Symmetrische Komponenten der Momentanwerte oder Vektoren der elektrischen Größen

XLV. Band ~{. P. KOVXCS : Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. 99 Heft 2 -- 196o

Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren der elektrischen Gr61~en?

Von

K. P. KovXcs, Budapest

Mit lo Textabbitdungen

(Eingegangen am 25. September I959)

10bers icht . In der Theorie der transienten Vorg~inge in Dreiphasensystemen wird in neuerer Zeit mit ,,Sym- metrischen Komponenten" der Momentanwerte gerechnet. Es wird gezeigt, dab der aus den Momentanwerten der Phasengr613en (Str6me, Spannungen, Flfisse) gebildete Raumvektor, zweckmM3iger zu gebrauchen ist, ersetzt und eriibrigt den Gebrauch der ,,symmetrischen Komponenten" der Momentanwerte, und hat auBer- dem hauptsAchlich in Drehstrommaschinen eine gute iibersichtbare physikalische Bedeutung. An zwei Bei- spielen, und zwar: a) Die scheinbare Zeitkonstante des St~indergleichstromes beim Dreiphasenkurzschlug einer Vollpol Synchronmaschine, b) Beim Schrittschalten yon Asynchronmotoren auffretende Momentver- h~ltnisse wird der Gebrauch des Raumvektors gezeigt.

1. E in le i tung ~

Die klassisch gewordene Methode der symmetrischen Komponenten wird zur L6sung der Probleme der asymmetrischen Betriebsverh/iltnisse yon Netzen und Maschinen weitl~iufig ange- wandt. Seien es station/ire oder transiente (z. B. Kurzschlul3-) Verh/iltnisse, zu deren Berechnung die im Sinne von FORTESCUE aufgefaBten symmetrischen Komponenten herangezogen werden, es besteht immer die Voraussetzung, dab die Str6me, Spannungen bzw. Fltisse in der Zeit sinusf6rmig /indernde Gr6Ben sind. So z.B. kSnnen die subtransienten, transienten oder station~tren Zust/inde der Kurzschlul3str6me nur ohne Beriicksichtigung der freien Gleich- str6me mit dieser Methode berechnet werden. Das Abklingen der Wechselstr6me, oder die freien Gleichstr6me miissen besonders in Betracht gezogen werden. Eben im Zusammenhang mit den transienten Vorg/ingen wurde mit der Anwendung der sog. symmetrischen Komponen- ten der Momentanwerte begonnen, bei welchen die zeitlichen Momentanwerte der einzelnen Phasenstr6me beriicksichtigt werden k6nnen. Die Kenntnis der jeweiligen Momentanwerte vorausgesetzt, ist man nicht mehr an die in der Zeit sinusf6rmig sich/indernden Gr6Ben ge- bunden, sondern kann der zeitliche Verlauf des Stromes, der Spannung oder des Flusses ganz allgemein betrachtet werden. Diese Gr613en k6nnen station/ire oder transiente sein, k6nnen Oberharmonische oder Subharmonische, oder sogar freie Gleichstr6me, Spannungen bzw. Fltisse enthalten. Falls in den bekannten Beziehungen der dreiphasigen symmetrischen Komponenten die komplexen Werte der sich sinusf6rmig ~indernden Phasenstr6me durch die Momentanwerte der Phasenstr6me ersetzt werden, so gelangt man zweifelsohne zu den klassischen symmetrischen Komponenten in Form /ihnlichen Ausdrflcken. Zum Beispiel, die symmetrischen Komponenten des durch die komplexen Werte der Phasenstr6me -,~, ~b und ,~ gekennzeichneten asymmetrischen Dreiphasensystems:

1 '% = S ('~o + '~b + "~0),

1 9 ~1 = S (-~ + a ~b + a~ ~) , (1)

1

i Ich effiille hiermit eine angenehme Pflicht indem ich Herrn Dozenten I. Rkcz (Technische Hochschule, Budapest) ftir seine wertvolle Beihilfe, und fiir die mir zur Verftigung gestellten Berechnungsunterlagen meinen innigsten Dank ausspreche.

Archiv ifir 100 K.P. KOVs Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. Elektrotechnik

oder deren komplexen Momentanwerte:

i (i~ + ib + i~) i0 -- 3

i! = (is + a ib + a 2 i J , (l') 3

i2 =31 (i s -t- a 2ib + aic)

(wo im allgemeinen i = ~ e i ~'* ist)

k6nnen n~imlich durch die Momentanwerte der Phasenstr6me substituiert werden, in welchem Falle man zu folgenden Ausdriicken gelangt"

(~0) =~({~ + ~b + ~c),

1 (i s + a i b + a 2i~) 01) = T

(i2) =y( i~ + @i b + %i).

Aus (2) erh~.lt man auf Grund der da

is ib ic

(2)

bekannten Beziehungen die Momentanwerte i s, i b und i c ,

= (i0) + 01) + 02), | = (io) + a2(il) + a(i2), / (2') -- (i0) + a(il) + a2(i~).

In den Ausdrticken (2) und (2') wurden - - zur Unterscheidung von den komplexen Momentan- werten, z. 13. im Vergleich mit Gleichung (1'), - - die symmetrischen Komponenten der Momen- tanwerte eingeklammert.

Die Systeme (2) bzw. (2') werden tiblicherweise als symmetrische Komponentensysteme der Momentanwerte bezeichnet (siehe z. 13. in neuerer Zeit die Werke von LYON [1] oder HOCHRAINER [2]). Es ist klar ersichtlich, dab w~hrend die Str6mein Beziehungen (1) und (1') sich mit der Kreisfrequenz ~o 1 sinusf6rmig ~tndernde Gr6Ben sind, enthalten die Ausdrficke (2) beztiglich Anderung der Str6me gar keine Bedingung. Demgegeniiber sind - - obzwar die Form~thnlichkeit vollkommen ist - - zwischen den symmetrischen Komponenten laut FORTESCUE und den symmetrischen Komponenten der Momentanwerte wesentliche Unterschiede auf- findbar.

W~hrend n~mlich die dutch Beziehungen (1) oder (1') bestimmten symmetrischen Komponen- ten voneinander verschiedene komplexe Gr613en darstellen, ist der unter (2) angegebene Strom des Nullsystems ein reeller Momentanwert, jene des positiven und negativen Systems sind aber konjugierte komplexe Werte die voneinander nicht unabh~ngig sind. Dies ist leicht einzusehen, wenn man beriicksichtigt, dab die Momentanwerte i,, i b und i c reell sind, und a s der konjugierte komplexe Weft yon a ist. Daher ergibt sich auf Grund yon (2)

(i2) = (i~), (3) wo der konjugierte Wert mit einem Stern bezeichnet ist. Im nachfolgenden wollen wit uns eingehend mit der Frage befassen, ob es sich lohnt und n6tig ist, bei der Beschreibung yon transienten Vorg~ngen in Dreiphasensystemen die unter (2) definierten ,,symmetrischen Komponenten" der Momentanwerte zu gebrauehen, da nebst den im symmetrischen Kompo- nentensystem gegebenen Werte ia, ib, und i c die \u (il) und (i~) voneinander abgeleitete Gr6Ben sind und daher nicht als gesonderte Werte betrachtet werden k6nnen. Zur Unter- suchung der Frage in elektrischen Maschinen wird ein Raumvektor (flit Strom, Spannung oder FluB) definiert, der zur Beschreibung der transienten Vorg~nge geeignet ist, physikalische Bedeutung hat, und in eindeutiger 13eziehung zu den Momentanwerten (des Stromes, der Spannung oder des Flusses) steht. Es wird gezeigt, dab dieser Vektor - - yon eineln Pro- portionalit~tsfaktor abgesehen - - mit der symmetrischen Komponente der Momentanwerte

XLV. Band K.P. KOVACS: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. 101 Hef t 2 - - x96o

des mitlaufenden Systems fibereinstimmt und den Gebrauch der letzteren eriibrigt. Im iibrigen spielte der erw~thnte Raumvektor in verhiillter Form schon in friiheren Zeiten eine Rolle in der Theorie der Wechselstrommaschinen, und in den letzten zwei Jahrzehnten wurde er sowohl in der amerikanischen wie auch in der sowjetischen Literatur des 6fteren angewendet (z. B. u.A. [4]). Es wird der Zusammenhang zwischen den symmetrischen Komponenten und diesem Vektor dargelegt, und an zwei Beispielen seine Anwendung bei den transienten VorgSmgen yon elektrischen Maschinen gezeigt. Nebst den dreiphasigen symmetrisehen Komponenten ist es in vielen F~illen zweckm~igig die zweiphasigen symmetrisehen Kompo- nenten zu gebrauehen (z. B. beim mit Hilfsphase angelassenen Einphasenmotor). Die zweiphasigen symmetrischen Komponenten werden untenstehend angeschrieben, und zwar zuerst im Fortescueschen Sinne, und naehher auch die zweiphasigen symmetrischen Komponenten der Momentanwerte. Es sind:

:2

~ = ~- - i ,% (4) 2

Oder fiir die komplexen Momentanwerte"

i1__ ia+j i r , 2

i2 -- id-- j iq 2

(4')

Schliel31ich fiir die Momentanwerte:

(i~) - ia + iiq 2

G) - i a - - i i e 2

(5)

woraus wieder G) = (i~). (59

2. Durch die in den Sti inderwicklungen der Drehstrommaschine fl ieBenden Str6me hervorgerufene resultierende Erregung

FlieBt in einer Solenoidspule Strom, so wird die Erregung durch das Produkt yon Strom- st/irke und Windungszahl gegeben :

69 = ~v i . (6)

Diese Erregung Mngt in jedem Augenblick yore Momentanwert des Stromes ab, und sei der Vorgang des Stromes welcher auch immer, sie wird mit dem Strom stets zeitlich in Phase und proportional zu ihm sein. Die Erregung hat jedoch nicht nur eine Gr613e, sondern auch eine r~iumliche Richtung, und zwar ist diese die Achsrichtung der Solenoidspule (Bild 1). In dieser Weise kann dem Strom eine r~tumliche Richtung beigelegt werden, und zwar, falls der Strom in den Windungen einer Solenoidspule fliel3t, f~illt die fiiumliche Richtung des Stromes mit der Richtung der Erregung, somit auch mit der fiiumlichen Achse der Solenoidspule zusammen. In diesem Falle kann G1. (6), die far die absoluten zeitlichen Werte richtig ist, in Raumvektoren umschrieben werden, indem sowohl O wie auch i als solche Raumvektoren betrachtet werden, die in Richtung der Solenoidachse zeigen. Dann wird:

@ = w i. (7)

Jede der drei Spulen einer zweipoligen Drehstrommaschine kann als eine Solenoidspule yon besonderer Anordnung betraehtet werden, die 1/ings des Luftspaltes ein Feld von sinus-

Archiv ffir 102 K.P . KovA_cs: Symmetr i sche Komponenten der Momentanwer te , oder Vektoren usw. Elektrotechnik

f6rmiger Verteilung hervorruft (Bild 2). Am Umfang der Maschine sind die drei Phasen- spulen (aa" bb' und co') untergebracht. Jede dieser Spulen ruff je eine r~iumliche Erregung hervor, die in die Achsrichtung der einzelnen Phasenspulen zeigen (0 4, Oh, O~). Diese drei Erregungen bzw. Str6me k6nnen summiert werden, in welchem Fall ein einziger Raumvektor die Gesamtwirkung der in den drei Spulen (Solenoiden) fliel3enden Str6me zeigt. Beztiglich der Str6me wurde keinerlei Bedingung gestellt, diese Str6me k6nnen daher je Phase verschiedene GrSBe, transiente oder station~re Werte haben, Oberharmonische enthalten, usw. Bei tier resultierenden Erregung wurde stets bloB, ihr Momentanwert in Betracht gezogen. Hieraus folgt, dab wenn die Momentanwerte der einzelnen Phasenstr6me bekannt sind, kann der resultierende Strom (Erregung) jederzeit bestimmt werden. Das Summieren der Er- regungen besteht aus der vektoriellen Addition der drei Stromvektoren.

Bfld i, Raumvektor des Stromes.

d ~' ;J b ~ c Bild 2. Stromvektoren Bild 3. Stromvektor der St~inderstr6me.

in der Dreiphasenmaschine.

Wird die komplexe Zahlenebene auI die Ebene der drei Stromvektoren in der Weise gelegt, dab der Ursprung des Koordinatensystems mit dem Stol3punkt der auf die Zahlenebene normalen Maschinenachse, und die Realachse mit der Achse der Phase Q zusammenf~illt, (s. Bild 3), dann k6nnen die Raumvektoren als komplexe Zahlen oder Planvektoren betrachtet werden.

Die Summierung wird auf Grund der Abbildung durch folgende Beziehung gegeben:

i~ i ----- i s + a i b + a~ic, (8)

wo i s, i b und ic die Momentanwerte der in Phasenspulen a, b und c fliel3enden Str6me bedeuten.

Es ist ersichtlich, dab dieser resultierende Strom, vom Faktor--1 abgesehen mit der unter (2) 3

definierten Momentanwertkomponente des mitlaufenden Systems iibereinstimmt. Wie im nachstehenden gezeigt wird, Iohnt es sich, den unter (8) angeschriebenen resultieren-

den Strom (Erregung) in der Form:

i ~ i = ! (i s + a ib + a ~ ic) (9) 3

zu gebrauchen. In dem Falle n~mlich, wenn i s + i b + i C = o, d. h. keine Nullkomponente vorhanden ist, hat man hierdurch den Vorteil, dab die Projektion des Vektors i auf die einzelnen Phasenachsen, den Momentanwert des in der betreffenden Phase flieBenden Stromes gibt. Wenn z. B. Vektor i auf die Achse der Phasenspule (1 (Realachse) projeziert wird, so wird diese Projektion :

Re (i) = ~- i s 2

Oder wenn dieser Vektor in Richtung der Achse der Phasenspule b projeziert wird (was gleich- bedeutend damit ist, dab Vektor a s i auf die Realachse projeziert wird), dann ergibt sich:

Re (a s i) = ~ ( - - ~ + i b - - = i b . (11) 3\ 2

XLV. Band K.P. KovAcs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. 10~ Hef t 2 - - 196o

Der Vektor i bestimmt daher eindeutig die in der St~inderwicklung der Maschine entstehende

resultierende Erregung (~i) , sowiedie Momentanwertederin den einzelnen Phasen flieBenden k X

x- - !

Str6me. Umgekehrt, wenn die Momentanwerte der einzelnen Phasen bekannt sind, so ist hiermit auch der Raumvektor des Stromes (der Erregung) bekannt. Die Anwendung dieses Vektors zeigt sich in der Theorie der Wechselstrommaschinen besonders ntitzlich dadurch, dab er die Phasengr6gen zu einem einzigen Strom zusammenfagt (kurz ,,Strom" genannt) und auch bei ganz allgemeiner und beliebiger Anderung der Phasenstr6me brauchbar ist.

Das bisher Gesagte zusammengefal3t kann festgestellt werden, daft in den Maschinen ein Raumvektor definiert werden kann, der wegen der Symmetriebedingungen der Maschine sich in der auf die Maschinenachse normalen Ebene bewegt und daher in der komplexen Zahlenebene beschrieben werden kann. Im Falle einer Drehstrommaschine stellt der Raum- vektor selbst - - da die einzelnen Komponenten des Vektors Momentanwerte bedeuten -- einen einzigen komplexen Momentanwert dar. Dieser kore- a plexe Momentanwert ist daher ein Vektor, dessen L~nge und Richtung sich mit jedem Augenblick - - in durch die -~nderung der Phasenstr6me bestimmten MaB -- ~indern. ~

Die weiter oben dargelegte Mitkomponente der Momen- tanwerte (s. zweite Gleichung der Beziehungen (2)) betrfigt die H~ilfte des in den Maschinen definierten Raumvektors: *g

i, = 201 ) .

Einen mit der zweiphasigen Mitkomponente der Momen- ~ r tanwerte (s. Beziehung (5)) gleichwertigen Raumvektor Bnd 4. Stromvektor im Zweiphasensyst . . . . erhfilt man, wenn auf die St~indergr6gen die in der Theorie der Wechselstrommaschinen, aber besonders bet der theo%tischen Untersuchung yon Synchron- maschinen tibliche Zerlegung der Lgufer-L~ings- und Querrichtungen (Richtungen d und q) entsprechend angewendet wird (als wenn am Stiinder eine Zweiphasenwicklung vorhanden w~tre). Wird der oben definierte Stromvektor in Komponenten yon Richtung d und q zerlegt (s. Bild 4), erh~ilt man :

i, = i~ + i i~, 02) wo also der vorherigen Darlegung entsprechend die Projektionen in Richtungen d und q dieses Vektors die Momentanwerte der Phasenstr6me geben:

(~ = Re (is) (13) und

i~ = Re (-- i i~) = Im (i,). 04)

Es ist auch ersichtlich, dab - - ~ihnlich wie im Falle des dreiphasigen Raumvektors - - der Wert des zweiphasigen Raumvektors ebenfalls das zweifaehe der zweiphasigen Mitkomponente der Momentanwerte betrfigt:

i, --2(i l) .

Im nachfolgenden wird der Zusammenhang zwischen den im klassischen Sinn (nach FORTESCUE) aufgefaBten symmetrischen Komponenten und dem im Abschnitt 2 besproche- nen Raumvektor er6rtert.

3. Zusammenhang zwischen dem Raumvektor des Stromes (dem Strom) und den symmetr ischen Komponenten

Nehmen wir an, daB in den St~nderwicklungen einer Drehstrommaschine ein asymmetrisches Dreiphasen-Stromsystem fliel3t, dessen komplexer Wert je Phase

~, ~b und ~

sei. Vorl~iufig soll angenommen werden, dab keine Nullkomponente vorhanden ist, d.h.

~ +,% + ~0 = o.

Archly fiir 10~ K.P. Kov~ics : Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. Elektrotechnik

Die Mitkomponente ist: 0.~ ~5c ~i _ ~ + a,% + (15)

3 und deren komplexer Momentanwert :

9 i~ + a ib + a 2 ic (16) 3

,~hnlicherweise ist die Gegenkomponente 't~a + 0- 2 't~b @ a ~c

~2 = , (17) 3

bzw. i~ = ,~ e i~ = i~ + a 2 ib + 0- i~ (18)

3 Nun soll der Wert des im Abschnitt 2 dargelegten Raumvektors untersucht werden, wenn

der St~inder der Maschine mit einem rein mitlaufenden Dreiphasen-Stromsystem gespeist wird. In diesem Fall betdigt der komplexe Momentanwert der drei Phasenstr6me:

ia = i 1, i b : a 2i t , i c= 0.i 1. (19) Die Momentanwerte der einzelnen Phasenstr6me ergeben sich zu:

i~ = Re ( i t ) - il +~ il , } i b = Re(#i l ) = a*i~ +a!~ ,

2

i t=Re(a i r ) - - a i~+a 2i~ 2

(20)

Beziehung (9) ein, erhiilt man: ist = ~ [ i1+ 113 il + 0.32 il + iF+ a 2 i~+2 al iF] , (21)

woraus:

oder in anderer Form: i,1 = it , (22)

is1 = ~1 d~~ 9 (22")

Das heil3t, man ist zu jenem denkwtirdigen, jedoch bekannten Ergebnis gelangt, dab der mit G1. (9) definierte Raumvektor (beziehungsweise die zu seiner Anschreibung gebrauchte komplexe Zahl) und die Mitkomponente gleich groB sind, wenn die Maschine mit rein mit- laufendem Stromsystem gespeist wird, und dab der Raumvektor mit Amplitude ~t in positiver Richtung uml~iuft (Dreherregung). Dies ist tibrigens die genauere Erkl~irung ienes allgemeinen iiblichen Vorgehens, wonach bei den Vektordiagrammen der Maschinen die r~iumlichen und zeitlichen Vektoren miteinander vertauscht, diese gemischt, oft die einen anstatt der anderen - - selbstverst~tndlich mit richtigem Ergebnis - - gebraucht werden k6nnen.

Dieser Umstand bekr~iftigt wiederholt die Richtigkeit jenes Verfahrens, wonach bei der Definition des Stromvektors der Faktor 2/3 gebraucht wurde.

Wird die Maschine mit rein gegenlaufendem Stromsystem gespeist, ergeben sich die komplexen Momentanwerte der Phasenstr6me zu:

i~=i2 ; i b=a i2 ; i~=a ~i~. (23)

Die Momentanwerte der Phasenstr6me ergeben sich

i, ----- Re (i2) -- il + i~ , 2

i b ~- Re (a i~) -- a i2 + a 2 i~ , (24) 2

i c = Re (a 2 i2) -- a~ is + a i* 2

Zur Anschreibung des mit G1. (9) definierten riiumlichen Stromvektors sind aber eben diese Momentanwerte n6tig. Setzt man nun die Werte yon i~, i b, und i c aus G1. (2o) in die

XLV, Band K.P. KovAcs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. 105 Hef t 2 - - 196o

Der Raumvektor wird (aus (24) in (9) substituiert):

i s2= 2--[ !2+a2 i2+c0 i~+3 2 i~+a3 i*+a i~] -2 ' (25)

woraus: , * (x21t "

i, 2 = ~2 : ~2 e-J~ (26)

Man gelangte daher zum bekannten Ergebnis, dab wenn ein rein gegenlaufendes symmetri- sches Dreiphasen-Stromsystem an die Maschine gelegt wird, so ist der Weft des r~iumlichen Stromes oder Erregung der konjugierte komplexe Wert des gegenlaufenden Stromes, und l~tuft im Raum mit Synchrongeschwindigkeit in negativer Richtung urn. Die Speisung mit einem gegenlaufenden Stromsystem ruft das synchrone Umlaufen in negativer Richtung des Drehstromes (Erregung) hervor.

FlieBt im St~tnder der Maschine ein beliebiges asymmetrisches Dreiphasen-Stromsystem, so sind die Wirkungen der Mit- und Gegensysteme zu fiberlagern. Wenn "~1 der mitlaufende, '~2 der gegenlaufende Strom ist, so ergibt sich der resultierende Raumvektor, unter Benutzung der Gln. (22') und (26), zu:

. , = Oe-~ . , . is = tsl -~- Is2 H 1 e i~'t + ~. e -1~ = i I + t~.. (27)

G1. (27) ist tibrigens die Gleichung der elliptischen r~iumlichen Erregung, d. h. wenn der Endpunkt des Raumvektors i, sich an einer Ellipsenbahn bewegt (nicht vollkommenes Dreh- Ield). Ist ,~ = ,~2, entartet sich die Ellipse zu einer Geraden (pulsierende Erregung), weiters je nachdem, dal3 ~2 = o, oder ~1 = o, erh~tlt man ein kreislaufendes Feld in rein positiver oder rein negativer Richtung.

Hier sell bemerkt werden, daft G1. (27) auch darauf hinweist, dab die Anwendung der symmetrischen Komponenten der Momentanwerte auch zu Mil3verst~indnissen fiihren kann. Die im klassischen Sinne genommenen mitlaufenden und gegenlaufenden Komponenten sind n~imlich sowohl in den mitlaufenden wie auch in den gegenlaufenden Komponenten der Momentanwerte enthalten, da die Momentanwerte der Phasenstr6me diese naturgem~tl3 entha[ten. Bei der Methode der klassischen symmetrischen Komponenten mul? t e das asym- metrische System auf symmetrische Komponenten der Mit-Gegen und Null-Systeme zerlegt werden, wogegen bei den symmetrischen Komponenten der Momentanwerte die Zerlegung eigentlich bloft auf zwei Komponenten: auf die Komponenten des Mit- und des Nullsystems erfolgt. In dieser Hinsicht ist es noch erforderlich, sich mit der Frage zu befassen, welchen Einflug die Str/Sme des Nullsystems auI den Wert des Raumvektors haben. Wenn ein Strom des Nullsystems vorhanden ist, der im allgemeinen in der Weise bestimmt wird, dab sein Momentanwert in allen drei Phasen gleich grol3 ist, dann braucht man bezfiglich der Anderung des Nullstromes in der Zeit gar keine Bedingungen stellen. Es sei daher angenommen, dab die Momentanwerte der Phasenstr6me der Reihe nach die folgenden sind:

i~+io, ib+io und i~+i o. Der Raumvektor ist:

woraus

2

i, =7[ ( i~ + io) + a (i~ + i0) + a 2 (i~ + r (28)

i, ----- ~-2 (i~ + a i b + a ~ i~) . (29)

Hieraus folgt, daft es so scheint als ob die Str6me des Nullsystems keine Erregung geben wiirden. Selbstverst~indlich bedeutet dies bei weitem nicht, dab die Str6me des Nullsystems gar keine Erregung in der Maschine hervorrufen. Das obige Ergebnis best~ttigt nur die bekannte Tatsache, daB der Strom des Nullsystems in der Maschine zur Erregung der (der Pol- zahl der Maschine entsprechenden) r/iumlichen Grundharmonischen nicht beitr~igt. Die Str6me des Nullsystems verursachen im Raum eine Erregung yon dreifacher Polzahl (dritte Oberharmonische). Eben deswegen ist die Wirkung der Str6me des Nullsystems besonders in Betracht zu ziehen.

Arch iv t i ir 106 K.P. Kov.~cs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. Elektrotechnik

Dem Stromvektor ~ihnlich werden auch die aus den Momentanwerten der Spannungen und Fltisse abgeleiteten Vektore bestimmt. Dementsprechend ist der Vektor der Spannungen:

2

us = T (us + a ub + a ~ u~ (3o)

und der Vektor der Spulenfltisse: 2

~' = 7- (~s + a ~v~ + a ~ ~c) 9 (30

Es sei bemerkt, dab in elektrischen Maschinen dem FluBvektor ftir sich sprechend, dem Spannungsvektor aber dadurch eine Definition beigelegt werden kann, dab wenn der Vektor der Spannung w~hrend seiner riiumlichen Bewegung in eine mit der Achsenrichtung irgendeiner Phasenspule zusammenfallende Lage kommt, dann ist der Endpunkt dieser Spule auf dem hSchsten Potential gegentiber den Endpunkten der beiden anderen Spulen.

Der Beziehung (27) entsprechend ist der Spannungsvektor im Falle einer, mit einem asymmetrischen, jedoch in der Zeit sinusf6rmig ~ndernden Spannungssystem gespeisten Drehstrommaschine:

U, ---- U 1 + U~, (32 )

wo llx und tt, die komplexen Momentanwerte der mitlaufenden bzw. gegenlaufenden symmetrischen Spannungskomponenten bedeuten. ,~hnlich ist

~, = ~ + ~,. (33) Aus dem bisher gesagten folgt, dab anstatt der mitlaufenden symmetrischen Komponente

der Momentanwerte der resultierende Strom (kurz: Strom) definiert wurde, die Nullkompo- nente ist in gleicher Weise wie bei den normalen symmetrischen Komponenten, abgesondert in Betracht zu ziehen, und schlieBlich wird die gegenlaufende Komponente der Momentan- werte - - als iiberfltissige ~ nicht in Rechnung genommen.

4. Momentanwert der Leistung und des Momentes

Man kann es leicht einsehen, dab wenn das skalare Produkt der Raumvektoren u, und i, gebildet wird, dann erhitlt man eine dem Momentanwert der Maschinenleistung proportionale Gr61]e. Vorl/~ufig solI auch hier angenommen werden, dab keine Nullkomponente vorhanden ist. Da aber die Vektoren u, und i s zugleich in ihrer Bewegungsebene auch durch komplexe Zahlen ausgedriickt werden kSnnen, kann das skalare Produkt auch in komplexer Form angeschrieben werden:

u,. i s ~ Re [u~ isl. (34)

Werden die Werte yon u~ und i s in die rechte Seite der Beziehung (34) gesetzt, erh~lt man:

u,. i s~-Re (% +a 2% +au, )~( i s+a i b +a ~ic) . (35)

Nach Durchfiihrung der Multiplikationen in Beziehung (35) und bei Berticksichtigung, dab I

i s + i b + i~ = o und Re (o) = Re (#) = - - - - , ergibt sich als skalares Produkt : 2

2 U,. i, ~-~- (% i s + % i b + % ic) . (36)

Hieraus erh~lt man den Momentanwert der Leistung:

p= 3-- Re(u;is) =%i a+%i b+u~i c. (37) 2

Falls auch die Nullkomponente vorhanden ist, so ist die G1. (37) noch mit der Leistung 3 u0 i0 zu erg~nzen, datt, und i s keine Gr6Ben des Nullsystems enth/ilt (siehe Beziehung (28) und (29)). *

Aus der Beziehung (37) geht hervor, dab der Momentanwert tier Leistung durch einen Ausdruck yon genau derselben Form geliefert wird, wie im Falle der Berechnung der Leistung

XLV. Band K.P. KOV)iCS : Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. ].07 Hef t 2 - - i96o

im symmetrischen Dreiphasensystem aus den komplexen Werten der Spannung und des Stromes. In diesem Falle wird aus dem komplexen Momentanwert ausgegangen, und dann ist:

p _--_ 3 Re (u * i) = 3- Re [lI* e - i ~1~ ~ d ~ ~] = 3 [1I* ~] . (38) 2 2 2

In diesem Falle gelangt ]edoch der Multiplikator 3 wegen der Summierung tier je Phase gleichen Leistung, und der Teiler 2 wegen dem Quotienten der maximalen und effektiven Werte in die Formel. Die Beziehung (37) weist wieder klar darauf hin, dab die Anwendung der Vektoren u, und i s, bzw. ihrer komplexen Werte tt, und i s, zum Beispiel auch bei der Be- rechnung der Leistung einen beliebigen Strom- und Spannungsvorgang zul~iBt, und ist eben deswegen zur Berechnung der transienten Vorg/tnge ~iul3erst geeignet.

Bei der Aufschreibung des Momentes schreiben wir auf Grund der formellen Analogie der Beziehungen (37) und (38) auch den Ausdruck des Momentes auf. Wie bekannt, erh/ilt man das Moment im Falle einer symmetrischen Dreiphasenspeisung aus der Luftspaltleistung mittels Division durch die synchrone Winkelgeschwindigkeit. Hiernach ergibt sich das Moment, unter Benutzung der Beziehung (38), - - yon den Eisenverlusten wird abgesehen --, ZL I :

oder, da in diesem Falle

M- - -Pz - - 3 Re (11* ,~- -~*R J (39) CO 1 2 s 1

erMlt man aus (39) und (40)" (40)

M = 3 Re [-- i ~* ~3 = A Im [~* ~] = 3 ~ I sin a , (41) 2 2 2

wo ~ der durch die komplexen Gr6gen ~ und ~ gebildete Winkel ist (und zwar positiv, wenn gegeniiber ~ voreilt). Wenn ohne weitere Beweisfiihrung angenommen wird, dab im Falle

Anwendung der Raumvektoren u s, i s und (beziehungsweise bei Anwendung der entsprechenden komptexen Gr6Ben tt S, i s und ~s) ~ihnlich wie bei den Leistungen aueh der Ausdruck des Mo- mentes der Form nach analog sein wird, so wird der Momentanwert des Momentes durch den Ausdruck

m = 3-- Im Ivy; i,] (42) 2

geliefert. Zur vektoriellen Schreibweise zurtickkommend, ergibt sich aus dem Wert der Beziehung (42), dab dieser dem Vektorprodukt yon U s undi s entspricht, so dab der Momentan- wert des Momentes

m = 3-qA X i s (43) "2

ist. Diese Beziehung erweist sich selbstverst~indlich auch bei Ableitung auf Orund der Energie- verh~iltnisse als richtig.

Zusammengefal3t, gelangt man zu dem giinstigen Ergebnis, dab die komplexe Form der Raumvektoren 11 v i s und ~, vollkommen /ihnlich wie die zur Beschreibung der station/iren VerMltnisse angewendeten kornplexen Strom-, Spannungs- und FluBwerte behandelt werden kann. Da die Momentanwerte der elektrischen und magnetischen Kennwerte der einzelnen Phasen durch den Vektor eindeutig bestimmt werde, und umgekehrt, die Momentanwerte pro Phase den Vektor definieren, ihr Gebrauch ist genau so vorteilhaft, wie jener der Vektoren im allgemeinen anstatt der Komponenten. Im nachfolgenden wird der Gebrauch dieses Vektors bei der Er6rterung der transienten Vorg~nge an zwei Beispielen veranschaulicht.

gun~ichst wird der Vorgang des beim KurzsehluB einer Synchronmaschine auftretenden freien St~indergleichstromes einer eingehenden Untersuchung unterworfen, sodann werden in einem zweiten Beispiel die Momentenverh/iltnisse der sogenannten Schrittschaltung der KurzschluB-Asynchronmotoren untersueht.

Arehiv f~r 108 K, P. KovAcs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. E|ektrotechnik

5. Die sche inbare Ze i tkonstante des St i inderg le ichst romes be im Dre iphasenkurzsch luB einer Vo l lpo l -Synchronmasch ine 2

Der Kern des Problems ist jene - - an und ffir sich bekannte Erscheinung, dal3 der bei pl6tzlichen Dreiphasenkurzschlfissen yon Synchronmaschinen im Stander auftretende Gleich- strom kein echter abklingender Gleichstrom ist, sondern sich nebst dem Abklingen auch verdreht, so dab dieser Strom eigentlich ein abklingender Wechselstrom yon /iuBerst kleiner Periodenzahl ist. Dieser Umst'and hat zur Folge, dab bei der Auswertung des Kurzschlul3- St~ndergleichstromes yon Synchronmaschinen aus oszillographischen Aufnahmen der durch G1. (9) definierte i,~ des St~ndergleichstromes nicht nur seine L~nge, sondern auch seine Richtung/~ndert. Deswegen iindern die in Richtung der Phasenachsen fallenden Projektionen dieses Vektors (d. h. Momentanwerte, die in den Oszillogrammen ersichtlich sind) ihren Weft nicht nur im Mal3e des Abklingens, sondern auch in jenem der Verdrehung, ja sogar in den einzelnen Phasen in verschiedenem Sinne je nach der vom L~ufer zur Zeit des Kurzschlusses im Raum eingenommenen Lage. Auf Grund der Oszillogramme kann daher in den einzelnen Phasen nur je eine scheinbare Zeitkonstante gemessen werden und auch diese Zeitkonstanten sind nicht gleich grol3. Im folgenden wird diese scheinbare Zeitkonstante durch Rechnung - - aus den praktischen Daten der Maschine - - bestimmt.

Bild 5. Vollpon~iufer einer Synchronmaschine mit symmetrischen Erreger- und D~impferwicklung.

ruhend tell ~d

s

i~agin~e f

drt~e,d ;magNr

Bild 6. Das L~uferkoordinatensystem.

Es wird eine Drehstrommaschine untersucht, an deren Liiufer zwei Zweiphasen-Wicklungs- systeme (D~mpfer und Erreger, s. Bild 5) angeordnet sind, so dab der L~ufer sowohl in L~ngs- wie auch in Querrichtung in elektrischer und magnetischer Hinsicht vollkommen symmetrisch ist.

Unter Benutzung tier Vektoren der Str6me, Spannungen und Flfisse, ergibt sich die Diffe- rentialgleichung des St~nderkreises zu:

tt, = i s R, + d-~-" (44)

Es ist zweckm/ii3ig, die Gleichungen in synchron umlaufenden Koordinaten aufzuschreiben. Wird die Realachse des umlaufenden Koordinatensystems in Richtung der Erregerspule angenommen und vorausgesetzt, dab der L/~ufer mit der Achse der St/inderphase a (still- stehende Realachse) den jeweiligen Winkel x bildet, erh/ilt man die folgende Transformations- Beziehungen (s. auch Bild 6):

llsL -~ lis e--ix I isL ---- is e--;" (45)

In den Beziehungen (45) werden mit Index L die im umlaufenden Koordinaten angeschriebenen Werte bezeichnet. Aus den Beziehungen (44) und (45) ergibt sich:

U,L e i" = i,r d" R, + d(~sL eix) (46) dt

2 Die Idee der in diesem Abschnitt gebrachten Ausfiihrungen stammt yon Herrn Doz. I. IZ~cz.

XLV. Band K .P . KovAcs: Symmetr ische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. ~09 Heft 2 - - 196o

Nach Durchftihrung des Differenzierens und Reduktion durch e ix erh~ilt man:

d~s L UsL = [sL R, + dt + j c~ ' (47)

Nachdem im folgenden stets das an den L/iufer gebundene Koordinatensystem angewendet wird, kann Index L ohne weiteres fortgelassen werden, nur darf dieser Umstand nicht aul3er acht gelassen werden. Dementsprechend ist die Spannungsglgichung des St/inders (im umlaufenden Koordinatensystem)"

d~ u~ = i s R s + ~y + j o,~ 1 ~'s. (47')

Die Operatorenform der G1. (47') ist"

us - is R, + (p + i o),) ~, - - p ~s(o) (48)

vorausgesetzt, dab man unter LAeLaCE-Transformierter der Funktion die folgende Beziehung versteht :

oo

~[F(t)] = p f e -p t F(I) dr. (49) o

Falls man den Vorgang des Ireien St/indergleichstromes bei einem pl6tzlichen Dreiphasen- kurzschlug zu untersuehen wtinscht, ist es am zweckm~tgigsten in der Weise vorzugehen, dab man den Kurzschlul3 so betrachtet, als ob an die synchron laufende, erregungslose Maschine pl6tzlich, aus einer fremden Stromquelle, die symmetrische Dreiphasenspannung (--tts) an- gelegt wfirde. Den aus der pl6tzlichen Schaltung auf diese Spannung herrfihrenden transienten Str6men werden die vor dieser Zuschaltung bestandenen Str6me tiberlagert. In dieser Hin- sicht bedeutet dies, dab es bezfiglieh der St/~nderstr6me gleichgtiltig ist, ob die der Spannung 1I, entsprechend erregte und mit der synchronen Winkelgeschwindigkeit o) 1 umlaufende Ma- schine am St/inder pl6tzlich kurzgeschlossen wird, oder aber anstatt dessen die erregungslose Maschine mit synchron umlaufenden L/~ufer an die Dreiphasenspannung (--tt~) gelegt wird. Die letztere Weise bietet jedoch den Vorteil, dab die Anfangsbedingung Null ist, d. h. in der Beziehung (48):

Die zu 16sende Gleichung ist daher:

- - l[ s -- i, R + (p + i ~ol) ~,. (48')

Nachdem im weiteren nur die Untersuchung der freien Str6me (und unter diesen besonders der St/indergleichstrom) ftir uns yon Interesse ist, kann man sich auf die L6sung der homogenen Gleichung beschr/inken, die folgende ist:

o - is R~ + (p + / o,,) ~s. (50)

Aus der Theorie der Synehronmaschinen ist es bekannt, dab der StfinderfluB ~s, der yon den St/tnder- und L/iuferstr6men gemeinsam erregt wird, kann mit Hilfe des St/inderstromes atlein und der sogenannten Operator-Induktivit/it ausgedrfickt werden. Demnach ist

~s = is Zd(P) , (51 )

WO

la(p ) = L, l 1 + p (T" o + T'd) + p2 T} r~d 1 + p (rSo + T)0) + f~ ~L-T~, ' (52)

Beztiglich Bedeutung der einzelnen Zeitkonstanten verweisen wir auf die einschl/igige Litera- tur [7J, [lO3.

Wird in G1. (5 2) p ----- ]" o~ substituiert und der ganze Ausdruck mit der synchronen Winkel- geschwindigkeit o) 1 multipliziert, erh/ilt man die auf Frequenz co beztigliche Pendelimpedanz der Maschine.

Archiv L EIekt.rotee.hnik, XLV. Band, 2. Hef t 8

110 K.P. KovKcs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. Archiv Ifir Elektrotechnik

Demnach ist: :~r 1 q- /'r (T;) q- T~) q- (2'r ~ r~ r~ (52,)

~ (] co) ~-~ 1 "xd 1 -+/'~iT-g~ q- T~-~ q- (/" co) 2 r~o r~0

beziehungsweise der Kehrwert dieser Gleichung, die auf Frequenz co beziigliche Pendeladmit- tanz:

' - ~ (i co) = ~ = % - - i B~. (52") g,, (i ~o)

Fails co geniigend groB ist (z. B. co = col, also die synchrone Kreisfrequenz bei einem Wechsel- strom yon 50 Hz), dann ergibt sich aus (52') und (52") mit einer Genauigkeit yon einiger Prozente :

do T~

und (53)

~a bzw. ~a enth~ilt den Wirkwiderstand des St~inders R s nicht. Wird der Wert yon ~a bei der Kreisfrequenz co~. betrachtet, dann ist

3~ = ~- R~, (52"')

wo ~, die KurzschluBimpedanz der Maschine als Dreiphasen-Asynchronmotor bei stillstehender Maschine (s = 1) bedeutet. (s. [8]).

Aus den Beziehungen (5o) und (5 l) erh/ilt man:

o ~ i s[R s + (p + i col) la(lb)] 9 (5o')

Nachdem die eine Wurzel der G1. (5 o') - - vorausgesetzt, dab R~ klein ist - - in erster N~the- rung

ist, und da eben diese Wurzel dem freien Stiindergleichstrom entspricht (ira umlaufenden Koordinatensystem l~iuft sie im negativen Sinn nahezu synchron urn, ist also praktisch still- stehend im Verh~iltnis zum St~inder), kann daher G1. (5o') auf p mit guter N~iherung in der Weise gel6st werden, dab die Substituierung la(p)= la(~ ] o91) gemacht wird. Hiernach erhalt man aus (50'):

Pl -~ R~ J col" (54) la (-- j o~1)

Der Wert des freien St~tnderstromes im umlaufenden Koordinatensystem hat die Form:

i~ = ~.,,.,, d 'a (55)

und im ruhenden Koordinatensystem:

is ei (,o~t + r = ~*r,~x e(p~ + i ,o~) t ei~, , (56)

wo a clef Winkel der Richtung d des Laufers (Achse der Erregerspule) und der Achse der Phasenspule a im Augenblick des Kurzsehlusses ist.

Der yon der Zeit abh~ingige Tell des St~indergleichstromes, mit Beriieksichtigung yon (54), ~indert sich laut

(P l+ io3t= Rs t (57) td (-- i co~)

im ruhenden Koordinatensystem. Zur Berechnung des in G1. (57) vorkommenden Gliedes:

Rs la (-- j col)

XLV. Band K.P. Kov~cs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. 111 Heir 2 - - 196o

wird Z/ihler und Nenner mit (--/" o~1) multipliziert, wonach man zum Ausdruck

R, i o~1 (58) - - i o)1 za (-- i ~ol)

gelangt. Die im Nenner des Ausdruckes (58) vorkommende Impedanz ist, auI die aus Beziehung (52'")

bekannte Weise, mit dem konjugierten komplexen Wert der Kurzschlul3impedanz als Drei- phasen-Asynchronmotor gleich, enth/ilt iedoch den Wirkwiderstand des St/inders nicht, d. h.

- - i ~~ Ze ( - - i ~'~) -- 8,* - - R , . (59)

Schliel31ich ergibt sich aus (57), (58) und (59)'

i ~o, R~ t. (60) (Pl + i ~) t - 8" - - i~,

Es ist ersichtlich, dab die _~nderung in der Zeit des freien St/indergleichstromes einem komplexen Exponenten gem/il3 vor sich geht, dessen Realteil das Abklingen (die Zeitkon- stante), sein Imagin~irteil abet die Winkelverdrehung bedeutet. Der beim KurzschluB der Synchronmaschine auftretende sogenannte ,,Gleichstrom" ist kein echter Gleichstrom, sondern ein abklingender Wechselstrom yon /iul3erst kleiner Periodenzahl. Demgem~il3 kann (60) noch auch in folgender Form angeschrieben werden"

~" ~1 Rs 1 + J %, (61) ~t ~ - - R s Ts

wo T~ die Zeitkonstante des abklingenden freien Stiinder-,,Gleichstromes", und ~Og die Winkel- geschwindigkeit der Verdrehung ist.

I - -~2 =Ga+iBa (62)

ist die Konjugierte der Pendeladmittanz (siehe Formel (52")). Aus (61) und (62) erh/ilt man:

1 - - B e R , co 1

T, (63)

(og -~ G e R s0)1,

oder unter Benutzung der Beziehung (53)"

R s T~.--T'~ Rs [ 1 1 ] me -- x~ TAo r" -- =ra.,, .~,, (64)

und

Aus (64) und (65) ergibt sich:

T , - x~ ,~ n~ " (65)

,] o)o - - - ~ 9 (66) 031 T s T do

Um auch die zahlenm~13igen Verh~iltnisse zu sehen, wird aus den gemessenen Konstanten einer Vollpolmaschine mittlerer Gr6Be mit lamellierteln Lfiufer und guter D~tmpferwicklung ausgegangen. Die Leistungsdaten der untersuchten Maschine sind: 45okVA; cos~v = 0,8; 50 Hz; 3500 V; 74,5 A. Maschinenkonstanten: X~ = 3,3 S'2; R s = 0,35 ~Q

Ts = ..... 3,3 _ = 0,03 sec; T~= O,Ol sec. ; T~. = 0,027 sec. 0,35 9 314

Hieraus ergibt sich:

COg -- 0,03 - 314 O,O1 0,02 = 6,7 see-1 "

8*

Archiv ffir 112 K.P. Kov$.cs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. Elektrotechnik

Das heiBt, der , ,Gle ichstrom" vermindert sich in o,o3 s auf 36,7% seines Ausgangswertes und verdreht sich zugleich um 11,5 ~ Scheinbar ist diese Verdrehung nicht bedeutend, dennoch kann sie bei der Auswertung der Messungen aus Oszillogrammen sehr stSrend auswirken. Die in Richtung der einzelnen Phasenachsen fallende Projektion des Vektors des Sttinder- ,,Gleichstromes" gibt n~mlich die Momentanwerte des ,,Gleichstromes" in der betreffenden Phase. Wird der r~iumliehe Ablauf dieses Stromes dargestellt, gelangt man zu Bild 7. Wie ersichtlich, wurde angenommen, dab im Augenblick des Kurzschlusses die Richtung d des L{tufers mit der Phasenachse a des St~tnders den Winkel a bildet, was auch soviel bedeutet,

(Z

b e

Bild 7. Zur Bestimmung der scheinbaren Zeit- konstante des St~inder-KurzschluBgleichstromes. Verlauf des ,,Stiinder-gleichstromes" bei dreiphasigen KlemmenkurzschluB einer Synchron-

maschine.

dab im Augenblick des Kurzschlusses die rttumliche Lage des Stiinder-,,Gleichstromes" die gleiche ist. Der weitere Ablauf des KurzschluB-St~inder-,,Gleichstromes" nimmt die Form einer unregelm~iBigen Schneekenlinie auf. Wgre dieser ,,Gleichstrom" ein echter Gleichstrom, so bliebe er im Raum stehend und bloB sein Weft wiirde sich der Zeit- konstante T s entsprechend vermindern. In diesem Falle betragen die Werte der PhasenstrSme:

i~g= Re I, gd~e ~ = I,~cos~ e - f ; '

ibg =Re a 2I~xd ~e-G =I~cos(a - -12o ~ r~ , (67)

i~g= Re aI~ge i~e -~'~ = I~cos(a + 12o ~ T~.

Es ist klar, dab aus dem Oszillogramm der einzelnen Phasenstr6me dieselbe Zeitkonstante abgelesen werden sollte. Demgegenfiber erh~tlt man - - wenn sich der ,,Gleichstrom" verdreht - - in jeder Phase verschiedene scheinbare Zeitkonstanten. Wie aus Bild 7 ersichtlich, erscheint die Projektion in Richtung der Phasenachse a(i~g) des ,,Gleichstromes" so, als ob das Abklingen dieses Stromes anstatt mit der tatsitchlichen Zeitkonstante T, mit irgendeiner scheinbaren (auf Phase a beztiglichen) Zeitkonstante T~ erfolge. Auf Grund der Abbildung ist

[ ' I [ +4 i , e=Re I, ge j~e Gei%t =Re I~.d~e " Aus Beziehung (68) erMlt man:

t t

(68)

cos (%t+a) e T , _cosae ~.. (68')

Hieraus ergibt sich, mit kleinen Werten yon r t gerechnet und auf die Logarithmen iibergehend,

t T, = T, t - - T s In (1 - - ~og t tg a) " (69)

SchlieBlich erh~lt man aus (69) bei sehr kleinen Werten von t:

T~ = T, ~ (70) 1 + Tswgtg~

cr ist positiv, wenn er in bezug auf die Phasenachse voreilt. Aus der Beziehung (7 o) kSnnen auch die scheinbaren Zeitkonstanten der ,,GleichstrSme" der Phasen b undc angeschrieben werden :

T b = T, 1 t + T s mg tg (a-- x2o ~ ' (70 ' )

1 + T s COg tg (~ + 12o ~) " (70" )

XLV. Band K .P . Kovkcs : Symmetr i sche Komponenten der Momentanwer te , oder Vektoren usw. 113 Heir 2 - - 196o

Mit den Zahlenwerten der oben beschriebenen Maschine ergibt sich: T s o)~ = o,2, und

r~ = 0,03 ~ (71) 1 + o,2 tga

Es soll besonders hervorgehoben werden, dab a auch einen solchen Wert hat, bei welchem der Nenner der Beziehungen (7o) bzw. (71) den Wert Null erh~lt. In diesem Falle wird:

I + T~oogtga = o, woraus:

I tg a - -

T s w~ '

in welchem Falle T a = oo ist, was bedeutet, dab in Phase a der Weft des ,,Gleichstromes" anfiinglich sich gar nicht iindert. Diese Erscheinung entsteht in der Weise, dab bei einem gr6Beren Winkel als a ---- 9 ~ - - im Falle des gegebenen Zahlenbeispiels bei tg a = - -5 und

lZ

Bild 8. Zur Bestimmung der scheinbaren Zeitkonstaate des St~inder-KurzschluBgleichstromes, Ta ~ cr

Bild 9 (rechts). Die scheinbare Zcitkonstante des Stfinder- KurzschluBgleiehstromes ]Ta! tiber die Winkelstellung des

L~ufers im KurzsehluBaugenblick la].

0,03

is /'/~) .... F~z=O, O3 ~ ~,~< '/81 ~0']

0,01 \~dls i0bI I ~ce ~ \ 101~

0 % 30 r t;0 75 00\ 105 I I i ~ i I. I

180 165150135 120 ~05 901 ~ ~ 101' zO' 0,01 -0,01

O,OZ --0,0~

0,03 -023

O, Ot ~ ~ > I 0 1 p~J "X~al s

O, O5 -025 \

o,~ -o, o6

o,o7 --o, o7 1r I

a = 101 o 20' - - die Projektion des laut Zeitkonstante T s ~indernden Teiles des ,,Gleichstromes" sich aus der Richtung des negativen Maximums gegen Null vermindert, so dab die Anderung positive Richtung aufweist, w~ihrend die Wirkung der Drehung des ,,Gleichstromes" auf die Richtung der Phase a projiziert entgegengesetzt ist (s. Bild 8). Die beiden Bewegungen gleichen sich aus, und wenn der KurzschluB in unserem Beispiel beim Winkel a = 101 ~ 20' eintritt, dann bleibt der Wert der ,,Gleichstrom"-Komponente am Anfang des Kurzschlusses konstant . In Bild 9 ist der Wert T, in Funktion yon 0~ dargestellt. Es ist ersichtlich, dab in unserem Beispiel zwischen den Winkelwerten ~ = 9 ~ und a = 1Ol ~ 20' der Weft der scheinbaren Zeitkonstante negativ ist. Wenn daher der Kurzschlul3 bei einem der obigen a-Werte eintritt, wird sich der Wert des ,,Gleichstromes" der Phase a am Anfang des Kurz- schlusses nicht vermindern, sondern erh6hen. Diese Er.scheinungen sind durch oszillographi-. sche Aufnahmen bestS.tigt.

Zusammenfassend kann festgestellt werden, dab die Anwendung der Vektoren des St~inderstromes (is), der Stttnderspannung (tts) und des Stttnderflusses (~s) auch bei den ganz besonderen Fragen der Kurzschlul3vorgtinge yon Synchronmaschinen ein physikalisch reines und gut verfolgbares Bild gibt, und bei der Beschreibung der transienten Vorg~inge den Gebrauch der symmetrischen Komponenten der Momentanwerte erfibrigt.

Archiv fflr l l~ K. P, Kov~cs: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. Elektrotechnik

6. Beim Schrittschalten von Asynchronmotoren auftretende Momentanverhiiltnisse

Bei gewissen Werkzeugmaschinenantrieben ist es erforderlich, einzelne angetriebene Wellen genau einzustellen, zu welchem Zwecke der K~ifigl~ufermotor langsam gedreht werden mul3. Diesem Zwecke dient die in Bild 1o dargestellte sogenannte Schrittschaltung. Hierbei werden z. B. die Phasen b undc an eine Gleichstromquelle gelegt und die Spannung so gew~ihlt, dab der Strom den Wert des Nennstromes nicht tiberschreite (die Spannung der Gleichstrom-

b

Bild lo. Schrittschaltung eines Asynchronmotors.

quelle ist Ug = 2 Ig 9 Rs). Hiernach wird der Endpunkt der Phase c yon der Gleichstromquelle abgeschaltet und der positive Pol an den Endpunkt der Phase a umgelegt. Nachdem im vorigen Zustand ein durch die resultierende Richtung der Phasenspulen b undc bestimmtes Feld ent- stand, in der zweiten Stufe aber ein in die resultierende Richtung der Phasenspulen b und a fallendes Feld sich herausbildet, erzeugen die beiden Felder tibergehend ein Moment, w~ihrend das vorherige Feld verschwindet und das zweite Feld sich herausbildet.

Sei der Strom im Endzustand des ersten Falles:

=2 [ I~+aI b+a 2 I c]

9 2 -- 3t2 [o+aIg - -a 2Ig] = l~- Ig . (7 2)

Auf Grund yon Bild lo ist n~imlich im station~iren Zustand i b = I b = I~ und i~ = I~ = - - I~.

Wird der StS.nderkreis unterbrochen, ~indert sich im ersten Augenblick der Wert des mit den kurzgeschlossenen Wfndun~en des L~iufers verketteten Flusses nicht. Nachdem dieser Flul3 durch den St~inderstrom I, erhalten wurde, war vor der Umschaltung der mit den StS.nder- spulen verkettete FluB:

~, = I~ Lg. Mit dem L~iufer ist der FluB

w, = z, z.,~ (73)

verkettet. Das ist der Anfangsl~iuferfluB im Augenblick der Umschaltung. Nachdem der SEinderstromkreis unterbrochen wurde, wird im ersten Augenblick nach der

Unterbrechung dieser FIuB yon dem pl6tzlich erscheinenden L~iuferstrom erhalten, d.h. :

woraus

~,(o) = ,% L~ = ,% L,,

L,~

Der durch den Strom ~, erhaltene St~nderfiuB ist:

~s(o) = k ~, L~. (74)

Es wird angenommen, dab die Umschaltung gentigend rasch dazu erfolgt, dab inzwischen sich der Wert yon ~,(o) bzw. ~s(o) nicht/indert.

Wenn man zun~chst den L~ufer nicht laufen 1/il3t, so wird nach der Umsehaltung, am gnde des transienten Vorganges, der Wert des St/inderstromes ~s d6~176 und der St~nder- spannung u s = ,~, R s e j6~176 sein.

Die Differentialgleichung des St~inderstromkreises ist :

d~s (75) ~s Rs gJ 60 ~ = is Rs A I_ d-t-

XLV. Band K. P, KOvAcs: Symmetr i sche Komponenten der Momentanwer te , oder Vektoren usw. 11~ Heft 2 - - 196o

Hieraus, in Form der LAPLACE-Transformierten:

3, R, e i~~176 = i~ R, + p~, - -p~(o) , beziehungsweise: durch Substituierung von

~ = i~ L,z + i, L,,, und

~s(o) = k ,% L,o, erh~ilt man :

.~, [ Rs eJ6~176 .-[- k p L,,,] = i ~ ( R, + p L,~) + i, p L,,, .

(76 )

(77)

Aus den p-Funktionen yon i s und i, kann man mit Hilfe des Entwicklungssatzes die Zeit- funktionen yon i s und i~ gewinnen.

Besonders einfach gestalten sich die Beziehungen, wenn die Widerstlinde bzw. Induktivi- t~iten im Stiinder und Lfiufer als gleich groB angenommen werden

(L a=L r=L~+L und R~---- R r= R)-

In diesem Falle sind die Zeitfunktionen yon i s und i,:

i =.,~ s ei6oO+ 1_1 (k__ei6oO) e L,,,+Fa t 1 (k+ei6OO) e Z t "2. 2

(82) R t 1 (k + e i6~176 e L i ,= ~, (k - -d 6~176 e L,~+Ld +_d

Den Magnetisierungsstrom erh~ilt man als die Summe yon i s und i :

i , ,= i s+ i , =(~, i6~176 (k - -d s~176 L,~+Lar . (83)

Bei der Berechnung des Momentes wird aus der Beziehui~g (42) ausgegangen, wonach

m .~ 3 Im [~* is] ~ ~ ~s x i,. (42') 2 2

Wird der Wert ~s = i, L d + f, L,~ eingesetzf, dann ist

m =--3 L~i, i, 2

Die Differentialg}eichung des L~uferstromkreises ist:

o = i, R, + dG d~- (78)

oder in LAPLACE-Transformierten Form:

o ---- i, K + P ~, - - P ~,(o), (79) woraus : mit

~, = i L,~ + i,L,

und unter Benutzung der Beziehung (74), mit Substituierung yon

G(o) = .% r erhfilt man :

,% p L,,, = i, p L,, + t, (G + pL , ) . (80)

Aus den Gln. (77) und (8o) ergibt sich der Wert yon i s und if zu:

is = ~s (Rsd6~176 + p k Lm) (R r + p L r ) -p ' L~ (81a) (R s q_ p Ld ) (R r + P Lr ) _pz L2 n

i, = ~, R, (, - - d6o ~ + p (La-- k Lm) ;b L,~. (81 b) (Rs + p Ld) (R r+ p Lr)--p2 L~

Archiv fur 116 K.P. Kovs Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder \:ektoren usw. Etektrotechnik

und schlieBlich nachdem

ergibt sich

beziehungsweise in komplexer Form:

i, = i,,, - - i,

m=~L~im 2

(84)

Werden die Werte von i~ und i, aus der Beziehung (82) bzw. (83) in die Beziehung (84') eingesetzt und die schnell abklingenden Glieder auger acht gelassen, dann erh~ilt man fttr das Moment die Beziehung:

R

m =3 L~,I~ kr ~+~ (85) 2 4

Wenn man aus Beziehung (7 2) in Betracht zieht, dab

2

dann ergibt sich fiir das Moment der Wert:

oder in anderer Form:

R kl/7 m = - I~L , . e L, , ,+Le (86) 2

R ~o 1 t

m = k ~/77. ~ x,,, ~-x,,+ x~ (86'1 2 fOl

Zuletzt soli im Falle eines Motors von etwa lo kW das Moment gesch~itzt werden.

Es soil das durch die Formel (86') bestimmte Moment mit dem Nennmoment dieses Motors in Verh~iltnis gestellt werden.

Das Nennmoment betr~igt : o~

Mn =- 3 Un ~n ~In COS ~O, , 2 fO x

wo fiir diese Maschinengr613e der Wert V,~ cos % ~ o,75 gesetzt werden kann. Wird die Beziehung (86') des Momentes durch M,~ dividiert, ergibt sich:

m q xo+R~ M. 3" o,75\ U. /\Z./e (87)

Es sei I~ -~ I , und die S~ittigung in Betracht gezogen Ig X , , = 1, 4 U , , dann erMlt man

mit den Werten k = o,97 und x , , + xd _ o,8 s:

m __ o ,97 ~ 1,4 e--*'~5 t = 1,o4 e . . . . 5t (88) Mn 3 " 0,75

Es ist ersichtlich, dab bei der Schrittschaltung in unserem Beispiel - - beim Umschalten yon einer Phase auf die andere - - rund das Nennmoment entsteht, das sich mit der Zeit- konstante T ---- o,8 s vermindert.

Falls sich der L~ufer unter Wirkung des Momentes verdreht, ~indern sich die Berechnungen. Die Zeit zwischen zwei Umschaltungen soll in der N~ihe des Zeitwertes T = 0,8 s gew~ihlt werden, damit bei den aneinander folgenden Umschaltungen das h6chste Moment sich aus- bilden k6nne.

Es geht auch aus diesem Beispiel klar hervor, dab die Anwendung der Raumvektoren i,, tt, und ~, die Einfilhrung der symmetrischen Komponenten der Momentanwerte eriibrigt und zur L6sung yon besonderen transienten Problemen auch in dem Falle geeignet ist, wenn

(72')

m = 3 L,~ Im [i~* is]. (84') 2

XLV. Band K.P. KOVACS: Symmetrische Komponenten der Momentanwerte, oder Vektoren usw. 117 Heft 2 -- 196o

die Stromkreise schon gar keine Wechselstr6me mehr enthalten. Es soll besonders hervorgehoben werden, dab die in Maschinen physikalisch definierten Vektoren bei der Er6rterung der transienten Vorg/inge yon Dreiphasennetzen und Transformatoren genau so gebraucht werden k6nnen, wie bei Maschinen, nur kann in diesem Fall vonder Deutung als Raumvektor abgesehen werden, mit der Bemerkung, dab der Weft dieses Vektors auf der bereits bekannten Grundlage in Form einer einzigen komplexen Zahl die reellen Momentanwerte der Phasen- str6me (Spannungen, Fliisse) eindeutig bestimmt. Der Gebrauch dieses Vektors erweist sich daher als ein ebenso nfitzlicher Behelf bei der Untersuchung von Dreiphasennetzen, wie im Falle yon Maschinen. Die Str6me des Nullsystems sind auch in diesem Falle (der Methode der symmetrischen Komponenten entsprechend) abgesondert in Betracht zu ziehen.

Zusammenfassung

Die symmetrische Mit- und Gegenkomponenten der Strommomentanwerte 01) und 02) (s. Gleichungssystem (2)) sind konjugiert komplexe Werte und sind daher von einander nicht unabh~ingig. Anstatt dieser: Mit- und Gegenkomponenten der Momentanwerte ist es zweck- m~13iger einen einzigen i, Raumvektor (s. Zusammenhang (9)) zu definieren und gebrauchen, (wo i, gleich 2 (il)), well die Projektionen des i~ Vektors auf die Richtung der einzelnen Phasen- wicklungsachsen der Dreiphasenmaschine unmittelbar die Momentanwerte der einzelnen Phasenstr6me ergeben und umgekehrt, die Momentanwerte der einzelnen Phasenstr6me bestimmen eindeutig den Raumvektor.

Die Berechnung mit der Strom-Spannung- und FluBvektoren fiihren uns auch ffir transiente Vorg~inge zu Spannungs-, Leistungs- und Momentengleichungen von derselben Form wie im gew6hnten, symmetrischen, station~iren dreiphasigen Falle. Die Nullgr6Ben miissen abgesondert, - - wie allgemein bei der Methode der symmetrischen Komponenten - - in Betracht gezogen werden. Wit haben die Anwendung des Raumvektors an zwei Beispielen gezeigt.

Im ersten Beispiel haben wir die scheinbare Zeitkonstante bei einer Dreiphasen-Voll- polmaschine beim pl6tzlichen Kurzschlug des St~inders fiir den freien ,,Gleichstrom" bestimmt. Wir fanden, dal3 abh/ingig yon L~iuferstellung im Kurzschlul3augenblick der freie ,,Gleichstrom" in den einzelnen Phasenwicklungen verschiedene scheinbare Zeitkonstanten aufweist und kann unendlich und gar auch negativ sein.

Im zweiten Beispiel haben wir die Mornentenverh~tltnisse der Schrittschaltung eines Asynchronmotors betrachtet und Iestgestellt, dab bei dieser Schaltung das Drehmoment in die GrSBe des Nennmomentes ffillt.

Literatur [1] LYON, SV. V.: Transient Analysis of Alternating Current Machinery. New-York: J. \Villey 1954. -

[2] HOCHRAINER, A. : Symmetrische Komponenten in Drehstromsystemen. Berlin, G6ttingen, Heidelberg: Springer 1957. - - [3] SZENDY, K. : H~romf~zisu v~Itakoz6Aramu rendszer transzform~ci6js elm61ete. Doktori disszer- t~ci6. (Theorie der Transformation des Dreiphasen-Wechselstromsystems. Doktor-Dissertation) Budapest 1953 (Ungarisch). - - [4] I-~a3oBCHllfI, E. H. : Ilepexo/Im, ie pemnMi, i B aCIIHXpOHItI,IX MamnHax npn BHalO- qeHHHX H HOpOTHHX 3aMbIHaHHHX, ~3IeHTpHqeCTBO, 1947, W.~ 6. (KAzovszKIJ, E. J.: Transiente Vor- g~tnge in Asynchronmaschinen.) Elektritschestvo x947, Nr. 6. }:[HH0-TpIIHIIlIt~II~, A. A. : I-{ CTaTbe E. ~I. I-~a3OBCHOrO: IlepexoAHble pemtlMbI B aCHHXpOHHBIX MaIIIHHaX IIpIl BHJIIOqeHIIHX H HOpOTHHX 3aMMl~aliI~gX. ~JIeHTpHqeCTBO~ 1948. ~.~ 10, (JANKO-TRINICZKIJ, A. A.: Bemerkungen zum Artikel KAZOVSZKIJ: Transiente VorgSnge in Asynchronmaschinen.) Elektritschestvo 1948, Nr. lO.) [53 KovAcs- RAcz: VMtakoz6~ramu g6pek tranziens folyamatai. (Transiente Vorg~inge in Wechselstrommaschinen.) Budapest: Akad6miai Kind6 1954 (Ungarisch). [6] RI3DENBERG, R.: Elektrische Ausgleichsvorggnge. Berlin: Springer 1926. [7] LAIBLE, TH.: Die Theorie der Synchronmaschine im nichtstation~iren Betrieb. Berlin, G6ttingen, Heidelberg: Springer 1952. [8] RLcz, I.: Transiente Vorg~inge in Doppelk~ifigmotoren. I, lI. Periodica Polytechnica, Ser. Elektrotechnik, Vol. I. Nr. 3 u. Vol. 2, Nr. 2. Budapest.- [9] RXcz, I.: Aszinkron motorok tranziens folyamatai (Transiente Vorg~inge in Asynchronmaschinen). Doktordisserta- tion. Budapest: 1958 (Ungarisch). - - [lO] Kovs Transiente Vorg~inge in ~Vechselstrommaschinen. Budapest: Akademie-Verlag 1959. -- [11] KovAcs, K. P: Pulsierendes Moment im asymmetrischen Betrieb yon ~Vechselstrommaschinen. Arch. f. Elektrotechn. Bd. 42 (1955) 2. Heft.

Dr. Ing. Habil. K. P. KovAcs, Kraftwerk Trust, Budapest I, Iskola u 13

Documents

Symmetrische Komponenten der Momentanwerte oder Vektoren der elektrischen Größen