12
GRAFOVI ELEKTRIČNIH MREŽA Zadatak #1: Za orijentisani graf mreže sa slike 1.1 odrediti: a)  potpunu matricu incidencije čvorova 0 A ;  b) matricu incidencije čvorova A  uzimajući čvor  za referentni čvor. Formirajući vektor  kolonu struja grana mreže ,  pokazati  da  jednačina  predstavlja matrični oblik jednačina Kirhofovog zakona za struje (KZS) prema usvojenim referentnim smjerovima i numeraciji kao na orijentisanom grafu. [  1 2 6 , ,...,  T i i i = i  ]  0  = A i 0  2 3 4 1 2 5 4 6 3 1  slika 1.1. Analizirani orijentisani graf mreže Rješenje: a) Elementi potpune matrice incidencije čvorova definisani su relacijom: ik a 0 A  ukoliko grana izlazi iz čvora ukoliko grana završava u čvoru ukoliko grana i čvor nisu incidentni 1, 1 , 0 , ik k i a k k i = i  Za orijentisani graf sa slike 1.1 matrica ima oblik: 0 A  0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 = A  b) Matrica incidencije čvorova dobija se eliminacijom vrste u matrici koja odgovara referentnom čvoru – u ovom slučaju izostavljanjem treće vrste u matrici : A 0 A 0 A  1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 = A  3

Teoreme Zadaci Uz Predavanja

  • Upload
    danin

  • View
    239

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 1/12

GRAFOVI ELEKTRIČNIH MREŽA

Zadatak #1:

Za orijentisani graf mreže sa slike 1.1 odrediti:

a) 

 potpunu matricu incidencije čvorova 0A ; b)  matricu incidencije čvorova A  uzimajući čvor③ za referentni čvor.

Formirajući vektor  kolonu struja grana mreže  ,  pokazati da  jednačina   predstavlja

matrični oblik jednačina Kirhofovog zakona za struje (KZS) prema usvojenim referentnim smjerovima i

numeraciji kao na orijentisanom grafu.

[  1 2 6, , ...,  T 

i i i =i   ]   0   =A i 0

 

2

3

4

1 2

54

6

3

1

 

slika 1.1. Analizirani orijentisani graf mreže

Rješenje:

a) Elementi potpune matrice incidencije čvorova definisani su relacijom:ik a  0A

 

ukoliko grana izlazi iz čvora

ukoliko grana završava u čvoru

ukoliko grana i čvor nisu incidentni

1,

1,

0,

ik 

k i 

a k 

k i 

⎧⎪⎪

= −⎨⎪⎪⎩

i   

Za orijentisani graf sa slike 1.1 matrica ima oblik:0A

 

0

1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −

⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A  

b) Matrica incidencije čvorova dobija se eliminacijom vrste u matrici koja odgovara referentnom

čvoru – u ovom slučaju izostavljanjem treće vrste u matrici :

A 0A

0A

 

1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1

⎡ ⎤−⎢ ⎥

= −⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A  

3

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 2/12

 Napisana u razvijenom obliku za dati orijentisani graf, matrična jednačina glasi:0   =A i 0

 

1

2

3

4

5

6

1 0 0 1 1 0   0

1 1 1 0 0 0 0

00 0 1 1 0 1

00 1 0 0 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎡ ⎤   ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥   ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢   ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢   ⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥   ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥   ⎢ ⎥− −   ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

0

1

0 0 1 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢−⎢ ⎥⎣ ⎦

  (1)

Poslije elementarnih množenja, jednačina (1) može se napisati u algebarskoj formi:

1 4 5

1 2 3

3 4 6

2 5 6

0

0

0

0

i i i 

i i i 

i i i 

i i i 

− + =

− + + =

− + − =

− − + =

  (2)

Posmatranjem sistema jednačina (2) može se zaključiti da se predznaci za struje grana mogu odrediti na

osnovu koeficijenata matrice . Pošto sistem jednačina (2) predstavlja KZS za dati orijentisani graf, to

se isti može napisati u matričnoj formi (1), odnosno kao matrična jednačina koja predstavlja

KZS u matričnom obliku.

0A

0   =A i 0

 

Zadatak #2:

Za  jedan orijentisani graf  sa izabranim čvorom ② kao referentnim čvorom,  poznata  je matrica incidencije

čvorova u obliku:A

 1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥

− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −

⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

A  

 Nacrtati orijentisani graf mreže za ovaj slučaj sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana,

odnosno numeracije čvorova.

Rješenje:Orijentisani graf mreže je u cjelosti određen pomoću potpune matrice incidencije čvorova koju je

moguće formirati na način da se matrica incidencije čvorova proširi sa vrstom koja odgovara

referentnom čvoru②, a čiji su elementi izabrani tako da je zbir elemenata u svakoj koloni matrice

 jedank nuli. Tako bi matrica imala oblik:

0A

A

0A

0A

 

0

1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0

1 1− −

 A

  4

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 3/12

Pošto matrica ima dimenzije ( , to se može zaključiti da analizirani orijentisani graf sadrži

čvorova i grana. Vodeći računa o usvojenoj konvenciji za formiranje elemenata

 potpune matrice incidencije čvorova , to je orijentisani graf za datu matricu , odnosno matricu

sa čvorom ②  kao referentnim čvorom, dat na slici 2.1 na kojoj su naznačeni smjerovi i numeracija

grana, odnosno numeracija čvorova.

0A   )n l N N ×

5n N    =   8l N    =   ik a 

0A 0A A

 

6

2

5

1   3

4

5 3

721

8

4

 

slika 2.1. Rezultantni orijentisani graf

Zadatak #3:

Za orijentisani graf predstavljen na slici 2.1 u prethodnom zadatku, poznata je vektor kolona napona

čvorova , pri čemu je čvor ② uzet kao referentni čvor. Korištenjem matrične

 jednačine odrediti vektor napona grana mreže v .

[   1 3 4 5, , ,   T n n n n n  v v v v  =v   ]

3

4

5

6

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

T n =v A v

 

Rješenje:Za orijentisani graf sa slike 2.1, uz čvor② kao referentni čvor, matrična relacija napisana u

razvijenom obliku glasi:

T n =v A v

 

1 1

1 2

1 4 5

3 1 3

4 5

5 3 4

3 5 7

4 8

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 1 1

1 1 0 0

0 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

n n n 

n n n T 

n n n 

n n n 

n n 

v v 

v v 

v v v 

v v v 

v v 

v v v 

v v v 

v v 

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−   − +⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =−⎢ ⎥−   ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥   − +−   ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−

⎣ ⎦

v A v

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

 

Zadatak #4:

Za orijentisani graf mreže sa slike 4.1 odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji usvajajući

orijentaciju unutrašnjih petlji u smjeru kazaljke na satu, a orijentaciju vanjske petlje u suprotnom

smjeru.

0M

 

5

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 4/12

8

3

1 3

5

2

4

7

4

1

5

2

6

9

 

slika 4.1. Analizirani orijentisani graf mreže 

Rješenje:

Elementi potpune matrice incidencije grana i petlji definisani su relacijom:ik m  0M

 

za granu u petlji , čiji se smjerovi poklapaju

za granu u petlji , čiji su smjerovi suprotni

  ukoliko grana ne pripada petlji

1,

1,

0,

ik 

k i 

m k i 

k i 

⎧⎪⎪

= −⎨⎪⎪⎩

 

Za dati orijentisani graf, na slici 4.2 predstavljene su unutrašnje petlje, odnosno vanjska petlja prema

definisanoj orijentaciji. Ovdje je broj unutrašnjih petlji 1 9 5 1 5p l n N N N = − + = − + = .

8

3I

V

VI

II

III

IV

1 3

5

2

4

7

4

1

5

2

6

9

 

slika 4.2. Ilustracija koncepta unutrašnjih i vanjske petlje

Prema referentnim smjerovima grana i petlji sa slike 4.2, matrica ima oblik:0M

  6

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 5/12

 

0

1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥

− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

M  

Zadatak #5:

Za orijentisani graf mreže predstavljen na slici 4.1 u prethodnom zadatku, odrediti:

a)   potpunu matricu incidencije čvorova 0A ;

 b) 

matricu incidencije čvorova A  uzimajući čvor③ za referentni čvor;

c)   potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M  u slučaju da je u analiziranom grafu uvedena nova

grana 10 orijentisana iz čvora② ka čvoru④.

Rješenje:

a)  Analizirani orijentisani graf sadrži 9l N   =   grana i 5n N    =   čvorova, pa je matrica dimenzija

i data u obliku:0A

( ) (5n l N N × = × 9)

 

0

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −= ⎢ ⎥⎢ ⎥−

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

A  

b)  Izostavljajući treću vrstu u matrici , koja odgovara referentnom čvoru ③, matrica incidencije

čvorova poprima oblik:0A

A

 

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−

⎢ ⎥⎢ ⎥− −

⎣ ⎦

A  

c) U slučaju da je u analiziranom grafu uvedena nova grana 10 orijentisana iz čvora ② ka čvoru ④,

novi orijentisani graf ima izgled kao na slici 5.1 na kojem je naznačen odabir i orijentacija unutrašnjih

 petlji, odnosno vanjske petlje. Novi orijentisani graf sadrži 10l N    =  grana i čvorova, pa je broj

unutrašnjih petlji .

5n N    =

1 10 5 1 6p l n N N N = − + = − + = 

7

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 6/12

8

3I

V

VII

II

III

VI

IV

1 3

5

2

4

7

10

4

1

5

2

6

9

 

slika 5.1. Modifikovani orijentisani graf uvođ enjem nove grane sa predstavom

unutrašnjih i vanjske petlje

Za novi orijentisani graf matrica ima dimenzije ( 10M   ) (7 1p l N N    0)+ × = × , a prema referentnim

smjerovima grana i petlji sa slike 5.1, oblik matrice bio bi sljedeći:0M

 

0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

−⎢⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A   0

1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0

?

1 0 0 0 0 0

?

?

0 0

 

Zadatak #6:

Za jedan orijentisani graf djelimično su poznate matrice i :0A 0M

 

0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

? ? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

0   ?

−⎡ ⎤⎢ ⎥

 

1 0 1 0 0

0 0 0

? ? ?

? ? ? ?

? ?

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −  ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

 

 Napisati izostavljene elemente kod ovih matrica, te nacrtati orijentisani graf mreže sa naznakom

referentnih smjerova i numeracije grana i petlji, odnosno čvorova.

8

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 7/12

Rješenje:

 Na osnovu dimenzija matrice ,0A   (   n l N N   )× , odnosno matrice ,0M   ( 1pN N  )l + × , zaključuje se da

orijentisani graf sadrži 12l N    =  grana, 8n N    =  čvorova i 1 5p l n N N N = − + =  unutrašnjih petlji.

Koristeći se osobinom matrica i da su njihove vrste međusobno zavisne, odnosno ako se bilo

kojoj vrsti matrice , ili matrice dodaju sve ostale vrste, dobit će se nula-vrsta (zbir elemenata u

svakoj vrsti matrice , odnosno matrice , jednak je nuli), onda nije teško zaključiti vrijednosti

nedostajućih elemenata u ovim matricama:

0A 0M

0A

0M

0A 0M

 

0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0

1

1

0

1

1 1

0

1

1

1

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

A   0 0

1 1 0 0 0 0 0

1 1

0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0

0 0 1 0

0 0 1 0

1 1

0 0 0 0 0 0

0

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥  ⎢ ⎥− −

⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

−  

Orijentisani graf mreže dat je na slici 6.1. na kojem su naznačeni referentni smjerovi i numeracija grana

i petlji, odnosno numeracija čvorova.

5

4

8

3

2

6

7

12

11

9

3

8 10

12

1

7 5

6

4

V

VI

I

III   IVII

 

slika 6.1. Rezultantni orijentisani graf  

Zadatak #7:

Za jednu električnu mrežu može se predstaviti orijentisani graf kao na slici 7.1. Birajući fundamentalno

stablo tako da ono bude obrazovano od proizvoljno odabranih grana, odrediti matricu incidencije grana i

9

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 8/12

fundamentalnih presjeka Q . Renumeracijom grana na orijentisanom grafu, napisati matricu Q  u obliku

 f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I .

9

4 3

1

5

2 6

12

6

10

117

85

4

3

 

slika 7.1. Analizirani orijentisani graf

Rješenje:

Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q  definisani su relacijom:ik q  

ukoliko presjek sadrži granu i ako imaju saglasne smjerove

ukoliko presjek sadrži granu i ako su im smjerovi suprotni

  ukoliko grana ne pripada presjeku

1,

1,

0,

ik 

i k 

q i k 

k i 

⎧⎪⎪

= −⎨⎪⎪⎩

 

Orijentisani graf sa slike 7.1 sadrži 11l N    =   grana i 6n N    =   čvorova, pa se za njega može odrediti

fundamentalnih presjeka. Fundamentalno stablo za analizirani orijentisani graf

sastavljeno je od grana. Birajući fundamentalno stablo sastavljeno od grana 1,3,4,6,10,

te birajući fundamentalne presjeke kao što je predstavljeno na slici 7.2,

1 5n n N = − =

1 5n n N = − =

 

9

4 3

1

5

2 6

12

6

10

11

7S1

S5

S4

S3

S2

85

4

3

 

slika 7.2. Ilustracija formiranja fundamentalnih presjeka 

matrica incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q , prema elementima sa slike 7.2, ima oblik:

10

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 9/12

0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Q

 

Da bi matrica imala strukturu oblikaQ  f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I , pri čemu je jedinična matrica dimenzija

( ), a submatrica incidencije grana spojnica i fundamentalnih presjeka čije su

dimenzije (

n I

( )n n ×   1n n N = −   f Q

( )k n N ×   1k l n N N N = − + ), potrebno je da se grane spojnica numerišu sukcesivnim

 brojevima od 1 do , a grane fundamentalnog stabla sukcesivnim brojevima od do .k N    1k N    +   l N 

 

Renumeracija grana fundamentalnog stabla izvršena je kao na slici 7.3, uz isti odabir fundamentalnih

 presjeka, pa je matrica oblikaQ  f n = ⎡⎣Q Q I   ⎤⎦ data kao:

1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

− −⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Q  

3

4 3

1

5

2 6

102

8

 9

 6

1S1

S5

S4

S3

S2

45

7

11

 

slika 7.3. Renumeracija grana fundamentalnog stabla za formiranje matrice Q  oblika  f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I  

Zadatak #8:

Za orijentisani graf mreže sa slike 7.3 u prethodnom zadatku, potrebno je:

a)  odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M ;

 b) 

odrediti matricu incidencije grana i fundamentalnih kontura B ;

c)   pokazati međusobni odnos među matricama B  i Q  oblika T  =BQ 0 ;

d)   pokazati međusobni odnos među submatricama  f B  i  f Q  oblika T  f f = − .B Q

 

Rješenje:

a) Na slici 8.1 naznačen je odabir i orijentacija unutrašnjih petlji, odnosno vanjske petlje, pri čemu je

 broj unutrašnjih petlji 1 11 6 1 6p l n N N N = − + = − + = .

11

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 10/12

3

4 3

1

5

2 6

102

8

 9

 61

45

7

11

I III

VIII

IV

V

VII 

slika 8.1. Orijentisani graf sa naznakom unutrašnjih i vanjske petlje

Potpuna matrica incidencije grana i petlji data je u obliku:0M

 

0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

M  

b) Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih kontura B  definisani su relacijom:ik b

 

ukoliko kontura sadrži granu i ako imaju saglasne smjerove

ukoliko kontura sadrži granu i ako su im smjerovi suprotni

  ukoliko grana ne pripada konturi

1,

1,

0,

ik 

i k 

b i k 

k i 

⎧⎪⎪

= −⎨⎪⎪⎩

 

Orijentisani graf sa slike 7.3 sadrži 11l N    =   grana i 6n N    =   čvorova, pa se za njega može odrediti

fundamentalnih kontura. Ilustracija odabira i orijentacije fundamentalnih kontura

data je na slici 8.2.

1 6k l n N N N = − + =

 

II V

IV

III

VI

I

3

4 3

1

5

2 6

10

2

8

 9

  6

1

45

7

11

 

slika 8.2. Orijentisani graf sa odabirom i orijentacijom fundamentalnih kontura 

12

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 11/12

U analiziranom primjeru odabir kontura je vršen tako da grana – spojnica 1 formira konturu I, spojnica 2

konturu II, itd. Matrica incidencije grana i fundamentalnih kontura B  data je u oblikul n f = ⎡ ⎤⎣ ⎦

B I B :

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

B  

c) Proizvod matrica , pri čemu je matrica Q  određena u prethodnom zadatku, dat je kao:T BQ

 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 0 1 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 00 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1

0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎢ ⎥−   ⎢ ⎥⎢ ⎥   − −=   ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎣ ⎦

BQ

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥

0  

d) U prethodnom zadatku matrica Q  je data u obliku  f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I , pa je submatrica :  f Q

 

1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1

 f 

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

Q  

U tački b) matrica je predstavljena u oblikuBl n f = ⎡ ⎤⎣ ⎦

B I B , pa je submatrica : f B

 

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 0 1 1

1 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 1 1

 f 

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

B  

Pošto je:

13

7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja

http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 12/12

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 0 1 1

1 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 1 1

T  f 

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Q  

to se pokazuje međusobni odnos među submatricama i oblika . f B  f Q   T  f f = −B Q

 

Zadatak #9:

Za jedan orijentisani graf poznata je potpuna matrica incidencije čvorova oblika:0A 

0

1 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A  

Potrebno je:

a) 

nacrtati orijentisani graf mreža sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana, odnosno

numeracije čvorova;

 b)  izabrati sistem fundamentalnih presjeka, a potom odrediti matricu incidencije grana i

fundamentalnih presjeka Q ;

c)   pretpostavljajući da su poznati naponi grana fundamentalnog stabla u , odrediti napone svake

grane orijentisanog grafa v ;

d) 

izabrati sistem fundamentalnih kontura, a potom odrediti matricu incidencije grana ifundamentalnih kontura B ;

e) 

 pretpostavljajući da su poznate struje fundamentalnih kontura k  j , odrediti struje u svakoj grani

orijentisanog grafa i .

Rješenje:

a)  Orijentisani graf mreža sa izabranom orijentacijom i numeracijom grana, odnosno numeracijom

čvorova, a kojem odgovara matrica , predstavljen je na slici 9.1.0A

 

5

2

4

1

3

2

4

1

6

3

5

7

 

slika 9.1. Rezultantni orijentisani graf  

14