Teori Persamaan

Differensial

Silabus

Teorema eksistensi dan

ketunggalan solusi untuk sistem

linier orde pertama dan kedua,

syarat Lipschitz, kestabilan sistem

linier, kestabilan sistem otonom,

bidang fase sistem otonom

Pustaka

Boyce and di Prima, 1992, Elementary Diferential Equation and Boundary Value Problems, 5th edition, John Wiley

Grimshaw G, 1990, Nonlinear Ordinary Differential Equations, Blackwell Scientific Publications, Melbourne.

Kreyzig E, 1988, Advanced Engineering Mathematics, 6 th edition, John Wiley& Sons Inc, New York

Kartono, 2005, Maple untuk persamaan diferensial, edisi 2, Graha Ilmu, Yogyakarta.

Persamaan

Differensial (PD)

Suatu pers. yg memuat satu/lebih turunan dari variabel tak bebas thd variabel bebas.

Orde PD : turunan tertinggi dlm PD

Penyelesaian PD

1. Peny.Umum : memuat konstanta (c)

2. Peny. Khusus : menghilangkan c,

berdasarkan syarat awal (Masalah Nilai

Awal)

PERSAMAAN

DIFFERENSIAL

ORDE SATU

Bentuk umum :

(1)

Dimana f = fungsi dua variabel yang diberikan.

Sebarang fungsi y = g(t) yang memenuhi persamaan ini untuk semua t dalam suatu interval disebut solusi.

Tujuannya adalah untuk menentukan apakah fungsi-fungsi seperti ini ada dan jika ada metode apa yang

digunakan untuk menemukan solusinya.

ytfdtdy

,

Persamaan

Linear

Pers (1), jika fungsi f bergantung linear pada

variabel tak bebas y, maka menjadi

Dan persamaan ini disebut

PERSAMAAN LINEAR ORDE SATU

)()( tgytpdtdy

Contoh Pers Linear

Orde Satu

23

21

ydtdy

Selesaikan pers

(2)

dan tentukan:

A. bagaimana perilaku solusi untuk t yang cukup

besar.

B. solusi dalam grafik yang melalui titik (0, 2)

PENYELESAIAN

Pers. (2) diubah menjadi

Sehingga didapatkan

Maka atau

Jadi, solusinya adalah

23

y

dtdy

Contoh Pers Linear

Orde Satu

Ct

y 2

3ln

23t

ceey

23t

ceey

23t

cey

a. Jika c = 0, maka y = 3

Jika t maka y 3

b. Melalui (0,2)

subtitusikan t = 0 dan y = 2

diperoleh c = -1

sehingga adalah solusi yang melalui titik (0,2)

Contoh Pers Linear

Orde Satu

23t

ey

PD Orde 1 dg

koefisien konstan

Secara umum: (3)

Dimana r dan k adalah konstanta

Jika r 0 dan y -k/r, maka pers (3) menjadi

Maka

Dengan mengambil eksponensial pada kedua ruas, maka diperoleh

Didapatkan (4)

krydtdy

rrkydtdy

//

crtrky )/(ln

rtceerk

y

rtcerk

y

Perilaku

Solusi

Unt c = 0, y=-k/r disebut solusi setimbang (equilibrium solution) karena dy/dt=0

Untuk r0, maka ert membesar tak terbatas jika t bertambah dan grafiknya

akan menjauh dari garis y=-k/r jika t

FAKTOR-FAKTOR

INTEGRAL

Pers (4) ditulis menjadi

(5)

Dengan mendiferensialkan kedua ruas thd t,

didapatkan

Dg mengintegralkan kedua ruas pers diperoleh

pers(5) yg merupakan solusi dari pers (4).

Fungsi disebut faktor integral unt pers.(3)

cerk

ye rtrt

rtrt keye '

rte

PD bentuk

Kalikan dg sebuah fungsi yang belum diketahui(t)

Maka (6)

(t) haruslah memenuhi

Sehingga atau

)()( tgytpy

)()()()()( tgtytptyt

)()()( ttpt

)()()(

tptt

)()(ln tpt

dtd

Kedua ruas diintegralkan,maka diperoleh

Dg memilih k = 0, didapatkan fungsi paling

sederhana unt , yaitu

Pers.(6) menjadi

Maka

Atau (7)

kdttpt )()(ln

dttpt )(exp)(

)()()( tgtyt

cdttgtyt )()()(

)(

)()(

t

cdttgty

Interpretasi geometrik dr Pers.(7) disebut Integral Curves.

Diperlukan sebuah titik (x0, y0) yang dilalui oleh grafik, biasanya ditulis

y(t0)=y0 Yang disebut sebagai initial condition.

PD orde satu dengan sebuah initial condition disebut Initial Value Problem.

Contoh Masalah

Nilai Awal

Tentukan solusi dari masalah nilai awal dari PD

orde satu

Dengan nilai awal

PENYELESAIAN:

xeyy 2

75.0)0( y

Penyelesaian

p(x)=2 dan g(x) = exp(-x).

Sehingga faktor integral adalah

Didapatkan

Sehingga

maka

xedxx 22exp)( xxx eyeye 22 2

ceye xx 2

xx ceey 2

Subtitusikan nilai awal x = 0 dan y = 0.75

Sehingga diperoleh c = -0.25

Maka solusi dari PD dengan nilai awal (0, 0.75)

adalah xx eey 225.0

TUGAS!

Tentukan solusi dari PD orde satu dengan nilai awal berikut dan gambar grafiknya!

1.

2.

3.

4. Cari teorema yang menunjukkan bahwa PD mempunyai solusi dan solusinya adalah tunggal. Kemudian buktikan!

0)0(,2 yxxyy

0)1(,2 2 yxeyy x

2)0(,2 2 yeyy x