Sull’elettrodinamicaSull’elettrodinamica delle pulsardelle pulsar

Candidato: Damiano Caprioli

Relatore: Prof. Mario Vietri

2

Il Il double pulsar double pulsar PSR J0737-3039PSR J0737-3039

Scoperto nel 2004 col 20 cm

Parkes Telescope (Burgay, Lyne,

McLaughlin, Kramer, Joshi et al.)

Geometria edge-on

Eclissi di A dovute alla

magnetosfera di B

(Lyne et al. 2004)

(Kramer 2004)

3

Un laboratorio di Fisica GravitazionaleUn laboratorio di Fisica Gravitazionale

Misura di entrambe le funzioni di massa

Rapporto delle masse (R)

Misura di parametri post-kepleriani: Precessione del periastro Red-shift gravitazionale Shapiro delay (r ed s)

calcolati secondo la Relatività Generale

in funzione di e, x, P, lasciando come

parametri liberi le due masse mA ed mB.

( )w&

( )g

(Kramer et al. 2004)

( )3 3sin

2x x

xTot

m i Pvf

M Gpº =

4

Il Il merger ratemerger rate dei sistemi DNS dei sistemi DNS

Sono noti solo 6 sistemi (+2 ?)

Double Neutron Star

Importanza per la rivelazione

di GW (Virgo, Ligo, Geo)

Aumento del merger rate

galattico da 83 a 13 Myr -1

(Burgay et al. 2003)

5

Le eclissi di ALe eclissi di A

Indipendenza dalla frequenza

Durata 27 s estensione 18500 km

Modulazione col periodo di B

(Mc Laughlin

et al. 2004)

A B

Periodo (ms) 22.7 2773

Bsuperficie (G) 6.3x109 1.6x1012

dE/dt (erg/s) 5.8x1033 1.6x1030

6

Formazione di magnetosheat, magnetopausa e bow-shock per

effetto del vento di A

(Mc Laughlin et al. 2004)

7

Il modello classico della pulsarIl modello classico della pulsarStella di neutroni magnetizzata ruotante

(Gold e Pacini 1968)

Assunzione di campo force-free

Presenza di plasma attorno alla pulsar

(Goldreich e Julian 1969)

Cilindro di luce, magnetosfera aperta e magnetosfera coruotante

rp p

Ñ × W×= =-

- W

r rr r

2

1

4 2 1 ( / )cor

E B

c r c

0v

E Bc

+ ´ =rr r

(Michel 1973)

8

La natura del plasmaLa natura del plasma

Regime MHD ideale (conducibilità infinita)

Plasma di elettroni e positroni ottenuti per pair-production da

raggi gamma prodotti per radiazione di curvatura se

Plasma neutro o separazione di carica?

sembra più plausibile un regime di separazione di carica

per le pulsar e di plasma quasi neutro per BH e AGN.

15 4/ 7 9/ 702.5 10ppP P B R-

*< = ´

9

L’elettrodinamica L’elettrodinamica force-freeforce-free

Trattazione manifestamente covariante attraverso due campi

scalari classici (potenziali di Eulero)

E’ conservata l’invarianza di gauge

1 2 2 1Fmn m n m nj j j j=¶ ¶ - ¶ ¶

1 21 2

1 2

1( , )

( , )( , )

A Am m m

ffl ff

ff¶

® +¶ Û =¶

0

4

0

F F F

F J

F J

l mn m nl n l m

mn mn

nmn

p

ì Ñ +Ñ +Ñ =ïïïï Ñ =íïïï =ïî

10

Le Le master equationsmaster equations

Si derivano da un principio variazionale considerando l’azione

Le equazioni di Eulero-Lagrange che si ottengono considerando i potenziali di Eulero come variabili dinamiche sono

Equazione di Grad-Shafranov generalizzata, utile in teoria dei plasmi e in astrofisica (BH, pulsar, AGN, Soft -ray Repeater)

41

16d ,S F F g xmn

mnp=- -ò

( )

( )1 1 2 2 1

2 1 2 2 1

0

0

,

.

g

g

m n m n m n

m n m n m n

ff ff f

ff ff f

é ù¶ - ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ =ê úë ûé ù¶ - ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ =ê úë û

11

Le simmetrie del campo degenereLe simmetrie del campo degenere

Una simmetria è definita da un vettore di Killing rispetto a

cui F ha derivata di Lie nulla.

Si dimostra, sfruttando l’invarianza di gauge, che

In presenza di due vettori di Killing (Uchida 1997)

con h funzione arbitraria.

LL

1 20 0 1Fz mn z zff= Û = =;L L L

1 2

1 2

1 1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1

0 0

1 h

m mz m z m

m mz m z m

f z ff z f

f z ff z ff

= ¶ = = ¶ =

= ¶ = = ¶ =

, ,

, ( ) ,

L L

L L

Fmn

12

Il rotatore allineato stazionarioIl rotatore allineato stazionario

Integrando le equazioni che esprimono le simmetrie si ha:

Introducendo si elimina e quindi f2

Si ottiene, in coordinate cilindriche :

Da cui, se ( f1)cost ,

1 1 2 1 2( , ) , ( ) ( , ).f R f f Rf J f j J= = - W +

( )2 2 1 11 1 1 12 2

1 1

11 0

I f dI fdr f f f f

r df r df

é ù Wê úÑ × - W Ñ +W Ñ ×Ñ + =ê úë û

( ) ( )( )

( )( )2 2

2 2 11 0( ) '( )rr zz r

rr f f f I f I f

r

+ W- W + - + =

21( ) sin RI f R F JJº

( ), ,r zj

13

Le grandezze del problemaLe grandezze del problema

f (r,z) ) proporzionale al potenziale elettrostatico

) flusso del campo magnetico attraverso r,z)

I (f ) = rB corrente attraverso r,z)

Campi elettrico e magnetico

Densità di carica e di corrente

10

f f f fE B I f

c r z r z r

æ ö æ öW ¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç=- = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø¶ ¶ ¶ ¶, , , ( ),

2

2

4 1 4zB I f I f c

j r I f Bc r c

r r jp p

-W=- = W +

- W( )' ( )

, '( ) .ˆ( / )

( ), ,r zj

14

Le condizioni al bordoLe condizioni al bordo

Superficie della stella:

Asse di rotazione: f = 0

Piano equatoriale:

Cilindro di luce:

Andamento radiale all’infinito

0 per 1

per 1

y

cr

f x

f f x

ì = <ïïíï = ³ïî

( ) '( ) ( )(1, )

2 2x

I f I f W ff y = º

2

( )cot 0 ( ) sin

sin

W ff f I f fJ J J JJ J

J+ - = Þ =-

2

2 2 3/ 2( )

( )d

xf R R f

x y*= =+

/

/

/

c

c

d c

x r r

y z r

f rm

ì ºïïïï ºíïï ºïïî

( )10 cR r¥ =

15

Il caso W=0 (Michel 1973)Il caso W=0 (Michel 1973)

Curve di livelloSuperficie 3D

16

Il caso W=0 per il Il caso W=0 per il double pulsardouble pulsarDipoli paralleli Dipoli opposti

17

Una soluzione analitica?Una soluzione analitica?Per il caso di Split Monopole si ha

Con la stessa corrente si ottiene (Michel 1991):

2 2

1( ) 2 ( , ) 1m m cr

c cr

f yI f f f x y f

r f x y

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç=- - Þ = -÷ç ÷ç÷ ÷ç ÷ ç ÷è ø ç +è ø

Corrente da Split Monopole

18

L’algoritmo CKFL’algoritmo CKF

Si sceglie una W( f )= I( f ) I’( f ) iniziale, con W( f > fcr)= 0

Si integra l’eq. nella magnetosfera vicina e nella zona di vento,

ottenendo due funzioni f+ ed f-

Si corregge I( f ) in modo da ridurre l’errore nel matching

Si introduce in W( f ) una delta di Dirac per avere I( fcr)= 0

Si itera il procedimento.

( )1 2 3( ) ( )2NEW

f fW W f W f f fm m m+ -

- + - +

æ ö+ ÷ç = + + -÷ç ÷çè ø

19

La soluzione numericaLa soluzione numerica

Superficie 3D

W( f )

20

Le proprietà della soluzioneLe proprietà della soluzione

Continuità al cilindro di luce

Corretto andamento all’infinito

Potenza emessa

Andamento al punto angoloso (cusp) Angolo separatrice

Andamento W

22 4 2

3 3 2

20.995

3Pacini

dE E

c c dt

m mW= =-

0 77.3 73.2 5.8a a= Û = ±

( ) ( )crW f f f bµ -

0 0.58 0.58 0.05b b= Û = ±

21

Il plasma della magnetosferaIl plasma della magnetosferaFormazione di cupole polari e cintura equatoriale (Michel et al. 2002)

Accelerazione di particelle: la velocità di deriva E B´

Densità di caricaProiezioni della velocità 3D

22

Il campo elettromagneticoIl campo elettromagnetico

3

3

,0,

1 ( ) 1, ,

c

c

f fE

r dx dy

f I f fB

r x dy x x dx

m

m

æ ö¶ ¶ ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

æ ö¶ ¶ ÷ç= - ÷ç ÷÷çè ø

• Grafici in unità di rc3

23

Il Il double pulsardouble pulsar

Superficie 3D

W( f )

Cilindro di luce

24

Sviluppi e prospettiveSviluppi e prospettive

Introduzione di vacuum gap (problema della separatrice)

Meccanismi di produzione di coppie

Studio delle particelle nella zona di vento (+ effetti inerziali)

Sistemi binari di pulsar:

Stelle non identiche (periodo e campo magnetico)

Moto di rivoluzione

Caratteristiche delle eclissi e formazione di magnetosheat,

magnetopausa e bow-shock

Sull’elettrodinamicaSull’elettrodinamica delle pulsardelle pulsar

Candidato: Damiano Caprioli

Relatore: Prof. Mario Vietri