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TD de topologie et calcul di erentiel{ Corrig e de la ... · LM360 Math ematiques 2008 TD de topologie et calcul di erentiel{ Corrig e de la Feuille 2: Continuit e, suites, parties

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LM360 Mathematiques 2008

TD de topologie et calcul differentiel– Corrige dela Feuille 2: Continuite, suites, parties denses.

Groupe de TD 5

Exercice 1. Soit χA : E → {0, 1} la fonction caracteristique de A ⊂ E: χA(x) = 1si x ∈ A, χA(x) = 0 sinon.

a) On munit {0, 1} de la topologie discrete. Montrer que χA est continue en xsi et seulement si x /∈ frA.

b) Donner une condition pour que χA soit continue sur E et un exemple ou χA

n’est continue en aucun point de E.

Corrige 1. a) Tout d’abord, pour la topologie discrete de {0, 1}, {0} et {1} sontdes voisinages de 0 et 1 respectivement. Donc si f : E → {0, 1} est continue en x,il existe un voisinage U de x tel que f(U) ⊂ {f(x)}, i.e. que f est constante sur U .La reciproque est bien sur vraie.

Par consequent, f n’est pas continue en x si et seulement si quel que soit levoisinage U de x, il existe y et z dans U tels que f(y) = 1 et f(z) = 0. Si f est lafonction caracteristique de A, cela revient a dire que tout voisinage de x rencontreA et son complementaire. On a vu dans l’exercice 9 de la feuille de TD 1 que ceciequivaut a x ∈ frA.

b) Si A est a la fois ouvert et ferme dans E, alors la frontiere de A est vide, parconsequent χA est continue. Si E est le plan R2 muni de la distance usuelle et A estl’ensemble Q2 des points a coordonnees rationnelles, alors χA n’est continue nullepart.

Exercice 2. Soient X et Y des espaces topologiques et une application f : X → Y .Montrer que f est continue si et seulement si pour toute partie A de X, on af(A)⊂ f(A).

Corrige 2. Supposons f continue. Alors f−1(f(A)

)est ferme dans X. Comme on a

A ⊂ f−1(f(A)) (prenez la peine de redemontrer cette inclusion si vous l’avez oublieeou si vous avez un doute; vous devez savoir utiliser les images directes et reciproquesd’ensembles) et que f(A) ⊂ f(A), on a A ⊂ f−1(f(A)). Or, f−1

(f(A)

)etant ferme,

il contient le plus petit ferme contenant A, c’est a dire que A ⊂ f−1(f(A)), ce quiimplique f

(A)⊂ f(A).

Reciproquement, soit F un ferme de Y . Posons A = f−1(F ), alors f(A) ⊂ F .Par hypothese, f

(A)⊂ f(A), donc f(A) ⊂ F , puisque F est ferme. On a alors

A ⊂ f−1(F ) = A. Donc A est ferme. On vient de montrer que l’image reciproquede tout ferme est un ferme, autrement dit que f est continue.

Exercice 3. Soient f et g deux fonctions continues sur un espace topologique Xet a valeurs dans un espace topologique separe Y . Verifier que l’ensemble

A = {x ∈ X/ f(x) = g(x)}

est un ferme de X.

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Corrige 3. Montrons que le complementaire de

A = {x ∈ X/ f(x) = g(x)}

est ouvert. Si a /∈ A, alors f(a) 6= g(a), donc Ac = {x ∈ X/ f(x) 6= g(x)}. CommeY est separe, il existe un voisinage ouvert U de f(a) et un voisinage ouvert V deg(a) tels que U∩V = ∅. La continuite de f et g implique que W := f−1(U)∩g−1(V )est un voisinage ouvert de a. Si y ∈ W , on a f(y) ∈ U et g(y) ∈ V . Comme U etV sont disjoints, f(y) 6= g(y), donc W ∩ A = ∅. Donc le complementaire de A estouvert. Pour comprendre cette construction, il est utile de faire un dessin !

Exercice 4. Soient f et g deux fonctions continues sur un espace topologique Xet a valeurs dans R.

1 Montrer que l’ensemble A = {x ∈ X | 1 < f(x) < 2} est ouvert.

2 Montrer que l’ensemble B = {x ∈ X | f(x) ≤ g(x)} est ferme.

Corrige 4. 1 Comme f est continue et que l’intervalle ]1, 2[ est ouvert, il suit queA = f−1(]1, 2[) est ouvert.

2 On a clairement B = {x ∈ X | f(x) − g(x) ≤ 0} = (f − g)−1(] −∞, 0]). or f, gcontinues implique que f − g est continue. Comme ]−∞, 0] est ferme dans R,il suit que B est ferme dans E.

Exercice 5. Soit f : X → Y une application.

1 On suppose que Y est un espace topologique. Determiner la topologie la plusgrossiere sur X telle que f soit continue (on montrera en particulier, qu’elleexiste !).

2 On suppose maintenant que X est un espace topologique. Determiner la topologiela plus fine sur Y qui rende f continue.

Corrige 5. C’est essentiellement du cours...

1 D’apres le cours, on peut munir X de la topologie image inverse (qui est bienune topologie), c’est a dire que les ouverts de X sont les f−1(U) ou U estun ouvert de Y . D’apres le cours, f : X → Y est alors continue. Supposonsmaintenant que X est muni d’une topologie τ quelconque telle que f : X → Ysoit continue. Alors, pour tout ouvert U de Y , f−1(U) est un ouvert de X.Il suit que tout ouvert pour la topologie image inverse est un ouvert pour latopologie τ , donc τ est plus fine que la topologie image inverse.

2 D’apres le cours, on peut munir Y de la topologie “quotient” (qui est bien unetopologie), c’est a dire que les ouverts de Y sont les U tels que f−1(U) estun ouvert de X. D’apres le cours, f : X → Y est alors continue. Supposonsmaintenant que Y est muni d’une topologie τ quelconque telle que f : X → Ysoit continue. Alors, pour tout ouvert U de Y (pour la topologie τ), f−1(U) estun ouvert de X. Il suit que U est aussi un ouvert pour la topologie quotient.par consequent, cette topologie est plus fine que τ .

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Exercice 6. Montrer que les projections πE et πF de E × F sur E et F respec-tivement sont continues. Montrer qu’une application f : G → E × F est continuessi ses composantes πE ◦ f et πF ◦ f le sont.

En application, soient f une fonction continue de E dans R et g une fonctioncontinue de F dans R. Montrer que h(x, y) = sin(f2(x)g3(y)) est une fonctioncontinue de E × F dans R.

Corrige 6. Soit U un ouvert de E, alors π−1E (U) = U × F est ouvert car c’est un

produit d’ouverts. D’ou πE : E × F → E est continue. On montre de meme queπF est continue. la composee de fonctins continues tant continues, il est clair quef continue implique πE ◦ f et πF ◦ f continues. Reciproquement, si U × V est unproduit d’ouverts, f−1(U×V ) = (πE ◦f)−1(U)∩(πF ◦f)−1(V ) est une inteersection(finie) de deux ouverts donc est ouvert. Comme les produits U × V forment unebase d’ouverts pour la topologie produit, il suit que f est continue.

La fonction h est de la forme sin ◦β ◦ α ou α : E × F → R × R est definie parα(x, y) = (f2(x), g3(y)), β : R×R→ R est definie par β(s, t) = st. L’application αest continue: c’est une application a valeurs dans un espace produit dont chacune descomposantes est continue. En effet (x, y)→ f2(x) est la composition de (x, y)→ yqui est continue (premiere projection), y → f(y) (continue par hypothese) et u→ u2

(continue de R dans R). Par un raisonnement similaire, (x, y)→ g3(y) est continue.Quant a β c’est la fonction produit de deux reels qui est continue. Donc h estcontinue comme composee d’applications continues.

Exercice 7. On considere le plan R2 muni de la topologie usuelle et le cercle uniteS1 = {(x, y)/ x2 + y2 = 1} muni de la topologie trace. Montrer que l’application

p : R→ S1, α→ (cosα, sinα)

est continue. Soit E un espace topologique. Montrer qu’une application f : S1 → Eest continue si et seulement si f ◦ p l’est aussi.

Corrige 7. Voir la feuille de TD 3.

Exercice 8. Soit f : X → Y une fonction definie sur un espace topologique X avaleurs dans un espace topologique separe Y . On appelle graphe de la fonction f lesous-ensemble de X × Y :

Gf = {(x, f(x))/ x ∈ E}.

Montrer que si f est continue, son graphe est ferme dans X × Y . La reciproqueest-elle vraie ?

Corrige 8. Si f est continue, l’application

g : X × Y → Y × Y, (x, y)→ (f(x), y)

l’est aussi. En effet ses composantes sont f ◦ πX et πY , ou πX et πY sont lesprojections sur le premier et second facteur de X × Y respectivement. Elles sontcontinues (comme composee de fonctions continues pour la premiere).

A present, remarquons que le graphe de f est l’image reciproque par g de ladiagonale de Y × Y . Y etant separe, celle-ci est fermee d’apres le cours (la preuveest similaire au corrige de l’exercice 3: si x 6= y, il existe des ouverts x ∈ Ux, y ∈ Vy

tels que Ux ∩ Vy = ∅. Alors Ux × Vy est un ouvert de Y × Y qui contient (x, y) etest inclus dans ∆c). Le graphe est alors ferme comme image reciproque d’un fermepar une application continue.

La reciproque est fausse. Soit la fonction f : [0,∞[→ [0,∞[ qui a x associe 1/x six 6= 0 et 0 sinon. Cette fonction n’est pas continue a l’origine. Pourtant, son grapheest la reunion d’une branche d’hyperbole et de {(0, 0)}, tout deux fermes.

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Exercice 9. Montrer qu’une partie A d’un espace topologique E est dense ssi toutouvert non vide de E rencontre A

Corrige 9. Soit V un ouvert non vide de E et x ∈ V . A dense dans E impliqueque tout ouvert contenant x rencontre A. En particulier A ∩ V 6= ∅. La reciproqueest immediate.

Exercice 10. Montrer que l’ensemble GLn(R) des matrices reelles inversibles detaille n× n est un ouvert dense de l’ensemble des matrices de taille n× n.

Corrige 10. On identifie l’espace des matrices de taille n × n a Rn2(muni de la

topologie produit bien entendu). Il suit que GLn(R) = det−1(R∗). Comme R∗ estouvert et que la fonction determinant est continue (c’est une fonction polynomialeen les coefficients de la matrice), il suit que GLn(R) est ouvert. Pour la densite, ilsuffit de remarquer que si M est une matrice de taille n× n, il n’y a qu’un nombrefini de matrices de la forme M + tIn qui ne soient pas inversibles (on note In lamatrice identite). Ce sont celles pour elsquelles t est une valeur propre de M . Ilsuit que toute boule ouverte B(M, r) contient une matrice inversible de la formeM + tIn. Par consequent GLn(R) est dense dans ’ensemble des matrices de taillen× n.

Exercice 11. Soient E,F deux espaces topologiques, F etant separe. f et g etantdeux fonctions continues de E dans F , et A un sous-ensemble dense dans E, montrerl’equivalence :

(f(x) = g(x),∀x ∈ E)⇐⇒ (f(x) = g(x),∀x ∈ A)

Corrige 11. Le sens direct ⇒ est immediat. Reciproquement, d’apres l’exercice3, l’ensemble {x ∈ E/ f(x) = g(x)} est un ferme qui contient A. Il contient doncA = E.

Exercice 12. A quelle condition une suite converge-t-elle vers un point isole d’unespace topologique ?

Corrige 12. Soit a un point isole d’un espace topologique E. Alors {a} est unouvert de E qui contient a donc un voisinage de a. Si une suite (an) de E convergevers a, alors pour n assez grand, an appartient a {a}, autrement dit an = a.

Exercice 13. Soit E un espace topologique et (an)n une suite de E. On pose

An = {am : m ≥ n}.

Montrer que l’ensemble des valeurs d’adherence de la suite (an) est⋂n≥0

An. En

deduire que cet ensemble est ferme.

Corrige 13. Si a est une valeur d’adherence de la suite, tout voisinage de a contientdes points an d’indice aussi eleve que l’on veut. Donc pour tout N , tout voisinagede a rencontre AN , autrement dit a ∈ AN . Ainsi, a ∈

⋂n≥0

An = A.

Reciproquement si a ∈ A alors, pour tout n, a est adherent a An. Donc pour toutn et tout voisinage V de a, il existe un indice m ≥ n tel que am ∈ V . Autrementdit a est une valeur d’adherence de la suite (an).

L’ensemble A est ferme puisqu’il est l’intersection des fermes An.

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