Click here to load reader
Upload
doanbao
View
321
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
Vanja Podunavac
OPTIMIZACIJA PREHRANE RADNIKA
SISAČKE RAFINERIJE
DIPLOMSKI RAD
Rijeka 2015.
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
OPTIMIZACIJA PREHRANE RADNIKA
SISAČKE RAFINERIJE
DIPLOMSKI RAD
Predmet: Teorija odlučivanja
Mentor: Prof. dr. sc. Alemka Šegota
Student: Vanja Podunavac
Studijski smjer: Gospodarstvo EU
JMBAG: 0081123163
Rijeka, srpanj 2015.
SADRŽAJ
1. UVOD.....................................................................................................................................1
1.1. Problem, predmet i objekt istraživanja............................................................................1
1.2. Radne i pomoćne hipoteze...............................................................................................2
1.3. Svrha i cilj istraživanja.....................................................................................................2
1.4. Znanstvene metode..........................................................................................................2
1.5. Struktura rada...................................................................................................................2
2. LINEARNO PROGRAMIRANJE..........................................................................................4
2.1. Teorija linearnog programiranja......................................................................................4
2.2. Osnovni teoremi linearnog programiranja.......................................................................5
3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA I NJEGOVO RJEŠAVANJE...................9
3.1. Problem linearnog programiranja....................................................................................9
3.1.1. Standardni problem linearnog programiranja......................................................10
3.1.2. Opći problem linearnog programiranja................................................................12
3.1.3. Kanonski problem linearnog programiranja........................................................14
3.2. Rješavanje problema linearnog programiranja..............................................................17
3.2.1. Grafičko rješenje linearnog programiranja..........................................................17
3.2.2. Simpleks metoda..................................................................................................21
4. OPĆI PROBLEM PREHRANE I NJEGOVO RJEŠAVANJE............................................24
4.1. Opći problem prehrane...................................................................................................24
4.2. Standardni problem minimuma – Charnesova – M procedura......................................26
5. PRIMJENA PROBLEMA PREHRANE KOD RADNIKA SISAČKE RAFINERIJE........29
5.1. Definiranje problema.....................................................................................................29
5.2. Formuliranje problema...................................................................................................30
5.3. Rješavanje problema i interpretacija rezultata...............................................................38
6. ZAKLJUČAK.......................................................................................................................47
POPIS LITERATURE..............................................................................................................48
POPIS TABLICA.....................................................................................................................49
POPIS SLIKA...........................................................................................................................50
POPIS PRILOGA.....................................................................................................................51
1
1. UVOD
Linearno programiranje nastalo je razvojem operacijskog istraživanja. Prvi problem linearnog
programiranja pojavljuje se 1939. godine u knjizi ruskog matematičara L. V. Kantoroviča.
Ono je namjenjeno raspoređivanju oskudnih resursa s ciljem postizanja optimalnih rezultata.
Veliki broj ekonomskih problema se rješava linearnim programiranjem. Ti problemi se mogu
odnositi na proizvodnju, sirovine, radnu snagu, tržište, ponudu, potražnju, uvoz, izvoz, itd.
Ovaj rad će proučiti i istražiti problem smjese. Tim problemom će se na primjeru prehrane
prikazati koliki su minimalni troškovi koje jedna osoba treba izdvojiti da bi zadovoljila svoj
dnevni unos nutrijenata koji su potrebni za život.
Uvod diplomskog rada na temu 'Optimizacija prehrane radnika sisačke rafinerije' sastoji se od
5 poddjelova koji su međusobno povezani: 1) problem, predmet i objekt istraživanja, 2) radna
hipoteza i pomoćne hipoteze, 3) svrha i cilj istraživanja, 4) znanstvene metode, 5) struktura
rada.
1.1. Problem, predmet i objekt istraživanja
Problem istraživanja diplomskog rada je rješavanje problema smjese upotrebom linearnog
programiranja.
Kroz diplomski rad se istražuje i definira pojam i metode rješavanja problema linearnog
programiranja.
Iz problema i predmeta istraživanja definira se objekt istraživanja na kojemu se zasniva
diplomski rad, a to je primjena linearnog programiranja u modelu prehrane radnika INA
rafinerije Sisak.
2
1.2. Radna hipoteza i pomoćne hipoteze
Imajući na umu prethodno naveden problem istraživanja, predmet istraživanja i objekt
istraživanja moguće je postaviti temeljnu radnu hipotezu: Upotrebom linearnog programiranja
u problemu prehrane, minimiziraju se troškovi obroka uz zadovoljenje dnevnih nutritivnih
vrijednosti.
Postavljena radna hipoteza može se konkretizirati kroz tri pomoćne hipoteze (kr. P.H.):
P.H. 1) Dnevna preporučena količina nutrijenata za muške i ženske radnike utječe na
izbor jela
P.H. 2) Dnevna preporučena količina nutrijenata za muške i ženske radnike utječe na
trošak obroka
P.H. 3) Raznolikost unosa hrane tokom tjedna utječe na cijenu obroka
1.3. Svrha i cilj istraživanja
Svrha i cilj istraživanja rada je da se na jednostavnom primjeru pokaže da je matematičkom
formulacijom i matematičkim metodama moguće sastaviti optimalan tjedni jelovnik, koji će
uz minimalne troškove, pružiti dovoljan unos nutrijenata koji su potrebni za rad prosječnom
radniku u tvornici.
1.4. Znanstvene metode
Kroz rad su korištene sljedeće znanstvene metode: metoda analize i sinteze, metoda
klasifikacije, metoda diskripcije, komparativna metoda, metoda kompilacije, matematička
metoda, metoda modeliranja.
1.5. Struktura rada
Rezultati istraživanja predočeni su u pet međusobno povezanih dijelova.
3
U Uvodu su navedeni problem, predmet i objekt istraživanja, radna hipoteza i pomoćne
hipoteze, svrha i ciljevi istraživanja, znanstvene metode i obrazložena je struktura rada.
Naslov drugog dijela rada je Linearno programiranje. U tom dijelu rada je prezentiran razvoj
teorije linearnog programiranja te su dani teoremi koji su bitni za razvoj linearnog
programiranja.
Problem linearnog programiranja i njegovo rješavanje naslov je trećeg dijela rada. U tom
dijelu su analizirani standardni problem, opći problem i kanonski problem linearnog
programiranja te rješavanje problema grafičkim putem i pomoću simpleks metode.
U četvrtom dijelu rada s naslovomOpći problem prehrane i njegovo rješavanje objasniti će se
opći problem prehrane i prikazati jedan od načina rješavanja istoga, a to je Charnesova – M
procedura.
U petom dijelu diplomskoga rada sa naslovom Primjena problema prehrane kod radnika
sisačke rafinerije se postavlja i rješava problem prehrane kod radnika sisačke rafinerije.
U posljednjem dijelu, Zaključku, dana je sinteza rezultata istraživanja kojima je dokazivana
postavljena radna hipoteza.
4
2. LINEARNO PROGRAMIRANJE
Linearno programiranje je matematički postupak koji je primarno razvijen za potrebe
analitičke podrške u procesima odlučivanja. Ono predstavlja matematičku analizu problema u
kojoj se traži maksimalna, odnosno, minimalna vrijednost linearne funkcije pri zadanim
ograničavajućim uvjetima. Pri promatranju ekonomskih problema, linearni sustavi opisuju
uvjete u kojima se odvijaju ekonomski procesi, dok linearna funkcija opisuje određeni cilj
koji se želi postići pod tim uvjetima. To se postiže na način da se formiraju različiti
odgovarajući sustavi iz kojih se određenim metodama dolazi do optimalnih rješenja.
U ovome poglavlju diplomskoga rada preciznije će se definirati problem linearnog
programiranja, počevši od same teorije istoga pa do teorema koje obuhvaća.
2.1. Teorija linearnog programiranja
Široka je lepeza primjene linearnog programiranja, zbog čega ono zauzima zavidno mjesto u
ekonomiji. Tome je pridonijela činjenica da se veći broj ekonomskih problema pojavljuje sa
zahtjevom optimalnosti pri velikom broju ograničenja i sa velikom složenosti. Tako se
problemi tipa proizvodnje, realizacije, zaliha, sirovina, investicija, transporta, uvoza, izvoza,
itd. mogu uspješno rješavati korištenjem linarnog programiranja. Različita pitanja zahtijevaju
različite pristupe, pa tako linearno programiranje u pravilu sadrži skup metoda pod nazivom:
Teorija linearnog programiranja (Crnjac Milić; Martinović; 2012).
Prve fomulacije problema linearnog programiranja, kao i prve metode rješavanja istoga,
susreću se 1939. godine u knjizi ruskog matematičara L. V. Kantoroviča o organizaciji i
planiranju proizvodnje. On je polazio od praktičnih problema i potreba i na taj način nailazio
na prve rezultate linearnog programiranja. Njegov pristup uključivao je metodu rješavajućih
koeficijenata što u današnje vrijeme odgovara dualnosti.
Godina 1952. smatra se prekretnicom u razvitku linearnog programiranja, jer je tada prvi put
bio izrađen program za elektronsko rješavanje problema linearnog programiranja po simpleks
metodi. Primjena računala kod rješavanja problema linearnog programiranja dovela je do toga
5
da su poduzeća u praksi, koja moraju u obzir uzimati brojne okolnosti, mogla koristiti
linearno programiranje za rješavanje svojih problema.
Matematičku osnovu linearnog programiranja tvore teorija linearnih jednadžbi i nejednadžbi i
teorija konveksnih poliedara. U problemima koje si rješavaju metodama linearnog
programiranja obično je riječ o optimalnom korištenju ili alokaciji bilo kakvih sredstava koja
su raspoloživa samo u ograničenim količinama. Bitno je za linearno programiranja da je
funkcija cilja linearna i da su sve uvjetne jednadžbe ili nejednadžbe linearne (Vandal; 1972).
2.2. Osnovni teoremi linearnog programiranja
Kroz sljedeće teoreme će se prikazati veze između originalnog i dualnog problema koje
dovode do glavnih rezultata u teoriji linearnog programiranja.
Teorem 1 (Babić, 2010, str. 75): Ako su X i Y mogući vektori (moguća rješenja) para dualnih
problema (3) – (5) i (6) – (8), tada je .
Iz prvog teorema proizlazi da je vrijednost funkcije cilja problema maksimuma uvijek manja
ili jednaka vrijednosti funkcije cilja njegovog duanog problema minimuma. Pritom se može
spomenuti da je funkcija cilja za problem maksimuma omeđena odozgo, a funkcija cilja za
problem minimuma je omeđena odozdo.
Prvi teorem se može dokazati na način da se pomnoži nejednadžba, odnosno nejednadžbe
(ima ih n), (8) sa . Znak nejednakosti nije potrebno mjenjati jer vrijedi da je .
Ako se nejednadžbe (Babić; 2010; str. 75)
sumiraju po j slijedi, dobiva se: .
6
Budući da je , očito je kompletna suma s lijeve strane posljednje
nejednakosti jednaka , a suma s desne strane je skalarni produkt , te relacija u
matričnom obliku izgleda ovako (Babić; 2010; str. 75):
(i)
Slično tako, ako se množi nejednadžba (4) sa i sumira po i, dobiva se (Babić; 2010; str. 76)
sumirano po i slijedi: , odnosno
. (ii)
Kada se relacije (i) i (ii) spoje, dobiva se , tj. za bilo koji par mogućih
rješenja para dualnih problema vrijedi: , s čime se dokazuje postavljeni prvi
teorem.
Teorem 2 daje dovoljan uvjet optimalnosti te se zato najčešće i naziva kriterijem optimalnosti,
a glasi (Babić; 2010; str. 77): Ako su i moguća rješenja problema linearnog
programiranja (3) – (5) i njegovog duala takva da je
(1)
tada su i optimalna rješenja tog para dualnih problema.
Dokazuje se ako se za bilo koji par mogućih rješenja originala i duala ustanovi da su im
vrijednosti funkcije cilja jednake te se tada može zaključiti da su upravo to optimalna rješenja.
Neka je X bilo koje moguće rješenje problema maksimuma (3) – (5). Tada po teoremu 1
(budući da je neko moguće rješenje problema minimuma) vrijedi (Babić; 2010; str. 77):
7
(i)
po pretpostavci teorema 2 se dobiva:
(ii)
uvrsti li se (ii) u (i) slijedi , a to znači da je vrijednost funkcije cilja problema
maksimuma za bilo koje moguće rješenje manja nego što je vrijednost funkcije cilja
za rješenje , odnosno rješenje je najbolje (optimalno) rješenje problema
maksimuma (3) – (5).
Na sličan način se dokazuje i da je rješenje optimalno rješenje minimuma. Neka je Y bilo
koje moguće rješenje problema minimuma (6) – (8). Tada po teoremu 1 (budući da su i Y
par mogućih rješenja dualnih problema) vrijedi (Babić; 2010; str. 77):
(iii)
Iz uvjeta teorema 2. vrijedi (Babić; 2010; str. 78):
(iv)
Kada se uvrsti (iv) u (iii), dobiva se: , što znači da je najbolje (optimalno)
rješenje problema minimuma, jer je vrijednost funkcije cilja za to rješenje ( ) manja nego
vrijednost funkcije cilja za bilo koje drugo moguće rješenje ( ).
Vrijedi i obrat tog teorema, tj. uvjet (1) je ne samo dovoljan, već i nužan uvjet optimalnosti
mogućih rješenja, o čemu govori teorem fundamentalnih dualiteta.
Treći teorem, tzv. fundamentalni teorem dualiteta, kaže (Babić; 2010; str. 78): Ako su neki
problem linearnog programiranja i njegov dual mogući (imaju moguće rješenje), tada oba
imaju optimalno rješenje i optimalne vrijednosti funkcija cilja su im jednake. Ako jedan od ta
dva problema nije moguć, tada drugi nema optimalno rješenje.
8
Oslanjajući se na fundamentalni teorem dualiteta, može se zaključiti da postoje 4 moguća
slučaja koja se mogu pojaviti kod rješavanja problema linearnog programiranja. To su (Babić;
2010; str. 78):
a) oba problema imaju optimalno rješenje i optimalne vrijednosti funkcija cilja su jednake
b) originalni problem nema moguće rješenje, pa dualni nema optimalno
c) originalni problem ima moguće, ali nema optimalno rješenje iz čega slijedi da dual nema
moguće rješenje
d) ne postoji rješenje ni na jednoj strani jer su uvjeti nekonzistentni, tj. sistemi nejednadžbi su
u sebi kontradiktorni.
9
3. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA I NJEGOVO RJEŠAVANJE
Problem koji se želi rješiti putem linearnog programiranja sastoji se od cilja koji se želi postići
pod određenim ograničenjima. Cilj se izražava jednom funkcijom, koja je linearna i zove se
funkcija cilja. Ograničenja su izražena linearnim jednadžbama i nejednadžbama. Model
linearnog programiranja se razvija na temelju nekih pretpostavki, koje glase (Pavlović; 2005;
str. 138):
a) mora postojati jasan cilj koji se može kvantitativno izraziti
b) moraju postojati ograničeni izvori resursa i udjela na tržištu
c) moraju postojati alternativna rješenja
d) mora postojati uzajamna međuovisnot izražena linearno.
Linearno programiranje je model koji se sastoji od funkcije cilja i ograničenja. U tim
matematičkim relacijama nalaze se parametri i varijable. Ako se za primjer uzme jedan
konkretan linearni model, onda se dobiva da su parametri konstante (koje naravno mogu uzeti
bilo koju vrijednost), a za varijable se može reći da predstavljaju količine koje se trebaju
odrediti rješavanjem modela. Ovisno o obliku modela linearnog programiranja, postoje i
različiti načini rješavanja.
Na prethodnim pretpostavkama se zasniva problem linearnog istraživanja koji će se u ovom
poglavlju detaljno prikazati i objasniti. Uz pojašnjenja pojedinih problema linearnog
programiranja, koji mogu biti standardni problem, opći problem i kanonski problem, dati će
se načini rješavanja istih koji dovode do ostvarenja cilja.
3.1. Problem linearnog programiranja
Općenito se problem matematičkog programiranja može definirati kao:
(2)
10
Matematička formulacija prikazuje određivanje maksimuma (ili minimuma) neke funkcije od
n varijabli , gdje je X vektor iz prostora kojemu su te varijable
komponente, tj.
.
Pri tome je f funkcija cilja ili kriterija, a vektor X pripada nekom skupu S. Skup S definiran je
ograničenjima zadanog problema i općenito je S . Skup S naziva se skup mogućih
rješenja. Ukoliko je S = , radi se o optimalizaciji bez ograničenja, tj. vektor X može biti
bilo koji vektor iz prostora (Babić; 2010; str. 70).
Osim što je f funkcija cilja ili kriterija, ona je i numerička ili skalarna funkcija, uzevši u obzir
i to da ako je f vektorska funkcija, radi o tzv. vektorskoj optimizaciji ili višekriterijalnom
programiranju.
Ukoliko je linearna funkcija od n varijabli (dakle, u njoj su sve varijable na
pravu potenciju i nema umnožaka varijabli), a ograničenja koja definiraju skup S su također
linearna, tada je problem (2) problem linearnog programiranja (LP) (Babić, 2010, str. 70).
Problem linearnog programiranja općenito može biti ili problem maksimuma ili problem
minimuma.
3.1.1. Standardni problem linearnog programiranja
Kod standardnog problema maksimuma linearnog programiranja sva su ograničenja (osim
uvjeta nenegativnosti) tipa '≤', odnosno, u općenitom slučaju sa n varijabli on je oblika:
(3)
(4)
(5)
Postavljene gornje probleme se može prikazati i u matričnom obliku:
11
(3')
AX ≤ B (4')
X ≥ 0 (5')
gdje je
, , , .
Pri tome je X vektor varijabli tipa (n, 1), C vektor koeficijenata uz varijable u funkciji cilja
tipa (n, 1), A matrica sustava ograničenja tipa (m, n) i B vektor desne strane ograničenja tipa
(m, 1) (Babić; 2010; str. ).
Svakom problemu maksimuma pridružuju se i određeni problem minimuma koji se zove dual
originalnog problema. Obrnuto, ako se radi o problemu minimuma, tada je njegov dual
odgovarajući problem maksimuma.
Dual stvarnog problema maksimuma je standardni problem minimuma i on se javlja u
sljedećem obliku (Babić; 2010; str. 73):
(6)
(7)
(8)
ili u matričnom obliku:
(6')
(7')
(8')
pri čemu relacija (7') može doći i u transponiranom obliku, tj.
12
(7'').
Prema postavljenom obliku duala, može se vidjeti da se javlja samo jedan novi vektor, i to je
vektor varijabli Y, tipa (m, 1). To bi značilo da original ima m ograničenja i n varijabli, dok
dual ima n ograničenja i m varijabli, odnosno u originalu je vektor , a u dualu .
S obzirom na sve prethodno navedeno, može se definirati pojam mogućeg i optimalnog
rješenja problema linearnog programiranja.
Problem linearnog programiranja je moguć ako postoji barem jedan vektor X koji zadovoljava
uvjete (4) i (5). Takav vektor zove se mogući vektor ili moguće rješenje danog problema
linearnog programiranja. Skupsvih takvih vektora, tj. skup
(9)
naziva se skup mogućih rješenja danog problema linearnog programiranja (Babić; 2010; str.
72).
Mogući vektor je optimalan ako maksimizira linearnu funkciju (3), tj. je optimalan
(optimalno rješenje problema LP), ako vrijedi (Babić; 2010; str. 72):
(10)
3.1.2. Opći problem linearnog programiranja
U općem problemu linearnog programiranja, koji može biti problem maksimuma ili problm
minimuma, ograničenja mogu biti bilo kojeg tipa. Za razliku od standardnog problema, u
ovom slučaju mogu se u istom problemu javiti ograničenja tipa '≥', '≤', kao i jednadžbe. Pored
toga neke varijable mogu, a neke ne moraju imati ograničenja nenegativnosti.
Uobičajeno je da se opći problem maksimuma prevede u oblik gdje su sve nejednadžbe tipa
'≤', a u općem problemu minimuma sve nejednadžbe se prevode u '≥' (Babić; 2010; str. 108).
13
Dalje će se definirati skupovi indeksa (Babić; 2010; str. 109):
M = {1, 2, ..., m} -> skup indeksa za ograničenja
N = {1, 2, ..., n} -> skup indeksa svih nepoznanica.
Nadalje neka je S M podskup skupa M u kojem se nalaze indeksi svih ograničenja tipa '≤',
dok su u komplementu tog skupa indeksi onih ograničenja koja su jednadžbe, tj. ͨ S = M \ S.
Analogno neka je T N podskup skupa N u kojem se nalaze indeksi onih varijabli koje imaju
ograničenja nenegativnosti, dok su u komplementu tog skupa indeksi onih varijabli koje
nemaju ograničenje nenegativnosti, tj. ͨ T = N \ T (Babić; 2010; str. 109).
Neka je nadalje (Babić; 2010; str. 109):
->i – ti redak matrice A; i = 1, 2, ..., m, a
->j-ti stupac matrice A; j = 1, 2, ..., n.
Problem se tada može predstaviti u matričnom obliku na sljedeći način (Babić; 2010; str.
109):
(11)
(12)
(13)
(14)
Naravno, kada je S = M i T = N, opći problem postaje standardni problem. S druge strane,
kada je S = Ø, opći problem postaje kanonski (nema nejednadžbi, već su sve jednadžbe).
Dual općeg problema ima sljedeći oblik (Babić; 2010; str. 110):
(15)
(16)
(17)
(18)
14
Svakoj varijabli originalnog problema odgovara jedno ograničenje dualnog problema. Ako je
u originalu varijabla imala ograničenje nenegativnosti (j T), tada će j – to ograničenje u
dualu biti tipa '≥', a ako varijabla u originalu nije imala ograničenje nenegativnosti (j ),
tada je odgovarajuće ograničenje u dualu jednadžba. Na isti način, ako je ograničenje u
originalnom problemu tipa '≤', odgovarajuća varijabla u dualu ima ograničenje nenegativnosti,
a ako je neko ograničenje u originalu bila jednadžba, tada odgovarajuća varijabla u dualu
nema ograničenje nenegativnosti. Tako je npr. dual kanonskog problema maksimuma
problem minimuma, a varijable nemaju ograničenje nenegativnosti (Babić; 2010; str. 110).
Fundamentalni teorem dualiteta vrijedi i za opći problem linearnog programiranja, dok se
princip oslabljene komplementarnosti kod općeg problema ne može primijeniti, budući da
oslabljene varijable ne moraju ni postojati ako je ograničenje bila jednadžba, a pored toga
varijable ne moraju imati ograničenja nenegativnosti.
3.1.3. Kanonski problem linearnog programiranja
Kanonski problem linearnog programiranja razlikuje se od standardnog problema u tome što
su sva ograničenja (osim uvjeta nenegativnosti) u obliku jednadžbi. Ovakav problem naročito
je pogodan za primjenu različitih metoda rješavanja problema linearnog programiranja. Oblik
tog problema je (Babić; 2010; str. 88):
(19)
AX = B (20)
X ≥ 0 (21)
Nadalje će se pokazati da su standardni i kanonski problem ekvivalentni, što podrazumijeva
da se jedan uvijek može transformirati u drugi, što povlači da se rješavanjem jednog od tih
problema može dobiti i rješenje drugog problema. Drugim riječima bi to značilo da je svako
rješenje jednog od tih problema također i rješenje drugog problema.
Prvo će se pokazati kako se kanonski problem može transformirati u njemu ekvivalentni
standardni problem maksimuma.
15
Uvjet (20) AX = B se može zamijeniti sa dva ekvivalentna uvjeta u obliku nejednadžbi,
odnosno sa
AX ≤ B (21')
- AX ≤ - B
Očito je da ta dva uvjeta (AX ≤ B i AX ≥ B) daju početni uvjet AX = B te se umjesto
kanonskog dobio standardni problem, koji ima dvostruko više ograničenja, ali je potpuno
ekvivalentan početnom kanonskom problemu.
U slučaju da se standardni problem (3) – (5) želi pretvoriti u kanonski, potrebno je nastupiti
malo drugačije. U tom slučaju potrebno je nejednadžbu (4) AX ≤ B zamijeniti sa jednadžbom
AX + U = B, i dodatnim zahtjevom (22)
U ≥ 0 (23)
S obzirom da se nejednadžba (4) pretvorila u jednadžbu, na lijevoj strani te nejednadžbe
morala se dodati neka nenegativnu veličina, tj. vektor U ≥ 0. Vektor U , tipa (m, 1), je vektor
dodatnih ili oslabljenih varijabli, za razliku od komponenata vektora X, koji se zovu
strukturne varijable. Da se rješenje ne bi promijenilo, oslabljene varijable neće se pojaviti u
funkciji cilja (ili će u njoj biti s koeficijentom nula), te neće utjecati na određivanje
optimalnog rješenja.
U nastavku će se prikazati način na koji standardni problem minimuma transformirati u
kanonski problem.
(6')
(7')
Y ≥ 0 (8')
Radnja se odvija na sličan način. Međutim, budući da je kod ograničenja (7') problema
minimuma lijeva strana veća ili jednaka desnoj, morati će se oduzimati neka
nenegativnaveličina s lijeve strane da bi se dobila jednadžba, pa se umjesto relacije (7')
dobiva relacija (23) i dodatni uvjet (24) (Babić; 2010; str. 90):
16
(23)
(24)
Vektor oslabljenih varijabli V sada je tipa (n, 1) budući da u standardnom problemu
minimuma postoje n nejednadžbe. Komponente tog vektora se katkada zovu i varijable viška
budući da pokazuju koliko je lijeva strana ograničenja veća od desne.
S obzirom na to, postoji (Babić; 2010; str. 91):
Problem maksimuma
Standardni Kanonski
AX ≤ B AX + U = B
X ≥ 0 X, U ≥ 0
Problem minimuma
Standardni Kanonski
Y ≥ 0 Y, V ≥ 0
O vezama strukturnih i dopunskih (oslabljenih) varijabli govori sljedeći teorem, koji kaže
(Babić; 2010; str. 91): Neka je , gdje su i moguća rješenja
para dualnih problema. Rješenja i su optimalna ako i samo ako je .
Na temelju prethodnog teorema slijedi korolar koji je poznat pod nazivom princip oslabljene
komplementarnosti, iz kojeg proizlazi (Babić; 2010; str. 92): Barem jedna od dviju
korespondentnih komponenti od U i je jednaka nuli. Isto vrijedi za V i .
Budući da su sve komponente od , , U, V nenegativne, svaki član skalarnih produkata
i mora biti jednak nuli, a to znači da je barem jedna od dviju korespodentnih komponenti
17
od U i , odnosno V i jednaka nuli. Naime, u skalarnom produktu postoji umnožak
odgovarajućih komponenata, pa slijedi (Babić; 2010; str. 93):
, ili su obje jednake nuli
, ili su obje jednake nuli.
Taj korolar omogućava da se optimalno rješenje dualnog problema dobije bez rješavanja tog
problema, uzevši u obzir da se na neki način dobilo optimalno rješenje originala.
3.2. Rješavanje problema linearnog programiranja
Riješiti model linearnog programiranja znači odrediti vektor varijabli x koji zadovoljava
relacije ograničenja, a da funkcija cilja postigne maksimalnu (minimalnu) vrijednost.
Linearno programiranje je metoda optimizacije, a to znači da su svi odnosi determinirani i da
se pod tim uvjetima određuje optimalna vrijednost. Optimalno rješenje se ne može odrediti
odmah, nego se do njega dolazi određenom procedurom. U tijeku procedure se razmatraju
moguća rješenja, a to su vektori varijabli koji zadovoljavaju sustav ograničenja, od kojih se
izdvaja ono rješenje koje daje optimalnu vrijednost. Moguće rješenje je svaki vektor varijabli
x koji zadovoljava relacije ograničenja. (Pavlović; 2005; str. 143)
3.2.1. Grafičko rješenje linearnog programiranja
Grafička metoda se može primjeniti ukoliko problem linearnog programiranja ima dvije
varijable, ili tri varijable kada je barem jedno ograničenje u obliku jednadžbe iz koje se može
eliminirati jedna varijabla. U koordinatnom sustavu se na os apscisa unosi varijabla a na os
ordinata varijabla . Pomoću tih varijabla dalje se objašnjava odnos i karakteristika linearnog
programiranja, koji se bolje razumiju ako se prikažu grafički, što sljedi dalje u radu.
Da bi se došlo do rješenja, prvo se postavlja model linearnog programiranja (Pavlović; 2005;
str. 145):
18
(25)
(26)
(27)
Prvo ograničenje se piše u obliku jednakosti, što predstavlja jednadžbu pravca. Taj pravac
dijeli koordinatnu ravninu u dvije poluravnine. Jedna poluravnina skupa s pravcem odgovara
prvom ograničenju. Isto se dalje radi za sva sljedeća ograničenja. Presjek poluravnina, skuša s
ograničenjem (27), predstavlja skup mogućih rješenja. Kada se to sve prenese na koordinatni
sustav, odbije se sljedeća slika.
Slika 1. Skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu
Izvor: Pavlović; 2005; str. 146
Slika prikazuje pravce sa ograničenjima od do . Nacrtana su četiri pravca, i skupa sa
pozitivnm dijelovima koordinatnih osi dobiva se skup mogućih rješenja. Ako se uzmu bilo
koje točke iz skupa mogućih rješenja, npr. (A, B), čije se koordinate uvrste u funkciju cilja,
dobiva se jedna vrijednost funkcije cilja (Pavlović; 2005; str. 146): .
19
Kada se izjednači funkcija cilja sa tom vrijednošću, dobije se (Pavlović; 2005; str. 147):
, što predstavlja jedan pravac u koordinatnom sustavu. Ako se sada uzme
druga točka koja je udaljenija od koordinatnog početka i sve se ponovi, dobija se novi pravac
(Pavlović; 2005; str. 147): , koji će biti paralelan sa prethodnim pravcem, a
vrijednost funkcije cilja veća.
Ovako formirani pravci svi su međusobno paralelni i što je pravac udaljeniji od koordinatnog
početka ima veću vrijednost funkcije cilja. Ako se na prethodni koordinatni sustav ucrta jedna
funkcija cilja i ako se pomjera paralelno što dalje od koordinatnog početka (a da ne napusti
skup mogućih rješenja), zadnji položaj daje optimalno rješenje, što će se prikazati sljedećom
slikom.
Slika 2. Prikaz optimalnog rješenja u koordinatnom sustavu
Izvor: Pavlović; 2005; str. 147
Slika prikazuje optimalno rješenje promatranog modela linearnog programiranja, a to rješenje
se nalazi u ekstremnoj točki C. Ako bi se pravac funkcije cilja dalje paralelno udaljavao od
koordinatnog početka, došlo bi se izvan skupa mogućih rješenja.
20
Kada bi se radilo o minimumu, tada bi postupak bio potpuno isti, samo bi se pravac funkcije
cilja pomjerao što bliže koordinatnom početku. Naravno, koordinatni početak ne smije
pripadati skupu rješenja problema minimuma, pošto bi tada uvijek ta točka bila optimalno
rješenje bez računanja, ali i bez smisla.
Ako je skup mogućih rješenja neomeđen i proteže se do beskonačnosti, kao što prikazuje
sljedeća slika sa osjenčanim dio koordinatne ravnine, tada za problem minimuma postoji
optimalno rješenje, a za problem maksimuma postoji infinitna vrijednost funkcije cilja bez
optimalnog rješenja.
Slika 3. Neomeđeni skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu
Izvor: Pavlović; 2005; str. 148
Ukoliko je funkcija cilja paralelna s jednim pravcem u ekstremnoj točki optimalnog rješenja,
kao na slici koja sljedi, sa pravcem , tada postoji optimalno rješenje u dvije ekstremne
točke, B i C, ako je skup ograničen. Ako nije ograničen tada je to pravac s beskonačno mnogo
rješenja. U tom slučaju postoje alternativna optimalna rješenja, tj. različita rješenja s istom
optimalnom vrijednošću funkcije cilja. Ali u tom slučaju i sve točke pravca između točaka
B i C su optimalna rješenja, ali su to nebazična rješenja i ima ih beskonačno mnogo (Pavlović;
2005; str. 149).
21
Slika 4. Optimalno rješenje u dvije ekstremne točke sa ograničenim skupom
Izvor: Pavlović; 2005; str. 149
3.2.2. Simpleks metoda
Jedna od najpoznatijih metoda za rješavanje problema linearnog programiranja je simpleks
metoda. Autor simpleks metode je G. Dantzig, koji veliki dio zasluga za temeljne ideje sam
pripiruje J. von Neumanu. Iako je prve ideje razvio već 1947. godine, osnovni rad o toj
metodi objavio je tek 1951. godine u knjizi T. C. Koopmansa 'Activity analysis of production
and allocation'. Naziv simpleks potječe od toga što je jedan od prvih primjera riješen na
jediničnom trokutu, koji je konveksna ljuska skupa od tri točke iz prostora , a to je
dvodimenzionalni simpleks (Babić; 2010; str. 121).
Simpleks metoda je iterativna metoda, što znači da je to metoda kojom se iz koraka u korak
poboljšava rješenje. Može se reći da se algoritam simpleks metode sastoji od četiri koraka
(Babić; 2010; str. 121):
22
1. konstruira se neko inicijalno (početno) moguće rješenje
2. primjenjuje se test da se odredi je li to optimalno rješenje
3. ako rješenje nije optimalno, metoda daje uputu kako ići doboljeg rješenja
4. nakon konačno mnogo koraka dolazi se do optimalnog rješenja ili se utvrđuje da ono ne
postoji.
Bitno je za spomenuti da se simpleks metoda radi samo sa kanonskim problemom te da radi
samo s bazičnim rješenjima tog kanonskog problema.
Radi lakšeg računanja, simpleks metoda sa svim izračunavanjima se može smjestiti u jednu
tablicu koja se naziva simpleks tablica te je ista prikazana u nastavku.
Kao što je ranije spomenuto, započinje se s kanonskim modelom linearnog programiranja koji
se dobije od standardnog problema maksimuma. Tablica će se formirati prema sljedećem
modelu (Pavlović; 2005; str.153):
Nakon postavljenog modela linearnog programiranja, može se započeti sa izradom simpleks
tablice. U prvi stupac simpleks tablice unose se koeficijenti funkcije cilja koji odgovaraju
aktualnoj bazi. U drugom stupcu su vektori baze za svaku iteraciju. U trećem stupcu dobiva se
tekuće rješenje, rješenje svake iteracije i to samo komponente koje su različite od nule. Desno
od toga se nalaze svi vektori modela sa njihovim komponentama, i bazični i nebazični. Iznad
vektora upisuju se koeficijenti funkcije cilja koji odgovaraju komponentama rješenja, odnosno
vektorima.
23
Tablica 1. Početna simpleks tablica
B
0
0
0
0
Izvor: Pavlović; 2005; str. 169
U simpleks tablici se može primjetiti da ima puno elemenata koji će se nadalje objasniti. Pod
vektorima izravnavajućih varijabli nalazi se jedinična matrica. Vrijednost funkcije cilja se
dobiva kao skalarni umnožak elemenata stupca s odgovarajućim elementima stupca .
Vrijednost dobije se množenjem elemenata stupca s odgovarajućim elementima stupca
za svaki vektor. U početnoj simpleks tablici svi su jednaki nuli pa u kriterijalnom retku
, svi su negativni. Stupac svakog vektora su komponente tog vektora u tekućoj bazi,
pa tako npr. postoji (Pavlović; 2005; str. 170):
Svakom vektoru stupca B odgovara varijabla s istim indeksom pa se rješenje čita iz stupca B i
, npr. u tablici se vidi da je i tako do kraja stupca, a varijable za koje odgovaraju
nebazičnim vektorima jednake su nuli. U stupcu bazičnih vektora je jedinica u presjeku s
retkom tog vektora, a ostali elementi jednaki su nuli, dok su u kriterijalnom retku
pod bazičnim vektorima nule.
24
4. OPĆI PROBLEM PREHRANE I NJEGOVO RJEŠAVANJE
Čovjeku su za život potrebne određene količine nutrijenata, gdje se kao najvažniji mogu
spomenuti masnoća, bjelančevine, vitamini, ugljikohidrati, itd. Te sastojke čovjek dobiva kroz
hranjenje, unošenjem različitih namirnica u organizam kao što su meso, povrće, kruh, žitarice,
ulje, itd. Za svaku od tih namirnica je potrebno izdvojiti određenu količinu novčanih jedinica.
Za neke su troškovi viši, a za neke su troškovi manji. Tu se dolazi do problema – kako da
čovjek zadovolji svoju preporučenu dnevnu dozu nutrijenata a da pritom ne potroši puno, tj.
kako zadovoljiti svoju dnevnu fiziološku potrebu a da plati što manje. Taj problem će se
istražiti i riješiti kroz ovaj dio diplomskoga rada i to upotrebom linearnog programiranja u
problemu prehrane. Objasniti će se opći problem prehrane i prikazati jedan od načina
rješavanja istoga, a to je Charnesova – M procedura.
4.1. Opći problem prehrane
Cilj problema prehrane je sastaviti prehrambeni program tako da svaka hranjiva komponenta
bude zastupljena bar u minimalnoj količini a da pri tome prehrambeni program bude što
jeftiniji. Ovaj problem je prvi put postavio G. J. Stigler 1945. godine. Problem je obuhvaćao
77 namirnica i 9 hranjivih elemenata (Lovrić; 2008)
Prije nego se postavi matematički model problema prehrane, potrebno je uvesti oznake koje
će olakšati razumjevanje samog problema. Te oznake su (Lovrić; 2008):
– namirnica vrste j (j = 1, 2, ...n)
– hranjivi sastojak vrste i (i = 1, 2, ...m)
– jedinična cijena namirnice j (j = 1, 2, ...n)
– količina namirnice vrste j (j = 1, 2, ...n)
– količina hranjivog sastojka vrste i u jedinici namirnice vrste j (i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ...n)
– minimalna količina hranjivog sastojka vrste i (i = 1, 2, ...m) koji se zahtjeva u
prehrambenom programu
w – cijena prehrambenog programa.
25
Nakon upoznavanja sa oznakama koje se koriste u problemu prehrane, potrebno je dati opće
podatke za problem. Ti podaci su prikazani u sljedećoj tablici.
Tablica 2. Opći podaci za problem prehrane
Izvor: Lovrić; 2008; str. 20
Sljedi postavljanje modela, gdje se polazi od funkcije cilja koja minimizira troškove w
prehrambenog programa:
Potrebno je postaviti ograničenja koja pokazuju zastupljenost minimalnih količina hranjivih
stastojaka (Lovrić; 2008):
.......................................................
uz uvjet nenegativnosti: .
Namirnica
jed. cijena
Hanjivi
sastojak
...
Minimalna
količina
hranjivog
sastojka
...
...
... ... ... ... ... ...
...
26
Optimalan rezultat će dati odgovor od kojih namirnica će se sastojati obrok, koliki su
minimalni troškovi te kolika je zastupljenost pojedine vrste hranjivih elemenata (Lovrić).
4.2. Standardni problem minimuma – Charnesova – M procedura
Rješavanje problema minimuma linearnog programiranja simpleks metodom donekle se
razlikuje od rješavanja problema maksimuma i to uglavnom u fazi postavljanja početnog
bazičnog rješenja. Budući da je jedna od prvih ekonomskih primjena problema linearnog
programiranja bio tzv. problem ishrane, dati će se interpretacija tog problema (Babić; 2010;
str. 142).
Potrebno je sastaviti program ishrane neke grupe ljudi (radnika, studenata) ili neke farme
pilića ili krava s namjerom da izabrana hrana sadrži u dovoljnoj količini sve potrebne hranjive
elemente, kao što su kalorije, bjelančevine, masti, a da troškovi za pripremu tog obroka budu
minimalni (Babić; 2010; str. 142)
Neka se izbor hrane provodi između n artikala prehrane koji su raspoloživi na
danom tržištu. Tržišne cijene po jedinici j – tog artikla prehrane su . Hranjive elemente koji
se nalaze u tim artiklima prehrane označavaju se sa a neka je iznos i – tog
hranjivog elementa sadržanog u jedinici j – tog artikla prehrane. Pored toga, neka je
minimalni zahtjev za i – tim hranjivim elementom, tj. količina i – tog hranjivog elementa koja
mora biti sadržana u optimalnom obroku. Sa se označuje broj jedinica j – te vrste hrane.
Sve te elemente se može prikazati u tablici, pri čemu se matrica A, u kojoj se nalaze elementi
naziva nutriciona matrica (Babić; 2010; str. 143).
Zatim se formulira problem ishrane. Funkciju cilja predstavljaju ukupni troškovi ishrane koje
treba minimizirati (Babić; 2010; str. 143):
27
Budući da u jednoj jedinici j – te vrste hrane ima jedinica i – tog hranjivog sastojka
umnožak predstavlja količinu tog hranjivog sastojka u jedinica hrane , pa se
zahtjev da u obroku, koji se sastoji od svih vrsta hrane, bude barem jedinica hranjivog
sastojka , može prikazati sljedećim skupom ograničenja (Babić; 2010; str. 144):
Uvjeti nenegativnosti također postoje budući da u optimalnom obroku neke vrste hrane ima
( ) ili nema ( ).
Takav problem je tipičan problem minimuma linearnog programiranja, pri čemu moraju biti
zadovoljen neke pretpostavke (Babić; 2010; str. 144):
1. Funkcija troškova je linearna, tj. troškovi zavise samo o količini kupljenih namirnica,
odnosno po istoj cijeni se kupuje i velika i mala količina hrane.
2. Elementi nutricione matrice su konstantni.
Budući da simpleks metoda daje samo bazična rješenja, a ona imaju najviše m komponenti
koje su različite od nule, problem ishrane će biti realniji što je broj ograničenja (m) veći.
Naravno da će optimalni obrok biti i raznovrsniji ako je broj varijabli (vrsta hrane) veći
(Babić; 2010; str. 146).
Ako originalni problem minimuma ima bar jedno moguće rješenje, tada i prošireni problem
ima neko nenegativno rješenje. Ako ne postoji moguće rješenje originalnog problema tada će
rješenje proširenog problema sadržavati bar jednu pozitivnu artificijelnu varijablu , tj.
neće se moći 'izbaciti' iz baze sve artificijelne vektore. Takav način rješavanja problema
naziva se Charnesova dvofazna M procedura. U prvoj fazi se oslobađaju artificijelne
varijable. Tek kada se artificijelne vektore 'izbace' iz baze dobiva se početno bazično
rješenje originalnog problema i s njim se nastavlja simpleks procedurom. Kada je vektor
jednom izišao iz baze on se više u nju ne vraća te se u sljedećim tablicama ne moraju računati
njegove komponente (Babić; 2010; str. 146).
28
Vektor koji ulazi u novu bazu se bira po kriteriju za problem minimuma, tj. traži se
. Vrijednost funkcije cilja može se smanjivati dokle god postoji neka diferencija
koja je pozitivna, tj. optimalno rješenje se postiže u onoj tablici u kojoj je
. Kriterij za izbor vektora koji izlazi iz baze isti je kkao kod problema maksimuma
budući da on osigurava da bazično rješenje bude nenegativno (Babić; 2010; str. 147).
29
5. PRIMJENA PROBLEMA PREHRANE KOD RADNIKA SISAČKE RAFINERIJE
U ovom dijelu diplomskog rada prikazati će se primjer sastavljanja tjednog jelovnika za
radnike sisačke rafinerije primjenom linearnog programiranja uz pomoć računalnog programa
LINDO (eng. Linear Interactive and Discrete Optimizer). To je računalni programski paket
koji se koristi za rješavanje linearnog i nelinearnog programiranja te cjelobrojnog
programiranja. Razvijen je 1980. godine kada je i prilagođen Windows okruženju i grafički
orijentiranim programima. U LINDO se upisuje matematički model koji se zatim rješava
pomoću rješavača. U model se postavlja funkcija cilja koja započinje oznakama min ili max te
uz to dolaze ograničenja koja se u sustav unose pomoću oznaka subject to ili such that.
Svrha ovoga dijela diplomskoga rada je da se primjenom linearnog programiranja isplanira
tjedni jelovnik za muške i ženske radnike sisačke rafinerije, i to onakav jelovnik koji uz
minimalne troškove zadovoljava dnevnu potrebu za nutrijentima. Također je bitno da
prehrana radnika u jednom tjednu bude što više raznolika, jer raznoliki unos hrane utječe i na
zdravstveno stanje osobe.
5.1. Definiranje problema
Potrebno je sastaviti optimalan tjedni jelovnik za radnike sisačke rafinerije. Pri tome se
sastavljaju dva jelovnika, jedan za muške osobe i jedan za ženske osobe. Pojedini jelovnik
ovisi o tome što je u ponudi taj dan od strane kuhinje, a pod jednim jelovnikom se
podrazumijeva jedan obrok kojeg radnici konzumiraju za vrijeme svog radnog vremena. Taj
obrok obuhvaća predjelo, glavno jelo uz salatu i desert.
Pri sastavljanju jelovnika potrebno je voditi računa o cijenama pojedinog jela i dnevnim
nutritivnim potrebama određene skupine ljudi (muški i ženski), kako bi se u konačnici dobili
jelovnici koji uz minimalne troškove zadovoljavaju dnevne životne potrebe za nutrijentima, tj.
da zadovljavaju sva postavljena ograničenja. Cilj sastavljanja tjednih obroka je također i
različiti odabir jela svaki dan, što bi značilo da ono jelo koje je prethodno odabrano kao
optimalno, ne može sljedećih dana ulaziti u meni.
30
S obzirom na dobivene i prikupljene podatke iz kuhinje rafinerije Sisak, u radu će se obraditi
sljedeći nutrijenti: kalorije, masti, bjelančevine i ugljikohidrati. Osim tih dobivenih podataka,
biti će dani i preporučeni dnevni unosi hranjivih tvari prema RDA (Recommended Daily
Allowances) preporukama koji su preuzeti sa službene stranice medicinskog instituta.
Funkcija cilja je jednaka za muške i ženske radnike, dok su pojedina ograničenja, kao što je
količina unosa hranjivih elemenata različita.
5.2. Formuliranje problema
Da bi se jelovnik sastavio potrebno je uzeti u obzir jela koja kuhinja nudi i između kojih će se
vršiti izbor. S obzirom da svaki meni sadrži predjelo, glavno jelo uz salatu i desert, ta jela je
potrebno rasporediti u 4 osnovne skupine:
· Prva skupina – predjelo
· Druga skupina – glavno jelo
· Treća skupina – salata
· Četvrta skupina – desert.
Popis jela, kao i cijene istih, dani su u Prilogu 1. Cijene su dane za svako jelo zasebno u
vrijednostima u kojima se nude radnicima u sisačkoj rafineriji. Koristeći se podacima iz
priloga, mogu se definirati funkcije cilja za sastavljanje:
· Prvog jelovnika (jelovnik za muške odrasle osobe)
· Drugog jelovnika (jelovnik za ženske odrasle osobe).
Funkcija cilja F je cijena za jelovnik:
gdje je cijena i – te vrste jela, a su i – ta jela.
31
Iz tog se prema podacima iz Priloga 1. dobiva funkcija cilja:
Cilj je minimizirati F uz ograničenja za . Ograničenja za muške i ženske radnike
odnose se na preporučene dnevne unose nutrijenata prema RDA preporukama, a prikazani su
u sljedećoj tablici.
Tablica 3. Peporučeni dnevni unosi hranjivih sastojaka za mušku i žensku osobu
Hranjivi
sastojci
PREPORUČENI DNEVNI UNOS NUTRIJENATA
Ženske
osobe
Muške
osobe
Kalorije
(kcal)
1 978 2 204
Bjelančevine
(g)
46 56
Masti
(g)
20 – 35 20 – 35
Ugljikohidrati
(g)
130 130
Izvor: izrada studentice prema stranici Instituta za medicinu:
http://www.iom.edu/~/media/Files/Activity%20Files/Nutrition/DRIs/DRI_Macronutrients.pdf
Tablica prikazuje dnevni unos nutrijenata koji je dovoljan za život odrasloga čovjeka. Pri
tome:
32
· količina kalorija ne smije prelaziti preporučenu vrijednost
· količina bjelančevine mora biti manja ili jednaka preporučenoj vrijednosti
· količina ugljikohidrata je maksimalna i ne smije prelaziti granicu RDA preporuke
· količina masti nije točno definirana prema RDA preporukama s obzirom na njihovu
štetnost, pa je zato dan raspon od minimalne do maksimalne količine unosa koja nije
opasna za ljudsko zdravlje.
Osim ograničenja koja se odnose na dnevne unose nutrijenata, potrebno je postaviti
ograničenja koja dopuštaju da se iz svake skupine jela može izabrati samo jedno jelo. To
znači da se:
· od 11 predjela može se izabrati samo jedno predjelo
· od 12 glavnih jela se može izabrati samo jedno glavno jelo
· od 7 salata se može izabrati samo jedna salata
· od 10 deserata se može izabrati samo jedan desert.
Prema danim ograničenjima i prema podacima iz Priloga 2. koji prikazuju količinu hranjivih
sastojaka u pojedinom jelu, mogu se formulirati ograničenja za sastavljanje jelovnika za
ženske i muške radnike sisačke rafinerije:
1. Relacije ograničenja za ženske radnike sisačke rafinerije
· Preporučeni dnevni unos masti
33
· Preporučeni dnevni unos kalorija
· Preporučeni dnevni unos bjelančevina
· Preporučeni dnevni unos ugljikohidrata
· Od 11 ponuđenih predjela potrebno je izabrati samo jedno predjelo
· Od 12 ponuđenih glavnih jela potrebno je izabrati samo jedno glavno jelo
34
· Od 7 ponuđenih salata potrebno je izabrati samo jednu salatu
· Od 10 deserata potrebno je izabrati samo jedan desert
Nakon što su se formulirala ograničenja i funkcija cilja, ti se podaci unose u radni list
kompjuterskog programa LINDO na sljedeći način:
Slika 5. Unos podataka u radni list programa LINDO za ženske radnice
Izvor: Izrada studentice
Slika prikazuje radni list kompjuterskog programa LINDO u kojemu je unesena funkcija cilja
koju je potrebno minimizirati (min), nakon toga se upisuje naredba koja povezuje funkciju
cilja sa ograničenjima 'subject to'. Poslje unosa te naredbe sljedi unos ograničenja koja su
ranije definirana. Naredba sa kojom se obavezno mora završiti je naredba 'end'. Ukoliko se
zbog cjelobrojnosti varijabli žele uključiti naredbe 'int' ili 'gin', te se naredbe pišu iza naredbe
'end', kao što je i prikazano na slici. Uz naredbe se piše ime varijabli ili ukoliko sve varijable
35
iz linearnog problema mogu (ili moraju) biti cjelobrojne, zbroji se broj varijabli i upiše uz
naredbu. Ovaj problem rada ima četiri varijable: p, x, s i d, te se za cjelobrojnost može pisati
na jedan od sljedeća dva načina:
Pomoću varijabli Pomoću zbroja varijabli
ili
Int p x s d Int 4
U ovom slučaju, kako je vidljivo na slici, cjelobrojnost varijabli je napisana pomoću zbroja
varijabli, odnosno 'Int 4'. Također je kod unošenja podataka potrebno naglasiti da se
decimalni brojevi u program unose sa točkom, a ne sa zarezom, u protivnom program javlja
pogrešku u unošenju podataka.
Na isti način sljedi formuliranje ograničenja i unošenje istih u program za muške radnike
sisačke rafinerije.
2. Relacije ograničenja za muške radnike sisačke rafinerije
· Preporučeni dnevni unos masti
36
· Preporučeni dnevni unos kalorija
· Preporučeni dnevni unos bjelančevina
· Preporučeni dnevni unos ugljikohidrata
· Od 11 ponuđenih predjela potrebno je izabrati samo jedno predjelo
· Od 12 ponuđenih glavnih jela potrebno je izabrati samo jedno glavno jelo
· Od 7 ponuđenih salata potrebno je izabrati samo jednu salatu
37
· Od 10 deserata potrebno je izabrati samo jedan desert
Nakon matematičke formulacije, sljedi unos funkcije cilja i ograničenja u radni list programa
LINDO za muške radnike sisačke rafinerije.
Slika 6.Unos podataka u radni list programa LINDO za muške radnike
Izvor: Izrada studentice
Kao što slika prikazuje, podaci za muške radnike se unose na isti način uz iste naredbe kao i
kod ženskih radnika, samo se postavljena ograničenja razlikuju.
Uz postavljena ograničenja, potrebno je postaviti i uvjet nenegativnosti koji vrijedi i za ženske
i za muške radnike:
38
Nakon što su se matematički formulirala ograničenja i funkcija cilja te je postavljen uvjet
nenegativnosti, podaci su uneseni u radni list računalnog programa LINDO kao što je
prethodno prikazano, sljedi rješavanje problema pomoću računala.
5.3. Rješavanje problema i interpretacija rezultata
Rješavanjem problema pomoću računalnog programa LINDO dobili su se optimalni tjedni
jelovnici koja ulaze u jedan obrok muškog radnika za vrijeme radnog vremena i jedan obrok
ženskog radnika za vrijeme radnog vremena. Odabir upravo toga obroka za radnike znači da
će najmanje troškova izdvojiti za njega, a pri tome će biti zadovoljene dnevne nutritivne
vrijednosti.
1. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za prvi dan u tjednu
Nakon unosa podataka, ograničenja i izračunavanja relacija, rješenje pokazuje da je prvi
optimalan jelovnik jednak za muške i ženske radnike sisačke rafinerije. Sljedeća tablica
prikazuje od kojih jela se sastoji optimalan obrok za prvi dan u tjednu, gdje su dane njegove
komponente i cijena.
Tablica 4. Optimalan dnevni obrok za pravi dan u tjednu za radnike sisačke rafinerije
Juha od
kukuruza
Jota
Grah salata
Kompot od
jabuka
UKUPNO
Cijena 3,50 kn 10 kn 3 kn 3,80 kn 20,30 kn
Bjelančevine 8 g 8 g 10 g 5 g 31 g
Ugljikohidrati 44 g 28 g 28 g 30 g 130 g
Masti 9 g 9 g 8 g 0 g 26 g
Kalorije 260 kcal 110 kcal 220 kcal 185 kcal 775 kcal
Izvor: Izrada studentice prema podacima dobivenim iz Priloga 3. i Priloga 4.
39
Cilj je pri sastavljanju obroka bio minimizirati troškove prehrane poštujući sva ograničenja
vezana za preporučene dnevne unose nutrijenata prema RDA preporukama. Ukupni troškovi
dobivenoga jelovnika za radnike sisačke rafinerije iznose 20.30 kuna, a meni se sastoji od:
· Predjelo – juha od kukuruza
· Glavno jelo – jota
· Salata – grah salata
· Desert - kompot od jabuka.
Ukupne nutritivne vrijednosti obroka su sljedeće:
· Kalorije: 775 kcal
· Mast: 26 g
· Bjelančevine: 31 g
· Ugljikohidrati: 130 g.
U Prilogu 3. i Prilogu 4. su dana izvješća o rješenju prvog optimalnog obroka gdje je također
vidljivo kako su svi zahtjevi prehrane za ženske i muške radnike ispunjeni u postavljenim
granicama. Unos kalorija kroz ovaj meni je duplo niža od dopuštene granice, količina masti se
nalazi na sredini relacije od minimalnog do maksimalnog dopuštenog unosa, bjelančevine su
također manje od dopuštenog unosa, dok su ugljikohidrati točno na granici dopuštenog
dnevnog unosa.
Nakon detaljnog objašnjenja o načinu dobivanja rješenja za prvi obrok u tjednu, na isti način
sljedi dobivanje optimalnih obroka za sljedeće dane u tjednu. Funkcija cilja i ograničenja
ostaju ista, dok će se ponuda jela za druge dane u tjednu razlikovati jer u ponudi neće biti ona
jela koja su prethodno odabrana kao optimalna. Cilj toga je unos raznolike hrane u organizam
radnika tokom tjedna. S obzirom na taj raznoliki unos hrane, moguće je dobivanje rješenja
koja neće u potpunosti zadovoljiti postavljena ograničenja.
40
2. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za drugi dan u tjednu
Podaci za ženske i muške radnike sisačke rafinerije, unose se u radni list programa LINDO za
drugi dan na način kako je prikazano u Prilogu 5. i Prilogu 6., iz čega se dobije optimalan
obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 7. i Prilogu 8.. Sljedeća
tablica prikazuje koja jela ulaze u obrok drugoga dana u tjednu, kolika je njegova cijena i koje
su nutritivne vrijednosti obroka.
Tablica 5. Optimalan dnevni obrok za drugi dan u tjednu
Juha od
mrkve
Pečeni
šaran sa
krumpirom
Salata od
crvenog
kupusa
Voćna
salata
UKUPNO
Cijena 3,80 kn 15 kn 3,30 kn 6,25 kn 28,35 kn
Bjelančevine 5 8 6 4 23
Ugljikohidrati 30 34 8 68 140
Masti 9 4 19 1 33
Kalorije 220 200 230 274 924
Izvor: Izrada studentice
Dobiveni obrok jednak je za ženske i muške radnike. Ukupna cijena ovog optimalnog obroka
za drugi dan u tjednu iznosi 28.35 kuna. Cijena ovog obroka je nešto veća od prvoga obroka
jer su cijene glavnog jela i deserta u ovom obroku veće nego u prvom. Odabir ovog obroka ne
zadovoljava postavljena ograničenja. Kao što je vidljivo u gornjoj tablici iznos ugljikohidrata
je veći za 10 grama nego što bi trebao biti prema RDA preporukama. Ostala ograničenja su u
granicama dopuštenoga.
41
3. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za treći dan u tjednu
Podaci za ženske i muške radnike sisačke rafinerije, unose se u radni list programa LINDO za
treći dan na način kako je prikazano u Prilogu 9. i Prilogu 10., iz čega se dobije optimalan
obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 11. i Prilogu 12.. Za razliku
od prva dva dana gdje su obroci za ženske i za muške osobe jednaki, u trećem danu obroci se
razlikuju i to u odabiru glavnog jela, što će se prikazati sljedećom tablicom.
Tablica 6. Optimalan obrok za treći dan u tjednu
Juha od
poriluka
MUŠKI
Punjeni
svinjski
file
ŽENE
Juneći
gulaš
Salata
od
graška
Kocke
od
maka
UKUPNO
MUŠKI
UKUPNO
ŽENE
Cijena 5 kn 14,40 kn 15 kn 3 kn 6,85 kn 29,25 kn 29,85 kn
Bjelančevine 4 50 29 11 4 69 48
Ugljikohidrati 10 46 68 35 38 129 151
Masti 5 19 9 10 6 40 30
Kalorije 105 580 450 265 220 1170 1040
Izvor: Izrada studentice
Za treći dan obrok za ženske i muške radnike se razlikuje i to u glavnom jelu, što utječe i na
različitost u troškovima koje je potrebno izdvojiti. Obrok za ženske radnice je skuplji nego
obrok za muške radnike i to za 0,60 kuna. S obzirom na preporučeni dnevni unos, obrok ne
zadovoljava postavljena ograničenja. Preporučeni unos kalorija je zadovoljen i sa muške i sa
ženske strane. Količina unosa ugljikohidrata je zadovoljena za muške radnike, a količina
unosa masti za ženske radnice, dok ostala ograničenja nisu zadovoljena.
42
4. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za četvrti dan u tjednu
Podaci za ženske i muške radnike sisačke rafinerije, unose se u radni list programa LINDO za
četvrti dan na način kako je prikazano u Prilogu 13. i Prilogu 14., iz čega se dobije optimalan
obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 15. i Prilogu 16. Sljedećom
tablicom će se prikazati dobiveni optimalan obrok sa svojom cijenom i nutritivnim
vrijednostima za ovaj dan u tjednu.
Tablica 7. Optimalan obrok za četvrti dan u tjednu
Juha od
bundeve
MUŠKI
Juneći
gulaš
ŽENE
Punjeni
svinjski
file
Miješana
Salata
Limun
Kolač
UKUPNO
MUŠKI
UKUPNO
ŽENE
Cijena 4 kn 15 kn 14,40 kn 5 kn 7,50 kn 31,50 kn 30,90 kn
Bjelančevine 6 29 50 5 3 43 64
Ugljikohidrati 20 68 46 14 32 134 112
Masti 14 9 19 5 4 32 42
Kalorije 220 450 580 110 170 950 1080
Izvor: Izrada studentice
Na tablici je vidljivo kako je muški obrok za ovaj dan skuplji od ženskog obroka. Obroci se
razlikuju u odabiru glavnog jela te zato postoji razlika. Odabir ovog obroka za muške radnike
znači da prelaze dopuštene ugljikohidrate, koji su za 4 grama veći od dopuštenog unosa prema
RDA preporukama, dok su ostala ograničenja zadovoljena. Ograničenja za ženske radnice
nisu zadovoljena kod bjelančevina koje su veće od dopuštene vrijednosti, isto kao i masti, dok
su ugljikohidrati i kalorije u dopuštenim granicama i zadovoljavaju ograničenja.
43
5. Optimalan obrok za ženske i muške radnike sisačke rafinerije za peti dan u tjednu
Podaci za ženske i muške radnike sisačke rafinerije, unose se u radni list programa LINDO za
peti dan na način kako je prikazano u Prilogu 17. i Prilogu 18., iz čega se dobije optimalan
obrok za taj dan. Izvješće o dobivenom rješenju dano je u Prilogu 19. i Prilogu 20. Sljedećom
tablicom će se prikazati dobiveni optimalan obrok za ovaj dan u tjednu sa svojom cijenom i
nutritivnim vrijednostima.
Tablica 8. Optimalan obrok za peti dan
MUŠKI
RADNICI
Hladna
salata od
piletine
ŽENSKE
RADNICE
Juha od
kelja
Pileći file
sa keljom
Meksička
salata
Kolač
od
višanja
UKUPNO
MUŠKI
RADNICI
UKUPNO
ŽENSKE
RADNICE
Cijena 12 5 19,30 4,30 9,50 45,10 38,10
Bjelančevine 41 8 6 30 1 78 45
Ugljikohidrati 64 37 28 27 28 147 120
Masti 5 6 5 13 14 37 38
Kalorije 460 220 170 370 110 1110 870
Izvor: Izrada studentice
Tablica prikazuje optimalan obrok za zadnji (peti) dan u tjednu. Cijena obroka je nešto viša,
na što je utjecao odabir raznolike hrane tokom tjedna i ne odabiranje onog jela koja su ranije
izračunata kao optimalna. Obrok za ženske radnice je nešto jeftiniji nego za muške radnike.
Kod ženskih radnica nije zadovoljeno ograničenje vezano za unos masti koja su veća za 3
grama od dopuštenog, dok su ostala ograničenja zadovoljena. Uz to što je za muške cijena
obroka veća, također i ograničenja nisu zadovoljena i prelaze postavljene granice. Nakon
formuliranja tjednog menija, dalje će se dati usporedba dobivenog menija u diplomskom radu
sa menijem kojeg nudi kuhinja Rafinerija Sisak. Sljedeća tablica prikazuje tjedni meni koji je
dobiven u ovom radu.
44
Tablica 9. Dobiveni tjedni meni
PONEDJELJAK
- juha od kukuruza
- jota
- grah salata
- kompot od jabuka
UTORAK
- juha od mrkve
- šaran sa krumpirom
- salata od
crvenogkupusa
- voćna salata
SRIJEDA
- juha od poriluka
- punjeni svinjski file (M)
juneći gulaš (Ž)
- salata od graška
- kocke od maka
MUŠKI
RADNICI
ŽENSKE
RADNICE
Ukupna cijena 20,30 kn 28,35 29,25 kn 28,85 kn
Kalorije 775 kcal 924 1170 kcal 1040 kcal
Masti 26 g 33 40 g 30 g
Bjelančevine 31 g 23 69 g 48 g
Ugljikohidrati 130 g 140 129 g 151 g
ČETVRTAK
- juha od bundeve
- juneći gulaš (M)
punjeni svinjski file (Ž)
- miješana salata
- limun kolač
PETAK
- hladna salata sa piletinom (M)
juha od kelja (Ž)
- pileći file sa keljom
- meksička salata
- kolač od višanja
MUŠKI
RADNICI
ŽENSKE
RADNICE
MUŠKI
RADNICI
ŽENSKE
RADNICE
Ukupna cijena 31,50 kn 30,90 kn 45,10 kn 38,10 kn
Kalorije 950 kcal 1080 kcal 1110 kcal 870 kcal
Masti 32 g 42 g 37 g 38 g
Bjelančevine 43 g 64 g 78 g 45 g
Ugljikohidrati 134 g 112 g 147 g 120 g
Izvor: Izrada studentice
45
Gornja tablica sumira dobiveni tjedni meni u ovome radu. U njoj su kroz dane dana jela koja
minimalno koštaju, iako se vidi da ta cijena kroz dan raste, čemu je uzrok uzimanje raznolike
hrane tokom tjedna. Isto tako neki dani ne zadovoljavaju ograničenja prema RDA
preporukama te ih možemo okarakterizirati kao manje zdrava. Nakon prikaza dobivenog
tjednog menija, sljedi prikaz kroz tablicu menija kojeg nudi sisačka kuhinja. Bitno je
napomenuti da kuhinja nudi svaki dan tkz. 'Dnevnu ponudu' koja košta 19 kuna, što je jeftinije
od bilo kojega menija dobijenog u ovome radu. Međutim, u tu dnevnu ponudu u sisačkoj
kuhinji ne ulazi desert kao što se u radu računalo, pa u nju ulazi predjelo, glavno jelo uz
prilog, a desert se posebno plaća na dnevnu ponudu prema cijeniku koji je dan u Prilogu 1.
Isto tako, taj jedan meni vrijedi i za muške i za ženske radnice, pa tako nema razlike u unosu
nutrijenata.
Tablica 10. Dnevna ponuda sisačke kuhinje za svaki dan
PONEDJELJAK
- juha od mrkve
- pileći file sa keljom
- salata od rajčice
UTORAK
- juha od karfiola
- punjene pljeskavice sa krumpirom
- grah salata
Ukupna cijena 19 kn 19 kn
Kalorije 565 kcal 1800 kcal
Masti 31 g 85 g
Bjelančevine 15 g 144 g
Ugljikohidrati 86 g 120 g
SRIJEDA
- juha od rajčice
- punjena teletina s krupirom
- miješana salata
ČETVRTAK
- juha od poriluka
- kus kus sa povrćem
- meksička salata
PETAK
- juha od krumpira
- juneći gulaš
- salata od crvenog kupusa
Ukupna cijena 19 kn 19 kn 19 kn
Kalorije 1030 kcal 985 kcal 1260 kcal
Masti 30 g 31 g 56 g
Bjelančevine 60 g 51 g 91 g
Ugljikohidrati 75 g 120 g 101 g
Izvor: Izrada studentice
46
U tablici je vidljivo da svaki meni košta jednako, tj. 19 kuna. Također, prema RDA
preporukama, najzdraviji meni je za ponedjeljak jer su sva ograničenja zadovoljena, isto tako i
meni za četvrtak. Ostala tri menija ne zadovoljavaju ograničenja unosa nutrijenata. Ako se
uzme u obzir da na ovu dnevnu ponudu sisačke kuhinje radnici uzimaju još i desert kojima je
cijena dana u Prilogu 1., tada cijena pojedinog menija raste za iznos uzetog deserta. Dobiveni
optimalni dnevni meni za prvi i drugi dan u radu je isplatljiviji za uzeti nego što je dnevna
ponuda u sisačkoj kuhinji, dok su ostali dani podjednaki u troškovima koje je potrebno
izdvojiti za njih.
47
5. ZAKLJUČAK
Linearno programiranje se pojavilo tijekom drugog svjetskog rata te se može reći da je ono
relativno mlada grana matematike. To je metoda koja je svojim razvojem uvelike pomogla u
rješavanju raznih ekonomskih problema i time omogućila poduzećima da posluju efikasnije.
Svoj vrhunac, linearno programiranje, je dosegnulo kada se programiralo i počelo rješavati
računalnim programima, što je omogućilo poduzećima da pomoću računala rješavaju svoje
kompleksne probleme zaliha, proizvodnje, uvoza, izvoza, itd.
Jedan od računalnih programa za rješavanje linearnog problema je program LINDO, koji se
koristio u ovome radu. Pomoću njega je riješen problem prehrane, čiji je cilj bio zadovoljiti
dnevni unos nutritivnih vrijednosti radnika sisačke rafinerije a da se pri tome troškovi svedu
na minimum, odnosno, cilj je bio zadovoljiti zadana ograničenja uz minimizaciju funkcije
cilja. Samo rješavanje i dolaženje do rezultata putem programa LINDO, detaljno je
objašnjeno u radu što može pomoći ostalim korisnicima da i sami svladaju i riješe zadani
problem.
Ovo istraživanje je pokazalo kako jedan radnik u današnjem užurbanom životu sa ne tako
velikim osobnim prihodima, može zadovoljiti svoje dnevne nutritivne potrebe kroz jedan
obrok, a da pri tome ne treba izdvojiti puno novčanih jedinica. Istraživanje je pokazalo da
ukoliko radnici kroz tjedan žele unositi različita jela, onda moraju i više novčanih jedinica
izdvojiti za ta jela. Također, ta različitost utječe i na različiti unos nutrijenata koji ponekad i
nije zadovoljavajući jer neki od menija sadržavaju više grama masti, bjelančevina i
ugljikohidrata nego što je to preporučeno prema RDA vrijednostima.
Brojne su prednosti upotrebe problema prehrane. Jedan od načina kako i zašto se može
koristiti je istražen kroz ovaj rad koji također pokazuje jednostavnost upotrebe i dokazuje da
se taj problem na vrlo jednostavan način može koristiti u poslovanju pojedinog poduzeća koja
obavljaju djelatnosti vezane za prehranu ljudi. Osim izračunavanja optimalne prehrane kod
radnika nekoga poduzeća (kao što je dan primjer u ovome radu), ovaj problem se može
koristiti i kod sastavljanja zdrave prehrane kod djece u vrtiću i školama. Njime se također
može poboljšati prehrana kod drugih skupina ljudi kao što su dijabetičari, vegetarijanci, itd.
48
POPIS LITERATURE
A) Knjige
1. Babić, Z., 2010, Linearno programiranje, Sveučilište u Splitu, Ekonomski fakultet, Split
2. Kreko, B., 1966, Linearno programiranje, Beograd
3. Pavlović, I., 2005, Kvantitativni modeli i metode u poslovnom odlučivanju, Ekonomski
fakultet Sveučilišta u Mostaru, Sveučilište u Dubrovniku, FRAM, Mostar
4. Vandal, A., 1972, Linearno programiranje, Informator ZG, Zagreb
B) Stručni članak
5. Crnjac Milić, D., Martinović M., 2012, Ekonomski vijesnik:Povijesni pregled
implementacije matematike i statistike u ekonomiji, Vol. XXv, No. 2, preuzeto 03. travnja
2015, <http://hrcak.srce.hr/file/139703>
C) Internet izvori
6. Institute of Medicine, n. d., Recommended Daily Allowances, preuzeto 08. svibnja 2015,
<http://www.iom.edu/Global/Search.aspx?q=Recommended+Daily+Allowances&output=
xml_no_dtd&client=iom_frontend&site=iom&proxyreload=1>
7. Lovrić, Lj., 2008, Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje, Ekonomski fakultet
Rijeka, preuzeto 03. travnja 2015, <http://oliver.efri.hr/~kvmet/KMBpredavanja.pdf>
8. Lovrić, Lj., 2008, Metode i modeli za donošenje optimalnih poslovnih odluka, Ekonomski
fakultet Rijeka, preuzeto 03. travnja 2015, http://oliver.efri.hr/~kvmet/UMpredavanja.pdf
9. Yumpu, n. d., Upute za rad sa LINDO programom, preuzeto 08. svibnja,
<https://www.yumpu.com/hr/document/view/25181513/upute-za-rad-sa-lindo-programom-
pbf>
49
POPIS TABLICA
Redni broj Naslov tablice Stranica
1. Početna simpleks tablica 23
2. Opći podaci za problem prehrane 25
3. Peporučeni dnevni unosi hranjivih sastojaka za 31
mušku i žensku osobu
4. Optimalan dnevni obrok za radnike sisačke rafinerije 38
5. Optimalan dnevni obrok za drugi dan u tjednu 40
6. Optimalan obrok za treći dan u tjednu 41
7. Optimalan obrok za četvrti dan u tjednu 42
8. Optimalan obrok za peti dan 43
9. Dobiveni tjedni meni 44
10. Dnevna ponuda sisačke kuhinje za svaki dan 45
50
POPIS SLIKA
Redni broj Naslov slika Stranica
1. Skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu 18
2. Prikaz optimalnog rješenja u koordinatnom sustavu 19
3. Neomeđeni skup mogućih rješenja u koordinatnom sustavu 20
4. Optimalno rješenje u dvije ekstremne točke sa ograničenim skupom 21
5. Unos podataka u radni list programa LINDO za ženske radnice 34
6. Unos podataka u radni list programa LINDO za muške radnike 37
51
Prilog 1. Popis jela po skupinama i njihove cijene
JELA
Cijena porcije jela
određene od strane
ponuđača
Prva skupina:
PREDJELO
Juha od rajčice 4,80 kn
Juha od kukuruza 3,50 kn
Juha od karfiola 4,50 kn
Juha od krumpira 3,50 kn
Juha od špinata 4,50 kn
Juha od poriluka 5 kn
Juha od kelja 5 kn
Juha od bundeve 4 kn
Juha od mrkve 3,80 kn
Hladna salata od morskih
plodova
15 kn
Hladna salata od piletine 12 kn
Druga skupina:
GLAVNO JELO
Pileći ražnjići 17,50 kn
Špagete u umaku od soma 16 kn
Jota 10 kn
Pileći file sa keljom 19,30 kn
Pečeni šaran 15 kn
Ražnjići sa piletinom i
kobasicama
18 kn
Punjene pljeskavice sa
krumpirom
19 kn
Punjeni svinjski file 14,40
Punjena teletina sa
krumpirom
20, 20 kn
Kus – kus sa povrćem 15,50
Ćevapi 18 kn
Juneći gulaš 15 kn
Salata od rajčice 3,80 kn
52
Treća skupina:
SALATE
Miješana salata 5 kn
Salata od crvenog kupusa 3,30 kn
Mediteranska salata 5,25 kn
Grah salata 3 kn
Salata od graška 3 kn
Meksička salata 4,30 kn
Četvrta skupina:
DESERT
Palačinke sa bananama 8 kn
Kesten torta 9 kn
Kolač od višanja 9,50 kn
Kompot od jabuka 3,80 kn
Kolač rigojanči 7,70 kn
Limun kolač 7,50 kn
Voćna salata 6,25 kn
Kocke od maka 6,85 kn
Maskarpone torta 10 kn
Doboš torta 7,50 kn
Izvor: Izrada studentice prema dobivenim podacima od kuhinje sisačke rafinerije
53
Prilog 2. Hranjivi sastojci u porciji pojedinog jela
JELA
HRANJIVI SASTOJCI U JEDNOJ PORCIJI JELA
Kalorije
(Kcal)
Masti
(g)
Bjelančevine
(g)
Ugljikohidrati
(g)
I.
Juha od rajčice 410 8 4 24
Juha od kukuruza 260 9 8 44
Juha od karfiola 670 26 52 62
Juha od krumpira 580 28 56 25
Juha od špinata 490 22 40 23
Juha od poriluka 105 5 4 10
Juha od kelja 220 6 8 37
Juha od bundeve 220 14 6 20
Juha od mrkve 220 9 5 30
Hladna salata od
morskih plodova
500 18 32 58
Hladna salata od
piletine
460 5 41 64
II.
Pileći ražnjići 490 13 37 61
Špagete u umaku od
soma
395 19 30 40
Jota 110 9 8 28
Pileći file sa keljom 170 5 6 28
Pečeni šaran sa
krumpirom
200 4 8 34
Ražnjići sa
piletinom i
kobasicama
170 6 6 27
Punjene pljeskavice
sa krumpirom
910 51 82 30
Punjeni svinjski file 580 19 50 46
Punjena teletina sa
krumpirom
510 17 51 37
54
Kus – kus sa
povrćem
510 13 17 83
Ćevapi 400 15 47 16
Juneći gulaš 450 9 29 68
III.
Salata od rajčice 175 17 4 28
Miješana salata 110 5 5 14
Salata od crvenog
kupusa
230 19 6 8
Mediteranska salata 380 18 33 78
Grah salata 220 8 10 28
Salata od graška 265 10 11 35
Meksička salata 370 13 30 27
IV.
Palačinke sa
bananama
335 6 8 64
Kesten torta 390 28 3 33
Kolač od višanja 110 14 1 28
Kompot od jabuka 185 0 5 30
Kolač rigojanči 175 17 1 4
Limun kolač 170 4 3 32
Voćna salata 274 1 4 68
Kocke od maka 220 6 4 38
Maskarpone torta 290 24 6 14
Doboš torta 335 19 6 37
Izvor: Izrada studentice
55
Prilog 3. Izvješće o dobivenom rješenju problema u programu LINDO za ženske radnice
Izvor: Izrada studentice
56
Prilog 4. Izvješće o dobivenom rješenju problema u programu LINDO za muške radnike
Izvor: Izrada studentice
57
Prilog 5. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
drugog dana u tjednu za ženske radnice
Izvor: Izrada studentice
Prilog 6. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
drugog dana u tjednu za muške radnike
Izvor: Izrada studentice
58
Prilog 7. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za drugi dan optimalnog
obroka ženskih radnica
Izvor: Izrada studentice
59
Prilog 8. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za drugi dan optimalnog
obroka muških radnika
Izvor: Izrada studentice
60
Prilog 9. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
trećeg dana u tjednu za ženske radnice
Izvor: Izrada studentice
Prilog 10. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
trećeg dana u tjednu za muške radnike
Izvor: Izrada studentice
61
Prilog 11. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za treći dan optimalnog
obroka ženskih radnica
Izvor: Izrada studentice
62
Prilog 12. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za treći dan optimalnog
obroka muških radnika
Izvor: Izrada studentice
63
Prilog 13. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
četvrtog dana u tjednu za ženske radnice
Izvor: Izrada studentice
Prilog 14. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
četvrtog dana u tjednu za muške radnike
Izvor: Izrada studentice
64
Prilog 15. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za četvrti dan optimalnog
obroka ženskih radnica
Izvor: Izrada studentice
65
Prilog 16. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za četvrti dan optimalnog
obroka muških radnika
Izvor: Izrada studentice
66
Prilog 17. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
petog dana u tjednu za ženske radnice
Izvor: Izrada studentice
Prilog 18. Unos podataka u radni list programa LINDO za dobivanje optimalnog obroka
petog dana u tjednu za muške radnike
Izvor: Izrada studentice
67
Prilog 19. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za peti dan optimalnog
obroka ženskih radnica
Izvor: Izrada studentice
68
Prilog 20. Izvješće o rješenju u računalnom programu LINDO za peti dan optimalnog
obroka muških radnika
Izvor: Izrada studentice
69