Teori Penaksiran

Oleh :Dewi Rachmatin

Pendahuluan

Ada 2 metode inferensi : metode klasik dan metode Bayes dalam menaksir parameter populasi

Dalam metode klasik inferensi didasarkan pada informasi yang diperoleh melalui sampel acak

Dalam metode Bayes, inferensi menggunakan pengetahuan subjektif terdahulu mengenai distribusi peluang parameter yang tak diketahui bersama dengan informasi yang diberikan oleh data sampel

Metode Penaksiran Klasik

Inferensi terbagi menjadi penaksiran dan pengujian hipotesis

Penaksir (taksiran) suatu parameter dapat berupa taksiran titik atau taksiran selang

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan. Jadi fungsi keputusan S adalah penaksir σ dan taksiran s adalah ‘tindakan’ yang diambil

Himpunan semua tindakan yang mungkin yang dapat dilaksanakan dalam masalah penaksiran disebut ruang keputusan

Tidak dapat diharapkan suatu penaksir akan menaksir parameter populasi tanpa kesalahan. Tidak beralasan mengharapkan akan menaksir µ dengan tepat, tapi tentunya diharapkan tidak terlalu jauh menyimpang

X

Sifat-sifat Penaksir yang Baik

Penaksir Takbias (Unbiased Estimator)Statistik dikatakan penaksir takbias parameter θ bila E[ ]= θContoh : penaksir takbias untuk µ karena E[ ] = µ , dan

penaksir takbias untuk σ2

θ̂θ̂

XX

( )1

1

2

2

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

Penaksir paling efisienpenaksir yang memberikan variansi terkecil dari semua penaksir θ yang mungkin dibuat

Penaksir konsisten

Penaksir yang takbias dan variansinya minimum adalah penaksir yang terbaik

( ) 1ˆlim :berlaku 0 =<−>∀∞→

εθθε Pn

Selang Kepercayaan (Taksiran Selang) Selang kepercayaan untuk θ

adalah selang yang berbentuk dimana dan nilainya

tergantung pada nilai Daripada mengatakan bahwa

tepat sama dengan µ akan lebih meyakinkan bila mengatakan

21 θ̂θθ̂ <<1θ̂ 2θ̂

θ̂x

kxkx +<<− μ

Jika ukuran sampel membesar maka mengecil sehingga kemungkinan

besar taksiran bertambah dekat dengan µ, yang berarti selang lebih pendek. Jadi taksiran selang menunjukkan, berdasarkan panjangnya, ketepatan titik

Makin besar nilai k yang dipilih, makin panjang selangnya dan makin yakin bahwa sampel yang diambil akan memberikan selang parameter yang tak diketahui

nσσ

22X =

Menaksir rataan (mean)

σ diketahui , untuk n yang cukup besar :

( )

( )

α1znσ/μXz-P

α1zZz-P Karena

0,1N~nσ/μX Z:akibatnya

nσμ,N~X :PusatLimit Dalil

α/2α/2

α/2α/2

2

−=

<

−<

−=<<

−=

Contoh :Rataan dan simpangan baku nilai ujian matematika sampel acak 36 mahasiswa 2,6 dan 0,3. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa.

nσ.zμ

nσ.z :μ untuk

α)100%(1n kepercayaa selang Sehingga

α1n

σ.zXμn

σ.zXP

α/2α/2

α/2α/2

+<<−

−

−=

+<<−

xx

Jawab : diketahui =2,6 Karena ukuran sampel cukup besar maka simpangan baku populasi dapat dihampiri oleh s=0,3. Nilai z yang luas di sebelah kanannya 0,025 adalah z0,025 = 1,96.Jadi selang kepercayaannya 95% :

atau 2,50 < µ <2,70. Untuk 99% :

atau 2,47 < µ < 2,73.

x

+<<

−363,0)575,2(6,2μ

363,0)575,2(6,2

+<<

−363,0)96,1(6,2μ

363,0)96,1(6,2

Untuk menaksir µ dengan derajat ketetapan yang lebih tinggi diperlukan selang yang lebih besar.

Selang kepercayaan (1- α)100% memberikan taksiran ketepatan taksiran titik kita.

Bila µ sesungguhnya merupakan titik pusat selang, maka menaksir µ tanpa galat.Tetapi umumnya sampel tidak menghasilkan tepat sama dengan µsehingga taksiran titik umumnya akan meleset (mengandung galat).

x

x

σ tak diketahui, populasi normal dan n<30 p=α/2 dan dk = n-1

Jika n relatif besar dibanding N yakni (n/N)>5% , gunakan :

1.

n.zμ

1.

n.z /2/2 −

−+<<

−−

−N

nNxN

nNx σσαα

ns.tμ

ns.t pp +<<− xx

Contoh :Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8 ; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu bila distribusinya dianggap hampir normal.

Teorema

Bila dipakai untuk menaksir µ, maka dapat dipercaya (1-α)100% bahwa galatnya akan lebih dari suatu bilangan g yang ditetapkan sebelumnya asal ukuran sampel :

Contoh : Berapa besar sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya bila ingin percaya 95% bahwa taksiran untuk µ meleset kurang dari 0,05 ? n=138,3

x

22/ .

=

gzn σα

Menaksir Selisih Dua Rataan

Bila ada dua populasi masing-masing dengan rataan µ1 dan µ2 dan variansi

dan , maka penaksir titik untuk selisih rataan untuk selisih µ1 dan µ2 :

ukuran sampel : n1 dan n2.

22σ2

1σ

21 XX −( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) α1nσ

nσzXXμμ

nσ

nσzXX

α1z/nσ/nσ

μμXXzP

α1zZzP

1

22

1

21

α/221211

22

1

21

α/221

α/2

2221

21

2121α/2

α/2α/2

−=

++−<−<+−−

−=

<

+

−−−<−

−=<<−

P

Contoh :Suatu ujian kimia yang telah dibakukan diberikan pada 50 siswa wanita dan 76 siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76 dan simpangan baku 6, sedangkan rata-rata pria 82 dan simpangan baku 8. Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih , bila menyatakan rataan nilai semua siswa pria dan rataan nilai semua siswa wanita yang mungkin akan mengikuti ujian.

++−+−−

2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/21 )(,)(nn

zxxnn

zxx σσσσαα

Selisih Dua Rataan

Selang kepercayaan sampel kecil untuk µ1-µ2 ; = tapi tidak diketahui, selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :

ukuran sampel masing-masing n1dan n2 berasal dari distribusi normal, dk= n1+n2-2 ;

21σ 2

2σ

++−+−−

212/21

212/21

11..)(,11..)(nn

stxxnn

stxx pp αα

( ) ( )2

11

21

222

2112

−+−+−

=nn

snsnsp

Contoh : Dalam sekelompok proses kimia, pengaruh dua katalisator ingin dibandingkan dengan hasilnya pada proses reaksi. Katalisator 1 digunakan pada suatu sampel dengan 12 angkatan dan katalisator 2 digunakan pada sampel dengan 10 angkatan. Ke 12 angkatan yang menggunakan katalisator 1 memberikan rata-rata sampel 85 dengan simpangan baku sampel 4, yang kedua rata-rata sampel 81 dan simpangan baku sampel 5. Carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan populasi bila dianggap kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

Selisih Dua Rataan

Selang kepercayaan sampel kecil untuk µ1-µ2 ; ≠ tapi tidak diketahui, selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :

ukuran sampel masing-masing n1dan n2 berasal dari distribusi normal, dk=

21σ 2

2σ

( ) ( )

++−+−−

1

22

1

21

2/211

22

1

21

2/21 ,ns

nstxx

ns

nstxx αα

( )[ ] [ ][ ])1/()/()1/()/(

)/()/(

22

2221

21

21

22

221

21

−+−+

=nnsnns

nsnsν

Contoh : Catatan selama 15 tahun terakhir menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan di suatu kabupaten selama bulan Mei 4,93 cm dengan simpangan baku 1,14 cm. Di kabupaten lain rata-rata curah hujan selama bulan Mei 2,64 cm dengan simpangan baku 0,66 cm selama 10 tahun terakhir. Carilah selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata sesungguhnya curah hujan di kedua kabupaten; anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan variansi yang berbeda.

Selang kepercayaan untuk µ1-µ2=µD untuk pengamatan pasangan. Selang kepercayaan (1-α)100%untuk µD diberikan oleh :

dengan dan sd menyatakan rataan dan simpangan baku selisih n pasangan pengukuran dan menyatakan nilai distribusi t dengan dk : ν =n-1 sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

d

2/αt

nstd

nstd d

Dd

2/2/ αα µ +<<−

1~/ −−

= nd

D tnS

DT µ

Menaksir Proporsi

Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh

Jadi akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p

Proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan distribusi sampel , yang sama saja dengan distribusi p.a. X

Distribusi hampir normal dengan rataan

nXP =ˆ

P̂

nxp =ˆ

P̂[ ] p

nnp

nXEPEP ==

== ˆ

ˆµ

dengan variansi :

P(-zα/2< Z < zα/2) = 1 - α dengan n

ppn

pnpn

XP

)1()1(22

22ˆ

−=

−==

σσ

npppPZ

/)]1.([

ˆ

−−

=

ααα −=

−+<<

−− 1)1(ˆ)1(ˆ

2/2/ nppzPp

nppzPP

Selang kepercayaan untuk p, n 30 :

: proporsi sukses dalam sampel acak berukuran n, dan menyatakan nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

Contoh : Pada suatu sampel acak n=500 keluarga yang memiliki pesawat televisi di kota Hamilton Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tsb?

nppzpp

nppzp )1(ˆ)1(ˆ 2/2/

−+<<

−− αα

2/αz

≥

p̂

Jika dipakai sebagai taksiran p , maka galatnya akan lebih kecil dari :

dengan kepercayaan (1-α)100%. Akibatnya galat akan lebih kecil dari

g jika

p̂

nppz )1(

2/−

α

2

22/ )ˆ1(ˆ

gppzn −

= α

Menaksir Selisih Dua Proporsi

Selang kepercayaan untuk p1-p2 ;n1 dan n2 30. Selang kepercayaan (1-α)100% untuk selisih dua parameter binomial p1-p2 diberikan

≥

( )

( )2

22

1

112/21

212

22

1

112/21

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

nqp

nqpzpp

ppnqp

nqpzpp

++−

<−<+−−

α

α

Contoh :Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tsb memberi perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.

Menaksir Variansi

Taksiran selang untuk dapat diturunkan dengan statistik

Selang kepercayaan (1-α)100% untuk suatu populasi normal

2σ

( ) 212

21−

−= n

2 ~SnX χσ

( ) αχχ αα −=<<− 122/

22/1

2XP

2σ

22/1

22

22/

2 )1()1(

αα χσ

χ −

−<<

− snsn

Contoh :Data berikut menyatakan berat dalam gram dari 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4;46,1;45,8;47,0;46,1;45,9;45,8;46,9;45,2 dan 46,0. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk varians semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut.

Menaksir Nisbah Dua Variansi

Bila dan variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk

/ dapat diperoleh dengan memakai statistik :

Peubah acak F mempunyai distribusi F dengan dk : ν1=n1-1 dan ν2=n2-1. Jadi

21σ

22σ

21σ

22σ

22

21

21

22

SSF

σσ

=

[ ] ανννν αα −=<<− 1),(),( 212/212/1 fFfP

Selang kepercayaan (1-α)100% untuk

dengan ν1=n1-1 ν2=n2-1. Contoh : Suatu ujian masuk yang telah

dibakukan dalam matematika diberikan kepada 25 siswa pria dan 16 wanita. Siswa pria mendapat nilai rata-rata 82 dengan simpangan baku 8,

22

21 /σσ

),(),(

1122/2

2

21

22

21

212/22

21 νν

σσ

νν αα

fss

fss

<<

sementara wanita mendapat nilai rata-rata 78 dengan simpangan baku 7. Hitung selang kepercayaan 98% untuk

dan bila danmasing-masing menyatakan varians populasi nilai pria dan wanita yang telah/akan mengikuti ujian.Pengujian Hipotesis

22

21 /σσ 21 /σσ 2

2σ21σ