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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali TD 08 Calcul différentiel E,F deux R-espace vectoriels de dimensions finies respectives p, n 1. U E un ouvert non vide, a U et f : U F . Exercice 1: Etudier les limites des fonctions suivantes en (0, 0) : 1)f (x, y)= xy x 2 +y 2 2)f (x, y)= xy 2 x 2 +y 2 3)f (x, y)= x sin y x 2 +y 2 4)f (x, y)= x ln(x 2 + y 2 ) 5)f (x, y)= x 2 y 3 x 4 +x 2 y 2 +y 4 6)f (x, y)= x-y x+y 7)f (x, y)= sin(xy) x 2 +y 2 8)f (x, y)= 2xy-y 2 x 2 +y 2 9)f (x, y)= x 2 y x 4 -2xy+3y 2 10)f (x, y)= x 2 y x 4 +y 2 Exercice 2: Etudier la continuité des fonctions suivantes en (0, 0) : 1)f (x, y)= ( x 2 y 2 x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 2)f (x, y)= ( x 3 -2y 3 x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 3)f (x, y)= ( sin(xy) |x|+|y| si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 4)f (x, y)= ( ln(x+e y ) x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 5)f (x, y)= ( sin(x) sin(y) x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 6)f (x, y)= ( x 2 -y 2 x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Exercice 3: Montrer que la fonction f (x, y)= ( xy 2 x 2 +y 4 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) est continue en (0, 0) suivant tout vevteur non nul mais n’est pas continue en (0, 0). Exercice 4: Calculer les différentielles des fonctions suivantes : 1)f : u ∈L(E) 7tru 2)f : M ∈M n (R) 7t M 3)f :(x, y) R 2 7(2x +3y, 5x - 7y) 4)f :(x, y) R 2 7xy 5)f :(x, y) R n × R n 7< x, y > 6)f :(A,B,C) (M n (R)) 3 7ABC Exercice 5: Déterminer la dérivée de f en a suivant h dans les cas suivants : 1)f :(x, y) R 2 7xy; a = (2, 1),h = (1, 2) 2)f :(x, y) R 2 7xy x+y ; a = (1, 1),h = (1, 2) 3)f : M ∈M n (R) 7exp(M ); a =0,h = H ∈M n (R) 4)f : M ∈M n (R) 7M p ; a = A ∈M n (R),h = I n 5)f : M ∈M n (R) 7det M ; a = I n ,h = E 11 + E 22 6)f :(x, y, z) R 3 7xy + yz + zx; a = (1, 1, 1),h = (1, 2, 3) Exercice 6: Montrer que f (x, y)= ( y 3 x si x 6=0 0 si x =0 est dérivable en (0, 0) suivant tout vecteur non nul mais n’est pas continue en (0, 0). Exercice 7: Montrer que f (x, y)= ( xy2 x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon est continue et dérivable en (0, 0) suivant tout vecteur mais f n’est pas différentiable en (0, 0). Exercice 8: Déterminer les dérivées partielles en a de f dans les cas suivants : 1)f :(x, y) R 2 7xy x 2 +y 2 +1 ; a = (0, 0) 2)f :(x, y) R 2 7xy; a = (1, 2) 3)f :(x, y) R 2 7x+y x-y ; a =(x, y) 1)f : a + bX + cX 2 R 2 [X] 7a + ab + abc; a = P 2)f : P R n [X] 7P 3 ; a = P 3)f : M ∈M n (R) 7M p ; a = A Exercice 9: Etudier la différentiabilité de f dans les cas suivants : 1)f (x, y)= ( x 3 y x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon 2)f (x, y)= ( x 3 -y 3 x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon 3)f (x, y, z)= ( xy ln(x 2 + y 2 + z 2 ) si (x, y, z) 6= (0, 0, 0) 0 sinon 4)f (x, y)= ( 2x 3 +3xy 2 x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon 5)f (x, y)= ( x 2 y 3 (x 2 +y 2 ) 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon 6)f (x, y)= ( 8x 2 y 2 4x 2 +y 2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 sinon Exercice 10: Déterminer la matrice Jacobienne de f dans les cas suivants : 1) f : R 2 R 2 (x, y) 7(2x +3y, 6x - 7y) 2) f : R 2 R 3 (x, y) 7(x + y,x 2 + y 2 ,x 2 - y 2 ) . 3) f : R 3 R (x, y, z) 7x 2 + xy 3 + y sin z 4) f : R 2 R 2 (x, y) 7(x + y, xy) Exercice 11: Déterminer la différentielle de chacune des fonctions suivantes : 1)f (x, y)= x 3 +2xy 2 + x 2 y +3x 3 y 2 2)f (x, y)= x y 3)f (x, y, z)=(xy + yz + zx, xyz, x 2 + y 2 + z 2 ) 4)f (x, y)= x sin y - y sin x 5)f (x, y) = sin(xy) 6)f (x, y, z) = (3x +2y + z,x - 7y + z, 5x - y - z) Exercice 12: Calculer la différentielle de g f dans les cas suivants : 1)f (x, y)=(x + y, xy),g(x, y)=(x 2 + y 2 ,x 2 - y 2 ) 2)f (x, y)=(xy, x + y,x - y),g(x, y, z)= x + yz 3)f (x, y)=(x + y,x - y),g(x, y, z)=(x + y + z, xy + xz + yz, xyz) 4)f (x, y) = (2x + y,x +2y),g(x, y)=(xy, x 2 + y 2 ) 5)f (x, y, z)=(xy + yx, xz + zx, yz + zx),g(x, y, z)= x 2 + y 2 + z 2 Exercice 13: Soient n, p N * et A ∈S n (R). Calculer les différentielles des applications suivantes : 1)f : X ∈M n1 (R) 7t XAX 2)g : f : M ∈M n (R) 7M p 3)h : M ∈M n (R) 7tr(M p ) www.mathlaayoune.webs.com 1/3 [email protected]

TD - Calcul différentiel

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    TD 08 Calcul diffrentielE,F deux R-espace vectoriels de dimensions finies respectives p, n 1.U E un ouvert non vide, a U et f : U F .Exercice 1: Etudier les limites des fonctions suivantes en (0, 0) :1)f(x, y) = xy

    x2+y22)f(x, y) = xy

    2

    x2+y2 3)f(x, y) =x sin yx2+y2

    4)f(x, y) = x ln(x2 + y2) 5)f(x, y) = x2y3

    x4+x2y2+y4

    6)f(x, y) = xyx+y 7)f(x, y) =sin(xy)x2+y2 8)f(x, y) =

    2xyy2x2+y2 9)f(x, y) =

    x2yx42xy+3y2 10)f(x, y) =

    x2yx4+y2

    Exercice 2: Etudier la continuit des fonctions suivantes en (0, 0) :

    1)f(x, y) =

    {x2y2

    x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

    2)f(x, y) =

    {x32y3x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

    3)f(x, y) =

    {sin(xy)|x|+|y| si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

    4)f(x, y) =

    { ln(x+ey)x2+y2

    si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

    5)f(x, y) =

    {sin(x) sin(y)x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

    0 si (x, y) = (0, 0)6)f(x, y) =

    {x2y2x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

    Exercice 3: Montrer que la fonction f(x, y) =

    {xy2

    x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

    est continue en (0, 0) suivant tout vevteur non nul

    mais nest pas continue en (0, 0).Exercice 4: Calculer les diffrentielles des fonctions suivantes :1)f : u L(E) 7 tru 2)f :M Mn(R) 7 tM 3)f : (x, y) R2 7 (2x+ 3y, 5x 7y)4)f : (x, y) R2 7 xy 5)f : (x, y) Rn Rn 7< x, y > 6)f : (A,B,C) (Mn(R))3 7 ABCExercice 5: Dterminer la drive de f en a suivant h dans les cas suivants :1)f : (x, y) R2 7 xy; a = (2, 1), h = (1, 2) 2)f : (x, y) R2 7 xyx+y ; a = (1, 1), h = (1, 2)3)f :M Mn(R) 7 exp(M); a = 0, h = H Mn(R) 4)f :M Mn(R) 7Mp; a = A Mn(R), h = In5)f :M Mn(R) 7 detM ; a = In, h = E11 + E22 6)f : (x, y, z) R3 7 xy + yz + zx; a = (1, 1, 1), h = (1, 2, 3)

    Exercice 6: Montrer que f(x, y) =

    {y3

    x si x 6= 00 si x = 0

    est drivable en (0, 0) suivant tout vecteur non nul mais nest pas continue

    en (0, 0).

    Exercice 7: Montrer que f(x, y) =

    {xy2x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    est continue et drivable en (0, 0) suivant tout vecteur mais f

    nest pas diffrentiable en (0, 0).Exercice 8: Dterminer les drives partielles en a de f dans les cas suivants :1)f : (x, y) R2 7 xyx2+y2+1 ; a = (0, 0) 2)f : (x, y) R2 7 xy; a = (1, 2) 3)f : (x, y) R2 7 x+yxy ; a = (x, y)1)f : a+ bX + cX2 R2[X] 7 a+ ab+ abc; a = P 2)f : P Rn[X] 7 P 3; a = P 3)f :M Mn(R) 7Mp; a = AExercice 9: Etudier la diffrentiabilit de f dans les cas suivants :

    1)f(x, y) =

    {x3yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    2)f(x, y) =

    {x3y3x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    3)f(x, y, z) =

    {xy ln(x2 + y2 + z2) si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)0 sinon

    4)f(x, y) =

    {2x3+3xy2

    x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    5)f(x, y) =

    {x2y3

    (x2+y2)2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    6)f(x, y) =

    {8x2y2

    4x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    Exercice 10: Dterminer la matrice Jacobienne de f dans les cas suivants :

    1)f : R2 R2

    (x, y) 7 (2x+ 3y, 6x 7y) 2)f : R2 R3

    (x, y) 7 (x+ y, x2 + y2, x2 y2) .

    3)f : R3 R

    (x, y, z) 7 x2 + xy3 + y sin z 4)f : R2 R2

    (x, y) 7 (x+ y, xy)Exercice 11: Dterminer la diffrentielle de chacune des fonctions suivantes :1)f(x, y) = x3 + 2xy2 + x2y + 3x3y2 2)f(x, y) = xy 3)f(x, y, z) = (xy + yz + zx, xyz, x2 + y2 + z2)4)f(x, y) = x sin y y sinx 5)f(x, y) = sin(xy) 6)f(x, y, z) = (3x+ 2y + z, x 7y + z, 5x y z)Exercice 12: Calculer la diffrentielle de g f dans les cas suivants :1)f(x, y) = (x+ y, xy), g(x, y) = (x2 + y2, x2 y2) 2)f(x, y) = (xy, x+ y, x y), g(x, y, z) = x+ yz3)f(x, y) = (x+ y, x y), g(x, y, z) = (x+ y + z, xy + xz + yz, xyz) 4)f(x, y) = (2x+ y, x+ 2y), g(x, y) = (xy, x2 + y2)5)f(x, y, z) = (xy + yx, xz + zx, yz + zx), g(x, y, z) = x2 + y2 + z2

    Exercice 13: Soient n, p N et A Sn(R). Calculer les diffrentielles des applications suivantes :

    1)f : X Mn1(R) 7 tXAX 2)g : f :M Mn(R) 7Mp 3)h :M Mn(R) 7 tr(Mp)

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    Exercice 14: Soient E un espace euclidien et a E. Calculer les diffrentielles des applications suivantes :1)f : x E 7 x2 2)g : x E 7 a, xx

    Exercice 15: Soit f, g : R R drivables sur R. Montrer que les fonctions u(x, y) = f(xy), v(x, y) = f(x + y) etw(x, y) = f(x)g(y) sont diffrentiable sur R2 et calculer leurs diffrentielles.Exercice 16: Soient E un espace euclidien, U un ouvert de E et f : U R diffrentiable sur U .1: Montrer que la fonction u = f2 est diffrentiable sur U et calculer sa diffrentielle et son gradient.2: On suppose que f > 0. Montrer que la fonction v =

    f est diffrentiable sur U et calculer sa diffrentielle et son gradient.

    Exercice 17: Soient f : R3 R diffrentiable et g : (x, y, z) 7 f(x y, y z, z x). Montrer que gx + gy + gz = 0.Exercice 18: Soient E est euclidien et u L (E).Montrer que f : x xx2 est diffrentiable sur E \ {0} et que si x = 1 alors df(x) est la rflexion dhyperplan x.Exercice 19: Soient E est euclidien et u L (E).1: Montrer que f : x x est diffrentiable sur E \ {0} et dterminer df(x) pour tout x E \ {0}.2: Montrer que g : x x1+x est diffrentiable sur E \ {0} et dterminer df(x) pour tout x E \ {0}.Exercice 20: On suppose que E est euclidien et soit u L (E) autoadjoint.1: Montrer que f : x 7 x, u(x) est diffrentiable sur E. Calculer df(x) pour tout x E.2: Montrer que g : x 7 x,u(x)x2 est diffrentiable sur E \ {0}. Calculer dg(x) pour tout x E \ {0}.3: Soit x E \ {0}. Montrer que dg(x) = 0 ssi x est un vecteur propre de u.4: En dduire que si v L(E), v = max

    Sp(vv)

    (v = sup

    xE\{0}

    v(x)x dsigne la norme subordonne de v).

    Exercice 21: Dterminer les fonctions f : R2 R diffrentiables sur R telles que : fx = fy (Considrer le changement devariables (u, v) = (x+ y, x y)).Exercice 22: Dterminer les fonctions f :]0,+[2 R diffrentiables sur ]0,+[2 telles que : xfy + y fx = x2+ y2 (Passeraux coordonnes polaires).Exercice 23: Soit U = R2 \R. Dterminer les fonctions f : U R diffrentiables sur U telles que : xfy y fx = 1 (Passeraux coordonnes polaires).Exercice 24: Dterminer les fonctions f :]0,+[2 R diffrentiables sur ]0,+[2 telles que : xfx = y fy (Considrer lechangement de variables (u, v) =

    (xy, xy

    )).

    Exercice 25: Dterminer les fonctions f :]0,+[2 R diffrentiables sur ]0,+[2 telles que : xfy y fx = 4xy (Considrerle changement de variables (u, v) = (x2 + y2, x2 y2)).Exercice 26: Dterminer une quation du plan tangent en (1, 1, 1) la surface z = xy.Exercice 27: Soit la surface dquation z = x2 y2. Etudier sa position relativement sa tangente en A(1, 1, 0).Exercice 28: Dterminer une quation du plan tangent en (0, 2, 1) la surface xy y ln z + sinxz = 0.Exercice 29: Donner une quation du plan tangent la surface x2z + 3xyz = 0 au point (3, 1, 1).Exercice 30: Donner une quation de la tangente la limniscate de Bernoulli (x2 + y2)2 + y2 x2 = 0 au point A(

    64 ,24 ).

    Exercice 31: Soit (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Donner une quation du plan tangent la surface ax2 + by2 + cz2 = 1 au point(x0, y0, z0) S.Exercice 32: Soit U un ouvert de Rn et f : U R de classe C 1 sur U .Montrer que si M 0,x U,i {1, . . . , n},

    fxi (x) M alors x, y U, |f(x) f(y)| Mnx y2.Exercice 33: Pour quelles valeurs de p, q N la fonction f(x, y) =

    {xpyq

    x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    est-elle continue ? diff-

    rentiable ? de classe C 1 sur R2 ?Exercice 34: Les fonctions suivantes sont-elle continues ? diffrentiables ? de classe C 1 sur R2 ?

    1)f(x, y) =

    {x3yx4+y2 si(x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    2)f(x, y) =

    {xy3

    x4+y2 si(x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    3)f(x, y) =

    {x sin yy sin x

    x2+y2 si(x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    4)f(x, y) =

    {x3yxy3x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

    0 sinon5)f(x, y) =

    {x55y4x2+4y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    Exercice 35: Soit f : U R convexe.1: Montrer que si f est diffrentiable sur U alors a U,h E, a+ h U f(a+ h) f(a) + df(a)(h).2: Si f est C 2 sur U , montrer que la matrice Hessienne de f sur U est positive.Exercice 36: Soit f : E F telle que > 0,x, y E, f(x) f(y) x y2. Montrer que f est constante sur E.Exercice 37: Soit f : R2 R dfinie par f(x, y) = arctanx+ arctan y arctan x+y1xy .Montrer que f est C 1 sur Df . Calculer df , en dduire une expression simple de f .

    Exercice 38: Montrer que f(x, y) =

    {xy(x2y2)x2+y2 Si (x, y) 6= (0, 0)

    0 Sinonnest pas de classe C 2 sur R2.

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    Exercice 39: Soit lapplication f : R2 R2 dfinie par f(x, y) ={

    y4

    x2+y2 Si (x, y) 6= (0, 0)0 Sinon

    .

    1: Montrer que f est de classe C 1 sur R2.2: Montrer que

    2fyx (0, 0) et

    2fxx (0, 0) existent et sont gales.

    3: Montrer que 2f

    yx et2fxx ne sont pas continues en (0, 0). Conclure.

    Exercice 40: Pour quelles valeurs de p N la fonction f(x, y) ={

    xpyx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

    est-elle continue ? diffren-

    tiable ? de classe C 1 ? de classe C 2 sur R2 ?

    Exercice 41: Montrer que f(x, y) =

    {x3yx2+y2 Si (x, y) 6= (0, 0)0 Sinon

    nest pas de classe C 2 sur R2.

    Exercice 42:1: Montrer que f :M Mn(R) 7 detM est de classee C et que A,H MnR, df(A)(H) = tr(tCom(A)H).2: Soit A Mn(R). Montrer que A = tr(Com(A XIn)). En dduire A = (1)nXn + (1)n1tr(A)X + tr(Com(A))X + det(A).Exercice 43: Donner le dveloppement de Taylor dordre 2 des fonctions suivante en a :1)f(x, y) = xy+1 , a = (0, 0) 2)f(x, y) =

    cos xcos y , a = (0, 0) 3)f(x, y) =

    xyx2+y2+1 , a = (0, 0)

    4)f(x, y) = sin(2x) sin y + cosx, a = (0, 0) 5)f(x, y, z) = ln(2x y + z), a = (1, 1, 0) .

    Exercice 44: Dterminer les fonctions f C 2(R2) telles que 2fx2 2fy2 = (x

    2 y2) (Considrer le changement de variables(u, v) = (x+ y, x y)).Exercice 45: Dterminer les fonctions f C 2(R2) telles que 22fx2

    2fxy

    2fy2 = 0 (Considrer le changement de variables

    (u, v) = (2x+ y, x y)).Exercice 46: Dterminer les fonctions f C 2(]0,+[2) telles que x2 2fx2 = y2

    2fy2 (Considrer le changement de variables

    (u, v) = (xy, xy )).

    Exercice 47: Dterminer les fonctions f C 2(]0,+[2) telles que x2 2fx2 + 2xy 2f

    xy + y2

    2fy2 = 0 (Passer aux coordonnes

    polaires).Exercice 48: Dterminer les extremums de f : R2 R dans les cas suivants :1)f(x, y) = x3 + y2 3xy 2)f(x, y) = x3 + x2 + y2 3)f(x, y) = x4 + y4 xy4)f(x, y) = x4 + y4 2(x y)2 5)f(x, y) = (x y)exy 6)f(x, y) = 6xy + (y x)37)f(x, y) = x2 + y2 + xy 3x 6y 8)f(x, y) = xy(1 x2 y2) 9)f(x, y) = (x+ y)2 x3 + x4; ( R)Exercice 49: Montrer que f(x, y) = (y x2)(y 2x2) admet un minimum en (0, 0) suivant toute direction mais que (0, 0)nest pas un minimum de f .

    Exercice 50: Dterminer mina,b,cR

    11(sinpit a bt ct2)2dt.

    Exercice 51: Soit E un espace prhilbertien, F un sous-espace vectoriel de E, a E et b F .Montrer que a b = d(a, F ) b a est orthogonal F .Exercice 52: Soit f(x, y) =

    +n=1

    cosny

    nxsur ]1,+[R.

    1: Montrer que f est continue sur ]1,+[R.2: Soit x > 2. Montrer que g(y) =

    +n=1

    cosny

    nxest C1 sur R et dterminer g.

    3: Montrer que fy est continue sur ]2,+[R.

    4: Soit y R. Montrer que h(x) =+n=1

    cosny

    nxest C1 sur ]2,+[ et dterminer h.

    5: Montrer que fx est continue sur ]2,+[R.6: Etudier la diffrentiabilit de la fonction f sur ]2,+[R.Exercice 53: Montrer que lapplication f(x, y) =

    +n=1

    (x+ y)n

    n2est C sur D = {(x, y) R2/|x + y| < 1} et calculer df

    sur D.

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