Tabel 1. Jumlah kebutuhan batu kerikil pada masing-masing ... · PDF fileSTEPPING-STONE dan MODI. Metode lainnya akan diberikan kemudian ... Pabrik W Pabrik X Pabrik Y 4 16 8 8 24

Location - Transportation Method

Kuliah Manajemen Operasi - 1 – wit – fe uksw salatiga

Metode Transportasi Metode transportasi dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa persoalan optimasi. Persoalan transportasi berkenaan dengan pemilihan route (jalur) pengangkutan yang mengakibatkan biaya total dari pengangkutan itu minimum. Perumusan persoalan pertama kali dikemukakan oleh F.L. Hitchock pada tahun 1941, kemudian diperluas oleh T.C. Koopmans. Pada tahun 1953, W.W. Cooper dan A. Charnes mengembangkan metode STEPPING-STONE, dan selanjutnya pada tahun 1955, sebagai modifikasi dari metode Stepping-Stone, dikembangkan metode MODI (MODIFIED DISTRIBUTION) Dalam hand-out ini, dibahas penyelesaian persoalan trasnportasi dengan menggunakan metode STEPPING-STONE dan MODI. Metode lainnya akan diberikan kemudian sebagai tambahan. I. Persoalan transportasi I (Permintaan = Penawaran) Sebuah perusahaan (BGC) menerima suatu kontrak untuk menyediakan batu kerikil untuk tiga proyek pembuatan jalan di kota-kota Greenville (A), Fountain (B) dan Ayden (C). Kebutuhan batu kerikil di kota-kota tersebut adalah:

Tabel 1. Jumlah kebutuhan batu kerikil pada masing-masing proyek

Proyek Lokasi Kebutuhan (muatan truk)

A B C

Total

Green ville Fountain Ayden

72 102 41

215 Perusahaan BGC mempunyai tiga pabrik batu kerikil yang terletak di kota-kota Kinston (W), Wilson (X) dan Bethel (Y). Masing-masing pabrik dapat menyediakan batu kerikil sebanyak:

Tabel 2. Jumlah kapasitas penyediaan batu kerikil pada tiap-tiap pabrik

Pabrik Lokasi Kapasitas Pabrik (muatan truk)

W X Y

Total

Kinston Wilson Bethel

56 82 77

215 Dari kedua tabel di atas, dapat dilihat bahwa total kapasitas dari ketiga pabrik (W,X dan Y) tepat sama dengan kebutuhan di tiga proyek (A,B dan C). Kasus semacam ini dalam dunia nyata sangat kecil kemungkinan terjadinya, namun sebagai cara untuk belajar metode transportasi, contoh ini akan membuat belajar menjadi lebih mudah. Perusahaan BGC telah menghitung biaya pengangkutan dari ketiga pabrik ke ketiga proyek. Biaya-biaya itu adalah:



Tabel 3. Biaya angkut batu kerikil dari tiap-tiap pabrik ke masing-masing proyek Biaya per muatan-truk (dalam $) Dari Ke proyek A Ke proyek B Ke proyek C

Pabrik W Pabrik X Pabrik Y

4 16 8

8 24 16

8 16 24

Perbedaan biaya dari tiap-tiap pabrik ke masing-masing proyek itulah yang sebenarnya menjadi masalah, sebab harus dicari kombinasi yang menyebabkan biaya angkut total menjadi minimum Seandainya, biaya angkut dari tiap-tiap pabrik ke masing-masing proyek per muatan-truk adalah sama, maka tidak menjadi masalah, sebab muatan dari pabrik manapun diangkut ke proyek manapun akan menyebabkan pengeluaran biaya yang sama. Bagaimana menyelesaikan persoalan di atas dengan metode transportasi menggunakan metode STEPPING-STONE? LANGKAH 1, MENYUSUN TABEL TRANSPORTASI

Tabel 4. Tabel transportasi

Tabel transportasi disusun seperti di atas: • Kebutuhan/permintaan (proyek) diletakkan pada kolom • Kapasitas/penawaran (pabrik) diletakkan pada baris • Kolom paling kanan berisi total kapasitas pabrik (sesuai baris pabriknya) • Baris paling bawah berisi total kebutuhan proyek (sesuai kolom proyeknya) • Biaya, diletakkan di sudut kanan atas pada setiap sel (kotak) yang bersesuaian antara baris

(pabrik) dengan kolom (proyek) LANGKAH 2, MENYELESAIKAN PEMECAHAN I (AWAL) Metode STEPPING-STONE, menuntun pemecahan persoalan trasnportasi dengan memulai membuat alokasi material dimulai dari sel kiri atas menuju sel kanan bawah. Dasar alokasi metode ini adalah memenuhi dulu kebutuhan proyek pada kolom paling kiri, baru kemudian mulai memenuhi kebutuhan proyek pada kolom sebelah kanannya, dst. Atau dengan lain kata, habiskan dahulu kapasitas pabrik pada baris paling atas, kemudian mulai menggunakan kapasitas pabrik pada baris di bawahnya. Ingat sekali lagi, dimulai dari kiri atas, ke kanan bawah.

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek

Proyek CProyek B KapasitasPabrikdari

ke

56

77

82

72 41102 215215

84

16

8 16

24

24

16

8



Tabel 5. Pemecahan I (awal) persoalan transportasi

Penjelasan tabel pemecahan awal: • Segi empat WA, berisi 56, kebutuhan proyek A = 72 truk, kebutuhan proyek A ini harus

dipenuhi terlebih dahulu, maka seluruh kapasitas pabrik W digunakan untuk memenuhi proyek A.

• Segi empat XA, berisi 16, kebutuhan proyek A = 72 truk, sudah disediakan oleh pabrik W sebanyak 56 truk, sehingga perlu mengambil dari pabrik X, 16 truk.

• Segi empat XB, berisi 66, kapasitas pabrik X = 82 truk, sudah digunakan untuk memenuhi kebutuhan proyek A, 16 truk, sisa kapasitas pabrik X (66) digunakan untuk memenuhi kebutuhan proyek B.

• Segi empat YB, berisi 36, kebutuhan proyek B = 102 truk, sudah disediakan oleh pabrik X sebanyak 66 truk, sehingga perlu mengambil dari pabrik Y, 36 truk.

• Segi empat YC, berisi 41, kapasitas pabrik Y = 77 truk, sudah digunakan untuk proyek B sebanyak 36 truk, sisanya 41 truk digunakan untuk proyek C.

Pemecahan awal seperti di atas adalah NORMAL, yaitu jumlah segi empat yang berisi (WA, XA, XB, YB, YC) = (rim requirement - 1) → rim requirement = jumlah baris + jumlah kolom Jika dihitung, biaya yang ditimbulkan dari pemecahan awal itu adalah:

Tabel 6. Perhitungan biaya dari pemecahan awal

Segi empat terisi (kombinasi sumber-tujuan)

Jumlah dikirim (truk)

Biaya per truk ($)

Total Biaya ($)

WA XA XB YB YC

TOTAL

56 16 66 36 41

215

4 16 24 16 24

224 256

1584 576 984

3624

Apakah total biaya dari pemecahan awal ini minimum? Perlu diuji. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN Sebenarnya alokasi muatan dapat dilakukan pada setiap segi empat. (tidak hanya di segi empat-segi empat WA, XA, XB, YB dan YC).

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 41

84

16

8 16

24

24

16

8



Uji perbaikan pada segi empat WB: Bagaimana seandainya ditempatkan muatan ke segi empat WB? Jika satu muatan akan ditempatkan pada segi empat WB, maka harus dikurangi satu muatan dari segi empat WA, ditambah satu muatan pada segi empat YA dan dikurangi satu muatan pada segi empat YB (supaya total kapasitas dan total kebutuhan/ jumlah ke kanan dan jumlah ke bawah tetap)

Tabel 7. Uji perbaikan pada segi empat WB - 1

Perhatian sekarang pada segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB. Jika satu muatan ditempatkan pada segi empat WB, maka penempatan sekarang menjadi:

Tabel 8. Uji perbaikan pada segi empat WB - 2 (seandainya 1 muatan dipindahkan ke WB)

Bagaimana dampak perubahan penempatan tersebut pada total biaya? Perubahan biaya karena perubahan penempatan itu dapat di hitung:

Penambahan biaya: Pada segi empat WB → 1 muatan × $ 8 → + 8 Pada segi empat XA → 1 muatan × $ 16 → + 16 Pengurangan biaya: Pada segi empat WA → 1 muatan × $ 4 → - 4 Pada segi empat XB → 1 muatan × $ 24 → - 24

Total perubahan biaya = - $ 4 (berkurang $ 4) Perhitungan ini dapat dilakukan secara langsung dengan mengikuti jalur uji. Jalur uji WB → +WB, -WA, +XA, -XB Perubahan biaya (+$8 -$4 +$16 -$24) → -$4

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 41

+1-1

+1 -1

84

16

8 16

24

24

16

8

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

55

17 65

36 41

1



Selanjutnya dapat diuji juga pada segi empat-segi empat kosong yang lainnya. Uji perbaikan pada segi empat YA:

Tabel 9. Uji perbaikan pada segi empat YA

Jalur uji: +YA, -YB, +XB, -XA Perubahan biaya: +8 -16 +24 -16 → $ 0 Uji perbaikan pada segi empat XC:

Tabel 10. Uji perbaikan pada segi empat XC

Jalur uji: +XC, -XB, +YB, -YC Perubahan biaya: +16 -24 +16 -24 → $16 Uji perbaikan pada segi empat WC:

Tabel 11. Uji perbaikan pada segi empat WC

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 41- 1

-1

+1

+ 1

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 41+1 -1

+1-1

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 41+1 -1

+1

-1

-1

+1

84

16

8 16

24

24

16

8



Jalur uji: +WC, -WA, +XA, -XB, +YB, -YC Perubahan biaya: +8 -4 +16 -24 +16 -24 → -$12 Perubahan biaya pada uji terhadap segi empat-segi empat yang tidak digunakan disebut indeks perbaikan (improvement index) Secara singkat, indeks perbaikan-indeks perbaikan pada semua segi empat yang diuji dapat digambarkan sebagai berikut:

Tabel 12. Indeks perbaikan pada semua segi empat yang diuji

Tampak dalam tabel di atas angka-angka yang dilingkari menunjukkan indeks perbaikan pada segi empat di mana angka tersebut berada. Indeks perbaikan ini berarti perubahan biaya jika satu muatan dipindahkan ke segi empat tersebut.

WB: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat WB, biaya akan berkurang $4 WC: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat WC, biaya akan berkurang $12 XC: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat XC, biaya akan berkurang $16 YA: jika satu muatan dipindahkan ke segi empat YA, biaya akan berkurang $0

LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS Dari ke empat segi empat yang diuji, ternyata segi empat XC memiliki indeks perbaikan paling bagus (pengurangan biaya paling besar), segi empat XC inilah yang dipilih.

Tabel 13. Segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus.

Sekarang dilihat jalur yang berkenaan dengan indeks perbaikan pada segi empat XC tersebut:

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 410

-16

-12- 484

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 410

-16

-12- 4

dipilih karena memiliki indeks perbaikan terbesar

84

16

8 16

24

24

16

8



Tabel 14. Jalur pada segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus.

LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH Jalur yang berkenaan dengan indeks perbaikan yang dipilih (XC) adalah XC, XB, YB dan YC. Indeks perbaikan -$16 artinya, jika satu muatan dipindahkan ke XC, biaya akan berkurang $16. Agar pengurangan biaya dapat maksimal, maka tidak hanya satu muatan sebaiknya dipindahkan ke XC. Berapa banyak muatan dapat dipindahkan ke XC ? Kaidah yang dipakai adalah angka terkecil pada posisi negatif (the smallest stone in a negative position). Di antara segi empat-segi empat XC, XB, YB dan YC, yang berada pada posisi negatif adalah segi empat XB dan YC. Segi empat XB berisi 66 dan YC berisi 41, sehingga angka terkecilnya adalah 41 (pada segi empat YC), oleh karena itu agar pengurangan biaya dapat meksimal, 41 muatan dipindahkan ke segi empat XC.

Tabel 15. Pemindahan muatan ke segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus

LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU Setelah pemindahan muatan sebanyak 41 ke segi empat XC, tabel transportasi sekarang adalah:

Tabel 16. Pemecahan II persoalan transportasi

Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, "pekerjaan" selanjutnya adalah mengulang kembali LANGKAH 3, yaitu UJI PERBAIKAN. Setelah UJI PERBAIKAN, jika diperlukan lanjutkan lagi dengan LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36 41+

+-

-

Perhatianpadaareaini

16

24

24

16

66 - 41 + 41

41 - 4136 + 41

56

16 25

77

41Pabrik

X

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

84

16

8 16

24

24

16

8



PALING BAGUS, lanjutkan lagi dengan LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH dan terakhir LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU lagi. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN ...................................................................................#2 Diuji indeks perbaikan pada segi empat kosong WB, WC, YA dan YC. Sebelum dapat menemukan indeks perbaikannya, haruslah terlebih dahulu ditemukan jalur-jalur yang berkenaan. Jalur-jalur yang berkenaan dengan segi empat WC, YA, YC dan WB adalah sebagai berikut:

Tabel 17. Jalur uji perbaikan pada segi empat WC, YA, YC dan WB

Setelah ditemukan jalurnya, sekarang dihitung indeks perbaikan pada setiap segi empat yang diuji. (dihitung dengan cara seperti di depan, selanjutnya dipilih indeks perbaikan paling bagus dan dilanjutkan dengan memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih. LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS

...............................................................................................#2 Indeks perbaikan, serta segi empat yang dipilih dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 18. Indeks perbaikan serta pilihan segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus

LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH .....#2

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 66

36

41 -1

+1-1

+1

84

16

8 16

24

24

16

8

16 66

36 -1

+1-1

+1

16

8 16

24

66

36

41 -1

-1

+1

+116

24

24

16

56

16 66 -1

+1-1

+1

4

16 24

8

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

56

16 25

77

41

- 4 + 4

+160

dipilih karena memiliki

indeks perbaikan terbesar



Ingat kembali kaidah angka terkecil pada posisi negatif. Untuk segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB, pada posisi negatif adalah WA dan XB, masing-masing WA = 56 dan XB = 25, maka muatan sebanyak 25 dapat dipindahkan ke segi empat WB

Tabel 19. Pemindahan muatan ke segi empat yang dipilih

LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU .......................#2 Setelah pemindahan muatan sebanyak 25 ke segi empat WB, maka tabel transportasi yang baru adalah:

Tabel 20. Pemecahan III persoalan transportasi

Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, "pekerjaan" selanjutnya adalah mengulang kembali LANGKAH 3, yaitu UJI PERBAIKAN. Setelah UJI PERBAIKAN, jika diperlukan lanjutkan lagi dengan LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS, lanjutkan lagi dengan LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH dan terakhir LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU lagi. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN ..................................................................................#3 Diuji indeks perbaikan pada segi empat kosong WC, XB, YA dan YC. Sebelum dapat menemukan indeks perbaikannya, haruslah terlebih dahulu ditemukan jalur-jalur yang berkenaan. Jalur-jalur yang berkenaan dengan segi empat YC, WC, YA dan XB adalah sebagai berikut:

56 - 25

25 -2516 + 25

+ 25

4

16 24

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

31

41

25

77

41

84

16

8 16

24

24

16

8



Tabel 21. Jalur uji perbaikan pada segi empat YC, WC, YA dan XB

Setelah ditemukan jalurnya, sekarang dihitung indeks perbaikan pada setiap segi empat yang diuji. (dihitung dengan cara seperti di depan, selanjutnya dipilih indeks perbaikan paling bagus dan dilanjutkan dengan memindahkan muatan ke segi empat yang dipilih. LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS

...............................................................................................#3 Indeks perbaikan, serta segi empat yang dipilih dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 22. Indeks perbaikan serta pilihan segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus

LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH .....#3 Ingat kembali kaidah angka terkecil pada posisi negatif. Untuk segi empat-segi empat YA, YB, WB dan WA, pada posisi negatif adalah YB dan WA, masing-masing YB = 77 dan WA = 31, maka muatan sebanyak 31 dapat dipindahkan ke segi empat WB

Tabel 23. Pemindahan muatan ke segi empat yang dipilih

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

31

41

25

77

41

+1

-1+1

-1 +1

-1

84

16

8 16

24

24

16

8

31

41

25

41 -1+1

-1+1

84

16 24 16

8

31

41

25

77+1

-1 +1

-1

4

16

8 16

24

8

31

41

25

-1

+1 -1

+1

4

16 24

8

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

31

41

25

77

41

+ 4

+12- 4

+ 4





LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU .......................#3 Setelah pemindahan muatan sebanyak 31 ke segi empat YA, maka tabel transportasi yang baru adalah:

Tabel 24. Pemecahan IV persoalan transportasi

Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, "pekerjaan" selanjutnya adalah mengulang kembali LANGKAH 3, yaitu UJI PERBAIKAN. Setelah UJI PERBAIKAN, jika diperlukan lanjutkan lagi dengan LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS, lanjutkan lagi dengan LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH dan terakhir LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU lagi. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN ..................................................................................#4 Diuji indeks perbaikan pada segi empat kosong WA, WC, XB, dan YC. Sebelum dapat menemukan indeks perbaikannya, haruslah terlebih dahulu ditemukan jalur-jalur yang berkenaan. Jalur-jalur yang berkenaan dengan segi empat WC, YC, WA dan XB adalah sebagai berikut:

4

16

8 16

24

8

31-31

41

25+31

77-31+31

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

4

16

8 16

24

24

16

88

56

77

82

72 41102 215215

31

41

56

46

41



Tabel 25. Jalur uji perbaikan pada segi empat WC, YC, WA dan XB

Setelah ditemukan jalurnya, sekarang dihitung indeks perbaikan pada setiap segi empat yang diuji. (dihitung dengan cara seperti di depan) LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS

...............................................................................................#4 Indeks perbaikan, pada setiap segi empat kosong dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 26. Indeks perbaikan pada setiap segi empat kosong

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa sekarang sudah tidak ada indeks perbaikan yang negatif, artinya pemindahan muatan ke segi empat-segi empat yang diuji tersebut tidak akan mengurangi biaya. Jadi sampai di sini sudah tidak perlu dilanjutkan lagi, dengan lain kata, sudah tidak perlu ada segi empat yang dipilih, jadi pemecahan ke empat (Tabel 24) di atas adalah pemecahan yang optimal (total biaya angkut minimal). Indeks perbaikan positif berarti jika muatan dipindahkan ke segi empat dengan indeks perbaikan positif itu, biaya akan bertambah.

16

8 16 24

1624

31 46

41

+1

-1+1

-1

414

16

8 16

24

8

31

41

56

46 +1

+1-1

-1

16

8 16

24

31

41

46

+1- 1

+1 - 1

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

4

16

8 16

24

24

16

8

56

77

82

72 41102 215215

31

41

56

46

41

+1

-1

+1

+1

-1

-1

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

4

16

8 16

24

24

16

88

56

77

82

72 41102 215215

31

41

56

46

41

+8+ 4

+12

0



Namun, jika di perhatikan pada uji indeks perbaikan, ditemui indeks perbaikan 0 (nol), yaitu pada segi empat XB. Hal ini berarti, jika muatan dipindahkan ke segi empat XB, tidak akan terjadi pengurangan maupun penambahan biaya, alias biayanya sama saja. Oleh karena itu pada segi empat dengan indeks perbaikan 0 (nol), muatan boleh dipindahkah atau tidak dipindahkan. Seandainya muatan dipindahkan ke segi empat XB, maka muatan yang dapat dipindah ke XB adalah sebanyak 41 (ingat kembali: angka terkecil pada posisi negatif). Setelah pemindahan muatan sebanyak 41 ke segi empat XB, tabel transportasi yang baru menjadi:

Tabel 27. Pemecahan alternatif dari pemecahan optimal

Jika dihitung biaya total dari pemecahan optimal alternatif ini adalah:

Tabel 28. Perhitungan biaya dari pemecahan optimal Segi empat terisi

(kombinasi sumber-tujuan) Jumlah

dikirim (truk) Biaya

per truk ($) Total Biaya

($) WB XB XC YA YB

TOTAL

56 41 41 72 5

215

8 24 16 8

16

448 984 656 576 80

2744

Total biaya dari pemecahan optimal alternatif ini adalah minimum, sama dengan total biaya pada pemecahan optimal (Tabel 24) Cara seperti di atas adalah pemecahan persoalan transportasi PENAWARAN = PERMINTAAN dengan menggunakan metode STEPPING-STONE. Pengembangan metode STEPPING-STONE adalah metode MODIFIED DISTRIBUTION (MODI). Metode MODI sebenarnya prinsip dasarnya sama dengan metode STEPPING-STONE, hanya saja dalam menghitung indeks perbaikan ada sedikit perbedaan. Jika dengan metode STEPPING-STONE, sebelum menghitung indeks perbaikan harus terlebih dahulu ditemukan jalur uji-nya, pada metode MODI, jalur uji tidak perlu ditemukan dahulu. Pada MODI, hanya perlu ditemukan satu jalur uji yaitu jalur pada segi empat yang memiliki indeks perbaikan paling bagus (segi empat yang dipilih) Sekarang diselesaikan persoalan transportasi perusahaan BGC di atas dengan menggunakan metode MODI. Ada sedikit modifikasi terhadap tabel transportasi dengan menggunakan metode MODI. Ditambahkan nilai R (row) untuk baris-baris dan C (column) untuk kolom-kolom.

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

72

41

56

5

41

84

16

8 16

24

24

16

8



R1 untuk baris pertama, R2 untuk baris kedua dan seterusnya. C1 untuk kolom pertama, C2 untuk kolom kedua dan seterusnya.

Nilai R dan C di sesuaikan dengan biaya angkut pada segi empat-segi empat yang terisi, dengan terlebih dahulu memberi nilai R1 = 0 (nol). Untuk nilai R lainnya serta nilai C, dapat dihitung dengan rumus:

dimana: * Ri adalah R pada baris yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi. * Ci adalah C pada kolom yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi.

* Biaya pada segi empat terisi ij; biaya pada segi empat yang bersesuaian dengan R dam C yang diperhitungkan

Menyelesaikan persoalan transportasi perusahaan BGC di atas dengan metode MODI: LANGKAH 1, MENYUSUN TABEL TRANSPORTASI (MODI)

Tabel 29. Tabel transportasi (MODI)

Tabel transportasi dibuat mirip dengan metode STEPPING-STONE, hanya dengan tambahan "tempat" untuk meletakkan nilai R dan C. Nilai R1 = 0, sedangkan nilai R lainnya serta nilai-nilai C, ditentukan kemudian setelah muatan dialokasikan. LANGKAH 2, MENYELESAIKAN PEMECAHAN I (AWAL) Metode MODI, menuntun pemecahan persoalan transportasi dengan memulai membuat alokasi material dimulai dari sel kiri atas menuju sel kanan bawah (sama dengan pada STEPPING-STONE)

Tabel 30. Pemecahan I (awal) persoalan transportasi (MODI)

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = ? C3 = ?C2 = ?

R3 = ?

R2 = ?

R1 = 084

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 20C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 66

36 41

84

16

8 16

24

24

16

8

Ri + Cj = Biaya pada segi empat terisi ij



Alokasi muatan sama persis dengan STEPPING-STONE (lihat Tabel 5), perbedaan hanya sekarang ditambahkan nilai R dan C. Nilai R dan C:

R1 = 0 → ditentukan awal C1 = 4 → R1 + C1 = 4 (biaya pada segi empat terisi WA) ⇒ R1 = 0 R2 = 12 → R2 + C1 = 16 (biaya pada segi empat terisi XA) ⇒ C1 = 4 C2 = 12 → R2 + C2 = 24 (biaya pada segi empat terisi XB) ⇒ R2 = 12 R3 = 4 → R3 + C2 = 16 (biaya pada segi empat terisi YB) ⇒ C2 = 12 C3 = 20 → R3 + C3 = 24 (biaya pada segi empat terisi YC) ⇒ R3 = 16

Nilai R dan C dihitung berdasarkan biaya pada segi empat terisi. Karena nilai R1 sudah ditentukan di awal (yaitu sebesar 0), maka selanjutnya nilai C dan R yang lainnya dapat dihitung. Hitung dahulu nilai R atau C yang sudah bisa dihitung, jadi tidak selalu setelah R1 kemudian C1, kemudian R2, kemudian C2..dst. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN Uji perbaikan (menghitung indeks perbaikan pada segi empat tak digunakan) pada STEPPING-STONE, harus terlebih dahulu ditemukan jalur uji-nya. Pada MODI, tidak perlu terlebih dahulu menemukan jalur uji. Indeks perbaikan pada segi empat kosong dengan MODI dapat dihitung dengan rumus: dimana: * Ri adalah R pada baris yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi. * Ci adalah C pada kolom yang bersesuaian dengan segi empat yang terisi.

* Indeks perbaikan ij; indeks perbaikan pada segi empat kosong yang bersesuaian dengan R dan C yang digunakan untuk menghitung.

* Biaya pada segi empat kosong ij; biaya pada segi empat yang bersesuaian dengan R dam C yang diperhitungkan

Rumus di atas dapat juga dituliskan: Dari rumus di atas dapat dihitung indeks perbaikan pada segi empat -segi empat kosong.

WB: R1 + C2 + Indeks Perbaikan = 8 0 + 12 + Indeks Perbaikan = 8 → Indeks Perbaikan = -4 ($) WC: R1 + C3 + Indeks Perbaikan = 8 0 + 20 + Indeks Perbaikan = 8 → Indeks Perbaikan = -12 XC: 16 - R2 - C3 = Indeks Perbaikan 16 - 12 - 20 = -16 YA:

Ri + Cj + Indeks Perbaikan ij = Biaya pada segi empat kosong ij

Biaya pada segi empat kosong ij - Ri - Cj - = Indeks Perbaikan ij



8 - R3 - C1 = Indeks Perbaikan 8 - 4 - 4 = 0

Semua indeks perbaikan tersebut di atas dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel 31. Indeks Perbaikan dari pemecahan I (MODI)

Angka yang dilingkari menunjukkan indeks perbaikan pada segi empat di mana angka itu berada. Langkah selanjutnya adalah memilih indeks perbaikan yang paling bagus LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS Dari ke empat segi empat yang diuji, ternyata segi empat XC memiliki indeks perbaikan paling bagus (pengurangan biaya paling besar), segi empat XC inilah yang dipilih

Tabel 32. Segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus.

Setelah indeks perbaikan yang paling bagus dipilih, selanjutnya adalah menemukan jalur untuk segi empat yang dipilih tersebut.

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 20C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 66

36 41

- 4 -12

-16

0

84

16

8 16

24

24

16

8

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 20C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 66

36 41

- 4 -12

-16

0

dipilih karena memiliki indeks perbaikan terbesar

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 20C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 66

36 41

+-

+ -




Tabel 33. Jalur pada segi empat yang dipilih. Setelah menemukan jalurnya, selanjutnya: LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH Jalur yang berkenaan dengan indeks perbaikan yang dipilih (XC) adalah XC, XB, YB dan YC. Berapa banyak muatan dapat dipindahkan ke XC ? Kaidah yang dipakai adalah angka terkecil pada posisi negatif (the smallest stone in a negative position). Di antara segi empat-segi empat XC, XB, YB dan YC, yang berada pada posisi negatif adalah segi empat XB dan YC. Segi empat XB berisi 66 dan YC berisi 41, sehingga angka terkecilnya adalah 41 (pada segi empat YC), oleh karena itu agar pengurangan biaya dapat meksimal, 41 muatan dipindahkan ke segi empat XC.

Tabel 34. Pemindahan muatan ke segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus (sama dengan Tabel 15)

LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU Setelah pemindahan muatan sebanyak 41 ke segi empat XC, tabel transportasi sekarang adalah:

Tabel 35. Pemecahan II persoalan transportasi (MODI)

Tabel di atas sudah dilengkapi dengan nilai R dan C serta indeks perbaikan pada setiap segi empat kosong. Setiap kali dibuat tabel transportasi yang baru, nilai R dan C harus dihitung ulang. Nilai R1 ditentukan = 0 (nol), nilai C dan R lainnya dihitung dengan cara yang sama seperti di atas, demikian juga indeks perbaikan pada segi empat kosong-nya. Setelah diketahui nilai R dan C beserta indeks perbaikan pada segi empat-segi empat kosong, jika masih ada indeks perbaikan yang negatif, diulang lagi mulai LANGKAH 4, yaitu MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS, selanjutnya diteruskan sampai membuat tabel transportasi yang baru.

16

24

24

16

66 - 41 + 41

41 - 4136 + 41

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 25

77

41

+4- 4

0 +16

84

16

8 16

24

24

16

8



LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS ................................................................................................#2

Dari Tabel 35 di atas, dapat dipilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN (menghitung indeks perbaikan)................................#2 Indeks perbaikan pada segi empat kosong dihitung dengan cara seperti di atas, dengan rumus:

Tabel 36. Indeks Perbaikan pemecahan II persoalan transportasi (MODI)

Setelah diketahui indeks perbaikan pada segi empat-segi empat kosong, jika masih ada indeks perbaikan yang negatif, dilanjutkan ke LANGKAH 4, yaitu MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS, selanjutnya diteruskan sampai membuat tabel transportasi yang baru. LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS

................................................................................................#2 Dari Tabel 35 di atas, dapat dipilih segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus. Indeks perbaikan yang paling bagus adalah -4, terletak pada segi empat WB

Tabel 37. Segi empat dengan indeks perbaikan paling bagus (MODI)

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 25

77

41

+4- 4

0 +16

84

16

8 16

24

24

16

8



PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 25

77

41

+4- 4

0 +16

84

16

8 16

24

24

16

8

Biaya pada segi empat kosong ij - Ri - Cj - = Indeks Perbaikan ij



Setelah segi empat dipilih, selanjutnya harus ditemukan jalurnya.

Tabel 38. Jalur untuk segi empat yang dipilih (MODI)

LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH .....#2 Ingat kembali kaidah angka terkecil pada posisi negatif. Untuk segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB, pada posisi negatif adalah WA dan XB, masing-masing WA = 56 dan XB = 25, maka muatan sebanyak 25 dapat dipindahkan ke segi empat WB

Tabel 39. Pemindahan muatan ke segi empat yang dipilih (sama dengan Tabel 19)

LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU .......................#2 Setelah pemindahan muatan sebanyak 25 ke segi empat WB, maka tabel transportasi yang baru adalah:

Tabel 40. Pemecahan III persoalan transportasi (MODI)

84

16

8 16

24

24

16

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 12

R3 = 4

R2 = 12

R1 = 0 56

16 25

77

41

-

-

+

+


56 - 25

25 -2516 + 25

+ 25

4

16 24

8

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 8

R3 = 8

R2 = 12

R1 = 0 31

41

25

77

41

84

16

8 16

24

24

16

8



Tabel di atas sudah dilengkapi dengan nilai R dan C, nilai R1 ditentukan yaitu NOL, sedangkan nilai C dan R lainnya dihitung dengan cara seperti di atas. Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, selanjutnya adalah mengulang kembali LANGKAH 3, yaitu UJI PERBAIKAN (menghitung indeks perbaikan), jika diperlukan lanjutkan lagi sampai dengan LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU lagi. LANGKAH 3, UJI PERBAIKAN (menghitung indeks perbaikan)................................#3 LANGKAH 4, MEMILIH SEGI EMPAT DENGAN INDEKS PERBAIKAN PALING BAGUS

................................................................................................#3

Tabel 41. Indeks Perbaikan, serta pilihan indeks perbaikan terbagus, dari pemecahan III persoalan transportasi (MODI)

Tabel 42. Jalur untuk segi empat yang dipilih dari pemecahan III persoalan transportasi (MODI)

Setelah jalur ditemukan, langkah selanjutnya adalah LANGKAH 5, MEMINDAHKAN MUATAN KE SEGI EMPAT YANG DIPILIH ....#3 LANGKAH 6, MEMBUAT TABEL TRANSPORTASI YANG BARU .......................#3

Tabel 43. Pemecahan IV persoalan transportasi (MODI)

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 8

R3 = 8

R2 = 12

R1 = 0 31

41

25

77

41

84

16

8 16

24

24

16

8 + 4

+12- 4

+ 4



PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 4 C3 = 4C2 = 8

R3 = 8

R2 = 12

R1 = 0 31

41

25

77

41

84

16

8 16

24

24

16

8

-

-

+

+




Setelah dibuat tabel transportasi yang baru, berikut dihitung nilai R dan C-nya, dihitung lagi indeks perbaikan pada setiap segi empat kosong. (Nilai R dan C, beserta Indeks Perbaikan dihitung dengan cara seperti di depan)

Tabel 44. Indeks perbaikan dari pemecahan IV persoalan transportasi (MODI)

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa tidak ada lagi indeks perbaikan yang negatif, artinya, pemecahan IV (Tabel 43) di atas sudah optimal, tidak perlu dilanjutkan lagi. Metode MODI maupun STEPPING-STONE menghasilkan tabel-tabel transportasi I, II, III dst., yang sama, hanya caranya yang agak berbeda. Selanjutnya masuk pada persoalan transportasi II, yaitu jika permintaan tidak sama dengan penawaran. II. Persoalan transportasi II (Permintaan ≠ Penawaran) Contoh kasus: Permintaan < Penawaran Misalnya ada sedikit modifikasi dari persoalan transportasi perusahaan BGC, dimana sekarang kapasitas pabrik W menjadi 72 muatan truk, maka total kapasitas pabrik menjadi 235 muatan truk. Pemecahan awal dari persoalan di atas adalah:

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 0 C3 = 0C2 = 8

R3 = 8

R2 = 16

R1 = 084

16

8 16

24

24

16

8

31

41

56

46

41

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

56

77

82

72 41102 215215

C1 = 0 C3 = 0C2 = 8

R3 = 8

R2 = 16

R1 = 084

16

8 16

24

24

16

8

31

41

56

46

41

+8+ 4

+12

0



Tabel 45. Pemecahan I (awal) persoalan transportasi (permintaan < penawaran)

Tampak ada sedikit perbedaan antara Tabel 44 di atas dengan Tabel 5. Untuk menyelesaikan persoalan transportasi dimana permintaan tidak sama dengan penawaran, tidak bisa dilanjutkan begitu saja dari tabel seperti Tabel 45, di atas. Pada kasus permintaan < penawaran langkah yang harus dilakukan adalah menambahkan kolom bayangan (dummy) agar jumlah total penawaran = total permintaan. Jika permintaan > penawaran, maka perlu ditambah baris dummy (baris bayangan) Pada kolom (dan juga baris) dummy, 'dipasang' biaya angkut sebesar 0 (nol). Untuk kasus di atas, setelah dilakukan penambahan kolom dummy, tabel transportasinya menjadi:

Tabel 46. Pemecahan I (awal) persoalan transportasi (permintaan < penawaran) (setelah menambah kolom dummy)

Untuk selanjutnya, pemecahan I itu dapat diuji dan diteruskan baik menggunakan metode STEPPING-STONE maupun MODI, sampai diperoleh pemecahan optimal. Pemecahan optimal untuk kasus di atas adalah:

Tabel 47. Pemecahan optimal persoalan transportasi (permintaan < penawaran)

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

76

77

82

72 41102 235215

72 4

82

16 41

84

16

8 16

24

24

16

8

DUMMY C

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

76

77

82

72 41102

72 4

82

16 41

4

16

8 16

24

8

235235

8

24

16

0

0

0

20

20



Tampak dari tabel tersebut, pada kolom dummy ada muatan sebanyak 20 (di pabrik X), itu berarti bahwa sebenarnya ada kelebihan penawaran di pabrik X, atau dengan lain kata, sebaiknya pada pabrik X disisakan 20 muatan truk. III. Persoalan transportasi III (Degenerasi) Jika normal, maka pada pemecahan I (awal) persoalan transportasi, segi empat yang terisi adalah sebanyak Rim Requirement -1, {(jumlah baris + jumlah kolom) - 1}. Degenerasi adalah jika pada tabel transportasi, jumlah segi empat yang terisi kurang dari Rim Requirement - 1. Contoh:

Tabel 48. Pemecahan I (awal) persoalan transportasi (degenerasi)

Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa segi empat yang terisi hanya 4 buah (WA, WB, XB dan YC), sehingga ada 'jalur yang terputus' dari segi empat terisi XB ke segi empat terisi YC. Jika jalur terputus, maka penyelesaian menggunakan metode STEPPING-STONE akan mengalami jalan buntu karena tidak dapat menemukan jalur untuk uji perbaikan, demikian juga jika menggunakan MODI, akan tidak dapat menemukan nilai R dan C, karena persamaan Ri + Cj = Biaya pada segi empat terisi, tidak akan dapat diselesaikan. Masalah degenerasi ini diatasi dengan cara mengisi segi empat yang dapat membuat jalur menjadi tidak terputus (membuat jembatan) dengan muatan sebesar 0 (nol). Jadi pada kasus di atas, 'jembatan' dapat dibuat dengan menempatkan muatan sebanyak 0 (nol) pada segi empat XC atau YB. Setelah diberi 'jembatan', tabel pemecahan I yang baru adalah:

DUMMY C

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

76

77

82

72 41102

72

76

21

5

41

4

16

8 16

24

8

235235

8

24

16

0

0

020

20

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

55

35

25

35 3545 115115

35 20

25

35

84

16

8 16

24

24

16

8



Tabel 49. Pemecahan I (awal) - diperbaiki- persoalan transportasi (degenerasi)

Untuk selanjutnya, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan cara seperti biasanya, baik menggunakan STEPPING-STONE maupun MODI sampai didapatkan pemecahan yang optimal. Degenerasi dapat terjadi baik pada pemwcahan awal maupun pada pemecahan selanjutnya. Jika terjadi degenerasi di pemecahan kedua, ketiga dst., cara mengatasinya sama yaitu dengan cara membuat 'jembatan' dengan menempatkan muatan sebanyak 0 (nol) pada salah satu segi empat kosong, hingga jalur tidak terputus. Demikianlah persoalan transportasi beserta penyelesaiannya menggunakan metode STEPPING-STONE dan MODI.

-eof- Petrus Wijayanto FE-UKSW [email protected] ; [email protected] http://wit.salatiga.biz

PabrikX

Proyek A

PabrikW

PabrikY

KebutuhanProyek


ke

55

35

25

35 3545 115115

35 20

25

35

84

16

8 16

24

24

16

8

0

Documents

Tabel 1. Jumlah kebutuhan batu kerikil pada masing-masing ... · PDF fileSTEPPING-STONE dan MODI. Metode lainnya akan diberikan kemudian ... Pabrik W Pabrik X Pabrik Y 4 16 8 8 24