Teilchenphysikfür Fortgeschrittene

Notizen zur Vorlesung im Wintersemester 2011-12

Peter Schleper

20. Januar 2012Institut für Experimentalphysik, Universität Hamburg

peter.schleper@physik.uni-hamburg.dehttp://www.desy.de/∼schleper/lehre/

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 4

1.1 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Relativistische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Dirac Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1 Für klassische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.2 Für die Klein-Gordon Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.3 Für die Dirac- Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Globale Symmetrien und Noether- Theorem . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Eigenschaften der Dirac-Gleichung 192.1 Lösungen der Dirac Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Spin und Helizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Chiralität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 C,P,T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Dimensionen der Felder und Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Quanten-Elektrodynamik 253.1 Lokale Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Masse und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Spin und Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Maxwell- Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Übersicht der elementaren QED-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Feynman- Diagramme 354.1 Mandelstam - Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Helizitätsamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 Propagator für Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Propagator für das Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3 Propagator für Spin-0 und Spin-1 Teilchen . . . . . . . . . . . 42

4.4 Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Matrixelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Wirkungsquerschnitt und Fermi’s Goldene Regel . . . . . . . . . . . . 494.8 Wirkungsquerschnitt im CMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9 Ereignisrate und Luminosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

5 Prozesse der QED 545.1 Berechnung des Prozesses e−µ− → e−µ− . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Crossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Übersicht der elementaren QED-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4 Erzeugung von Hadronen in der QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5 Drell-Yan Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Schwache Wechselwirkung 666.1 Historie der Schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2 Paritätsverletzung und V-A Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3 P und C: Parität und Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . 686.4 Fermi-Konstante und W-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5 Schwache Wechselwirkung von Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . 716.6 SU(2) Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7 Zerfälle als Test von Erhaltungssätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7.1 Zerfälle durch Starke WW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.7.2 Zerfälle durch Elektromagnetische WW . . . . . . . . . . . . . 766.7.3 Schwache Zerfälle: Muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7.4 Schwache Zerfälle: Pion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.8 Neutrino Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.8.1 Geladener Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.8.2 Divergenzen in der V-A Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.8.3 Neutrale Ströme: Z0 Austausch . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Übersicht Eichtheorien 88

8 Eichtheorie der elektro-schwachen Wechselwirkung 908.1 Massen der Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.2 SU(2)L und schwacher Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2.1 Erfolge der SU(2)L- Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2.2 Probleme der SU(2)L Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.3 U(1)Y und Hyperladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.4 SU(2)L ×U(1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.5 Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen . . . . . . . . . . . . 978.6 Mischung von Photon und Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.7 Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.8 Wechselwirkungen des Z0 mit Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . 998.9 Mischung von Quarks und Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2

9 Spontane Symmetrie-Brechung 1039.1 Der Higgs- Mechanismus im Standard-Modell . . . . . . . . . . . . . 1039.2 Eichboson - Higgs Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.3 Fermion-Higgs Kopplung und Fermion-Massen . . . . . . . . . . . . . 108

10 Lagrange-Dichte des Standard-Modells 111

11 Physik des W± und Z0 Bosons 11211.1 Standard-Modell der elektroschwachen Wechselwirkung . . . . . . . . 11211.2 Entdeckung von W und Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.3 Breit-Wigner Resonanzkurve für instabile Teilchen . . . . . . . . . . . 11511.4 W,Z und γ im Standard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.5 Z0-Physik an e+e− Beschleunigern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.6 WW Produktion in e+e+− Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.7 W und Z Produktion in pp Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.8 Polarisierung im W-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12 Starke Wechselwirkung 13012.1 Quarks und Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.2 Nicht-Abelsche Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12.2.1 Übersicht zu Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13312.2.2 Lagrange-Dichte der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

12.3 QCD in der e+e− Vernichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13712.4 Streuprozesse mit Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12.4.1 Tief-inlastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14112.5 Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14212.6 Messung der Parton-Dichteverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 14412.7 Perturbative QCD in der Quark und Gluon Streuung . . . . . . . . . 146

13 Loops und Legs 14913.1 QED: Laufende Kopplungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15113.2 QCD: Laufende Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15413.3 Renormierung in höheren Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15613.4 Renormierung der Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15713.5 Renormierbarkeit des Standard-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 15913.6 Chirale Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16113.7 Chirale Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A Nützliche Formeln 166

B Drehimpuls und Rotation 168

3

C Ergänzungen zur Dirac-Gleichung 171C.1 Normierung der Dirac-Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171C.2 Teilchen und Antiteilchen in der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . 172C.3 Parität für Antiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173C.4 Ergänzungen zum Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

D Ergänzungen zum Wirkungsquerschnitt 175D.1 Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175D.2 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175D.3 Teilchenfluss der einlaufenden Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . 176D.4 Integration des Phasenraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176D.5 Yukawa Potential und Reichweite der Kräfte . . . . . . . . . . . . . . 178

E Symmetrien und Gruppen 180E.1 Teilchenphysik und Unitäre Transformationen . . . . . . . . . . . . . 180E.2 Unitäre Matrizen und Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

E.2.1 Diagonale Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181E.3 Normierung der Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

F Nicht-Abelsche Eichtheorie 183F.0.1 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4

Inhalt des Skriptes vom WS-2010/11

Inhaltsverzeichnis1

Ein

leitung

6

2R

elativistische

Quanten

mech

anik

112.1

Eichtheorie

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112.2

Einheiten

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.13

2.3R

elativistischeK

inematik

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142.4

Schrödinger-Gleichung

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172.5

Klein-G

ordon-Gleichung

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.17

2.6D

iracG

leichung.

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.18

2.7Lagrange-Form

alismus

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192.7.1

Für

klassischeTeilchen

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192.7.2

Für

dieK

lein-Gordon

Gleichung

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.20

2.7.3Für

dieD

irac-G

leichung.

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202.8

Globale

Symm

etrienund

Noether-

Theorem

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22

3Eigen

schaften

der

Dirac-G

leichung

243.1

Lösungender

Dirac

Gleichung

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243.2

Spinund

Helizität.

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253.3

Chiralität

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.26

3.4C

,P,T.

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273.5

Dim

ensionender

Felderund

Bilinearform

en.

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.28

4Q

uanten

-Elektrod

ynam

ik31

4.1Lokale

Eichinvarianz

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.31

4.2Vektorfelder

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334.2.1

Masse

undkinetische

Energie

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334.2.2

Spinund

Polarisation

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.34

4.3M

axwell-

Gleichungen

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364.4

Feynman-

Diagram

me

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384.4.1

Helizitätsam

plituden.

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384.4.2

Störungsrechnung.

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404.4.3

Propagator

fürFerm

ionen.

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.42

4.4.4P

ropagatorfür

dasP

hoton.

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.43

4.4.5P

ropagatorfür

Spin-0und

Spin-1Teilchen

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.44

4.4.6M

atrixelement

..

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.44

4.4.7Feynm

an-Regeln

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.46

4.5W

irkungsquerschnittund

Matrixelem

ente.

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.49

4.5.1Ferm

i’sG

oldeneR

egelI.

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494.5.2

Zustandsdichte.

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.50

4.5.3Teilchenfluss

dereinlaufenden

Teilchen.

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50

1

4.5.4M

atrixelement

..

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.51

4.5.5Ferm

i’sG

oldeneR

egelII.

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..

524.5.6

Integrationdes

Phasenraum

s.

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..

524.5.7

Wirkungsquerschnitt

imC

MS

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544.6

Prozesse

derQ

ED

..

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..

.55

4.6.1B

erechnungdes

Prozesses

e −µ−→

e −µ−

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..

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554.6.2

Crossing

..

..

..

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..

..

..

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..

..

..

574.6.3

Übersicht

derelem

entarenQ

ED

-Prozesse

..

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..

614.6.4

Erzeugung

vonH

adronen.

..

..

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..

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..

..

..

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624.6.5

Drell-Y

anP

rozess.

..

..

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..

..

..

..

..

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..

..

65

5Starke

Wech

selwirku

ng

675.1

Quarks

undG

luonen.

..

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..

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675.2

Nicht-A

belscheE

ichtheorie.

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.70

5.2.1Ü

bersichtzu

Eichtheorien

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705.2.2

Lagrange-Dichte

derQ

CD

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715.2.3

Ableitung

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.74

5.3Q

CD

inder

e+e −

Vernichtung

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775.4

Streuprozessem

itH

adronen.

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805.4.1

Tief-inlastische

Streuung.

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815.5

Faktorisierung.

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825.6

Messung

derParton-D

ichteverteilungen.

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845.7

Perturbative

QC

Din

derQ

uarkund

Gluon

Streuung.

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86

6Schw

ache

Wech

selwirku

ng

896.1

Historie

derSchw

achenW

echselwirkung

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.89

6.2Paritätsverletzung

undV

-AT

heorie.

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906.3

Pund

C:P

aritätund

Ladungskonjugation.

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916.4

Fermi-K

onstanteund

W-P

ropagator.

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926.5

Schwache

Wechselw

irkungvon

Hadronen

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936.6

SU(2)

Symm

etrie.

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956.7

Zerfälleals

Testvon

Erhaltungssätzen

..

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..

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.97

6.7.1Zerfälle

durchStarke

WW

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..

976.7.2

Zerfälledurch

Elektrom

agnetischeW

W.

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986.7.3

Schwache

Zerfälle:Muon

..

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.99

6.7.4Schw

acheZerfälle:P

ion.

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.101

6.8M

ischungvon

Quarks

undLeptonen

..

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104

7Elektro-schw

ache

Wech

selwirku

ng

1067.1

Eichtheorie

derelektro-schw

achenW

echselwirkung

..

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..

.106

7.1.1M

assender

Fermionen

..

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106

2

7.1.2SU

(2)L

undschw

acherIsospin

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..

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1077.1.3

U(1

)Y

undH

yperladung.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

1107.1.4

SU

(2)L ×

U(1

)Y

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.111

7.1.5W

echselwirkung

vonW

Bosonen

mit

Fermionen

..

..

..

..

1137.1.6

Mischung

vonP

hotonund

Z0

..

..

..

..

..

..

..

..

..

1147.1.7

Elektrom

agnetismus

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.114

7.1.8W

echselwirkungen

desZ

0m

itFerm

ionen.

..

..

..

..

..

.115

7.1.9Spontane

Symm

etrie-Brechung

..

..

..

..

..

..

..

..

.117

7.1.10D

erH

iggs-M

echanismus

imStandard-M

odell.

..

..

..

..

1177.1.11

Fermion-H

iggsK

opplungund

Fermion-M

assen.

..

..

..

..

123

8Lagran

ge-Dichte

des

Stan

dard

-Mod

ells125

8.1P

hysikdes

W±

undZ

0B

osons.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

1268.2

Suchenach

demH

iggs-Boson

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

139

9H

öhere

Ord

nungen

1489.1

LaufendeK

opplungskonstanten.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

1509.2

Renorm

ierbarkeitdes

Standard-Modells

..

..

..

..

..

..

..

..

.157

9.3C

hiraleA

nomalie

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.159

9.4Indirekte

Berechnung

derH

iggs-Masse

..

..

..

..

..

..

..

..

.160

10G

renzen

und

Erw

eiterungen

des

Stan

dard

-Mod

ells164

10.1Suche

nachP

hysikjenseits

desStandard

Modells

..

..

..

..

..

.171

10.2G

randU

nifiedT

heories.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.174

10.3Super

Symm

etrie.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

177

AA

nhan

g187

A.1

Norm

ierungder

Dirac-Spinoren

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.187

A.2

Teilchenund

Antiteilchen

inder

Dirac-G

leichung.

..

..

..

..

..

188A

.3M

andelstam-

Variablen

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.189

A.4

Luminosität

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

190A

.5P

hasenraum.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.192

A.6

Nicht-A

belscheE

ichtheorie.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.193

A.7

Die

kovarianteA

bleitungfür

Nicht-A

bel’scheE

ichtheorien.

..

..

.198

A.8

Ergänzungen

zumP

ropagator.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.199

A.9

Yukaw

aPotentialund

Reichw

eiteder

Kräfte

..

..

..

..

..

..

..

200A

.10D

rehimpuls

undR

otation.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.202

BN

ützlich

eForm

eln206

3

5

Literatur

Empfehlungen zur Teilchenphysik

• Martin, Shaw: Elementary Particle Physics(Wiley)

• E. Lohrmann: Hochenergiephysik(Teubner, Neuauflage 2005)

• Ch. Berger: Elementarteilchen(Springer 2001)

• D. Griffith: Introduction to Elementary Particle Physics

• P. Schmüser, Feynman-Graphen und Eichtheorie für Experimental-physiker(Springer Lecture Notes in Physics)

• Halzen, Martin: Quarks and Leptons(Wiley)

• A. Seiden, Particle Physics, a Comprehensive Introduction(Addison Wesley)

Sonstige

• G. Musiol, et.al.: Kern und Elementarteilchenphysik(Verlag Harry Deutsch)

• Frauenfelder, Henley: Teilchen und Kernphysik

• A. Das, T. Ferbel: Kern und Teilchenphysik(Spektrum Lehrbuch)

• A. Das, T. Ferbel: Kern und Teilchenphysik(Spektrum Lehrbuch)

• A.Zee, Quantum Field Theorie in a Nutshell(Princeton University Press)

• M.Peskin, D.Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theorie(Westview)

6

1 Einleitung

Bo +-WoW

Zo +-Wg

Mesonen: π, K,...

γ

Symmetrie Brechung

spontane

Higgs

starke WW

SU(3)c SU(2)LU(1)Y

elektro-schwache WW

Wechselwirkungen

Das Standard Modell

U(1)eQED

ν ν νLeptonen

µ τ µ τe

e

d s b

Quarksu c t

lokale Eichtheorien

Baryonen: p,n,...

Abbildung 1: Schema des Standardmodells mit allen Teilchen. Grüne Pfeile stellenWechselwirkungen dar.

• 19 Teilchen

• 26 freie Naturkonstanten

• Ist das ALLES ? Dunkle Materie und dunkle Energie ?Physik jenseits des Standard-Modells

• Bauprinzip ? Vereinfachungen ? Vereinheitlichungen ?Neue Symmetrien: Supersymmetrie, Grand Unified Theories

7

Peter SchleperPhysik nach LHC

Januar 2005E i c h- T h e o r i e

!"#$%&$'())))))*+&,()-&.#%/0/%(

!"#$%&$1&.2%3&45/&

6/7389''&%5/&$

:&5.&/%"$;)2&5)<#%"5=5#&1%&&.&=%54'#;$(>)8%#5=&>)873?#73&)@5#1%

Theorem: Nur Eichtheorien liefern physikalisch sinnvolle Resultate

Quantentheorie: Teilchen folgen WellengleichungenNur Betrag der Wellen ist beobachtbar:Phase der Welle ist beliebig:

ei

laesst Experiment unveraendertSymmetrie der Natur:

Erhaltung der Elektr. Ladung, Z,W,g haben Spin 1

Form der KraefteAlle Teilchen in komplettenGenerationenVorhersage Charm, Top, NeutrinosEs muss ein Higgs Teilchen gebenHiggs wechselwirkt mit MasseQuantenkorreturenSelbstwechselwirkung vonZ,W,g,H

4

Abbildung 2: Schema für Eichtheorien.

Peter SchleperPhysik nach LHC

Januar 2005Das Standard-Modell mit Higgs

LEP: e+e- ….Praezisionstest der Teilchenphysik

Z0

Z0 Z0

W+W-

Alle Experimente stimmen mit demStandard Modell ueberein !!

…falls das Higgs existiert und MH < 160 GeV

Sonst: WiderspruchAlternativen ????

5

Abbildung 3: Wirkungsquerschnitte für Prozesse in e+e− Kollisionen als Funktion derSchwerpunktsenergie und daraus abgeleitete Bedingungen für die Masse des Higgs-Teilchens.

8

Peter SchleperPhysik nach LHC

Januar 2005LHC: der Large Hadron Collider

CERN: Europaeisches Zentrum fuerTeilchenphysik in GenfProton-Proton Kollisionen bei 14000 GeVFaktor 1000 mehr Kollisionen als bisher

Start: 2007

5Abbildung 4: LHC Beschleuniger und Foto des CMS Experiments

9

Forderungen an eine fundamentale Theorie der NaturgesetzeSM

Wenige Grundannahmen√

Kausalität, Realität, Quantentheorie, Raum-ZeitKonsistente Beschreibung aller Naturphänomene durch wenigeNaturkonstanten, Teilchen und ihre WW nein

27 freie Parameter, e, µ, τ, νe, νµ, ντ , u, d, s, c, t, b,W±, Z, γ, h, g,dunkle Materie

Vorhersagekraft√

ντ , t,W, Zgültig in allen Prozessen ?ep→ eµX + pt/ ? unklar

gültig bei allen Energien: Extrapolierbarkeit neinΛ & 1TeV ⇒MHiggs →∞HierarchieproblemΛ ≥ 1019GeV ⇒ Quanten-Gravitation

Erklärung warum die Natur so ist, wie sie ist nein

⇒ Das Standard Modell ist nicht die TOE (Theory of Everything)Peter SchleperPhysik nach LHC

Januar 2005T h e o r i e n d e r P h y s i k

Energie, Temperatur, Zeit

Abbildung 5: Schema der Vereinheitlichungen der Wechselwirkungen.

10

1.1 Einheiten

Wir sind interessiert an relativistischer Quantenmechanik. Daher verwenden wir alsnatürliches Einheitensystem eine Schreibweise, bei der

c = 1, ~ = 1

gestzt wird, so dass alle Faktoren c und ~ vermieden werden können. Damit habenZeit und Länge die gleiche Dimension (m). Ebenso haben Energie, Impuls und Massedie Dimension einer Energie (GeV). Außerdem schreibt sich die Unschärferelationz.B. als

∆t ·∆E ≥ 1.

Dies macht viele Formeln viel übersichtlicher. Für die Berechnung experimentellerErgebnisse muß von diesem natürlichen Einheitensystem in SI Einheiten (m, kg, s)umgerechnet werden. Dies ist immer möglich durch einfache Dimensionsbetrachtun-gen:

c ≈ 30cm

ns

~ ≈ 6, 5822 · 10−22MeV s

~c ≈ 197 MeV fm

Größe Natürliche Umrechnung SI-Einheit BemerkungEinheit

Energie E MeV MeV z.B. LHC:(GeV, TeV ) (GeV, TeV ) ECMS = 14TeV

Impuls p MeV ·1c

MeVc

Masse M MeV · 1c2

MeVc2

E = mc2!Zeit t MeV −1 ·~ s ∆E ·∆t & ~

1MeV −1 = 6, 5 · 10−22s

Länge MeV −1 ·~c m 1MeV −1 = 200 fm1GeV −1 = 0, 2 fm

Geschwind. β 1 ·c ms

β = vc≤ 1

Drehimpuls ~L 1 ·~ Js

11

1.2 Relativistische Kinematik

Die spezielle Relativitätstheorie basiert auf der Forderung, dass alle InertialsystemeS gleichberechtigt sind. Daraus folgt:

• Die Naturgesetze (Maxwell-Gl., ...) haben in allen Inertialsystemen die gleicheForm.

• Die Naturkonstanten (c, ~, ...) haben in allen Inertialsystemen die gleichenZahlenwerte.

Hieraus folgen ebenso Zeitdilatation und Längenkontraktion sowie die Formeln fürdie Lorentz-Tranformationen. Da Ort- und Zeit- Koordinaten gleichermaßen transfor-miert werden müssen ist die einfachste Notation die der Vierervektoren imMinkowski-Raum:Kontravarianter Vierervektor:

xµ = (ct, x, y, z) = (ct, ~x) .

Die Zeit wird hier mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert, damit aller Kompo-nenten des Vierervekors die Dimension einer Länge haben. In natürlichen Einheitenwird c = 1 gesetzt, also:

xµ = (t, x, y, z) = (t, ~x) ,

wobei µ = 0, 1, 2, 3 so dass die 0-Komponente die Zeit ist, x0 = t. Im Folgendenwerden griechische Indizes (µ, ν, ..) verwendet um Komponenten von Vierervektorenzu bezeichnen. Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgt, dass Skalarprodukte(Abstände) von Vierervektoren invariant sind. Mit dem “kovarianten” Vierervektor

xµ = (t,−x,−y,−z) .

ist das Skalarprodukt zweier Vierervekotren definiert als

xµxµ = xµxµ = t2 − x2 − y2 − z2.

Hierbei wird also als Summenkonvention über gleiche, unten und oben stehendeIndizes summiert. Kontravariante und kovariante 4-er Vektoren lassen sich durchden metrischen Tensor gµν ineinander umrechnen:

xµ = gµνxν

mit

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

12

In einem anderen Inertialsystem S ′ mit Koordinaten x′µ gilt:

xµxµ = x′µx′µ

Ebenso gilt für beliebige andere Vierervektoren

aµ = (ta, xa, ya, za) , bµ = (tb, xb, yb, zb)

, dass

aµbµ = tatb − xaxb − yayb − zazb = t′at′b − x′ax′b − y′ay′b − z′az′b = a′

µb′µ

Lorentztransformation erlauben die Umrechnung von allen 4-er Vektoren zwischenverschiedenen Inertialsystemen. Aus Sicht eines Systems S ′, dass sich mit Geschwin-digkeit βs = vs/c < 1 und

γs =1√

1− β2s

in x-Richtung bewegt, gilt (wenn der Ursprung von S und S ′ zur Zeit t = 0, t′ = 0übereinander liegt):

t′

x′

y′

z′

=

γs −γsβs 0 0−γsβs γs 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

=

γst− γsβsxγsx− γsβst

yz

(1)

alsox′µ

= Λµν x

ν

4-er Impulsvektor:Analog zu Zeit und Ort werden Energie und Impuls eines Teilchens zu einem 4-erVektor zusammengefasst:

pµ = (E, px, py, pz)

wobei die Norm des 4-er Impulsvektors die (Ruhe-) Masse m ist.

pµpµ = E2 − ~p2 = m2.

(Setzt man c explizit ein entspricht dies E2 − ~p2c2 = m2c4.)Im Ruhesystem eines Teilchen is ~p ∗ = 0, so dass E∗ = m. Die Lorentz-Transformationeines 4-er Impulses erfolgt wie bei anderen 4-er Vektoren auch:

p′µ

= Λµνpν

E ′

p′xp′yp′z

=

γs −γsβs−γsβs γs

11

Epxpypz

13

Bewegt sich ein Teilchen mit Geschwindigkeit β, so ergibt sich mit (β = βs) aus derLorentz-Transformation für Energie, Impuls und kinetische Energie:

E = γm

~β = ~p/E

~p = γ~βm

Ekin = E −m = (γ − 1)m

Es folgt: p2 = E2−~p2 = γ2(1− β2)︸ ︷︷ ︸=1

m2, so dass pµpµ = m2 in allen Systemen. Daraus

folgt auch das Additionstheorem für Geschwindigkeiten

~β =~p

Eβ′x =

p′xE ′

=γspx − γsβsEγsE − γsβspx

=βx − βs1− βxβs

sowie die kinematischen Grenzfälle für Teilchen-Impulse:ruhend: β = 0 γ = 1 ~p = 0 E = mlangsam: β & 0 γ & 1 |~p| m E = m+ 1

2mβ2 + . . . β4 + . . .

ultrarelativ.: β ≈ 1 γ 1 |~p| m E ≈ |~p|Masse-los: β = 1 γ =∞ |~p| = E

Ableitungen: Als 4-er Ableitung wird definiert:

∂

∂xµ=

(1

c

∂

∂t, ~∇)

oder, mit c = 1,

∂µ =∂

∂xµ= (∂t, ∂x, ∂y, ∂z)

sowie∂µ = (∂t, −∂x,−∂y,−∂z)

Damit ist z.B. die Variation einer skalaren Funktion Φ(x) gegeben durch

δΦ =∂Φ

∂xµδxµ = (∂µΦ) δxµ

ebenfals ein Skalar. Es folgt auch

∂µ∂µ = ∂2t − ~∇2 =

14

1.3 Schrödinger-Gleichung

QM- Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen.Benutzt wird die nicht-relativistische Energie-Impuls Beziehung für freie Teilchen:

E =~p2

2mQuantisierung: Ersetzt man Energie und Impuls eines Teilchens durch die Operatoren

E → i∂t, p→ −i∇und wendet das Resultat auf eine Wellenfunktion ψ(x, t) an, so folgt die Schrödinger-Gleichung,

−i∂tψ =1

2m∇2ψ

(in natürlichen Einheiten, ~ = 1). Lösungen sind ebene Wellen:

ψ = ψ0ei(Et−~p~r),

so dass mit ∂tψ = iEψ, ∇ψ = −i~pψ und∇2ψ = −~p2ψ die Energie-Impuls Beziehungwieder erfüllt ist:

Eψ =~p2

2mψ

1.4 Klein-Gordon-Gleichung

Relativistische Wellengleichung für Spin-0 Teilchen.Anders als bei der Schrödingergleichung startet man von der relativistischen Energie-Impuls Beziehung

E2 = ~p2 +m2 oder pµpµ = m2

Ersetzt man Energie und Impuls durch die gleichen Operatoren wie im nicht-relativistischenFall, so erhält man den relativistischen 4-er Impulsoperator:

E → i∂t, p→ −i∇ oder pµ → i∂µ.

Dies setzt man in die Energie-Impulsbeziehung ein und wendet die Operatoren aufeine Wellenfunktion Φ(x, t) an:

−∂2t Φ = −∇2Φ +m2Φ oder

(∂µ∂µ +m2

)Φ = 0,

denn ∂µ∂µ = ∂2t −∇2. Dies ist die Klein-Gordon Gleichung für relativistische Spin-0

Teilchen. Lösungen sind wieder ebene Wellen,

Φ(x) = Φ0 ei(Et−~p~r) = Φ0 e

i pνxν

mit der Lorentz-invarianten Phase pνxν . Da z.B. ∂t pνxν = p0 = E ist folgt auch

∂µ (pνxν) = pµ, ∂µ (pνxν) = pµ

so dass Einsetzen der Wellenfunktion in die Klein-Gordon Gleichung wieder die re-lativistische Energie-Impuls Beziehung liefert.

15

1.5 Dirac Gleichung

Relativistische Wellengleichung für Spin 1/2 Teilchen.In relativistischen Wellengleichungen können Ort- und Zeit- Ableitungen nur gleich-berechtigt, d.h. in der Form ∂µ auftreten. Eine Gleichung linear in den Ableitungenist die Dirac-Gleichung

(iγµ∂µ −m)ψ = 0

Bestimmt man die Größen γµ so, dass für eine ebene Welle ψ die relativistischeEnergie-Impuls Beziehung E2 = ~p2 +m2 erfüllt sein muß, so folgt:

• Jedes γµ (µ = 0, 1, 2, 3) ist eine 4x4 Matrix. Hinter m in der Dirac-Gleichungsteht also (nicht ausgeschrieben) eine 4x4 1er-Matrix im Spinor-Raum. Damitdie Dirac-Gleichung Lorentz-invariant ist muss gelten1

γµγν + γνγµ = 2gµν

• ψ ist ein 4-Spinor mit den 4 Komponenten ψk = ψ1, ψ2, ψ3, ψ4. Hier ist k keinLorentz-Index sondern der Spinor-Index (Römische Buchstaben). Der Spinorhat also 4 Freiheitsgrade: (Teilchen, Antiteilchen) x (2 Spineinstellungen)Die Dirac-Gleichung gilt also für Spin 1/2 Teilchen und sagt die Existenz vonAnti-Materie voraus.

Ausgeschrieben in allen Komponenten lautet die Dirac-Gleichung:

4∑k=1

[3∑

µ=0

i(γµ)jk∂µ −mδjk]ψk = 0

Die 4x4 γ-Matrizen beinhalten nur Zahlen und lassen sich durch die 2x2 Pauli-Matrizen darstellen. In der Dirac-Pauli Notation lauten sie:

γ0 =

(I 00 −I

)=

1

1−1

−1

, γi =

(0 σi−σi 0

), γ5 =

(0 II 0

)

1Beweis: Ersetzt man in der Dirac-Gleichung den Impulsoperator i∂ν durch den Impulserwar-tungswert pν so erhält man γνpνψ = mψ. Multipliziert man nun von links auf der linken Seite mitγµpµ und auf der rechten Seite mit m, so folgt

γµpµ γνpνψ =

1

2(γµγν + γνγµ) pµpνψ = m2ψ =

(E2 − ~p2

)ψ.

Der zweite und vierte Term können nur gleich sein, wenn γµγν + γνγµ = 2gµν erfüllt ist.

16

Die zusätzliche γ5 Matrix ist nicht Teil der Dirac-Gleichung, wird aber später benö-tigt. Die Pauli-Matrizen ~σ = (σx, σy, σz) = (σ1, σ2, σ3) lauten in der Dirac-Darstellung

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)In manchen Fällen ist es vorteilhaft eine andere Konvention für die γ- Matrizen zuverwenden, die Weyl- Notation:

γ0 =

(0 II 0

)γi =

(0 σi−σi 0

), γ5 =

(−I 00 I

)In dieser Notation haben dann auch die Lösungen der Dirac Gleichung eine andereForm. Generell wird im Folgenden die oben definierte Dirac-Pauli Notation verwen-det.

1.6 Lagrange-Formalismus

1.6.1 Für klassische Teilchen

Klassisch und nicht-relativistisch ist die Lagrange-Funktion für ein Teilchen eineFunktion der Ortskoordinaten und deren Zeitableitungen,

L(~x, ∂t~x) = T − V =~p2

2m− V =

1

2m(∂t~x)2 − V (~x)

oder mit verallgemeinerten Koordinaten q, ∂tq,

L = L(q, ∂tq)

Aus den Euler-Lagrange-Gleichungen

∂L

∂q(t)− ∂t

∂L

∂(∂tq(t))= 0

folgen die Bewegungsgleichungen. Ist z.B. q = ~x, so folgt mit

∂L

∂~x= −∂V (~x)

∂~x= ~F

∂L

∂(∂t~x)= m · (∂t~x) = ~p

das Gesetz von Newton:~F = ∂t~p,

17

1.6.2 Für die Klein-Gordon Gleichung

Felder sind nicht durch einzelne Koordinaten beschrieben, sondern sind Funktionenvor Ort und Zeit. Man geht daher zur Lagrange-Dichte L über, die mit der Lagrange-Funktion und der Wirkung über

L =

∫d~xL, S =

∫d4xL

zusammenhängt. Da die Wirkung dimensionslos sein soll und Längen die Dimension[GeV−1] haben ist die Dimension der Lagrange-Dichte also [GeV4]. Für ein skala-res (Spin 0), reelles Feld Φ(x) als Funktion von Ort und Zeit-Koordinaten ist dieLagrange-Dichte eine Funktion der Felder Φ und deren Änderungen ∂µΦ,

L = L(Φ, ∂µΦ)

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann

∂L∂Φ− ∂µ

∂L∂(∂µΦ)

= 0

Die Klein-Gordon Gleichung lässt sich aus der Lagrange-Dichte

L =1

2(∂µΦ)(∂µΦ)− 1

2m2Φ2

ableiten, denn es gilt:∂L∂Φ

= −m2Φ

∂µ

(∂L

∂(∂µΦ)

)= ∂µ(∂µΦ) = ∂µ∂

µΦ,

insgesamt also

∂L∂Φ− ∂µ

∂L∂(∂µΦ)

= 0 ⇒ ∂µ∂µΦ +m2Φ = 0,

also die Klein-Gordon-Gleichung.

1.6.3 Für die Dirac- Gleichung

Die Dirac- Wellenfunktionen bestehen auc 4 komplexen Feldern ψ. Anstatt Real-und Imaginär- Teile zu betrachten benutzt man equivalent die Funktionen und ihrekomplex konjugierten, ausgedrückt durch die “adjungierten” Spinoren

ψ = ψ†γ0,

18

wobei † wie üblich komplex konjugiert und transponiert bedeutet:

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

ψ† = (ψ∗1, ψ∗2, ψ

∗3, ψ

∗4)

Bei Variation der Lagrange- Dichte fungieren alle Komponenten von ψ und ψ undihre Ableitungen als getrennte Variablen,

L = L(ψ, ∂µψ, ψ, ∂µψ)

Die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung lautet für ein freies Teilchen

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ .

Aus der Euler- Lagrange Gleichung für ψ,

∂L∂ψ− ∂µ

∂L∂(∂µψ)

= 0

folgt mit∂L

∂(∂µψ)= 0,

∂L∂ψ

= (iγµ∂µ −m)ψ .

die Dirac- Gleichung für ψ:(iγµ∂µ −m)ψ = 0 .

Ebenso folgt aus der Euler- Lagrange Gleichung für ψ,

∂L∂ψ− ∂µ

∂L∂(∂µψ)

= 0

mit∂L

∂(∂µψ)= iψγµ,

∂L∂ψ

= −mψ

die Dirac- Gleichung für ψ:i∂µψγ

µ +mψ = 0.

also die adjungierte Gleichung zur Dirac- Gleichung.

19

1.7 Globale Symmetrien und Noether- Theorem

Invarianz unter Translation, Zeit-Verschiebung und Rotation führen zu den Erhal-tungssätzen für Impuls, Energie und Drehimpuls. Im Gegensatz zu diesen “äußeren”Symmetrien geht es im Folgenden um “innere” Symmetrien, deren Transformationenmit den Raum-Zeit Transformationen vertauschen. Für eine Wellenfunktion ψ(x)ist die “globale Phasentransformation” (=Eichtransformation, gauge transformation)definiert durch

ψ → ψ′ = eiα ψ

Global heist, das der Parameter α nicht von Ort und Zeit abhängen soll. SolcheTransformationen mit reellem Parameter α bilden die Gruppe U(1) der unitärenTransformationen mit einem kontinuierlichen Parameter. Da

∂µψ → ∂µψ′ = eiα ∂µψ

′

ψ → ψ′ = e−iα ψ

ist die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung invariant unter globalen Eichtransfor-mationen:

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ → L′ = ψ′(iγµ∂µ −m)ψ′

= e−iαψ(iγµ∂µ −m)eiαψ

= ψ(iγµ∂µ −m)ψ

= LDie Gruppe U(1) ist eine sog. Abel’sche Gruppe, da ihre Elemente vertauschen,U(α)U(β) = U(β)U(α). Unter einer infinitesimalen Transformation (α << 1),

ψ → ψ′ = (1 + iα)ψ ⇒ δψ = iαψ

∂µψ → ∂µψ′ = (1 + iα)∂µψ ⇒ δ(∂µψ) = iα ∂µψ

sollte sich die Lagrange- Dichte ebenfalls nicht ändern. Daher gilt für die Variationvon L (Produktregel):

0!

= δL =∂L∂ψ

δψ +∂L

∂(∂µψ)δ(∂µψ) + . . . (ψ)

= iα

(∂L∂ψ− ∂µ

∂L∂(∂µψ)

)︸ ︷︷ ︸

=0 Euler Lagrange

ψ + iα∂µ

(∂L

∂(∂µψ)ψ

)+ . . . (ψ)

Demnach muss der zweite Term zusammen mit dem entsprechenden Audruck für ψebenfalls verschwinden,

iα∂µ

(∂L

∂(∂µψ)ψ − ψ ∂L

∂(∂µψ)

)= −α∂µ

(ψγµψ

)= 0

20

Dies stellt die Kontinuitätsgleichung für einen erhaltenen 4-er Strom

jµ ∼ ψγµψ

dar, da∂µj

µ = ∂tj0 +∇~j = 0

ist, wobei j0 die Dichte und ~j die entsprechende Vektorstromdichte ist. Die gesamte“Ladung”

Q =

∫d3x j0

ist damit eine Erhaltungsgröße. Dies ist ein Beispiel für das Theorem von Noether:Aus Symmetrien folgen Erhaltungssätze. Aus der inneren Symmetrie folgt eine Kon-tinuitätsgleichung für einen 4-er Strom und Ladungs- Erhaltung.

21

2 Eigenschaften der Dirac-Gleichung

2.1 Lösungen der Dirac Gleichung

Lösungen der freien Dirac- Gleichungen

(iγµ∂µ −m)ψ = 0

sind vier Wellenfunktionen

ψ(x) = u(1,2)(p) e−ipµxµ

ψ(x) = v(1,2)(p) e+ipµxµ

wobei die jeweils zwei Spinoren für Teilchen u(1,2)(p) und Antiteilchen v(1,2)(p) nurvom 4-er Impuls pµ abhängen, aber nicht von den Ortskoordinaten xµ. Einsetzen indie Dirac-Gleichung ergibt Gleichungen für die Spinoren,

(γµpµ −m)u(1,2) = 0

(γµpµ +m)v(1,2) = 0

sowieu(1,2)(γµpµ −m) = 0

v(1,2)(γµpµ +m) = 0.

In der Dirac- Pauli Darstellung der γ- Matrizen ist

γµpµ −m =

(E −m −~σ~p~σ~p −E −m

)wobei E = +

√p2 +m2 immer positiv ist und

~σ~p =

(pz px − ipy

px + ipy −pz

), (~σ~p)2 = ~p2

Lösungen für die Spinoren der Teilchen (u) und Antiteilchen (v) sind daher

u(1,2)(p) = N

(χ(1,2)

~σ~pE+m

χ(1,2)

), v(1,2)(p) = ±N

(~σ~pE+m

χ(2,1)

χ(2,1)

)wobei in der letzten Spalte die zwei-komponentigen Spinoren

χ(1) =

(10

)χ(2) =

(01

)

22

nur zur Vereinfachung der Schreibweise eingeführt wurden. Explizit ausgeschriebenlauten die Spinoren

u(1)(p) = N

10pz

E+mpx+ipyE+m

u(2)(p) = N

01

px−ipyE+m−pzE+m

v(1)(p) = N

px−ipyE+m−pzE+m

01

v(2)(p) = −N

pz

E+mpx+ipyE+m

10

Die willkürliche Normierung wird zumeist zu N =

√E +m gesetzt. Bewegt sich das

Teilchen nur in +z Richtung, so lauten die Spinoren

u(1)(pz) = N

10p

E+m

0

u(2)(pz) = N

010−pE+m

v(1)(pz) = N

0−pE+m

01

v(2)(pz) = −N

p

E+m

0

10

Im Ruhesystem des Teilchens ist pµ = (m, 0, 0, 0) und die Spinoren lauten

u(1)(0) =√

2m

1000

, u(2)(0) =√

2m

0100

,

v(1)(0) =√

2m

0001

, v(2)(0) = −√

2m

0010

2.2 Spin und Helizität

Der Spin-Operator für die Dirac-Gleichung lautet

~S =1

2

(~σ 00 ~σ

).

23

Angewendet auf die Spinoren u(p), v(p) zeigt sich, dass diese im Allgemeinen keineEigenzustände des Spin-Operators sind. Für Teilchen, die sich in +z- Richtung be-wegen, sind die Spinoren u(pz), v(pz) jedoch Eigenzustände von Sz. Es wird daherder Helizitätsoperator definiert,

λ =~S · ~p|~p| =

1

2|~p|

(~σ~p 00 ~σ~p

)der die Spin-Komponente parallel zum Impuls ~p beschreibt.

Insbesondere ist für ein Teilchen mit Impuls in +z Richtung der Helizitätsoperatoreinfach

λz =1

2

1−1

1−1

,

so dassλzu

(1)(pz) = +1

2u(1)(pz) λzu

(2)(pz) = −1

2u(2)(pz)

Für ein Antiteilchen gilt:

λzv(1)(pz) = −1

2v(1)(pz) λzv

(2)(pz) = +1

2v(2)(pz)

Die Spinoren u(1,2) sind also Eigenfunktionen des Helizitätsoperators mit positiverHelizität 1/2 wenn der Spin in Bewegungsrichtung zeigt. Helizität ist bedeutsam,weil der Spin zur Drehimpulserhaltung beiträgt.

2.3 Chiralität

Es werden zwei Chiralitäts - Projektionsoperatoren

PL =1

2(1− γ5) und PR =

1

2(1 + γ5)

definiert. Nach Anwendung auf beliebige Spinoren entstehen

uL(p) = PLu(p) =1

2(1− γ5)u(p)

uR(p) = PRu(p) =1

2(1 + γ5)u(p)

linkshändige (“lefthanded”) Spinoren uL und rechtshändige (“righthanded”) SpinorenuR, so dass

u = uL + uR

24

Explizit ist

γ5 =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Wendet man die Chiralitätsoperatoren auf Helizitätszustände an, so findet man

PLu(1)(pz) =

1

2(1− γ5)u(1)(pz) =

1

2

√E +m (1− p

E +m)

10−10

PRu(1)(pz) =

1

2(1 + γ5)u(1)(pz) =

1

2

√E +m (1 +

p

E +m)

10−10

Im ultrarelativistischen Grenzfall, E >> m, E ≈ p, ist PLu(1) → 0 und PRu

(1) →u(1), d.h. Teilchen mit positiver Helizität sind nahezu rechtshändig und Teilchenmit negativer Helizität sind nahezu linkshändig. Dies ist aber falsch bei kleinerenGeschwindigkeiten.

Chiralität (oder Händigkeit) spielt eine große Rolle, weil sie für Vektorströme anjedem Vertex eines Feynman-Diagrams erhalten bleibt. Für den Strom

jµ = uγµu

in der QED gilt mit u = uL + uR und u = uL + uR, dass

uγµu = uLγµuL + uRγ

µuR.

Da der Strom in der QED insgesamt erhalten bleibt und keine gemischten TermeuRγ

µuL auftreten bedeutet dies, dass ein in einen Prozess einlaufendes linkshändigesTeilchen auch linkshändig die Reaktion verlässt, und ebenso für ein rechtshändigesTeilchen. Dies stellt eine wichtige Einschränkung für die erlaubten Helizitäts- Kom-binationen in Prozessen dar. In der QCD und der schwachen Wechselwirkung giltdies ebenso. Da die Chiralität für ultrarelativistische Teilchen auch die Helizität unddamit den Spin festlegt, folgen hieraus bereits Grundeigenschaften der Wirkungs-querschnitte.

2.4 C,P,T

Für den Operator der Ladungskonjugation C gilt

Cψ = ψC = iγ2ψ∗,

25

so dass gilt:Cu(1) = u(1)C = v(2), Cu(2) = u(1)C = v(1).

Die Paritätsoperator bewirkt eine Spiegelung der Raumkoordinaten, ~x→ −~x. SeineAuswirkungen auf Spinoren lassen sich durch die γ0 Matrix darstellen,

ψ′(x′) = γ0ψ(x)

Angewendet auf die Spinoren u, v ergibt sich

γ0u(1,2)(E, ~p) = +u(1,2)(E,−~p) γ0v(1,2)(E, ~p) = −v(1,2)(E,−~p)

Also haben Spin-1/2 Teilchen positive Parität und Spin 1/2 Antiteilchen negativeParität.

Bei der Zeitumkehr wird nur das Vorzeichen der Zeit umgekehrt, t → −t. FürSpinoren lässt sich das darstellen als

ψ′(t′) = iγ1γ3ψ∗(t).

2.5 Dimensionen der Felder und Bilinearformen

Die Lagrange-Dichte hat die Dimension GeV4. Aus dem Massenterm Lm = mψψ,dem kinetischen Term für das Vektorfeld F µµFµν und dem WechselwirkungstermqψγµψAµ kann man für die Dimensionen der Felder ablesen:

[ψ] = GeV3/2

[Aµ] = GeV[q] = 1

Das Forderung nach einer renormierbaren Theorie erfordert nun, dass in der Lagrange-Dichte keine Kopplungen mit negativer Potenz von GeV auftreten dürfen.

Wegen ihrer Dimension GeV dürfen also maximal vier Vektorfelder in einem Termder Lagrange-Dichte auftreten. Hingegen treten wegen ihrer Dimension GeV3/2 Dirac-Spinoren höchstens paarweise auf (Bilinearformen). Dies ist für die Lagrange-Dichteder QED tatsächlich der Fall.

Damit sind Alternativen zur QED bereits aus Gründen der Relativitätstheorieund der Konsistenz der Theorie (Renormierbarkeit) weitgehend eingeschränkt.

Es gibt aber neben den bereits in die Lagrange-Dichte eingeführten Termen auchandere Ausdrücke aus je zwei Spinoren, die für relativistisch invariante Terme ver-wendet werden könnten. Eine vollständige Liste ist:

26

Skalar ψψ 1 MassentermVektor ψγµψ 4 Strom der QEDTensor ψσµνψ 6Axial-Vektor ψγ5γµψ 4 negative ParitätPseudo-Skalar ψγ5ψ 1 negative Parität

mit σµν = i2

(γµγν − γνγµ). Die Zahlen geben an, wieviele unabhängige Bilinear-formen in jedem Ausdruck vorkommen; Skalare sind 1-dimensional, Vektoren 4-dimensional und antisymmetrische 4x4 Tesoren haben 6 unabhängige Elemente. Da-mit sind alle 16 möglichen Kombinationen zweier 4-Spinoren dargestellt.

Es zeigt sich, dass für die QED und die QCD, in denen die Parität erhalten ist, au-ßer dem Tensor keine andere Größen außer den bereits bekannten Massentermen undStrömen auftauchen dürfen. Für einen Tensor-Term gibt es aber keinen experimen-tellen Beleg. In der schwachen Wechselwirkung, die die Parität verletzt, werden auchAxial-Vektoren eine große Rolle spielen, da der Strom eines linkshändigen Spin-1/2Teilchens

uLγµuL ∼ ψγµψ − ψγ5γµψ

also als Vektor - Axialvektor Strom (V-A Theorie der schwachen Wechselwirkung)ausgedrückt werden kann.

27

3 Quanten-Elektrodynamik

3.1 Lokale Eichinvarianz

Die Quanten-Elektro-Dynamik (QED) ist die bis jetzt gültige Theorie zur Beschrei-bung aller elektromagnetischen Prozesse. Theoretisch wird sie motiviert durch eineVerallgemeinerung der globalen Eichsymmetrie zu einer lokalen Eichsymmetrie.

Während die Schrödinger- Gleichung, die Klein-Gordon- Gleichung und die Dirac-Gleichung bereits invariant unter globalen Eichtransformationen sind (siehe Ab-schnitt 1.7), folgt aus der Forderung nach lokaler Eichinvarianz

• die Existenz von neuen Vektorfeldern (z.B. dem Photon)

• die Existenz von neuen Wechselwirkungen zwischen diesen Vektorfeldern undTeilchen mit Ladung.

Abbildung 6: Symbolische Darstellung einer Phasentransformation als Rotation einerKugeloberfläche.Links: Globale Transformation, entsprechend einer Rotation der ganzen Kugel umden gleichen Winkel, also keine Deformation.Rechts: Lokale Transformation, entsprechend einer Verschiebung von Punkten un-tereinander mit Deformationen, die elastische Kräfte erzeugen.

Im Folgenden wird lokale Eichinvarianz für U(1) Phasentransformationen diskutiert.Bei der globalen Eichinvarianz war die Phase α eine konstante, also unabhängig

von Ort und Zeit. Observablen wie < Ψ|Ψ > sind aber auch invariant unter lokalenEichtransformationen, bei der die Phase von Ort und Zeit abhängt. Allgemein soll-ten physikalische Gesetze vermutlich nicht globalen Symmetrien unterliegen, da derenTransformationen überall gleichzeitig wirken müssten, was dem Prinzip der Kausali-tät wiederspricht. Es wird daher postuliert, dass die Eichsymmetrie U(1) auch lokalgelten soll, d.h. eine kontinuierliche Funktion von Raum und Zeit sein kann:

ψ(x) → ψ′(x) = eiqα(x)ψ(x)

28

ψ(x) → ψ′(x) = e−iqα(x)ψ(x).

Hier ist q eine zunächst beliebige, reelle Konstante und α(x) = α(t, x1, x2, x3) eine re-elle Funktion. Für ein freies Spin 1/2 Teilchen ist damit die transformierte Lagrange-Dichte der Dirac- Gleichung

L′ = ψ′ iγµ∂µ ψ′ −mψ′ψ′

Der Massenterm ist offenbar eich-invariant,

mψ′ψ′ = mψψ,

während für die Ableitung

∂µψ′ = eiqα(x) (∂µψ + iq ψ ∂µα(x))

gilt. Damit wird die Lagrange- Dichte zu

L′ = ψ′ iγµ∂µ ψ′ −mψ′ψ′

= e−iqα(x) ψ iγµ eiqα(x) (∂µψ + iq ψ ∂µα(x))−mψψ= ψ iγµ∂µ ψ −mψψ − q ψγµψ ∂µα(x)

= L − q ψγµψ ∂µα(x)

Damit ist die Lagrange- Dichte eines freien Teilchens nicht invariant unter lokalenEichtransformationen, da die Ableitung ∂µψ nicht invariant ist.

Damit das Postulat der lokalen Eichinvarianz erfüllt wird muss die Lagrange-Dichte offenbar verändert werden. Dies kann erreicht werden, wenn man anstelle dernormalen Ableitung ∂µψ eine “kovariante” Ableitung Dµψ einführt, die sich untereiner Eichtransformation verhalten soll wie:

Dµψ → D′µψ′ = eiqα(x)Dµψ

Dies kann nur erfüllt werden, wenn man ein neues Vektorfeld Aµ(x) einführt und diekovariante Ableitung definiert als

Dµ ≡ ∂µ + iqAµ(x),

wobei sich das Vektorfeld unter der gleichen Eichtransformation verhalten soll wie

Aµ → A′µ(x) = Aµ(x)− ∂µα(x)

Damit ist die neue (noch nicht endgültige) Lagrange- Dichte

L = ψ iγµDµ ψ −mψψ= ψ iγµ∂µ ψ︸ ︷︷ ︸

kin.Term

− mψψ︸ ︷︷ ︸Massen−Term

− q ψγµ ψAµ︸ ︷︷ ︸Neue Wechselwirkung

29

e

e

γ

Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz verlangt also ein neues Vektorfeld undsagt die Form der neuen Wechselwirkung voraus. Später werden wir für die QEDidentifizieren:

• das Vektorfeld Aµ entspricht dem Photon,

• das Dirac- Feld ψ entspricht z.B. einem Elektron (oder Myon, Tau, Quark),

• die Konstante q entspricht der Kopplung zwischen Photon und z.B. dem Elek-tron, d.h. der elektrischen Ladung. Diese ist z.B. für ein Elektron die Elemen-tarladung, q = −e, die mit der Feinstrukturkonstanten über

αem =e2

4π≈ 1

137.036

zusammenhängt, so dass im hier verwendeten Einheitensystem

e ≈ 0, 3

Es muß noch bewiesen werden, dass die neue Lagrange- Dichte eichinvarinat ist.Es gilt

D′µψ′ = (∂µ + iqA′µ)ψ′

= ∂µ(eiqαψ

)+ iq (Aµ − ∂µα) eiqαψ

= eiqα (∂µψ + iqψ∂µα + iqAµψ − iqψ∂µα)

= eiqαDµψ

Damit ist auch ψiγµDµψ invariant, und damit auch die gesamte Lagrange- Dichteund die Bewegungsgleichungen.

3.2 Vektorfelder

3.2.1 Masse und kinetische Energie

Genau wie das Dirac- Feld ψ(x) muss das Vektorfeld Aµ(x) als neuer Freiheitsgrad derTheorie aufgefasst werden, kann also auch Energie aufnehmen und sollte demnach

30

mit Massen- Term und kinetischem Term in der Lagrange- Dichte auftreten. ImFolgenden werden die Eigenschaften des freien Vektorfeldes untersucht.

Ein Massenterm der Form m2AA

µAµ ist jedoch nicht eich- invariant,

m2AA′µA′µ = m2

A (AµAµ + 2Aµ∂µα + ∂µα∂µα) .

• Das Vektorfeld muss masselos sein2.

Ein kinetischer Term für Aµ muss Ableitungen der Form ∂µAν beinhalten, dieeinzeln nicht eich- invariant sind. Für den Feldstärke- Tensor

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ,

gilt jedoch

F ′µν = ∂µA′ν − ∂νA′µ

= ∂µ(Aν + ∂να)− ∂ν(Aµ + ∂µα)

= Fµν

Eine Lorentz- invariante Lagrange- Dichte für das freie Vektorfeld ist demnach

LA = −1

4F µνFµν .

Aus den Euler- Lagrange Gleichungen für jede einzelne Komponente des Feldes Aα,

∂LA∂Aα

− ∂β∂LA

∂(∂βAα)= 0

folgt mit

∂LA∂Aα

= 0,∂(∂µAν)

∂(∂βAα)= δβµ δαν und

∂(∂µAν)

∂(∂βAα)= gβµ gαν

die Bewegungsgleichung für das freie Vektorfeld (Umbenennung der Indizes):

∂µFµν = 0.

2In der Tat sind das Photon der U(1) und die Gluonen der SU(3) masselos. Die schwachenEichbosonen W±, Z0 der SU(2) erhalten jedoch durch die “spontane” Symmetrie- Brechung imHiggs- Mechanismus eine Masse.

31

3.2.2 Spin und Polarisation

Durch eine Eichtransformation

Aµ → Aµ + ∂µα

lässt sich bei geeigneter Wahl von α erreichen, dass die Lorentz- Bedingung erfülltist,

∂µAµ = 0.

Für die Bewegungsgleichungen des freien Bosons

∂µFµν = Aµ − ∂µ∂νAµ = 0

folgt damit die WellengleichungAµ = 0

mit einer ebenen Welle als Lösung,

Aµ = εµ eipνxν

mit dem Polarisationsvektor εµ. Mit ∂µAµ = 0 folgt daraus

pνεν = 0.

Die ursprünglich 4 möglichen Polarisationszuständen εµ erfüllen also eine Zwangs-bedingung, so dass durch die Eich- Freiheit de facto eine Komponente wegfällt. Dieverbleibenden 3 Freiheitsgrade entsprechen den drei Einstellungen des Spins einesSpin-1 Teilchens.

Auch nach einer weiteren Eich- Transformation

A′µ = Aµ + ∂µα

bleibt die Lorentz- Bedingung ∂µA′µ = 0 erfüllt, falls α = 0. Für ein masseloses,reelles (d.h. nicht virtuelles) Teilchen ist dies möglich, denn als Lösung kann

α = iae−ipαxα

gewählt werden, denn es gilt pµpµ = m2A = 0. Aus diesen Lösungen ergibt sich mit

A′µ = Aµ + ∂µα, dass

ε′µ = εµ + apµ

Wählt man nun a so, dass ε0 = 0, so folgt mit pνεν = 0, dass

~p · ~ε = 0,

32

d.h. der Polarisationsvektor steht senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. Für mas-selose Vektorfelder ist also eine Polarisationsrichtung nicht realisiert; das Feld isttransversal polarisiert. Zeigt der Impuls in z Richtung, so gilt

~p = (0, 0, pz)

~ε1 = (1, 0, 0)

~ε2 = (0, 1, 0)

Daraus lassen sich zirkular polarisierte Felder konstruieren, die den Spin-Einstellungenparallel (Helizität +1) und anti- parallel (Helizität -1) zur Bewegungsrichtung ent-sprechen,

~ε(λ = +1) = − 1√2

(1, i, 0)

~ε(λ = −1) =1√2

(1,−i, 0)

Insgesamt hat ein Vektorfeld also 3 Polarisationszustände, wobei allerdings bei mas-selosen (nicht virtuellen) Vektorfeldern nur zwei realisiert sind.

3.3 Maxwell- Gleichungen

Insgesamt ist die eich- invariante Lagrange- Dichte eines Dirac- Teilchens, einschließ-lich kinetischer Energie für das Vektorfeld,

L = ψ iγµDµ ψ −mψψ −1

4F µνFµν

= ψ iγµ∂µ ψ︸ ︷︷ ︸kin. Term ψ

− mψψ︸ ︷︷ ︸Massen−Term

− q ψγµ ψAµ︸ ︷︷ ︸Neue Wechselwirkung

− 1

4F µνFµν︸ ︷︷ ︸

kin. Term Aµ

Aus den Euler- Lagrange Gleichungen für ψ und Aµ folgen die Bewegungsgleichungen

∂µFµν = jν

(iγµ (∂µ + iqAµ)−m)ψ = 0

Hier erscheint jetzt die Stromdichte jν als Quelle für das Vektorfeld auf der rechtenSeite, da im Gegensatz zur Lagrangedichte des freien Feldes (Abschnitt 3.2.1) dieAbleitung

∂L∂Aα

= q ψγα ψ = jα

nicht verschwindet, sondern bis auf den Faktor q gerade die Stromdichte jν =(ρ,~j)

des Dirac-Teilchens ist (siehe Abschnitt 1.7). Die hier beschriebene Lagrangedichte

33

für eine lokale U(1) Eichinvarianz ergibt daher Bewegungsgleichungen, die identischdenen der Elektrodynamik sind. Wir identifizieren daher die Stromdichte jν mit derelektrischen Stromdichte, die Konstante q mit der elektrischen Ladung des Dirac-Teilchens und das Feld Aµ mit dem 4-er Potential der Elektrodynamik,

Aµ =(V, ~A

).

Das elektrische Feld ~E und das magnetische Feld ~B ergeben sich aus dem skalarenPotential V und dem Vektorpotential ~A durch

~E = −∇V − ∂t ~A~B = ∇× ~A.

In 4-Vektor Notation, ∂µ = (∂t,−∇), ist dies z.B. für i = 1, j = 2, k = 3 gleichbe-deutend mit

Ei = ∂iA0 − ∂0Ai

Bi = ∂kAj − ∂jAk.

Damit ergibt sich für den antisymmetrischen Feldstärke-Tensor

F µν = ∂µAν − ∂νAµ =

0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz By

Ey Bz 0 −Bx

Ez −By Bx 0

Die homogenen Maxwell- Gleichungen

∇ ~B = 0 ∇× E + ∂tB = 0

sind durch die Darstellung der Felder als Ableitungen des 4-er Potentials automa-tisch erfüllt. Die inhomogenen Maxwell- Geichungen ergeben sich aus der erstenBewegungsgleichung zu ∂µF µν = jν zu

∇ ~E = ρ ν = 0

∇×B − ∂tE = ~j ν = 1, 2, 3

Die zweite Bewegungsgleichung (iγµ (∂µ + iqAµ)−m)ψ = 0 gibt die Wirkung deselektromagnetischen Feldes auf das Dirac- Teilchen an. Ersetzt man den Impulsope-rator i∂µ durch den Impuls pµ so erkennt man den typischen Ausdruck p − qA fürdie minimale Kopplung eines elektromagnetischen Feldes an ein Teilchen mit Impulsp.

34

Insgesamt folgern wir also aus der Lorentz-Invarianz der speziellen Relativitätstheo-rie und aus der globalen Phaseninvarianz der Quantenmechanik die Erhaltung einerLadung und eines Teilchen-Stroms. Fordert man außerdem lokale Phaseninvarianz,so ergibt sich die Existenz eines Vektorfeldes, das masselos ist, Spin 1 hat und mit ei-ner konstanten Ladung an den Vektorstrom des Teilchens koppelt. Man kann jedochnicht die Existenz des geladenen Teilchens selber oder die Größe seiner elektrischenLadung ableiten. Die Ladungen und die Massen der Fermionen sind demnach Natur-konstanten.

35

3.4 Übersicht der elementaren QED-Prozesse1.) s -Kanal: Paar-Vernichtung und Paar-Erzeugunge−

e+

−

+

se+e− → µ+µ−

¯|M |2 ≈ 2e4 u2+t2

s2≈ (1 + cos2Θ)

für unpolarisierte e−e+

symmetrisch in cosΘ∗

2.) t -Kanal: ’Periphere’ Streuung

− −

e−e−

te−µ− → e−µ−

¯|M |2 ≈ 2e4 s2+u2

t2

Peak in Vorwärts-Richtung

3.) t und s -Kanal: Bhabha - Streuung

e−

e+

e−

e+ e+

e−

+

e−

e+

e−e+ → e−e+

¯|M |2 ≈ 2e4(s2+u2

t2+ 2u2

t·s + u2+t2

s2

)Zwei Diagramme mit gleichemAnfangs- und Endzustand→ Interferenz von zwei Feynman-Amplituden(|M1 +M2|2)

4.) t und u -Kanal: Möller - Streuung: identische Fermionen

e−

e−

e−

e−

e−

e−

+

e−

e−

e−e− → e−e−

¯|M |2 ≈ 2e4(s2+u2

t2+ 2s2

t·u + s2+t2

u2

)Zwei Diagramme mit identischen Teil-chen von verschiedenen Vertizes→ negative Interferenz (|M1 −M2|2)Peak in Vorwärts- und Rückwärts-Richtung

36

Abbildung 7: Winkelverteilungen der elementaren QED Prozesse. Gezeigt ist dσ/dΩin willkürlichen Einheiten.

37

4 Feynman- DiagrammeDie Beschreibung von Streuprozessen in der Teilchenphysik lässt sich charakterisierendurch:

• Die Kinematik der Teilchen im Anfangs- und Endzustand. Diese wird beschrie-ben durch die Mandelstam-Variablen.

• Die Winkelverteilung der Reaktionsprodukte im Schwerpunktssystem. Diesekann oft aus Argumenten zur a) Chrialitätserhaltung und b) Drehimpulserhal-tung verstanden werden.

• Die absolute Wahrscheinlichkeit des Prozesses, d.h. dem Wirkungsquerschnitt.Hierzu muss der Phasenraum der Reaktionsprodukte und das MatrixelementMberechnet werden. Letzteres wird näherungsweise durch Feynman-Diagrammeberechnet.

Insbesondere für 2 → 2 Reaktionen, bei denen die Massen aller vier Teilchen unddie Schwerpunktsenergie bekannt sind, ist der einzige Freiheitsgrad der Reaktion derStreuwinkel θ∗.

4.1 Mandelstam - Variablen

Wirkungsquerschnitte müssen Lorentz-invariant sein und von der Kinematik der ein-und auslaufenden Teilchen anhängen. Daher muß aus den 4-er Vektoren der Teilchenein vollständiger Satz Lorentz-invarianter Skalarprodukte gebildet werden und nurvon diesen darf der Wirkungsquerschnitt abhängen. Für 2→ 2 Prozesse mit den vier4-er Vektoren p1, p2, p3, p4 gibt es insgesamt 10 Möglichkeiten für Skalarprodukte,wovon wegen Energie und Impulserhaltung aber nur sechs unabhängig sind. Dazu

k

p

k’

p’

2−> 2 Prozess

p1 + p2 = p3 + p4

gehören die 4 Massen

p2i = pµi pi,µ = m2

i (i = 1, 2, 3, 4)

sowie zwei weitere unabhängige Kombinationen. Hierfür werden konventionell zweider drei “Mandelstam-Variablen”

s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)2

38

t = (p1 − p3)2 = (p4 − p2)2

u = (p1 − p4)2 = (p3 − p2)2

verwendet, die über die Beziehung

s+ t+ u =∑i=1,..4

m2i

verknüpft sind. Offenbar ist√s = ECMS die Schwerpunktsenergie, während t und u

den 4-er Impulsübertrag zwischen ein-und auslaufenden Teilchen beschreiben.Es giltweiterhin

s = (p1 + p2)2 = m21 +m2

2 +2p1p2 ≈ 2p1p2 ≈ 2p3p4

t = (p1 − p3)2 = m21 +m2

3 −2p1p3 ≈ −2p1p3 ≈ −2p2p4

u = (p1 − p4)2 = m21 +m2

4 −2p1p4 ≈ −2p1p4 ≈ −2p2p3

wobei die letzten beiden Spalten nur in ultra-relativistischer Näherung relevant sind(m2

i << s, t, u). Insbesondere gilt in dieser Näherung im Schwerpunktssystem bezie-hungsweise im “Fixed-Target” System (Teilchen 2 in Ruhe),

CMS Fixed Target~p∗1 = −~p∗2 ~p′2 = 0

s ≈ 2p1p2 = 2(E1E2 − ~p1~p2) ≈ 4E∗1E∗2 ≈ 2m2E

′1

t ≈ −2p1p3 = −2(E1E3 − ~p1~p3) ≈ − s2(1− cosΘ∗) ≈ −2m2(E ′1 − E ′3)

u ≈ −2p1p4 = −2(E1E4 − ~p1~p4) ≈ − s2(1 + cosΘ∗) ≈ −2m2E

′3

Bedeutsam sind die Mandelstam-Variablen auch, weil die Propagatoren der ausge-tauschten Teilchen in Feynman-Diagrammen direkt mit s, t, u beschrieben und damitklassifiziert werden können. Als Konvention werden die gleichartigen Teilchenpaa-

k

p’

k’s−Kanal t−Kanalk k’

p p’

k’

p p’

k u−Kanal

pz.B. e+e− −> µ+µ− e−µ−−>e−µ− vee

−−>e−ve

re im Anfangszustand mit (1, 3) beziehungsweise (2, 4) bezeichnet. Der u- Kanal

39

tritt in der QED nur auf, wenn bei gleichen Teilchen im Anfangs- und Endzustand(z.B. e−e− → e−e−) nicht unterschieden werden kann, welches Teilchen von welchemVertex stammt. In der schwachen Wechselwirkung können anders als in der QED

e−

e−

e−

e−+

e−

e−

e−

e−

e−e− → e−e−

auch Teilchensorten ineinander umgewandelt werden, so dass der u Kanal z.B. fürνee− → e−νe bedeutsam ist.

4.2 Helizitätsamplituden

Einfache Abschätzungen vonWirkungsquerschnitten kann man bereits erhalten, wennman nur die Erhaltung der Chiralität am Vertex beachtet. In Abschnitt 2.3 wurdegezeigt, dass sich der Strom der QED in rein linkshändige und rein rechtshändigeKomponenten zerlegen lässt,

uγµu = uLγµuL + uRγ

µuR.

Da Photonen nur an diesen Strom koppeln kann man daher auch Wirkungsquer-schnitte in solche Faktoren zerlegen. Im ultrarelativistischen Limes, E >> m, werdenChiralität und Helizität gleich,

uL = u(2) uR = u(1)

so dass auch die Spin-Richtungen festliegen. Aus der Drehimpulserhaltung folgt danndie Winkelverteilung der Wirkungsquerschnitte.

Als Beispiel betrachten wir den Prozess

e+Le−R → µ+

Rµ−L

im Schwerpunktssystem (CMS).Für Drehimpulszustände |j,m〉 gilt allgemein

J2|j,m〉 = j(j + 1)|j,m〉Jz|j,m〉 = m|j,m〉

j = 0,1

2, 1, ...

m = −j.− j + 1, ...., j − 1, j

40

Im Anfangszustand ist mit der eingezeichneten Wahl der z-Achse

e− : |j1, m1〉 = |12, +

1

2〉

e+ : |j2, m2〉 = |12, +

1

2〉.

für die gesamte z-Koponente also

m = m1 +m2 = 1.

Ebenso gilt für den Endzustand bezüglich der Achse z′ der Auslaufenden Teilchen:

m′ = −1

Für den Streuwinkel Θ zwischen Anfangs- und Endzustand gilt nun:

• Für Θ = 0 ⇒ z = z′ ist die Drehimpulserhaltung für Jz verletzt, dam 6= m′.Der Prozess ist also verboten.

• Für Θ = π ⇒ z = −z′ ist der Drehimpuls erhalten, der Prozess dahererlaubt.

Der Winkel Θ ist also nicht beliebig. Die Wahrscheinlichkeit verschiedener Θ erhältman, wenn man das System des Anfangszustands in die Richtung des Endzustandsdreht. Bei Rotation von |j,m〉 zum Beispiel um die y-Achse gilt

djmm′(Θ) := 〈j,m′|e−iΘJy |j,m〉.

Für das Matrixelement M des Prozesses muß also gelten:

M ∼ djmm′

41

Die d- Funktionen sind nur vom Spin abhängig, gelten also für alle Prozesse mitgleicher Spin- Konfiguration. Mit der expliziten Form von Jy = 1

2σy folgt

d11−1 = d1

−11 =1

2(1− cosΘ) ≈ − t

s,

mit dem erwarteten Verhalten für Θ = 0 oder π. Hier sind s, t, u Mandelstamm-Variablen. Bei Umkehrung der Spins im Endzustand

e+Le−R → µ+

Lµ−R

gilt

d111 = d1

−1−1 =1

2(1 + cosΘ) ≈ −u

s.

Für den unpolarisierten (L und R Zustände gleich häufig) Prozess

e+e− → µ+µ−

sind wegen Chiralitätserhaltung außer den genannten Amplituden nur noch

e+Re−L → µ+

Lµ−R (≈ d1

−11)

e+Re−L → µ+

Rµ−L (≈ d1

−1−1)

möglich. Addiert man alle Amplituden quadratisch auf, so erhält man

¯|M |2 ∼ (−us

)2 + (− ts

)2 =u2 + t2

s2

Im ultrarelativistischen Limes ist dies das gesamte Matrixelement für unpolarisierteStreuung und identisch der vollständigen Berchnung über die Feynman- Regeln.

4.3 Propagatoren

4.3.1 Propagator für Fermionen

In der QED muss bei einem Streuprozess für ein Dirac-Teilchen die Gleichung

(iγµ∂µ −m)ψ(x) = qγµAµ(x)ψ(x) = V (x)ψ(x)

gelöst werden. Zur Bestimmung von ψ(x) wird zunächst eine Lösung der Gleichung

(iγµ∂µ −m)D(x− x′) = δ4(x− x′)gesucht. Hier ist die Green’sche Funktion D(x − x′) die Lösung für ψ(x) im Falleeines punktförmigen Potentials an der Stelle x′. Die allgemeine Lösung für beliebigePotentiale folgt dann aus

ψ(x) =

∫d4x′ D(x− x′) V (x′) ψ(x′)

42

wie man durch Einsetzen zeigen kann3.Da hier die rechte Seite auch von ψ(x) abhängt ist die Lösung nicht einfach

sondern muss durch Iteration (Störungsrechnung) bestimmt werden. Im Allgemeinenkann man damit jedoch nur Probleme lösen, bei denen die Störung klein ist.

Die Green’sche Funktion wird mittels einer Fourier-Transformation berechnet,

D(x− x′) =1

(2π)4

∫d4p e−ip(x−x

′) D(p).

Setzt man dies in die Definitionsgleichung für D(x− x′) ein,

(iγµ∂µ −m)D(x− x′) = δ4(x− x′)so erhält man wegen

1

(2π)4

∫d4p (iγµ∂µ −m)D(p)e−ip(x−x

′) = δ4(x− x′) =1

(2π)4

∫d4p e−ip(x−x

′)

für die Fourier-Transformierte

(γµpµ −m)D(p) = 1.

Durch Multiplikation von links mit (γνpν + m) erhält man wegen γνpν γµpµ = pµpµals Lösung

D(p) =γµpµ +m

pµpµ −m2

Dieser Ausdruck hat Polstellen bei

p2 −m2 = p20 − ~p2 −m2 = (p0 − Ep)(p0 + Ep) = 0,

(hier soll Ep =√~p2 +m2 sein), also dann, wenn das Dirac-Teilchen reell ist. Es wird

daher ein kleiner Imaginärteil iε hinzugefügt, um Integrationen über die GreenscheFunktion zu erlauben,

D(p) =γµpµ +m

pµpµ −m2 + iε

3Beachtet man, dass die Integration über x′ läuft und die Ableitung ∂µ bezüglich x ist, so kannman beide vertauschen:

(iγµ∂µ −m)ψ(x) = (iγµ∂µ −m)

∫d4x′ D(x− x′) V (x′) ψ(x′)

=

∫d4x′ (iγµ∂µ −m) D(x− x′) V (x′) ψ(x′)

=

∫d4x′ δ4(x− x′) V (x′) ψ(x′)

= V (x) ψ(x)

43

Am Ende einer Berechnung muss natürlich der Limes ε→ 0 verwendet werden. DieseFourier-Transformierte der Green’schen Funktion ist der Propagator eines Dirac-Teilchens. Er gilt für alle Wechselwirkungen, nicht nur für die QED.

Die Rücktransformation zu D(x− x′) erfolgt durch Integration:

D(x− x′) =1

(2π)4

∫d4p e−ip(x−x

′) γµpµ +m

pµpµ −m2 + iε

Insbesondere findet man für die Beziehung zwischen den Wellenfunktionen an ver-schiedenen Orten x und x′ (siehe Anhang C.4 ):

Ψ(x) = i

∫d~x′ D(x− x′) γ0 Ψ(x′)

Ψ(x′) = i

∫d~x Ψ(x) γ0D(x− x′)

Aus Kausalitätsgründen gilt diese Gleichung für t > t′.

4.3.2 Propagator für das Photon

Mit der Lorentz-Bedingung ∂αAα = 0 vereinfacht sich die Maxwell-Gleichung

∂αFαν = jν

zu∂α∂αA

ν = jν .

Mit dem Ansatz für die Green’sche Funktion

∂α∂α Dµν(x− x′) = gµν δ4(x− x′)

ergeben sich als Lösungen für Aµ,

Aµ(x) =

∫d4x′Dµν(x− x′)jν(x′),

denn daraus folgt

∂α∂αAµ(x) =

∫d4x′ ∂α∂αD

µν(x− x′)jν(x′) = jµ(x)

Benutzt man die Fourier-Transformation

Dµν(x− x′) =1

(2π)4

∫d4q Dµν(q) e−iq(x−x

′),

44

so folgt aus

∂α∂αDµν(x− x′) =

1

(2π)4

∫d4q Dµν(q)(−q2) e−iq(x−x

′) = gµν δ4(x− x′)

und Vergleich mit der Exponentialdarstellung der δ- Funktion,

Dµν(q) =−gµνq2 + iε

Dies ist der Propagator für das Photon.

4.3.3 Propagator für Spin-0 und Spin-1 Teilchen

Die bisher abgeleiteten Propagatoren für Spin-1/2 Teilchen und masselose Spin- 1Teilchen lassen sich auch direkt aus den Bewegungsgleichungen für freie Felder ab-lesen, wenn man den Impuls-Operator durch den Impuls ersetzt, i∂µ → pµ, undsymbolisch schreibt:Dirac-Gl.:

(γµpµ −m)ψ = 0

D(p) =1

γµpµ −m=

γµpµ +m

pµpµ −m2 + iε

Analog erhält man für den Propagator eines Spin-0 Teilchens Klein-Gordon-Gl.:

(−p2 +m2) Φ = 0

D(p) =i

p2 −m2

Für ein Spin-1 Teilchen ohne Masse gilt die Maxwell-Gl.:

q2Aν = 0 (q = Impuls des γ)

Dµν(q) =−gµνq2 + iε

Für ein Spin-1 Teilchen mit Masse gilt die Proca-Gl.:(∂ν∂ν +m2

)W µ − ∂µ∂νWν = 0

Dµν(q) =−gµν + qµqν/m2

q2 −m2 + iε

45

4.4 Störungsrechnung

Aus der Beschreibung der Quanten-Feldtheorie für Fermionen und Bosonen hat R.Feynman einfache Regeln abgeleitet, die sich für die Berechnung von Teilchenprozes-sen aller Art anwenden lassen. Grundlage hierfür ist die Störungsrechnung, bei derjeder Prozess durch eine Entwicklungsreihe beschrieben wird, die jeweils durch einenSatz von Feynnman- Diagrammen dargestellt werden können. Im Allgemeinen kannman damit jedoch nur Probleme lösen, bei denen die Störung klein ist.

Als Beispiel laufe ein Teilchen mit der Wellenfunktion ψi auf ein Streuzentrumzu. Die gestreute Wellenfunktion sei

ψs = Sψi

mit der Streumatrix S. Allgemein kann man ψs nach ebenen Wellen entwickeln. Füreinen bestimmten Endzustand, d.h. eine bestimmte Wellenfunktion der auslaufendenWelle ψf , ist das Übergangsmatrixelement gegeben durch

Sfi = < ψf |ψs >=< ψf |S|ψi > (2)

=

∫d~x ψ†f (x)ψs(x) (3)

wobei S als Streumatrix bezeichnet wird.Anstelle der exakten Formel

ψs(x) =

∫d4x′ D(x− x′) V (x′) ψs(x

′)

mit dem Dirac-Propagator D muss eine Näherung verwendet werden. Sehr weit vordem Streuzentrum sollte die einfallende Welle die Lösung der freien Dirac-Gleichungsein, ψi(x). Man kann daher in erster Näherung für kleine Störungen unter demIntegral die einlaufende Welle ψi in das Integral zur Berechnung von ψs(x) einsetzen:

ψs(x) ≈ ψ(1)(x) = ψi(x) + Störung× ψi(x)

= ψi(x) +

∫d4x′ D(x− x′) V (x′) ψi(x

′)

und so weiter für höhere Ordnungen der Störungsrechnung. In nächster Näherungsetzt man das Ergebnis ψ(1) als verbesserte Lösung in das Integral für ψ(2) ein:

ψs(x) ≈ ψ(2)(x) = ψi(x) + Störung× ψ(1)(x)

= ψi(x) + Störung× ψi(x) + Störung× Störung× ψi(x)

= ψi(x) +

∫d4x′ D(x− x′) V (x′) ψ(1)(x′)

= ψi(x) +

∫d4x′ D(x− x′) V (x′) ψi(x

′)

+

∫d4x′

∫d4x′′ D(x− x′) V (x′) D(x′ − x′′) V (x′′) ψi(x

′′)

46

Im Folgenden betrachten wir nur die Näherung erster Ordnung (Born’sche Nähe-rung), ψs ≈ ψ(1). Damit findet man für das Übergangsmatrixelement:

Sfi =

∫d~x ψ†f (x)ψs(x)

= δfi +

∫d4x′

∫d~x ψ†f (x) D(x− x′) V (x′) ψi(x

′)

= δfi +

∫d4x′

∫d~x ψf (x) γ0 D(x− x′) V (x′) ψi(x

′)

= δfi − i∫d4x′ ψf (x

′) V (x′) ψi(x′)

wobei γ0γ0 = 1 und ψ = ψ†γ0 und im letzten Schritt eine Eigenschaft des Dirac-propagator benutzt wurde (s.o.). Im Falle der QED ist die Störung gegeben durch

V (x′)ψ(x′) = q γµAµ(x′)ψ(x′)

so dass

Sfi = δfi − i∫d4x′ q ψf (x

′) γµ ψi(x′)Aµ(x′)

Der erste Term, δfi, entspricht dabei einer Welle, die nicht gestreut wurde, und istdaher nicht weiter von Interesse. Der zweite Term beinhaltet

jµ = q ψf γµ ψi

Diese Form eines Stroms, der im Gegensatz zur früher definierten Form zwei Wellenmit unterschiedlichen Impulsen kombiniert, ist im Folgenden das zentrale Elementder Feynmanregeln für Fermionen.

4.5 Matrixelement

Wir betrachten die Streuung zweier Fermionen aneinander, wobei das Übergangsma-trixelement als Funktion der vorgegebenen Impulse der einlaufenden Teilchen (p1, p2)und der auslaufenden Teilchen (p3, p4) berechnet werden soll.

e−(p1) µ−(p2)→ e−(p3) µ−(p4)

μ−

e−e−

μ−

γ

Die Übergangsmatrixelement in 1. Ordnung ergibt sich, wenn man das Photon-Feld berechnet, das aufgrund eines Stroms jν(x′) entsteht, es zum Ort x propagiert

47

und dort auf einen zweiten Strom jµ(x) wirken lässt. Da die Ströme aus ausgedehntenWellenfunktionen bestehen integriert man dabei über alle Orts-Zeit Koordinaten xund x′.

Der Strom des Elektrons ist

jνe (x′) = qeψ3(x′) γν ψ1(x′)

wobei ψ1 die Wellenfunktion des einlaufenden Elektrons mit Impuls p1 bezeichnensoll, etc.. Das Photon-Feld dieses Stroms, berechnet am Ort x, ergibt sich dann ausdem Photon-Propagator zu

Aµ(x) =

∫d4x′Dµν(x− x′) je,ν(x′).

Das Übergangsmatrixelement ergibt sich aus der Anwendung dieses Potentials aufden Myon-Strom,

S(1)fi = −iqm

∫d4x ψ4(x) γµA

µ(x)ψ2(x).

Hier ist qm die Ladung des Myons. In unendlicher Entfernung voneinander sind dieein- und auslaufenden Teilchen durch ebene Wellen gegeben,

ψ1(x′) = u1 e−ip1x′ ψ3(x′) = u3 e

−ip3x′

ψ2(x) = u2 e−ip2x ψ4(x) = u4 e

−ip4x

Setzt man dies zusammen mit der Fourier-Darstellung des Propagators des Photons

Dµν(x− x′) =1

(2π)4

∫d4q Dµν(q) e−iq(x−x

′)

=1

(2π)4

∫d4q

−gµνq2 + iε

e−iq(x−x′),

in die Gleichung für das Übergangsmatrixelement ein, so folgt

−S(1)fi

= iqm

∫d4x ψ4(x) γµA

µ(x)ψ2(x)

= iqm

∫d4x u4 e

ip4x γµ

∫d4x′

1

(2π)4

∫d4q

−gµνq2 + iε

e−iq(x−x′)(qeu3e

ip3x′γνu1e−ip1x′

)u2e−ip2x

=i

(2π)4

∫d4q

∫d4x ei(p4−q−p2)x

∫d4x′ ei(p3+q−p1)x′ qm u4γµu2

−gµνq2 + iε

qe u3γνu1

= i(2π)4

∫d4q δ4(p4 − q − p2) δ4(p3 + q − p1) qm u4γµu2 ·

−gµνq2 + iε

· qe u3γνu1.

48

Hierbei wurden die e-Funktionen so zusammengefasst, dass die Integrale über x, x′jeweils δ Funktionen ergeben. Da q der 4-er Impuls des Photons ist bedeutet dieIntegration über d4q, dass alle möglichen Impulse des Photons berücksichtigt werden.Allerdings bedeuten die beiden δ-Funktionen, dass Energie und Impulserhaltung anjedem Vertex gilt, und damit auch für die Reaktion insgesamt,

p3 − p1 + q = 0, p4 − p2 − q = 0, p1 + p2 = p3 + p4

Daher kann der 4-er Impulsübertrag q = p1−p3 = p4−p2 nur einen Wert annehmen,so dass die Integration über d4q das Resultat ergibt

S(1)fi = −i(2π)4 δ4(p1 + p2 − p3 − p4) · qm u4γµu2 ·

−gµνq2 + iε

· qe u3γνu1.

Übergangsmatrixelement S(1)fi und MatrixelementMfi hängen jetzt wie folgt zusam-

men:S

(1)fi = −i (2π)4 δ4(p1 + p2 − p3 − p4)Mfi

−iMfi = iqm u4γµu2 ·−igµνq2 + iε

· iqe u3γνu1.

4.6 Feynman-Regeln

Der hier gewonnene Ausdruck des MatrixelementsMfi für den Prozess

e−(p1) µ−(p2)→ e−(p3) µ−(p4)

lässt sich graphisch als Feynman-Diagram darstellen. Offenbar entspricht jeder gra-

μ−

e−e−

μ−

γ

phische Teil einem Ausdruck des Matrixelements. Andererseits kann man bereits ander Lagrange-Dichte die existierenden Teilchen und ihre Wechselwirkungen ablesenund so die erlaubten Feynmangraphen konstruieren. Jedem Feynman-Graph kannman dann mit folgenden Regeln ein Matrixelement zuschreiben, ohne die obige de-tailierte Rechnung durchführen zu müssen:

• Externe Fermion-Linien erhalten die entsprechenden Spinoren für einlaufende(u, v) und auslaufende (u, v) Teilchen oder Antiteilchen.

49

• Für jeden Photon-Vertex führt man einen Vertexfaktor iqelγµ zwischen denSpinoren ein, so dass sich ein Vektorstrom mit der elektrischen Ladung qelergibt, z.B. iqeluγµu. Die elektromagnetische Kopplung ist z.B. für ein Elektrondie Elementarladung, q = −e, die mit der Feinstrukturkonstanten über

αem =e2

4π≈ 1/137, 036

zusammenhängt, so dasse ≈ 0, 3

im hier verwendeten Einheitensystem.

• Interne Linien werden durch die entsprechenden Propagatoren ausgedrückt,also z.B. −igµν

p2für ein Photon mit 4-er Impuls p.

• Es gilt 4-er Impulserhaltung an jedem Vertex.

• Matrixelemente mit identischen Anfangs- und Endzuständen müssen addiertwerden.

• Bei Schleifen muß über ale möglichen Impulse der internen Linien integriertwerden.

Fälle mit anderen externen oder internen Teilchen sind in der folgenden Tabellezusammengefasst. Die Faktoren −1, i, ..., sind teilweise Konvention, aber bei Interfe-renzen und Diagrammen höherer Ordnung von Bedeutung.

50

51

4.7 Wirkungsquerschnitt und Fermi’s Goldene Regel

Bei Streuprozessen gibt der Wirkungsquerschnitt die Wahrscheinlichkeit für eineStreuung je einlaufendem Teilchen an. Der WQ soll also die Reaktion der Teilchencharakterisieren und gleichzeitig unabhängig von der Anzahl der einlaufenden Teil-chen, also Experiment-unabhängig, sein.

Ein einzelnes Teilchen mit geometrischer Querschnittsfläche σ = πr2 befinde sichin einer Ebene der Fläche A. Trifft ein anderes, viel kleineres Teilchen an einembeliebigen Ort auf die Fläche, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beidenTeilchen treffen gleich

P1 = σ/A.

Ist das eintreffende Teilchen ebenfalls ausgedehnt, so stellt σ die effektive Quer-schnittsfläche der Reaktion dar, eben den Wirkungsquerschnitt (WQ). Bei sehr klei-nen Elementarteilchen repräsentiert der WQ die effektive Querschnittsfläche oder(Reichweite)2 der Wechselwirkung zwischen den Teilchen.

Als Einheit des WQ ist ein barn gebräuchlich, wobei

1barn = 1b = 10−28m2 .

Ein Proton mit Radius r ≈ 1fm hat also einen geometrischen WQ von σ ≈ 31mb.Trifft anstelle eines einzelnen Teilchens ein Teilchenstrahl mit Anzahl-Dichte n1

und Geschwindigkeit v1 auf die Fläche, so werden in einer Zeit T insgesamt

N1 = n1 v1 T A

Teilchen die Fläche treffen. Für den Teilchenstrahl ist die Anzahl der Streuprozessepro Zeit (“Übergangsrate”) daher

PST

=P1N1

T=σ n1 v1 T A

AT= σn1 v1.

Trifft der Teilchenstrahl nicht auf ein einzelnes Teilchen sondern auf N2 Teilchen ineinem Volumen V (Teilchendichte n2), so ist die Anzahl der Streuprozesse um diesenFaktor N2 erhöht,

PST

= σn1 v1N2 = σn1n2 v1 V.

Für den allgemeinen Fall, dass sich auch die Teilchen N2 bewegen, ist die Differenzder Geschwindigkeiten |~v1 − ~v2| maßgebend. Außerdem muss berücksichtigt werden,dass man experimentell bei einer 2 → 2 Reaktion (p1 + p2 = p3 + p4) die Teilchenim Endzustand im Impulsintervall d3p3 d

3p4 beobachtet. Der Lorentz-invariante Pha-senraumfaktor hierfür, d.h. die Anzahl der quantenmechanischen Zustände in diesemBereich ist (siehe D.1 und D.2)

V

(2π)3

d3p3

2E3

· V

(2π)3

d3p4

2E4

.

52

Damit ergibt sich insgesamt für den Wirkungsquerschnitt:

dσ =PS / (TV )

n1 n2 |~v1 − ~v2|V

(2π)3

d3p3

2E3

· V

(2π)3

d3p4

2E4

.

oder symbolisch

dσ =Übergangsrate x Phasenraum

TeilchenflussDies ist Fermi’s Goldene Regel.

• Der Phasenraum beinhaltet die Kinematik und ist proportional zur Anzahl dermöglichen quantenmechanischen Endzustände.

• Der Flussfaktor dient der Normierung auf den Fluss der einlaufenden Teilchen.Bezogen auf ein Volumen V findet man allgemein (siehe D.3)

FV = n1n2|~v1 − ~v2| =4

V 2

√(p1p2)2 −m2

1m22

oder speziell im CMS System mit ~pi ∗ = ~p1∗ = −~p2

∗,

V 2 FV = 4 |~pi ∗|√s

• Die Übergangsrate beinhaltet das Matrix-Element und damit die Dynamik derWechselwirkung. Für quantenmechanische Prozesse ist die WahrscheinlichkeitPS der Streuung in einen bestimmten Endzustand

|〈f |S|i〉|2 = |Sfi|2

Für Sfi hatten wir abgeleitet

S(1)fi = −i (2π)4 δ4(p1 + p2 − p3 − p4)Mfi

Bei der Berechnung von |Sfi|2 wird demnach eine δ Funktion quadriert werdenmüssen. Dies ergibt4 (

δ4(P ))2

= δ4(P )V T

(2π)4.

4Für δ- Funktionen gilt bei Integration δ4(p) f(p) = δ4(p) f(0) und demnach auch δ4(p) δ4(p) =δ4(p) δ4(0). Wegen

δ4(p) = limT,V→inf

(1

(2π)4

∫T

dt

∫V

d3xe−ipx)

folgt demnach auch

δ4(0) = limT,V→inf

V T

(2π)4.

Der Grenzwert für alle Zeiten und den ganzen Raum muss natürlich noch durchgeführt werden.Da jedoch sowohl V als auch T in der endgültigen Formel für den Wirkungsquerschnitt nicht mehrauftauchen ändert der Limes nichts am Endresultat für diese Berechnung und wird daher nichtweiter mitgeführt.

53

Damit folgt

|Sfi|2 = |Mfi|2 (2π)4 δ4(p1 + p2 − p3 − p4)V T.

Der Wirkungsquerschnitt setzt sich für 2 → 2 Streuprozesse mit p1 + p2 = p3 + p4

also zusammen aus

dσ =PS / (TV )

n1 n2 |~v1 − ~v2|V

(2π)3

d3p3

2E3

· V

(2π)3

d3p4

2E4

= |Mfi|2V 4

4√

(p1p2)2 −m21m

22

(2π)4δ4(p1 + p2 − p3 − p4)d~p3

(2π)32E3

d~p4

(2π)32E4

Die Spinoren in Mfi beinhalten noch die Normierung√

(E +m)/V , so dass sichV heraushebt. Es wird daher ab jetzt Mfi = MfiV

2 verwendet, was so verstandenwerden soll, dass bei der Berechnung von MatrixelementenM ab jetzt als Normierungder Spinoren N =

√E +m verwendet wird. Damit ist der Wirkungsquerschnitt

dσ = |Mfi|21

4√

(p1p2)2 −m21m

22︸ ︷︷ ︸

einlaufender Teilchenfluss

(2π)4δ4(p1 + p2 − p3 − p4)d~p3

(2π)32E3

d~p4

(2π)32E4︸ ︷︷ ︸Lorentz-invarianter Phasenraum (dLips = dQ)

Dies ist die explizite Form von Fermi’s goldener Regel für 2→ 2 Prozesse. Alle Teilesind explizit Lorentz-invariant.

4.8 Wirkungsquerschnitt im CMS

Der Wirkungsquerschnitt ist augenscheinlich vielfach differentiell in d3~p3 und d3~p4.Er sollte aber nur von zwei dieser sechs Variablen abhängen, denn es gilt 4-er Im-pulserhaltung. Da die Energien der Teilchen durch die Anfangsbedingungen und dieMassen festliegen, müssen die verbleibenden Variablen der Streuwinkel und der Azi-muthalwinkel eines der Teilchen sein. Die Richtung des anderen Teilchens ergibt sichdann aus der Impulserhaltung. Das Matrixelement kann aus Symmetriegründen nichtvom Azimuthalwinkel um die Kollisionsachse abhängen. Es ist also Mfi = Mfi(θ

∗).Da der Flussfaktor nicht von den auslaufenden Teilchen abhängt kann demnach derPhasenraum getrennt integriert werden, bis auf die Winkelvariablen. Dies ist beson-ders einfach im CMS System, da die δ- Funktion die 4-er Impulserhaltung garantiert.Man findet (siehe D.4)

dQ =1

4(2π)2

|~pf ∗|√sdΩ∗

Hierbei ist das Raumwinkelelement

dΩ∗ = d cos θ∗ dφ∗

54

und |~pf ∗| der Impuls der beiden Teilchen im Endzustand, so dass Energieerhaltungerfüllt ist,

√s = E∗3(|~pf ∗|) + E∗4(|~pf ∗|).

Im Schwerpunktsystem ergibt sich aus der goldenen Regel mit dem Flussfaktor

FV = 4|~pi ∗|√s

für den Wirkungsquerschnitt

dσ

dΩ=

1

64π2

1

s

|~pf ∗||~pi ∗|

|Mfi(θ∗)|2

• Aus dem Phasenraum folgt, dass σ proportional zum Impuls pf der Teilchenim Endzustand ist. Die Produktion schwerer Teilchen ist also durch den Pha-senraum unterdrückt.

• Bei hohen Energien werden die Massen der Teilchen zunehmend unwichtiger.In diesem Limes (oder bei gleichen Massen mi = mf ) ist

|~pf ∗||~pi ∗|

= 1

so dass der Wirkungsquerschnitt quadratisch mit der Schwerpunktsenergie fällt,

σ ∼ 1

s

Da außer den Massen nur√s die Dimension einer Energie trägt ist dies auch

aus Dimensionsgründen erforderlich.

• Der Wirkungsquerschnitt hängt nur durch das Matrixelement vom Streuwinkelθ∗ ab.

4.9 Ereignisrate und Luminosität

In einem Kollisionsexperiment ist die Anzahl N der Streu-Ereignisse, die gemessenwerden kann, gegen durch Wirkungsquerschnitt und integrierte Luminosität,

N = σ Lint

oder differentiell,dN

d cos θ∗=

dσ

d cos θ∗Lint

55

Der Wirkungsquerschnitt charakterisiert dabei die Kollision zweier Teilchen, wäh-rend die Luminosität beschreibt, wie viele Teilchen sich auf einer bestimmten Quer-schnittsfläche überhaupt begegnen. Beispielsweise ist die Luminosität eines Kreis-Beschleunigers gegeben durch

L = NB fN1N2

4πσxσy

Hierbei sind σx und σy die Breiten der Verteilung der Teilchen transversal zur Strahl-richtung, die näherungsweise Gauß-Verteilungen sind. Die Anzahl der Teilchen jeBunch, N1,2, multipliziert mit der Anzahl der Bunche, NB, und der Umlauffrequenzder Bunche, f , ist der Strom eines der Teilchenstrahlen in der Maschine.

I1,2 = eN1,2NB f.

Relevant für die Gesamt-Anzahl der Streu-Reaktionen ist das Produkt aus Lumi-nosität und Laufzeit des Beschleunigers, oder bei nicht konstantrer Luminsität, dasIntegral dieser Luminosität über die Zeit,

N = σ Lint = σ

∫Ldt

Als Einheit der Luminosität wird barn−1 verwendet. Heutige Beschleuniger produ-zieren integrierte Luminositäten pro Jahr im Bereich einiger fb−1 = 1015 b−1.

56

5 Prozesse der QED

5.1 Berechnung des Prozesses e−µ− → e−µ−

μ−

e−e−

μ−

γ

Beispielhaft soll das Matrixelement des Prozesses e−(p1) µ−(p2) → e−(p3) µ−(p4)berechnet werden, wobei der 4-er Impuls des ausgetauschten Photons q = p1 − p3

ist. Das Matrixelement M ergibt sich aus den Feynmanregeln der QED (hier mite2 = qeqm):

−iM = u3ieγµu1︸ ︷︷ ︸

e-Strom

−igµνq2︸ ︷︷ ︸

γ-Propagator

u4ieγνu2︸ ︷︷ ︸

µ-Strom

M = −e2

q2u3 γ

µ u1 u4 γµ u2,

wobei die Spinoren ui = u(pi, si) von den Impulsen pi und Spin-Orientierungen siabhängen. Das Matrixelement für die Streuung unpolarisierter Teilchen ergibt sichaus der

• Mittelung über die einlaufenden Spin-Zustände,

• Summation über die auslaufenden Spin-Zustände.

¯|M |2 =e4

q4Lµνe L

Muonµν

mit dem Elektron-Tensor (Muon Tensor analog)

Lµνe =1

2

∑e-Spin

[u3γµu1] [u3γ

νu1]∗

=1

2

∑e-Spin

[u3γµu1] [u1γ

νu3]

wobei der Spin-Faktor 12für den Mittelwert über verschiedene Spin-Richtungen not-

wendig ist. Ausgeschrieben und getrennt summiert über die einlaufenden und aus-

57

laufenden Spin-Zustände ist dies

Lµνe =1

2

∑s3

∑s1

u3,aγµabu1,b u1,cγ

νcdu3,d

=1

2

∑s3

u3,du3,a︸ ︷︷ ︸(/p3+me)da

γµab∑s1

u1,bu1,c︸ ︷︷ ︸(/p1+me)bc

γνcd

=1

2Spur

[(/p3

+me)γµ(/p1

+me)γν]

unter Benutzung der Vollständigkeitsrelationen der Spinoren und der Notation /p =γαp

α. Die Spurtheoreme5 erlauben die Vereinfachung

Lµνe =1

2Spur

[(/p3

+me)γµ(/p1

+me)γν]

=1

2Spur

[/p3γµ/p1

γν +m2eγ

µγν]

= 2(pµ3pν1 + pν3p

µ1 − (p3p1 −m2

e)gµν)

Mit dem analogen Resultat für den Myon-Tensor ist das Resultat für das Matrixele-ment:

¯|M |2 =e4

q4Lµνe L

Muonµν

=8e4

q4

[(p3p4)(p1p2) + (p3p2)(p1p4)−m2

ep2p4 −m2µp1p3 + 2m2

em2µ

]Dies ist das exakte Matrix-Element für unpolarisierte e−µ− Streuung in niedrigsterOrdnung. Das Ergebnis ist offensichtlich Lorentz-invariant.

Im ultra-relativistischen Limes kann man die Massen-Terme vernachlässigen. DieSkalarprodukte lassen sich durch die in gleicher Näherung geltenden Mandelstam-Variablen ausdrücken.

s = (p1 + p2)2 = m2e +m2

µ + 2p1p2 ≈ 2p1p2 ≈ 2p3p4

t = (p1 − p3)2 = 2m2e − 2p1p3 ≈ −2p1p3 = 2m2

µ − 2p2p4 ≈ −2p2p4

u = (p1 − p4)2 = m2e +m2

µ − 2p1p4 ≈ −2p1p4 = m2e +m2

µ − 2p2p3 ≈ −2p2p3

5Die Spur einer ungeraden Anzahl von γ-Matrizen ist Null.Weiter gilt Spur(γµγν) = 4gµν , Spur(γµγνγλγσ) = 4(gµνgλσ − gµλgνσ + gµσgνλ),Spur(/p1γ

µ/p2γν) = 4(pµ1p

ν2 + pν1p

µ2 − (p1p2)gµν), Spur(/a/b/c/d) = 4[(ab)(cd)− (ac)(bd) + (ad)(bc)].

58

Wegen t = q2 folgt der Wirkungsquerschnitt für unpolarisierte ultrarelativistischeStreuung,

¯|M |2 ≈ 8e4

t2(1

4s2 +

1

4u2)

= 2e4 s2 + u2

t2

Das Ergebnis stimmt mit dem früher erhaltenen Resultat für Helizitätsamplitudenüberein.

• Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zum Quadrat der Ladung an jedemVertex, für eµ Streuung also proportional zu q2

eq2m = e4.

• Der Nenner t ist der Photon-Propagator und unterdrückt Streuung mit großem4-er Impulsübertrag.

• Der Term mit s2 entsteht durch Streuung mit entgegengesetzen Spins, so dassder Gesamtspin JZ = 0 ist, denn s beinhaltet keine Winkelinformation (isotrop,da keine Richtung ausgezeichnet ist).

• Der Term mit u entspricht demnach Streuung mit JZ = 1, also gleichgerichtetenSpins der einlaufenden Teilchen.

Mitt = −s

2(1− cosΘ∗) und u = −s

2(1 + cosΘ∗)

folgt im CMS für ultrarelativistische Streuung

dσ

dΩ=

1

64π2

1

s

pfpi

¯|M |2

=1

64π2s2e4 1 +

(1+cosΘ∗

2

)2(1−cosΘ∗

2

)2

5.2 Crossing

Alle QED Prozesse hängen von Strömen wie jµ = ΨγµΨ ab. Ähnliche Rechnungenfür andere 2 → 2 Prozesse lassen sich daher durch “Crossing” aus dem eµ → eµWirkungsquerschnitt ableiten.

Für den t-Kanal Prozesse−µ− → e−µ−

p1 + p2 = p3 + p4

ergab sich

59

μ−

e−e−

μ−

γ

e−

e+

μ−

μ+

γ

M =−e2

(p1 − p3)2(u3γ

µu1)(u4γµu2)

¯|M |2 =e4

(p1 − p3)4

∑s1,s3

(u3γµu1)(u3γ

νu1)∗∑s2,s4

(... 2 4)

=e4

(p1 − p3)4Spur(( /p1 +m1)γµ( /p3 +m3))γν Spur( 2 4)

=8e4

(p1 − p3)4︸ ︷︷ ︸t2

(p1p2)(p3p4)︸ ︷︷ ︸s2/4

+ (p1p4)(p2p3)︸ ︷︷ ︸u2/4

− p1p3︸︷︷︸−t/2

m22 − p2p4︸︷︷︸

−t/2

m21 + 2m2

1m22

mit m1 = m3 und m2 = m4. Entscheidend war die Vollständigkeitsrelation∑s

usus = /p+m,∑s

vsvs = /p−m

Für ähnliche Ströme mit Teilchen und Antiteilchen-Spinoren gilt nun∑s1,s3

(u3 γµu1 )(u3 γνu1 )∗ = Spur((/p1+ m1)γµ(/p3

+ m3)γν)

v3 v1 v3 v1 = − −v3 u1 v3 u1 = + −u3 v1 u3 v1 = − +

Wendet man dies z.B. auf den s-Kanal Prozess

e−(p1) + e+(p2)→ µ−(p3) + µ+(p4)

M =−e2

(p1 + p2)2(v2γ

µu1)(u3γµv4)

60

an, so folgt

¯|M |2 =e4

(p1 + p2)4Spur(( /p2 −m2)γµ( /p1 +m1)γν) Spur(( /p3 +m3)γµ( /p4 −m4)γν)

=8e4

(p1 + p2)4︸ ︷︷ ︸s2

(p1p3)(p2p4)︸ ︷︷ ︸≈t2/4

+ (p1p4)(p2p3)︸ ︷︷ ︸≈u2/4

+ p3p4︸︷︷︸≈s/2

m21 + p1p2︸︷︷︸

≈s/2

m23 + 2m2

1m23

und, für kleine Massen (m1 = m2, m3 = m4),

¯|M |2 ≈ 2e4 t2 + u2

s2

Man sieht, dass zwischen t- und s-Kanal für kleine Massen eine Crossing-Relationbesteht, bei der im Endergebnis lediglich p2 ↔ −p3 vertauscht werden müssen. An-schaulich interpretiert bedeutet dies, dass ein einlaufendes Teilchen mit Impuls pdurch ein auslaufendes Antiteilchen mit Impuls −p ersetzt werden kann. Dies ent-spricht der Antiteilchen-Interpretation in der Dirac-Gleichung. Die Vertauschung vonp2 ↔ −p3 bei der Ableitung des s-Kanal Prozesses aus dem t-Kanal Prozess bedeutet,dass man (in ultrarelativistischer Näherung) s und t vertauschen muss.

t-Kanal ↔ s-Kanalt = (p1 − p3) ↔ (p1 + p2)2 = ss = (p1 + p2) ↔ (p1 − p3)2 = tu = (p3 − p2) ↔ (p2 − p3)2 = u¯|M |2 ≈ 2e4 s2+u2

t2↔ ¯|M |2 ≈ 2e4 t2+u2

s2

Beim PETRA Beschleuniger am DESY wurde mit Schwerpunktsenergien bis√s ≤

46GeV die Winkelverteilungen s · dσdΩ

gemessen. Sie sind unabhänig von s, wie vonder QED vorhergesagt. Bei den höheren

√sWerten machen sich bereits Korrekturen

durch den Z0 Austausch der schwachen Wechselwirkung bemerkbar, der bei kleinenEnergien im s- Kanal durch den Propagator 1

q2+M2Zstark unterdrückt ist.

Der totale Wirkungsquerschnitt für e+e− → µ+µ− ergibt sich aus dem differenti-ellen durch Integration über die Winkel,

σ =

∫dσ

dΩdΩ =

4π

3

α2

s≈ 100nb GeV 2

s

61

(~c = 1 = 0, 2GeV fm) und der Feinstrukturkonstanten

αem =e2

4π≈ 1/128,

die bei diesen hohen Energien aufgrund der Renormierung der Quantenkorrekturendeutlich größer ist als der aus der Atomphysik bekannte Wert 1/137. Bei

√s = 46

GeV ist der Wirkungsquerschnitt 0.047 nb, die effektive Reichweite der Wechselwir-kung also etwa 1000 mal kleiner als der Radius eines Protons. Dies schränkt sehrstark die Hypothese einer Substruktur des Elektrons oder Muons ein.

62

5.3 Übersicht der elementaren QED-Prozesse1.) Paar-Vernichtung und Paar-Erzeugunge−

e+

−

+

se+e− → µ+µ−

¯|M |2 ≈ 2e4 u2+t2

s2≈ (1 + cos2Θ)

für unpolarisierte e−e+

symmetrisch in cosΘ∗

2.) ’Periphere’ Streuung

− −

e−e−

te−µ− → e−µ−

¯|M |2 ≈ 2e4 s2+u2

t2

Peak in Vorwärts-Richtung

3.) Bhabha - Streuung

e−

e+

e−

e+ e+

e−

+

e−

e+

e−e+ → e−e+

¯|M |2 ≈ 2e4(s2+u2

t2+ 2u2

t·s + u2+t2

s2

)Zwei Diagramme mit gleichemAnfangs- und Endzustand→ Interferenz von zwei Feynman-Amplituden(|M1 +M2|2)

4.) Möller - Streuung: identische Fermionen

e−

e−

e−

e−

e−

e−

+

e−

e−

e−e− → e−e−

¯|M |2 ≈ 2e4(s2+u2

t2+ 2s2

t·u + s2+t2

u2

)Zwei Diagramme mit identischen Teil-chen von verschiedenen Vertizes→ negative Interferenz (|M1 −M2|2)Peak in Vorwärts- und Rückwärts-Richtung

63

Abbildung 8: Winkelverteilungen der elementaren QED Prozesse. Gezeigt ist dσ/dΩin willkürlichen Einheiten.

5.4 Erzeugung von Hadronen in der QED

Zur Untersuchung der Eigenschaften der Hadronen und Quarks eignet sich besondersder Prozess

e+e− → Hadronen

und als Messgröße das Verhältnis von hadronischem zu leptonischem Wirkungsquer-schnitt.

e+

f

f= u,d,s,c,b

e−

el ei

f_

64

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

1 10 102

σ[m

b]

ω

ρ

φ

ρ′

J/ψ

ψ(2S)Υ

Z

10-1

1

10

10 2

10 3

1 10 102

R ω

ρ

φ

ρ′

J/ψ ψ(2S)

Υ

Z

√s [GeV]

Abbildung 9: Oben: Wirkungsquerschnitt für e+e− → Hadronen als Funktion derSchwerpunktsenergie. Unten: Verhältnis R der Wirkungsquerschnitte von e+e− →Hadronen und e+e− → µ+µ−.

65

R =σe+e−→Hadronen

σe+e−→µ+µ−,

Unter der Annahme, dass man die Produktion von Hadronen durch die Produkti-on von Quarks mit anschließendem Übergang (Wahrscheinlichkeit 1) der Quarks inHadronen erklären kann (QCD Faktorisierung), gilt

R =σe+e−→uu,dd,ss,cc,bb,tt

σe+e−→µ+µ−=

∑q

¯|Mq|2dQq

¯|Mµ|2dQµ

Bei√s ≈30GeV kann man den Z0 Austausch vernachlässigen gegenüber dem γ-

Austausch, so dass R sensitiv ist auf

• die elektrische Ladung der Quarks

• den Spin der Quarks

• die Masse der Quarks

Die Massen gehen unter anderem in das Verhältnis der Phasenraum-Faktoren ein,

dQ(mq)

dQ(mµ)

≈ dQ(mq)

dQ(mµ=0)

=pf (mq)

pf (mµ = 0)=

√E2 −m2

q√E2

=

√1− 4m2

q

s

das schnell gegen 1 geht für E =√s > 2mq.

Das Matrixelement für Spin 1/2 Quarks ist bis auf die elektrische Ladung gleichdem für Muonen, so dass

|M |2 ∼ e2ee

2f .

q µ u d c s b teq 1 2

3−1

323−1

3−1

323← 2mt >

√s! verboten

Damit folgt

RQED =e2u + e2

d + e2s + e2

c + e2b

e2µ

=49

+ 19

+ 49

+ 19

+ 19

1=

11

9

Die Messung kann wie folgt interpretiert werden:

• R ≈ konstant für 10GeV ≤ √s ≤ 30GeV . Demnach hat die elektromagnetischeWW hat gleiche Struktur für µ und Quarks.

• Die kinematische Schwellen (Stufen) in R treten auf, wenn√s > 2mq, da dann

ein neuer Endzustand für Quarks möglich ist.

66

• Der Wirkungsquerschnitt in Hadronen wird um einen Faktor 3 größer gemessenals nur aufgrund der elektrischen Ladung zu erwarten war. Dies ist verständ-lich, wenn die Quarks einen inneren Freiheitsgrad (Farbe) besitzen, der in dreiZuständen auftritt, so dass sich die Anzahl der Endzustände entsprechen erhöht(Phasenraum). Für drei Farben folgt

R =33

9.

Dies ist einer der stärksten Hinweise auf Quarks mit Farbe.Aus der Messung sind auch folgende Korrekturen ablesbar, da R nicht exact 33

9ist.

1. Nahe der kinematischen Schwelle√s = 2mq für neue Quarks haben die ent-

stehenden Quarks nur wenig kinetische Energie, so dass gebundenen Zuständeals Resonanzen angeregt werden können, z.B. e−e+ → J/Ψ (J/Ψ = cc). Naheder Schwelle ist auch der Phasenraum nicht groß genug, so dass die Erzeugungder Quarks und die Hadronisierung nicht unabhängig sind.

2. Der leichte Abfall von R zwischen√s ≈ 15GeV und 30GeV ist ein Beitrag

höherer Ordnung durch die starke WW, der nur für Quarks auftritt, so dass

e−

e+q_

q

g

R = RQED(1 +αsπ

+ · · · ).Der Wert von αs ≈ 0.12 fällt dabei leicht als Funktion der Energie im Prozess.

3. Der Anstieg für√s ≥ 30GeV ist der Beitrag durch Z0- Austausch. Da die

Kopplung Zµµ nicht gleich derjenigen für Zqq ist steigt R, denn der Z0 Beitragaufgrund der unterschiedlichen Propagatoren wird größer mit

√s.

Propagator: γ : 1s

Z0 : 1s−M2

z+··· .

5.5 Drell-Yan Prozess

In der Hadron-Hadron Streuung (πp, pp oder pp) beobachtet man die Erzeugungvon Lepton-Paaren, z.B.

πp→ µ+µ− + HadronenIm CMS System der beiden Muonen ist die Winkelverteilung ∼ (1 + cos2 Θ∗), alsogenau wie beim Prozess e+e− → µ+µ−. Dies ist einer der wichtigsten Hinweise aufSpin 1/2 Teilchen (Quarks) in Hadronen, die sich vernichten können, qq → µ+µ−.

67

Abbildung 10: Normierte Winkelverteilung 1/σ dσ/dΩ als Funktion des Streuwinkelscos Θ∗ von Myonen im Prozess πp → µ+µ− + X. Der Winkel Θ∗ ist gemessen imSchwerpunktssystem der beiden Myonen.

68

6 Schwache Wechselwirkung

6.1 Historie der Schwachen Wechselwirkung

1896 Bequerel entdeckt die Radioaktivität

1914 Chadwick entdeckt, dass β-Strahlen anders als α-Strahlen ein kontinuierlichesEnergie-Spektrum haben. Heute wissen wir, dass β-Strahlen Elektronen oderPositronen sind, die mit keV - MeV Energien von zerfallenden Kernen emittiertwerden.

1927 Ellis und Woostar argumentieren, dass Eβ ≤ Emax gilt. Daraus folgt, dass ent-weder die Energie-Erhaltung verletzt ist (Bohr) oder aber ein 3-Körperzerfallmit einem neuen, unsichtbaren Teilchen vorliegt, dem Neutrino (Pauli). Un-sichtbar bedeutet, dass es weder elektromagnetischer noch starker Wechselwir-kung unterliegt.

1933 Fermi formuliert die Theorie des β−Zerfalls. Für den Zerfall

n→ p+ e− + νe

setzte er als Matrix-Element an:

M = GF (upγµun) (ueγµvν)

also eine Theorie mit “geladenen” Strömen (“charged current”),

jµ(eν) = ueγµvν jµ(pn) = upγ

µun

der unterschiedliche Teilchen zusammenfasst.Dies ist eine 4-Fermion Wechselwirkung ohne Propagator6. Die neue Kopp-lungskonstante ist die Fermi-Konstante

GF = 1, 1 · 10−5 GeV−2

Diese Fermi-Theorie enthält aber nicht die Paritätsverletzung der schwachenWechselwirkung.

1956 Lee und Yang argumentieren, dass in allen schwachen Prozessen Paritätsver-letzung auftritt.

1960 Glashow, Salam undWeinberg formulieren die “GSW”-Theorie der Elektroschwa-chen Wechselwirkung, das Standard-Modell. Sie beinhaltet γ,W± und sagt dasZ0 voraus, also auch neutrale, schwache Ströme.

6 Im Gegensatz dazu ist in der QED z.B.: M = (qp upγµup)

−1q2 (qe uue

γµue) mit dem Photon-Propagator 1/q2 .

69

1973 Entdeckung der neutralen, schwachen Ströme in der Gargamelle Blasenkameram CERN in der Reaktion:

νµ + e− → νµ + e−

1984 Entdeckung des W± und des Z0 Bosons am UA1 Experiment am CERN (No-belpreis C. Rubia)

6.2 Paritätsverletzung und V-A Theorie

Am Beispiel des β-Zerfalls60Co→ 60Ni + e− + νe

lässt sich die Beobachtung der Paritätsverletzung verstehen.

Die Spinrichtung des Co wird durch ein Magnetfeld festgelegt. Man beobachtet, dassdas e− vorzugsweise entgegen der Richtung des Co-Spins emmittiert wird. Da dere−- Impuls ein Vektor ist und Spin ein Axialvektor ist folgt, das die relative Richtungder beiden (Observable) nicht invariant unter einer Paritätstransformation ist.

In der sogenannten V-A Theorie der schwachen WW werden die Projektionsope-ratoren für die Händigkeit (Chirality) benutzt:

uL = PLu =1

2(1− γ5)u uR = PRu =

1

2(1 + γ5)u

Hierfür giltu = uL + uR uRγ

µuL = 0 uγµuL = uLγµuL

Damit setzt man für die schwachen Ströme an (hier für e− und νe auslaufend) :

jµ(eν) = ue γµ1

2(1− γ5) vν = ue γ

µPL vν = ue γµ vν,L = ue,L γ

µ vν,L

Die einzige Änderung im Vergleich zu Matrixelementen der QED ist also die Erset-zung

uγµu → u

(γµ

1

2(1− γ5)

)u =

1

2(uγµu− uγµγ5u)

70

Dies hat die Form Vektorstrom (uγµu) minus Axialvektorstrom (uγµγ5u) und wirddaher die V −A Theorie der schwachen Wechselwirkung genannt (vergleiche Kapitel2.5). Das gleichzeitige Auftreten von Vektor und Axialvektor bedeutet, dass dieseWechselwirkung die Parität verletzt:

• Linkshändige Fermionen (e−L , νL, uL, dL) und rechtshändige Anti-Fermionen(e+R, νR, uR, dR) nehmen an der Wechelwirkung teil.

• e−R, νR, uR, dR und e+L , νL, uL, dL nehmen nicht an der schwachen Wechselwir-

kung teil.

Dies nennt man eine chirale Theorie. Im Standard-Modell ist diese Verletzung der Pa-rität maximal, d.h. es gibt nur V-A Ströme, aber gar keine V+A Ströme. (Historischwar dies lange Zeit bezweifelt worden.)

Damit gilt in der 4-Fermion Wechselwirkung für linkshändige Fermionen z.B. fürden Myon Zerfall (und analog für den Neutron-Zerfall):

µ− → νµ + e− + νe M =4GF√

2(uνµγ

µ1

2(1− γ5)uµ) (ueγµ

1

2(1− γ5)vνe)

6.3 P und C: Parität und Ladungskonjugation

Aus der Paritätsverletzung folgt auch die Verletzung der Ladungskonjugation (oderC-Parität).

Als Beispiel betrachten wir den Zerfall der geladenen Pionen,

π+ → νµ µ+

Da der Spin des Pions null ist muss wegen Drehimpulserhaltung der Spin des Neu-trinos und des Muons immer in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Im Ruhesystem des Pions folgt aus den Massen der Teilchen (Mπ = 139, 6 MeV,Mµ = 106 MeV, Mν < 0.1 eV) für diesen 2-Körperzerfall die Energie des Neutrinoszu

Eν =M2

π +M2ν −M2

µ

2Mπ

= 29.6MeV

Das Neutrino ist also hoch-relativistisch. Damit gilt auch |~Pµ| = |~Pν | ≈ Eν =29.6MeV .

Wegen der Paritätsverletzung der schwachen WW ist das Fermion νµ immer links-händig, das Antifermion µ+ immer rechtshändig. Daher ist für das Neutrino die He-lizität negativ, der Spin zeigt also entgegengesetzt zur Flugrichtung. Das µ+ dagegenist zwar rechtshändig, aber nicht sehr relativistisch, so dass seine Spinrichtung nichteindeutig festliegt. Der Muon Spin kann also auch entgegengesetzt zur Flugrichtung

71

zeigen, so dass Drehimulserhaltung erfüllt ist. Dieser Zerfall ist daher möglich mitSpin-Ausrichtungen entgegen den Flugrichtungen (↓).

π+ → νµ ↓ + µ+ ↓

Wendet man eine Paritätstransformation auf diesen Prozess an, so ändert sich dieImpulsrichtung aber nicht die Spin Richtung, so dass die Spins parallel zur Bewe-gungsrichtung sind (↑),

π+ → νµ ↑ + µ+ ↑Dieser Prozess ist verboten, da das Neutrino jetzt rechtshändig wäre. Es liegt alsoParitätsverletzung vor.

Wendet man dagegen Ladungskonjugation an, so folgt

π− → νµ ↓ + µ− ↓

ein ebenfalls verbotener Prozess. Ladungskonjugation ist also ebenfalls verletzt.Die Kombination von beiden Transformationen, CP, liefert dagegen einen erlaub-

ten Prozess der schwachen WW, da hier das Anti-Neutrino in ultrarelativistischerNäherung rechtshändig ist,

π− → νµ ↑ + µ− ↑CP ist also für den Pion-Zerfall erhalten.

CP Erhaltung ist jedoch nicht exakt erfüllt. Insbesondere tritt im Kaon-Zerfallund B-Meson Zerfall eine sehr kleine Verletzung der CP-Erhaltung auf. Da in Feld-theorien ganz allgemein CT-Erhaltung

6.4 Fermi-Konstante und W-Propagator

In der heutigen Interpretation durch die Theorie der elektroschwachen Vereinheitli-chung entsteht der Prozess

µ− → e−νeνµ

durch den Austausch des gleichen, neuen Teilchens W± mit Spin 1. Für den Muon-Zerfall als Beispiel bedeutet das:

72

M≈ g√2

Jµ

2

1

M2W − q2

g√2

Jµ2

Die neue Konstante g ist dabei die Kopplungskonstate des W - Bosons an ein Leptonoder Quark Paar. Im Limes kleiner Impulsüberträge |q2| << M2

W vereinfacht sich derPropagator für das schwere W -Boson dann zu 1/M2

W . Der Vergleich mit der Formelaus der V − A Theorie liefert:

GF√2

=g2

8M2W

Damit ist die Fermikonstante als Masse eines Teilchens interpretiert worden.

Andere Betrachtungen Bei hohen Impulsüberträgen wird derW -Propagator dierichtigen Ergebnisse liefern, nicht jedoch die Fermi-Theorie. Vergleicht man den Aus-tausch des masselosen Photons mit dem eines massivenW -Bosons, so entspricht diesden Potentialen (siehe auch Abschnitt D.5):

γ-Austausch: VCoulomb =e2

4πr

W-Austausch: VY ukawa =g2

4πre−MW ·r Yukawa-Potential

für MW →∞ VY ukawa =g2

M2W

δ3(r)

Eine große Masse entspricht daher eine kurze Reichweite. Symbolisch geht damit derPropagator des W -Austausches in eine 4-Fermion Kontaktwechselwirkung über.

Die Reichweite der schwachen WW ist damit

RW ≈~cMW

=200 MeV fm

80 GeV≈ 2, 5 · 10−3fm

Das ist etwa 1/400 der Reichweite der starken Wechselwirkung oder des Radius desProtons. Die schwache Wechselwirkung ist also schwach, weil W und Z Bosonen soschwer sind. Die Kopplungskonstante g ist etwa

g = 0, 7

73

6.5 Schwache Wechselwirkung von Hadronen

Die beiden Prozesseµ− → νµe

−νe

undn→ p e−νe

können durch W - Austausch mit der gleichen Kopplungskonstante GF beschriebenwerden, wenn man den unterschiedlichen Phasenraum der Prozesse und die Effektedurch die Paritätsverletzung berücksichtigt.

Für diese Universalität der schwachen Wechselwirkung spielt es offenbar keineRolle, dass das Muon elementar, das Neutron dagegen zusammengesetzt ist. Dieserklärt sich durch das Quark- Modell der Hadronen und das Faktorisierungstheoremder QCD. Innerhalb des Neutrons zerfällt ein d-Quark in ein u- Quark, so dassein Elektron und ein Neutrino entsteht. Obwohl der Impulsübertrag Q2 durch das

W nur ca. 1 MeV beträgt sorgt die hohe W - Masse für eine Wechselwirkung mitkurzer Reichweite und kurzer Zeitdauer, so dass die anderen Quarks nur als Begleiter(Spectator) wirken, die während dieser kurzen Zeitspanne quasi statisch sind undnicht in die Reaktion eingreifen. Die Universalität der schwachen Wechselwirkungerklärt sich also aus der Ähnlichkeit der Quark und Lepton- Zerfälle,

d→ u e−νe = µ− → νµe−νe

Durch “kreuzen” ergibt sich daraus auch der Pion-Zerfall (π− = ud):

ud→ e−νe

Ganz analog ergibt sich der Zerfall der schwereren Mesonen, z.B. des K− = us. Fürdiese Zerfälle ist allerdings die Rate durch Effekte der Paritätsverletzung deutlichunterdrückt. Beim K− Zerfall kommt hinzu, dass eine Kopplung zwischen Quarksverschiedener Generationen vorliegt. Solche Übergänge sind durch die CKM- Matrixder Quark-Mischungen zusätzlich unterdrückt.

74

6.6 SU(2) Symmetrie

Heute basiert die akzeptierte Theorie der schwachen Wechselwirkung auf der SU(2)LSymmetrie im Flavourraum. Beteiligt sind dabei nur die linkshändigen Fermionen(“L”). Die Eichbosonen sind die W± und Z0 Bosonen. Im Vergleich zu den anderenWechselwirkungen haben diese Eichbosonen eine hohe Masse und sind instabil:

γ QED Mγ = 0 Γγ = 0g QCD Mg = 0 Γg = 0

W±, Z0 Schwache WW MW = 80, 425± 0, 038 GeV ΓW = 2, 124± 0, 041 GeVMZ = 91, 1876± 0, 0021 GeV ΓZ = 2, 4952± 0, 0023

Hierbei ist Γ die Energieunschärfe aufgrund der endlichen Lebensdauer.

Gemäß Standard-Modell werden alle linkshändigen Fermionen in Doubletts, allerechtshändigen in Singletts eingeordnet.

Linkshändige Lepton-Doubletts

Linkshändige Quark-Doubletts

Übergänge innerhalb eines Doubletts werden durchW -Austausch vermittelt. Die-ser Übergang entspricht einer Rotation im SU(2) Raum. Die schwache Wechselwir-kung ist damit automatisch universell gleich für Leptonen und Quarks.

75

Rechtshändige Lepton-Singletts

eR, νeR, µR, νµR, τR, ντR

Rechtshändige Quark-Singletts

(uR), dR, cR, sR, tR, bR

Für die rechtshändigen Singletts sind keine Übergänge möglich, sie sind neutralbezüglich der schwachen Ladung und nehmen nicht an der schwachen WW teil.

Die Universalität der schwachen WW zeigt sich am direktesten in der relati-ven Häufigkeit der Zerfälle des W -Bosons. Kinematisch sind Zerfälle möglich in alleDoubletts außer (top-bottom). Aufgrund der Farbe der Quarks gilt

3 · ΓW→lνl = ΓW→qq′

so dassΓeνe : Γµνµ : Γτντ : Γdu : Γsc = 1 : 1 : 1 : 3 : 3

gilt. Bei 9 gleichen Zerfallsmöglichkeiten ergibt sich ein Verzweigungsverhältnis vonjeweils 11%, wie experimentell beobachtet.

Der Austausch von W -Bosonen ist stets mit einer Änderung der Lepton- oderQuark-Flavour sowie der Ladung verbunden. Damit lassen sich Reaktionen wie

νµ + e− → νµ + e−

nicht erklären, da hier kein Übergang innerhalb einer Generation stattfindet. DieEntdeckung solcher neutraler Ströme wird durch das Z0 Boson erklärt, das eben-falls Spin 1 hat. Erwarten würde man aufgrund der SU(2)L Symmetrie insgesamt

3 Eichbosonen. Allerdings kann das Z0 nicht einfach ein neutraler Partner des W -Bosons sein, denn es hat eine andere Masse und koppelt nicht universell gleich an alle

76

Quarks und Leptonen. Beispielsweise beträgt das Verzweigungsverhältnis des ZerfallsZ0 → e+e− nur ca. 3%. Ursache ist die Mischung zwischen Photon und Z0 in dervereinheitlichten elektroschwachen Wechselwirkung SU(2)L × U(1)Y zusammen mitdem Higgs-Mechanismus.

77

6.7 Zerfälle als Test von Erhaltungssätzen

Instabile Teilchen mit Lebensdauer τ haben gemäß Unschärferelation eine Energie-unschärfe (“Breite”)

Γ =1

τ

und folgen dem Zerfallsgesetz

dN = −ΓN dt, N(t) = N0e−Γt

Γ wird daher auch als Zerfallsrate pro Zeit bezeichnet. Treten mehrere Zerfallskanälemit Partial-Breite Γi auf, so ist die totale Breite gegeben durch

Γ =∑i

Γi

Das Verzweigungsverhältnis

BRi =ΓiΓ

gibt dann die relative Anzahl der Zerfälle in den Zerfallskanal i an.Die Partial-Breite für Zerfälle

a→ 1 + 2 + 3 + ...

kann gemäß Fermi’s goldener Regel aus den Feynman-Regeln berechnet werden,

dΓ =1

2Ea|M|2

(Πi

d~pi(2π)3 2Ei

)(2π)4 δ(pa − p1 − p2 − p3 − ...)

wobei der erste Faktor 1/2Ea die Anzahl der Teilchen im Anfangszustand angibt,|M |2 das Spin-Mittel des Matrixelements ist und die δ- Funktion 4-er Impulserhal-tung sicherstellt. Die Zerfallsrate Γ ist differentiell in den Impulsen aller Zerfallspro-dukte i. Insbesondere ergibt sich für einen 2-Körperzerfall a→ b+c im Schwerpunkt-system von a

dΓi =1

32π2|M|2 |P ∗b |

M2a

dΩb︸ ︷︷ ︸Phasenraum(PS)

6.7.1 Zerfälle durch Starke WW

Die starke WW erlaubt keine Umwandlung von fundamentalen Fermionen. Allerdingsbilden Hadronen aufgrund ihrer inneren Struktur angeregte Zustände mit höheremDrehimpuls, die in den Grundzustand zerfallen können. Als Beispiel dient das ∆++

Baryon. Es wurde von E.Fermi entdeckt und besteht aus drei u Quarks mit parallelem

78

Spin (∆++=u ↑ u ↑ u ↑) und Bahndrehimpuls L = 0. Fermi schloss daraus aufgrunddes Pauli-Prinzips für identische Fermionen auf die Existenz der Farbe der Quarks.Es kann in Reaktionen von Pionen und Protonen erzeugt werden,

π+ + p→ ∆++ → π+ + p

Ein typisches Zerfallsdiagramm ist

Die Lebensdauer τ∆++ ≈ 10−23s ist typisch für Zerfälle durch die starke WW.

6.7.2 Zerfälle durch Elektromagnetische WW

Auch die elektromagnetische WW kann keine elementaren Quanten umwandeln. Ingebundenen Systemen aus Teilchen und Antiteilchen können sich diese allerdingsgegenseitig vernichten. Ein Beispiel hierfür ist das π0 Meson, das leichteste allerHadronen,

π0 =1√2

(uu− dd)

Es zerfällt mit einem BR von über 99% gemäß

π0 → γγ

Die Lebensdauer beträgt τπ0 = 8, 4 · 10−17s, so dass c · τ ≈ 25ns ist. Das π0 zerfälltdamit “prompt”, d.h. auch bei hohen Impulsen immer noch nach unmessbar kleinenAbständen vom Entstehungsort.

Man könnte erwarten, dass auch der Zerfall π0 → γγγ erlaubt ist und etwa umeinen Faktor αem = 1/137 seltener ist als der Zerfall in zwei Photonen. Tatsächlichfindet man jedoch

BR(π0 → γγγ)

BR(π0 → γγ)< 3 · 10−8

79

Grund hierfür ist die Erhaltung der C- Parität in der elm. WW.. ElektromagnetischeWellen und damit Photonen werden von sich ändernden Strömen erzeugt, die sichunter Ladungsänderung umdrehen. Daher haben diese Ströme und damit auch dasPhoton negative C- Parität, Cγ = −1.

Da die elektromagnetische WW die C- Parität erhält gilt

C|π0 >= Cπ0 |π0 >= C|γγ >= C2γ |γγ >

und somit Cπ0 = 1. Demgegenüber hat ein Zustand mit drei Photonen Cγγγ = C3γ =

−1. Daher ist der Zerfall in drei Photonen verboten.

6.7.3 Schwache Zerfälle: Muon

Zu unterscheiden sind Prozesse der schwachen WW, bei denen genügend Energie vor-handen ist, so dass einW oder Z Boson als reelles Teilchen im Endzustand produziertwird, z.B.

t → bW+ oder

e+e− → Z0 (bei ECMS = MZ)

und solche Prozesse, bei denen das nicht der Fall ist, z.B.

µ− → νµe−νe

oderb→ c µ−νµ

Nur in ersterem Fall sind dieW,Z reell, so dass ihre Masse aus den Zerfallsproduktenrekonstruiert werden kann. In letzterem Fall sind die W,Z virtuell, d.h. p2

W,Z 6=MW,Z . Damit haben die W,Z auch keine feste Energie sondern es ergibt sich einkontinuierliches, breites Energiespektrum der Zerfallsprodukte (siehe Postulat desNeutrinos im β- Zerfall). Der Prozess muss daher als ein 3-Körperzerfall gerechnetwerden. Die Zerfallsrate ist gegeben durch

dΓ =1

2E|M|2 dQ.

Exemplarisch für den µ−- Zerfall

µ− → νµ e− νe

80

ist das Matrixelement

M =G√

2

(u(νµ)γ

µ(1− γ5)u(µ)

) (u(e)γµ(1− γ5)v(νe)

)Da der Impulsübertrag durch das W maximal die Masse des µ− sein kann, so dass|q2| < M2

µ, wird der Propagator des W hier durch die Masse des W genähert. Damitergibt sich für das Matrixelement nach den gleichen Rechenmethoden wie bei derBerechnung von Streuprozessen:

|M|2 =1

2

∑Spin

|M|2 = 64G2 (pνµ · pe) (pνe · pµ)

Integration des Phasenraums mit Hilfe der δ- Funktion ergibt schliesslich die Zerfalls-rate als Funktion der Energie des Elektrons, Ee, im Schwerpunktsystem des Muons

⇒ dΓ

dEe=

G2

12π3m2µE

2e

(3− 4Ee

mµ

)Dieses Energie-Spektrum kann unmittelbar mit Messresultaten verglichen werden.Durch Integration über Ee erhält man die Lebensdauer τµ,

Γ =1

τ=

∫ mµ/2

0

dΓ

dEedEe =

G2m5µ

192π3

Aus der Lebensdauer des Muons τµ = 2, 2 · 10−6 sec folgt ein sehr präziser Wert fürdie Fermi-Konstante für den Muon-Zerfall

Gµ = 1, 16635± 0, 00002 · 10−5GeV −2

Für den Neutron-Zerfall stimmt (wegen der Quark-Mischung in der CKM Matrix)der Wert bis auf wenige Prozent genau mit diesem überein.

Zu beachten ist, dass die Masse des Muons aufgrund des Phasenraums mit derfünften Potenz in die Zerfallsrate eingeht. Aus diesem Grund zerfallen schwerereTeilchen sehr viel schneller, z.B. liegt die Lebensdauer des c- Quarks nur bei 0.5·10−12

s. Hinzu kommt allerdings die Anzahl der Zerfalls- Moden und die CKM Mischung.

81

Spin Orientierung in µ Zerfall

Nahe des Endpunkts des Elektron-Energiespektrums hat das e− maximale Energie.Dies ist der Fall wenn die beiden Neutrinos genau parallel zueinander entgegengesetztzum e− fliegen. Wegen der V − A Kopplung der schwachen Wechselwirkung istdas νµ nur linkshändig und das νe nur rechtshändig. Da sie sehr leicht und damitultrarelativistisch sind folgt, dass ihre Helizitäten ebenfalls entgegengesetzt sind, ihreSpins sich also gegenseitig kompensieren, Sνµ +Sνe = 0. Wegen Drehimpulserhaltungmuss dann der Spin des e− parallel zum µ- Spin sein. Da das e− linkshändig undsehr schnell ist folgt, dass sein Impuls bevorzugt entgegengesetzt zum Spin des µ seinsollte. Daher ist für polarisierte Müonen der Zerfall nicht isotrop.

Unterdrückt:

Erlaubt:

Polarisierte µ+ erhält man z.B. aus dem Zerfall π+ → µ+νµ. Die Winkelverteilungder e+ ist dann ∼ 1 − P cos θ, wobei P die Polarisation der µ und θ der Winkelzwischen µ-Polarisation und e-Impuls ist.

6.7.4 Schwache Zerfälle: Pion

Experimentell findet man für die Zerfälle

π+ → µ±(−)νµ

π+ → e±(−)νe

BRπ→µνBRπ→eν

= 8, 3 · 103

82

Die naive Erwartung wäre hingegen, dass die Kopplungen und Matrixelemente gleichsind, der Impuls der Elektronen in diesem Zerfall jedoch größer ist als der der Muonen(mπ± = 0, 1396GeV, mµ = 0, 1056GeV, me = 0, 000511GeV ). Damit ist auch derPhasenraum größer, so dass der Zerfall in Elektronen häufiger sein sollte. Das istaber in klarem Widerspruch zum Experiment.

Der Grund hierfür liegt in der V-A Struktur der schwachen WW.Wie bereits obendiskutiert entstehen aus dem π− Zerfall linkshändige e− bzw. µ−, die jedoch positiveHelizität haben. Da aber insbesondere das sehr leichte e− fast relativistisch ist mussdieser Prozess stark unterdrückt sein gegenüber dem Zerfall in das viel schwerereµ−. Zur Berechnung des π± Zerfalls muss ein Strom für ein gebundenes qq′-Systemgefunden werden. Der einzige relevante Vektor für spinloses Teilchen ist der Impuls.Daher wählt man den Ansatz für die 4-er Vektoren des Stroms den 4-er Impuls desPions, (pπ = pµ + pν)

Jπ = fπ · pπ = fπ (pµ + pνµ)

wobei die Konstante fπ die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass sich die beiden Quarksim Pion hinreichend nahe kommen um eine schwache WW zu efahren. Damit ist dasMatrixelement für den Zerfall in ein µ:

M =G√

2fπ (pαµ + kαν ) (u(µ)

1

2γα(1− γ5)v(ν))︸ ︷︷ ︸µ−νµ Strom

Die Zerfallsbreite folgt daraus zu

Γπ→µν =1

τ=G2

8πf 2πmπm

2µ

(1− m2

µ

m2π

)2

Der hintere Klammerausdruck entspricht dem Phasenraumfaktor (hohe Massen sindunterdrückt), der Faktor m2

µ hingegen ergibt sich aus dem Matrixelement und cha-rakterisiert die V − A Wechselwirkung. Das Ergebnis für den Zerfall in e−νe ergibtsich analog. Damit ist das Verzweigungsverhältnis:

Γπ+→e+νeΓπ+→µ+νµ

=

(me

mµ

)2(m2π −m2

e

m2π −m2

µ

)2

=

(1

8, 3 · 103

)−1

Dies ist genau der experimentelle Wert, eine glänzende Bestätigung der V-A Theorie.

Die Zerfallskette π → µ→ e

Stoppt man π+ in Material, so beobachtet man die gezeigt Energieverteilung vonElektronen 7. Der sehr seltene π- Zerfall in Elektronen führt zu einer monoenerge-tischen Energie der e bei fast der halben π- Masse. Die Muonen stoppen ebenfalls

7π+ eignen sich besser, da sie von Kernen elektrisch abgestoßen werden. Dagegen werden π−

schnell von Kernen eingefangen.

83

nach sehr kurzer Strecke. Der häufigere Zerfall des π+ → µ+νµ mit µ+ → νµe+νe

führt dagegen zu einem kontinuierlichen Energiespektrum, das ein Maximum na-he der halben Muon-Masse besitzt. Der Endpunkt dieses Spektrum wird neben derElektronen-Masse auch von der Masse der Neutrinos abhängen. Auf diese Weisewurde in Tritium-Zerfällen eine Grenze auf die Masse des Elektron-Neutrinos vonmνe < 4 eV ermittelt.

84

6.8 Neutrino Streuung

Pionen und Kaonen lassen sich in großer Anzahl in Proton-Kern Wechselwirkungen(fixed-Target) erzeugen. Fokussiert man diese so entstehen auf langen Zerfallsstreckendurch Zerfälle Neutrinos, z.B.

π+ → µ+νµ

K+ → µ+νµ

6.8.1 Geladener Strom

Der “Charged Current” Neutrino - Proton (oder Neutron) Wirkungsquerschnitt für

νµ + p→ µ− +X

lässt sich dann über die entsprechenden geladenen Leptonen (hier das µ) messen. Manfindet bei den verfügbaren Strahlenergieen einen fast linearen Verlauf des totalen WQ(siehe Abbildung),

σtot ' 0, 6 · 10−38cm2 · EνGeV

Für ein fixed-target Experiment νµ + p→ µ+X ist das Quadrat der Schwerpunkt-senergie s = (pν + pp)

2 ≈ 2Eνmp, so dass auch gilt:

σ ∼ s

Im Quark-Parton-Modell enstpricht der Prozess der ν-Quark Streuung, z.B.

νµd→ µ−u

mit der Schwerpunktsenergie s = xs.

dσ

dΩ=G2 · s4π2

da s die einzige Variable mit Dimension [GeV] ist.

Dieser Prozess ist erlaubt für alle Winkel, da es keine Vorzugsrichtung durch die Spins

85

Abbildung 11: Neutrino-Nukleon Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutrino-Energie. Mit Nukleon ist der Mittelwert für p und n gemeint (“isoskalarer” Kern).Im Vergleich auch eine Interpretation des WQ für ep→ νeX aus HERA-Daten.

86

gibt.

νµu→ µ+d

dσ

dΩ=G2 · s16π2

(1− cos θ)2

In diesem Prozess ist die Rückwärtsstreuung (θ = 180) verboten wegen Helizitäts-und Drehimpulserhaltung. Mit 1− y = p·k′

p·k = 12(1 + cos θ) gilt

νµd→ µ−u :dσ

dy=G2x · sπ

νµu→ µ+d :dσ

dy=G2x · sπ

(1− y)2

6.8.2 Divergenzen in der V-A Theorie

Das Matrix-Element für 4-Fermionen- WW ist proportional zur Fermi-Konstante

G ' 10−5GeV −2

Für das Beispiel νµe− → νµe− ist mit dem 4-er Impulsübertrag Q2 = −(pν − pe)2

dσ

dQ2=G2

π

Damit hängt σtot vom maximalen Q2 ab, und wegen Q2max = s folgt

σtot 'G2 · sπ

87

Das kann physikalisch nicht sinnvoll sein!

Unitaritätsgrenze:Die Intensität gestreuter Teilchen kann nicht größer werden als die Intensität dereinlaufenden Teilchen. Die Grenze wird erreicht für Impulse im CMS von ∼ 300GeV .

Dies ist ein allgemeines Problem für alle dimensionsbehafteten Kopplungen, denn(Dimensions-Argument)

[σ] = (Fläche)=1

GeV 2

Wegen

[G2] =1

GeV 2

und[s] = GeV 2

ist bei hohen Energien (s >> m2i ) die einzige relevante Größe mit Dimension die

Schwerpunktsenergie.

Zum Vergleich: Die QED- Kopplung α = 1137

hat keine Dimension, dei QED hatdamit dieses Problem nicht. Gleiches gilt für die QCD. Beides sind “renormierbare”Theorien.

Lösung in schwacher WWIn der schwachen WW wird G als W - Boson Propagator interpretiert.

so dassσ ∼ 1

Q2 +M2W

88

oder genauer:

dσ

dΩ=

G2 · s4π2

1

1 + Q2

M2W

2

⇒ σtot →G2M2

W

πfür s→∞ wird σ wird konstant!

Experimenteller Nachweis des W-Propagators

Hohe Schwerpunktsenergie kann kaum bei fixed-target-Experimenten erreicht wer-den, z.B. für einen ν-Strahl bei Eν ∼ 200GeV folgt √sνp =

√2EνEp = 19GeV .

Bei HERA wurden ep→ νX Prozesse beobachtet, die sich als νp Prozesse inter-pretieren lassen.

Hera: Charged Current Process

e pHERA: √sep = 300GeV 27, 5GeV × 820GeV

Im Ruhesystem des Protons entspricht dies E∗e ∼ 48000GeV . In der Abbildungerkennt man den Effekt des W - Propagators erstmalig in der ν- Streuung.

6.8.3 Neutrale Ströme: Z0 Austausch

Die Neutralen Ströme wurden 1973 entdeckt,

inelastisch: νN → νX

elastisch: νµe− → νµe

−

89

Experimentell nicht beobachtet hingegen werden “Flavour changing neutral cur-rents” (FCNC) wie z.B. νee→ νµµ oder K0 → µ+µ−.

Solche FCNC sind im Standard-Model tatsächlich verboten durch den sogenann-ten “GIM” Mechanismus, der gilt, wenn alle Generationen vollständig sind. Aus dernicht-Beobachtung von FCNCs wurde daher

• nach Entdeckung des s- Quarks auch das c- Quark vorhergesagt,

• nach Entdeckung des b- Quarks auch das t- Quark vorhergesagt,

• nach Entdeckung des τ - Leptons auch das ντ vorhergesagt.

In jedem dieser Fälle wurde das vorhergesagte Teilchen dann auch tatsächlich gefun-den.

Gleichzeitig schränkt die nicht-Beobachtung von FCNCs auch viele Modelle zurPhysik jenseits des Standard-Modells ein. Man kann also nicht einfach ein einzelnesweiteres Quark oder Lepton postulieren, ohne auch gleichzeitig den entsprechendenSU(2) Partner mit anzunehmen. Später werden wir sehen, dass man sogar aus derBeobachtung eines einzelnen weiteren Leptons oder Quarks folgen kann, dass dieganze Generation mit allen Leptonen und allen Quarks vorhanden sein muss.

90

7 Übersicht EichtheorienDas heutige Verständnis der Wechselwirkungen der Teilchen beruht im Wesentlichenauf der Erkenntnis, dass diese Wechselwirkungen bestimmten Symmetrien gehorchen.Diese lassen sich durch Symmetriegruppen formulieren; im Standard-Modell sind diesU(1)Y , SU(2)L und SU(3)C . Eichtheorien sind der mathematische Formalismus zurBeschreibung von Symmetrien in der Quantenfeldtheorie. Schematisch folgen dieseTheorien den folgenden Gedankenschritten:

1. Postuliere Invarinaz der Lagrange-Dichte unter einer Eichtransformation, zu-meist einer SU(n):

• U(1)Y : Phasen-Rotation, Kopplung g′, Teilchen i hat “Hyperladung” Yi• SU(2)L: Rotation im schwachen Isospin (z.B. νe, ↔ e), Kopplung g• SU(3)C : Rotation der Farb-Freiheitsgrade (rot-grün-blau)

2. Sortiere alle Fermionen in SU(n)-Multipletts, also z.B.(νee

)L

,

(νµµ

)L

,

(tb

)L

,

u-rotu-grünu-blau

, ..., eR, ..., tR

Postuliere neues Teilchen, falls nötig, um Multiplett zu vervollständigen (siehez.B: Vorhersage des Top-Quarks)

3. Eichinvarianz erzwingt neue Kopplung (hier g) und Form der WW. Ersetzedafür ∂µ durch Dµ

L = iψγµ∂µψ → L = iψγµDµψ

mit Dµ = ∂µ + igV aµ Ta

Zur vollständigen Beschreibungen aller möglich Rotationen sind für SU(n) ins-gesamt n2− 1 neue Vektorfelder V a

µ notwendig, a = 1, 2, ...n2− 1. Die Quantendieser Felder sind die Eichbosonen.

U(1)Y : Bµ, a = 1, Ta = Y2

1 B

SU(2)L: W aµ , a = 1, . . . , 3 Ta = τa

23 W

SU(3)C : Gaµ, a = 1, . . . , 8 Ta = λa

28 Gluonen

4. Addiere kinetischen Term: LV = −14V a

µνVaµν

V aµν = ∂µV

aν − ∂νV a

µ + gfabcVbµV

cν

Der letzte Term ist notwendig für Eichinvarianz und beinhaltet die Selbstwech-selwirkung der neuen Vektorfelder. Für z.B. die SU(2) sind die “Strukturkon-stanten” fabc = εabc (Levy-Chivita Symbol).

91

5. Postuliere neues Higgs-Feld φ um Massen zu ermöglichen:

Lφ = |Dµφ|2−µ2|φ|2 − λ|φ|4︸ ︷︷ ︸Potential

Da Dµφ = (∂µ + igV aµ Ta)φ die Vektorfelder beinhaltet sagt die Eichinvarianz

also eine WW zwischen Higgs und Vektorfeldern voraus.

Das Potential V (φ) = µ2|φ|2 + λ|φ|4 hat für µ2 < 0 ein Minimum bei φ 6= 0(“Spontane Symmetrie-Brechung”). Daraus folgt eine Masse der Eichbosonen.

6. addiere Higgs-Fermion WW um Fermionen-Massen zu erzeugen

92

8 Eichtheorie der elektro-schwachen WechselwirkungIm Folgenden wird die Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung abgelei-tet und die daraus folgenen Vorhersagen diskutiert. Zugrunde liegt eine Eichtheorie,die auf der SU(2)L × U(1)Y Symmetrie beruht. Für die U(1)Y ist die Lagrange-dichte exakt die der QED, wobei nur die Kopplungskonstante der QED durch dieKopplungskonstante g′ und die elektrische Ladung der Fermionen durch die Hyperla-dung Y ersetzt wird. Die SU(2)L hingegen ist eine nicht-Abel’sche Eichtheorie. DerFormalismus entspricht damit exakt dem der QCD, wobei die Farben der Quarksbei allen Fermionen durch den schwachen Isospin ersetzt wird und die λa Matri-zen durch die Pauli-Matrizen. Hinzu kommen allerdings Paritätsverletzung in derSU(2)L, Mischung zwischen den Eichbosonen der SU(2)L und der U(1)Y und diespontane Symmetriebrechung mit dem Higgs-Feld zur Beschreibung der Masse allerTeilchen.

8.1 Massen der Fermionen

Zur Beschreibung der schwachen WW mit Paritätsverletzung wird eine SU(2) Sym-metrie angenommen, die nur für linkshändige Fermionen gelten soll: SU(2)L.

Als Beispiel dienen die beiden Leptonen der ersten Generationen. Um Paritäts-verletzung beschreiben zu können werden diese als ein linkshändiges Doublett ψL imRaum des schwachen Isospins und als rechtshändige Singletts aufgefasst,

ψL =

(νLeL

), eR, νR

Wir betrachten unitäre Transformationen im Isospin-Raum,

ψL′ = UψL eR

′ = eR, νR′ = νR

wobei U ein Element der Symmetriegruppe SU(2)L ist, das durch eine 2× 2 Matrixmit U †U = 1 und det U = 1 dargestellt werden kann. Die rechtshändigen Singlettswerden nicht transformiert. Für die Massenterme von e und ν in der Lagrange-Dichtegilt mit e = eR + eL und eReR = 0, eLeL = 0,

Lm = −mν νν −meee = −mν νRνL −mν νLνR −meeReL −meeLeR

Diese Lagrangedichte kann nicht eichinvariant sein, da sich νL und eL bei SU(2)LTransformationen ändern, νR und eR jedoch nicht. Expliziter kann man auch schrei-ben

Lm = −(νR, eR)

(mν 00 me

)(νLeL

)− (νL, eL)

(mν 00 me

)(νReR

)

93

Bei einer SU(2)L Eichtransformation wird daraus:

Lm′ = −(νR, eR)

(mν 00 me

)U

(νLeL

)− (νL, eL)U †

(mν 00 me

)(νReR

)Dies wäre nur eichinvariant falls mν = me und falls sich außerdem auch die rechts-händigen Komponenten transformieren wie die linkshändigen. Beide Voraussetzun-gen sind nicht gegeben. Symmetrien von chiralen Theorien zur Beschreibung vonParitätsverletzung lassen also prinzipiell keine Massenterme zu; alle Fermionen müs-sten masselos sein.

me = 0, mν = 0.

Dies ist experimentell natürlich nicht so. Ein Ausweg ist der Mechanismus der spon-tanen Symmetriebrechung.

8.2 SU(2)L und schwacher Isospin

Zur Beschreibung der schwachen WW mit Paritätsverletzung wird eine SU(2) Sym-metrie angenommen, die nur für linkshändige Fermionen gelten soll: SU(2)L.

Wie oben diskutiert sind in einer solchen Theorie Massen der Fermionen verboten.Betrachtet man daher zwei freie, linkshändige Dirac-Teilchen mit Masse m = 0, solautet die Lagrangedichte

LL = ψ1,L (iγµ∂µ)ψ1,L + ψ2,L (iγµ∂µ)ψ2,L

SeiψL =

(ψ1,L

ψ2,L

)ein Doublett im Raum des schwachen Isospin. Damit lässt sich die Lagrangedichteschreiben als

LL = ψL (iγµ∂µ)ψL

Wir betrachten unitäre Transformationen im Isospin-Raum,

ψ′L = UψL ψ′R = ψR

wobei U ein Element der Symmetriegruppe SU(2)L ist, das durch eine 2× 2 Matrixmit U †U = 1 und det U = 1 dargestellt werden kann. Die rechtshändigen SinglettsψR werden nicht transformiert.

Offensichtlich ist LL invariant unter globalen SU(2)L Transformationen, denn

L′L = ψ′L(iγµ∂µ)ψ′L = ψLU†(iγµ∂µ)UψL = ψL(iγµ∂µ)U †UψL = LL

Als Konstruktionsprinzip für Naturgesetzte werden im Folgenden wie in der QEDund QCD lokale Eichtransformationen betrachtet, unter denen die Larangedichteinvariant bleiben soll.

94

Diese Transformationen verändern – ortsabhängig und zeitabhängig - sowohl dieKomponenten der Doubletts als auch deren Phasen. Sie können immer in der Form

ψL → ψ′L = UψL = eig αa(x)TaψL

dargestellt werden. Die 2 × 2 Matrizen Ta müssen linear unabhängig, spurlos undhermitesch sein. Es gibt höchstens drei solche Matrizen8. Als Generatoren Ta derSU(2)L können z.B. die

Ta =σa2

a = 1, 2, 3.

gewählt werden, wobei die σa die bekannten Pauli-Matrizen sind. Die αa(x) sind will-kürliche relle Funktionen von Ort und Zeit und Summation über a ist impliziet. Dierelle und beliebige Konstante g wird später als Kopplungskonstante der W Bosoneninterpretiert werden. Die Ta befolgen die Kommutator-Relationen

[Ta, Tb] = ifabcTc

wobei im Fall der SU(2) gilt: fabc = εabc (ε = Levi-Chivita Tensor).Die Lagrangedichte LL soll invariant unter lokalen SU(2)L Transformationen sein.

Wie aus der Diskussion der QCD bekannt ist dies genau dann der Fall, wenn

• ∂µ durch Dµ = ∂µ + ig TaWµa ersetzt wird,

• dieW µa drei neue Vektorfelder (Eichfelder) sind, eins für jeden Generator. Diese

müssen sich transformieren wie

W µa → W µ ′

a = W µa − ∂µαa(x)− gfabc αb(x)W µ

c

• ein Tensor der Form

W µνa = ∂µW ν

a − ∂νW µa − gfabcW µ

b Wνc

definiert wird um die kinetische Energie der neuen Eichfelder zu beschreiben.8Beliebige n × n unitäre Matrizen bestehen aus 2n2 Zahlen (für Real- und Imaginärteil). Uni-

tarität bedeutet U†U = 1, wobei 1 eine 2 × 2 Einheitsmatrix mit n2 Elementen ist, so dass diesn2 Gleichungen sind. Für Elemente der SU(N) kommt die Gleichung detU = 1 hinzu. Insgesammtergibt das 2n2 − n2 − 1 = n2 − 1 unabhängige Parameter je SU(N) Matrix. Damit kann jedederartige Matrix als Linearkombination von ebensovielen linear-unabhängigen Matrizen dargestelltwerden, die als Basis für diese Matrizen aufgefasst werden können. Demnach gibt es auch nur n2−1unabhängige Matrizen Ta.

95

Damit ergibt sich die gesammte, eich-invariante Lagrange-Dichte zu

LL = ψL (iγµDµ)ψL −

1

4WaµνW

µνa

= ψL (iγµ∂µ)ψL︸ ︷︷ ︸

ψL − Ekin(Propagator)

− g ψL (γµTaWµa )ψL︸ ︷︷ ︸

ψL=(νe

)koppelt mitStärke g andrei Felder W µ

a

− 14WaµνW

µνa︸ ︷︷ ︸

W 2=Eking W 3=3-fach Vertexg2W 4=4-fach Vertex

Die Vertizes der Theorie umfassen damit (wie schon in der QCD) neben dem Fermion-Boson Vertex auch 3-Bosonen und 4-Bosonen Vertizes, alle mit der gleichen Kopp-lungskonstante g (oder g2).

Die Eichinvarianz solcher nicht-Abelschen Lagrangedichten wurde schon bei der QCDgezeigt.

8.2.1 Erfolge der SU(2)L- Theorie

• Diese SU(2)L Theorie beschreibt die Umwandlung von Teilchen:

e↔ νe t↔ b

• Sie sagt drei neue Eich-Bosonen voraus: W µa , a = 1, 2, 3

• Sie legt durch Symmetrie die Form der WW zwischen allen Fermionen und denneuen Bosonen fest und verlangt dafür nur eine neue Naturkonstante: g.

• Sie sagt Selbst-WW der Bosonen voraus und deren Stärke, g. Ursache hierfürist, dass bei einer nicht- Abelschen Symmetrie die Eichtransformationen nichtkommutieren:

[Ta, Tb] = ifabcTc

• Paritätsverletzung wird beschrieben, denn nur die linkshändigen Teilchen, nichtdie rechtshändigen, nehmen an der WW teil.

96

8.2.2 Probleme der SU(2)L Theorie

Massen der Fermionen können nicht beschrieben werden, wie oben diskutiert.

Masse der Eichbosonen: Ein Masseterm LmW = −m2WW

µaWaµ ist nicht eichinva-

riant und damit wäre die Theorie nicht renormierbar sondern divergent. Dahermuss mW = 0 gelten. Experimentell findet man aber zwei verschiedene sehrgroße Werte, mW = 80, 4 GeV und mZ = 90 GeV.

Paritätsverletzung und Kopplung beim Z0 In diesem Modell würden alle dreiEichbosonen mit der gleichen Stärke an alle linkshändigen Fermionen koppeln.Experimentell findet man hingegen, dass das Z0 zwar linkshändige Fermio-nen bevorzugt, aber auch an rechtshändige koppelt. Auch hat das Z0 andereKopplungskonstanten als dasW , und diese sind nicht gleich sind für Neutrinos,geladene Leptonen und unterschiedlich geladene Quarks.

8.3 U(1)Y und Hyperladung

Zur Behebung der oben genannten Probleme mit der Paritätsverletzung und denKopplungen des Z0 wird im Standard-Modell eine Kombination aus SU(2)L undU(1)Y eingeführt. Das Resultat wird sowohl Elektromagnetismus als auch schwacheWW beschreiben. Nur die Massen der Fermionen und Bosonen können so noch nichtbeschrieben werden.

Die aus der U(1)Y Symmetrie folgende Wechselwirkung ist ebenso fundamentalwie die QCD (SU(3)C) und die schwache WW (SU(2)L). Die U(1)Y beruht wie dieQED auf einer lokalen Eichtheorie mit U(1) Symmetrie. Anstelle der elektrischen La-dung tritt allerdings eine Kopplungskonstante g′ und, für jedes Teilchen individuell,eine sogenannte Hyperladung Y . Ausserdem gibt es ein Eichboson, das Bµ genanntwird (dies ist nicht das Photon). Die kovariante Ableitung lautet

Dµ ≡ ∂µ + ig′Y

2Bµ(x),

Die Lagrange-Dichte für eine U(1) Theorie wurde im Kapitel zur QED diskutiert.Hier wird sie für z.B. e und νe mit Hilfe de Doubletts ψL und der Singletts eR, νRfür masselose Fermionen (m = 0) formuliert:

LY = ψ (iγµDµ)ψ − 1

4BµνBµν

= ψ (iγµ∂µ)ψ︸ ︷︷ ︸kin. Term ψ

− g′Y

2ψ (γµBµ)ψ︸ ︷︷ ︸

Neue Wechselwirkung

− 1

4BµνBµν︸ ︷︷ ︸

kin. Term Bµ

Hierbei istBµν = ∂µBν − ∂νBµ

97

Auf den ersten Blick unterscheidet diese Wechselwirkung nicht zwischen linkshändi-gen und rechtshändigen Teilchen.

Der Faktor 1/2 bei Y ist reine Konvention. Das Eichboson Bµ ist masselos undhat keine Selbst-Wechselwirkung. Die Zahlenwerte für g′ und die Quantenzahlender Fermionen Y müssen experimentell bestimmt werden. Wie später gezeigt wirdergeben sich

g′ =??

und

Teilchen νeL , eL νeR eR uL, dL uR dRHyperladung Y -1 0 -2 1/3 4/3 -2/3

Teilchen innerhalb eines likshändigen Doubletts haben also die gleiche HyperladungY , aber es gibt Unterschiede zu den beiden rechtshändigen Singletts, sowohl für dieLeptonen als auch für die Quarks. Daher ist auch diese WW paritätsverletzend undder Wechselwirkungsterm in der Lagrangedichte muss interpretiert werden als

LY = ψ (iγµ∂µ)ψ + g′YR2ψR (γµBµ)ψR + g′

YL2ψL (γµBµ)ψL −

1

4BµνBµν

Teilchen der anderen Generationen haben die gleichen Hyperladungen wie die Teil-chen der ersten Generation. Die Zahlenwerte für Y sind, ebenso wie die elektrischenLadungen der Leptonen und Quarks, zunächst willkürlich. Wir werden im Folgenensehen, wie die elektrische Ladung der Teilchen aus der Hperladung und dem Isospinabgeleitet werden kann.

8.4 SU(2)L ×U(1)Y

Die Kombination der beiden Eichtheorien (Vereinheitlichung) soll wieder mit Hilfeder schwachen Isospin-Doubletts und Singletts formuliert werden. Die Lagrangedichtewird Paritätsverletzung beschreiben und masselose W±, Z0 und γ beinhalten. DieLagrangedichte ist zunächst einfach die Summe der Formeln für die SU(2)L undU(1)Y .

L = −1

4Wa

µνWaµν −1

4BµνBµν +

∑ψLiγµD

µψL +∑

ψRiγµDµψR

Die Summen laufen hier über alle linkshändigen Doubletts ψL und rechtshändigenSingletts ψR der Quarks und Leptonen des Standardmodells. Die Y Werte sind wieoben angegeben für Doubletts und Singletts unterschiedlich. Die kovarianten Ab-leitungen unterscheiden sich ebenfalls für die Doubletts und die Singletts, da die

98

Singletts nicht an die SU(2)L Bosonen koppeln. Effektiv ist also:

für linkshändige ψL : DµL ψL = (∂µ + igTaW

µa + ig′

Y

2Bµ) ψL

für rechtshändige ψR : DµR ψR = (∂µ + ig′

Y

2Bµ) ψR

Wie vorher sind

• g, g′ sind die Kopplungen der SU(2)L, U(1)Y .

• Y ist die U(1)Y Ladung (“Hyperladung”) der Fermionen

• Bµ ist das Eichfeld der U(1)Y (nicht das Photon).

• W µa sind die drei Eichfelder der SU(2)L.

Setzt man in den Ausdruck für Dµ die Generatoren und damit die Pauli-MatrizenTa = σa/2 explizit ein, so findet man:

Dµ = ∂µ + igTaWµa + ig′

Y

2Bµ

= ∂µ +ig

2

((0 11 0

)W µ

1 +

(0 −ii 0

)W µ

2 +

(1 00 −1

)W µ

3

)+ ig′

Y

2Bµ

= ∂µ +ig

2

(W3 W1 − iW2

W1 + iW2 −W3

)µ+ ig′

Y

2

(B 00 B

)µIn L sind die Wechselwirkungsterme zwischen Eich- Bosonen und z.B. der erstenGeneration der linkshändigen Leptonen gegeben durch:

LL = ψL iγµDµψL = (νe, e)L iγµD

µ

(νee

)L

Offenbar erzeugen in Dµ nur die nicht-diagonalen Elemente der ersten Matrix eineWechselwirkung, bei der gleichzeitig e und νe beteiligt sind. Für solche Flavour- undLadungs- ändernden WW macht es daher Sinn Aufsteige- und Absteige-OperatorenT± und entsprechende Eichbosonen W+,W− zu definieren:

W± =1√2

(W1 ∓ iW2)

T± =1√2

(T1 ± iT2)

99

so dassT+ =

1√2

(0 10 0

)T− =

1√2

(0 01 0

)In dieser neuen Basis für die Boson-Felder ist die SU(2)L Wechselwirkung dann:

Dµ = ∂µ +1√2

(0 W+

W− 0

)µ+

1

2

(gW3 + g′Y B 0

0 −gW3 + g′Y B

)µ= ∂µ + (T+W+ + T−W−)µ + (gT3W3 + g′

Y

2B)µ

= ∂µ + DµW + Dµ

γZ

Hierbei wurden die Flavour-ändernden nicht-diagonal Elemente der SU(2)L von denFlavour-erhaltenden Diagonalelementen getrennt. Die einzelnen Terme in der La-grangedichte L = ψiγµD

µψ haben folgende Bedeutung:

• ψiγµ∂µψ ist die kinetische Energie der Fermionen. Die Fermionen haben wie

diskutiert keinen Masseterm.

• ψiγµDµWψ beschreibt die Wechselwirkungen von W± Bosonen mit Fermionen.

• ψiγµDµγZψ beschreibt die Wechselwirkungen von γ und Z0 mit Fermionen.

8.5 Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen

Angewendet auf die linkshändigen Doubletts ergibt sich aus DµW die Lagrangedichte

LL = igψL iγµ(T+W+ + T−W−)µψL

=1√2ig (νe, e)L iγµ

(0 W+

W− 0

)µ(νee

)L

= − 1√2g (νeLγµW

+µeL + eLγµW−µνeL)

Der erste Term beschreibt die Umwandlung eines e−L in ein νL unter Abstrahlungeines W− Bosons. Der zweite Term beschreibt den umgekehrten Prozess.

100

8.6 Mischung von Photon und Z0

Der Term mit DµγZ beschreiben neutrale WW mittels der W3 und B Eichbosonen,

die die Flavour und die Ladung nicht ändern. Zur obigen Lagrange-Dichte LL für dielinkshändigen Fermionen muss der Term für rechtshändige WW zwischen Fermionenund B hinzuaddiert werden.

Lγ,Z = LW3,B = ψLiγµi(gT3Wµ + g′

Y

2Bµ)ψL + ψRiγµi (g′

Y

2Bµ) ψR︸ ︷︷ ︸

eR,νR

=∑

ψ=eL,eR,νL,νR

ψiγµi (gT3Wµ + g′

Y

2Bµ) ψ

Für die letzte Zeile ist zu beachten, dass

T3|νR >= 0, T3|eR >= 0

ist, denn rechtshändige Fermionen nehmen nicht an der SU(2)L WW teil.Die beiden Eichbosonen W3 und B koppeln in dieser Schreibweise beide an die

gleichen Teilchen. Es ist daher jederzeit möglich auch hier einen Basis-Wechsel vor-zunehmen in der Form (

W µ3

Bµ

)=

(cos θW sin θW− sin θW cos θW

)(Zµ

Aµ

)ohne das sich die Physik ändert9. Dies ist offenbar eine Rotation um den sogenanntenWeinberg-Winkel θW . Damit ergibt sich:

Lγ,Z =∑eν

iψiγµ(g sin θWT3 + g′Y

2cos θW )︸ ︷︷ ︸

KopplungFermion−Photon

Aµψ

+ iψiγµ(g cos θWT3 − g′ sin θWY

2︸ ︷︷ ︸Kopplung Fermion-Z0

)Zµψ

8.7 Elektromagnetismus

Verlangen wir nun, dass das Feld Aµ das Photon des Elektromagnetismus ist, ergibtsich für die elektrische Ladung Q eines Teilchens,

eQ = g sin θwT3 + g′ cos θWY

2

= e T3 + eY

29Diese Ersetzung wird erst später notwendig, wenn durch den Higgs Mechanismus dem Z- Boson

eine Masse zugeordnet wird, dem Photon Aµ aber nicht.

101

Mit der Definition

Q = T3 +Y

2

erhält man als Beziehung zwischen Weinbergwinkel und den Kopplungskonstanten

e = g sin θW = g′ cos θW

Die Y Werte in der obigen Tabelle der Quantenzahlen wurden gerade so gewählt,dass die Gleichung Q = T3 + Y/2 erfüllt ist.

8.8 Wechselwirkungen des Z0 mit Fermionen

In der Kopplung der Fermionen an das Z0

gZ = g cos θWT3 − g′ sin θWY

2

kann man die U(1)Y Konstanten g′ und Y zugunsten der Parameter e und Q desElektromagnetismus eliminieren:

gZ =e

sin θW cos θW(T3 − sin2 θW Q)

so dassDµγZ = ieQAµ + igZZ

µ

Die Lagrange-Dichte ist somit:

Lγ,Z =∑eν

iψ iγµ (eQAµ + gZZµ)ψ

Q T3 Y T3 − sin2 θWQ 2cV 2cA

νeL 0 12−1 1

21 1

eL −1 −12−1 −1

2+ sin2 θW −1 + 4 sin2 θW −1

νeR 0 0 0 0 1 1

eR −1 0 −2 sin2 θW −1 + 4 sin2 θW −1

uL23

12

13

12− 2

3sin2 θW 1− 8

3sin2 θW 1

dL −13−1

213−1

2+ 1

3sin2 θW −1 + 4

3sin2 θW −1

uR23

0 43

−23

sin2 θW 1− 83

sin2 θW 1

dR −13

0 −23

13

sin2 θW −1 + 43

sin2 θW −1

102

Da das Z0 eine Mischung von W3 (linkshändig) und B (links und rechthändig) ko-pelt es sowohl an links- als auch an rechtshändige Fermionen. Man führt daher dieKonstanten cV und cA ein, die die relative Stärke der Vektor und Axialvektor- WWbeschreiben sollen:

1

2(cV − cAγ5)ψ =

1

2gL(1− γ5)ψ +

1

2gR(1 + γ5)ψ = gLψL + gRψR

=1

2

((gL + gR)− (gL − gR)γ5

)ψ

Damit ist

cV = gL + gR V ektorkopplung

cA = gL − gR Axialvektorkopplung

103

8.9 Mischung von Quarks und Leptonen

Die bisherige Darstellung der Quark- und Lepton Doubletts für die schwache WWerlaubt nur Übergänge innerhalb eines Doubletts, also z.B.

e↔ νe, u↔ d

Tatsächlich findet man jedoch auch Zerfälle wie

K+ → µ+νµ

Da K+ = us ist muss es also auch Übergänge zwischen den Generationen derQuarks geben. Tatsächlich unterscheiden sich die Quarks der einzelnen Generatio-nen nur durch ihre Masse, nicht aber durch ihre Quantenzahlen. Es kann daher auchsein, dass die W - Bosonen nicht direkt an die einzelnen Generationen koppeln son-dern an Linearkombinationen aus den einzelnen Generationen. Diesen Mechanismusnennt man Quark Mischung oder, für die ersten beiden Generationen, den Cabbibo-Mechanismus. Ähnliches existiert für die Neutrinos.

Im Folgenden wird unterschieden zwischen

Masseneigenzuständen der Quarks, also u = (u, c, t) und d = (d, s, b). Dies sindZustände, die in elektromagnetischen oder starken Prozessen erzeugt werden.

Schwache Eigenzustände der Quarks, also u′ = (u1′, u2

′, u3′) und d′ = (d1

′, d2′, d3

′).

Hierbei sollen die ui′ (di′) Linearkombinationen der ui (di) sein.

u′ = U u

d′ = Dd

d.h. U und D sind unitäre Matrizen, die Transformationen (Rotationen) im Raumder Generationen bewirken. Schwache WW werden diagonal in den Eigenzuständender schwachen WW sein, so dass entsprechende Terme für W±- Austausch in derLagrangedichte die Form haben:

L = u1′ (iγµD

µ)d1′ + u2

′ (iγµDµ)d2

′ + u3′ (iγµD

µ)d3′

= u′ (iγµDµ) d′

= u U † (iγµDµ) Dd

= u (iγµDµ) U †Dd

= u (iγµDµ) V d

Damit lässt sich die Mischung der Quarks über eine einzige unitäre Matrix V = U †Dbeschreiben, die nur die d-Quarks betrifft.

104

Beachtenswert ist, dass eine solche unitäre Transformation der Quark-Zuständefür neutrale Ströme keinerlei Auswirkungen hat.

L = u1′ (iγµD

µ)u1′ + u2

′ (iγµDµ)u2

′ + u3′ (iγµD

µ)u3′

= u (iγµDµ) U †U u

= u (iγµDµ) u

Daher gibt daher keine Flavour-ändernden neutrale Ströme (FCNC).Die Matrix V ist die sogenante CKM Matrix nach Cabbibo, Kobayashi und Mas-

kawa. Eine solche 3×3 Matrix besitzt 3 reele Parameter und eine komplexe Phase10.Da Übergänge innerhalb einer Generation stark überwiegen läst sich die CKM-Matrixnähern durch

V =

1− λ2/2 λ Aλ3(ρ− iη)−λ 1− λ2/2 Aλ2

Aλ3(1− ρ− iη) Aλ2 1

Hierbei wurden nur Terme der Ordnung λ4 weggelassen. Der Parameter θc definiertdurch λ = sin Θc wird auch Cabbibo Winkel genannt. Er beträgt etwa 130 Grad,so dass Zerfälle von der zweiten in die erste Generation um etwa einen Faktor 20unterdrückt sind.

10Drei weitere Phasen können in die Wellenfunktionen der Quarks integriert werden ohne dieLangrangedichte zu ändern.

105

9 Spontane Symmetrie-BrechungDie bis hier abgeleitete Lagrangedichte beschreibt alle experimentellen Befunde zurelektroschwachen Wechselwirkung mit Ausnahme der Massen von W,Z und γ. Aus-serdem verbietet die chirale Struktur der SU(2)L Massen der Fermionen.

Explizite Brechung der Symmetrien führt zwangsweise zu einer Theorie, die nichtrenormierbar ist und damit in bestimmten Wechselwirkungen unendlich hohe Wir-kungsquerschnitte vorhersagt, die physikalisch nicht sinnvoll sind.

Diese Unzulänglichkeiten der Theorie lassen sich mit neuen Symmetrie-Argumentenfür die Lagrange-Dichte und die WW nicht beheben.

Im Standard-Modell wird daher angenommen, dass nur der Grundzustand (dasVakuum) die Symmetrie bricht. Dieser Mechanismus wird spontane Symmetriebre-chung genannt. Bei lokalen Eichtheorien entspricht dies dem Higgs Mechanismus.

Als anschauliches Beispiel für eine spontane Symmtriebrechung dient ein senk-recht stehender Stab. Dieser Zustand ist invariant unter Rotationen um die Stabach-se. Setzt man nun den Stab mit einer Kraft von oben unter Spannung (Potential),so wird er sich spontan in eine beliebige Richtung biegen. Für diesen neuen Grund-zustand ist die Symmetrie gebrochen und die Auslenkung des Stabs hat einen Wert,der von Null verschieden ist.

Ein weiteres Beispiel ist ein Ferromagnet, der zunächst ungeordnete Ausrichtun-gen der Spins enthält. Dieser Zustand hat keine ausgezeichnete Richtung, ist alsoRotations-invariant. Spontan können sich jedoch Weis’sche Bezike ausbilden und da-mit der Ferromagnet insgesamt seinen Grundzustand ändern, so dass eine von Nullverschiedene Magnetisierung entsteht.

9.1 Der Higgs- Mechanismus im Standard-Modell

Im Standard-Modell wird zur Beschreibung der Masse aller Fermionen und der Masseder SU(2)L Eichbosonen ein neues, komplexes skalares Feld postuliert. Dieses soll ein

106

SU(2)L Doublett sein und Hyperladung Y = 1 haben11. Aus Q = T3 + Y2folgt die

elektrische Ladung der beiden Komponenten wie angegeben.

φ =

(φ+

φ0

)T3 Y Q

φ+ 12

1 1φ0 −1

21 0

Tatsächlich wurde Y hier so gewählt, dass eine Komponente keine Ladung hat, sodass später das Vakuum auch elektrisch neutral sein kann. Dieses Higgs Doublett istdas einzige elementare Spin-0 Feld im Standard-Modell. Da φ0 und φ+ komplex seinsollen hat dieses Doublett 4 Freiheitsgrade,

φ =

(φ+

φ0

)=

(φ1 + iφ2

φ3 + iφ4

)Für Ausdrücke, die symmetrisch in allen vier Komponenten sein sollen, ist eine

einfache Notation z.B.

|φ|2 = φ†φ = (φ+, φ0)∗(φ+

φ0

)= |φ+|2 + |φ0|2 = φ2

1 + φ22 + φ2

3 + φ24

(Hier sind + und † zu unterscheiden.)Die gesamte Lagrangedichte dieses Spin-0 Doubletts gehorcht der Klein-Gordon

GleichungLφ = |Dµφ|2 − V (φ) ≡ (Dµφ)†(Dµφ)− V (φ)

wobei Dµ die bekannte kovariate Ableitung der SU(2)L × U(1)Y ist,

Dµ = ∂µ + igTaWµa + ig′

Y

2Bµ

Das Potential V (φ) wird hier ebenfalls neu postuliert und nicht wie die anderenWechselwirkungen aus einer Eichsymmetrie abgeleitet. Es soll ebenfalls invariantunter Eichtransformationen sein, d.h. invariant unter Änderungen der komplexenPhase und invariant unter Rotationen zwischen φ+ und φ0. Das Potential muss dahersymmetrisch in allen vier Komponenten sein und kann daher nur von |φ|2 abhängen.Als Ansatz für das Potential wird gewählt:

V (φ) = µ2 |φ|2 + λ |φ|4

Es gilt:11Diese Wahl ist die einfachste, mit der man alle Massen erklären kann. Auch komplexere Modelle

z.B. mit zwei Higgs-Doubletts sind in Erweiterungen des Standard-Modells möglich.

107

• µ2 und λ sind neue, reelle Naturkonstanten. µ hat die Dimension einer Masse.Der |φ|4 Term beinhaltet eine Selbstwechselwirkung des Higgs-Feldes. Dabeimuss λ > 0 sein, damit das Potential im limes großer Felder |φ| positiv ist, dasVakuum also nicht instabil ist.

• Terme |φ|n mit n > 4 sind nicht möglich, da die Theorie sonst nicht renormier-bar wäre.

• Terme mit |φ|3 lassen sich immer durch eine Umdefinierung von φ wegtrans-formieren.

• Terme mit |φ|1 sind nicht physikalisch.

Damit ist die angegebene Form von V die allgemeinst mögliche Wahl. Frei ist nochdas Vorzeichen von µ2. Für µ2 > 0 bleibt der Grundzustand bei |φ| = 0, die Sym-metrie ist nicht spontan gebrochen. Anders ist es bei µ2 < 0. Die Graphik zeigt dasentprechende Potential als Funktion von zwei der vier Komponenten von φ.

Das Potential ist nicht minimal bei |φ|min = 0, sondern entwickelt ein Minimum bei|φ| = v mit dem Vakuums-Erwartungswert

v =

√−µ2

λ

Tatsächlich gibt es in vier Dimensionen ein Kontinuum von entarteten Grundzustän-den und die Lagrangedichte ist ungebrochen.

Spontane Symmetriebrechung wird durch die Wahl eines bestimmten Zustandsals Vakuum eingeführt. Da experimentell das Vakuum natürlich elektrisch neutralist wählen wir als Grunzustand:

φV ak =1√2

(0

v

)

108

d.h. nur die relle Komponnete φ3 des neutralen Feldes bleibt. Hierzu wird eine Ei-chung durchgeführt

φ(x)→ eigαa(x)Ta φ(x)

bei der die drei beliebigen Funktionen α(x) in der Eichtransformation so gewähltwerden, dass die drei anderen Komponenten φ1, φ2 und φ4 Null sind. Da die Lagran-gedichte invariant unter diesen Transformation ist ändert sich dadurch die Bewe-gungsgleichung nicht.

Zur Quantisierung entwickelt man das Potential um das Minimum v,

φ =1√2

(0

v +H(x)

)Hier stellt H(x) das Feld des physikalischen Higgs-Teilchens dar. Setzt man dies indas Potential ein, so ergibt sich

V (φ) =1

2µ2(v +H)2 +

1

4λ(v +H)4

= (µ2 + λv2)vH +1

2

(µ2 + 3λv2

)H2 + λvH3 +

1

4λH4

so dass mit v =√−µ2/λ:

V (φ) = −µ2H2 + λvH3 +1

4λH4

gilt. Dies kann wie folgt interpretiert werden:

• Der Term mit H2 beschreibt die Masse des Higgs:

mH =√−µ2

• Die Terme mit H3 und H4 beschreiben die Selbstwechselwirkung des Higgs,also einen 3er- und einen 4er- Vertex.

9.2 Eichboson - Higgs Wechselwirkung

Die Terme in der Lagrange-Dichte, in denen das Higgs-Feld und die Eichbosonengemeinsam auftreten, sind gegeben durch:

Lφ = |Dµφ|2 − V (φ)

= |(∂µ +DµW +Dµ

γZ) φ|2 − V (φ)

= |(∂µ + ig(T+W+ + T−W−)µ + ieQAµ + igZZ

µ)φ|2 − V (φ)

109

Da das Higgs elektrisch neutral ist, Qφ = 0, entfallen alle Terme mit dem PhotonFeld Aµ, d.h. das Photon koppelt nicht an das Higgs und das Photon wird masselosbleiben.

Bildet man für den Rest |Dµφ|2, so bleiben Realteil und Imaginärteil separat. Daaußerdem bei obiger Entwicklung φ+ = 0 ist gibt es auch keine Mischterme zwischenW± und Z0. Daher gilt mit ∂µ(v +H(x)) = ∂µH(x):

Lφ = |∂µφ|2 + |DµWφ|2 + |Dµ

Zφ|2 − V (φ)

=1

2(∂µH)(∂µH) +

1

4g2W+

µ W−µ(v +H)2 +

1

2g2ZZµZ

µ(v +H)2 − V (φ)

Die einzelnen Terme können wie folgt interpretiert werden:

• 12(∂µH)(∂µH)

Dies ist die kinetische Energie für ein einzelnes reelles, skalares Feld H. DasAnregungsquant dieses Feldes ist das Higgs- Teilchen.

• m2WW

+W− + 12m2ZZµZ

µ

Da g und v konstant sind können die entsprechenden Terme mit v2 als Massen-terme interpretiert werden. Der Zahlenwert der Massen wird demnach nur vonder schwachen Kopplungskonstanten und dem Higgs-Potential festgelegt undist

mW =1

2gv mZ =

1

2v√g2 + g′2

• 12g2vW+W−H + 1

4g2ZvZZH

Dies sind WW zwischen Higgs und W,Z. Mit den obigen Massentermen folgt,dass die Kopplungen an das Higgs proportional zu den W,Z massen sind.

• 14g2W+W−HH + 1

2g2ZvZZHH

Dies sind 4-er Vertizes zwischen den Bsonen mit jeweils zwei Higgs-Teilchen.

• Das Higgs Potential ergibt die Higgs-Masse und Selbstwechselwirkungen

mH =√−2µ2

Die Masse des Higgs ist also nicht vorhergesagt.

Ausserdem ergibt sich

MZ =1

2gZv =

MW

cos θW

v = 246GeV

110

cos θW =MW

MZ

=80, 4

91, 2

tan θW =g′

g

Wechselwirkungen des Higgs

9.3 Fermion-Higgs Kopplung und Fermion-Massen

Die Lagrangedichte für freie Fermionen

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ

beinhaltet wie beschrieben Massen-Term

Lm = −mψψ = −mψ (PL + PR)ψ = −m(ψRψL + ψLψR)

die linkshändige Doublett -Komponenten ψL und rechtshändige Singletts ψR kombi-nieren. Diese transformieren sich unterschiedlich, so dass die Massenterme die SU(2)LSymmetrie verletzen. Mit dem Higgs steht jedoch ein Doublett zur Verfügung, dassmit den Fermion-Doubletts und Singlettts so verbunden werden kann, dass das Re-sultat eichinvariant ist. Für das Beispiel der Quarks der ersten Generation

ψL = QL =

(uLdL

); uR, dR

und dem Higgs-Doublett φ lässt sich z.B. für das d Quark schreiben:

L = −cd(QL φ dR + dRφ

†QL

)111

Setzt man das Higgs-Feld nach spontaner Symmetrie-Brechung

φ =1√2

(0

v +H(x)

)ein so ergibt dies

L = −cd1√2

(dL (v +H) dR + dR(v +H)dL

)= −cd

v√2

(dL dR + dR dL

)− cd

1√2H(dL dR + dR dL

)so dass

L = −md d d−md

vH d d

mit der Masse des d-Quarks

md = cdv√2

Man beachte,

• Die Masse der Fermionen wird somit als Kopplungskonstante zwischen Fermio-nen und Higgs erklärt. Diese Kopplung selber ist aber nicht vorhergesagt, sodass auch die Massen unbekannt sind.

• Alle Massen im Standard-Modell skalieren mit dem Vakuumserwartungswertdes Higgs. Dies ist der einzige Parameter im SM mit der Dimension [GeV].

• Das Higgs koppelt vornehmlich an die schwersten Teilchen

• Der letzte Term entspricht den Prozessen

dR +H → dL dL → dR +H

In diesen Prozessen ist sowohl T3 als auch Y erhalten.

• Im Gegensatz zu den γµ Kopplungen der Eichwechselwirkungen ändert sich beidiesen sogenannten Yukawa-Kopplungen cd die Chiralität der Fermionen.

Für ähnliche Prozesse mit dem u- Quark wird ein Higgs-Doublett mit Y = −1benötigt. Dies lässt sich als ladungskonjugierter Zustand erzeugen,

φC = −iσ2φ∗ =

((φ0)†

−(φ+)†

)112

Damit kann man schreiben:

L = −cu(QL φC uR + uRφ

†CQL

)Nach spontaner Symmetrie-Brechung

φ =1√2

(v +H(x)

0

)erhält man

L = −mu u u−mu

vH u u

mit der Masse des u-Quarks

mu = cuv√2

Der letzte Term entspricht den Prozessen

uR +H → uL uL → uR +H

Für die anderen Quark-Generationen und die Lepton-Generationen ergeben sichganz ähnliche Ausdrücke.

113

10 Lagrange-Dichte des Standard-ModellsInsgesamt ergibt sich nun als Formel für das Standard-Modell

L =

−14BµνBµν − 1

4W µνa Waµν γ, Z0,W± : Ekin

und Selbstwechselwirkung−1

4Gµνa Gaµν Gluon:Ekin

und Selbstwechselwirkung+

∑ψ ψLiγµ(∂µ + ig σa

2W µa + ig′ Y

2Bµ)ψL Fermion:Ekinund

+∑

ψ ψRiγµ(∂µ + ig′ Y2Bµ)ψR Elektroschwache WW

+∑

q qiγµ(∂µ + igsλa2Gµa)q Starke WW von

Quarks und Gluonen+|(∂µ + ig σa

2W µa + ig′ Y

2Bµ)φ|2 Z0,W± Masse,

Higgs Ekin,WW von Z,W mit Higgs

−(µ2|φ|2 + λ|φ|4) Higgs Masse und Selbst-WW

114

11 Physik des W± und Z0 Bosons

11.1 Standard-Modell der elektroschwachen Wechselwirkung

Die wichtigsten Aussagen des Standardmodells zur Physik der W und Z Bosonenlassen sich wie folgt zusammenfassen:

• W und Z Bosonen haben Spin 1.

• DasW Boson reagiert nur mit linkshändigen Teilchen und rechtshändigen Anti-teilchen. Es wandelt dabei e, µ, τ Leptonen in Neutrinos um oder u, c, t Quarksin d, s, b Quarks, z.B.

e− → W−νe, W+ → e+νe W+ → ud

Die Kopplungskonstante g ∼ 0.7 für alle diese Reaktionen ist gleich groß.

• Das Z Boson koppelt sowohl an links- als auch an rechts-händige Teilchen,allerdings unterschiedlich stark. In Wechselwirkungen mit dem Z Boson bleibtdie Flavour der beteiligten Leptonen und Quarks erhalten, z.B.

u→ uZ, e+e− → Z, Z → bb

Es gibt jeweils eine Kopplungskonstante für alle geladenen Leptonen e, µ, τ ,Neutrinos νe, νµ, ντ , u-artigen Quarks u, c, t, sowie d-artigen Quarks d, s, b.

• Jeweils 3 oder 4 W und Z Bosonen können auch miteinander wechselwirken,z.B.

Z → W+W−, W+ → W+Z, W+W− → ZZ

11.2 Entdeckung von W und Z

Entdeckt wurden die schwachen Eichbosonen 1983 am CERN SPPS Collider, derProton-Antiproton-Kollision pp bei einer Schwerpunktsenergie von

√s = 540 GeV

ermöglichte. (Nobelpreis: Rubia (UA1 Experiment) und Vandermer (Beschleuniger).Das W war vorher nur aus den Zerfällen von z.B. µ sowie s, c Quarks vorhergesagtworden, es war aber nicht bekannt, ob es sich dabei nur um eine effektive Beschrei-bung der Zerfälle oder tatsächlich um ein Teilchen handelte. Das Z Boson wurde ausder elastischen Neutrino-Streuung νµp→ νµp gefolgert. Der Zusammenhang zwischender Masse desW und des Z war nur theoretisch im heute so genannten Standardmo-dell postuliert worden. Für das SPPS wurden durch Umkehrung des Neutron-Zerfalls

d→ ue−νe

115

!h

Abbildung 12: W- Produktion in Proton-Proton Kollisionen

die Reaktionenud→ W− → e−νe

undud→ W+ → e+νe

vorhergesagt. Analog aus “Crossing” der Neutrino-Streuung (mit der Ersetzung ν →e):

uu→ Z0 → e+e−

dd→ Z0 → e+e−

Außerdem wurde erwartet, dass W und Z nicht nur in Elektronen sondern auch inMyonen zerfallen können sollten.

Die Kinematik der Ereignisse kann wie folgt verstanden werden: Seien x1, x2 dieQuark-Impuls-Bruchteile im Proton und Antiproton, dann ergibt sich die W - Masseaus

M2W = (x1p1 + x2p2)2 ≈ x1x2s

Da x1 6= x2 möglich ist folgt, dass das W einen Impuls entlang der Strahlachsehaben kann. Da das Neutrino nicht gemessen werden kann muss MW mit Hilfe dertransversalen Impuls-Bilanz bestimmt werden. Hierfür gilt im Idealfall

~pTe = −~pτνFür kleine e, ν Massen gilt pT,max = MW/2, der so genannte Jakobi-Peak.

Dieser Wert ist invariant unter Lorentz-Transformationen entlang der Strahlrich-tung, also auch unabhängig von den Unbekannten x1 und x2. Weitere Hadronen,

116

Abbildung 13: Oben: Bild eines Ereignisses im UA1 Experiment am CERN. Gezeigtsind geladene Teilchen als Kreisbahnen im Magnetfeld in der Spurkammer sowieEnergien in den Kalorimeter-Zellen. Unten: Das gleiche Ereignis. Gezeigt sind abernur Spuren mit einem Impuls transversal zum Strahlrohr von pT > 1 GeV. Nur eineSpur bleibt, die als Myon identifiziert wurde. Angedeutet ist auch die Richtung desfehlenden Transversalimpulses pT,miss, der aus Impulserhaltungsgründen folgt.

die in den Ereignissen entstehen, tragen nur sehr wenig pT , so dass pTe ≈ pTν auchtatsächlich beobachtet wird.

117

Abbildung 14: Jakobi-Peak für die Rate von W-Zerfällen als Funktion des transver-salen Impulses der Leptonen aus dem Zerall.

Abbildung 15: Im UA1 beobachtete Korreltation zwischen pt,e und pt,ν sowie Win-kelverteilung der Leptonen.

11.3 Breit-Wigner Resonanzkurve für instabile Teilchen

Für ein freies, stabiles Teilchen gilt im Ruhesystem (E = M, ~p = 0)

ψ(t) ∼ e−i(Et−~p~x) = e−iMt

Für instabile Teilchen lautet das Zerfalls-Gesetz:

|ψ(t)|2 = |ψ(0)|2e−Γt

wobeiΓ =

1

τdie gesamte Zerfallsbreite, τ die Lebensdauer und Γ als Summe der Partialbreitenaller Zerfallskanäle ist:

Γ =∑i

Γi

118

Für instabile Teilchen wird daher als Ansatz gewählt:

ψ(t) ∼ e−iMte−Γt/2 ∼ e−i(M−iΓ/2) t

Das heißt, man kann für instabile Teilchen die Ersetzung

M →M − iΓ/2

vornehmen, z.B. auch für den Propagator

1

s−M2→ 1

s− (M − iΓ/2)2

Für die Erzeugung und den anschließenden Zerfall eines instabilen Teilchens (z.B.eines W oder Z) mit Masse M und bei einer Schwerpunktsenergie

√s ist der Pro-

pagator des instabilen Teilchens entscheidend. Der Propagator und damit auch das

MatrixelementM ist für ein stabiles Teilchen proportional zu

M∼ 1

s−M2

und daher für ein instabiles Teilchen

M∼ 1

s− (M − iΓ/2)2=

1

s−M2 + Γ/4 + iMΓ≈ 1

s−M2 + iMΓ

wobei die Näherung Γ << M für eine schmale Resonanz benutzt wurde. Für dieZerfallrate wird |M|2 benötigt,

|M|2 ∼ 1

(s−M2)2 +M2Γ2

Dies ist die relativistische Breit-Wigner Funktion für Erzeugung und Zerfall einerResonanz.

Für eine extrem schmale Resonanz kann man diese Funktion durch eine δ- Funk-tion nähern,

|M|2 ∼ 1

(s−M2)2 +M2Γ2≈ π

MΓδ(s−M2)

119

Abbildung 16: Breit-Wigner Rsonanzkurve mit Γ =Halbwertsbreite = Energieun-schärfe.

11.4 W,Z und γ im Standard-Modell

Die W und Z Bosonen koppeln an Ströme von Fermionen die die folgende Strukturhaben: W : nur linkshändige Fermionen:

u−igW2√

2γµ(1− γ5)u

V-AZ0

u−igW

2γµ(cfV − cfAγ5)u

Im Standard-Modell gilt für die Kopplungen des W

gW = gesin θW

und des Z:

gZ = gesin θW cos θW

Hierbei ist die elektromagentische Kopplung

ge ≈ 0.3

und der Weinberg-Winkel θW ≈ 28, 6°, also

sin2 θW ≈ 0.23

Weiter gilt für das Verhältnis der Massen von W und Z:

MW

MZ

= cos θW

120

Vektor- undAxialvektor-Kopplung

f cV cAνe νmu ντ

12

12

e µ τ −12

+ 2 sin2 θW −12

u c t 12− 4

32 sin2 θW

12

d s b −12

+ 232 sin2 θW −1

2Die Begründung für diese Kopplungen hängt mit der Mischung von γ und Z zusam-men. Die SU(2)L hat die Kopplung g und gilt für W± und W 0. Die U(1)y gat dieKopplung g′ und gilt für das B0. B0 und W 0 mischen zu γ, Z0(

AµZµ

)=

(cos θW sin θW− sin θW cos θW

)(B0µ

W 0µ

)

11.5 Z0-Physik an e+e− Beschleunigern

Am bisher höchst-energetischen e+e− Beschleuniger LEP (“Large Electron-PositronAccelerator”) wurden von 1989 - 2000 bei Schwerpunktsenergien von zunächst 90GeV (Masse des Z) und später bis zu 208 GeV Daten genommen.

• LEP-I (1989-1993): Z-Physik,√s ≈ 90 GeV, 18.000.000 Z produziert;

• LEP-II (1996-2000): W-Physik, 160 <√s ≤ 209 GeV, 80000 W’s

e+e− → Z0 → e+e−

µ+µ−

τ+τ−

νeνe

νµνµ

ντ ντ

uu

dd

ss

cc

bb

Leptonenpaare(einfach)

unsichtbar

2 jets

2 jets + suche nach c, b ZerfällenDer Wirkungsquerschnitt ergibt sich aus der Interferenz von Photon- und Z-

Beiträgen, d.h. der |Summe der Matrixelemente|2

e+e− → γ/Z0 → µ+µ− bei√s ∼MZ

↑ ↑Interferenzen

121

POINT 4.

LAKE GENEVA GENEVA

CERN Prévessin

POINT 6.

POINT 8.

POINT 2.

CERN

SPS

ALEPH

DELPHI

OPAL

LEP

e Electron -

+e Positron

Abbildung 17: Der LEP Beschleuniger am CERN.

Aufgrund der Form des Z- Propagators ist zu erwarten, dass bei kleinen√s der

Photon-Beitrag dominiert, d.h. σ ∼ 1/s. Nahe der Z- Masse überwiegt der Z-Beitrag,während der reine Photon- Beitrag nur noch∼ 1% ausmacht. Bei sehr großen

√s wird

die Z Masse im Propagator unwichtig und der Wirkungsquerschnitt fällt wiederum∼ 1/s.

Für das Matrixelement des Prozesses

e+e− → Z → µ+µ−

gilt

Me+e−→Z0→µ+µ− =g2Z

4uγµ(ceV − ceAγ5)v e+e−

× gµν − qµqν/M2Z

s−M2Z + iMZΓZ

Propagator

× uγµ(cµV − cµAγ5)v µ+µ−

122

!"#$%&'()*+(,'-'$.(//0/102113 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ =

45)(9"66<><"%(';'%?>(8$'(><@A6'

'' µµ

!! BB

Abbildung 18: Ereignisse des ALEPH Experiments bei LEP mit Paaren von Elek-tronen, Myonen, τ ’s und Quarks.

Abbildung 19: Feynman-Graphen für Fermion-Paar-Produktion in e+e− Kollisionen.

Für den Wirkungsquerschnitt folgt daraus

σe+e−→Z0→µ+µ− =12πs

M2Z

ΓeeΓµµ

(s−M2Z)2 +M2

Z Γ2Z︸︷︷︸↑

123

!"#$%&'()*+(,'-'$.(//0/102113 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ 2

=*'()*-><9>(8?(45)(<>(><@A6'

Abbildung 20: Wirkungsquerschnitt für e+e− → Hadronen, von LEP und älterenBeschleuniger-Experimenten.

totale BreiteHierbei ist ΓZ die totale Breite des Z (d.h. 1/Lebensdauer), die sich aus den

Partialbreiten ergibt:

mitΓZ = 3 · ΓZ→νν + 3Γee + 3︸︷︷︸↑·(3Γdd + 2Γνν︸︷︷︸

↓

)

Farbe t zu schwer

Γνν = GFM3Z = 167MeV

Γee = ΓZ0→e−L e+R

+ ΓZ0→e−Re+L

= 4 sin2 θWΓνν = 84MeV

Γdd = 370MeV

Γuu = 287MeV

124

125

Es gilt also Lepton-Universalität

σµµ = σττ

Für e+e− → e+e− verhält sich der WQ anders, da weitere Diagramme möglich sind.

siehe Bhabha-Streuung.Genau an der Polstelle bei s = M2

Z folgt aus

σ ∼ 1

(s−M2Z)2 +M2

ZΓ2

die Relation:im Peak: σmax =

12π

M2Z

ΓeeΓffΓ2Z

Γ2Z enthält alle Fermionen, auch “unsichtbare” Neutrinos. Daher kann man auch die

Anzahl der unsichtbaren Zerfallsprodukte , der Neutrinos, messen.

e+e− → qq

!"#$%&'()*+(,'-'$.(//0/102113 45)(6'789-(((((,+(:8;<'$ =

>*'(?#@A'$("B(?'#C$<%"(>-D'E

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126

Die Daten zeigen:

• Es gibt nur 3 ν-Sorten mit Mν < MZ/2 mit Kopplungen, die den Standard-Modell Zνν- Kopplungen entsprechen.

• Oft wird das so interpretiert, dass es nur 3 Generationen von Fermionen gibt.Es kann aber durchaus weitere Neutrino-Sorten geben, die schwerer als ca.MZ/2 ≈ 45 GeV sind. In diesem Fall sind auch weitere Generationen vongeladenen Leptonen und Quarks möglich. (siehe auch: Chirale Anomalie).

• Auch jenseits des Standard-Modells kann es nur dann weitere Teilchen X mitMassen MX < 45 GeV geben, wenn die Kopplungen dieser Teilchen an das Zsehr viel kleiner sind als die der schwachen WW der bekannten Fermionen.

11.6 WW Produktion in e+e+− Kollisionen

Durch Einbau supraleitender Beschleuniger-Elemente wurde die Schwerpunktsener-gie des LEP Beschleunigers auf 160 bis 209 GeV gesteigert (LEP-II Phase). Dadurchkonnten W - Bosonen paarweise erzeugt werden.

e+e− → W+W−

Abbildung 21: Feynman-Diagramme für e+e− → W+W− Produktion über γ/Z undNeutrino-Austausch.

MW - Messung nahe der kinématischen Schwelle Nahe der kinematischenSchwelle hängt der theoretische Wirkungsquerschnitt stark von der Massse desW ab,so dass bei einer genauen Messung der Ereignisrate (und der Schwerpunktsenergie)direkt die Masse MW abgelesen werden kann.

127

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!D#37Q7!G.+!%2%'(!*$2,,!,+*%#20!-2$!5Y)'#$!)$21&*%#20!'%!H4IV7!G.+!+Z)+$#/+0%'(!1'%'!'$+!*2/)'$+1!@#%.!%.+!>?!)$+1#*%#20!'01!'(,2!@#%.!%.+!)$+1#*%#20,!',,&/#03!20(=! +!+Z*.'03+!'01!02![55!*2&)(#03!C62%.!+Z*(&1+1!6=!%.+!1'%'F7!

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Abbildung 22: Links: TheoretischerWW - Wirkungsquerschnitt für verschiedeneMW

nahe der kinematischen Schwelle,√s ≈ 2MW . Rechts: Gemessener WQ im Vergleich

zur theoretischen Vorhersage für den Wert von MW , der am Besten zu den Datenpasst. Auch gezeigt sind die theoretischen Wirkungsquerschnitte falls es nur jeweilseines der beiden Feynman-Diagramme geben sollte.

MW - Messung aus den Zerfallsprodukten Bei etwas höheren√s hingegen wird

der WQ fast unabhängig von MW . In diesem Bereich wurde mit hoher Luminositätgemessen und MW direkt aus den Zerfallsprodukten rekonstruiert. Zur Steigerungder Genauigkeit wurde dabei ein “kinematischer Fit” durchgeführt, bei dem die Mes-sungen der Teilchen im Rahmen der Fehler so optimiert wurden, dass bei bekannterStrahlenergie die Energie- und Impulserhaltung bestmöglich erfüllt wird und gleich-zeitig die beiden W - Bosonen die gleiche Masse haben, MW,1 = MW,2. Da die sehrgenau bekannte Strahlenergie benutzt wird kann so auchMW mit hoher Genauigkeitbestimmt werden.

Messung der 3-Boson- Kopplung Das erste der gezeigten Feynman-Diagrammebeinhaltet die γWW und die ZWW - Kopplung (triple gauge coupling). Diese werdenim Standard-Modell exakt vorhergesagt, d.h.

• Das W ist einfach geladen und hat damit die gleiche Kopplung an das γ wieein Elektron.

• Die WWZ Kopplung ist (bis auf Faktoren wie√

2) die gleiche Konstante (g)wie die des W an Fermionen, z.B. Weν oder Wud.

Wie man sieht beschreibt die Summe aus γ, Z und Neutrino-Austausch die gemesseneRate sehr genau. Dies ist eine sehr wichtige Bestätigung der SU(2)L Symmetrie und

128

Abbildung 23: Aus den Zerfallsprodukten berechneteW - Masse vor (offene Symbole)und nach (Punkte) dem kinematischen Fit im L3- Experiment bei LEP. Links fürden Zerfallskanal WW → qqeν, rechts für WW → qqq′q′.

des Konzepts der nicht-Abelschen Eichtheorie.

11.7 W und Z Produktion in pp Kollisionen

Tracker Calibration

• Momentum scale calibration

• Largest systematic for muons

• Constrain/Calibrate with– J/ψ→ µ+µ−

– ϒ(1S)→ µ+µ−

• Cross-check with Z→ µ+µ−

∆mW = 17 MeV

mµµ(ϒ(1S))

mµµ(Z)

Abbildung 24: Aus den Zerfallsprodukten berechnete Z- Masse für Z → µ+µ− vomCDF Experiment am Tevatron. Die Kalibration der Messung der Myonne wurde soangepasst, dass sich möglichst gemau die von LEP bekannte Z- Masse ergibt.

In pp Kollisionen werden bei hohem√s die W und Z Bosonen mit sehr hohen

Wirkungsquerschnitten produziert. Da aber immer nur ein Teil der Proton-Energiein die WW eingeht muß dieW und Z Masse aus den Zerfallsprodukten rekonstruiertwerden. Da die Masse und Wechselwirkungen des Z sich nicht sehr von denen des

129

W unterscheiden wird die bekannte Z Masse und die gute Massen-Rekonstruktionbei Z → e+e− und Z → µ+µ− benutzt um den Detektor zu kalibrieren und so dieMessung von MW zu optimieren.

Die MW - Bestimmung erfolgt z.B. über die Verteilung des Transversalimpulsesder Leptonen im Zerfall W → µν, W → eν. Genauer (weil unahängiger von ei-nem möglichen Transversalimuls des W ) ist aber die Messung über die sogenannte“transversale Masse”,

mT (eν)2 = (PT,e + PT,ν)2 − (~PT,e + ~PT,ν)

2

Diese Definition ist ähnlich wie die der invarianten Masse (für masselose e, ν gilt z.B.Ee = Pe)

M(eν)2 = (Pe + Pν)2 − (~Pe + ~Pν)

2

Der Wert von mT liegt immer im Bereich

0 ≤ mT (eν) ≤M(eν)

und kann direkt aus dem Elektron und dem fehlenden Transversalimpuls im Ereignisberechnet werden. Im Gegensatz zuM(eν) benötigt man also nicht die (nicht messba-re) longitudinalen Impulskomponente des Neutrinos. Die Verteilung zeigt ein klares

W Transverse Mass Fits

Electron mT Muon mT

• Combined they give a result of

mW = 80417±34(stat)±34(sys) MeV

P(χ2) = 7%

Fits for W Width

Electron mT Muon mT

• Combined they give a result of

ΓW = 2032±71(stat + sys) MeV

P(χ2) = 20%

Abbildung 25: Links: Transversale Masse MT des W für W → µν vom CDF Expe-riment nahe von MW/2. Rechts: Anpassung der Breite des W bei hohen MT .

Maximum und einen steilen Abfall bei größeren Werten von mT . Die abfallendenFlanke hängt dabei ab

• von der experimentellen Auflösung;

• vom Transversal-Impuls des W . Hierfür muss also die PT,W - Verteilung theo-retisch berechnet werden;

• von der Zerfallsbreite ΓW des W .Berücksichtigt man dies so kann man diese Breite durch Anpassung der Vorhersagean die Daten bestimmen.

130

W-Boson Mass [GeV]

mW [GeV]80 80.2 80.4 80.6

χ2/DoF: 0.9 / 1

TEVATRON 80.420 ± 0.031

LEP2 80.376 ± 0.033

Average 80.399 ± 0.023

NuTeV 80.136 ± 0.084

LEP1/SLD 80.363 ± 0.032

LEP1/SLD/mt 80.365 ± 0.020

July 2010

W-Boson Width [GeV]

ΓW [GeV]2 2.2 2.4

χ2/DoF: 2.4 / 1

TEVATRON 2.046 ± 0.049

LEP2 2.196 ± 0.083

Average 2.085 ± 0.042

pp− indirect 2.141 ± 0.057

LEP1/SLD 2.091 ± 0.003

LEP1/SLD/mt 2.091 ± 0.002

July 2010

Abbildung 26: Messungen der W - Masse und Breite.

11.8 Polarisierung im W-Zerfall

In der pp Streuung enstehen W Bosonen hauptsächlich durch die Prozesse

u+ d→ W+ → µ+ + νµ

u+ d→ W− → µ− + νµ

Da das u Quark im Mittel höhere Impulsanteile x am Proton trägt als das d wird sichdas W+ vornehmlich in Richtung des Proton - Impulses bewegen. In der Abbildungist dazu die Vorhersage der W - Asymmetrie

A(yW ) =NW+ −NW−

NW+ +NW−

als Funktion der Rapidität yW des W gezeigt,

yW =1

2lnE + PzE − Pz

Im Zerfall des W enstehen z.B. Myonen, deren Ladung gemessen werden kann.Zu beachten ist aber, dass wegen der Paritätsverletzung der schwachen WW das Wpolarisiert ist, z.B: W−

Damit liegt auch die Vorzugsrichtung der µ− fest. Gemessen wird dann die µ- Asym-metrie

A(ηµ) =Nµ+ −Nµ−

Nµ+ +Nµ−

131

als Funktion der Pseudorapidität ηµ des µ,

ηµ = − ln (tan (θ

2))

3

Rapidity-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

W p

rodu

ctio

n A

sym

met

ry

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0

0.1

0.2

0.3

0.4

> 0 GeVT,W

p < 5 GeV

T,W0 < p

< 10 GeVT,W

5 < p < 15 GeV

T,W10 < p

> 15 GeVT,W

p

CTEQ6.6 prediction

> 20 GeV!T,

> 20 GeV, pµT,

p

(a) W production asymmetry, pT,µ > 20 GeV

Rapidity-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Muo

n C

harg

e A

sym

met

ry

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0

0.1

0.2

0.3

0.4

> 0 GeVT,W

p < 5 GeV

T,W0 < p

< 10 GeVT,W

5 < p < 15 GeV

T,W10 < p

> 15 GeVT,W

p

CTEQ6.6 prediction

> 20 GeVT! > 20 GeV, p

Tµp

(b) Muon charge asymmetry, pT,µ > 20 GeV

Rapidity-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

W p

rodu

ctio

n A

sym

met

ry

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0

0.1

0.2

0.3

0.4

> 0 GeVT,W

p < 5 GeV

T,W0 < p

< 10 GeVT,W

5 < p < 15 GeV

T,W10 < p

> 15 GeVT,W

p

CTEQ6.6 prediction

> 20 GeV!T,

< 35 GeV, pµT,

20 < p

(c) W production asymmetry, 20 < pT,µ < 35 GeV

Rapidity-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Muo

n C

harg

e A

sym

met

ry

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0

0.1

0.2

0.3

0.4

> 0 GeVT,W

p < 5 GeV

T,W0 < p

< 10 GeVT,W

5 < p < 15 GeV

T,W10 < p

> 15 GeVT,W

p

CTEQ6.6 prediction

> 20 GeVT! < 35 GeV, p

Tµ20 < p

(d) Muon charge asymmetry, 20 < pT,µ < 35 GeV

Rapidity-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

W p

rodu

ctio

n A

sym

met

ry

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0

0.1

0.2

0.3

0.4

> 0 GeVT,W

p < 5 GeV

T,W0 < p

< 10 GeVT,W

5 < p < 15 GeV

T,W10 < p

> 15 GeVT,W

p

CTEQ6.6 prediction

> 20 GeV!T,

> 35 GeV, pµT,

p

(e) W production asymmetry, pT,µ > 35 GeV

Rapidity-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Muo

n C

harg

e A

sym

met

ry

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0

0.1

0.2

0.3

0.4

> 0 GeVT,W

p < 5 GeV

T,W0 < p

< 10 GeVT,W

5 < p < 15 GeV

T,W10 < p

> 15 GeVT,W

p

CTEQ6.6 prediction

> 20 GeV!T,

> 35 GeV, pµT,

p

(f) Muon charge asymmetry, pT,µ > 35 GeV

FIG. 1: Theory prediction of W production asymmetry and muon charge asymmetry in different W pT ranges: above 0 GeV(blue), 0-5 GeV (red), 5-10 GeV (green), 10-15 GeV (cyan), and above 15 GeV (pink). The top row is the predictions formuons with pT,µ > 20 GeV, center row is for 20 < pT,µ < 35 GeV, and the bottom row is for pT,µ > 35 GeV.

8

Pseudorapidity-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Asy

mm

etry

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

Generation level

Detector level

DØ Preliminary > 20 GeV

TRun IIa, p

(a) Run IIa, pT > 20 GeV

Pseudorapidity-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Asy

mm

etry

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

Generation level

Detector level

DØ Preliminary > 20 GeV

TRun IIb, p

(b) Run IIb, pT > 20 GeV

Pseudorapidity-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Asy

mm

etry

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

Generation level

Detector level

DØ Preliminary < 35 GeV

TRun IIa, 20 < p

(c) Run IIa, 20 < pT < 35 GeV

Pseudorapidity-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Asy

mm

etry

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

-0

0.05

0.1

0.15

0.2

Generation level

Detector level

DØ Preliminary < 35 GeV

TRun IIb, 20 < p

(d) Run IIb, 20 < pT < 35 GeV

Pseudorapidity-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Asy

mm

etry

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Generation level

Detector level

DØ Preliminary > 35 GeV

TRun IIa, p

(e) Run IIa, pT > 35 GeV

Pseudorapidity-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Asy

mm

etry

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Generation level

Detector level

DØ Preliminary > 35 GeV

TRun IIb, p

(f) Run IIb, pT > 35 GeV

FIG. 2: Comparison of muon charge asymmetry as a function of η between MC at the generation level (blue) and detectorlevel (red) for Run IIa and Run IIb, for pT > 20 GeV, 20 < pT < 35 GeV, and pT > 35 GeV.

Abbildung 27: Links: Vorhersage für die W Asymmetry als Funktion der W - Ra-pidität, Rechts: Vorhersage und Messungen der µ- Asymmetrie als Funktion der µ-Pseudorapidität.

Das Experiment bestätigt damit die Standard-Modell Vorhersage für die W - Ei-genschaften: Es hat Spin = 1 und koppelt nur an linkshändige Fermionen und rechts-händige Antifermionen.

132

12 Starke Wechselwirkung

12.1 Quarks und Gluonen

Experimentell gibt es durch zahlreiche Messergebnisse Evidenz für eine innere Struk-tur der Nukleonen (Protonen und Neutronen).

• Das Volumen von Atomkernen nimmt linear mit der Anzahl der Protonen undNeutronen zu. Dies deutet auf eine feste geometrische Ausdehnung der Nukleo-nen mit einem Radius von ca. 1 fm hin.

• In der tief-inelastischen Elektron-Proton Streuung, e + p → e + X wird einWirkungsquerschnitt gemessen, der nicht dem einer homogenen, strukturlosenLadungsverteilung innerhalb des Protons entspricht, sondern der sich aus derSumme von Streuprozessen der Elektronen an einzelnen, punktförmigen La-dungsträgern (den Quarks) erklären lässt. Auf diese Art wurden die Quarks anExperimenten am SLAC entdeckt.

• Der totale Wirkungsquerschnitt von Proton-Anti-Proton Kollisionen ist etwagleich groß wie die daraus berechnete Querschnittsfläche eine Protons von A =π(1fm)2 = 0.31mb und steigt leicht mit der Schwerpunktsenergie

√s. Dies ist

ca. 106 mal größer als der Wirkungsquerschnitt für e+e− Streuung bei√s =

1GeV , der zudem mit der Schwerpunktsenergie fällt.

• Durch Streuung mit Photonen oder anderen Protonen lassen sich ein Spektrumvon angeregten Zuständen der Protonen erzeugen, die anschließend wieder inProtonen, Neutronen und Pionen zerfallen.

Das Proton ist also ausgedehnt und damit nicht elementar, sondern besteht aus“Partonen”. Die Natur der Partonen ist ebenfalls bekannt:

• Quarks: In der e+e− Streuung wird die Produktion von “Jets” von Teilchenbeobachtet. In den meisten Fällen entstehen 2 entgegengerichtete Jets gleicherEnergie, deren Winkelverteilung gegenüber den einlaufenden Teilchen genauwie bei der Produktion von µ+µ− ist, also

dσ

dΩ∼ 1 + cos2 Θ∗

Es ist daher anzunehmen, dass die Jets aus der Produktion von Spin 1/2 Teil-chen, den Quarks, entstehen.

• u und d Quarks Der Aufbau der leichtesten Hadronen lässt sich mit nur zweiQuark-Sorten erklären, den up und down Quarks mit den elektrischen Ladun-gen qu = 2/3 e, qd = −1/3 e.

133

10-4

10-3

10-2

10-1

1

10

10 2

1 10 10 2 10 3 104

ÚØ⇓

⇓

⇓

Tota

l cro

ss se

ctio

n (m

b)

⇓

104103102101.6

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

⇓

104103102101.6

⇓

104103102101.6

p−(p)p Σ−p

K∓p

π∓p

γp

γγ

p−p π−p

K−p

√

sGeV

√

s GeV√

sGeV√

s GeV

ppπ+p K+p

Re (T )Im (T )

5Abbildung 28: Wirkungsquerschnitt von Hadronen und Photonen

134

Baryonen Mesonenp = (uud) π+ = udn = (udd) π0 = 1√

2(uu+ dd)

0 π− = du

• Gluonen: In der e+e− Streuung wird in typisch 10 % Fälle nicht nur zweisondern 3 Jets beobachtet, wobei die Winkelverteilung der Jets untereinandermit der Erwartung für die Abstrahlung eines Spin 1 Teilchens (“Gluon”) voneinem Spin 1/2 Teilchen (Quark) übereinstimmt. Auf diese Weise wurde dasGluon am PETRA Beschleuniger bei DESY entdeckt.

• Starke Kopplungskonstante αs: Die Häufigkeit von etwa 10% dieser 3-Jet Ereig-nisse deutet auf eine große Kopplungskonstante zwischen Quarks und Gluonenhin, αs ≈ 10αem.

Die Natur der Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen hängt, in Analogiezur elektromagnetischen Wechselwirkung, mit einer erhaltenen “Ladung der StarkenWechselwirkung”, zusammen::

• Farbe: Eine der Baryon-Resonanzen, dass ∆++, trägt doppelte elektrische La-dung und Spin 3/2. Es besteht demnach aus 3 u Quarks. Wegen des Pauli-Prinzips können aber identischen Fermionen nicht im gleichen Zustand sein.Daher müssen die drei Quarks des ∆++ = (uuu) in drei unterschiedlichen Zu-ständen einer neuen, inneren Quantenzahl, der Farbe, vorkommen können.

• Das W± Boson der schwachen Wechselwirkung zerfällt drei mal häufiger inQuark-Paare als in Lepton-Paare.

• Das VerhältnisR =

σe+e−→Hadronen

σe+e−→µ+µ−,

der Streuung in Hadronen oder Myonen zeigt Resonanzen und erhöht sichstufenweise um Beträge von

3 ·(

2

3

)2

oder 3 ·(

1

3

)2

was auf die Paar-Weise Erzeugung neuer Quarks e+e− → uu, dd, ss, cc, bbhindeutet.

• Skala der QCD: Die Zerfallsbreite (oder Energieunschärfe = 1/Lebensdauer)der Hadron-Resonanzen beträgt typisch etwa 200 MeV. In der gleichen Größen-ordnung liegt die Masse des Pions (leichtestes Hadron), und auch 1/Radius desProtons. Der Wert ΛQCD ≈ 200MeV wird daher als Skala der QCD bezeichnet.Die Existenz und Größe dieser Skala wird später aus der Energie-Abhängigkeitvon αs und damit dem Confinement erklärt.

135

12.2 Nicht-Abelsche Eichtheorie

Die Therie der starken Wechselwirkung ist die Quantenchromodynamik (QCD), ei-ne lokale, nicht-abelsche Eichtheorie, die auf der Symmetrie-Gruppe SU(3)C der dreiFarben der Quarks beruht (C steht für “Colour”). Solche Einchtransformationen stel-len eine Verallgemeinerung der aus der Elektrodynamk bekannten Eich-Invarianz darund sind die Grundlage für die Theorien der Teilchenphysik und ihrer Vorhersage-kraft. Exemplarisch wird zunächst die QCD (SU(3)C) behandelt und das gefunde-ne Prinzip anschliessend auch für die elektroschwache Wechselwirkung angewendet(SU(2)L × U(1)Y ).

12.2.1 Übersicht zu Eichtheorien

Die einzelnen Schritte zur Ableitung der Naturgesetze aus dem Prinzip der lokalenEichinvarianz sind (ohne Higgs-Mechanismus)

1. Postuliere Fermion-Felder für Quarks und Leptonen

2. Postuliere lokale Eich-Invarianz der Lagrange-DichteFür die QED ist dies eine U(1) Phasen-Rotation.Für die QCD ist dies eine SU(3)C Rotation der Farb-Freiheitsgrade rot-grün-blau.

3. Sortiere Fermionen in SU(N)-MultiplettsFür die QCD sind dies die Quark-Zustände u-rot

u-grünu-blau

4. Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgen

• neue, masselose Spin-1 Bosonen (N2 − 1 Bosonen für SU(N)).

• eine neue Kopplungskonstante zwischen Fermionen und Eichbosonen

• eine bestimmte Form der WW (γµ- Kopplung)

L = iψγµDµψ mit Dµ = ∂µ + igsTaG

µa

5. Addiere kinetische Energie für Vektorfelder

LG,eich = −1

4Gµνa Ga,µν

Gµνa = ∂µGν

a − ∂νGµa + gfabcG

µbG

νc

136

6. Die Vorhersage einer Selbst-Wechselwirkung der Bosonen, mit gleicher Kopp-lungskonstante, ist in diesem Term bereits enthalten, falls die Eichtransforma-tion nicht kommutieren (nicht-abelsche Eich-Gruppe)

[Ta, Tb] = ifabcTc

12.2.2 Lagrange-Dichte der QCD

Grundlage der Quanten-Chromo-Dynamik (QCD) und der schwachen Wechselwir-kung sind nicht-Abelsche Eichtheorien, bei denen also die Symmetrie- Transformatio-nen von einem kontinuierlichen Parameter abhängen und im Allgemeinen nicht ver-tauschbar sind. Die QCD basiert auf der Symmetriegruppe SU(3), also der unitärenTransformationen in drei Dimensionen mit detU = +1. Viele der hier beschriebenenEigenschaften gelten aber auch z.B. fuer die SU(2) der schwachen Wechselwirkung.

Man betrachtet drei wechselwirkungsfreie Dirac-Teilchen (Quarks) mit gleichenMassen aber verschiedenen Farben r=rot, g=grün, b=blau)

L = ψr(iγµ∂µ −m)ψr + ψb(iγ

µ∂µ −m)ψb + ψg(iγµ∂µ −m)ψg.

Man führt nun ein Triplett im 3-dim Raum der Farb-Zustände ein, das eine verall-gemeinerte Form des Dirac-Feldes darstellt,

ψ =

ψrψbψg

oder in etwas anderer Notation:

ψr =

100

, ψb =

010

, ψg =

001

.

Damit kann man die Lagrange-Dichte auch einfach schreiben als

L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ,

wobei sowohl über die Spinor-Indizes als auch die Farb-Indizes summiert werden soll.Dies funktioniert nur bei gleichen Massen der drei Farb-Zustände.

Diese Lagrange- Dichte ist invariant unter Rotationen im Farb-Raum. Postuliertman, dass diese Symmetrie auch lokal gelten soll, so kann man die Rotationen dar-stellen als unitäre Transformationen, die sowohl die Komponenten ψr,b,g verändernals auch deren Phasen.

ψ → ψ′ = Uψ.

Hier ist U eine 3 x 3 Matrix im Farbraum, mit U †U = 1, so dass man U schreibenkann als

ψ′ = eigsαa(x)Taψ.

137

• gs ist eine reelle Konstante, die wir später mit der starken Kopplungskonstantenidentifizieren werden.

• Die reellen Funktionen αa(x) sollen von Ort und Zeit abhängen, d.h. wie beider QED fordern wir, dass die Symmetrie lokal gültig sein soll.

• Die Größen Ta sind linear unabhängige hermitesche 3 x 3 Matrizen im Far-braum, die man die Generatoren der SU(3)C nennt (Index C für “Colour”).Die Ta müssen so gewählt werden, dass mit αaTa (Summation über a) jedebeliebige Rotation beschrieben werden kann.

Für eine solche 3x3 Matrix benötigt man im Allgemeinen 9 relle Zahlen. Wegen derBedingung detU = +1 folgt jedoch, dass es für die SU(3) nur 8 linear unabhängige Tagibt. Wir werden sehen, dass daraus auch die Existenz von 8 verschiedenen Gluonenfolgt12. Die Gruppe ist nicht Abelsch, da die Generatoren im Allgemeinen nichtvertauschen, sondern Kommutator-Relationen erfüllen,

[Ta, Tb] = ifabc Tc.

Die Konstanten fabc werden Strukturkonstanten der SU(3) genannt. Aus der Uni-tarität U † = U−1 folgt αaTa = α∗aT

†a . Eine mögliche Darstellung der Generatoren

Ta = λa/2 sind die sogenannten λ Matrizen,

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 = 1√3

1 0 00 1 00 0 −2

Die Strukturkonstanten sind antisymmetrisch bei Vertauschung von zwei Indizes,

f123 = 1, f458 = f678 =√

3/2

f147 = f246 = f257 = f345 = f516 = f637 =1

2.

12Allgemein hat eine SU(N) Gruppe demnach N2 − 1 Generatoren und die entsprechende Eich-theorie N2 − 1 unterschiedliche Eichbosonen.

138

Alle nicht durch Vertauschung zweier Indizes hieraus ableitbaren fabc sind Null. We-gen αa = αa(x) sind die Ableitungen

∂µψ′ = ∂µ(Uψ) 6= U∂µψ,

so dass die obige Langrange- Dichte nicht eichinvariant ist. Ähnlich wie in der QEDwird daher die Ableitung ∂µ durch eine kovariante Ableitung ersetzt,

Dµ = ∂µ + igs TaGµa

Die Gµa sind dabei 8 neue Vektorfelder, die den Gluonen entsprechen (ein Gluonfeld

für jeden Generator). Damit wird die Lagrange- Dichte zu

L = ψ(iγµDµ −m)ψ

= ψ(iγµ∂µ −m)ψ − gsψ (γµTaG

µa)ψ

Der letzte Term stellt eine Wechselwirkung zwischen den Quarks und den Gluonendar, wobei offenbar die Generatoren festlegen, welches Quark mit welcher Farbe einbestimmtes Gluon abstrahlen kann. Diese Lagrange-Dichte ist eichinvariant unterinfinitesimalen SU(3)C Transformationen, falls

Gµa → G′

µa = Gµ

a − ∂µαa(x)− gsfabcαb(x)Gµc

Der letzte Term ist neu in der SU(3)C im Vergleich zur QED und notwendig, da dieGeneratoren Ta nicht vertauschen. Für die kinetische Energie der Gluonen werdenFeldstärke-Tensoren definiert als

Gµνa ≡ ∂µGν

a − ∂νGµa − gsfabcGµ

bGνc .

Auch hier ist der letzte Term neu im Vergleich zur QED und notwendig, damit diekinetische Energie der Gluonen,

LG,kin = −1

4GaµνG

µνa ,

eich-invariant ist. Es existiert also ein Tensor für jedes Gluon und über alle Ten-soren wird summiert. Bei nicht-Abelschen Symmetrien vertauschen die Symmetrie-Operatoren nicht (fabc 6= 0). Daher enthält der Ausdruck LG,kin nicht nur Termequadratisch in den Ableitungen der Felder, also die kinetische Energie der Gluonen,sondern auch Terme mit ∼ gs(G

µa)3 und ∼ g2

s(Gµa)4. Diese Terme stellen Wechselwir-

kungen der Gluonen mit sich selber dar13, wobei die Kopplungskonstante gs genaugleich zur Kopplung der Quarks an Gluonen sein muss. Die Selbstwechselwirkungder Gluonen ist verantwortlich für

13Eine solche Selbstwechselwirkung existiert nicht für die Photonen der QED, da es für die U(1)nur eine Ladung gibt und daher auch keine Strukturkonstanten.

139

• die große Anzahl von Feynman-Diagrammen zu Prozessen der QCD,

• den Anstieg der (renormierten) Kopplung bei großen Abständen zwischen Farb-ladungen. Dies ist auch der Grund für das Confinement zwischen den Quarksund Gluonen, also der Beobachtung, dass es keine freien Farb-Ladungen son-dern nur freie Farb-Singletts gibt.

Die Selbstwechselwirkung der Gluonen bedeutet auch, dass die Gluonen selber Farbetragen. Die gesamte, sogenannte Yang-Mills Lagrange-Dichte der QCD ist damit

L = ψ(iγµDµ −m)ψ − 1

4GaµνG

µνa

= ψ(iγµ∂µ −m)ψ︸ ︷︷ ︸

Massen-Term+Ekin(ψ)→ Propagator

− gsψ (γµTaGµa)ψ︸ ︷︷ ︸

Quark ψ koppeltmit Stärke gs an 8Gluon-Felder Gν

a

− 14GaµνG

µνa︸ ︷︷ ︸

8 GluonenEkin(Ga) ∼ G2

+. . . gsG3 3-Vertex+. . . g2

sG4 4-Vertex

12.3 QCD in der e+e− Vernichtung

Wie bereits erwähnt werden bei dem Prozess e+e− → Hadronen hauptsächlich 2-JetEreignisse und nur in etwa 10% der Fälle 3-Jet Ereignisse beobachtet. Diese Ereig-nisse werden in der QCD interpretiert als Produktion von 2 Quarks beziehungsweisevon 2 Quarks, die ein weiteres Gluon mit großem Öffnungswinkel zur Quark-Richtungabstrahlen.

In der 3-Jet Produktion kann man den Spin der Gluonen direkt aus den Win-kelverteilungen der Jets bestimmen. Dazu sortiert man die Jets nach ihren EnergienE1 > E2 > E3 und bestimmt, im Schwerpunktssystem der beiden niederenergetischenJets j2 + j3, den Winkel zwischen diesen Jets und dem höchstenergetischen Jet j1.Diese Verteilung dieser Winkel Θ aus vielen Ereignissen am PETRA Beschleunigerzeigt, dass Gluonen Spin-1 haben.

140

Abbildung 29: 2-Jet Ereignis (links) und 3-Jet Ereignis (rechts) im OPAL Experimentam LEP e+e− Beschleuniger.

Abbildung 30: Verteilung der Winkel zwischen 3 Jets bei PETRA mit Vorhersagenfür Spin-0 und Spin-1 GLuonen.

141

In der 4-Jet Produktion ist der Wirkungsquerschnitt sensitiv auch auf die Selbst-wechselwirkung der Gluonen, da sowohl die Quarks als auch Gluonen weitere Gluonenabstrahlen können. Eine hierauf sensitive Messgröße ist der Winkel zwischen den bei-den Ebenen, die von den beiden Jets höchster beziehungsweise niedrigster Energieaufgespannt werden (Bengsten-Zerwas Winkel). Im Vergleich zu den Messdaten zeigt

Abbildung 31: Jet Raten für 2,3, und 4 Jets bei LEP als Funktion des Abstandsmaßeszwischen den Jets (links), sowie die Verteilung des Bengtson-ZerwasWinkels zwischenden 4 Jets (rechts).

die QCD Vorhersage eine gute Übereinstimmung mit den Jet-Raten und Winkelver-teilungen. Aus den Verhältnissen der Jet-Raten und den Winkelverteilungen lassensich die Farb-Faktoren bestimmen, die die relative Wahrscheinlichkeit der Abstrah-

142

lung von Quarks oder Gluonen angeben. In der QCD liegen durch die Eichsymmetrie

die Verhältnisse fest,CA/CF = 4/9, TF/CF = 3/8.

Beide Werte sind mit den Daten sehr gut in Übereinstimmung. Vorhersagen für viele

Abbildung 32: Bestimmung der Farb-Faktoren der starken Wechselwirkung in dere+e− Streuung bei LEP im Verleich zu theoretischen Vorhersagen verschiedener Eich-gruppen.

andere Eichgruppen können dagegen ausgeschlossen werden. Insbesondere für einenicht-Abelsche Gruppe, bei der es keine Selbstwechselwirkung der Gluonen gibt, istCA = 0. Interpretiert man die 3 Farb-Freiheitsgrade als drei unabhängige Ladungenentsprechend einer Gruppe U(1)3, so wäre CF/TF = 3. Dies ist jedoch komplettausgeschlossen, wie die Messung zeigt.

12.4 Streuprozesse mit Hadronen

Grundsätzlich sind Streuprozesse mit Hadronen im Anfangs- oder Endzustand sehrkomplex, denn:

• Jedes Hadron besteht aus mehreren Partonen, die fortwährend miteinanderwechselwirken. Solche Vielteilchenprozesse sind in der Regel theoretisch nichtdetailliert berechenbar.

143

• Die Selbstwechselwirkung der Gluonen führt zu einem Anstieg der Kopplungs-stärke mit dem Abstand und erreicht bei ca. 1 fm einen Wert nahe eins, so dasseine Störungsrechnung in Potenzen von αs nicht mehr konvergiert.

Trotzdem haben Streuprozesse mit Protonen im Anfangszustand zu wichtigen Er-kenntnissen in der Teilchenphysik geführt. Hierzu gehören die tief-inelastischen Elektron-Proton Streuung (Entdeckung der Quarks im Proton am SLAC) und p−p Kollisionen(Entdeckung der schweren b und t Quarks am Fermilab sowie der W und Z Bosonenam CERN).

Wie im Folgenden erklärt können diese und andere Prozesse mit Hadronen beihohen Impulsüberträgen im Rahmen der perturbativen QCD beschrieben werden,indem man Parton-Verteilungen der Protonen mit partonischen Wirkungsquerschnit-ten faltet. Grundlage hierfür sind Faktorisierungstheoreme der QCD.

12.4.1 Tief-inlastische Streuung

Abbildung 33: Feynman-Diagramm für tief-inelastische Streuung.

Die tief-inelastische Elektron-Proton Streuung (oder allgemeiner Lepton-NukleonStreuung, Abkürzung “DIS” für “deep inelastic scattering”) ist der Prozess

e+ p→ e+X

wobei X einen Endzustand aus Hadronen darstellt. Tief-inelastisch bedeutet, dasssowohl der 4-Impulsübertrag Q2 = −t zwischen Elektron und Proton als auch dieinvariante Masse MX aller Hadronen im Endzustand groß ist gegenüber der Skalader starken Wechselwirkung (hier die Masse des Protons).

Q2 M2p MX Mp

Diese Forderungen stellen sicher:

144

• Das räumliche Auflösungsvermögen

∆x ≈ 1/Q Rp

reicht aus um Strukturen im Inneren des Proton-Radius Rp = (200MeV)−1

aufzulösen.

• Die Reaktionsdauer des DIS- Prozesses

tDIS ≈ 1/Q tQCD

ist deutlich kleiner als die typische Fluktuationsdauer tQCD des Protons in einParton und einen wie immer gearteten Rest des Protons. Diese Zeit ist typischgegeben durch die Skala der QCD, also etwa (200 MeV)−1.

• Für große Q2 ist die starke Kopplungskonstante zahlenmäßig klein und da-mit der Beitrag von QCD- Diagrammen höherer Odnung ebenfalls klein undberechenbar.

• Bei großen Werten von MX Mp in einem Ereignis wurde offenbar mehr alsnur das Proton im Endzustand erzeugt, d.h. der Prozess ist inelastisch. MX

entspricht dann der gesammten Energie aller Hadronen und ist damit auch einMass für den Phasenraum der Hadronen. Bei großen Werten von MX zeigt essich experimentell, dass auchMX

∑MHadronen erfüllt ist, so dass der Phasen-

raumfaktor für den Übergang Parton → Hadron eins ist. Anders ausgedrücktkönnen die produzierten Quarks und Gluonen mit Wahrscheinlichkeit eins inHadronen übergehen. Damit kann der Prozess der Streuung an Hadronen aufRechnungen mit Quarks und Gluonen zurückgeführt werden.

Insgesamt bedeutet also ein hoher Werte des Impulsübertrags Q2, dass eine Moment-aufnahme der Fluktuationen des Protons aufgenommen wird, wobei große Werte vonQ2 einer hohen Zeitauflösung von kleinen Strukturen innerhalb des Protons entspre-chen. Aus vielen Streuprozessen bei hohen Q2 und hohen MX läst sich damit einstatistisches Bild der Fluktuationen der Partonen im Proton ermitteln.

12.5 Faktorisierung

Die oben diskutierte Vorstellung einer Momentaufnahme des Protons bei harten Pro-zessen (d.h. hohen Impulsüberträgen) ist auch die Grundlage des Faktorisierungs-theorems der QCD. Dieses sagt aus, dass sich der Wirkungsquerschnitt für DIS undandere Prozesse mit Protonen in Faktoren zerlegen lässt:

• Parton-Dichtefunktionen (PDFs) für Quarks und Gluonen,

fq/p(x,Q2) fg/p(x,Q

2)

145

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Abbildung 34: Zeitlicher Ablauf einer Proton-Proton-Streuung und Elemente derFaktorisierung.

Hierbei istpi = x pp

und damit beschreibt x der Bruchteil des 4-er Impulses pi, den ein Parton i am4er-Impuls pp des Protons trägt14. Die PDFs sind damit charakteristisch für dieinnere Struktur des Protons, d.h. die langreichweitigen Wechselwirkungen derPartonen untereinander und das Confinement. Die PDFs lassen sich daher auchnicht perturbativ berechnen. Sie werden allerdings auch vom Auflösungsvermö-gen Q des Prozesses abhängen und diese Abhängigkeit von Q ist berechenbar(Skalenverletzung der PDFs).

• Wirkungsquerschnitt für den elastischen, harten Sub-Prozess, also z.B. füre+u→ e+u oder d+g → d+g . Dieser wird von der Schwerpunktsenergie s desSubprozesses und dem Impulsübertrag Q2 abhängen, σ(s, Q2). Er kann mit denbekannten Mitteln der Störungsrechnung beschrieben werden. Für DIS ist z.B.der Wirkungsquerschnitt (bis auf die Quark-Ladung qq) gleich dem eµ → eµWirkungsquerschnitt (Q2 = −t):

dσeqdt

= q2qq

2e

1

8πs2

s2 + u2

t2

Insgesamt ist damit der Wirkungsquerschnitt für DIS gegeben durch die Summe überalle Quark-Flavour

dσep→eX =∑i

∫dx fi/p(x,Q

2) dσeq→eq

14Dies ist nur sinnvoll in einem Intertialsstem, in dem sich das Proton mit großer Energie Ep >>Mp bewegt, so dass die Massen von Proton und Parton keine Rolle spielen und x gleichzeitig denImpulsbruchteil und den Energiebruchteil des Partons beschreibt.

146

12.6 Messung der Parton-Dichteverteilungen

Die PDFs wurden zuerst am SLAC und später bei höheren Schwerpunktsenergienin fixed-Target DIS Experimenten vermesen. Die genauesten Daten stammen vomHERA Beschleuniger am DESY, der bis 2007 Elektronen mit 27,6 GeV und Protonenmit 920 GeV zur Kollision brachte. In diesen Experimenten wird

F2 =∑i

q2i x fi/p(x,Q

2)

gemeesen, also eine Linearkombination der Quark-PDFs. Andere Messungen z.B.

Abbildung 35: Bild eines DIS Ereignisses im ZEUS Experiment bei HERA. Elektro-nen laufen von links ein, protonen von rechts. Erkennbar ist das gestreute Elektron,ein gestreuter Jet und die Fragementationsreste des Protons ganz links.

mit W -Austausch oder an Deuteronen ergeben andere Linearkombination. An alleverfügbaren Messungen werden dann Funktionen für die PDFs angepasst. Hierbeiwird ausserdem sichergestellt, dass die Summenregeln für die Quark-Flavour undden Gesammt-Impuls erfüllt sind.

147

Abbildung 36: Messung von F2 von HERA bei ausgewählten Werten von Q2.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-410 -310 -210 -110 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

HERAPDF1.0 exp. uncert.

model uncert. parametrization uncert.

x

xf 2 = 10 GeV2Q

vxu

vxd 0.05)×xS (

0.05)×xg (

H1 and ZEUS

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abbildung 37: Die Parton-Dichteverteilungen xf(x) für die Valenz-Quarks (xuv, xdv),die See-Quarks (xS = 2x(u + c + d + s)) sowie die Gluonen (xg) bei einem Impuls-übertrag von Q2 = 10 GeV2. Die Gluon-Dichte und die See-Quark-Dichte wurdeum einen Faktor 20 verkleinert dargestellt. Die Breite der Bänder entspricht denUnsicherheiten.

148

12.7 Perturbative QCD in der Quark und Gluon Streuung

Abbildung 38: Feynman-Graphen für 2→ 2 Prozesse zur Jet-Produktion an Hadron-Beschleunigern.

An Hadron-Beschleunigern treten Quarks und Gluonen sowohl im Anfangs- alsauch im Endzustand auf. Feynman-Diagramme für 2 → 2 Prozesse von Quarksund Gluonen haben eine sehr ähnliche Struktur wie die fundamentalen Prozesse derQED, da die Quarks Spin-1/2 haben und über eine γµ- Kopplung mit den Spin-1Gluonen wechselwirken. Es gilt also ebenfalls Chiralität-Erhaltung am Vertex, sodass die Matrixelemente neben den Propagatoren für Quarks und Gluonen auch dieentsprechenden Winkelverteilungen, ausgedrückt in Mandelstam-Variablen, haben.Neu ist jedoch, dass bei unbestimmter Farbe im Anfangs- und Endzustand überalle möglichen Farb-Kombinationen summiert werden muss. Hierdurch erklären sichdie Vorfaktoren für die Matrixelemente. Für einen Vergleich der QCD Berechungenmit Daten z.B. von pp Beschleunigern benötigt man allerdings noch zusätzlich dieImpulsverteilung der Quarks und Gluonen im Proton.

149

Abbildung 39: Matrixelemente für 2 → 2 Prozesse zur Jet-Produktion an Hadron-Beschleunigern.

150

Abbildung 40: Eine Messung der Jet-Wirkungsquerschnitte am Tevatron pp Beschleu-niger bei einer Schwerpunktsenergie von 2 TeV als Funktion des transversalen Im-pulses PT und der Pseudorapidität η der Jets.

151

13 Loops und LegsAus der Form der Lagrangedichte lassen sich die vorhergesagten Vertizes der Theorieund die entsprechenden Vertexfaktoren ablesen.

Die bisher gezeigten Feynman-Diagramme sind jedoch jeweils nur die Diagrammeder niedrigsten Ordnung.

Bei der Berechnung von Matrixelemente für Wirkungsquerschnitte oder Zerfalls-wahrscheinlichkeiten entspricht die Summe aller möglichen Feynman-Diagramme da-her einer Störungsreihe, d.h. einer Reihenentwicklung des Matrixelements nach Po-tenzen der Kopplungskonstanten α = g2/(4π). Für das Beispiel

e+e− → µ+µ−

in der QED (d.h. nur Photon-Austausch), unterscheidet man:

1. Niedrigste Ordnung (LO: Leading Order, Born Diagramm): σ ∼ α2

2. reelle Korrekturen e+e− → µ+µ−γ σ ∼ α3

initial state reaction (ISR) final state radiation (FSR)

3. Virtuelle Korrekturen (Schleife, Loop) σ ∼ α4

a) Propagator-Loop (Vakuum-Polarisierung)

b) Vertex-Korrektur

152

c) Korrektur der externen Linien

Bei der Berechnung dieser Diagramme bestehen prinzipielle Probleme. Bei ISR undFSR, d.h. der Abstrahung reeller Teilchen (hier Photonen), können diese z.B. sehrniederenergetisch sein (“infrarot”) oder parallel zum abstrahlenden Fermionen (“col-linear”). In diesen Fällen wird der Propagator des Fermions sehr groß werden.

Bei Schleifen-Diagrammen gilt 4-er Impulserhaltung an den Vertizes, aber trotz-dem kann der Impuls der Fermionen in der Schleife beliebig große oder beliebig kleineImpulse annehmen. Zur Berechnug dieses Matrixelements muss daher über alle mög-lichen Impulse der internen Fermionen integriert werden. Diese Integrale sind aberin der Regel unendlich, so dass man sie nur bis zu einer Obergrenze der umlaufendenImpulse ausführen kann. Dies ist ein ganz allgemeines Problem der Quantenfeld-theorie und führt dazu, dass die Kopplungskonstanten von dieser Grenze anhängenwerden und ist der Ursprung für die “laufenden Koplungskonstanten”. Auch Massenzeigen das gleiche Verhalten. Beide Effekte sind im Folgenden näher erklärt.

153

13.1 QED: Laufende Kopplungskonstanten

Wir betrachten den Prozess e+e− → µ+µ−. In niedrigster Ordnung ergibt sich dasMatrixelement aus den Feynman-Regeln mit dem Fermion-Strom z.B. des Elektrons

Jµ12 = ige v1γµu2

und dem Photon-Propagator−igµνq2

zu

M = −Jµ12

gµνq2J34,ν

Für die erste Schleifen-Korrektur laufe ein Fermion (dominant ein Elektron) derMasse m. Der 4-er Impuls des Photons q teilt sich, so dass der 4-er Impuls des einenFermions p sei und der des anderen Fermions dementsprechend q−p. Es gibt so keineEinschränkung für die Komponenten von p.

Mit dem dem Propagator des umlaufenden Fermions

i(γαpα +m)

p2 −m2

folgt für das Matrixelement

M =−ig4

e

q4Jµ12

∫d4p

(2π)4Tr

[γµ(γαp

α +m)

p2 −m2

γν(γα(q − p)α +m)

(q − p)2 −m2

]J34,ν

Im Vergleich zur niedrigsten Ordnung ergibt sich also eine Veränderung des Propa-gators:

−igµνq2

→ −igµνq2− 1

q4Iµν

MitIµν = −igµνq2I(q2)

154

ergibt sich als Lösung

I(q2) =g2e

12π2

[∫ ∞m2

dp2

p2− 6

∫ 1

0

dz z(1− z) ln

(1 +

q2z(1− z)

m2

)]Der erste Term ist logarithmisch divergent. Man erzetzt den maximalen Impulsp2 → ∞ durch einen cut-off M2 (und setzt später: M2 → ∞) Das zweite Inte-gral, f(q2/m2), ist endlich. Das Integral hat dann die Grenzwerte

q2 klein: I(q2) ≈ g2e

12π2lnM2

m2+

g2e

60π2

q2

m2

q2 groß: I(q2) ≈ g2e

12π2lnM2

q2

Das Matrix-Element für beide Diagramme zusammen ist dann

M = −g2e J

µ12

−gµνq2

(1− g2

e

12π2

[lnM2

m2− f(

q2

m2)

])J34,ν

Man führt nun die renomierte elektrische Kopplung ein

gR ≡ ge

√1− g2

e

12π2lnM2

m2

Diese ersetzt die “nackte” Kopplung ge aus der Lagrange-Dichte. Damit ist das ME:

M = −g2R J

µ12

−gµνq2

(1 +

g2R

12π2f(q2

m2)

)J34,ν

Der cut-off der Divergenz,M , ist absorbiert in der renormierten Kopplung gR. Beob-achtbar ist nur der WQ des Prozesses. Dieser hängt nur von gR ab. Die nackte Kopp-lung ist also keine Observable, sondern nur ein Parameter in der Lagrange-Dichte,der erst renormiert werden muss. Allerdings hängt gR explizit vom Impulsübertrag(q2 ∼ 1/Abstand) im Prozess ab. Insbesondere ist

gR(q2) = gR(0)

√1 +

g2R(0)

12π2f(q2

m2)

Häufig benutzt man statt dessen auch die Feinstruktur-Konstante

αR =g2R

4π

für die entsprechend gilt

αR(q2) = αR(0)

(1 +

αR(0)

3πf(q2

m2)

)155

großer Abstand

virtuelle e+e−-Paarekleiner Abstand

Die Abschirmung durch die Vakuum-Polarisation entspricht der laufenden Kopp-lungskonstante.

Messung: in Bhabha Streuung bei LEP:e+e− → e+e−

q2 klein: α = 1137

q2 ≈ 100GeV : α = 1128

156

13.2 QCD: Laufende Kopplung

QEDIn der QED tragen in der Photon-Propagatoren nur die geladenen Fermionen bei.Als einziges geladenes Boson wird das W -Boson wird erst bei Q2 > M2

W relevant.

QCDIn der QCD gibt es wie in der QED die Fermion-Beiträge der Quarks, aber zusätzlichzur QED die Gluon-Selbstwechselwirkung.

Die Vakuum-Polarisation durch Gluonen trägt entgegengesetzt zum Quark-Anteilbei. Dies liegt am unterschiedlichen Spin für Quarks und Gluonen. Man findet

αs(Q2) =

αs(µ2)

1 + αs(µ2)12π

(33− 2nf ) ln Q2

µ2

wobei Nf die Anzahl der Quark-Flavour mit m2q < Q2 ist. Mit

Λ2QCD = µ2exp

( −12π

(33− 2nf )αs(µ2)

)

157

9. Quantum chromodynamics 25

The central value is determined as the weighted average of the individual measurements.For the error an overall, a-priori unknown, correlation coefficient is introduced anddetermined by requiring that the total χ2 of the combination equals the number ofdegrees of freedom. The world average quoted in Ref. 172 is

αs(M2Z) = 0.1184 ± 0.0007 ,

with an astonishing precision of 0.6%. It is worth noting that a cross check performed inRef. 172, consisting in excluding each of the single measurements from the combination,resulted in variations of the central value well below the quoted uncertainty, and in amaximal increase of the combined error up to 0.0012. Most notably, excluding the mostprecise determination from lattice QCD gives only a marginally different average value.Nevertheless, there remains an apparent and long-standing systematic difference betweenthe results from structure functions and other determinations of similar accuracy. Thisis evidenced in Fig. 9.2 (left), where the various inputs to this combination, evolved tothe Z mass scale, are shown. Fig. 9.2 (right) provides strongest evidence for the correctprediction by QCD of the scale dependence of the strong coupling.

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Figure 9.2: Left: Summary of measurements of αs(M2Z), used as input for the

world average value; Right: Summary of measurements of αs as a function of therespective energy scale Q. Both plots are taken from Ref. 172.

July 30, 2010 14:57

folgt:

αs(Q2) =

12π

(33− 2nf ) ln Q2

Λ2QCD

Der Zahlenwert für ΛQCD ≈ 250MeV ist die Skala, bei der die starke WW stark wird.Dies definiert die Bindungsenergie und gleichzeitig den Radius der Hadronen. Darausergibt sich auch die Masse z.B. des Protons. Ebenfalls begründet dies, dass Quarksgebunden sind (“confinement”) sowie die “Asymtotische Freiheit”. Die Messungenvon αs sind inzwischen sehr genau. Der Zahlenwert wird in der Regel an der SkalaQ2 = M2

Z der Z-Masse angegeben, da bei dieser Energie die Messungen bei LEPbesonders genau waren.

αS(M2Z) = 0.1184± 0.0007

Wie man sieht bestätigen die Messungen bei verschiedenen Q2 die theoretische Vor-hersage der Energie-Abhängigkeit der Kopplungskonstanten sehr exakt.

158

13.3 Renormierung in höheren Ordnungen

Um allgemeiner die Form der Renormierungs-Gleichungen zu verstehen betrachtenwir eine dimensionslose Observable R (z.B. eine Winkelverteilung in einem Streupro-zess). Im Grenzfall hoher Impulse und hoher Impulsübeträge Q2 wird R nicht mehrvon den Massen der Teilchen abhängen, so dass die einzige dimensionsbehaftete Grö-ße Q2 ist. Bei der Berechnung von Loop-Beiträgen zu R muss man zur Vermeidungder ultravioletten Divergenz (also unendlich hoher Impulse in der Loop) einen wil-kürlichen cut-off µ2 einführen. Der Wert der Observablen R darf schlußendlich abernicht von µ2 abhängen. Damit kann R nur noch vom Verhältnis Q2/µ2 und von derKopplung α abhängen,

R = R(Q2

µ2, α)

und es muss gelten:d

dµ2R = 0

Damit folgt die Renormierungs-Gruppengleichung (RGE)

µ2 d

dµ2R(Q2

µ2, α) =

(µ2 ∂

∂µ2+ µ2 ∂α

∂µ2

∂

∂α

)R = 0

Jede explizite µ2-Abhängigkeit von R muss daher in jeder Ordnung der Störungs-theorie durch eine entsprechende Abhängigkeit bei ∂α/∂µ2 kompensiert werden. Mitden dimensionslosen Größen

t = lnQ2

µ2, β(α) = µ2 ∂α

∂µ2

und µ2 ∂/∂µ2 = −∂/∂t folgt (− ∂

∂t+ β

∂

∂α

)R = 0

Um µ zu eliminieren definiert man die “laufende Kopplungskonstante” α(Q2) durch

t =

∫ α(Q2)

α(µ2)

dx1

β(x)

und leitet dies nach Q2 ab,

∂t

∂Q2=

1

Q2=

1

β(α(Q2))

∂α(Q2)

∂Q2

159

oderβ(α(Q2)) = Q2∂α(Q2)

∂Q2=∂α

∂t

Setzt man diesen Ausdruck für β in die RGE ein so ist diese offenbar immer erfüllt.Die Observable R und auch β kann als Störungsreihe in α berechnet werden,

β(α) = −bα2(1 + b′α + b′′α2 + ...

)In der QED findet man

b =−1

3π

∑i

e2i

In der QCD ist

b =33− 2nf

12π

b′ =153− 19nf

2π(33− 2nf )

Bricht man diese Reihenentwicklung nach einer bestimmten Ordnung ab, so ergibtsich die Formel für α in dieser Ordnung. Für nur die erste Ordnung heist das z.B.

β(α(Q2)) = Q2∂α(Q2)

∂Q2= −bα2(Q2)

und damitα(Q2) =

α(µ2)

1 + α(µ2) b ln Q2

µ2

13.4 Renormierung der Massen

Die Loops in den externen Linien tragen zur Selbstenergie der Teilchen bei.Dies führt ganz analog zur laufenden Kopplung zu einer laufenden Masse. Gemessenwurde dies bisher nur mit ausreichender Genauigkeit beim b-Quark bei LEP. Fürandere Quarks ist entweder die Massenbestimmung zu ungenau (u, d, s, c), oder derQ2-Bereich nicht groß genug. Für Leptonen ist der Effekt zu klein für eine Beobach-tung.

160

3.2.2 Renormierung der Massen

Die Loops in den externen Linien tragen zur Selbstenergie der Teilchen bei.

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Dies führt ganz analog zur laufenden Kopplung zu einer laufenden Masse. Gemessenwurde dies bisher nur mit ausreichender Genauigkeit beim b-Quark bei LEP.

57

161

13.5 Renormierbarkeit des Standard-Modells

In einer renormierbaren Theorie sind alle berechenbaren Observablen endlich. DasStandard-Modell ist eine solche Theorie. Bedeutend ist der Beweis von G. t’Hooft:Nur lokale Eichtheorien sind renormierbar.

Beispiele im Standard-Modell:

1. ν-Wirkungsquerschnitt νp→ eXIn der Fermi-Theorie der schwachen WW hat die Kopplung GF die DimensionGeV −2. Für s→∞ folgt aus Dimensionsgründen

σ ∼ G2F · s

Im Standard-Modell wird das W eingeführt und damit GF → gM2W+Q2 . Daraus

folgt, dass σ endlich bleibt.

• Allgemein gilt, dass Kopplungskonstanten dimensionslos sein müssen.

2. Loops: Divergenzen durch Impuls =∞ in Loop

Divergenz absorbiertlaufende Kopplungα(Q2)αs(Q

2)αW (Q2)

Divergenzen heben sich gegenseitig auf in Eich-theorien, d.h. kein Beitrag der Loop zum Laufender Kopplung, aber die Masse der Teilchen mussrenormiert werden, Ml(Q

2)...

Bei großem Auflösungsvermögen in Streuprozessen (großes Q2)werden Quantenfluktuationen wichtig, und “Screening” bewirkt Laufen derKopplungen und Massen.

• Die Q2 Abhängigkeit ist eine Vorhersage des Standard-Modells.• Renormierung funktioniert für alle Ordnungen der Störungsrechnung

3. νW → νW : Neutrino-Streuung an W-BosonenRealisierung z.B.:

162

Die Berechung des Teilprozesses

ergibt, dass σ divergiert für s→∞.

Im Standard-Modell ist aber das Z0 vorhergesagt. Dadurch gibt es eine Inter-ferenz

In der Interferenz heben sich die unendlichen Beiträge beider Diagramme ge-rade gegenseitig auf, so dass der gesamte Wirkungsquerschnitt endlich bleibt.

• Es kann kein W± ohne Z0 geben.

• Für die Vertizes νeW und WWZ muss die gleiche Kopplungskonstantegelten.

• W±, Z0 müssen vollständiges Multiplett der WW bilden.

Alle diese Aussagen wurden durch das Standard-Modell vorhergesagt.

4. W+W− → W+W−: Streuung von W mit Masse MW 6= 0

163

Jedes Diagramm einzeln divergiert für MW > 0. Im Standard-Modell wird dieMasse aber nur durch das Higgs vermittelt. Der Higgs-Mechanismus sagt aberauch die Higgs-Diagramme

voraus. Die Summe aller Diagramme ist endlich, wenn folgende Forderungenerfült sind:

• Boson-Selbst-WW (WWγ) erfordert (WWZ)

• 3-Boson Kopplung verlangt 4-Boson Kopplung

• Higgs-Skalar muss existieren

• Kopplung HHW muss proportional Masse W sein!

Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die SU(2)L Symmetrie eineW -Masse verbietet, ausser bei spontaner Symmetrie-Brechung.

13.6 Chirale Anomalie

Die SU(2)L ist eine “Chirale WW”, d.h. es gibt unterschiedliche Kopplungen fürlinkshändige Fermionen ψL und rechtshändige Fermionen ψR. Betrachtet man denProzess Z → γγ so ergibt sich die sogenannte Dreiecks-Anomalie. Dieser Prozesswurde bei LEP gemessen.

Für jedes Fermion f ergibt sich im Matrix-Element

M∼ cA ·Q2

mit der axialen Kopplung cA = T3 und der Ladung Q. Für jedes einzelne Fermionergeben diese Loops

σ →∞

164

Dies ist unvermeidbar, es sei denn Beiträge verschiedener Fermionen heben sich genaugegenseitig weg.

Für jede Generation gilt:ν e u d

∑f=ν,e,u,d

T3fQ2f =

(1

2

)·02 +

(−1

2

)· (−1)2 +3 · 1

2

(2

3

)2

+3 ·(−1

2

)(−1

3

)2

= 0 !!

NC = 3 Farben der Quarks

Interpretation: Die Divergenz wird nur dann vermieden, wenn

• Quark-Dubletts vollständig sind (⇒ Existenz des top-Quarks)

• Quarks und Leptonen nicht unabhängig sind!

• für(νe

)L,(ud

)List T3 gegeben. Daraus folgtdie Anzahl der Farben der Quarks.

NC = Q2e

Q2u−Q2

d= 3 Farben

Daruas folgt eine Aussage, die sehr bedeutend ist:

• Weil die SU(2)L chiral ist und SU(3)C drei Farben beschreibt sind Quarks 1/3-fach elektrisch geladen.

Dieser innere Zusammenhang zwischen elektrischer Ladung und Farbe ist nicht er-klärt im Standard-Modell und ein starker Hinweis auf Physik jenseits des Standard-Modells (siehe: Grand Unification).

165

13.7 Chirale Anomalie

Die SU(2)L ist eine “Chirale WW”, d.h. es gibt unterschiedliche Kopplungen fürψL und ψR. Betrachtet man den Z → γγ so ergibt sich die sogenannte Dreiecks-Anomalie. Dieser Prozess wurde bei LEP gemessen.

Für jedes Fermion f ergibt sich im Matrix-Element

M∼ cA ·Q2

mit der axialen Kopplung cA = T3 und der Ladung Q. Für jedes einzelne Fermionergeben diese Loops

σ →∞Dies ist unvermeidbar, es sei denn Beiträge verschiedener Fermionen heben sich weg.

Für jede Generation gilt:ν e u d

∑f=ν,e,u,d

T3fQ2F =

(1

2

)·02 +

(−1

2

)· (−1)2 +3 · 1

2

(2

3

)2

+3 ·(−1

2

)(−1

3

)2

= 0 !!

NC = 3 Farben der Quarks

Interpretation: Die Divergenz wird nur dann vermieden, wenn

• Quark-Dubletts vollständig sind (⇒ Existenz des top-Quarks)

• Quarks und Leptonen nicht unabhängig sind!

• für(νe

)L,(ud

)List T3 gegeben ⇒ NC = Q2

e

Q2u−Q2

d= 3 Farben

Daruas folgt eine Aussage, die sehr bedeutend ist:

• Weil die SU(2)L chiral ist und SU(3)C drei Farben beschreibt sind Quarks 1/3-fach elektrisch geladen

166

Dieser innere Zusammenhang zwischen el. Ladung und Farbe ist nicht erklärt imStandard-Modell und ein starker Hinweis auf Physik jenseits des Standard-Modells(siehe: Grand Unification).

167

168

A Nützliche Formeln

Metrischer Tensor: gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

4-er Vektoren: aµ = (a0,~a) aµ = gµνa

ν = (a0,−~a)

Lorentz-invariant: a · b = aµbµ = aµbµ = a0b0 − ~a~b

a2 = aµaµ = a2

0 − ~a2

4-er Impuls: pµ = (E, ~p) , p2 = E2 − ~p2 = m2

4-er Ableitung: ∂µ = ∂∂xµ

= (∂t,−∇)

Impuls-Operator (Ortsdarstellung): pµ = i∂µ = (i∂t,−i∇)

pµpµ = −∂µ∂µ = −(∂2

t ,−∇2) = −2

Dirac Gleichung: (iγµ∂µ −m)ψ = 0

γ- Matrizen (4x4): γ0 =

(I 00 −I

)~γ =

(0 ~σ−~σ 0

)

γ0 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

γ1 =

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0

γ2 =

0 0 0 −i0 0 i 00 i 0 0−i 0 0 0

γ3 =

0 0 1 00 0 0 −1−1 0 0 00 1 0 0

γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3 =

(0 II 0

)=

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Pauli Matrizen (Dirac Darstellung): ~σ = (σx, σy, σz)

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)Anti-Kommutator: γµγν + γνγµ = 2gµν

γ5γµ + γµγ5 = 0

wie 4-er Vektor: γµ = gµνγν

hermitesch konjugiert: γ0† = γ0 γk† = −γk k = 1, 2, 3

㵆 = γ0γµγ0 γ5† = γ5

Quadrate: (γ0)2 = −(γk)2 = (γ5)2 = 1

Dagger: /a ≡ γµaµ = γ0a0 − ~γ~aγµ/aγ

µ = −2/a γµ/a/bγµ = 4aνbν

169

Spur TheoremeTr(A) = ΣiAii Diagonal-ElementeTr(ABC) = Tr(BCA)

Tr 1 = 4 (1 = 4x4 Matrix)Tr γµ = 0 Tr γ5 = 0

Tr(ungerade · γ- Matrizen) = 0

Tr(γµγν) = 4gµν......... viele weitere Theoreme

Dirac Spinoren: (4 Komponenten)E > 0 Spinor: u(p,s) (/p−m)u(p,s) = 0

u(p,s)(/p−m) = 0

mit adjungiertem Spinor: u = u†γ0

E < 0 Spinor: v(p,s) (/p+m)v(p,s) = 0

v(p,s)(/p+m) = 0

Spin-Operator: ~s = 12

(~σ 00 ~σ

)Helizitätsoperator: λ = ~s · ~p|~p| Spin-Komponente parallel ~p

Helizitäts-Eigenzustände: uλ(p) mit λ = ±1

Normierung: uλ(p)uσ(p) = 2mδλσvλ(p)vσ(p) = −2mδλσuλ(p)vσ(p) = 0 = vλ(p)uσ(p)

Vollständigkeits-Relationen: 4x4 Gleichungen∑

λ uλ(p)uλ(p) = /p+m∑λ vλ(p)vλ(p) = /p−m

Spinordarstellung: Sei ~p entlang +z-Achse, Helizität = λ2

uλ(p) =√E +m

(χλ

2λ|~p|E+m

χλ

)mit χ+1 =

(10

), χ−1 =

(01

)Anti-Teilchen: vλ(p) = −λγ5u−λ(p)

170

B Drehimpuls und RotationFür infinitesimal kleine Translationen, d.h. Verschiebungen entlang einer Richtung,lassen sich Zustände schreiben als

Ψ′ = DΨ = Ψ(x+ δx) = Ψ(x) + δx ∂xΨ = (1 + i δx px)Ψ

mit dem Impulsoperator px = −i∂x als Generator der Transformation. Endlich großeVerschiebungen ∆x = n δx ergeben sich aus n infinitesimal kleinen Verschiebungen,die hintereinander ausgeführt werden, im Limes n→∞ und δx→ 0.

D = limn→∞

(1 + iδx px)n = eipx∆x

Ganz analog gilt für eine infinitesimal kleine Rotation z.B. um die z-Achse

Ψ′ = RΨ = Ψ(ϕ+ δϕ) = Ψ(ϕ) + δϕ ∂ϕΨ = (1 + i δϕ Jz)Ψ

mit der Drehimpulskomponente

Jz = (~r × ~p)z = −i(x ∂y − y ∂x)

als Generator der Rotation um die z-Achse. Das Jz tatsächlich der richtige Generatorist sieht man aus den rotierten Koordinaten

x = r cosϕ δx = (∂ϕx)δϕ = −r sinϕ δϕ = −yδϕ (4)y = r sinϕ δy = (∂ϕy)δϕ = r cosϕ δϕ = xδϕ (5)

und

RΨ(x, y, z) = Ψ(x′, y′, z) (6)= Ψ(x, y, z) + (∂xΨ)δx+ (∂yΨ)δy (7)= Ψ(x, y, z)− yδϕ ∂xΨ + xδϕ ∂yΨ (8)= (1 + i δϕ Jz) Ψ(x, y, z) (9)

Für eine Rotation um einen endlich großen Winkel ∆ϕ = nδϕ gilt wie oben:

R = limn→∞

(1 + iδϕ Jz)n = eiJz∆ϕ

Für die Komponenten Ji des durch ~J = ~r × ~p definierten Drehimpulsoperators undfür J2 = J2

x + J2y + J2

z ergeben sich folgende Vertauschungsrelationen:

[Ji, Jj] = iεijkJk [J2, Ji] = 0

171

Für die Auf- und Absteigeoperatoren

J± = Jx ± iJy

gilt[Jz, J+] = J+ J+J− = J2 − J2

z + Jz

[Jz, J−] = −J− J−J+ = J2 − J2z − Jz

Für einen Drehimpulszustand |jm > mit Gesamtdrehimpuls j und z-Komponente mgilt

−j ≤ m ≤ j Jz |jm >= m |jm > J2 |jm >= j(j + 1) |jm >

Daraus folgt

Jz (J− |jm >) = J−(Jz − 1) |jm >= (m− 1) (J− |jm >)

undJz (J+ |jm >) = (m+ 1) (J+ |jm >)

so dass für die Auf-und Absteigeoperatoren gilt:

J+ |jm >= C+ |j, m+ 1 > J− |jm >= C− |j, m− 1 >

mitC+ =

√j(j + 1)−m(m+ 1) C− =

√j(j + 1)−m(m− 1)

Dreht man einen Zustand |j, m > um die y-Achse um den Winkel θ, so wird darauseine Linearkombination von Zuständen |j, m′ > mit gleichem Gesamtdrehimpuls jund neuen dritten Komponenten m′.

e−iθJy |j, m >=∑m′

djm′m(θ) |j, m′ >

Die einzelnen d-Funktionen sind von θ und von j,m,m′ abhängig und werden Dreh-matrizen genannt. Multiplikation von links mit < j, m′| liefert

< j, m′| e−iθJy |j, m >= djm′m(θ)

Der Fall Spin j = 12

Für die Darstellung der beiden möglichen Zustände |j, m >

|12,1

2>=

(10

)|12,−1

2>=

(01

)

172

ist die Darstellung von Jy geben durch die Pauli-Matrizen,

Jy =1

2σy =

1

2

(0 −ii 0

)Wegen σ2

y = 1 folgt aus einer Taylorentwicklung für sin und cos:

e−iθJy = cos(−θJy) + i sin(−θJy)

= 12 cos(θ

2)− iσy sin

θ

2=

(cos θ

2− sin θ

2

sin θ2

cos θ2

)Damit ist z.B.

djm′m = d1212, 12

= < j, m′| e−iθJy |j, m >

= (1, 0)

(cos θ

2− sin θ

2

sin θ2

cos θ2

) (10

)= cos

θ

2

Der Fall Spin j = 1

Berechnet werden soll z.B. j = 1,m = 1,m′ = 1, also d11,1. Auch ohne explizite

Darstellung ist die Berechnung möglich wenn man berücksichtigt, dass Jy = − i2(J+−

J−). Für die ersten Terme der Taylor-Entwicklung

e−iθJy = 1− iθJy −θ2

2!J2y + i

θ3

3!J3y + ·

folgt wegen J+|1, 1 >= 0:

Jy |1, 1 >= − i2

(J+ − J−)|1, 1 >=i

2J−|1, 1 >=

i√2|1, 0 >

J2y |1, 1 >=

1

2(|1, 1 > −|1,−1 >)

etc. Daraus folgt

< 1, 1| e−iθJy |1, 1 >= 1− 1

2

θ2

2!+

1

2

θ4

4!+ ·

oderd1

1,1 =1

2(1 + cos θ)

173

C Ergänzungen zur Dirac-Gleichung

C.1 Normierung der Dirac-Spinoren

Gesucht wird eine Normierung der Dirac-Spinoren, die zu einer Lorentz-invariantenLagrange-Dichte führt. Insbesondere muss sich der 4-er Strom jµ = ψγµψ transfor-mieren wie ein 4-er Vektor. Dies heist z.B., dass sich die 0-te Komponente

j0 = ψγ0ψ = ψ†γ0γ0ψ = ψ†ψ

transformiert wie eine Energie, also proportional zur Energie E ist. Für den Spinor

ψ(1)(pz) = eipzz u(1)(pz) = eipzz N

10p

E+m

0

gilt also z.B.

j0 = N∗N

(1, 0,

p

E +m, 0

) 10p

E+m

0

= |N |2(

1 +p2

(E +m)2

)= |N |2 2E

E +m.

Daher setzt man die Normierung zu

N =√E +m,

so dass die Teilchendichtej0 = ψ†ψ = 2E.

folgt.Eine so normierte ebene Welle trägt allerdings unendlich viel Energie, denn∫d3xj0 = inf. Bei der Herleitung von Wirkungsquerschnitten muss daher statt-

dessen die Teilchendichte in einem Volumen V betrachtet werden. Die Normierungist dann

N =√

(E +m)/V ,

so dassj0 = 2E/V.

Dieses Volumen kürzt sich bei der Berechnung von Wirkungsquerschnitten allerdingswieder heraus, so dass häufig dieses Volumen in den Gleichungen weggelassen oderals Einheitsvolumen aufgefasst und nicht explizit geschrieben wird.

Auch andere Konventionen für die Normierung sind gebräuchlich, unterscheidensich von dieser aber nur um eine Konstante, die sich bei der Berechnung von Wir-kungsquerschnitten ebenfalls wieder herauskürzt.

174

C.2 Teilchen und Antiteilchen in der Dirac-Gleichung

Die Dirac Gleichung eines Teilchens mit elektrischer Ladung q lautet

[iγµ(∂µ + iqAµ)−m] Ψ = 0

und komplex konjugiert:

[−iγµ∗(∂µ − iqAµ)−m] Ψ∗ = 0

Sei C ′ eine Matrix für die gilt:

−C ′γµ∗ = γµC ′

Dann folgt durch multiplizieren der komplex konjugierten Dirac-Gleichung mit C ′:

[−iC ′γµ∗(∂µ − iqAµ)−mC ′] Ψ∗ = [iγµ(∂µ − iqAµ)−m] C ′Ψ∗ = 0

Dies ist aber die Dirac-Gleichung eines Teilchens mit entgegengesetzter elektrischerLadung −q und gleicher Masse m, also dem Antiteilchen, das durch die Wellenfunk-tion C ′Ψ∗ beschrieben wird. Es zeigt sich, dass obige Bedingung für C ′ durch

C ′ = iγ2

erfüllt wird. Z.B. bedeutet dies für die Lösung

Ψ = u(1)(~p) e

−ipx

der Dirac-Gleichung, dass

ΨC = C ′(u

(1)(~p) e

−ipx)∗

=(v

(1)(~p) e

ipx)

Daher bezeichnet man die Lösungen v als die Lösungen der Dirac Gleichung fürAntiteilchen.

175

C.3 Parität für Antiteilchen

Die Paritätstransformation bedeutet Spiegelung der Koordinaten von 3-er Vektoren,

~x→ ~x′ = SP ~x = −~x

~p→ ~p′ = SP ~p = −~pDie Darstellung des Paritätsoperators ist also für 3-er Vektoren einfach

SP = −1

Allgemein hängt die Darstellung von Operatoren mit gleicher physiklaischer Bedeu-tung davon ab, vorauf sie angewendet werden sollen. Die gleiche Paritätstransforma-tion SP für einen Dirac- Spinor ist definiert als

u(E, ~p)→ u′(E, ~p′) = SP u(E, ~p)

Wendet manSP = γ0

auf einen Teilchen-Spinor u oder Antiteilchen-Spinor v an, so ergibt sich z.B.

SP u(1)(pz) = γ0u(1)(pz) =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

N

10p

E+m

0

= N

10−pE+m

0

= +u(1)(−pz)

SP v(1)(pz) = γ0v(1)(pz) =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

N

0−pE+m

01

= −N

0

+pE+m

01

= − v(1)(−pz)

Insgesamt gilt auch allgemein

Sp u(~p) = +u(−~p) Sp v(~p) = − v(−~p)

Teilchen haben also positive Parität (“Eigenparität”), Antiteilchen hingegen negativeParität. Nach zweimaliger Spiegelung ist der Urspungszustand wieder erreicht,

S2p u(~p) = u(~p) S2

p v(~p) = v(~p).

176

C.4 Ergänzungen zum Propagator

Die Eigenschaften des Propagators für Dirac-Teilchen

D(p) =γµpµ +m

pµpµ −m2 + iε

lassen sich nach Rücktransformation zu D(x− x′) verstehen.

D(x− x′) =1

(2π)4

∫d4p e−ip(x−x

′) γµpµ +m

pµpµ −m2 + iε

Insbesondere findet man für die Beziehung zwischen den Wellenfunktionen an ver-schiedenen Orten x und x′:

Ψ(x) = i

∫d~x′ D(x− x′) γ0 Ψ(x′)

Dies soll jetzt beiwesen werden. Mit E =√~p2 +m2 folgt für den Nenner von D:

pµpµ −m2 + iε = p20 − ~p2 −m2 + iε = p2

0 −E2 + iε ≈ (p0 − (E − iε)) (p0 + (E − iε))für ε → 0. Wegen der Polstelle bei p0 = E − iε lässt sich das Integral über dieEnergiekomponente p0 mit Hilfe des Residuensatzes ausführen:

D(x− x′) =1

(2π)4

∫d~p ei~p(~x−~x

′)

∫dp0 e

−ip0(t−t′) 1

p0 − (E − iε)γµpµ +m

p0 + (E − iε)

=−i

(2π)3

∫d~p ei~p(~x−~x

′) e−iE(t−t′) γ0E − ~γ~p+m

2E

Für eine eben Welle

Ψ(x′) = u(k)e−ikx′= u(k)e−ik0t

′ei~k~x′

folgt daraus:

i

∫d~x′ D(x− x′) γ0 Ψ(x′)

=1

(2π)3

∫d~p

(∫d~x′ e−i(~p−

~k)x′)

ei~p~x e−ik0t′e−iE(t−t′) γ

0E − ~γ~p+m

2Eγ0 u(k)

= ei~k~x e−ik0t

′e−ik0(t−t′) γ

0k0 − ~γ~k +m

2k0

γ0 u(k) = e−ikx u(k)

wobei das Integral über d~x′ durch (2π)3 δ3(~p− ~k) ersetzt wurde und damit E durchk0, sowie mit Hilfe der Dirac Gleichung:

(−~γ~kγ0 +mγ0)u = γ0(~γ~k +m)u = γ0(γ0k0)u = k0u

177

D Ergänzungen zum Wirkungsquerschnitt

D.1 Phasenraum

Im Endzustand ist der Phasenraum eines Teilchens mit 4-er Impuls (E, ~p) propor-tional zu

d3p = dpx dpy dpz

Gesucht ist ein Lorentz-invarianter Ausdruck für den Phasenraum. Bei einer Lorentz-Transformation z.B. in x-Richtung gilt,

p′x = γpx − γβE, E ′ = γE − γβpx,so dass

dp′x =∂p′x∂px

dpx +∂p′x∂E

dE = γdpx − γβdE.

Außerdem folgt aus p2x = E2 − p2

y − p2z −m2 bei festgehaltenem py, pz, dass px dpx =

E dE. Setzt man dies ein so folgt

dp′x = (γ − γβ pxE

) dpx

und damitdp′xE ′

=(γ − γβ px

E) dpx

γE − γβpx=dpxE.

Verallgemeinert für alle drei Impulsrichtungen ist also der Lorentz-invariante Aus-druck für den Phasenraum

d3p

Ebeziehungsweise für den differentiellen Wirkungsquerschnitt

Edσ

d3p.

D.2 Zustandsdichte

Gesucht ist die Anzahl der quantenmechanisch erlaubten Zustände eines Teilchensin einem Würfel mit Volumen V = L3. Die Anzahl der Teilchen im Würfel bleibtkonstant, wenn periodische Randbedingungen für die Wellenfunktion und deren Ab-leitung vorliegen. In einer Dimension heist das

e−ipx x = e−ipx (x+L),

so dass Lpx = 2πn, (mit n = 1, 2..). Damit gilt für die Anzahl der Zustände dn imBereich von px bis px + dpx

dn = dpxL

2π,

178

oder in 3 Dimensionendn = d3p

V

(2π)3.

Bei 2E Teilchen im Volumen V ist damit die

Anzahl der Zustände / Teilchen =V

(2π)3

d3p

2E.

D.3 Teilchenfluss der einlaufenden Teilchen

Der Fluss der einfallenden Teilchen hängt von ihrer Dichte sowie ihrer Differenzge-schwindigkeit |~v1 − ~v2| ab, wobei angenommen ist, dass die Geschwindigkeiten ent-gegengesetzt gerichtet sind. Die Lösungen der Dirac-Gleichung werden so normiert(N =

√(E +m)/V , siehe C.1), dass die Teilchendichten

n = j0 = ψγ0ψ = N2uu = 2E/V

betragen. Insgesamt ist damit der Fluss bezogen auf das Reaktionsvolumen V

FV = |~v1 − ~v2|2E1

V

2E2

V= (|v1|+ |v2|) 2E1 2E2/V

2

=

( |~p1|E1

+|~p2|E2

)2E1 2E2/V

2 =4

V 2(|~p1|E2 + |~p2|E1)

oder

V 2 FV = 4√

(p1p2)2 −m21m

22

wie man durch explizites Ausrechnen des 4-er Skalarprodukts p1p2 in der letzten Zeilesofort zeigen kann. Der letzte Ausdruck für den Fluss ist explizit-Lorentz-invariant.Insbesondere gilt im CMS wegen ~pi ∗ = ~p1

∗ = −~p2∗ auch

V 2FV = 4|~pi ∗| (E∗1 + E∗2) = 4|~pi ∗|√s

Im Fixed-Target-System gilt wegen ~p2′ = 0 entsprechend

V 2FV = 4m2|~p1′| = 2s

D.4 Integration des Phasenraums

Der Wirkungsquerschnitt ist augenscheinlich vielfach differentiell in d3~p3 und d3~p4.Er sollte aber nur von zwei dieser sechs Variablen abhängen, denn es gilt 4-er Im-pulserhaltung. Da die Energien der Teilchen durch die Anfangsbedingungen und die

179

Massen festliegen, müssen die verbleibenden Variablen der Streuwinkel und der Azi-muthalwinkel eines der Teilchen sein. Die Richtung des anderen Teilchens ergibt sichdann aus der Impulserhaltung. Das Matrixelement kann aus Symmetriegründen nichtvom Azimuthalwinkel um die Kollisionsachse abhängen. Es ist also Mfi = Mfi(θ).Da der Flussfaktor nicht von den auslaufenden Teilchen abhängt kann demnach derPhasenraum getrennt integriert werden, bis auf die Winkelvariablen. Dies ist beson-ders einfach im CMS System, da die δ- Funktion die 4-er Impulserhaltung garantiert.Im Schwerpunktssystem (CMS) gilt

~p1 + ~p2 = 0, ;√s = E1 + E2

undδ4(p1 + p2 − p3 − p4) = δ(

√s− E3(p3)− E4(p4)) δ3(−~p3 − ~p4),

wobei explizit die Energien von den Impulsen abhängen,

E3(p3) =√~p2

3 +m23, E4(p4) =

√~p2

4 +m24.

Integriert man zunächst über d3~p4 so gilt für den Phasenraum

dQ =

∫1

4(2π)2δ(√s − E3(p3) − E4(p4)) δ3(−~p3 − ~p4)

d3~p3 d3~p4

E3(p3) E4(p4)

=

∫1

4(2π)2δ(√s − E3(p3) − E4(p3))

d3~p3

E3(p3) E4(p3)

Führt man die verbleibende Integration in Kugelkordinaten aus, d3~p3 = ~p23 dp3 dΩ,

so kann man die δ- Funktion nach ihrer Polstelle entwickeln15 und erhält

dQ =

∫1

4(2π)2δ(√s − E3(p3) − E4(p3))

p23 dp3 dΩ

E3(p3) E4(p3)

=

∫1

4(2π)2

δ(p3 − pf )| d(E3(p3) + E4(p3)) /dp3 |

p23 dp3 dΩ

E3(p3) E4(p3)

=1

4(2π)2

1

| pf/E3(pf ) + pf/E4(pf ) |p2f dΩ

E3(pf ) E4(pf )

dQ =1

4(2π)2

pf√sdΩ

Hierbei ist pf der Impuls der beiden Teilchen im Endzustand, so dass Energieerhal-tung erfüllt ist,

√s = E3(pf ) + E4(pf ).

15Für die δ- Funktion gilt allgemein

δ (f(x)) =∑i=1,n

δ(x− xi)|f ′(xi)|

wobei f ′(xi) die Ableitung der Funktion f(x) an den Nullstellen xi ist (f(xi) = 0).

180

D.5 Yukawa Potential und Reichweite der Kräfte

Yukawa schlug in den Anfängen der Kernphysik einen Ansatz mit schweren Aus-tauschteilchen vor um die endliche Reichweite der Kernkräfte zu erklären. Zunächstwird der Zusammenhang zwischen Wellengleichung und statischem Potential in derElektrodynamik erklärt. Die Wellengleichung für das 4-er Potential Aµ bei äußeremStrom jµ lautet

Aµ = jµ

Ohne äußeren Strom und Ladungsdichte, j0 = 0 ist die Lösung von Aµ = 0 eineebene Welle, Aµ ∼ eikx, die freien, masselosen Photonen entspricht. Für eine punkt-förmige, statische Ladung e im Zentrum ist

jµ =

(eδ3(x)~0

)Das Potential hierfür ist bekanntlich das Coulomb-Potential

A0 =e

4πr, ~A = 0

Die Reichweite dieses Potentials fällt nur sehr langsam mit dem Abstand von derQuelle.

Yukawa ging von der Klein-Gordon-Gleichung in der Form(+m2

)Φ = g ρ(x)

aus, wobei g eine Kopplungskonstante und ρ(x) die Dichteverteilung eines Kerns seinsollte, also auch die Ladungs-Vereilung für die starke Kraft. Ohne äußeres Feld istdie Lösung wiederum eine ebene Welle für ein freies Teilchen mit Masse m,

Φ(x) ∼ eikx mit k2 = m2

Für eine punktförmige Ladungsverteilung

ρ(x) = δ3(x)

findet man als Lösung

Φ = ge−mr

4πrDieses Potential fällt wegen der Exponentialfunktion sehr schnell nach außen ab, d.h.diese Kraft hat eine endliche Reichweite, die typisch von der Größe 1/m ist.

Diese Interpretation für ein schweres Austauschteilchen stimmt mit der Über-legung überein, dass eine statische Ladungsverteilung für kurze Zeit ein massivesQuant der Energie ∆E ≈ m emmitieren kann, dessen Lebensdauer ∆t aufgrund derUnschärferelation m∆t ≈ 1 und Reichweite r durch die Lichtgeschwindigkeit auf

r ≈ c∆t ≈ 1

m

beschränkt sind (mit ~ = c =).

181

Kern-Kräfte

Setzt man für die Reichweite der Kernkraft den Radius des Protons an, r ≈ 1fm, soergibt sich m ≈ 200 Mev. Dies ist tatsächlich die Größenordnung für die Masse desleichtesten Hadrons, des Pions. Pion-Austausch stellt demnach eine erste plausibleNäherung für die Kräfte zwischen den Protonen und Neutronen im Kern dar, diedurch den Austausch auch schwererer Hadronen zur Reggee-Theorie verallgemeinertwurde, die erfolgreich zahlreiche Phänomene der Hadron-Hadron-Streuung bei kleineImpulsüberträgen erklären kann. In diesem Bereich ist das ansonsten natürlich funda-mentalere Parton-Bild der Hadronen nicht angewendbar, da das Auflösungsvermögenfür die Partonen fehlt und die Kopplungskonstante αs zu groß ist um perturbativeRechungen zuzulassen.

Reichweite der Schwachen Wechselwirkung

Die Eichbosonen W und Z der schwachen Wechselwirkung sind Spin-1 Teilchen,die wie das Photon durch Vektorfelder beschrieben werden. Zwar gilt für diese dieProca-Gleichung und nicht die Klein-Gordon Gleichung, aber das Prinzip der obigenÜberlegungen von Yukawa bleiben gültig. Den Massen MW = 80, 4 GeV und MZ =90, 1 GeV entsprechen Reichweiten der schwachen Wechselwirkung von ca. 1/m ≈2, 5 · 10−3 fm. Die schwache Wechselwirkung ist also bei kleinen Energien schwach,weil die Reichweite der schweren Bosonen und damit auch alle Wirkungsquerschnitteklein sind.

Bei hohen Energien können W und Z auch als reele Teilchen produziert werden.Die Reichweite ergibt sich dann aus der Lebensdauer der Teilchen. Bei einer totalenBreite von ca. Γ = 2 GeV ergibt sich eine typische Reichweite von cτ = 0.1 fm.Werden W und Z in Proton-Proton Kollisionen erzeugt zerfallen sie demnach nochinnerhalb des Proton-Radius. Bei Zerfällen in Quarks werden diese also noch durchdas Farb-Feld der kollidierenden Protonen beeinflusst.

182

E Symmetrien und GruppenLiteratur: Gordon Kane, Modern Elementary Particle Physics, S. 319 ff

E.1 Teilchenphysik und Unitäre Transformationen

In der Natur sind Symmetrien vorhanden, die die Art der Wechselwirkungen bestim-men. Um dies zu beschreiben werden in der Teilchenphysik Quarks und Leptonen zuMultipletts zusammengefasst, z.B. als U(1)Y Singlett oder SU(2)L Doublett,

ψ = e−R, ψ =

(νee−

)L

,

als SU(3)C Triplett und SU(5) 5-plett.

ψ =

drdgdb

, ψ =

drdgdbe−

νe

Observable sind dabei stets Skalar-Produkte der Form ψ†ψ oder ψ†1ψ2. Daher sindunitäre Transformationen dieser Multipletts,

ψ′ = Uψ, U †U = 1

von besonderer Bedeutung, denn sie lassen Skalarprodukte invariant,

(ψ′1)†ψ′2 = (Uψ1)† Uψ2 = ψ†1U†Uψ2 = ψ†1ψ2.

Eine Symmetrie liegt vor, wenn die Teilchen in einem Multiplett die gleichen Wechsel-wirkungen haben. Wechselwirkungen, die Übergänge zwischen den Teilchen in einemdieser Multipletts bewirken, lassen sich als unitäre Matrizen darstellen.

E.2 Unitäre Matrizen und Generatoren

Unitäre n×n Matrizen bilden eine Gruppe unter Multiplikationen mit der Einheits-matrix 1 als 1-Element, so dass

1U = U

und inversem Element U−1 = U †.Wenn T eine hermitesche Matrix ist, (T = T †), dann gilt

(eiT )†eiT = e−iT†eiT = ei(T−T

†) = 1

183

Jede unitäre Matrix kann somit als

U = eiT

dargestellt werden. Sei Tj ein vollständiger Satz von n2 linear unabhängigen hermi-teschen n× n Matrizen. Dann kann jede unitäre n× n Matrix als

U = exp(∑j=1,n2

iθjTj)

mit reellen Parametern θj geschrieben werden. Die Matrizen Tj werden Generatorender Gruppe genannt.

Für spezielle unitäre Matrizen gilt det(U) = 1. Solche Matrizen bilden die Ele-mente der Gruppe SU(n).

Die Spur einer n × n Matrix A ist definiert als Summe der Diagonalelemente,Tr (A) =

∑iAii. Hierfür gilt allgemein

det eA = eTr (A)

Daher sind die Generatoren der SU(n) Gruppen spurlos,

Tr (Tj) = 0

E.2.1 Diagonale Generatoren

Bei diagonalen Matrizen sind nur die Elemente auf der Diagonalen von Null verschie-den. Diagonale Generatoren haben für ein Multiplett die Eigenwerte (Ladungen) derTeilchen im Multiplett als Diagonalelemente. Da die Generatoren spurlos sein müs-sen folgt, dass die Summe der Ladungen der diagonalen Generatoren Null sein muss.Dies schränkt die Möglichkeiten zur Konstruktion der Multipletts ein. Beispiele:

• Für die SU(2)L ist die dritte Komponente T3 des schwachen Isospins ein eigen-wert der Teilchen, und daher eine digonale Matrix. Für das SU(2)L Doublettmuss die Summe der Diagonalelemente also Null sein. Dies ist der Fall, denn

Tr(T3) = T3(νe,L) + T3(e−L) = +1

2− 1

2= 0

• Für die SU(3)C ist die Summe der Farben r + g + b = 0 (weiß).

• Für die SU(5) ist das 5-plett so konstruiert, dass die Summe der elektrischenLadungen verschwindet,

Q(dr) +Q(dg) +Q(db) +Q(νe) +Q(e−) = 3 · (+1/3) + 0− 1 = 0.

184

E.3 Normierung der Generatoren

Für jede Darstellung einer einfachen Gruppe gilt

Tr (TaTb) = NRδab

wobei NR eine Zahl ist, die nur von der Darstellung abhängt, aber nicht von a oder b.Für a = b ist dies ist eine Normierungsbedingung für die Generatoren untereinander,

Tr (T 2a ) = NR

Beispiele:

• Für Drehimpulse gilt

Tr(J2x) = Tr(J2

y ) = Tr(J2z )

Für Spin 1/2 Teilchen gilt

T3 =

(1/2 00 −1/2

)und somit

NR=1/2 = Tr((T3)2) = Tr

(1/4 00 1/4

)=

1

2

Analog gilt für Spin 1 Teilchen

T3 =

1 0 00 0 00 0 −1

und somit

NR=1 = Tr((T3)2) = 2

185

F Nicht-Abelsche EichtheorieNicht-Abelsche Eichtheorien sind die Grundlage des Standardmodells der Elektroschwa-chen und Starken Wechselwirkung. Auch die QED ergibt sich daraus durch Vereinfa-chung auf den Abelschen Fall. Die Form der kovarianten Ableitung ist von entschei-dender Bedeutung für die Selbst-Wechselwirkung derW,Z Bosonen und der Gluonen.Daher wird im Folgenden die Form der kovarianten Ableitung explizit hergeleitet undgezeigt, das die einzelnen Terme der Lagrange-Dichte eichinvariant sind.

Sei

ψ =

ψ1

ψ2

. . .ψn

, ψ =(ψ1, ψ2, . . . ψn

)ein Multiplett16 aus Fermionen mit der freien Lagrangedichte

L = ψ (iγµ∂µ −m) ψ

Wir betrachten Transformation

ψ′ = U ψ, ψ′ = ψ U †,

zwischen den Komponenten des Multipletts (also nicht den Spinorkomponenten). Fürein Multiplett der Dimension n kann U z.B. als eine n×n Matrix dargestellt werden.Für eine globale (d.h. ortsunabhängige) Transformation U bleibt L invariant wennU unitär ist, U †U = 1, denn dann gilt

L′ = ψ′ (iγµ∂µ−m) ψ′ = ψU †(iγµ∂

µ−m) Uψ = ψ(iγµ∂µ−m) U †Uψ = ψ(iγµ∂

µ−m) ψ = L

Unter lokalen Eichtransformationen

U = U(x)

bleibt der Massenterm −mψψ weiterhin eichinvariant, der kinetische Term mit derAbleitung dagegen nicht, denn

U † ∂µ(Uψ) 6= ∂µ(U † (Uψ))

16In der SU(2) sind dies z.B. die schwachen Doubletts

ψ =

(νee

)L

, ... ,

(tb

)L

In der SU(3)C sind es die Farb-Tripletts der Quarks

ψ =

urotublauugrün

, ... ,

brotbblaubgrün

186

Kinetischer Term der Quarks

Im Folgenden wird verlangt, dass die Lagrangedichte invariant unter lokalen Trans-formationen ist. Um Eichinvarianz zu erreichen muss der Term für die kinetischeEnergie der Fermionen,

Lkin = ψ iγµ∂µ ψ

verändert werden. In Analogie zur QED wird daher die Ableitung ∂µ zur “kovarian-ten” Ableitung generalisiert,

∂µ → Dµ

so dass jetztLkin = ψ iγµD

µ ψ

Die transformierte Lagrandedichte

Lkin ′ = ψ′ iγµDµ′ ψ′ = ψU † iγµD

µ′ (Uψ) = ψ iγµ U†Dµ′ (Uψ)

ist invariant,Lkin ′ = Lkin

wennU †Dµ′(Uψ) = Dµψ

Symbolisch lässt sich dies auch schreiben als

U †Dµ′U = Dµ oder Dµ′ = U Dµ U †

Da L keine Matrix sondern nur eine Zahl ist muss Dµ die Gestalt einer n×n Matrixhaben, wobei jedes Element genau wie ∂µ ein 4er-Vektors sein muss. Deshalb wirdals Ansatz

Dµ = ∂µ +Mµ

gewählt, wobei M ebenfalls eine n × n Matrix ist und vor ∂µ eigentlich eine n × nEinheitsmatrix steht, die zur Vereinfachung der Notation weggelassen wurde.

Aus der abgeleiteten Transformationseigenschaft für Dµ ergibt sich für Mµ:

U †(∂µ +Mµ′)(Uψ) = U †(U∂µψ + (∂µU)ψ +Mµ′Uψ

)= ∂µψ + U †(∂µU)ψ + U †Mµ′Uψ

= (∂µ +Mµ)ψ

so dass Mµ = U †Mµ′U + U †∂µU oder

Mµ′ = UMµU † − (∂µU)U †

Dies ist eine allgemeine Bedingung für alle unitären Eichtransformationen. Die Kom-ponenten der Matrix Mµ sind also ebenso wie U Funktionen von Ort und Zeit undwerden Eichfelder genannt. Sie haben damit eigenständige Bedeutung und tragen zurkinetischen Energie bei. Sie haben Vektor-Charakter, ihre Quanten sind also Spin 1Teilchen und werden Eichbosonen genannt.

187

Kinetischer Term der Eichbosonen

Für die kinetische Energie der Eichfelder Mµ benötigt man zumindest deren Ablei-tungen, ∂νMµ. Analog zur QED muss auch hier ein Feldstärke-Tensor Mµν definiertwerden, dessen mögliche Form jedoch wegen der Forderung nach Lorentz- und Eich-Invarianz sehr stark eingeschränkt ist. Dieser Feldstärke-Tensor Mµν lässt sich ameinfachsten aus den kovarianten Ableitungen Dµ konstruieren, denn diese haben be-reits die Eigenschaft

D′µ

= UDµU−1.

Damit folgt auch für den Kommutator[D′

µ, D′

ν]=[UDµU−1, UDνU−1

]= U [Dµ, Dν ] U−1.

Diese Eigenschaft macht man sich zu Nutze um den allgemeinsten, P und T er-haltende Ausdruck für die kinetische Energie von Eichtheorien zu konstruieren. DieFeldstärke-Tensoren Mµν werden definiert als

Mµν = [Dµ, Dν ]

so dass 17

Mµν = ∂µMν − ∂νMµ + [Mµ,Mν ]

Einen Lorentz-invarianter Ausdruck aus diesem Feldstärketensor ist dann MµνMµν .Der allgemeinste eichinvariante Ausdruck für die kinetische Energie ist

LM,kin = −1

2Spur(Mµν Mµν)

17 Wendet man den Kommutator [Dµ, Dν ] auf ein Feld ψ an, so gilt

[Dµ, Dν ]ψ = [∂µ +Mµ, ∂ν +Mν)] ψ

= [∂µ, ∂ν ]ψ + [∂µ,Mν ]ψ + [Mµ, ∂ν ]ψ + [Mµ, Mν ]ψ

Wegen [∂µ, ∂ν ]ψ = 0 und

[∂µ,Mν ]ψ = ∂µ(Mνψ)−Mν∂µψ = (∂µMν)ψ

folgt

Mµν ψ = [Dµ, Dν ]ψ = (∂µMν − ∂νMµ)ψ + [Mµ,Mν ]ψ

188

Damit ist die kinetische Energie tatsächlich eichinvariant, denn wegenMµν′ = UMµνU †

folgt

L′M,kin = −12Spur(Mµν′M ′

µν) = −1

2Spur(U MµνU−1 U MµνU

−1)

= −12Spur(U MµνMµνU

−1) = −1

2Spur(U−1U MµνMµν)

= −12Spur(Mµν Mµν) = LM,kin

wobei in der Spur die Reihenfolge der Matrizen permutiert werden darf.Folgt man dem Prinzip der Eichinvarianz, so müssen die Eichbosonen Masse-los

sein, denn ein entsprechender Term in der Lagrange-Dichte

LM,m = m2MM

µMµ

wäre nicht eich-invariant,

L′M,m = m2MM

µ′M ′µ 6= m2

MMµMµ.

189

F.0.1 Ableitung

Die Form der kovarianten Ableitung ist von entscheidender Bedeutung für die Selbst-Wechselwirkung der Gluonen und damit verantwortlich für das Confinement derQuarks und Gluonen sowie das “Laufen” der starken Kopplungskonstante. Daher wirdim Folgenden die Form der kovarianten Ableitung explizit hergeleitet und gezeigt,das die einzelnen Terme der Lagrange-Dichte eichinvariant sind.

Unter der lokalen Eichtransformation

ψ′(x) = U(x)ψ(x), ψ′(x) = ψ(x)U †(x),

bleibt der Massenterm wegen der Unitarität von U eichinvariant,

L′q,m = −mψ′ψ′ = −mψU †Uψ = −mψψ = Lq,m.

Kinetische Term der Quarks

Der Term für die kinetische Energie der Quarks,

Lq,kin = ψiγµDµψ,

bleibt invariant, wenn sich die kovariante Ableitung transformiert wie das Feld ψselber,

D′µψ′ = U(x)Dµψ,

denn γµ und U vertauschen,

L′q,kin = ψ′iγµD′µψ′ = ψU †iγµ U Dµψ = ψiγµDµψ = Lq,kin.

Wählt man als Verallgemeinerung der kovarianten Ableitung in der QED als Ansatz

Dµ = ∂µ + igs TaGµa

so muss für TaGµa gelten:

D′µψ′ =

(∂µ + igs TaG

′ µa

)ψ′

= ∂µψ′ + igs TaG′ µa ψ′

= (∂µU)ψ + U(∂µψ) + igs TaG′ µa Uψ

= UDµψ = U(∂µψ) + igs U TaGµaψ

Die letzte Zeile folgt aus der oben gestellten Bedingung D′µψ′ = U(x)Dµψ. Aus denbeiden letzten Zeilen folgt nach Division durch igs,

TaG′µaUψ = UTaG

µaψ −

1

igs(∂µU)ψ

190

Setzt man in diese Gleichung ψ = U−1ψ′ ein,

TaG′µaψ′ = UTaG

µaU−1ψ′ − 1

igs(∂µU)U−1ψ′

so kann diese Gleichung für alle ψ′ nur erfüllt sein wenn18

TaG′µa = UTaG

µaU−1 − 1

igs(∂µU)U−1 = U

(TaG

µa +

1

igs∂µ)U−1

Dies ist eine allgemeine Bedingung für alle unitären Eichtransformationen. Wie obengefordert folgt dann auch

igs TaG′ µa Uψ = igs U

(TaG

µa +

1

igs∂µ)U−1Uψ = igs U TaG

µaψ + U∂µψ

so dass der kinetische Term für die Quarks tatsächlich eichinvariant ist.

Kinetische Term der Gluonen

Für die kinetische Energie der a = 1, 2, ..., 8 Eich-Felder Gµa benötigt man wie in

der QED einen Feldstärke-Tensor Gµνa , so dass bei Summation über a alle Felder

gleichermaßen beitragen. Die Forderung nach Lorentz- und Eich-Invarianz schränktmögliche Terme jedoch sehr stark ein. Dieser Feldstärke-Tensor Gµν

a lässt sich ameinfachsten aus den kovarianten Ableitungen Dµ konstruieren, denn wegen

D′µψ′ = D′

µU ψ = U Dµ ψ

haben diese bereits die Eigenschaft

D′µ

= UDµU−1.

Damit folgt auch für den Kommutator[D′

µ, D′

ν]=[UDµU−1, UDνU−1

]= U [Dµ, Dν ] U−1.

Diese Eigenschaft macht man sich zu Nutze um den allgemeinsten, P und T er-haltende Ausdruck für die kinetische Energie von Eichtheorien zu konstruieren. DieFeldstärke-Tensoren Gµν

a werden definiert als

igs TaGµνa = [Dµ, Dν ] ,

18Wegen ∂µ(U−1U) = 0 gilt auch (∂µU−1)U = −U−1(∂µU).

191

so dass 19

Gµνa = ∂µGν

a − ∂νGµa − gsfabcGµ

bGνc

Man erhält also acht Tensoren für die acht Gluon-Felder. Der allgemeinste eichinva-riante Ausdruck für die kinetische Energie ist

LG,kin = −1

2Spur(TaG

µνa TbGb,µν)

= −1

4Gµνa Ga,µν ,

wobei Spur(TaTb) = 12δab benutzt wurde. Damit ist die kinetische Energie tatsächlich

eichinvariant, denn

L′G,kin = −1

2Spur(TaG

′µνa TbG

′b,µν)

= −1

2Spur(U TaG

µνa U

−1 U TbGb,µνU−1)

= −1

2Spur(TaG

µνa TbGb,µν) = LG,kin

Folgt man dem Prinzip der Eichinvarianz, so müssen die Gluonen Masse-los sein,denn ein entsprechender Term in der Lagrange-Dichte

LG,m = m2GG

µaGaµ

wäre nicht eich-invariant,

L′G,m = m2GG′µaG′aµ 6= m2

GGµaGaµ.

19 Wendet man den Kommutator [Dµ, Dν ] auf ein Feld ψ an, so gilt

[Dµ, Dν ]ψ = [∂µ + igsTaGµa , ∂

ν + igsTbGνb )] ψ

= [∂µ, ∂ν ]ψ + [∂µ, igsTbGνb ]ψ + [igsTbG

µb , ∂

ν ]ψ − g2s [TaGµa , TbG

νb ]ψ

Damit gilt wegen [∂µ, ∂ν ]ψ = 0 und

[∂µ, igsTbGνb ]ψ = igsTb∂

µ(Gνbψ)− igsTbGνb∂µψ = igs Tb(∂µGνb )ψ

dass

[Dµ, Dν ]ψ = igsTa (∂µGνa − ∂νGµa)ψ − g2s [Ta, Tb]GµaG

νbψ = igsTaG

µνa ψ

mitGµνa = ∂µGνa − ∂νGµa − gs fabcGµbGνc

192

QED Für den Spezialfall der QED ist die Eichgruppe die U(1). Dies ist eineAbel’sche Gruppe mit nur einer Ladung und einem Generator, so dass

a = 1, Ta = 1, Gµa = Aµ, fabc = 0.

Damit ist U nur eine komplexe Zahl, so dass sich die obigen Gleichungen vereinfachenzu

A′µ

= Aµ − g∂µα(x),

Dµ = ∂µ + igAµ

F µν = ∂µAν − ∂νAµ,wie bereits im Kapitel zur QED gezeigt.

193