Suryadi Siregar Aljabar Linier

Suryadi Siregar Aljabar Linier

FMIPA-ITB Page I-1

Bab 1 Ruang Vektor ______________________________________________________________________

I. 1 Ruang Vektor Rn

1. Ruang berdimensi satu R1 = R = kumpulan bilangan real

Menyatakan suatu garis bilangan;

-3 -2 -1 0 1 2

2. Ruang berdimensi dua R2 = bidang datar ;

Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan terurut dua bilangan real dalam sumbu x

dan sumbu y;

Gambar 1. 1 Vektor pada suatu bidang mempunyai komponen x dan y

Bila ditulis sebagai

A= (a1,a2) vektor menyatakan sebuah titik

Dapat juga ditulis sebagai

1 2 1 2A a i a j a a

dimana ,i j adalah vektor satuan sepanjang sumbu x dan sumbu

y

vektor A

dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor 1a

dan 2a


FMIPA-ITB Page I-2

Dalam hal ini (1,0)i

dan (0,1)j

adalah vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya

satu, masing2 sepanjang sumbu x , sumbu y dan saling tegak lurus

I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik

Panjang vektor (norm) A

dapat dihitung dari dalil Phytagoras;

2 2 2 2 2

1 2 1 2A a a A a a

Untuk vektor di R3 = dalam ruang. Prinsipnya sama;

Bila ditulis sebagai ;

A= (a1,a2,a3) vektor menyatakan sebuah titik

Jika ditulis

1 2 3 1 2 3A a i a j a k a a a

dikatakan vektor A

merupakan kombinasi linier dari

vektor 1a

,2a

dan3a

Dalam hal ini (1,0,0)i

, (0,1,0)j

dan (0,0,1)k

adalah vektor satuan yakni vektor

yang panjangnya satu dan saling tegak lurus satu sama lain.

Vektor dengan sifat seperti ini disebut vektor ortonormal (panjang/norm satu dan saling

tegak lurus)

Panjang vektor (norm) A

dapat dihitung dari dalil Phytagoras;

2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3A a a a A a a a


FMIPA-ITB Page I-3

Gambar 1 Vektor dalam ruang mempunyai komponen x,y dan z

I. 3 Operasi pada vektor

Sifat vektor dapat dipindah asal norm dan arahnya tetap, jadi jika ada dua vektor A

dan

B

dan C

= A

+ B

Diagram berikut menyatakan penjumlahan kedua vektor ini C

= A

+ B

adalah sama;

Gambar 1. 2 Penjumlahan vektor

I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor;

Jika A

dan B

dua vektor di Rn maka C

= A

+ B

juga merupakan vektor yang ada di Rn,

artinya


FMIPA-ITB Page I-4

Jika A

=(a1,a2,..,an) dan B

=(b1,b2,..,bn) maka

C

= A

+ B

= (a1+b1,a2+ b2,..,an+ bn)

Contoh

Misalkan A

=(1,2,-2) dan B

= (3,4,-5) maka;

1) C

= A

+ B

= (4,6,-7)

) C

= A

- B

= A

+ (- B

)=(1,2,-2)+ (-3,-4,5)= (-2,-2,3)

3) C 3A 3 1 2 2 3 6 6, , , ,

I. 5 Jarak antara dua titik

Jika A

=(a1,a2) dan B

=(b1,b2) maka jarak A ke B sama saja dengan menghitung panjang

(norm) vektor AB

Gambar 1. 3 Jarak antara dua titik A dan B identik dengan panjang vektor AB B A

Dari gambar kita lihat; B

= A

+ AB

atau 1 2 1 2 1 1 2 2AB B A b b a a b a b a , , ,

Jadi panjang vektor;


FMIPA-ITB Page I-5

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )AB b a b a a b a b BA

I. 6 Perkalian Vektor

1) Perkalian titik (inner product/dot product)

Definisi andaikan A

dan B

vektor di R2 atau di R

3 maka didefinisikan;

A

B

= .A B Cos

sudut yang dibentuk diantara vektor A

dan B

(perhatikan gambar 3)

Gambar 1. 4 Segitiga sembarang

Rumus cosinus 2 2 2 2a b c bcCos 2 2 2 2b a c acCos 2 2 2 2c a b abCos

Rumus sinus

2 2 2

2 .AB A B A B Cos

atau dapat juga ditulis;

2 2 2

2 .B A A B A B Cos

atau

2 2 21

.2

A B A B Cos A B B A

atau dapat ditulis kembali;

a b c

Sin Sin Sin


FMIPA-ITB Page I-6

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1( ) ( ) ( ) ( )

2A B a a b b b a b a a b a b

jadi

1 1 2 2A B a b a b

I. 7 Definisi

Untuk ruang dimensi n, Rn perinsipnya sama, jika 1 2( , ,.... )nA a a a

dan 1 2( , ,.... )nB b b b

maka 1 1 2 2 ..... n nA B a b a b a b

I. 8 Perkalian vektor (cross product) Definisi; Perkalian vektor atau perkalian silang hanya didefinisikan untuk R

3

Jika A

=(a1,a2,a3) dan B

=(b1,b2,b3) maka A

B

didefinisikan sebagai;

1 2 3

1 2 3

i j k

A B a a a

b b b

=2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

a a a a a ai j k

b b b b b b

A

× B

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )i a b a b j a b a b k a b a b

I. 9 Theorema

1) A

× B

= - ( B

× A

) skew symmetry

2) A

× ( B

+C

) = A

× B

+ A

×C

hukum distribusi

3) c( A

× B

) = (c A

)× B

c suatu skalar

4) A

( A

× B

) = 0 ortogonalitas terhadap A

5) B

( A

× B

) = 0 ortogonalitas terhadap B

6)

2 2 2 2 2

2 2( ) sinA x B A B A B A B

Identitas Lagrange


FMIPA-ITB Page I-7

7) A

× B

= O

A

dan B

bergantungan linier, (yang satu merupakan kelipatan yang lain)

disini O

adalah vektor nol, yaitu vektor dengan panjang nol

Ilustrasi;

Gambar 1. 5 Perkalian dua vektor menentukan arah

I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt

Diberikan himpunan vector Y= a,b,c,d ingin dicari himpunan vector

ortonormal 1 2 3 4O= e ,e ,e ,e

Penyelesaian

1

1

1

1

2 2 1

2 1 2 1

Jawab I : Buat Vektor Ortonormal e

a e =

a

II : Buat Ruang Vektor W dengan e dan b

W= e ,b

e * W e *=αe +βb , α,β bil ril sembarang

Jika e * e sehingga e *.e =0 α

1 1

1 1 1 1

1 2 1 1

2 1 1

22 1 2

2

e +βb .e =0

αe .e +βb.e =0 α+βb.e =0

α=-βb.e e *= -βb.e e +βb

Ambil β=1 e *=b- b.e e

e * e = ,maka e dan e Ortonormal.

e *


FMIPA-ITB Page I-8

1 2

3 3 1 2

3 1 1 2 1

1

1

3 2 1 2 2

III: Buat Ruang Vektor U= e ,e ,c

e * U e *=αe +βe +γc, α,β,γ sembarang

i e * e αe +βe +γc e =0

α + β(0) + c.e =0

Ambil γ=1 α=-c.e .

ii e * e αe +βe +γc e =0

0 +

2 2

3 1 1 2 2

33

3

β + γc.e =0 β c.e

e *=c- c.e e - c.e e

*

*

ee

e

IV Buat ruang vector 1 2 3V e e e d, , ,

4 4 1 2 3

4 1 1 2 3 1

1 1

4 2 1 2 3 2

2 2

4 3 1 2 3 3

e V e e e e d

e e e e e d e 0

0 0 d e 0 ambil 1 d e

e e e e e d e 0

0 0 d e 0 d e

e e e e e d e 0

0 0 d e

* *

*

*

*

3 30 d e

Dengan demikian kita peroleh

4 1 1 2 2 3 3

44

4

e d d e e d e e d e e

ee

e

*

*

*

Sehingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditentukan

1 2 3 4O e e e e, , ,

Ilustrasi


FMIPA-ITB Page I-9

1. Diketahui :

1,0,1 , 2,1,0 , 1,1,0A

Carilah himpunan ortonormalnya ?

Penyelesaian: Misal = a = (-1,0,1) , b=(-2,1,0), c =(-1.1.0)

a. Untuk 1e

1

2 2 2

1,0,1 11,0,1

21 0 1

ae

a

b. Untuk 2e

Buat ruang vektor 1,B e b

Maka ada

*

2

*

2 1 1

1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1

2 2

1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1 2,1,0 2 1,0,1 1,1, 1

2 2

e B

e b b e e

Maka:

*

22 * 2 2 2

2

1,1, 1 11,1, 1

31 1 1

ee

e

c. Untuk ,

Maka ada * *

3 3 1 1 2 2e e c c e e c e e

*

3

1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1

2 2

1 11,1,0 1,1, 1 1,1, 1

3 3

1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1 1,1,0 1,1, 1 1,1, 1

2 3

1 1 1 1 11,1,0 1 1,0,1 2 1,1, 1 , ,

2 3 6 3 6

e


FMIPA-ITB Page I-10

Maka:

*

33 * 2 2 2

3

1 1 1, ,

16 3 61,2,1

61 1 1

6 3 6

ee

e

Sehingga diperoleh:

1 1 1

1,0,1 , 1,1, 1 , 1,2,1 ,2 3 6

O

I. 11 Hitung Volume Kotak Vektor A dan B membentuk alas sebuah kotak. Vektor C menyatakan rusuk tegaknya.

Hitunglah volume kotak tersebut.

Penyelesaian

Gambar 1. 6 Kotak dibentuk oleh tiga vector A, B dab C. Sudut disebut inklinasi.

Volume kotak V A B C

Volume = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran genjang kali tinggi


FMIPA-ITB Page I-11

1V 2Luassegi tiga tinggi 2 A B sin C cos

2

A B sin C cos A B C cos A B C

Ilustrasi

2. Hitung luas , inklimasi dan volume kotak yang dibangun oleh vektor :

1,2,3 , 2, 3,1 1,0,2A B dan C

dimana

A dan B sebagai alas dan C sebagai rusuk tegak

Penyelesaian:

2 3 1 3 1 2

1 2 3 11 5 7 11,5, 73 1 2 1 2 3

2 3 1

i j k

A B i j k i j k

Jadi volume 11,5, 7 1,0,2 11 0 14 3V A B C

Volume kotak = 3 satuan isi

cos 3 11,5, 7 1,0,2 cos

33 195 5 cos cos 95,5

31,225

o

A B C A B C

Jadi, sudut inklimasi nya adalah 95,5

I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn

_________________________________________________________

Definisi

Jika S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2

1

. . .n

i i n nS a b a b a b a b dengan ai suatu

konstanta dan ib menyatakan suatu vector. Maka S disebut merupakan kombinasi linier

dari ib

Definisi

Jika 1 1 2 2

1

. . .n

i i n nS a b a b a b a b O .


FMIPA-ITB Page I-12

Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bebas linier jika dan hanya jika

1 2 . . . na a a o

Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bergantungan linier jika ada salah satu ai

dalam S yang tidak sama dengan nol

Ilustrasi

1) Periksa apakah 1,2C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector

3, 4A dan 2, 5B

Penyelesaian cari ia dari pernyataan :

1 2 1 2 1 2 1 21,2 3, 4 2, 5 3 2 , 4 5C a A a B a a a a a a

Jadi diperoleh persamaan linier;

1 2 1 2

1 2 2 1

13 2 1 1 2

3

14 5 2 4 2

5

a a a a

a a a a

Kita peroleh 1 2

1 10,

23 23a a

Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A

dan vector B


3,6A dan 1,2B

Penyelesaian cari ia dari pernyataan :

1 2 1 2 1 2 1 21,3 1,2 2,4 2 ,2 4 C a A a B a a a a a a


1 2

1 2

2 1 (2)

2 4 3

0 1

a a

a a

Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C bukan merupakan

kombinasi linier dari vector A dan vector B.


3,6A dan 1,2B

Penyelesaian: cari ia dari pernyataan :

1 2 1 2 1 2 1 24,8 3,6 1,2 3 ,6 2 C a A a B a a a a a a


FMIPA-ITB Page I-13


1 2

1 2

3 4

6 2 8

a a

a a

Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat menyatakan

Kita peroleh 2 14 3 a a

Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi. Jadi vector C merupakan

kombinasi linier dari vector A dan vector B

I. 13 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector V dinamakan ruang

bagian V jika memenuhi

1) u M, v M u v M

2) R u M

I. 14 Soal Latihan

1) Hitunglah sudut antara A

dan B

serta panjang C

A

+ B

jika;

A=(1,2) dan B=(-1,4)

2) Panjang vektor A

=(1,-2) dan B

= (3,4) membentuk rusuk jajaran genjang

hitunglah luas jajaran genjang tersebut

3) Sebuah kotak dibangun oleh rusuk-rusuk yang dinyatakan oleh 3 vektor ; A

, B

dan C

. Jika A

dan B

diambil sebagai alas.

a) Buktikan bahwa isi kotak tersebut adalah

V = ( A

x B

) C

.

b) Selanjutnya apabila diketahui vektor

A

=(1,2,0) dan B

=(-2,1,0) dan C

=(1,2,3). Hitunglah volume kotak jika A

dan B

menyatakan rusuk dari alas kotak tersebut. Hitung juga kemiringan(inklinasi), , dari

kotak itu


FMIPA-ITB Page I-14

Daftar Isi

Bab 1 Ruang Vektor.............................................................................................................. 1 I. 1 Ruang Vektor R

n ............................................................................................................. 1

I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik .................................................................................. 2

I. 3 Operasi pada vektor ....................................................................................................... 3 I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; ........................................................................... 3 I. 5 Jarak antara dua titik ....................................................................................................... 4 I. 6 Perkalian Vektor ............................................................................................................. 5 I. 7 Definisi .......................................................................................................................... 6

I. 8 Perkalian vektor (cross product) .................................................................................... 6 I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt ........................ 7 I. 11 Hitung Volume Kotak ............................................................................................... 10

I. 13 Ruang Bagian (sub-space) ......................................................................................... 13 I. 14 Soal Latihan ............................................................................................................... 13

Documents

Suryadi Siregar Aljabar Linier