Probabilidades y Estadística I

TEMA 5

Variables aleatorias unidimensionales

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.

Probabilidades y Estadística I

1. Variable aleatoria. Concepto (1/6)

OBJETIVOS

Describir los resultados de un experimento aleatorio en formade una variable real

X ∈R

Describir la incertidumbre asociada mediante una función realque describa las probabilidades subyacentes (modelos de probabilidad)

•

•

Probabilidades y Estadística I

1. Variable aleatoria. Concepto (2/6)

EJEMPLO

S=(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (1,3), (2,2), (4,1), (1,4), (2,3),(3,2), (1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3),(3,4), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (3,6), (6,3),(4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)

Experimento aleatorio: lanzar dos dados

Espacio muestral

Variable aleatoria: suma de las puntuaciones (X)

Probabilidades y Estadística I

1. Variable aleatoria. Concepto (3/6)

DEFINICIÓN

:X Ω→R

i is x→

P[X-1(xi)] vendrá representado por P[X=xi]

(Ω, ℘(Ω), P)

RELACIÓN ENTRE NOTACIÓN CONJUNTISTA Y DE VARIABLE ALEATORIA

Probabilidades y Estadística I

1. Variable aleatoria. Concepto (4/6)

DEFINICIÓN

:X Ω→R

(1,1) 2 →(1, 2) 3 →(2,1) 3 →

P[X=3]= P[X-1(3)]=P[(1,2),(2,1)]

Probabilidades y Estadística I

1. Variable aleatoria. Concepto (5/6)

(Ω, ℘(Ω), P) Notación conjuntista

(X, p) Notación de AnálisisMatemático

(X, f) (X, F)

Probabilidades y Estadística I

1. Variable aleatoria. Concepto (6/6)

EJEMPLO

Resultados del experimento aleatorio (elementos de ℘(S))

Valor de la variable aleatoria X

Valor de la función de probabilidad, p(x)

(1,1) 2 p(2)=1/36

(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36

(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36

(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36

(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36

(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36

(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36

(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36

(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36

(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36

(6,6) 12 p(12)=1/36

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.

Probabilidades y Estadística I

Variable aleatoria discreta

2. Tipos de variables aleatorias

Se denomina variable aleatoria discreta a aquella cuyo rango se puede poner en biyección con un subconjunto de los enteros, Z; es decir, se puede hablar de un valor de la variable y su siguiente.

Variable aleatoria continua

Se denomina variable aleatoria continua a aquella cuyo rango se puede poner en biyección con un subconjunto de Z; es decir, no se puede hablar de un valor de la variable y su siguiente.

(1/2)

Probabilidades y Estadística I

Variable aleatoria discreta

2. Tipos de variables aleatorias

Variable aleatoria continua

(2/2)

1 2, ,...., kx x x

[ , ],....,[ , ]i j k tx x x x

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variable aleatoria. Concepto

2. Tipos de variables aleatorias

3. Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias.

4. Medidas características de una variable aleatoria.

5. Desigualdad de Tchebychev.

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (1/13)

Variable aleatoria discreta

a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)

Probabilidades y Estadística I

Resultados del experimento aleatorio (elementos de ℘(S))

Valor de la variable aleatoria X

Valor de la función de probabilidad, p(x)

(1,1) 2 p(2)=1/36

(1,2), (2,1) 3 p(3)=2/36

(3,1), (1,3), (2,2) 4 p(4)=3/36

(4,1), (1,4), (2,3), (3,2) 5 p(5)=4/36

(1,5), (5,1), (4,2), (2,4), (3,3) 6 p(6)=5/36

(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) 7 p(7)=6/36

(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) 8 p(8)=5/36

(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) 9 p(9)=4/36

(4,6), (6,4), (5,5) 10 p(10)=3/36

(5,6), (6,5) 11 p(11)=2/36

(6,6) 12 p(12)=1/36

3. Distribuciones de variables aleatorias (2/13)

a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)

Variable aleatoria discreta

EJEMPLO

Probabilidades y Estadística I

X2 3 4 5 6 7

1/36

2/36

3/36

4/365/366/36

8 9 10 11 12

p(x)

p(x) =

6 -7- x

36x = 2,...,12

0 en el resto

3. Distribuciones de variables aleatorias (3/13)

a) Representación diferencial: función de probabilidad, p(x)

Variable aleatoria discreta

EJEMPLO

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (4/13)

Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x) (escalonada)

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (5/13)

Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x)

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

PROPIEDADES

Probabilidades y Estadística I

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (6/13)

Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x) GRÁFICA

si 0 0.25

0.75 si 0 1

( ) si 1 2

si1

0

2

xx

F xx

x

< ≤ <= ≤ < ≥

Probabilidades y Estadística I

X2 3 4 5 6 7

1/36

2/36

3/36

4/365/366/36

8 9 10 11 12

p(x)

p(x) =

6 -7- x

36x = 2,...,12

0 en el resto

Probabilidades y Estadística I

3. Distribuciones de variables aleatorias (7/13)

Variable aleatoria discreta

b) Representación integral: función de distribución, F(x) EJEMPLO

X2 3 4 5 6 7

1/36

3/36

6/36

10/3615/3621/36

8 9 10 11 12

26/3630/3633/3635/36

1F(x)