Teil I GANZRATIONALE FUNKTIONEN · 2014. 2. 24. · Differenzialquotient - Ableitungen - 2 - ABLEITUNGSREGELN sind Regeln zur Bestimmung des Differenzialquotienten dy dx. dy y dx

9

Ortskurve

y

x1

1

matheⓈkript

Analysis Teil I

GANZRATIONALE

FUNKTIONEN

12. Klasse

© Jens Möller

Autor: Jens Möller Owingen Tel. 07551-68289 [email protected]

5. Auflage Owingen 2013

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VORWORT Das vorliegende Skript ist ganz auf die Unterrichtspraxis abgestimmt und bietet dem Schüler

eine Fülle von Möglichkeiten selbstständig zu üben. Der Lehrer muss eigentlich immer nur

den nächsten Schritt erklären und dem Schüler bei Fragen helfend und antwortend zur Seite

stehen.

Eine optimale Voraussetzung besteht, wenn bereits in der 11. Klasse Parabeln 2. und 3. Ord-

nung behandelt wurden, wobei aus geometrischen Zusammenhängen die Regel für die Ablei-

tung einer ganzrationalen Funktion hergeleitet wurde (noch ganz ohne Differenzialquotient).

Damit begegnet der 11.-Klässler frühzeitig der Tangentenproblematik und kann Kurvendis-

kussionen und Extremwertaufgaben schon vor der 12. Klasse auf elementarem Niveau durch-

führen.

Für die Einführung in die Differenzial- und Integralrechnung macht R. Steiner den Vorschlag,

rein von Zahlenprozessen (Grenzwertprozessen) auszugehen, den Differenzialquotienten also

nicht aus der geometrischen Anschauung herzuleiten. Diesen Ansatz habe ich in einer geson-

derten Darstellung (handgeschrieben) ausgearbeitet. Da er in der Unterrichtspraxis aber sehr

zeitaufwendig ist, habe ich ihn in diesem Skript zunächst einmal weggelassen.

Für die Einführung des Integrals gibt es einen speziellen (sehr schönen) Ansatz über Rich-

tungsfelder f(x), wobei die Integralkurven F(x) sich dann in die vorgegeben Richtungsfelder

elegant als Wegkurven einfügen. Auch diese Darstellung erscheint aus Platzgründen nicht in

diesem Skript.

Die Inhalte werden in kleinen Schritten entwickelt und regen aufgrund der vielen Übungen zu

selbstständigem Lernen an. Der Stoff kann in einer Epoche veranlagt und dann in einzelnen

Fachstunden erfolgreich weiter vertieft werden.

Vom Niveau her orientieren sich die Inhalte an der Fachhochschulreife-Prüfung in BW.

Wer das Abitur anstrebt, muss darüber hinaus in späteren Klassen noch weitere Kenntnisse

erwerben, die in diesem Skript zunächst einmal nicht behandelt werden.

Am Ende sollte der Schüler allein mit Hilfe der FORMELSAMMLUNG ähnliche Aufgaben

bewältigen können.

Viel Erfolg und Spaß beim selbstständigen Lernen.

Jens Möller,

Owingen im Sept. 2011

INHALT

Seite

ABLEITUNGEN

Differenzialquotient und Ableitung 01

Herleitung der Ableitungsregeln 02

Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen 03

Bedeutung von höheren Ableitungen 04

Funktion und ihre Ableitungen 05

Zwei Kurvendiskussionen auf MR-Niveau 06

INTEGRAL

Bestimmtes Integral als Fläche 10

Potenzregel fürs Integrieren 11

Flächenfunktion mit Beispiel 12

Fläche zwischen zwei Kurven 13

Übungen zur Flächenberechnung 14

Merkblatt zu Flächenberechnungen 15

Kurvendiskussion mit Flächenberechnung 16

MINI-MAX-AUFGABEN (= Extremwertaufgaben) 18

Pappschachteln, Konservendosen, Fußballplatz, etc.

KURVENDISKUSSIONEN FÜR GANZRATIONALE FUNKTIONEN

FUNKTIONSARTEN 25

FUNKTIONSGLEICHUNGEN AUFSTELLEN 26

Übung A 28

POLYNOMDIVISION 30

Übung B 32

Übung C (Kurvendiskussion) 33

SUBSTITUTION, Gleichungen 4. Grades 34

Übung D (Polynomdivision) 34

Übung E (Kurvendiskussion) 35

Übung F (Wiederholung) 36

MINI-MAX-AUFGABEN 37

KURVENSCHAREN 47

SYMMETRIE 55

TANGENTE UND NORMALE / berühren / orthogonal schneiden 60

TANGENTE VON EINEM ÄUSSEREN PUNKT AN EINE KURVE 62

LOT VON EINEM ÄUSSEREN PUNKT AUF EINE KURVE 64

ORTSKURVEN 68

BIENENWABENPROBLEM 78

ANHANG

KLASSENARBEITEN und weitere Übungen 81

FORMELSAMMLUNG 103

Differenzialquotient - Ableitungen

- 1 -

x0+Δx

f(x0)

f(x0+Δx)

x0

y

x

P3

P2

P1

P

Sekante

Sekante

Tangente

Sekante

Parabel

y

x

WIE BEKOMMT MAN DIE STEIGUNG EINER KURVE ?

Der Übergang von der Sekante zur Tangente

1P wandert auf der Kurve über die Stationen 2P und 3P und fällt schließlich mit P zu-

sammen. Dabei wird die Kurvensekante durch Drehung zur Kurventangente.

Die Steigung der Sekante lautet: 0 0( ) ( )f x x f xy

x x

Die Steigung der Tangente erhält

man durch einen Grenzübergang: 0 0

0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xy dyy

x x dx

[0

limx

heißt Limes (= Grenzwert) für x gegen Null]

dyy

dx heißt Ableitung und bedeutet geometrisch die Steigung der Kurve.

y

x

heißt Differenzenquotient (Steigung der Sekante).

0limx

y dy

x dx

heißt Differenzialquotient (Steigung der Tangente).

Die Bestimmung des Differenzialquotienten nennt man differenzieren oder ableiten.


- 2 -

ABLEITUNGSREGELN

sind Regeln zur Bestimmung des Differenzialquotienten dy

dx.

dyy

dx nennt man die 1. Ableitung der Funktion.

HERLEITUNG DER POTENZREGEL

Berechne im Folgenden jeweils

( ) ( )

0 0lim lim x x x

x x

f fdy yy

dx x x

1y x 1

( ) ( )

0 0 0

( )lim lim limx x x

x x x

f f x x x xy

x x

x x 0

lim 1x

x

x x

2y x 2

( ) ( )

0 0 0

( )² ²lim lim limx x x

x x x

f f x x x xy

x x

2 ² ²x x x x 2x

x

3y x 3

( ) ( )

0 0 0

( )³ ³ 3 ² 3 ² ³ ³ 2lim lim lim 3x x x

x x x

f f x x x x x x x x x xy

x x xx

4y x 4 4 4 3 4

( ) ( )

0 0 0

( ) 4 ...... 3lim lim lim 4x x x

x x x

f f x x x x x x xy

x x xx

5y x 5 5 5 4 5

( ) ( )

0 0 0

( ) 5 ...... 4lim lim lim 5x x x

x x x

f f x x x x x x xy

x x xx

ALLGEMEI NE REGEL

1( ) ( )

0 0 0

( ) ...... 1lim lim limn n n n n

x x xn

x x x

f f x x x x nx x x ny x yx x x

n x

d. h. beim Ableiten einer Potenzfunktion wird die Potenz mit dem alten Exponenten multipli-

ziert und der Exponent anschließend um 1 erniedrigt.


- 3 -

REGELN FÜRS DIFFERENZIEREN GANZRATIONALER FUNKTIONEN

Potenzregel ny x 1dy n

dxy n x

Konstantenregel ny a x 1dy n

dxy a n x

Summenregel 2 3 ....y a bx cx dx 22 3 ....dydxy b cx dx

MERKE BESONDERS

konstante Funktion y a 0dydxy

(die Steigung ist Null, das Schaubild ist eine Parallele zur x-Achse)

lineare Funktion y m x b dydxy m

(die Steigung ist konstant, das Schaubild ist eine Gerade mit der Steigung m.)

SPRECHWEISEN

( )y f x : y ist eine Funktion von x

( )f x : Funktionswert an der Stelle x

( ) ( )y f x und y g x zwei verschiedene Funktionen

.x bzw y Differenz der x- bzw. y-Werte

.dx bzw dy gegen Null strebende Differenzen heißen Differenziale

BEISPIELE

1. 20y x 1920dy

dxy x

2. 47y x 328dy

dxy x

3. 4 23y x x x 312 2 1dy

dxy x x

4. 10y 0dydxy

5. 11y x 11dydxy

6. 2 2y x x 2 1dydxy x


- 4 -

EINE FUNKTION UND IHRE ABLEITUNGEN

Will man betonen, dass es sich bei dem Differenzialquotienten einer Funktion wiederum um

eine Funktion handelt, so spricht man von der erste Ableitung der Funktion. Diese bezeichnet

man mit y .

Nach nochmaligem Differenzieren erhält man dann die zweite Ableitung y , nach abermali-

gem Differenzieren die dritte Ableitung y . . . usw.

Geometrisch haben die ersten drei Ableitungen folgende Bedeutung für die Kurve:

dyy

dx STEIGUNG der Kurventangente

(Wie ändert sich der y-Wert bei Änderung des x-Wertes?)

dyy

dx

DREHSINN der Tangente

(Wie ändert sich die Steigung y bei Änderung des x-Wertes?)

dyy

dx

DREHSINNSÄNDERUNG der Tangente

(Wie ändert sich der Drehsinn y bei Änderung des x-Wertes?)

AUFGABE

Stelle die Funktion 3 23 3116 16 2 8y x x x

und ihre Ableitungen y' , y'' und y''' grafisch dar.

Durch Differenzieren erhält man die folgenden Ableitungen:

23 3 316 8 2y x x

3 38 8y x

38y

Wie diese miteinander zusammenhängen, kann man anhand der Schaubilder entdecken.

MERKE für später (ABI):

dyy

dx nennt man auch die Änderungsrate oder Wachstumsrate einer Funktion.


- 5 -

f ´

f ´´´

NullSteigung

NullSteigung

NullDrehsinn

positiverDrehsinn

negativerDrehsinn

f ´´

f

f ´positiveSteigung

negativeSteigung

positiveSteigung

Kurvenfkt

Drehsinnsfkt

Steigungsfkt

_

+

>

>

x

yH

T

W

N

ZUSAMMENHANG VON FUNKTION UND ABLEITUNGEN

BEISPIEL

Funktion: 82

3²

16

3³

16

1)( xxxxf KURVE

1. Ableitung: 2

3

8

3²

16

3)( xxxf STEIGUNG

2. Ableitung: 8

3

8

3)( xxf DREHSINN

3. Ableitung: 3

( )8

f x DREHSINNSÄNDERUNG

MERKE: notw. Bed. und hinreichende Bedingung

Nullstelle: f (x) 0 doppelte Nullstelle = Extrempunkt

Hochpunkt: f (x) 0 und f (x) 0 (waagerechte Tangente und negativer Drehsinn)

Tiefpunkt: f (x) 0 und f (x) 0 (waagerechte Tangente und positiver Drehsinn)

Wendepunkt: (x)f (x) 0 und f 0 (Drehsinn gleich Null)

Sattelpunkt: f (x) 0 und f (x) 0 Wendepunkt mit waagerechter Tangente

Wendetangente: W Wy y m (x x ) wm f (x )


- 6 -

MR-AUFGABE

Gegeben ist die Funktion f durch 2 427 3f (x) x³ x² 6x .

Das entsprechende Schaubild ist die Kurve K.

Bestimme die ersten 3 Ableitungen der Funktion.

Bestimme die Nullstellen der Kurve.

Bestimme die Extrempunkte der Kurve und führe den Nachweis für Hoch- und Tiefpunkt.

Bestimme den Wendepunkt der Kurve.

Bestimme die Gleichung der Wendetangente.

Zeichne die Kurve samt Wendetangente im Bereich 0 x 12 .

Weiterhin ist eine Parabel gegeben mit der Gleichung 19g(x) x² .

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven.

Zeichne die Parabel in dem selben Koordinatensystem im Bereich 0 x 8 .

Bestimme die Steigung der Parabeltangente an dem mittleren der 3 Schnittpunkte.

Bestimme den Schnittwinkel der beiden Kurven am mittleren Schnittpunkt.

Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Kurven am linken Schnittpunkt?

LÖSUNGEN

Ableitungen: 8 82 4 49 3 9 3 9( ) ² 6 ( ) ( )f x x x f x x f x

Nullstellen: ( ) 0f x

2 427 3x³ x² 6x 0 1 2/3(0 / 0) (9 / 0)N und N

Extrempunkte: ( ) 0f x

821 29 3² 6 0 3 9x x x und x dann y- Werte berechnen

1(3/8)E 2 (9 / 0)E

Nachweis: Hoch- oder Tiefpunkt? (Drehsinn untersuchen)

8 84 4 49 3 9 3 3( ) (3) 3 0 (3/8)f x x f H

8 84 4 49 3 9 3 3( ) (9) 9 0 (9 / 0)f x x f T

Wendepunkt: ( ) 0f x

849 3 0 6wx x y-Wert berechnen (6 / 4)W


- 7 -

12

10

8

6

4

2

5 10 x

y

α

1

W

N11 N2

H

Wendetangente:

( ) ( ) ..... 2w w wy y m x x mit m f x

: 2 16t y x

Schnittpunkt der beiden Kurven:

2 4 127 3 9x³ x² 6x x² 2x³ 36x² 162x 3x² 0 2x³ 39x² 162x 0

x ausklammern:

1 1x (2x² 39x 162) 0 x 0 S (0 / 0)

2

2/3

39 39 4 2 162 39 15x

4 4

2 2 3 3x 6 S (6 / 4) x 13,5 S (13,5 / 20, 25)

Schnittwinkel der beiden Kurven bei S(6/4):

42 (6) 1 (6) 3m f .... 2 m g ..... einsetzen in die Winkelformel

1043 32 1

541 2 3 3

2m mtan 2 63, 43

1 m m 1 ( 2)

Schnittwinkel bei S(0/0): (Sonderfall)

tan 6 80,54


- 8 -

AUFGABE IN PRODUKTFORM

Gegeben ist eine Parabel 3. Ordnung durch die Funktionsgleichung

2110f (x) (x 4) (x 2) .

Die Funktion ist in Produktform gegeben. Verwandle sie in Summenform.

Bestimme die ersten 3 Ableitungen der Funktion.

Bestimme die Nullstellen der Kurve.

[Hinweis: Bei Funktionsgleichung in Produktform kann man die Nullstellen ablesen.]

Bestimme die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve.

Führe den Nachweis für HP / TP durch Untersuchung des Drehsinns.

Zeichne die Extrempunkte und markiere sie durch eine waagerechte Tangente.

Bestimme den Wendepunkt der Kurve.

Bestimme die Gleichung der Wendetangente.

Zeichne die Wendetangente.

Zeichne die Kurve mithilfe der berechneten Wert und einer ergänzenden Wertetabelle

im Bereich 5 x 4 .

Zeichne auch das Schaubild der 1. Ableitung (Parabel) in das vorhandene Koordinaten-

system ein.

Bestimme die Gleichung der Parabeltangente in der Nullstelle N(-2/0). Was fällt auf?

LÖSUNGEN

Funktion: 2 31 1( ) 10 10( 4) ( 4 4) ........ 1,2 1,6xf x x x x x

Ableitungen: 23( ) 10 1,2xf x 3

( ) 5xf x 3( ) 5xf

Nullstellen: bei Produktform einfach ablesen 2(x 4) (x 2) 0

1 2/3N ( 4 / 0) und N (2 / 0) , die zweite Nullstelle zählt doppelt.

Extrempunkte: ( ) 1 20 ( 2 / 3,2) (2 / 0)xf E und E

Drehsinn: 3 6( 2) 5 5( 2) 0 ( 2 / 3,2)f HP

6(2) 5.... 0 (2 / 0)f TP

Wendepunkt: 3( ) 50 0 0 (0 /1,6)xf x x WP


- 9 -

5

4

3

2

1

1

y

4 2 2 4 x

T

W

N1

H

Wendetangente: 1 1 (0)( ) 1,2 (0 /1,6)y y m x x mit m f und WP

y 1, 2x 1,6 einzeichnen

Wertetabelle: bekannte y-Werte eintragen, fehlende y-Werte ergänzen

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 0 3,2 1,6 0

Parabelgleichung: 2310y x 1, 2

Tangente: 35y x m y ( 2) 1, 2 y 1, 2x 2, 4

Die Tangente ist parallel zur Wendetangente.

Integral - Flächenberechnungen

- 10 -

DAS BESTIMMTE INTEGRAL ALS INHALT EINER FLÄCHE

Gegeben ist eine begrenzende Kurve K durch ihre Funktionsgleichung y = f(x).

Gesucht ist der Flächeninhalt, den die Kurve K, die x-Achse und die beiden Geraden x = a

und x = b miteinander einschließen. Man verwendet folgendes Prinzip:

Die Fläche wird aufgefasst als die Summe aller Rechtecke, die von der Kurve K, der

x-Achse und den Geraden x a und x b eingeschlossen wird. (siehe Zeichnung)

Dabei lässt man die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich streben, während gleichzeitig die

Breite der Rechtecke gegen Null strebt. Im Grenzübergang erhält man dann genau den ge-

suchten Flächeninhalt.

Bezeichnungen:

f(x) Höhe eines Rechtecks an der Stelle x

dx unendlich kleine Breite eines Rechteckes = Differenzial

( )f x dx unendlich schmale Rechteckfläche

dF unendlich schmale Fläche = Flächendifferenzial

F(x) Flächenfunktion (die linke Grenze ist fest, die rechte Grenze variabel)

F bestimmter abgegrenzter Flächeninhalt (beide Grenzen sind fest)

Limes Summe von unendlich vielen Produkten

[das Summenzeichen stammt von Leibniz]

Es ist klar, dass das bestimmte Integral, welches alle Flächendifferenziale

dF = f(x)·dx aufsummiert, den Inhalt der gesuchten Fläche liefern wird.

Man kann also schreiben: ( )b b

a a

Fläche F dF f x dx

in Worten: FLÄCHE = Integral über alle ( )f x dx in den Grenzen von x a bis x b .

y

x

f(x)

xx=bx=a

f(x)

dx

dF=f (x)dx

Kurve

y=f(x)

Fläche F


- 11 -

WIE FINDET MAN DIE FLÄCHEN- bzw. STAMMFUNKTION F ?

Aus der Zeichnung ergibt sich der folgende Zusammenhang:

Flächendifferenzial ( )dF f x dx |: dx

( )dF

f xdx

( ) ( )dF

dxF x f x

d. h. wird die Flächenfunktion F abgeleitet, so erhält man die Kurvenfunktion f.

Man nennt diesen Satz den Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

f ist die Ableitung von F, während F die Stammfunktion von f ist.

Indem man F differenziert, erhält man f. - Indem man f integriert, erhält man F.

Integration ist also die Umkehrung der Differenziation.

Indem man die Regeln des Differenzierens umkehrt, kann man zu einer Funktion f(x) eine

entsprechende Stammfunktion F(x) finden und bekommt so die Regeln des Integrierens.

Wenn man die Stammfunktion wiederum differenziert, muss man zur ursprünglichen Funkti-

on zurückkehren.

POTENZREGEL FÜRS IN TEGRIEREN

Funktion f → integrieren → Stammfunktion F → differenzieren → Funktion f .

Beispiele:

f(x) = 1 → F(x) = x + c → F´(x) = 1 = f(x)

f(x) = x → F(x) = 21 x² + c → F´(x) = x = f(x)

f(x) = x² → F(x) = 31 x³ + c → F´(x) = x² = f(x)

f(x) = x³ → F(x) = 41 x4 + c → F´(x) = x³ = f(x)

REGEL f(x) = nx → F(x) = 11

1

nx cn

gilt für alle n ≠ -1.

Der Exponent wird zuerst um 1 erhöht, anschließend teilt man durch den neuen Exponenten.

BEISPIELE: f(x) = 3x² + x – 7 → F(x) 12³ ² 7x x x c

f(x) = ²

1

x = x-2 → F(x) =

1111 c

xx

f(x) = 21

xx → F(x) = cxx ³32

32 2

3


- 12 -

x

y

F

2- 2

1

1

VERANSCHAULICHUNG DER FLÄCHENFUNKTION

( ) ( )Fläche F F b F a

Allgemeines Verfahren zur Berechnung des bestimmten Integrals:

( ) [ ( )] ( ) ( )b b

b

a

a a

Fläche F dF f x dx F x F b F a

integriere

Suche zu f(x) eine Stammfunktion F(x) und dann bilde F = F(b) – F(a),

RECHENBEISPIEL

Welchen Flächeninhalt schließt die Kurve

12( ) ² 2f x x mit der x-Achse ein?

Die Nullstellen liegen bei

a = -2 und b = +2.

MERKE

Flächeninhalte oberhalb der x-Achse ergeben sich positiv.

Flächeninhalte unterhalb der x-Achse ergeben sich negativ.

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

F f x dx F x F b F a

2

261

2

221 2³)2²(

xxdxxF

8 8 8 8 2 16 6 6 6 3 3( 2) ( 2) 4 ( 4) 4 4 8 2 5F F F FE

Kontrolle durch Auszählen der Kästchen.


- 13 -

ba

g

f

F

y

x

g

F

ba

f

y

x

FLÄCHE ZWISCHEN ZWEI KURVEN

f = obere begrenzende Kurve

g = untere begrenzende Kurve

[ ( ) ( )]b

a

F f x g x dx

Die Fläche F ergibt sich immer positiv, sofern man für f die obere und für g die untere be-

grenzende Funktion wählt.

BEISPIEL:

Wie groß ist die Fläche, die von der Funktion f(x) = x + 5

und 12( ) ² 1g x x eingeschlossen wird?

Berechnung der Schnittstellen:

12 ² 1x = x + 5 |·2

x² + 2 = 2x + 10

x² –2x – 8 = 0 → 1 22 4x und x

426

121

4

221

4

221 4³²)4²()1²5(

xxxdxxxdxxxF

32 43 38 16 2 8 18F FE


- 14 -

ÜBUNGEN

Berechne den Inhalt der Fläche, der von der Kurve K und der x-Achse eingeschlossen wird.

Mache jeweils eine Zeichnung.

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa


1. 31

16 8( ) ³ ²f x x x mache eine Skizze F = 6,75 FE

2. 112( ) ( ³ 12 16)f x x x mit 1 4x und 2/3 2x F = 9 FE

3. 418( ) (4 ³ )f x x x F = 6,4 FE

4. 16( ) ² ³f x x x F = 18 FE

5. 14( ) 2 ³f x x x eine Fläche F = 4 FE

6. ( ) ² 1f x x F = 43 FE

7. ( ) 6 ²f x x x F = 5620 FE

8. 110( ) ( ² 3 40)f x x x F = -36,6 FE

Berechne die von zwei Kurven umschlossene Fläche:

[ ( ) ( )]b

a

F f x g x dx

9. ( )f x x und g(x) = x³ für x > 0 mache eine Skizze F = 0,25 FE

10. ( ) ²f x x und g(x) = x³ für x > 0 mache eine Skizze F = 112 FE

11. ( ) 3 ²f x x und g(x) = 1 + x² F = 232 FE

12. ( ) ² 9f x x x und g(x) = 1,5x + 4 F = 31615 FE

13. ( ) 7 ²f x x und g(x) = x² + x + 1 F = 14,29 FE

14. 116( ) ( ³ 6 ²)f x x x und ( ) 1,5 4g x x mit x1 = -2 und x2 = 4 F = 20,25 FE

15. 23( ) 8f x x und 101 2

27 3 3( ) ³ ²g x x x x F = 12 FE

(Schnittstellen bei 1 20 6x und x )


- 15 -

x

y

_+

b ca

x

y

_

+a b c

ba

g

f

+

y

x

x

y

f

F

ba

MERKBLATT ZUR FLÄCHENBERECHNUNG

obere Grenze

( ) ( ) ( ) ( )bb

a a


untere Grenze

VERTAUSCHUNG der Grenzen: ( ) ( )a b

b a

f x dx f x dx Vorzeichenwechsel

Flächen oberhalb bzw. unterhalb der x-Achse:

Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv.

Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.

Gleich große positive und negative Teilflächen addieren sich zu Null: ( ) 0c

a

f x dx

Flächen zwischen zwei Kurven

ergeben sich immer positiv.

Mini-Max-Aufgaben

- 16 -

3

2

1

1

4 2 2 x

y

AUFGABE MIT FLÄCHENBERECHNUNGEN

Gegeben ist eine Parabel 3. Ordnung durch die Funktionsgleichung

18f (x) x (x 4) (x 2) . Das Schaubild ist die Kurve K.

Bestimme die Nullstellen von K.

Bestimme die 1. und 2. Ableitung der Funktion.

Bestimme die Extrempunkte von K.

Führe den Nachweis für Hoch- und Tiefpunkt.

Bestimme die Tangentengleichungen in allen 3 Nullstellen.

Bestimme den Wendepunkt. (Auf die Wendetangente wird verzichtet.)

Zeichne die Kurve K mithilfe einer Wertetabelle im Bereich 5 x 3 .

Berechne den Flächeninhalt, den die Kurve K im 2. Quadranten mit der x-Achse einschließt.

Eine weitere Parabel ist gegeben mit der Funktionsgleichung

21 18 2( ) 1,5g x x x . Das dazugehörige Schaubild ist C.

Bestimme den Scheitel von C.

Zeichen C in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Die beiden Kurven schneiden sich bei 1 22 2x und x (siehe Zeichnung).

Berechne die Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird.

Mini-Max-Aufgaben

- 17 -

LÖSUNGEN

FUNKTION 3 21 18 4f (x) x x 1x

ABLEITUNGEN 23 18 2f (x) x x 1

3 14 2f (x) x

NULLSTELLEN 1 2 3N ( 4 / 0) N (0 / 0) N (2 / 0) ablesen

EXTREMPUNKTE 1 2f (x) 0 E ( 2,43 / 2,11) E (1,1/ 0,63)

NACHWEIS f ( 2,43) 0 HP( 2,43 / 2,11)

f (1,1) 0 TP(1,1/ 0,63)

TANGENTEN y 3x 12 , y x , y 1,5x 3

WENDEPUNKT 3 1 2 2w4 2 3 3f (x) 0 x 0 x W( / 0,74)

FLÄCHE

0

03 2 4 3 21 1 1 1 1 1 18 4 32 12 2 3 34

4

1 0 8 5 8 5F x x x dx x x x FE

SCHEITEL

1 1 1 14 2 4 2( ) ( ) 0 0 2 ( 2 / 2)g x x g x x x S

FLÄCHE

2 2

2 3 21 1 1 1( ) ( ) 8 2 8 4

2 2

1,5 1x xF g f dx x x x x x dx

2

23 2 4 3 231 1 1 1 18 8 2 32 8 4 2

2

1,5 1,5F x x x dx x x x x

4 3 2 4 3 21 1 1 1 1 132 8 4 32 8 42 2 2 1,5 2 ( 2) ( 2) ( 2) 1,5 ( 2)F

0,5 1 1 3 0,5 1 1 3 2,5 ( 1,5) 4F FE

[Kontrolle durch Auszählen der Kästchen.]

Mini-Max-Aufgaben

- 18 -

x

x x

x

24 - 2x

24 - 2x

24 cm><

MINI-MAX-AUFGABEN

DIE PAPPSCHACHTEL Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge a = 24cm soll ein offenes Kästchen

hergestellt werden. An den Ecken der Pappe werden dazu quadratische Stückchen mit der

Seitenlänge x herausgeschnitten.

Für welchen Wert von x ergibt sich ein Kästchen mit maximalem Volumen?

Mache eine geeignete Skizze.

Stelle die Volumenfunktion auf.

Wo besitzt das Volumen seinen maximalen Wert.

Zeichne das Schaubild der Volumenfunktion in einem rechtwinkligen Koordinatensys-

tem mit Hilfe einer Wertetabelle für 0 x 15 . Auf der senkrechten Achse wähle einen

geeigneten Maßstab.

Skizze:

Quadrat mit Seitenlänge 24 cm

und der Einschnitt-Tiefe x

Funktionsgleichung aufstellen:

Volumen = Grundfläche mal Höhe

2 2 3 2V (24 2x) x (576 96x 4x ) x 4x 96x 576x

1. Ableitung:

2V 12x 192x 576

Bestimmung des Maximums und Minimums:

2V 0 12x 192x 576 0 |:12

21/ 2 1 2x 16x 48 0 x 8 4 x 4 cm und x 12 cm

Da das Volumen bei einer Einschnitttiefe von x = 12 cm Null ist, ist x = 4 cm die gesuchte

Einschnitttiefe für ein maximales Volumen.

Mini-Max-Aufgaben

- 19 -

5 10 15

Einschnitttiefe x

2000

1500

1000

500

Volumen V

1 xmax

Vmax

Vmin

250

200

150

100

50

50

100

150

200

Volumen V

2 4 6 8 10 12

Einschnitttiefe x

1

Vmax

xmax

Schaubild der Volumenfunktion:

Aufgabe:

Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Seitenlänge a = 20cm und b = 10cm soll ein

offenes Kästchen hergestellt werden. An den Ecken der Pappe werden dazu quadratische

Stückchen mit der Seitenlänge x herausgeschnitten.

Für welchen Wert von x ergibt sich ein Kästchen mit maximalem Volumen?

Mache eine geeignete Skizze.

Stelle die Volumenfunktion auf.

Wo besitzt das Volumen seinen maximalen Wert.

Zeichne das Schaubild der Volumenfunktion in einem rechtwinkligen Koordinatensys-

tem mit Hilfe einer Wertetabelle für 0 x 6 . Auf der senkrechten Achse muss man

einen verkleinerten Maßstab wählen.

Ergebnis:

xmax = 2,113cm

Vmax = 192,45 cm³

Mini-Max-Aufgaben

- 20 -

DIE IDEALE KONSERVENDOSE

Es soll eine zylindrische Blechdose so hergestellt werden, dass das Volumen V = 850 ml

(= 850 cm³) beträgt und der Materialverbrauch minimal ist.

Wie groß müssen Radius, Durchmesser und Höhe der Dose gewählt werden?

Zunächst muss die Flächenfunktion aufgestellt werden:

F 2 Kreisflächen Mantelfläche

F 2 r² 2 r h Nebenbedingung: V

r²V r² h h

Durch Einsetzen für h erhält man:

V 2V V

r² r rF 2 r² 2 r 2 r² 2 ( r² )

|V = 850 ml

850rF 2 ( r² )

Zum Ableiten muss man die Funktion etwas anders schreiben:

1850rF 2 ( r² ) 2 r² 1700 r Merke: n

n1 aa

2 1700r²F 4 r 1700 ( 1) r 4 r

3 3400r³F 4 1700 ( 2) r 4

h

r

r²

Mantel = 2rh

U = 2r

Mini-Max-Aufgaben

- 21 -

5500

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

2 4 6 8 10 12

Radius r

Fläche F

1

Minimum

r = 5,13

F' 0

85032

1700 1700 850r² 4 24 r 0 4 r³ 1700 0 r³ r 5,133.. cm

34005,13³F (5,13) 4 37,7 0 Minimum

optimaler Durchmesser: min mind 2r 2 5,133 10, 27 cm

optimale Höhe: min850 850

r² 5,13²h 10,27 cm

Ergebnis: Bei einer optimalen Blechdose sind Durchmesser und Höhe gleich groß.

REALE DO SEN IM SUPERMARKT

Flüssiger Inhalt: V = 850 ml

Abmessungen: d 10 cm und h 11cm V 863,9 ml = Flüssigkeit + Luft

Ideale Werte: 863,93min 2r 5,16 cm 2

min min min

2 863,9rF 2 r 502,18 cm²

Reale Werte: r 5 cm F 2 r h 2 r² 2 5 11 2 5² 502,65 cm²

Die Abweichung vom Idealwert ist sehr gering ( 0,1% ), so dass bei der Herstellung einer

Blechdose keine großen Mehrkosten entstehen. Der Grund dafür, dass der Durchmesser mit

10 cm gewählt wird (etwas zu klein) , liegt bei der menschlichen Hand, deren Spannweite

zwischen Daumen und Zeigefinger eben gerade 10 cm beträgt.

Mini-Max-Aufgaben

- 22 -

v

y

xu

S

BA

CD

F

E G

DER TUNNELQUERSCHNITT

1. Aufgabe:

Der Querschnittsfläche eines Tunnels ist gegeben durch eine Parabel mit der Gleichung

214y x 8 .

Nun soll ein achsenparalleles Rechteck mit möglichst großer Fläche zwischen Parabel und x-

Achse untergebracht werden. Zwei Punkte des Rechtecks liegen dabei auf der Parabel, die

zwei anderen liegen auf der x-Achse.

Der Eckpunkt, der im 1. Quadranten (Feld) auf der Parabel liegt, hat die Koordinaten C(u/v).

Alles Weitere ergibt sich aus der Anschauung (siehe Zeichnung).

Wie groß muss u gewählt werden, damit die Rechteckfläche maximal wird? Wie groß ist die

maximale Fläche?


Rechteckfläche = Breite mal Höhe F 2u v

Für v erhält man aus der Kurvengleichung: 214v u 8

Damit ergibt sich für die Fläche: 2 31 14 2F 2u ( u 8) u 16u

1. Ableitung: 232F u 16

Bestimmung des Maximums: 2 32 32max3 3F 0 u u 3.265

Maximale Breite: Breite = max2 u 2 3, 265 6,53 LE

Maximaler Flächeninhalt: 31max 2F 3,265 16 3,265 34,83 FE

Mini-Max-Aufgaben

- 23 -

2. Aufgabe:

Wie groß muss u gewählt werden, wenn das Rechteck ABCD einen möglichst großen Um-

fang erhalten soll?


Umfang des Rechtecks = 2 Breite + 2 Höhe: U 2 2u 2 v

Für v erhält man aus der Kurvengleichung: 214v u 8

Damit ergibt sich für den Umfang: 2 21 14 2U 4u 2 ( u 8) u 4u 16

1. Ableitung: U u 4

Bestimmung des Maximums: maxU 0 u 4 0 u 4

Maximaler Umfang: 21max 2U 4 4 4 16 24 LE

3. Aufgabe:

Bestimme die Gleichungen der Parabeltangenten in den Punkten B(-4/...) und C(4/...).

Von Punkt F(0/7) aus kann man jeweils ein Lot auf die beiden Tangenten fällen.

Die beiden Lote schneiden die Gerade f : y 9 in den Punkten E und G.

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks EFG.

(Ergebnisse: y 2x 12 A 8 FE )

4. Aufgabe:

Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 212y x 6 . Zwischen der Parabel und der x-

Achse soll ein möglichst großes Rechteck untergebracht werden. Wie groß muss die Breite

des Rechtecks gewählt werden?

Frage:

Würde sich für ein Rechteck mit maximalem Umfang der selbe Wert ergeben?

Ergebnisse:

Für die Fläche ergibt sich maxu 2 LE Breite 4 LE maxF 16 FE

Für den Umfang ergibt sich . . . . . Rechne selbst. maxU 16 LE

Mini-Max-Aufgaben

- 24 -

DAS FUSSBALLFELD

Bei einem Sportstadion ist die äußere Bahn 400m lang. Wie lang und wie breit muss ein

rechteckiges Fußballfeld sein, das eine möglichst große Fläche haben soll und von der 400-

Meter-Bahn umschlossen wird.

Fläche = Länge mal Breite: F x d

Nebenbedingung für den Umfang: 122x d 400 x (400 d)

Fläche: 212 2F x d (400 d) d 200d d

1. Ableitung: F 200 d

2. Ableitung: F

Setze: 200F 0 200 d 0 d

Länge: 2001 1 12 2 2x (400 d) (400 ) (400 200) 100m

Breite: 200d 63,66 m

Nachweis für ein Maximum: F 0 Maximum

weitere Aufgabe:

Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 14f (x) (x 2)(x 4) . Ihr Schaubild sei K.

Bestimme die Nullstellen und den Scheitel von K. Zeichne K in einem Koordinatensystem für

2 x 4 . Auf K liegt ein Punkt P(u/v) mit 0 u 4 . Die Parallelen zu den Achsen durch P

bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck

einen maximalen Flächeninhalt? Berechne den maximalen Flächeninhalt. Führe mit Hilfe der

2. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt.

Ergebnisse: S(1/2,25)

1max4F (u³ 2u² 8u) F ... F 0 u 2,43 F (2,43) 0 Maximum

x

dRechteck-Fläche F

Ganzrationale Funktionen

- 25 -

ÜBERBLICK ÜBER DIE FUNKTIONSARTEN

Algebraische Funktionen

a) Ganzrationale Funktionen:

z.B. 12 ² 2y x x [Parabel 2. Ordnung]

25 ³ ² 7y x x [Parabel 3. Ordnung]

12 ( 2) ( 4)y x x [Parabel 2. Ordnung]

b) Gebrochenrationale Funktionen:

z.B. 1

²

xy

x

c) Wurzelfunktionen:

z.B. 10 ²y x

Transzendente Funktionen:

a) Exponentialfunktionen: z.B. 1xy e

b) Logarithmenfunktionen: z.B. lny x

c) Trigonometrische Funktionen: z.B. siny x , cosy x , tany x

und noch viele andere Funktionen.

BESTIMMUNG EINER GANZRATIONALEN FUNKTION

Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades lässt sich folgendermaßen schreiben:

2 30 1 2 3

1 2 3

( ) .....

( ) ( ) ( ) ( ) ........ ( )

nn

n

f x a a x a x a x a x

oder

f x a x x x x x x x x

Man bezeichnet diese Funktionen auch als Parabeln n-ter Ordnung.

0 1 2 3 .... na a a a a heißen Koeffizienten,

1 2 3 ....... nx x x x sind Nullstellen der Funktion.

Daraus folgt, dass man zur Bestimmung einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades immer

n + 1 Bedingungen benötigt.


- 26 -

Oft sind in einer Angabe gleich mehrere Informationen (Bedingungen) enthalten, z. B beim Sat-

telpunkt SP(2/1):

(2) 1f (Funktionswert), (2) 0f (Steigung), (2) 0f (Drehsinn).

oder wenn die Kurve die x-Achse bei 3x berührt: (3) 0f (Nullstelle)

und (3) 0f (Extrempunkt)

WIE STELLT MAN EINE FUNKTIONSGLEICHUNG AUF ?

MUSTERAUFGABE

Bestimme die ganzrationale Funktion 3. Grades, die bei 1x eine Nullstelle und bei 2x

einen Wendepunkt W mit der Wendetangente : 2 2,5t y x hat.

Vorbereitung:

Koordinaten des Wendepunktes:

( 2 / ..) 2 2,5 4 2,5 1,5 ( 2 /1,5)wW einsetzen in y x y W

Steigung am Wendepunkt = Steigung der Wendetangente: ( 2) 2m f

Ansatz: 3 2( )f x ax bx cx d Kurve

2( ) 3 2f x ax bx c Steigung

( ) 6 2f x ax b Drehsinn

4 Bedingungen zum Aufstellen von 4 Gleichungen:

I

II

III

IV

( 1) 0 ( . .)

( 2) 1,5 ( . .)

( 2) 2 ( .)

( 2) 0 ( .)

f N St

f W P

f Steig

f Drehs

0 | ( 1)

8 4 2 1,5

12 4 2

12 2 0

a b c d

a b c d

a b c

a b

Lasse zuerst d herausfallen: Kombiniere A mit Gleichung III:

0

8 4 2 1,5

I a b c d

II a b c d

7 3 1,5

12 4 2

A a b c

III a b c

7 3 1,5A a b c 5 0,5B a b

Kombiniere B mit Gleichung IV: 5 0,5 | ( 2)

12 2 0

B a b

IV a b

122 1a a


- 27 -

y

x

1

1

W

12a in Gleichung IV einsetzen:

6 2 0 2 6 3b b b

12 3a und b in Gleichung III einsetzen:

6 12 2 6 2 4c c c

12 3 4a und b und c in Gleichung I einsetzen:

12 3 4 0 1,5 0 1,5d d d

Damit ergibt sich die Funktionsgleichung:

12 ³ 3 ² 4 1,5y x x x

Jetzt kann man die Kurve mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen:

Weitere Übungen zu diesem Thema sollen nun folgen.


- 28 -

ÜBUNGEN A

1. Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung, hat dort die Steigung +3 , besitzt einen

Wendepunkt bei x = 5 und die Steigung im Wendepunkt ist Null.

[ 3125 5( ) ³ ² 3f x x x x ]

2. Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und besitzt einen Tiefpunkt mit den

Koordinaten 13(4 / 5 ) . Die Steigung im Ursprung beträgt –2.

[ 124( ) ³ 2f x x x ]

3. Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und besitzt am Wendepunkt W(6/5) die

Steigung 16 .

[ 131 154 3 6( ) ³ ²f x x x x ]

4. Eine ganz rationale Funktion 2. Grades geht durch die Punkte A(-2/1,5), B(1/1,5) und

C(2/-0,5).

[ 1 12 2( ) ² 2,5f x x x ]

5. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung und besitzt den

Wendepunkt W(-3/6).

[ 19( ) ³ ²f x x x ]

6. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung und schneidet die

x-Achse bei x = -10 mit der Steigung +5.

[ 1 120 2( ) ³ ²f x x x ]

7. Eine ganz rationale Funktion 4. Grades besitzt einen Wendepunkt mit W(2/2) und einen

Sattelpunkt S(0/0).

[ 4 31 18 2( )f x x x ]

8. Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle x = 5 einen Wen-

depunkt und die Gleichung der Wendetangente lautet 85 5y x . Bestimmen Sie die

Funktionsgleichung. Untersuchen Sie die Funktion auf Extrempunkte und zeichnen Sie die

entsprechende Kurve K und die Wendetangente im Bereich 0 13x .

[ 3 7125 5 5( ) ³ ²f x x x x ]

9. Eine Parabel 2. Ordnung berührt die Gerade y = 2x im Ursprung O und geht durch den

Punkt P(8/0). Bestimme die Gleichung der Parabel. Ihr Schaubild sei G. Zeichne die Para-

bel und die Gerade im Bereich 0 8x in ein Koordinatensystem ein.

[ 21( ) 4 2xg x x ]


- 29 -

WEITERE ÜBUNGEN

BESTIMME JEWEILS DIE FUNKTIONSGLEICHUNGEN.

10. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades berührt die x-Achse bei x = 4 und besitzt einen

Wendepunkt W(2/3). [ 3 23 9( ) 6

16 8f x x x ]

11. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse, berührt die x-Achse in

N(4/0) und geht durch P(0/2). [ 4 21 1( ) 2

128 4f x x x ]

12. Eine ganzrationale Funktion 3. Grades berührt bei x = 4 die x-Achse und besitzt einen

Hochpunkt H(0/4). [ 3 21 3( ) 4

8 4f x x x ]

13. Eine ganz rationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse, geht durch den Punkt

P(0/2) und schneidet die x-Achse bei x = 4 mit der Steigung –3.

[ 4 21 1( ) 2

64 8f x x x ]

14. Eine ganz rationale Funktion 4. Grades besitzt im Ursprung einen Wendepunkt mit waage-

rechter Tangente und geht durch den Punkt P(-1/- 31 ) mit der Steigung

2

3m .

[ 4 31 2( )

3 3f x x x ]

15. Eine ganz rationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, geht durch

den Punkt P(4/3) und hat in seinem Wendepunkt die Steigung 7

4m .

[ 31 7( )

16 4f x x x ]

16. Eine Schar von Parabeln 3. Ordnung hat den Ursprung des Koordinatensystems als ge-

meinsamen Wendepunkt. Bestimme die Gleichung derjenigen Scharkurve, die an der Stelle

x = 0 die Steigung 1 und an der Stelle x = 3 einen Hochpunkt hat.

[ 31( )

9f x x x ]

17. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung x + y = 6. Der Graph einer ganzrationalen

Funktion 3. Grades berührt g in P(6/0) und schneidet g in Q(0/6) rechtwinklig.

[ 3 21 2( ) 6

18 3f x x x x ]

Viel Erfolg beim Üben!!!


- 30 -

N

y

x- 3

1

1

H

T

POLYNOMDIVISION

Wie löst man eine Bestimmungsgleichungen, deren Grad höher als zwei ist?

1.Fall: ³ 5 ² 6 0x x x | x ausklammern

( ² 5 6) 0x x x

1 0x | 1. Lösung

² 5 6 0x x | Löse die quadratische Gleichung.

2 3x | 2. Lösung

3 2x | 3. Lösung

2. Fall: 212 ³ 2 1,5 0x x x | x kann nicht ausgeklammert werden.

Die Gleichung kann aber gelöst werden, wenn schon eine der drei Lösungen bekannt ist.

Zeichnet man die entsprechende Funktion 212( ) ³ 2 1,5f x x x x mit Hilfe einer

Wertetabelle, so findet man eine Nullestelle bei 1 3x (siehe Zeichnung).

Zwei weitere Nullstellen bestimmt man durch Rechnung, wie im Folgenden dargestellt wird.


- 31 -

DAS LÖSUNGSVERFAHREN HEISST „POLYNOMDIVISION“.

Da x1 eine bekannte Lösung der Gleichung ist, muss es möglich sein, den entsprechenden

Linearfaktor (x – x1) von der gegebenen Gleichung durch Division „abzuspalten“.

(Siehe dazu auch die Produktschreibweise für ganz rationale Funktionen.)

Dass diese Division immer aufgehen und damit die Abspaltung eines Linearfaktors immer mög-

lich sein muss, besagt der Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauß bewiesen wurde.

Durch eine Polynomdivision wird der Grad einer Gleichung um eine Stufe erniedrigt.

Linearfaktor: 1 ( 3) 3x x x x

212 ³ 2 1,5 0 | 2x x x

Polynomdivision: ( ³ 2 ² 4 3) : ( 3) ² 1 0x x x x x x

Probe ³ 3 ²x x

Rest ² 4x x

Probe ² 3x x

Rest 3x

Probe 3x

Rest 0

BESTIMMUNGSGLEICHUNGEN 4. GRADES

3. Fall: 4 22 1 0x x | Bestimmungsgleichung 4. Grades

Hier müssen zwei Lösungen bekannt sein. Diese sollen 1 21 1x und x sein. Dann muss

man durch die Linearfaktoren ( 1) ( 1) ² 1x x x dividieren. Damit ergibt sich die Polynom-

division: 4 2( 2 1) : ( ² 1)x x x . . . . .usw.

Weiterhin löst man die quadratische Glei-chung:

² 1 0x x und erhält

2 31,618... 0,618... x und x


- 32 -

ÜBUNGEN B („POLYNOMDIVISION“)

Bestimme jeweils die fehlenden Lösungen.

Nr.

Gleichung bekannt x1 bekannt x2 weitere Lösungen

1

x³ - 0,5x² – 2,5x – 1 = 0

-1

-

+2

-0,5

2

x³ + x² - x = 1

(bringe zunächst die 1 auf die linke

Seite der Gleichung)

+1 - -1 -1

3

x³ + 2x² - x – 2 = 0

-2

-

+1

-1

4

x4 – 3x³ - 3x² + 11x = 6

+1

-2

+1

+3

5

x4 – x³ - 14x² + 2x + 24 = 0

4

-3

2

2

6

²x

x21 =

4

3x +

4

11

-2

-

3

1

2

7

x³ - 15x² +35x + 75 = 0

5

-

5 40

5 40

8

4x³ - 24x² + 39x = 14

2

-

0,5

3,5

9

x³ - 12x² + 39x = 28

4

-

1

7


- 33 -

n

t

y

x

1

W

1

ÜBUNGEN C

a) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle 6x

einen Wendepunkt und hat die Wendetangente mit der Gleichung 6y x .

Bestimme die Funktionsgleichung. [ 1 136 2( ) ³ ² 2f x x x x ]

…………………………………………………………………………………………………….

b) Gegeben ist eine zweite Funktion f durch 29( ) ³ 2 ² 2,5f x x x x .

Ihr Schaubild sei K. Untersuche K auf Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Wie

lautet die Gleichung der Wendetangente?

Zeichne K samt Wendetangente t im Bereich 0 8x . Wähle dabei 1LE = 1 cm.

1 2 30 / 0 , 1,5 / 0 , 7,5 / 0N N N , 0,71/ 0,85 , 5, 29 / 9,85H T

723 / 4,5 : 6W t y x

Die Wendetangente t, die Kurve K und die y-Achse schließen miteinander eine Fläche ein.

Bestimme die Größe der Fläche. [A = 4,5 FE]

c) Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die y-Achse schließen ebenfalls

eine Fläche ein. Wie groß ist diese Fläche? Die Gerade mit der Gleichung 1,5y x

schneidet die Kurve an 3 Stellen. Bestimme alle 3 Schnittpunkte durch Rechnung.

[ 527 14: 5n y x , 1

2 2817g hA , S1(0/0), S2(3/-4,5), S3(6/-9)]

Schaubild K


- 34 -

SUBSTITUTIONSVERFAHREN

Allgemeiner Typ 4 2 0ax bx c

Beispiel 4 22 20 18 0x x |: 2

4 210 9 0x x

Substitution ²x z

Damit ergibt sich: 2 10 9 0z z

1/ 2 5 25 9z

1/ 2 5 4z

1 29 1z und z

Rücksubstitution ² 9 ² 1 |x und x

Die Lösungen lauten: 1/ 2 3/ 43 1x und x

ÜBUNGEN D („SUBSTITUTION“)

Löse folgende Bestimmungsgleichungen mit Hilfe des Substitutionsverfahrens.

a) x4 – 21x² – 100 = 0

b) 0,5 x4 – 10x² + 32 = 0 | multipliziere zuerst mit 2

c) x4 – 25x² + 144 = 0

d) 3x4 – 7x² + 2 = 0

e) x4 – 2x² + 1 = 0

LÖSUNGEN

a) +5/ –5/ 3/ 4x = imaginär

b) +4 / +2 / –2 / – 4

c) 4 / 3

d) 13

12 / 3

3

e) 1 / 1


- 35 -

g t

y

x

1

W1

ÜBUNG E

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Punkt A(0/0), besitzt an der Stelle x = 2 einen

Wendepunkt und schneidet die x-Achse bei x = 4 unter der Steigung +8. Bestimme die

Funktionsgleichung.

b) Die Funktion f ist gegeben durch

3 2( ) 6 8 f x x x x

Ihr Schaubild sei K.

Untersuche K auf Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Wie lautet die Gleichung

der Wendetangente?

Welche Gleichung hat die Kurvennormale n im Wendepunkt?

Zeichne K sowie die Wendetangente im Bereich 0,5 4,5x .

c) Die Gerade g geht durch W(2/0), besitzt die Steigung 74 und schneidet die Kurve K in

zwei weiteren Punkten. Stelle die Geradengleichung auf. Schneide g mit K.

Wie lauten die x-Koordinaten der 3 Schnittpunkte (einer ist bekannt / Polynomdivision).

Anschließend bestimme den Flächeninhalt, den K mit der Geraden g einschließt.

d) Wo hat die Funktion g(x) = 12 (x4 – 17x² + 16) ihre Nullstellen?

LÖSUNGEN

a) f(x) = x³ – 6x² + 8x

b) N1(0 / 0), N2(2 / 0), N3(4 / 0)

TP(3,155 / -3,08) mit f“ > 0

HP(0,845 / +3,08) mit f“ < 0

WP(2 / 0)

: 4 8 t y x

14: 0,5 n y x

c) 74: 3,5g y x

1 2x Polynomdivision

2 30,5 3,5x x

Fläche A = 1,265625 FE

d) 1 / 4


- 36 -

1

y

x

W

1

ÜBUNG F

a) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Punkt P(0/8), berührt die x-Achse

an der Stelle x = 2 und besitzt an der Stelle x = 4 einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die

Funktionsgleichung.

b) Gegeben ist die Funktion f durch 3 214( ) 3 9 8f x x x x . Ihr Schaubild sei K.

Untersuche K auf Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, wobei eine Nullstelle aus

Teil a) bereits bekannt ist. Wie lautet die Gleichung der Wendetangente?

Zeichne K samt Wendetangente t im Bereich 0 8x . Wählen Sie 1LE = 1 cm.

c) Die Wendetangente t, die Kurve K und die y-Achse schließen miteinander eine Fläche ein.

Bestimme die Größe der Fläche.

d) Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die y-Achse schließen ebenfalls

eine Fläche ein. Wie groß ist diese Fläche? [Analytische Geometrie]

e) Die Gerade mit der Gleichung 4y schneidet die Kurve an 3 Stellen. Bestimme alle 3

Schnittpunkte durch Rechnung. [Polynomdivision]

LÖSUNGEN

1/ 2 3(2 / 0) (8 / 0)N Polynomdivision N (6)(6 / 8) 0HP mit f

(2)(2 / 0) 0TP mit f (4)(4 / 4) 0WP mit f : 3 8wt y x

4 43 2 3 21 1

4 40 0

( 3 9 8 3 8) ( 3 12 16) [.....] 16A x x x x dx x x x dx FE

1 13 3: 5n y x : 3 8t y x (4 / 4)WP

1 1 1 22 2 3 3(5 ( 8)) 4 ..... 26A g h FE

1 2 3(4 / 4) (.../ 4) (... / 4)S W und S und S


- 37 -

K

x

y

x=3

A

P(u/v)

v= f(u)

1

u 321

WIE LÖST MAN EINE MINI-MAX-AUFGABE?

1.Beispiel: RECHTECK UNTER DER KURVE

Durch die Kurve K mit der Gleichung 213( )f x x , die x-Achse und die Gerade x = 3 wird ein

Flächenstück begrenzt. Diesem Flächenstück soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt

einbeschrieben werden, so dass die eine Rechteckseite auf der x-Achse liegt.

Mache eine Zeichnung (1LE = 1,5 cm).

Bestimme durch Rechnung die Seitenlänge und den Inhalt des maximalen Rechteckes.

Zeichnung

Aufstellen der Funktionsgleichung für die Rechteckfläche:

(3 )A Länge Breite v u | Setze für 213( )v f u u ein.

2 2 31 13 3(3 )A u u u u

Bilde die 1. und die 2. Ableitung:

2( ) 2 ( ) 2 2A u u u und A u u

Bestimme den Extremwert:

1.Setze die Ableitung Null

( ) 0A u

22 0u u

(2 ) 0u u

1 20 2u und u


- 38 -

Minimum oder Maximum?

Dazu wird die zweite Ableitung untersucht:

(0) 2 0A bei u = 0 liegt ein Minimum vor, gesucht wird aber ein Maximum.

(2) 2 2 2 2 0A bei u = 2 liegt ein Maximum vor.

Ergebnis:

An der Stelle u = 2 ist der Flächeninhalt des Rechteckes maximal. max 2u .

Wie groß ist der Flächeninhalt des maximalen Rechteckes?

max

2 3 81max ( ) (2) 3 32 2 4 1,33uA A A FE

ÜBUNG G

a) Die Kurve C hat die Gleichung 116( ) ²f x x und schließt mit der x-Achse und der Geraden

8x eine Fläche ein. Bestimme den Inhalt der Fläche. Zeichne C für 0 8x .

b) Mini-Max-Aufgabe:

Dem Flächenstück aus Teil a) soll ein Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben

werden. Das Rechteck ist wie folgt gegeben: Der Punkt R(u/f(u)) liegt auf der Kurve C.

Die Parallelen durch R zu den Koordinatenachsen, die x-Achse und die Gerade x = 8

schließen das Rechteck ein. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Rechteckes maxi-

mal wird.

c) Weiterhin ist eine Kurve K mit der Gleichung 3 9116 4 4( ) ³ ² g x x x x gegeben. Untersuche

K auf Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Stelle die Gleichung der Wendetangente

auf. Zeichne die Kurve im Bereich 0 10x . Zeichne auch die Wendetangente ein.

d) Die Kurve C schließt zusammen mit der Kurve K zwei Flächen ein. Bestimme den Inhalt

der kleineren Fläche.

LÖSUNGEN

a) 2310A FE

b) ( ) ( )(8 ) ....... ..u uA u f ( )uA = ........ Setze ( ) 0uA 135u

( )uA = ..... Prüfe 13(5 )

0A 1max 35u max 4,74A FE

c) N1(0/0), N2/3(6/0), TP(6/0) mit ( ) 0 xg , HP(2/2) mit ( ) 0 xg , WP(4/1) mit ( ) 0 xg

34 4y x d) 2

1 34Fläche A FE


- 39 -

KC

x

y

4 8

S

1

321

WIEDERHOLUNGSAUFGABE (G)

a) Die Kurve C hat die Gleichung 14( ) ²f x x und schließt mit der x-Achse und der Geraden

6x eine Fläche ein. Bestimme den Inhalt der Fläche.

Zeichne C für 0 6 x .

b) Mini-Max-Aufgabe

Dem Flächenstück aus Teil a) soll ein Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben

werden. Das Rechteck ist wie folgt gegeben: Der Punkt R(u/f(u)) liegt auf der Kurve C.

Die Parallelen durch R zu den Koordinatenachsen, die x-Achse und die Gerade x = 6

schließen das Rechteck ein. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Rechteckes maxi-

mal wird.

c) Weiterhin ist eine Kurve K mit der Gleichung 116( ) ³ ² 4 f x x x x gegeben. Untersuche

K auf Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

Zeichne die Kurve im Bereich 0 9 x .

d) Die Kurve C schließt zusammen mit der Kurve K zwei Flächen ein. Bestimme den Inhalt

der kleineren Fläche.

e) Wie groß ist die Fläche, die von den Kurven C und K und der x-Achse eingeschlossen

wird?

LÖSUNGEN

a) 1 18A FE

b) ( ) ( )(6 ) u uA u f

( )uA = 0 4u

Prüfe (4) 0 A 4 maxu 8 maxA FE

c) N1(0/0), N2/3(8/0), TP(8/0) mit ( ) 0 xg , HP(2,66 / 4,74) mit ( ) 0 xg , WP(5,33/2,37)

d) 12 39Fläche A FE

e) 1 23 3 35 6 12 Fläche A FE


- 40 -

x=u

d

Q

P

y

x

1

1 6

2. Beispiel: SCHINKENAUFGABE

Gegeben ist die Funktion f mit 4 3 2318 2( ) 6 8f x x x x x und die Gerade g mit der Gleichung

g(x) = 2x – 6. Die Gerade x = u schneidet die Kurve K im Punkt Q und die Gerade g im Punkt P.

Bestimme u so,

dass die (senkrechte) Strecke PQ

maximale Länge hat. u soll zwischen

+2 und + 6 liegen.: 2 6u


( ) ( ) ( )u u uPQ d g f 4 3 2 4 3 23 31 18 2 8 22 6 ( 6 8 ) 6 10 6u u u u u u u u u

1. und 2. Ableitung bilden:

3 291( ) 2 2 12 10ud u u u und 23

( ) 2 9 12ud u u

Die 1. Ableitung gleich Null setzen:

3 2912 2 12 10 0 | ( 2)u u u

3 219 24 20 0 | 2u u u u ist bekannt

Eine bekannte Lösung ist u1 = 2, weil sich bei u = 2 die Kurve und die Gerade berühren.

Dort ist die Strecke d minimal, wie die Anschauung zeigt. Es muss also noch das Maximum

durch Rechnung gefunden werden. Daher muss man eine Polynomdivision durchführen:

(u³ – 9 u² + 24u – 20):(u – 2) = . . . . . . .= ² 7 10 0u u

Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt: 2 32 5u und u

u3 = 5 liegt im vorgegebenen Bereich zwischen 2 < u < 6.

Prüfe, ob für u = 5 ein Maximum vorliegt:

23(5) 2 5 9 5 12 4,5 0d also liegt ein Maximum vor. 3,375maxd LE


- 41 -

d

u=1,73

y

x

1

1

ÜBUNG H

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle x = 4 einen Wen-

depunkt und hat außerdem einen Hochpunkt HP(2/4). Bestimme die Gleichung der Para-

bel.

b) Gegeben ist die Kurve K mit der Gleichung 3 218( ) 1,5 4,5f x x x x

Untersuche die Kurve K auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. Stelle die Gleichung

der Wendetangente auf. Zeichne die Kurve im Bereich 0 10x . Zeichne auch die Wen-

detangente ein.

c) Die Kurve C hat die Gleichung g(x) = 18 x² und schließt zusammen mit der Kurve K eine

Fläche ein. Bestimme die 3 Schnittpunkte der beiden Kurven. Bestimme den Inhalt der klei-

neren Fläche. Zeichne C ein.

d) Mini-Max-Aufgabe:

Für 0 4u soll die Gerade x = u die beiden Kurven K und C in den Punkten P und Q

schneiden. Bestimme u so, dass die Strecke PQ maximal wird.

LÖSUNGEN

b) N1(0/0), N2/3(6/0), TP(6/0) mit 0f , HP(2/4) mit 0f , WP(4/2) mit 0f ,

y = - 32 x + 8

c) 11 2 3 80 / 0 / 4 / 2 / 9 /10 /S S S Fläche A1 = 1

39 FE

d) 3 213 918 8 2( )d u u u u

Bilde d´(u) und d´´(u)

Setze d´(u) = 0.

Es ergibt sich:

u1 = 1,73..

Nachweis für Max:

(1,73) 0d

2 6,936..u (entfällt, weil

der Wert nicht im vorgegeben

Intervall liegt)

3,57maxd LE


- 42 -

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2 4 6 8 x

y

x = u

d

P

Q

WIEDERHOLUNGSAUFGABE (H)

Gegeben ist die Funktion f durch 2 427 3f (x) x³ x² 6x .

Das entsprechende Schaubild ist die Kurve K.

Weiterhin ist eine Parabel C gegeben mit der Gleichung 19g(x) x² .

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven.

Zeichne die beiden Kurven im Bereich 0 x 9 .

Wie groß ist die (kleinere) Fläche zwischen K und C?

Mini-Max-Aufgabe

Die beiden Kurven werden von einer Geraden mit der Gleichung x = u (Parallele zur

y-Achse) geschnitten, wobei 0 u 6 sein soll.

Die Kurve K wird im Punkt P geschnitten, die Kurve G im Punkt Q (siehe Zeichnung).

Für welchen Wert von u ist der Abstand d der beiden Punkte maximal?

LÖSUNGEN

2 4 127 3 9x³ x² 6x x² 2x³ 36x² 162x 3x² 0 2x³ 39x² 162x 0

1 1x (2x² 39x 162) 0 x 0 S (0 / 0)

2/3

39 39² 4 2 162 39 15x

4 4

2 2

3 3

x 6 S (6 / 4)

x 13,5 S (13,5 / 20, 25)

6

( ) ( )

0

...... 28 x xA f g dx FE

Mini-Max-Aufgabe

Abstandsfunktion: 132 4 1 227 3 9 27 9d f (u) g(u) u³ u² 6u u² u³ u² 6u

Ableitungen: 26 262 49 9 9 9d u² u 6 d u

maxd 0 ....... u 2,59

Nachweis für Maximum: (2,59)d ..... 1,74 0 Maximum

Maximaler Abstand: maxd .......... 7,14 LE

[Die Länge von d kann an der Zeichnung nachgemessen werden.]


- 43 -

- u u

A(u) v = f(u)

Q(-u/v)

2u

P(u/v)

y

x

1

- 4 41

3.Beispiel: TUNNELAUFGABE

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit der Gleichung 4 21 1128 4( ) 2f x x x .

Das Schaubild der Funktion sei K.

Zwei Eckpunkte eines achsenparallelen Rechteckes liegen auf der x-Achse, die anderen beiden

Eckpunkte P und Q liegen auf K im Bereich -4 < u < 4.

Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt des Rechteckes maximal?

Bestimme A(u), )u(A , )u(A . Berechne umax .

Lösung:

( ) 2 2 ( )A u Länge Breite u v u f u 4 21 1128 4| ( ) 2v f u x x

4 2 5 31 1 1 1128 4 64 2( ) 2 ( 2) 4A u u u u u u u

Ableitungen:

4 25 364 2( ) 4A u u u und 35

16( ) 3A u u u

Setze die 1.Ableitung gleich Null:

4 2 4 25 364 2 4 0 5 96 256 0u u u u

Löse die Bestimmungsgleichung durch Substitution:

21 25 96 256 0 16 3,2z z z und z

Rücksubstitution:

1/ 2 3/ 44 1,79u und u

Minimum oder Maximum?

3516(1,79) 1,79 3 1,79 3,58 0A also liegt ein Maximum vor.

Wie groß ist die maximale Fläche?

max (1,79) ......... 4,58A A FE


- 44 -

-3 3

9

4

y

x

1

1

ÜBUNG I

a) Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat einen Wendepunkt (1/ ...)W , geht

durch den Punkt P(-3/0) und schneidet die y-Achse bei 94 . Bestimme die Gleichung der

Parabel. [vereinfachter Ansatz wegen Achsensymmetrie: 4 2( )f x a x b x c ]

b) Gegeben ist die Kurve K mit der Gleichung 4 2 91 112 2 4( )f x x x .

Untersuche K auf Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichne die Kurve im

Bereich 3,5 3,5x .

c) Mini-Max-Aufgabe:

Zwei Ecken eines achsenparallelen Rechteckes liegen auf der x-Achse. Die anderen beiden

liegen auf der Parabel. x = u ist die Gleichung einer Rechteckseite mit 0 ≤ u ≤ 3.

Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt der Rechteckseite maximal?

d) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve K mit der x-Achse einschließt?

LÖSUNGEN

b) Lösung durch Substitution: N1(-3/0), N2(3/0), und zwei imaginäre Lösungen,

HP1/2( 3 /3) mit f´´< 0, TP(0/ 49 ) mit f´´ > 0, WP1/2( 1/ 3

8 ) mit f´´´≠ 0.

c) 5 31( ) ( ) 62 ..... 4,5u uA u f u u u

( ) ( ) ( ), 0.u u uBilde A und A dann setze A

Lösung der Bestimmungsgleichung durch Substitution. Man erhält z1 ≈ 4,74

und u1/2 ≈ 2,18.

Prüfe, ob (2,18) 0A ist. Es existiert ein Maximum. 11,96maxA FE

d) Fläche: Ansatz aus Symmetriegründen mit 3

0

2 ( )A f x dx 14,4A FE


- 45 -

t

B(u/v)

P

Q(6/...)

R(6/0)

x = 6

A(u)

y

x

1

u

v = f(u)

1

4. Beispiel: DREIECK UNTER DER TANGENTE

Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 21( ) 8xf x .Der Punkt B(u/v) mit 0 6u liegt auf

der Parabel.

Stelle die allgemeine Tangentengleichung für den Punkt B auf.

Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt P und die Gerade x = 6 im Punkt Q. Bestimme die

Koordinaten von P und Q.

Die Punkte P und Q spannen zusammen mit R(6/0) ein Dreieck auf. Bestimmen Sie den Flächen-

inhalt des Dreiecks PRQ. Für welchen Wert von u besitzt der Flächeninhalt ein Maximum?

Parabel: 21 1( ) ( )8 4x xf x und f x

2 21 1( ) 8 8( / ) ( / )uB u v mit v f u B u u

Die allgemeine Tangentengleichung im Punkt B:

Ansatz: 1 1( )y y m x x | Setze: 1x u , 1 ( )uy f , ( )um f

( ) ( ) ( )u uy f f x u | Setze: 21( ) 8uf u , 1

( ) 4uf u

Rechnung: 21 18 4 ( )y u u x u | Klammer auflösen | 21

8 u

2 2 21 1 1 1 14 4 8 4 8y u x u u u x u


- 46 -

Die Tangentengleichung lautet: 21 14 8y u x u

Bestimmung von Q:

[ 6x in die Tangentengleichung einsetzen] 2 26 31 1(6) 4 8 2 8(6 / )y u u Q u u

Bestimmung von P:

[Die Nullstelle der Tangente berechnen]

21 14 8 0u x u | 8

22 0u x u

22u x u

12x u 1

2( / 0)P u

Grundseite und Höhe des Dreieckes:

12(6 )g uPR und

23 12 8( )RQ h u u

Funktionsgleichung für die Dreiecksfläche:

231 1 1 12 2 2 2 8( ) (6 )( )A u g h u u u

231 14 2 8( ) (3 )( )A u u u u

2 2 3 2 3 2 39 3 3 9 6 9 31 1 12 8 8 32 2 8 32 2 4 32( )A u u u u u u u u u u u

Erste und zweite Ableitung:

29 3 3 3 3( ) ( )2 2 32 2 16u uA u u und A u

Extremstelle berechnen:

29 3 3( ) 2 2 320 0uA u u | 32

22

1/ 2 1

448 48 4 3 144144 48 3 0 4

122 3u u u u

2 12u entfällt, weil es nicht in dem vorgegeben Intervall 0 6u liegt.

Prüfung auf Maximum:

3 3 3 3 3(4) 2 16 2 4 44 0,75 0A also liegt ein Maximum vor.


- 47 -

ÜBUNG J

a) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Punkt A(0/0), besitzt an der Stelle

6x einen Wendepunkt W und hat die Wendetangente t mit der Gleichung 23 8y x .

Bestimme die Funktionsgleichung.

b) Gegeben ist eine Funktion f durch 3 2 101 227 3 3( )f x x x x .

Ihr Schaubild sei K. Zeichnen Sie K im Bereich 0 ≤ x ≤ 11. Wählen Sie 1LE = 1 cm.


Bestimmen Sie die Größe der Fläche.

c) Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die y-Achse schließen ebenfalls

eine Fläche ein. In welchem Verhältnis wird diese Fläche von der Kurve K geteilt? Die Ge-

rade mit der Gleichung y = 4 schneidet die Kurve an 3 Stellen. Bestimmen Sie alle 3

Schnittpunkte.


Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 21( ) 6xg x . Das Schaubild sei C.

Für 0 4u soll die Gerade x = u die beiden Kurven K und C in den Punkten P und Q

schneiden. Bestimme u so, dass die Strecke PQ maximal wird.

e) ALTERNATIV zu d) (siehe 4. Beispiel)

Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 21( ) 6xg x . Der Punkt B(u/g(u)) mit 0 < u < 8

liegt auf der Parabel. Stellen Sie allgemein die Tangentengleichung für den Punkt B auf.

Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt P und die Gerade x = 8 im Punkt Q. Die

Punkte P, Q und R(8/0) spannen zusammen ein Dreieck auf. Für welchen Wert von u wird

der Flächeninhalt des Dreieckes maximal?

* * *

KURVENSCHAR

f) Gegeben ist folgende Kurvenschar Ka mit der Gleichung: 3 21 2 8( )

27 3 3a

af x x x x

Welche Kurve der Schar berührt die x-Achse?

g) Zeigen Sie, dass alle Wendetangenten der Kurvenschar Ka durch einen festen Punkt gehen.

Für welchen Wert von a ergibt sich eine waagerechte Wendetangente?

h) Bestimmen Sie allgemein den Flächeninhalt, der von der y-Achse, von Ka und von der all-

gemeinen Wendetangenten eingeschlossen wird.


- 48 -

A2

A1

K

6

-5

8

y=4W

n

t

y

x1

1

LÖSUNGEN

a) (0) 0f 0d

(6) 4f 216 36 6 4a b c

23(6)f 2

3108 12a b c | ( 6)

(6) 0f 36 2 0a b

----------------------------------------------------------------------------------------------------

101 227 3 30d a b c

3 2 101 227 3 3( )f x x x x

b)

Fläche:

1 ( ) ( )( )b

x x

a

A t f dx

63 2 102 1 2

3 27 3 30

( 8 ) .... 12x x x x dx FE

c)

Normale: 32: 5n y x

Tangente: 23: 8t y x

Dreiecksfläche: (8 ( 5)) 612 2 39A g h FE

Flächenverh.: 2 1 39 12 27A A A FE 1 2: 12 : 27 ..( ).. 4 : 9A A kürzen

Schnittpunkte: 3 2 3 2101 227 3 3 4 18 90 108 0x x x x x x

x1 = 6 bekannt Polynomdivision

1 2 3(6 / 4) (1,76 / 4) (10,24 / 4)S S S

Achtung: nicht die y-Werte berechnen, diese sind bereits bekannt.


3 2 2 3 210 5 101 2 1 1( ) ( ) ( ) 27 3 3 6 27 6 3

2 5 10 51 2( ) ( )9 3 3 9 3

2( )

52(2,38) 9 3

0 15 30 0 2,38 12,62

2,38 1,14 0 2,38 / 3,71

u u u

u u

u

max max

d f g u u u u u u u

d u u d u

d u u u und

d u d


- 49 -

e)

ALTERNATIV zu d) allgemeine Tangentengleichung:

Ansatz: ( ) ( ) ( )u uy g g x u | Setze: 21( ) 6ug u , 1

( ) 3ug u

Rechnung: 21 16 3 ( )y u u x u | Klammer auflösen | 21

6 u

2 21 1 13 3 6y u x u u | zusammenfassen

Ergebnis: 213 6uy x u

Bestimmung von Q:

[ 8x in die Tangentengleichung einsetzen] 2 28 81 1(8) 3 6 3 6(8 / )y u u Q u u

Bestimmung von P:

[Die Nullstelle der Tangente berechnen] 213 6 0u x u | 6

22 0u x u

22 |: (2 )u x u u

12x u 1

2( / 0)P u

Grundseite und Höhe des Dreieckes:

12(8 )g uPR und

28 13 6( )h u uRQ

Funktionsgleichung für die Dreiecksfläche:

281 1 1 12 2 2 3 6( ) (8 ) ( )A u g h u u u

281 14 3 6( ) (4 ) ( )A u u u u

2 2 3 2 332 322 2 1 4 13 3 3 24 3 3 24( )A u u u u u u u u

Erste und zweite Ableitung:

232 8 81 1( ) ( )3 3 8 3 4u uA u u und A u

Extremstelle berechnen:

232 8 1( ) 3 3 80 0uA u u | 24

2 12 3

1/ 2

564 64 4 3 256 64 32256 64 3 0

162 3 6u u u

2 16u entfällt, weil es nicht in dem vorgegeben Intervall 0 8u liegt.

Prüfung auf Maximum:

13

8 81 1 4 43 4 3 3 3 3(5 )

5 1,33 0A also liegt ein relatives Maximum vor.


- 50 -

f)

KURVENSCHAR

Funktion: 83 21 227 3 3( ) a

af x x x x

Ableitungen: 821 49 3 3( ) a

af x x x 2 49 3( )af x x

allgemeine Nullstelle:

83 2 3 21 227 3 3( ) 0 0 18 9( 8) 0a

af x x x x x x a x | x ausklammern

21 2/3

0

[ 18 9( 8)] 0 0 9 81 9 72D

x x x a x und x a

| D = Diskriminante

Berührpunkt:

Zwei zusammenfallende Nullstellen ergeben einen Berührpunkt. Setze die Diskriminante

0D : 81 9 72 0 9 9 0 1a a a 3 21 21 27 3( ) 3f x x x x

Ergebnis: Für a = 1 berührt die Kurve die x-Achse im Punkt B(9/0).

g)

Wendepunkt:

2 49 3( ) 0 0 6a wf x x x 8 24 2( 8) 16 2 16 2wy a a

(6 / 2 )W a

Steigung am Wendepunkt:

8 8 8 12 8 12 4(6) 3 3 3 3 3 34 8 4a a a a am f

allgemeine Wendetangente:

4 4 4 43 3 3 32 ( 6) ( 6) 2 ( 4) 2 2 2a a a ay a x y x a x a a x a 8 2a

43 8 8ay x b , d. h. alle Wendetangenten gehen durch einen festen Punkt S(0/8).

waagerechte Tangente: 430 0 4 0 4am a a

Die Kurve 3 21 24 27 3( ) 4f x x x x besitzt einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

h)

allgemeine Fläche:

64 1 2 83 2

3 27 3 30

( 8 ) (a a aA x x x x dx 4 a 6 6

8 1 2 1 23 2 3 23 27 3 27 3

0 0

8 ) ( 4 8 )x x x dx x x x dx 61 22 4 3

108 9 02 8 72 48 12 48 12A x x x x FE


- 51 -

W

x=6

t

K2

K4

S(0/8)

K1

y

x1

1

SCHAUBILD ZUR KURVENSCHAR


- 52 -

ÜBUNG K

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht mit der Steigung 6m durch den Ursprung, besitzt an der

Stelle 6x einen Wendepunkt und schneidet die x-Achse an der Stelle x = 9.


[5 P]

b) Gegeben ist eine Funktion f durch 3 22 427 3( ) 6f x x x x . Ihr Schaubild sei K.

Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der Kurve. Stelle die Gleichung der Wendetangente

auf. Zeichne K samt Wendetangente im Bereich 0 ≤ x ≤ 12. Wähle 1LE = 1 cm.

[5 P]

c) Die Wendetangente t, die Kurve K und die y-Achse schließen miteinander eine Fläche ein.

Bestimme die Größe dieser Fläche.

[4 P]

d) Die Normale n im Wendepunkt schneidet K in drei Punkten. Bestimme die Koordinaten

der drei Schnittpunkte.

[4 P]

e) Gegeben ist eine Parabel P mit der Gleichung 219( )g x x . Ihr Schaubild sei C. Eine Gera-

de mit der Gleichung x = u (0 < u < 6) schneidet die Kurve K im Punkt A und die Kurve C

im Punkt B.

Bestimmen Sie u so, dass die Strecke AB maximale Länge hat. Prüfe, ob ein Maximum

vorliegt.

[5 P]

f) KURVENSCHAR

Gegeben ist folgende Kurvenschar Ka mit der Gleichung:

3 28 4 3( )

27 3 2a

af x x x x

a mit a > 0.

Bestimme allgemein die Nullstellen der Kurvenschar.

Welche Kurven der Schar berühren die x-Achse?

Bestimme die allgemeine Gleichung der Wendetangente.

Für welchen Wert von a geht die Wendetangente durch den Punkt S(0/9)?

Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte, d. h. auf welcher Kurve liegen alle Wende-

punkte?

[7 P]


- 53 -

d

x=ut

n

y

x1

16

W

1

LÖSUNGEN

a)

(0) 0f 0d

(0) 6f 6c

(6) 0f 36 2 0a b

(9) 0f 729 81 9 0 |: 9a b c

b)

Funktion: 3 22 427 3( ) 6f x x x x

Ableitungen: 2 829 3( ) 6f x x x

849 3( )f x x ZEICHNUNG

49( ) 0f x

Extrempunkte: 4(3) 3(3 / 8) 0H mit f

4(9) 3(9 / 0) 0T mit f

Wendepunkt: (6)(6 / 4) 0W mit f

Wendetangente: 2 16y x

c)

Fläche: 6 6

3 2 3 22 4 2 427 3 27 3

0 0

( 2 16 6 ) ( 8 16)A x x x x dx x x x dx

4 3 2 61 4054 9[ 4 16 ] .... 24A x x x x FE

d)

Normale n: 1 12 24 ( 6) 1y x y x

Schnittpunkte: 3 22 4 127 3 26 1 4 ³ 72 ² 297 54 0x x x x x x x 1 6x bekannt

Polynomdiv.: 1 2 3(0,19 /1,095) (11,81/ 6,905)S W S S


- 54 -

e) Mini-Max-Aufgabe:

( ) ( ) ( )u u ud f g 132( ) 27 9³ ² 6ud u u u

26 262 4( ) ( )9 9 9 9² 6u ud x x d x

262( ) 1/ 29 9

2,590 ² 6 0 ² 13 27 0

10,41ud x x u u u

Prüfe: (2,59) 1,73 0 7,14maxd Maximum d LE

f) KURVENSCHAR

Funktion: 3 28 3427 3 2( ) a

a af x x x x

Ableitungen: 28 8 39 3 2( ) a

a af x x x 16 89 3( )a af x x

Nullstellen: 3 28 3427 3 2( ) 0 0a

a af x x x x | 54a

116 ³ 72 ² 81 ² 0 (16 ² 72 81 ²) 0 (0 / 0)x a x a x x x a x a N

2 2 2

2/3 2/3

72 72 4 16 81 72 02,25 (2,25 / 0)

2 16 32

a a a ax a N a

Weil zwei Nullstellen zusammenfallen, berühren alle Kurven die x-Achse.

Wendepunkt:

16 8 3 39 3 2 2( ) 0 0 ..... a

a w waf x x x oder x a

3 2 88 3 3 3 3427 2 3 2 2 2( ) ( ) ( )a a a a

w a w ay f x 27

27

a

3

8

a 4 293 4

a 2 2 2 23 3 9 12 2 4 43a a a a a a

23 12 4( / )W a a

Wendetangente:

28 3 8 3 3 89 2 3 2 2 9

( ) ( )a a aa w am f x 9

a

28

4 3

a 3 3 12 2 22 4 1,5 0,5a a a a a a a

2 23 31 1 1 14 2 2 2 4 4( ) ² ( )w wy y m x x y a a x a y a x a a

212y a x a

Welche Tangente geht durch (0 / 9)S ? Der Punkt wird in die Tangentengleichung eingesetzt:

2 2 21 12 29 0 9 3y a x a a a a a , a = -3 entfällt wegen a > 0.

Ortskurve:

2 23 31 12 4 2 4( / ) .W a a x a und y a den Parameter a eliminieren

Umformen 22 22 4 1 1

3 9 4 4x xa a einsetzen y a 4

2 219 9x y x


- 55 -

9

Ortskurve

y

x1

1

SCHAUBILD ZUR KURVENSCHAR


- 56 -

SYMMETRIE BEI GANZ RATIONALEN FUNKTIONEN

Symmetrie zur y-Achse:

liegt vor, wenn gilt ( ) ( )f x f x

es gibt nur gerade Exponenten: 2 40 2 4( ) . . .f x a a x a x

Symmetrie zum Ursprung:

liegt vor, wenn gilt ( ) ( )f x f x

es gibt nur ungerade Exponenten: 1 3 51 3 5( ) . . .f x a x a x a x

Merke: Ist die Symmetrie einer gesuchten ganzrationalen Funktion bekannt, so

kann man einen vereinfachten Ansatz machen.

BEISPIEL Eine Kurve dritter Ordnung ist symmetrisch zum Ursprung und besitzt einen

Tiefpunkt T(-2/-4). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ansatz: 3 2( )f x a x b x c x d 3( )f x a x c x

2( ) 3f x a x c

Bedingungen: ( 2) 4f → – 8a – 2c = – 4

( 2) 0f → 12a + c = 0 | ·(-2)

usw..........

Durch Rechnung findet man 314( ) 3f x x x

ÜBUNGEN L

Eine Parabel 3. Ordnung ist symmetrisch zum Ursprung, geht durch P(4/3) und besitzt an

seinem Wendepunkt die Steigung 74m .

[Hinweis: Jede Parabel 3. Ordnung ist symmetrisch zu ihrem Wendepunkt.]

[ 3 7116 4( )f x x x ]

Eine ganz rationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse, berührt die x-Achse an der

Stelle x = 4 und geht durch P(0/2). [ 4 21 1128 4( ) 2f x x x ]

Eine ganz rationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse, besitzt einen Hochpunkt

HP(2/2,25) und geht durch den Punkt P(4/0). [ 4 21 164 8( ) 2f x x x ]


- 57 -

y

x

1

1

ÜBUNG M

a) Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat einen Wendepunkt 169(1/ )W ) und

besitzt eine Nullstelle bei x = 3. Bestimme die Gleichung der Parabel.

[Ansatz mit f(x) = ax4 + bx² + c wegen Symmetrie zur y-Achse.]

b) Untersuche die Parabel auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (x-Achse und y-

Achse), Extrem- und Wendepunkte.

Zeichne die Kurve im Bereich –3,5 ≤ x ≤ +3,5 mit 1LE = 1cm.

c) Gegeben ist eine Kurvenschar 4 21 1 3( )

18 3 2tf x x x tt

mit t > 0

Berechne den Flächeninhalt A(t), den die Kurvenschar mit der x-Achse einschließt. Für

welchen Wert von t beträgt der Flächeninhalt 1,2 FE.

d) Versuche den Schnittpunkt von K1 mit Kt zu bestimmen. Zeige, dass es keine reelle Lö-

sung gibt. [weglassen]

e) Bei welcher Scharkurve sind die drei Extrempunkte der Kurve die Eckpunkte eines recht-

winkligen Dreieckes? Bestimme den entsprechenden Wert für t. [weglassen]

LÖSUNGEN

a) 4 2 31 118 3 2( )f x x x

b) Zur Berechnung der Nullstellen verwende

das Substitutionsverfahren.

N1(-3/0), N2(3/0), Y(0/1,5), TP(0/1,5),

H( 3 /2), 169(1/ )W

c)

allg. Nullstelle: N1/2( 3 t /0)

34 2 31 1

( ) 18 3 20

2 ( ) .......... 9,6t

t tA x x t dx t t Setze ( ) 1, 2 0, 25tA t

(wegen Symmetrie)

Ausführliche Lösungen auf den folgenden Seiten.


- 58 -

c) Kurvenschar

4 2 31 118 3 2( )t tf x x x t

3 22 2 2 29 3 3 3( ) ( )t tt tf x x x f x x

allgemeine Nullstelle:

( ) 0tf x 4 2 31 118 3 2 0t x x t | ( 18 )t

Substitution: 4 2 26 27 0x t x t 2| x z

2 2 2 21/ 2

96 27 0 3 9 27 3 6

3

tz t z t z t t t t t

t

Rücksubstitution: 21/ 29 3x t x t

23/ 43 3x t x t imaginär , entfällt

Fläche: 3

4 2 5 3 33 31 1 1 1018 3 2 90 9 2

0

2 ( ) 2 [ ]t

tt tA x x t dx x x t x

5 5 3 3 23 243 27 91 190 9 2 90 9 22 [ 3 3 3 ] 2 [ ]t tA t t t t t t t t t t

Für welchen Wert von t beträgt der Flächeninhalt 1,2 FE?

2 3 1 164 49,6 1, 2 8 1 64 1t t t t t t t t

d) Schnittpunkte: 1( ) ( )tf x f x

4 21 118 3x x 4 23 1 1

2 18 3t x x 32 t | ( 18 )t

4 4 227 27t x t x t

4 4 227 27t x x t t | ausklammern

4( 1) 27 ( 1)t x t t |: ( 1)t

4 27x t

4 27x t ist imaginär für t > 0.

e) allgemeine Extrempunkte:

3 3 22 29 3( ) 0 0 3 0 ( 3 ) 0t tf x x x x t x x x t

3

1 2/3 20 , 3 (0 / ) 0x x t T t mit f

2 3 31 1 118 3 2 2 2( 3 ) 9 3 1 2t tf t t t t t t t t 1/ 2 ( 3 / 2 ) 0H t t mit f

2 [ 2,7 3 4,5 ] 9,6A t t t t t t t t


- 59 -

T

H1H2

t=9

t=6

t=3

t=12

t=1

y

x1

1

Richtung (Steigung) der Dreiecksseiten:

1

1 1

2 1,5 0,51 3 0 3

H T

H T

y y t t tH T x x t t

m m

2

2 2

2 1,5 0,52 3 0 3

H T

H T

y y t t tH T x x t t

m m

Bedingung für senkrecht stehen:

20,5 0,5 0,25 11 2 3 43 3

1 1 1 3t t ttt t

m m t

12t

Für t = 12 ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck.


- 60 -

x

f(x) = g(x)

y

x

1

1

x

f '(x) = g'(x)

f(x) = g(x)

y

x1

m1

m2

y

x1

TANGENTEN UND NORMALEN VON KURVEN

SCHNEIDEN – BERÜHREN – SENKRECHT SCHNEIDEN

WINKEL ZWISCHEN KURVEN / WINKEL MIT DER X-ACHSE

SCHNEIDEN

gleiche Funktionswerte

BERÜHREN

gleiche Funktionswerte und

gleiche Steigungen

zwei Schnittpunkte fallen zusammen

oder

SENKRECHT SCHNEIDEN

1 2 ( ) ( )

( )( )

1 1

1

x x

xx

m m f g

oder fg

Winkel zwischen Kurven 2 1

2 1

tan1

m m

m m

Winkel mit der x-Achse tan m


- 61 -

ÜBUNG N

Gegeben ist eine Funktion f durch 3 916 4( ) ³f x x x . Das Schaubild sei K.

Gegeben ist weiterhin eine Funktion g durch 34( ) ²g x x . Das Schaubild sei G.

a) Untersuche K auf Symmetrie, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.

Bestimme die Schnittpunkte von K mit G.

Zeichne beide Kurven in ein Koordinatensystem ein im Bereich -4 ≤ x ≤ 4 mit 1LE= 1cm.

b) Das Schaubild G, die Normale von G im Punkte H(2/3) und die y-Achse begrenzen im 1.

Quadranten eine Fläche. K zerlegt diese Fläche in zwei Teilflächen A1 und A2. Berechne

beide Flächen. Welches Verhältnis bilden die Flächeninhalte miteinander?

c) Die Geradenschar mit der Gleichung y mx schneidet K.

Berechne die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Für welche Werte von m gibt es 3 Schnitt-

punkte?


[Siehe Musteraufgabe im Skript]

In das Flächenstück, das von der Kurve G und der Geraden x = 2 eingeschlossen wird, sei

ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben. Eine Rechteckseite liege dabei

auf der x-Achse, die andere auf der Geraden x = 2.

Mache zuerst eine Skizze. Stelle für das Rechteck die Flächenfunktion auf. Bestimme die

Seitenlänge, für die der Flächeninhalt maximal wird.

LÖSUNGEN

a) Symmetrie zum Ursprung, da es nur ungerade Exponenten gibt. N1(0/0), N2/3( 12 /0),

HP(2/3), TP(-2/-3), WP(0/0), S1(0/0), S2(2/3), S3(-6/27)

b) 35 71 11 21 2 1 23 3 3 12 4: 4 : 5 : 3gesn y x A FE A FE A FE A A

c) Ansatz: 3 916 4³x x mx | ( 16)

3x³ - 36x + 16m·x = 0 | x ausklammern

x·(3x² -36 + 16m) = 0 → 1 0x

3x² = 36 – 16m |: 3 | 2/3

1612

3

mx

Drei Schnittpunkte gibt es, wenn die Diskriminante 16312 0m ist 2, 25m

d) 84 2( ) ( ) ( ) max max3 3 91,5 ² 0,75 ³ 0 0 , . ,u u uA u u A A u Seitenl A FE


- 62 -

t

m = f '(u)

x

y

u

f (u)

P

B(u /f(u))

TANGENTE VON EINEM ÄUSSEREN PUNKT P AN EINE KURVE K

Beispiel:

Gegeben ist die Kurve K mit der Gleichung 2 849 3( )f x x x .

Vom Punkt P(2/4) aus kann man zwei Tangenten an die Kurve K legen. Bestimme die beiden

Berührpunkte B1 und B2 und die

beiden Gleichungen der Tangenten.

Mache eine Zeichnung.

Lösung:

Funktion:

2 849 3( )f x x x

Steigung:

8 89 3( )f x x

äußerer Punkt:

P(2/4)

Ansatz: 1 1( )y y m x x | Setze: 1x u , 1 ( )uy f , ( )um f

Tangentenschar: ( ) ( ) ( )u uy f f x u | Setze: 2 849 3( )f u u u , 8 8

9 3( )f u u

2 8 8 849 3 9 3( ) ( ) ( )y u u u x u | für x und y P(2/4) einsetzen

2 8 8 849 3 9 34 ( ) ( ) (2 )u u u u

2 28 16 16 8 849 3 9 3 9 34 u u u u u | 9

36 + 4u2 – 24u = –16u + 48 + 8u2 –24u

4u2 – 16u + 12 = 0 |:4

u2 – 4u + 3 = 0 → 1 21 3u und u

Durch Einsetzen in die Kurvengleichung erhält man auch die entsprechenden y-Koordinaten der

Berührpunkte: 21 29(1/ 2 ) (3 / 4)B und B .

Tangentengleichungen:

16 16 162 49 9 9 9 9(1) 2 ( 1)m f y x y x

(3) 0 4 0 ( 3) 4m f y x y


- 63 -

ÜBUNGEN [Tangenten von außen an eine Kurve]

1. Gegeben ist eine Parabel durch die Funktionsgleichung 14( ) ² 5,25f x x .

Vom Punkt 1/ 9P aus kann man zwei Tangenten an die Parabel legen.

Wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte?

Wie lauten die Gleichungen der beiden Tangenten?

Ergebnisse:

1 5 ( 5 / 1) : 2,5 11,5Au A t y x

2 3 3 / 3 : 1,5 7,5Bu B t y x

2. Gegeben ist eine Parabel 3. Ordnung durch die Funktionsgleichung

3116( ) ² 4f x x x x .

Vom Punkt 1,6 / 6,4P aus kann man drei Tangenten an die Kurve legen.


Wie lauten die Gleichungen der Tangenten?

Ergebnisse:

1 0 (0 / 0) : 4Au A t y x

2 4 (4 / 4) : 8Bu B t y x

3 6,4 6,4 /1,024 : 1,12 8,192Cu C t y x


3 3 7120 5 5( ) ² 1f x x x x .

Vom Punkt 0 /1P aus kann man zwei Tangenten an die Kurve legen.



Ergebnisse:

1/2 0 (0 /1) : 1, 4 1Au A t y x

3 6 6 / 1,4 : 0,4 1Bu B t y x


- 64 -


1 4 412 3 3( ) ²f x x x .

Vom Punkt 7 / 6P aus kann man zwei Tangenten an die Parabel legen.



Ergebnisse:

1 2 (2 /1) : 1Au A t y x

2 2 22 3 3 312 12 / 2 : 10Bu B t y x


18( ) ( 4) ( 2)f x x x x . Das Schaubild ist die Kurve K.

Wie lauten die Nullstellen von K.

Vom Punkt 3 / 3P aus kann man drei Tangenten an die Kurve legen.


Wie lauten die Gleichungen der Tangenten?

…………………………………………………………………………………………..

Eine weitere Parabel ist gegeben mit der Funktionsgleichung 21 18 2( ) 1,5g x x x .

Die Kurven schneiden sich bei 1 22 2x und x .

Berechne die Fläche, die von den beiden Kurven eingeschlossen wird.

Ergebnisse:

1 2 30 / 0 / 4 / 0 / 2 / 0N N N

1 0 (0 / 0) :Au A t y x

2 4 ( 4 / 0) : 3 12Bu B t y x

3 1,5 1,5 /1,640625 : 0,90625 0,28125Cu C t y x

2 2

2 3 21 1 1 1( ) ( ) 8 2 8 4

2 2

1,5 1 ...... 4x xF g f dx x x x x x dx FE


- 65 -

B

PW

y

x1

1

ÜBUNG O

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht durch P(0/-3), hat an der Stelle x = 2 eine Nullstelle und be-

sitzt einen Wendepunkt W(4/-3). Stelle die Funktionsgleichung auf.

[ 3 2318 2: ( ) 4 3Kontrolle f x x x x ]

b) Untersuche die Funktion auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.

[Hinweis: Eine Nullstelle ist schon bekannt.]

Wie lautet die Gleichung der Wendetangente?

Zeichne die Kurve K samt Wendetangente im Bereich 0 9x .

c) Die Gerade durch W(4/-3) mit der Steigung 78m schließt mit K zwei Flächenstücke

ein. Wie groß sind beide Flächenstücke zusammen?

d) Vom Punkt P(0/-3) aus soll eine Tangente t an die Kurve K gelegt werden. Bestimme die

Koordinaten des Berührpunktes B. Wie lautet die Gleichung der Tangente?

LÖSUNGEN

b) Polynomdivision, 1 2x ist bekannt, Linearfaktor (x – 2), 2/ 3 5 13x ,

N1(2/0), N2(1,4..../0), N3(8,6..../0), HP(1,69/0,079), TP(6,309/-6,079), WP ist bereits be-

kannt, Wendetangente: 2 5y x .

c) g: 78 0,5y x geschnitten mit der Kurve K, Polynomdivision, 4wx ist bekannt, als

weitere Lösungen ergeben sich x2 = 1 und x3 = 7. Beide Flächen zusammen haben den

Inhalt 1165A FE .

d) [Siehe Musteraufgabe im Skript.]

3 2 23 318 2 83 ( 4 3) ( 3 4) ( )u u u u u u

3 2 3 23 318 2 83 4 3 3 4u u u u u u

3 2 3 23 318 2 8 3 0 | 8u u u u

3 22 12 0u u

22 6 0u u

u = 6 B(6/-6) 12: 3t y x

Für u = 0 erhält man

die Tangente im Punkt

P(0/-3) und : 4 3t y x .


- 66 -

L

K

Lot

y

x

1

P(8/4)

1

K

Lot

y

x

L2

L1 L3

P(0/3)

1

LOT VON EINEM ÄUSSEREN PUNKT P AUF EINE KURVE K

Beispiel:

Gegeben ist die Kurve K mit der Gleichung 14( ) ² 6f x x .

Vom Punkt P(8/4) aus kann man ein Lot auf die Kurve K fällen. Bestimme den Lotfußpunkt L

und die Gleichung des Lotes.

Mache eine Zeichnung.

Lösung:

Funktionswert:

14( ) ² 6f x x

Steigung der Kurve:

12 2( ) xf x x

Steigung des Lotes (= Normale):

2Lot Normale xm m

Allgemeine Lotgleichung: ( )( )

1( )u

u

y f x uf

1 24( ² 6) ( )uy u x u | (8 / 4)P einsetzen

1 244 ( ² 6) (8 )uu u | 4u

16 ³ 24 64 8u u u u

³ 64 4 (4 / 2)u u L

Lotgleichung: 2 14 2( ) 2 ( 4)L Lot Ly y m x x y x y x

Aufgabe:

Rechne ebenso für den Punkt P(0/3). Zeige, dass es insgesamt drei Lote gibt, die man auf die

Kurve K fällen kann.

Lösungen:

L1(–2/5), L2(0/6), L3(2/5)

1. Lot: 3y x

2. Lot: 0x (y-Achse)

3. Lot: 3y x


- 67 -

ÜBUNG P

Gegeben ist eine Funktion f durch 3116 4( ) ³ ² 2,5f x x x x .


a) Untersuche K auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, auf Extremstellen und Wende-

punkte.

Die Gerade mit der Gleichung 2y schneidet K an 3 Stellen. Bestimme die Koordinaten

aller 3 Schnittpunkte.

Zeichne K im Bereich 1 8x . Wählen Sie 1LE = 1 cm.

b) Die Wendetangente t, die Kurve K und die y-Achse schließen miteinander eine Fläche ein.

Bestimme die Größe der Fläche. Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und

die y-Achse schließen ebenfalls eine Fläche ein. In welchem Verhältnis wird diese Fläche

von der Kurve K geteilt?

c) Gegeben ist folgende Kurvenschar Ka mit der Gleichung:

1 3( ) ³ ² 2

16 4 2a

af x x x x


Zeige, dass alle Wendetangenten der Kurvenschar Ka durch einen festen Punkt gehen. Für

welchen Wert von a ergibt sich eine waagerechte Wendetangente?

Zeige, dass der Flächeninhalt, der von der y-Achse, von Ka und von der Wendetangenten

eingeschlossen wird, unabhängig vom Parameter a ist [siehe Musteraufgabe].

d) Vom Punkt 1/ 6,6P aus kann man zwei Tangenten an die Parabel H mit der Gleichung

215( ) 5h x x legen. Bestimm die Koordinaten der Berührpunkte und die Gleichung der

Tangenten. [siehe Musteraufgabe]

LÖSUNGEN

a) N(0/0) keine weiteren Nullstellen, H(2,37/2,55), T(5,63/1,48), W(4/2), S1(4/2), S2(1,17/2),

S3(6,83/2), Zeichnung

b) 12: 4 : 2 6t y x und n y x , A1 = 16 FE, A2 = 4 FE, Verhältnis = 4:1

c) a = 1, W(4/a), 44 4ay x , S(0/4), waagerechte Tangente für a = 4, A = 4 FE

d) 1 1 2 2( 2 / 4,2) : 0,8 5,8 (4 /1,8) : 1,6 8,2B t y x und B t y x


- 68 -

ORTSKURVEN – ORTSLINIEN – WEGKURVEN

1.Beispiel:

Gegeben ist eine Kurvenschar Kt mit der Gleichung 3 2

3 26 18( ) 3t t tf x x x x .

Bestimme die Ortslinie, auf der alle Wendepunkte von tK liegen.

Lösung: Man bestimmt zunächst den allgemeinen Wendepunkt der Kurvenschar.

Ableitungen: 3 2

218 36( ) 3t t tf x x x und 3 2

36 36( )t t tf x x

( ) 0tf x 3 236 36 0 0 wt t

x x t x t

y-Wert: 3 2

3 26 18( ) 3 6 18 3 3 12w t w wt ty f x t t t t y t

Ortslinie: ( / 3 12) 3 12W t t x t und y t | t eliminieren

3 12t x einsetzen y x ist Ortslinie

[Gerade]

2.Beispiel:

Durch 2 2 318 8 32( ) t t

tf x x x x ist eine Kurvenschar Kt gegeben.

Bestimme die Ortskurve der Extrempunkte und der Wendepunkte.

Lösung: Man bildet die 1. und die 2. Ableitung und erhält allgemein den TP, HP und WP.

Die Rechnung wird hier weggelassen.

a) (2 / 0)T t Ortslinie: 0 ( )y x Achse

b) 3 32 1 2 13 27 3 27( / )H t t x t und y t | t eliminieren

3 33 27 12 8 27

t x t x einsetzen y 27 38 x

Ortskurve 318y x

c) 3 34 1 4 13 54 3 54( / )W t t x t und y t | t eliminieren

3 3 33 27 2714 64 54 64t x t x einsetzen y x

Ortskurve 31128y x

3. Beispiel: [SONDERFÄLLE]

a) die x-Koordinate ist ein fester Wert:

z. B. (7 / 2 ) : 7W a Ortslinie x [Parallele zur y-Achse]

b) die y-Koordinate ist ein fester Wert:

z. B. 12( /10) : 10H t Ortslinie y [Parallele zur x-Achse]


- 69 -

ÜBUNGEN Q

[ORTSKURVEN UND ORTSLINIEN]

Durch 3 23 918 4 8( ) a

a af x x x x ist eine Kurvenschar gegeben.

Bestimme die Ortskurven der Hoch- und Wendepunkte.

[ 2 21 12 2( / ) :H a a Ortskurve y x ]

[ 2 21 14 16(2 / ) :W a a Ortskurve y x ]

Gegeben ist die Kurvenschar mit der Gleichung 3 2( )tf x a x x .

Bestimme die Ortskurve der Hochpunkte.

[ 2

22 4 13 327

( / ) :a aH Ortskurve y x ]

Der allgemeine Wendepunkt einer Kurvenschar ist bekannt mit 2(4 / 2 )W t .

Wie lautet die Ortslinie der Wendepunkte?

[ 4x ]

Der allgemeine Tiefpunkt einer Kurvenschar ist bekannt mit 13( / 2)T t .

Wie lautet die Ortslinie der Tiefpunkte?

[ 2y ]

Der allgemeine Tiefpunkt einer Kurvenschar ist bekannt mit 21 12 12( / )T a a .

Wie lautet die Ortskurve der Tiefpunkte?

[ 213y x ]

Der allgemeine Wendepunkt einer Kurvenschar ist bekannt mit (2 / 5)W a a .

Wie lautet die Ortslinie der Wendepunkte?

[ 12 5y x ]


- 70 -

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 x

y

Kurvenschar

Ortskurve der Hoch- undTiefpunkte

Ortskurve der Wendepunkte

Parameter a = 4,58

KURVENSCHAR 2

3 2

3 2 164 124( ) a

a aa af x x x x

UND DIE ENTSPRECHENDEN ORTSKURVEN

Ortskurve der Wendepunkte: 14 ² 4y x

Wendetangente: ² 32

44

ay x

a

fester Punkt (0 / 4)P

Ortskurve der Extrempunkte: 1 32 ²

14 3E

ax a

4 12 ² 16

³ ²³ ² 4E

ay x x x

a a a

Der Parameter a kann leider nicht eliminiert werden. Die Ortskurve muss daher durch eine Wer-

tetabelle erstellt werden.


- 71 -

ÜBUNG R

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle x = 5 einen Wen-

depunkt, die Gleichung der Wendetangente lautet 85 5y x .


Untersuche die Funktion 3 23 7125 5 5( )f x x x x auf Extrempunkte und zeichne die ent-

sprechende Kurve K im Bereich 0 13x .

Die Gerade mit der Gleichung 3y geht durch den Wendepunkt und schneidet die Kur-

ve K an zwei weiteren Punkten. Bestimme die Koordinaten dieser Schnittpunkte.

KURVENSCHAR

b) Durch 2 310 3 1( )

5 5 25t

tf x x x x

ist eine Kurvenschar gegeben. Untersuche diese für

t > 0 auf Wendepunkte. Bestimme die Ortslinie der Wendepunkte.

Wie lautet allgemein die Gleichung der Wendetangente?

Durch welchen Punkt gehen alle Wendetangenten?

Für welchen Wert von t liegt eine waagerechte Wendetangente vor?

c) Für welches t berührt die Kurve die x-Achse?

Bestimme allgemein die Fläche, die von der Kurvenschar, der Wendetangente und der y-

Achse eingeschlossen wird.


Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung 2110( )g x x . Der Punkt ( )( / )uB u g mit

0 6u liege auf der Parabel.

Stelle die allgemeine Tangentengleichung für den Punkt B auf. Die Tangente schneidet die

x-Achse im Punkt P und die Gerade x = 6 im Punkt Q. Die Punkte P und Q spannen zu-

sammen mit R(6/0) ein Dreieck auf. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. Für wel-

chen Wert von u besitzt der Flächeninhalt ein relatives Maximum?


- 72 -

LÖSUNGEN

a) 8(0) (5) (5) (5)50 3 0f f f f 3 23 71

25 5 5( )f x x x x

(1,35 / 0,89) (8,65 / 6,89) (5 / 3)H T W bekannt

3 23 7125 5 5 3 | 25 ( ³ 15 ² 35 75) : ( 5) ² 10 15 0x x x x x x x x x

1/ 2 1 25 25 15 (5 40 / 3) (5 40 / 3)x S und S

b) Kurvenschar:

10 26 3 6 65 5 25 5 25( ) ( )t

t tf x x x f x x

6 65 25( ) 0 0 5t Wf x x x

(5) 5 15 10 (5 / )W ty f t t W t

Ortslinie: 5 [ ]x Parallele zur y Achse d.h. alle WP haben die x-Koordinate 5.

allg. Gleichung der Wendetangente:

55( ) (5 / ) (5) t

w w ty y m x x mit W t und m f

5 5 55 5 5( 5) ( 5) 5t t ty t x y x t t y x

: (0 / 5)fester Punkt auf der y Achse S

waagerechte Tangente: 0 5 0 5m t t

c) allg. Nullstellen:

103 23125 5 5 0 ³ 15 ² 5( 10) 0 ( ² 15 5 ( 10)) 0tx x x x x t x x x x t

1 2/3

0

0 ² 15 5( 10) 0 7,5 56,25 5( 10)Setze D

x oder x x t x t

5( 10) 56, 25 5 6, 25 1, 25t t t für t = 1,25 berührt die Kurve die x-Achse.

allg. Fläche:

535 10 3 1

5 5 5 250

( 5 ² ) ( tt tA x x x x dx 5 t 5

10 33 15 5 25

0

5 ² )x x x dx

533 1

5 250

( 3 5 ² )A x x x dx

543 1 12 5 100 0

² 5 ³ 6,25A x x x x FE


- 73 -

Ortslinie derWendepunkte

x=5

y

x1

1

d) Mini-Max-Aufgabe: [siehe Musteraufgabe im Skript]

allg. Tangente: 1 1 1( ) ( ) 10 5 5 10( ) ² ( ) ²uu uy f f x u y u u x u y x u

Best. von P [Nullstelle]: 15 10 2 20 ² 0 ( / 0)u u u

py x u x P

Best. von Q [setze x = 6]: 2 26 61 1 15 10 5 10 5 106 ² (6 / )uy u u u Q u u

Eckpunkt auf der y-Achse: (6 / 0)R

Funktionsgleichung für die Dreiecksfläche: 2 26 36 6 61 1

2 5 10 5 10 10 20(6 )( ) ² ³ 2 218 3 3 18 31 1( ) 2 2 2 5 10 10 40 5 5 40² ³ ³

u u u u u u ug huA u u u u u u u

Ableitungen:

18 6 3 6 3( ) ( )5 5 40 5 20²u uA u u A u

18 6 3( ) 5 5 400 ² 0 3 ² 48 144 0uA u u u u

48 48² 4 3144 48 241/ 2 6 6

12

4u

1 12u entfällt, weil der Wert nicht in dem vorgegebenen Intervall liegt.

Nachweis für Maximum:

6 3(4) 5 20 4 0,6 0A relatives Maximum


- 74 -

ÜBUNG S

[GESAMTWIEDERHOLUNG]

a) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle 6x

einen Wendepunkt und hat die Wendetangente mit der Gleichung 6y x . Bestimme

die Funktionsgleichung. [ 3 21 136 2( ) 2f x x x x ]

b) Gegeben ist eine weitere Funktion f durch 3 2 529 2( ) 2f x x x x . Ihr Schaubild sei K.

Zeichne K im Bereich 0 8x . Wähle 1LE = 1 cm.


Bestimme die Größe der Fläche.

Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die y-Achse schließen ebenfalls

eine Fläche ein. Wie groß ist diese Fläche?

Die Gerade mit der Gleichung 32y x schneidet die Kurve an 3 Stellen. Bestimme alle 3

Schnittpunkte durch Rechnung.

* * *

c) Gegeben ist folgende Kurvenschar Ka mit der Gleichung:

23 2

3 2

6 18 36( )

6a

af x x x x

a a a

0a


Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte.

Zeige, dass alle Wendetangenten der Kurvenschar Ka durch einen festen Punkt gehen. Für

welchen Wert von a ergibt sich eine waagerechte Wendetangente?

Bestimme den Flächeninhalt, der von der y-Achse, von Ka und von der Wendetangenten

eingeschlossen wird. * * *


Gegeben ist eine Parabel P mit der Gleichung 215( )g x x . Der Punkt ( )( / )uB u g mit

0 5u liegt auf P. Stelle allgemein die Tangentengleichung für den Punkt B auf. Die

Tangente schneidet die x-Achse im Punkt P und die Gerade 5x im Punkt Q. Der Punkt

P, Q und R(5/0) spannen zusammen ein Dreieck auf. Für welchen Wert von u wird der

Flächeninhalt des Dreieckes maximal?

e) Vom Punkt P(2,5/0) aus kann man zwei Tangenten an die Parabel P mit 215( )g x x legen.

Bestimme die Koordinaten der Berührpunkte und die Gleichung der Tangenten.

[Ergebnis: 1 1 2 2(0 / 0) : 0 (5 / 5) : 2 5B t y und B t y x siehe Musteraufg.]


- 75 -

1

t

nW

y

x1

LÖSUNGEN

a)

(0) 0 0f d

(6) 0 216 36 6 0f a b c

(6) 1 108 12 1f a b c

(6) 0 36 2 0f a b

3 21 136 2( ) 2f x x x x

b)

3 2 529 2( ) 2f x x x x

2 52 4 43 2 3 3( ) 4 ( ) 4 ( ) 0f x x x f x x f x

(3)(3 / 4,5) 0W mit f 72: 6t y x

3

1 ( ) ( )

0

( ) ..... 4,5x xA t f dx FE

527 14: 5n y x

51411 3 1

2 2 2 2817g hA FE

3 2 3 2 25 329 2 22 2 18 36 0 ( 9 18) 0x x x x x x x x x x

1 2 3(0 / 0) (3/ 4,5) (6 / 9)S S S


- 76 -

c)

Kurvenschar: 2

3 2

3 26 18 366( ) a

a aa af x x x x

2

3 2 3 2

218 36 36 36 366( ) ( )a

a aaa a a af x x x f x x

Berührpunkt mit der x-Achse: 2

3 2

3 2 3 2 2 26 18 366( ) 0 0 36 108 ( 36) 0a

a aa af x x x x x a x a a x | x auskl.

2 2 2

1 2/3

108 11664 4 36 ( 36)0

2 36

a a a ax und x

0D 2 2 2 2 4 211664 4 36 ( 36) 0 11664 144 5184 0a a a a a a

2 4 2 26480 144 0 6480 144 0 45 45a a a a a

Wendepunkt: 3 236 36( ) 0 0a wa a

f x x x a

3

6w a

y 3a2

18

a 2a 2 36

6a

a a 2 2

6 66 18 6 6a a 216( / 6)W a a

Ortskurve: 216 6y x

Wendetangente:

2 2 2 2 2

3 2

218 36 36 18 36 36 18 36 108 36 726 6 6 6 6( ) a a a a a

a a a a a a a a aa am f a a a

2 2 22 272 72 721 16 6 6 6 6( ) 6 ( ) 6a a a

w w a ay y m x x y a x a y x a

2 2 2 2272 72 7216 6 6 6 6 66a a a a

a ay x a x 272 16 6 a 2 72

66 6aay x

S(0/6) ist fester Punkt auf t.

waagerechte Tangente: 20 72 0 72m a a

Flächeninhalt:

2 2 2 2

3 2 3 2

3 2 3 272 6 18 36 6 18 36 726 6 6 6

0 0

( 6 ) ( 6)a a

a a a aa a a aa a a a

A x x x x dx x x x x dx

2

3 2

3 26 18( a

a aA x x

2a3 2

36 72 3 26 18 186

0 0

6) ( 6)a a

a aa ax dx x x x dx

3 2 3 2

4 3 2 4 3 26 6 9 6 6 904 4

[ 6 ] 6 1,5 6 9 6 1,5aa aa a a a

A x x x x a a a a a a a a a

[Kontrolle für a = 3: 1,5 3 4,5A FE (siehe Teil b)]


- 77 -

a=3

Ortskurve

a=6

a= 72

a= 45

y

x1

6

1

d)

Mini-Max-Aufgabe: [siehe Musteraufgabe im Skript]

( ) ( ): ( )u ut y f f x u

21 25 5: ( )t y u u x u

Bestimmung von P (= Nullstelle von t):

2 21 25 50 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2y u u x u u u x u u x u u x u

2 2( / 0)u uPx P

Bestimmung von Q:

2 2 2 21 2 2 1 15 5 5 5 55 (5 ) 2 2Q Q Qx y u u u y u u u u u

Fläche:

2 3 21 1 1 1( ) 2 2 2 5 20(5 ) (2 ) .... 5uuA g h u u u u u

23 3( ) ( )20 102 5 2u uA u u A u

2 23( ) 1/ 220

40 1600 4 3 1000 2 5 0 3 40 100 0

2 3uA u u u u u

20 10 3 1011 ( )3 3 3 10 33 2 1 0 .uu A es liegt ein Maximum vor

602 6 10u entfällt, weil es nicht in dem Bereich 0 < u < 5 liegt.

Zeichnung


- 78 -

a

a

h

a

x

x z

y

y

a

A1

a

DIE BIENENWABE ALS EXTREMALPROBLEM

Schneidet man von einem regulären sechsseitigen Prisma drei Ecken so ab, dass sich jede zweite

Kante um den gleichen Betrag verkürzt, und klappt dann diese Ecken nach oben, so erhält man

einen volumengleichen Körper, dessen Oberflächeninhalt jedoch in Abhängigkeit von x variiert.

Zeige, dass dieser minimal wird, wenn die Kanten an der Spitze miteinander einen Winkel von

circa 109,5° bilden.


- 79 -

LÖSUNG

1. Fläche: 11 22 2 ( )A a h x a x 1

22 2a h a x a x ah ax

²4² ² az x ²

4 ²az x

² 3 14 4 2² ² ² 3ay a a y a

2. Fläche (Raute): ²2 42 3 ²aA y z a x

Drittel Gesamtfläche: 1 2( ) 2A x A A

Flächenfunktion: ²4( ) 2 3 ²aA x ah ax a x

Ableitung: ² ²

4 4

2 33

2 ² ²a a

dA x a xa a a

dx x x

²

4

30 0 |:

²a

dA a xa a

dx x

²

4

31

²a

x

x

2²43 ² | ....ax x

²43 ² ²ax x

²

2 ² |: 2 |4

ax

8

ax

Bei dem errechneten x-Wert wird die Oberfläche der Bienenwabe minimal.

Länge z: ² ² ² 34 4 8 8²a a az x a

Winkel: 12

38

3 8tan 54,74 109,5

2 2 2

ay

z a


- 80 -

ANHANG

Klassenarbeiten und weitere Übungen

Formelsammlung

Klassenarbeiten und weitere Aufgaben

- 81 -

KLASSENARBEIT A

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle x = 8 einen

Wendepunkt, die Gleichung der Wendetangente lautet 32 16y x .

Bestimme die Funktionsgleichung. [6 P]

b) Untersuche die Funktion 3 23 9132 4 2( )f x x x x auf Extrempunkte und zeichne die

entsprechende Kurve K samt Wendetangente (siehe oben) im Bereich 0 14x .

[Auf der y-Achse benötigt man 16 LE!!!] [6 P]

c) Die Wendetangente t, die Kurve K und die y-Achse schließen miteinander eine Fläche

ein. Bestimme die Größe der Fläche.

Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die y-Achse schließen eben-

falls eine Fläche ein. Wie groß ist diese Fläche? [6 P]

* * *

d) Durch 2

3 21( )

32 8 8t

t tf x x x x (mit t > 0) ist eine Kurvenschar Kt gegeben. Be-

stimme die Extrempunkte. Welche Gleichung hat die Ortskurve der Hochpunkte? [6 P]

e) Die Kurvenschar Kt und die x-Achse schließen miteinander eine Fläche ein. Bestimme den

Inhalt dieser Fläche. [Hinweis: Der TP ist gleichzeitig Nullstelle.] Zeige , dass die Kurve

G mit der Gleichung 3132( )g x x die Fläche in zwei gleich große Stücke teilt. [6 P]

* * *

f) Gegeben ist eine Parabel H mit der Gleichung 214( )h x x . Der Punkt ( )( / )uB u h mit

0 10u liege auf der Parabel. Stellen Sie die allgemeine Tangentengleichung für den

Punkt B auf. Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt P und die Gerade x = 10 im

Punkt Q. Die Punkte P und Q spannen zusammen mit R(10/0) ein Dreieck auf. Bestim-

me den Flächeninhalt des Dreiecks. Für welchen Wert von u besitzt der Flächeninhalt

ein relatives Maximum? [6 P]

* * *

g) Vom Punkt P(2/0,75) aus kann man zwei Tangenten an die Parabel H mit der Gleichung

214( )h x x legen. Bestimme jeweils die Koordinaten der Berührpunkte und die Glei-

chungen der Tangenten. [6 P]

max. 42 P

100% = 24 P (FHR-Niveau)

100% = 30 P (ABI-Niveau)


- 82 -

G

1

W

n

t

K

A2

A1

y

x

16

121

LÖSUNGEN A

a)

(0) 0f 0d

(8) 4f 512 64 8 4a b c (I)

32(8)f 3

2192 16a b c | ( 8) (II)

(8) 0f 48 2 0a b (III)

(I) 512 64 8 4a b c

(II) 1536 128 8 12a b c

(A) 1024 64 16a b |: ( 32)

(A) 32 2 0,5a b

(III) 48 2 0a b

13216 0,5a a

(A) 341 2 0,5 2 1,5b b b

(I) 16 48 8 4 8 36 4,5c c c

Funktion: 3 23132 4( ) 4,5f x x x x [6 P]

b)

Ableitungen: 23 332 2( ) 4,5f x x x

3 316 2( )f x x

316( ) 0f x

Extrempunkte:

23 332 2( ) 0 4,5 0f x x x

2 23 48 144 0 16 48 0x x x x

1/ 2

48 64 48 8 4

12x

1 (4)8 0,75 0 (4 / 8)y f H

2 (12)0 0,75 0 (12 / 0)y f T

[6 P]


- 83 -

c) FLÄCHENBERECHNUNGEN

32: 16t y x [siehe Teil a)]

8 83 2 3 23 3 9 3 9 31 1

1 2 32 4 2 32 4 2 20 0

( 16 ) ( 16)A x x x x dx x x x x dx

83 2 4 3 2 831 1 1

1 032 4 128 40

( 6 16) [ 3 16 ] ... 32A x x x dx x x x x FE

162 2 2 43 3 3 3 3: 4 ( 8) 4n y x y x y x

1317 8 1

2 2 369g hA FE

[6 P]

d)

Kurvenschar: 23 21

32 8 8( ) t ttf x x x x

223 332 4 8 16 4( ) ( )t t t

t tf x x x f x x

Extrempunkte:

22 2

2 2 231/ 232 4 8

8 64 4 3 4( ) 0 0 3 8 4 0

2 3t t

t

t t tf x x x x t x t x

1 12 0 0 (2 / 0)tx t y f T t

23 2 3 3 3 3 382 1 4 2 1 1 1 1 2 12 23 32 27 8 9 8 3 108 18 12 27 3 270 ( / )t t

tx t y t t t t t t t f H t t

Ortskurve der Hochpunkte:

32 13 27( / )H t t 3 33 272

3 2 8x t t x t x einsetzen

31 127 27

y t 27 3 3 31 18 8 8 .x x y x ist Ortskurve [6 P]

e)

Fläche zwischen Kurve K und x-Achse:

2 22

3 2 4 3 2 2 4 4 4 4 416 81 1 4 1 1 1 1( ) 032 8 8 128 24 16 128 24 16 8 3 4 24

0

( ) [ ] ( )t

tt t t ttA x x x dx x x x t t t t t

Schnittstelle :K G

3132 x

8t 22

8tx 31

32x x 2 21 20 ( ) 0 0t x t x tx t x x und x t

Teilflächen:

311 32(A x 22 31

8 8 32t tx x x 23 2 4 4 41 1 1

024 16 24 16 480

) [ ]t

tt tdx x x t t t

4 4 41 1 12 ( ) 1 1 224 48 48tA A A t t t A A [6 P]


- 84 -

t1

B1

t2

B2

P

y

x

1

1

f)

Mini-Max-Aufgabe:

allg. Tangente: 22

2 2 4( ) u u u14y - u x u y x

Bestimmung von P: 2

2 40 0 2 u uy x u 2 x u 20 ux 2( / 0)uP

Bestimmung von Q: 2

410 5 uQx y u

2

4(10 / 5 ) uQ u

Dreiecksfläche: 2 32 2 2 31 1 1 1

( ) 2 2 2 4 2 8 16(10 ) (5 ) (50 2,5 2,5 ) 25 2,5u u uuA g h u u u u u u u

23 3( ) ( )16 825 5 5 u uA u u A u

2 23( ) 1/ 216

80 6400 4 3 4000 25 5 0 3 80 400 0

6

uA u u u u u

23

380 40 20 21 6 3 3 (6 )

6 5 u A 208 3 2,5 0 Maximum

80 402 6 20 u entfällt, weil der Wert nicht in dem Bereich 0 10 u liegt.

[6 P]

g)

21 1( ) ( )4 2u uh u h u

allg. Tangente in ( )( / )uB u h :

221( ) 4 2 2 4( ) ( )u u u

(u) uy - h h x u y u x u y x [wie Teil d)]

2(2 / 0,75) 0,75 uP einsetzen 2 2 2

1/ 24 4 3 0 2 4 3 2 1u u u u

1 1 1 1 1 11 (1)4 2 4 2 2 4(1/ ) ( 1)B und h y x y x (Tangente in B1)

9 3 9 3 3 92 (3)4 2 4 2 2 4(3 / ) ( 3)B und h y x y x (Tangente in B2)

[6 P]


- 85 -

KLASSENARBEIT B

a) Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung, besitzt an der Stelle 6x einen

Wendepunkt, die Gleichung der Wendetangente lautet 32 12y x .


b) Untersuche die Funktion 3 2 9118 2( )f x x x x auf Extrempunkte und zeichne die ent-

sprechende Kurve K samt Wendetangente (siehe oben) im Bereich 0 12x .

[Auf der y-Achse benötigt man 13 LE!!!]

[6 P]

c) Die Wendetangente t, die Kurve K und die y-Achse schließen miteinander eine Fläche

ein. Bestimme die Größe der Fläche.

Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die y-Achse schließen eben-

falls eine Fläche ein. Wie groß ist diese Fläche? [6 P]

* * *

d) Durch 2

3 21( )

16 4 4t

t tf x x x x (mit t > 0) ist eine Kurvenschar Kt gegeben. Be-

stimme die Extrempunkte. Welche Gleichung hat die Ortskurve der Hochpunkte? [6 P]

e) Die Kurvenschar Kt und die x-Achse schließen miteinander eine Fläche ein. Bestimme den

Inhalt dieser Fläche. [Hinweis: Der TP ist gleichzeitig Nullstelle.] Zeige , dass die Kurve

G mit der Gleichung 3116( )g x x die Fläche in zwei gleich große Stücke teilt. [6 P]

* * *

f) Gegeben ist eine Parabel H mit der Gleichung 216( )h x x . Der Punkt ( )( / )uB u h mit

0 12u liege auf der Parabel. Stellen Sie die allgemeine Tangentengleichung für den

Punkt B auf. Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt P und die Gerade x = 12 im

Punkt Q. Die Punkte P und Q spannen zusammen mit R(12/0) ein Dreieck auf. Bestim-

me den Flächeninhalt des Dreiecks. Für welchen Wert von u besitzt der Flächeninhalt

ein relatives Maximum? [6 P]

* * *

g) Vom Punkt P(4/2) aus kann man zwei Tangenten an die Parabel H mit der Gleichung

216( )h x x legen. Bestimme jeweils die Koordinaten der Berührpunkte und die Glei-

chungen der Tangenten. [6 P]

max. 42 P




- 86 -

G

W

t

n

A2

A1

K

y

x

1

9

12

1

LÖSUNGEN B

a)

(0) 0f 0d

(6) 3f 216 36 6 3a b c (I)

32(6)f 3

2108 12a b c | ( 6) (II)

(6) 0f 36 2 0a b (III)

(I) 216 36 6 3a b c

(II) 648 72 6 9a b c

(A) 432 36 12a b |: ( 18)

(A) 2324 2a b

(III) 36 2 0a b

2 13 1812a a

(III) 2 2 0 2 2 1b b b

(I) 9212 36 6 3 6 27c c c

Funktion: 3 2 9118 2( )f x x x x [6 P]

b)


13( ) 2f x x

13( ) 0f x

Extrempunkte:

2 916 2( ) 0 2 0f x x x

2 12 27 0x x

1/ 2

36 36 27 6 3

9x

1 (3)6 1 0 (3 / 6)y f H

2 (9)0 1 0 (9 / 0)y f T

[6 P]


- 87 -

c) FLÄCHENBERECHNUNGEN

32: 12t y x [siehe Teil a)]

6 63 2 3 23 9 9 31 1

1 2 18 2 18 2 20 0

( 12 ) ( 12)A x x x x dx x x x x dx

63 2 4 3 2 61 1 1

1 018 72 30

( 6 12) [ 3 12 ] ... 18A x x x dx x x x x FE

2 2 23 3 3: 3 ( 6) 4 3 1n y x y x y x

13 62 2 39g hA FE

[6 P]

d) KURVENSCHAR 23 21

16 4 4( ) t ttf x x x x

223 316 2 4 8 2( ) ( )t t t

t tf x x x f x x

Extrempunkte:

22 2

2 2 231/ 216 2 4

8 64 4 3 4( ) 0 0 3 8 4 0

2 3t t

t

t t tf x x x x t x t x

1 12 0 0 (2 / 0)tx t y f T t

23 2 3 3 3 3 382 1 4 2 1 1 1 2 2 22 23 16 27 4 9 4 3 54 9 6 27 3 270 ( / )t t

tx t y t t t t t t t f H t t

Ortskurve der Hochpunkte:

32 23 27( / )H t t 3 33 272

3 2 8x t t x t x einsetzen

32 227 27

y t 27 3 3 31 18 4 4 .x x y x ist Ortskurve [6 P]

e)

Fläche zwischen Kurve K und x-Achse:

2 22

3 2 4 3 2 2 4 4 4 4 416 81 1 4 1 2 1 1( ) 016 4 4 64 12 8 64 12 8 4 3 2 12

0

( ) [ ] ( )t

tt t t ttA x x x dx x x x t t t t t

Schnittstelle :K G

3116 x

4t 22

4tx 31

16x x 2 21 20 ( ) 0 0t x t x tx t x x und x t

Teilflächen:

311 16(A x 22 31

4 4 16t tx x x 23 2 4 4 41 1 1

012 8 12 8 240

) [ ]t

tt tdx x x t t t

4 4 41 1 12 ( ) 1 1 212 24 24tA A A t t t A A [6 P]


- 88 -

t1

B1

t2

B2

P

y

x

1

1

f) MINI-MAX-AUFGABE

allg. Tangente: 22

3 3 6( )u u u16y - u x u y x

Bestimmung von P: 2

3 60 0 2u uy x u 2x u 20 ux 2( / 0)uP

Bestimmung von Q: 2

612 4 uQx y u

2

6(12 / 4 )uQ u

Dreiecksfläche: 2 32 2 2 31 1 1 1

( ) 2 2 2 6 2 12 24(12 ) (4 ) (48 2 2 ) 24 2u u uuA g h u u u u u u u

21 1( ) ( )8 424 4 4u uA u u A u

2 21( ) 1/ 280 24 4 0 32 192 0 16 256 192 16 8uA u u u u u

2 16 8 24u entfällt, weil

der Wert nicht in dem Bereich 0 12u liegt. [6 P]

g)

21 1( ) ( )6 3u uh u h u

allg. Tangente in ( )( / )uB u h :

221( ) 6 3 3 6( ) ( )u u u

(u) uy - h h x u y u x u y x [wie Teil d)]

2 21/ 23 6(4 / 2) 2 4 8 12 0 4 16 12 4 2u uP einsetzen u u u

2 2 2 2 2 21 (2)3 3 3 3 3 3(2 / ) ( 2)B und h y x y x (Tangente in B1)

2 (6)(6 / 6) 2 6 2 ( 6) 2 6B und h y x y x (Tangente in B2)

[6 P]

11 (8) 416 8 8 4 8 2 0u A Maximum


- 89 -

ÜBUNG S

[ÄHNLICH ZU GK 1990]

Die Funktion f ist gegeben durch 3 2318 2( ) 4f x x x x :


a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von K mit der x-Achse und die Steigun-

gen von K in diesen Punkten. Untersuchen Sie K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

Bestimme die Gleichungen von der Wendetangente und der Normalen im Wendepunkt.

Zeichne K für 1 9x sowie die Tangenten an K in den Schnittpunkten mit der

x-Achse. [1 LE = 1 cm]

b) Die Gerade durch W(4/0) mit der Steigung 78 schließt mit K zwei Flächenstücke ein.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt.

c) Die Tangente an K im Punkte B(u/f(u)) mit 0u geht durch den Ursprung. Bestimme

die Koordinaten von B und die Gleichung der Tangente.

* * *

d) Eine Parallele zur x-Achse schneidet K in drei verschiedenen Punkten und die y-Achse

in dem Punkt A oberhalb des Ursprunges. Einer der Schnittpunkte heißt M und liegt in

der Mitte zwischen A und einem weiteren Schnittpunkt.

Bestimme die Koordinaten von ( / )M MM x y .

[Anleitung: Vergleiche die Funktionswerte an den Stellen Mx und 2 Mx .]

LÖSUNGEN

a)

1 (0) 2 (4) 3 (8)(0 / 0 / 4) (4 / 0 / 2) (8 / 0 / 4)N f N f N f

(6,31)(6,31/ 3,08) 0T mit f (1,69)(1,69 / 3,08) 0H mit f

[Der Nachweis für Hoch- oder Tiefpunkt darf nicht fehlen.]

(4)(4 / 0) 0W mit f : 2 8t y x 12: 2n y x


- 90 -

y

x

1

W

BMA

1

b)

78: 3,5g y x

1 2 3: (1/ 2,625) (7 / 2,625) (4 / 0)g K Polynomdivision S S S W

Fläche: 17322 2,53A FE

c)

Ansatz: ( ) ( ) ( )u uy f f x u (allgemeine Tangentengleichung)

(0 / 0)P einsetzen 12(6 / 3) :BB t y x

d) ***

Aus Symmetriegründen setze: ( ) (2 )M Mx xf f

3 2 3 23 31 18 2 8 24 (2 ) (2 ) 4 2M M M M M Mx x x x x x

3 2 3 23 31 18 2 8 24 8 4 8M M M M M Mx x x x x x

3 2 3 2318 2 4 1 6 8M M M M M Mx x x x x x | 8

3 2 3 21 12 32 8 48 64M M M M M Mx x x x x x

3 2 27 36 32 0 (7 36 32) 0M M M M M Mx x x x x x

0Mx entfällt , da 0 4Mx

2 / 3

2 36 1296 4 7 32 36 207 36 32 0

2 7 14M M Mx x x

36 20 16 814 14 7Mx 36 20 56

14 14 4Mx entfällt

8( ) 7........ 2,8 ( / 2,8)

MM xy f M


- 91 -

ÜBUNG T

[ÄHNLICH GK 1992]

a) Eine Parabel 3. Ordnung schneidet die x-Achse bei x = 6, besitzt an der Stelle x = 0

eine Wendestelle und eine Wendetangente mit der Gleichung 32 9y x .


b) Untersuche die Funktion f mit der Gleichung 3 3112 2( ) 9f x x x auf Hoch- und

Tiefpunkte und auf weitere Nullstellen.

Zeichnen Sie die Kurve K für 4 7x .

[beachte den Wertebereich 10 13y .]

c) Für jedes t > 0 ist eine Funktion gt gegeben durch 214( ) 9tg x x t x .

Ihr Schaubild sei Ct.

Berechne t so, dass der Tiefpunkt von Ct auf der x-Achse liegt. (* *)

Wie lautet die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte?

Berechne die Schnittpunkte von K und C3.

Zeichne C3 in das Koordinatensystem ein.

d) K und die Normale von K in Q(0/9) begrenzen im 1. Feld eine Fläche. Berechne ihren

Inhalt.

* * *


P(u/ 3( )g u ) mit 0 10u ist ein Punkt der Kurve C3. Über der Strecke PQ mit Q(0/9)

wird das Quadrat errichtet. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Quadrates in Abhän-

gigkeit von u. Für welchen Wert von u hat das Quadrat einen maximalen Flächeninhalt?

LÖSUNGEN

a) 33 312 12 2(6) 0 (0) 0 (0) (0) 9 ( ) 9f f f f f x x x

b) keine weiteren Nullstellen (die Lösungen der quadratischen Gleichung sind imaginär)

(2,45)( 6 / 9 6) (2, 45 /11, 45) 0H H mit f

( 2,45)( 6 / 9 6) ( 2, 45 / 6,55) 0T T mit f


- 92 -

d

P

Q

C3t

K

n

y

x

1

1

c)

214( ) 9tg x x t x 1

2( )tg x x t 12( ) 0tg x TP

Bestimmung des Tiefpunktes:

2 2 21 12 4( ) 0 0 2 4 2 9 9tg x x t x t y t t t 2(2 / 9 )T t t

Der Tiefpunkt soll auf der x-Achse liegen: 29 0 3t t

Ortskurve der Tiefpunkte: 22

2 42 x xx t t t

22 214 49 9 9xy t y y x

Schnittpunkte:

3K C : 3 3112 2 9x x 21

4 3 9x x 1 2 3(0 / 9) (6 / 0) ( 9 / 56,25)S S S

d)

Normale 23: 9n y x 1 20 26K n x x

Fläche: 26

169 1( ) ( ) 12 12

0

( ) ...... 14x xA f n dx FE

e)

Mini-Max-Aufgabe:

Verwende den Satz des Pythagoras für das Abstandsquadrat:

2 2 2 2( ) ( ) ( )(0 ) (9 ) ( 9u u uA d u g u 21

4 3 9u u 2 2 4 3 2 4 3 23 31 116 2 16 2) 9 10u u u u u u u

Bilde die 1. und die 2. Ableitung..................

( ) 0 8uA u (8) 0A Maximum


- 93 -

ÜBUNG U

[ÄHNLICH GK 1993]

Gegeben ist die Funktion f durch 218( ) ( 6)f x x x . Ihr Schaubild sei K.

a) Untersuche K auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

Bestimme die Gleichung der Normalen zu K im Wendepunkt. Zeichnen Sie K für

1 8x . [1LE = 1cm]

b) Die Kurve K und die x-Achse schließen im 1. Feld eine Fläche ein. Berechne deren In-

halt. In welchem Verhältnis teilt die Gerade g: 12y x diese Fläche?

c) Vom Tiefpunkt der Kurve aus kann man zwei Tangenten an die Kurve legen, wobei

eine davon bereits bekannt ist [die x-Achse ist Tangente]. Bestimme den Berührpunkt

B(u/f(u)) mit 6u . Bestimme auch die Gleichung der Tangente. [Während der Rech-

nung muss man eine Polynomdivision durchführen.]


Eine Gerade x = u mit 0 < u < 6 schneidet die Gerade g im Punkt P und die Kurve K im

Punkt Q. Für welchen Wert von u ist die Strecke PQ maximal?

Wie lang ist die maximale Strecke?

* * *


Der Punkt ( )( / )uP u f mit 0 < u < 6 liegt auf der Kurve K. Durch P wird eine Gerade ge-

legt, die die positive x-Achse in Q und die positive y-Achse in R schneiden soll. P ist

Mittelpunkt der Strecke QR.

Durch Drehung des Dreieckes OQR um die y-Achse entsteht ein Kegel. Bestimme u so,

dass das Volumen des Kegels maximal wird. [VKegel = 31 r²h]

Begründe, dass es sich um ein Maximum handelt.

f) Für die Klassenarbeit nochmals Ortskurven und das Aufstellen von Funktionsglei-

chungen wiederholen.


- 94 -

B

T

y

x

1

H

1

LÖSUNGEN

a) 2 3 231 18 8 2( ) ( 6) 4,5f x x x x x x

Funktionsgleichung in Produktform Nullstellen ablesen:

1 2/3(0 / 0) (6 / 0)N N

(6)(6 / 0) 0T mit f

(2)(2 / 4) 0H mit f

(4)(4 / 2) 0W mit f

2 23 3:n y x

b) Flächen:

63 231

8 20

( 4,5 ) ....... 13,5A x x x dx FE

43 231 1

1 8 2 20

( 4,5 ) ....... 8A x x x x dx FE

2 1 5,5A A A FE Verhältnis: 1 2: 8 : 5,5 16 :11A A

c) allgemeine Tangentengleichung:

( ) ( ) ( )u uy f f x u 3 2 23 318 2 84,5 ( 3 4,5) ( )y u u u u u x u

(6 / 0)T einsetzen 3 2 23 318 2 80 4,5 ( 3 4,5) (6 )u u u u u u | 4

3 2 2 31 2 8( 15 72 108) : ( 6) 9 18 3 6 (3/ 3 )u u u u u u u und u B

98: 6,75Bt y x

d) Mini-Max-Aufgaben:

3 2 3 23 31 1 1( ) ( ) ( ) 8 2 2 8 24,5 4u u ud f g u u u u u u u

2 2 23 3( ) 8 83 4 3 4 0 3 24 32 0 1,69ud u u u u u u u

(1,69) 0d Maximum max 3,08d LE

e) * * *

( )( / )uP u f ist Mitte zwischen R und Q: ( )(0 / 2 ) (2 / 0)uR f und Q u

Volumenfunktion: 2 2 5 4 31 1 1( )3 3 3(2 ) 2 .......... ( 12 36 )uV r h u f u u u

Bilde die 1. und die 2. Ableitung..................

( ) 0 3,6uV u (3,8) 0V Maximum


- 95 -

KLASSENARBEIT A

a) Eine ganz rationale Funktion 3. Grades besitzt einen Wendepunkt W(2/0) und hat an der

Stelle x = 0 eine Tangente mit der Gleichung 23 4y x .


b) Untersuche die Funktion f mit der Gleichung 3 21 26 3( ) 4f x x x x auf Nullstellen

(eine Nullstelle ist schon bekannt / siehe Teil a). [3 P]

Bestimme Hoch- und Tiefpunkte und die Gleichung der Wendetangente. [3 P]

Zeichne die Kurve K für 3 7x . Zeichne auch die Wendetangente ein.

[Die Achsen müssen vollständig beschriftet sein!!!! – sonst gibt es Punktabzug.] [2 P]

c) Die Gerade g mit der Gleichung 23 4y x und die Kurve K schließen miteinander

eine Fläche ein. Berechne die Schnittstellen von g mit K (die x-Werte genügen).

Bestimme die Größe der Fläche. [Kontrolle durch Kästchenzählen]

Durch die x-Achse wird die Fläche in zwei Teile geteilt. Wie groß sind die Teilflächen?

[6 P]

d) Eine Gerade x = u mit 0 < u < 6 schneidet die Gerade g im Punkt Q und die Kurve K im

Punkt R. Für welchen Wert von u ist die Strecke QR maximal?

Wie lang ist die maximale Strecke? [Kontrolle durch Nachmessen] [6 P]

e) Vom Punkt T(–2/0) aus kann man zwei Tangenten an die Kurve K legen. Bestimme

den Berührpunkt B(u/f(u)) mit 2u . Bestimme auch die Gleichung der Tangente.

[Während der Rechnung muss man eine Polynomdivision durchführen, wobei die Lö-

sung 2u schon bekannt ist.] [6 P]

f) Gegeben ist die Kurvenschar mit der Gleichung 3 23 2

12 18 1( ) 1

4f x x x x

t t mit 0t

.


Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt auf der x-Achse? [6 P]

36 P




- 96 -

d

R

Q

x=u

y

x

1

61

LÖSUNGEN A

a)

3 2( )f x ax bx cx d

2( ) 3 2f x ax bx c

( ) 6 2f x ax b

(0) 4f 4d

23(0)f 2

3c

(2) 0f 8 4 2 0a b c d (III)

(2) 0f 12 2 0a b (IV)

438 4 4 0a b (III)

24 4 0a b (IV)

(A) 2316 2 0a | ( 1)

(A) 8 13 616a a

(IV) 2 2 0 1b b

Funktion:

b)


( ) 2f x x

( ) 1 0f x

Nullstellen:

3 21 26 3 4 0 | 6x x x

3 216 4 24 0 | 2x x x x bekannt

3 2 2( 6 4 24) : ( 2) 4 12x x x x x x

22/34 12 0 2 4 12x x x

1 2 3(2 / 0) (6 / 0) ( 2 / 0)N N N

3 21 26 3( ) 4f x x x x


- 97 -

Extrempunkte:

2 21 21/ 22 3

4,3112 144 4 3 4( ) 0 2 0 3 12 4 0

0,316f x x x x x x

1 (4,31)4,10 2,31 0 (4,31/ 4,1)y f T

2 ( 0,31)4,10 2,31 0 ( 0,31/ 4,1)y f H

Wendepunkt: (2 / 0)W siehe Teil a)

Wendetangente: 81 2(2) 2 3 34 2 2m f 8 1

3 3: 5t y x zeichnen

c)

Schnittstelle von g mit K:

3 21 26 3 4x x x 2

3 4x 3 2 21/ 2 36 0 ( 6) 0 6x x x x x x

Fläche:

23( 4gesA x

63 21 2

6 30

4x x x 4 3 61 1024 3) [ ] 54 72 18dx x x FE

63 2 4 3 2 6 81 2 1 1 1 2 4 2

1 26 3 24 3 3 3 3 3 32

(0 4) [ 4 ] 54 72 12 24 ( 8) 10A x x x dx x x x x FE 2 1

2 3 318 10 7A FE

Flächenverhältnis: (freiwillig / wurde nicht gefragt)

32 322 1 221 2 3 3 3 3 3

: 10 : 7 :A A 3 1622 11 16 :11

d)

Mini-Max-Aufgabe:

( ) ( ) ( )u u ud g f

2( ) 3 4ud u 3 21 2

6 3 4u u u 3 216 u u

21( ) ( )2 2 2u ud u u d u

2 21( ) 120 2 0 4 0 ( 4) 0 0ud u u u u u u u entfällt

2 4u

(4) 4 2 2 0d Maximum

3 24 1max (4) 6 34 5d d LE Kontrolle durch Nachmessen an der Zeichnung.


- 98 -

e)

allgemeine Tangentengleichung:

( ) ( ) ( )u uy f f x u

3 2 21 2 1 26 3 2 34 ( 2 ) ( )y u u u u u x u | ( 2 / 0)T einsetzen

3 2 21 2 1 26 3 2 30 4 ( 2 ) ( 2 )u u u u u u

3 216 u u 2

3 u 24 u 3 24 13 24 2u u u 2

3 u

3 3 3 3 31 4 16 3 24 4 24 24 8 3 2 24 32 0u u u u u u u u

3 12 16 0u u 1| 2u bekannt

Polynomdivision:

3 2( 12 16) : ( 2) 2 8 0u u u u u

3 22u u

22 12u u

22 4u u

8 16u

8 16u

0

22/3 2/3

42 8 0 1 1 8 1 3

2u u u u

( 2 2u entfällt.)

2 2 43 3 3(4 / 4) : 4 ( 4)BB t y x y x

f)

Kurvenschar:

3 2

3 21812 14( ) 1

t tf x x x x

3 2 3 2 3

236 36 72 36 7214( ) ( ) ( ) 0

t t t t tf x x x f x x f x

allgemeiner Wendepunkt:

3 272 36

2( ) 0 0 72 36 0 tt t

f x x x t x 2t x

3 2

3 218 3 912 1 1 1

8 4 4 2 2 2 8 8( ) 1 1 2t t tt t

y f t t t

Ortskurve der Wendepunkte: 14 2y x

Wendepunkt auf der x-Achse: 18 2 0 16t t


- 99 -

KLASSENARBEIT B

a) Eine ganz rationale Funktion 3. Grades besitzt einen Wendepunkt W(2/0) und hat an der

Stelle x = 0 eine Tangente mit der Gleichung 12 3y x .


b) Untersuche die Funktion f mit der Gleichung 3 231 18 4 2( ) 3f x x x x auf Nullstel-

len (eine Nullstelle ist schon bekannt / siehe Teil a). [3 P]

Bestimme Hoch- und Tiefpunkte und die Gleichung der Wendetangente. [3 P]

Zeichne die Kurve K für 3 7x . Zeichne auch die Wendetangente ein.

[Die Achsen müssen vollständig beschriftet sein!!!! – sonst gibt es Punktabzug.] [2 P]

c) Die Gerade g mit der Gleichung 12 3y x und die Kurve K schließen miteinander eine

Fläche ein. Berechne die Schnittstellen von g mit K (die x-Werte genügen).

Bestimme die Größe der Fläche. [Kontrolle durch Kästchenzählen]

Durch die x-Achse wird die Fläche in zwei Teile geteilt. Wie groß sind die Teilflächen?

[6 P]

d) Eine Gerade x = u mit 0 < u < 6 schneidet die Gerade g im Punkt Q und die Kurve K im

Punkt R. Für welchen Wert von u ist die Strecke QR maximal?

Wie lang ist die maximale Strecke? [Kontrolle durch Nachmessen] [6 P]

e) Vom Punkt T(–2/0) aus kann man zwei Tangenten an die Kurve K legen. Bestimme

den Berührpunkt B(u/f(u)) mit 2u . Bestimme auch die Gleichung der Tangente.

[Während der Rechnung muss man eine Polynomdivision durchführen, wobei die Lö-

sung 2u schon bekannt ist.] [6 P]

f) Gegeben ist die Kurvenschar mit der Gleichung 3 23 2

6 9 1( ) 2

2f x x x x

t t mit t > 0


Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt auf der x-Achse? [6 P]

36 P




- 100 -

d

R

Q

x=u

y

x

1

61

LÖSUNGEN B

a)

3 2( )f x ax bx cx d

2( ) 3 2f x ax bx c

( ) 6 2f x ax b

(0) 3f 3d

12(0)f 1

2c

(2) 0f 8 4 2 0a b c d (III)

(2) 0f 12 2 0a b (IV)

8 4 1 3 0a b (III)

24 4 0a b (IV)

(A) 16 2 0a | ( 1)

(A) 1816 2a a

(IV) 343 4 0b b

Funktion: 3 231 18 4 2( ) 3f x x x x

b)

Ableitungen: 23 3 18 2 2( )f x x x

3 34 2( )f x x

34( ) 0f x

Nullstellen:

3 231 18 4 2 3 0 | ( 8)x x x

3 216 4 24 0 | 2x x x x bekannt

3 2 2( 6 4 24) : ( 2) 4 12x x x x x x

22/34 12 0 2 4 12x x x

1 2 3(2 / 0) (6 / 0) ( 2 / 0)N N N


- 101 -

Extrempunkte:

2 23 3 11/ 28 2 2

4,3112 144 4 3 4( ) 0 0 3 12 4 0

0,316f x x x x x x

1 (4,31)3,08 1,73 0 (4,31/ 3,08)y f H

2 ( 0,31)3,08 1,73 0 ( 0,31/ 3,08)y f T

Wendepunkt: (2 / 0)W siehe Teil a)

Wendetangente: 3 3 1(2) 8 2 24 2 2m f : 2 4t y x zeichnen

c)

Schnittstelle von g mit K:

3 231 18 4 2 3x x x 1

2 3x 3 2 21/ 2 36 0 ( 6) 0 6x x x x x x

Fläche:

3 231 18 4 2( 3gesA x x x

612

0

3x 4 3 61 1032 4) [ ] 40,5 54 13,5dx x x FE

63 2 4 3 2 631 1 1 1 1 1

1 28 4 2 32 4 4 22

( 3) [ 3 ] 40,5 54 9 18 ( 2 1 6) 8A x x x dx x x x x FE 2 13,5 8 5,5A FE

Flächenverhältnis: (freiwillig / wurde nicht gefragt)

1611 21 2 2 11 11: 8 : 5,5 8 : 8 16 :11A A

d)

Mini-Max-Aufgabe:

( ) ( ) ( )u u ud g f

3 231 1( ) 8 4 2 3ud u u u 1

2 3u 3 2318 4u u

23 3 3 3( ) ( )8 2 4 2u ud u u d u

2 23 3( ) 18 20 0 4 0 ( 4) 0 0ud u u u u u u u entfällt

2 4u

34(4) 3 24 1,5 0d Maximum

3 24 4max (4) 8 3 4 4d d LE Kontrolle durch Nachmessen an der Zeichnung.


- 102 -

e)

allgemeine Tangentengleichung:

( ) ( ) ( )u uy f f x u

3 2 23 3 31 1 18 4 2 8 2 23 ( ) ( )y u u u u u x u | ( 2 / 0)T einsetzen

3 2 23 3 31 1 18 4 2 8 2 20 3 ( ) ( 2 )u u u u u u

3 2318 4u u 1

2 u 2343 u 3 23 3

8 23 1u u u 12 u

3 3 3 3 3318 83 3 1 24 24 8 3 2 24 32 0u u u u u u u u

3 12 16 0u u 1| 2u bekannt

Polynomdivision:

3 2( 12 16) : ( 2) 2 8 0u u u u u

3 22u u

22 12u u

22 4u u

8 16u

8 16u

0

22/3 2/3

42 8 0 1 1 8 1 3

2u u u u

( 2 2u entfällt.)

1 12 2(4 / 3) : 3 ( 4) 1BB t y x y x

f)

Kurvenschar:

3 2

3 26 9 12( ) 2

t tf x x x x

3 2 3 2 3

218 18 36 18 3612( ) ( ) ( ) 0

t t t t tf x x x f x x f x

allgemeiner Wendepunkt:

3 236 18

2( ) 0 0 36 18 0 tt t

f x x x t x 2t x

3 2

3 26 9 3 91 1 1 1

8 4 2 2 4 4 4 4 2( ) 2 2t t tt t

y f t t t

Ortskurve der Wendepunkte: 1 12 2y x

Wendepunkt auf der x-Achse: 1 14 2 0 2t t

FORMELSAMMLUNG

- 103 -

LÄNGE einer Strecke 1 2PP : 22 2 2 2

1 2 2 1 2 1( ) ( )PP x y x x y y

ABSTAND zweier Punkte: 2 2 2 21 2 2 1 2 1( ) ( )d PP x y x x y y

STEIGUNG zwischen zwei Punkten: 2 1

2 1

y ym

x x

GERADENGLEICHUNGEN [= lineare Funktionen]

Zweipunkte-Form: 1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x x

Punkt-Richtungs-Form: 1 1( )y y m x x

Normalform der Geradengleichung: y m x b [b = Ordinatenabschnitt]

Gerade durch den Ursprung: y m x [m = Steigung]

Achsenabschnittsform: 1x y

a b [a = Abszissenabschnitt]

Gleichung der x-Achse: 0y

Parallele zur x-Achse: y b

Gleichung der y-Achse: 0x

Parallele zur y-Achse: x a

1. Winkelhalbierende: y x [Steigungswinkel = 45°]

2. Winkelhalbierende: y x [Steigungswinkel = 45°]

Punktprobe: Punkt in Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.

senkrecht stehen (orthogonal sein): 1 2 21

11m m oder m

m NORMALE

Winkel zwischen zwei Geraden: 21

12

mm1

mmtan

(für beliebige Geraden)

mtan (Winkel zur x-Achse)

Fläche eines Dreieckes: )]yy(x)yy(x)yy(x[A 21313232121

Sonderfall, wenn eine Dreiecksseite parallel zu einer Koordinatenachse ist: 2

g hA

m

- x1

- y1

x2

y2

P2

P1

FORMELSAMMLUNG

- 104 -

Mitternachtsformel: 1/2

² 4

2

b b acx

a

für 0cbx²ax

p-q-Formel: 2

1/2 2 2p px q für 0qpx²x

binomische Formeln: 2² 2 ²a b a ab b I. und II. Formel

² ²a b a b a b III. Formel

PARABELGLEICHUNGEN [= quadratische Funktionen]

Allgemeine Parabelgleichung: 2(x)f a x b x c

[Diese benötigt man, wenn man eine Parabelgleichung aus 3 Punkten aufstellen will.]

Achsensymmetrische Parabel: 2(x)f a x c [Scheitel auf der y-Achse.]

Parabel mit Scheitel im Ursprung: 2(x)f a x [Scheitel im Ursprung.]

Normalparabel mit Scheitel im Ursprung: 2(x)f x

Scheitelform: 2(x) S Sf y a (x x )

[Diese benötigt man, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist.]

Produktform: (x) 1 2f a (x x )(x x )

[...wobei x1 und x2 die Nullstellen der Parabel sind.]

ABLEITUNGSREGELN ( ) ( ) 0f x a f x

( ) ( )f x a x f x a

1( ) ( )n nf x a x f x a n x

INTEGRATIONSREGELN a dx a x c

1

1

nn a x

a x dx cn

1für n

TANGENTENGLEICHUNGEN

Kurventangente in einem festen Kurvenpunkt 0 0( / )B x y : 0)0 ( 0( )xy y f x x

Kurventangente in einem beweglichen Kurvenpunkt ( )( / )uB u f : ( ) ( ) ( )u uy f f x u

ORTSKURVEN

Zunächst den gesuchten Punkt allgemein bestimmen, anschließend den Parameter eliminieren.

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Teil I GANZRATIONALE FUNKTIONEN · 2014. 2. 24. · Differenzialquotient - Ableitungen - 2 - ABLEITUNGSREGELN sind Regeln zur Bestimmung des Differenzialquotienten dy dx. dy y dx