Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green · PDF fileTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green ... volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan

Buku

Kerja 6 Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny

142

TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN

Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan

bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema

fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah

dijelaskan sebelumnya, yaitu:

Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green

Teorema Gauss

Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang

mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan.

Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air

tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss.

Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa

volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S

adalah

Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang

keluar dari sebuah elemen volume . Oleh karena itu, maka volume total

per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam

permukaan tertutup S adalah

Jadi,

Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss

URAIAN MATERI

Buku




143

Berikut definisi dari Teorema Gauss.

Definisi Teorema Gauss

Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan

sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka

Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor yang

mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari

divergensi dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi,

dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini!

Contoh 1

Hitunglah

di mana dan S adalah

permukaan kubus yang dibatasi oleh .

Penyelesaian

Menurut teorema divergensi

Maka,

CONTOH SOAL

0

1

1

1

Buku




144

Jadi

Contoh 2

Hitunglah

di mana S adalah suatu permukaan tertutup

Penyelesaian

Menurut teorema divergensi,

di mana V adalah volume benda yang dibatasi S.

Buku




145

Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!

Latihan 1

Hitung

untuk pada daerah

yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Gambar daerah yang dimaksud adalah seperti di bawah ini


Maka

LATIHAN TERBIMBING

Buku




146

Latihan 2 Jika S adalah permukaan tertutup sebarang yang menutupi sebuah volume V

dan , maka buktikan bahwa

.

Penyelesaian


Maka,

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia!

Latihan 1

Hitunglah

di mana F i j dan S adalah

LATIHAN MANDIRI

Buku




147

(a) permukaan balok yang dibatasi oleh

(b) permukaan daerah yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Latihan 2

Hitung

di mana F i j dalam daerah pejal S yang

dibatasi oleh tabung parabol

dan bidang-bidang

.

Penyelesaian

Buku




148

Latihan 3

Buktikanlah bahwa

untuk suatu permukaan tertutup S.

Penyelesaian

Buku




149

Latihan 4

Buktikan

Penyelesaian

Buku




150

Latihan 5

Hitung

melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi

oleh silinder , jika

Penyelesaian

Buku




151

Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 30, (b) 351/2

Latihan 2 : 4/3

Latihan 5 : 18

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan

dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Buku




152

Teorema Stokes

Coba Anda perhatikan gambar di

samping!

Apa yang Anda lihat?

Pada gambar tampak seorang ibu

dan bapak sedang mendorong

mobil. Jika mobil yang mereka

dorong tersebut bergerak, berarti

mereka telah melakukan usaha.

Sebelumnya, kita telah mempelajari

bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau

integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita

kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3.

Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan

menggunakan teorema Stokes.

Berikut definisi Teorema Stokes

Teorema Stokes

Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya

adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor

kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam

domain yang memuat S, maka

Dari rumus di atas dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor

yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral

permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai

batasnya.

Materi pokok pertemuan ke 14: 2. Teorema Stokes

URAIAN MATERI

Buku




153


Contoh 1

Hitunglah

dengan menggunakan teorema Stokes jika

diketahui , dimana S adalah separuh dari

permukaan bola bagian atas dan C batasnya.

Penyelesaian

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan

dan persamaan parameternya adalah dimana

. Berdasarkan teorema Stokes

. Maka

berdasarkan teorema Stokes

CONTOH SOAL

Buku




154

Jadi,

.

Contoh 2

Buktikan

Penyelesaian

Misalkan dalam teorema Stokes, di mana C sebuah vektor konstan.

Maka

Karena vektor C vektor konstan sebarang maka


Latihan 1

Gunakan teorema Stokes untuk menghitung

dengan

, dimana S adalah permukaan paraboloida

yang dibatasi oleh dan C sebagai batasnya

LATIHAN TERBIMBING

Buku




155

Penyelesaian

Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan

dan persamaan parameternya adalah dimana

. Berdasarkan teorema Stokes

.

Maka,

Latihan 2

Hitunglah

di mana dan C adalah perpotongan

bidang dengan silinder

Penyelesaian

Integral garis pada soal ini akan mudah dipecahkan dengan menggunakan

teorema Stokes, yaitu

.

Buku




156

Misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva C tersebut, maka

permukaan S terlihat pada gambar berikut

yaitu suatu permukaan dengan persamaan dan dibatasi oleh

silinder Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah

Buku




157

Jadi

...

Latihan 3

Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung

dengan

danC berupa kurva segitiga pada gambar berikut

Penyelesaian

Misalkan S berupa kurva dengan C sebagai batas terarahnya, yaitu

. Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah

y

x

z

(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,2)

C

Buku




158

Jadi


Latihan 1 Misalkan S bagian dari permukaan bola di bawah

bidang , dan misalkan . Gunakan teorema Stokes

untuk menghitung

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




159

Latihan 2 Periksa kebenaran Teorema Stokes untuk jika S adalah

paraboloid dengan lingkaran sebagai

batasnya.

Penyelesaian

Buku




160

Latihan 3 Periksa kebenaran teorema Stokes untuk

di mana S adalah permukaan kubus di atas

bidang

Penyelesaian

Buku




161

Latihan 4 Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk di mana S

adalah permukaan daerah yang dibatasi oleh

yang termasuk dalam bidang .

Penyelesaian

Buku




162

Buku




163

Kunci Jawaban Latihan 1: -

Latihan 2 :

Latihan 3 : - 4

Latihan 4 : 32/3



Buku




164

TEOREMA GREEN

Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal

teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku

untuk permukaan-permukaan S dalam ruang

yang memiliki kurva C sebagai batasnya.

Sedangkan, teorema Green berlaku pada

daerah tertutup dalam bidang xy yang

dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya,

teorema Green dalam bidang adalah hal

khusus dari teorema Stokes.

Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan

menggunakan teorema Green dalam bidang.

Nah, berikut definisi Teorema Green.

Definisi Teorema Green

Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh

sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu

dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka

Jika menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana

, maka

adalah usaha yang dilakukan dalam

menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C. Yaitu

Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah

Materi pokok pertemuan ke 15: 3. Teorema Green

URAIAN MATERI

Buku




165

Jadi, selain perhitungan dengan menggunakan integral garis, menentukan

besar usaha yang dilakukan juga dapat dihitung dengan menggunakan

teorema Green.


Contoh 1 Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva

tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu

koordinat memotong C paling banyak pada dua titik

Penyelesaian

Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah

dan Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, diperoleh

Sehingga diperoleh

CONTOH SOAL

Buku




166

Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF

berturut-turut adalah dan Maka

Sehingga diperoleh

Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat

Contoh 2

Periksa teorema Green pada bidang untuk

dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh dan

Penyelesaian

Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1). Arah positif

dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar

Buku




167

Sepanjang integral garisnya sama dengan

Sepanjang integral garisnya sama dengan

Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 – 17/15 = 1/30

Dengan menggunakan teorema Green

Dengan demikian selesailah pemeriksaan teorema Green.

Contoh 3 Perlihatkan bahwa jika suatu daerah S pada bidang mempunyai batas C ,

dengan C adalah kurva tertutup sederhana, maka luas S diberikan oleh

Penyelesaian

Misalkan

dan terapkan teorema Green

Buku




168


Latihan 1

Hitunglah

di mana C adalah suatu bujur

sangkar dengan titik sudut (0, 0), (0,2), (2,2), (2,0)

Penyelesaian

Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut

Berdasarkan teorema Green

Maka

Jadi,

LATIHAN TERBIMBING

(2,2) (0,2)

(0,0) (2,0)

Buku




169

Latihan 2 Gunakan hasil contoh 3 untuk mencari luas yang dilingkupi oleh elips dengan

persamaan parameter

Penyelesaian

Latihan 3

Hitunglah

di sekeliling suatu segitiga

pada bidang dengan titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dijalani berlawanan

arah dengan jarum jam.

Penyelesaian

Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut

Berdasarkan teorema Green

Maka

x

y

Buku




170

Jadi,


Latihan 1 Hitunglah integral garis pada soal latihan 3(terbimbing) di sekeliling suatu

lingkaran berjari-jari 4 dan berpusat di (0,0)

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Buku




171

Latihan 2

Hitunglah

mengelilingi batas daerah yang

didefinisikan oleh dan (a) secara langsung, (b) menggunakan

teorema Green

Penyelesaian

Buku




172

Latihan 3

Hitunglah

sepanjang jajar genjang yang

memiliki titik-titik sudut di (0,0), (2,0), (3,1), dan (1,1).

Penyelesaian

Buku




173

Kunci Jawaban Latihan 1 : 64

Latihan 2 :128/5

Latihan 3 : -6



Documents

Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green · PDF fileTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green ... volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan