LAVOISIER, 2002 LAVOISIER 1 .l, rue Lavoisier 75008 Paris

Serveur web: www.hern1es-science.com

ISBN 2-7462-0464-9

Catalogage Electre-Bibliographie Lamnabhi-Lagarl"igue, Franoise*Rouchon, Pierre (sous la direction de) Systmes non linaires Paris, Herms Science Publications, 2002 ISBN 2-7462-0464-9 RAl'vIEAU: commande non linaire DEWEY: 629.5 : Autres branches de l'art de l'ingnieur.

Commande automatique, Robotique

Le Code de lio\ proprit intellecluelle n'autorisanl, aux termes de l'arlic\e L. 122-5, d'une part, cjc les "copies ou reproductions strictement rserves l'usage priv du copiste ct non des-tilles une utilisation collective" et, d'aulI"e PLu-t, que les analyses et les COUlics citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute reprsentation ou reproduction inlgrale, ou pal"tiellc, f'ite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (arlicle L 122-4), Celte reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, constituerait donc une conlrefaon sanctionne par les artcles L. 335-2 et suivanls uu Code de la proprit intellectuelle.

LAVOISIER, 2002 LAVOISIER 1 .l, rue Lavoisier 75008 Paris

Serveur web: www.hern1es-science.com

ISBN 2-7462-0464-9

Catalogage Electre-Bibliographie Lamnabhi-Lagarl"igue, Franoise*Rouchon, Pierre (sous la direction de) Systmes non linaires Paris, Herms Science Publications, 2002 ISBN 2-7462-0464-9 RAl'vIEAU: commande non linaire DEWEY: 629.5 : Autres branches de l'art de l'ingnieur.

Commande automatique, Robotique

Le Code de lio\ proprit intellecluelle n'autorisanl, aux termes de l'arlic\e L. 122-5, d'une part, cjc les "copies ou reproductions strictement rserves l'usage priv du copiste ct non des-tilles une utilisation collective" et, d'aulI"e PLu-t, que les analyses et les COUlics citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute reprsentation ou reproduction inlgrale, ou pal"tiellc, f'ite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (arlicle L 122-4), Celte reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, constituerait donc une conlrefaon sanctionne par les artcles L. 335-2 et suivanls uu Code de la proprit intellectuelle.

Systmes non linaires

sous la directio11 de

Franoise Lamnabhi-Lagarrigue Pierre Rouchon

Systmes non linaires

sous la directio11 de

Fralloise LalTIllablli-Lagarriglle Pierre R01ICll01l

~Il C'~C5 cience -l'lIh 1 ..... '11 1 1'"''''''_

Il a t tir de cet ollvrage 20 exe/1lplaires hors COl1llllerce rSell's

at/x membres du comit scielltiflqlle. aux alllellrs et il l'diteur

l1tlll1rots de 1 il 20

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Systmes non linaires sous la direction de Fra11oise Lanmablzi-Lagarrigllc et Pierre Roue/wll

fait partie de la srie SYSTMES AUTOIVIATlSS dirige par Claude Foulard

TRAIT IC2 INFORMATION - COMMANDE - COMMUNICATION sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson

Le trait Information, Comnlande, Comnlunication rpond au besoin de disposer d'un CllscTIlble complet des connaissances et mthodes ncessaires la lllatrise des systmes technologiques.

Conu volontairement dans un esprit d'change disciplinaire, le trait Te2 est l'tat de l'arl dans les dOlllaines suivants retenus par le comit scientifique:

Rseaux ct llcOlllS Traitement du signal et de l'image InFormatique et systnlCS d'information Systmes automatiss Productique

Chaque ouvrage prsente aussi bien les aspects fondanlentaux qu'exprimentaux. Une classification des diffrents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index dtaill orientent le lecteur vers ses points d'intrl immdiats: celui-ci dispose ainsi d\m guide pour ses rllexions ou pour ses choix.

Les savoirs, thOIies et nlthodes rassembls dans chaque ouvrage ont t Cl10isis pour leur pertinence dans l'avance des connaissances ou pour la qualit des rsultats obtenus dans le cas d'exprimentaUons relles.

Systlnes 11011 lil1aires sous la direction de Franoise La111llabhi-Lagarrigllc et Pierre ROlie/101l

fait parLie de la srie SYSTJ\IIES AUTOMATISS par Claude Foulard

TRAIT IC2 INFORMATTON - COMMANDE COMMUNICATION sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson

Le trait Information, Comm.ande, Comnluncation rpond au besoin de dispose14 d'un ensenlble complet des connaissances et mlhodes ncessaires la nlatrise des systmes technologiques.

Conu volontairement dans un esprit disciplinaire, le lrait TC2 est l'tat de l'art dans les domaines suivants relenus par le comit scientifique:

Rseaux et tlcoms Traitement du signal ei de l'image InFormatique ei systmes d'information Systmes automatiss Producti que

Chaque ouvrage prsente aussi bien les aspects fondanlentaux qu'exprimentaux. Une classification des diffrents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index dtaill orientent le lecteur vers ses points d'intrt immdiats: celui-ci dispose ainsi d'un guide pour ses rilexions ou pour ses choix.

Les th01ies et ll1thodes rassem bls dans chaque ouvrage ont t choisis pour leur pertinence dans l'avance des connaissances ou pour la qualit des rsultats obtenus dans le cas d'exprimentations relles.

Liste des auteurs

Tarek AHrl/lED-Au Ecole nationale suplieure des ingnieurs des tudes el techniques d'armenlcnt Brest

Gilles Duc Suplec Gif-sur-Yvette

Didier DUMUR Suplec Gi f-sur-Yvette

Fabienne FLORET-PONTET Suplec Gif-sur-Yvetle

Hassan l-lAMMOURI LAGEP Universit Claude Bernard Lyon

Franoise LAMNABHT-LAGARIUGUE Suplec Gi f-SUl' Yvette

Jean-Claude MARQUES LAGEr Universit Claude Bernard Lyon

Claude MOOG IRCCyN Nantes

Pierre ROUCI-ION Ecole nationale suprieure des mines de Paris

Nicolas SEUBE Ecole nationale suprieure des ingnieurs des tudes ei techniques d'armenlcnt Brest

Liste des auteurs

Tarde AHrvlED-Au Ecole nationale suplieure des ingnieurs des tudes el techniques d'armenlent Brest

Gilles Duc Suplec

Gif~s ur-Yvette

Didier DUMUR Suplec Gi f-sm":.. Yvette

Fabienne FLORET-PONTET Suplec Gif-sUl":.. Yvette

Hassan HAMJVlOURl LAGEP Universit Claude Bernard Lyon

Franoise LAMNABHT-LAGARIUGUE Suplec Gif-sur-Yvette

Jean-Claude MARQUS LAGEP Universit Claude Bernard Lyon

Claude MOOG IRCCyN Nantes

Pierre ROUCHON Ecole nationale suprieure des mines de Paris

Nicolas SEUBE Ecole nationale suprieure des ingnieurs des tudes et techniques d'armenlent Brest

Table des matires

Avant-propos ......................... .

Chapitre 1. Mthodes hases sur les techniques linaires Gilles Duc el Didier DUMUR

1.1. lntroduction, .... 1.2. Identification et commande linaires d'un systme non linaire

1.2.1. Recherche d'un modle linaire .. ... 1.2.1.1. Squence binaire pseudo-alatoire. 1.2.1.2. Prtraitement des donnes ..... 1.2.1.3. Algorithme des moindres carrs ..

1.2.2. Mthodologie de la commande prdictive gnralise . 1.2.2.1. Dfinition du modle numrique . ........ . 1.2.2.2. Prdicteur optimal ................. . 1.2.2.3. Dfinition et minimisation du critre quadratique 1.2.2.4. Synthse du rgulateur RST polynomial quivalent 1.2.2.5. Choix des paramtres de rglage . .... .

1.2.3. Commande prdictive cascade vitesse-position d'un moteur asynchrone ................ .

1.2.3.1. Structure du banc d'essai ......... . 1.2.3.2. Modle linaire identifi de la machine asynchrone 1.2.3.3. Rsultats exprimentaux .... .

1.2.4. Conclusion partielle .......... . 1.3. Techniques LPY appliques la commande d'un systme non linaire .......... .

1.3.1. Systmes et correcteurs LPY ... . l.3.2. Systmes et correcteurs quasi LPY 1.3.3. Prsenlation de l'exemple. 1.3.4. Synthse du correcteur 1.3.5. Analyse du correcteur. 1.3.6. Conclusion ...... .

13

15

15 16 16 16 18 19 21 21 22 22 22 23

24 24 25 26 28

28 28 30 31 32 36 37

Tab 1 e des matires

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . .......... .

Chapitre 1. Mthodes bases sur les techniques linaires Gilles Duc et Didier DUMUR

1.1. Introduclion. . . . . 1.1. Identification et commande linaires d'un systme non linaire

1.2.1. Recherche d'un modle linaire . . ... 1.2.1.1. Squence binaire pseudo-alatoire . 1.2.1.2. Prtratement des donnes ..... 1.2.1.3. Algorithme des moindres carrs ..

1.2.2. Mthodologie de la commande prdiclive gnralise . . 1.2.2.1. Dfinition du modle numrique ......... . 1.2.2.2. Prdicteur optimal ................. . 1.2.2.3. Dfinition et minimisation du critre quadratique 1.2.2.4. Synthse du rgulateur RST polynomial quivalent 1.2.2.5. Chox des paramtres de rglage ..... .

1.2.3. Commande prdictive cascade vitesse-position d'un moteur asynchrone ................ .

1.2.3.1. Structure du banc d' essai . . . . . . . . . . 1.2.3.2. Modle linaire identifi de la machine asynchrone 1.2.3.3. Rsultats exprimentaux .... .

1.2.4. Conclusion partielle . . . . . . . . .. . 1.3. Techniques LPV appliques II la commande d'un syslme non linaire .......... .

1.3.1. Systmes et correcteurs LPV ... . 1.3.2. Systmes et correcteurs quasi LPV 1.3.3. Prsentation de l'exemple. 1.3.4. Synthse du correcteur 1.3.5. Analyse du correcteur. 1.3.6. Concluson ...... .

13

15

15 16 16 16 18 19 21 21 22 21 22 23

24 24 25 26 28

28 28 30 31 32 36 37

10 Systmes non linaires

Chapitre 2. Inversion et linarisation Claude MOOG

2.1. Introduction.

41

41 2.2. Inversion ... . . . . . 42

2.2. L Structure l'infini 42 2.2.2. AlgOlithme d'inversion 43 2.2.3. Inversibilit. . . . . . 47 2.2.4. Dynamique des zros . 48

2.3. Linarisation entre-sortie . 49 2.3.1. Formulation du problme 49 2.3.2. Cas monosortie . . . . . . 49 2.3.3. Cas 1l1ultisortie . . . . . . 51 2.3.4. Linarisation entre-sorte par retour dynamique de sortie: cas monosortie . . . . 53 2.3.5. Exemple ... 62 2.3.6. Robot sauteur. 63

2.4. Dcouplage. . . . . 68 2.4.1. Dcouplage par bouclage statique rgulier 69 2.4.2. Dcouplage par bouclage statique rgulier sur]' tat 70

2.5. Linarisation entre-tat. . . . . . . . . . . . . . . 71 2.5.1. Linari~ation par bouclage statique sur l'tat. . . . . 71

2.5.1.1. Formulation du problme. . . . . . . . . . . . . 71 2.5.1.2. Solution au problme de linarisation entre-tat 72

2.5,2. Linarisation par bouclage dynamique sur l'tat . . . . 77 2.5.2.1. Formulation du problme. . . . . . . . . . . . . . 77 2.5.2.2. Solution du problme de linarisation dynamique 78

2.6. Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Chapitre 3. Observateurs de systmes non linaires 81 Hassan }-IAMMOURI et Jean-Claude MARQUS

3.1. Introduction .............. . 81 3.2. Observation des systmes linaires temps nvariants . . . 82

3.2. J. Observation des systmes linaires temps continus 82 3.2.2. Observateurs des systmes linaires temps discrets 85

3.3. Observabilit des systmes non linaires et rappels mathmatiques 86 3.3.1. Quelques notions sur l'observabiHt . . . . . 86 3.3.2. Quelques rappels mathmatiques. . . . . . . 89

3.4. Observation des systmes affines en j'tal modu]o une injection de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.1. Observateurs pour les systmes affines en r tat modulo une injection de sonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2. Linarisation modulo une injection de sortie . . . . . . . 93 3.4.3. Linarisation temps-variant modulo une injection de sortie 94 1A.4. Annlicatiolls . . . . . . 97

10 Systmes non linaires

Chapitre 2. Inversion et linarisation Claude MOOG

2.1. Introduction.

41

41 2.2. Inversion ... . . . . . 42

2.2. L Structure l'infini 42 2.2.2. AlgOlithme d'inversion 43 2.2.3. Inversibilit. . . . . . 47 2.2.4. Dynamique des zros . 48

2.3. Linarisation entre-sortie . 49 2.3.1. Formulation du problme 49 2.3.2. Cas monosortie . . . . . . 49 2.3.3. Cas 1l1ultisortie . . . . . . 51 2.3.4. Linarisation entre-sorte par retour dynamique de sortie: cas monosortie . . . . 53 2.3.5. Exemple ... 62 2.3.6. Robot sauteur. 63

2.4. Dcouplage. . . . . 68 2.4.1. Dcouplage par bouclage statique rgulier 69 2.4.2. Dcouplage par bouclage statique rgulier sur]' tat 70

2.5. Linarisation entre-tat. . . . . . . . . . . . . . . 71 2.5.1. Linari~ation par bouclage statique sur l'tat. . . . . 71

2.5.1.1. Formulation du problme. . . . . . . . . . . . . 71 2.5.1.2. Solution au problme de linarisation entre-tat 72

2.5,2. Linarisation par bouclage dynamique sur l'tat . . . . 77 2.5.2.1. Formulation du problme. . . . . . . . . . . . . . 77 2.5.2.2. Solution du problme de linarisation dynamique 78

2.6. Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Chapitre 3. Observateurs de systmes non linaires 81 Hassan }-IAMMOURI et Jean-Claude MARQUS

3.1. Introduction .............. . 81 3.2. Observation des systmes linaires temps nvariants . . . 82

3.2. J. Observation des systmes linaires temps continus 82 3.2.2. Observateurs des systmes linaires temps discrets 85

3.3. Observabilit des systmes non linaires et rappels mathmatiques 86 3.3.1. Quelques notions sur l'observabiHt . . . . . 86 3.3.2. Quelques rappels mathmatiques. . . . . . . 89

3.4. Observation des systmes affines en j'tal modu]o une injection de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.1. Observateurs pour les systmes affines en r tat modulo une injection de sonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2. Linarisation modulo une injection de sortie . . . . . . . 93 3.4.3. Linarisation temps-variant modulo une injection de sortie 94 1A.4. Annlicatiolls . . . . . . 97

Tahle des matires II

3.5. Observation des systmes uniformment observables 100 3.5.1. Observabilit uniforme . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5.1.1. Systmes afllnes en rentre ........ 104 3.5.1.2. Une extension au cas non affine en l'entre. 106

3.5.2. Observateurs ~I grand gain. . . . . 106 3.5.2.1. Cas l11onosortie ................ 106 3.5.2.2. Extension au cas multisortie . . . . . . . . . 109

3.6. Quelques exemples d'application de l'observateur grand gain 3.6.1. Exemple ....... . 3.6.2. Rsultats de simulation

115 115 117

3.6.3. Exemple du bioracteur 118 3.6.4. Rsultats de simulation 122

3.7. Bibliographie. . . . . . . . . . 122

Chapitre 4. Observation et observateurs-contrleurs par modes glissants 125 Tard.: AHMED-Au et Nicolas SEUBE

4.1. Observateurs glissants monosurface 126 4.2. Observateurs glissants multisurfaces . . . . 127 4.3. Observateur glissant et commande robuste 131

4.3.1. Synthse de l'observateur glissant. . 131 4.3.2. Synthse de la commande par modes glissants 135

4.3.2.1. Changement de coordonnes et surface de glissement. 135 4.3.2.2. Synthse du contrleur . . . . . 137

4.3.3. Application un robot manipulateur . 139 4.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Chapitre 5. Identification des systmes non linaires Fabienne FLORET-PONTET el Franoise LAivlNABHI-LAGARRIGUE

5.1. lntroduction .. 5.2. Prliminaires .

5.2.1. Exemples 5.2.1.1. Pendule - Cas multivariable 5.2.1.2. Cas monovmiable ..... .

5.2.2. Identil-1abilit ........... . 5.2.2. J. Identil-1abilit globale dans le cas linaire 5.1.2.2. Identifiabilit globale dans le cas non linaire 5.2.2.3. Test ddentiljabilit par rexemple .

5.2.3. Moindres carrs .................. . 5.2.3.1. Algorithme .................. . 5.2.3.2. Application l'exemple monovariable [5.2] en boucle ouverte ............. .

5.2.4. Mthodes bases sur l'erreur de sortie. 5.2.4.1. Identification en boucle ouverte 5.2.4.2. Identification en boucle ferme ..

... , .... 143

143 146 146 146 147 147 147 148 149 151 151

151 151 151 153

'n,bIc des matires 1 1

3.5. Observation des systmes uniformment observables 100 3.5.1. Observabilit uniforme . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5.1.1. Systmes afllnes en rentre ........ 104 3.5.1.2. Une extension au cas nOI1 affine en l'entre. 106

3.5.2. Observateurs il grand gain. . . . . 106 3.5.2.1. Cas monosortie ................ 106 3.5.2.2. Extension au cas multisortie . . . . . . . . . 109

3.6. Quelques d'application de J'observateur grand gain 115 3.6.1. Exemple ......... 115 3.6.2. Rsultats de simulation . 117 3.6.3. Exemple du bioracleur . 118 3.6.4. Rsultats de simulation 122

3.7. Bibliographie. . . . . . . . . . 122

Chapitre 4. Observation et observateurs-contrleurs par modes glissants 125 Tarek AHMED-ALI et Nicolas SEUBE

4.1. Observateurs l1lonosurface 126 4.2. Observateurs glissants mulLisurfaces . . . . 127 4.3. Observateur et commande robuste 131

4.3.1. Synthse de l'observateur glissant . . 131 4.3.2. Synthse de la commande par modes glissants l35

4.3.2.1. Changement de coordonnes et surface de glissement. 135 4.3.2.2. Synthse du contrleur . . . . . 137

4.3.3. Application il un robot manipulateur. 139 4.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Chapitre 5. Identification des systmes non linaires Fubienne FLORET-PONTET el Franoise LAMNABHI-LAGARRIGUE

5.1. lntroduction .. 5.2. Prliminaires .

5.2.1. Exemples 5.2.1.1. Pendule Cas multivariable 5.2.1.2. Cas monov::niable ..... .

5.2.2. Identil"iabilit ........... . 5.2.2.1. Identifiabilit globule dans le cas linaire 5.2.2.2. Identifiabilit globule dans le cas non linaire 5.2.2.3. Test ddentifiabilit par r exemple.

5.2.3. Moindres carrs ., ................ . 5.2.3.1. Algorithme .................. . 5.2.3.2. Application l'exemple 1l10novariable [5.2] en boucle ouverte ............. .

5.2.4. Mthodes bases sur l'erreur de sortie. 5.2.4.1. Tdentification en boucle ouverte 5.2.4.2. Identification en boucle ferme ..

143

143 146 146 146 147 147 147 148 149 151 151

151 152 152 153

12 Systemes 11011 linaires

5.2.4.3. Application l'exemple monovariable [5.2] en boucle ferme ................. 154

5.3. ldentilkation-stmcture variable en boucle ouverte 154 5.3.1. Description des systmes tudis. 154 5.3.2. Cas monovariable . . . . . . . . . . 155

5.3.2.1. Algorithme . . . . . . . . . . . 155 5.3.2.2. Exemple - Cas monovariable . 157

5.3.3. Cas multivariable sous la forme normale 157 5.3.3.l. Algorithme. . . . . . . . . . . . . . 157 5.3.3.2. Exemple sur le pendule en boucle ouverte 159

5.3.4. Cas ll1ultivarinble gnral . . . . . . . . . . . 160 5.4. Identification-structure variable en boucle ferme 161

5.4.1. Descrplion des systmes tudis. 161 5.4.2. Mthode d'identification indirecte 162

5.4.1.1. f) est suppos connu . . 162 . 5.4.1.1. fJ est suppos inconnu. . . 163

5.4.3. Exemples en boucle ferme. . . 165 5.4.3. L Pendule en boucle ferme. 165 5.4.3.1. Cas monovariable en boucle ferme 166

5.5. Analyse de robustesse . . . . . . . . . . . . . . 166 5.5.1. Condition de lJlafching .......... 166 5.5.2. Perturbations paramtriques variant dans fe temps ] 67

5.5.2.1. Prl minaires . . . . . . . . . 167 5.5.1.2. Analyse de robustesse. . . . 167

5.5.3. Exemple sur le cas monovariable . 169 5.6. Simulations - Etude comparative. . . . 170

5.6.1. Cas multivmiable (pendule) - Identification base sur la thorie de la structure variable .......... 170

5.6.1.1. En boucle ouverte, identification directe . 170 5.6.1.2. En boucle ferme. identification indirecte. 170

5.6.2. Etude comparative Cas l11onovaIiable . . . . . 173 5.6.2.1. Prliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.6.2.2. Comparaison en boude ouverte avec les moindres calTs 1.73 5.6.2.3. Comparaison avec les mthodes bases sur J'erreur de sortie - Boude ferme. 175

5.7. Conclusion . . 178 5.8. Bibliographie. 179

Index . ........ . 181

12 Systemes 11011 linaires

5.2.4.3. Application l'exemple monovariable [5.2] en boucle ferme ................. 154

5.3. ldentilkation-stmcture variable en boucle ouverte 154 5.3.1. Description des systmes tudis. 154 5.3.2. Cas monovariable . . . . . . . . . . 155

5.3.2.1. Algorithme . . . . . . . . . . . 155 5.3.2.2. Exemple - Cas monovariable . 157

5.3.3. Cas multivariable sous la forme normale 157 5.3.3.l. Algorithme. . . . . . . . . . . . . . 157 5.3.3.2. Exemple sur le pendule en boucle ouverte 159

5.3.4. Cas ll1ultivarinble gnral . . . . . . . . . . . 160 5.4. Identification-structure variable en boucle ferme 161

5.4.1. Descrplion des systmes tudis. 161 5.4.2. Mthode d'identification indirecte 162

5.4.1.1. f) est suppos connu . . 162 . 5.4.1.1. fJ est suppos inconnu. . . 163

5.4.3. Exemples en boucle ferme. . . 165 5.4.3. L Pendule en boucle ferme. 165 5.4.3.1. Cas monovariable en boucle ferme 166

5.5. Analyse de robustesse . . . . . . . . . . . . . . 166 5.5.1. Condition de lJlafching .......... 166 5.5.2. Perturbations paramtriques variant dans fe temps ] 67

5.5.2.1. Prl minaires . . . . . . . . . 167 5.5.1.2. Analyse de robustesse. . . . 167

5.5.3. Exemple sur le cas monovariable . 169 5.6. Simulations - Etude comparative. . . . 170

5.6.1. Cas multivmiable (pendule) - Identification base sur la thorie de la structure variable .......... 170

5.6.1.1. En boucle ouverte, identification directe . 170 5.6.1.2. En boucle ferme. identification indirecte. 170

5.6.2. Etude comparative Cas l11onovaIiable . . . . . 173 5.6.2.1. Prliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.6.2.2. Comparaison en boude ouverte avec les moindres calTs 1.73 5.6.2.3. Comparaison avec les mthodes bases sur J'erreur de sortie - Boude ferme. 175

5.7. Conclusion . . 178 5.8. Bibliographie. 179

Index . ........ . 181

Avant-propos

Ce volume est le premier d'une srie de deux ouvrages consacrs l'automatique non linaire pour les systmes de dimension finie. Nous avons volontairement restreint l'expos aux systmes continus gouvcms par des quations diffrentielles ordinaires. Dans bien des cas, des rsultats quivalents existent pour les systmes discrets.

Plus on regarde vers Je futur, plus les opportunits de nouvelles applications et les avances de la commande des systmes 11011 linaires sont nombreuses. Les nouvelles mthodes, de plus en plus performantes pour capter, calculer. cOl11muniquer, inimagi-nables il y a vingt ans, ne cessent d'tre amliores, et crent ainsi un environnement trs riche avec une norme quantit de donnes. Face il toutes ces nouvelles techno-logies, la commande des systmes non linaires, qui intgre les contraintes physiques du systme, son environnement variable et les diverses interactions, a Ull rle de plus en plus important il jouer afin de construire des bouclages optimaux, robustes et per-formants, L'objectif de ces deux livres est d'expliciter quelques mthodologies ct de les illustrer sur des applications issues de plusieurs domaines camille l'arospatial. la robotique, l'lectronique, l'lectrotechnique ou encore la biologie.

Le premier chapitre montre sur deux cas prcis comment utiliser des techniques linaires pour contrler certains systmes non linaires (linarisation et idenlilkation locale avec des techniques prdictives, systmes linaires avec paramtres variant dans le temps et synthse du contrleur avec des techniques LMI (Lilll'ar Ma/rh' Incquo-li/ics). L'objectif de ce chapitre est de montrer sans tre exhaustif que des techniques linaires correctement matrises peuvent tre utilises avec succs sur certains sys-tmes non linaires.

Le second chapitre aborde une classe importante e techniques non linaires mainte-nant classiques et souvent utiles pour les systmes continus: le dcouplage, J'inversion et la linarisation. Ces mthodes utilisent le langage de la gomtrie diffrentielle pour construire des bouclages (statique ou dynamique, en tat ou en sanie) pour rendre le comportement du systme 11011 linaire de part aussi proche que possible de celui d'un

Avant -propos

Ce volume est le premier d'une srie de deux ouvrages consacrs il r automatique non linaire pour les de dimension finie. Nous avons volontairement restreint l'expos aux systmes continus gouvems par des quations diffrentielles ordinaires. Dans bien des cas, des rsultats quivalents existent pour les systmes discrets.

Plus on regarde vers le futur, plus les opportunits de nouvelles applications et les avnces de la commande des systlTles non linaires sont nombreuses. Les nouvelles mthodes, de plus en plus perfOI11Ulntes pour capter, calculer. cOl11muniquer, inimagi-nables il y a vingt ans, ne cessent d'tre amliores, et crent ainsi un environnement trs riche avec une norme quantit de donnes. Face toutes ces nouvelles techno-logies, la commande des systmes non linaires, qui intgre les contraintes physiques du systme, son environnement variable et les diverses interactions, a Uil rle de plus en plus important tl jouer afin de construire des bDuclages optimaux, robustes et per-formants. L'objectif de ces deux livres est d'expliciter quelques mthodologies et de les illustrer sur des applications issues de plusieurs domaines comme l'arospatial. la robotique, l'lectronique, rlectrotec1mique ou encore la biologie.

Le premier chapitre montre sur deux cas prcis comment utiliser des techniques linaires pour contrler certains syslmes non linaires (linarisation et identification locale avec des techniques prdictives, systmes linaires avec paramtres variant dans le temps et synthse du contrleur avec des techniques LMI (Linear Malre Inequa-lilies). L" objectif de ce chapitre est de montrer sans tre exhaustif que des techniques linaires correctement mat.rises peuvent tre utitises avec succs sur certains sys-tmel\ non linaires.

Le second chapitre aborde une classe importante de techniques non linaires mainte-nant classiques et souvent utiles pour les systmes continus: le dcouplage, l'inversion et la linnrisation. Ces mthodes utilisent le langage de la gomtrie diffrcnticlle pour construire des bouclages (statique ou dynamique, en tat ou en sonie) pour rendre le comportement du systme non linaire de dpart aussi proche que possible de celui d"un

]4 Systmes non linaires

systme linaire dcoupl. Il s' agit essenteHement de techniques qui consistenl, aprs une analyse prcise de la structure entre-sortie. il compenser par Iecdback certaines non-I i nari ts.

Les trois derniers chapitres abordent un sujet bien moins dvelopp mais aussi nettement plus difficile, celui des observateurs et de l'identification. Le chapitre 4 pr-sente, aprs avoir montrer les subtilits lies il la notion d'observabilit en 110n linaire, quelques techniques pour synthtiser des observateurs avec preuve de convergence. Ces techniques utilisent le langage de la gomtrie diffrentielle (comme pour le chapitre 3).

Le chapitre 5 porle sur les observateurs par mode glissant d'une classe spcillque de systmes. Cette mthode peut tre vue comme duale de celle de la commande par mode glissant.

Enfin, le demier chapitre aborde l'identification avec deux aspects: les critres d'identjfil.1bilit: la synthse d'algorithme cstimanl des paramtres en boucle ouverte et en boucle ferme. Ici encore les rsultats ne traitent pas le cas gnral (comme dans les deux chapitres prcdents) mais montrent comment s'y prendre lorsque Je systme dpend linairement des paramtres avec une mesure complte de J'tat (ces techniques sont rapprocher de celles de la commande adaptative qui est l'objet d'un volume

Le second volume consacr l'automatique non linaire aborde lu modlisation pour le contrle et deux techniques non linares : la stabilisation par des mthodes d'nergie (Lyapounov), la planificaton de trajectoires avec les systmes diffrentiel-lement plals.

Nous avons dlibrment laiss de ct tout ce qui touche au contrle optimal et au principe du maximum de Pontryaguine, lhmes abords dans d'autres volumes de cette collection.

EnHn, nOlis ne traitons pas la commande non linaire des systmes gouverns par des quations aux drives partielles avec contrle frontire. C' est un sujet trs difficile. Des rsultats rcents sur des exemples significatifs (Euler, Navier-Stokes, Schrodinger. .. ) montrent que le domaine est en plein dveloppement.

Pierre Rouer-ION Franoise LAMNABHI-LAGARRTGUE

]4 Systmes non linaires

systme linaire dcoupl. Il s' agit essenteHement de techniques qui consistenl, aprs une analyse prcise de la structure entre-sortie. il compenser par Iecdback certaines non-I i nari ts.

Les trois derniers chapitres abordent un sujet bien moins dvelopp mais aussi nettement plus difficile, celui des observateurs et de l'identification. Le chapitre 4 pr-sente, aprs avoir montrer les subtilits lies il la notion d'observabilit en 110n linaire, quelques techniques pour synthtiser des observateurs avec preuve de convergence. Ces techniques utilisent le langage de la gomtrie diffrentielle (comme pour le chapitre 3).

Le chapitre 5 porle sur les observateurs par mode glissant d'une classe spcillque de systmes. Cette mthode peut tre vue comme duale de celle de la commande par mode glissant.

Enfin, le demier chapitre aborde l'identification avec deux aspects: les critres d'identjfil.1bilit: la synthse d'algorithme cstimanl des paramtres en boucle ouverte et en boucle ferme. Ici encore les rsultats ne traitent pas le cas gnral (comme dans les deux chapitres prcdents) mais montrent comment s'y prendre lorsque Je systme dpend linairement des paramtres avec une mesure complte de J'tat (ces techniques sont rapprocher de celles de la commande adaptative qui est l'objet d'un volume

Le second volume consacr l'automatique non linaire aborde lu modlisation pour le contrle et deux techniques non linares : la stabilisation par des mthodes d'nergie (Lyapounov), la planificaton de trajectoires avec les systmes diffrentiel-lement plals.

Nous avons dlibrment laiss de ct tout ce qui touche au contrle optimal et au principe du maximum de Pontryaguine, lhmes abords dans d'autres volumes de cette collection.

EnHn, nOlis ne traitons pas la commande non linaire des systmes gouverns par des quations aux drives partielles avec contrle frontire. C' est un sujet trs difficile. Des rsultats rcents sur des exemples significatifs (Euler, Navier-Stokes, Schrodinger. .. ) montrent que le domaine est en plein dveloppement.

Pierre Rouer-ION Franoise LAMNABHI-LAGARRTGUE

Chapitre 1

Mthodes bases sur les techniques linaires

1.1. Introduction

La plupart des processus sonlmodliss, au dpart, par des quations diffrentielles non linaires, ce qui semble de prime abord exclure j'utilisation de techniques linaires. Mais, dans deux cas au 111oins, il est possible de se raccrocher ces techniques. qui ont

j~1il]a preuve de leur cmcacit : -lorsque l'on connat la trajectoire suivre (qui peut tre simplement de rguler la

sonie sur une valeur constante) et que l'on sait (ou que 1'on suppose) que le systme s'cartera peu de cette trajectoire, un modle linaire tangent il celte trajectoire peut tre utilis, dtermin par exemple par une mthode d'identification linaire, de manire concevoir ensuite un COITCctCUf par les mthodes linaires. Celles-ci donnent au minimum une garantie cie stabilit dans un voisinage Je la trajectoire et, cn pratique, les rsultats obtenus sont en gnral satisfaisants si J'on ne s'en

Jo Systmes non linaires

La section 1.2 ci-dessous envisage la premire approche en se basant sur l'exemple de l'identification et de la commande cascade vitesse-position d'une machine asyn-chrone. La section 1.3 aborde ensuite la deuxime approche, partir l'exemple d'un pilote automatique pour un missile au comportement forlement non linaire.

1.2. Identification et commande linaires d'un systme non linaire

Cette section a pour but d'illustrer sur un processus complexe non linaire les possibilits offertes par une technique de commande 1inaire, la commande prdictive. La mise en uvre de ceLLe est base avant tout sur la connaissance d'un modle linaire de ce processus complexe, identifi pur des techniques linaires classiques. Aprs avor rappel brivement l'enchanement identification du systme puis synthse prdictive, cette mthodologie esl app1ique il la commande cascade vitesse-position de la machine asynchrone.

1.2.1. Recherche d'ml modle li1laire

La mise en quation d'un processus complexe non linaire conduit souvent, lorsque la modlisation est possible, tl des quations diffrentielles non linaires d'ordre parfois lev. L'ensemble s'avre alors inexploitable pour la synthse d'une loi de commande. Une des stratgies possibles consiste ds lors il dvelopper des mthodes d'identifi-cation exprimentale du systme non linaire, de faon laborer un modle linaire simplifi, reprsentatif du comportement du systme pour un point de fonctionnement donn. Toute loi de commande linaire peut ensuite tre envisage en se basant sur ce modle identifi. Les points suivants ont pour but d'examiner une approche d'identifi-cation explimentale adapte au contexte industriel.

1.2.1.1, Squence biliaire pselldo-alatoire

Une dmarche classique en identification [L.IU 87J stipule gue l'obtention d'un modle identifi refltant le plus fidlement possible le comporlement du systme ncessite que ce systme soit sollicit par une entre relativement riche, de faon exciter le plus grand nombre de modes propres. Le meilleur signal candidat est alors le bruit blanc, malheureusement non dterministe.

Une squence binaire pseudo-alatoire est un signal dtenlliniste destin appro-cher une ralisation d'un bruit blanc. C' est une squence de nombres valant A, p1io~ dique. de priode M et dont la fonction d'rllltocorrlation se caractrise graphiquement par la figure 1.1.

Informatiquel11ent, elle est gnre il partir d'un registre il dcalage. Considrons donc un registre dcalage Il tages, boucl par un additionneur modulo '2. comme indiqu I1gure 1.'2.

Jo Systmes non linaires

La section 1.2 ci-dessous envisage la premire approche en se basant sur l'exemple de l'identification et de la commande cascade vitesse-position d'une machine asyn-chrone. La section 1.3 aborde ensuite la deuxime approche, partir l'exemple d'un pilote automatique pour un missile au comportement forlement non linaire.

1.2. Identification et commande linaires d'un systme non linaire

Cette section a pour but d'illustrer sur un processus complexe non linaire les possibilits offertes par une technique de commande 1inaire, la commande prdictive. La mise en uvre de ceLLe est base avant tout sur la connaissance d'un modle linaire de ce processus complexe, identifi pur des techniques linaires classiques. Aprs avor rappel brivement l'enchanement identification du systme puis synthse prdictive, cette mthodologie esl app1ique il la commande cascade vitesse-position de la machine asynchrone.

1.2.1. Recherche d'ml modle li1laire

La mise en quation d'un processus complexe non linaire conduit souvent, lorsque la modlisation est possible, tl des quations diffrentielles non linaires d'ordre parfois lev. L'ensemble s'avre alors inexploitable pour la synthse d'une loi de commande. Une des stratgies possibles consiste ds lors il dvelopper des mthodes d'identifi-cation exprimentale du systme non linaire, de faon laborer un modle linaire simplifi, reprsentatif du comportement du systme pour un point de fonctionnement donn. Toute loi de commande linaire peut ensuite tre envisage en se basant sur ce modle identifi. Les points suivants ont pour but d'examiner une approche d'identifi-cation explimentale adapte au contexte industriel.

1.2.1.1, Squence biliaire pselldo-alatoire

Une dmarche classique en identification [L.IU 87J stipule gue l'obtention d'un modle identifi refltant le plus fidlement possible le comporlement du systme ncessite que ce systme soit sollicit par une entre relativement riche, de faon exciter le plus grand nombre de modes propres. Le meilleur signal candidat est alors le bruit blanc, malheureusement non dterministe.

Une squence binaire pseudo-alatoire est un signal dtenlliniste destin appro-cher une ralisation d'un bruit blanc. C' est une squence de nombres valant A, p1io~ dique. de priode M et dont la fonction d'rllltocorrlation se caractrise graphiquement par la figure 1.1.

Informatiquel11ent, elle est gnre il partir d'un registre il dcalage. Considrons donc un registre dcalage Il tages, boucl par un additionneur modulo '2. comme indiqu I1gure 1.'2.

Mthodes bases sur les techniques linaires 17

Figure 1.1. Fonctol/ d'all(ocorrlutio/l d'//lIc squC'lIce bllaire pscudo-alatoire

Si a(k) dsigne le vecteur d'tat du registre l'instant k : a(k) = [,,,(k) ... n,,(k)]T

k

L'tat suivant est obtenu partir de la matrice de transition A par la relation:

"1 "2 "" 1 a

a(k + 1) = A a(k) avec: A= a a

a a a

Figure 1.2. Gllratio/l l'al' registre d'lIlIe squellee hil/aire jJsclldo-all/oire

[l.JI

La suite !a(k)}!k=I.M est une suite priodique et sa longueur maximale est gale au nombre d'tats possibles du registre en excluant l'tat nul (tat bloquant), soit:

[1.2]

La dtermination des coefllcients aj s'effectue fi partir d'une liste de polynmes caractristiques tablie pour chaque longueur de registre :

p(x) = 1 EB al x EB 2 x 2 EB EB Ci ll xl! [1.3]

MLhodes bases sur les techniques linaires 17

M

Figure 1.1. FrJ1/ctioll d'lIwocorr/atirm d'll1le sql/ence billaire pseudo-alatoire

Si a(k) dsigne le vecteur d'tat du registre l'instant k :

k

L'tat suivant est obtenu partir de la matrice de transition A par la relation:

al a} an 1 0

n(k + 1) A a(k} avec: A 0 0

0 0 0

Figure 1.2. Gnration par regislre d'Hile squence biliaire pseudo-alatoire

ll.l.1

La sui te 1 a(k)} ,M est une suite priodique et sa longueur maxima le est gale au nombre d'tats possibles du registre en excluant l'tal nul (tat bloquant), soit:

Al = 2/1 - 1 i 1.2]

La dtermination des coeftkients ()'i s'effectue il partir d'une liste de polynmes caractristiques tablie pour chaque longueur de

[1

18 Sy~ll1les non linaires

conduisant aux bouclages les plus simples pour un nombre d'tages fix, et respec-tant des conditions ncessaires et suffisantes d'obtention d'une squence de longueur maximale.

j .2.1.2. Prtralemem des dOllnes

Pour amliorer la qualit du modle identifi, el avant d'appliquer un quelconque algorithme d'identification sur les donnes entre/sortie enregistres, un prtraiLemcnt de ces donnes ainsi qu'une mise en forme du modle recherch peuL s'avrer trs importante.

Considrons tout d'abord le cas d'ull systme ont une partie est connue (par exemple la fonction de transfert de l' actionneur). TI est alors prfrable dc tenir compte de cette connaissance (1 priori afin d" viter d'augmenter initialement la dimension du vecteur paramtre. On procde alors (voir figure 1.3) en reconstruisant le signal intermdiaire 11* (sur cette figure, v reprsente l'influence de perturbations ventuelles). Un cas particulier est celui du systme dont on sait (/ priori qu'il a un comportement intgrateur. Dans ce cas, il est prfrable de driver la sortie YI/li.'.\' plutt que d'intgrer Il, afin d'viter des drivcs dues dcs composantcs continues ventuelles.

li SimulaI ion e la rurlic COll flue

* /1 Panic inconnue

Nuuveau syslmc il idclllilcr

Figure 1.3. Cas d'lIIl systme paJ'/ellemcllf COI/ml

\'

Yn.\,

Un autre aspect fondamental consiste filtrer les donnes si ncessaire, lorsque par exemple une bande de frquences doit tre slectionne. Par ailleurs. pour liminer l'effet dcs perturbations sans avoir recours un modle stochastique, un traitement par corrlation peut tre envisag (voir ligure lA). Il est par exemple unc squence binaire pseudo-alatoire applique au systme, non corrle avec ]e signal perturbatcur v.

r .. .. ..... .. ,," .... 1

idcnlillcr J'1I11 Systme fi i 'lIy"".,

DI-1/

Syslme il

y

Figure 1.4. Traitement des donncs pt/r corrlatiol/

18 Sy~ll1les non linaires

conduisant aux bouclages les plus simples pour un nombre d'tages fix, et respec-tant des conditions ncessaires et suffisantes d'obtention d'une squence de longueur maximale.

j .2.1.2. Prtralemem des dOllnes

Pour amliorer la qualit du modle identifi, el avant d'appliquer un quelconque algorithme d'identification sur les donnes entre/sortie enregistres, un prtraiLemcnt de ces donnes ainsi qu'une mise en forme du modle recherch peuL s'avrer trs importante.

Considrons tout d'abord le cas d'ull systme ont une partie est connue (par exemple la fonction de transfert de l' actionneur). TI est alors prfrable dc tenir compte de cette connaissance (1 priori afin d" viter d'augmenter initialement la dimension du vecteur paramtre. On procde alors (voir figure 1.3) en reconstruisant le signal intermdiaire 11* (sur cette figure, v reprsente l'influence de perturbations ventuelles). Un cas particulier est celui du systme dont on sait (/ priori qu'il a un comportement intgrateur. Dans ce cas, il est prfrable de driver la sortie YI/li.'.\' plutt que d'intgrer Il, afin d'viter des drivcs dues dcs composantcs continues ventuelles.

li SimulaI ion e la rurlic COll flue

* /1 Panic inconnue

Nuuveau syslmc il idclllilcr

Figure 1.3. Cas d'lIIl systme paJ'/ellemcllf COI/ml

\'

Yn.\,

Un autre aspect fondamental consiste filtrer les donnes si ncessaire, lorsque par exemple une bande de frquences doit tre slectionne. Par ailleurs. pour liminer l'effet dcs perturbations sans avoir recours un modle stochastique, un traitement par corrlation peut tre envisag (voir ligure lA). Il est par exemple unc squence binaire pseudo-alatoire applique au systme, non corrle avec ]e signal perturbatcur v.

r .. .. ..... .. ,," .... 1

idcnlillcr J'1I11 Systme fi i 'lIy"".,

DI-1/

Syslme il

y

Figure 1.4. Traitement des donncs pt/r corrlatiol/

Mthodes bases sur les techniques linaires 19

Notons par la suite YIIII et YIIV"",\ respectivement les fonctions c1'auto et d'inter-corrlation des signaux li et Y"ICS, dllnies dans le cas d'une entre de lype squence binaire pseudo-alatoire priodique par les relations:

!YU,,,,,,(k) = :1 L:;'Lo' \,,,,,,,(1)//(1-/.)

O:sk:sM-1

y,,,,(k) = ~~f L:;'Lo'//(i)//(i -l,) [1.4 J

On montre alors que l'identification du systme prcdent partir des signaux 1/ et )'1111',\" (ce dernier subissant l'influence des perturbations) est quivalente la recherche du mme modle, pour lequel YIIYIII

20 SysLmes 11011 linaires

On peut alors crire l'quation [1.5] sous la forme:

p = [-/11 ... - [j1/11 0'1 ... O'1/n] avec:

(

l' . .

rp(k) = [y(k - 1) y CI.: -Il,,) u(k - 1) /I(!.: _11/1)]1'

Le prdicteur associ r quation [1.6] est alors:

S, (k/I.: I) = pl' rp(k) Oll pest Uil vecteur eSlim de P

On dfinit enfin l'elTeur de prdiction E(k) par la relaton :

E(k) = y(k) - pT rp{k)

[ 1.6]

[I.7]

[ 1.8]

L algorithme des moindres carrs recherche alors pour A4 donnes disponibles le m.ei11eur jeu de paramtres Pme issu de la minimisation du critre quadratique:

M

" "' . . .1 = ~E-(I)

i=1

sous la forme:

" RTR)-J RT Pille = ( y avec:

y = [y (l ) ... y ( M) 1 T

pT = [-#1'" - fil/II cil'" &1/IIJ ' et N Ild + 11/1 dim p y(O) y(l - Il,,) u(O) 11(1 11/1)

R y(k - 1) lI(k - 11 11 )

y (/VI 1) y(M - I1d) u(lv! - 1)

R dOt tre de rang maximal et M 2: N.

[1.9]

[1.10]

20 SysLmes 11011 linaires

On peut alors crire l'quation [1.5] sous la forme:

p = [-/11 ... - [j1/11 0'1 ... O'1/n] avec:

(

l' . .

rp(k) = [y(k - 1) y CI.: -Il,,) u(k - 1) /I(!.: _11/1)]1'

Le prdicteur associ r quation [1.6] est alors:

S, (k/I.: I) = pl' rp(k) Oll pest Uil vecteur eSlim de P

On dfinit enfin l'elTeur de prdiction E(k) par la relaton :

E(k) = y(k) - pT rp{k)

[ 1.6]

[I.7]

[ 1.8]

L algorithme des moindres carrs recherche alors pour A4 donnes disponibles le m.ei11eur jeu de paramtres Pme issu de la minimisation du critre quadratique:

M

" "' . . .1 = ~E-(I)

i=1

sous la forme:

" RTR)-J RT Pille = ( y avec:

y = [y (l ) ... y ( M) 1 T

pT = [-#1'" - fil/II cil'" &1/IIJ ' et N Ild + 11/1 dim p y(O) y(l - Il,,) u(O) 11(1 11/1)

R y(k - 1) lI(k - 11 11 )

y (/VI 1) y(M - I1d) u(lv! - 1)

R dOt tre de rang maximal et M 2: N.

[1.9]

[1.10]

Mthoes bases sur les techniques linaires 21

1.2.2. Altltodologie de la comma1lde prdictive gllralise

A partir d'un modle identifi exprimentalement sous une structure linaire, autour d'un point de fonctionnement, le systme non linaire peut ds lors tre pilot par une stratgie de cOlllmande linaire base de modle. Parmi les lois existantes, envisageons ci-dessous les possibilits offertes par les mthodes prdictives.

La commande prdictive repose sur des ides relativement anciennes cl intuitives [RTC 93], mais n'a connu un rel essor en tant que technique de commande avance que depuis le milieu des annes 1980. Cet essor s'est ralis principalement selon deux axes privilgis:

- la commande prdictive gnralise (GPC) de D.W. Clarke, 1985, -la commande prdictive fonctionnelle (PFC) de .1. Richalel, 1987.

La philosophie de la commande prdictive se base sur quatre grandes ides, com-munes toutes les mthodes: la cration d'un effet anticipatif par exploitation de la trajectoire suivre dans le futur, la dfinition d'un modle numrique de prdiction, la minimisation d'un critre quadratique horizon Ilni, le principe de l'horizon fuyant. Le lecteur pourra consulter [BIT 90] et [WER 87] pour de plus amples dtails sur la commande prdictive.

Envisageons les points fondamentaux de la structure prdictive gnralise [CLA 87a, CLA 87b, CLA 88] dans le cas monovariable, dduits de la traduction mathmatique des concepts gnraux prcdents. Le lecteur pouITa consulter le cha-pitre 13 de [LAR 02J pour le dtail complet de l'laboration de la loi e commane GPC et de ses extensions une structure modles de rfrence multiples et cascade.

1.2.2.1. Dfinition du f110dle J/I/lIIrique Toute forme est admissible pour le modle, mais l'approche polynomiale par fonc-

tions de transferlest tout fait privilgie selon l'optique envisage dans ce paragraphe. En effet, il a t montr prcdemment qu'il tait possible de dduire d'lm systme non linaire une reprsentation linaire utilise pour la synthse de la loi de cOl11mande. Or les algorithmes d'identification classiques fournissent plus volontiers une structure identifie de type fonction de transfert.

C'est pourquoi la reprsentation adopte ci-dessous, s'inspirant de la structure ARMA, dveloppe le modle sous la forme CARIMA (Co11lro!fcd AIflo!?egrcssl'e 1l1tegrated M01'hIg Al'erage) :

A(q-l)l'(t)=B(q-I)II(t-I)-l- ~(t) . ~(q 1) [ Lili

o L). (q ~ 1) = 1 - q -l, 1/ (t) el yU) sont respectivement l'entre et la sortie du modle,

Mthodes bases sur les Lechniques linaires 21

1.2.2. A1tlIOdologie de la comma1lde prdicti1'e g"ralise

A partir d'un modle identifi exprimentalement sous une structure linaire, autour d'un point de fonctionnement, le systme non linaire peut ds lors tre pilot par une stratgie de cOlllmande linaire base de modle. Parmi les lois existantes, envisageons ci-dessous les possibilits offertes par les mthodes prdictives.

La commande prdictive repose sur des ides relativement anciennes et intuitives [RTC 93], mais n'a connu un rel essor en tant que technique de cOll1mande avance que depuis le milieu des annes 1980. Cet essor s'est ralis principalement selon deux axes privilgis:

- la commande prdictive gnralise (GPC) de D. W. Clarke, 1985, - la commande prdictive fonctionnelle (PFC) de .J. Riclmlet, 1987.

La philosophie de la commande prdictive se base sur quatre grandes ides, com-munes toutes les mthodes: la cration d'un effet anticipatif par exploitation de la trajectoire suivre dans le futur, la dfinition d'un modle numrique cie prdiction, la minimisation d'un critre quadratique horizon Ilni, le principe de I"horizo\1 fuyant. Le lecteur pourra consulter [BIT 90] et [WER 87] pour de plus amples dtails sur la commande prdictive.

Envisageons les points fondamentaux de la structure prdictive gnralise [CLA 87a, CLA 87b, CLA 88] dans le cas Illonovariable, dduits de la traduction mathmatique des concepts gnraux prcdents. Le lecteur pourra consulter le cha-pitre 13 de [LAR 02J pour le dtail complet de l'laboration de la loi de commande GPC et de ses extensions une structure ~l modles de rfrence multiples et cascade.

1.2.2.1. D~fillition dll modle J/Il1l1rique

Toute forme est admissible pour le modle, mais I"approche polynomiale par fonc-tions de transfert est tout ft fait privilgie selon l'optique envisage dans ce paragraphe. En effet, il a t montr prcdemment qu'il tait possible de dduire d'un systme non linaire une reprsentation linaire utilise pour la synthse de la loi de cOl1lmande. Or les algorithmes d'identification classiques fournissent plus volontiers une structure identifie de type fonction de transfert.

C'est pourquoi la reprsentation adopte ci-dessous, s'inspirant de la structure ARMA, dveloppe le modle sous la forme CARIMA (Conlro!led AUloNegressl'e fntegraled tv/01'l1g Al'erage) :

1:1.111

o ll(q-l) = 1 - q-l, 11(1) et yU) sont respectivement l'entre et la sortie du modle,

22 Systmes non linaires

~(t) est un bruit blanc centr. q-I est l'oprateur retard et A(q-l) et B(q-I) des polynmes dfinis par:

{ACl/- 1) = 1 + al q-I + < q-n" [ 1.12]

Ce modle, encore appel modle incrmentaI, introduit une action intgrale et permet d'annuler J'erreur statique vis-tt-vis de "entre ou de la perturbation en chelon.

/.1.1.1. Prdictellr op1b/lol La sortie prdite yU + .i / t) est dcompose de faon classique en rponse libre

et rponse force [BOU 95], incluant une f01111e polynomiale pour mener bien la synthse polynomiale finale, solut.ion unique d'quations diophanliennes :

y (t + j /1) = Fi (q -1 ) yU) + Hj (q -1 ) b.u (t - 1) rponse libre

[ 1.13]

rponse force

Le prdicteur opLmaI est enfin dfini en considrant que la me11eure prdiction du bruit dans Je futur esl sa moyenne (suppose nulle ici), soit:

.v (1 + j / 1) = Fi (q - 1 ) Y (t ) + Hj ( q -1 ) b.11 ( / - 1 ) + G j (q -1 ) b.11 (1 + j - I) [ 1 . 14 ]

J .2.2.3. D~fil/itiol1 et minimisa/ion du critre qlladratique La loi de commande est obtenue par minimisation d'un critre quadratique porlant

sur les erreurs futures avec un terme de pondration sur la commande: N"}. Nu

J = L Lv (t + j) - w (t + j) j::! + L ~1I1 (r + j 1 ) :i=Nj }=I

avec: b.1I(t + j) 0 pour j ~ Nu <

Le critre ncessite la dfinition de quatre paramtres de - NI : horizon de prdiction minimal. - N2 : horizon de prdiction maximal,

Nil : horizon de prdiction sur la commande, - : coecient de pondration sur la commande.

1.2.2.4. Synthse dll rgulateur RST polynomial quipa/em

[1.15]

La minimisation du critre prcdent conduit li un rgulateur SOLIS ln forme poly-nomiale RST, correspondant la structure de la figllre 1.5.

22 Systmes non linaires

~(t) est un bruit blanc centr. q-I est l'oprateur retard et A(q-l) et B(q-I) des polynmes dfinis par:

{ACl/- 1) = 1 + al q-I + < q-n" [ 1.12]

Ce modle, encore appel modle incrmentaI, introduit une action intgrale et permet d'annuler J'erreur statique vis-tt-vis de "entre ou de la perturbation en chelon.

/.1.1.1. Prdictellr op1b/lol La sortie prdite yU + .i / t) est dcompose de faon classique en rponse libre

et rponse force [BOU 95], incluant une f01111e polynomiale pour mener bien la synthse polynomiale finale, solut.ion unique d'quations diophanliennes :

y (t + j /1) = Fi (q -1 ) yU) + Hj (q -1 ) b.u (t - 1) rponse libre

[ 1.13]

rponse force

Le prdicteur opLmaI est enfin dfini en considrant que la me11eure prdiction du bruit dans Je futur esl sa moyenne (suppose nulle ici), soit:

.v (1 + j / 1) = Fi (q - 1 ) Y (t ) + Hj ( q -1 ) b.11 ( / - 1 ) + G j (q -1 ) b.11 (1 + j - I) [ 1 . 14 ]

J .2.2.3. D~fil/itiol1 et minimisa/ion du critre qlladratique La loi de commande est obtenue par minimisation d'un critre quadratique porlant

sur les erreurs futures avec un terme de pondration sur la commande: N"}. Nu

J = L Lv (t + j) - w (t + j) j::! + L ~1I1 (r + j 1 ) :i=Nj }=I

avec: b.1I(t + j) 0 pour j ~ Nu <

Le critre ncessite la dfinition de quatre paramtres de - NI : horizon de prdiction minimal. - N2 : horizon de prdiction maximal,

Nil : horizon de prdiction sur la commande, - : coecient de pondration sur la commande.

1.2.2.4. Synthse dll rgulateur RST polynomial quipa/em

[1.15]

La minimisation du critre prcdent conduit li un rgulateur SOLIS ln forme poly-nomiale RST, correspondant la structure de la figllre 1.5.

Mthodes bases sur les techniques linaires 23

eNA

"

Rgulateur polynomial

Figure 1.5. SfIl/Cflm' polynomiale RST dl! rgl/la/el/r GPC L'tjIll'UlclI/

La programmation informatique de la loi de commande est ds lors trs simple, ncessitant la mise en uvre d'une simple quation aux diffrences Ilnies :

S(q-I)U(t) = T(q)w(l) - R(q-I )y(l) [1. 16]

On remarque que le polynme T(q) renferme la structure non causale (puissances positives de q) inhrente la commande prdictive.

Par ailleurs, les trois polynmes R, S, T sont donc labors hors ligne et dfinis de faon unique quand les quatre paramtres de rglage sont choisis. En consquence, la boucle temps rel s'avre trs peu gourmande en temps de calcul.

1.2.2.5. Choix des /wra1l1tres de rglage

La dfinition du critre quadratique [1.15] a montr que l'utilisateur doit Ilxer quatre paramtres de rglage. Ce choix des paramtres s'avre cependant dlicat pour une personne non spcialiste, car il n'existe pas de relations empiriques permettant de relier ces paramtres des ( indicateurs classiques en automatique, tels que les marges de stabilit au la bande passante.

A partir de l'tude d'un grand nombre de systmes types monovariables, il est cependant possible de dgager quelques rgles bases sur des critres classiques de stabilit et de robustesse lDUM 981 rsums ci-dessous:

- NI : horizon de prdiction infrieur sur la sortie. Le produit NI T,., (Tc priode d'chantillonnage) est choisi gal au retard pur du systme;

- N'1 : horizon de prdiction suprieur sur la sortie. Le produit N'1Te est limit par la valeur du temps de rponse. Plus N2 est grand. plus le systme cOlTig est stable et lent;

- Nil : horizon de prdiction sur la commande. Choisir Nil gal 1 simplifie les calculs et ne pnalise pas les marges de stabilit ((1 cOJ/trario, une valeur suprieure a tendance dgrader la marge de phase);

Mthodes bases sur les techniques linaires 23

\1'

Rgulateur polynomial

Figure 1.5. Str/U.'lIl1"L' polYl/omiale RST d/l rgula/cuI' GPC tllll'lIlclI1

La programmation informatique de la IO de commande est ds lors trs simple, ncessitant la mise en uvre d'une simple quation aux diffrences Ilnies :

S(q-I)U(t) T(q)w(J) - R(q-I )y(l) [1. 16]

On remarque que le polynme T(q) renferme la structure non causale (puissances positives de q) inhrente il la commande prdictive.

Par ailleurs, les tros po)ynlnes R, S, T sonl donc labors hors ligne el dfinis de faon unique quand les quatre paramtres de rglage sont choisis. En consquence. la boucle temps rel s'avre trs peu gourmande en temps de calcul.

1.2.2.5. Choix des pan/1/UJlreS de rglage

La dfinition du critre quadratique [1.15] a montr que l'utilisateur doit fixer quatre pammtres de rglage. Ce choix des paramtres s'avre cependant dlicat pour une personne non spcialisle, car il n'existe pas de relations empiriques permettant de relier ces paramtres des indicateurs ,> classiques en automatique. tels que les marges de stabilit ou la bande passante.

A parLir de l'tude d'un grand nombre de systmes types monovariables, il est cependant possible de dgager quelques rgles bases sur des crtres classiques de stabilit el de robustesse lDUM 98J rsums ci-dessous:

- NI : horizon de prdiction infrieur sur la sortie. Le produit NI~' (TL' priode d"chantillonnage) est choisi gal au retard pur du systme;

N2, : horizon de prdiction suprieur sur ln sortie. Le produit N2~' est limit par la valeur du temps de rponse. Plus N2 est grand. plus le systme COlTig est stable et lent;

- Nil : horizon de prdiction sur la commande. Choisir Nil gal 1 smplifie les calculs ec ne pnalise pas les marges de stabilit (a contrario, une valeur suprieure i.l tendance la marge de phase) ~

24 Systmes non linaires

- : coefficient de pondration sur la commande. Ce paramtre est li au gain du systme, pm ln relation empirique:

11.17]

oi:I G est une matrice regroupant les coefficients de la rponse indicielle du modle et intervenant lors du processus de minimisation. Le choix des paramtres se limite donc trs souvent une recherche bidimensionnelle (N2 et )c).

1.2.3. COlllmallde prdiclh'e cascade l'itesse-po:tioll d'Ull moteur a.~yllchrolle

Envisageons dsormais r application de la mthodologie des deux paragraphes pr-cdents lu commande prdictive cascade vitesse-position de moteurs d'axe al ternatfs asynchrones pour machines-outils. Se basant sur le canevas prcdent, une identifica-tion est tout d'abord fournssant un modle linaire de la machine asynchrone, puis les rgulateurs des deux boucles vitesse-position sont synthtiss partir de ce modle. Enfin, l'ensemble est implant sur un banc d'essai pour machine-outil fournissant les rsultats prsents.

1.2.3.1. Sll'lICltlre du ballc d'essai

Le banc d'essai reprsent la figure 1.6 comprend une machine asynchrone carac-tristique des motorisations rencontres en commande d'axe de J11achine~outi1 (de vitesse nominale 3000 tours/min, couple nominal 6 Nm. puissance 1.9 kW), un codeur incrmentaI (32 bits avec 20000 points par tour), des convertisseurs numriques ana-logiques 12 bits, une cane DSP et une alimentation.

Commande numrique

Figure 1.6. Slmcllln' dll /JtlllC (l'e.l'xlli

24 Systmes non linaires

- : coefficient de pondration sur la commande. Ce paramtre est li au gain du systme, pm ln relation empirique:

11.17]

oi:I G est une matrice regroupant les coefficients de la rponse indicielle du modle et intervenant lors du processus de minimisation. Le choix des paramtres se limite donc trs souvent une recherche bidimensionnelle (N2 et )c).

1.2.3. COlllmallde prdiclh'e cascade l'itesse-po:tioll d'Ull moteur a.~yllchrolle

Envisageons dsormais r application de la mthodologie des deux paragraphes pr-cdents lu commande prdictive cascade vitesse-position de moteurs d'axe al ternatfs asynchrones pour machines-outils. Se basant sur le canevas prcdent, une identifica-tion est tout d'abord fournssant un modle linaire de la machine asynchrone, puis les rgulateurs des deux boucles vitesse-position sont synthtiss partir de ce modle. Enfin, l'ensemble est implant sur un banc d'essai pour machine-outil fournissant les rsultats prsents.

1.2.3.1. Sll'lICltlre du ballc d'essai

Le banc d'essai reprsent la figure 1.6 comprend une machine asynchrone carac-tristique des motorisations rencontres en commande d'axe de J11achine~outi1 (de vitesse nominale 3000 tours/min, couple nominal 6 Nm. puissance 1.9 kW), un codeur incrmentaI (32 bits avec 20000 points par tour), des convertisseurs numriques ana-logiques 12 bits, une cane DSP et une alimentation.

Commande numrique

Figure 1.6. Slmcllln' dll /JtlllC (l'e.l'xlli

Mthodes bases sur les techniques linaires 25

Les asservissements des trois boucles de courant sont raliss en numrique, tout comme les boucles de couple et de flux implantes avec une stratgie de commande par flux orient [BLA 72]. Par ailleurs, aucun capteur de vitesse n'est utilis, l'information ncessaire sur la vitesse est reconstitue partir de la mesure de position.

1.2.3.2. Mudle linaire ident(fi de III II/{/chille Vyllchmne L'objectif des essais proposs est l'implantation J'une structure de commande pr-

dictive cascade vitesse-position. En consquence, les boucles Je courant. les asservis-sements de couple et de flux implants au niveau du variateur et du DSP sont conservs, les boucles envisages venant se greffer au niveau suplieur, comme indiqu ligure 1.7. Il est donc ncessaire, pour la mise en uvre de la cOlllmande prdictive, de disposer d'un modle identifi entre la rfrence de couple et la vitesse, soit entre r* el Q, el entre la vitesse et la position.

()

Figure 1.7. Architecture de cO/lllI/ullde de lu II/achinc aSYl/chrolle

Cmh:ur jnlT~ mental

()

En appliquant la procdure d"jdentification dclite lors des paragraphes prcdellls, pour une priode d'chantillonnage 7:. = 4ms, une longueur de squence binaire pseudo-alatoire M = 127 et en ayant forc la prsence d'un intgrateur dans le modle, la fonction de transfert discrte identilie entre la consigne de couple r* et la vitesse Q est donne par:

Q(t) l'*(t) 1 - 1.06'1 1 + 0,20'1 2 - 0.14'1 3 [1. 18]

Mthodes bases sur les techniques linaires 25

Les asservissements des trois boucles de courant sont raliss en numrique, tout comme les boucles de couple et de flux i mpluntes avec une stratgie de commande par flux orient [BLA 721. Pur ailleurs. aucun capteur de vitesse n'est utilis, l'information ncessaire sur la vitesse est reconstitue partir de la mesure de pm;;itiol1.

1.2.3.2. Modle li1laire ident(fi de la machine asynchronc L'objectif des essais proposs est lmplantation d'une structure de commande pr-

dictive cascade vitesse-position. En consquence, les boucles de courant. les asservis-sements de couple et de flux implants au niveau du variateur el du DSP sont conservs, les boucles envisages venant se greffer au niveau suplieur, comme indiqu ligure 1.7. Il est donc ncessare. pour la mise en uvre de la commande de disposer d'un modle identifi entre la rfrence de couple et la sail entre r* el n, el entre ln vitesse et la position.

()

Figure 1.7. Architecture de cOIll11t{/l1lle de la machille aSyllchrol/l!

En appliquant la procdure dldentification dcrite lors des paragraphes prcdents, pour une priode d'chantillonnage 7:, = 4 ms, une longueur de squence binaire pseudo-alatoire M = 127 el en ayant forc la prsence d'un intgrateur dans le modle, la fonction de transfert discrte identifie entre la consigne de couple r* et la vitesse n eSl donne par:

Q(t) 1"*(1) [ 1.18]

26 Systmes non linaires

Dans un souci de gain en temps de calcul dans la boucle temps rel, les degrs des polynmes identifis ont t choisis relativement faibles. Le transfert entre la vitesse et la position correspondant en fait ft un simple intgrateur, le modle choisi, issu de la discrtisation de l' intgrateur par exemple par la mthode d'Euler, a la forme suivante:

0(1) n(1)

J .2.3.3. Rsultats exprimentaux

[ 1.19]

Avec ces transferts identifis, les rgulateurs prdictifs des deux boucles sont syn-thtiss pour les paramtres de rglage suivants:

- boucle de vitesse (GPC/MRM) :

N 1'2 = 1; N'n. = 7; Nil? = 1; :; = 400, modle de poursuite: ~ = 0,7, Wo = 500 rad/s.

- boucle de position (GPC) : NIl 1; N-ll = 7; Nil 1 = 1; )'1 = 0,00018.

La consigne ssue d'un module de gnration de trajectoire la cadence de 4 ms est de type trapzodal induisant une rotation de l'arbre moteur de dix tours, avec une vitesse de 250 tours/min. Dans ces conditions, les rsultats obtenus sont reproduits aux figures 1.8 ft 1.1 1.

70 611 50 40

20 la 0

-10 0 0.2

Figure 1.8. PostOI/ Cll/gulaire 111Otl'ur et cOllsIgne di' positio/1

Ces courbes illustrent les trs bonnes performances obtenues, en termes de suivi de trajectoire (absence de dpassement, annulation des erreurs statiques et des en"eurs de tranage. minimisation des transloires) et de rejet des perturbations, principalement de couple, ce dernier point tant favoris par la structure cascade. La loi de com-mande implante permet donc de rpondre aux spcificatons trs svres imposes par exemple dans le domaine de la machine-outiL Par ailleurs, 011 s'aperoit en ana-lysant la 1.9 que la trajectoire de rfrence en vitesse impose par la structure

26 Systmes non linaires

Dans un souci de gain en temps de calcul dans la boucle temps rel, les degrs des polynmes identifis ont t choisis relativement faibles. Le transfert entre la vitesse et la position correspondant en fait ft un simple intgrateur, le modle choisi, issu de la discrtisation de l' intgrateur par exemple par la mthode d'Euler, a la forme suivante:

0(1) n(1)

J .2.3.3. Rsultats exprimentaux

[ 1.19]

Avec ces transferts identifis, les rgulateurs prdictifs des deux boucles sont syn-thtiss pour les paramtres de rglage suivants:

- boucle de vitesse (GPC/MRM) :

N 1'2 = 1; N'n. = 7; Nil? = 1; :; = 400, modle de poursuite: ~ = 0,7, Wo = 500 rad/s.

- boucle de position (GPC) : NIl 1; N-ll = 7; Nil 1 = 1; )'1 = 0,00018.

La consigne ssue d'un module de gnration de trajectoire la cadence de 4 ms est de type trapzodal induisant une rotation de l'arbre moteur de dix tours, avec une vitesse de 250 tours/min. Dans ces conditions, les rsultats obtenus sont reproduits aux figures 1.8 ft 1.1 1.

70 611 50 40

20 la 0

-10 0 0.2

Figure 1.8. PostOI/ Cll/gulaire 111Otl'ur et cOllsIgne di' positio/1

Ces courbes illustrent les trs bonnes performances obtenues, en termes de suivi de trajectoire (absence de dpassement, annulation des erreurs statiques et des en"eurs de tranage. minimisation des transloires) et de rejet des perturbations, principalement de couple, ce dernier point tant favoris par la structure cascade. La loi de com-mande implante permet donc de rpondre aux spcificatons trs svres imposes par exemple dans le domaine de la machine-outiL Par ailleurs, 011 s'aperoit en ana-lysant la 1.9 que la trajectoire de rfrence en vitesse impose par la structure

Mthodes hases sur les techniques linaires 27

20()

100

0.2 OA 0.6 O.X

Figure 1.9. Vitesse anglllaire mo/cil/' l'I (,ol/sigl/c \'itL',I',1'l'

1.5

0.5

Il

-IL5 -1

-].:; -2

Erreur de po'sition Ir~;d~ 1

h ( \ \ -;- (

[-- Tem[1~:_~~!J Il 0.2 DA 0.8

Figure 1.10. Errcllr dc position

lOr---~----__ ~-..----~ 6 4

-2 -4 -6 -8

-10 Il

! : 'Temps rs] 0.2 0.4 0.6 0.8

Figure t.t 1. Consignc de (,ol/ple II/oteur

OPC/MRM est parfaitement suivie, prouvant la validit du modle linaire identifi. On remarque enfin que la consigne de couple gnre par la structure cascade et envoye au moteur par le biais de la commande t-lux orient s"avre peu chahute malgr les variations de position trs fortes et trs rapides imposes par la consigne.

Mthodes hnses sur les techniques linaires 27

300 ,----;-----.--.---'--,---~--__,

:mn

100

o

-100

-200

0.2 DA 0.6 O.X

Figure 1.9. Vi/esse angulaire mo/elll' el cOI/signe \'/es,\'lJ

2 1.5

Erreur de pm;ition

0.5

0 -0.5

-1 -l.:'i

-2 0 0.2 nA 0.6 0.8

Figure 1.10. Errcur de position

10 .----.------,-, =S:-ig-n-c,,':-d-o-c-c-o-n-lmaldc S 6 4 2 o

-1 -4 -6 . -8

-10 o 0.2 OA 0.6

1

'Temps fs]

0.8 1

)i'igure 1.11. C01lsigne dl! cOl/pie 1II00CI/1'

OPC/MRM est pmfaltement suivie, prouvant la validit du modle linaire idenlifi. On remarque enfin que la consigne de couple gnre par la structure cascade et envoye au moteur par Je biais de lu cDmmande rl {-lux orient s'avre peu chahute malgr les variatiDns de position trs fortes el trs rapides imposes par la consigne.

28 Systmes 110n Inaires

1.2.4. COllclllSOI1 partelle

On constate donc que la dmarche con~istant synthtiser les rgulateurs prdictifs sur un modle linaris, identifi partir du systme global complexe et fortement non linaire, procure de~ rsultats tout fait satisfaisants avec r avantage de conserver une structure de rgulateur linare, s'implantant par une simple quation aux diffrences de degr faible. La robustesse naturelle de la loi de commande prdictive pe1met en effet de choisir LIlle structure de modle identifi de faible complexil.

1.3. Techniques LPV appli(IUes la commande d'un systme non linaire

Dans celte section, nOLIs allons ft prsent examiner r application des techniques dveloppes pour les systmes linaires Il paramtres variants (systmes LPV) la commande de ~ystll1es non linaires. Nous cOlllmencerons par prse11ler la modlisa-tion par des systme~ LPV ou quasi LPV et la recherche de correcteurs du mme type; par manque de place, les mthodes permettant la synthse de ces correcteurs ne seront pas prsentes ici, mais on pourra par exemple se reporter au chapitre J 6 de [LAR 02].

Nous prsenterons par contre en dtail un exemple d'application de ces techniques, il savoir le calcul d'un pilote automatique pour le contrle du mouvement longitudinal d'un missile: le comportement du processus tudi dpend de faon non linaire de l'incidence, de sorte que la recherche d'un COiTecteuf linaire est voue ft l'chec.

1.3.1. Systmes et correcteurs '-,Pl'

De nombreux processus peuvent tre dcrits par des systmes linaires dont les paramtres varient dans le Lemps. On les dsigne sous le nom de systmes LP\'. Sous forme d'taL une description gnrale de ces syslmes est la suivante:

Dyc(fJ) D:c(fJ)

DYII (()) D~IIn

('\"(1)) eU) /lU)

[ 1.20J

o le vecteur (HI) = (0, (t), ... , 01' (t)) T reprsente les paramtres variants: le veeteur e(r) rassemble les entres de l'asservissement (perturbations, bruits, consignes). 1I(1) reprsente les commandes. le vecteur yU) rassemble les variables ft rguler et ::: (1) les mesures disponibles.

Lorsque les diffrentes matrices cIe cette reprsentation d'tat dpendent de 0(1) de faon rationnelle, ce sysLme peut toujours tre mis sous la forme prsente Il la figure 1.12 [ZHO 96], o un systme linaire invarhmt Sii est boucl par une matrice (-1(1) fonction uniquement des parmntres :

[1.21 ]

28 Systmes 110n Inaires

1.2.4. COllclllSOI1 partelle

On constate donc que la dmarche con~istant synthtiser les rgulateurs prdictifs sur un modle linaris, identifi partir du systme global complexe et fortement non linaire, procure de~ rsultats tout fait satisfaisants avec r avantage de conserver une structure de rgulateur linare, s'implantant par une simple quation aux diffrences de degr faible. La robustesse naturelle de la loi de commande prdictive pe1met en effet de choisir LIlle structure de modle identifi de faible complexil.

1.3. Techniques LPV appli(IUes la commande d'un systme non linaire

Dans celte section, nOLIs allons ft prsent examiner r application des techniques dveloppes pour les systmes linaires Il paramtres variants (systmes LPV) la commande de ~ystll1es non linaires. Nous cOlllmencerons par prse11ler la modlisa-tion par des systme~ LPV ou quasi LPV et la recherche de correcteurs du mme type; par manque de place, les mthodes permettant la synthse de ces correcteurs ne seront pas prsentes ici, mais on pourra par exemple se reporter au chapitre J 6 de [LAR 02].

Nous prsenterons par contre en dtail un exemple d'application de ces techniques, il savoir le calcul d'un pilote automatique pour le contrle du mouvement longitudinal d'un missile: le comportement du processus tudi dpend de faon non linaire de l'incidence, de sorte que la recherche d'un COiTecteuf linaire est voue ft l'chec.

1.3.1. Systmes et correcteurs '-,Pl'

De nombreux processus peuvent tre dcrits par des systmes linaires dont les paramtres varient dans le Lemps. On les dsigne sous le nom de systmes LP\'. Sous forme d'taL une description gnrale de ces syslmes est la suivante:

Dyc(fJ) D:c(fJ)

DYII (()) D~IIn

('\"(1)) eU) /lU)

[ 1.20J

o le vecteur (HI) = (0, (t), ... , 01' (t)) T reprsente les paramtres variants: le veeteur e(r) rassemble les entres de l'asservissement (perturbations, bruits, consignes). 1I(1) reprsente les commandes. le vecteur yU) rassemble les variables ft rguler et ::: (1) les mesures disponibles.

Lorsque les diffrentes matrices cIe cette reprsentation d'tat dpendent de 0(1) de faon rationnelle, ce sysLme peut toujours tre mis sous la forme prsente Il la figure 1.12 [ZHO 96], o un systme linaire invarhmt Sii est boucl par une matrice (-1(1) fonction uniquement des parmntres :

[1.21 ]

Mlhodes hases sur les techniques linaires 29

Sans rentrer dans les dtails, signalons simplement que les dimensions Il!, ... ,11 ,1 dpendent de la complexit de la relation entre les matrices de la reprsentation cl'tat [1.20] et les paramtres.

Figure 1.12. Modlisatm d'lfll systi'lJ/c LPF

Si les paramtres variants sont mesurables et borns, on peut chercher pour ce sys-tme un correcteur salis la mme forme, c'est--ire se prsentant comme le bouclage d'un systme invariant Kli et d'une rplique de la matrice 8(t) (voir figure 1.13).

SIB) ~ ". ,. .,. ,. Sli

-. H

~ l'f, GI:' H"g K(8) Figure 1.13. SIrl/clurcs dll sysfme ct d/l correcteJ/r

Supposons que chaque paramtre variant volue dans un intervalle:

[1.22J

Un objectif peut tre de chercher minimiser, pour toute volution admissible du vecteur O(t).le gain L'Y. entre les entres c(t) et les variables rgules yU):

y= sup c(t)r::L::.

IIv(t) h lIe(t )112 [1.23]

Mlhodes hases sur les techniques linaires 29

Sans rentrer dans les dtails, signalons simplement que les dimensions /1!, ... " /1 dpendent de la complexit cie la relation entre les matrices de la reprsentation d'tat [1.20] et les paramtres.

y

Figure 1.12. tdoclli.mriOlI d'JIll systi'lIIc LPF

Si les paramtres variants sont mesurables ct borns, on peul chercher pour ce sys-tme un correcteur sous la mme forme, c'est-tl-dire se prsentant comme le bouclage d'un systme invarant Kli et d'une rplique de la matrice BU) (voir figure L (3).

L'

Il

Figure LB, Slrt1Cllfrl', dtt systme Cl d/l COfn!cti!Ur

Supposons que chaque paramtre variant volue dans un intervalle:

ll.22J

Un objectif peut tre de chercher minmiser, pour toute volution admissible du vecteur O(t).le gain L-:. entre les entres c(t) et les variables rgules y(1) :

JI = sup CU)E L 2

!!.i ~(I (f) :5Ji

lIy(l)lb lieU )11-:. [1

30 Systmes non linaires

Ll est l'ensemble des signaux de calT intgrable et 11111 dsigne la norme dfinie sur cet ensemble:

J/e(t)/h:= rx e(1)Te(l)dl - \ Jo 11.241

On trouvera dans les rfrences lAPI( 95J, [PAC 94] et lSCO 95] diverses faons de calculer la pallie linaire invariante Kli du correcteur. La mthode que nous allons utiliser est par ailleurs dcrite en dtail dans [LAR 02]. Toutes ces mthodes expriment la recherche du correcteur comme un problme d" optimisation sous des contraintes dcrites par des ingalits matricielles 1 inaires (LMI). Ces problmes sont intressants car ils sont convexes et donc dnus de minima locaux. De plus, des logiciels spcialiss sont disponibles. tels que par exemple [GAH 95].

Le COlTecteur K(8) obtenu se prsente lui-mme comme un systme LPV, dont les paramtres voluent de faon synchrone avec ceux du processus : on dit qu'il est squcnc jJar 0 (l). La partie 1 inaire invariante Kli est dcrite par des quations d'wt, de mme ordre que celles de la partie linaire Sli du systme.

1.3.2. Systmes et correcteurs qUllsi LPl'

Il est intressant de constater que cette faon de faire, dveloppe l'origine pour les systmes lnaires, fournit aussi dans certains cas une mthode pouvant s'appliquer certaines classes de systmes non linaires. En effet, rien n'interdit de considrer parmi les paramtres ) variants des vmiables d'tat du processus.

Considrons titre d'exemple le systme non linaire:

{

'\ .. '] (l) = -1x] (r) + Xl (t )x:d/) + eU) .\'2(/) = -xl(1) + .\.'2(1)2 + /I(t) Y (t) = .tj (t) + Xl (t )

Ce systme sc met SOLIS la forme prsente la figure 1.12, en posant:

.\'1 (r) = - 2x 1 (t) + li 1 (t) + e( 1)

.r2 (t) = -.\.'2 (t) + V2 (t ) + /1 (t ) SIi: II) 1 (t) = X2 (l )

w].(t) = .\'2(1) yU) = XI (1) + .\'1(t)

[ 1.151

[ 1.26a]

30 Systmes non linaires

Ll est l'ensemble des signaux de calT intgrable et 11111 dsigne la norme dfinie sur cet ensemble:

J/e(t)/h:= rx e(1)Te(l)dl - \ Jo 11.241

On trouvera dans les rfrences lAPI( 95J, [PAC 94] et lSCO 95] diverses faons de calculer la pallie linaire invariante Kli du correcteur. La mthode que nous allons utiliser est par ailleurs dcrite en dtail dans [LAR 02]. Toutes ces mthodes expriment la recherche du correcteur comme un problme d" optimisation sous des contraintes dcrites par des ingalits matricielles 1 inaires (LMI). Ces problmes sont intressants car ils sont convexes et donc dnus de minima locaux. De plus, des logiciels spcialiss sont disponibles. tels que par exemple [GAH 95].

Le COlTecteur K(8) obtenu se prsente lui-mme comme un systme LPV, dont les paramtres voluent de faon synchrone avec ceux du processus : on dit qu'il est squcnc jJar 0 (l). La partie 1 inaire invariante Kli est dcrite par des quations d'wt, de mme ordre que celles de la partie linaire Sli du systme.

1.3.2. Systmes et correcteurs qUllsi LPl'

Il est intressant de constater que cette faon de faire, dveloppe l'origine pour les systmes lnaires, fournit aussi dans certains cas une mthode pouvant s'appliquer certaines classes de systmes non linaires. En effet, rien n'interdit de considrer parmi les paramtres ) variants des vmiables d'tat du processus.

Considrons titre d'exemple le systme non linaire:

{

'\ .. '] (l) = -1x] (r) + Xl (t )x:d/) + eU) .\'2(/) = -xl(1) + .\.'2(1)2 + /I(t) Y (t) = .tj (t) + Xl (t )

Ce systme sc met SOLIS la forme prsente la figure 1.12, en posant:

.\'1 (r) = - 2x 1 (t) + li 1 (t) + e( 1)

.r2 (t) = -.\.'2 (t) + V2 (t ) + /1 (t ) SIi: II) 1 (t) = X2 (l )

w].(t) = .\'2(1) yU) = XI (1) + .\'1(t)

[ 1.151

[ 1.26a]

Mthodes bases sur les techniques linaires 31

ou encore:

Sn

.(, (1) = -2xI (1) + VI (t) + eit)

.,,(1) = -x,(I) + v,it) + 11(1) WI it) = XI (t) w,(t) = x2(1) y(t) = xdl) +X,(I)

[1.26b1

Le premier cas correspond li la matrice 8(1) = diag(xI (1): x2(1). le euxime 118(1) = diag{x::dt): X2(t)}. Comme on le voit, mme pour un systme trs simple, la solution n'est pas unique et le choix de I"une ou de l'autre n'est pas indiffrent: la premire reprsentation conduira un COlTecteur squenc par XI (1) et X2(t), tandis que dans la deuxime le seul paramtre de squencement sera X2 (t).

Ce type de systme, en fait non linaire. est appel ql/asi LP\!. Le calcul d'un correcteur se fait suivant les mmes thories que pour un systme LPY, qui fournissent donc un moyen de cOlllmander des systmes non linaires modliss sous cette l'orme. Les paragraphes qui suivent dveloppent un exemple tir de [HIR 99].

1.3.3. Prselltatioll de [-'exemple

Le problme que nous discutons ci-aprs concerne la synthse d'un pilote pour la chane de langage d'un missile. Jl est souvent utilis dans la littrature comme un bellchlllork [REJ 92] et a rait l'objet de nombreux travaux [NIC 93, SHA 93].

Le systme est dcrit par les quations d'tat suivantes:

{

(.I.) = Ka(.:)MC,,~(l), 8(t), M(I)) cos((l)) + 'l(t) q(t) = K'I(:)M(t)-C,,,((l), ,1(1), M(I)) ,)(1) = K,,(:)M(t)'C,,(,,(t), 0(1), M(t))

[ 1.27]

Les variables d'tat sont J'angle d'incidence a(t) et la vitesse de rotation q(t): la sortie ~I piloter est l'acclration normale 1/(1): 011 suppose mesurer l'incidence 0'(1), l'acclration normale '1 (t) et la vitesse de rotation Cf (t ) : la commande est l'angle de braquage des gouvernes 8(1).

Les coefficients Ka (:). K'/(:)' K,,(:), dpendent de l'altitude moyenne:; M est le nombre e Mach: C/l(O', 8, /vi) et Cm (0', 8, /Ii!) sont les coefficients arodynamiques. qui sont des fonctions polynomiales en 0' et affines en 1\1 et 8 :

( C"(", 8, M) = a",,' + b,,(l'I"I + (2 - M /3)c,,(l' + d,,8 Cu(CY, 0, !vI) = aJ//O') + bill 0' 10' 1 + (-7 + 8Al/3)cIl/O' +dJ//8 11.28]

Mthodes bases sur les technques linaires 31

ou encore:

.(', (t) = -2x, (t) + v[(1) + dt) ,t'::!(t) = -.\'2(1) + V2(t) + /l(t)

SIi: WI(t) .t](t) 11.12(1) = Xl(t) y(T) .rdt) +X2(1)

l1.26bl

Le premier cas correspond li la matrice e(l) diag(xl (1): X1U)}, le deuxime ~1 eu) = diag{x2(t): X2(t)}. Comme on le voit, mme pour un syslnle trs simple, In solution n'est pas unique et le choix de rune ou de l'autre n'est pas indiffrent: la premire reprsentation conduira il un con'ecteur squenc par XI (t) el x2 (t), tandis que dans la deuxime le seul paramtre de squencemenl sera X2 (t).

Ce type de systme, en fait non linaire. est appel quasi LPV. Le calcul d'un correcteur se fait suivant les mmes thories que pour un systme LPV, qui fournissent donc lin moyen de commander des systmes non linaires modliss SOllS cette forme. Les paragraphes qui suivent dveloppent un exemple tir de [HIR 99].

1.3.3. Prsentation de [-'exemple

Le problme que nous discutons ci-aprs concerne la synthse d'un pilote pour la chane de tangage d'un missile. Il est souvent utilis dans la littrature comme un bellchmark [REJ 9~] et il fait l'objet de nombreux travaux [NIC 93, SHA 93].

Le systme est dcrit par les quations d'tal suivantes:

1&(1) ej (t) I} (t)

KcA:)A1 Cl (odT), 8 (T), At} (t cos(a(t) + q (t) Kq (z)A1(t)2CIII (0'(1), 8(1), kl(t) K'I (z)!vI (t) '2 Cil (a (t), () (t ). !vI (1 ) )

[1.~7]

Les variables d'tat sont J'angle d'incidence aU) et la vitesse de rotation q(t): la sortie ri piloter esL l'acclration normale 11(1): on suppose mesurer l'incidence a(t). J'acclration normale I}U) et la vitesse de rotation q(t): la commande est l'angle de braquage des gouvernes 8(1),

Les coefficients Ka (:). Kt; (':.), K1,(:;), dpendent de l'altitude moyenne;:. ~ A1 eSlle nombre de Mach; CIl(cY, 8, !vI) et CII/(O" /5, /vi) sont les coefficients arodynamiques. qui sont des fonctions polynomiales en 0' eL affines en kl eL () :

1 Cil (a, 8, /vi) = alla:' + bllalO'I + (2 - !vi /3)c l1 a + dll 8 Cm (a, 8, flll) = allia:' + hm 0'10' 1 + (-7 + Sflil /3}cmO' + dm8

1.1.28]

32 Systmes non lnnires

Nous considrons comme point de vol: /11 numriques des diffrents coefficients sont:

3 et Z = 20 000 ft. Les valeurs

an = 1,0286 10--1 bl! -0,94457 10-1 Cil = -0,1696 dl! = -0,034

lIlII = 2,152410--1 bill -1. 9546 10-2 Cm = 0.051 dm = -0,206

Ka = 2,069 10-2

Kq = 1.2320 K'l = 21.4432 rI .29 J

pour des angles exprilns en degr. L'actonneur qui ralise le br

Mthodes bases sur les techniques linaires 33

Pilote (),_ ri

1--'-+1 Actiollnclll'I--+1

Figure 1.14. Strucfure d'assel"l'is,\'ClIICIIf

avec:

{lf/I (1) = 0'(1) W2(t) = (a" 1,,(1)1 + b,,)a(l) = a"vI (1) + b"a(l)

Les quations [ 1.30J s'crivent alors:

{

"(I) = (3[(oC,,)a(.!) +q(t) + (3[(od,,)8(1) + .. (3 [(0)V2(1) 'i(l) = (9[('l cm)CI(t) + (9[('1dm)o(l) + (18[('I)V2(1) '7(1) = (9[("c,,),,(I) + (9[("d,,)8(1) + (9[(,,)V2(1)

'1

[ 1.32]

[ 1.331

En ajoutant la dynamique de l'actionneur, on obtient les quations d'tat de la partie linaire:

Sfi :

("(1)] (3Kac" (~(t) = 9Kq cm rHt) 0 !lU) 0

o 0 o 0 o 9K ,Jdll 1 0

0] (ail)] ((1 (] q(r) -1- lin o ,)(1) 0 o ,ill) 0

~ ] (::::] + (:; l ,)(1) 0

-2l;w(/ (J(t) 0

[1.34[

avec la matrice de squencement (;")(1) = !a(t)! 12,

Pour effectuer la synthse du cOlTecteur, on commence par corriger le processus en s'inspirant des rgles de l'automatique classique (voir figure 1,15): un filtre FI (s), identique pour toutes les valeurs de lncidence, est plac entre le correcteur il dter-miner et la commande envoye sur l'actionneur, Son rle est J'altnuer les hautes frquences, pour viter d'exciter inutilement la commande:

30 Fds) =--

s +30 11.35]

Mthodes bases sur les techniques linaires 33

'1

Figure 1.14. StruclIIrc d'OSSCfVis.\'(,1IIC1l1

avec:

0'(1) ({{/l10'(t)1 +bll)ct(t) = lIJ/vj{t) +bI1 O'(t)

[ 1

Les quations [ 1.30] li' crivent alors:

l (t) = (3, J( 0' Cil) 0' (,1) + q (t) + (3 K fi dl! ) il (t) + ,( 3 K CI) V2 (t ) l;U) (9Kl}clI/)a(t) + (9Kq d1l1}8(t) + (18KifhI2U) 17(1) = (9K1/('I/)O'(I) + (9K'ldll)(i(l) + (9K,/)V2(t) [ 1.33J En ajoutant la dynamique de r actionneur, 011 obtient les quations d'tat de la parte

1inuire :

Sli :

1 3Kadll o 9Kq dm o 0 o o 0 o 0 o 9K,/d/J

o

0] [Q'(t)] [0 o (j(t) + (l,Il o c5(l) 0 o IS(t) 0

avec la matrice de squencemenl (;")(1) = 10'(1)1 f-J..

o o

9K,/ o

11.341

Pour effectuer la synthse du COlTecteur, on commence par corriger le processus en s'inspirant des rgles de l'automatique classique (voir figure 1.15): un lltre FI (s), identique pour toutes les valeurs de 1 ncidence, est plac entre le correcteur il dler-miner et la commande envoye sur l'actionneur. Son rle est d'aunuer les hautes frquences, pour viter d'exciter llutilement la commande:

30 s + 30

[.1.35]

34 Systmes non linaires

soit en reprsentation d'tnt :

1_11 (1) = -30.-\") (1) + 3011(1) Dc:(t) xJCt) [ 1.36]

1---1----+ :.:::

Figure 1.15. Compell.mliol1 praloble du processus

En sortie du systme, on dispose un conecteur Pl K PI (s) sur l'erreur entre J'acc-lration normale et sa consigne, el un gain kll sur la mesure de vitesse gyroscopique. Ceux-ci sont pris fonctions de J'incidence (en radian) :

( 1+43010'(1)1)

f(P/(s) (0,014 - 0,01510'(1)1) 1 + :\. kq = -(0,17 + 0,2910'(1)1)

Ces deux dernires relations s'crivent sous forme d'tat:

{

j.1U) (0,014 - 0,015IO'(0I)E(I) :) (t) = (1 + 43,010'(t) 1).1:2(1) + (0,014 - 0,01510'(I)I)E(1) :::2(1) = -(0.17 + 0,29jO'(1)j)qU)

Il.37J

[1.38J

Ol! BU) = J]re/(t) - Jl(t) est l'erreur d'asservissement. Elles dfinissent donc un nou-veau systme LPV dont la partie linaire cst dcrite par les quations d'tal :

1.'3 (r) 114(1)

\"1(1) (0)-'"2(1) + (-0.015 0 0 0,014 0) l'sU) E(t)

F2/i : q(t)

1J!3(t) 0

() J 0 \13 (1) 1J)4 (1) 1

0 0

0 1)4 (1)

!1ls(f) 0 '\:1(1) + () 0

0 1 1J5(1) ;: 1 (t) 1 -0,015 43.0 0 0.014 0 HU) :2 (1) 0 0 0 -0.29 0 -0.17 q(t)

ll.39]

34 Systmes non linaires

soit en reprsentation d'tnt :

1_11 (1) = -30.-\") (1) + 3011(1) Dc:(t) xJCt) [ 1.36]

1---1----+ :.:::

Figure 1.15. Compell.mliol1 praloble du processus

En sortie du systme, on dispose un conecteur Pl K PI (s) sur l'erreur entre J'acc-lration normale et sa consigne, el un gain kll sur la mesure de vitesse gyroscopique. Ceux-ci sont pris fonctions de J'incidence (en radian) :

( 1+43010'(1)1)

f(P/(s) (0,014 - 0,01510'(1)1) 1 + :\. kq = -(0,17 + 0,2910'(1)1)

Ces deux dernires relations s'crivent sous forme d'tat:

{

j.1U) (0,014 - 0,015IO'(0I)E(I) :) (t) = (1 + 43,010'(t) 1).1:2(1) + (0,014 - 0,01510'(I)I)E(1) :::2(1) = -(0.17 + 0,29jO'(1)j)qU)

Il.37J

[1.38J

Ol! BU) = J]re/(t) - Jl(t) est l'erreur d'asservissement. Elles dfinissent donc un nou-veau systme LPV dont la partie linaire cst dcrite par les quations d'tal :

1.'3 (r) 114(1)

\"1(1) (0)-'"2(1) + (-0.015 0 0 0,014 0) l'sU) E(t)

F2/i : q(t)

1J!3(t) 0

() J 0 \13 (1) 1J)4 (1) 1

0 0

0 1)4 (1)

!1ls(f) 0 '\:1(1) + () 0