Tehniska matematika 4aOsnove geometrije

Avtorji: Gordana Radic, Peter Kitak, Tine Zoric

1 Uvod

V cetrtem nadaljevanju Tehniske matematike, ki je v Elektrotehniski reviji (ER) izsla marca 2015,smo

• podali obrazce za izracun obsega in ploscine poljubnega trikotnika;

• predstavili in izpeljali tako sinusni kot kosinusni izrek;

• zapisali Heronov obrazec, s katerim racunamo ploscino trikotnika;

• povedali kako dolocimo povrsino in ploscino geometrijskih teles.

Mnogo tehniskih problemov je povezanih z resevanjem matematicnih problemov s podrocja geome-trije, in ker v reviji nismo izpeljali vseh zapisanih zakonistosti, je tole pravsnje mesto za to, kajti veljasplosno pravilo, da je uporaba pravil veliko bolj uspesna, ce poznamo pot, po kateri dano zakonitosttudi izpeljemo.

2 Podobnost in skladnost trikotnikov

Ce povsem poenostavimo, pravimo, da sta trikotnika ∆1 = A1B1C1 in ∆2 = A2B2C2 podobna, ceje trikotnik ∆2 le povecana (ali pomanjsana) slika prvega.

Bolj natancno pa definiramo podobnost trikotnikov ∆1 in ∆2 z izpolnjevanjem katerega izmed na-slednjih pogojev:

(i) trikotnika ∆1 in ∆2 imata enake velikosti kotov

α1 = α2, β1 = β2 in γ1 = γ2.

1

(ii) razmerja stranic trikotnikov ∆1 in ∆2 so enaka

a1a2

=b1b2

=c1c2

(iii) Trikotnika ∆1 in ∆2 imata enako velikost enega kota in prilezni stranici v enakemrazmerju

α1 = α2 inb1b2

=c1c2.

(iv) Trikotnika ∆1 in ∆2 imata enako razmerje stranic in enako velikost kota, ki lezi vecjistranici nasproti, npr. ce je b1 < c1, potem je

b1b2

=c1c2

in γ1 = γ2.

Ce sta trikotnika ∆1 in ∆2 podobna, potem iz tocke (ii) sledi

a1 = k · a2 , b1 = k · b2 in c1 = k · c2

za nek skalar k. Posledicno sta tudi obsega trikotnikov v istem razmerju. Namrec iz

o1 = a1 + b1 + c1 = k · (a2 + b2 + c2) = k · o2

takoj sledi

o1o2

= k.

Zgled. Dva trikotnika sta podobna; v prvem meri obseg o1 = 80 cm, v drugem trikotniku pa poznamodolzine stranic a2 = 10 cm, b2 = 14 cm in c2 = 24 cm. Poisci dolzine stranic prvega trikotnika.Iz pravkar izpeljane zveze dobimo

k =o1o2

=o1

a2 + b2 + c2=

80

48=

5

3.

Potem pa so dolzine stranic prvega trikotnika

a1 = k · a2 =5

3· 10 =

50

3cm,

b1 = k · b2 =5

3· 14 =

70

3cm,

c1 = k · c2 =5

3· 24 =

120

3= 40 cm.

Poseben primer podobnosti je skladnost trikotnikov. Ce povsem poenostavimo, pravimo, da sta dvatrikotnika skladna, ce se ujemata v vseh podatkih. To pa pomeni, da sta trikotnika skladna ze, ceje izpolnjen kateri izmed naslednjih pogojev:

2

(i) trikotnika se ujemata v dolzinah vseh treh stranic;

(ii) trikotnika imata enako velikost kota in hkrati enaki dolzini prileznih stranic;

(iii) trikotnika imata enako dolzino stranice in velikost obeh prileznih kotov;

(iv) trikotnika imata enaki dolzini stranic in velikost kota, ki lezi daljsi stranici nasproti.

3 Znamenite tocke trikotnika

Trikotnik je ravninski lik, okrog katerega se zvrti vrsta zanimivih tock v ravnini, ki jih poznamopod pojmom znamenite tocke trikotnika. To so tiste tocke v ravnini, kjer se sekajo posebnepremice ali kroznice. Zanimivo pa je, da so prve med njimi odkrili ze stari Grki, vse pa so daneszbrane v Enciklopediji znamenitih tock trikotnika (Encyclopedia of Triange Centers), v kateri je bilopo Wikipedii 26. maja 2010 navedenih ze kar 3587 taksnih tock. Ker je ocitno teh prevec, bomo vnadaljevanju predstavili zgolj prvih pet, ki jih v tehniki tudi najveckrat uporabljamo.

3.1 Sredisce trikotniku vcrtane kroznice

Sredisce trikotniku vcrtane kroznice je podano kot presecisce simetral notranjih kotov trikotnika(oznacimo ga s crko I). Simetrala notranjega kota pa je premica, ki kot razpolovi.

Vcrtana kroznica je kroznica, kjer so vse tri stranice trikotnika dejansko tangente na kroznico;radij te kroznice oznacujemo s crko r. Ce sedaj dotikalisca vcrtane kroznice s stranicami trikotnikaa, b in c oznacimo z X, Y in Z,

3

tedaj velja|AZ| = |AY | = s− a,

|BZ| = |BX| = s− b,

|CX| = |CY | = s− c,

kjer je s =a+ b+ c

2polovica obsega trikotnika. Iz slike je razvidno tudi, da je ploscina trikotnika

enaka vsoti ploscin trikotnikov ∆AIB, ∆BIC in ∆CIA tako, da je

p =a · r

2+b · r

2+c · r

2=a+ b+ c

2· r = s · r.

3.2 Tezisce

Teziscnica je daljica, ki povezuje oglisce trikotnika z razpoloviscem nasproti lezece stranice. Vsaktrikotnik ima tri teziscnice, oznacujemo pa jih s ta, ce teziscica razpolovi stranico a, s tb, ce razpolovistranico b in s tc, ce razpolovi stranico c. Teziscnice se sekajo v skupni tocki in to tocko imenujemotezisce.

Tezisce se zmerom nahaja v trikotniku in deli teziscnico v razmerju 2 : 1.

3.3 Sredisce trikotniku ocrtane kroznice

Sredisce trikotniku ocrtane kroznice je podano kot presecisce simetral stranic trikotnika. Sime-trala stranice pa je premica, ki stranico trikotnika razpolovi pod pravim kotom.

Ocrtana kroznica je kroznica, ki poteka skozi vsa tri oglisca trikotnika; radij te kroznice oznacujemos crko R.

4

Radij ocrtane kroznice dolocimo s pomocjo sinusnega izreka, ki smo ga izpeljali v reviji,

R =a

2 sinα=

b

2 sin β=

c

2 sin γ=abc

4p.

Zanimivo je, da se sredisce trikotniku ocrtane kroznice ne nahaja nujno v trikotniku.

3.4 Visinska tocka

Visina trikotnika je daljica, ki povezuje oglisce trikotnika z nasproti lezeco stranico in je nanjopravokotna. Taksnih visin je v trikotniku tri, oznacujemo pa jih z va, ce visina povezuje oglisce A sstranico a, podobno velja za vb in vc. Visine trikotnika se sekajo v skupni tocki in to tocko imenujemovisinska tocka.

Visinska tocka lezi v samem trikotniku le v primeru, da je trikotnik ostrokoten, v nasprotnem sevisinska tocka nahaja zunaj trikotnika.

3.5 Sredisce kroznice devetih tock

Kroznica devetih tock je tista kroznica, ki poteka cez devet tock, med katerimi so vsa tri razpo-lovisca stranic, vse tri noge visin in razpolovisca vseh treh daljic med ogliscem trikotnika in visinsketocke.

5

Sredisce te kroznice se imenuje sredisce kroznice devetih tock, znana pa je tudi pod imenom Feuer-bachova tocka.

4 Heronov obrazec

Heronov obrazec je obrazec, s pomocjo katerega izracunamo ploscino poljubnega trikotnika, ce lepoznamo dolzine njegovih stranic. Ce so a, b in c dolzine stranic trikotnika, potem se ploscinaizracuna kot

P =√s(s− a)(s− b)(s− c),

pri cemer je s enak polovici obsega trikotnika

s =a+ b+ c

2.

Ker je v reviji zmanjkalo prostora za izpeljavo Heronovega obrazca, ga izpeljimo na teh spletnihstraneh. V ta namen bomo najprej vpeljali pricrtane kroznice, saj je z njihovo uporabo dokazobrazca najenostavnejsi in hkrati tudi najelegantnejsi.

4.1 Pricrtana kroznica

Presecisce simetrale kota s simetralami prileznih zunanjih kotov je sredisce pricrtane kroznice; ocitnoso taksne kroznice tri, njihova sredisca pa oznacujemo z JA, ce je pricrtana kroznica med ogliscemaB in C, z JB, ce je pricrtana kroznica med ogliscema A in C, ter z JC , ce je pricrtana kroznica medogliscema A in B.

6

Pricrtana kroznica, je kroznica s srediscem JC , ki se dotika stranice c in nosilk stranic a in b.Podobno velja za pricrtani kroznici s srediscem JA ali JB.

Ce z D oznacimo presecisce prikroznice s srediscem JC z nosilko stranice a, potem se da izpeljati, daje dolzina daljice med B in D dejansko enaka s− c.

4.2 Dokaz Heronovega izreka

Na zadnji sliki lahko hitro opazimo, da sta trikotnika ∆CIX in ∆CJCD podobna. Potem pa je

r

s− a=

rc(s− a) + (s− b) + (s− c)

Ker je (s− a) + (s− b) + (s− c) = s se zadnja enakost preoblikuje v

r

s− a=rcs

Hitro lahko vidimo, da sta tudi trikotnika ∆XBI in ∆DJCB podobna, zato je

r

s− b=s− crC

7

Zadnji enakosti zmnozimo, da dobimo

r2

(s− a)(s− b)=s− cs

in nato dobljeno enakost pomnozimo s (s− a)(s− b)s2. Potem pa je

r2s2 = s(s− a)(s− b)(s− c)p2 = s(s− a)(s− b)(s− c)p =

√s(s− a)(s− b)(s− c)

Vidimo, da smo dobili Heronov obrazec. To izpeljavo so v 9. stoletju na univerzi v Damasku izpeljalitrije bratje matematiki.

Zgled. V trikotniku poznamo dolzine stranic a = 4 cm, b = 6 cm in c = 8 cm. Dolocimo ploscinotrikotnika.Obseg trikotnika je ocitno

o = 2s = a+ b+ c = 18 cm ⇒ s = 9 cm.

Ploscina trikotika je potem

p =√s(s− a)(s− b)(s− c) =

√9 · 5 · 3 · 1 =

√135 = 11, 62 cm.

Hkrati bi lahko dolocili tudi premer ocrtanega kroga, in sicer iz

p =a · b · c

4R

Ocitno je potem

2R =a · b · c

2p=

4 · 6 · 82√

135= 8, 262 cm.

Notranje kote trikotnika pa bi lahko sedaj dolocili iz sinusnega izreka, npr.

sinα =a

2R=

4

8, 262= 0, 484⇒ α = 28, 95◦

Kot zanimivost povejmo, da obstaja tudi posploseni Heronov obrazec, s pomocjo katerega izracunamoploscino poljubnega stirikotnika.

Ce z a, b, c in d oznacimo dolzine stranic stirikotnika, potem se ploscina (v obeh primerih) izracunapo obrazcu

8

p =√s(s− a)(s− b)(s− c)(s− d),

pri cemer je s polovica obsega stirikotnika

s =a+ b+ c+ d

2.

5 Nekateri izreki v trikotniku

5.1 Sinusni in kosinusni izrek

Sinusni in kosinusni izrek smo izpeljali ze v ER, zato ju na tem mestu le ponovimo. Ce trikotnikoznacimo na naslednji nacin,

potem se sinusni izrek glasi

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ= 2R,

kosinusni izrek pa

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Primeri.

(1) Trikotnik je podan s podatki a = 4 cm, b = 6 cm in α = 30◦. Dolocite dolzino stranice c invelikosti preostalih notranjih kotov trikotnika.

9

Resitev: Z uporabo sinusnega izreka najprej izracunamo polmer ocrtane kroznice

2R =a

sinα=

4

0, 5= 8 cm

Ostali koti trikotnika so potem

sin β =b

2R=

6

8= 0, 75 ⇒ β = 48, 59◦

inγ = 180◦ − α− β = 180◦ − 30◦ − 48, 59◦ = 101, 41◦

Za konec dolocimo se stranico c kot

c = 2R · sin γ = 8 · 0, 980 = 7, 84 cm

(2) V trikotniku poznamo podatke a = 4 cm, b = 6 cm in γ = 101, 41◦. Dolocite preostale velikostinotranjih kotov ter dolzino stranice c.

Resitev: Uporabimo kosinusni izrek, da izracunamo dolzino stranice c

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ = 16 + 36− 2 · 4 · 6 · (−0, 198) = 61, 504 ⇒ c = 7, 84 cm.

Velikost kota α pa dolocimo s pomocjo sinusnega izreka,

sinα

a=

sin γ

c⇒ sinα =

a · sin γc

=4 · 0, 980

7, 84= 0, 5 ⇒ α = 30◦,

velikost kota β pa iz znane zveze, da je vsota velikosti notranjih kotov trikotnika enaka 180◦,

β = 180◦ − α− γ = 180◦ − 30◦ − 101, 41◦ = 48, 59◦.

5.2 Izrek o razliki kvadratov stranic

Naj bosta tc teziscnica na stranico c in vc visina na stranico c.

10

Ce z x oznacimo projekcijo teziscnice tc na stranico c, potem iz pravokotnega trikotnika ∆C ′BCdobimo

a2 = v2c +( c

2+ x)2

= v2c +c2

4+ cx+ x2

in iz pravokotnega trikotnika ∆AC ′C sledi

b2 = v2c +( c

2− x)2

= v2c +c2

4− cx+ x2

Ce dobljeni enacbi odsetejmo, je

a2 − b2 = 2cx.

Torej, razlika kvadrata dveh dolzin stranic (seveda odstevamo kvadrat dolzine manjse stranice odkvadrata dolzine vecje stranice) je enaka produktu dvakratnika tretje stranice s projekcijo pripa-dajoce teziscnice nanjo.

Zgled. V trikotniku poznamo dolzine vseh treh stranic: a = 8 cm, b = 6 cm in c = 4 cm. Uporabimoizrek o razliki kvadratov stranic za dolocitev dolzine teziscnice ta.Pri uporabi Heronove formule smo izracunali ploscino trikotnika

p =√s(s− a)(s− b)(s− c) =

√135 = 11, 62 cm

Sedaj iz

p =a · va

2

dolocimo dolzino visine na stranico a

va =2p

a=

23, 22

8= 2, 9 cm

Iz izreka o razliki kvadratov stranic izracunamo x (b > c)

x =b2 − c2

2a=

36− 16

16= 1, 25 cm

Teziscnico ta sedaj dolocimo po Pitagorovem izreku

ta =√x2 + v2a =

√1, 56 + 8, 41 = 3, 16 cm

Nalogo bi lahko resili tudi po kosinusnem izreku. Iz

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

bi izracunali izraz

ac · cos β =a2 + c2 − b2

2=

64 + 16− 36

2= 22

in odtod

t2a =(a

2

)2+ c2 − 2

a · c2

cos β = 16 + 16− 22 = 10

velikost tezoscnice tata =

√10 = 3, 16 cm

11

5.3 Izrek o vsoti kvadratov stranic

V prejsnjem razdelku smo izpeljali enakosti

a2 = v2c +c2

4+ cx+ x2

b2 = v2c +c2

4− cx+ x2

Ker je trikotnik ∆CC ′C ′′ pravokotni, lahko uporabimo pravokotni izrek, ki pravi, da je

v2c = t2c − x2.

Vstavimo v zgornji enakosti in dobimo

a2 = t2c − x2 +c2

4+ cx+ x2

b2 = t2c − x2 +c2

4− cx+ x2

Obe enakosti sestejemo

a2 + b2 = 2t2c +c2

2,

Odtod dobimo

t2c =a2 + b2

2− c2

4.

S ciklicno permutacijo dobimo izraza za ostali dve teziscnici

t2a =b2 + c2

2− a2

4

t2b =a2 + c2

2− b2

4

Zgled. V trikotniku poznamo dolzine vseh treh stranic: a = 8 cm, b = 6 cm in c = 4 cm. Dolocidolzino teziscnice ta.Pravkar smo izpeljali

t2a =b2 + c2

2− a2

4=

36 + 16

2− 64

4= 26− 16 = 10

Torej, dolzina tesiscnice ta znasa√

10 = 3, 16 cm.

12

5.4 Tangens polovicnega kota

Iz sinusnega izreka vemo, da velja

a = 2R sinα in b = 2R sin β.

Potem je kvocient njune vsote in njune razlike enak

a+ b

a− b=

2R(sinα + sin β)

2R(sinα− sin β)=

2 sin α+β2

cos α−β2

2 cos α+β2

sin α−β2

=tan α+β

2

tan α−β2

,

kjer smo uporabili adicijki izrek tako za vsoto kot razliko sinusov:

sinα + sin β = 2 sinα + β

2cos

α− β2

,

sinα− sin β = 2 cosα + β

2sin

α− β2

.

Zgled. Trikotnik je podan s podatki b + a = 10 cm, b − a = 2 cm in γ = 104, 48◦. Poisci preostalepodatke trikotnika.Iz α + β + γ = 180◦, je

β + α = 180◦ − γ = 180◦ − 104, 48◦ = 75, 52◦.

Na enakost delujmo s funkcijo tangens, da dobimo

tan

(β + α

2

)= tan(37, 76◦) = 0, 7746.

S pomocjo zadnjega obrazca dolocimo se

tan

(β − α

2

)=b− ab+ a

· tan

(β + α

2

)=

2

10· 0, 7746 = 0, 155

Potem pa je β−α = 17, 62◦. Iz vsote in razlike kotov izracunamo sedaj velikosti obeh kotov, namrec

β + α = 75, 52◦ in β − α = 17, 62◦

tvorita sistem dveh enacb z dvema neznakama, ki pa ju znamo resiti. Tako dobimo, da je β = 46, 75◦

in α = 28, 95◦. Sedaj poznamo vse tri kote in lahko dolocimo polmer trikotniku ocrtane kroznice

R =a+ b

2(sinα + sin β)=

10

2(0, 484− 0, 728)= 4, 125 cm.

Eno od stranic (a ali b) lahko izracunamo iz

a = 2R sinα = 8, 25 · 0, 484 = 4 cm.

Drugo stranico b pa dobimo iz zveze a+ b = 10 cm, torej b = 6 cm.

13

5.5 Molweidovi enakosti

Najprej se spomnimo obrazca, ki smo ga zapisali v prejsnjem nadaljevanju TM3a, da dobimo

sin γ = sin (180◦ − (α + β))= sin (α + β)

= 2 sin

(α + β

2

)cos

(α + β

2

)Ce ponovno uporabimo sinusni izrek, ki pravi, da je

a = 2R sinα, b = 2R sin β in c = 2R sin γ.

dobimoa+ b

c=

2 sin α+β2

cos α−β2

2 sin α+β2

cos α+β2

=cos α−β

2

cos α+β2

ina− bc

=2 cos α+β

2sin α−β

2

2 sin α+β2

cos α+β2

=sin α−β

2

sin α+β2

Zgled. Trikotnik je podan s podatki a+b = 10 cm, c = 8 cm in γ = 104, 48◦. Poisci preostale podatketrikotnika.

Najprej dolocimoα + β = 180◦ − γ = 180◦ − 104, 48◦ = 75, 52◦.

Potem je

cos

(α + β

2

)= cos 37, 76◦0, 7906.

Iz Molweidove enakosti izracunajmo se

cos

(α− β

2

)=a+ b

c· cos

(α + β

2

)= 1, 25 · 0, 7906 = 0, 98825.

Potem pa jeα− β

2= 8, 792◦ in zato α− β = 17, 6◦.

Resimo sistem dveh enacb z dvema neznankama, da dobimo α = 28, 95◦ in β = 46, 75◦. Za konecuporabimo se sinusni izrek

a

sinα=

c

sin γda poiscemo a =

c sinα

sin γ= 4 cm.

6 Prostorska geometrija

Izracun porabe materiala za izdelavo teles znane geometrijske oblike je pogosta prakticna naloga, skatero se srecujejo mehaniki. Zato so postopki izracuna povrsin in prostornin znanih geometrijskihteles (kocka, prizma, piramida, valj, stozec in krogla) sestavni del predracuna stroskov za njihovoizdelavo.

V prostorski geometiji uporabljamo izreke iz pravokotnega trikotnika na povsem enak nacin kot vravnini, zato bomo v nadaljevanju obravnavali zgolj tista telesa, ki v reviji niso zajeta.

14

6.1 Pokoncna prizma in pokoncni valj

Pokoncna prizma je telo, ki ima za osnovno ploskev poljuben ravninski lik s povrsino O. Hkratipovejmo, da plasc sestvaljajo pravokotniki, ki povezujejo osnovni ploskvi, zato je povrsina plasca plenaka vsoti povrsin pravokotnikov, ki ga sestavljajo.

Potem se povrsina (oznaka P ) in prostornina (oznaka V ) pokoncne prizme izracunata po obrazcu

P = 2O + pl in V = O · v.

Enak izraz velja tudi za pokoncno valj. To je tisto telo, ki smo ga v reviji ze omenili in ima zaosnovno ploskev krog.

Zgled. Mizar mora iz desk debeline d = 2 cm izdelati zaboj z zunanjimi merami a = 1, 5 m, b = 1, 2 min visino v = 1 m. Koliksno prostornino (kubaturo) desk potrebuje, ce gre pri izdelavi 10% koristneprostornine v skart?Da dobimo prostornino potrebnih desk, moramo od zunanje prostornine zaboja odsteti notranjoprostornino. Ker je zaboj prizma z osnovno ploskvijo pravokotnik, se zunanja prostornina (oznacimoVZ) izracunano kot

VZ = a · b · v = 1, 5 · 1, 2 · 1 = 1, 8 m3

Podobno izracunamo notranjo prostornino zaboja (oznacimo VN), ki je ponovno prizma, zato potre-bujemo notranje mere zaboja

a1 = a− 2d = 1, 46 m, b1 = b− 2d = 1, 16 cm in v1 = v − d = 0, 98 m.

15

Sedaj je notranja prostornina zaboja

VN = a1 · b1 · v1 = 1, 46 · 1, 16 · 0, 98 = 1, 66 m3

Prostornina lesa (oznacimo VL) v zaboju je torej

VL = VZ − VN = 1, 8− 1, 66 = 0, 14 m3.

Potrebna kubatura lesa za izdelavo zaboja je V = VL ·1, 1 = 1, 54 m3, saj gre 10% materiala v odpad.

6.2 Pokoncna piramida in pokoncni stozec

Pokoncna piramida je telo, cigar vrh je povezan z vsemi oglisci osnovne ploskve, ki je lahko poljubentrikotnik ali katerikoli mnogokotnik s povrsino O. Opazimo, da plasc sestavljajo trikotniki, zato jepovrsina plasca pl enaka vsoti ploscin trikotnikov.

Potem se povrsina P in prostornina V izracunata po obrazcu

P = O + pl in V =O · v

3

Enak izraz velja tudi za pokoncni stozec. Tudi to telo smo v reviji ze omenili, zato se spomnimo, daje to telo, ki ima za osnovno ploskev krog.

6.3 Pravilni tetraeder

Ena od znacilnih pokoncnih piramid je pravilni tetraeder. Tetraeder je telo, ki je sestavljen iz stirihenakostranicnih trikotnikov.

16

Zgled. Pravilni tetraeder ima stranico a = 8 cm. Koliksna je visina tetraedra v, njegova povrsina Pin prostornina V ?V reviji smo ze zapisali formule, ki veljajo v enakostranicnem trikotniku. Tako se visina in ploscinaenakostranicnega trikotnika izracunata kot

va =a√

3

2=

8 · 1, 732

2= 6, 928 in p =

a2√

3

4=

64 · 1, 732

4= 27, 712.

Povrsina pravilnega tetraedra je sedaj

P = 4 · p = 110, 85 cm2.

Da bomo lahko izracunali visino tetraedra, narisimo skico:

Visino tetraedra dolocimo iz pravokotnega trikotnika ∆SBV :

v2 = a2 −(

2va3

)= 64− 4, 62 = 59, 38.

Potem pa je v = 6, 53 cm in posledicno je prostornina tetraedra enaka

V =O · v

3=

27, 712 · 6, 53

3= 60, 32 cm3.

6.4 Prisekana pokoncna piramida

Prisekana pokoncna piramida je piramida, ki ji odsekamo vrh.Tako dobimo dve osnovni ploskvi O in O1 ter je povrsina piramide enaka

P = O +O1 +∑

pi,

pri tem je∑pi vsota ploscin stranskih ploskev. Razmerje ploscin obeh osnovnih ploskev je enako

razmerju kvadratov visin odsekanega dela piramid proti visini ne-odsekane piramide ali

v1v

=

√O1

O.

17

Prostornina odsekane piramide je enaka razliki prostornine ne-odsekane piramide in prostornine od-sekanega dela piramide:

V = VN − VO =O · v −O1 · v1

3.

Podobna izraza dobimo tudi za prisekani pokoncni stozec.

Zgled. Prisekana pokoncna piramida ima za spodnjo osnovno ploskev pravokotnik s stranicama a = 16cm in b = 8 cm. Ne-prisekana piramida bi imela visino v = 12 cm. Prisekana piramida ima velikoststranice a1 = 12 cm.Zaradi podobnosti trikotnikov v prisekani piramidi, je

a

b=a1b1

in posledicno b1 =a1 · ba

=12 · 8

16= 6 cm.

Ponovno zaradi podobnosti trikotnikov velja

v1v

=a1a

oziroma v1 =a1 · va

=12 · 12

16= 9 cm

Sedaj pa lahko s pomocjo pitagorovega izreka izracunamo se visine stranskih ploskev. Poglejmo skico

Dolzini visin na stranici b in b1 sta

vsb =

√v2 +

(a2

)2=√

144 + 64 = 14, 41 cm

vsb1 =

√v21 +

(a12

)2=√

81 + 36 = 10, 82 cm

18

Na povsem enak nacin izracunamo tudi dolzini visin na stranici a in a1

vsa =

√v2 +

(b

2

)2

=√

144 + 16 = 12, 65 cm

vsa1 =

√v21 +

(b12

)2

=√

81 + 9 = 9, 49 cm

Sedaj imamo vse, da lahko izracunamo se povrsino

P = a · b+ a1 · b1 + 2 · a+ a12· (vsa − vsa1) + 2 · b+ b1

2· (vsb − vsb1)

= 16 · 8 + 12 · 6 + 28 · 3, 16 + 48 · 3, 59 = 460, 8 cm2

in prostornina prisekane piramide

V =a · b · v − a1 · b1 · v1

3=

16 · 8 · 12− 12 · 6 · 93

= 296 cm3.

Literatura

[1] I. Pavliha in M. Prosen, Geometrija v ravnini, 7. izdaja, DZS, Ljubljana, 1999.

[2] M. Rugelj, et. al., SPATIUM, Zalozba Modrijan, Ljubljana, 2003.

19