk iş ihtiyati olarak işaretin alçak geçiren bir filtreden geçirilmesidir. Çünkü örtüşme, işaretteki herhangi bir sebeple bulunan rastgele yüksek frekanslı olmaması gereken bir işaretten kaynaklanmış olabilir. Çünkü böyle bozucu bir frekans )(tf işaretinde normalde olmayan ama gürültü tipinde bir şekilde sonradan var olabilecek istenmeyen bir işaret türü de olabilir. Örnekleme öncesi ön filtreleme bu sorunu çözebilir. Ön filtre, örtüşme filtresi veya karşıt filtre (anti-aliasing fitler) olarak kullanılacak filtre bir alçak geçiren filtre olacaktır. Bu şekilde işareti bozabilecek ve sonucunda örtüşmeye götürebilecek istenmeyen yüksek frekanslı bileşen ortadan kaldırılabilir. İstenmeyen frekansın gürültü olması muhtemeldir. Çünkü gürültü teorik olarak spektrumun tüm bileşenlerini içeren yüksek frekanslı bir işarettir. Diğer bir taraftan örtüşmeyi önleyecek alternatif bir yol daha vardır. Bu da şekil (d) görülen örtüşen işaretin kuyruk kısımları üzerindedir. Dikkat edilirse, örtüşen kısımlar genellikle bu kuyruk bölümünde bulunan bileşenlerdir. Bu yüzden örneklemeyi garanti etmek adına örneklemeye geçmeden bu kuyruk kısımlarının filtre edilmesi de diğer bir alternatif çözümdür. Bu şekilde bir şekilde örtüşmeye ve sonucunda bilgi kaybına sebep olabilecek bir sorun işin başındayken ortadan kaldırılmış olunur. Bu anlamda kullanılacak filtre de yine bir tür alçak geçiren filtre olacaktır. Çünkü işaretin her iki yanındaki kuyruk kısmını oluşturan bileşenler yüksek frekanslıdırlar. Kullanılacak her bir yöntemle en az bilgi kaybı yaşanabileceği gibi aynı zamanda işaretlerin örneklerinden elde edilmesi de garanti edilmektedir.


27

Sıfır-Dereceli Tutucu Kullanarak Örnekleme Örneklenecek işaretin band-limitli olması durumunda impuls-dizisi ile örnekleme oldukça kolay ve basit şekilde uygulanabilmektedir. Pratikte dar ve yüksek genlikli darbeler biçimindeki impulsleri üretmek ve göndermek (transmit) kullanıldığı ve gösterildiği kadar kolay değildir. Bu zorluğu aşmak için “zero-order hold” adı verilen “sıfır dereceli tutucu” devreleri kullanılmaktadır. Böyle bir devre yardımıyla örnekleme yapılmaktadır. Burada sıfır-dereceli tutucu bir tür örnekleme fonksiyonu olarak bildiğimiz impuls dizisini oluşturan

∑∞

−∞=

−=n

nTttp )()( δ

veya frekans domenindeki karşılığı

∑∞

−∞=

−=n

sT nωωT

ωP )(2)( δπ

olan fonksiyonun eşdeğeridir. Buna eşdeğer sıfır-tutucu sisteminin “tutma (hold)” özelliği ile impuls özellikli darbelerin örneklenmesi, üretilebilmesi mümkün olabilmektedir. Özel nitelikli impuls dizisi gibi örneklemede kullanılan böyle bir sistemin basit şeması aşağıdaki şekilde (a,b,c,d,e,f) gösterilmiştir.


28

)(tf ][nf 0 t 0 n - a - - b - ][nf )(tf r 0 n 0 t - c - - d - )(tf r )(tf 0 t 0 t - e - - f - Şekil 13 Sıfır-dereceli tutucu ile örnekleme Görüldüğü gibi (a) daki )(tf işareti belli bir örnekleme perioduna (T) sahip “sıfır-tutucu” (zero-order hold) sistemiyle (b,c) deki noktalarından itibaren örneklenmeye başlamaktadır. Her örneklenen örnek bir “örnekle ve tut” aşamasından geçerek örnekleme işlemi tamamlanmaktadır. Bunun anlamı şudur : ilk değer belirlenen anından itibaren örneklendikten sonra, sonraki örnek elde edilinceye kadar tutulur (hold). Örneklenecek her nokta bu şekilde elde edilir. Bunun sonucundaki görüntü (b) ve (c) den görüldüğü gibi merdiven (stair, ladder) şeklindeki bir işaret olarak oluşur. Merdiven şeklindeki darbe uç noktalarından itibaren birleştirilerek ZOH sisteminin çıkışı olan işaret )(tf r elde edilir (d). Bu işaretin bir alçak geçiren filtreden (LPF) geçirilmesiyle oluşan sürekli )(tf r işaretinin asıl (örneklenen) işaret olduğu kabul edilir ( )()( tftf r = ). Bu işlem bize, bu yolla Şekil (d) de )(tf r olarak verilen ZOH çıkışlarının pratikte dar ve yüksek genlikli impulslar olarak elde edilebileceğini göstermektedir. Çünkü ilk örnekleme yöntemi olarak verilen “impuls-dizisi” ile örneklemede, örnekleme fonksiyonu olarak bir tür impuls fonksiyonu olan Delta dirac ( )(tδ ) kullanılmaktaydı.


29

∑∞

−∞=

−=n

nTtnTftf )( )()( δ

Ancak uygulamada )(tδ fonksiyonunu üretmek zor olduğundan yukarıda vurgulandığı gibi bunun yerine aynı “ T ” genişliğindeki dikdörtgensel darbeye (pulse) sahip olan “sıfır-dereceli tutucu” (Zero-order hold) sistemi kullanılmaktadır. Bu sistemin yukarıda basit olarak gösterilen çalışma prensiplerine dair ayrıntılar teorik ve denklemlerle aşağıda verilmiştir. )(tf )(tf Sıfır-dereceli )(0 tf tutucu Şekil 14 Sıfır seviyeli tutucu ile örnekleme Görüldüğü gibi örneklenecek )(tf işareti “zero-order hold (ZOH)” sistemine verilmektedir. Giriş işaretinden ilk örnek ZOH tarafından belirlendikten sonra bu örnek bir sonraki örnek elde edilinceye kadar tutulur. )(tf işaretinin tekrar elde edilmesi için ZOH çıkışının tekrar alçak geçiren filtreden (LPF) geçirilmesi gerekecektir. ZOH çıkışı )(0 tf , impuls-dizi kullanan dikdörtgen (darbe) özellikli bir LTI sistem tarafından üretilebilmektedir.

∑∞

−∞=

−=n

nTthnftf )( ][)(0

Çıkışı bu şekilde olan ZOH sisteminin çalışma prensibini gösteren blok şeması aşağıdaki şekillerde (a,b,c,d) görülmektedir.


30

)(tp )(0 th )(tf p )(tf )(0 tf 0 T t - a - )(tf t - b - )(tf p t - c - )(0 tf t - d - Şekil 15 LTI Impuls dizili sıfır-dereceli tutma (zero-order hold) yöntemiyle örnekleme Görüldüğü gibi (a) “ T ” genişiliğindeki dikdörtgen dalgaya sahip LTI sistemini gösteren zero-hold tipli bir tutucunun ( )(0 th ) genel şeması verilmiştir. Tutucunun gösterdiği darbenin genişliği olan T (period) örnekleme perioduna göre değişmektedir. Aslında farkedilebileceği gibi “sıfır-tutucu” sistemi T periodlu bir tür alçak geçiren filtre yapısındadır. Böyle bir filtre tipinde olmasının da sebebi, olası örtüşmeye sebep olabilecek yüksek frekanslı bileşenleri önleyerek sağlıklı bir örnekleme yapılmasını temin etmektir. Buna uygun ZOH’u gösteren

)(0 th nın frekans domenindeki karşılığı


31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= −

ωωTeωH ωTj

)2/sin(2 )( 2/

0

olarak elde edilir. İfadeden alçak geçiren filtrenin frekans cevabı )2/(sin ωTc tipli dikdörtgen

özellikli fonksiyonel yapıda(2/

)2/(sinωTωTcT ) olabileceğini anlıyoruz. Buradaki örnekleme

fonksiyonu )(tp ve örneklenmiş )(tf p fonksiyonlarının aslında ZOH sisteminin içinde olduğunu, daha açıklayıcı ve pratik olması açısından bu şekilde ayrı olarak gösterildiğini bilmeliyiz. Çünkü ZOH çıkışının

∑∞

−∞=

−=n

nTthnftf )( ][)(0

ifadesine bakıldığında aslında sözünü ettiğimiz Şekil (c) de verilen )(tf p nin ][nf yerine kullanıldığı görülmektedir. Bu şekilde impuls fonksiyon yerine “sıfır-tutuculu” sistem örnekleme fonksiyonu gibi kullanılarak örneklemeyi mümkün kılmaktadır. İşaretin Sıfır-Tutucu (zero-order holder) Örneklerinden Elde Edilişi(reconstruction) Yukarıda ZOH fonksiyonunu örnekleme fonksiyonu gibi kullanarak )(tf işaretini örnekledik. Şimdi bu şekilde ZOH ile örneklenen işaretin örneklerinden tekrar işareti elde etmenin yollarını arayacağız. Gelinen noktada )(tf işaretini örneklerinden elde etmek için ZOH çıkışı olan )(0 tf tekrar impuls cevabı )(thr ve frekans cevabı )(ωH r olan bir LTI sistemden geçirilerek beklenen )(tf işaretine denk olacağı düşünülen )(tr çıkışına ulaşılır. Diğer bir deyişle beklenen tekrar elde edilmek istenen )(tf işareti olarak )(tr çıkışı seri (cascade) bağlı durumdaki iki LTI sistemin impuls cevaplarının ( )(0 th ve )(thr ) çarpımından ( )(*)()( )( 00 ωHωHthth rr = )geçirilerek elde edilmektedir. Buradaki )(0 th nin alçak geçiren filtre (LPF) işlevinde )(thr ise LPF ile elde edilen çıkışı daha geliştirmek ve beklenen işarete yaklaştırmak üzere kullanılan ikinci bir tür interpolasyon (reconstruction) filtresidir. Bu durum aşağıdaki şekil üzerinde ayrıntılı olarak gösterilmiştir. )(ωH )(tp )(0 th )(tf p )(0 tf )(thr

)(tf )(ωH r )(tr 0 T t - e - Şekil 16 Seri bağlı sıfır seviyeli tutucunun yeniden oluşturma filtresiyle gösterimi


32

ZOH sistemine dair )(0 th filtresinin frekans cevabı ( )(0 ωH ) yukarıda verilmişken seri bağlı LTI sistemin frekans cevabından ( )(ωH ) yararlanarak ikinci sistemin frekans çıkışı )(ωH r de hesaplanabilir.

)(

)2/sin(2 )()()( 2/ 0 ωH

ωωTeωHωHωH r

ωTjr ×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡== −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

ωωTeωHωH ωTj

r )2/sin(2 / )()( 2/

Yeniden oluşturma şemasına bakıldığında buradaki örnekleme fonksiyonu )(tp ve örneklenmiş )(tf p fonksiyonlarının daha önce belirtildiği gibi ZOH sistemini gösterdiğini,

)(tf p nin ][nf yerine kullanıldığını, bunun da daha açıklayıcı ve pratik olması açısından bu şekilde düşünüldüğünü bilmekteyiz Ayrık-Zaman İşaretlerin Örneklenmesi Şu ana kadar sürekli-zaman işaretlerin örneklenerek ayrık forma getirilişleri üzerinde durduk. Benzer şekilde ayrık işaretlerinde örneklenmesi mümkündür. Genel örnekleme kurallarının tümü bu tip örnekleme içinde aynen geçerlidir. Burada dikkat edilmesi gereken şudur; aslında klasik örnekleme zaten bir tür filtreleme prosesidir. Sonsuz geniş bir aralıktaki sürekli-zaman işaretten sonlu sayıda örnek alınarak ve üzerinde çeşitli işlemler yapılarak tekrar sürekli işaretin elde edilmesinin mümkün olduğunu biliyoruz. Şimdi örneklenerek ayrık forma getirilmiş işaretin bir kez daha örneklenmesi söz konusudur. Dolayısıyla ikinci bir filtreleme daha söz konusudur. Bu yüzden ayrık-zaman işaretlerin örneklenmesine, bir anlamda temeldeki sürekli-zaman işaretinin dolaylı olarak ikinci kez örneklenmesi, diğer bir deyişle ikinci kez filtrelenmesi olarak yaklaşabiliriz. Bu anlamda ayrık işaretlerin örneklenmesi aynı zamanda ayrık veya dijital işaretlerin filtrelenmesi olarak da anılabilir. Burada sürekli-zaman işaretinin örneklenmesiyle sonlu sayıda işaret elde edilebileceği gibi, sonsuz sayıda da olmasıda teorik açıdan mümkündür. İkinci tipteki sonsuz aralıktaki ayrık işaretlerin örneklenmesi her ne kadar makul görünse de prensip olarak, sonlu sayıda ayrık noktası olan ayrık-zamanlı bir işaretinde örneklenmesi mümkündür. Şimdi böyle bir prosesin detaylarını araştıracağız. Normal bir örneklenmede ilgili temel bir işaretin yanında aynı zamanda bu işareti belirli bir “ T ” örnekleme periodu ile örnekleyecek örnekleme fonksiyonuna ihtiyaç duyulmaktaydı. Bu fonksiyon sürekli-zaman prosesi için impuls dizisi halinde impuls fonksiyonuydu. Burada da Örneklenecek ][nf ayrık işareti ][np impuls dizisi ile bu kez “ T ” periodu yerine N örnekleme periodu ile örneklenecektir. Buna göre örneklenmiş ][nf p ayrık işaretinin ifadesi

∑∞

−∞=

−==k

p kNnkNfnpnfnf ][ ][][*][][ δ

olacaktır. Bu işaretin spektrumu ise,


33

∫ −=π

θθ θπ 2

)( ()(21)( deFePeF ωjjωj

p

olacaktır. Bu prosesin adımları aşağıdaki şekil üzerinde verilmiştir. ][nf ][nf p

∑∞

−∞=

−=k

kNnnp ][][ δ

- a - ][nf (b) ][np N (c) ][nf p (d) Şekil 17 Ayrık-zamanlı işaretin örneklenmesi


34

Şekillerden de görüldüğü gibi (a) da işlem bloğu verilen ayrık-zaman işaretlerin örneklenmesinde (b) deki ayrık-zamanlı işaret “N” periodlu ayrık impuls dizisiyle gösterilen örnekleme fonksiyonuyla örneklenerek (d) deki ][nf p örneklenmiş ayrık-zaman işaretine dönüşmektedir. Burada ][][ nfnf p→ dönüşümüyle sağlanan ayrık örneklemenin aslında bir tür dijital veya ayrık filtreleme prosesi olduğunu görüyoruz. Bu prosese ait spektrumu elde etmek için ilgili örnekleme ve örneklenmiş işaretlerin frekans cevabı

∑∞

−∞=

−=k

ωj kωωN

eP )(2)( s δπ

∑−

=

−=1

0

)( )(1)(N

k

kωωjωjp

SeFN

eF

Bunlara göre )( ωjeF spektrumu da aşağıdaki gibi olacaktır. )( ωjeF 1 π2− Mω− 0 Mω π2 ω (a) )( ωjeP

Nπ2

0 Sω π2 ω (b) )( ωj

p eF

N1

Mω− 0 Mω Sω π2 ω )( MS ωω − (c) Şekil 18 Ayrık örneklenmiş işaretin spektrumu


35

Görüldüğü gibi ayrık-zaman işaretlerinin örneklenmesinin proses olarak normal örneklemeden pek bir farkı görünmüyor. Burada da örnekleme kuralları olan BF 2S > kuralının geçerli olduğunu görmekteyiz. Buna göre Sω örnekleme frekansının Mω ayrık işaret frekansının iki katından büyük olduğu görülmektedir ( MS ωω 2> ) Ayrık-zaman Örneklemesinden İşaretin Elde Edilişi Normal örneklemede nasıl ki sürekli bir işaret örneklerinden elde edilebiliyordu, şimdi de ayrık bir işaret örneklerinden elde edilebilir. Bunun aşamaları aşağıdaki şekiller üzerinde gösterilmiştir. ][np )( jωH ][0 nh ][nf p ][nf ][nf r 0 N n - a - )( jωF 1 π2− Mω− 0 Mω π2 ω (b) )( ωj

p eF

N1

Mω− 0 Mω Sω π2 ω (c) )( MS ωω − )( jωF N

π2− 0 2

Sω π2 ω

(d)


36

)( jωFr 1 π2− Mω− 0 Mω π2 ω (e) Şekil 19 Ayrık örneklenmiş işaretin örneklerinden elde edilmesi Görüldüğü gibi ayrık örneklenmiş işaretin örneklerinden elde edilebildiği görülmektedir. Bunda en önemli kural BF 2s > koşuluna bağlı kalınmasıdır. Nitekim yukarıdaki şekillerden

de görülebileceği gibi N kazançlı ve 2

Sω kesim frekanslı bir alçak geçiren filtre

kullanılmasıyla (b) de görülen ayrık-zaman işaretinin spektrumunu oluşturan işaret, şekil (e) de )( jωFr olarak tekrar elde edilmiştir. Burada orijinal ][nf işaretinin frekans karşılığı olan band sınırlı )( jωF işareti ile filtreleme ile elde edilen )( jωFr işaretinin aynı veya oldukça yakın oldukları kabul edilmektedir [ )()( jωFjωFr ≅ ]. Bundan dolayı şekil (a) daki yeniden oluşturma (reconstruction) blok diagramında görülen ayrık işaretin örneklerinden elde edildiğini gösteren sistem çıkışındaki ][nfr işaretide ][nf ile aynı olacaktır ( ][][ nfnf r ≅ ). Bunları tekrar yazarsak

)()( jωFjωFr ≅

][][ nfnf r ≅ Sonuçta ideal koşullarda ayrık-zamanlı bir işaret örneklerinden tekrar elde edilebilmektedir. Eğer tekrar Şekil (a) ya dönerek ayrık-zaman işaretinin örneklerinden nasıl elde edildiğine bakarsak örneklenmiş ][nf p işaretinin alçak geçiren filtre özelliğindeki ][0 nh impuls cevabına bağlı sistemden geçirilmesiyle beklenen ][nfr işaretinin elde edildiğini görmekteyiz. Burada ][nfr işaretinin başlangıçtaki ][nf işaretinin aynısı veya çok benzeri olduğu kabulü vardır. Bunu sağlayan denklemler yazılırsa ][nfr işaretinin ][nf p ile ][0 nh impuls cevabının konvülasyonundan elde edilebileceğini görmekteyiz.

][*][][ 0 nhnfnf rr =

nωnωNω

nhc

cc0

sin ][

π=

∑∞

−∞= −−

=k

r kNnωkNnωNω

kNfnf)(

)(sin ][][

c

cc

π

Bu elde edilen ifade ideal koşullardaki alçak geçiren filtre kullanılması durumundaki yeniden elde etmeyi işaret eder. Uygulamada ideal alçak geçiren filtre yerine ona yakın özellikteki interpolasyon filtresi kullanımı söz konusudur. Bu haldeki aynı veya yakın sonucu sağlayacak interpolasyon ifadesi aşağıdaki gibi düşünülebilir.


37

∑∞

−∞=

−=k

rr kNnhkNfnf ][ ][][

Denklemde görülen ][ kNnhr − terimi söz konusu interpolasyon filtresinin impuls cevabına karşılık gelmektedir. Örnekleme Uygulamaları Örneklemenin en çok kullanıldığı haberleşme ve kontrol alanlarında sürekli bir işaretin ayrık veya dijital işaretlere dönüştürülmesiyle ilgilidir. Bunun tersi de yani ayrık/dijital formdan sürekli forma dönüşte örnekleme işlemlerinin içinde olduğu mevzulardır. Bu tip fonksiyonel sistemlere genellikle konvertör denilmektedir. ADC (analog-digital convertor) ile sürekli bir işaretin örnekleme suretiyle ayrık/dijital forma çevrilmesi söz konusu iken, DAC (digital-analog convertor) ile de diğerinin tersi yani bu kez de dijital formdan sürekli forma dönüşüm söz konusudur. Aşağıdaki şekillerde bu tür dönüşümleri şematize edilmiştir. )(tf ][kf ADC (a) ][kf )(tf DAC (b) ][kf ][ky DC - DC (c) Şekil 20 Sürekli-ayrık zaman dönüşümleri İşaretlerin işlenmesi sırasında genellikle verilen konfigürasyonlardan herhangi birine ihtiyaç duyularak proses yerine getirilir. Hangisi alınırsa veya tasarlanırsa mutlaka örnekleme prensiplerinin dikkate alınması gerekecektir. Günümüz modern elektrik mühendisliğinin bir çok çalışma alanında her iki sistemi kullanan basit veya kompleks yapıda bileşik sistemler mevcuttur. Bazen hibrid (karışık) ismiyle anılan bu sistemlere dair en genel blok şeması aşağıda verilmiştir.


38

)(te )(ke ][kx )(ty ∑ A/D ][zG D/A )(sG

)(tf )(ty ayrık zaman kontrölörü sürekli-zaman sistem Şekil 21 Analog-Dijital hibrid Sistem Görüldüğü gibi günümüz modern elektrik mühendisliğinde sürekli ve ayrık/dijital sistemlerin bir arada olduğu karmaşık ve daha fonksiyonel yapıdaki hibrid sistemler kullanılmaktadır. Şekildeki sistemin her aşamasıyla birlikte özellikle A/D (analog-dijital konvertör) ve D/A (dijital-analog konvertör) bölümlerinde yoğun olarak örnekleme teoremine ait prensiplerin uygulandığı ve kullanıldığı görülmektedir. Buradan hareketle belki ayrı ve özel olarak incelenecek ADC ve DAC sistemlerinde ayrık sistemlere ve örnekleme dair tüm kuralların önemli ve geçerli olduğu görülebilir. Ayrık Sinusoid İşaretler Şu ana kadarki analizlerde sistemin kk ΩΩ sin veyacos gibi ayrık sinusoid girişlere olan cevabı üzerinde durduk. Buna mukabil giriş ayrık değil sürekli-zaman işaretide olabilirdi. Nitekim pratikte daha ziyade ayrık-zaman sistemin girişi örneklenmiş sürekli-zaman işaretleri olduğundaki cevabı ön plandadır. Sürekli işaret ωtsin veya tωje biçiminde olabilir. Eğer

ωtsin sinusoidi bir T örnekleme periodu ile örneklendiği zaman ωkTsin ayrık formuna dönüşmektedir. Buradaki sürekli-ayrık zaman dönüşümü için frekanslar arasında

ωT=Ω durumu söz konusudur. Yani Ω ayrık-zaman frekansı ω sürekli zaman frekansının T periodu ile örneklenmesinden oluşmaktadır (ωT ). Bunun anlamı şudur : ayrık frekans sürekli frekansın artık, örnekleme periodu ile belirlenen aralığpındaki değeridir veya salınımıdır artık. Sürekli zamanlarda sinusoid işaret π2 periodluk aralığındaki salınım sayısı olarak bilinmekteydi. Şimdi ayrık durum için buna bir de “ T ” örnekleme periodu eklenmiş ve artık sürekli zaman olarak π2 periodluk dilimde “ T ” tane ω salınımı söz konusudur. Durumu daha da açarsak, Ω ayrık frekans ile ω sürekli frekans arasında aşağıdaki ilişkinin mevcut olduğunu görürüz.

kωt Ω= Eğer sürekli işaret T örnekleme periodu olmak üzere kTt = olarak örneklenirse

kωkT Ω= buradan da

ωT=Ω


39

sonucu ortaya çıkar. Buna göre ayrık frekans, sürekli frekansın T örnekleme periodu ile belirlenen değeridir. Veya şöyle düşünebiliriz; ayrık frekans T tane ω sürekli frekanstan oluşmaktadır. Buradan ayrıca şu da ortaya çıkmıştır. Örnekleme periodu küçük bir değer olduğundan, bunun ω frekansıyla çarpımından çok daha küçük bir değer ortaya çıkacaktır. Frekans için küçük kelimesi daha ziyade “sıkışık” (compress) kelimesine karşılık düşünülebilir. Bu şekilde en sıkışık işaret paketi “impuls” gibi düşünülebileceğinden, dar ve genliği büyük impulsin gösterdiği nokta “örnek” olarak düşünülebilir. Sonuçta π2 periodluk

sinusoidal aralıkta T örnekleme periodundan çok sayıda olduğu göz önüne alınırsa Tπ2 tane

salınım (saykıl) yani frekans söz konusu olacaktır. Burada her bir T aralığında işarete ait bir örnek belirlendiğinden ve her bir örnek değeri bir ayrık salınıma yani saykıla (impuls gibi) karşılık geleceğinden ayrık frekans

0

2sayisiörnek

2frekansayrik Nππ

===Ω

şeklinde de ifade edilebilir. Dolayisiyla her bir T örnekleme periodunda alınan örnek aynı zamanda bir saykıla karşılık geleceğinden toplam frekans da π2 periodluk aralığın toplam örnek sayısına bölümüyle elde edilen değere karşılık gelecektir. Buradan ayrık periodu da yeri gelmişken ifade edebiliriz. Ayrık bir işaretin periodu, T örnekleme periodu ile belirlenen örnek sayısı kadar olacaktır. Çünkü π2 periodluk aralıktaki toplam örnek sayısı, aynı zamanda ayrık işaretin periodunu oluşturacaktır. Buna göre

0sayisiornek periodAyrik N== veya

00

periodu orneklemeperioduisaretin sureklisayisiornek periodAyrik N

TT

====

Gerek ayrık frekans gerekse ayrık period ifadelerini aşağıdaki şekillerde de formülüze edebiliriz. Eğer sinusoid olarak k sinΩ ayrık işaretini göz önüne alırsak, periodiklik yaklaşımından

)sin()(sin sin 00 NkNkk Ω+Ω=+Ω=Ω yazılabileceği gibi buradan

mN 20 π=Ω olması gerektiğini biliyoruz. Buradan 0N periodu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω

=π2 0 mN

elde edilir. Burada 0N tamsayı olacağından ifade bunu sağlayacak en küçük “m” değeri için hesaplanır. Ayrıca


40

ωT=Ω den, ωT terimini 0f temel işaretin, f ise örnekleme işaretinin frekansı olarak TfωT 0 2π==Ω yzabiliriz. Burada iki seçenek öne çıkmaktadır.

1) f

T 1= için

ff0

2π=Ω

veya 2)

000 212 2

TTT

TTf πππ ===Ω

Her iki ifade de elde edilen gerek ff0 gerekse

0TT oranları π2 periodluk aralığındaki 0N

örnek sayısına karşılık geldiğinden

00

0 N

TT

ff

==

ayrık frekansın her iki ifadeden de

0

0

0

2

2

2

N

TT

ff

π

ππ

=

==Ω

olarak bulunacağı teyit edilir. Bunu bir örnekle somutlaştırabiliriz. Örneğin aşağıdaki ayrık işareti göz önüne alalım.


41

Örnek ][kf k Şekil 22 Ayrık periodik işaret Bu ayrık işaretin frekansını ve periodunu bulmaya çalışalım. Çözüm Verilen ayrık işaret incelendiğinde periodik ve tanıdık sinusoidlerden birine karşılık gelebileceği görülmektedir. Bu yaklaşımımızı delillendirmek adına ayrık işaretin bir sürekli-zaman sinusoid işaretinden oluşumunu gösteren aşağıdaki şekli dikkate alırsak, analizimiz kolaylaşacaktır. ][kf k

Şekil 23 kkf 3

sin][ π= Ayrık periodik işaret

Görüldüğü gibi periodik bir ωtsin işaretinin örneklenmesi durumunun söz konusu olduğunu görmekteyiz. Şekil üzerinden ayrık frekans ve periodu belirlemek üzere


42

TT

N 00 =

0

2Nπ

=Ω

Veya

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

0

2 N

m π

Bağıntılarını göz önüne aldığımızda π2 periodluk dilime düşen ayrık örnek sayısının dolayısıyla ayrık periodun 12 olduğunu görmekteyiz.

120 =N Buradan ayrık frekans ise

6122 ππ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω m

Bulunur. Oranı tam sayı yapacak en küçük “m” değeri 1=m alınmıştır. Bu koşullar altındaki süreki ωttf sin)( = işareti kTt = olmak üzere ayrık form olarak ωT=Ω koşuluyla

][ sin sin)(

kfkkωTtf

=Ω==

elde edilir. Buna göre ayrık sinusoidin açık ifadesi de 6π

=Ω için

kkkf6

sinsin][ π=Ω=

olur. Elde edilen k6

sin π işaretinin küçük periodlu olduğu açıktır. Eğer π2 periodu göz

önüne alınırsa tam 12 tane 6π açısının söz konusu olduğu görülmektedir. Bunun anlamı aynı

zamanda 12 tane örnek noktasının belirlenmesidir. İşte bu örnek noktaları sonucu ][kf ayrık işareti elde edilmiştir. Buradan ilk çıkan sonuç açısal frekansın π2 den küçük olması, belirlenecek ayrık örnek noktalarının sayısını artırmaktadır. Daha fazla örnek alınması isteniyorsa örnekleme hem örnekleme periodunun hemde ayrık frekansın daha küçük seçilmesi gerekir. Açısal hız kavramı ile bağlantılı olan bu durum aşağıdaki diagram üzerinde daha açık olarak gösterilmiştir. kΩ açısal hızı 6/π=Ω olmak üzere 11,,2,1,0 L=k değerleriyle yarıçapı “1” birim olan çember üzerinde görülmektedir.


43

3=k 2=k Ω Ω 1=k Ω 0=k Ω 11=k 1 Şekil 24 Ayrık frekans

Buna göre kkf 6

sin][ π= işaretinde her bir ayrık frekansı 6/π=Ω için 11,,2,1,0 L=k

olmak üzere birim çember üzerinde 12 kez tekrarlanacaktır. Bu yüzden ayrık frekans 6/π=Ω görünmektedir.

Sinusoid İşaretlerin Örneklenmesi ω (a) : os 2ωω =


44

ω (b): os 2ωω = ω (c): os 2ωω < ω (d): 2/3 os ωω = )2( os ωω <


45

ω (e): os 4ωω = )2( os ωω > ω (f): os 10ωω = )2( os ωω > Şekil 25 Sinusoidlerin Nyquist frekansına göre örneklenmeleri ω Şekil 26 Farklı frekanslarda aynı örneklere sahip iki sinusoid


46

Şekilden de görüldüğü gibi farklı frekanslardaki iki sinusoidin aynı örneklere sahip oldukları görülmektedir. Örnek sayısı baz alındığında kalın çizgilerle gösterilen işaret için aşırı örnekleme (oversampling) durumu söz konusudur. Bu durumda gereğinden fazla örnek alındığı için örneklemede bir problem yoktur ve işaretin tekrar örneklerinden elde edilmesi mümkün olacaktır. Diğer yandan normal çizgilerle gösterilen işaretin ise “az örnekleme” (undersampling) durumuyla karşı karşıya olduğunu görmekteyiz. Bu durumda bu işaret için gereğinden az işaret alındığı için, örtüşme problemi kaçınılmaz olacaktır. Sinusoidal Örnekleme Sinusoid fonksiyonlar bilindiği gibi periodik fonksiyonlar olduğundan, burada

) 2cos( 0 θπ +tf veya ) 2sin( 0 θπ +tf gibi periodik fonksiyonların örneklenmesinden söz edilmektedir. Böyle bir işaretin

) 2cos()( 0 θπ += tftx olduğunu düşünürsek, bunun örneklenmiş halinin nTt = için

) 2cos(][ 0 θπ += Tnfnx olduğunu düşüneceğiz. Burada T örnekleme frekansıdır ve işaret periodik olsa da Nyquist oranına göre örnekleme yapılacaktır. Buna göre periodik sinusoidler için örnekleme frekansı

0s 2 ff > alınacaktır. Buna göre örnekleme aralığı s

1f

T = olarak ][nx de yerine konulursa

)1 2cos(][s

0 θπ +=f

nfnx

)) ( 2cos(][s

0 θπ +=ff

nnx

elde edilir. Buradan ) 2cos()( 0 θπ += tftx işaretinin örneklenmiş versiyonu karşımıza

)) ( 2cos(][s

0 θπ +=ff

nnx olarak çıkmaktadır. Diğer yandan bu kez )(tx gibi bir başka

periodik sinusoid olan

) ) (2cos()( s0 θπ ++=′ tfkftx işaretini alalım. Bunun örneklenmiş versiyonunun da

) )( 2cos(

) ) 2)( 2cos()1 ) ( 2cos() ) (2cos(][

s

0

s

0

ss0s0

θπ

θππθπθπ

+=

++=++=++=′

ff

n

knff

nf

fkfnnTfkfnx

)) ( 2cos(][ s

0 θπ +=′ff

nnx


47

olarak hesaplandığını görmekteyiz. Burada da yukarıdakine benzer olarak verilen

) ) (2cos()( s0 θπ ++=′ tfkftx periodik sinusoid işaretinin örneklenmiş hali s

1f

T =

örnekleme frekansı için aynı şekilde yine )) ( 2cos(][s

0 θπ +=ff

nnx olarak bulunmuştur.

Buradan hareketle gerek ) 2cos()( 0 θπ += tftx gerekse ) ) (2cos()( s0 θπ ++=′ tfkftx işaretlerinin örneklenmiş versiyonlarının eşdeğerinin aynı fonksiyon

)) ( 2cos(][s

0 θπ +=ff

nnx olduğu fark edilmektedir.

) 2cos()( 0 θπ += tftx → )) ( 2cos(][s

0 θπ +=ff

nnx

) ) (2cos()( s0 θπ ++=′ tfkftx → )) ( 2cos(][s

0 θπ +=ff

nnx

Örneklenmiş sinusoidlerde örtüşme frekansları Yukarıda verilen periodik sinusoidlerin örneklenmesi durumundaki örtüşmeye sebep olabilecek örtüşme frekansları, ilgili bağıntılardan yararlanılarak tespit edilebilir. Verilen ifadelerde eğer işaret periodik ise [ )() ( 0s0 fxfkfx =+ ] işaret frekansı 0f , örtüşme (aliased) frekansı af ve örnekleme frekansı sf türünden

s0 fkff a += şeklinde yazılabilir. İşaret periodik olduğundan 0f , kendisini ( L,2,1 , s =kfk ) noktalarında ayrıca tekrar edecektir. Ve eğer işaret örtüşmüyorsa verilen bağıntıda 0=af olacaktır. Bu durumda

s

0

ff

k =

oranı elde edilir ki bunun da Nyquist kriterine göre sağlıklı bir örnekleme yapmak için 21

≤k

olması gerekir.


48

Örnek

ttf 100cos3)( π= işaretinin a)Örtüşme oluşturmayacak minumum örnekleme oranını, b) Eğer işaret Hz 200s =F örnekleme frekansıyla örneklenirse örneklenmiş işareti, c) Eğer işaret Hz 100s =F örnekleme frekansıyla örneklenirse örneklenmiş işareti, d) Aynı işaret bu kez Hz 75s =F ile örneklenirse oluşan işareti, e) Hz 75s =F ile örneklenirse oluşan işarete denk frekanstaki sinusoidin frekansını, bulun. f) Hz 50s =F ile örneklenirse oluşan işarete denk frekanstaki sinusoidin frekansını, bulun. g) Hz 40s =F ile örneklenirse oluşan işarete denk frekanstaki sinusoidin frekansını, bulun. Çözüm a) ttf )502cos(3)( π×= olarak yazılabilecek sürekli-zaman işaretinin frekansı Hz 50=f olduğundan minumum örnekleme oranının fF 2s = gereğince Hz 100502s =×=F olması gerekir. b) ttf 100cos3)( π= işareti Hz 200s =F ile örneklenmek istenmektedir. Görüldüğü gibi

Hz 200s =F örnekleme frekansı işaret frekansı 50 Hz den büyük olduğundan ( fF 2s ≥ ) bir örtüşme söz konusu olmayacaktır. Bu koşullardaki örtüşmesiz işaret

n

nnFfAnfd

2 cos3

) 20050 2cos(3) 2cos()(

s

π

ππ

=

==

olarak elde edilir. Buna göre π2 periodluk görünen işaretten her bir 2 π anında bir örnek

alınmak üzere toplam dört örnek alınmaktadır. c) ttf 100cos3)( π= işareti Hz 100s =F ile örneklenmek istenmektedir. Görüldüğü gibi

Hz 100s =F örnekleme frekansı işaret frekansı Nyquist kuralı gereği 50 Hz lik işaretin minumum oranına eşit olduğundan ( fF 2s = ) yine bir örtüşme söz konusu olmayacaktır. Bu koşullardaki örtüşmesiz işaret


49

n

nnFfAnfd

cos3

) 10050 2cos(3) 2cos()(

s

π

ππ

=

==

Buna göre π2 periodluk görünen işaretten her bir π anında bir örnek alınmak üzere toplam iki örnek (minimum koşul) alınmaktadır. d) ttf 100cos3)( π= işareti bu kez Hz 75s =F ile örneklenirse fF 2s ≠ kuralı gereğince örtüşme olacaktır. Bu durumda örtüşen ayrık işareti bulalım

n

nnnnnFfAnfd

3 2cos3

) 3 2cos(3)

3 22cos(3

3 4cos3 )

7550 2cos(3) 2cos()(

s

π

ππππππ

=

−=−====

Buna göre π2 periodluk görünen işaretten minumum her bir π anında bir örnek alınmak

zorunluluğu vardı. Oysa şimdi 3 4π değeri söz konusudur. Bu değer π den büyük olduğundan

artık toplam minimum iki örnek alma imkanı kalmamıştır. e) Daha önceden ayrık işaretin Ω frekansını (açısal hızını)

ωT=Ω

olduğunu biliyoruz. T, örnekleme periodudur (s

1F

T = ). Buna göre yukarıdaki )(nfd

bağıntısından

ss

23 2

Ff

FωωT aππ

===

yazılabilir. İfadedeki af örtüşme frekansını göstermektedir. Örnekleme frekansı 75 olduğuna gore ( Hz 75s =F )

75 2

753 2 afω ππ

==

Hz 25=af

Bulunur. Bu değer örtüşen işaretin frekansıdır. Buna göre örtüşen işaretin kendisi de

tttfty aa

50cos3 )252cos(3 )2cos(3)(

πππ

=×=×=


50

olarak bulunur. Bunun anlamı şudur : eğer ttf )502cos(3)( π×= işareti Hz 75s =F ile örneklenirse fF 2s ≠ olacağından bir örtüşme (aliasing) kaçınılmaz olacaktır. Bu örtüşme

durumunda oluşacak örnekleri gösteren [ nnfd 3 2cos3)( π

= ] ifadesinin sürekli zamandaki

karşılığı tty 50cos3)( π= işaretiyle aynı olacaktır. Burada [ nnfd 3 2cos3)( π

= ] ifadesi,

orijinal ttf )502cos(3)( π×= işaretinin ayrık versiyonu olmakla beraber aynı zamanda onun örtüşen versiyonudur. Dolayısıyla ttya 50cos3)( π= işaretinin vereceği örnek noktalar aynı zamanda örtüşme durumundaki ttf )502cos(3)( π×= ile aynıdır. Bu yüzden

ttya )252cos(3)( π×= işareti Hz 75s =F örnekleme frekansı altında ttf )502cos(3)( π×= işaretinin örtüşmüş (aliased) versiyonu olacaktır. Diğer bir deyişle 25 Hz lik frekans 50 Hz lik frekansın örtüşen (alias) frekansı olarak değerlendirilebilir. f) ttf 100cos3)( π= işareti bu kez Hz 50s =F ile örneklenirse fF 2s ≠ kuralı gereğince örtüşme olacaktır. Bu durumda örtüşen ayrık işareti bulalım

n

nnFfAnfd

2cos3

) 5050 2cos(3) 2cos()(

s

π

ππ

=

==

Buna göre π2 periodluk görünen işaretten minumum her bir π anında bir örnek alınmak zorunluluğu vardı. Oysa şimdi π2 değeri söz konusudur. Bu değer π den büyük olduğundan artık toplam minimum iki örnek alma imkanı kalmamıştır. Örtüşmenin kaçınılmaz olduğu bu koşullardaki ayrık işaretin Ω frekansının (açısal hızını) ise

ωT=Ω olduğunu bildiğimize göre )(nfd bağıntısından

ss

22

Ff

FωωT aπ

π ===


50 2

2 afππ =

Hz 50=af



51

tttfty aa

100cos3 )502cos(3 )2cos(3)(

πππ

=×=×=

olarak bulunur. Böylece ttya )502cos(3)( π×= işareti Hz 50s =F örnekleme frekansı altında ttf )502cos(3)( π×= işaretinin örtüşmüş (aliased) versiyonuyla aynı olacaktır. Diğer bir deyişle 50 Hz lik frekans aynı zamanda kendisinin yani 50 Hz lik frekansın örtüşen (alias) frekansı olarak değerlendirilebilir. g) ttf 100cos3)( π= işareti bu kez Hz 40s =F ile örneklenirse fF 2s ≠ kuralı gereğince örtüşme olacaktır. Bu durumda örtüşen ayrık işareti bulalım

n

nnnnFfAnfd

2

cos3

) 2

2cos(3) 25 cos(3)

4050 2cos(3) 2cos()(

s

π

πππππ

=

+====

Buna göre π2 periodluk görünen işaretten minumum her bir π anında bir örnek alınmak

zorunluluğu vardı. Oysa şimdi 25 π değeri söz konusudur. Bu değer π den büyük olduğundan

artık toplam minimum iki örnek alma imkanı kalmamıştır. Örtüşmenin kaçınılmaz olduğu bu koşullardaki ayrık işaretin Ω frekansının (açısal hızını) ise

ωT=Ω olduğunu bildiğimize göre )(nfd bağıntısından

ss

22

Ff

FωωT aπ

π ===


40 2

2 afππ =

Hz 40=af



52

tttfty aa

80cos3 )402cos(3 )2cos(3)(

πππ

=×=×=

olarak bulunur. Böylece ttya )402cos(3)( π×= işareti Hz 40s =F örnekleme frekansı altında ttf )502cos(3)( π×= işaretinin örtüşmüş (aliased) versiyonu olacaktır. Diğer bir deyişle 40 Hz lik frekans 50 Hz lik frekansın örtüşen (alias) frekansı olarak değerlendirilebilir. Örnek

ttx )10(2cos)(1 π=

ttx )50(2cos)(2 π= İşaretlerinin örnekleme frekansı Hz 40s =F ile örneklenmiş ayrık formlarını bulun. Çözüm

)(1 tx işareti için 102s ×>F olduğu için örtüşme yok. Bu durumda ayrık işaret

kkkx2

cos)4010(2cos][1

ππ ==

)(2 tx için 502s ×<F olduğundan örtüşme vardır. Bu durumda önce ayrık işaret

kkkx2

5cos)4050(2cos][2

ππ ==

Bu işaret

kkkx )2

2cos(2

5cos][2πππ

+==

olduğu için örtüşen işaret ][2 kx ile örtüşmeyen ][1 kx işaret arasında bir ilişki vardır. Daha önceden ayrık işaretin Ω frekansını (açısal hızını)

ωT=Ω

olduğunu biliyoruz. T, örnekleme periodudur (s

1F

T = ). Buna göre yukarıdaki ][2 kx

bağıntısından

ss

22

Ff

FωωT aππ

===


53


40 2

402 afω ππ

==

Hz 10=af


tttfty aa

20cos )102cos( )2cos()(

πππ

=×=×=

Buna göre ][2 kx işareti Hz 40s =F örnekleme frekansı ile örneklenen ][1 kx işaretinin örtüşen versiyonudur. ÖRNEKLENMİŞ İŞARETLERİN AYRIK GÖSTERİMİ Daha önce periodik işaretlerin Fourier analizleri yapılmıştı. Bu analizlere konu olan işaret sürekli veya pratikte analog diyebileceğimiz işaretler içindi. Bu bölümde benzer analizleri ayrık işaretler için yapmaya çalışacağız. Ayrık işaret veya sistem analizi için temel olan sürekli işarettir. Sürekli işaretten yararlanarak ayrık formdaki işaretleri elde ettiğimize göre, burada da yine periodik sürekli işaretlerin ayrık forma dönüştürülmesi ve ayrık hale geldikten sonraki hal olan periodik ayrık işaretin Fourier analizleri yapılacaktır. Analize başlamadan once bu bölümde ayrık işaretin sürekli işaretten nasıl elde edildiği üzerinde durmayacağımızı belirtmeliyiz. Bunun nasıl olduğunu “örnekleme teorisi” bölümünde ele almıştık. Biz burada üzerinde çalışacağımız ayrık değerlerin elde edildiğini, hazır olduğunu düşünerek onların elde edilişini değil, elde edildikten sonraki davranışlarını analiz etmeye çalışacağız. Ancak özet bilgi olarak ayrık işaretin bildiğimiz gibi sürekli formdaki bir analog işaretten örnekleme teorisine dayalı olarak elde edildiğini şimdilik hatırlamamız yeterli olacaktır. Bunun için ayrık işaret analizine olan ihtiyacı vurgulamak açısından aşağıdaki örneği göz önüne almamız faydalı olacaktır. Sürekli/Ayrık Ayrık Ayrık/Sürekli

)(tf Dönüştürücü ][kf Sistem ][ky Dönüştürücü )(ty örnekleyici C/D-C D/C-C Şekil 27 Sistemde sürekli – ayrık işaret davranışı


54

Görüldüğü gibi sistem girişindeki sürekli formdaki )(tf işareti “ayrık system” de kullanılma amacıyla form değiştirerek ][kf ye dönüşmektedir.

][)( kftf → (8.1) Bu prosesin “sürekli/ayrık dönüştürücü” denilen elemanla sağlandığını görmekteyiz. Dönüştürücü veya konvertör diyebileceğimiz bu eleman aslında örnekleme teorisine göre sürekli işareti alıp örnekleyerek ayrık formu sağlamaktadır. Bu işlemde kısaca

L,3,2,1 , )()( =→ kkTftf (8.2) şeklinde gösteriliyordu. Bunun anlamı )(tf işaretinden Nyquist örnekleme frekansına

02 ff s ≥ gore T periodlu ardışık bir çok nokta veya numune(sample) alınmaktadır. Bunun sonucunda ][kf ayrık işareti oluşmaktadır. Buna göre yukarıdaki ifade biraz daha düzenlenebilir.

L,3,2,1 , ][ )()( =→→ kkfkTftf (8.3) oluşmaktaydı. Biz burada ilk aşama olan )()( kTftf → (örnekleme) ile değil son aşaması olan ][kf ile ( ][)( kftf →→L ) ilgileneceğiz. Bu bilgiyi ve hatırlatmayı yaptıktan sonra ayrık Fourier serisinin analizine geçebiliriz. Ayrık işaret

)(tf sürekli bir işareti göz önüne alalım. Bu işaretin yukarıda örneği verile ayrık bir sisteme uygun olması amacıyla ][kf ayrık formata dönüştürülmesi gerekecektir. Bunun için sürekli

)(tf fonksiyonu örnekleme prensibinden yararlanılarak kTt = için yeni örneklerin elde edileceği aralıklara bölünecektir. Her bir kT aralığında ( için ,3,2,1,0 L=k ) bir örnek yer almaktadır. Burada T örnekler arasındaki aralığı göstermektedir ve örnekleme periodu olarak anılmaktadır ( BTBffT ss 2/1 ,2 ,/1 ≤≥= ). Her bir örnek bu aralığa göre yerleştirilmişlerdir veya dizilmişlerdir. Diğer bir deyişle T örneklerin periodunu gösterdiği gibi aynı zamanda ayrık işaretinde periodunu göstermektedir. Bu şekilde sürekli bir işaretten ayrık formattaki işaret elde edilebilmektedir.

][ )()(

kfkTftf

=→

(8.4)

olarak elde edilebilir. Görüldüğü gibi )(kTf ayrık işaretini çalışmalarımızda pratik açıdan yalnızca ][kf olarak kabul etmekteyiz ( )(][ kTfkf = ). İlgili prensip ve ifadelerin yardımıyla sürekli formdan elde edilen ayrık işaretin pratik görüntüsü aşağıdaki gibi olacaktır.


55

][kf , )(kTf k -2 0 1 2 5 10 t T2− 0 T T2 T5 T10 Şekil 28 Ayrık işaret Görüldüğü gibi )(kTf ayrık işaretini çalışmalarımızda pratik açıdan yalnızca ][kf olarak kabul etmekteyiz ( )(][ kTfkf = ). Ayrık zamanlı exponensiyel işaret kje Ω

kjekf ][ Ω= şeklindeki ayrık exponensiyel işarete biraz yakından bakmakta yarar vardır. kje Ω ifadesi kompleks değerli “k” ya bağlı fazör olarak adlandırılmaktadır. Grafik

gösteriminde real veya imajiner eksenler üzerinde yada magnitude ve açıyla gösterimi yapılır. Exponensiyel ifade kje Ω nin Euler denklemlerine gore trigonometric sin ve cos fonksiyonlarından oluştuğunu biliyoruz.

] sin[] cos[ 00 0 kjke kj Ω+Ω=Ω (8.5)

] sin[] cos[ 00

0 kjke kj Ω−Ω=Ω− (8.6) Pozitif değerleri gösteren kje Ω ifadesini göz önüne alarak

LL ,3,2,1,0 ,,,,][ 3 2 0 === ΩΩΩΩΩ keeeeekf jjjjkj (8.7)

aşağıdaki grafiği oluşur.


56

3=k 2=k Ω Ω 1=k Ω 0=k Ω 0=k Ω Ω 1=k 2=k 3=k kje Ω kje Ω− Şekil 29 Exponensiyel kje Ω ve kje Ω− fazör gösterimleri Verilen her iki şekilde 3,2,1,0 ve =Ω k için ayrık kje Ω ve kje Ω− ifadelerinin fazör diagramları gösterilmiştir. Eğer exponensiyel ifade hem magnitude ve faz açısından değerlendirilecekse kje Ω ifadesi

θ jkj ere =Ω olarak düşünülürse burada magnitude (genlik) olarak 1=r ve faz olarak da k Ω=θ olarak göz önüne alınmışlardır. Şekillerden görüldüğü gibi her bir “k” için ( 3,2,1,0 =k ) birim daire üzerinde Ω kadarlık bir hareket olmaktadır. Sonuçta total kaymalarda 1 =k için Ω , 2 =k için Ω2 , 3 =k içinse Ω3 açılık dönüşler söz konusu olacaktır. Bu şekilde exponensiyel ifade de 3 2 0 ,,, ΩΩΩΩ jjjj eeee gibi gösterimler ortaya çıkacaktır. Bu ifadeler sürekli haldeki ωjωjωjωj eeee 3 2 0 ,,, ile karşılaştırıldığında ayrık formattaki Ω nın sürekli formdaki ω ya denk geldiği görülmektedir.

ω=Ω ω rad/sn olarak bilinirken, Ω da her bir “k” ayrık değeri için üretildiğinden benzer şekilde birim örnek (sample) aralığındaki radyan olur. Bu yüzden Ω ayrık gösterimin frekansı olarak anılır. Dolaysıyla 3 2 0 ,,, ΩΩΩΩ jjjj eeee ayrık gösterimlerindeki frekansı da Ω olacaktır.


57

Ayrık zamanlı sinüs fonksiyonları Ayrık zamanlı bir trigonometrik fonksiyon olarak

)cos( θ+ΩkC yazılabilir. Bu şekildeki sinusoidal fonksiyonlarla exponensiyel kje Ω ifadeleri arasında Euler yaklaşımından gelen derin benzerlikler olduğunu biliyoruz. Yazılan )cos( θ+ΩkC ifadesinde C genliği, Ω frekansı ve θ ise fazı (rad) göstermektedir. Ayrık formu analiz edebilmek için sürekli form olan ωtcos yi göz önüne alalım. Bu fonksiyon kTt = için yeni örneklerin elde edileceği aralıklara bölünmüşlerdir. Her bir kT aralığında ( için ,3,2,1,0 L=k ) bir örnek yer almaktadır. Burada T örnekler arasındaki aralığı göstermektedir ve örnekleme periodu olarak anılmaktadır ( BTBffT ss 2/1 ,2 ,/1 ≤≥= ). Her bir örnek bu aralığa göre yerleştirilmişlerdir veya dizilmişlerdir. Diğer bir deyişle T örneklerin periodunu gösterdiği gibi aynı zamanda ayrık işaretinde periodunu göstermektedir. Bu anlamda herhangi trigonometrik bir ayrık işaret

][ )( cos

cos)(

kfkTf

kTωωttf

====

(8.8)

olarak elde edilebilir. Görüldüğü gibi )(kTf ayrık işaretini çalışmalarımızda pratik açıdan yalnızca ][kf olarak kabul etmekteyiz ( )(][ kTfkf = ). Burada ayrık formdaki frekans

kΩcos değerlendirmesine göre

ωT=Ω (8.9) olur. Buna göre sürekli işaret ωtcos her T anında örneklenerek ayrık kΩcos işaretini oluşturur. Ayrık işaretin periodu

][kf işaretinin periodik olması için her bir T anında işaretin kendisini tekrarlaması gerekecektir. Bu yüzden ayrık işarette her bir T aralığında aynı sayıda örneklenmiş ayrık değerler/örnekler (noktalar) mevcut olacaktır. Dolaysıyla sürekli zamanda örneğin “sn” olarak ifade edilebilecek her bir aralık ayrık formatta bu süreye karşılık gelen toplam ayrık nokta sayısı ile ifade edilebilecektir. Eğer bir T periodundaki örnek sayısı 70 =N ise bunun anlamı her periodda 7 tane örneklenmiş ayrık nokta mevcuttur ve aynı zamanda ayrık işaretin periodu 7 örnekten ibarettir. Daha da önemlisi her bir örnek aynı zamanda işareti oluşturan ayrık bir katsayıya ( rD ) karşılık gelecektir. Bunun anlamı T perioduna karşılık gelen 70 =N örnekten oluşan ayrık işaretin aynı zamanda 7 tane harmoniği/bileşeni olduğu yönündedir. Bu anlamda ayrık periodik bir işaretin periodu olan 0N dört anlama sahiptir :


58

1. 0N , sürekli işaretteki periodun karşılığıdır 2. 0N , ayrık işaretin periodunu göstermektedir ve 3. 0N , ayrık işarete bir period içindeki örnek sayısını, ayrık nokta sayısını göstermektedir. 4. 0N , dolaysıyla period içinde yer alan harmonik/bileşen sayısını gösterir.

][1

0

0

0∑−

=

Ω=N

r

krjr eDkf (8.10)

Denklemden de görüldüğü gibi periodu gösteren 0N aynı zamanda period içinde yer alan ayrık bileşen (harmonik) sayısını da (r) göstermektedir. Buna göre eğer ][kf fonksiyonu periodik ayrık bir işaret ise 00 >N (pozitif) olmak üzere

][][ 0Nkfkf += (8.11) olması gerekir. Aşağıdaki örnek period kavramını daha açıklayıcı kılmaktadır. Örnek ][kf k -16 -8 0 8 16 Şekil 30 Ayrık periodik işaret Şekilden görüldüğü gibi periodik ayrık işaretin her bir periodunda ( 0N ) 8 örnek bulunmaktadır. Diğer bir deyişle 8 harmonik mevcut olduğundan dolaysıyla hesaplanması gereken katsayıda rD de 8 tanedir. Burada ilginç olan 0N ın hem periodu hemde harmonik yani bileşen sayısını göstermesidir. Bununda sebebi verilen şekil ve denklemlerden görüldüğü gibi periodik bir ayrık işarette periodun kendisini tekrarlayan örnekler/harmonikler üzerine kurulmasıdır ve bu nedenle periodik ayrık bir işaret için period ifadesi 0N in toplam bileşen sayısından bağımsız olamayacağı görülmektedir . Buradan ayrık işaret


59

][

7

0

18

0

1

0

0

00

0

∑

∑∑

=

Ω

−

=

Ω−

=

Ω

=

==

r

krjr

r

krjr

N

r

krjr

eD

eDeDkf

(8.12)

yazılır. Eğer şekilde verilen ][kf fonksiyonu

)cos( )(coscos][

0

0

NkNkkkf

Ω+Ω=+Ω=Ω=

(8.13)

ve eğer

L=+Ω=+Ω=Ω= kkkkf )4cos()2cos(cos][ ππ (8.14) yaklaşımı göz önüne alınırsa

mN 20 π=Ω (8.15) denkliği söz konusu olacaktır. Burada “m” tam bir sayıdır. Buna göre

02 Nm

=Ωπ

(8.16)

ve period

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω

=π2 0 mN (8.17)

olarak elde edilir. Burada periodu hesaplayabilmek için “m” in seçimi önemlidir. Bunun için

“m”, denklemde görülen Ωπ2 oranını tam sayı yapacak şekilde seçilir.


60

AYRIK FOURIER SERİSİ Örnekleme teorisinden yararlanarak sürekli bir işaretin ayrık formatta elde edilebileceğini artık biliyoruz. Bu kez örneklemeye tabii işaretin periodik sürekli bir fonksiyon olduğunu düşünelim. Buna göre örnekleme yoluyla periodik ayrık işaret elde edilecektir. Aşağıdaki şekil böyle bir yaklaşımı ifade etmeye çalışmaktadır. )(tf ][kf t k 0 0 Şekil 31 Sürekli periodik ve ayrık periodik işaret Görüldüğü gibi sürekli haldeki “t” zaman değişkenin yerini ayrık formattaki “k” sayısı almıştır ( kTt → ). Artık )(tf işareti her noktada değil, belli bir “T ” perioduna bağlı olarak aralıkları kTt → ile belirlenen ayrık “ kT ” noktalarında tanımlıdır. Eğer sürekli formda görünen )(tf işareti aynı zamanda periodik bir işaretse (şekilden öyle olduğu anlaşılıyor)

Tω π 2 = (8.18)

ifadesini sağlıyor demektir. Diğer yandan eğer sürekli ve periodic bir işaretten elde edilen

][kf ayrık işaretide aynı zamanda periodik ise onunda sürekli haldeki periodik ifadeye

Nπ 2 =Ω (8.19)

benzer bir ifadeyi sağlaması gerekiyor. Bu halde ayrık periodik işaret söz konusu olacaktır. Bu durumda gerekli analizleri yapabilmek için biraz geçmişteki bilgilerimizi hatırlatmak faydalı olacaktır. Sürekli Fourier serisinin 0T gibi bir perioda sahip cos ve sin gibi trigonometrik ve ortogonal periodik sinusiodal fonksiyonlardan oluştuğunu biliyoruz. Serideki bu fonksiyonlar

},sin,,2sin,sin ; ,cos,,2cos,cos,1)0{cos( 0000000 LLLL tnωtωtωtnωtωtωtω =× (8.20)


61

Biçiminde temel bir frekansa ( 0ω ) dayalı ve onun harmonik bileşenlerden oluşmaktaydı. Bunların toplamından oluşan serinin görünümü

sin cos

sin2sinsin cos2coscos0cos)(

01

00

002010020100

tnωbtnωaa

tnωbtωbtωbtnωatωatωatωatf

nn

n

nn

∑∞

=

++=

++++++++×= LL

(8.21)

şeklindeydi. Burada temel frekansın 0

0 2

Tω π

= şeklinde olup 011 Tttt +≤≤ ile ifade edilen

0T perioduna bağlı olduğunu biliyoruz. Burada Fourier serisinin alternatif gösteriminin

sin cos)( 01

00 tnωbtnωaatf nn

n ++= ∑∞

=

(8.22)

veya ,

)cos(sin cos 000 nnnn tnωCtnωbtnωa θ+=+ (8.23)

tωCbtωCa

0

0

sin cos

−==

(8.24)

)cos()(1

00 nn

n tnωCCtf θ++= ∑∞

=

(8.25)

olduğunu biliyoruz. Nihayetinde basis fonksiyon olan sinusoidal ve orthogonal fonksiyonları ( tωbtnωa nn 00 sincos + ) Euler bağıntısından yararlanılarak exponensiyel formdaki ( tωjne 0 )

tωjntωjtωjtωjtωjntωjtωjtωj eeeeeeee 3 2 3 2 00000000 ,,,,,1,,,,, LL −−−− (8.26) gibi bileşenlerle göstermeye yarayan Fourier serisinin daha kompakt formatınında

)( 0∑∞

−∞=

=n

tωjnn eDtf (8.27)

olduğunuda sürekli form analizlerinden hatırlamaktayız. Ayrıca klasik sürekli formdaki gösterimde katsayıların


62

∫+

= 01

1

)(1

00

Tt

tdttf

Ta (8.28)

∫+

= 01

1

cos)(20

0

Tt

tn dttnωtfT

a (8.29)

∫+

= 01

1

sin)(20

0

Tt

tn dttnωtfT

b (8.30)

exponensiyel gösterimde ise katsayının

dtetfT

DT

tωjnn ∫ −=

0

0 )(1

0

(8.31)

olduklarını biliyoruz. Bu analizleri şimdi benzer şekilde ayrık durum için ele alacağız. Burada katsayılar hakkında, işaret fonksiyonu )(tf nin sürekli olmasına rağmen, ilgili , nn ba ve nD katsayılarının spektrumlarının ayrık olması, ilginç bir ayrıntı olarak aklımızda kalmıştı. Sürekli formdaki bir )(tf işaretinin periodic gösterimin

)()( 0Ttftf += (8.32)

şeklinde ve 0

02T

ω π= olduğunu hatırlıyoruz. Benzer durumu ayrık form için

][][ 0Nkfkf += (8.33) şeklinde yazabilmekteyiz. Sürekli form ile kıyaslandığında “t” yerine sayıyı gösteren ayrık bir değer “k” ve 0T periodu yerine aynı anlama gelen 0N kullanılmıştır. Burada “k” ayrık işaretin kaçtane ayrık değerden oluştuğunu göstermektedir. Bu anlamda değeri sonlu ve sonsuz olabilir. Sonlu olduğunu kabul edersek, mevcut ayrık değerlerin kaç ayrık değerden sonra kendisini tekrarladığını bilmemiz gerekiyor. Bu değer 0N ise, anlamı belirli sayıda ayrık noktalardan oluşan ][kf işareti kendi içinde her 0N ayrık değerden sonra tekrarlanan ayrık kümelerden (dizilerden) oluşmaktadır. Bundan dolayı doğal olarak 0N ayrık işaretin periodudur. Burada göze çarpan bir husus, sürekli formda periodu gösteren 0T ın bir zaman sürecini gösterdiği halde, ayrık formdaki eşdaşı olan 0N ayrık nokta sayısını göstermektedir. Peki bu durumda sürekli formdaki frekans 00 /2 Tω π= , ayrık formda nasıl gösterilecektir. Ayrık frekansı göstermek üzere 0Ω

00

2Nπ

=Ω (8.34)

olacaktır. Sürekli formda frekans bir periodluk zamandaki saykıl olduğuna göre, ayrık formda da 0N periodundaki saykıl veya salınım olacaktır. Yani 0N ile gösterilen ayrık noktaların

sayısı olan 0

1N

ayrık frekansı oluşturacaktır.


63

Sürekli formdaki 00 /2 Tω π= ifadesi birim çember göz önüne alındığında tam bir tur yapılması için gereken hız veya frekans olduğuna gore ayrık formdaki 00 /2 Nπ=Ω ifadesi de bir tam turdaki bir 0N periodunun kaç kere tekrarlanacağını yani tekrarlama hızını dolaysıyla frekansını test etmektedir. Diğer bir deyişle bir periodun kaç tane 0T veya 0N içerdiğinin tespit edilmesiyle ilgili bir tür hız kavramı hesaplanmak istenmektedir. Dolaysıyla

0N büyüdükçe bu hız düşecek, küçüldükçe de doğal olarak büyüyecektir (T

f 1= ).

Konvansiyonel teknikle Ayrık Fourier serisinin analizi Burada ayrık Fourier serisinin analizi önce klasik yöntemle yapılacaktır. Sürekli Fourier serisinin analizi yapılırken bulunan seri katsayıları yani genlik spektrumu sinüssel ifadelerden yararlanılarak yapılacaktır. Sürekli Fourier serisine benzer olarak ayrık Fourier serisi

},sin,,2sin,sin ; ,cos,,2cos,cos),0{cos( 0000000 LLLL knkkknkkk ΩΩΩΩΩΩΩ× (8.35) gibi ayrık bileşenlerin süperpozisyonundan veya linear toplamlarından meydana gelecektir.

sin cos

sin2sinsin cos2coscos0cos][

01

00

002010020100

knbknaa

knbkbkbknakakakakf

nn

n

nn

Ω+Ω+=

Ω++Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+Ω×=

∑∞

=

LL

(8.36)

knbknakf nn

n 00

0 sin cos][ Ω+Ω= ∑∞

=

(8.37)

Daha kompakt olarak

∑

∑∞

=

∞

=

+Ω=

Ω+Ω=

00

00

0

)cos(

sin cos][

nn

nn

n

knC

knbknakf

θ (8.38)

gibi de yazılabilir.

22nnn baC += (8.39)

θcos=na , (8.40)

θsin−=nb (8.41)

)(tan 1

n

n

ab

−= −θ (8.42)


64

Ayrık formatta çalışıldığı için sonlu sayıda örnek söz konsu olacağından yukarıdaki ifadedeki sonsuz (∞ ) yerine hem periodu hemde period daki ayrık nokta sayısını gösteren 0N koyalım.

knbknakf n

N

nn 0

1

00 sin cos][

0

Ω+Ω= ∑−

=

(8.43)

knbkmbkbkbknakmakakakakf

nm

nm

000201

00020100

sin sin2sinsin cos cos2coscos0cos][

Ω++Ω++Ω+Ω++Ω++Ω++Ω+Ω+Ω×=

LL

LL (8.44)

Buradan na ve nb katsayılarını bulmaya çalışalım. Önce na ifadesini elde edelim.

∑

∑−

=

−

=

Ω

Ω= 1

00

2

1

00

00

0

cos

cos ][ 1

N

k

N

kn

kn

knkf

Na (8.50)

elde edilir. 0=n için

∑−

=

=1

000

0

][1 N

k

kfN

a (8.51)

Aynı şekilde diğer katsayı nb de hesaplanabilir.

∑

∑−

=

−

=

Ω

Ω= 1

00

2

1

00

00

0

sin

sin ][ 1

N

k

N

kn

kn

kkf

Nb (8.58)

elde edilir. Ayrık Fourier serisinin exponensiyel gösterimle analizi Burada ayrık Fourier serisinin analizi alternatif veya ikinci yöntem olarak daha kompakt formdaki exponensiyel ifadeler baz alınarak yapılacaktır. Dolaysıyla sürekli formda

tωjntωjtωjtωjtωjntωjtωjtωj eeeeeeee 3 2 3 2 00000000 ,,,,,1,,,,, LL −−−− (8.59)

},sin,,2sin,sin ; ,cos,,2cos,cos,1)0{cos( 0000000 LLLL tnωtωtωtnωtωtωtω =× (8.60) olarak verilen sinusoidal harmonikler ayrık formda sinus fonksiyonlarıyla aşağıdaki formlarda oluşturabiliriz. },sin,,2sin,sin ; ,cos,,2cos,cos),0{cos( 0000000 LLLL knkkknkkk ΩΩΩΩΩΩΩ× (8.61)


65

sin cos

sin2sinsin cos2coscos0cos][

01

00

002010020100

knbknaa

knbkbkbknakakakakf

nn

n

nn

Ω+Ω+=

Ω++Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+Ω×=

∑∞

=

LL

(8.62)

knbknakf nn

n 00

0 sin cos][ Ω+Ω= ∑∞

=

(8.63)

Buna alternative olarak ayrık Fourier seri analizleri kompakt formdaki exponensiyel ifadeler baz alınarakda oluşturulabilir. Sürekli formda

tωjntωjtωjtωjtωjntωjtωjtωj eeeeeeee 3 2 3 2 00000000 ,,,,,1,,,,, LL −−−− (8.64) olarak olarak knje 0Ω± şeklindeki exponensiyel gösterimleri ayrık formda

knjkjkjkjkjkjkj eeeeeee 3 2 2 3 0000000 ,,,, , 1 ,,,, Ω−Ω−Ω−ΩΩ−Ω−Ω− LL (8.65) gibi değerlendirerek ayrık Fourier serisini daha kompakt tarzda da oluşturabiliriz. Buradaki ayrık formdaki basis fonksiyonunun sürekli halde olduğu gibi aslında Euler prensibini sağlayan sinüssel ifadelerden oluşmaktadır.

] sin[] cos[ 00 0 kjke kj Ω+Ω=Ω (8.66)

] sin[] cos[ 00

0 kjke kj Ω−Ω=Ω− (8.67) ve de,

[ ]kjkj eek 0

00

21] cos[ Ω−Ω +=Ω (8.68)

[ ]kjkj eej

k 0

00

21] sin[ Ω−Ω −=Ω (8.69)

olduklarını zaten sürekli formlarından da çıkarabiliriz. İfadelerde yer alan harmonik sayısını gösteren “n” sonlu veya sonsuz sayıda olabilir. Burada knje 0Ω± ifadesindeki kn 0 Ω yerine

πkkn 2 0 +Ω alınması

πkknkn 2 00 +Ω=Ω (8.70) gösterimi

knjkknjknjkknj eeeee 2 ) 2 ( ) 2 ( 0000 Ω±Ω±Ω±Ω === πππ (8.71) değiştirmediğinden vede aksine kompakt gösterime daha uygun olduğundan ) 2 ( 0 πkknje ±Ω gösterimi tercih edilecektir. Bundan istifade ile herhangi bir harmoniğe ait bileşeni bulmak için, örneğin n.harmonik için knje 0Ω

rkrjkkrjkNrj geee === Ω+ΩΩ+ ) 2 ( ) ( 0000 π (8.72)


66

elde edilecektir. Burada “r” nin herhangi bir değeri için “n” ci harmonic bulunmuş olacaktır. Örneğin 1=r için yani birinci harmonik 1g için )1()( 00 NNr +=+ olacak ve fonksiyonu

1 ) 2 ( )1 ( 0000 geee kjkkjkNj === Ω+ΩΩ+ π (8.73)

olurken ikinci harmonik için )2()( 00 NNr +=+ ve

2 2 ) 2 (2 )2 ( 0000 geee kjkkjkNj === Ω+ΩΩ+ π (8.74)

olacak şekilde harmonikler elde edilebilecektir. Böylelikle 0N periodundaki mevcut harmonikler 1,,3,2,1,0 0 −= Nr L veya 0,,3,2,1 Nr L= biçiminde sıralanacaklar. Kullanımda hangisinin tercih edileceği sonucu değiştirmeyecektir. Bu yüzden ayrık formdaki Fourier serisinin exponensiyel kompakt kormunu aşağıdaki gibi oluşturabiliriz.

][1

0

0

0∑−

=

Ω=N

r

krjr eDkf (8.75)

İfadeden görüldüğü gibi periodic olan ve ( )1(0 0 −− N ) arasında 0N tane harmonikten oluşan bir seri karşımıza çıkmıştır. Burada ayrık frekans ifadesinin

00

2Nπ

=Ω (8.76)

olduğunu biliyoruz. Buradan ayrık Fourier serisinin her bir harmoniğinin (bileşeninin) 0N periodu ile birbirlerinden ayrıldığını görmekteyiz. Burada enterasan olan 0N periodunun aynı zamanda ayrık harmonic sayısınıda göstermesidir. Bunun sebebi daha önce açıklandığı gibi periodik uzunluğun zaman olarak değil örnek sayısı ile belirlenmesidir. Ayrık seri ifadesini biraz açarsak,

][1

0

)1( 3 2 2

10

00

00000

∑−

=

Ω

Ω−ΩΩΩ

=

+++++=N

r

krjr

kNjr

kjr

kjkj

eD

eDeDeDeDDkf L

(8.77)

Sinusoidal her bir frekanstaki (harmonik) bileşenin aynı indisli katsayılarla ( 13210 0

,,,,, −NDDDDD L ) çarpılıp toplamlarından oluştuğunu görmekteyiz. Bu katsayıların işlevi, sürekli formda olanından pek farklı değildir. Hangi harmoniğin hangi miktarda olduğunu bilmek hem işaretin spectrum analizi hemde işaretin tekrar oluşturulması açısından önemli rol oynamaktadır. Burada farkedildiği gibi sürekli hala gore basit bir durum oluşmuştur. O da periodun 0N sonlu olmasından dolayı hangi sayıda ayrık bileşen olduğu için seriyi oluşturmak, katsayılarını hesaplama işlemleri daha belirgin ve net bir hal almıştır. Period içindeki ayrık nokta sayısını bilmek işi kolaylaştırmaktadır. Uygulamada kuşkusuz işareti tekrar elde etmek açısından örneklem hacminin yinede büyük olması normaldir, ama sonlu sayıdadır. Bu bağlamda kompakt formdaki Fourier serisinin katsayılarını hesaplamak önemlidir. Buna göre ][kf ayrık işareti ve katsayısından( mD ) oluşan ayrık Fourier serisine ait denklem çifti aşağıdaki gibi yazılabilir.


67

][1

0

0

0∑−

=

Ω=N

r

krjr eDkf (8.83)

][1 1

0

0

00∑

−

=

Ω−=N

k

krjr ekf

ND ,

00

2Nπ

=Ω (8.84)

Her iki denklemden de görüldüğü gibi ayrık ][kf işareti için frekans spektrumunu temsil eden rD katsayısıda ayrık formda oluşmuştur. Değinilecek bir diğer noktada hem ][kf işaretinin hemde katsayının rD , aynı sayıda ayrık değeri veya bileşeni dikkate aldığı şeklindedir. Diğer bir deyişle her ikisi de bir period ( 0N ) kapsamındaki ayrık bileşen sayısı uzerine kurulmuştur. Durum sürekli form ile benzerlik göstermektedir. Burada ][kf yı oluşturan “k” belki sayıca perioddan çok daha büyüktür, hatta sonsuz da olabilir. Ancak neticede periodik olduğundan bir period daki ( 0N ) davranışı nasılsa bunun dışındaki noktalarda da aynısı olarak kendisini tekrarlayacağından ][kf için )1(0 0 −− N aralığındaki ayrık noktaların dikkate alınması tutarlıdır. Fourier spekrumu Elde edilen rD katsayısı

][1 1

0

0

00∑

−

=

Ω−=N

k

krjr ekf

ND (8.88)

denkleminden görüldüğü gibi ayrık işaretin frekans dağılımını ayrık formda gösteren spektral yoğunluktur. Bu değer ayrık Fourier serisini oluşturan ][kf işaretinin oluşturan harmoniklere ait katsayılar olup hangi bileşenin hangi oranda veya genlikte frekansa sahip olduğunu göstermesi açısından önemlidir.

][1

0

)1( 3 2 2

10

00

00000

∑−

=

Ω

Ω−ΩΩΩ

=

+++++=N

r

krjr

kNjr

kjr

kjkj

eD

eDeDeDeDDkf L

(8.89)

Görüldüğü gibiher bir ayrık bileşeninin frekans genliği farklı bir rD katsayısı ile temsil edilmektedir. Burada harmoniklere ait frekansların 00000 )1(,,3,2,,0 Ω−ΩΩΩ NL olduğunu görmekteyiz. Fourier serisini oluşturan rD katsayısının kompleks formda olduğunu ve polar formda

rDjrr eDD ∠= (8.90)

yazılabileceğini bilmekteyiz. Sürekli formdakine benzer olarak ωDr − ifadesi genlik spektrumu, benzer şekilde Ω−∠ rD yaklaşımıda faz spektrumu olarak anılmaktadır. Verilen

][kf işaretinin spektrum analizi, genlik ve faz spektrumlarından oluşacaktır. Ayrık formdaki katsayılar rD kompleks olduğundan, eşlenik olarak rD− ile rD arasındaki genlik ve faz spektrumları bu kez


68

rr DD −= ve rr DD −−∠=∠ (8.91)

biçiminde olacaktır. Görüldüğü gibi genlik spektrumu rr DD −= olduğundan çift fonksiyon tipinde iken, faz spektrumu rr DD −−∠=∠ dan dolayı tek fonksiyon tipindedir. Bu şekilde ayrık Fourier spektrumu 10 0 −≤≤ Nr bileşenlerine göre incelendiği zaman her bir rD nin

birbirinden 0

02Nπ

=Ω frekansıyla ayrıldıklarını ve toplam 0N bileşenin periodik olarak Ω

üzerinde )2(20

0 NN ππ × aralıklarıyla tekrarlandıklarını görmekteyiz. Diğer bir deyişle ][kf

işaretinin periodu 0N iken, 0N tane bileşenin katsayısını gösteren rD nin periodu π2 radyandır. Burada karıştırılmaması gereken husus şudur : 0N , “k” ekseni üzerindeki ][kf nın periodu, π2 ise Ω frekans ekseni üzerindeki rD nin periodunu göstermektedir. Bulunan değerler itibariyle ayrık Fourier serisi ile sürekli formu arasında benzerlikler olduğu ortaya çıkmaktadır. Fark sürekli formatta sonsuz bileşen olduğundan dolayı spektrum band genişliği sonsuz iken, ayrık formda ise spektrum band sınırlı (bandlimited) ve sonlu sayıda ( 0N ) harmonikler söz konusudur. Sürekli Fourier – Ayrık Fourier Seri Karşılaştırılması Her ikiside zaman – frekans analiz yöntemidir. Sürekli Fourier serisi

∑∞

−∞=

=n

tωnjn eDtf 0 )(

∫ −=0

0 )( 1

0T

tωnjn dtetf

TD

ve ayrık Fourier serisi

∑−

=

Ω=1

0

0

0 ][N

r

krjr eDkf

∑−

=

Ω−=1

0

0

00 ][1 N

r

krjr ekf

ND

Karşılaştırıldıklarında ilk farklı olan, )(tf işaretinin ayrık Fourier seride ayrık formda ][kf oluşudur. Bunun dışında frekans spektrumları rn DD ve benzer olarak her ikisinde de ayrık formdadır. Buradan çıkarılacak sonuç şudur :


69

a) sonsuz sayıda ayrık bileşenin toplamı sürekli fonksiyon oluşturur ( )(tf ). b) sonlu sayıda toplam daima ayrık değer oluşturur )( rD . c) belirli (sabit, fix) bir aralıktaki ( 0T ) integral daima ayrık değer oluşturur )( nD . İkinci olarak ise sürekli formdaki 0T periodunun karşılığı ayrık formda 0N olarak değişmiştir.

0T periodunda sonsuz harmonik dikkate alınırken, 0N da sonlu sayıda harmonik dikkate alınmıştır. Sürekli haldeki spektrumdaki bileşenler arasındaki aralık 0T iken, ayrık durumda bu aralık π2 olmuştur. Örnek Ayrık Fourier serisini gösteren kkf 1.0sin][ π= işaretinin genlik ve faz spektrumunu belirleyin. Çözüm Öncelikle kkf 1.0sin][ π= işaretini oluşturmak için frekans ve period gibi parametrelerini bulmaya çalışalım.

π1.0=Ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω

=π2

0 mN

)20( 1.0

2 0 mmN =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ππ

Buradan “m” minimum olarak seçileceğinden eğer “ 1=m ” olarak anılırsa period

200 =N olarak elde edilir. Buna göre ][kf nın değişimi aşağıdaki gibi olacaktır. ][kf k 10− 0 10 20 Şekil 32 Ayrık işaret : k 1.0sin π


70

Şimdi genlik ve faz spektrumu için ayrık Fourier seri denklem çifti üzerinde bir takım işlemler yapmamız gerekecek. Period 200 =N olduğundan

][9

10

0.1 ∑−=

=r

krjr eDkf π

buradan katsayı denklemi

( )

40

1

21

201

1.0sin201

9

10

)1( 0.1 9

10

)1( 0.1

9

10

0.1 0.1 0.1

9

10

0.1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

=

∑∑

∑

∑

−=

+−

−=

−

−=

−−

−=

−

k

rkj

k

rkj

k

krjkjkj

k

krjr

eej

eeej

ekD

ππ

πππ

ππ

ifade “r” nin tüm değerleri için sıfır iken yalnızca 1=r için değerler elde etmek mümkün olacaktır.

1 0

1 21

1 21

1

1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠

=−=

==

= −

r

rJ

D

rJ

D

Dr

Buna göre ayrık Fourier serisi

)(21 1.0sin][ 0.1 0.1 kjkj eej

kkf πππ −−==

Bu yazıma göre katsayıların

/2 1

21

21 πje

JJD == ve /2

1 21

21 πje

JJD −

− =−=

oldukları görülecektir. Görüldüğü gibi spektrumda yalnızca iki tane sıfır olmayan bileşen olacaktır. Buradan ayrıca genliklerin

21 11 == −DD

ve fazın ise,

2 1

π−=∠ D ve

2 1

π=∠ −D


71

oldukları görülecektir. Bunlara göre genlik ve faz spektrumlarıda aşağıdaki gibi olacaktır. rD π2− 10/π− 10/π π2 Ω 20− 10− 0 10 20 r (a) : Genlik spektrumu rD ∠ 2/π π2− 10/π− 10/π π2 Ω 2/π (b) : Faz spektrumu Şekil 33 Ayrık Fourier serisi genlik – faz spektrumu

AYRIK-ZAMAN FOURIER TRANSFORMASYONU Daha önce sürekli işaretlerin incelendiği Fourier serisi ve Fourier transformasyonu bölümlerinde gördüğümüz periodik olmayan işaretlerin analizi bu kez periodik olmayan ayrık işaret olarak analiz edilecektir. Periodik işaretlerin davranışlarının analizi daha kolay olduğundan periodik olmayan işaretin bir şekilde periodik forma dönüştürülmesi analizinide kolaylaştıracaktır. Benzer prosesin Fourier transformasyonu bölümünde nasıl yapıldığını gördük. Buradaki en önemli periodik işaret Fourier serisidir. Bu yüzden periodik olmayan ayrık işareti ayrık Fourier serisi formuna dönüştürmeye çalışacağız. Periodik olmayan ayrık bir işarete örnek aşağıdaki şekilde görülmektedir.


72

][kf N− N k 0 Şekil 34 Periodik olmayan ayrık işaret Şekilde görülen ayrık ][kf işaretinin periodik olmadığı ve yalnızca ),( NN− aralığında tanımlı olduğu görülmektedir. Bu şekli periodik hale getirmek için bu aralığı da kapsayan alternatif bir ),( 00 NN− aralığına ihtiyaç var. Bu aralığı gösteren ayrık işaret de ][

0kf N olsun.

Bu yeni aralığın aynı zamanda periodik olduğunu kabul ediyoruz. Dolaysıyla ayrık ][0

kf N işaretinin periodu 0N olacaktır. Buna göre period 120 +≥ NN olacaktır. Buna göre bu aralıkta asıl periodik olmayan işaret de yer alacağı için, ),( NN− aralığı kendini tekrarlayan periodik forma gelmiş olacaktır. Bu senaryoyu aşağıdaki şekil üzerinde görmekteyiz. ][

0kf N

0N− N− N 0N k 0 Şekil 35 Periodik olmayan ayrık işaretin periodik ayrık işarete dönüştürülmesi Bu senaryoya göz atarsak eğer ][

0kf N işaretinin periodu 0N eğer çok büyük veya sonsuz

büyükse ( ∞→0N ) ise, periodik olmayan işaret ][kf kendisini bu geniş aralıkta tekrarlayacaktır. ][kf nin ][

0kf N dan elde edilişini aşağıdaki tanımda görüyoruz.

][][lim

00

kfkf NN=

∞→

Bu durumda ][

0kf N işareti ayrık Fourier serisi ile ifade edilebilen bir işaret pozisyonundadır.

Fourier serisi ][0

kf N , ∞→0N durumunda ][kf işaretini de temsil edecektir. Ayrıntıları göstermek üzere exponensiyel formları kullanacağız. Eğer ayrık exponensiyel Fourier serisi

][0

kf N ise,

00

1

0

2 , ][0

00

0

0 NeDeDkf

Nr

krjr

N

r

krjrN

π=Ω== ∑∑

><=

Ω−

=

Ω


73

olmak üzere

∑∞

−∞=

Ω−=k

krjr ekf

ND

0

0 ][1

olduğunu biliyoruz. Bu ifadenin sağ tarafının tanım aralığı dikkat edilirse ∞→0N için

),( ∞−∞ aralığı olarak tanımlanmıştır. Sonsuz aralığa rağmen Nk > için ( NkN <<− ) zaten 0][ =kf olacağından durum değişmeyecektir. Burada incelenmesi gereken husus 0N daki değişimin rD spektrumunu nasıl etkileyeceğidir. En son verilen denkleme bakarsak

][kf nin ayrık olmasına rağmen rD nin ),( ∞−∞ aralığı için sürekli formda olabileceği yönünde kanaat kuvvetlidir. Bunu görmek üzere ),( ∞−∞ aralığındaki toplamın sürekli bir fonksiyonu oluşturabileceğini düşünerek yeni bir sürekli fonksiyon )(ΩF göz önüne alalım. Bu fonksiyonun Fourier serisi karşılığı olarak

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][)(

olarak yazalım. Bunun rD ifadesindeki karşılığının

) (10

0

Ω= rFN

Dr

olduğunu görebilmekteyiz. Buradan Fourier serisindeki katsayının rD , Fourier serisinin )(ΩF her 0Ω rad/sn lik örneklerinin 0/1 N katı olduğu ortaya çıkmaktadır. Buradan

) ()/1( 0 ΩFN teriminin rD nin zarfı (envelope) olduğu da ortaya çıkar. Elde edilen rD nin denklemine bakarsak eğer period 0N artırılırsa iki türlü etkilenme olacaktır. Öncelikle rD nin frekans eksenindeki genliği küçülecektir. İkinci olarak ise

00

2Nπ

=Ω

Bağıntısından dolayı aynı zamanda frekans yani 0Ω da etkilenecektir. Bu durumda frekans eksenindeki bileşenler arasındaki aralıklar yani boşluklarda daralmış olacaktır. Bu son durumda 0N ın artırılması durumunda rD nin temsil ettiği bileşenlerin genlikleri azalacak, ama daha fazla bileşen yer alacak, üstelik bileşenler arasındaki aralıklar daha dar olacağından daha sıkı ve birbirine yakın ve de daha yoğun görünen kompakt bir görününm ortaya çıkacaktır. Bunların ışığında rD nin görüntüsünü göz önüne getirirsek aşağıdaki şekil ortaya çıkabilecektir.


74

rD ) ()/1( 0 ΩFN 0 Ω - a - rD ) ()/1( 0 ΩFN Ω 0 - b - Şekil 36 Ayrık Fourier spektrumunun 0N periodu ile değişimi Şekilden de görüldüğü gibi (a) da görülen ayrık şeklin ) ()/1( 0 ΩFN bağıntısına göre periodu artırıldığında (b) den de görülebileceği gibi rD nin genliği küçüldüğü gibi spektrumda (Ω ) daha fazla bileşen yer almakta ve bileşenler arasındaki aralık daha da azalmakta ve sonuçta daha sıkı, yoğun ve kompakt bir görüntü ortaya çıkmaktadır. Örneğin eğer (a) daki spektrum göz önüne alınırsa period iki katına çıkarıldığında, genlik yarıya düşmekte buna mukabil spektrumda yer alan bileşen sayısı da iki katına çıkmıştır. Üstelik spektrun eskisinden daha sıkı, yoğun ve daha kompakt görünümdedir. Limit durumunda ( ∞→0N ) periodun daha da büyümesi neticesinde genlik değerleri gittikçe küçülen daha fazla rD bileşeni yer alırken, bu kez bileşenler arasındaki aralık çok daha daralacaktır ve nihayetinde bu aralık sıfır gibi bir noktaya geldiğinde bileşenlerin birbirlerine çok yakın, çok yoğun, kompakta ve sonuçta sürekli bir formdaymış gibi bir görüntü ortaya çıkar. Bu olay “Cauchy dizisi” ninde bir sonucu olarak görülebilir. Bu nedenle rD nin spektrumu ][kf ayrık işaretine rağmen sürekli formda çıkar. Durum bu açıdan sürekli formdaki Fourier transformasyonu ile tam bir benzerlik göstermektedir. rD nin bileşen sayısının artması ile bahsedildiği gibi bileşenlerin genlikleri gittikçe sıfıra yaklaşan Fourier serisindeki karekterdedir. Şimdi bu işlem ve tanımlamaların matematik açıdan nasıl gerçeklendiğine bakalım. En son ki denklemimizde sürekli fonksiyon

)(ΩF


75

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][)(

olarak yazılmıştı. Bunu her r bileşenin 0Ω frekansında örneklendiği ( 0 Ωr ) durumunu da katarak ( 0 Ω→Ω r ) tam bir Fourier serisine dönüştürürsek ifade

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

krjekfrF 0

0 ][) (

olacaktır. Daha önceki ifadelerden

) (10

0

Ω= rFN

Dr

ve

∑><=

Ω=0

0

0

][Nr

krjrN eDkf

olduğunu biliyoruz. Burada rD eğer ][

0kf N de yerine konulduğunda

) (1 ) (1 ][0

0

0

0

0

0

00

0

∑∑><=

Ω

><=

Ω ΩΩ==Nr

krj

Nr

krjrN erF

NrF

NeDkf

) ( 1][0

0

0

0

0∑

><=

ΩΩ=Nr

krjN erF

Nkf

elde edilecektir. Eğer period yerine 0

02Ω

=πN yazılırsa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΩΩ=

Ω

Ω

=Ω=

∑

∑∑

><=

Ω

><=

Ω

><=

Ω

π

π

2 ) (

) ( )2(

1 ) ( 1][

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Nr

krj

Nr

krj

Nr

krjN

erF

erFerFN

kf

Limit durumunda ∞→0N , 00 →Ω olacağından ][][

0kfkf N → olacağından yani

periodik görünen ][0

kf N işareti periodik olmayan ][kf işaretine dönüşecektir. Bu yüzden yukarıdaki denklem

∑><=

Ω

→Ω ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ΩΩ

=0

0

0

00

0

2 ) (

lim][Nr

krjerF

kfπ


76

fark edildiği gibi ∞→0N için spektrum 0Ω sonsuz küçük olacaktır ( 00 →Ω ). Bunun için sonsuz küçük yaklaşımını göstermek üzere 0Ω yerine ΔΩ kullanalım ( ΔΩ→Ω0 ). Bu durumda

0

2Nπ

=ΔΩ

olduğunu göz önüne alarak ][kf aşağıdaki gibi düzenlenir.

ΔΩΔΩ=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ΔΩΔΩ

=

∑

∑

><=

ΔΩ

→ΔΩ

><=

ΔΩ

→ΔΩ

0

0

0

0

) ( 21 lim

2

) ( lim][

Nr

krj

Nr

krj

erF

erFkf

π

π

Burada π2/) ( ΔΩΔΩrF ifadesinin aslında bir tür katsayı olduğu görülmektedir. Bu katsayı aynı ifadedeki her bir harmoniği gösteren krje ΔΩ exponensiyel ifadenin miktarıdır. Dolaysıyla buy olla her bir harmoniğin miktarı belirlenmektedir. Bu denklemde >=< 0Nr ifadesinin 0N tane harmonikten oluşan her bir harmonik (bileşen) arasındaki aralığı göstermektedir ve bu aralık biliyoruz ki π2 dir( π20 =ΔΩN ). Durum örneklemedeki her bir örnek aralığının ( kT ) alınmasına eşdeğerdir ( kTt → ). Bunların ışığında son elde edilen

][kf denkleminin aslında krjerF ) ( ΔΩΔΩ fonksiyonlarının çarpımından oluşan örtülü alanın toplamından başka birşey değildir. Bu fonksiyonun yatay eksendeki ΔΩ ile belirlenen dar aralıklardan oluştuğu da göz önüne alınırsa ][kf ifadesinin aslında alan hesaplanması için kullanacağımız bir integral olduğu ortaya çıkmaktadır. )( ΩΩ kjeF ) ( ) ( trjerF ΔΩΔΩ ΔΩ Ω 0 ΩΔr Şekil 37 Ayrık Fourier serisinden Fourier integralinin oluşumu Tüm açıklamaları şekil den de görebilmekteyiz. Buna göre ][kf düzenlenirse

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)( 21][ deFkf kj


77

olarak elde edilecektir. Bu ifade “Fourier integrali” olarak adlandırılır. Harmonikler arasındaki aralık π2 olduğundan ∫ π2

integrali π2 aralığındaki sürekli aralığı integre eder.

Bu şekilde sürekli spektrumu oluşturan π2 aralığındaki bileşenlere ait her bir değer ayrık ][kf işaretini oluşturacaktır. Başlangıcında rD olan olan ayrık spektrum şimdi sürekli )(ΩF

fonksiyonu biçimindedir. Bunun da karşılığını önceden

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

krjekfrF 0

0 ][) (

olarak bulmuştuk. Ancak yeni kabuller ve yaklaşımlarla Ω→Ω0 r olduğunu tespit ettiğimiz için

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

olarak aynen sürekli Fourier serisindekine benzer olarak elde edilir. Bulunan ) (ΩF ayrık işaret ][kf nin frekans domain karşılığıdır. Bu son bulunan ifade ) (ΩF serisi “ayrık-zaman Fourier transformasyonu (DTFT)” olarak adlandırılır. Bu terminolojiyle bağlantılı olarak yukarıda “Fourier integrali” olarak ifade edilen ][kf integrali de “invers ayrık-zaman Fourier transformasyonu (IDTFT)” olarak anılır. Bu analizden bulunan ayrık zamanlı Fourier denklem çiftini bir kez daha özet olarak aşağıda veriyoruz.

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) ( Ayrık-zaman Fourier transformasyonu (DTFT)

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)( 21][ deFkf kj Invers ayrık-zaman Fourier transformasyonu (IDTFT)

Bulunan ayrık transformasyonlar birbirine dönüştürülebilir özellikte olduklarından bir birleri cinsinden yazılabilirler.

]}[{) ( kfFF =Ω ve )} ({][ 1 Ω= − FFkf Bu yazım ayrıca

)( ][ Ω⇔ Fkf olarakda ifade etmek mümkündür. Ayrık-zaman Fourier transformasyonunun var olma koşulu

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

)(ΩF transformasyonunun var olabilmesi için ∞<Ω) (F olması gerekiyor. Yani

transformasyonla gösterilen toplamın sonlu sayıda olması gerekiyor. Buna gore


78

∞<

∞<

∞<

∞<Ω

∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

Ω−

∞

−∞=

Ω−

k

k

kj

k

kj

kf

ekf

ekf

F

][

][

][

)(

olması gerekir. Burada bilindiği gibi 1 =Ω− kje alınmıştır. Sonuçta sonlu sayıda

∞<∑∞

−∞=kkf ][ toplamı garanti eden koşul sağlanıyorsa DTFT mevcut olur.

Sürekli Fourier Serisi – Ayrık Fourier Transformasyonu Karşılaştırılması Her ikiside zaman – frekans analiz yöntemidir. Sürekli Fourier serisi

∑∞

−∞=

=n

tωnjn eDtf 0 )(

∫ −=0

0 )( 1

0T

tωnjn dtetf

TD

ve ayrık Fourier transformasyonu

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)( 21][ deFkf kj

Karşılaştırıldıklarında tüm parametrelerin zıt yönde benzerlik gösterdiği görülmektedir. İlk olarak ana işareti gösteren serideki )(tf sürekli formda iken, ayrık Fourier transformasyonunda bu ayrık ][kf formundadır. Bir an için her iki yöntemde sanki )(tf yerine )(ΩF , ][kf yerine de )( nD gelmiş gibi bir görüntü var. Bu analoji açıdan düşünülebilir. Burada da yine iki sonuç gözlemlenmektedir : a) sonsuz sayıda ayrık bileşenin toplamı sürekli fonksiyon oluşturur ( )(ΩF ve )(tf ). b) belirli (sabit, fix) bir aralıktaki ( π2,0T ) belirli bir değer için (n ve k) integral daima ayrık değer oluşturur ) ][ ve( kfDn . İkinci olarak katsayıları gösteren )( nD seride ayrık formda elde edilirken, benzer parametre ayrık transformasyonda sürekli )(ΩF formunda elde edilmiştir. )(ΩF nin sürekli formda oluşunun sebebi yine yukarıda açıklanan


79

) (10

0

Ω= rFN

Dr

bağıntısından kaynaklanmaktadır. Katsayının çift parametreye (period 0N ve frekans

ΔΩ→Ω0r ) bağlı değişimi bu sonucu ortaya çıkarmıştır. Bu açıdan bakıldığında analoji olarak sürekli Fourier serisi ile ayrık Fourier transformasyonu birbirinin tam tersi veya zıddıdır gibi bir tespit ortaya çıkmaktadır. Sürekli Fourier – Ayrık Fourier Transformasyonu Karşılaştırılması Her ikiside zaman – frekans analiz yöntemidir. Sürekli Fourier transformasyonu

∫∞

∞−

−= )()( dtetfωF tωj

∫∞

∞−

−= dωeωFtf tωj )(21)(π

ve ayrık Fourier transformasyonu

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)( 21][ deFkf kj

karşılaştırıldıklarında ilk farkın doğal olarak işaretleri ( )(tf , ][kf ) oluşturan frekansların birinde sürekli (ω ) diğerinde ayrık (Ω ) olmasıdır. Buradan hareketle işaretlerinde biri sürekli ( )(tf ), diğeride ayrıktır ( ][kf ). İkinci olarak her ikisindede katsayıları gösteren gerek )(ωF gerekse )(ΩF sürekli formdadır. Bunun sebebide ; a) sonsuz sayıda ayrık bileşenin toplamı sürekli fonksiyon oluşturur ( )(ΩF ). b) sonsuz aralıktaki sürekli bir değişkene (ω ) göre integrasyon daima sürekli fonksiyon üretir ( )(ωF ). Bu iki tespitin de ayrık durum için

) (10

0

Ω= rFN

Dr

koşulundan kaynaklandığını görüyoruz. Çünkü katsayı hem period 0N hemde frekansın 0Ω değişim aralığına ( ΔΩ→Ω0r ) bağlı olarak değişmektedir. Benzer yaklaşımın sürekli durum içinde

) (10

0

ωnFT

Dn =


80

geçerli olduğunu görmekteyiz. Bu kez de katsayı hem period 0T hemde frekansın 0ω değişim aralığına ( ωωn Δ→0 ) bağlı olarak değişmektedir. Buraya kadar yapılan analizi şimdi örnekleme teorisinide işin içine katarak biraz daha detaylı ve grafikler üzerinde görmeye çalışacağız. Bu açıdan her iki transformasyon arasındaki ilişki daha net olarak ortaya çıkacaktır. )(tf c )(ωFc A t 0 Bπ2− 0 Bπ2 ω - a - - b - )(tf c )(ωFc TA /

T2− 0 T4 t T

π2−

T

π− 0 B 2π

T

π2 ω

- c - - d - ][kf )(ΩF TA / 2− 0 4 k π2− π− 0 π π2 Ω - e - - f - Şekil 38 Sürekli – Ayrık zaman Fourier transformasyon karşılaştırılması Şekilden görüldüğü gibi sürekli ve ayrık Fourier transformasyonu 3 aşamada yapılabilmektedir. Şekilde (a) da yalnızca sürekli zaman fonksiyonunun, (b) de Fourier transformasyonu görülmektedir. Sürekli işaret şekilden de görüldüğü gibi band sınırlı (band limited) bir işaret olup band genişliği B Hz dir. Şekilde sürekli işaretin zaman ve Fourier spektrumu görülmektedir. İkinci etapta (c) de sürekli işaret )(tf c örnekleme teorisine uygun olarak örnekleme periodu T ye göre örneklenerek )(tf c işareti oluyor.


81

Örnekleme Nyquist oranına (rate) göre yapılıyor. Bu halde bildiğimiz gibi BT 2/1≤ dir. Örneklemle oluşan )(tf c işareti

∑∞

−∞=

−=k

cc kTtkTftf )( )()( δ

bunun Fourier spektrumu da

∑∞

−∞=

−=k

ωTkjcc ekTfωF )()(

olarak (d) deki spektrumdan da görülmektedir. Buradan )(ωFc ile )(ωFc arasında genlikleri açısından

TωF

ωF cc

)()( =

ilişkisi göze çarpmaktadır. )(ωFc nin değeri )(ωFc nin T/1 katıdır. Bunun anlamı örnekleme periodu (T) yi yeterince küçük tutarak( BT 2/1≤ ) yüksek genlikli örnekler elde edilmesidir. Şekil (c) de verilen Fourier spektrumunda görüldüğü gibi periodik olarak birden fazla ve sürekli işaret görülmektedir. Sürekliliğin sebebi, bu bölümde açıkladığımız gibi periodun sonsuz büyük olduğu ayrık boyutta katsayılar sürekli formda elde edilmekteydiler. İkinci olarak birden fazla şeklin periodik olarak tekrarlı görünümde olmalarının sebebi ise, Fourier transformasyonunun Fourier serisinden elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Çünkü bir periodik olmayan işaret onuda kapsayan daha geniş aralıktaki periodik Fourier serisinden elde edilebilmekteydi. Fourier serisi periodik işaretlerden oluştuğu için, bu periodik işaretlerin her biride spektrumda yer alacağından çoklu görüntü oluşacaktır. Nyquist frekansı Tωs /2π= dir. Ayrıca bu frekansın işaretin frekansının en az iki katı kadar olması gerektiğinide biliyoruz( Bωs 2≥ ). Buradan (e) de görülen ayrık ][kf işaretinin )(tf c den

)(][ kTfkf c= bağıntısına göre üretildiğini görmekteyiz. Nihayet ayrık ][kf işaretinden elde edilen sürekli formdaki ayrık zaman Fourier transformasyonun )(ΩF (şekil (f))

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

bağıntısıyla elde edildiğini bu bölümde şu ana kadar ayrıntılarıyla gördük. Örnekleme adımından yararlanarak ayrık Fourier transformasyonunu )(tf c ye göre de ifade etmek mümkündür. Buna göre

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjc ekTfF )() (

yazılabilir. Bunun spektrumu da (f) de görülmektedir. Buradan (e) ve (f)’e bakarak örneklenmiş işaretin spektrumu )(ωFc ile ayrık Fourier transformasyonu )(ΩF arasında


82

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω=Ω

TFF c)(

ilişkisinin olduğunu görmekteyiz. Bunun anlamı )(ΩF fonksiyonun yer aldığı Ω spektrumunu eğer perioda (T) bölersek )(ωFc fonksiyonunu elde ederiz demektir. Buna gore

Tω Ω=

olduğu görülür. )(ωFc spektrumu örnekleme perioduna bölünmektedir. Diğer bir deyişle örnekleme T perioduna gore yapıldığından mevcut )(ωFc nin spektrumu bu durumda T periodlu örneklerin spektrumundan oluşacaktır ( )/( TFc Ω ). Bunun yanısıra yine şekiller (d) ve (f) den görüldüğü üzere )(ωFc ve )(ΩF genlikleri aynı kalmıştır ( )/TA . Bu karşılaştırmada belki dikkat edilecek en önemli nokta başlangıçtaki )(tf c işaretinin bandlimitli olma halidir. Biz burada öyle kabul ettik. Aksi taktirde bandlimitli olmadığı durumda örneklemeden sonraki ][kf işaretini tekrar başlangıçtaki )(tf c olarak elde etmek mümkün olmayabilirdi. Bunun yanı sıra ayrıca işaretlerin birbirlerinden ayırd edilemedikleri, örtüştükleri ve tıpkı Nyquist frekansından düşük örneklerin alınması durumunda karşılaşılan “aliasing” adı verilen bir tür örnekleme probleminin de olması kaçınılmaz olurdu. Örnek

][)8.0(][ kukf k= işaretinin DTFT nu bulun Çözüm

][kf işaretinin değişimi yaklaşık aşağıdaki gibi olacaktır. ][kf 0 5 10 k Şekil 39 ][kukγ işareti İşareti ][][ kukf kγ= şeklinde genelleştirerek ( 8.0=γ ) DTFT nu hesaplamaya çalışalım.


83

∑

∑∑∑∞

=

Ω−

∞

=

Ω−∞

−∞=

Ω−∞

−∞=

Ω−

=

===Ω

0

0

) (

)( ][) (

k

kj

k

kjk

k

kjk

k

kj

e

eekuekfF

γ

γγ

∑∞

=

Ω−=Ω0

) () (k

kjeF γ

][ku den dolayı ),( ∞−∞ aralığı ),0( ∞ olarak alınmıştır. Elde edilen ifade geometrik bir dizi

görüntüsünde olduğundan çözümü

1 , 1

11

0≠

−−

=+

=∑ r

rrr

nn

m

m

olacaktır. Burada eğer Ω−= jer γ gibi kabul edilirse )(ΩF

Ω−

Ω−

+∞Ω−∞

=

−=

−−

==Ω ∑

1

0

11

1 1) () (

j

j

j

k

k

e

eerF

γ

γγ

olarak elde edilir. Buradan Fourier transformasyonunun olabilmesi ve işaretin belirsizliğe sürüklenmemesi için 1 <Ω− jeγ olması gerekiyor. Ayrıca 1 =Ω− je olduğunu düşünecek

olursak 1 <γ olacaktır, aksi durumda ( 1 >γ ) yakınsama olmayacaktır. Bu durumda )(ΩF

Ω−−=Ω 1

1) ( jeF

γ

yazılabilecektir. İfade exponensiyel ifadenin açılımı olan Euler’e göre düzenlenirse

Ω+Ω−=

−=Ω Ω−

sincos11

11) (

γγ

γ

j

eF j

olur. Buradan genlik spektrumu )(ΩF için


84

Ω−+=

Ω+Ω−=

Ω+Ω−=Ω

cos211

)sin()cos1(1

sincos11) (

2

22

γγ

γγγγ jF

Elde edilir. Buna göre )(ΩF aşağıdaki görünümde olacaktır. )(ΩF 5 π3− π2− π− 0 π π2 π3 Ω Şekil 40 ][kukγ işareti genlik spektrumu Görüldüğü gibi )(ΩF çift fonksiyon olup bileşenler arasındaki aralık π2 dir. Faz spektrumu )( Ω∠ F ise

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω−

Ω−=Ω∠ −

cos1sintan)( 1

γγF

olarak elde edilir. )( Ω∠ F 0.932

π3− π2− π− 0 π π2 π3 Ω Şekil 41 ][kukγ işareti faz spektrumu Görüldüğü gibi faz spektrumu tek fonksiyondur.


85

Örnek Aşağıda verilen ayrık darbe fonksiyonuna ait ayrık Fourier transformasyonunu bulun. ][kf 1 4− 0 4 k Şekil 42 Ayrık darbe işareti Çözüm Şekilden görüldüğü gibi darbe fonksiyonu 9 ayrık noktadan oluşmakta (9 noktalı window fonksiyonu) ve )4,4(− arasında tanımlıdır. Buna göre

∑

∑∑∑

−

−−=

Ω−

−

−−=

Ω−

−

−−=

Ω−∞

−∞=

Ω−

=

=×==Ω

21

21

21

21

2

1

21

)(

1 ][) (

M

Mk

kj

M

Mk

kj

M

Mk

kj

k

kj

e

eeekfF

elde edilir.

∑−

−−=

Ω−=Ω2

1

21

)( ) (

M

Mk

kjeF

İfadesi geometrik bir seri olduğundan karşılığı


86

9 , )5.0sin()5.4sin(

)2

sin(

)2

sin(

)()(

1)( ) (

2/ 2/ 2/

2/M 2/M 2/

2/)1( 2/)1( 21

21

=ΩΩ

=

Ω

Ω

=

−−

=

−−

==Ω

Ω−Ω−Ω−

Ω−Ω−Ω−

Ω−

−Ω−+Ω−−

−−=

Ω−∑

M

Meeeeee

eeeeF

jjj

jjj

j

MjMjM

Mk

kj

Elde edilen

)5.0sin()5.4sin()(

ΩΩ

=ΩF

Fonksiyonun yani DTFT spektrumu )(ΩF 9 π2− π− 0 π π2 )(ΩF Şekil 43 Ayrık darbe işareti Fourier spektrumu Burada karşılaştırma yapabilme adına, ayrık Fourier serisinin katsayısını gösteren rD nin spektrumunun bir an için aşağıdaki şekil gibi olduğunu düşünebiliriz. Çünkü )(ΩF bir tür

kcΩsin gibi davrandığından ona uygun rD nin spektrumunuda aşağıdaki gibi düşünmek yanlış olmayacaktır. rD -16 -8 0 8 16 r π2− π− π π2 Ω Şekil 44 Ayrık darbe işaretinin genlik spektrumu


87

Buna göre hesaplanan Fourier spektrumuna bakıldığı zaman )(ΩF nin rD nin zarfı (envelope) olduğu görülmektedir. Bu anlamda Ayrık Fourier serisinin katsayısı rD ile ayrık Fourier transformasyonu )(ΩF arasında işaret-zarf ilişkiside tespit edilmiş olmaktadır. Bunu zaten

) (10

0

Ω= rFN

Dr

bağıntısıda teyit etmekteydi. Örnek

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

=Ωc

rectF2

)( , 4π

=Ωc olarak dikdörtgen bir işarete ait Fourier transformasyonu

verilmişken ayrık invers Fourier transformasyonunu bulun. Çözüm Verilen )2/()( crectF ΩΩ=Ω fonksiyonunun spektrumu aşağıda verilmiştir. )(ΩF 1

π2− π− 4

π− 0

4

π π π2 Ω

Şekil 45 Darbe fonksiyonunun Fourier spektrumu

)sin(

)sin(

| 2

1

21

121 )(

21][

2

k

kk

ekj

de

dedeFkf

cc

c

kj

kj

kjkj

c

c

c

c

ΩΩ

=

Ω=

=

Ω=

Ω×=ΩΩ=

ΩΩ−

Ω

Ω

Ω−

Ω

−

ΩΩ

∫

∫∫

π

π

π

π

πππ

ππ

Eğer 4π

=Ωc olarak alınırsa

)4 ( sin

41)sin( ][ π

πkckkf c

c =ΩΩ

=


88

][kf nın değişimi de aşağıdaki gibi olacaktır. ][kf 1 0 8 k Şekil 46 Darbe fonksiyonunun invers ayrık Fourier transformasyonu Frekans örneklenmesi Şimdiye kadar zaman domenindeki işaretlerin ayrık forma getirilmeleri amacıyla örneklendiğini gördük. Şimdi frekans uzayındaki işaretin örneklenmesini göz önüne alabiliriz. Örneğin Ayrık Fourier transformasyonunun spektrumunun aşağıdaki gibi olduğunu biliyoruz. ][kf )(ΩF k Ω N− N Şekil 47 Periodik olmayan ayrık işaret ve spektrumu Şimdi ][kf işaretinin periodik olduğunu ve Fourier serisi olarak ][

0kf N ile gösterilmesine

dair ayrık zaman-frekans uzayı görüntülerinin de aşağıdaki gibi olduğunu biliyoruz. ][

0kf N

rD k Ω 0N− N− N 0N 0 Şekil 48 Periodik olmayan ayrık işaretin periodik ayrık işarete dönüştürülmesi Her iki şekilden görüldüğü gibi rD spektrumu, )(ΩF spektrumunun örneklenmiş versiyonu gibidir. Bundan dolayı )(ΩF - rD dönüşümüne aynı zamanda spektrum örneklenmesi denilebilmektedir. Bu sürekli durum içinde geçerlidir. Çünkü sürekli formda da Fourier serisinin spektrumu, sürekli haldeki Fourier transformasyonunun örneklenmiş versiyonu gibi davranmaktadır. Bundan dolayı sürekli formdaki )(ωF - nD durumuda, spektrum örneklenmesiyle ilgilidir.


89

6. Parseval Enerji Teoremi Parseval’s teoreminden yararlanarak ayrık bir sistemdeki enerjinin ifadesini Fourier transformasyonu üzerinden vereceğiz. Özünde biliyoruz ki, enerji Fourier transformasyonu ile izaha oldukça uygun bir kavramdır.

)( ][ Ω⇔ Fkf ise ayrık ][kf işaretinin enerjisi, frekans domenini gösteren Fourier transformasyonunun enerjisine eşit olur.

∑ ∫∞

−∞=

ΩΩ==k

f dFkfEππ 2

22 )(21][

Ayrık Fourier transformasyonuyla ayrık – zaman linear sistem analizi Birim impuls cevabı ][kh olan bir linear zamanla değişmeyen (LTI) bir ayrık sistem göz önüne alalım. Bu durumda ][kf ayrık giriş için sistem “sıfır-durum” cevabı olan ][ky bulmak için

][*][][ khkfky = bağıntısını kullanacağız. Bir konvülasyon olan işlemin karşılığını frekans domeninde de yazabiliriz. Çünkü biliyoruz ki zaman domeni “k” da ki konvülasyon, frekans “Ω ” domenindeki çarpma işlemine eşittir.

)( )()(

][*][][

Ω=ΩΩ=

=

YHF

khkfky

Veya alternatif olarak

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)(21][ deYky kj

ise ve

)()( )( ΩΩ=Ω HFY olduğundan

∫ ΩΩΩ= Ω

ππ 2

)( )(21][ deHFky kj


90

olarak alternatif biçimde de yazılabilmektedir. Frekans domeni exponensiyel formda gösterilen sinusoidal işaretlerin bileşenlerinin/harmoniklerinin toplamını göstermektedir. Frekans domeninde kullanılan )(ΩF , )(ΩH ve )(ΩY fonksiyonları ][kf , ][kh ve ][ky nın ayrık Fourier transformasyonları olduklarından aşağıdaki dualite işlemleri mümkündür.

)( ][ Ω⇔ Fkf , )( ][ Ω⇔ Hkh ve )( ][ Ω⇔ Yky Ayrık Fourier Transformasyonu ve Fast Fourier Transformasyonu Bu bölümde ayrık ve fast Fourier transformasyonu ile işaret işleme konusu ele alınacaktır. Şu ana kadar “ayrık-zaman Fourier transformasyonu (DTFT)” gördük. Şimdi yalnızca “ayrık Fourier transformasyonu (DFT)” göreceğiz. DFT dijital filtreler için kullanılan yazılım tabanlı çözümdür. Bu amaçla DFT dijital bilgisayarlar üzerinde “hızlı Fourier transformasyonu (FFT)” kullanılarak uygulanır. Ayrık zaman Fourier serilerindeki (DTFS) denklem çiftlerinin

∑−

=

Ω=1

0

0

0 ][N

r

krjr eDkf

00

1

0

2 , ][0

0

NekfD

N

r

krjr

π=Ω= ∑

−

=

Ω−

olduğunu biliyoruz. Örnekleme teorisinin analiz edildiği bölümden biliyoruz ki, birde yalnızca “ayrık Fourier transformasyonu (DFT)” var. Bunu vurgulamamızın nedeni ayrık Fourier serisindeki denklemler DFT denklemlerine özdeştir. Bundan dolayı ayrık-zaman Fourier serilerinin (DTFS) katsayılarının hesaplanmasında, DFT için kullanılan “fast Fourier transformasyonu (FFT)” olarak bilinen yazılım tabanlı algoritma kullanılmaktadır. FFT yi görmeden ve uygulamadan önce DTFS ile özdeş olduğunu öne sürdüğümüz “ayrık Fourier transformasyonuna (DFT)” kısaca bir göz atmakta yarar var. Direkt ve Invers Ayrık Fourier Transformasyonunun (DFT-IDFT) Hesaplanması Yukarıda da bahsedildiği gibi, örnekleme teorisi ile kullanılan Fourier özellikli bir transformasyondur. Kullanımı ][kf veya )(tf gibi fonksiyonların zaman değişkenini gösteren “ k ve t “ ye bağlı olmadığı için “sunumunda “zaman” kelimesi kaldırılmış yalnızca “ayrık Fourier transformasyonu (DFT)” olarak anılmaktadır. Dijital tabanlı bilgisayar uygulamalarına yönelik hesaplamalara son derece uygun bir transformasyondur. Bu amaçla özellikle dijital filtre tasarımlarında oldukça yaygın kullanılan bir tekniktir. Basit ve kısaca ilgili denklemlerine bir göz atacağız. Eğer )(tf işareti örneklenecekse Fourier transformasyonu ) (ωF üzerinde bir takım işlemler yapılması gerekecektir. Bu anlamda örneklenmiş ifadeleri gösteren )(kTf ve ) ( 0ωrF fonksiyonları )(tf ve ) (ωF Fourier çiftlerinin “k” ncı ve “r” nci örneklerini göstermektedirler. Bundan dolayı )(tf ve ) (ωF yerine kf ve rF kullanılmaktadır. Bunun için DFT-IDFT çiftini elde edebilmek için dijital (sayısal) işaretlerin spektral (frekansa dayalı) analizleri DTFT ve IDTFT larının yani )(ΩF ve ][kf ların hesaplanmasını gerektirmektedir.


91

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)( 21][ deFkf kj

Ancak bunların dijital bilgisayarlarda direkt uygulanmasında bazı zorluklar vardır. 1. )(ΩF nin ifadesinden görüldüğü gibi, sonsuz terimin toplamından oluşmaktadır. Ancak sayısal hesaplama platformları veya makineleri sonlu veya sınırlı hesaplama zamanına göre çalıştıklarından, sonsuz hesaplama mümkün olmayacaktır. 2. ][kf bir integral ifadesi olduğundan yaklaşık hesaplanması mümkün olduğundan, hesaplanmasında önemli bir güçlük çıkmayabilir. İki durum incelendiği zaman birinci durumun daha önceliği olduğu görülmektedir. Bu güçlük

][kf nın sonlu uzunlukta alınması veya ][kf nın uygun bir pencere ile traşlanması (filtrelenmesi, kesilmesi;truncating) ile çözülebilir. Pencereleme youyla oluşacak hata daha geniş ve inceltilmiş (tapered) pencere ile azaltılabilir. Bundan dolayı çözüm üretme adına ][kf yı sonlu uzunlukta kabul edeceğiz. Bunu yaptığımız anda hem )(ΩF ye çözüm getirirken, aynı zamanda )(ΩF den elde edilecek

][kf nın hesaplanmasınıda mümkün kılmış olacağız. Çünkü bu kabulle birlikte )(ΩF nin örnekleri (numuneleri) sonlu sayıda olacağından, ][kf integralden ziyade sonlu uzunlukta toplam (sum) kullanılarak hesaplanabilecektir. Bunları uygulayabilmek için ][kf işaretinin 0=k da başladığını ve sonlu olarak 0N uzunluğunda olduğunu düşünelim. Buna ait yaklaşım aşağıdaki Şekil (a) da görülmektedir. Bunun yanı sıra periodik olmayan (a) daki ayrık işareti Fourier serisindeki gibi içeren ][

0kf N

işaretini de Şekil (b) de görmekteyiz. Bu işaret (a) daki ][kf işaretinin tekrarlarından oluşmaktadır. Diğer bir deyişle ][kf nın uzunluğunu gösteren 0N aynı zamanda ][

0kf N nın

da periodunu oluşturmaktadır.


92

][kf 0 10 −N k - a - ][

0kf N

0N− 0 0N 02N k - b - ][

0kf N

0N− 0 0N k - c - Şekil 49 Sonlu uzunluktaki ayrık işaretin ayrık Fourier transformasyonuyla hesaplanması Burada periodik ][

0kf N işaretini ayrık-zaman Fourier serisi (DTFS) ile gösterebiliriz.

2 , ][0

0

1

0

0

0

0 NeDkf

N

r

krjrN

π=Ω= ∑

−

=

Ω

Burada rD nin de

2 , ][1

00

1

0

0

00

Nekf

ND

N

k

krjr

π=Ω= ∑

−

=

Ω−


93

olduğunu biliyoruz. Burada dikkat edilirse rD için ][kf kullanıldı. rD ifadesini

1,,2,1,0 , ][][ 00−== Nkkfkf N L

koşuluna bağlı olarak ][

0kf N türünden de yazmak mümkündür. ][kf nın ayrık Fourier

transformasyonunun

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

olduğunu biliyoruz. Bu son yazılan rD ve )(ΩF denklemlerinden

) ( 00 Ω= rFDN r yazılabileceğini hatta bununda rF yani )(ΩF nin “r” nci örnekleri olduğunu görebiliriz.

rr FrFDN =Ω= ) ( 00 Bu yazılanlardan rDN0 nin de rF gibi ) (ΩF nin örnekleri olduğunu görüyoruz. Bu örnekler spectrum üzerinde 0Ω ( 0/2 Nπ ) frekans aralıklarıyla dizilmişlerdir ve 0N tane örneğin yer aldığı bu aralığın tam karşılığı da π2 dir. Bunu şöyle yorumlamak mümkündür ; rDN0 terimi

) (ΩF a ait mevcut örneklerin veya spektrumun aynı zamanda uzunluğunu göstermektedir. Bu anlamda böyle bir uzunluktaki spektrumdaki ) (ΩF ya ait örnekler söz konusu olacaktır. Bu anlamda yukarıdaki şekil (b) de verilen ][

0kf N ifadesinin rD yerine rF cinsinden

karşılığı ( 0/ NFD rr = )

1][1

0

0

00

0 ∑−

=

Ω=N

r

krjrN eF

Nkf

yazılabilir. Aynı şekilde nin yukarıdaki ifadesine bakarak ( rr FDN =0 ) den dolayı da rF

][1

0

0

0∑−

=

Ω−=N

k

krjr ekfF

yazılabilir. 1,,2,1,0 , ][][ 00

−== Nkkfkf N L dan dolayı yukarıdaki ][0

kf N ifadesini ][kf olarak

1,,2,1,0 , 1][ 0

1

0

0

00 −== ∑

−

=

Ω NkeFN

kfN

r

krjr L

olarak yazılabilir. Burada bulunan


94

][1

0

0

0∑−

=

Ω−=N

k

krjr ekfF ayrık Fourier transformasyon (DFT)

∑−

=

Ω=1

0

0

00 1][

N

r

krjr eF

Nkf invers ayrık Fourier transformasyon (IDFT)

Denklemleri ayrık Fourier transformasyon (DFT) çiftleri olarak bilinir. Burada bulunan rF , ayrık-zaman Fourier transformasyonunun ) (ΩF (DTFT) örneklerini oluşturur. Farkedildiği gibi ) (ΩF sürekli olmasına rağmen onun 0N tane örneği doğal olarak ayrık veya sonlu boyuttadır.

1,,2,1,0 , ][ 0

1

0

0

0 −== ∑−

=

Ω− NrekfFN

k

krjr L

rF değeri ][kf nın ayrık Fourier transformasyonu (DFT), ][kf de rF nin inverse ayrık

Fourier transformasyonu (IDFT) dur. Aralarındaki ilişki diğer transformasyonlar gibi çift yönlü olduğundan

rFkf ][ ⇔ ilişkisi mevcuttur. Burada rF nin hem ][kf hemde ) (ΩF ile olan ilişkisini hatırlatmakta fayda var. Buna göre rF verilen işaret ][kf nın 0N -noktalı dizisidir. ][kf üzerindeki her bir örnek bir rF ye karşılık gelmektedir. Diğer yandan rF nın DTFT ) (ΩF ile olan ilişkisine gelince; rF ayrık-zaman Fourier transformasyonunundaki (DTFT) ayrık işaret ][kf nın sonlu uzunlukta alınmasıyla oluşan DTFT ( ) (ΩF ) nun örnekleridir. Dolaysıyla rF , ) (ΩF nin spektrumdaki örneklerini/elemanlarını göstermektedir. Toplam π2 uzunluğundaki aralıkta yer alan 0N tane

noktanın her biri 0

02Nπ

=Ω frekans aralıklarıyla alınmış örnekleridir. ][kf nın 0N -noktalı

dizisi demek ][kf de ayrık eleman sayısı 0N anlamındadır. Buna göre ][kf işaretinde ayrık olarak 0N sayıda ayrık nokta vardır. Dolaysıyla 0N tane ayrık nokta rF de da mevcuttur. Çünkü rF örneklerinden oluşan ) (ΩF de 0N -noktalı dizinin gösterdiği ][kf işaretinden oluşmaktadır. Sonuçta ayrık Fourier transformasyonuyla bilinen

∑∞

−∞=

Ω−=Ωk

kjekfF ][) (

∫ ΩΩ= Ω

ππ 2

)( 21][ deFkf kj


95

denklerindeki gerek sonsuz toplam ( ) (ΩF ) gerekse yaklaşık integral ( ][kf ) ifadeleri yerine, sonlu sayıdaki ayrık terimleri içeren Fourier transformasyonlarının

][1

0

0

0∑−

=

Ω−=N

k

krjr ekfF

∑−

=

Ω=1

0

0

00 1][

N

r

krjr eF

Nkf

kullanımının dijital bilgisayarlarda hesaplanmasının daha faydalı olacağı görülmektedir. Örnek Aşağıda verilen ayrık darbe şekline ait DFT dani kf ve FFT algoritmasını kullanarak rF Fourier serisini bulun. ][kf 1 36− 32− 28− 16− 4− 0 4 16 28 32 36 k Şekil 50 Periodik ayrık darbe işareti Çözüm Bu daha önce üzerinde çalıştığımız DTFT nu üzerine bir örnekti. İlgili hesaplamalar aşağıdaki gibi yapılır. 320 =N Bu durumda frekans

1632

22

0

πππ===Ω

N

olarak elde edilir. Buna göre ][kf

][15

16

16

∑−=

=r

krj

r eDkfπ

buradan katsayı denklemi

∑−=

−=

15

16

16

][321

k

krj

r ekfDπ

Şekilden de görüldüğü gibi ayrık darbe işareti periodu 32 olmasına rağmen )4,4(− arasında tanımlı olup bu aralıktaki değeri de 1][ =kf olduğundan yukarıdaki denklem


96

321 1

321 4

4

16 4

4

16

∑∑−=

−

−=

−=×=

k

krj

k

krj

r eeDππ

Burada 0=k için 32/9=rD olacaktır. Ayrıca bu denklem bir geometrik seri tipinde olduğundan

1 , 1

1

≠−−

=+

=∑ a

aaaa

mnn

mk

k

yaklaşımı gereğince

16

, ) 5.0sin() 5.4sin(

321

16 5.0sin(

)16

5.4sin(

321

321

1321

00

0

16 5.0

16 5.0

16 5.0

16 5.4

16 5.4

16 5.0

16

16 4

16 5

π

π

π

πππ

πππ

π

ππ

=ΩΩΩ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

−−

−−

−

−

rr

r

r

eee

eee

e

eeD

rjrjrj

rjrjrj

krrj

rjrj

r

olarak bulunmuştu. Şimdi rD nin eşdeğeri olan rF , verilen ][kf işaretinden elde edilmesi gerekiyor. Verilen ayrık işaretin değişimini de göz önüne alarak kf aşağıdaki gibi üretilebilir.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤

≤≤≤≤=

275 0

3128 and 40 161

k

kkfk

Bu şekilde tanımlanan kf nin değerlerine göre FFT kullanılarak rF , rD gibi elde edilebilir. Buna göre rF daha önce elde ettiğimiz rD nin spektrumuna benzer olarak aşağıdaki gibi olacaktır.


97

rD , rF 32/9 -32 -16 0 16 32 r π2− π− 0 π π2 Ω Şekil 51 FFT kullanılarak DFT hesaplanması Fast Fourier Transformasyonu Bu bölümde ayrık ve hızlı Fourier transformasyonu ile işaret işleme konusu ele alınacaktır. Şu ana kadar “ayrık-zaman Fourier transformasyonu (DTFT) ve ondan türetilen ayrık Fourier transformasyonunu (DFT) gördük. Şimdi ayrık Fourier transformasyonundan (DFT) yararlanarak, Hızlı Fourier transformasyonu olarak bilinen sayısal hesaplama yöntemini (fast Fourier transformasyonu, FFT) göreceğiz. DFT dijital filtreler için kullanılan yazılım tabanlı çözümdür. Bu amaçla DFT dijital bilgisayarlar üzerinde “fast Fourier transformasyonu (FFT)” kullanılarak uygulanır. Bunun için ayrık-zaman Fourier serisinin (DTFS) çiftinin

∑−

=

Ω=1

0

0

0 ][N

r

krjr eDkf

00

1

0

2 , ][0

0

NekfD

N

r

krjr

π=Ω= ∑

−

=

Ω−

olduğunu biliyoruz. Örnekleme teorisinin analiz edildiği bölümden biliyoruz ki, ayrık Fourier serisindeki denklemler DFT denklemlerine özdeştir. Bundan dolayı abir anlamda yrık-zaman Fourier serisinin (DTFS) katsayılarının hesaplanmasında, DFT için kullanılan “fast Fourier transformasyonu (FFT)” olarak anılan yazılım tabanlı algoritma kullanılmaktadır. FFT hesaplama yönteminin özü bilgisayarlar gibi sayısal hesaplama ortamlarında çalıştırılmak üzere aşağıda ayrık Fourier transformasyonu (DFT) çifti ile verilen

∑−

=

Ω−=1

0

0

0

N

k

krjkr efF

∑−

=

Ω=1

0

0

00

1 N

r

krjrk eF

Nf ,

000

2N

Tω π==Ω


98

denklemleriyle ilgili hesaplamaların yapılmasında işlem kompleksliği ve hacmi açısından oldukça basitlik sağlayan bir yöntem olup 1965 de İngliz bilim adamları Tukey ve Cooley tarafından geliştirilmiştir. İşlemler DFT çiftini esas alan yazılım tabanlı bir algoritma kullanılarak geliştirilmiş ve “Hızlı Fourier transformasyonu” (Fast Fourier Transformation ,FFT) adını almıştır. Uygulamada bazen algoritmik yönünden dolayı FFT algoritması olarak da anılır. Esas itibariyle DFT deki işlem hacmini azaltmaya yönelik bir algoritmadır. Bu yönüyle yüksek örnek sayılı DFT uygulamalarının işlenmesinde oldukça etkin bir katkı sağlamaktadır. Örnek sayısının 0N alınacağı böyle bir uygulamada yukarıdaki DFT çiftine bakıldığında rF yi hesaplamak için her bir örnek için 0N tane kompleks çarpma ve 10 −N tane de kompleks toplamanın yapılması gerektiğini görürüz. Örneğin eğer bir örnek değil de toplam 0N örnek için yani örneklerin tamamı için rF hesaplanacaksa bu anda toplam 2

0N tane kompleks çarpma ve )1( 00 −NN tanede kompleks toplama yapılması gerekecektir. Örnek sayısı 0N ın daha da büyük değerleri için yapılacak hesaplamaların hacimleri, kompleksliği, bunlara harcanacak zamanların büyüklüğü saatler, bazen günler ifade edilebilecek boyutlarda olacağı, hatta süper bilgisayarların bile hesaplamalarda yetersiz kalabileceği gibi büyük bir sorun ortaya çıkmaktadır. İşte böyle bir sorunu gidermek adına Tukey ve Cooley FFT adı verilen yazılım tabanlı bir algoritmayı geliştirerek sorunun çözümüne büyük bir katkı yapmışlardır. O günden günümüze hala FFT algoritmaları sayısal işaret işleme çalışmalarında etkin çözüm yöntemi olarak kullanılmaya devam etmektedir. Bu tekniğin avantajlarını aşağıdaki tablodaki karşılaştırmalu değerlerden daha net olarak görmekteyiz.

DFT ve FFT yöntemlerinin karşılaştırılması Örnek sayısı

0N Kompleks çarpma

DFT : 20N

Kompleks çarpma FFT : 020 log)2/( NN

DFT – FFT Hız oranı

4 16 4 4 8 64 12 5.3 16 256 32 8 32 1024 80 12.8 64 4096 192 21.3 128 16384 448 36.6 256 65536 1024 64 512 262144 2304 113.8 1024 1048576 5120 204.8

Birinci sütün kullanılacak örnek sayısını ( 0N ), ikinci sütun toplam 0N tane örneğin DFT da gerektireceği kompleks çarpma sayısını, üçüncü sütun ise FFT da gerekecek çarpma sayısını göstermektedir. Son sütun ise iki yöntem yani DFT ve FFT arasındaki hız faktörünü, yani birinin diğerine göre ne kadar veya kaç kat hızlı olduğunu göstermektedir. Tabloya ait tüm veriler incelendiğinde 0N tane örneğin FFT ile işlenmesinin müthiş bir avantaj sağladı net bir şekilde görülmektedir. İkinci sütundaki DFT daki işlem hacminin oldukça büyük hacimde olduğu ve eğer 1024 ten daha büyük 0N değerleri için beklide DFT nun efektif veya hiç cevap veremeyecği gibi bir izlenim söz konusudur. Diğer yandan son sütundaki hız faktörleri incelendiğinde de FFT nun DFT na göre karşılaştırılamayacak denli hızlı olduğu görülmektedir. Dolaysıyla böyle ve 0N değerinin artması durumunda FFT nun tek çözüm yöntemi olarak seçilmesinin tutarlı bir tercih olacağı görülmektedir.


99

Sonuçta Tukey ve Cooley tarafından işaret işleyicilerin hizmetine sunulan FFT algoritmasının, kompleks hesaplamalardaki üstün yeteneği ile oldukça etkin ve ilgi gören bir yöntem olarak kullanılmaya devam edileceği görüşü ağırlıktadır. Fast Fourier Transformasyonu rG rF r

NW0

rH r

NW0

− )2/( 0NrF + Şekil 52 Kelebek (butterfly) 0f 0F 0G 2f 1G 1F 40 =N 8W DFT 4f 2G 2F 2

8W 6f 3G 3F 3

8W 1f 0H 4F 3f 40 =N 1H 8W− 5F DFT 5f 2H 2

8W− 6F 7f 3H 3

8W− 7F - a -


100

0f 0F 20 =N 0A DFT 4f 1A 1F 2

8W 8W 2f 20 =N 0B -1 2F DFT 2

8W 6f 1B 3F 2

8W− 38W

1f 4F 20 =N DFT 5f 5F 2

8W 8W− 3f 20 =N -1 2

8W− 6F DFT 7f 2

8W− 38W− 7F

- b -


101

0f 0F

4f 1F -1 2

8W 8W

2f 2F -1 2

8W

6f 3F -1 2

8W− 38W

1f 4F

5f 5F

-1 28W 8W−

3f 6F

-1 28W−

7f 7F

-1 28W− 3

8W− - c - Şekil 53 8-Noktalı FFT aşamaları

Documents

SÜ - A Demirkol -örnekleme