Tensiuni Si Deformatii Compresiune Si Intindere Centrica

Rezistenţa materialelor C2

Tensiuni (eforturi unitare). Tensorul de tensiune.

n – axă normală la suprafaţa secţiunii

ΔP – forţa elementară de legătură, corespunzătoare ariei ΔA, într-un punct M din secţiune. Forţa ΔP este caracterizată prin intensitate, direcţie şi sens.

Pentru altă secţiune, ΔP din punctul M, va avea altă intensitate şi altă orientare.

1

Tensiunea totală în punctul considerat, denumită şi efort unitar total, de defineşte cu relaţia:

- unitatea de masură a tensiunii este [F/L2];

- în mod uzual se folosesc kN/m2, daN/cm2, N/mm2. În SI se foloseşte N/m2.

Tensiunea totală p se descompune în două componente, pe direcţia normalei, n, şi pe o direcţie în planul secţiunii, t. Cele doua componente se numesc: σ - tensiune normală sau efort unitar normal; τ - tensiune tangenţială sau efort unitar tangenţial.

2


AP

limp 0A

222p

Pentru secţiunea de normală x (în lungul axei elementului), avem: σx - tensiunea normală paralelă cu axa x, dar de sens contrar axei x;

τx - tensiunea tangenţială, din planul secţiunii x, tensiune ce se poate descompune în τxz (tensiunea tangenţială paralelă cu axa z) si τxy (tensiunea tangenţială paralelă cu axa y).

3


2xz

2xy

2

Relaţii de echivalenţă statică între efoturi şi tensiuni


4

A xdAN

A xy zdAM

A xz ydAM

A xzy dAT

A xyz dAT

A xyxzx dAzyM


5

Clasificarea solicitărilor În funcţie de numărul eforturilor, de tipurile de tensiune (normală şi / sau

tangenţiale) care se dezvoltă în secţiunea transversală, solicitările pot fi simple sau compuse.

Solicitări simple (la care în secţiune se dezvoltă un singur efort): solicitarea la forţă axială N, de întindere sau compresiune.

solicitarea la forfecare pură din Ty sau Tz ;

solicitarea la încovoiere pură din My sau din Mz ;

solicitarea la torsiune pură din Mx.

Dacă în secţiune se dezvoltă numai tensiuni normale sau numai tensiuni tangenţiale, solicitarea este simplă.

6


Solicitări compuse (la care în secţiune se dezvoltă unul sau mai multe eforturi globale): solicitarea la încovoiere simplă

(încovoiere cu forţă tăietoare),

din My şi Ty sau Mz şi Tz ;

solicitarea la încovoiere oblică,

din My şi Mz ;

solicitarea la încovoiere oblică

cu forţă axială, din N, My , Mz ;


7

solicitarea la încovoiere cu forţă

axială, din N, My sau N, Mz ;

solicitarea la încovoiere cu torsiune,

din My, Mx sau Mz, Mx .

Dacă în secţiune se dezvoltă atât tensiuni normale σ cât şi tensiuni tangenţiale τ, solictarea este compusă.


8

Deformaţii specifice

Avem un domeniu (D) şi două puncte A şi B care aparţin domeniului. Prin modificarea distanţei dintre punctele A şi B, spunem că domeniul a suferit o deformaţie.


9

Deformaţia specifică liniară (lungirea specifică)

unde: Δl = l – l0 alungirea (sau scurtarea) barei;

l0 lungimea barei înainte de deformaţie;

l lungimea barei după deformaţie.


10

0

0

0 lll

ll

Deformaţia specifică transversală

unde: d0 diametrul barei înainte de deformaţie;

d lungimea barei după deformaţie.

εt are semn contrar deformaţiei specifice liniare ε.

Coeficientul lui Poisson (coeficientul de contracţie transversală)

- este o constantă de material, ea putându-se determina experimental.


11

0

0

0t d

dddd

.ctt

Deformaţia specifică unghiulară (lunecarea specifică)

este tot o mărime adimensională.


12

ab'bb

ab'bb

arctg

Legea lui Hooke

Între tensiuni şi deformaţii există o relaţie de natură fizică, denumită lege constitutivă a materialului.

Pentru un material elastic – după încărcare, la descărcare se parcurge acelaşi drum, astfel încât corpul revine la forma şi dimensiunile iniţiale, neavând deformaţii remanente.

Dacă funcţia ce defineşte comportarea materialului este o funcţie liniară, atunci materialul are comportare liniar elastică.

Diagramele σ – ε se obţin prin solicitarea axială a materialelor, la întindere sau la compresiune.


13

Pentru un material cu comportare elastică, panta dreptei σ – ε este constantă, fiind o constantă de material şi se numeşte modul de elasticitate longitudinală a materialului sau modulul lui Young.

Rezultă: legea simplă a lui Hooke pentru tensiuni normale.

Rezistenţa materialelor C

14

tgE

E

În cazul unei solicitări de frofecare pură, se reprezintă diagrama τ – γ.

Se defineşte modulul de elasticitate transversală a materialului , G constantă de material, ce reprezintă panta dreptei τ – γ.

Rezultă: legea simplă a lui Hooke pentru tensiuni tangenţiale.


15

tgG

G

Pentru un material izotrop, constantele E, G, μ nu sunt independente, ele depinzând una de alta prin relaţia de izotropie:

De exemplu, pentru oţelul pentru construcţii de marcă OL37 avem:


16

24 cm/kN101.2E

12E

G

30.023 cm/kN101.8G

Solicitarea axială a barelor drepte

Solicitarea axială este solicitarea simplă a barei drepte cu secţiune transversală constantă pe toată lungimea ei, la care se dezvoltă numai forţă axială de întindere sau de compresiune.

Aspectul static al problemei


17

0dANA x

0zdAMA xy

0ydAMA xz

0ydATA xzy 0ydAT

A xyz

0dAzyMA xyxzx

Aspectul geometric al problemei

Pe suprafaţa unei bare supuse la intindere se desenează un caroiaj.

După deformare se constată apropierea liniilor longitudinale şi îndepărtarea liniilor transversale (în zone suficient de depărtate de capete).

Se păstrează totodată unghiul drept dintre liniile verticale şi orizintale.

Generalizarea în interiorul barei a observaţiilor de la suprafaţă permit formularea ipotezei lui Bernoulli (a secţiunilor plane): o secţiune plană şi normală la axa barei înainte de deformare, rămâne plană şi normală la axa barei după deformare.

Deci: (lunecarea specifică este nulă – nu se modifică unghiul drept)

(deformaţia specifică axială este constantă)


18

0

.ctaa

x

Aspectul fizic al problemei

Pentru un material cu comportare liniar elastică, conform legii lui Hooke avem:

Dar:

Deci:

În concluzie, distrubuţia tensiunilor normale

din forţă axială este constantă pe secţiune

şi este dată de formula:


19

G E

0.ctx

.ctx 0

AdAdAN xAxA x

AN

x

Modul de aplicare a încărcării la capetele barei înfluenţează starea de tensiune din interiorul acesteia.

Dacă în centrele de greutate ale secţiunilor de capăt se aplică forţe concentrate cu intensitatea P (caz ideal; în realitate, forţele sunt distribuite pe o zonă mică în jurul centrului de greutate), atunci tensiunile normale sunt constante numai în secţiuni transversale sufiect de departe de capetele grinzii.


20

Dacă bara conţine goluri sau slăbiri, în dreptul acestora se produc concentrări de tensiuni. Starea de tensiuni din jurul golurilor se obţine cu mijloacele Teoriei Elasticităţii.


21

Probleme de calcul la solicitarea axială a barelor.

Verificarea secţiunii barei O bară rezistă la întindere atât timp cât:

În metoda stărilor limită, pentru calculul în domeniu elastic, verificarea se face cu relaţia:

unde: R este rezistenţa de calcul a materialului la întindere sau la compresiune.

Rn – rezistenţa normală este valoarea minim garantată de furnizor (sau determinată în laborator)

γm – coeficient parţial de siguranţă


22

rAN

RAN

m

nRR

În cazul barelor cu goluri, verificarea se face cu relaţia:

unde: Abrut – aria secţiunii transversale într-o secţiune curentă

Asl – aria slăbirilor din secţiune (a golului din secţiune).

Condiţile de verificare a barei:


23

,RAN

net

slbrutnet AAA

RANN netmax ,RAN

net

Dimensionarea secţiunii Se cunosc forţa axială N (încărcarea) şi materialul prin rezistenţa lui R. Se determină aria efectivă a secţiunii:

La dimensionarea unei secţiuni se acceptă σef ≤ 1.03R, adică o depăsire a rezistenţei de calcul cu maxim 3%, dar pentru o dimensionare economică este necesar ca 0.95R ≤ σef .

Calculul capacităţii de rezistenţă a barei la solicitare axială Se cunosc aria secţiunii transversale A şi materialul prin rezistenţa lui R. Se determina forţa axială capabilă Ncap :


24

necef AA RN

Anec

RANcap

Calculul deformaţiei barei solicitate axialŞtiind că

Din înlocuirea în cele trei relaţii, se obţine:

Rezultă că alungirea barei cu secţiune constantă şi efort axial constant pe întreaga lungime este:

Se definesc:

- modul de rigiditate axială a barei EA

Δl scade cu creşterea modulului EA (bare devenind mai rigidă).

- coeficient de rigiditate axială a barei EA/l, şi reprezintă forţa axială necesară producerii unei alungiri egale cu unitatea.

- coeficientul de flexibilitate axială a barei l/EA, şi reprezintă alungirea produsă de o forţă egală cu unitatea.


25

ll

EAN

ll

EAN

AElN

l

Bare solicitate axial din variaţie uniformă de temperatură

Dacă bara se poate deforma liber (cazul grinzilor static determinate – grinzi simplu rezemate sau console), în bară nu se dezvoltă tensiuni, iar deformaţia se calculează cu relaţia:

unde: α - coeficientul de dilatare termică a materialului,

l – lungimea iniţială a barei,

Δt – variaţia temperaturii.

Deformaţia specifică liniară a barei datorită variaţiei de temperatură este:


26

tll

tll)t(

Dacă tendinţa de alungire sau scurtare a barei este împiedicată, în bară se dezvoltă un efort axial N (de întindere sau compresiune) care se determină din condiţia ca alungirea datorită variaţiei de temperatură să fie egală (în modul) cu scurtarea datorită efortului axial N:

Rezultă:

Valoarea forţei axiale în bară

Tensiunea din bară


27

)N()t( ll

AElN

tl

lAEN

lEAN

Documents

Tensiuni Si Deformatii Compresiune Si Intindere Centrica