Temes CLAU _ Càlcul d'Una Variable

Aquesta obra compta amb el suport de la Generalitat de Catalunya

En collaboraci amb el Servei de Llenges i Terminologia de la UPC

Disseny de la coberta: Ernest CastelltortDisseny de collecci: Tono CristfolMaquetaci: Merc Aicart

Primera edici: mar de 2009

Els autors, 2009

Edicions UPC, 2009 Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 1-3, 08034 Barcelona Tel.: 934 137 540 Fax: 934 137 541 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected] ISBN: 978-84-9880-356-3

Qualsevol forma de reproducci, distribuci, comunicaci pblica o transformaci daquesta obra noms es pot fer amb lautoritzaci dels seus titulars, llevat de lexcepci prevista a la llei. Si necessiteu fotocopi-ar o escanejar algun fragment daquesta obra, us he dadrear al Centre Espanyol de Drets Reprogrfics (CEDRO), .

Page (PS/TeX): 1 / 5, COMPOSITE

Index

Introduccio 9

1 Els nombres1 01.1 Diferents classes de nombres 111 01.2 Els nombres reals 121 01.2 Representacio dels nombres sobre una recta 121 01.2 Propietat de densitat de Q i R\Q en R 121 01.2 Ordenacio dels nombres reals 131 01.2 Intervals i semirectes 131 01.2 Inequacions 141 01.2 Suprem, nfim, ma`xim i mnim 151 01.2 Expressio decimal dels nombres reals 161 01.2 Valor absolut i dista`ncia 161 01.3 Els nombres complexos 181 01.2 Operacions amb complexos en forma bino`mica 201 01.2 Representacio gra`fica 201 01.2 Mo`dul i argument. Diferents maneres dexpressar un nombre complex 211 01.2 Operacions amb complexos en forma polar 241 01.2 Producte i quocient 241 01.2 Potenciacio. Formula de De Moivre 251 01.2 Radicacio 261 01.2 Arrels ene`simes i polgons 271 01.2 Descomposicio dun polinomi en factors primers 28Problemes resolts 30Problemes proposats 35

2 Funcions1 02.1 Conceptes ba`sics 371 02.2 Les funcions elementals 411 02.2 Funcions polino`miques 411 02.2 Funcions racionals 421 02.2 Funcions exponencials 421 02.2 Funcions logartmiques 43

Index15 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009


1 02.2 Funcions trigonome`triques 441 02.2 Funcions hiperbo`liques 461 02.3 Operacions algebraiques amb funcions 481 02.4 Composicio 491 02.5 Funcio inversa 511 02.6 Esbos de gra`fiques de funcions a partir de funcions donades 551 02.7 Gra`fiques de corbes en coordenades polars 571 02.7 Rectes 601 02.7 Circumfere`ncies 611 02.7 Cargols 611 02.7 Lemniscates 621 02.7 Roses 64Problemes resolts 65Problemes proposats 71

3 Continutat1 03.1 Lmit duna funcio en un punt 751 03.1 Lmits infinits i lmits en linfinit 771 03.1 Operacions amb infinits 781 03.2 Continutat duna funcio 801 03.1 Discontinutat 811 03.1 Propietats locals de les funcions contnues 841 03.1 Propietats de la continutat global 84Problemes resolts 88Problemes proposats 91

4 Derivacio1 04.1 Definicio i interpretacio del concepte de derivada 931 04.1 Interpretacio fsica. El problema de la velocitat instanta`nia 941 04.1 Interpretacio geome`trica. El problema de la recta tangent 951 04.1 Derivades laterals 981 04.1 Idea gra`fica de la derivabilitat 1001 04.1 Aproximacio per la tangent 1011 04.1 Derivada com a coeficient de variacio o rao de canvi 1021 04.2 Angle dinterseccio entre corbes 1031 04.3 Derivabilitat i continutat 1051 04.4 Derivada i operacions algebraiques. Derivades dordre superior 1061 04.4 Propietats algebraiques de les funcions derivables 1061 04.4 Derivades dordre superior 1061 04.5 Regla de la cadena 1071 04.6 Derivada de la funcio inversa 1091 04.7 Derivades de les principals funcions elementals 1121 04.8 Derivacio implcita 1121 04.8 Aplicacio. Derivada logartmica 1141 04.8 Derivades dordre superior implcitament 1151 04.9 Teoremes del valor mitja` i aplicacions 1161 4.10 Extrems absoluts 1191 4.10 Extrems absoluts duna funcio contnua f en un interval tancat 119

61Ca`lcul duna variable Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009


1 4.10 Extrems absoluts duna funcio f (contnua o no) en un interval, semirecta... 1201 4.11 Regles de LHopital 1211 4.10 Aplicacio reiterada de la regla de LHopital 1231 4.10 Aplicacio a les indeterminacions 0 , , 00, 0 i 1 1241 4.12 La formula de Taylor. Aplicacions 1261 4.12 Aproximacio de funcions mitjancant polinomis 1261 4.12 Alguns desenvolupaments de Taylor 1301 4.12 Infinite`sims. Aplicacions 1321 4.13 Estudi local duna corba 135Problemes resolts 138Problemes proposats 143

5 Integracio1 05.1 La integral de Riemann. Propietats 1471 05.1 Construccio de la integral de Riemann 1471 05.1 Propietats de la integral 1501 05.2 Integracio i derivacio 1521 05.1 Funcio integral 1521 05.1 Teorema fonamental del ca`lcul 1541 05.1 Corollaris del teorema fonamental del ca`lcul 1561 05.3 Ca`lcul de primitives de funcions 1581 05.1 Integrals immediates usuals 1581 05.1 Integracio per descomposicio 1591 05.1 Integracio per canvi de variable 1591 05.1 Integracio per parts 1601 05.1 Integracio de funcions racionals 1611 05.1 Integracio de funcions trigonome`triques i hiperbo`liques 1661 05.1 Integrals irracionals senzilles 1701 05.4 Integrals impro`pies 1711 05.5 Aplicacions de la integral definida 1751 05.5 A`rees planes 1751 05.5 A`rees planes en coordenades cartesianes 1751 05.5 A`rees planes en coordenades polars 1771 05.5 Volums de revolucio 1781 05.5 Me`tode dels discos 1781 05.5 Me`tode de les capes o tubs 1801 05.5 Volums de seccio donada 182Problemes resolts 183Problemes proposats 188

6 Successions i se`ries1 06.1 Principi dinduccio matema`tica 1911 06.2 Successions de nombres reals 1931 06.2 Operacions amb successions 1941 06.2 Lmit duna successio 1951 06.2 Successions mono`tones 1991 06.2 Infinits i infinite`sims 2041 06.2 Altres criteris de converge`ncia per a successions 206

Index17 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009


1 06.3 Se`ries nume`riques reals 2071 06.3 Se`ries de termes no negatius. Criteris de converge`ncia 2111 06.3 Converge`ncia absoluta i condicional 2141 06.4 Se`ries nume`riques complexes 2151 06.5 Se`ries de pote`ncies reals 2161 06.5 Continutat i derivabilitat duna se`rie de pote`ncies 2191 06.5 Integrabilitat duna se`rie de pote`ncies 2201 06.5 Operacions amb se`ries de pote`ncies 2211 06.5 Se`rie de Taylor 2211 06.6 Se`ries de pote`ncies complexes 224Problemes resolts 225Problemes proposats 232

7 Conceptes previs1 07.1 Test inicial 2361 07.2 Polinomis i equacions 2381 07.2 Breu resum teo`ric 2381 07.2 Problemes resolts 2401 07.2 Problemes proposats 2431 07.3 Geometria elemental 2481 07.2 Breu resum teo`ric 2481 07.2 Problemes resolts 2501 07.2 Problemes proposats 2511 07.4 Trigonometria plana 2531 07.2 Breu resum teo`ric 2531 07.2 Problemes resolts 2551 07.2 Problemes proposats 2561 07.5 Geometria analtica plana 2581 07.2 Breu resum teo`ric 2581 07.2 Problemes resolts 2661 07.2 Problemes proposats 2691 07.6 Derivades i integrals 2711 07.2 Breu resum teo`ric 2711 07.2 Problemes resolts 2721 07.2 Problemes proposats 274

Solucions dels problemes 277

Bibliografia 299

Index alfabe`tic 301



1Introduccio

Per cursar qualsevol carrera denginyeria es necessari tenir uns bons fonaments en les disciplines cientfiquesba`siques, com es el ca`lcul. Aquest llibre, fruit de la nostra experie`ncia docent durant els darrers anys, pretenposar a labast de lestudiantat de les assignatures Ca`lcul I i Ca`lcul Infinitesimal I de lEscola Te`cnica SuperiordEnginyeries Industrial i Aerona`utica de Terrassa (ETSEIAT) un resum complet de la teoria que simparteix enambdues assignatures. Aquest resum teo`ric va acompanyat duna extensa col.leccio de problemes resolts,que creiem que pot ajudar la persona interessada a entendre millor i consolidar els conceptes teo`rics.Alhora, els problemes resolts es poden utilitzar com a model en el moment que lalumnat hagi de resoldrealtres problemes de forma auto`noma. Per afavorir aquest aprenentatge auto`nom, sha inclo`s un recull deproblemes per resoldre (amb les seves solucions respectives).

El llibre esta` dividit en vuit captols. Als sis primers, es tracten els temes cla`ssics dun curs de ca`lcul dunavariable. El primer esta` dedicat als nombres reals i complexos. El segon, als conceptes ba`sics de les funcionsduna variable real, com les operacions amb funcions o lesbos de la gra`fica duna funcio en coordenadespolars. Al tercer captol, sestudia el concepte de lmit duna funcio en un punt, la nocio de funcio contnua iles seves propietats. El captol quart esta` dedicat a la derivacio de funcions i les seves aplicacions. Al cinque`,sintrodueix la integral de Riemann per a funcions duna variable, es veuen me`todes per determinarprimitives i sestudien aplicacions de la integral al ca`lcul da`rees planes, de volums de cossos de revolucioi de volums de cossos de seccio donada. Al captol sise`, sestudien les successions i les se`ries, comencantpel principi dinduccio matema`tica i acabant amb les se`ries de pote`ncies, tant reals com complexes, queseran dutilitat en assignatures posteriors.

La mate`ria del captol sete`, que hem titulat Conceptes previs, no forma part, estrictament parlant, delprograma de les assignatures de ca`lcul que shan mencionat anteriorment. Tanmateix, ens ha semblatoportu incloure en aquest captol un breu resum de resultats teo`rics i pra`ctics que, suposadament, jahaurien dhaver estat explicats en assignatures pre`vies. Com que sovint aquesta suposicio no es del totcerta, es recorden les beceroles del ca`lcul. Per exemple, es repassen propietats dels polinomis o conceptesba`sics de geometria, com ara les formules per calcular a`rees dalgunes figures planes o volums de so`lidsregulars. Tambe hi ha un resum de trigonometria plana i de geometria analtica. Es recorda com esresolen equacions de diversos tipus (polino`miques, irracionals, trigonome`triques...) i es repassa el ca`lcul dederivades i el de primitives. Cal destacar que aquest captol comenca amb un test que serveix per mesurarels coneixements inicials de lalumne o lalumna. Daquesta manera, cada estudiant pot decidir en quinsaspectes ha daprofundir mes o menys. Finalment, el captol vuite` conte les solucions del test i de tots elsproblemes proposats al llarg del text. Tambe sha inclo`s un ndex alfabe`tic per facilitar la localitzacio delsconceptes.

Introduccio19 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009


Per acabar, volem agrair la col.laboracio dels companys i les companyes de la Seccio de Terrassa delDepartament de Matema`tica Aplicada II; alguns dells han aportat desinteressadament problemes que araformen part daquest recull; daltres han contribut amb els seus comentaris a configurar el material quefinalment shi ha inclo`s. Tambe volem donar les gra`cies a Edicions UPC, que sencarrega de ledicio i ladifusio daquest llibre.

Terrassa, marc de 2008

M. C. Leseduarte, M. D. Llongueras i A. Magana



1Els nombres

1.1 Diferents classes de nombres

Els primers nombres que vam cone`ixer, ja de petits, van ser els nombres naturals. Sorgeixen de la necessitatde comptar: N = {1,2,3,4, . . .}. Aquests, pero`, no son suficients per descriure moltes situacions quoti-dianes elementals, com ara una quantitat de diners que devem a algu, una temperatura sota zero... Desdun punt de vista estrictament matema`tic, la insuficie`ncia deN es manifesta en intentar resoldre lequaciox+b = a, que nomes te solucio en N si a es mes gran que b.

Per tal de resoldre aquest tipus de situacions i daltres de semblants, es construeix el conjunt dels nombresenters: Z = {. . . ,3,2,1,0,1,2,3, . . .}. Tanmateix, si volem repartir equitativament un litre de sucde taronja entre 3 persones, la quantitat exacta que correspon a cadascuna delles no es pot expressarmitjancant un nombre enter. Com abans, des dun punt de vista matema`tic, equacions del tipus q x = p(amb q = 0) no sempre tenen solucio en Z.Necessitem, doncs, un altre conjunt mes gran que Z, on les questions anteriors tinguin resposta. Aquest

conjunt es el dels nombres racionals: Q={

x = pq : p,q Z,q = 0}. Daquests quocients entre dos nom-

bres enters, en diem fraccions. Hi ha infinites fraccions que representen el mateix nombre racional; penseu,per exemple, en 12 ,

24 ,

36 ... Es diu que dues fraccions son equivalents si representen el mateix nombre racio-

nal. De totes les fraccions equivalents a una donada, sanomena fraccio irreductible aquella tal que el ma`ximcomu divisor (m.c.d.) del denominador i el numerador es 1 (es a dir, pq es irreductible si m.c.d.(p,q) = 1).

Observem que tots els nombres naturals son enters i que tots els enters son nombres racionals. Notemtambe que hem considerat el 0 com a nombre enter pero` no natural. Malauradament, tots aquests nombresson insuficients per mesurar exactament determinades longituds.

1

1x

Fig. 1.1 Diagonal

2

Per exemple, donat un triangle rectangle amb catetsduna unitat, quant fa exactament la hipotenusa? Sidesignem per x la hipotenusa i apliquem el teoremade Pita`gores (figura 1.1), tindrem x2 = 1+1, donx =

2. Pero` resulta que

2 no es racional. Com

ampliem ara el conjunt de nombres?

Els nombres111 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009


1.2 Els nombres reals

Els nombres reals constituiran el suport del nostre curs. En aquesta seccio, veurem com es representen iquines propietats tenen.

Representacio dels nombres sobre una recta

Considerem una recta i, en un punt arbitrari, hi col.loquem el numero 0 (aquest punt lanomenaremlorigen). A la dreta del 0, a una dista`ncia indeterminada que podem triar com vulguem, hi col.loquem elnumero 1, la unitat. Els altres nombres queden fixats sobre la recta: els naturals ordenats cap a la dreta del 0separats un del seguent per una unitat. Ana`logament, pero` cap a lesquerra, hi afegim els enters negatius.

Per dibuixar els racionals, dividim la unitat en parts iguals, tantes com indica el denominador, i nagafemles que indica el numerador partint del 0 i tenint en compte el signe. Entre dos racionals qualssevol, hi haun altre racional (sabreu dir-ne cap?). Amb tot aixo` queden a la recta molts forats, com ara,

2,,e...

Aquests forats representen els nombres irracionals i els designarem per R \Q. Finalment, la reunio detots els nombres que hem exposat constitueixen el conjunt dels nombres reals i els designarem per R. Lafigura 1.2 esbossa aquest conjunt. Tenim R= Q (R\Q).

1_2_3_

4_ 3/ 1 2/

0 1 2 3

e . . .. . .

origen unitat

Fig. 1.2 Els nombres reals

Els irracionals es designenR\Q perque` representen el complementari deQ dinsR. Clarament, les relacionsdinclusio entre els conjunts nume`rics que hem descrit son

N Z Q RR\Q R

A cada nombre real, li correspon un unic punt de la recta i, a cada punt de la recta, li correspon un unicnombre real. Aix, la recta sanomena recta real. Daquesta manera, parlarem indistintament de nombres ide punts (figura 1.3).

Fig. 1.3 Equivale`ncia entre nombres reals i punts Fig. 1.4 Densitat dels racionals i els irracionals dins R

Propietat de densitat de Q i R\Q en REntre dos reals diferents qualssevol hi ha infinits racionals i tambe infinits irracionals. Per tant, no podemagafar cap segment de la recta real que estigui format nomes per racionals, o nomes per irracionals (comil.lustra la figura 1.4). Daixo`, sen diu propietat de densitat de Q i de R\Q en R.



Ordenacio dels nombres reals

0 ba

negatius positius

Fig. 1.5 Orientacio dels nombres reals

Els nombres situats a la dreta de lorigen son elspositius i els de lesquerra, els negatius (figura 1.5).Utilitzem els smbols ,= per establir la posi-cio relativa entre dos punts en la recta. Els podemcombinar i obtenim els nous smbols , .

Lexpressio a b significa que a es mes petit oigual que b, i, ana`logament, a b significa que aes mes gran o igual que b. Aleshores, son certes lesexpressions

5 < 7, 4 9, 7 7, 7 = 7, 6 > 2, 8 3, 1 1;

en canvi, son falses les expressions 7 < 7, 5 > 5, 3 5.A lhora de manipular expressions amb desigualtats, hem de tenir en compte les regles seguents.

Propietats de les desigualtats. Per a qualssevol nombres reals a,b,c, es compleix:

a < b i b < c = a < c. a < b = a+ c < b+ c i a c < b c. a < b i c < d = a+ c < b+d.

a < b ={

ac < bc si c > 0.ac > bc si c < 0.

En particular, a < b =b 1b > 0.

a < 0 < b = 1a

< 0 < 1b .

a < b < 0 = 0 > 1a

>1b .

Intervals i semirectes

Els intervals i les semirectes (o intervals no fitats) son subconjunts notables de R. Per comoditat, a lhora dedesignar-los (i per altres avantatges), introduirem els smbols + i . Conve insistir especialment en elfet que+ i no son nombres. Mes endavant tambe es fara` palesa la seva utilitat en lestudi dels lmits. Interval obert

(a,b) = {x R : a < x < b}ba



Interval tancat

[a,b] = {x R : a x b}ba

Intervals mixtos

[a,b) = {x R : a x < b}ba

(a,b] = {x R : a < x b}ba

Semirectes obertes

(a,+) = {x R : x > a}a

(,b) = {x R : x < b}b

Semirectes tancades

[a,+) = {x R : x a}a

(,b] = {x R : x b}b

Inequacions

Sanomena inequacio tota desigualtat algebraica en que` apareixen nombres iinco`gnites. El conjunt de nombres que compleixen la desigualtat sanomena so-lucio de la inequacio.

En el proces de resolucio de les inequacions, cal tenir en compte les propietats de les desigualtats.

Exemple 1.1

Resolem la inequacio2x1x+1

1. Es compleix que

2x1x+1

1 2x1x+1

1 0 x2x+1

0

Per tant, cal considerar els casos en que` el numerador sigui positiu o 0 i el denominador negatiu, o be queel numerador sigui negatiu o 0 i el denominador positiu:{

x2 0x+1 < 0 o be

{x2 0x+1 > 0

i aix, {x 2x 1

Finalment, el conjunt solucio es: x (1,2].



Suprem, nfim, ma`xim i mnim

Sovint ens interessara` situar un conjunt determinat dins la recta real, en el sentit de cone`ixer nombres queen limitin labast; per exemple, nombres que siguin mes grans o iguals que tots els elements del conjunt.

Definicio 1.2 Sigui A un conjunt de nombres reals. Un nombre k R es una fita superior de A, si x k, x A. Un nombre k R es una fita inferior de A, si x k, x A.

O`bviament, si k R es una fita superior (resp. inferior) de A, aleshores qualsevol nombre real mes gran(resp. petit) o igual que k tambe nes fita superior (resp. inferior).

Definicio 1.3 Sigui A un conjunt de nombres reals. Si A te alguna fita superior, sanomena conjunt fitat superiorment. Si A te alguna fita inferior, sanomena conjunt fitat inferiorment.Un conjunt fitat superior i inferiorment es diu conjunt fitat.

Exemples 1.4

Estudiem uns quants conjunts de nombres reals.

a) Els intervals [0,1] i (0,1) son conjunts fitats. En efecte, qualsevol nombre mes gran o igual que 1 nesfita superior, i qualsevol nombre negatiu o 0 nes fita inferior. Aix, el conjunt de les fites superiors es[1,+), i el de les fites inferiors, (,0].

b) El conjunt dels nombres naturals es fitat inferiorment, pero` no superiorment, en R. Es evident que1 n, n N. Per tant, l1 i qualsevol nombre real menor que 1 son fites inferiors de N. En canvi, noexisteix cap nombre real mes gran o igual que tots els nombres naturals a la vegada.

c) El conjunt dels nombres racionals no es fitat, ni superiorment ni inferiorment.

Definicio 1.5 Sigui A un conjunt de nombres reals. Si A es fitat superiorment, la mes petita de les fites superiors de A sanomena el suprem del conjunt Ai es designa per supA. Quan supA A, aquest nombre sanomena el ma`xim del conjunt A i sescriuma`xA.

Si A es fitat inferiorment, la mes gran de les fites inferiors de A sanomena lnfim del conjunt A ies designa per infA. En cas que infA A, aquest nombre sanomena el mnim del conjunt A i esdesigna per mnA.

Els conjunts fitats superiorment tenen suprem, pero` no sempre tenen ma`xim. El ma`xim dun conjunt, quanexisteix, es lelement mes gran del conjunt. Ana`logament, els conjunts fitats inferiorment tenen nfim; encanvi, lexiste`ncia del mnim depe`n de cada cas.



Exemples 1.6

Vegem-ne un parell dexemples concrets.

a) Considerem el conjunt A = (0,1]. El seu suprem es 1. Ate`s que 1 A, aquest suprem tambe es elma`xim. Aixo` significa que l1 es lelement mes gran de linterval (0,1]. Daltra banda, la fita inferior mesgran de A es 0; aleshores, infA = 0. En aquest cas, pero`, 0 / A; per tant, el conjunt A no te mnim.Intutivament, no hi ha cap nombre real dins linterval (0,1] que sigui el mes petit de tots dins el propiinterval.

b) El conjunt N no te suprem i, per tant, no te ma`xim perque` no es fitat superiorment. Com que N esfitat inferiorment, te nfim i val 1. A mes a mes, 1 N i, per tant, mnN= 1 (l1 es el nombre naturalmes petit).

Expressio decimal dels nombres reals

Els nombres reals admeten una representacio decimal de la forma a0 a1a2a3 . . . Aquesta representacio esfinita o infinita perio`dica (es a dir, es repeteix a partir dun lloc determinat) quan el nombre es racional, i esinfinita no perio`dica quan el nombre es irracional, com es el cas de o de e. Aqu teniu, per exemple, les100 primeres xifres decimals del numero :

=3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...

Lexpressio decimal dun nombre irracional es unica. Tanmateix, hi ha nombres racionals que admetendues expressions decimals diferents: son aquells que, a partir dun lloc determinat, tenen totes les xifresiguals a 9 o totes les xifres iguals a 0. Vegem-ne un exemple: el numero 123999... tambe es pot escriurecom 124000... Per comprovar que aquestes dues representacions decimals corresponen al mateix nombreracional, nhi ha prou a buscar-ne la fraccio generatriu, que es 31/25.

Valor absolut i dista`ncia

Definicio 1.7 El valor absolut dun nombre real x es

|x|={

x, si x 0.x, si x < 0.

Fig. 1.6 Funcio valor absolut

La funcio valor absolut te dues branques (figura1.6). Observem que

|x|= ma`x{x,x}.|x|=x2.



La nocio de valor absolut ens permet definir una dista`ncia molt intutiva sobre R. Geome`tricament, |x|representa la dista`ncia de x a 0, com podem veure a la figura 1.7.

Fig. 1.7 Valor absolut. Dista`ncia dun nombre real a lorigen

Ana`logament, per a tot x,y R, la dista`ncia entre x i y es

d(x,y) = |x y |= |y x |.

Propietats del valor absolut. Per a tot x,y R, es compleix: |x| 0, |x|= 0 x = 0. |x|= | x|.

Si c > 0, |x|< cc < x < c.Si c 0, |x| cc x c.Si c 0, |x| c xc o x c (figura 1.8).

|x| x |x|. |xy|= |x||y|. |x+ y| |x|+ |y| (desigualtat triangular). |x y| |x|+ |y|. |x y| ||x| |y||.

xy= |x||y| si y = 0.

|xn|= |x|n.

Fig. 1.8 Propietats del valor absolut



1.3 Els nombres complexos

Lequacio x2 + 1 = 0 no te cap solucio real ja que no es possible trobar cap nombre real tal que el seuquadrat sigui 1. En aquest cas, una solucio de lequacio anterior es un nombre imaginari, designat per i,tal que i2 =1 (laltra solucio sera`i). Repassem una mica la histo`ria. De fet, els nombres imaginaris sin-troduren en la matema`tica com una eina per resoldre equacions de tercer grau, no nomes de segon grau.

Situem-nos a Mila` al segle XVI, concretament a lany 1545. En la seva obra Ars Magna, Gerolamo Cardano(1501-1576) dona un me`tode per resoldre lequacio cubica mitjancant arrels. Ell parteix de lequacio cubica

ax3 +bx2 + cx = d.

Fent la substitucio x = y b3a i dividint per a, obte

y3 +[

3acb23a2

]

m

y =27a2d +9abc2b3

27a3 n

Es a dir,

y3 +my = n. (1.1)

Per resoldre lequacio (1.1), considera dues variables arbitra`ries, t i u, de manera que

y = tu.

Elevant al cub, obte

y3 = t33t2u+3tu2u3 = t33tu(tu)u3 = t33tuyu3

es a dir,

y3 +3tuy = t3u3. (1.2)

Com que t i u son arbitra`ries, comparant les equacions (1.1) i (1.2), considera ara{m = 3tun = t3u3

i aconsegueix lequacio t6 m327 nt3 = 0, que es una equacio de segon grau de la variable t3

(t3)2m(t3) m3

27= 0.

Per tant, utilitzant nomes larrel quadrada positiva, obte1

t =3

n

2+

n2

4+

m3

27i u =

3

n

2+

n2

4+

m3

27.

11 Substituint la t a n = t3u3 i allant la u.



Fent y = tu,

y =3

n

2+

n2

4+

m3

27 3n

2+

n2

4+

m3

27.

Finalment, substitueix m i n en funcio de a,b i c:

m =3acb2

3a2 i n =27ad +9abc2b3

27a3,

desfa` el canvi, x = y b3a , i determina la solucio x.

Apliquem, per exemple, el proces anterior a lequacio 2x3 30x2 + 162x = 350. En aquest cas, el canviens dona y3 +6y20 = 0 i tenim2

y =3

10+

108 310+

108 = 2, es a dir, x = 7.

I, per a x315x = 4, resulta

x =3

2+121 3

2+121.

Que` significa121 ? Sembla fa`cil dir que lequacio anterior no te solucio, pero` a simple vista es comprova

que x = 4 nes una.

Davant daquesta situacio, Cardano abandona` la recerca. Posteriorment, Rafael Bombelli (1526-1573)decid treballar amb les arrels quadrades de nombres negatius aplicant les mateixes regles que sapliquenals nombres reals. Sobserva que

(2+1)3 = 2+111 = 2+121

Ana`logament,

(2+1)3 =2+121

I llavors, Bombelli va arribar a la solucio

x =3

2+121 3

2+121 = (2+1) (2+1) = 4.

Definicio 1.8 Anomenem nombre complex, de part real a i part imagina`ria b, una expressio de laforma

z = a+bi, on a,b R amb i2 =1 .

Designem per C el conjunt dels nombres complexos.

12 No es immediat comprovar que, efectivament, aquesta expressio es 2; cal elevar al cub la igualtat dues vegades.



Dos nombres complexos son iguals si i nomes si tenen la mateixa part real i la mateixa part imagina`ria. Sia tot nombre real a li associem el complex a+0 i, aleshores podem dir que el conjunt dels nombres realsesta` contingut dins el conjunt dels nombres complexos:

N Z Q R C .

Operacions amb complexos en forma bino`mica

Amb els nombres complexos, tambe es poden fer les operacions aritme`tiques usuals. La suma i el productede nombres complexos es defineixen de manera que respectin la suma i el producte dels nombres reals.

Definicio 1.9 Donats els nombres complexos z1 = a+bi i z2 = c+d i, definim la suma: z1 + z2 = (a+bi)+(c+d i) = a+ c+(b+d) i el producte: z1 z2 = (a+bi) (c+d i) = acbd +(ad +bc) i el quocient, si el denominador no es nul:

z1z2

=a+bic+d i =

(a+bi)(cd i)(c+d i)(cd i) =

ac+bdc2 +d2 +

bcadc2 +d2 i

si z2 = 0, es a dir, si c2 +d2 = 0.

Representacio gra`fica

Podem establir una relacio bijectiva (un a un) entre els nombres complexos i els punts del pla queanomenarem pla complex ana`loga a la corresponde`ncia entre els punts duna recta i els nombres reals.Leix dabscisses es diu eix real, ja que correspon als nombres reals, i leix dordenades es leix imaginari.

(x, y)

0 x

y

Fig. 1.9 Representacio dun complex

Nhi ha prou a interpretar el nombre complex x+y icom un parell ordenat de nombres reals (x,y):

x+ y i (x,y)

Tambe representem un nombre complex com unvector dirigit des de lorigen fins al punt (x,y) (figu-ra 1.9). Lextrem (x,y) sanomena afix del complex.

Aquest enfocament permet aplicar als nombres complexos les mateixes lleis que sapliquen a les quantitatsvectorials utilitzades en la fsica i en la meca`nica: forces, velocitats, acceleracions... Per exemple, la sumade complexos es pot obtenir geome`tricament amb la regla del paral.lelogram.

Sigui z = x+ y i, aleshores

z = x y i sanomena conjugat de z. z =x y i sanomena oposat de z.



_z

zcomplex

conjugatoposat

x

_y

y_x

z

Fig. 1.10 Conjugat i oposat dun complex

La representacio gra`fica es molt aclaridora (figu-ra 1.10).

Propietats de la conjugacio. Per a tot z,w C, es compleix z+w = z+w.

z w = z w. z = z.

z = z z R. z =z z es imaginari pur.

Re(z) =z+ z

2, Im(z) =

z z2

.

Mo`dul i argument. Diferents maneres dexpressar un nombre complex

Definicio 1.10 Donat el nombre complex z = x+ y i, anomenem mo`dul de z la longitud del vectorassociat i el designem per |z|, es a dir,

|z|=

x2 + y2 =

z z.

Si z = 0, langle , format per la direccio positiva de leix real i el vector OZ (mesurat en sentit positiu,es a dir, en sentit contrari al de les agulles del rellotge) sanomena argument de z.

Fig. 1.11 Mo`dul i argument dun complex

Geome`tricament, |z| representa la dista`ncia de la-fix (x,y) a lorigen, o la longitud del vector corres-ponent. Quan y = 0, el mo`dul es redueix al valorabsolut dels nombres reals.

Notem que no es unic, ja que + 2, + 3, 2... tambe son va`lids per representar-ne lar-gument. En endavant, considerarem [0,2)com a determinacio principal de largument (figura1.11).



A partir del gra`fic anterior, observem que, si z = 0, aleshores

cos=x

|z| , sin=y|z| .

Llavors, escrivim z = x+ y i = |z|(cos+ i sin) , expressio anomenada forma trigonome`trica de z. Defet, tot nombre complex z es pot expressar en les formes:

bino`mica z = x+ y icartesiana z = (x,y)trigonome`trica z = |z|(cos+ i sin)polar z = |z|exponencial z = |z|ei

El pas de forma cartesiana a forma polar (x,y) (|z|,) ve donat per les relacions seguents:

el mo`dul es |z|=+x2 + y2i largument,

=

{arctg y

xsi x > 0.

arctg yx+ si x < 0.

=

{2 si y > 0

32 si y < 0

quan x = 0, y = 0.

Aquests ultims nombres, els que corresponen a x = 0, y = 0, estan situats sobre leix imaginari. Podemveurels a la figura 1.12.

Fig. 1.12 Nombres complexos imaginaris purs, a leix imaginari

Es convenient representar gra`ficament el nombre complex per determinar-ne largument amb facilitat.

El pas de forma polar a forma cartesiana (|z|,) (x,y) es immediat

x = |z|cos, y = |z|sin.



Propietats del mo`dul dun nombre complex. Per a tot z,w C, es compleix |z| 0, |z|= 0 z = 0. |zw|= |z||w|. |z+w| |z|+ |w| (desigualtat triangular). |z|= |z|= | z|= | z|. |Rez| |z|, |Imz| |z|. |z|=z z. z z = |z|2.

1z=

z

|z|2 , si z = 0.

z

|z| te mo`dul1.

Exemples 1.11

a) Donat z =2+2 i, expressat en forma bino`mica, passem-lo a forma polar.Cal determinar-ne el mo`dul i largument. Clarament, el mo`dul es 2 i largument = arctg (1)+=34 ; per tant

z = 2(

cos34

+ i sin 34

)= 2 3

4.

b) Donat el nombre z =( 1

2

)56, en forma polar, escrivim-lo en forma bino`mica.

Directament, tenim

z =(

12

)56

=12

(cos

56 + i sin

56

)=

12

(

32

+12

i

)=

3

4+

14

i .

El concepte de mo`dul ens permet definir una dista`ncia en C. Per a tot z,w C, la dista`ncia entre z i wes d(z,w) = |zw|= |w z|. En particular, si z,w R, la dista`ncia entre ells coincideix amb la dista`nciaentre nombres reals.

Exemples 1.12

a) Els complexos que satisfan |z2|= 3 es troben situats a dista`ncia 3 del numero z = 2. Per tant, formenla circumfere`ncia de centre z = 2 i radi 3.

b) El conjunt {z C : |z| 1} es el disc unitat, es a dir, els nombres del pla complex que disten de lorigenuna unitat o menys.



Val a dir que el conjunt dels nombres complexos no admet una ordenacio recordem que R s que esordenat; nomes podem ordenar els mo`duls dels complexos (perque` son nombres reals).

Operacions amb complexos en forma polar

Hem vist com sumar, restar, multiplicar i dividir nombres complexos en forma bino`mica. Ate`s que es senzill,sovint es mes convenient fer el producte i el quocient en forma polar.

Producte i quocient

Considerem els complexos z = |z| i w = |w| en forma polar. Aleshoresz = |z|(cos+ i sin), w = |w|(cos+ i sin) .

El producte dels complexos es

z w = (|z|(cos+ i sin)) (|w|(cos+ i sin))= . . . = |z| |w|(cos(+)+ i sin(+))per tant,

z w = (|z| |w|)+ .

Es a dir, el mo`dul del producte es el producte dels mo`duls i largument del producte es la sumadarguments.

Si w = 0, el quocient dels complexos esz

w=|z|(cos+ i sin)|w|(cos+ i sin) = . . . (multiplicant i dividint pel conjugat)

=|z||w| [cos()+ i sin()]

per tant,

z

w=( |z||w|

)

sempre que w = 0 .

Es a dir, el mo`dul del quocient es el quocient dels mo`duls i largument del quocient es la difere`nciadarguments.

Exemple 1.13

Donats els nombres complexos z =

22 i i z = 12

32 i calculem en forma polar el producte

z z i el quocient zz

.

Un esquema gra`fic ens ajuda a no equivocar-nos a lhora de determinar largument. Observem que z estroba al quart quadrant i z al tercer (figura 1.13). Aix,



z

21

z

z z

z/z

Fig. 1.13 Operacions amb complexos

|z|=2+2 = 2; tg=

22

; =74

,

|z|=

14+

34= 1; tg=

3

2

12; = 43 .

Per tant, z = 2 74, z = 1 4

3. Obtenim, doncs,

z z = 2 741 4

3= 2 13

12,

z

z=

2 34

1 43

= 2 512

.

Potenciacio. Formula de De Moivre

Com a cas particular del producte, podem calcular les pote`ncies de complexos. Aix,

zn = (|z|)n = (|z|n)n , on n Z .

Aleshores, [|z|(cos+ i sin)]n = |z|n(cosn+ i sinn)En particular, si z te mo`dul 1, obtenim

(cos+ i sin)n = cosn+ i sinn

igualtat coneguda com a formula de De Moivre.

Exemple 1.14

Calculem i94.

Resoldrem lexercici de dues maneres.

a) La primera, expressant i en forma polar i determinant-ne la pote`ncia. Escrivim i = 0+ 1i; per tant,|i|=+1 = 1. Largument es, doncs, = 2 . Aleshores,

i94 =(1

2

)94 = 1 942= 147 =1 .

b) La segona, directament. Observem que

i1 = ii2 =1i3 = i2 i =ii4 = i3 i =i i = 1



(a partir daqu es repeteixen)

i5 = i4 i = ii6 = i5 i =1i7 = i6 i =ii8 = i7 i = 1...

Llavors, qualsevol pote`ncia de i es sempre i, 1, i o 1. Al nostre cas,

i94 = i234+2 = i234 i2 = 1 (1) =1 .

Radicacio

Definicio 1.15 Donats zC, z = 0 i nN, anomenem arrel ene`sima de z qualsevol nombre complexw tal que wn = z. Representarem per n

z totes les arrels ene`simes de z.

Cada complex z = 0 te n arrels ene`simes diferents. En efecte, suposem que w es una arrel ene`sima dez = |z|. Escrivim w = |w|. Aleshores, elevant larrel ene`sima a n, obtenim

wn = z = (|w|)n = |z| = (|w|n)n = |z|.Aquests complexos, per ser iguals, han de tenir el mateix mo`dul i els arguments han de coincidir, llevatdun multiple enter de 2 (es a dir, els arguments poden diferir en un nombre enter de voltes). Aixo` vol dirque

|w|n = |z|, n= +2k.

La primera equacio, |w|n = |z|, es una igualtat entre nombres reals; la solucio es |w| = n|z|. Es a dir, elmo`dul de les arrels es larrel ene`sima del mo`dul, com a unic nombre real positiu que ho satisfa`. Per tant,totes les arrels ene`simes de z tenen el mateix mo`dul.

Pel que fa a largument, n = + 2k implica que = +2kn

. Aquesta expressio pren exactament n

valors diferents entre [0,2) (que corresponen a n valors consecutius de k). Aleshores, obtenim n argumentsdiferents per a les arrels ene`simes de z, que son

= +2kn

=

n+

2kn

, k = 0,1,2, . . . ,n1.

Es clar que, per a k = n,n+1,n+2, . . . obtenim arguments equivalents als que ja tenim. Observem, doncs,que hi ha n arrels ene`simes de z diferents, totes situades sobre la circumfere`ncia de centre lorigen i radi

n|z|, i equiespaiades per un angle 2k

n. Resumint,

si z = |z|, aleshores nz =(

n|z|)

+2kn

, per a k = 0,1,2, . . . ,n1.



Exemple 1.16

Donat el nombre complex z =8+83 i, obtinguem 4z.Hem de ser conscients que calcularem un total de quatre nombres complexos diferents. En primer lloc,calculem el mo`dul de z, |z|= 64+64 3 = 16 . Despres largument, = arctg (3)= 23 . El mo`dulde les quatre arrels quartes es 4

16 = 2, ja que 2 es lunic real positiu a tal que a4 = 16. Els arguments de

les arrels quartes son

23 +2k

4=

16 +

2k, k = 0,1,2,3.

Aix, doncs, les arrels quartes son: k = 0 w0 = 2 6 = 2(cos 6 + i sin 6 ) =

3+ i

k = 1 w1 = 2 23 = 2(cos23 + i sin

23 ) =1+

3 i

k = 2 w2 = 2 76 = 2(cos76 + i sin

76 ) =

3 i

k = 3 w3 = 2 106 = 2(cos10

6 + i sin10

6 ) =1

3 i .

0x

y

2

w0

w3

w2

w1

/2

/6

Fig. 1.14 Les 4 arrels quartes

Gra`ficament, tenim les quatre arrels w0, w1, w2 i w3sobre la circumfere`ncia de centre lorigen i radi 2(el seu mo`dul). Les arrels son equiespaiades per unangle de /2 radiants, es a dir, la quarta part de lacircumfere`ncia sencera (figura 1.14).

Arrels ene`simes i polgons

Els afixos de les arrels ene`simes dun nombre com-plex z = 0 son els ve`rtexs dun polgon regular inscriten la circumfere`ncia de centre lorigen i radi n

|z|.Les figures 1.15 i 1.16 il.lustren aquesta propietat.

x

y

0x

y

02/3

/2

Fig. 1.15 Arrels terceres i quartes



x

y

0x

y

0

2/5/3

Fig. 1.16 Arrels cinquenes i sisenes

Descomposicio dun polinomi en factors primers

En aquesta seccio, utilitzem el teorema fonamental de la`lgebra per descompondre els polinomis en factorsprimers.

Recordem que un numero es una arrel dun polinomi P(z) si es solucio de lequacio P(z) = 0, es a dir, sicompleix P() = 0.

Teorema 1.17 Teorema fonamental de la`lgebra. Tot polinomi de grau n 1 amb coeficientscomplexos, P(z) = a0 +a1z+a2z2 + . . .+anzn, an = 0 , te alguna arrel en C.

Considerem Pn(z) un polinomi de grau n. Pel teorema fonamental de la`lgebra, existeix 1, una arrel dePn(z); aleshores, podem descompondrel com:

Pn(z) = a0 +a1z+a2z2 + . . .+anzn = (z 1)Pn1(z),

on Pn1(z) es un polinomi de grau n 1. Si ara apliquem de nou el teorema fonamental de la`lgebra alpolinomi Pn1(z), trobem una altra arrel 2 i, per tant, podem escriure

P(z) = (x 1)(x 2) Pn2(z).

Repetint el proces n vegades, arribarem finalment al resultat seguent.

Corollari 1.18 Una altra versio del teorema fonamental de la`lgebra. Sigui Pn(z) un polinomide grau n 1. Aleshores

P(z) = an(z 1)(z 2) . . .(z n),

on 1,2, . . . ,n son les n arrels del polinomi P(z) i an es el coeficient de zn.

Les arrels 1,2, . . . ,n no han de ser necessa`riament diferents. Una arrel que apareix mes duna vegadasanomena multiple i les que ho fan nomes un cop, simples.



Observacio 1.19 Els polinomis irreductibles o primers en C son de grau 1, mentre que en R son els degrau 1 i els de grau 2 que no tenen arrels reals.

Per exemple, donat el polinomi P(z) = 3(z 1)2(z+ 2i)(z 2i)(z+ 4)3 (que ja esta` descompost enfactors), tenim

1 es una arrel multiple amb multiplicitat 2 (o doble),2i es una arrel simple (o be amb multiplicitat 1),2i es una arrel simple,4 es una arrel multiple amb multiplicitat 3 (o triple).

Es fa`cil comprovar la propietat seguent:

Si un polinomi amb coeficients reals te una arrel complexa = a+bi amb mul-tiplicitat s, aleshores el numero = a bi tambe es arrel del polinomi i te lamateixa multiplicitat.

Es a dir, les arrels complexes apareixen a parells. Aquesta propietat no es necessa`riament certa si elscoeficients del polinomi son complexos, com ara

P(z) = z2 (2+3i)z5+ i = (z (i1))(z (3i+3)).Exemple 1.20

Donat el polinomi P(z) = z41, en determinema) les arrels,

b) la descomposicio en factors primers amb coeficients complexos,

c) la descomposicio en factors primers amb coeficients reals.

En primer lloc, observem que es tracta dun polinomi amb coeficients reals.

a) Les arrels del nostre polinomi son les arrels quartes del complex 1, es a dir, z = 4

1 = 4

10. Calculantaquestes arrels quartes, obtenim els quatre complexos 1 k

2, per a k = 0,1,2,3, que son 1, i,1,i .

b) La descomposicio en factors primers o irreductibles a coeficients complexos es, doncs,

z41 = (z1)(z+1)(z i)(z+ i).

Nhi ha quatre polinomis irreductibles en C, tots de grau 1, es clar.c) La descomposicio en factors primers o irreductibles amb coeficients reals sobte a partir de la

descomposicio en C: z41 = (z1)(z+1)(z i)(z+ i) ()

, i queda

z41 = (z1)(z+1)(z2 +1).



Aqu tenim tres polinomis irreductibles en R, dos de grau 1 i un de grau 2. Fixem-nos que a lexpressio() consten dues arrels conjugades: i, i; per tant, el producte () es una expressio amb coeficientsreals.

Problemes resolts

Problema 1

Resoleu les inequacions seguents:

a) x25x+4 0 b) x2 > 49 c) x+42x1 0

[Solucio]

a) Tenim que x25x+4 = 0 x1 = 1,x2 = 4. Observem, daltra banda, que la gra`fica de y = x25x+4 esuna para`bola convexa que talla leix dabscisses als punts x1 = 1 i x2 = 4 (la primera para`bola de la figura 1.17).Per tant,

x25x+4 0 x [1,4].

b) Observem que x2 > 49 x249 > 0. A mes, x249 = 0 x1 =7 i x2 = 7. Daltra banda, la gra`ficade y = x249 correspon a una para`bola convexa que talla a leix dabscisses en x1 = 7 i x2 = 7 (el segondibuix de la figura 1.17).

41 7 7

Fig. 1.17 Interpretacions gra`fiques de les solucions

Finalment,

x249 > 0 x (,7) (7,+).

c) En aquest cas,

x+42x1 0 si

{x+4 02x1 > 0 x4 i x >

12(aixo` es impossible),

o be

x+42x1 0 si

{x+4 02x1 < 0 x4 i x 1.

[Solucio]

Resoldrem el problema de dues maneres. En primer lloc, observem que

x+21 x > 1

x+21 x 1 > 0

2x+11 x > 0.

Per tal que aquest quocient sigui positiu, el numerador i el denominador han de tenir el mateix signe, es a dir,

{2x+1 > 0 i 1 x > 0} o be {2x+1 < 0 i 1 x < 0} .

La solucio de la primera opcio es linterval( 12 ,1). Ate`s que no hi ha cap nombre que satisfaci la segona opcio, el

resultat es el conjunt( 12 ,1).

Una altra forma de resoldre lexercici es la seguent. Clarament x = 1; aleshores, podem estudiar els dos casos: x > 1 ix < 1.

Si x > 1, el denominador dex+21 x es negatiu, el numerador positiu i el quocient resulta, doncs, negatiu. En aquest

cas, la inequacio no te solucio perque` un nombre negatiu no pot ser mai mes gran que un de positiu.

Si x < 1, aleshores 1x > 0 i podem multiplicar les dues bandes de la desigualtat per 1x sense que canvi el sentitde la desigualtat. Daquesta forma, obtenim

x+2 > 1 x 2x >1 x >12

que, juntament amb la condicio x < 1, ens dona 12 < x < 1. Per tant, el conjunt solucio es linterval( 12 ,1) .

Problema 3

Resoleu la inequacio |x27x+8|< 2.[Solucio]

Per les propietats del valor absolut, la desigualtat es equivalent a2 < x27x+8 < 2. Aix obtenim dues inequacionsque shan de satisfer simulta`niament:

2 < x27x+8 i x27x+8 < 2.

2 5 1 6

Fig. 1.18 Solucions gra`fiques de les dues inequacions



Les ordenem i factoritzem, i es converteixen en

(x2)(x5) > 0 i (x1)(x6) < 0.

( )21 65

Fig. 1.19 Interseccio de les solucions parcials

La solucio de la primera inequacio es el conjunt (,2)(5,+) i la de la segona es linterval (1,6); el dibuix apa-reix a la figura 1.18. Finalment, la solucio de la inequacioinicial es el conjunt interseccio dels dos anteriors (figu-ra 1.19):[

(,2) (5,+)] (1,6) = (1,2) (5,6).Problema 4

Resoleu la inequacio |x3|+ |x+2| 10.[Solucio]

Observem que

|x3|={

x3 si x 3x+3 si x 3 i |x+2|=

{x+2 si x2

x2 si x2

Aix, ens conve distingir tres casos.

Cas 1: x2. Tenim

|x3|+ |x+2| 10 x+3 x2 10

2x9 x92 x

(,9

2

].

Cas 2: 2 < x < 3. Aqu

|x3|+ |x+2| 10 x+3+ x+2 10 5 10,

que es un absurd; aquest cas, doncs, no te solucio.

Cas 3: x 3. Tenim

|x3|+ |x+2| 10 x3+ x+2 10

2x 11 x 112

x [

112

,+)

.

Per tant, la solucio de la inequacio |x3|+ |x+2| 10 es el conjunt unio de les solucions dels tres casos:(,9

2

][

112

,+)

.



Problema 5

Sigui z un nombre complex de mo`dul 1. Calculeu el mo`dul de1+2izz2i .

[Solucio]

Considerem z = a+bi. Per hipo`tesi, |z|= 1. Aleshores, |z|2 = a2 +b2 = 1. Ara, tenint en compte que z1z2= |z1||z2| per

a tot z1,z2 C, z2 = 0, obtenim1+2izz2i= |1+2i(a+bi)||a+bi2i| = |12b+2ai||a+(b2)i|=

(12b)2 +4a2a2 +(b2)2 =

14b+4b2 +4a2a2 +b24b+4 .

Finalment, ate`s que a2 +b2 = 1, resulta 1+2izz2i=

54b54b = 1.

Notem que 54b = 0, ja que, si b fos 5/4, aleshores a2 +b2 > 1.

Problema 6

Calculeu la suma100

n=1

in. Expresseu-ne el resultat de forma bino`mica.

[Solucio]

Sabem que i1 = i, i2 =1, i3 =i, i4 = 1 i que les pote`ncies successives de i es tornen a repetir. Es clar, doncs, quela suma de cada grup de quatre sumands seguits dona zero. A la suma proposada hi ha exactament vint-i-cinc grups

de quatre sumands que sanul.len. Per tant,100

n=1

in = 0.

Problema 7

Quins nombres complexos satisfan lequacio z5 +

3 i =1?[Solucio]

Lequacio donada es equivalent a z5 =13i . Per tant, z= 513i. Les solucions son les cinc arrels cinquenes

de 13i. El mo`dul daquest nombre complex es 2 i largument val = arctg3 = 43 , ja que esta` situat altercer quadrant. Aix,

z = 5

2 43.

Obtenim el mo`dul de les arrels: |z|= 52, i els arguments:

k =415 +

2k5 per a k = 0, . . . ,4.



Les cinc solucions son

z0 =5

2 415

, z1 =5

2 1015

, z2 =5

2 1615

, z3 =5

2 2215

, z4 =5

2 2815

.

Problema 8

Una arrel quarta dun nombre complex z val

24 + i

2

4 . Trobeu aquest nombre complex i les altres tres arrelsquartes.

[Solucio]

De lenunciat es dedueix que z =(

24 + i

2

4

)4. En forma polar, sera` z =

(12 4

)4= 116 . Per tant, el nombre z es 116 .

Per trobar-ne les altres tres arrels quartes, nomes hem de calcular 4 116 = 4

1

16 . El mo`dul de totes les arrels quartes

val 4

116 =

12 . Els arguments es determinen a partir de la relacio

k =+2k

4per a k = 0,1,2 i 3.

Les arrels quartes son, doncs,

12 4

=

24

+

24

i,12 34

=

24

+

24

i,12 54

=

24

24

i,12 74

=

24

24

i.

Problema 9

Calculeu totes les solucions de lequacio z6 = (z1)6.[Solucio]

Lequacio proposada es equivalent a z6(z1)6 = 0. Podem descompondre aquesta expressio en suma per difere`ncia:[z3 +(z1)3

][z3 (z1)3

]= 0.

Desenvolupant els cubs i simplificant lexpressio, obtenim lequacio polino`mica de grau 5

(2z33z2 +3z1)(3z23z+1) = 0.

Les arrels del polinomi de segon grau son

z1 =3+

3i

6 i z2 =33i

6 .

El polinomi de tercer grau te almenys una arrel real. Aquesta arrel no es entera ja que els unics divisors de1 (el termeindependent) son 1 i1 i cap dells no es arrel del polinomi. Assagem les possibles arrels racionals (terme independentdividit pel coeficient que acompanya la indeterminada de grau ma`xim): 12 . Efectivament, z3 =

12 nes una solucio. Ara,

aplicant la regla de Ruffini, obtenim

2z33z2 +3z1 =(

z 12

)(2z22z+2) .



Les solucions daquest darrer polinomi de segon grau son

z4 =1+

3i

2i z5 =

13i2

.

Per tant, lequacio del comencament te exactament cinc solucions, una de les quals es real:

33i6 ,

13i2

i12.

Problema 10

Determineu el valor de q R+ de manera que les solucions de lequacio

z(z+4)(z2 +4z+4+4q2) = 0

formin un quadrat en el pla complex. Calculeu-ne la`rea.

[Solucio]

2+2qi

22qi

24 0

Fig. 1.20 El quadrat format per les solucions

Es clar que dues de les solucions son z = 0 i z =4. Pertrobar-ne les altres dues, resolem lequacio de segon grauz2 +4z+4+4q2 = 0:

z =416q2

2=22qi.

Si volem que els afixos dels quatre nombres complexos0,4,2+2qi,2+2qi formin un quadrat com a lafigura 1.20, la dista`ncia entre 2+ 2qi i 2 2qi(la diagonal vertical del quadrat) ha de ser 4 (com laltradiagonal, lhoritzontal). Per tant, 4|q|= 4, don q =1.Aleshores q = 1 ja que lenunciat demana q positiva.

Per acabar, tenint en compte novament que les diagonalsdel quadrat valen 4, aquest te a`rea 8.

Problemes proposats

Problema 1

Resoleu les inequacions seguents:

a) (x+2)(x3) > 0b) 9x23x+2 0c) 5x2 +2x+1 < 0

d) x39x2 +11x+21 < 0



Problema 2

Calculeu els nombres reals x que compleixen aquestes inequacions:

a)x1x+1

3

b)1x+

11 x > 0

Problema 3

Determineu els conjunts de punts que satisfan les desigualtats seguents:

a) |x25x+5| 1b) |x+4|< |x|

Problema 4

Esbrineu els valors de R de manera que les arrels de lequacio x2 +x+ 54 = 0 siguin reals.

Problema 5

Trobeu els nombres complexos de mo`dul 1 que satisfan la igualtat |z1|= |z i|.

Problema 6

Sigui el polinomi P(z) = z4 +4z2 +16.

a) Calculeu la suma i el producte de les arrels de P(z).b) Descomponeu P(z) en factors primers amb coeficients reals.

Problema 7

Proveu que, si z es un complex amb mo`dul 1, aleshores1z= z.

Problema 8

Descomponeu en producte de factors primers el polinomi 4z2 +4iz i3.

Problema 9

Quins son els nombres complexos que satisfan |z1|= 2?



2Funcions

2.1 Conceptes ba`sics

En aquest captol, estudiarem les funcions reals duna variable real.

Una funcio expressa la idea que una quantitat depe`n o esta` determinada per una altra o altres. Perexemple, la longitud duna circumfere`ncia depe`n de la longitud del seu radi, el volum dun cilindre depe`nde la longitud del radi de la base i de laltura, el cost de produir un article determinat depe`n del nombredarticles produts, de la ma` dobra...

Definicio 2.1 Una funcio dels nombres reals als nombres reals es una relacio que fa correspondre acada nombre real (dun conjunt determinat anomenat domini) un altre nombre real, duna maneraunica. Tambe sanomena funcio real de variable real.

Usualment, per expressar simbo`licament aquesta relacio es fa servir la notacio seguent:

f : D R Rx y = f (x)

La f representa la relacio de depende`ncia que existeix entre la x i la y, D es el domini de la funcio, i el fetdescriure y = f (x) vol dir que hi ha una forma explcita (una formula) que permet calcular la y a partir de lax. Diem que x es la variable independent, i y la variable dependent. Evidentment, les lletres per representarles variables poden ser unes altres.

Quan no sespecifica el domini duna funcio, senten que aquest es el conjunt de R mes gran possible. Ennotacio abreujada:

Dom( f ) = {x R | y R : y = f (x)}.De vegades, tambe es interessant cone`ixer el conjunt imatge, recorregut o rang de la funcio. Aquest esta`format per tots els nombres reals que sobtenen en aplicar la funcio a tots els nombres del seu domini. Ennotacio abreujada:

Im( f ) = {y R | x R : y = f (x)}.

Funcions137 Els autors, 2009. Edicions UPC, 2009


Exemple 2.2

Considerem la funcio f (x) = x2 (o, simplement, y = x2). Es clar que el seu domini es tot R, ate`s quequalsevol nombre real es pot elevar al quadrat. Tanmateix, la seva imatge es el conjunt dels nombres realsmes grans o iguals que 0.

Prenent un sistema de refere`ncia cartesia` (es a dir, una recta horitzontal i una altra de vertical que es tallenen un punt distingit, que anomenarem lorigen de coordenades), es possible representar gra`ficament unafuncio donada explcitament. A leix horitzontal (o eix dabscisses), hi posarem les x, i a leix vertical (o eixdordenades) les y. Aleshores, la gra`fica duna funcio y = f (x) esta` formada per les parelles de punts (x,y)de R2 tals que y = f (x), essent x un nombre del domini de f .

Exemple 2.3

A la figura 2.1 veiem, a lesquerra, un esbos de la gra`fica de la funcio y = x2 i a la dreta, un de la funcioy = [x] (anomenada part entera de x).

y

x(0,0)

x

0_1 1 3 42

_2_3

1

2

3

_1

_2

_3

y

part entera

y = x2

Fig. 2.1 Les funcions y = x2 i y = [x]

Atenent el comportament de la funcio, aquesta pot rebre diversos qualificatius.

Definicio 2.4 Diem que una funcio y = f (x) amb domini D es: Parella si f (x) = f (x), per a tot x D. Imparella o senar si f (x) = f (x), per a tot x D. Perio`dica si f (x) = f (x+ kT ), T R, k Z (T es el perode de f ). Creixent en A D si, per a tot x1,x2 A, amb x1 < x2, es te f (x1) f (x2).Estrictament creixent en A D si la desigualtat anterior es estricta.

Decreixent en A D si, per a tot x1,x2 A, amb x1 < x2, es te f (x1) f (x2).Estrictament decreixent en A D si la desigualtat anterior es estricta.

Mono`tona en A si es creixent o decreixent en A.

Estrictament mono`tona en A si es estrictament creixent o decreixent en A.



Exemple 2.5

a) La funcio f (x) = x2 es parella, estrictament decreixent en linterval (,0] i estrictament creixent en[0,).

b) La funcio f (x) = [x] es creixent en R, pero` no estrictament creixent.

Exemple 2.6

a) Les figures 2.2 i 2.3 mostren les gra`fiques de funcions parelles i imparelles, respectivament.

b) La figura 2.4 mostra dos exemples de funcions perio`diques.

xx

y y

Fig. 2.2 Funcions parelles

xx

y y

Fig. 2.3 Funcions imparelles

xx

Ty yT

Fig. 2.4 Funcions perio`diques de perode T



c) Les figures 2.5 i 2.6 corresponen a gra`fiques de funcions mono`tones creixents i decreixents.

d) A la figura 2.7 podem veure les gra`fiques de dues funcions mono`tones a trossos.

xx

y y

Fig. 2.5 Funcions creixents. La de la dreta es estrictament creixent

xx

y y

Fig. 2.6 Funcions decreixents. La de la dreta es estrictament decreixent

xx

y y

c

baa

Fig. 2.7 Funcions mono`tonesa trossos

Definicio 2.7

Una funcio f (x) es fitada inferiorment en D R si existeix un nombre real M1 tal que M1 f (x),x D; en aquest cas, M1 es una fita inferior de f (x).

Una funcio f (x) es fitada superiorment en D R si existeix un nombre real M2 tal que f (x)M2,x D; en aquest cas, M2 es una fita superior de f (x).

Una funcio f (x) es fitada en D R si ho es inferior i superiorment, es a dir, si existeixen nombresreals M1, M2 tals que M1 f (x)M2, x D.



La definicio anterior de funcio fitada es equivalent a dir que existeix un nombre real M > 0 tal que| f (x)| M, per a tot x D.

Exemple 2.8

La funcio f (x) = x2 es fitada inferiorment perque`, per exemple, f (x) 0, per a tot x R. En canvi, no esfitada superiorment ja que, per a qualsevol constant K R, existeix un nombre real x tal que x2 > K.

2.2 Les funcions elementals

En aquesta seccio, repassarem les funcions mes usuals i nintroduirem algunes de noves.

Funcions polino`miques

Una funcio polino`mica es del tipus

f (x) = a0 +a1x+a2x2 + +anxn

amb ai R, an = 0 i n un nombre enter mes gran o igual que zero. Evidentment, el domini duna funciopolino`mica es R.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 X

-20-15-10-5

5101520Y

-1 1 2 3 X

-20-15-10-5

5101520Yy = x4 +3x3 x2 + x+2

y =x5 +2x4 + x3 x2 + x

Fig. 2.8 Polinomi de grau 4 amb un sol extrem i polinomi de grau 5 amb dos extrems

Si n = 0, sobtenen les funcions constants: f (x) = k. Les gra`fiques daquestes funcions son rectes horit-zontals.

Si n = 1, sobtenen les funcions afins: f (x) = ax+b. La gra`fica duna funcio af es una recta inclinada dependent a. Quan a > 0, la funcio es estrictament creixent i, quan a < 0, estrictament decreixent.

Si n = 2, sobtenen les funcions quadra`tiques: f (x) = ax2 +bx+ c. La gra`fica duna funcio quadra`tica esuna para`bola. Quan a > 0, la para`bola decreix fins al seu ve`rtex i a partir dell creix. Quan a < 0, primercreix i despres decreix.

A mesura que n augmenta, tambe augmenta la complexitat de les funcions polino`miques. De vegades,per fer lesbos de la gra`fica duna funcio polino`mica, pot ser util cone`ixer el nombre dextrems que te.



En general, el nombre dextrems duna funcio polino`mica de grau n es:

n1 , o n1 2, o n1 4, o n1 6, o . . .

Efectivament, les rectes (grau 1 o be 0) no tenen cap extrem, les para`boles (grau 2) tenen 1 extrem, lescubiques (grau 3) en tenen 1 o cap, les qua`rtiques (grau 4) poden tenir 3 extrems o 1 de sol, etc. A lafigura 2.8, en tenim dos exemples: f (x) = x4 +3x3 x2 + x+2 i g(x) =x5 +2x4 + x3 x2 + x.

Funcions racionals

Una funcio racional es de la forma f (x) = P(x)Q(x) , en que` P i Q son polinomis.

El domini duna funcio racional es tot R excepte els nombres que anul.len el denominador (es a dir, aquellsnombres que fan Q(x) = 0).

_ 6 _ 4 _ 2 2 4 6X

0.5

1.0

1.5

Y

_ 6 _ 4 _ 2 2 4 6X

_ 2

_ 1

1

Y

x2

x2 +1

x

x24

Fig. 2.9 Funcions racionals

Per dibuixar la gra`fica duna funcio racional, cal fer-ne un estudi detallat: trobar-ne les asmptotes, els punts

de tall amb els eixos... A la figura 2.9, nhem representat dos exemples: f (x) = x2

x2 +1i g(x) =

x

x24 .

Funcions exponencials

Les funcions exponencials son del tipus f (x) = ax, amb a > 0.

Fig. 2.10 Funcio exponencial



El seu domini es tot R. La gra`fica, segons si a es mes gran o mes petita que 1, lhem esbossada a lafigura 2.10.

Observem que la imatge es el conjunt de nombres reals positius (excepte en el cas a = 1, que es un punt).Lexponencial es estrictament creixent si a > 1 i estrictament decreixent si 0 < a < 1.

Propietats de la funcio exponencial

ax ay = ax+y

ax

ay= axy

a0 = 1

(ax)y = axy

Sanomenen equacions exponencials aquelles en que`la inco`gnita apareix com a exponent en algun delsseus termes. Per resoldre-les, cal tenir en compte lespropietats de les pote`ncies i la injectivitat de la funcioexponencial, es a dir,

ax1 = ax2 = x1 = x2.

Funcions logartmiques

Anomenem logaritme en base a dun nombre x la pote`ncia a la qual sha delevar a per obtenir el nombrex. Es a dir,

loga x = y ay = x

Fig. 2.11 Funcio logartmica

La gra`fica, segons si a es mes gran o mes petita que 1, es la que es veu a la figura 2.11.

Observem que y = loga x es estrictament creixent si a > 1 i estrictament decreixent si 0 < a < 1. La funciologartmica passa pel punt (1,0). Si la base es el nombre e (dEuler), la funcio sanomena logaritme neperia`o natural i sescriu y = lnx.

Propietats de la funcio logartmica

loga(x y) = loga x+ loga y loga xn = n loga x loga

x

y= loga x loga y loga 1 = 0



Si a i b son dos nombres positius, es compleix

logb x =loga xloga b

i amb aquesta relacio podem trobar el logaritme en base b de x, si coneixem els logaritmes en base a.

Les equacions logartmiques son aquelles en que` la inco`gnita forma part dalgunaexpressio logartmica. Per resoldre-les, cal tenir en compte tant les propietats comla injectivitat de la funcio logartmica, es a dir,

loga x1 = loga x2 = x1 = x2

Funcions trigonome`triques

Considerem un cercle de radi 1. A cada punt P del cercle, se li assignen un angle x [0,2) i unescoordenades, de manera que labscissa es el cosinus que designem per cosx, i lordenada es el sinus quedesignem per sinx (figura 2.12).

x

P x x= (cos , sin )

1

cos x

sin x

Fig. 2.12 Sinus i cosinus dun angle

Fig. 2.13 Funcions sinus i cosinus



Podem veure les gra`fiques de les funcions sinx i cosx a la figura 2.13. Son contnues, amb domini R,recorregut [1,1], i perio`diques amb perode 2.

Fig. 2.14 Funcions tangent i cotangent

Daltra banda, la funcio

tgx = sinxcosx

es una funcio perio`dica, amb perode , que enels punts de la forma x = 2 + k no esta` definida.El seu recorregut es R. La seva gra`fica es veu a lafigura 2.14.

Tambe podem definir les inverses algebraiques delsinus, el cosinus i la tangent, que anomenem cose-cant, secant i cotangent, respectivament:

cosecx =1

sinx, secx =

1cosx

, cotgx = 1tgx

.

Hem il.lustrat les seves gra`fiques a les figures 2.14 i 2.15.

Fig. 2.15 Funcions cosecant i secant

Recordem algunes de les identitats trigonome`triques mes rellevants, que utilitzarem al llarg del curs.

Identitats trigonome`triques

cos2+ sin2= 1. sin() = sin cos sincos. cos() = cos cos sin sin. tg() = tg tg

1 tg tg .

sin2= 2 sin cos. cos2= cos2 sin2.

tg2= 2tg1 tg 2 .



Les equacions trigonome`triques son aquelles en que` les inco`gnites apareixen coma variables dalguna funcio trigonome`trica.

Funcions hiperbo`liques

Algunes combinacions de les funcions exponencials ex i ex son forca frequents en les aplicacions ma-tema`tiques i, per aixo`, reben noms especials. El sinus hiperbo`lic i el cosinus hiperbo`lic es defineixen de lamanera seguent:

sinhx = ex ex

2, coshx = e

x + ex

2.

La tangent hiperbo`lica es defineix com

tghx = sinhxcoshx

=ex exex + ex

.

A partir daquestes, es defineixen altres funcions hiperbo`liques com la cotangent hiperbo`lica, la cosecanthiperbo`lica i la secant hiperbo`lica:

cotghx = 1tghx =

coshxsinh x

, cosechx = 1sinh x

, sechx = 1coshx

.

Les gra`fiques de les funcions hiperbo`liques saconsegueixen a partir de les gra`fiques de les funcions ex iex. A la figura 2.16 observem com sobtenen les gra`fiques del sinus hiperbo`lic i del cosinus hiperbo`lic(tambe anomenada catena`ria) a partir de lexponencial.

Fig. 2.16 Obtencio de les gra`fiques de sinhx i coshx (catena`ria) a partir de lexponencial

Daltra banda, la figura 2.17 mostra la gra`fica de la tangent hiperbo`lica.

Les funcions hiperbo`liques compleixen unes propietats semblants a les trigonome`triques.



Fig. 2.17 Gra`fica de la tangent hiperbo`lica

Identitats hiperbo`liques

cosh2 a sinh2 a = 1. sech2 x+ tgh 2x = 1. sinh(ab) = sinha coshb cosha sinhb. cosh(ab) = cosha coshb sinha sinhb.

tgh (ab) = tgh a tgh1 tgh a tgh b . sinh2a = 2 sinha cosha.

cosh2a = cosh2 a+ sinh2 a. tgh 2a = 2tgh a1+ tgh2 a

.

Origen del nom de les funcions hiperbo`liques

El nom de funcions hiperbo`liques prove de comparar la`rea duna regio circular amb la`readuna regio hiperbo`lica. A la figura 2.18, veiem els punts de la forma (cos t, sint), que estansobre la circumfere`ncia x2+y2 = 1 i els de la forma (cosh t, sinht), que estan sobre la hipe`rbolax2 y2 = 1. En ambdos casos, la`rea del sector ombrejat es t2 .

Fig. 2.18 Sinus i cosinus circulars i hiperbo`lics



2.3 Operacions algebraiques amb funcions

En moltes situacions, hem de combinar dues funcions o mes per obtenir la que necessitem. Vegem-nealguns exemples.

Si C(x) es el cost de produir x unitats dun article determinat i I(x) es lingres obtingut en la venda de xunitats, el benefici U(x) obtingut de produir i vendre x unitats ve donat per

U(x) = I(x)C(x)

(obtenim una difere`ncia de dues funcions)

Si P(t) indica la poblacio de Catalunya i I(t) es lingres per ca`pita en el moment t, lingres total deCatalunya es

Cat(t) = P(t) I(t)

(obtenim un producte de dues funcions)

Si el que coneixem es lingres total i la poblacio en qualsevol instant t, lingres per ca`pita de Catalunyasera`

I(t) =Cat(t)P(t)

(obtenim un quocient de dues funcions)

Definicio 2.9 Donades dues funcions f i g, la suma, la difere`ncia, el producte i el quocient daquestesfuncions es defineixen com

suma: ( f +g)(x) = f (x)+g(x) difere`ncia: ( f g)(x) = f (x)g(x) producte: ( f g)(x) = f (x) g(x)

quocient:

( fg

)(x) =

f (x)g(x)

per a x tal que g(x) = 0.

Els dominis daquestes noves funcions son

Dom( f g) = Dom( f g) = Dom( f )Dom(g),

Dom( f

g

)= Dom( f )Dom(g)\{x | g(x) = 0}.

Exemple 2.10

Siguin f (x) = 2x29 i g(x) =

x+1. Calculem f +g, f g, f

gi determinem el domini en cada cas.



a) Tenim que

( f +g)(x) = 2x29 +

x+1, ( f g)(x) = 2

x+1

x29 ,

( fg

)(x) =

2(x29)x+1 .

b) Observem que f (x) = 2x29 tindra` sentit sempre que x

29 = 0, es a dir,

Dom( f ) = {x R : x =3}, o be x R\{3}.

c) Daltra banda, per tal que g(x) =

x+1 tingui sentit, cal que x+1 0, es a dir,

Dom(g) = {x R tals que x1}, o be x [1,+).

d) Finalment,

Dom( f +g) = Dom( f g) = Dom( f )Dom(g) = [1,3) (3,+),

Dom( f

g

)= Dom( f )Dom(g)\{x | g(x) = 0}= (1,3) (3,+).

2.4 Composicio

Considerem lexemple duna empresa de calcat esportiu. Sha observat que el preu p dun article determinatesta` en funcio de la demanda x:

p = f (x) = 200 x15 .

Els ingressos mensuals I obtinguts per les vendes daquest article son

I(p) = 20000015p2.

Fig. 2.19 Composicio de funcions

Ens podem preguntar quins son els ingressos enfuncio de la demanda. Com podem veure a les-quema de la figura 2.19, determinar els ingressosen funcio de x equival a encabir la funcio f dins dela I, es a dir, compondre les funcions f i I.Aix,

(I f )(x) = I( f (x))= 200.000 (200 x)215



Definicio 2.11 Siguin f i g dues funcions tals que la imatge de f esta` dins del domini de g. Llavors,la composicio g f ( f composta amb g) es defineix com

(g f )(x) = g( f (x))amb Dom(g f ) = {x Dom( f ) | f (x) Dom(g)}

Exemple 2.12

Donades f (x) = x2 9 i g(x) = x+5, determinem f g i g f , com tambe els dominis on estandefinides.

Fig. 2.20 Gra`fiques de f (x) = x29 i g(x) =x+5

En primer lloc, observem que

Dom( f ) = R, Im( f ) = [9,+), Dom(g) = [5,+) i Im(g) = [0,+).

a) Estudiem lexiste`ncia de g f . Fent un cop dull a les gra`fiques de les funcions f i g (figura 2.20), ensadonem que Im( f ) Dom(g) i, per tant, cal retallar el Dom( f ) perque` la composicio f g tinguisentit. Aix, tindra` sentit si f (x)5 x295, es a dir, si x (,2] [2,+). Llavors,

(g f )(x) = g( f (x))=x24,amb Dom(g f ) = x (,2] [2,+). Tenim un esquema a la figura 2.21.

b) Estudiem ara lexiste`ncia de f g. Com que Im(g) Dom( f ), te sentit trobar la funcio compostaf g. Aix,

( f g)(x) = f (g(x))= x4,amb Dom( f g) = Dom(g) = [5,+). Podem veure la figura 2.21.



Fig. 2.21 Gra`fiques de les funcions compostes g f i f g

2.5 Funcio inversa

Definicio 2.13 Una funcio y = f (x) es injectiva en A sif (x1) = f (x2) x1 = x2, per a tota parella x1,x2 A ,

o, equivalentment, si

x1 = x2 f (x1) = f (x2), per a tota parella x1,x2 A.

Notem que, si f es estrictament mono`tona, llavors f es injectiva. Aix, cada element de la imatge te unaunica antiimatge. La funcio inversa de f , que designarem per f1, es aquella que fa correspondre a cadavalor de y lunic valor de x tal que y = f (x) (figura 2.22).

Fig. 2.22 Esquema duna funcio f i la seva inversa f 1

Definicio 2.14 Una funcio f1 es la inversa de f si( f1 f )(x) = x, per a tot x Dom( f ), i( f f1)(y) = y, per a tot y Dom ( f1) .

Es clar que Dom( f ) = Im ( f1) i Im( f ) = Dom ( f1).



En general, donada y = f (x), en quines condicions podem considerar x en funcio de y? El teorema 2.15respon a aquesta pregunta.

Teorema 2.15

a) Una funcio te inversa si i nomes si es injectiva.

b) Si f es estrictament mono`tona a tot el seu domini, aleshores es injectiva i, per tant, te inversa.

Les figures 2.23 i 2.24 mostren exemples de funcions injectives i funcions no injectives.

Fig. 2.23 Exemples de funcions injectives

Fig. 2.24 Exemples de funcions no injectives

Fig. 2.25 Simetria, respecte la recta y = x, duna funcio i la seva inversa



La gra`fica de f conte el punt (a,b) si i nomes si la gra`fica de f1 conte el punt(b,a). Per tant, la gra`fica de f1 sobte tracant la gra`fica sime`trica de f respectede la recta y = x, com il.lustra la figura 2.25.

Exemple 2.16

Trobem, si es que existeixen, les funcions inverses de les funcions seguents:

f (x) =4x7, i g(x) = 2x3x+6 .

Es fa`cil veure que totes dues funcions son injectives (de fet, estrictament creixents). A la figura 2.26, nhemrepresentat les gra`fiques.

Fig. 2.26 Gra`fiques de les funcions f i g i les seves inverses

Per trobar la inversa de f (x), fem y =4x7 i allem x en funcio de y:

y2 = 4x7 x = y2 +74

.

La inversa sera` f1(x) = x2 +74

(hem canviat y per x perque` seguim el conveni de representar la variableindependent per x).

A continuacio, calculem la inversa de g(x). Escrivim y =2x3x+6 i posem x en funcio de y:

y(x+6) = 2x3 yx2x =36y x = 3+6y2 y .

La inversa es, doncs, g1(x) =3+6x2 x .



A les figures 2.25, 2.27, 2.28, 2.29 i 2.30, hi ha mes exemples de gra`fiques duna funcio, juntamentamb la seva inversa. A totes les gra`fiques, sha considerat nomes un interval o semirecta en que` la funciocorresponent es injectiva.

Fig. 2.27 Les funcions sinus i cosinus i les seves inverses

Fig. 2.28 La funcio tangent i la seva inversa

Fig. 2.29 La funcio coshx i la seva inversa



Fig. 2.30 Les funcions sinh x i tgh x i les seves inverses

2.6 Esbos de gra`fiques de funcions a partir de funcions donades

Considerem la funcio y = f (x) i R. A partir de la gra`fica de f (x), sobtelesbos de la gra`fica de

y = f (x), multiplicant, punt a punt, per cada imatge.La gra`fica sestira o sencongeix en sentit vertical.

y = f ( x), estirant o encongint la gra`fica en sentit horitzontal.

y = f (x)+, fent una translacio unitats al llarg de leix dordenadescap amunt si > 0,

cap avall si < 0.

y = f (x+), fent una translacio unitats al llarg de leix dabscissescap a lesquerra si > 0,

cap a la dreta si < 0.

y =1

f (x) , tenint en compte els punts on f (x) = 0 i on f (x).

y = | f (x) |, canviant a positius tots els valors negatius de f i deixant igual els altres.

Vegem-ne uns quants exemples a les figures 2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35 i 2.36.



Fig. 2.31 Variacio de la imatge. La gra`fica sestira o sencongeix

Fig. 2.32 Variacio de la velocitat en la gra`fica

Fig. 2.33 Translacio al llarg de leix dordenades

Fig. 2.34 Translacio al llarg de leix dabscisses



Fig. 2.35 Les funcions sinus i tangent hiperbo`liques i les seves inverses algebraiques

Fig. 2.36 Una funcio trigonome`trica i una polino`mica amb els seus valors absoluts

2.7 Gra`fiques de corbes en coordenades polars

En les coordenades polars, el sistema de refere`ncia ve donat per un punt O (pol) i una semirecta (eix polar).Cada semirecta que surt de O sanomena un raig dangle (figura 2.37).

Fig. 2.37 Coordenades polars del punt P

Definicio 2.17 Un punt P esta` representat en coordenades polars per (r,) si es troba a una dista`ncia|r| del pol sobre el raig dangle quan r 0 i sobre el raig dangle + quan r < 0.

Notem que (r,+) (r,) son dues maneres de representar el mateix punt de R2. Les coordenadespolars no son uniques. Tot i que, en general, acostumem a considerar r > 0 per comoditat, fixada lar, nhi ha moltes parelles (r,) que poden representar un mateix punt (figura 2.38). En efecte, nomes calprendre un concret i sumar-hi un nombre enter de voltes (positives o negatives).



Fig. 2.38 Diferents representacions en coordenades polars

Aix,

r = 0, (0,) representa lorigen, per a tot . (r,) (r,+2k), per a tot k Z.El pas de cartesianes a polars es fa`cil:

r =

x2 + y2

={

arctg yx

si x > 0arctg y

x+ si x < 0

={

2 si y > 032 si y < 0.

quan x = 0, y = 0.

Fig. 2.39 Punts amb x = 0, y = 0, es a dir, sobre el raig = 2o = 32

Aquests ultims punts, els que corresponen a x = 0,y = 0, estan situats sobre el raig dangle = /2 o= 3/2, que es correspon amb leix dordenadesen coordenades cartesianes. Els tenim a la figura2.39.

El pas de polars a cartesianes es immediat:

x = r cos, y = r sin .

Exemple 2.18

Passem a coordenades polars un parell dequacions de corbes.

a) x = 2. Es una recta vertical. Directament, obtenim r cos= 2, don, r = 2cos

.

b) x2+(y2)2 = 4. Es tracta duna circumfere`ncia centrada a leixOY . Primer lescrivim com x2+y24y=0, i despres substitum x per r cos i y per r sin. Daqu,

r24r sin= 0 r(r4sin) = 0.

Notem que r = 0 nomes representa lorigen. Simplificant, obtenim r = 4sin.



Exemple 2.19

Passem a coordenades cartesianes unes corbes donades en polars. Es convenient tenir present que r2 =x2 + y2.

a) r = 2acos. Multipliquem ambdues bandes per r:

r2 = 2ar cos x2 + y2 = 2ax.

Ara completem quadrats i obtenim

x2 + y22ax = 0 x22ax+a2 + y2 = a2 (xa)2 + y2 = a2.

Es la circumfere`ncia de centre (a,0) i radi |a|.b) r2 =

2sin2

. Posem lequacio en la forma r2 sin2 = 2. A partir de la formula del sinus de langle

doble, sin2= 2sincos, dedum que

2r2 sincos= 2 r sin r cos= 1 xy = 1.

Aquesta es lequacio duna hipe`rbola coneguda, que molt sovint escrivim com y = 1x.

En general, per dibuixar una corba donada en coordenades polars, r = f (),utilitzarem una taula de valors completa a partir de la gra`fica de f (x) en coorde-nades cartesianes, tenint en compte tambe les simetries.

Per taula de valors completa entenem una taula que ens proporcioni una informacio tant qualitativa comquantitativa.

Exemple 2.20

A la figura 2.40, els valors que pren x a leix dabscisses son les nostres i les imatges de la funciof (x) = 2sinx corresponen als valors de r = f () = 2sin. La gra`fica en coordenades cartesianes,doncs, fa el paper de taula de valors. Aix, sabem que r(0) = 0, r() = 0, r(2) = 0, r( 2 ) =2, r( 32 ) = 2.Aquesta informacio es de tipus quantitatiu.

Fig. 2.40 Taula de valors completa i gra`fica de r =2sin



Ames a mes, podem observar que entre 0 i 2 els valors de r van decreixent des de 0 fins a2. En definitiva,la r sallunya del valor 0 fins a assolir una dista`ncia |2| = 2. Per tant, en la representacio dels punts de lacorba en coordenades polars, la dista`ncia al pol creix des de 0 fins a |2|= 2, quan variem langle entre0 i 2 . Gra`ficament, aixo` vol dir que els punts de la corba sallunyen del pol. Aquesta informacio es de tipusmes aviat qualitatiu. Tanmateix, si necessitem el valor exacte de r per a una concreta, nomes cal quenavaluem la funcio r = f (). Seguint el comportament de la funcio f (x) =2sinx per als altres valorsde x, podem acabar de dibuixar la corba en polars. A lexemple considerat ens apareix una circumfere`ncia.

Resumint, per fer un esbos de la gra`fica de r =2sin, seguim els passos seguents:a) fem un esbos de la gra`fica de y =2sinx en coordenades cartesianes,b) utilitzem lesbos anterior com una taula de valors per a la gra`fica en polars,

c) dibuixem la corba en polars a partir de la informacio anterior (figura 2.40).

A continuacio, presentem les gra`fiques dalgunes corbes en coordenades polars. Es un recull forca rellevanti il.lustratiu. Els primers exemples corresponen a rectes i circumfere`ncies. Al segon grup mostrem altresfamlies de corbes menys conegudescargols, lemniscates i flors dn pe`tals. Gairebe cada gra`fica en polarsva acompanyada de la seva taula de valors per tal de seguir-ne lestudi amb tot detall.

Rectes

Les rectes que passen per lorigen son de la forma = k (dibuix de lesquerra de la figura 2.43); les verticalstenen equacio r =

kcos

(figura 2.41) i les horitzontals, r =k

sin(figura 2.42).

Fig. 2.41 Rectes verticals r =k

cosen coordenades polars

Fig. 2.42 Rectes horitzontals r =k

sinen coordenades polars



Fig. 2.43 Gra`fiques en polars de la recta = k i la circumfere`ncia r = k

Circumfere`ncies

Les circumfere`ncies centrades a lorigen i radi k tenen lequacio r = k (dibuix de la dreta de la figura 2.43);les centrades en algun dels eixos coordenats tambe presenten una equacio molt simple: r = k sin per aleix vertical (figura 2.44) i r = k cos per a lhoritzontal (figura 2.45).

Fig. 2.44 Circumfere`ncies centrades en leix dordenades: r = k sin

Fig. 2.45 Circumfere`ncies centrades en leix dabscisses: r = k cos

Cargols

Les equacions dels cargols son de la forma r = abcos i r = absin, on a,b > 0. Les figures 2.46,2.47, 2.48 i 2.49 ens en mostren uns exemples concrets.



Fig. 2.46 Taula de valors i gra`fica de r = 1+2cos

Fig. 2.47 Taula de valors i gra`fica de r = 1+2sin

Fig. 2.48 Taula de valors i gra`fica de la cardioide r = 1 sin

Lemniscates

Les equacions de les lemniscates son de la forma r2 = a2 sin2 i r2 = a2 cos2, on aR. A les figures 2.50i 2.51 podem observar-ne dos exemples concrets.



Fig. 2.49 Taula de valors i gra`fica de r = 32cos

Fig. 2.50 Taula de valors i gra`fica de r2 = 2cos2

Fig. 2.51 Taula de valors i gra`fica de r2 = 2sin2



Roses

Les equacions de les roses o flors en coordenades polars son dels tipus r = acosn i r = asinn i tenen

n pe`tals si n es senar,

2n pe`tals si n es parell (n 2).A les figures 2.52 i 2.53 en tenim dos exemples: una rosa de tres pe`tals i una de quatre, respectivament.

Fig. 2.52 Taula de valors i gra`fica de r =2cos3

Fig. 2.53 Taula de valors i gra`fica de r = 3sin2



Problemes resolts

Problema 1

Determineu el domini de la funcio f (x) =

4|2x2|(x1)2 . [Solucio]

Hem de demanar que el denominador no sigui 0 i que dins de larrel quadrada del numerador hi hagi un nombresuperior o igual a 0. Es clar que el denominador sanul.la nomes quan x = 1. Per tant, aquest punt no es del dominide la funcio.

Pel que fa al numerador, hem de resoldre la inequacio 4 |2x 2| 0 o, equivalentment, |2x 2| 4. De lespropietats del valor absolut, en resulta la cadena de desigualtats

4 2x2 4.

Tenim, doncs, dues inequacions que shan de satisfer conjuntament. De la primera, traiem que x1, i de la segona,que x 3. Resumint, el domini daquesta funcio es [1,3]\{1} o, escrit duna altra manera, [1,1) (1,3].

Problema 2

Estudieu la paritat de les funcions seguents:

a) f (x) = xcoshxx2 +1

b) f (x) = sin(x2)+ cosx+3c) f (x) = x+3 [Solucio]

a) De les propietats del cosinus hiperbo`lic, es clar que coshx = cosh(x). Aleshores,

f (x) = xcoshxx2 +1

= f (x),

per a tot x. Per tant, es tracta duna funcio senar.

b) Aquesta funcio es parella ja que f (x) = sin(x2)+ cosx+3 = f (x), per a tot x.c) En aquest cas, f (x) = x+3 i f (x) =x+3. No tenim cap de les relacions

ni f (x) = f (x),x ni f (x) = f (x),x.

Llavors, la funcio no es ni senar ni parella.

Problema 3

Resoleu les equacions exponencial i logartmica seguents:

a) 3x26x = 16.561

b) 2ln(

2x

)+3lnx2 = 0



[Solucio]

a) Lequacio 3x26x = 16.561 te 2 i 4 com a solucions ja que

3x26x = 16.561 3x26x = 38 x26x =8 x1 = 2,x2 = 4

b) Aplicant les propietats de la funcio logartmica, tenim que

2ln(

2x

)+3lnx2 = 0 2ln22lnx+6lnx = 0= lnx4 = ln22

Per tant, de la injectivitat dedum que la solucio es x =12.

Problema 4

Resoleu lequacio trigonome`trica sinx+ cosx = 1.

[Solucio]

Tenim una equacio amb dues raons trigonome`triques diferents del mateix angle. Utilitzarem la igualtat auxiliar cos2 x+sin2 x = 1 per obtenir una relacio entre ambdues:{

cos2 x+ sin2 x = 1sinx+ cosx = 1

(1 sinx)2 + sin2 x = 1 2sinx(sinx1) = 0

es a dir,

sinx = 0 = x = 2ksinx = 1 = x =

2+ k, k Z

Problema 5

A partir de la gra`fica de y = sinx, feu un esbos de les gra`fiques de les funcions:

a) 1+ sinx

b) 2+ sinxc) 2sinxd) sin

(x+ 4

)e) sin

(x 4

)f)

1sinx



[Solucio]

Seguint les indicacions de la seccio 2.6, obtenim els apartats a) i b) a la figura 2.54, el c) i el d) a la figura 2.55 i,finalment, els apartats e) i f) a la figura 2.56.

Fig. 2.54 Gra`fiques de y = 1+ sinx i y =2+ sinx a partir de y = sinx

Fig. 2.55 Gra`fiques de y =2sinx i y = sin(x+ 4 ) a partir de y = sinx

Fig. 2.56 Gra`fiques de y = sin(x 4

)i y =

1sinx

a partir de y = sinx



Problema 6

Considereu la funcio

f (x) =

x

1 x si x 0,arctg x si x > 0.

Trobeu lexpressio analtica de f1 i indiqueu el domini i la imatge daquesta inversa.[Solucio]

Primer estudiem la injectivitat de la funcio f (x). Si x> 0, aleshores f es injectiva perque` la funcio arctg x es estrictamentcreixent. Daltra banda, per a x 0, la funcio tambe es injectiva. En efecte,

f (x1) = f (x2) = x11 x1 =x2

1 x2 = x1 x1x2 = x2 x1x2 = x1 = x2.

Ara be, per tal que f (x) sigui injectiva en R, no es suficient que ho sigui en cadascuna de les semirectes on esta`definida a trossos, (,0] i (0,+). A mes a mes, cal que la imatge de x1x en (,0] i la de arctg x en (0,+)tinguin interseccio buida. Observem que, per a x > 0, f (x) (0, 2 ). Pel que fa a x 0, vegem que la imatge esnegativa. Tenim

x 0 = x 0 = 1 x 0 = x1 x 0,

Fig. 2.57 Gra`fica de la funcio f (x) definida a trossos correspo-nent al problema 6

perque` es un quocient amb numerador i denominadorde signes diferents, es a dir, f (x) 0 per a x 0. Ara sque queda demostrat que la funcio f (x) es injectiva en

Documents

Temes CLAU _ Càlcul d'Una Variable