Upload
danin
View
239
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 1/12
GRAFOVI ELEKTRIČNIH MREŽA
Zadatak #1:
Za orijentisani graf mreže sa slike 1.1 odrediti:
a)
potpunu matricu incidencije čvorova 0A ; b) matricu incidencije čvorova A uzimajući čvor③ za referentni čvor.
Formirajući vektor kolonu struja grana mreže , pokazati da jednačina predstavlja
matrični oblik jednačina Kirhofovog zakona za struje (KZS) prema usvojenim referentnim smjerovima i
numeraciji kao na orijentisanom grafu.
[ 1 2 6, , ..., T
i i i =i ] 0 =A i 0
2
3
4
1 2
54
6
3
1
slika 1.1. Analizirani orijentisani graf mreže
Rješenje:
a) Elementi potpune matrice incidencije čvorova definisani su relacijom:ik a 0A
ukoliko grana izlazi iz čvora
ukoliko grana završava u čvoru
ukoliko grana i čvor nisu incidentni
1,
1,
0,
ik
k i
a k
k i
⎧⎪⎪
= −⎨⎪⎪⎩
i
Za orijentisani graf sa slike 1.1 matrica ima oblik:0A
0
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A
b) Matrica incidencije čvorova dobija se eliminacijom vrste u matrici koja odgovara referentnom
čvoru – u ovom slučaju izostavljanjem treće vrste u matrici :
A 0A
0A
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
⎡ ⎤−⎢ ⎥
= −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
A
3
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 2/12
Napisana u razvijenom obliku za dati orijentisani graf, matrična jednačina glasi:0 =A i 0
1
2
3
4
5
6
1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0
00 0 1 1 0 1
00 1 0 0 1 1
i
i
i
i
i
i
⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥
0
1
0 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −= ⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢−⎢ ⎥⎣ ⎦
(1)
Poslije elementarnih množenja, jednačina (1) može se napisati u algebarskoj formi:
1 4 5
1 2 3
3 4 6
2 5 6
0
0
0
0
i i i
i i i
i i i
i i i
− + =
− + + =
− + − =
− − + =
(2)
Posmatranjem sistema jednačina (2) može se zaključiti da se predznaci za struje grana mogu odrediti na
osnovu koeficijenata matrice . Pošto sistem jednačina (2) predstavlja KZS za dati orijentisani graf, to
se isti može napisati u matričnoj formi (1), odnosno kao matrična jednačina koja predstavlja
KZS u matričnom obliku.
0A
0 =A i 0
Zadatak #2:
Za jedan orijentisani graf sa izabranim čvorom ② kao referentnim čvorom, poznata je matrica incidencije
čvorova u obliku:A
1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥
− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
A
Nacrtati orijentisani graf mreže za ovaj slučaj sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana,
odnosno numeracije čvorova.
Rješenje:Orijentisani graf mreže je u cjelosti određen pomoću potpune matrice incidencije čvorova koju je
moguće formirati na način da se matrica incidencije čvorova proširi sa vrstom koja odgovara
referentnom čvoru②, a čiji su elementi izabrani tako da je zbir elemenata u svakoj koloni matrice
jedank nuli. Tako bi matrica imala oblik:
0A
A
0A
0A
0
1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 0
1 1− −
A
⎥
4
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 3/12
Pošto matrica ima dimenzije ( , to se može zaključiti da analizirani orijentisani graf sadrži
čvorova i grana. Vodeći računa o usvojenoj konvenciji za formiranje elemenata
potpune matrice incidencije čvorova , to je orijentisani graf za datu matricu , odnosno matricu
sa čvorom ② kao referentnim čvorom, dat na slici 2.1 na kojoj su naznačeni smjerovi i numeracija
grana, odnosno numeracija čvorova.
0A )n l N N ×
5n N = 8l N = ik a
0A 0A A
6
2
5
1 3
4
5 3
721
8
4
slika 2.1. Rezultantni orijentisani graf
Zadatak #3:
Za orijentisani graf predstavljen na slici 2.1 u prethodnom zadatku, poznata je vektor kolona napona
čvorova , pri čemu je čvor ② uzet kao referentni čvor. Korištenjem matrične
jednačine odrediti vektor napona grana mreže v .
[ 1 3 4 5, , , T n n n n n v v v v =v ]
3
4
5
6
v
v
v
v
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
T n =v A v
Rješenje:Za orijentisani graf sa slike 2.1, uz čvor② kao referentni čvor, matrična relacija napisana u
razvijenom obliku glasi:
T n =v A v
1 1
1 2
1 4 5
3 1 3
4 5
5 3 4
3 5 7
4 8
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
n
n
n n n
n n n T
n n n
n n n
n n
n
v v
v v
v v v
v v v
v v
v v v
v v v
v v
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =−⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ − +− ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−
⎣ ⎦
v A v
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Zadatak #4:
Za orijentisani graf mreže sa slike 4.1 odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji usvajajući
orijentaciju unutrašnjih petlji u smjeru kazaljke na satu, a orijentaciju vanjske petlje u suprotnom
smjeru.
0M
5
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 4/12
8
3
1 3
5
2
4
7
4
1
5
2
6
9
slika 4.1. Analizirani orijentisani graf mreže
Rješenje:
Elementi potpune matrice incidencije grana i petlji definisani su relacijom:ik m 0M
za granu u petlji , čiji se smjerovi poklapaju
za granu u petlji , čiji su smjerovi suprotni
ukoliko grana ne pripada petlji
1,
1,
0,
ik
k i
m k i
k i
⎧⎪⎪
= −⎨⎪⎪⎩
Za dati orijentisani graf, na slici 4.2 predstavljene su unutrašnje petlje, odnosno vanjska petlja prema
definisanoj orijentaciji. Ovdje je broj unutrašnjih petlji 1 9 5 1 5p l n N N N = − + = − + = .
8
3I
V
VI
II
III
IV
1 3
5
2
4
7
4
1
5
2
6
9
slika 4.2. Ilustracija koncepta unutrašnjih i vanjske petlje
Prema referentnim smjerovima grana i petlji sa slike 4.2, matrica ima oblik:0M
6
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 5/12
0
1 0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 0 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥
− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
M
Zadatak #5:
Za orijentisani graf mreže predstavljen na slici 4.1 u prethodnom zadatku, odrediti:
a) potpunu matricu incidencije čvorova 0A ;
b)
matricu incidencije čvorova A uzimajući čvor③ za referentni čvor;
c) potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M u slučaju da je u analiziranom grafu uvedena nova
grana 10 orijentisana iz čvora② ka čvoru④.
Rješenje:
a) Analizirani orijentisani graf sadrži 9l N = grana i 5n N = čvorova, pa je matrica dimenzija
i data u obliku:0A
( ) (5n l N N × = × 9)
0
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −= ⎢ ⎥⎢ ⎥−
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
A
b) Izostavljajući treću vrstu u matrici , koja odgovara referentnom čvoru ③, matrica incidencije
čvorova poprima oblik:0A
A
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎢ ⎥− −
⎣ ⎦
A
c) U slučaju da je u analiziranom grafu uvedena nova grana 10 orijentisana iz čvora ② ka čvoru ④,
novi orijentisani graf ima izgled kao na slici 5.1 na kojem je naznačen odabir i orijentacija unutrašnjih
petlji, odnosno vanjske petlje. Novi orijentisani graf sadrži 10l N = grana i čvorova, pa je broj
unutrašnjih petlji .
5n N =
1 10 5 1 6p l n N N N = − + = − + =
7
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 6/12
8
3I
V
VII
II
III
VI
IV
1 3
5
2
4
7
10
4
1
5
2
6
9
slika 5.1. Modifikovani orijentisani graf uvođ enjem nove grane sa predstavom
unutrašnjih i vanjske petlje
Za novi orijentisani graf matrica ima dimenzije ( 10M ) (7 1p l N N 0)+ × = × , a prema referentnim
smjerovima grana i petlji sa slike 5.1, oblik matrice bio bi sljedeći:0M
0
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
M
−
−⎢⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A 0
1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 1 0
?
1 0 0 0 0 0
?
?
0 0
Zadatak #6:
Za jedan orijentisani graf djelimično su poznate matrice i :0A 0M
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
? ? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
0 ?
−⎡ ⎤⎢ ⎥
⎥
1 0 1 0 0
0 0 0
? ? ?
? ? ? ?
? ?
−⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
M
Napisati izostavljene elemente kod ovih matrica, te nacrtati orijentisani graf mreže sa naznakom
referentnih smjerova i numeracije grana i petlji, odnosno čvorova.
8
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 7/12
Rješenje:
Na osnovu dimenzija matrice ,0A ( n l N N )× , odnosno matrice ,0M ( 1pN N )l + × , zaključuje se da
orijentisani graf sadrži 12l N = grana, 8n N = čvorova i 1 5p l n N N N = − + = unutrašnjih petlji.
Koristeći se osobinom matrica i da su njihove vrste međusobno zavisne, odnosno ako se bilo
kojoj vrsti matrice , ili matrice dodaju sve ostale vrste, dobit će se nula-vrsta (zbir elemenata u
svakoj vrsti matrice , odnosno matrice , jednak je nuli), onda nije teško zaključiti vrijednosti
nedostajućih elemenata u ovim matricama:
0A 0M
0A
0M
0A 0M
0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 0
1
1
0
1
1 1
0
1
1
1
−⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=
−⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1
0 0 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
−
−
0 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
1 1
0 0 0 0 0 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −
⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
M
−
−
Orijentisani graf mreže dat je na slici 6.1. na kojem su naznačeni referentni smjerovi i numeracija grana
i petlji, odnosno numeracija čvorova.
5
4
8
3
2
6
7
12
11
9
3
8 10
12
1
7 5
6
4
V
VI
I
III IVII
slika 6.1. Rezultantni orijentisani graf
Zadatak #7:
Za jednu električnu mrežu može se predstaviti orijentisani graf kao na slici 7.1. Birajući fundamentalno
stablo tako da ono bude obrazovano od proizvoljno odabranih grana, odrediti matricu incidencije grana i
9
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 8/12
fundamentalnih presjeka Q . Renumeracijom grana na orijentisanom grafu, napisati matricu Q u obliku
f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I .
9
4 3
1
5
2 6
12
6
10
117
85
4
3
slika 7.1. Analizirani orijentisani graf
Rješenje:
Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q definisani su relacijom:ik q
ukoliko presjek sadrži granu i ako imaju saglasne smjerove
ukoliko presjek sadrži granu i ako su im smjerovi suprotni
ukoliko grana ne pripada presjeku
1,
1,
0,
ik
i k
q i k
k i
⎧⎪⎪
= −⎨⎪⎪⎩
Orijentisani graf sa slike 7.1 sadrži 11l N = grana i 6n N = čvorova, pa se za njega može odrediti
fundamentalnih presjeka. Fundamentalno stablo za analizirani orijentisani graf
sastavljeno je od grana. Birajući fundamentalno stablo sastavljeno od grana 1,3,4,6,10,
te birajući fundamentalne presjeke kao što je predstavljeno na slici 7.2,
1 5n n N = − =
1 5n n N = − =
9
4 3
1
5
2 6
12
6
10
11
7S1
S5
S4
S3
S2
85
4
3
slika 7.2. Ilustracija formiranja fundamentalnih presjeka
matrica incidencije grana i fundamentalnih presjeka Q , prema elementima sa slike 7.2, ima oblik:
10
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 9/12
0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Q
−
Da bi matrica imala strukturu oblikaQ f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I , pri čemu je jedinična matrica dimenzija
( ), a submatrica incidencije grana spojnica i fundamentalnih presjeka čije su
dimenzije (
n I
( )n n × 1n n N = − f Q
( )k n N × 1k l n N N N = − + ), potrebno je da se grane spojnica numerišu sukcesivnim
brojevima od 1 do , a grane fundamentalnog stabla sukcesivnim brojevima od do .k N 1k N + l N
Renumeracija grana fundamentalnog stabla izvršena je kao na slici 7.3, uz isti odabir fundamentalnih
presjeka, pa je matrica oblikaQ f n = ⎡⎣Q Q I ⎤⎦ data kao:
1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Q
3
4 3
1
5
2 6
102
8
9
6
1S1
S5
S4
S3
S2
45
7
11
slika 7.3. Renumeracija grana fundamentalnog stabla za formiranje matrice Q oblika f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I
Zadatak #8:
Za orijentisani graf mreže sa slike 7.3 u prethodnom zadatku, potrebno je:
a) odrediti potpunu matricu incidencije grana i petlji 0M ;
b)
odrediti matricu incidencije grana i fundamentalnih kontura B ;
c) pokazati međusobni odnos među matricama B i Q oblika T =BQ 0 ;
d) pokazati međusobni odnos među submatricama f B i f Q oblika T f f = − .B Q
Rješenje:
a) Na slici 8.1 naznačen je odabir i orijentacija unutrašnjih petlji, odnosno vanjske petlje, pri čemu je
broj unutrašnjih petlji 1 11 6 1 6p l n N N N = − + = − + = .
11
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 10/12
3
4 3
1
5
2 6
102
8
9
61
45
7
11
I III
VIII
IV
V
VII
slika 8.1. Orijentisani graf sa naznakom unutrašnjih i vanjske petlje
Potpuna matrica incidencije grana i petlji data je u obliku:0M
0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1
− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
M
b) Elementi matrice incidencije grana i fundamentalnih kontura B definisani su relacijom:ik b
ukoliko kontura sadrži granu i ako imaju saglasne smjerove
ukoliko kontura sadrži granu i ako su im smjerovi suprotni
ukoliko grana ne pripada konturi
1,
1,
0,
ik
i k
b i k
k i
⎧⎪⎪
= −⎨⎪⎪⎩
Orijentisani graf sa slike 7.3 sadrži 11l N = grana i 6n N = čvorova, pa se za njega može odrediti
fundamentalnih kontura. Ilustracija odabira i orijentacije fundamentalnih kontura
data je na slici 8.2.
1 6k l n N N N = − + =
II V
IV
III
VI
I
3
4 3
1
5
2 6
10
2
8
9
6
1
45
7
11
slika 8.2. Orijentisani graf sa odabirom i orijentacijom fundamentalnih kontura
12
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 11/12
U analiziranom primjeru odabir kontura je vršen tako da grana – spojnica 1 formira konturu I, spojnica 2
konturu II, itd. Matrica incidencije grana i fundamentalnih kontura B data je u oblikul n f = ⎡ ⎤⎣ ⎦
B I B :
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
B
c) Proizvod matrica , pri čemu je matrica Q određena u prethodnom zadatku, dat je kao:T BQ
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 00 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ − −= ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎣ ⎦
BQ
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥⎥
0
d) U prethodnom zadatku matrica Q je data u obliku f n = ⎡ ⎤⎣ ⎦Q Q I , pa je submatrica : f Q
1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1
f
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
Q
U tački b) matrica je predstavljena u oblikuBl n f = ⎡ ⎤⎣ ⎦
B I B , pa je submatrica : f B
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 1 1 1
f
− −⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦
B
Pošto je:
13
7/25/2019 Teoreme Zadaci Uz Predavanja
http://slidepdf.com/reader/full/teoreme-zadaci-uz-predavanja 12/12
1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 0
1 0 0 1 0
0 1 1 1 1
T f
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥
− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
Q
to se pokazuje međusobni odnos među submatricama i oblika . f B f Q T f f = −B Q
Zadatak #9:
Za jedan orijentisani graf poznata je potpuna matrica incidencije čvorova oblika:0A
0
1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
A
Potrebno je:
a)
nacrtati orijentisani graf mreža sa naznakom referentnih smjerova i numeracije grana, odnosno
numeracije čvorova;
b) izabrati sistem fundamentalnih presjeka, a potom odrediti matricu incidencije grana i
fundamentalnih presjeka Q ;
c) pretpostavljajući da su poznati naponi grana fundamentalnog stabla u , odrediti napone svake
grane orijentisanog grafa v ;
d)
izabrati sistem fundamentalnih kontura, a potom odrediti matricu incidencije grana ifundamentalnih kontura B ;
e)
pretpostavljajući da su poznate struje fundamentalnih kontura k j , odrediti struje u svakoj grani
orijentisanog grafa i .
Rješenje:
a) Orijentisani graf mreža sa izabranom orijentacijom i numeracijom grana, odnosno numeracijom
čvorova, a kojem odgovara matrica , predstavljen je na slici 9.1.0A
5
2
4
1
3
2
4
1
6
3
5
7
slika 9.1. Rezultantni orijentisani graf
14