Teorema fondamentale del calcolointegrale

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale fornisce lo strumento essenziale per il calcolo effet-tivo di integrali; inoltre esso rappresenta il raccordo tra calcolo delle derivate e calcolo integrale,mostrando che sono uno l’inverso dell’altro. Per questi motivi il Teorema fondamentale del calcolointegrale rappresenta il risultato fondamentale dell’intero calcolo infinitesimale in una variabilereale.

Proprieta elementari dell’integrale di Riemann

Siano f, g : [a, b]→ R due funzioni limitate e integrabili secondo Riemann su [a, b], con a, b reali,e sia c ∈ R; allora valgono le proprieta:

1) f + g e integrabile e si ha∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =∫ b

a

f(x) dx+∫ b

a

g(x) dx.

2) cf e integrabile e si ha ∫ b

a

(cf(x)) dx = c

∫ b

a

f(x) dx.

3) Se f ≤ g si ha ∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx.

4) Per ogni d ∈ (a, b) si ha ∫ b

a

f(x) dx =∫ d

a

f(x) dx+∫ b

d

f(x) dx.

5) |f | e integrabile e si ha ∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx.

Il Teorema della media

Sia f : [a, b]→ R una funzione integrabile secondo Riemann; il numero reale

1b− a

∫ b

a

f(x) dx

1

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si chiama media integrale di f su [a, b]; se f e continua su tutto [a, b] allora esiste x ∈ [a, b] taleper cui si abbia

f(x) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx.

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f : [a, b]→ R una funzione integrabile secondo Riemann. Per c, x ∈ [a, b] sia A : [a, b]→ R lafunzione integrale definita come

A(x) =∫ x

c

f(t) dt.

Teorema (fondamentale del calcolo integrale): Se f e continua in x allora A e deriv-abile in x e si ha A′(x) = f(x).

Dimostrazione. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale per cui se y ∈ (x−δ, x+δ) allora |f(y)−f(x)| < ε,ovvero f(x)− ε < f(y) < f(x) + ε. Ma allora se y ∈ (x, x+ δ) si ha

f(x)− ε < 1y − x

∫ y

x

f(t) dt < f(x) + ε

mentre se y ∈ (x− δ, x) si ha

f(x)− ε < 1x− y

∫ x

y

f(t) dt < f(x) + ε.

In ogni caso dunque si ha

f(x)− ε < 1y − x

∫ y

x

f(t) dt < f(x) + ε

e dunqueA(y)−A(x)

y − x=

1y − x

∫ y

x

f(t) dt

da cui ∣∣∣∣A(y)−A(x)y − x

− f(x)∣∣∣∣ < ε

che conclude la dimostrazione.

Applicando il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha facilmente la formula che consenteil calcolo di un integrale: ∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a)

dove F : [a, b]→ R e una qualunque funzione derivabile con F ′ = f , ovvero una primitiva di f .

Esempio: Sia f(x) = x− 3x2; dal momento che la funzione F (x) = x2

2 − x3 e una primitiva di

f si ha ∫ 1

0

f(x) dx = F (1)− F (0) =12− 1 = −1

2.

2

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Qualche formula di integrazione

I seguenti due risultati sono spesso utili per il calcolo di integrali.

Integrazione per sostituzione: Siano f : [a, b] → R una funzione continua e φ : [α, β] → Runa funzione derivabile con derivata continua tale per cui Im(φ) ⊆ [a, b]. Allora si ha∫ φ(β)

φ(α)

f(x) dx =∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt.

Esempio: Sia da calcolare ∫ 2

1

1ex + 1

dx.

Ponendo x = log t si trova∫ 2

1

1ex + 1

dx =∫

1

ee2 1t(t+ 1)

dt =∫ e2

e

(1t− 1t+ 1

)dt

= log(e2)− log e− log(e2 + 1) + log(e+ 1) = 1 + log(e+ 1e2 + 1

).

Integrazione per parti: Siano f, g : [a, b]→ R due funzioni continue e F,G : [α, β]→ R dueprimitive di f e g rispettivamente; allora si ha∫ b

a

F (x)g(x) dx = F (b)G(b)− F (a)G(a)−∫ b

a

G(x)f(x) dx.

Esempio: Sia da calcolare ∫ 2

1

log x dx.

Procedendo per parti si pone F (x) = log x e g(x) = 1; allora si ha∫ 2

1

log x dx = 2 log 2−∫ 2

1

dx = 2 log 2− 1.

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