Asignatura Matemáticas

Unidad II

Teléfono: 0274-2661421Celular: 0416-6742468

Correo: mayouzca@gmail.com

IUFRONT — Sede MéridaAv. Principal Los

Próceres Sector Santa Barbara

Edifico IUFRONT

IUFRONT – SEDE MERIDA

Realizado por:

Ing. Marjorie J. Uzcátegui S.

Mérida, Julio de 2008

Ecuaciones numéricas.

Antecedentes.

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).

Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación   ax + b = c   han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran números conocidos y   x   la incógnita que ellos denominaban aha o montón.

1. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incognita:

Una igualdad o equivalencia no es más que la relación que existe entre dos expresiones diferentes de una misma cantidad. Así por ejemplo, serían igualdades 7 = 6+1 o bén 2x = x+3. Una identidad o fórmula es la relación que existe entre dos expresiones iguales de una misma cantidad y es independiente del valor que se atribuya a las letras.

Así por ejemplo: son identidades.

2

Procedimiento a seguir:

1. Se eliminan los radicales, en el caso en que existan2. Se efectuan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este

modo los paréntesis y signos de agrupación.3. Se suprimen los denominadores si existen.4. Se transponen o reducen términos.5. Se despejan las incognitas, descomponiendo el primer miembro en dos factores.6. Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incognita.

Ejemplos: Resolver la ecuaciones siguientes:

2. Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incognita:

3

Se llama ecuación de segundo grado a la que tine la forma siendo y a, b, c є R. toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces, es decir hay dos valores que satisfacen la ecuación. El resolver una ecuación de segundo grado implica por lo tanto hallar las raíces.

Ecuaciones Incompletas:

Son de la forma o bien , para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiete forma. y

1 Se despeja el termino x2 de la siguiente forma

2 Se extre la raíz cuadrada a ambos términos de la ecuación

3 Las dos raíces serán

Ejemplos: Resolver las ecuaciones de segundo grado:

Ecuaciones Completas:

Son de la forma , para resolver este tipo de ecuación se procede de la siguiete forma.

4

1 Asignamos los valores correspondiente de a,b y c

2 Introducimos estos valores en la fórmula y obrendremos dos

raíces

3 Las dos raíces serán y , estas dos

raíces pueden ser:

a) Si < 0 las raíces no son reales, son imaginariasb) Si = 0 las raíces son reales e igualesc) Si > 0 las raíces son reales distintas

Ejemplos: Resolver las ecuaciones de segundo grado:

5

6

7

También existen otros métodos para resolver la ecuación de 2do grado, entre los que se encuentra la factorización y la busqueda de raíces utiliozando ruffini.

Ejemplos: Resolver las ecuaciones de segundo grado:

8

3. Resolución de Sistemas de ecuaciones con dos incognitas:

En las ecuaciones con dos incognita existen varios tipos de ecuaciones entre las que se encuentran:

1 Lineales: solo tienen monomios de primer grado o número Por ejemplo

2 Cuadráticas: todos sus monomios son de grado menores o iguales a dos y alguno de ellos son de grado dos por ejemplo: ; ;

3 Polinómicas: sus distintos sumandos son monomios de grado cualesquiera. Por ejemplo:

4 Radicales: en ellas aparece algún radical de cualquier índice. Por ejemplo

La solución al sistema de ecuacion con dos incognitas es todos aquellos valores que hagan ciertas la igualdad. Por ejemplo, el par

porque al sustituir los valores de x e

y se tiene

Para resolver los sitemas de ecuación lineales con dos incognitas existen los siguientes métodos:

9

1 Método de Sustitución.

El método esencialmente consiste en despejar una incognita en una ecuación y sustituir en la otra., siguiendo estos pasos:

a. Se despeja una incognita en una de las ecuacionesb. Se sustituye el valor de esta incognita en la otra ecuación, obteniendo una

ecuación con la otra incognitac. Se resuelve esta ecuaciónd. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecia la

incognita despejadae. Hemos obtenido así la solución.

Ejemplos: Resolver el sistema de ecuacion utilizando el método de sustitución:

2 Método de Igualación.

El método esencialmente consiste en despejar la misma incognita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones que resultan:

a. Se despeja la misma incognita en ambas ecuacionesb. Se igualan las expresiones resultantes, lo cual da lugar a una ecuación

con una incognitac. Se resuelve esta ecuaciónd. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones en la que

aparecia despejada la otra incognitae. Obteniendo así la solución.

Ejemplos: Resolver el sistema de ecuacion utilizando el método de igualación:

3 Método de reducción.

10

Se trata de preparar las dos ecuaciones para que una de las incognitas tenga coeficientes opuestos en ambas. Sumando la ecuaciones miembro a miembro, se obtiene una ecuación con una sola incógnita.

a. Se preparan las dos ecuaciones , multiplicando por un número que convenga, con el fin de las incógnitas tengan los mismos coeficientes pero con signos opuestos.

b. Al sumar ambas ecuaciones desaparece una incognitac. Se resuelve esta ecuaciónd. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones iniciales.

Se obtiene así el valor de la otra incognita y por ende la solución del sistema.

Ejemplos: Resolver el sistema de ecuacion utilizando el método de reducción:

4 Método de Determinante.

Un determinante de segundo orden equivale al producto de los términos que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los términos que pertenecen a la diagonal secundaria.

Ejemplos:

Ejemplos: Resolver el sistema de ecuacion utilizando el método de determinantes:

11

Inecuaciones numéricas.

1. INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad que tiene una o varias cantidades o números incógnitas Y que también se anotan con las últimas letras del alfabeto (x,y,z)

Ejemplos. a) 3x + 2 > 4; b) ; c)

Resolver una inecuación es determinar el valor de la incógnita que sustituido en la inecuación se transforma en una desigualdad del mismo sentido.

Este valor de la incógnita generalmente es un intervalo d e valores que muchas veces se representa por una semirrecta.

Regla general para resolver una inecuación

Se sigue el mismo procedimiento que para resolver una ecuación (quitar denominadores, términos, agrupar, etc), pero hay que tener en cuenta, al multiplicar o dividir por cantidades negativas que tenemos que cambiar el sentido de la desigualdad para que el resultado no varíe.

EJEMPLOS

1 Resolver cada una de las siguientes inecuaciones dando la respuesta también en forma gráfica.

En todos los casos operamos como si fueran ecuaciones, pues en lo único que tenemos que tener cuidado es cuando tengamos que multiplicar o dividir por un número negativo que hay que cambiar el sentido de la inecuación

a.

12

4

( 4 , ∞ )

b.

c.

d.

2. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones dando la respuesta también en forma gráfica.

En todos los casos son inecuaciones irracionales porque la incógnita esta bajo el signo de radical, por lo tanto, para resolverlas hay que elevar los dos miembros de la inecuación al índice de la raíz.Al elevar hay que tener en cuenta que si el radical es positivo y hay números negativos estos se transforma en positivos, lo cual implica que en algunos casos aparecen soluciones extrañas, por lo tanto siempre se recomienda probar las soluciones dadas.

a.

b.

c.

13

1

(- ∞ , 1 ]

-8

[ - 8 , ∞ )

-29/40

(- ∞ , - 29 / 40 ]

4/3

( 4/3 , ∞ )

-3

[ - 3 , ∞ )

13

[ 13 , ∞ )

14

2. Inecuaciones con Valor Absoluto

Propiedades del Valor Absoluto

15

16

17

4. Sistema de Inecuaciones

18

19

20

5. Inecuaciones cuadráticas

21

22

Resolución de Inecuaciones Cuadráticas

23

24

25