-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
1/12
GRAFOVI ELEKTRINIH MREA
Zadatak #1:
Za orijentisani graf mree sa slike 1.1 odrediti:
a)
potpunu matricu incidencije vorova 0A ;b) matricu incidencije
vorova A uzimajui vorza referentni vor.
Formirajuivektorkolonustrujagranamree ,pokazatidajednaina
predstavlja
matrini oblik jednaina Kirhofovog zakona za struje (KZS) prema
usvojenim referentnim smjerovima i
numeraciji kao na orijentisanom grafu.
[ 1 2 6, , ..., T
i i i=i ] 0 =A i 0
2
3
4
1 2
54
6
3
1
slika 1.1.Analizirani orijentisani graf mree
Rjeenje:
a)Elementi potpune matrice incidencije vorova definisani su
relacijom:ika 0A
ukoliko grana izlazi iz vora
ukoliko grana zavrava u voru
ukoliko grana i vor nisu incidentni
1,
1,
0,
ik
k i
a k
k i
=
i
Za orijentisani graf sa slike 1.1 matrica ima oblik:0A
0
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
=
A
b)Matrica incidencije vorova dobija se eliminacijom vrste u
matrici koja odgovara referentnomvoru u ovom sluaju izostavljanjem
tree vrste u matrici :
A 0A
0A
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
=
A
3
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
2/12
Napisana u razvijenom obliku za dati orijentisani graf, matrina
jednaina glasi:0 =A i 0
1
2
3
4
5
6
1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0
00 0 1 1 0 1
00 1 0 0 1 1
i
i
i
i
i
i
=
0
1
0 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
=
(1)
Poslije elementarnih mnoenja, jednaina (1) moe se napisati u
algebarskoj formi:
1 4 5
1 2 3
3 4 6
2 5 6
0
0
0
0
i i i
i i i
i i i
i i i
+ =
+ + =
+ =
+ =
(2)
Posmatranjem sistema jednaina (2) moe se zakljuiti da se
predznaci za struje grana mogu odrediti na
osnovu koeficijenata matrice . Poto sistem jednaina (2)
predstavlja KZS za dati orijentisani graf, to
se isti moe napisati u matrinoj formi (1), odnosno kao matrina
jednaina koja predstavlja
KZS u matrinom obliku.
0A
0 =A i 0
Zadatak #2:
Zajedanorijentisanigrafsaizabranimvoromkaoreferentnimvorom,poznatajematricaincidencije
vorova u obliku:A
1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0
=
A
Nacrtati orijentisani graf mree za ovaj sluaj sa naznakom
referentnih smjerova i numeracije grana,
odnosno numeracije vorova.
Rjeenje:Orijentisani graf mree je u cjelosti odreen pomou
potpune matrice incidencije vorova koju je
mogue formirati na nain da se matrica incidencije vorova proiri
sa vrstom koja odgovara
referentnom voru, a iji su elementi izabrani tako da je zbir
elemenata u svakoj koloni matrice
jedank nuli. Tako bi matrica imala oblik:
0A
A
0A
0A
0
1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0
1 1
A
4
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
3/12
Poto matrica ima dimenzije ( , to se moe zakljuiti da
analizirani orijentisani graf sadri
vorova i grana. Vodei rauna o usvojenoj konvenciji za formiranje
elemenata
potpune matrice incidencije vorova , to je orijentisani graf za
datu matricu , odnosno matricu
sa vorom kao referentnim vorom, dat na slici 2.1 na kojoj su
naznaeni smjerovi i numeracija
grana, odnosno numeracija vorova.
0A )n lN N
5nN = 8lN = ika
0A 0A A
6
2
5
1 3
4
5 3
721
8
4
slika 2.1.Rezultantni orijentisani graf
Zadatak #3:
Za orijentisani graf predstavljen na slici 2.1 u prethodnom
zadatku, poznata je vektor kolona napona
vorova , pri emu je vor uzet kao referentni vor. Koritenjem
matrine
jednaine odrediti vektor napona grana mree v .
[ 1 3 4 5, , , T
n n n n n v v v v =v ]
3
4
5
6
v
v
v
v
Tn=v A v
Rjeenje:Za orijentisani graf sa slike 2.1, uz vorkao referentni
vor, matrina relacija napisana u
razvijenom obliku glasi:
Tn=v A v
1 1
1 2
1 4 5
3 1 3
4 5
5 3 4
3 5 7
4 8
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
n
n
n n n
n n nT
nn n
n n n
n n
n
v v
v v
v v v
v v v
v v
v v v
v v v
v v
+ + = = = =
+ +
v A v
Zadatak #4:
Za orijentisani graf mree sa slike 4.1 odrediti potpunu matricu
incidencije grana i petlji usvajajui
orijentaciju unutranjih petlji u smjeru kazaljke na satu, a
orijentaciju vanjske petlje u suprotnom
smjeru.
0M
5
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
4/12
8
3
1 3
5
2
4
7
4
1
5
2
6
9
slika 4.1.Analizirani orijentisani graf mree
Rjeenje:
Elementi potpune matrice incidencije grana i petlji definisani
su relacijom:ikm 0M
za granu u petlji , iji se smjerovi poklapaju
za granu u petlji , iji su smjerovi suprotni
ukoliko grana ne pripada petlji
1,
1,
0,
ik
k i
m k i
k i
=
Za dati orijentisani graf, na slici 4.2 predstavljene su
unutranje petlje, odnosno vanjska petlja prema
definisanoj orijentaciji. Ovdje je broj unutranjih petlji 1 9 5
1 5p l nN N N= + = + = .
8
3I
V
VI
II
III
IV
1 3
5
2
4
7
4
1
5
2
6
9
slika 4.2.Ilustracija koncepta unutranjih i vanjske petlje
Prema referentnim smjerovima grana i petlji sa slike 4.2,
matrica ima oblik:0M
6
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
5/12
0
1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 0 1 1
=
M
Zadatak #5:
Za orijentisani graf mree predstavljen na slici 4.1 u prethodnom
zadatku, odrediti:
a) potpunu matricu incidencije vorova 0A ;
b)
matricu incidencije vorova A uzimajui vorza referentni vor;
c) potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M u sluaju da je
u analiziranom grafu uvedena nova
grana 10 orijentisana iz voraka voru.
Rjeenje:
a) Analizirani orijentisani graf sadri 9lN = grana i 5nN =
vorova, pa je matrica dimenzija
i data u obliku:0A
( ) (5n lN N = 9)
0
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0
=
A
b) Izostavljajui treu vrstu u matrici , koja odgovara
referentnom voru , matrica incidencije
vorova poprima oblik:0A
A
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0
=
A
c)U sluaju da je u analiziranom grafu uvedena nova grana 10
orijentisana iz vora ka voru ,
novi orijentisani graf ima izgled kao na slici 5.1 na kojem je
naznaen odabir i orijentacija unutranjih
petlji, odnosno vanjske petlje. Novi orijentisani graf sadri
10lN = grana i vorova, pa je broj
unutranjih petlji .
5nN =
1 10 5 1 6p l nN N N= + = + =
7
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
6/12
8
3I
V
VII
II
III
VI
IV
1 3
5
2
4
7
10
4
1
5
2
6
9
slika 5.1.Modifikovani orijentisani graf uvoenjem nove grane sa
predstavom
unutranjih i vanjske petlje
Za novi orijentisani graf matrica ima dimenzije ( 10M ) (7 1p lN
N 0)+ = , a prema referentnim
smjerovima grana i petlji sa slike 5.1, oblik matrice bio bi
sljedei:0M
0
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
=
M
=
A 0
1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 1 0
?
1 0 0 0 0 0
?
?
0 0
Zadatak #6:
Za jedan orijentisani graf djelimino su poznate matrice i :0A
0M
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
? ? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
0 ?
1 0 1 0 0
0 0 0
? ? ?
? ? ? ?
? ?
=
M
Napisati izostavljene elemente kod ovih matrica, te nacrtati
orijentisani graf mree sa naznakom
referentnih smjerova i numeracije grana i petlji, odnosno
vorova.
8
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
7/12
Rjeenje:
Na osnovu dimenzija matrice ,0A ( n lN N ) , odnosno matrice ,0M
( 1pN N)l+ , zakljuuje se da
orijentisani graf sadri 12lN = grana, 8nN = vorova i 1 5p l nN N
N= + = unutranjih petlji.
Koristei se osobinom matrica i da su njihove vrste meusobno
zavisne, odnosno ako se bilo
kojoj vrsti matrice , ili matrice dodaju sve ostale vrste, dobit
e se nula-vrsta (zbir elemenata u
svakoj vrsti matrice , odnosno matrice , jednak je nuli), onda
nije teko zakljuiti vrijednosti
nedostajuih elemenata u ovim matricama:
0A 0M
0A
0M
0A 0M
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 0
1
1
0
1
1 1
0
1
1
1
=
A 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1
0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
1 1
0 0 0 0 0 0
0
=
M
Orijentisani graf mree dat je na slici 6.1. na kojem su naznaeni
referentni smjerovi i numeracija grana
i petlji, odnosno numeracija vorova.
5
4
8
3
2
6
7
12
11
9
3
8 10
12
1
7 5
6
4
V
VI
I
III IVII
slika 6.1.Rezultantni orijentisani graf
Zadatak #7:
Za jednu elektrinu mreu moe se predstaviti orijentisani graf kao
na slici 7.1. Birajui fundamentalno
stablo tako da ono bude obrazovano od proizvoljno odabranih
grana, odrediti matricu incidencije grana i
9
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
8/12
fundamentalnih presjeka Q . Renumeracijom grana na orijentisanom
grafu, napisati matricu Q u obliku
f n= Q Q I .
9
4 3
1
5
2 6
12
6
10
117
85
4
3
slika 7.1.Analizirani orijentisani graf
Rjeenje:
Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q
definisani su relacijom:ikq
ukoliko presjek sadri granu i ako imaju saglasne smjerove
ukoliko presjek sadri granu i ako su im smjerovi suprotni
ukoliko grana ne pripada presjeku
1,
1,
0,
ik
i k
q i k
k i
=
Orijentisani graf sa slike 7.1 sadri 11lN = grana i 6nN =
vorova, pa se za njega moe odrediti
fundamentalnih presjeka. Fundamentalno stablo za analizirani
orijentisani graf
sastavljeno je od grana. Birajui fundamentalno stablo
sastavljeno od grana 1,3,4,6,10,
te birajui fundamentalne presjeke kao to je predstavljeno na
slici 7.2,
1 5nn N= =
1 5nn N= =
9
4 3
1
5
2 6
12
6
10
11
7S1
S5
S4
S3
S2
85
4
3
slika 7.2.Ilustracija formiranja fundamentalnih presjeka
matrica incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q , prema
elementima sa slike 7.2, ima oblik:
10
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
9/12
0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1
=
Q
Da bi matrica imala strukturu oblikaQ f n= Q Q I , pri emu je
jedinina matrica dimenzija
( ), a submatrica incidencije grana spojnica i fundamentalnih
presjeka ije su
dimenzije (
nI
( )n n 1nn N= fQ
( )kn N 1k l nN N N= + ), potrebno je da se grane spojnica
numeriu sukcesivnim
brojevima od 1 do , a grane fundamentalnog stabla sukcesivnim
brojevima od do .kN 1kN + lN
Renumeracija grana fundamentalnog stabla izvrena je kao na slici
7.3, uz isti odabir fundamentalnih
presjeka, pa je matrica oblikaQ f n=Q Q I data kao:
1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
=
Q
3
4 3
1
5
2 6
102
8
9
6
1S1
S5
S4
S3
S2
45
7
11
slika 7.3.Renumeracija grana fundamentalnog stabla za formiranje
matrice Q oblika f n= Q Q I
Zadatak #8:
Za orijentisani graf mree sa slike 7.3 u prethodnom zadatku,
potrebno je:
a) odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M ;
b)
odrediti matricu incidencije grana i fundamentalnih kontura B
;
c) pokazati meusobni odnos meu matricama B i Q oblika T =BQ 0
;
d) pokazati meusobni odnos meu submatricama fB i fQ oblikaT
f f= .B Q
Rjeenje:
a)Na slici 8.1 naznaen je odabir i orijentacija unutranjih
petlji, odnosno vanjske petlje, pri emu je
broj unutranjih petlji 1 11 6 1 6p l nN N N= + = + = .
11
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
10/12
3
4 3
1
5
2 6
102
8
9
61
45
7
11
I III
VIII
IV
V
VII
slika 8.1. Orijentisani graf sa naznakom unutranjih i vanjske
petlje
Potpuna matrica incidencije grana i petlji data je u
obliku:0M
0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1
=
M
b)Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih kontura B
definisani su relacijom:ikb
ukoliko kontura sadri granu i ako imaju saglasne smjerove
ukoliko kontura sadri granu i ako su im smjerovi suprotni
ukoliko grana ne pripada konturi
1,
1,
0,
ik
i k
b i k
k i
=
Orijentisani graf sa slike 7.3 sadri 11lN = grana i 6nN =
vorova, pa se za njega moe odrediti
fundamentalnih kontura. Ilustracija odabira i orijentacije
fundamentalnih kontura
data je na slici 8.2.
1 6k l nN N N= + =
II V
IV
III
VI
I
3
4 3
1
5
2 6
10
2
8
9
6
1
45
7
11
slika 8.2. Orijentisani graf sa odabirom i orijentacijom
fundamentalnih kontura
12
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
11/12
U analiziranom primjeru odabir kontura je vren tako da grana
spojnica 1 formira konturu I, spojnica 2
konturu II, itd. Matrica incidencije grana i fundamentalnih
kontura B data je u oblikuln f
= B I B :
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
=
B
c)Proizvod matrica , pri emu je matrica Q odreena u prethodnom
zadatku, dat je kao:TBQ
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 00 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
T
=
BQ
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
= =
0
d)U prethodnom zadatku matrica Q je data u obliku f n= Q Q I ,
pa je submatrica :fQ
1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1
f
=
Q
U taki b) matrica je predstavljena u oblikuBln f
= B I B , pa je submatrica :fB
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 1 1 1
f
=
B
Poto je:
13
-
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
12/12
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 1 1 1
Tf
=
Q
to se pokazuje meusobni odnos meu submatricama i oblika .fB fQ
T
f f= B Q
Zadatak #9:
Za jedan orijentisani graf poznata je potpuna matrica
incidencije vorova oblika:0A
0
1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1
=
A
Potrebno je:
a)
nacrtati orijentisani graf mrea sa naznakom referentnih smjerova
i numeracije grana, odnosno
numeracije vorova;
b) izabrati sistem fundamentalnih presjeka, a potom odrediti
matricu incidencije grana i
fundamentalnih presjeka Q ;
c) pretpostavljajui da su poznati naponi grana fundamentalnog
stabla u , odrediti napone svake
grane orijentisanog grafa v ;
d)
izabrati sistem fundamentalnih kontura, a potom odrediti matricu
incidencije grana ifundamentalnih kontura B ;
e)
pretpostavljajui da su poznate struje fundamentalnih kontura kj
, odrediti struje u svakoj grani
orijentisanog grafa i .
Rjeenje:
a) Orijentisani graf mrea sa izabranom orijentacijom i
numeracijom grana, odnosno numeracijom
vorova, a kojem odgovara matrica , predstavljen je na slici
9.1.0A
5
2
4
1
3
2
4
1
6
3
5
7
slika 9.1.Rezultantni orijentisani graf
14
