1. Teorema de existenta a marginilor unei multimi marginite Orice multime nevida minorata are margine inferioara si orice multime nevida majorata are margine superioara.

2. Teorema lui Weierstrass-Bolzano Orice multime marginita si infinita are cel putin un punct de acumulare.

3. Teorema de congergenta cu pentru siruri.Un numar a este limita unui sir daca si numai daca pentru orice , exista un numar , astfel incat oricare ar fi , sa avem .

4. Lema lui Stolz Fie si doua siruri. Daca sirul este strict monoton si nemarginit, si

daca (finit sau infinit), atunci .

5. Lema lui Cesaro Orice sir marginit contine cel putin un subsir convergent.

6. Criteriul general al lui Cauchy Un sir este convergent daca si numai daca este sir fundamental.

7. Teorema lui Weierstrass de convergenta a sirurilor monotone Orice sir monoton si marginit este convergent.

8. Puncte limita ale unui sir. Teorema de caracterizare Un numar a este punct limita al unui sir daca si numai daca exista un subsir al acestuia care tinde catre a.

9. Criteriul general al lui Cauchy pentru serii

O serie este convergenta daca si numai daca, pentru orice numar ,

exista un numar , astfel incat oricare ar fi si oricare ar fi , sa avem .

10.Criteriul lui Dirichlet pentru serii cu termeni oarecare

Daca este o serie care are sirul sumelor partiale marginit, si daca este

un sir descrescator de numere pozitive convergent catre 0, atunci seria

este convergenta.

11.Criteriul lui Abel pentru serii cu termeni oarecare

Daca seria este convergenta iar sirul de numere pozitive este monoton si

marginit, atunci seria este convergenta.

12.Criteriul lui Leibniz pentru serii alternante O serie alternanta , pentru care sirul modulelor termenilor este descrescator si convergent catre 0, este convergenta.

13.Primul criteriu de comparatie pentru serii cu termeni pozitivi

Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Sa presupunem ca exista un

numar N, astfel incat .

1) Daca seria este convergenta, atunci seria este convergenta

2) Daca seria este divergenta, atunci seria este divergenta

14.Al doilea criteriu de comparatie pentru serii cu termeni pozitivi

Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Sa presupunem ca exista un

numar N, astfel incat .

1) Daca seria este convergenta, atunci seria este convergenta

2) Daca seria este divergenta, atunci seria este divergenta

15.Al treilea criteriu de comparatie

Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Presupunem ca exista

. Daca are loc , atunci seriile au aceeasi natura.

16.Criteriul de condensare pentru serii cu termeni pozitivi

Fie o serie cu termeni pozitivi, astfel ca sirul termenilor sa fie

descrescator. Sa consideram si seria . Daca una dintre serii este

convergenta, atunci si cealalta este convergenta.

17.Criteriul radacinii al lui Cauchy pentru serii cu termeni pozitivi

Fie o serie cu termeni pozitivi.

1) Daca exista un numar N, si un numar , astfel incat, pentru orice , sa avem , atunci seria este convergenta.

2) Daca exista un numar N, astfel ca pentru orice sa avem , atunci seria este divergenta.

18.Criteriul raportului al lui D’Alembert pentru serii cu termeni pozitivi

Fie o serie cu termeni pozitivi.

1) Daca exista un numar N, si un numar , astfel incat, pentru orice ,

sa avem , atunci seria este convergenta

2) Daca exista un numar N, astfel ca pentru orice sa avem , atunci

seria este divergenta

19.Criteriul lui Kummer

Fie o serie cu termeni pozitivi.

1) Daca exista un sir de numere strict pozitive, un numar

si un numar N astfel incat sa avem , atunci seria

este convergenta2) Daca exista un sir de numere strict pozitive , astfel incat

seria sa fie divergenta, si un numar N astfel incat

, atunci seria este divergenta

20.Criteriul lui Raabe-Duhamel

Fie o serie cu termeni pozitivi.

1) Daca exista un numar si un numar N astfel incat sa avem

atunci seria este convergenta.

2) Daca exista un numar N astfel incat , atunci seria este

divergenta.21.Teorema de caracterizare a limitei unei functii cu ajutorul limitelor

laterale.Functia f are limita in , daca si numai daca are in limite laterale egale. In

acest caz, .

22.Criteriul lui Cauchy-Bolzano de existenta a limitei unei functii Functia f are limita finita in punctul , daca si numai daca, pentru orice numar

, exista o vecinatatea V al lui , astfel incat oricare ar fi punctele si din sa avem .

23.Teorema de caracterizare a continuitatii cu ajutorul continuitatii lateraleFunctia este continua in punctul , daca si numai daca este continua la stanga si la dreapta in .

24.Proprietatea Darboux a unei functii. Legatura cu monotonia unei functii.Daca functia are proprietatea lui Darboux si este injectiva, atunci f este strict monotona.

25.Discontinuitatile unei functii cu proprietatea lui Darboux. Daca functia are proprietatea lui Darboux si daca exista una din limitele laterale intr-un punct , atunci ea este egala cu . O functie cu proprietatea Darboux nu are discontinuitati de prima speta.

26.Teorema de continuitate a unei functii monotone. Daca functia este monotona si daca multimea valorilor, f(E), este un interval, atunci f este continua pe E.

27.Teorema lui Weierstrass referitoare la functii continue pe un compact O functie continua pe o multime compacta este marginita si isi atinge marginile pe aceasta multime.

28.Teorema de continuitate uniforma a unei functii continue. O functie continua pe o multime compacta este uniform continua pe aceasta multime.

29.Derivabilitatea functiei inverse. Fie o aplicatie strict monotona a unui interval I pe un interval J si fie functia inversa a lui f. (Stim ca .) Daca functia f este derivabila intr-un punct si daca , atunci functia sa inversa este derivabila in punctul corespunzator

si

30.Teorema lui Fermat

Daca functia f are derivata intr-un punct de extrem din interiorul intervalului I, atunci derivata sa este nula in acest punct, .

31.Teorema lui Rolle Fie f o functie definita pe un interval I si doua puncte din I. Daca:1) functia f este continua pe intervalul inchis ;2) functia f este derivabila pe intervalul deschis ;3) ;Atunci exista cel putin un punct , in care derivata se anuleaza,

32.Teorema cresterilor finite a lui Lagrange Fie f o functie definita pe un interval I si a<b doua puncte din I. Daca:1) functia f este continua pe intervalul inchis ;2) functia f este derivabila pe intervalul deschis ;Atunci exista cel putin un punct , astfel incat sa avem

. Aceasta formula se numeste formula cresterilor finite sau formula mediei.

33.Consecinta a treia a teoremei lui Lagrange Daca f este continua pe I, derivabila pe si daca derivata sa f’ are limita

finita sau infinita in punctul , atunci exista si .

34.Teorema lui Cauchy Fie f si g doua functii definite pe un interval I si a<b doua puncte din I. Daca:1) f si g sunt continue pe intervalul inchis ;2) f si g sunt derivabile pe intervalul deschis ;3)Atunci si exista cel putin un punct astfel incat sa

avem

35.Teorema lui Darboux Daca f este derivabila pe un interval I, atunci derivata sa f’ are proprietatea lui Darboux pe acest interval.

36.Formula lui Taylor. Restul Schlömlich-Roche Fie functia , derivabila de n ori si cu derivate continue pe I si care are derivata de ordinul n+1 pe I. Polinomul

definit pe I, se

numeste polinomul lui Taylor de gradul n, atasat functiei f in punctul a. Formula

se

numeste formula lui Taylor de ordinul n, corespunzatoare functiei f, in punctul a.Functia se numeste restul de ordinul n al formulei lu Taylor.

Restul de ordinul n din formula lui Taylor este dat prin

.

37.Teorema de caracterizare a punctelor de extrem ale unei functii cu ajutorul derivatelor de ordin superior.Fie f o functie derivabila de n ori, , intr-un punct , astfel incat

1) Daca n este par, atunci a este punct de extrem al lui f; daca atunci

a este punct de minim, iar daca , atunci a este punct de maxim.2) Daca n este impar, iar a este punct interior intervalului I, atunci a nu este

punct de extrem al functiei f.

38.Regula lui l’Hospital pentru cazul

Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) al unui interval I, f si g doua functii definite pe I, cu exceptia, eventual, a lui . Daca:

1) si

2) f si g sunt derivabile pe I, cu exceptia, eventual, a lui 3) din I

4) exista (finita sau infinita)

Atunci:a) din I;

b) functia are limita in si .

39.Teorema lui Cauchy pentru cazul

Fie f si g doua functii definite pe un interval I si un punct . Daca:1) si 2) f si g sunt derivabile in punctul 3) Atunci:a) exista o vecintate V a lui , astfel ca pentru , din V;

b)

40.Regula lui l’Hospital pentru cazul Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) al unui interval I, f si g doua functii definite pe I, cu exceptia, eventual a lui . Daca:

1) ;

2) f si g sunt derivabile pe I, cu exceptia, eventual, a lui 3) pentru orice din I

4) exista (finita sau infinita)

Atunci functia are limita in si

41.Functii diferentiabile. Teorema de legatura cu derivabilitatea Functia f este diferentiabila intr-un punct daca si numai daca este derivabila in .

42.Teorema lui Abel pentru serii de puteri Pentru orice serie de puteri exista un numar R astfel ca si astfel incat:1) Seria este absolut convergenta pe intervalul deschis 2) Pentru orice x, astfel ca seria este divergenta3) Pentru orice numar , seria este uniform convergenta pe intervalul

inchis Numarul R se numeste raza de convergenta a seriei de puteri, iar intervalul

se numeste intervalul de convergenta al seriei de puteri.

43.Teorema lui Cauchy-Hadamard pentru serii de puteri

Fie o serie de puteri si R raza sa de convergenta. Atunci:

1) , sau

2)

44.Teorema cresterilor finite pentru functii vectoriale Fie o functie si a<b doua puncte din I. Daca:1) f este continua pe intervalul inchis 2) f este derivabila pe intervalul deschis , atunci:

45.Diferentiabilitatea unie functii in R 2 . Teorema de legatura cu derivatele partialeDaca functia f este diferentiabila in punctul ,atunci ea are derivate partiale in si . Egalitatea de definitie a diferentiabilitatii se scrie atunci astfel:

46.Criteriul lui Schwartz pentru functii reale de doua variabile Daca functia are derivate partiale mixte de ordinul doi intr-o vecinatate V a lui si daca este continua in , atunci .

47.Teorema de derivare a functiilor compuse in R 2 Fie si . Daca functiile u(x), v(x) au derivate continue pe X, si daca functia are derivate partiale continue pe Y, atunci functia compusa are derivata continua

pe X, data de .

48.Formula lui Taylor in R 2 Daca functia f este derivabila de n+1 ori pe X, cu toate derivatele mixte egale, atunci pentru oricare are loc formula

,

49.Teorema de caracterizare a punctelor de extrem in R 2 Fie functia , derivabila partial de trei ori pe X si fie un punct

stationar al functiei. Fie apoi

1) Daca in punctul avem si , atunci punctul este un

punct de minim al functiei

2) Daca in punctul avem si , atunci punctul este un

punct de maxim al functiei

3) Daca in punctul avem , atunci punctul nu este un punct de extrem al functiei

50.Teorema de existenta a functiilor implicite Fie o functie reala definita pe si a un punct interior lui X si b un punct interior lui Y. Daca:1) 2) sunt continue pe o vecinatate a lui

3) Atunci1’) exista o vecinatate a lui a si o vecinatate a lui b si o functie unica astfel incat f(a)=b si pentru

2’) functia f(x) are derivata continua pe data de ;

3’) daca are derivate partiale continue pana la ordinul n pe , atunci f(x) are derivate continue pana la ordinul n pe .