TEMA 1 Nombres Enters 2012-2013

Matemàtiques 2 ESO Curs 2012-2013

1

1) ELS NOMBRES NATURALS. Recordem aquí quin és el primer conjunt de nombres que es va estudiar el curs anterior. El conjunt dels nombres naturals.

Sabem però, que hi ha problemes i situacions en que aquests nombres no són suficients per descriure’n la solució. Alguns exemples d’aquestes situacions que no es poden resoldre utilitzant únicament els nombre naturals serien com exemple. Quan parlant de diners volem expressar que tenim un deute d'una certa quantitat de diners utilitzem nombres negatius per expressar-ho. Quan parlem de temperatures molt fredes sovint utilitzem valors negatius per indicar les temperatures menors que 0 ºC. A l'hora de resoldre restes en que el subtrahend és major que el minuend, com ara 3 - 10 = ? obtenim resultats negatius. Etc., etc., etc. Un cop vista la necessitat de conèixer els nombres negatius a l'hora de resoldre certs problemes. També podríem afegir a aquestes necessitats el nombre zero, ja que hi ha ocasions en que per descriure situacions de la realitat, també és necessari el nombre zero. Queda clar, doncs, que el conjunt dels nombres naturals no és suficient per descriure totes les situacions que se'ns poden plantejar. Per resoldre aquest problema, caldrà crear un conjunt nou de nombres. Aquest conjunt ha de incloure tots els nombres naturals que ja coneixíem i també ha d'incloure com a noves incorporacions els nombres negatius i el zero. Aquest conjunt s'anomena "Conjunt dels nombres enters" i és representa amb el símbol 2) ELS NOMBRES ENTERS.

En primer lloc veiem que aquest conjunt dels nombres enters, és una ampliació del conjunt dels nombres naturals i que inclou aquests nombres naturals i que a més a més s’amplia amb els nombres enters negatius i el zero.

TEMA 1: NOMBRES ENTERS


2

Dos símbols matemàtics que cal conèixer. a) "" ⊂ vol dir “inclòs”

b) "" ∈ vol dir “pertany” i "" ∉ vol dir “no pertany”

Així per exemple: a) L’expressió ⊂ vol dir que el conjunt dels naturals està inclòs dins el conjunt dels enters.

b) – 7 ∈

c) – 8 ∉

d) 3 és un nombre enter i també és un nombre natural per tant podem expressar-ho

– 7 ∈ i 3 ∈ e) – 5 és un nombre enter però no és un nombre natural llavors – 5 ∈ i – 5 ∉ EXEMPLES

1) Classifica els següents nombres enters en positius i negatius.

– 6 , 9 , 1 , – 2 , – 11 , 17 Negatiu Positiu Positiu Negatiu Negatiu Positiu

2) Escriu tots els nombres enters compresos entre: a) – 7 i – 2 2,3,4,5,6,7 −−−−−−→

b) – 3 i 4 4,3,2,1,0,1,2,3 −−−→


3

VALOR ABSOLUT D’UN NOMBRE ENTER. El valor absolut d’un nombre enter és el propi nombre però prescindint del signe que pugui tenir. Es a dir que és el nombre natural que queda després de prescindir del signe del nombre. El valor absolut es simbolitza amb dues barres verticals al voltant del nombre en qüestió. Així doncs, l’expressió a vol dir → valor absolut del nombre “a”.

EXEMPLES

1) Calculeu els següents valors absoluts.

55 =− 1414 =− 88 =

11 = 22 =− 00 =

2) Calculeu 6 i 6− .

66 = , 66 =− Tenen el mateix valor absolut !

3) Indiqueu quin o quins nombres enters els hi passa que el seu valor absolut és 5. 5 i – 5 5555 =−=→ i

4) Indiqueu quin o quins nombres els hi passa que el seu valor absolut és – 8. No hi ha cap nombre que el seu valor absolut sigui negatiu. 3) ORDENACIÓ I COMPARACIÓ DE NOMBRES ENTERS. REPRESENTACIÓ GRÀFICA SOBRE LA RECTA Els nombres enters es poden representar gràficament sobre la recta de la següent manera. Sobre una recta dibuixada assenyalem un punt que prenem com a origen i en aquest punt i posem el zero. A partir d’aquí, a la dreta d’aquest punt hi representem els nombres enters positius i a l’esquerra d’aquest punt els nombres enters negatius.


4

EXEMPLES

1) Representeu sobre una mateixa recta els nombres enters 4 , – 3 , 2 , –1 i – 5 COMPARACIÓ DE NOMBRES ENTERS

a) Si tots dos nombres són enters positius, és més gran el que té el valor absolut més gran de tots dos. Així per exemple.

5 > 3 , 4 < 7 , 1 < 6 , 11 > 2

b) Si un dels nombres és positiu i l’altre és negatiu sempre és mes gran el nombre positiu. Així per exemple.

– 2 < 6 , 3 > – 5 , – 8 < 4 , – 3 < 3

c) Si tots dos nombres són negatius, , el més gran és el que té el valor absolut més petit. – 9 < – 6 , –1 > – 5 , – 7 > – 12 , – 8 < – 4 Observem que cal anar amb compte en aquest cas, ja que quan els nombres són negatius, passa a l'inrevés

que amb els nombres positius. Com més creix en negatiu un nombre, més petit és. Criteri general

Com a criteri general podem establir que un nombre enter (sigui del signe que sigui) és mes gran que un altre si al representar-los tots dos sobre la recta, aquest nombre queda representat més a la dreta que l’altre. EXEMPLES a) 2 < 7 Ja que si fem la representació gràfica, 7 cau més a la dreta que 2

b) 0 < 5 Ja que si fem la representació gràfica, 5 cau més a la dreta que 0


5

c) - 3 < 4 Ja que si fem la representació gràfica, 4 cau més a la dreta que - 3 d) - 6 < - 2 Ja que si fem la representació gràfica, - 2 cau més a la dreta que - 6 e) Ordena de menor a major els següents nombres enters. 3 , – 2 , 5 , 0 , – 4 , – 1 , 1

Si representem gràficament sobre la recta aquests nombres enters, llavors veurem molt mé clarament com cal ordenar-los.

Llavors. – 4 < – 2 < – 1 < 0 < 1 < 3 < 5

OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS

Conveni d’escriptura Com que els nombres enters positius de fet són el mateix conjunt que els nombres naturals, a l’hora de fer operacions els escriurem sense el signe +, en canvi els nombres enters negatius els escriurem amb el signe – al davant i entre parèntesi. El resultat de les operacions, tant si es tracta d’un nombre positiu com si es tracta d’un nombre negatiu l’expressarem generalment sense parèntesi.

4) SUMA DE NOMBRES ENTERS Distingirem diversos casos. a) Suma de nombres enters positius Es tracta de sumar nombres naturals i aquesta és una operació que ja coneixem bé.


6

EXEMPLES:

a) 3 + 7 = 10 b) 4 + 2 = 6

c) 5 + 0 = 5 d) 4 + 3 + 12 = 19 e) 5 + 6 + 0 + 4 + 2 = 17

b) Suma de nombres enters negatius Si tots els sumands són negatius cal sumar tots els valors absoluts dels sumands i després posar el signe (–) davant el resultat . EXEMPLES: a) (– 5 ) + (– 4 ) = – 9 b) (– 8 ) + (– 3 ) = – 11

c) (– 34 ) + (– 72 ) = – 106 d) (– 2 ) + (– 31 ) + (– 25 ) = – 58

e) (– 1 ) + (– 5 ) + (– 2 ) + (– 4 ) = – 12

c) Suma de nombres enters de diferent signe Per sumar nombres de diferent signe cal tenir en compte que, quan un sumand és positiu llavors cal sumar el valor absolut d’aquest i quan un sumand és negatiu llavors cal restar el valor absolut d’aquest nombre per tal d’obtenir el resultat. EXEMPLES: 1) a) 3 + (– 2) = 1 b) (–5) + 1 = – 4

c) (–8) + 3 = – 5 d) 7 + (–2) + (–1) + 4 = 8 e) (– 1) + (– 1) + 7 = 5 f) 3 + (– 8) + (– 2) + (– 4) = – 11 g) (– 11) + 5 + 2 + 7 + 8 + (– 4 ) + 3 + (– 6) = 4

2) En començar la setmana, a la nevera de casa hi ha 12 iogurts, si el dilluns ens en mengem 3 , el dimarts

ens en mengem també 3 , el dimecres ens en mengem 2 i per la tarda anem a comprar un pack de 6 iogurts, el dijous en gastem 4 i el divendres en gastem 1 i després anem a comprar un altre pack de 6 iogurts. Indiqueu quants iogurts hi ha a la nevera en començar dissabte.

Total = 12 + (– 3) + (–3) + (– 2) + 6 + (– 4 ) + (–1) + 6 = 11 Iogurts


7

5) PROPIETATS DE LA SUMA a) Commutativa: Segons aquesta propietat, l’ordre dels sumands no afecta el resultat de la suma. EXEMPLES

a) 5335853

835+=+→

=+=+

b) )6(22)6(4)6(2

42)6(−+=+−→

−=−+−=+−

b) Associativa Aquesta propietat ve a dir que en la suma de tres sumands el resultat de la suma no depèn de la manera en com agrupem aquests sumands. EXEMPLE

abba +=+

)()( cbacba ++=++


8

c) Element neutre de la suma Donat qualsevol nombre enter “a” existeix un nombre enter anomenat element neutre “e” que sumat al nombre “a” fa que el resultat de la suma sigui el propi nombre “a”. Aquest element neutre existeix sempre i en el cas de la suma de nombres enters és el zero. EXEMPLES 5 + 0 = 5 (– 3 ) + 0 = – 3 0 + (– 15 ) = – 15 Veiem doncs que quan sumem zero a un nombre, aquest nombre queda igual com a resultat. d) Element oposat de la suma Donat un nombre enter qualsevol “a”, n’existeix un altre anomenat oposat de la suma “op(a)” , que té el mateix valor absolut que “a” però canviat de signe i que compleix que: Es a dir que la suma d’un nombre enter i el seu oposat respecte de la suma, dona com a resultat zero, que és l’element neutre de la suma. A efectes pràctics l’element oposat d’un nombre enter “a” es calcula canviant de signe el nombre “a”. aaop −=)(

EXEMPLES 1) Calculeu l’oposat respecte la suma dels següents nombres enters. 4 , 2 , – 5 , 0 , – 3 , 1 4)4( −=op 2)2( −=op 5)5( =−op

0)0( =op 3)3( =−op 1)1( −=op

0=→=+ eaea

0)( =+ aopa


9

2) Comproveu que si el nombre enter 7 li sumeu els seu oposat respecte la suma el resultat és zero.

0)7(7)7(7 =−+=+ op

3) Calculeu: a) 4 + Op (–3) = 4 + 3 = 7

b) (–5) + OP (5) = (–5) + (–5) = – 10 c) (–1) + Op (–1) = (–1) + 1 = 0

d) Op(–3) + Op (3) = 3 + (–3) = 0

e) Op (–4) + 1 = 4 + 1 = 5

f) Op (2) + Op (2) = (–2) + (–2) = –4

5) DIFERÈNCIA DE NOMBRES ENTERS (RESTA) Termes de la resta. Per restar dos nombres enters cal sumar el minuend i l’oposat del subtrahend. Es a dir a – b = a + Op (b) EXEMPLES 1) 7 – 5 = 7 + Op (5) = 7 + (–5) = 2 2) (–3) – 1 = (–3) + Op (1) = (–3) + (–1) = –4 3) 5 – (–4) = 5 + Op (–4) = 5 + 4 = 9 4) (–1) – (–7) = (–1) + Op (–7) = (–1) + 7 = 6 5) 4 – 11 = 4 + Op (11) = 4 – 11 = – 7 A la pràctica, aquestes operacions es fan directament sense explicitar aquest pas de sumar el oposat del subtrahend EXEMPLES 1) 3 – 1 = 2 2) 4 – (–3) = 7 3) (–8) – (–2) = – 6 4) (–10) – 1 = – 11 5) (–4) – (–3) = – 1 6) (– 12) – (–5) = –7 7) 9 – (– 5) = 14 8) 9 – 15 = – 6 9) (–6) – 4 = –10 10) (–2) – 0 = – 2


10

6) SUMES I RESTES CONJUNTES Observem els següents exemples. EXEMPLES 1) 7 + (–3) – 5 = – 1 2) (– 5) – (– 3) + 9 = 7 3) (– 2) + (– 4) – 6 + 3 = – 9 4) 9 + (– 2) – (– 5) = 12 5) 5 – 4 – 6 + (–2) = – 7 6) (– 1) + (– 2) + (– 7) – 3 – 4 = – 17 7) (– 4) + (– 2) – (– 11) = 5 8) (– 5) + 3 + (– 2) – (– 6) + 0 + (– 3) = – 1 7) SUPRESSIÓ DE PARÈNTESIS a) Si davant d’un parèntesi hi ha un signe “ + ”, es pot suprimir el parèntesi sense modificar els signes dels nombres que conté aquest parèntesi. EXEMPLES 1) 3 + ( 2 + 7 – 4 ) = 3 + 2 + 7 – 4 = 8 Evidentment es pot fer aquestes operacions resolent primer el parèntesi i desprès sumant els resultats. 3 + ( 2 + 7 – 4 ) = 3 + ( 5 ) = 8 2) (– 4) + ( 5 + (– 8) + 1 ) = (– 4) + 5 + (– 8) + 1 = – 6 b) Si davant un parèntesi hi ha un signe “– “ llavors es pot suprimir el parèntesi canviant el signe de tots els nombres que conté aquest parèntesi. EXEMPLES 1) 9 – ( 3 + 2 + 1 ) = 9 – 3 – 2 – 1 = 3 Podem comprovar aquest resultat resolent primer el parèntesi i desprès restant els resultats. 9 – ( 3 + 2 + 1 ) = 9 – ( 6 ) = 3


11

2) 5 – ( 2 – 5 – 4 ) = 5 – 2 + 5 + 4 = 12 3) (– 2) + 11 – ( 5 – 2 ) = (– 2) + 11 – 5 + 2 = 6 4) 1 – ( 9 – 8 – 4 ) = 1 – 9 + 8 + 4 = 4 5) (– 4) – ( 3 + (– 5) – 4 ) = (– 4) – 3 – (– 5) + 4 = 2 8) PRODUCTE DE NOMBRES ENTERS Els nombres enters es multipliquen com els nombres naturals, però el signe del producte depèn del signe dels factors que multipliquem. a) Si els dos factors de la multiplicació tenen el mateix signe, el producte és un nombre enter positiu. b) Si els dos factors de la multiplicació tenen signe diferent, el producte és un nombre enter negatiu. El resultat del producte de dos nombres enters és un altre nombre enter.

EXEMPLES a) 4 · 3 = 12 b) 7 · (– 5 ) = – 35

c) (– 4 ) · (– 6 ) = 24 d) (– 8 ) · 9 = – 72 e) (– 11) · (– 3) = 33 f) (– 9) · 3 = – 27

Observem que el producte de nombres enters segueix la següent regla de signes. REGLA DELS SIGNES Producte de més de dos factors. En aquest cas s'han de multiplicar els diferents factors i determinar el signe final del resultat aplicant successivament la regla dels signes a tots els factors que hi ha en aquest producte.

( + ) · ( + ) = +

( + ) · ( – ) = –

( – ) · ( + ) = –

( – ) · ( – ) = +


12

EXEMPLES

1) 2 · 3 · 7 = 42

2) 4 · 2 · (– 5 ) = – 40 3) 3 · (– 4 ) · 2 · (– 3 ) = 72

4) (– 2 ) · (– 3 ) · (– 5 ) = – 30 5) (– 3 ) · (– 2 ) · 2 · (– 4 ) = – 48 6) (– 1 ) · (– 1 ) · 3 · (– 1 ) · 5 · (– 1) = 15 7) (–5 ) · (–4 ) · (–6) · (–2) = 240 8) (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · 2 = – 2

PROPIETATS DEL PRODUCTE a) Commutativa: Segons aquesta propietat, l’ordre dels factors no varia el resultat del producte. EXEMPLES

a) 5·66·5305·6

306·5=→

==

b) )7(·33·)7(21)7(·3

213·)7(−=−→

−=−−=−

b) Associativa A l'hora de multiplicar tres factors, el resultat no depèn de la forma en com agrupem aquests factors.

)·(··)·( cbacba =

a · b = b · a


13

EXEMPLES

a)

60)12(·5

604·)15(

4·)3(·5

−=−=

−=−=

→

→→=−

b)

4221·2

42)3(·)14(

)3(·)7(·2

==

=−−=

→

→→=−−

A la pràctica aquesta propietat permet fer qualsevol agrupació de factors a l'hora de resoldre el producte de diversos factors. c) calculeu els següents productes agrupant per una banda els factors positius i per una altra banda els negatius. 1) (–3) · 2 · (–4) · 5 = (–3) · (–4) · 2 · 5 = 12 · 10 = 120 2) 5 · 3 · (– 4) · 2 · (–1) · (–6) = 30 · (–24) = – 720 3) (–2) · 2 · 3 · 4 · (–5) = 10 · 24 = 240 c) Element neutre del producte El nombre 1 és l’element neutre del producte i te la característica que qualsevol nombre enter multiplicat per ell dona aquest mateix nombre. EXEMPLES 1) 3 · 1 = 3 2) (–7) · 1 = – 7 3) 1 · (– 4) = – 4 4) 1 · 1 = 1 PRODUCTE PER ZERO El nombre zero és un nombre enter força especial i te la propietat que qualsevol nombre enter multiplicat per zero dona sempre zero com a resultat. EXEMPLES 1) 6 · 0 = 0 2) (–8) · 0 = 0 3) 1 · 0 = 0 4) 0 · 43 = 0 5) 0 · (– 1) = 0 6) 0 · 0 = 0

a · 1 = a


14

d) Distributiva del producte respecte de la suma La multiplicació d’una suma de nombres enters per un altre nombre enter, també es pot escriure en forma de suma de productes de la següent manera. EXEMPLES Aquesta propietat distributiva també es compleix amb la resta. EXEMPLES

a · ( b + c ) = a · b + a · c


15

Extracció de factor comú Una de les aplicacions d’aquesta propietat és la de poder treure factor comú quan en una suma els dos sumands estan multiplicats per el mateix factor o nombre. EXEMPLES 1) Extraieu factor comú en les següents expressions a) 7 · 5 + 7 · 4 = 7 · ( 5 + 4 ) b) 2 · 3 + 7 · 3 = 3 · ( 2 + 7 ) c) 6 · 5 – 6 · 2 = 6 · ( 5 – 2 ) d) 8 · 5 + 5 · 4 = 5 · ( 8 + 4 ) e) (– 4) · 6 – (– 4 ) · 15 = (– 4 ) · ( 6 – 15 ) f) 8 · 6 + 8 · (– 3) – 8 · 7 = 8 · ( 6 + (– 3) – 7 ) 2) Indiqueu en les següents expressions quin seria el factor comú que es podria extreure. a) 6 · 8 + 6 · 11 = ....... → Factor comú 6 b) 4 · 7 + 7 · 3 = ....... → Factor comú 7 c) (- 4 ) · 3 + (-2 ) · 3 = ........ → Factor comú 3 d) 6 · (– 5) + 5 · (– 5 ) + 3 · (– 5 ) = ........ → Factor comú (– 5 ) 9) QUOCIENT DE NOMBRES ENTERS Es fa exactament igual que el quocient entre nombres naturals, però cal aplicar el següent criteri de signes a l’hora d’obtenir el resultat final. EXEMPLES a) 18 : 3 = 6 b) 14 : (– 7 ) = – 2 c) (– 12 ) : (– 3 ) = 4 d) (–45 ) : 9 = – 5 e) 17 : (–1) = – 17 f) (–1) : 1 = – 1

( + ) : ( + ) = +

( + ) : ( – ) = –

( – ) : ( + ) = –

( – ) : ( – ) = +


16

Elements de la divisió En tota divisió de nombres enters intervenen els següents elements.

Que compleixen el que s’anomena relació fonamental de la divisió. Divisió exacta o entera Una divisió es diu que és exacta o entera si el residu d’aquesta divisió val zero i llavors en aquest cas tenim que la relació fonamental de la divisió queda d’una forma més senzilla. EXEMPLES a) 549·696:54 =→=

b) 21)7(·)3(7)3(:21 =−−→−=−

c) 5511·)5(11)5(:)55( −=−→=−−

d) 243·)8(3)8(:)24( −=−→=−−

e) 36)9(·494:)36( −=−→−=−

D = d · q + r

qdDtambéoqdDr ==→= :·0


17

Divisió d’una suma entre un nombre enter Aquest tipus d’operacions es pot resoldre de dues maneres. EXEMPLES En alguns casos el doble mètode no és aplicable. EXEMPLES a) ( ) 122:242:915 ==+

b) ( ) 3)6(:18)6(:216 −=−=−+

c) ( ) 75:355:)2(37 ==−+

Veiem en els exemples anteriors que si intentem fer les operacions partint la suma en dues divisions, llavors el resultat dona decimals en tots dos casos.


18

També és aplicable en el cas de la resta. EXEMPLES PRODUCTES I QUOCIENTS CONJUNTAMENT * Si no hi ha parèntesis, s’han de fer les operacions en l’ordre indicat. EXEMPLES 1) 364:1444:8·18 ==

2) 8)2(·4)2(·6:24 −=−=−

3) 3012:36012:4·15·2·3 ==

4) 60)5(·12)5(·4:48)5(·4:6·8 −=−=−=−

5) 86:)48(6:2·)8(·)3(·)1( −=−=−−−

* Si hi ha parèntesis, cal resoldre’ls amb preferència. 1) 246·4)3:18(·4 ==

2) 910:)6(·3·)5()5·2(:)6(·3·)5( =−−=−−

3) ( ) 48)6(:288)2(·3:)9·8·4( −=−=−

4) { } { } 94:)36()2(·)2(:)2(·6·3 −=−=−−−

5) { } 10)12(:1206:8·)9(:120 −=−=−


19

OPERACIONS CONJUNTES AMB NOMBRES ENTERS S’ha de tenir en compte que, de la mateixa manera que ho fèiem amb els nombres naturals, a l’hora de realitzar aquestes operacions cal resoldre en primer lloc els parèntesis i claudàtors, i si no n’hi ha, llavors cal seguir la jerarquia habitual de resolució d’operacions. EXEMPLES 1) { } 35:15)4(7:)114( ==−++

2) { } 20)4(·51)3(·5 −=−=−−

3) { } { } 12)4(·)3(3)7(·)5(2 =−−=+−−+

4) { } 4)8()3(61)3(:24)3(61 −=−+−++=−+−++

5) { } { } 1486)8(6)2(·43:18 =+=−−=−−

6) 58)5(22·4)5(2 =+−+=+−+

7) 62)3(724:)12(7 =+−+=+−+

8) 16)10()6()2(·52·)3( −=−+−=−+−

10) POTENCIACIÓ DE NOMBRES ENTERS Recordem que la potenciació és una manera abreujada d'escriure una multiplicació quan els factors que es multipliquen són tots els mateixos. EXEMPLE 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 → Aquest producte es pot escriure en forma de potència

3 · 3 · 3 · 3 · 32 = 53 = 243 El que s’ha vist en aquest exemple serveix per a qualsevol producte en que tots els factors són els mateixos. Aquest fet ens permet definir la operació de potenciació de la següent manera:

→←

=vegadesn

aaaaaaaaaan

""

···...............······

Recordem també els noms que reben els elements d'una potència.


20

Cal tenir present però que a partir d’ara la base pot ser qualsevol nombre enter (positiu o negatiu) EXEMPLES

1) =43 3 · 3 · 3 · 3 = 81

2) =25 5 · 5 = 25

3) =52 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

4) =− 2)4( (– 4 ) · (– 4 ) = 16

5) =− 3)2( (– 2 ) · (– 2 ) · (– 2 ) = – 8

6) =− 5)3( (– 3 ) · (– 3 ) · (– 3 ) · (– 3 ) · (– 3 ) = – 243

7) =− 4)1( (– 1 ) · (– 1 ) · (– 1 ) · (– 1 ) = 1

Propietat BASE EXPONENT RESULTAT

Positiva Parell Positiu

Positiva Imparell Positiu

Negativa Parell Positiu

Negativa Imparell Negatiu

Compte !

No s’ha de confondre les expressions nn aia −− )(

Observem la diferència amb els següents exemples.

a) =− 6)2( (– 2 ) · (– 2 ) · (– 2 ) · (– 2 ) · (– 2 ) · (– 2 ) = 64

En canvi.

( ) 6422 66 −=−=−

b) =− 4)3( (– 3 ) · (– 3 ) · (– 3 ) · (– 3 ) = 81

En canvi.

( ) 8133 44 −=−=−


21

EXERCICIS 1) Calculeu les següents potències.

1) 4972 = 2) 144)12( 2 =− 3) 125)5( 3 −=−

4) 625)5( 4 =− 5) 1)1( 6 =− 6) 1)1( 7 −=−

7) 256)2( 8 =− 8) 72936 = 9) 121)11( 2 =−

10) 1000103 = 11) 10000)10( 5 −=− 12) 000.000.1)10( 6 =−

2) Calculeu “k” en cada cas.

1) 3273 =→= kk 2) 225)5( =→=− kk

3) 115 −=→−= kk 4) 188 =→= kk

5) 44162 −==→= kikk 6) 77492 −==→= kikk

7) 99814 −==→= kikk 8) existeixnokk ""92 →−=

9) existeixnokk ""646 →−= 10) 51253 −=→−= kk

11) OPERACIONS AMB POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE a) Producte de potències de la mateixa base Demostració

nmnm aaa +=·


22

EXEMPLES 1) Calculeu de dues maneres diferents les següents expressions. 2) Poseu en forma de potència amb una sola base i un sol exponent les següents expressions.

1) 85353 444·4 == +

2) 53232 777·7 == +

3) 92727 555·5 == +

4) 106464 )3()3()3(·)3( −=−=−− +

5) 125757 )6()6()6(·)6( −=−=−− +

(*) Aquesta propietat és aplicable a productes de mes de dos factors. EXEMPLES

1) 14734734 555·5·5 == ++

2) 1764256425 )3()3()3(·)3(·)3(·)3( −=−=−−−− +++

3) 254635746357 )2()2()2(·)2(·)2(·)2(·)2( −=−=−−−−− ++++


23

b) Divisió de potències de la mateixa base Demostració EXEMPLES 1) Calculeu de dues maneres diferents les següents expressions. 2) Poseu en forma de potència amb una sola base i un sol exponent les següents expressions.

1) 69159

1577

7

7 == −

2) ( )( )

( ) ( ) 74114

11

555

5 −=−=−− −

3) ( )( )

( ) ( )128208

20

666

6 −=−=−− −

nmn

m

aa

a −=


24

10 =a

11 =n

(*) Aquestes dues propietats que acabem de veure, es poden utilitzar conjuntament. EXEMPLES 1) Poseu en forma de potència amb una sola base i un sol exponent les següents expressions.

a) 63

9

3

54

33

3

3

3·3==

b) 29

11

54

623

)5()5(

)5(

)5(·)5(

)5(·)5(·)5(−=

−−=

−−−−−

12) POTÈNCIES D’EXPONENT 0 I 1 1) Qualsevol nombre enter elevat a 1 dona com a resultat ell mateix. EXEMPLES

a) 551 = b) 991 = c) 7)7( 1 −=− d) 12)12( 1 −=−

2) Qualsevol nombre elevat a zero dona com a resultat 1. EXEMPLES

a) 160 = b) 1150 = c) 1)8( 0 =− d) 1)17( 0 =−

13) POTÈNCIES DE BASE 1 I (-1) Recordem aquí que 1 elevat a qualsevol exponent sempre dona com a resultat 1 En canvi (-1) elevat a un cert exponent “n” pot donar com a resultat 1 o bé (-1) en funció de si l’exponent “n” és un nombre parell o imparell.

aa =1


25

EXEMPLES

a) 119 = b) 1136 = c) 110 =

c) 1)1( 7 −=− d) 1)1( 68 =− e) 1)1( 0 =−

EXEMPLES: Calculeu les següents potències.

a) 1)5( 0 =− b) 18)18( 1 −=− c) 1330 =

b) 1521521 = c) 111 = d) 1)1( 1217 −=−

d) 001 = e) 1)1( 738 =− f) 1179 =

14) POTÈNCIES D’OPERACIONS a) POTÈNCIA D'UN PRODUCTE Per calcular la potència d’un producte, ho podem fer calculant per separat la potència de cada un dels factors i multiplicant després els resultats. EXEMPLES 1) Calculeu de dues maneres diferents les següents expressions

( ) nnn baba ·· =

−=−

imparellèsnsi

parellésnsin

1

1

)1(


26

2) Poseu en forma de potència amb una sola base i un sol exponent les següents expressions.

a) ( ) 55 )28(7·)4( −=−

b) ( ) 77 )24()8(·)3( =−−

b) POTÈNCIA D'UN QUOCIENT Per calcular la potència d’un quocient o fracció, ho podem fer calculant per separat la potència del numerador i del denominador i dividint després els resultats.

EXEMPLES

1) Calculeu de dues maneres diferents les següents expressions.

2) Calculeu el resultat final de les següents expressions.

a) 9

25

3

5

3

52

22

==

b) 32

243

2

3

2

35

55

==

c) 64

125

4

)5(

4

)5(3

33 −=−

=

−

n

nn

b

a

b

a =


27

c) POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA Per calcular una potència d’una altra potència, ho podem fer deixant la mateixa base i fent el producte dels exponents.

EXEMPLES

1) Calculeu de dues maneres diferents les següents expressions.


a) ( ) 155·353 777 ==

b) ( ) 2211·2112 )6()6()6( −=−=−

c) ( )( ) 726·3·4634 )3()3(3 −=−=

−

( ) nmnm aa ·=


28

PROPIETATS DE LES POTÈNCIES

DEFINICIÓ

→←=

vegadesn

aaaaaaaaaan

""

···...............······

SIGNE DE LES POTÈNCIES

BASE EXPONENT RESULTAT

Positiva Parell Positiu

Positiva Imparell Positiu

Negativa Parell Positiu

Negativa Imparell Negatiu

PROPIETATS

1) nmnm aaa +=·

2) nmn

m

aa

a −=

3) aa =1

4) 10 =a

5) 11 =n

6)

−=−

imparellèsnsi

parellésnsin

1

1

)1(

7) ( ) nnn baba ·· =

8) n

nn

b

a

b

a =

9) ( ) mnmn aa ·=


29

EXEMPLES


1) 17827827 333·3·3 == ++

2) 129219

21

)6()6()6(

)6( −=−=−− −

3) 936

45

1998

3114

)5()5(

)5(

)5(·)5(·)5(

)5(·)5(−=

−−=

−−−−−

4) 2222 21)7·3(7·3 ==

5) 7777 30)6·5(6·5 ==

6) 55

5

5

63

18

3

18 =

=

7) 88

8

8

94

36

4

36 =

=

8) 66666 30)3·2·5(3·2·5 ==

9) ( ) 82·424 333 ==

10) ( ) 5555 12)3(·)4()3(·)4( =−−=−−

11) ( ) 9999 )18()6(·3)6(·3 −=−=−

12) ( ) 155·353 )7()7()7( −=−=−

13) 55

5

5

)4(7

)28(

7

)28(−=

−=

−

14) 77777 )54()3·)9(·)2((3·)9(·)2( −=−−=−−

15) 1717

17

17

4)3(

)12(

)3(

)12(=

−−

=−

−


30

2) Calculeu el resultat final de les següents potències.

1) 2166)3·2(3·2 3333 ===

2) 12559

45

9

45 33

3

3

==

=

3) ( ) 256222 84·242 ===

4) 400)20())2(·10()2(·10 2222 =−=−=−

5) ( ) 22515)3(·)5()3(·)5( 2222 ==−−=−−

6) ( ) 81)3()3()3( 42·222 =−=−=−

7) ( ) 000.100)10(2·)5(2·)5( 5555 −=−=−=−

8) ( ) 1)1()1()1( 777·11711 −=−=−=−

9) 000.000.10)10()6(

60

)6(

60 77

7

7

−=−=

−=

−

10) ( ) 36)6()1(·)2(·)3()1(·)2(·)3( 22222 =−=−−−=−−−

11) 625)5(11

)55(

11

)55( 44

4

4

=−=

−=

−

12) ( ) 1)1()1()1( 00·1490149 =−=−=−

15) POTÈNCIES DE BASE 10

Recordem de cursos anteriors que les potències en que la base és 10 , són força fàcils de calcular ja que en cada cas al multiplicar la base 10 per ella mateixa, el resultat sempre serà un 1 seguits de tants zeros com indica l’exponent de la potència.

Podem dir doncs que una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l'exponent.


31

EXEMPLES

10101 =

10010·10102 ==

100010·10·10103 ==

1000010·10·10·10104 ==

.

.

.

.

.

→←=

zerosn

n

""

0000..............0000000110

16) NOTACIÓ CIENTÍFICA Observem ara que passa quan multipliquem un nombre decimal per una potència de 10. EXEMPLES

1) 24001000·4'2 =

2) 000.378000.100·78'3 =

3) 4'861100·614'8 =

4) 200.045.17000.000.10·70452'1 =

També ho podem fer si la potència de 10 esta expressada en forma de base i exponent.

1) 000.437000.100·37'410·37'4 5 ==

2) 000.850.21000.000.10·185'210·185'2 7 ==

3) 000.85000.10·5'810·5'8 4 ==

4) 000.000.000.6000.000.000.1·610·6 9 ==


32

Ens fixem en que al multiplicar per una potència de 10 un nombre decimal, la coma salta tants llocs cap a la dreta com indica l’exponent de la potència de 10, i si s’acaben les xifres decimals, llavors afegim zeros fins a completar el procés. Amb una mica de pràctica, tot el procés es pot fer mentalment.

1) 000.45110·51'4 5 =

2) 000.100.70510·051'7 8 =

3) 000.000.000.100.226.410·2261'4 15 =

4) 000.000.310·3 6 =

També ho podem fer a l’inrevés, es a dir que un nombre qualsevol, el podem posar en forma de producte d’un nombre decimal per una potència de 10

1) 410·6'4000.10·6'446000 ==

2) 910·23'5000.000.000.1·23'5000.000.230.5 ==

3) 1010·0412'6000.000.000.10·0412'6000.000.412.60 ==

Tot el procés es pot arribar a fer mentalment.

4) 910·426'8000.000.426.8 =

5) 410·3'6000.63 =

6) 1110·48023'1000.000.023.148 =

Doncs bé, quan un nombre esta expressat així. En forma de producte d’un nombre decimal per una potència de 10 es diu que està expressat en notació científica.

Aquesta manera d’escriure els nombres té la utilitat que permet escriure de manera més simple quantitats molt grans.


33

EXEMPLES

1) 2910·63'1000.000.000.000.000.000.000.000.000.163 =

2) 2010·1'7000.000.000.000.000.000.710 =

EXERCICIS 1) Poseu en notació científica les següents quantitats.

1) 410·7000.70 = 2) 610·3000.000.3 =

3) 510·5'3000.350 = 4) 410·8'1000.18 =

5) 410·83'4300.48 = 6) 810·635'8000.500.863 =

7) 810·6435'1000.350.164 = 8) 1610·8304'4000.000.000.000.304.48 =

9) 210·5'2250 = 10) 410·24'7400.72 =

2) Poseu en notació habitual les següents quantitats expressades en notació científica.

1) 000.000.38110·81'3 8 = 2) 000.5710·7'5 4 =

3) 000.42110·29'4 5 = 4) 000.203.910·203'9 6 =

5) 531.210·531'2 3 = 6) 000.000.000.22310·23'2 11 =

7) 000.000.2010·2 7 = 8) 720.75010·5072'7 5 =

9) 32'6479810·479832'6 4 = 10) 000.000.000.000.625.110·625'1 15 =


34

17) RADICACIÓ DE NOMBRES ENTERS Recordem aquí que la radicació es pot considerar com l’operació inversa a la potenciació.

Així doncs, per exemple diem que 39 = per que al mateix temps es compleix que 932 =

De la mateixa manera es compleix el mateix en els següents exemples:

164416 2 =→=

8228 33 =→=

813381 44 =→=

12555125 33 =→=

642264 66 =→=

000.1001010000.100 55 =→=

Podem definir l’operació de radicació de la següent manera. On Cal destacar que en els exemples que hem vist al principi d’aquest apartat, hem calculat diverses arrels de nombres naturals i per tant com a resultat hem obtingut nombres naturals.

Ara cal veure com funciona la radicació quan aquesta operació s’aplica als nombres enters.

Prenem com a exemple el càlcul de 49 . Per resoldre aquesta operació, segons la definició d’arrel,

cal buscar un nombre que elevat al quadrat doni 49

abba nn =→=


35

Si ens limitem al conjunt dels nombres naturals la solució és 7, però si considerem el conjunt dels nombres

enters, llavors hi ha un altre valor que elevat al quadrat també dona 49 i aquest nombre és -7. Tenim doncs que en aquest cas l’arrel quadrada de 49 té dues solucions.

En aquest cas expressem el resultat amb el doble signe ± per simbolitzar la doble solució

749 ±=

Si ens fixem en el següent cas veurem que passa exactament el mateix

Es a dir. 56254 ±=

En canvi en el següent exemple la situació és diferent.

I per tant 51253 =

Podem afirmar que:

• Les arrels amb índex parell de nombres enters positius tenen doble solució • Les arrels amb índex imparell de nombres enters positius tenen una única solució

Observem ara que passa quan calculem arrels de nombres enters negatius. Partim dels següents exemples.


36

I per tant 32435 −=− Únicament té una solució

En canvi quan l’índex de l’arrel és parell la situació és diferent

→=− ........36 No té cap solució ja que 3662 −≠ i 36)6( 2 −≠−

→=− ........646 No té cap solució ja que 6426 −≠ i 64)2( 2 −≠−

No es poden calcular arrels amb índex parell de nombres negatius.

Podem afirmar doncs que:

• Les arrels amb índex parell de nombres enters negatius no tenen cap solució. • Les arrels amb índex imparell de nombres enters negatius tenen una única solució

Com a resum podem dir que el nombre de solucions de les arrels dels nombres enters segueix la següent taula- resum.

NOMBRE DE SOLUCIONS DE LES ARRELS Índex Parell Índex Imparell

Radicand Positiu 2 solucions 1 solució

Radicand Negatiu 0 solucions 1 solució

EXEMPLES

1) Calculeu les següents arrels indicant clarament en cada cas totes les solucions que puguin tenir.

a) 20400 ±= b) 749 ±=

c) 3273 −=− d) 51253 =

e) 10000.104 ±= f) soluciócaptéNo=−81

g) 32435 −=− h) soluciócaptéNo=−8256


37

2) Escriu en cada cas el radicand corresponent.

a) 2555 =±→±=

b) 4977 =±→±=

c) 81334 =±→±=

d) 33 12555 =−→−=

e) 55 24333 =→=

Documents

TEMA 1 Nombres Enters 2012-2013