SUITES ARITHMÉTIQUES et SUITES GÉOMÉTRIQUES

1 ) SUITES ARITHMÉTIQUES

A ) D É FINITION PAR R É CURRENCE Définition :

On dit qu’une suite un est une suite arithmétique , s’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n , on ait un 1=un r .Le réel r est appelé raison de la suite un .

r peut-être positif ou négatif .

Ex emples : ● La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 .● La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 .● Soit un la suite définie par un=4 n4 . un est-elle une suite arithmétique ?

Pour tout n∈ℕ , on a un 1−un=4 n1 4 – 4 n – 4 = 4 Ainsi pour tout n∈ℕ , on a un 1=un4 et un est une suite arithmétique de raison 4 .

Plus généralement, on montre de la même façon, que toute suite un définie par un=anb ( où a∈ℝ et b∈ℝ ) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme b .

B ) D É FINITION PAR UNE FORMULE EXPLICITE Propriété :

Soit un une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r .Alors, pour tout entier naturel n , on a : un=u0nr

Ex emple : Soit un la suite arithmétique définie par u0 =7 et r=12 , alors u6=76×12=79 ...

Plus généralement :

Soit un une suite arithmétique de raison r .Pour tous entiers naturels p et q , on a : up=uq p – q r

Intérêts : ● Cette formule permet de calculer n’importe quel terme d’une suite arithmétique dès que l’on connaît la raison et un terme

quelconque ( il n’est pas nécessaire de connaître u0)● Cette formule permet aussi de calculer la raison d’une suite arithmétique dont on connaît deux termes.

Ex emples : ● Soit un une suite arithmétique telle que u2=4 et u4=10 . Calculer la raison r.

On a u4=u2 4 – 2 r , donc r=…=3

● Soit un une suite arithmétique définie par u10=30 et r=2 . Calculer u20 .On a u20= u10 20 – 10 2=50

C ) SOMME DE TERMES CONS É CUTIFS

Remarque préliminaire : NOMBRE DE TERMES D’UNE SOMME

u1u2 est une somme de deux termes ; u1u2u3 est une somme de trois termes De manière générale, u1u2…up est une somme de p termes .

Comment faire ( sans compter sur les doigts ) pour calculer le nombre de termes de la somme u12u13…u56 ?On peut écrire u12u13…u56 = u1 11u211…u4511

La somme a donc 45 termes, c'est à dire 56 – 12 + 1

Plus généralement :

Le nombre de termes de la somme u pup 1…uq ( p , q entiers naturels tels que pq ) est q – p1

Propriété :

La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale auproduit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes .

S = nombre de termes × premier termedernier terme

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Suites arithmétiques et suites géométriques - auteur : Pierre Lux - cours prof - page 1/2

L’astuce :calculer u n 1−un

Ex emple : Soit vn la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme v0=15 . Calculer v0v1…v8 .On a v8=v04×8=1532=47

On en déduit que v0v1…v8 =9×v0v8

2=9×

15472

=279

2 ) SUITES G É OM É TRIQUES

A ) D É FINITION PAR R É CURRENCE Définition :

On dit qu’une suite un est une suite géométrique , s’il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n ,on ait un 1=qun .Le réel q est appelé raison de la suite un .

q peut-être positif ou négatif et non nul ( sans intérêt )

Ex emples : ● Soit un , la suite des puissances de 2 , définie par un=2n . un est-elle une suite géométrique ?

Pour tout entier naturel n , on a un1=2n1=2 × 2n

=2 un

Cette suite est donc une suite géométrique de raison 2 .

● Soit vn la suite définie par vn=n × 5n . vn est-elle une suite géométrique ?

Pour tout n∈ℕ* , on a

vn 1

vn

=5×n1

n , ce qui n’est pas un rapport constant.

La suite vn n’est donc pas une suite géométrique.

● Soit wn la suite définie pour tout entier naturel n , par wn=4×3n . wn est-elle une suite géométrique ?Pour tout n∈ℕ , on a wn 1=4×3n 1

=3× 4×3n =3×wn

Cette suite est donc une suite géométrique de raison 3.

Plus généralement, on montre de la même façon, que toute suite un définie par un=aqn ( où a∈ℝ* et q∈ℝ

* ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme a.

B ) D É FINITION PAR UNE FORMULE EXPLICITE

Propriété : Soit un une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.Alors, pour tout entier naturel n , on a : un=u0 qn

Ex emple : Soit un la suite géométrique définie par u0=7 et r=12 , alors u3=7×123=12096

Plus généralement :

Soit un une suite géométrique de raison q . Pour tout entier naturel m et n , on a um=un×qm− n

Intérêt : Cette formule permet de calculer n’importe quel terme d’une suite géométrique dès que l’on connaît la raison et un terme quelconque ( il n’est pas nécessaire de connaître u 0 )

Ex emple s : ● Soit un une suite géométrique définie par u10=30 et q=2 . Calculer u13 .

On a u13=u10×213− 10=30×23 =30×8=240

● Soit vn une suite géométrique telle que v2=5 et v8=320 . Déterminer la raison q.On a v8=v 2× q8− 2 , donc 320=5×q6 c'est à dire q6

=64Il y a donc deux valeurs possibles q=2 ou q=– 2

Attention : Cette formule ne permet pas de calculer la raison d’une suite géométrique dont on connaît deux termes .

C ) SOMME DE TERMES CONS É CUTIFS Propriété :Pour calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q , on applique la formule suivante :

S = premier terme ×1− qnombre de termes

1− q

Ex emple : Soit vn la suite géométrique définie , pour tout n ∈ ℕ , par vn=2n . Simplifier 1222

…2n

On a 1 222…2n=11−2n 1

1−2=2 n 1 – 1

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