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Sistemas Informáticos Avanzados
2T9. Morfología matemática
Operadores morfológicos • Dilatación • Erosión • Cierre • Apertura • Thinning • Thickening
3T9. Morfología matemática
Operaciones morfológicas:
• Operaciones que afectan a la forma de los objetos de la imagen.
• Aplicación después de una segmentación previa.
• Habitualmente se trabaja sobre imágenes binarias, aunque también se puede hacer sobre el resto de tipos.
4T9. Morfología matemática
Imágenes binariasImágenes binarias
Un píxel puede tomar dos únicos valores: 1 ó 0.
Las imágenes binarias suelen surgir a partir de un procesamiento previo de otra imagen.
5T9. Morfología matemática
Imágenes binariasImágenes binarias
Imágenes binarias obtenidas a partir de una segmentación de movimiento.
Convenciones:
• Píxeles representando el fondo 0 Color blanco
6T9. Morfología matemática
Preprocesamiento de la imagen:
• Esqueletización
• Thinning
• Thickening
ConectividadConectividad
Los píxeles que están conectados deben de pertenecer a una misma entidad.
8T9. Morfología matemática
Según qué conectividad apliquemos, esto serán 1 ó 4 regiones
9T9. Morfología matemática
ConectividadConectividad
Un caminocamino desde el píxel [i0, j0] hasta el píxel [in, jn] es una secuencia de píxeles en la que se puede llegar desde el píxel 0 hasta el n pasando sólo por píxeles con valor 1.
• 4-caminos.
• 8-caminos.
4-camino
8-camino
ConectividadConectividad
ForegroundForeground: Conjunto de todos los píxeles de una imagen con valor 1. Se denota por S.
BackgroundBackground (fondo): El complemento de S.
Un píxel p∈S se dice que está conectadoconectado a q∈S si hay un camino desde p hasta q que consista sólo de píxeles de S.
Un conjunto de píxeles conectados entre sí se llama un componente conectadocomponente conectado.
FronteraFrontera de S es el conjunto de píxeles de S que tienen un 4-vecino que pertenece al fondofondo. La fronterafrontera se denota por S’.
InteriorInterior es S-S’.
11T9. Morfología matemática
Etiquetado de componentes conexasEtiquetado de componentes conexas
Cada componente conectado es un firme candidato a ser un objeto.
Si hay más de un componente conectado en la imagen binaria es necesario llevar a cabo un etiquetadoetiquetado.
Etiquetar consiste en poner una etiqueta diferente a los píxeles de cada componente conectado.
Esto permite saber cuántos objetos existen en la imagen y qué píxeles pertenecen a cada uno de ellos.
Después del etiquetado se pueden calcular características de los objetos, tales como el tamaño, posición, etc.
13T9. Morfología matemática
14T9. Morfología matemática
Algoritmo recursivo de etiquetadoAlgoritmo recursivo de etiquetado
1. Buscar en la imagen un píxel con valor 1 y que no esté etiquetado y asignarle la nueva etiqueta L.
2. Recursivamente asignar la etiqueta L a sus vecinos con valor 1.
3. Parar cuando todos los vecinos de los píxeles con etiqueta L sean 0 o ya estén etiquetados.
4. Si quedan píxeles con valor 1 sin etiqueta saltar al paso 1.
15T9. Morfología matemática
Algoritmo secuencial de etiquetadoAlgoritmo secuencial de etiquetado
1. Recorrer la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha.
Si un píxel vale 1 entonces:
a) Si su vecino superior o izquierdo tienen etiqueta, pero sólo uno de ellos, asignar esa etiqueta.
b) Si ambos tienen etiqueta:
a) Si es la misma, asignar esa etiqueta.
b) Si es distinta, asignar la del conjunto más pequeño, y apuntar en la tabla que ambas etiquetas son equivalentes.
c) Si ninguno tiene etiqueta, asignar una nueva.
2. Recorrer de nuevo la imagen reemplazando etiquetas equivalentes.
16T9. Morfología matemática
17T9. Morfología matemática
Filtro de tamañoFiltro de tamaño
Los píxeles ruido suelen segmentarse debido a que son distintos de los de su entorno.
Normalmente forman grupos pequeños y aislados.
Un filtro de tamañofiltro de tamaño consiste en eliminar aquellos componentes conectados con un número de miembros inferior a cierta holgura TT00.
18T9. Morfología matemática
Operadores morfológicosOperadores morfológicos
La morfología matemática opera sobre la forma.
Las operaciones típicas se realizan sobre imágenes binarias, pero también pueden actuar sobre otro tipo de imágenes.
Operadores:
• Dilatación.
• Erosión.
• Apertura.
• Cierre.
19T9. Morfología matemática
Operador NOTOperador NOT
Produce una imagen a partir de otra donde a cada píxel se le aplica el operador NOT.
En imágenes de niveles de gris:
),(255)),(( jiIjiINOT −=
OR y NOROR y NOR
Se toman dos imágenes de entrada binarias o de niveles de gris y se produce una tercera imagen cuyos valores son los de hacer un OR/NOROR/NOR entre cada par de píxeles correspondientes de la primera y segunda imágenes.
Cuando la imagen no es binaria las operaciones entre píxeles se realizan bit a bit.
Una variación sería realizar la operación entre una imagen y un valor. En ese caso el valor se operaría con cada píxel de la imagen.
22T9. Morfología matemática
Operador OROperador OR
Usando las inversas
23T9. Morfología matemática
Operador OR sobre imágenes de grisesOperador OR sobre imágenes de grises
OR
Operadores AND y NANDOperadores AND y NAND
Se toman dos imágenes de entrada y se produce una tercera imagen cuyos valores son los de hacer un AND/NANDAND/NAND entre cada par de píxeles correspondientes de las dos imágenes. Cuando la imagen no es binaria las operaciones entre píxeles se realizan bit a bit. Una variación sería realizar la operación entre una imagen y un valor. En ese caso el valor se operaría con cada píxel de la imagen.
25T9. Morfología matemática
Operador ANDOperador AND
=
=
Operadores XOR y XNOROperadores XOR y XNOR
Se toman dos imágenes de entrada y se produce una tercera imagen cuyos valores son los de hacer un XOR/XNORXOR/XNOR entre cada par de píxeles correspondientes de las dos imágenes. Cuando la imagen no es binaria las operaciones entre píxeles se realizan bit a bit. Una variación sería realizar la operación entre una imagen y un valor. En ese caso el valor se operaría con cada píxel de la imagen.
28T9. Morfología matemática
Operador XOROperador XOR
a) Imagen 1
b) Imagen 2
c) NOT (I1)
Dilatación
Erosión
Apertura
Cierre
Thinning
Thickering
32T9. Morfología matemática
Definiciones fundamentalesDefiniciones fundamentales
Traslacion – Dado un vector x y un conjunto A, la traslación, A + x, se define como:
El conjunto básico de operaciones de Minkowski –suma y resta – se definen a partir de la traslación.
Dados A y B, donde B no se compone de píxeles, sino de vectores cuyas coordenadas se definen con respecto a [0,0], se definen la adición y substracción de Minkowski como:
33T9. Morfología matemática
DilataciónDilatación
Dilatación. La dilatación A⊕B es el conjunto de puntos de todas las posibles sumas de pares de elementos, uno de cada conjunto A y B.
Por ejemplo:
DilataciónDilatación
La operación de dilatación hace que los objetos se expandan. La cantidad y la forma en que crezcan depende del elemento estructurante que se elija. Un elemento estructurante con forma simétrica hará que la expansión sea igual en todas las direcciones. Los dos elementos estructurantes más comunes son:
35T9. Morfología matemática
Dilatación
Dilatación en imágenes de grisesDilatación en imágenes de grises
Al aplicar la dilatación a las imágenes de niveles de gris se aplica el elemento estructurante (que también es de niveles de gris) a cada píxel para definir una vecindad y se escoge el valor máximo de la suma de los correspondientes píxeles.
Habitualmente se simplifica como:
39T9. Morfología matemática
Dilatación en imágenes de niveles de grisDilatación en imágenes de niveles de gris
40T9. Morfología matemática
Dilatación en imágenes de niveles de grisDilatación en imágenes de niveles de gris
Dilatación
ErosiónErosión
La operación de Erosión combina dos conjuntos usando la resta vectorial y es el dual de la dilatación.
El resultado de la erosión son aquellos puntos de A para los cuales todas las posibles traslaciones definidas por B también están en A.
A B=elemento estructurante
ErosiónErosión
Al igual que en la dilatación, lo normal es que el elemento estructurante sea simétrico.
43T9. Morfología matemática
45T9. Morfología matemática
Erosión en imágenes de niveles de grisErosión en imágenes de niveles de gris
Al aplicar la erosión a las imágenes de niveles de gris se aplica el elemento estructurante (que también es de niveles de gris) a cada píxel para definir una vecindad y se escoge el valor mínimo de la suma de los correspondientes píxeles.
Habitualmente se simplifica como
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Erosión en imágenes de niveles de grisErosión en imágenes de niveles de gris
47T9. Morfología matemática
Erosión en imágenes de niveles de grisErosión en imágenes de niveles de gris
×2
×5
Erosión Dilatación
AperturaApertura
Consiste en realizar primero una erosión y luego una dilatación, ambas con el mismo elemento estructurante.
El efecto de la apertura es suavizar el contorno de los objetos. Se tiende a eliminar los salientes que puedan haber en el contorno.
Se eliminan pequeños elementos.
D = 7
D = 11
CierreCierre
Un cierre consiste en realizar una dilatación seguida de una erosión, utilizando en ambas operaciones el mismo elemento estructurante.
Se tiene a rellenar los agujeros que pueda tener el objeto.
Se tiene a unir objetos cercanos.
56T9. Morfología matemática
60T9. Morfología matemática
Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss
Es una operación sobre imágenes binarias que permite buscar determinados patrones de fondo y objeto. El elemento estructurante puede contener unos y ceros. El siguiente elemento estructurante permite buscar puntos de un objeto que sean esquinas inferior- derechas.
61T9. Morfología matemática
Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss
Al recorrer la imagen con el elemento estructurante se marcan aquellos puntos que coinciden exactamente con el patrón dado por el elemento.
Para poder localizar todas las esquinas de la imagen serían necesarios cuatro elementos, uno por cada tipo de esquina.
Se aplicaría cada uno de los elementos, obteniendo cuatro imágenes resultantes que se deberían combinar con el operador OR.
62T9. Morfología matemática
Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss
63T9. Morfología matemática
Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss
Cuatro elementos estructurantes
Puntos detectados usando 3
Esta operación permite eliminar píxeles del objeto.
Su objetivo es ir estrechando los objetos hasta dejarlos como un camino de píxeles conexos.
El thinning se aplica reiteradas veces de manera que se vaya limando la figura del objeto.
Su principal utilidad es reducir el grosor de los bordes que se obtienen después de aplicar un detector.
Los elementos estructurantes están formados por unos y ceros.
Se puede expresar el thinningthinning como:
donde la resta se define como:
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ThinningThinning
Mediante los 4 giros de 90º de los siguientes dos elementos se puede obtener el skeleton de una figura.
66T9. Morfología matemática
detector de bordes Sobel
La operación de thickening se expresa como:
Se traslada el elemento estructurante sobre cada píxel de la imagen. Aquellos que coinciden con el patrón se ponen a 1.
La operación se suele aplicar reiteradas veces.
Esta operación se puede usar para calcular el convexconvex hullhull de una región.
El convexconvex hullhull de una región es otra región que engloba a todos los píxeles de la primera pero que no tiene concavidades en su contorno.
68T9. Morfología matemática
obtenemos el convexconvex hullhull de la siguiente imagen:
69T9. Morfología matemática