Tema2 Presion Fluidos Alumnos

Presin, mecnica de fluidos

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PRESIN, MECNICA DE FLUIDOS1 Concepto de presin

Es muy corriente que las fuerzas se ejerzan sobre una superficie. Dependiendo de la intensidad de la fuerza (modulo) y de la extensin de la superficie donde acte, el efecto de dicha fuerza podr ser mayor o menor. Por esto, se define una nueva magnitud fsica, la presin (P), como la fuerza ejercida (perpendicularmente) sobre una superficie, por unidad de rea (o superficie):

P=

F S

(1)

La unidad de presin en el S.I es el N/m2 que recibe el nombre de pascal (en honor de Blas Pascal) y se abrevia como Pa. La presin nos da una medida de la capacidad para deformar, que tiene una fuerza que est actuando sobre una superficie. A mayor presin, el efecto deformador ser mayor. Ejemplos: La fuerza ejercida sobre un cuchillo se concentra en una superficie muy pequea (el filo delcuchillo) produciendo una elevada presin sobre los objetos y deformndolos (corte) con facilidad. Un esquiador, ejerce una presin baja sobre la nieve debido a que su peso se distribuye sobre la superficie de los esqus. De esta manera el efecto deformador de su peso disminuye y no se hunde.

Nota: Una unidad muy usada para medir la presin (aunque no es unidad SI) es el kilo (de presin), que es la presin ejercida por una masa de 1 kg sobre una superficie de 1 cm2m = 1 kg

P=

F m.g 1kg.10 m.s2 10 N 104 cm2 N = = = = 105 2 2 2 2 S S 1cm 1m m 1 cm1 kilo = 10 5 N/m2 (Pa)

S = 1 cm2

Ejemplo 1.Calcular la presin ejercida sobre la mesa por un bloque de 5 kg si la superficie sobre la que se apoya tiene 50 cm2.

Solucin:

P=

F m.g 5 kg.10 m / s2 10 4 cm2 = = = 104 Pa 2 2 S S 1m 50 cm

1" kilo" P = 10 4 Pa 5 = 0,1" kilos de presin" 10 Pa

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PRESIN EN FLUIDOS 1


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2.1 Que es un fluido?Se denomina fluido a aquellos cuerpos que pueden fluir y adoptan la forma del recipiente que los contiene. Los fluidos se dividen en lquidos y gases, dependiendo de sus fuerzas (moleculares) de cohesin interna (ver anexo al final de los apuntes). La hidrosttica es la parte de la Fsica (Mecnica) que tiene por objeto el estudio del comportamiento y de las propiedades de los fluidos en equilibrio. La hidrodinmica estudia los fluidos en movimiento.

El concepto de presin es muy til cuando se estudian los fludos. stos ejercen unafuerza sobre las paredes de los recipientes que los contienen y sobre los cuerpos situados en su interior. Las fuerzas, por tanto, no se ejercen sobre un punto concreto, sino sobre superficies. Los fluidos (lquidos y gases) en equilibrio ejercen sobre las paredes de los recipientes que los contienen y sobre los cuerpos contenidos en su interior fuerzas que actan siempre perpendicularmente a las superficies (se puede comprobar experimentalmente).

2.1 Transmisin de presiones en los lquidos: Principio de PascalEn fsica, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el fsico y matemtico francs Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase:

P Cualquier presin P ejercido sobre un fluido incompresible (lquido) encerrado en un recipiente indeformable se transmite por igual (en todas las direcciones y con la misma intensidad) a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.Otra versin de esta ley es:

La presin ejercida en este punto, se transmite en todas direcciones.

Todo cambio de presin aplicado sobre la superficie de un lquido, contenido en un recipiente indeformable, se transmite por igual a todos los puntos de este quido.El cambio de presin ser igual en todas las direcciones y acta mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen. El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un mbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presin sobre ella mediante el mbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma presin Una aplicacin del Principio de Pascal es la prensa hidrulica (ver anexo de ampliacin al final del tema).Blas Pascal (1623-1662) Clermond Ferrand (Francia) Invent la primera calculadora en 1642 (llamada Pascalina) Realiz importantes contribuciones a la hidrodinmica e hidrosttica. Invent la jeringa y la prensa hidrulica. Estudi las secciones cnicas y a l se deben importantes teoremas de la geometra descriptiva. En colaboracin con Fermat fund las bases de la Teora de Probabilidad.

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2.2 Principio fundamental de la Hidrosttica:Todos los fluidos pesan, por ello, cuando estn contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las inferiores, generndose una presin debida a su peso. La presin en un punto determinado del lquido deber depender entonces de la altura de la columna de fluido que tenga por encima suyo. Si nos fijamos en una superficie S (real o imaginaria) de un fluido en equilibrio, dicha superficie estar sometida al peso de toda la columna de fluido que tiene encima (Como el fluido esta en equilibrio el resto de fluido estar ejerciendo una fuerza igual pero de sentido contrario sobre dicha superficie). El peso1 de la columna de fluido es:

Peso = W = mg = Vg = (Sh)gPor lo tanto la presin sobre cada punto de esa superficie vendr dada por

pliquidoS

h

/ W (Sh)g P= = hg = / S SEste resultado constituye el Principio fundamental de la hidrosttica que afirma que:

F

La presin ejercida por un fluido de densidad en un punto situado a una profundidad h

de la superficie es igual a la presin ejercida por una columna de fluido de altura h y vale:

P = dgh

(2)

Otra versin del principio afirma que la diferencia de presin entre dos puntos A y B de un fluido situados a distintas alturas o profundidades viene dado por:

PA PB = dgh Donde, en este caso, h es la diferencia entre las alturas de A y B: h = (hA - hB )

(3)

Comentarios: A la hora de sustituir los datos numricos hay que tener cuidado que todos ellos estn expresados en un unidades SI. De aqu se deduce que la presin, para un fluido dado, depende nicamente de la profundidad. Si consideramos fluidos distintos la presin, a una profundidad dada, depender de la naturaleza del fluido (de su densidad)

Ejemplo 2.Calcular la presin que existe en un punto situado a 10 m bajo la superficie de la mar, sabiendo que la densidad del agua de mar es 1,03 g/cm3.

Solucin: Aplicando el Principio Fundamental de la Hidrosttica: P = d . g . h (Para poder sustituir los datos los expresamos en el S.I): 6 3 kg m =1,03 g 1kg 10 cm = 1,03 103 kg P = d g h = 1,03 103 3 10 2 10 m = 1,03 105 Pa 3 3 3 m s m cm3 10 g 1m

1

Para reservar la letra P a la presin, vamos a utilizar la letra W para notar el peso (del ingles Weight)

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2.3 Presin atmosfrica. Experiencia de Torricelli.Si estamos sobre el nivel del mar podemos decir tambin que estamos en el fondo de un ocano de aire. Todos vivimos inmersos en un fluido: la atmsfera que ejerce sobre nosotros una presin llamada presin atmosfrica.Esta presin, segn el Principio Fundamental de la Hidrosttica vara, siendo mayor a nivel del mar que en una montaa (tenemos mas fluido encima de nosotros a nivel del mar). Torricelli en 1643 fue el primero que logr medir la presin atmosfrica mediante un curioso experimento que consista en llenar de mercurio un tubo de 1 m de largo, (cerrado por uno de los extremos) y darle la vuelta sobre un cubeta llena de mercurio. Sorprendentemente la columna de mercurio descendi unos centmetros pero permaneci esttica a unos 76 cm (760 mm) de altura.

Evangelista TorricelliFaenza (Italia) 1608 - 1647

Torricelli razon que la columna de mercurio no caa debido a que la presin atmosfrica ejercida sobre la superficie del mercurio (y transmitida a todo el lquido y en todas direcciones) era capaz de equilibrar la presin ejercida por el peso de dicha columna.

Patm = PHg =h

WHg S

=

mHg g S

=

VHg dHg g S

=

S h dHg g S

Patm = dHg g hPatm Patm PHg Como se puede observar la presin era directamente proporcional a la altura de la columna de mercurio (h). Por ello, se adopt como medida de la presin el mm de mercurio (mm). As la presin considerada como normal, al nivel del mar, se corresponde con una columna de altura 760 mm.

Patm Patm

La presin atmosfrica se puede medir tambin en atmsferas (atm), que es la presin (normal) al nivel del mar, no es una unidad SI: 1 atm = 760 mm = 101.325 Pa = 1,0 kilo (kgf/cm2) Otras unidades de presin comnmente utilizadas, sobre todo en meteorologa, son el bar (b) y su submltiplo el milibar (mb), que es igual a 100 Pa o hectopascal (hPa): 760 mm = 1 atm = 101. 325 Pa = 1,013 bar 1 mb = 10 3 bar 1 mb = 100 Pa = 1 hPa Teniendo en cuenta estas equivalencias la presin normal equivaldr a:

101.325 Pa

1mb = 1013 mb 100 Pa

Ejemplo 3La consulta de la presin atmosfrica en la prensa da como dato para el da considerado 1.023 mb. Expresar la presin en Pa , mm de mercurio, atmsferas y kilos:

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Presin, mecnica de fluidosSolucin:Clculo en Pa:

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1.023 mb

100 Pa = 1.023 102 Pa = 1,023 105 Pa 1 mb1.023 mb 100 Pa 760 mm = 767 mm 1 mb 101.325 Pa

Clculo en mm. de mercurio: Clculo en atm:1.023 mb

100 Pa 1atm = 1,01atm 1 mb 101.325 Pa

Clculo en kilos: como 1 atm = 1 kilo ; 1,01 atm = 1,01 kilos Nota: a la hora de efectuar los clculos se parte siempre (excepto en el paso de atm a kilos, debido a su simplicidad) del dato suministrado en el enunciado en vez de apoyarse sobre un resultado anterior con el fin de evitar posibles errores.

Ejemplo 4Si a nivel del mar la presin es de 760 mm y en una montaa 635 mm. Calcular la altura de la montaa sobre el nivel del mar. Suponer que la densidad del aire es constante e igual a 1,3 g/litro Solucin: Partiendo de la expresin: P = d .g. h la aplicamos a nivel del mar y en lo alto de la montaa:Lo que deseamos calcular es h, es decir la altura de la montaa desde el nivel del mar:

h2P2 = d. g-h2

h = h1 h 2

h1

Restando las dos expresiones anteriores se obtiene: P1 P2 = d. g-h1 - d. g-h2 = d. g (h1 h2) = d . g. h Despejando la altura: P1 = d. g-h1

h

h=

P1 P 2 dg

Ahora tenemos que tener en cuenta que al sustituir los datos deben estar expresados en unidades S.I: P1 P2 = (760 635) mm = 125 mm ;

125 mmh=

101.325 Pa = 16.665 Pa 760 mm

d = 1,3

1kg 103 litros kg = 1,3 3 3 1m3 m litro 10 g

g

16.665 Pa = 1282 m kg m 1,3 3 10 2 m s

Los altmetros usados por los montaeros calculan la altura de las montaas basndose en este mismo principio.

Nota: Si quieres comprobar que efectivamente salen metros como resultado final puedes verificarlo echando m un vistazo al clculo siguiente:

2.2 Fuerzas en fluidos. Principio de

kg 2 kg m N s 2 2 Pa m2 s 2 = m = m = =m kg m kg m kg 1 kg m3 s 2 m3 2 m2 s2 Arqumedes s m2 s 2

Los fluidos ejercen fuerzas ascensionales (hacia arriba) sobre los objetos situados en su interior. La naturaleza y valor de estas fuerzas fueron descubiertas por un gran cientfico de la Antigua Grecia durante una de las grandes y curiosas ancdotas de la historia de la ciencia2. La ley que las explica lleva el nombre de su descubridor: el Principio de Arqumedes

Arqumedes.Siracusa (Sicilia) 289 212 aJC

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Si ests interesado, consulta la historia de esta ancdota en el anexo al final de los apuntes.

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Principio de Arqumedes

Todo cuerpo sumergido en un fluido (lquido o gas), experimenta una fuerza (empuje) vertical y hacia arriba de valor igual al peso del fluido desalojadoE = W liq = m liq g = Vliq d liq g

(4)

Podemos encontrarnos con dos situaciones:Empuje (E) (1) Si el cuerpo est totalmente sumergido ocurre que el volumen de lquido desalojado es el volumen del cuerpo Vliq = Vcuerpo. Peso (W)

E = Wliq = mliq g = Vliq dliq g = Vcuerpo dliq g

Empuje (E) (2) En cambio, si el cuerpo est flotando quedando sumergido slo una parte de l, el volumen de lquido desalojado se corresponder con la parte del volumen del cuerpo que est sumergida.

Peso (W)

Volumen de lquido desalojado (Vliq) es igual a volumen sumergido.

(1) En el primer caso, si suponemos un cuerpo totalmente sumergido en un fluido, sobre l actuarn el peso y el empuje, pudiendo darse tres casos: Que el peso y el empuje sean iguales: E = W. El cuerpo estar en equilibrio (fuerza resultante nula) y flotar entre aguas. Que el empuje sea mayor que el peso: E > W. El cuerpo ascender y quedar flotando. Que el empuje sea menor que el peso : E < W. El cuerpo se hundir. Como: E = Vcuerpo dliq g Si E = W, podemos poner: y

Empuje (E)

Peso (W)

W = mcuerpo g = Vcuerpo dcuerpo g

Vcuerpo dliq g = Vcuerpo dcuerpo g

Repitiendo el clculo establecemos las condiciones para que un cuerpo flote entre aguas, flote o se hunda: dliq > dcuerpo Flotar si: Se hundir si:

dliq < dcuerpo

Flotar entre aguas si: dliq = dcuerpo (2) La segunda situacin, que el objeto flote y solo una parte quede sumergida, es un poquito ms complicada pero si la estudiamos con detalle podemos obtener alguna conclusin interesante: En este caso el cuerpo est flotando en equilibrio por lo que el Empuje (E) empuje y el peso del cuerpo deben estar equilibrados:Volumen sumergido ( Vvol ) Peso (W)sum

E =W

mliq g = mobjeto g liqVvol = obj Vcuerpo P / /sum

or lo tanto la relacin entre la parte del cuerpo que queda

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sumergida (Volumen sumergido Vvol ) y el volumen total de dicho cuerpo, depende de la relacinsum

entre las densidades del liquido y dicho y sera:

Vvolsum

VcuerpoEjemplo 5.

=

obj liq

Calcular el empuje que sufre una bola esfrica de 1 cm de radio cuando se sumerge en: a) Alcohol de densidad d = 0,7 g/cm3. b) Agua, d = 1,0 g/cm3. c) sea: Tetracloruro de carbono, d = 1,7 g/cm3.

Solucin: Segn el Principio de Arqumedes el empuje es igual al peso del lquido desalojado. O

E = Wliq = mliq g = Vliq dliq g = Vcuerpo dliq gEl volumen de una esfera es: V = 4/3 r 3, luego para este caso:

V=a)

4 3 4 3 3 r = 1 cm = 4,19 cm3 = 4,19.106 m3 3 3

EAlcohol= 4,19. 10 - 6 m3 0,7 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,03 N

b) EAgua= 4,19. 10 - 6 m3 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,04 N c) ETetrClo= 4,19. 10 - 6 m3 1,7 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,07 N

Como se observa el empuje aumenta con la densidad del lquido.

Ejemplo 6.Mediante un dinammetro (instrumento para medir fuerzas) se determina el peso de un objeto de 10 cm3 de volumen obtenindose 0,72 N. A continuacin se introduce en un lquido de densidad desconocida y se vuelve a leer el dinammetro (peso aparente) que marca ahora 0,60 N. Cul es la densidad del lquido en el que se ha sumergido el objeto?

Solucin: El dinammetro marca menos cuando se introduce el objeto en el lquido debido a queste ejerce una fuerza (empuje) hacia arriba. El empuje lo podemos calcular estableciendo la diferencia entre el peso en el aire y lo que marca el dinammetro cuando el objeto se encuentra sumergido en el lquido (peso aparente) E = Paire Paparente = (0,72 0,60) N = 0,12 N Utilizando ahora la ecuacin:

E = Vcuerpo dliq g , despejamos la densidad del lquido:

d liq =

E 0,12 N kg g = = 1,2.103 3 = 1,2 Vcuerpo g 10.10 6 m3 10 m m cm3 s2

Este es uno de los mtodos utilizados en los laboratorios para determinar la densidad de lquidos y est basada en el Principio de Arqumedes.

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Boletn de Problemas, presin y fluidos.Problemas relacionados con la definicin de presin:Problema 1. Calcula la presin de una fuerza de 15N ejercida sobre el queso por: a) El borde de la mano (dimensiones: largo=10cm, ancho=1cm) b) El borde de un cuchillo (dimensiones: largo=10cm, ancho=0,1mm)

Solucin: a) 15KPa, b)1,5MPaProblema 2. Calcula la presin ejercida sobre la nieve por un esquiador de 80Kg de masa si: a) Camina sobre sus pies (dimensiones: largo=30cm, ancho=5cm) b) Se desliza sobre sus esques (dimensiones: largo=1,8m, ancho=15cm)

Solucin: a)

b)

Problema 3. Una persona de 78 kg est sentada sobre una silla de 4 kg, de modo que las patas de la silla que apoyan en el suelo tienen una superficie de 38 cm2 cada una. Determinar la presin que ejerce cada pata sobre el suelo. Problema 4. La presin atmosfrica tiene un valor aproximado de 1 x 105 Pa. Qu fuerza ejerce el aire encerrado en un cuarto sobre una ventana de 40 x 80 cm2? (Sol: 3,2 x 104 N)

Principio de Pascal, prensa hidrulica:Problema 5. La Superficie del pistn o mbolo grande de una prensa hidrulica es cien veces mayor que la del pistn pequeo. Halla la fuerza que acta sobre el mayor cuando se ejerce sobre el pequeo una fuerza de 50 N. Problema 6. Necesitamos un elevador hidrulico para levantar una camioneta que pesa 20000 N. La seccin del mbolo menor es de 10 cm2, y la del mbolo mayor, 140 cm2. Qu fuerza deberemos aplicar sobre el mbolo pequeo? Problema 7. Al ejercer una fuerza de 100 N sobre el mbolo pequeo de una prensa hidrulica, se observa que puede elevarse un peso de 10000 N en el mbolo grande. Suponiendo que ambos mbolos son circulares, cul es la relacin existente entre sus radios? Problema 8. Enuncia el teorema de Pascal y explica el funcionamiento de la prensa hidrulica. Se dispone de un elevador hidrulico, la seccin del mbolo menor es de 10 cm2, y la del mbolo mayor, 160cm2. Si la mxima presin que se puede realizar en el embolo pequeo son 5atm Cual es la mxima masa que podemos levantar con el mbolo grande?

Problemas sobre el principio fundamental de la hidrostticaProblema 9. Calcular la presin originada por un fluido en reposo a una profundidad de 76 cm en: a. agua (r = 1,00 g/cm3) y b. mercurio (r = 13,6 g/cm3).

(Sol a) 7,45 kPa b) 1 atm)Problema 10. Qu presin soporta un buzo sumergido en el mar a 10 metros de profundidad. (Densidad agua del mar=1030 kg/m3) Compara esta presin con el valor de presin normal a nivel del mar? 5 5 5 (Solucin: Presin total = 1,01310 Pa + 1,0310 Pa 2,04310 Pa 2,02atm ) Problema 11. Cul es la presin a 100 m de profundidad en el ocano? Cuntas atmsferas representa esto? (La densidad del agua de mar es de 1,03 x 103 kg/m3). (Solucin: a) 1 x 106 Pa b) 10 atm).

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Problema 12. El interior de un submarino que est en el ocano a 50 m de profundidad, se mantiene a una presin igual a la presin atmosfrica al nivel del mar. Determine la fuerza que acta sobre una ventana cuadrada de 20 cm de lado. La densidad del agua de mar es 1,03x103 kg/m3. (Solucin: 2,02 x

104 N)Problema 13. Calcula la diferencia de presin que existe entro puntos A y B en el interior de un lquido de densidad 1200 kg/m3 si se encuentran, respectivamente a 10 cm y a 20 cm por debajo de la superficie. Problema 14. Suponiendo que la densidad de la atmsfera es constante e igual a 1,2 kg/m3, determina la altura que debera tener para ejercer la presin que ejerce. NOTA: est es una aproximacin bastante grosera (mala) porque la densidad del aire vara mucho con la presin y la temperatura y por lo tanto no se mantiene constante segn nos alejamos de la superficie de la tierra pudiendo llegar a ser una densidad extremadamente baja a alturas superiores a varios miles de metros. Problema 15. Qu fuerza soporta la ventana de un submarino situado a 300 m bajo el mar, si puede admitirse que la densidad del agua del mar a esa profundidad es de 1,12 g/mL y que la ventana tiene 28 cm de dimetro?

Problemas sobre presin atmosfrica:Teora 1. Cul es el origen de la presin atmosfrica? Qu fuerza total ejerce la presin atmosfrica sobre un nio si su superficie es de aproximadamente 1,25 m2? Teora 2. Por qu se dice que la presin atmosfrica normal es de 760mm de mercurio? Qu tiene que ver la longitud del mercurio con la presin? Problema 16. Un vaso cilndrico tiene 3cm de radio y una altura de 8cm. Se llena de agua, se cubre con una hoja de papel y se le da la vuelta (poniendo el vaso bocabajo). Por qu la hoja no se cae? Calcula el peso del agua y la fuerza que mantiene la papel unido al vaso si la presin atmosfrica es de 1atm. Problema 17. La presin atmosfrica a nivel del mar es de 1atm. Calcula esta presin en un lugar situado a 1350m sobre el nivel del mar (NOTA: Supn constante la densidad del aire con un valor d(aire)=1,293Kg/m3) Problema 18. Por qu crees que Torricelli uso mercurio (Hg) y no otro lquido para su barmetro? Para ayudarte a contestar est pregunta contesta a la siguiente pregunta. Qu altura debe tener una columna de agua para que ejerza sobre su base una presin de una atmsfera, es decir, para poder equilibrar la presin atmosfrica normal? Datos (agua)=1000 kg/m3 (Solucin: h=10,33m) Problema 19. Si un barmetro indica una altura de 705mm de mercurio. Si se supone que la densidad del aire se mantiene constante e igual a 2,293 kg/m3 a que altura se encuentra aproximadamente sobre el nivel del mar? (Solucin: h = 325,6m ) Problema 20. Un barmetro marca una altura de 750mm en su columna de mercurio y despus de subir cierta altura indica 745mm. Si se supone que la densidad del aire se mantiene constante e igual a 2,293 kg/m3 Cul es la diferencia de alturas entre esos dos puntos? (Solucin: h = 29,6m )

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Presin, mecnica de fluidos Problemas sobre el principio de Arqumedes:

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Teora 1. Expresa con tus propias palabras el principio de Arqumedes. Qu fuerzas son las responsables de que algunos materiales floten en el agua y otros, se hundan? Teora 2. Pesan menos los cuerpos sumergidos en el interior de lquidos? Por qu cuesta menos levantarlos una vez inmersos? Explicacin. Teora 3. Explica por qu se flota mejor en el mar que en las piscinas. Dnde se flotara mejor en aceite o en agua? Teora 4. Explica porque vuela un globo aerosttico. Y porque flota un barco o un submarino si estn hechos de acero y el acero tiene una densidad mucho mayor que el agua? Teora 5. Explica cmo crees que funciona la vejiga natatoria de los peces. Y el mecanismo de inmersin de un submarino? Teora 6. El densmetro es un flotador que al hundirse ms o menos, segn la densidad del lquido, nos indica este valor sobre una escala graduada. Por qu crees que se utiliza para detectar la existencia de adulteraciones en el vino, zumos, leche, etc.? Problema 21. Con un dinammetro, medimos el peso de un objeto, y result ser de 2,5 N. Al introducirlo por completo en agua y volver a medir, el dinammetro nos marca 2,1 N. Determinar el empuje ejercido por el lquido. Problema 22. Una piedra pesa 300 N en el aire y 280 N sumergida en el agua. Cul es el volumen de la piedra? Problema 23. Calcula la densidad de un trozo de mineral que pesa 28 N en el aire y 24 N en el agua. Problema 24. Un objeto de 10000 N de peso ocupa un volumen de 10 m3. Flotar en un tanque lleno de aceite cuya densidad es de 935 kg/m3? Problema 25. Un trozo de cobre se pesa y tiene un peso de 4,4N. Sumergido en agua tiene un peso de 3,9N y sumergido en un lquido desconocido pesa 3,65N. Calcula: a. la densidad del cobre b. la densidad del lquido desconocido. Datos: Tome g=10m/s2. Densidad del agua= 1g/cm3=103Kg/m3. Problema 26. Una sonda atmosfrica (globo) se llena de Helio. Si el material cientfico que lleva pesa 5Kg qu volumen mnimo tiene que tener para empezar a volar? Qu aceleracin tendr si su volumen son 6m3? Problema 27. Un globo aerosttico tiene una masa de 100 kg. Lleva dos tripulantes de 60 y 70 kg respectivamente. c. Cul debe ser el volumen del globo para que el empuje del aire sea de 350 N? (densidad del aire = 1,3 kg/m3) d. Cual debe ser el volumen mnimo del globo para que empiece a volar (=flotar en el aire) (densidad del aire caliente=0,8 kg/m3) Problema 28. Se coloca un tabln de madera, de 2 m de largo, 50 cm de alto y 1 m de ancho, en un lago de aguas tranquilas. La densidad de la madera es 550 kg/ m3 y la del agua 1000 kg/ m3. a) Cual es el volumen sumergido del tabln? b) Cuntas personas de peso medio 800 N pueden subirse al tabln sin hundirlo totalmente?

(Solucin: a)Volumen sumergido= 55% del volumen total del tabln. b) Podran montarse 5,51 personas, es decir 5 personas con seis ya se hundira)

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Problema 29. Si la densidad del hielo es 900 kg/m3, est justificada la expresin "la punta del iceberg" para expresar que lo que se desconoce de un tema es mucho mayor que lo que se conoce? Comprubalo haciendo el siguiente ejercicio a) Sabiendo que la densidad del agua del mar es 1050 kg/m3, qu porcentaje de su volumen est sumergido? b) Si se encontrase agua en Marte, podran seguir manteniendo los "marcianos" el anterior enunciado para "sus" icebergs? Problema 30. Una bola hueca de acero tiene un radio de 4cm y una masa de 150g. Se sumerge completamente en agua destilada. Qu fuerza habra que aplicar a la esfera para mantenerla sujeta en el interior del lquido? Si soltamos la esfera, determinar la aceleracin con la que ascendera. Problema 31. Un globo lleno de hidrgeno tiene un volumen de 800 m3 y el material del globo y la barquilla pesan 5600 N. a) Calcula la fuerza ascensional inicial. b) Podr llegar a los 17 km de altura? Datos: la densidad del aire es 1,3 g/litro (1 litro de aire pesa aproximadamente 1000 veces menos que 1 litro de agua, exactamente 1000/1,300 = 760 veces menos). La densidad del hidrgeno es 14,4 veces menor que la del aire. La densidad del aire disminuye con la altura. Supn que a 17 km de altura la densidad es 20 veces menor que al nivel del mar. (Solucin: a) Empuje=E=10202,4 N, Peso=W=6308,5 N, Fuerza ascensional neta= 3895,9 N

b) La densidad es 20 veces menor y por tanto el empuje tambin E=5101,2 N, luego al ser menor que el peso el globo no podra subir hasta esta altura)Problema 32. Qu cantidad de agua (masa y volumen) tiene que desalojar un yate de 500 toneladas (si es que flota claro)? Dato: densidad del agua del mar 1020 kg/m3

(Solucin: m=500000Kg=500 Toneladas, V=490,19 m3)Problema 33. Un nufrago de 70 kg est perdido en una isla desierta de la que desea escapar. Para ello cuenta con un gran panel de corcho de 0,1 m de espesor con la que desea hacerse una balsa. Calcular la superficie mnima de este corcho que deber cortar para conseguir flotar. (densidad corcho = 0,24 g/mL) Problema 34. Tenemos 1 kg de oro, 1 kg de plata y 1 kg de aleacin al 50% de oro y plata. Se sumergen sucesivamente en agua. a) Qu cantidad de agua desaloja cada uno? b) Podras averiguar la densidad de un anillo de oro aplicando el Principio de Arqumedes? Podras conocer la cantidad de oro y plata que contiene, suponiendo que slo tiene esos dos componentes? Datos. Densidad oro: 19300 kg/ m3. Densidad de la plata: 10500 kg/m3

Ms Problemas sobre el principio de Arqumedes:2. Fabricamos un cubo macizo de 2 cm de lado de cierto material (d = 1,48 g/mL) y lo echamos en un recipiente que contiene cierta cantidad de lquido de modo que el cubo queda parcialmente sumergido (solo moja 0,75 cm). Determinar la densidad del lquido. 3. De cierto muelle colgamos una masa de 370 g y observamos que se alarga 1,5 cm quedando en equilibrio. Dibuja las fuerzas que actan sobre ese cuerpo y determina la constante del muelle. En otro experimento distinto, colgamos del mismo muelle otro objeto de 790 g y lo introducimos en agua destilada (el muelle queda fuera y sujeto al techo). Si el volumen del cuerpo es 30 cm3, calcular cunto se comprime el muelle en esta situacin. 4. Un buque tiene una masa total de 2000 toneladas cuando lleva su carga mxima en el mar (d = 1,18 g/mL). Qu masa debe quitarse para navegar por un ro (d = 1 g/mL) si se admite que en los dos casos el volumen sumergido ha de ser el mismo?

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5. Una bola hueca de acero tiene un radio de 4 cm y una masa de 150 g se sumerge completamente en agua destilada y se sujeta al fondo del recipiente con una cuerda (no toca el fondo). Se pide: a) Dibuja las fuerzas que actan sobre la bola sumergida. b) Valor del peso de la bola y de la fuerza de empuje sufrida por la bola. c) Si la bola est en equilibrio, calcula la tensin del hilo. 6. Cierto muelle de constante K = 370 N/m se dispone en posicin vertical sobre el fondo de un recipiente que contiene cierto lquido de densidad d = 2,75 g/mL. Sobre l se sita un objeto de 15 kg de masa (d = 8 g/mL) de modo que queda completamente sumergido y en equilibrio. Dibuja las fuerzas que actan sobre el cuerpo sumergido y calcula cunto se comprime el muelle en estas condiciones. 7. Cierto cuerpo macizo de forma cilndrica de 14 cm de altura y 6 cm de dimetro se sumerge en posicin vertical en el seno de un lquido de densidad d = 10 g/mL. Se observa que el cilindro se moja hasta una altura de 5 cm. Calcula la densidad del material con que se fabric ese cilindro. 8. Cierto objeto fabricado con un recipiente que contiene un lquido completo. Si el volumen total del emergido y cul ser la masa total material cuya densidad es d = 2,2 g/mL se deposita en un de densidad d = 5,4 g/mL de modo que NO se sumerge por cuerpo es 170 mL, calcula qu volumen de ese objeto est del objeto.

9. Un objeto de 8 kg de masa (d = 2,55 g/mL) est comprimiendo 9 cm un muelle. Todo el conjunto est en equilibrio y sumergido completamente en el fondo de recipiente que contiene un lquido cuya densidad es d = 1,12 g/mL, tal y como ve en la figura. Dibujar las fuerzas que actan sobre el cuerpo y determinar el valor de la constante K del muelle (Despreciar el volumen desalojado por el muelle) 10. Un alumno corta un trozo de corcho de forma cbica cuyo lado mide 10 cm. La masa de ese objeto es 40 g. Posteriormente deja flotar ese cubo en un lquido cuya densidad desconoce y observa que el lquido ha mojado una porcin de corcho de 6 cm de altura. a) Explica y dibuja las fuerzas que actan sobre el corcho en el lquido; b) Determina la densidad del lquido desconocido. 11. Una botella de 1 litro, pesa vaca 1 N. Qu cantidad mnima de agua habr que poner dentro para que se hunda en alcohol? (densidad = 0,8 g/cc) Problemas de profundizacin 12. Una burbuja de 1 cm3 se encuentra a diez metros de profundidad en un embalse de agua dulce. Si la densidad del gas de la burbuja es 1000 veces menor que la del agua, qu empuje experimentar a esa profundidad y cul en la superficie justo antes de estallar? Cunto vari su volumen durante la ascensin?

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AMPLIACIN:

4.1 Prensa hidrulicaLa prensa hidrulica es una mquina simple semejante a la palanca de Arqumedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidrulicos de maquinaria industrial. La prensa hidrulica constituye la aplicacin fundamental del principio de Pascal y tambin un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente seccin comunicados entre s, y cuyo interior est completamente lleno de un lquido que puede ser agua o aceite. Dos mbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estn en contacto con el lquido. Cuando sobre el mbolo de menor seccin S1 se ejerce una fuerza F1 la presin p1 que se origina en el lquido en contacto con l se transmite ntegramente y de forma (casi) instantnea a todo el resto del lquido. Por el principio de Pascal esta presin ser igual a la presin p2 que ejerce el lquido sobre el mbolo de mayor seccin S2, es decir:

con lo que, las fuerzas sern, siendo S1 > S2 :

y por tanto, la relacin entre las fuerza resultante en el mbolo grande cuando se aplica una fuerza menor en el mbolo pequeo ser tanto mayor cuanto mayor sea la relacin entre las secciones:

4.2 El principio de los vasos comunicantes

P0

Vasos comunicantes son recipientes que estn unidos entre s por su parte inferior, de manera que el lquido que se eche en cualquiera de ellos pase fcilmente a los otros. Si se echa un lquido en vasos comunicantes, la hB hA altura o nivel alcanzada por el lquido es la misma en todos los vasos, independientemente de la forma o volumen que los vasos tengan. B A Este es el llamado principio de los vasos comunicantes y es una consecuencia directa de la ecuacin fundamental de la hidrosttica, veamos:

P0

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Si se toman dos puntos del lquido situados en el mismo nivel, por ejemplo los puntos A y B de la figura, las presiones en dichos puntos segn el principio fundamental de la hidrosttica sern: PA = p0 +ghA y PB = p0 + ghB Si el lquido est en equilibrio, las presiones hidrostticas de estos puntos han de ser las mismas, es decir: PA = PB Por lo tanto, necesariamente las alturas hA y hB de las respectivas superficies libres han de ser idnticas: hA = hB. Si se emplean dos lquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas que alcanzan sern inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si PA = PB , se tendr: A.g.hA = B.g.hB hA/hB = A/ B Por ejemplo si vertemos aceite y agua, el aceite alcanzar una altura mayor al tener menor densidad. Esta ecuacin permite, a partir de la medida de las alturas, la determinacin experimental de la densidad relativa de un lquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de lquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida.

5 Apndice: Conceptos relacionadosA.1 Estados de agregacin de la materiaHabitualmente decimos que la materia (una sustancia) puede estar en tres distintos estados de agregacin: slido, liquido y gaseoso. En el estado slido las molculas se encuentran muy cerca unas de otras y por lo tanto las fuerzas de cohesin entre ellas son sumamente intensas. Esto determina que los slidos posean una forma definida y ocupen un volumen propio. En el estado lquido las molculas se encuentran dispuestas a mayor distancia que en los slidos, por lo que las fuerzas de cohesin entre ellas son pequeas. Esto determina que ocupen un volumen propio, pero que no tengan una forma definida, sino que adopten la del recipiente que los contiene. En el estado gaseoso las distancias entre las molculas son muy grandes, por lo que las fuerzas de cohesin entre ellas son prcticamente nulas. Esto determina que presenten una tendencia a ocupar el mayor volumen posible al poder expandirse con facilidad. En los lquidos y gases, las fuerzas de cohesin entre las molculas son muy dbiles, por lo que stas pueden resbalar unas sobre otras fcilmente y se dice comnmente que fluyen. El nombre fluido se aplica tanto a los lquidos como a los gases.

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Tanto slidos como lquidos son poco compresibles, en cambio los gases al estar formados por molculas muy separas entre s, son fcilmente compresibles. Al reducir las distancias entre las molculas disminuira el volumen del gas.

A.2 FluidosSe denomina fluidos a aquellos cuerpos que pueden fluir y adoptan la forma del recipiente que los contiene. Los fluidos se dividen en lquidos y gases, dependiendo de sus fuerzas de cohesin interna. La hidrosttica (aerosttica) es la parte de la Fsica (Mecnica) que tiene por objeto el estudio del comportamiento y de las propiedades de los lquidos (gases) en equilibrio (la hidrodinmica (aerodinmica) estudia los lquidos (gases) en movimiento). Mientras que los lquidos fluyen manteniendo constante su volumen, los gases tienen tendencia a ocupar todo el volumen disponible. Otra diferencia importante es que los lquidos son casi incompresibles, en cambio los gases al estar formados por molculas muy separas entre s, son fcilmente compresibles. Su volumen, por tanto, no es constante y consiguientemente tampoco lo es su densidad. Teniendo en cuenta el papel fundamental de esta magnitud fsica en la esttica de fluidos, se comprende que el equilibrio de los gases haya de considerarse separadamente del de los lquidos. As, la ecuacin fundamental de la hidrosttica no puede ser aplicada a los gases (aerosttica). El principio de Pascal, en el caso de los gases, no permite la construccin de prensas hidrulicas (el gas se comprime). En cambio, el principio de Arqumedes conserva su validez para los gases y es el responsable del empuje aerosttico, fundamento de la elevacin de los globos y aerstatos. Eso s, debido a la menor densidad de los gases, en iguales condiciones de volumen del cuerpo sumergido, el empuje aerosttico es considerablemente menor que el hidrosttico. Este distinto comportamiento de gases y lquidos es debido a que en el estado lquido las fuerzas de cohesin intermoleculares son menores que en los slidos y, por tanto, las partculas componentes abandonan las posiciones fijas que ocupan en estado slido aunque mantienen una cierta cohesin que les hace mantener un volumen constante. En el caso de los gases, las fuerzas de cohesin intermoleculares son mucho menores y las partculas pueden moverse libremente en todo el volumen del recipiente que las contiene.

6.2 DensidadUna importante propiedad de una sustancia es la densidad, que la definiremos como el cociente de la masa y el volumen,:

=

m V

Kg m3

en el SI

Como puede observarse en la definicin esta magnitud fsica mide lo densa o compacta que es una sustancia, es decir, el volumen que ocupa una determina cantidad de masa de dicha sustancia. O dicho de otra forma, cuanta masa de esa sustancia cabe en un volumen determinado. Ya sabemos que cada material o sustancia ocupa ms o menos volumen dependiendo de su estructura externa (no ocupa lo mismo un kilo de aire, que un kilo de papel o que

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un kilo de plomo), es la densidad la magnitud fsica que sirve para distinguir esta caracterstica de los materiales Tanto el volumen como la masa dependen de la cantidad de sustancia o de material que tenga el objeto, en cambio, la densidad es una propiedad que solo dependen del tipo de sustancia y no de la cantidad que tengamos. En la mayora de los materiales, incluida el agua, las densidades varan con la temperatura. Densidad de Algunas Substancias Comunes Substancia Aire Plumas Madera (Roble) Hielo Agua Ladrillos Aluminium Acero Plata Oro Densidad(g/cm3) 0.0013 0.0025 0.6 - 0.9 0.92 1.00 1.84 2.70 7.80 10.50 19.30

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Biografas y curiosidades:Arqumedes(Siracusa, actual Italia (Sicilia),287? a.C-212? a.C.)

Arqumedes,

fue

un

portentoso

genio

(matemtico,

cientfico e ingeniero griego) del siglo II antes de Cristo aquien le debemos adems de la archifamosa muletilla Eureka (que a propsito, significa "lo consegu!") una serie de inventos tales como la palanca o un mecanismo para elevar agua (tornillo de Arqumedes), buena parte de nuestra geometra, las primeras teoras y leyes sobre la esttica y lo que es mas importante para nosotros en el contexto de este trabajo, el principio que lleva su nombre: el principio de Arqumedes.

Principio de Arqumedes

Ley de la palanca

Tornillo de arquimedes

Hijo de un astrnomo, quien probablemente le introdujo en las matemticas, Arqumedes estudi en la escuela de Alejandra, donde tuvo como maestro a Conn de Samos y entr en contacto con Eratstenes3; a este ltimo dedic Arqumedes su Mtodo, en el que expuso su genial aplicacin de la mecnica a la geometra, en la que pesaba imaginariamente reas y volmenes desconocidos para determinar su valor. Regres luego a Siracusa, donde se dedic de lleno al trabajo cientfico y a trabajar como ingeniero al servicio de su ciudad natal. De la biografa de Arqumedes, , a quien Plutarco atribuy una inteligencia sobrehumana, slo se conocen una serie de ancdotas. La ms divulgada la relata Vitruvio y se refiere al mtodo que utiliz para comprobar si existi fraude en la confeccin (fabricacin) de una corona de oro encargada por Hiern II, tirano de Siracusa y protector de Arqumedes, (se cree que incluso era to suyo). Segn esta ancdota, hallndose en un establecimiento de baos, advirti que el agua desbordaba de la baera a medida que se iba introduciendo en ella. Esta observacin le inspir la idea que le permiti resolver la cuestin que le plante el rey. Se cuenta que, impulsado por la alegra, corri desnudo por las calles de Siracusa3

El que midio el radio de la tierra con un palito y la sombra que proyectaba.

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hacia su casa gritando Eureka! Eureka!, es decir, Lo encontr! Lo encontr!. La idea de Arqumedes est reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrosttica; corresponde al famoso principio que lleva su nombre y, como all se explica, haciendo uso de l es posible calcular la ley de una aleacin, lo cual le permiti descubrir que el orfebre haba cometido fraude. Segn otra ancdota famosa, recogida por Plutarco, entre otros, Arqumedes asegur al tirano que, si le daban un punto de apoyo, conseguira mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que pusiera en prctica su aseveracin, logr sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navo de tres mstiles con su carga. Son clebres los ingenios (=inventos) blicos cuya paternidad le atribuye la tradicin y que, segn se dice, permitieron a Siracusa resistir tres aos el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo. Invent innumerables maquinas como catapultas, gras etc. e incluso utiliz, al parecer, la energa solar como arma: Segn varios escritores antiguos, entre ellos Plutarco y Antemio de Tralles, reflej los rayos del sol sobre la flota romana, cuando sta se diriga contra su ciudad natal de Siracusa, y la incendi. Esto suceda entre los aos 215 y 212 antes de J. C. Tambin se cuenta que, al final, tras varios aos de resistencia, el ejrcito romano tom Siracusa. Y que contraviniendo rdenes expresas del general romano, un soldado mat a Arqumedes por resistirse ste a abandonar la resolucin de un problema matemtico en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano. Esta pasin de Arqumedes por la erudicin, que le caus la muerte, fue tambin la que, en vida, se dice que hizo que hasta se olvidara de comer y que soliera entretenerse trazando dibujos geomtricos en las cenizas del hogar o incluso, al ungirse, en los aceites que cubran su piel. Esta imagen contrasta con la del inventor de mquinas de guerra del que hablan Polibio y Tito Livio; pero, como seala Plutarco, su inters por esa maquinaria estrib nicamente en el hecho de que plante su diseo como mero entretenimiento intelectual. El esfuerzo de Arqumedes por convertir la esttica en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propsito respecto a la geometra; esfuerzo que se refleja de modo especial en dos de sus libros: en los Equilibrios planos fundament la ley de la palanca, deducindola a partir de un nmero reducido de postulados, y determin el centro de gravedad 18


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de paralelogramos, tringulos, trapecios, y el de un segmento de parbola. En la obra Sobre la esfera y el cilindro utiliz el mtodo denominado de exhaustin, precedente del clculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para establecer la relacin entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este ltimo resultado pas por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo se grab sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicern pudo recuperar la figura de Arqumedes cuando sta haba sido ya olvidada.Existen varias versiones del problema de la corona de oro del rey Hieron,

todas coinciden en el principio de la historia pero no en como Arqumedes lo solucion. Aqu las tenis con cual os quedis? Vitruvio, arquitecto de la antigua Grecia (siglo I a.C.), refiere la ancdota de la manera siguiente: Cuando Hiern II lleg al poder, decidi donar una corona de oro a un templo en agradecimiento por los hechos venturosos; orden fabricarla a un artesano del oro (orfebre) y le entreg el material necesario. El maestro cumpli el encargo para el da fijado. El rey estuvo muy satisfecho: la obra pesaba justamente lo mismo que el material que haba sido entregado al orfebre. Pero poco tiempo despus el soberano se enter de que este ltimo haba robado cierta parte del oro sustituyndolo con plata. Hiern mont en clera y pidi a Arqumedes que inventara algn mtodo para descubrir el engao. Como ya se ha comentado, pensando en este problema, el sabio fue a las termas y, una vez en la baera, observ que se desbordaba cierta cantidad de agua, correspondiente al volumen de su cuerpo que se haba hundido. Al descubrir de esa manera como solucionar el problema, no sigui en las termas, sino que se lanz a la calle, rebosante de alegra y en cueros (desnudo), y corri hasta su casa exclamando en alta voz: `Eureka!, eureka!' (=hall=lo encontr). Y es aqu donde empiezan los desacuerdos sobre como Arqumedes resolvi el problema: Una primera versin afirma que: Cuando lleg a su casa, Arqumedes tomo dos pedazos del mismo peso que la corona, uno de oro y otro de plata, llen con agua un recipiente hasta los bordes y coloc en l, el lingote de plata. Acto seguido, lo sac y ech en el recipiente la misma cantidad de agua que se desbord, midindola previamente, hasta llenarlo. De esta manera determin el volumen de agua que corresponde a aquella cantidad de plata. A continuacin, realiz la misma operacin con el trozo de oro y, volviendo a aadir la cantidad de agua desbordada, concluy que esta vez se derram menos lquido (en una cantidad equivalente a la diferencia de los volmenes de los trozos de oro y plata de pesos (mejor dicho masas) iguales). Despus volvi a llenar el recipiente, coloc en l la corona y se dio cuenta de que se derram una mayor cantidad de agua que al colocar el lingote de oro; 19


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partiendo de este exceso de lquido Arqumedes calcul el contenido de impurezas de plata, descubriendo de esa manera el engao4. Arqumedes haba usado el concepto de densidad para exponer este fraude. La densidad es una propiedad fsica de la materia que describe el grado de compacidad de una substancia. La densidad describe cun unidos estn los tomos de un elemento o las molculas de un compuesto. Mientras ms unidas estn las partculas individuales de una substancia, ms densa es la substancia. Puesto que las diferentes substancias tienen densidades diferentes, la medidas de la densidad son una va til para identificar las substancias. Sin embargo en esta versin de la historia, no se usa para nada la famosa ley que lleva su nombre: el Principio de Arqumedes. Otra versin de los hechos dice que, adems del concepto de densidad, Arqumedes puso en prctica el principio por el descubierto: Todo cuerpo sumergido en un fluido sufre una fuerza vertical y hacia arriba cuyo valor es igual al peso del agua desalojada por el cuerpo Como el volumen de oro es menor que el de plata, el empuje sobre l tambin ser menor que sobre la pieza de plata. Por lo tanto, el peso aparente del oro ser mayor que el de la plata (mas fuerza hacia arriba en la plata) cuando estn sumergidos. Lo que hizo Arqumedes fue introducir una balanza equilibrada con la corona y una pieza de oro de la misma masa.

Al sumergirla en agua la balanza se desequilibr, demostrando que no tenan la misma densidad y por tanto no eran exactamente la misma cantidad de oro (habra alguna cantidad de plata en la corona).

Blaise PascalBlaise Pascal naci el 19 de junio de 1623 en ClermondFerrand en Francia; fue el nico hijo varn de Etienne Pascal y su madre muri cuando l tena slo tres aos. El padre de Pascal decidi no mandar a su hijo a la escuela sino educarlo l mismo; decidi tambin que Blaise no estudiara matemticas sino hasta que cumpliera los quince aos por lo que sac todos los libros relacionados con esa ciencia de su casa.4

Se podra determinar la cantidad de oro sustituida por plata en la corona, utilizando el mtodo de Arqumedes?

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Sin embargo, Pascal por s mismo logr conseguir libros de geometra y empez a estudiarla el solo a los doce aos. Aunque parezca inverosmil, a esa edad descubri que la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180 grados. Cuando su padre descubri que su hijo estudiaba geometra a escondidas y adems que la disfrutaba tanto, le permiti leer los libros de Euclides y as Pascal comenz su formacin matemtica de una manera rigurosa. A los catorce aos asista con mucha frecuencia a las reuniones que organizaba un monje llamado Mersenne, quien invitaba a cientficos y filsofos a entablar discusiones y reflexiones en su celda. Fue ah donde Pascal conoci a matemticos de la talla de Fermat y Desargues de los que fue un excelente alumno. A los diecisis aos Pascal era ya uno de los miembros ms destacados de ese crculo de estudio. A la edad de 16 aos Pascal present slo un trozo de papel con escritos a las reuniones con Mersenne. Contena un nmero de teoremas de geometra proyectiva, incluyendo incluso el hexgono mstico de Pascal. Fue justamente en esas reuniones en las que present sus primeros descubrimientos sobre geometra descriptiva. A partir de entonces, Pascal empez a publicar varios tratados sobre matemticas entre ellos, uno de los ms importantes fue "Un ensayo sobre secciones cnicas" publicado en febrero de 1640. Pascal trabaj en las secciones cnicas y desarroll importantes teoremas en la geometra proyectiva. En su correspondencia con Fermat dej la creacin de la Teora de la Probabilidad. En 1642 Pascal termin de construir una mquina sumadora que haba diseado para ayudar a su padre quien entonces trabajaba como cobrador de impuestos. Este trabajo requera de mucho trabajo aritmtico y la mquina era de gran ayuda. La llamo "Pascalina" y hoy en da es considerada la primera mquina sumadora de la historia. Sus investigaciones en matemticas abarcaron muchas ramas de esta ciencia; estableci las leyes de la teora de la probabilidad, campo en el que apareci por primera vez el famoso "Tringulo de Pascal", y obtuvo resultados muy importantes en geometra, en clculo, y en lgebra. Pascal no se conform con ser un extraordinario matemtico, su sed de conocimiento lo llev, tambin, a estudiar fsica, ciencia en la que tambin destac. Sus estudios sobre hidrodinmica e hidrosttica lo llevaron a inventar la jeringa y la prensa hidrulica y a descubrir lo que hoy se conoce como "la Ley de la Presin de Pascal". Pascal fue un cientfico universal, su manera de estudiar, entender y describir la naturaleza sirvi de ejemplo a muchos otros cientficos que durante los siglos posteriores siguieron sus pasos. Su ms famoso trabajo en filosofa es Penses, una coleccin de pensamientos personales del sufrimiento humano y la fe en Dios. Si Dios no existe, uno no pierde nada al creer en l, mientras que si existe uno pierde todo por no creer. 21


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Su ltimo trabajo fue el cicloide, la curva trazada por un punto en la circunferencia de un rollo circular. Segn Pascal, tanto la razn como el corazn son dos formas igualmente vlidas de conocer, y tal vez el segundo es superior a la abstraccin racional, como lo expuesto al decir: Conocemos la verdad no slo con la razn, sino tambin con el corazn y el corazn tiene sus razones que la razn no conoce. Ambos conducen igualmente a la verdad, aunque con lgica y mecanismos diferentes, y la certeza, evidencia y firmeza de los resultados es la misma. Por medio del corazn se alcanza la realidad en su singularidad y se llega al mimo Dios, el cual se manifiesta al hombre en su totalidad a travs del corazn. A esta manifestacin y captacin de Dios por medio del corazn Pascal la denomina fe, principio necesario para poder vivir como hombres y llegar a la divinidad. Mediante esta fe y este conocimiento por sentimiento no se opera slo con una parte del hombre, como ocurre con el conocimiento abstracto y racional, sino que es toda la persona la que se pone en juego para alcanzar la verdad. Ahora bien, la fe en Dios, la captacin de ese Dios que es lo ms importante para la vida del hombre, no se concede gratuitamente y sin esfuerzo, ya que es preciso buscarlo con ahnco. Esta bsqueda se lleva a cabo partiendo del reconocimiento de la grandeza y miseria del hombre, el cual se halla entre el infinito y la nada. El punto de partida, por lo tanto, consiste en reconocer los lmites en que se encuentra sumido el hombre. Tal reconocimiento es siempre doloroso y constituye una prueba de ello la "diversin" por la cual el hombre se entrega a una extroversin o diversin, para huir de s mismo, de la felicidad y de Dios. Tiene que volver por s mismo, reconocer sus propias limitaciones, buscar sinceramente a Dios y aceptar las razones del corazn que le ponen en contacto con l. Blaise Pascal muri el 19 de agosto de 1662 en Pars. Tena tan slo 39 aos y muri con intensos dolores producidos por un tumor maligno en el estmago que se le propag hasta el cerebro.

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