Teoria de Circuitos y Redes Electricas

TEORÍA DE CIRCUITOS Y REDES ELÉCTRICAS

25 de octubre de 2012

Índice general

1. RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS 4

1.1. Respuesta transitoria circuitos eléctricos de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Introducción: Concepto de régimen libre, forzado y transitorio. . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Respuesta transitoria de los circuitos de primer orden lineales. . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Régimen transitorio de circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4. Régimen transitorio de circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Respuesta transitoria de los circuitos de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. Análisis del régimen transitorio mediante la transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1. La transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.3. Aplicación a los circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 28

2.1. Obtención de tensiones trifásicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Noción de fase y secuencia de fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Conexiones de fuente en estrella y en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1. Fuente en estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2. Fuente en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Cargas en estrella o en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5. Relaciones entre las corrientes y tensiones en cargas equilibradas en sistemas de secuencia directa. 31

2.6. Circuitos trifásicos equilibrados. Cálculo por reducción a un circuito monofásico. . . . . . . . . . 33

3. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS. 36

3.1. Cargas desequilibradas conectadas en estrella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Cargas desequilibradas conectadas en triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS. 38

4.1. Potencia en los circuitos trifásicos: activa, reactiva, aparente, compleja. . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Potencia en el caso de circuitos equilibrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1. Factor de potencia en circuito equilibrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.2. Mejora del factor de potencia en los circuitos trifásicos equilibrados. . . . . . . . . . . . . 41

4.2.3. Comparación entre los circuitos trifásico equilibrados y uno monofásico. . . . . . . . . . . 41

4.3. Medida de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

ÍNDICE GENERAL 2

5. COMPONENTES SIMÉTRICAS Y CORTOCIRCUITOS 44

5.1. Representación de sistemas de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.1. Diagrama unilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.2. Modelado de los componentes de un sistema eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.2.1. Acometidas o redes de alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.2.2. Cables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.2.3. Modelado de transformadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.2.4. Modelado de líneas de transmisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.2.5. Modelado de generadores síncronos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.2.6. Modelado de las cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.3. Diagramas de impedancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.4. Sistemas por unidad (p.u.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.4.1. Transformadores en el sistema por unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Fallos y anormalidades en sistemas de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1. Anormalidades dentro de un sistema de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1.1. Perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2. Fallos eléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.2.1. Cortocircuitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.2.2. Conductores en circuito abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.2.3. Fallos simultáneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.2.4. Fallos evolutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.3. Cálculo de la corriente de fallo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.4. Equipos para detectar fallos y limitar sus efectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.5. Sistemas de protección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3. Cortorcircuitos trifásicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3.2. Fuentes de corriente de cortocircuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.3. Cálculo de la corriente de cortocircuito trifásico mediante la norma UNE-EN-60909. . . . 62

5.3.3.1. Modelado de las componentes del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3.3.2. Método de cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3.3.3. Método de cálculo de la corriente inicial simétrica de cortocircuito. . . . . . . . . 64

5.3.3.4. Cálculo del poder de cierre de los interruptores (valor de cresta de la corrientede cortocircuito). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.3.5. Cálculo del poder de corte de los interruptores (valor de corte de la corriente decortocircuito). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4. Componentes simétricas. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.1. Impedancias debidas a las corrientes de diferente secuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4.2. Redes de secuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4.2.1. Redes de secuencia de cargas equilibradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4.2.2. Redes de secuencia de líneas de transmisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.2.3. Redes de secuencia de un generador síncrono en vacío. . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.2.4. Desfasaje de las componentes simétricos en bancos de transformadores estrella-triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4.2.5. Redes de secuencia de transformadores de dos devanados. . . . . . . . . . . . . . 77

5.5. Análisis de cortocircuitos desequilibrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5.0.6. Cortorcicuito línea-línea (bifásico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5.0.7. Cortorcicuito línea-línea a tierra (bifásico a tierra). . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.5.0.8. Cortorcicuito liínea a tierra (monofásico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

ÍNDICE GENERAL 3

6. CIRCUITOS NO LINEALES 83

6.1. Funciones periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2. Circuitos lineales con alimentacion senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3. Circuitos no lineales con alimentacion senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.4. Circuitos no lineales con alimentacion no senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.5. Deniciones y estándares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Capítulo 1

RESPUESTA TRANSITORIA DE LOSCIRCUITOS ELÉCTRICOS

1.1. Respuesta transitoria circuitos eléctricos de primer orden.

1.1.1. Introducción: Concepto de régimen libre, forzado y transitorio.

Cuando se hace pasar a un circuito de una condición a otra, sea por un cambio en la tensión o corriente aplicada(modicación de las fuentes de excitación), o por una modicación de uno o varios elementos, se produce unperiodo de transición, durante el cual, las corrientes en las ramas y las caídas de tensión en los elementosvarían desde sus valores iniciales hasta otros nuevos. Transcurridos este periodo de transición, llamado régimentransitorio, el circuito pasa al estado o régimen permanente. Los fenómenos transitorios son de corta duraccióngeneralmente, pero se pueden presentar problemas serios y complicados en el funcionamiento de un circuito.

Llevaremos a cabo el análisis del régimen transitorio de los circuitos aplicando el método de los lazos básicos oel método de las tensiones de nudo. Si en el circuito existen elementos almacenadores de energía (inductanciasy condensadores) resulta un sistema de ecuaciones diferenciales de coecientes constantes, donde las incógnitasserán corrientes o tensiones según el método de análisis elegido. La solución está formada por dos partes: lasolución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación completa. En el sistema de ecuacionesde análisis de circuitos, la solución de la ecuación homogénea tiende a cero en un tiempo relativamente cortoy es la parte transitoria de la solución, y se le denomina régimen libre (es la respuesta natural del circuito sinexistencia de fuentes externas). La solución particular es la respuesta en el régimen permanente, y se denominarégimen forzado.

Al aplicar uno de los métodos de análisis conocidos a circuitos simples, tendremos ecuaciones de los tipos(primero y segundo orden):

ax(t) + bdx(t)

dt= f(t) (1.1)

ax(t) + bdx(t)

dt+ c

d2x(t)

dt2= f(t) (1.2)

donde f(t) es la tensión o corriente de las fuentes; x(t) representa una tensión o corriente; a, b y c son constantesy t es el tiempo. Las ecuaciones anteriores son ecuaciones diferenciales lineales.

Si los circuitos son más complejos (varios lazos o nudos), tendremos un sistema de ecuaciones integro-diferenciales,del tipo:

andnx(t)

dtn+ a1

dx(t)

dt+ a0x(t) = F (t) (1.3)

La solución de las ecuaciones anteriores se compone de dos términos: el primero se obtiene de resolver laecuación homogénea de la ecuación diferencial (término independiente nulo), solución denominada respuestalibre del circuito. Físicamente corresponde a la respuesta del sistema cuando se anulan las fuentes del circuito,de forma que la solución es debida a la energía almacenada en las inductancias y condensadores del circuito.

El otro término se denomina respuesta forzada y corresponde a la solución particular de la ecuación diferencialy depende del tipo de fuente que exista en el circuito. Esta solución corresponde al régimen permanente delcircuito.

4

CAPÍTULO 1. RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS 5

La respuesta libre contine como solución unas constantes de integración que deben ser calculadas. Esta respuestalibre contiene exponenciales decrecientes con el tiempo, de forma que al cabo de cierto tiempo, la respuesta librese anula y solamente quedará como solución la respuesta forzada o permanente.

Para calcular las constantes de integración, es preciso conocer el estado del circuito en el momente de comenzarel transitorio. Por conveniencia matemática, cuando se produce el inicio del transitorio se toma t=0. El estadoprevio del circuito se produce en el instante t = 0−, de forma que en el instante se debe conocer que d.d.p.tienen los condensadores, la corriente que circula por las inductancias y los valores de las fuentes. Estos datosse denominan condiciones iniciales.

Cuando comienza el transitorio t = 0+ normalmente la corriente por las inductancias no cambia bruscamente,es decir iL(0−) = iL(0+). Los mismos pasa con la tensión en los condensadores uC(0−) = uC(0+).

1.1.2. Respuesta transitoria de los circuitos de primer orden lineales.

Un circuito de primer orden se caracteriza por responder a una ecuación diferencial de primer orden (obtenidaaplicando un método de análisis):

f(t) = ax(t) + bdx(t)

dt(1.4)

donde

f(t) será una función lineal, normalmente de tipo continua o senoidal (o una combinación de ambas); a y bconstantes y x(t) una corriente o tensión.

Si por ejemplo tuviésemos 5 + 20sen(10t) = 4x(t) + 10dx(t)dt

La solución será: x(t) = xlibre + xparticular =ke−

410 t

+

54 + 20√

42+(10∗10)2sen(10t− arctan( 10∗10

4 ))

El cálculo de la constante k se determinará conociendo el valor de la variable x(t) en el instante t = 0+, (x(0+).

1.1.3. Régimen transitorio de circuitos RL

Vamos a analizar el régimen transitorio de circuitos que contengan una o varias inductancias en circuitosalimentados con fuentes de continua o de tipo senoidal.

1. Circuito serie RL alimentado en continua.

Figura 1.1: Circuito RL serie

Sea el circuito de la gura 1.1. Se supone que en el instante t=0 se pasa el conmutador a la posición 1. Antesde cerrar el interruptor, la corriente que circula por la inductancia es nula (i(0−) = 0).

Una vez cerrado el interruptor, vamos a analizar el circuito a partir del instante t=0. Aplicando lazos, tendremosque:

E = Ri+ Ldi

dt= (R+ LD)i (1.5)

La respuesta (solución) es: i = ilibre + iforzada

El régimen libre es la solución de la ecuación homogénea (R + LD)i = 0. La solución es de tipo exponencialdecreciente, de la forma:

ilibre = ke−RL t (1.6)


La solución forzada es el valor de la corriente, mucho tiempo después de que el interruptor se ha cerrado, esdecir, el régimen permanente. Por lo tanto:

iforzada = E/R (1.7)

Tendremos entonces que:

i(t) = ke−RL t +

E

R(1.8)

Como tenemos una inductancia, se cumple que i(0−) = i(0+) = 0 (la corriente no cambia bruscamente), por lotanto, sustituyendo tendremos:

i(0+) = 0 = k +E

Rk = −E

R(1.9)

La respuesta completa es:

i(t) = −ERe−

RL t +

E

R=E

R− E

Re−

tτ (1.10)

La ecuación anterior representa un crecimiento exponencial. La rapidez con que aumenta la corriente se expresaen términos de la constante de tiempo τ . Se observa que cuanto menos sea el valor de la constante τ ,más rápidamente aumenta la corriente. Un circuito con una constante de tiempo pequeña provoca una rápidarespuesta en lo que alcanza el régimen permanente rápidamente; en tanto que un circuito con una constante detiempo grande da una respuesta lenta porque lleva más tiempo para alcanzar el estado permanente. Para queun circuito alcance el régimen permanente, es necesario que transcurra un tiempo de 5τ .

Las tensiones transitorias en la resistencia y la inductancia son:

uR = E − Ee−RL t (1.11)

uL = Ee−RL t (1.12)

Las potencias absorbidas en la resistencia e inductancia y la suministrada por la fuentes son:

PR = uRi =E2

R(1− 2e−

RL t + e−

2RL t)

PL = uLi =E2

R(e−

RL t − e− 2R

L t) (1.13)

PE = Ei =E2

R(1− e−RL t)

Supongamos que ha transcurrido un tiempo t2 sucientemente grande para alcanzar el régimen permanente,instante en el cual el conmutador pasa a la posición 2. Se verica que i(t2−) = i(t2+) = E

R . Cuando se analizaun transitorio nuevo se toma un nuevo origen de tiempo t′ = t− t2. Se tiene que i(0+) = E

R .

Aplicando lazos tendremos que:

0 = Ri(t) + Ldi(t)

dt′= (R+ LD)i (1.14)

La solución es:i(t′) = ke−

RL t′

(1.15)

donde

i(t′0+) =E

R= k (1.16)

Por lo tanto:

i(t′) =E

Re−

RL t′

Se observa que la inductancia tenía corriente inicial, es decir, tenía una energía almacenada de valor 12L(ER )2julios,

y que a medida que pasa el tiempo se disipa en la resistencia.


Figura 1.2: Circuito dos inductancias

2. Circuitos con varias inductancias en continua.

Sea el circuito de la gura 1.2. Cuando existen varias inductancias en el mismo circuito, se intenta asociarlas,si es posible. En el circuito asociando las tres inductancias resulta el circuito de la gura 1, donde el valor de lainductancia L es:

L = L3 + L12 = L3 +L1L2

L1 + L2(1.17)

.

Si cerramos el interruptor en el instante t=0, y las inductancias estaban todas descargadas tendremos que lacorriente i tiene por expresión:

i(t) = −ERe−

RL t +

E

R(1.18)

Las tensiones existentes en el circuito son:

uR = E − Ee−RL t

uL = Ee−RL t = uL3 + uL12 = L

di

dt= (L3 + L12)

di

dt

uL3 = L3di

dt=

L3

L3 + L12uL =

L3

L3 + L12Ee−

RL t (1.19)

uL1 = L12di

dt=

L12

L3 + L12uL =

L12

L3 + L12Ee−

RL t

uL2 = uL1

Las corrientes en el circuito son:

i =E

R− E

Re−

RL t =

1

L12

∫ t

0+

uL1dt =L1 + L2

L1L2

∫ t

0+

uL1dt

i1 =1

L1

∫ t

0+

uL1dt =L2

L1 + L2i (1.20)

i2 =1

L2

∫ t

0+

uL1dt =L1

L1 + L2i

3. Circuitos RL con otras topologías alimentado en continua.

Figura 1.3: RL-otra topología


Sea un circuito como el de la gura 1.3. Cerramos el interruptor en el instante t=0, considerando que la corrienteinicial que circula por la inductancia es nula. Aplicando lazos básicos, tendremos:

E = (R1 + LD)i1 +R1i2 (1.21)

E = R1i1 + (R1 +R2)i2 (1.22)

Despejando las corrientes:

i1 =

∣∣∣∣ E R1

E (R1 +R2)

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R1 + LD) R1

R1 (R1 +R2)

∣∣∣∣ =ER2

(R1 +R2)LD +R1R2(1.23)

i2 =

∣∣∣∣ (R1 + LD) ER1 E

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R1 + LD) R1

R1 (R1 +R2)

∣∣∣∣ =0

(R1 +R2)LD +R1R2(1.24)

Es decir, se deben resolver las dos siguientes ecuaciones:

ER2 = ((R1 +R2)LD +R1R2)i1 (1.25)

0 = ((R1 +R2)LD +R1R2)i2 (1.26)

La solución es del tipo:

i1 = i1libre + i1forzada (1.27)


El régimen permanente (circuito en continua) nos indica que:

i1forzada =E

R1(1.29)

i2forzada = 0 (1.30)

El régimen libre tiene por expresión:

i1libre = k1e− R1R2

(R1+R2)Lt (1.31)

i2libre = k2e− R1R2

(R1+R2)Lt (1.32)

debido a el régimen es de primer orden y la raíz obtenida es − R1R2

(R1+R2)L.

Ahora se deben determinar las constantes k1 y k2. Para ello, se debe tener presente la corriente inicial queexistía en la inductancia. Se cumple que:

i1(0+) = 0 (1.33)

Sustituyendo este valor en las ecuaciones diferenciales en el instante t = 0+, se cumple que:

E = R1i1(0+) + L(di1dt

)0+ +R1i2(0+) = L(di1dt

)0+ +R1i2(0+) (1.34)

E = R1i1(0+) + (R1 +R2)i2(0+) = (R1 +R2)i2(0+) (1.35)

Se obtienen los valores:


i1(0+) = 0 (1.36)

i2(0+) =E

R1 +R2

Las constantes k1 y k2, se calculan a partir de las siguientes expresiones:

i1(0+) = 0 =E

R1+ k1 (1.37)

i2(0+) =E

R1 +R2= k2 (1.38)

Las expresiones de las corrientes son:

i1 =E

R1(1− e−

R1R2(R1+R2)L

t) (1.39)

i2 =E

R1 +R2e− R1R2

(R1+R2)Lt (1.40)

4. Circuitos RL alimentados con fuentes de corriente continua.

Figura 1.4: Circuito RL paralelo

Sea el circuito de la gura 1.4, en el cual vamos a analizar el transitorio cuando se realiza la apertura delinterruptor en el instante t=0, considerando que la inductancia está descargada.

Aplicando el método de nudos, tendremos:

I = iL + iR = iL(0+) +1

L

∫ t

0+

udt+u

R= (

1

LD+

1

R)u (1.41)

La ecuación es de primer orden, y la solución del tipo:

u = ulibre + uforzada (1.42)

El régimen permanente (circuito en continua) tiene por expresión:

uforzada = 0 (1.43)

El régimen libre toma por expresiónulibre = ke−

RL t (1.44)

El cálculo de la constante k se determina a partir de

u(0+) = k (1.45)

Para calcular el valor de la tensión en t = 0+, se analiza la ecuación inicial en el instante anterior, considerandoque la corriente inicial por la inductancia es nula:

I = iL(0+) + iR(0+) = 0 +u(0+)

R(1.46)


Por lo tanto k = RI, y la tensión toma por expresión

u = RIe−RL t (1.47)


iR =u

R= Ie−

RL t (1.48)

iL = 0 +1

L

∫ t

0+

udt = I − Ie−RL t (1.49)

5. Casos particulares que ocurren en circuitos con inductancias

Figura 1.5: Caso particular

Sea el circuito de la gura 1.5. Suponiendo que se encuentra en régimen permanente, las corrientes que circulanpor las inductancias L1 y L2 son respectivamente:

i1 =2E

R(1.50)

i2 =E

R(1.51)

Si se abre el interruptor en el instante t=0. Ocurre que no se cumple la ecuación de continuidad de la corrientepor las inductancias, es decir:

i1(0−) = 2ER 6= i1(0+) = i2(0+)

i2(0−) = ER 6= i2(0+) = i1(0+)

(1.52)

Para analizar lo que sucede en este proceso transitorio, utilizaremos por comodidad la Transformada de Laplace,que se verá posteriormente.

6. Circuito serie RL alimentado en alterna.

Figura 1.6: Circuito RL serie


Sea el circuito de la gura 1.6. Se supone que en el instante t=0 se pasa el interruptor a la posición 1. Antes decerrar el interruptor, la corriente que circula por la inductancia es nula (i(0−) = 0). La fuente en el instante decierre, tiene por expresión e(t) =

√2Esen(wt+ φ)


e = Ri+ Ldi

dt= (R+ LD)i (1.53)


El régimen libre es la solución de la ecuación homogénea (R + LD)i = 0. La solución es de tipo exponencialdecreciente, de la forma ilibre = ke−

RL t .

La solución forzada es el valor de la corriente, mucho tiempo después de que el interruptor se ha cerrado, esdecir, el régimen permanente (se debe analizar en el dominio complejo). Por lo tanto:

iforzada =

√2E√

R2 + (wL)2sen(wt+ φ− arctan(wL/R)) (1.54)


i(t) = ke−RL t +

√2E√


Como tenemos una inductancia, se cumple que i(0−) = i(0+) = 0, por lo tanto, sustituyendo tendremos:

k = −√

2E√R2 + (wL)2

sen(φ− arctan(wL/R)) (1.56)


i(t) = −√

2E√R2 + (wL)2

sen(φ− arctan(wL/R))e−RL t +

√2E√


1.1.4. Régimen transitorio de circuitos RC

Vamos a analizar el régimen transitorio de circuitos que contengan uno o varios condensadores en circuitosalimentados con fuentes de continua o de tipo senoidal.

1. Circuito serie RC alimentado en continua.

Figura 1.7: Circuito RC serie

Sea el circuito de la gura 1.7. Se supone que en el instante t=0 se pasa el conmutador a la posición 1. Antesde cerrar el interruptor, la tensión que soporta el condensador es nula (uC(0−) = 0).


E = Ri+ uC(0+) +1

C

∫ t

0+

idt = (R+1

CD)i (1.58)



El régimen libre es la solución de la ecuación homogénea (R+ 1/(CD))i = 0. La solución es de tipo exponencialdecreciente, de la forma ilibre = ke−

1RC t .

La solución forzada es el valor de la corriente, mucho tiempo después de que el interruptor se ha cerrado, esdecir, el régimen permanente. Por lo tanto, iforzada = 0.

Tendremos entonces que

i(t) = ke−1RC t (1.59)

Para calcular la constante k, tendremos que determinar el valor de i(0+), para lo cual utilizaremos la condicióninicial del condensador; es decir, su tensión inicial. Se debe cumplir que uC(0−) = uC(0+) = 0 (la tensión nocambia bruscamente), por lo tanto, sustituyendo tendremos:

E = uC(0+) +Ri(0+) = Ri(0+) (1.60)


i(t) =E

Re−

1RC t =

E

Re−

tτ (1.61)

La ecuación anterior representa un decrecimiento exponencial. La rapidez con que disminuye la corriente seexpresa en términos de la constante de tiempo τ . Se observa que cuanto menos sea el valor de la constante τ ,más rápidamente disminuye la corriente. Un circuito con una constante de tiempo pequeña provoca una rápidarespuesta en lo que alcanza el régimen permanente rápidamente; en tanto que un circuito con una constante detiempo grande da una respuesta lenta porque lleva más tiempo para alcanzar el estado permanente. Para queun circuito alcance el régimen permanente, es necesario que transcurra un tiempo de 5τ .

Las tensiones transitorias en la resistencia y el condensador son:

uR = Ee−1RC t (1.62)

uC = 0+1

C

∫ t

0+

idt = E − Ee− 1RC t (1.63)

Las potencias absorbidas en la resistencia y condensador y la suministrada por la fuentes son:

PR = uRi =E2

Re−

2RL t

PC = uCi =E2

R(e−

RL t − e− 2R

L t) (1.64)

PE = Ei =E2

Re−

RL t

Supongamos que ha transcurrido un tiempo t2 sucientemente grande para alcanzar el régimen permanente,instante en el cual el conmutador pasa a la posición 2. Se verica que uC(t2−) = uC(t2+) = E. Cuando seanaliza un transitorio nuevo se toma un nuevo origen de tiempo t′ = t− t2. Se tiene que Uc(o+) = E.

Aplicando lazos tendremos que:

0 = Ri+ uC(0+) +1

C

∫ t′

0+

idt′ = (R+1

CD)i (1.65)

La solución es:i(t′) = ke−

RL t′

(1.66)

donde se cumple que:

0 = Ri(0+) + uC(0+) = Ri(0+) + E (1.67)

Por lo tanto:


k = −ER

(1.68)

i(t′) = −ERe−

1RC t

′(1.69)

Se observa que el condensador tenía tensión inicial, es decir, tenía una energía almacenada de valor 12C(E)2julios,

y que a medida que pasa el tiempo se disipa en la resistencia.

2. Circuitos con varios condensadores en continua.

Figura 1.8: Circuito RC

Sea el circuito de la gura 1.8. Cuando existen varios condensadores en el mismo circuito, se intenta asociarlassi es posible. En el circuito asociando las tres inductancias resulta el circuito de la gura 7, donde el valor delcondensador C es C = C12C3

C12+C3, donde C12 = C1 + C2.

Si cerramos el interruptor es el instante t=0, y los condensadores estaban todos descargados tendremos que lacorriente i tiene por expresión:

i(t) =E

Re−

1RC t (1.70)

Las tensiones existentes en el circuito son:

uR = Ee−1RC t

uC =1

C

∫ t

0+

idt = E − Ee− 1RC t = uc3 + uc12 =

C3 + C12

C3C12

∫ t

0+

idt

uC3 =1

C3

∫ t

0+

idt =C12

C3 + C12uC (1.71)

uC1 =1

C12

∫ t

0+

idt =C3

C3 + C12uC

uC2 = uC1


i =E

Re−

1RC t = C12

duC1

dt= (C1 + C2)

duC1

dt

i1 = C1duC1

dt=

C1

C1 + C2i (1.72)

i2 = C2duC2

dt=

C2

C1 + C2i

3. Circuitos RC con otras topologías alimentado en continua.

Sea un circuito como el de la gura 1.9. Cerramos el interruptor en el instante t=0, considerando que la tensióninicial que soporta el condensador es nula. Aplicando lazos básicos, tendremos:

E = (R1 +1

CD)i1 +R1i2 (1.73)

E = R1i1 + (R1 +R2)i2 (1.74)


Figura 1.9: Circuito RC

Despejando las corrientes:

i1 =

∣∣∣∣ E R1

E (R1 +R2)

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R1 + 1CD ) R1

R1 (R1 +R2)

∣∣∣∣ =ER2

(R1 +R2) 1CD +R1R2

(1.75)

i2 =

∣∣∣∣ (R1 + 1CD ) E

R1 E

∣∣∣∣∣∣∣∣ (R1 + 1CD ) R1

R1 (R1 +R2)

∣∣∣∣ =1CDE

(R1 +R2) 1CD +R1R2

(1.76)

Es decir, se deben resolver las dos siguientes ecuaciones:

ER2 = ((R1 +R2)1

CD+R1R2)i1 (1.77)

1

CDE = ((R1 +R2)

1

CD+R1R2)i2 (1.78)

La solución es del tipo:



El régimen permanente (circuito en continua) nos indica que:

i1forzada = 0 (1.81)

i2forzada =E

R1 +R2(1.82)

El régimen libre tiene por expresión:

i1libre = k1e− R1+R2

(R1R2)Ct (1.83)

i2libre = k2e− R1+R2

(R1R2)Ct (1.84)

debido a el régimen es de primer orden y la raíz obtenida es − R1+R2

(R1R2)C.

Ahora se deben determinar las constantes k1 y k2. Para ello, se debe tener presente la tensión que existía en elcondensador. Se cumple que:

uC(0+) = 0 = (1

CDi1)0+ (1.85)

Sustituyendo este valor en las ecuaciones diferenciales en el instante t = 0+, se cumple que:


E = R1i1(0+) + (1

CDi1)0+ +R1i2(0+) = R1i1(0+) + 0 +R1i2(0+) (1.86)

E = R1i1(0+) + (R1 +R2)i2(0+) (1.87)

Se obtienen los valores:

i1(0+) =E

R1(1.88)

i2(0+) = 0 (1.89)

Las constantes k1 y k2, se calculan a partir de las siguientes expresiones:

i1(0+) =E

R1= k1 (1.90)

i2(0+) = 0 =E

R1 +R2+ k2 (1.91)

Las expresiones de las corrientes son:

i1 =E

R1e− R1+R2

(R1R2)Ct (1.92)

i2 =E

R1 +R2(1− e−

R1+R2(R1R2)C

t) (1.93)

4. Circuitos RC alimentados con fuentes de corriente continua.

Figura 1.10: Circuito RC paralelo

Sea el circuito de la gura 1.10, en el cual vamos a analizar el transitorio cuando se realiza la apertura delinterruptor en el instante t=0, considerando que el condensador está descargado.

Aplicando el método de nudos, tendremos:

I = iC + iR = Cdu

dt+u

R= (CD +

1

R)u (1.94)

La ecuación es de primer orden, y la solución del tipo:


El régimen permanente (circuito en continua) tiene por expresión:

uforzada = RI (1.96)

El régimen libre toma por expresión:ulibre = ke−

1RC t (1.97)

El cálculo de la constante k se determina a partir de:

u(0+) = k +RI (1.98)


Para calcular el valor de la tensión en t = 0+, se analiza la ecuación inicial en el instante anterior, considerandoque la tensión inicial en el condensador es nula. Por lo tanto k = −RI, y la tensión toma por expresión:

u = RI −RIe− 1RC t (1.99)


iR =u

R= I(1− e− 1

RC t) (1.100)

iC = Cdu

dt= Ie−

1RC t (1.101)

5. Casos particulares que ocurren en circuitos con condensadores

Figura 1.11: Circuitos con condensadores

Sea el circuito de la gura 1.11. Suponiendo que se encuentra en régimen permanente, las tensiones que soportanlos condensadores C1 y C2 son respectivamente:

uC1 = R2I (1.102)

uC2 = RI (1.103)

Si cierra el interruptor en el instante t=0. Ocurre que no se cumple la ecuación de continuidad de la tensión enlos condensadores, es decir:

uC1(0−) = R2I 6= uC1(0+) = uC2(0+)uC2(0−) = RI 6= uC2(0+) = uC1(0+)

(1.104)

Para analizar lo que sucede en este proceso transitorio, utilizaremos por comodidad la Transformada de Laplace,que se verá posteriormente.

6. Circuito serie RC alimentado en alterna.

Figura 1.12: Circuito RC serie

Sea el circuito de la gura 1.12. Se supone que en el instante t=0 se pasa el interruptor a la posición 1. Antesde cerrar el interruptor, la tensión que soporta el condensador es nula (uC(0−) = 0). La fuente en el instantede cierre, tiene por expresión e(t) =

√2Esen(wt+ φ)



e = Ri+ uC(0+) +

∫ t

0+

idt = (R+1

CD)i (1.105)


El régimen libre es la solución de la ecuación homogénea (R + 1CD )i = 0. La solución es de tipo exponencial

decreciente, de la forma ilibre = ke−1RC t .

La solución forzada es el valor de la corriente, mucho tiempo después de que el interruptor se ha cerrado, esdecir, el régimen permanente (se debe analizar en el dominio complejo). Por lo tanto:

iforzada =

√2E√

R2 + (1/(wC))2sen(wt+ φ+ arctan(

1/(wC)

R)) (1.106)


i(t) = ke−1RC t +

√2E√

R2 + (1/(wC))2sen(wt+ φ+ arctan(

1/(wC)

R)) (1.107)

Como tenemos un condensador, se cumple que uC(0−) = uC(0+) = 0, por lo tanto, sustituyendo en la ecuacióndiferencial, tendremos:

e(t) =√

2Esen(φ) = uC(0+) +Ri(0+) = Ri(0+) (1.108)

i(0+) =

√2Esen(φ)

R= k +

√2E√

R2 + (1/(wC))2sen(φ+ arctan(

1/(wC)

R)) (1.109)

k =

√2Esen(φ)

R−

√2E√

R2 + (1/(wC))2sen(φ+ arctan(

1/(wC)

R)) (1.110)

1.2. Respuesta transitoria de los circuitos de segundo orden.

Un circuito de segundo orden está caracterizado por una ecuación diferencial de segundo orden. Esta compuestopor resistencias y del equivalente de dos elementos almacenadores de energía.

Determinación de los valores iniciales en los circuitos

El principal problema al manejar circuitos de segundo orden es la determinación de las condiciones iniciales delas variables de los circuitos. Estas son tensiones, corrientes y sus derivadas (u(t), i(t), di(t)/dt, du(t)/dt).

En los circuitos existirán inductancias y condensadores, y deberemos conocer sus condiciones iniciales, es de-cir, iL(0−), uC(0−). Cuando se existen casos particulares, la corriente en la inductancia y la tensión en elcondensador no pueden variar bruscamente, por lo que se cumple

iL(0−) = iL(0+) uC(0−) = uC(0+) (1.111)

En el instante t = 0+, los elementos existentes en el circuito sabemos como se comportan. La inductancia imponesu corriente inicial (equivale a una fuente de corriente). El condensador impone su tensión inicial (equivale auna fuente de tensión). En cuanto a las fuentes existentes en el circuito se conocen sus valores en el instanteinicial. De esta manera se podrá calcular fácilmente, la tensión existente en bornes de la inductancia (LdiLdt )0+,y la corriente que circula por el condensador (C duC

dt )0+, utilizando métodos de análisis.

1. Circuito RLC serie alimentando con una fuente de continua.

Considérese el circuito de la gura 1.13. Cerramos el interruptor en el instante t=0. Aplicando lazos, tendremos:

E = Ri+ Ldi

dt+ uC(0+) +

1

L

∫ t

0+

idt = (R+ LD +1

CD)i (1.112)

La solución tiene la forma:


Figura 1.13: Circuito RLC serie

i = ilibre + iforzada (1.113)

El régimen permanente (circuito en continua) es iforzada = 0

El régimen libre (solución de la ecuación homogénea), depende de las raíces de la ecuación característica desegundo grado:

R+ LD +1

CD= 0 (1.114)

Las raíces son:

D1 = − R

2L+

√(R

2L)2 − 1

LC(1.115)

D2 = − R

2L−√

(R

2L)2 − 1

LC(1.116)

Hay tres tipos de soluciones:

1. Si ( R2L )2 > 1LC , tenemos el caso sobreamortiguado (raíces distintas negativas).

2. Si ( R2L )2 = 1LC , tenemos el caso crítico (raíces iguales negativas).

3. Si ( R2L )2 < 1LC , tenemos el caso subamortiguado o oscilatorio amortiguado (raíces complejas).

Caso sobreamortiguado:

Considérese que las raíces son −α1 y −α2. La solución libre tiene la forma:

ilibre = k1e−α1t + k2e

−α2t (1.117)

la cual decae y se acerca a cero a medida que el tiempo aumenta.

Caso crítico:

Considérese que la raíz es doble y de valor −α = − R2L . La solución libre tiene la forma:

ilibre = k1e−αt + k2te

−αt (1.118)

la cual decae y se acerca a cero a medida que el tiempo aumenta.

Caso subamortiguado:

Considérese que las raíces son −α+ jw y −α− jw. La solución libre tiene la forma:

ilibre = e−αt(k1cos(wt) + k2sen(wt)) = e−αt(Asen(wt+B)) (1.119)

la cual decae exponencialmente, pero su naturaleza es oscilatoria.

El factor α determina la velocidad a la cual se amortigua la respuesta. Si R = 0, entonces α = 0, y tenemos uncircuito LC con w =

√1/(LC) como la frecuencia libre de la señal no amortiguada, la cual es oscilatoria pura.

La respuesta oscilatoria es posible debido a la existencia de dos elementos de almacenamiento L y C.

Las soluciones completas de la corriente para los casos subamortiguados, crítico y oscilatorio amortiguado son:


i = k1e−α1t + k2e

−α2t Sobreamortiguado

i = k1e−αt + k2te

−αt Críticoi = e−αt(k1cos(wt) + k2sen(wt)) Oscilatorio amortiguado

Las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales i(0+), ( didt )0+. Si se considera que la inductanciano tiene corriente inicial i(0−), y el condensador tampoco tiene tensión inicial uC(0−), tendremos que:

i(0+) = i(0−) = 0 (1.120)

uC(0+) = uC(0−) = 0 (1.121)

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

E = Ri(0+) + L(di

dt)0+ + uC(0+) = L(

di

dt)0+ (1.122)

Por lo tanto:

i(0+) = 0 (1.123)

(di

dt)0+ =

E

L(1.124)

Sustituyendo estos valores en las expresiones indicadas en la tabla anterior para cada una de los casos quepueden ocurrir, tendremos los valores de k1 y k2.

Las tensiones en los elementos se calculan mediante las expresiones generales:

uR = Ri

uL = Ldi

dt(1.125)

uc = uc(0+) +1

C

∫ t

0

idt

2. Circuito RLC paralelo alimentando con una fuente de continua.

Figura 1.14: Circuito RLC paralelo

Considérese el circuito de la gura 1.1. Abrimos el interruptor en el instante t=0. Aplicando nudos, tendremos:

I = iR + iL + iC =u

R+ iL(0+) +

1

L

∫ t

0+

udt+ Cdu

dt= (

1

R+

1

LD+ CD)u (1.126)



El régimen permanente (circuito en continua) es uforzada = 0


1

R+

1

LD+ CD = 0 (1.128)


Las raíces son:

D1 = − 1

2RC+

√(

1

2RC)2 − 1

LC(1.129)

D2 = − 1

2RC−√

(1

2RC)2 − 1

LC(1.130)

Hay tres tipos de soluciones:

1. Si ( 12RC )2 > 1

LC , tenemos el caso sobreamortiguado (raíces distintas negativas).

2. Si ( 12RC )2 = 1

LC , tenemos el caso crítico (raíces iguales negativas).

3. Si ( 12RC )2 < 1

LC , tenemos el caso subamortiguado o oscilatorio amortiguado (raíces complejas).

Las expresiones que resultan son semejantes a los que se analizaremos el circuito RLC serie.

Las soluciones completas de la tensión para los casos subamortiguados, crítico y oscilatorio amortiguado son:

u = k1e−α1t + k2e


u = k1e−αt + k2te

−αt Críticou = e−αt(k1cos(wt) + k2sen(wt)) Oscilatorio amortiguado

Las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales u(0+), (dudt )0+. Si se considera que la inductanciano tiene corriente inicial iL(0−), y el condensador tampoco tiene tensión inicial u(0−), tendremos que:

iL(0+) = iL(0−) = 0 (1.131)

u(0+) = u(0−) = 0 (1.132)

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

I =u(0+)

R+ iL(0+) + C(

du

dt)0+ = C(

du

dt)0+ (1.133)

Por lo tanto:

u(0+) = 0 (1.134)

(du

dt)0+ =

I

C(1.135)


Las corrientes en los elementos se calculan mediante las expresiones generales:

iR =u

R

iC = Cdu

dt(1.136)

iL = iL(0+) +1

L

∫ t

0

udt

3. Circuito RLC serie alimentando con una fuente de alterna.


e =√

2sen(wt+ φ) = Ri+ Ldi

dt+ uC(0+) +

1

L

∫ t

0+

idt = (R+ LD +1

CD)i (1.137)

La solución tiene la forma


Figura 1.15: Circuito RLC serie

i = ilibre + iforzada

El régimen permanente (circuito en alterna) es:

iforzada =

√2E√

R2 + (wL− 1wC )2

sen(wt+ φ− arctanwL− 1

wC

R) (1.138)


R+ LD +1

CD= 0 (1.139)

Las soluciones completas de la corriente para los casos subamortiguados, crítico y oscilatorio amortiguado son:

i =√

2Isen(wt+ ϕ) + k1e−α1t + k2e


i =√

2Isen(wt+ ϕ) + k1e−αt + k2te

−αt Críticoi =√

2Isen(wt+ ϕ) + e−αt(k1cos(wt) + k2sen(wt)) Oscilatorio amortiguado

Las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales i(0+), ( didt )0+. Si se considera que la inductanciano tiene corriente inicial i(0−), y el condensador tampoco tiene tensión inicial uC(0−), tendremos que:

i(0+) = i(0−) = 0 (1.140)

uC(0+) = uC(0−) = 0 (1.141)

Sustituyendo en la ecuación diferencial

√2sen(φ) = Ri(0+) + L(

di

dt)0+ + uC(0+) = L(

di

dt)0+

Por lo tanto:

i(0+) = 0 (1.142)

(di

dt)0+ =

√2sen(φ)

L(1.143)


Las tensiones en los elementos se calculan mediante las expresiones generales:

uR = Ri

uL = Ldi

dt(1.144)

uc = uc(0+) +1

C

∫ t

0

idt


Figura 1.16:

4. Otros circuitos de segundo orden con otras topologías.


E = (2R+ LD)i1 + (R+ LD)i2 (1.145)

E = (R+ LD)i1 + (2R+ LD +1

CD)i2 (1.146)




El régimen permanente es:

i1forzada =E

2R(1.149)

i2forzada = 0 (1.150)

El régimen libre (solución de la ecuación homogénea), depende de las raíces del determinante:

∣∣∣∣ 2R+ LD R+ LDR+ LD 2R+ LD + 1

CD

∣∣∣∣ = 0 (1.151)

Resulta una ecuación de segundo grado:

2RLD + (3R2 +L

C) +

2R

CD= 0 (1.152)

Podrán salir uno de los tres tipos de solución. Las soluciones completas de la corriente para los casos subamor-tiguados, crítico y oscilatorio amortiguado son:

a) Sobreamortiguado:

i1 =E

2R+ k1e

−α1t + k2e−α2t (1.153)

i2 = k3e−α1t + k4e

−α2t (1.154)

b) Crítico

i1 =E

2R+ k1e

−αt + k2te−αt (1.155)

i2 = 0 + k3e−αt + k4te

−αt (1.156)


c) Oscilatorio amortiguado

i1 =E

2R+ e−αt(k1cos(wt) + k2sen(wt)) (1.157)

i2 = e−αt(k3cos(wt) + k4sen(wt)) (1.158)

Las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales i1(0+), (di1dt )0+, i2(0+), (di2dt )0+. Si se consideraque la inductancia no tiene corriente inicial,y el condensador tampoco tiene tensión inicial, tendremos que:

i1(0+) + i2(0+) = 0 (1.159)

uC(0+) = 0 (1.160)

Sustituyendo en el sistema de ecuaciones diferenciales:

E = 2Ri1(0+) + L(di1dt

)0+ +Ri2(0+) + L(di2dt

)0+ (1.161)

E = Ri1(0+) + L(di1dt

)0+ + 2Ri2(0+) + L(di2dt

)0+ + uC(0+) (1.162)

Hace falta otra ecuación. Si se restan las dos ecuaciones diferenciales y se deriva y sustituye en t = 0+, tendremos:

0 = Ri1 −Ri2 −1

CDi2

0 = RDi1 −RDi2 −i2C

(1.163)

0 = R(di1dt

)0+ −R(di1dt

)0+ −i2(0+)

C

A partir del sistema de ecuaciones anteriores se calculan i1(0+), (di1dt )0+, i2(0+), (di2dt )0+, y posteriormente lascuatro constantes k1, k2, k3 y k4.


1.3. Análisis del régimen transitorio mediante la transformada de

Laplace.

Aplicando lazos básicos o el método de las tensiones de nudo a los circuitos, resultan una o más ecuacionesdiferenciales en el dominio del tiempo, según sea la conguración del circuito. En el tema anterior, se hanresuelto por los métodos clásicos. Sin embargo, en muchas situaciones, no conviene emplear estos métodos.La transformada de Laplace proporciona una solución directa de las ecuaciones diferenciales en determinadascircunstancias.

1.3.1. La transformada de Laplace

Siendo f(t) una función del tiempo, la transformada de Laplace, denotada por F(s), ésta dada por:

F (s) =

∫ ∞0−

f(t)dt (1.164)

donde s es una variable compleja dada por s = σ + jw.

La transformada de Laplace es una transformación integral de una función f(t) del dominio del tiempo aldominio de la frecuencia compleja, o dominio de s, dando F(s). Ambas funciones f(t), F(s), forman un parde transformadas. Existen tablas en donde se encuentran estos pares de funciones. Las transformadas de lasiguiente tabla son sucientes para lo que se persigue en este tema.

f(t) F(s)

A As

At As2

e−at 1s+a

te−at 1(s+a)2

tne−at 1(s+a)n+1

sen(wt+ φ) s[senφ]+w[cosφ]s2+w2

δ(t) 1

2Ke−αtsen(wt− φ) Kejφ

s+α+jw + Ke−jφ

s+α−jwdf(t)dt sF (s)− f(0−)∫ t

−∞ f(t)dt F (s)s +

∫ 0−−∞ f(t)dt

s

1.3.2. Transformada inversa de Laplace

Dada F(s), la función f(t) se debe encontrar en la tabla. Si la función F(s) tiene la forma general de:

F (s) =N(s)

D(s)(1.165)

donde N(s) y D(s) son dos polinomios, debemos descomponer la función F(s) en términos simples, usando unaexpansión en fracciones simples, para posteriormente buscar el término en la tabla de transformadas.

Para ellos debemos tener presente que el denominador deber tener mayor grado que el numerador. Las raícesdel denominador se denominan polos y puede haber polos simples (reales o complejos) y polos repetidos (dobles,triples,...).

1. Caso de polos simples.

Vamos a suponer que el denominador tiene 5 raíces simples (3 reales y 2 complejas). Sea, por ejemplo:

F (s) =N(s)

s(s+ a1)(s+ a2)(s+ α+ jw)(s+ α− jw)(1.166)


Entonces representaríamos a F(s) en términos de fracciones simples:

F (s) =k1s

+k2

s+ a1+

k3s+ a2

+k4

(s+ α+ jw)+

k5(s+ α− jw)

(1.167)

Si multiplicamos ambos lados de la función por s+ a1, resulta:

F (s)(s+ a1) = [k1s

+k3

s+ a2+

k4(s+ α+ jw)

+k5

(s+ α− jw)](s+ a1) + k2 (1.168)

Al sustituir para el valor de s = −a1, queda sólo k2.

Por lo tanto, para determinar cada uno de los coecientes, multiplicamos la expresión de F(s) por el denominadorque existe debajo del coeciente a calcular, y luego evaluamos el resultado para el valor de la raíz correspondiente.Resultan las siguientes expresiones:

k1 = [F (s)]s |s=0

k2 = [F (s)](s+ a1) |s=−a1k3 = [F (s)](s+ a2) |s=−a2 (1.169)

k4 = [F (s)](s+ α+ jw) |s=−α−jwk5 = [F (s)](s+ α− jw) |s=−α+jw

Los coecientes k1, k2, y k3 son reales (fracción simple con raíz real). En cambio los coecientes k4 y k5, resultancomplejos, y además son conjugados, es decir, k4 = k∗5 = Kejφ.

Tendremos al nal que:

F (s) =k1s

+k2

s+ a1+

k3s+ a2

+Kejφ

(s+ α+ jw)+

Ke−jφ

(s+ α− jw)(1.170)

Como los términos de la ecuación anterior están presentes en la tabla de transformadas, tendremos que lafunción f(t) viene expresada por:

f(t) = k1 + k2e−a1t + k3e

−a2t + 2Ke−αtsen(wt− φ) (1.171)

b) Caso de polos repetidos.

Considereremos solamente que los polos sean reales. La función F(s) tiene n polos repetidos de valor −an:

F (s) =kn

(s+ an)n+

kn−1(s+ an)n−1

+ ...+k2

(s+ an)2+

k1(s+ an)

(1.172)

El coeciente kn se calcula como en el caso de polos simples, es decir:

kn = F (s)(s+ an)n |s=−an (1.173)

Para calcular kn−1, se multiplica F(s) por (s+ an)n y derivamos para eliminar kn, y se sustituye para el valorde la raíz:

kn−1 =d

ds[F (s)(s+ an)n] |s=−an (1.174)


Repitiendo esto vamos calculando el resto de los términos:

kn−m =1

m!

dm

dsm[F (s)(s+ an)n] |s=−an (1.175)

donde m=1,2,...n-1.

Una vez obtenidos los coecientes, aplicamos la transformada inversa a cada término y se obtiene:

f(t) = k1e−a1t + k2te

−a1t + ...+kn

(n− 1)tn−1e−a1t (1.176)

1.3.3. Aplicación a los circuitos

Habiendo dominado la forma de obtener la transformada de Laplace y su inversa, ahora nos preparamos paraemplear la transformada de Laplace en el análisis de circuitos. Esto involucra los siguientes pasos:

1. Transformar el circuito de dominio del tiempo, al dominio de s.

2. Resolver el circuito utilizando lazos básicos, métodos de nudos, asociación de elementos, transformación defuentes o cualquier técnica de análisis de circuito con las que esté familiarizado.

3. Determine la transformada inversa de la solución y después obtenga la solución en el dominio del tiempo.

Los pasos 2 y 3 no son nuevos, solamente el primero.

Para una resistencia la relación corriente-tensión es:

u(t) = Ri(t) (1.177)

Determinando la transformada de Laplace, obtenemos:

U(s) = RI(s) (1.178)

Para una inductancia:

u(t) = Ldi(t)

dt(1.179)

Calculando la transformada de Laplace:

U(s) = L[sI(s)− i(0−)] = sLI(s)− Li(0−) (1.180)

o

I(s) =U(s)

Ls+i(0−)

s(1.181)

Los equivalentes en el dominio de s se muestran en la gura 1.17.

Figura 1.17: Circuitos equivalentes L en Laplace

Para un condensador:


i(t) = Cdu(t)

dt(1.182)

Calculando la transformada de Laplace:

I(s) = C[sU(s)− u(0−)] = sCU(s)− Cu(0−) (1.183)

o

U(s) =I(s)

Cs+u(0−)

s(1.184)

Los equivalentes en el dominio de s se muestran en la gura 1.18.

Figura 1.18: Circuitos equivalentes L en Laplace

Con los equivalentes anteriores, la transformada de Laplace se usa de inmediato para resolver los circuitos.

Capítulo 2

CIRCUITOS TRIFÁSICOSEQUILIBRADOS

2.1. Obtención de tensiones trifásicas.

Las tensiones trifásicas se producen normalmente en los alternadores trifásicos. Un alternador está compuestobásicamente por un imán, que se puede mover (se denomina rotor) rodeado de un sistema compuesto de tresarrollamientos o bobinas (denominado estator). Cada arrollamiento tiene dos terminales (gura ).

Figura 2.1: Alternador trifásico

Tendremos los terminales a-a', b-b', c-c', respectivamente por arrollamiento. Conforme el rotor gira a velocidadw, su campo magnético corta el ujo que concatena un arrollamiento e induce fuerza electromotriz en bornesdel arrollamiento. Si el rotor tiene una forma que la inducción electromagnética B tenga forma senoidal a lolargo del entrehierro (es el espacio entre rotor y estator) y la velocidad w es constante, la fuerza electromotrizinducida es senoidal. Como tenemos tres arrollamientos, tendremos que:

ea−a′ =√

2Easen(wt+ ϕa)

eb−b′ =√

2Ebsen(wt+ ϕb) (2.1)

ec−c′ ==√

2Ecsen(wt+ ϕc)

Si se situan los tres arrollamientos separados 120º y el número de espiras y la longitud es la misma para los tresarrollamientos, tendremos que:

ea−a′ =√

2Esen(wt+ ϕ)

eb−b′ =√

2Esen(wt+ ϕ− 120º) (2.2)

ec−c′ ==√

2Esen(wt+ ϕ− 240º)

Si ocurre esto último tendremos lo que se denomina un sistema trifásico de tensiones equilibradas; sino será unsistema trifásico de tensiones desequilibradas.

Un sistema trifásico de tensiones equilibrado está formado por tres tensiones de igual magnitud y desfasadasentre sí 120º.

28

CAPÍTULO 2. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 29

2.2. Noción de fase y secuencia de fases.

De momento podemos considerar cada arrollamiento de los anteriores como una fuente monofásica por sí sola.

Cuando nos referimos a lo que sucede en una de las fuentes (f.e.m.) hablaremos de una fase. Tendremos la faseA, la fase B y la fase C (f.e.m. ea−a′ , eb−b′ , ec−c′ respectivamente).

Si se representan las tensiones de cada una de las tres fuentes en un diagrama temporal (tensión-tiempo),observamos que:

1. Si en la fase A la tensión alcanza el máximo en primer término, luego la tensión de la fase B y posterior-mente la tensión de la fase C, tendremos la denominada secuencia directa.

2. Si en la fase B la tensión alcanza el máximo en primer término, luego la tensión de la fase A y posterior-mente la tensión de la fase C, tendremos la denominada secuencia inversa.

La secuencia de fases es importante en la distribución de potencia trifásica. Ésta determina la dirección derotación de un motor trifásico conectado a un sistema de tensiones trifásicas.

2.3. Conexiones de fuente en estrella y en triángulo.

Las tres f.e.m. se pueden conectar en estrella o en triángulo.

2.3.1. Fuente en estrella.

Figura 2.2: Fuente en estrella

Cada una de las fuentes de tensión ea, eb, ec se colocan topológicamente formando una conguración de-nominada estrella (Y) (gura 2.2). Cada fuente está conectada entre una fase (a, b, c) y el centro de estrella(n).

Las tensiones suminstrada por cada fuente de tensión se denominan tensiones de fase.

Cuando las fuentes son equilibradas, se verica que:

ea(t) + eb(t) + ec(t) = 0 o Ea + Eb + Ec = 0 (2.3)

Si calculamos las tensiones entre las fases tendremos que:

Uab = Ea − EbU bc = Eb − Ec (2.4)

U ca = Ec − Ea

Estas tensiones se denominan tensiones de línea.

Si la fuente en estrella es equilibrada y la secuencia es directa tendremos que:

Uab =√

3Ea 1∠30º

U bc =√

3Eb 1∠30º (2.5)

U ca =√

3Ec 1∠30º


Es decir, resulta un sistema de tensiones de línea equilibradas, donde:

Uab, U bc = Uab 1∠− 120º, U ca = Uab 1∠120º (2.6)

Figura 2.3: Tensiones fuente en estrella

Si la fuente en estrella es equilibrada y la secuencia es inversa tendremos que:

En la fuente:

Tensiones de línea: Coinciden con la carga:

Uab U bc = Uab1∠120º U ca = Uab1∠− 120º (2.7)

Tensiones de fase: Son las que suministran las fuentes.

Corriente de fase: Son las que circulan por las tres fuentes y coinciden con la de línea.

Uab =√

3Ea 1∠− 30º

U bc =√

3Eb 1∠− 30º (2.8)

U ca =√

3Ec 1∠− 30º

Es decir, resulta un sistema de tensiones de línea equilibradas, donde:

Uab, U bc = Uab 1∠120º, U ca = Uab 1∠− 120º (2.9)

Cuando las tensiones de fase y de línea son equilibradas, tienen la misma magnitud, de forma que tendremos:

Ea = Eb = Ec = UF Uab = Ubc = Uca = UL (2.10)

Secuencia directa : UL =√

3UF 1ejπ6 (2.11)

Secuencia inversa : UL =√

3UF 1e−jπ6 (2.12)

En una fuente equilibrada conectada en estrella. la tensión de línea es√

3 mayor que la tensión de fase.

Cuando las fuentes se conectan en estrella, tendremos tres fases (a, b y c) y un centro de estrella (n). Comoel centro de estrella es accesible, podremos conectarnos a él, mediante un conductor denominado conductorneutro. Cuando esto ocurre se dice que la fuente trifásica tiene 4 hilos.


Figura 2.4: Fuente en triángulo

2.3.2. Fuente en triángulo.

Cada una de las fuentes se conectan formado una disposición denominada triángulo. Cada una de las tres fuentesse encuentra entre dos fases.

Se observa entonces que las tensiones de línea son iguales que las tensiones de las fuentes, puesto que cada fuenteestá conectada entre dos fases.

Uab = Eab

U bc = Ebc (2.13)

U ca = Eca

2.4. Cargas en estrella o en triángulo.

Al igual que las conexiones de las fuentes, las cargas se pueden conectar en estrella o en triángulo. Si se conectaen estrella puede ser mediante 3 hilos (sin neutro) o 4 hilos (con neutro). La conexión en triángulo tiene queser a 3 hilos únicamente.

Una carga conectada en estrella o en triángulo se dice que estará desequilibrada si las impedancias que laconforman son distintas (en magnitud, en fase, o las dos cosas a la vez).

Una carga se dice que es equilibrada si las tres impedancias que la forman son iguales (ZY , Z4).

Recordemos que una carga conectada en estrella tiene su equivalente en triángulo (Z4 = 3ZY ) y una carga

conectada en triángulo tiene su equivalente en estrella (ZY =Z43 ).

2.5. Relaciones entre las corrientes y tensiones en cargas equilibradas

en sistemas de secuencia directa.

Vamos a analizar que sucede en las conguraciones de cargas cuando la carga es equilibrada.

Se denen los siguientes términos:

1. Tensiones de fase: será cada una de las tensiones suministrada por cada una de las fuentes, o las quesoportan cada una de las impedancias de la carga.

2. Tensiones de línea: será las diferencias de potencial entre las fases, UAB , UBC , UCA.

3. Corriente de fase: será cada de las corrientes que circulan por cada fuente o por cada una de las impedanciasde carga.

4. Corriente de línea: será cada una de las corrientes que circulan por las fases.

Caso 1. Carga en triángulo (secuencia directa).

En la carga:

Suponemos que las tensiones de línea están equilibradas:


Figura 2.5: Carga triángulo

Uab, U bc, U ca están equilibradas (2.14)

Uab U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º están equilibradas (2.15)

Tensiones de fase: Son las que soportan las tres impedancias. Coinciden con las tensiones de línea.

Corriente de fase: Son las que circulan por las tres impedancias.

Iab =UabZ4

Ibc =U bcZ4

Ica =U caZ4

(2.16)

Iab Ibc = Iab 1∠− 120º Ica = Iab 1∠ + 120º están equilibradas (2.17)

Corriente de línea: Son las que circulan por las tres fases.

Ia = Iab − Ica =√

3Iab 1∠− 30º

Ib = Ibc − Iab =√

3Ibc 1∠− 30º (2.18)

Ic = Ica − Ibc =√

3Ica 1∠− 30º

Ia Ib = Ia 1∠− 120º Ic = Ia 1∠ + 120º están equilibradas (2.19)

Se pueden relacionar las corrientes de línea con las corrientes de fase:

Ia = Ib = Ic = IL Iab = Ibc = Ica = IF (2.20)

IL =√

3IF 1e−jπ6 (2.21)

Caso 2. Carga en estrella (secuencia directa).

Existe un centro de estrella (O').

Supongamos que las corrientes fase, que son las que circulan por las tres impedancias, están equilibradas.

Ia Ib = Ia 1∠− 120º Ic = Ia 1∠ + 120º están equilibradas (2.22)

Corriente de línea: Son las que circulan por las tres fases. Coinciden con las corrientes de fase.

Ia =UaO′

ZYIb =

U bO′

ZYIc =

U cO′

ZY(2.23)

Tensiones de fase: Son las que soportan las tres impedancias.


Figura 2.6: Carga estrella

UaO′ = ZY Ia U bO′ = ZY Ib U cO′ = ZY Ic (2.24)

UaO′ , U bO′ , U cO′ están equilibradas (2.25)

Tensiones de línea:

Uab = UaO′ − U bO, U bc = U bO′ − U cO, U ca = U cO′ − UaO′ (2.26)

Uab =√

3UaO′ 1∠30º U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º están equilibradas (2.27)

Se pueden relacionar las tensiones de línea con las tensiones de fase:

UaO = UbO = UcO = UF Uab = Ubc = Uca = UL (2.28)

UL =√

3UF 1ejπ6 (2.29)

2.6. Circuitos trifásicos equilibrados. Cálculo por reducción a un cir-

cuito monofásico.

Existen cuatro topologías según el tipo de conexión de la fuente y la carga: Y-Y, 4−4, Y-4, 4-Y.

Estudiaremos la topología Y-Y como la clave para analizar los circuitos trifásicos equilibrados. Los restantes seanalizarán reduciéndolos a la Y-Y equivalente.

1. Conexión Y-Y equilibrada.

Consideremos un sistema trifásico con una fuente en estrella (fuente real), una carga en estrella y 4 hilos deconexión (con impedancia).

El circuito es equilibrado cuando sucede que:

Las tres impedancias de la carga son iguales ZC .

Las tres fuentes son equilibradas (Ea Eb = Ea 1∠− 120º Ec = Ea 1∠120º).

Las tres impedancias de línea de las fases son iguales ZG.

Las tres impedancias de línea de las fases son iguales ZL.


Figura 2.7: Conguración estrella-estrella

Normalmente las impedancias ZG, y ZL son muy pequeñas en comparación con ZC . Como las impedanciasZG, ZL, ZC están en serie, asociando tendremos que ZY = ZG + ZL + ZC .

Tendremos dos centros de estrella (O fuente, O' carga). Aplicando nudos, por ejemplo, obtenemos que la difer-encia de potencial entre los centros de estrella es nula UOO′ = 0.

A partir de este resultado se deduce que la impedancia del neutro ZN no soporta tensión y la corriente quecircula por ella es nula (IN = 0). Como entre los centros de estrella no hay diferencia de potencial, podremosunirlo en cortocircuito. Cada una de las impedancias ZY soportan la tensión de la fuente correspondiente a sufase (ver el tema anterior).

Las corrientes de línea tienen por valor:

Ia =EaZY

=Ea

ZG + ZL + ZC

Ib =EbZY

=Ea 1∠− 120º

ZG + ZL + ZC= Ia 1∠− 120º (2.30)

Ic =EcZY

=Ea 1∠120º

ZG + ZL + ZC= Ia 1∠120º

Las corrientes de línea suman cero Ia + Ib + Ic = 0 = In.

Se observa que para calcular las corrientes de línea con calcular la de una fase (por ejemplo la A) es suciente,puesto que las otras son iguales desfasadas 120º. Por esta razón, para analizar un circuito Y-Y equilibrado sereduce a un circuito monofásico equivalente, el cual sería considerar todos los elementos existentes en la fase Ay unir todos los centros de estrella entre sí (tanto de fuentes como de cargas).

A partir del circuito equivalente monofásico, se calculan las corrientes de línea (que coinciden con las de fasepor las estrellas) y las tensiones de fase que existen en la carga y en las fuentes reales.

IA =Ea

ZG + ZL + ZC(corriente de línea) (2.31)

Ua′O′ = IAZC (tensión fase carga) (2.32)

UaO′ = Ea − IAZG (tensión fase fuente real) (2.33)

Posteriormente se calcularían las tensiones de línea utilizando las ecuaciones:


UL =√

3UF 1ejπ6 (secuencia directa) (2.34)

Uab =√

3UaO′ 1∠30º U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º (fuente) (2.35)

Ua′b′ =√

3Ua′O′ 1∠30º U b′c′ = Ua′b′ 1∠− 120º U c′a′ = Ua′b′ 1∠ + 120º (carga) (2.36)

2. Conexión Y-4 equilibrada.

Para analizarlo, se sustituye la carga en 4 por su equivalente en estrella ZY =Z43 . Una vez así tendremos

un circuito Y-Y, que lo podemos analizar como en el caso 1. Una analizado el circuito equivalente monofásico,habremos calculado las corrientes de línea. Las corrientes de fase por el4 se calcularían, a partir de las tensionesde línea en el 4 (UL/Z4).

3. Conexión 4 -Y equilibrada.

Para analizarlo, se transforma la fuente real conexión 4 a su equivalente conexión Y.

Si las fuente real en 4 tiene como impedancias ZG y las fuentes son Eab, Ebc, y Eca, las fórmulas a utilizar sonlas siguientes (suponiendo secuencia directa):

Impedancias fuente estrella ZG′ =ZG3

(2.37)

F.e.m. fuente estrellaEA′ =

Eab√3

1∠− 30º

EB′ = EA′ 1∠− 120ºEC′ = EA′ 1∠ + 120º

(2.38)

Una vez hecha las transformación tendremos una conguración Y-Y, que se analiza como en el caso 1.

Las corrientes de fase que circulan por la fuente real conexión 4 se calcularían a partir de las corrientes delínea, que suministraria la fuente en estrella (IL =

√3IF 1e−j

π6 ):

I1 =IA√

31∠30º

I2 = I1 1∠− 120º (2.39)

I3 = I1 1∠ + 120º

4. Conexión 4 - 4 equilibrada.

Se transforma todos las 4 tanto de fuentes como de cargas a sus Y equivalentes, y los analizamos como secomentó en los casos anteriores.

cuando las corrientes slas cuatro posibles conguraciones que existen al conectar una fuente trifásica a una cargatrifásica: Y − Y, Y −4, 4− Y,4−4. Consideramos que la carga es equilibrada y la fuente también.

Capítulo 3

CIRCUITOS TRIFÁSICOSDESEQUILIBRADOS.

Generalmente, los sistemas trifásicos están sensiblemente equilibrados, bien porque las cargas trifásicas sonequilibrados (como los motores) o porque las cargas monofásicas están repartidas equilibradamente entre lasfases.

Cuando las cargas dejan de ser iguales para las tres fases, se obtiene un sistema desequilibrado que debe resolversesimultáneamente para las tres fases, sin que pueda considerarse un circuito equivalente monofásico, porque lasecuaciones han perdido sus condiciones de simetría. Es importante en este caso saber cual es la secuencia defase, pues va a inuir enormemente en el resultado nal.

Se puede hacer dos tipos de estudios. El primero considerando un sistema de alimentación equilibrado y lascargas desequilibradas, y el segundo utilizando la técnica de las componentes simétricas, que permite convertiren sistema desequilibrado en simétrico.

3.1. Cargas desequilibradas conectadas en estrella.

Vamos a considerar el circuito de la gura siguiente:

+−EAN

+−

EBN

+−

EAN

ZAl

ZBl

ZCl

ZN

ZAc

ZBc

ZCc

A A'

B B'

C C'

N N'

IA

IB

IC

IN

La impedancia ZN representa la impedancia del neutro.

La suma de las impedancias de cada fase será:

ZA = ZAl + ZAc ZB = ZBl + ZBc ZC = ZCl + ZCc (3.1)

Las d.d.p. en las impedancias totales de cada fase son, UAN ′ ; UBN ′ ; UCN ′

Las corrientes de línea son:

IA =UAN ′

ZA=EAN − UN ′N

ZAIB =

UBN ′

ZB=EBN − UN ′N

ZBIC =

UCN ′

ZC=ECN − UN ′N

ZC(3.2)

36

CAPÍTULO 3. CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS. 37

La corriente del neutro es:

IN =UN ′NZN

= IA + IB + IC (3.3)

Se cumple entonces que:

IN =UN ′NZN

=EAN − UN ′N

ZA+EBN − UN ′N

ZB+ECN − UN ′N

ZC(3.4)

UN ′N =EANZA

+ EBNZB

+ ECNZC

1ZA

+ 1ZB

+ 1ZC

+ 1ZN

(3.5)

Esta ecuación se podría haber deducido aplicando directamente el método de los nudos, tomando como referenciael nudo N.

En la gura se representa una posible solución de las diferentes d.d.p. existentes.

N

N'

UAB

UBC

UCA

UAN ′

UBN ′UCN ′

EA

EB

EC

Casos particulares: (clase)

a) carga en estrella equilibrada.

b) carga en estrella desequilibrada a 4 hilos.

c) carga en estrella desequilibrada a 3 hilos.

3.2. Cargas desequilibradas conectadas en triángulo.

Capítulo 4

POTENCIA EN LOS CIRCUITOSTRIFÁSICOS.

4.1. Potencia en los circuitos trifásicos: activa, reactiva, aparente,

compleja.

Vamos a considerar la potencia instantánea absorbida por un circuito trifásico. Vamos a considerar dos casos,uno cuando tenemos un circuito a 3 hilos y otro cuando existen circuitos a 4 hilos.

Caso 1. Circuito a 4 hilos.

Figura 4.1: Circuito a 4 hilos

Consideramos una fuente conectada en estrella con neutro, formada por tres fuentes ideales (ea(t), eb(t), yec(t)).Esta fuente alimenta un circuito trifásico conectado a la fuente mediante 4 hilos (las tres fases y el neutro).Existirán 4 corrientes, las 3 de línea y la del neutro (ia(t), ib(t), ic(t), in(t)). La potencia instantánea absorbidapor el circuito, sería la suministrada por las tres fuentes conectadas en estrella:

p(t) = ea(t)ia(t) + eb(t)ib(t) + ec(t)ic(t) (4.1)

A partir de aquí, la potencia activa, reactiva, compleja y aparente, serían:

P = EaIacos(ϕEa − ϕIa) + EbIbcos(ϕEb − ϕIb) + EcIccos(ϕEc − ϕIc)Q = EaIasen(ϕEa − ϕIa) + EbIbsen(ϕEb − ϕIb) + EcIcsen(ϕEc − ϕIc) (4.2)

S = EaI∗a + EbI

∗b + EcI

∗c = P + jQ

S = |S| =√P 2 +Q2

38

CAPÍTULO 4. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS TRIFÁSICOS. 39

Si consideramos dos circuitos trifásicos (circuito I-circuito II) conectados a través de 4 hilos, tendremos queexisten tres tensiones entre cada una de las fases y el neutro (uan(t), ubn(t), y ucn(t)), además de las 3 cor-rientes de línea y la del neutro (ia(t), ib(t), ic(t), in(t)). Podremos sustituir uno de los circuitos trifásicos,por ejemplo el circuito I, por 3 fuentes conectadas en estrella con neutro cuyas tensiones sean precisamente(uan(t), ubn(t), y ucn(t)). De esta manera podremos calcular la potencia suministrada por las 3 fuentes (o lasuministrada por el circuito I) utilizando las fórmulas anteriores (ecuación 4.2).

Caso

2. Circuito a 3 hilos.


Si tenemos dos circuitos trifásicos (circuito I-circuito II) conectados a través de 3 hilos (las tres fases). En losterminales de ambos circuitos tendremos unas tensiones y corrientes de línea (Uab, U bc, U ca Ia, Ib, Ic). Podríamosconocidas las tensiones de línea sustituir el circuito I por una fuente formada por tres fuentes ideales conectadasen triángulo, cuyos valores serían las tensiones de línea, de forma que esta fuente equivalente suministraría lasmismas corrientes de línea.


Como se cumple que

Uab + U bc + U ca = 0 (4.3)

tendremos que conociendo el valor de dos, tendremos el valor de la tercera. De esta manera el circuito I, podríaser sustituido por una fuente congurada por dos fuentes únicamente. Por ejemplo, escogemos Uab y U bc. Siel circuito I, lo sustituimos por dos fuentes de tensión conectadas entre A y B una y otra entre B y C, cuyastensiones sean precisamente Uab y U bc , el circuito II estará alimentado con las mismas tensiones de línea yabsorberá las mismas corrientes de línea.

La potencia absorbida por el circuito II será la suministrada por las dos fuentes:

p(t) = uab(t)ia(t) + ubc(t)(−ic(t)) = uab(t)ia(t)− ubc(t)ic(t) (4.4)

Existen otras dos posibilidades, elegidas otras dos tensiones:

p(t) = ubc(t)ib(t)− uca(t)ia(t) (4.5)



p(t) = uca(t)ic(t)− uab(t)ib(t) (4.6)

A partir de aquí, la potencia activa, reactiva, compleja y aparente, serían (utilizando la primera opción):

P = UabIacos(ϕUab − ϕIa)− UbcIccos(ϕUbc − ϕIc)Q = UabIasen(ϕUab − ϕIa)− UbcIcsen(ϕUbc − ϕIc) (4.7)

S = UabI∗a − U bcI

∗c

S = |S| =√P 2 +Q2

4.2. Potencia en el caso de circuitos equilibrados.

Vamos a analizar la potencia en circuitos equilibrados.


Como estamos en un circuito equilibrado tendremos que, las tensiones entre fase y neutro son equilibradas. Asímismo también son equilibradas las corrientes de línea:

Uan, U bn = Uan 1∠− 120º, U cn = Uan 1∠120º (4.8)

Ia, Ib = Ia 1∠− 120º, Ic = Ia 1∠120º (4.9)

Entonces la potencia activa sería:

P = UanIacos(ϕUan − ϕIa) + UbnIbcos(ϕUbn − ϕIb) + UcnIccos(ϕUcn − ϕIc) == 3UanIacosϕ = 3UbnIbcosϕ = 3UcnIccosϕ

(4.10)

siendo ϕ el desfase entre la tensión y corriente ϕ = ϕUan − ϕIaComo todas las tensiones de fase tienen igual magnitud Uan = Ubn = Ucn = UF , y las corrientes de línea tienenigual magnitud Ia = Ib = Ic = IL, tendremos que

P = 3UF ILcosϕ (4 hilos) (4.11)

De igual forma, tendremos que la potencia reactiva, compleja y aparaente son

Q = 3UF ILsenϕS = 3UanI

∗a

S = 3UF IL

(4 hilos) (4.12)

Como en un sistema trifásico equilibrado a 4 hilos, la tensiones de línea están relacionadas con las tensiones defase, tendremos que

Uab =√

3Uan 1∠− 30º U bc = Uab 1∠− 120º U ca = Uab 1∠ + 120º (4.13)

Uab = Ubc = Uca = UL (4.14)


P = 3UF ILcosϕ =√

3ULILcosϕ

Q = 3UF ILsenϕ =√

3ULILsenϕ

S =√P 2 +Q2 =

√3ULIL

S =√

3ULIL∠ϕ

(4.15)


Como estamos en un circuito equilibrado tendremos que, las tensiones de línea son equilibradas. Así mismotambién son equilibradas las corrientes de línea:

UAN , UBN = UAN 1∠− 120º, UCN = UAN 1∠120º (4.16)

IA, IB = IA 1∠− 120º, IC = IA 1∠120º (4.17)

Además todas las tensiones de línea tienen igual magnitud UAB = UBC = UCA = UL, y las corrientes de líneatienen igual magnitud IA = IB = IC = IL.

Si la fuente trifásica conexión triángulo se sustituye por una fuente en estrella equivalente, de valores:

Fuente estrellaUAN =

UAB√3

1∠− 30º

UBN = EAN 1∠− 120ºUCN ′ = EAN 1∠ + 120º

(4.18)

estaríamos otra vez en el caso 1, pero con la salvedad de que el hilo neutro no existe, pero si un centro de estrellaen la fuente (N). Además la fuente sería equilibrada UAN = UBN = UCN = UF

La potencia activa, reactiva, aparente y compleja serían

P = 3UF ILcosϕ =√

3ULILcosϕ

Q = 3UF ILsenϕ =√

3ULILsenϕ

S =√P 2 +Q2 =

√3ULIL

S =√

3ULIL∠ϕ

(4.19)

donde ϕ = ϕUan − ϕIa

4.2.1. Factor de potencia en circuito equilibrados.

Si tenemos un circuito trifásico equilibrado, el factor de potencia sería el cos(ϕ = cos(ϕUan − ϕIa), es decir, elcoseno del ángulo que forma la tensión de fase Uan y la corriente de línea Ia.

4.2.2. Mejora del factor de potencia en los circuitos trifásicos equilibrados.

Igual que se analizó en el caso monofásico, en las cargas trifásicas se puede mejorar el factor de potencia conectan-do un grupo de condensadores, formado una carga en estrella o en triángulo en paralelo con la carga trifásicaoriginal. Utilizando el teorema de Boucherot, se podrá determinar el valor de los condensadores necesarios.

4.2.3. Comparación entre los circuitos trifásico equilibrados y uno monofásico.

Una ventaja importante de los sistemas trifásicos es que la potencia instantánea absorbida por un circuitotrifásico equilibrado es constante.

Tendremos que (consideramos circuito Y-Y):

p(t) uan(t)ia(t) + ubn(t)ib(t) + ucn(t)ic(t)

=√

2UF cos(wt)√

2IF cos(wt− ϕ)+

+√

2UF cos(wt− 120º)√

2IF cos(wt− 120º− ϕ)+

+√

2UF cos(wt+ 120)√

2IF cos(wt+ 120º− ϕ)

(4.20)

Resulta que la potencia instantánea tiene un valor que coincide con la potencia activa:


p(t) = P = 3UF IF cosϕ (4.21)

Es decir, la potencia instantánea no cambia con el tiempo, aunque la potencia instantánea de cada fase si lohace con el tiempo. Es una razón importante para utilizar un sistema trifásico con el n de generar y transmitirpotencia a las cargas, debido a que produce una transmisión de potencia uniforma.

Este mismo resultado se puede aplicar a una carga, de forma que si es una máquina eléctrica, tendrá menosvibraciones.

Una segunda ventaja de los sistema trifásicos es que éstos utilizan para la distribución de potencia una menorcantidad de conductores que los monofásicos para la misma tensión de línea UL y la misma potencia absorbidaPL. Comparemos estos casos, suponiendo que ambos conductores son del mismo material (es decir, con la mismaresistividad ρ), de la misma longitud l y que las cargas absorben la misma potencia y tienen el mismo factor depotencia.

Figura 4.5: Comparación monofásicos-trifásicos

Para el sistema monofásico de dos conductores, IL = P/(ULcosφ), de manera que la pérdida en los conductoreses

otencia en los circuitos trifásicos.

Pmo = 2RmoI2L = 2Rmo

P 2

U2Lcos

2(φ)(4.22)

En el caso del sistema trifásico de tres conductores la corriente de línea es IL = Ia = Ib = Ic = PL/(√

3ULcos(φ)).Las pérdidas en los tres conductores es

Ptr = 3RtrI2a = 3Rtr

P 2

3U2Lcos

2(φ)= Rtr

P 2

U2Lcos

2(φ)(4.23)

Las ecuaciones muestran que para la misma tensión de línea UL y la misma potencia total entregada PL secumple que

PmoPtr

=2RmoRtr

(4.24)

Como Rmo = ρl/(πr2mo) y Rtr = ρl/(πr2tr), donde rmo y rtr son los radios de los conductores, se verica que

PmoPtr

=2r2trr2mo

Si la misma pérdida de potencia se tolera en ambos sistema, entonces r2 = 2r′2. La proporción de materialrequerido en ambos sistema es

Material para monofasico

Material para trif asico=

2(πr2mol)

3(πr2trl)=

2r2mo3r2tr

=2

3(2) = 1, 33 (4.25)

Es decir, un sistema monofásico utiliza un 33% más material que un sistema trifásico. En otras palabras, senecesita considerablemente menos material para entregar la misma potencia con un sistema trifásico que el quese requiere para un sistema monofásico.


4.3. Medida de potencia.

El instrumento utilizado para medir la potencia activa se denomina vatímetro. Es necesario medir la intensidady la diferencia de potencial para calcular la potencia. En la gura se representa el símbolo del vatímetro.

circuito

*

*W I

U

+

-

El vatímetro indicaW = U.I.cosφU,I

Los terminales indicados con *, indican la referencias de tensión y corriente.

Si tenemos un circuito trifásico a cuatro hilos, necesitaremos tres vatímetros uno por cada fase, como se indicaen la siguiente gura.

A

B

C

N

circuito

*

*W1

*

*W2

*

*W3

Ia

Ib

Ic

La potencia activa absorbida por el circuito es:

P = Ua.IacosφUa,Ia + Ub.IbcosφUb,Ib + Uc.IccosφUc,Ic = W1 +W2 +W3

Si tenemos un circuito trifásico a tres hilos, necesitaremos dos vatímetros, como se indica en la siguiente gura.

A

B

C

circuito

*

*W1

*

*W2

Ia

Ib

Ic

La potencia activa absorbida por el circuito es:

P = Uac.IacosφUac,Ia + Ubc.IbcosφUbc,Ib = W1 +W2

Capítulo 5

COMPONENTES SIMÉTRICAS YCORTOCIRCUITOS

5.1. Representación de sistemas de potencia.

La representación de un sistema de potencia, en su forma más sencilla, en el cual se han de colocar toda lainformación de los elementos y estructuras que constituyen el sistema de potencia.

Es posible elaborar dos tipos de diagramas, uno en el cual se realice una representación general del sistema peroinformativa (diagrama unilar), y otra exhaustiva y particular para cada uno de los elementos que conformanel sistema de potencia con sus valores (diagrama de impedancias).

5.1.1. Diagrama unilar.

En el análisis de un circuito trifásico equilibrado, se puede realizar la simplicación del estudio tomando uncircuito monofásico equivalente, conformado por una de las fases y su respectivo neutro de retorno.

Figura 5.1: Símbolos elementos (CEI)

Cuando el equivalente monofásico por fase se simplica suprimiendo el camino de cierre de corrientes por elneutro, y se sustituye cada elemento por un símbolo normalizado y estandarizado surge, como resultado eldiagrama unilar.

44

CAPÍTULO 5. COMPONENTES SIMÉTRICAS Y CORTOCIRCUITOS 45

Un diagrama unilar es la representación del sistema trifásico que se obtiene al reemplazar los diferentes el-ementos del sistema en el equivalente por fase por simples símbolos normalizados suprimiento el camino deretorno.

Los objetivos del diagrama unilar son:

Permitir una representación del sistema más simple.

Mostrar los datos más importantes o características del sistema.

En la gura 5.1 se indican los símbolos utilizados para representar diversos elementos, según la CEI (comisiónelectrotécnica internacional) y un ejemplo de un diagrama unilar de un sistema de potencia.

Barra: es una conexión de impedancia nula, donde se conectan diferentes elementos de un sistema como: líneas,transformadores, generadores, carga, etc.

5.1.2. Modelado de los componentes de un sistema eléctrico.

El modelo de un elemento, es una abstracción de una situación real que permite poder simular el comportamientode un elemento cuantitativamente, sin llegar a un análisis físico real de la situación. Los modelos pueden ir desdelos más complejos y detallados a los más sencillos, todo dependen de cuan exacto se requiera la situación real.

Los elementos pasivos en los sistemas de potencia como son las líneas de transmisión, transformadores, con-densadores, son considerados lineales y modelados por una o más cantidades eléctricas: resistencias, inductan-cias, condensadores. Los elementos activos como motores, generadores, condensadores síncronos, y cargas comohornos, elementos ajustables de velocidad, etc, son componentes no lineales, pero bajo algunas restriccionespueden ser considerados lineas. Uno o más parámetros del modelo de un elemento activo varía en función deltiempo, frecuencia, velocidad, etc.

5.1.2.1. Acometidas o redes de alimentación.

El valor de la corriente de cortocircuito para una acometida viene determinado por la potencia de cortocircuitoen el punto de conexión (Q) de la red que alimenta a dicha acometida.

La impedancia de cortocircuito resulta ser:

ZQ = RQ + jXQ ZQ = 1, 1U2nQ

SkQ(5.1)

donde UnQ es la tensión nominal de la red en el punto de acometida Q; SkQ es la potencia de cortocircuitopara la corriente inicial simétrica en el punto de acometida. Si no se conoce la relación entre RQ y XQ se puedetomar RQ = 0, 1XQ XQ = 0, 995ZQ.

5.1.2.2. Cables.

No es posible dar fórmulas con una precisión suciente la resistencia y reactancia. Los valores deberán serindicados por el fabricante o mediante medidas.


5.1.2.3. Modelado de transformadores.

El transformador de potencia, es el elemento del sistema de potencia, que se encarga de modicar los niveles detensión y corriente, adaptándolos a los requerimientos del sistema.

El transformador más simple consiste en dos arrollamientos, entrelazados sobre un mismo núcleo magnético.

El circuito equivalente real exacto de un transformador de potencia de dos devanados considera los efectosde la resistencia de los arrollamientos, las dispersiones de ujo y las corrientes de excitación. El efecto delcircuito primario es simulado atribuyendo a dicho arrollamiento una reactancia de dispersión, y una resistenciaen serie para simular la caída de tensión en el arrollamiento. La corriente de excitación se toma en cuenta porla colocación de una resistencia en paralelo con una inductancia. El circuito secundario es simulado al igual queel primario, por una resistencia y una reactancia en serie.

Este modelo expuesto, corresponde al circuito equivalente de un transformador de dos devanados, en el cualno se utiliza el articio del transformador idela. No hay modicación del nivel de tensión correspondiente a latransformación de tensión de los lados de alta y baja. Si se desprecia la corriente magnetizante, las corrientesen ambos extremos son iguales. Esto se logra reriendo apropiadamente mediante la aplicación de la relaciónde transformación todos los parámetros eléctricos a un mismo lado del transformador.

Si el arrollamiento primario tiene N1 espiras y el secundario N2 espiras, el circuito equivalente con los parámetrosreferidos al primario será el siguiente, siendo rt = N1/N2:

jXL1R1

jXm Rm

jXL2.r2t R2.r

2t

I1 I2/rt

+

-

U1

+

-

U2.rt

El circuito equivalente con los parámetros referidos al secundario será el siguiente:

jXL1/r2tR1/r

2t

jXm/r2t Rm/r

2t

jXL2 R2

I1.rt I2

+

-

U1/rt

+

-

U2

Si despreciamos la corriente magnetizante, el circuito se simplica quedando:

jXL1R1 jXL2.r2t R2.r

2t

I1 I2/rt

+

-

U1

+

-

U2.rt

Zcc

I1

Si utilizamos los parámetros referidos al primario, tendremos una impedancia en serie. Esta impedancia sedenomina impedancia de cortocircuito y se calcula mediante el ensayo de cortorcircuito, en el cual se coloca elsecundario en cortocircuito y la corriente que circula es la corriente nominal. La tensión primaria de alimentaciónserá la tensión de cortocircuito que se representa en% respecto a la tensión nominal.

In =S√3U

Ucc =εcc100

U Zcc =

Ucc√3

In=

εcc100

U2

S(5.2)

siendo S la potencia nominal del tranformador; U la tensión (de línea) nominal del transformador en el primario;In la corriente nominal del primario; εcc la tensión de cortocircuito (en%) .


Si la impedancia de cortocircuito se toma referida al secundario, las fórmulas son semejantes, pero con la tensiónU la nominal del secundario. Se observa que

Zcc referidaprimario = Zcc referidasecundario.r2t (5.3)

En muchas ocasiones, las impedancias de los transformadores se expresan en forma de valores relativos (zT enOhmios), referidos a la tensión (kV) y potencia del transformador (MVA) y corresponden a las impedancias porfase en estrella. La impedancia expresada en Ohmios, referida al primario o secundario sería:

Zcc referidaprimario = zTU2

SZcc referidasecundario = Zcc referidaprimario/r

2t (5.4)

5.1.2.4. Modelado de líneas de transmisión.

Los elementos de mayor extensión dentro de los sistemas de potencia son las líneas de transmisión.

Las líneas de transmisión normalmente funcionan con cargas trifásicas equilibradas, aunque no estén dispuestossus conductores equilateralmente e incluso sin transposición, la inuencia de la asimetría es pequeña y se puedenconsiderar como elementos trifásicos equilibrados.

Las líneas se clasican según su longitud. Las líneas cortas son por lo general de longitud menor de 80 km, ysu modelo consiste en una resistencia e inductancia en serie, debido a que la susceptancia capacitiva total espequeña

RL jXL

I1 I2

En el caso de líneas cortas la corriente de entrada I1 y la de salida I2 son iguales.

Cuando la longitud de las líneas está entre 80 y 230 km, se trata de líneas medias y la inuencia de la capacidadse hace presente. Se utiliza el modelo en Π dividiendo la capacidad total en dos partes iguales.

RL jXL

−jXc −jXc

I1 I2+

-

U1

+

-

U2

ZI

−jY/2 −jY/2I1 I2+

-

U1

+

-

U2

Las fórmulas que relacionan las corrientes y tensiones de entrada y salida son:

I = I2 − jY

2U2 U1 = U2 + ZI I2 = I − j Y

2U2 (5.5)

U1 = (1 +−jZ Y2

)U2 + ZI2 I1 = −jY (1− j ZY4

)U2 + (1− j ZY2

)I2 (5.6)

Las líneas de longitud superior a 320 km, o líneas largas, debe ser más preciso el cálculo del modelo equivalentedebido a que los fenómenos asociados con estas son muy complejos, por lo que se consideran todos los parámetrosde manera distribuida. Resulta un circuito como el siguiente:


Z′

I

−jY ′/2 −jY ′/2

I1 I2+

-

U1

+

-

U2

Donde

Z′

= Zcsinh(γl) Y′

= Ytanh(γl/2)

γl/2(5.7)

siendo γ y Zc la constante de propagación y la impedancia característica de la línea.

γ =√

(r + jwL)(g + jwC) Zc =

√(r + jwL)

(g + jwC)(5.8)

5.1.2.5. Modelado de generadores síncronos.

Las máquinas síncronas son empleadas como generadores de potencia activa y reactiva, aunque en ocasiones seutilizan exclusivamente para la generación de potencia reactiva (condensador síncrono).

Existen en función de la geometría de su rotor, dos tipos de generadores: roto liso o cilíndrico y rotor de polossalientes (gura 5.2)

Figura 5.2: Rotor síncronos

Un punto importante, es establecer el circuito equivalente para el generador síncrono, para poder simular elcomportamiento que el generador presentará ante cualquier situación en el sistema de potencia.

Vamos a comenzar en condiciones tal que no exista saturación y en régimen estacionario. El generador estáconstituido por un devanado trifásico en el estator y por otro devanado monofásico en el rotor. Cuando eldevanado rotórico es energizado con una corriente continua, se produce un campo magnético y el ujo deexcitación Φex (rotativo con respecto al estator, debido a que el rotor está girando a una velocidad constate(3000, 1500, 750,... rpm). En los devanados trifásicos, se induce en cada fase una f.e.m. (fuerza electromotriz)que está retrasada 90º respecto al ujo de excitación Φex. La f.e.m. inducidad vale:

Eo = kΦextw (5.9)

Para una velocidad w constante,la f.e.m. es función de la corriente de excitación: Eo = f(Iex)

Si en los terminales del devanado trifásico del estator, se conecta una carga trifásica equilibrada, comenzará lacirculación de una corriente en cada fase. Se dice que la máquina trabaja en carga. En este caso la tensión enlos terminales de la máquina diere de la f.e.m. inducida debido a conjunción de varios fenómenos a considerar.

Al circular corriente por los devanados trifásicos, aparece el efecto de reacción de inducido. Además del ujo deexcitación, la circulación de corriente por el circuito inducido, origina la presencia de un ujo de reacción (Φr)cuya posición espacial depende de la carga acoplada a los terminales del generador, resultando un ujo total

Φt = Φex + Φr (5.10)


La tensión de salida U no coincidirá con la f.e.m. generada debiendo considerarse la tensión óhmica e inductivadel devanado inducido, debido a la presencia de resistencia de los devanados del inducido y del ujo de dispersióndel inducido.

Si se llama a Ec a la f.e.m. generada en carga y que es función de Φt, tendremos:

Ec = U +RI + jXσI (5.11)

Considerando aisladamente cada ujo tendremos asociada una f.e.m: Φt ⇒ Ec Φo ⇒ Eo Φr ⇒ Er

La f.e.m. resultante Ec inducidad por el ujo resultante será:

Ec = Eo + Er = Eo − jXrI (5.12)

siendo Xr la reactancia debida a la reacción de inducido.

Sustituyendo, tendremos

Eo = Ec − Er = U +RI + jXσI + jXrI (5.13)

Eo = U +RI + jXsI (5.14)

La reactancia síncrona Xs es la suma de la reactancia de dispersión y de la reacción de inducido.

El desfase entre U, I determina el factor de potencia del generador. En cambio el desfase entre Eo, U elel denominado ángulo de potencia, que sirve para calcular la potencia activa y reactiva suministrada por elgenerador.

5.1.2.6. Modelado de las cargas.

Las cargas son elementos empleados en la representación de los sistemas de potencia y consumen por lo generalpotencia activa y reactiva. La representación exacta es un problema complejo. Primeramente las cargas han deser clasicadas en dos grupos: cargas estáticas y cargas dinámicas (en referencia a su comportamiento ante uncortocircuito).

Las cargas estáticas son aquellas que tienen un comportamiento tal que ante un cortocircuito no pueden entregarcorriente. Son elementos que consumen potencia activa y reactica. Se asumen constantes. Este tipo de cargases simulada por elementos pasivos que consumen potencia constante.

El modelo de cargas estáticas puede ser un modelo serie o paralelo. En general constan de una resistencia queabsorbe la potencia activa y una reactancia inductiva que consume potencia reactiva o, reactiva capacitiva quecede potencia reactiva.


jXp Rp

Icarga

+

-

Ucarga

jXs

Rs

Icarga

+

-

Ucarga

Las cargas dinámicas son aquellas que ante eventos de fallos, pueden contribuir con corriente al cortocircuito.En este tipo de carga recaen las máquinas giratorias de tipo síncrono y de inducción, pero sin incluir dispositivosde estado sólido.

5.1.3. Diagramas de impedancias.

Si se considera el diagrama unilar y se procede a sustituir cada uno de los elementos por su modelo equivalente,se crea un nuevo esquema denominado diagrama de impedancias. Este diagrama de impedancias, permite elcálculo de las variables eléctricas a partir del planteamiento de las ecuaciones del circuito (lazos o nudos).

La construcción del diagrama de impedancias debe ser cuidadosa. Se tiene que tener en cuenta los distintosniveles de tensión, de forma que la impedancia del secundario de los transformadores deben referirse al primariomultiplicando por la relación de transformación al cuadrado (se tiene referir también las impedancias del primarioal secundario).

En el caso de varios niveles de tensión, se debe además considerar el grupo de conexión de sus arrollamientos.

Puede haber simplicaciones de forma que las resistencias se desprecian (debido a tener valores muy pequeñosen comparación con las reactancias) y el diagrama de impedancias se convierte en un diagrama de reactancias.

Los diagrama de impedancias se denominan diagramas de secuencia directa, puesto que representan las impedan-cias para las corrientes equilibradas de un sistema trifásico simétrico.

Si se considera un diagrama unilar con un generador, dos transformadores, una línea de transmisión y unacarga:

G

B1 B2 B3 B4

T1 T2

carga

+−E

Rg + jXg R1 + jX1

jXm1 Rm1

R2 + jX2 Rl + jXl R3 + jX3

jXm2 Rm1

R4 + jX4

Rc + jXc

B1 B2 B3 B4

5.1.4. Sistemas por unidad (p.u.).

Los sistemas eléctricos, debido a los valores signicativos de energía que manejan, obligan al uso de cantidadesque poseen valores cuantitativos elevedos de potencia (MW, MVA, kA, MA,...) que deben ser manejados através de los cálculos. Con objeto de reducir el tamaño de estas cifras se creó el sistema por unidad.

El valor por unidad de una magnitud se dene como la relación de su valor real y un valor denominado base:


V ariablepu =V alor real variable

V alor base variable(5.15)

Cuando se toma una base, normalmente se toman como valores base, los valores nominales de los generadoresy de los transformadores. Si los valores nominales de los generadores y de los transformadores son diferentes, setoma como base los valores nominales de tensión y potencia aparente más repetidos.

Ventajas de los sistemas por unidad:

1. Las impedancias de los generadores y transformadores varían en un estrecho margen sin que dependan deltamaño de los mismos.

2. Se evita tener que referir las cantidades de un lado a otro de los transformadores.

3. Se evita el reconocer el tipo de conexión de los transformadores.

4. Se reduce el empleo del√

3 en los cálculos.

Los valores por unidad de las variables básicas son:

Upu =U

U baseIpu =

I

IbaseZpu =

Z

ZbaseSpu =

S

Sbase(5.16)

La tensión base Ubase es siempre de línea y es expresada en kV. La potencia base Sbase es siempre la potenciatrifásica total y es expresada en MVA.

La potencia aparente y las variable bases deben satisfacer:

S =√

3UI Sbase =√

3UbaseIbase (5.17)

Ibase =Sbase(MVA)√

3Ubase(kV )(kA) (5.18)

La corriente base Ibase viene expresada en kA.

Expresando en p.u. la potencia, tendremos:

Spu.Sbase =√

3UpuUbaseIpuIbase Spu = UpuIpu (5.19)

La impedancia base Zbase, viene expresada en Ohmios y tiene por expresión

Zbase(Ω) =Ubase(kV )/

√3

Ibase(kA)=

U2base(kV

2)

Sbase(MVA)(5.20)

5.1.4.1. Transformadores en el sistema por unidad.

Suponiendo un transformador ideal con dos arrollamientos de N1 espiras el primario y N2 espiras el secundario.

N1:N2I1 I2

1 2

Z

Como se considera ideal no posee reactancia interna. El cociente entre las tensiones primaria y secundaria es

U1

U2=N1

N2(5.21)

Si se denen las tensiones bases de forma que


Ubase1Ubase2

=N1

N2(5.22)

resulta

U1pu =U1

Ubase1U2pu =

U2

Ubase2⇒ U1pu = U2pu (5.23)

Cuando se expresan las tensiones de un transformador en el sistema por unidad se elimina la relación detransformación.

Si analizamos las corrientes, tendremos:

I1I2

=N2

N1

Ibase1Ibase2

=N2

N1⇒ I1pu = I2pu (5.24)

Las corrientes reales resultan:

I1 = I1puIbase1 I2 = I2puIbase2 (5.25)

La impedancia colocada en el secundario cumple

U2 = ZI2 U2pu = ZpuI2pu (5.26)

Si se reere al primario debe cumplir

U1 = Z1I1 U1pu = Z1puI1pu (5.27)

de forma que la impedancia por unidad referida al secundario como al primario son iguales, no importa de quelado del transformador se expresen.

Si se tienen varios niveles de tensión distintos debido a la presencia de varios transformadores, se hace losiguiente:

G

N1:N21 2Zl

N3:N43 4

Z

Se conocen los datos nominales del generador, transformadores, línea y carga (tensiones nominales, potencianominal, impedancias por unidad):

Generador: Potencia nominal Sgn; Tensión nominal Ugn; Impedancia por unidad Xgpu

Transformador 1: Potencia nominal ST1n; Tensiones nominales U1n, U2n; Impedancia por unidad XT1pu

Transformador 2: Potencia nominal ST2n; Tensiones nominales U3n, U4n; Impedancia por unidad XT2pu

Las impedancias por unidad están siempre referidas a la tensión nominal y potencia nominal de cada elemento.

Línea: Impedancia real Zl

Carga: Impedancia real Z

Vamos a representar el circuito de impedancias (desprecian las resistencias en los transformadores y generador)en valores por unidad.

+−E

jX1 jX2

zona3

Z3

zona1 zona2

jX4

Z5


Se debe elegir una potencia base Sbase. Esta potencia puede ser igual a la potencia nominal de alguno de loselementos del circuito.

Como existen varios niveles de tensión, debido a la presencia de dos transformadores, se tendrán 3 zonas distintas,en las cuales tendremos tres tensiones bases distintas.

Elegimos una tensión base, por ejemplo, la tensión nominal en la zona donde está situada la línea de transporteU1base.

Las otras zonas tendrán una tensión base, que debe ser calculada a partir de las relaciones de transformaciónde los transformadores correspondientes:

U2base =U1base

U3n

U4n

U3base = U1base.(U1n

U2n) (5.28)

A partir de esta tensión base, podremos calcular la impedancia base en esta zona y expresar el valor de lasimpedancias en p.u.

La línea está en la zona 1, tendremos:

Z1base =U21base

SbaseZlpu =

ZlZ1base

= Z3 (5.29)

La carga está en la zona2 y el valor p.u. de la impedancia de la carga es :

Z2base =U22base

SbaseZcpu =

ZcZ2base

= Z5 (5.30)

El tranformador T2, lo hemos situado en zona 2 (también podíamos haberlo situado en zona1), y tiene unareactancia por unidad como dato de valor XT2pu. Este valor de impedancia debe ser modicado, si la tensiónbase no coincide con la tensión nominal del transformador y la potencia base no coincide con la potencia nominaldel transformador

XT2punueva = XT2pu.(U24n

ST2n)/(U2

2base/Sbase) = X4 (5.31)

Con el tranformador T1 pasa igual que con el transformador T2. Se supone que está en zona 1 y, tiene unareactancia por unidad como dato de valor XT1pu. Este valor de impedancia debe ser modicado, si la tensiónbase no coincide con la tensión nominal del transformador y la potencia base no coincide con la potencia nominaldel transformador

XT1punueva = XT1pu.(U22n

ST1n)/(U2


El generador está situado en la zona 3 y, la reactancia del generador en p.u. Xgpu tiene que ser transformada enun nuevo valor con la nueva tensión base y potencia base, si éstas no coinciden con las nominales del generador

Xgpunueva = Xgpu.(U21n

Sgn)/(U2


La tensión por unidad del generador será

Epu =UgnU3base

(5.34)

5.2. Fallos y anormalidades en sistemas de potencia.

La planicación, diseño y operación de los sistemas de potencia requiere de una serie de estudios para evitarsorpresas en su funcionamiento y seleccionar óptimamente los equipos. Debido a la complejidad de los sistemasde potencia, los estudios no se realizan mediante métodos manuales, sino que se hacen mediante herramientasdigitales basadas en programas de ordenador.

Los estudios más comumente realizados son:


Estudios de ujo de potencia.

Estudios de cortocircuitos.

Estudios de estabilidad.

Estudios de arranque de motores.

Estudios de armónicos.

Los estudios de ujo de potencia permite determinar las tensiones, corrientes, potencias activa y reactiva y losfactores de potencia de cada elemento en un sistema de potencia. Se utilizan para la planicación del sistema. Seanalizan problemas de contingencias, como por ejemplo, la pérdida de un generador, una línea o carga. Permitendeterminar cuando existen sobrecargas o niveles bajos de tensión.

Los estudios de cortocircuito son realizados para determinar la magnitud de las corrientes que uyen a travésdel sistema de potencia a varios intervalos de tiempo desde que el fallo ocurre. Las corrientes de cortocircuitosufren un proceso transitorio hasta llegar a la condición de régimen permanente. Durante el proceso transitorio,los sistemas de protección deben intervenir y desconecta el fallo y dejar en isla la zona afectada. Estos estudiospermiten determinar también los esfuerzos térmicos y mecánicos a que están sometidos los equipos durante elcortocircuito.

Cuando en un sistema de potencia contiene dos o más máquinas síncronas, si ocurre un cambio en el sistema(pérdida de carga,...) la habilidad del sistema de potencia de continuar operando es una medidad de sus esta-bilidad. El problema de la estabilidad toma dos formas: la estabiliad de régimen permanente y la estabilidadtransitoria. La estabilidad en régimen permanente puede ser denidad como la habilidad del sistema de man-tener el sincronismo entre las máquinas dentro del sistema después de un cambio de condiciones. La estabilidadtransitoria es la habilidad del sistema para mantener el sincronismo bajo condiciones transitorias, como fallos,maniobras,...

En un sistema de potencia se pueden dar una serie de circunstancias para producirse una operación fuera de lascondiciones normales de funcionamiento:

Fallo de los componentes del sistema.

Situaciones de carácter imprevisto (tormentas,...).

Errores de operación.

5.2.1. Anormalidades dentro de un sistema de potencia.

Una clasicación que afecta al sistema de potencia puede ser:

Perturbaciones.

Fallos.

5.2.1.1. Perturbaciones.

Las perturbaciones son condiciones que permitan la operación de un sistema pero que pueden ocasionar el dañode ciertos equipos si su duración es prolongada. Las perturbaciones pueden ser causadas por:

Sobretensiones (temporales, frente lento, atmosféricas o frente rápido).

Sobrecarga (breves o duraderas).

Oscilaciones de potencia

Las sobretensiones son cualquier valor, cuyo valor de pico, es mayor que la tensión máxima del sistema encondiciones de operación. La tensión en el sistema eléctrico es variable, dependiendo de las condiciones delsistema. Estas variaciones están limitadas por las características de los equipos, tensión nominal y tensiónmáxima.

Tensión nominal de un sistema: es el valor de la tensión con la cual el sistema es denominado, y al cualse reeren sus características, de acuerdo con lo que indican las normas sobre tensiones nominales. En lossistemas trifásicos se considera como tensión nominal la compuesta o de línea.


Tensión más elevada de una red trifásica: es el valor más elevado de la tensión entre fases que puedapresentarse en un instante y en un punto cualquiera de la red en condiciones normales de explotación.No se tienen en cuenta las variaciones transitorias (por ejemplo, maniobras en la red) ni las variacionestemporales de tensión debidas a condiciones anormales de la red (por ejemplo averías o desconexionesbruscas de cargas importantes).

Tensión nominal para el material: es la tensión más elevada para el material asignada por el fabricante.

Tensión más elevada para el material Um: el el valor más elevado de la tensión entre fases para el que elmaterial esta especicado en lo que respeta a su aislamiento, así como a otras características relacionadascon esta tensión en la normas propuestas para cada material.

Cuando un equipo esta sobrecargado ocurre si la corriente es mayor que el valor de la corriente nominal. Estassobrecargas pueden ser breves o duraderas. Las sobrecargas vienen en general acompañadas de efectos térmicos.Las causas más comunes de sobrecargas son:

Cortocircuitos no aislados.

Excesos de carga.

Las oscilaciones de potencia son causadas normalmente por la conexión y desconexión de circuitos en el sis-tema eléctrico, cuando se producen variaciones de potencia. Esto es debido a que los generadores no tomaninstantáneamente el ángulo de la impedancia de la carga, sino después de varias oscilaciones amortiguadas,pudiéndose inclusive perder el sincronismo. Esto se traduce en una sobrecarga ya que las corrientes generadasson de diferente frecuencia a la frecuencia industrial.

Las oscilaciones de potencia son especialmente graves para los generadores y turbinas, existen unos ciertosequipos especícos que tratan de controlar las oscilaciones de potencia, que son los reguladores de velocidad.

5.2.2. Fallos eléctricos.

Un fallo es una condición que impide la operación de uno o más equipos de un sistema y se debe intervenirrápidamente para evitar el daño de los equipos. Una denición de fallos eléctricos es:

1. Produzca la apertura de un interruptor.

2. Error de operación de un interruptor o seccionador.

3. Cualquier interrupción del servicio no planicado.

Un fallo eléctrico implica o un fallo de aislamiento que se traduce en un cortocircuito o, un fallo de continuidadeléctrica que implica un circuito abierto.

Los tipos de fallos en un sistema de potencia son:

Cortocircuitos.

Circuitos abiertos.

Fallos simultáneos.

Fallos en arrollamientos.

Fallos en evolución.

5.2.2.1. Cortocircuitos.

El cortocircuito se dene como el fenómeno eléctrico que ocurre cuando dos puntos entre los cuales existe unadiferencia de potencial se ponen en contacto entre sí, caracterizándose por la circulación de elevadas magnitudesde corriente hasta el punto de fallo.

El cortocircuito también se puede denir como el fenómeno transitorio que tiene lugar cuando elementos deun sistema de potencia que poseen una diferencia de potencial entran en contacto entre sí, provocando uncirculación de corriente que puede ser varias veces la nominal.

Los cortocircuitos pueden clasicarse según como se efectúa el contacto entre los conductores energizados o contierra:


Cortocircuito por contacto directo: surge por el contacto directo entre los conductores de fases distintas ode fases con tierra.

Cortorcuito por ruptura de aislamiento: se produce como consecuencia de un arco eléctrico que atraviesa elmedio aislante. Un arco eléctrico es generado en cualquier medio, cuando el gradiente de potencial superala rigidez dieléctrica del medio, provocando la creación de un camino de baja resistencia por donde uyela corriente por el medio.

Los cortorcircuitos pueden ser una multitud de fenómenos, entre los cuales se encuentran:

Origen eléctrico: cuando es consecuencia de la modicación de los parámetros de un sistema, ya seapor causa interna o externa. Dentro de estas causas están las descargas atmosféricas, sobretensiones demaniobra, contaminación de aisladores o envejecimiento del aislamiento,...

Origen mecánico: es común la rotura de cadena de aisladores, la caída de un cuerpo extraño como unarama de un árbol sobre una línea, golpes sobre los conductores, destrucción de una torre, ...

Origen fortuito: se deben a falsas maniobras, apertura de un seccionador bajo carga, ...

Figura 5.3: Tipos de cortocircuitos

Los tipos de cortocircuitos se pueden diferenciar como:

Cortocircuito trifásico: se origina cuando los tres conductores entran en contacto entre sí. Son los únicosque se comportan como sistemas equilibrados, ya que todas las fases están afectadas por igual. Es uno delos más violentos y de obligado cumplimiento su cálculo. Al ser un sistema equilibrado, para su cálculosólo será necesaria utilizar la red de secuencia directa.

Cortocircuito bifásico: tiene lugar cuando los conductores de dos fases distintas hacen contacto entre sí.Las corrientes son menores que las del fallo trifásico, aunque si se produce en las cercanías de un generadoro motor de cierta potencia, las corrientes pueden llegar a presentar valores incluso mayores que las delcortocircuito trifásico. Este cortocircuito no es equilibrado, obligando su cálculo a la utilización de lasredes de secuencia directa e inversa.

Cortocircuito bifásico a tierra: tiene lugar cuando los conductores de dos fases distintas hacen contactoentre sí y tierra. Es necesario para su cálculo utilizar además de las redes de secuencia directa e inversa,la homopolar.

Cortocircuito línea a tierra: es el más común, provocado cuando un conductor de fase energizado tocatierra.

Cortocircuito trifásico a tierra: es muy remoto, y consiste que los tres conductores de fase realizen uncontacto a tierra.

Los cortocircuitos no son frecuentes y, cuando se producen, debido a los sistemas de protección apenas duran unasdécimas de segundo pero sus consecuencias son graves e imprevisibles. Las consecuencias de un cortorcircuitodepende de gran número de variales, pero en general depende de tres factores:

Ubicación del punto de fallo.

Potencia asociada al cortorcircuito.

Duración del cortocircuito.

Los efectos más comunes son:

Destrucción física del lugar del cortocircuito, debido a la gran cantidad de energía disipada.

Esfuerzos mecánicos, originados por los elevados valores de las corrientes de cortocircuito.


Interrupción del suministro eléctrico, debido a la intervención de los sistemas de protección de aislan ellugar dentro se produce el cortocircuito.

Sobretensiones, debido a la asimetría producida por el cortocircuito. Se produce una elevación de potencialde las fases sanas provocando una sobretensión.

Oscilaciones electromagnética en las máquinas síncronas, debido a que las corrientes de cortocircuitoalteran el equilibrio entre la potencia mecánica y eléctrica en la máquina.

Alteración de la relación de transformación de los transformadores de medida, debido a la presencia de lacomponente de continua (exponencial) que posee la corriente de cortocircuito.

Perturbaciones en sistemas eléctricos vecinos, debido a la presencia de campor magnético asociados alfallo.

5.2.2.2. Conductores en circuito abierto.

Consiste en la falta de contunuidad eléctrica de una o más fases del circuito. Las causas son muy variadas entrelas que destaca la operación incorrecta de un interruptor al abrir o cerrar, la ruptura de los conductores deamarre en las líneas, ...

5.2.2.3. Fallos simultáneos.

Son combinaciones de dos o más fallos de ocurrencia al mismo tiempo. Los fallos pueden ser del mismo tipo odiferentes y, ocurrir en el mismo punto o diferentes.

Normalmente el segundo fallo ocurre como consecuencia del primero.

5.2.2.4. Fallos evolutivos.

Son fallos que cambian durante el tiempo de permanencia u ocurrencia de los mismos. Son causadas comúnmentepor la propagación del arco a otras fases y eventualmente a otros circuitos.

5.2.3. Cálculo de la corriente de fallo.

Estimar el valor de la corriente de fallo por cortocircuito es muy importante porque permite realizar en funciónde sus resultados una serie de mejoras dentro del mismo para contrarestar los efectos del fallo y:

Seleccionar y coordinar las protecciones.

Determinar las capacidades de interrupción de los interruptores.

Determinar los esfuerzos dinámicos y térmicos en las instalaciones.

Determinar la capacidad de cortorcuito de una central o un sistema.

5.2.4. Equipos para detectar fallos y limitar sus efectos.

Con el n de eliminar los fallos se incorporan una serie de componentes con el n de eliminar los efectos de losfallos. Los equipos utilizados para la detección de fallos son:

Relés: reciben información del sistema de potencia (corrientes y tensiones) y pueden discriminar condi-ciones normales y anormales de operación.

Fusibles: su función es detectar sobrecorrientes. Su funcionamiento se basa en el hecho de que un materialatravesado por una corriente sucientemente elevada puede fundir el conductor interrumpiendo el paso dela corriente. Los fusibles e interruptores son dispositivos utilizados para despejar las sobrecorrientes o losfallos.

Pararrayos: son dispositivos limitadores de sobretensión y se basan en el hecho de que a partir de unnivel de tensión de ruptura, el pararrayos permite la circulación de corriente a tierra. A medida que lasobretensión es mayor a la de ruptura, la resistencia que presenta el pararrayos disminuye permitiendouna circulación más elevada de corriente y disminuyendo las sobretensiones.


5.2.5. Sistemas de protección.

Un sistema de protección es un conjunto de elementos y de circuitos de control unidos entre sí cuya función esdetectar cualquier fallo y proteger a uno o más elementos del sistema de potencia.

La conguración de la redes puede ser de tipo radial y mallada (gura 5.4).

Figura 5.4: Red radial y mallada

Las protecciones tienen la responsabilidad de despejar (aislar) la zona de fallo (gura 5.5). En la gura se indicala zona de actuación.

Figura 5.5: Zonas actuación

Los elementos de un sistema de protección son:

Transformadores de medida (de corriente o de tensión): son dispositivos que permiten obtener la informa-ción del sistema en forma de corrientes o tensiones.

Relés: es el dispositivo capaz de discriminar entre condiciones normales y anormales de operación. Permitehabilitar en forma de detector directa o indirectamente los circuitos de apertura del interruptor.

Interruptores: su misión es aislar los equipos que están en carga. Un interruptor puede interrumpir uncircuito en carga, en cambio, un seccionador solamente permite aislar desde el punto de vista eléctrico doscircuitos

Los relés de protección son dispositivos, más o menos complejos, que deciden una acción, generalmente laapertura de un interruptor automático, si aparece un defecto en la red, en la alimentación o en la máquinacontrolada. Estos dispositivos se denominan relés, porque son unos intermediarios entre una magnitud físicacontrolada y un disparador.

Ante un defecto, los relés dan la orden de apertura a los interruptores (gura 5.6).

Figura 5.6: Elementos protección


5.3. Cortorcircuitos trifásicos.

5.3.1. Introducción.

Los interruptores dentro de los sistemas eléctricos de potencia son los elementos encargados de interrumpir elujo de la energía en cualquier situación. Por ello, la selección de un interruptor no depende únicamente de lacorriente que pasa a través del interruptor, sino también de la corriente máxima que tiene que interrumpir.

Para comprender el problema de calcular la corriente inicial de cortocircuito cuando una máquina sufre un falloen los terminales se analiza el régimen transitorio de un circuito RL.

Suponemos que: la corriente de carga es nula, el valor de la tensión de la gura (conexión al azar) coincide conel paso por cero de la tensión de la fuente y la tensión de la fuente no varía con el paso del tiempo. La corrienteque circula por el circuito tendrá la forma indicada en la siguiente gura

donde I′′

k es la corriente de cortocircuito simétrica inicial; ip es el valor de cresta de la corriente de cortocircuito;Ik es la corriente de cortocircuito permanente; idc es la componente de continua de la corriente de cortocircuito;A: valor inicial de la componente de continua.

Que la tensión de la fuente en el instante de producirse el cierre del interruptor pase por cero nos indica quecon impedancias muy inductivas, la intensidad permanente estará pasando por su máximo negativo, lo queimplica que con la disminución de la impedancia, la intensidad alcanzará valores muy elevados. Además comola intensidad en la inductancia no puede cambiar bruscamente, la corriente transitoria tiene una componenteaperiódica de tipo exponencial, la cual irá desapareciendo paulatinamente.

La intensidad I′′

k depende de la tensión de la fuente y de la impedancia equivalente y representa el valor ecazde la corriente en el instante de producirse el cortocircuito.

En sistemas donde se produce un cortocircuito alejado de un alternador (síncrona), el efecto es semejante alanalizado en el circuito RL y la intensidad de cortorcuito inicial I

′′

k coincide con la intensidad permanente Ik.

Si analizamos un cortorcircuito en un circuito RL en carga. Vamos a considerar que (Rk/Xk) = (Rb/Xb):

La gura siguiente corresponde con un circuito altamente inductivo y el cortocircuito se produce cuando latensión pasa por cero. En estas condiciones, el cortocircuito es muy violento y duradero, ya que la componenteaperiódica se amortigua lentamente.


La gura siguiente corresponde con un circuito donde la resistencia y reactancia son iguales y el cortocircuitose produce cuando la tensión pasa por cero. En estas condiciones, el cortocircuito es menos violento, ya que lacomponente aperiódica se amortigua más rápido.

En las redes eléctricas, si el cortocircuito se produce alejado de un alternador, la corriente transitoria de corto-circuito tiene la forma indicada anteriormente del circuito RL.

En las redes eléctricas, si el cortocircuito se produce cercano a un alternador, la corriente transitoria de corto-circuito tiene otra forma distinta.

En una máquina síncrona se debe tener presente que existe una liberación o absorción de energía por parte delas masas en movimiento. Se deben considerar además de los transitorios eléctricos, otros transitorios de tipoelectromecánico. El análisis del periodo transitorio de la máquina síncrona supone la resolución de un sistemade ecuaciones diferenciales de circuitos acoplados. La forma de la corriente aproxidamente viene indicada en lasiguiente gura

La primera irrupción de corriente, muchas veces mayor que la de carga, es seguida por un periodo durante elcual la corriente en el inducido decae gradualmente hasta el valor de cortocircuito mantenido que correspondea la excitación inicial. En cuanto la corriente del inducido decae, la corriente de excitación compensa el efectodesmagnetizante, decrece. El gradual decrecimiento de ambas corrintes es consecuencia de que la energía alma-cenada se disipa en la resistencia del inducido y en los arrollamientos de excitación y debido a las corrientesparásitas.

El periodo de cortocircuito de un alternador se suele dividir en tres etapas (gura): periodo subtransitorio,periodo transitorio y periodo permanente. El periodo subtransitorio es el más severo en los valores de las


magnitudes de corrientes. Tiene una duración muy corta, no mayor a varios ciclos, pero los efectos pueden serdevastadores.

La división del fenómeno en estos tres periodos obedece al hecho de la disipación de energía en el campo de lamáquina y donde cada periodo corresponde a una constante de tiempo asociada a la disipación de energía:

Constante subtransitoria (τ′′

d ); Constante transitoria (τ′

d); Constante permanente (τd). Cada constante de tiemporelaciona la inductancia/resistencia de cada periodo.

La reactancia síncrona Xd se dene como la relación de la tensión en vacío de la máquina entre el valor de lacorriente en régimen permanente.

La reactancia transitoria X′

d se dene como la relación de la tensión en vacío de la máquina entre el valor de lacorriente en régimen transitorio.

Cuando el alternador se pone en cortocircuito aparace una reactancia subtransitoria X′′

d que considera la reac-tancia del arrollamiento de excitación, la reactancia del devanado amortiguado, y la reactancia del arrollamientodel inducido y en la relación entre la tensión en terminales en vacío de la máquina entre el valor de la corrienteen régimen subtransitorio.

En la mayoría de los casos prácticos no es necesaria una determinación exacta. Es interesante conocer el valorecaz de la componente simétrica de corriente alterna I

′′

k y el valor de cresta de la corriente de cortocircuitoip después de la ocurrencia del cortocircuito. El valor más alto de ip depende de la constante de tiempo dela componente aperiódica decreciente y de la frecuencia, es decir de la relación R/X de la impedancia decortocircuito ZK y, se alcanza si el cortocircuito se inicia cuando la tensión pasa por cero. En las redes malladashay varias constantes de tiempo de corriente continua y debido a ello no es posible dar un método fácil para elcálculo de ip e idc.

5.3.2. Fuentes de corriente de cortocircuito.

En los sistemas de potencia las fuentes de corriente de cortocircuitos son mayoritariamente los generaadoressíncronos conectados a la red, pero existen otros equipos eléctricos capaces de entregar, bajo ciertas condicionesy por un periodo de tiempo determinado, energía a la red.

Las fuentes básicas de corriente de cortorcircuito son:


Generador síncronos.

Motores síncronos.

Motores de inducción.

Sistema de suministro eléctrico o generación remota (redes de alimentación).

A continuación se exponen distintos tipos de sistemas de potencia.

Líneas alimentadas con una única fuente de suministro

Redes radiales

Redes anillo

Redes malladas

5.3.3. Cálculo de la corriente de cortocircuito trifásico mediante la norma UNE-EN-60909.

5.3.3.1. Modelado de las componentes del sistema.

Para el cálculo de las corrientes de cortocircuito cada elemento del sistema de potencia, debe ser representadopor un circuito equivalente.

Acometidas: Ver apartado 5.1.2.1.


Transformadores: Ver apartado 5.1.2.3.

Líneas: Ver apartado 5.1.2.4.

Máquinas síncronas: Ver apartado 5.1.2.5. La reactancia inicial subtransitoria (X′′

g ) de la máquina síncrona nosda el valor de la corriente inicial simétrica de cortocircuito. La impedancia del generador es

Zg = Rg + jX′′

g X′′

g =x′′

100

U2ng

Sng(5.35)

siendo Ung la tensión nominal del generador; Sng la potencia nominal y x′′la reactancia inicial porcentual.

Máquinas asíncronas: La impedancia a considerar, para el cálculo de la corriente inicial simétrica de cortocircuitode las máquinas de inducción, se obtiene de la corriente inicial de arranque del motor a la tensión nominal

Zm = Rm + jXm Zm =Unm√3Iarr

=1

Iarr/Inm

U2nm

Snm(5.36)

donde Unm es la tensión nominal del motor; Iarr es la corriente de arranque del motor; Inm es la corrientenominal del motor; Snm es la potencia aparente nominal del motor.

Para la resistencia de los devanados, se puede tomar:

Rm/Xm = 0, 1 con Xm = 0, 995 para motores de alta tensión y relación (potencia/par de polos)≥1 MW

Rm/Xm = 0, 15 con Xm = 0, 989 para motores de alta tensión y relación (potencia/par de polos)<1 MW

Rm/Xm = 0, 3 con Xm = 0, 958 para motores de baja tensión (<1 kV)

5.3.3.2. Método de cálculo.

La norma UNE nos indica un método para hallar las corrientes de cortocircuito diferente del cálculo tradicional,donde se consideran las fuentes internas de los generadores, acometidas y motores explicado anteriormente.

Hasta ahora hemos considerado que todas las fuentes de energía que estaban conectadas y activas en el momentode producirse el cortocircuito inuían en éste, y esto es cierto, pero la norma UNE nos propone un sistemaalternativo, en el cual es suciente con considerar en el punto de cortocircuito una única fuente cticia deenergía con un valor de la fuerza electromotriz entre fase y neutro de:

Ecc = cUn√

3(5.37)

El coeciente c representa el paso de la tensión de línea al valor de la fuerza electromotriz de la fuente cticia(normalmente es 1,1).

El método de cálculo está basado en la representación por impedancias de un circuito equivalente.

Solamente existirá una única fuente que estará conectada entre el punto de cortocircuito y el neutro.

Todas las fuentes de alimentación (redes de alimentación o acometidas, máquinas síncronas y asíncronas) sonreemplazadas por sus impedancias internas, sin fuerza electromotriz. Estas impedancias se conecta un extremoal neutro y el otro según la conexión física de los componentes del sistema de potencia).


No se consideran las capacidades, ni las pérdidas por conductancia de las líneas, así como las impedanciastransversales de los motores.

No son indespensables los datos de operación ni de carga de los consumidores, ni la precisión de los cambiadoresde tomas de los transformadores, no la excitación de los alternadores, etc.

Cuando se calculan las corrientes en sistemas con diferentes niveles de tensión, es necesario transferir los valoresde las impedancias de un nivel a otro. Para sistemas en por unidad no es necesaria la transformación si soncoherentes.

Por ejemplo, si tenemos (gura 5.8) una red de acometida conectada a un transformador y una línea, y seproduce el cortocircuito trifásico en el punto k3, tendremos el circuito equivalente representado por todas lasimpedancias. Se incluye la impedancia de la acometida que se conecta entre el punto Q y el neutro, la impedanciadel transformador, y la impedancia de la línea. Como el cortocircuito ocurre en el punto F, todas las impedanciastienen que estar referidas al nivel de tensión de esa zona del circuito. No se consideran las admitancias en paralelo(capacidades de línea y las cargas pasivas) cuando se calculan las corrientes de cortocircuito.

Figura 5.7: Fuente de tensión equivalente

El factor c se elige de acuerdo con lo indicado en la gura 5.8.

Figura 5.8: Factor c

5.3.3.3. Método de cálculo de la corriente inicial simétrica de cortocircuito.

En general se calcula mediante la ecuación:

I′′

k =cUn√3Zk

=cUn√

3√R2k +X2

k

(5.38)

El esquema de cálculo de un cortocircuito trifásico, para una red de alimentación con un transformador comoejemplo, es el indicado en la gura 5.9, donde Z1 es la impedancia equivalente de la red, de secuencia directa.


Figura 5.9: Esquema cálculo cortocircuito trifásico

I′′

k3 = I1 =cUn√3Z1

=cUn√

3√R2

1 +X21

(5.39)

Ejemplo 1:

Sea el circuito de la gura

Figura 5.10: Ejemplo

El diagrama de impedancias de secuencia directa es el siguiente

Figura 5.11: Red de impedancias

Cuando se calcule el cortocircuito en un punto determinado, se colocará entre ese punto y el neutro, la fuenteequivalente correspondiente. La fuente tendrá la tensión correspondiente al nivel de tensión de la zona donde elpunto de cortocircuito y todas las impedancias tienen que estar expresadas en el nivel de tensión correspondiente,para lo cual se utilizan las relaciones de transformación necesarias.

Ejemplo 2:

En las siguientes guras se representa el diagrama unilar de un sistema de potencia y la red secuencia directautilizada para calcular el cortorcircuito en el punto F1.


5.3.3.4. Cálculo del poder de cierre de los interruptores (valor de cresta de la corriente decortocircuito).

Los interruptores automáticos sirven para proteger un circuito contra sobrecargas y los cortorcircuitos. Peroprimeramente resulta imprescindible protegerlos a ellos mismos. Es por ello que se determina el poder de cortey el poder de cierre de los mismos para los casos de cortocircuitos más desfavorables, es decir, un cortocircuitocercano a ellos, siendo la corriente la mayor posible.

Resulta muy improbable un cortocircuito en el interior del propio interruptor, por lo que la situación másdesfavorable se supone cortocircuitos justo en los bornes (exterior).

Si el cortocircuito se produce en el exterior, como mínimo se producen dos casos, que serian las cortocircuitosen ambos extremos.

Tanto si se produce en un extremo como en el otro, y recordando que cuando se produce un cortocircuito todaslas intensidades van a parar al punto de cortocircuito, por el interior del interruptor nunca pasará el valor totalde la corriente de cortocircuito. Pasará por lo tanto por el interruptor una de las aportaciones de corriente.


Figura 5.12: Factor κ

Redes no malladas:

La contribución al valor de cresta de la corriente de cortocircuito de cada una de las ramas se puede expresarpor (el factor κ se obtiene aproxidamente mediante la fórmula siguiente):

ip = κ√

2I′′

k donde κ = 1, 02 + 0, 98e−3R/X (5.40)

A partir de la gráca, también se puede calcular el factor κ y el instante de tiempo tp en el cual se produce elpico de corriente.

Cuando hay varias fuentes, es la suma de las corrientes parciales de cortocircuito.

El factor κ depende de la relación R/X correspondiente a los distintos elementos implicados en el cortocircuito ytiene presente el amortiguamiento temporal de la componente aperiódica, y en el caso de cortocircuitos cercanosal alternador de la componente simétrica. El factor κ dará el valor instantáneo máximo posible de la corriente decortocircuito, por lo tanto se supone que el cortocircuito se inicia cuando la tensión pasa por cero y la corrientede pico ip se alcanza aproximadamente a los 10 ms desde la aparición del cortocircuito.

Redes malladas:

Se utilizan tres posibles méetodos de obtención del factor κ. El primero debería ser usado como primera esti-mación.

1) Relación uniforme R/X:

El factor κ se determina tomando la menor relación R/X de aquellas ramas de la red que transportan corrientesparciales de cortocircuito y pertencen a una parte de la red que tiene la misma tensión nominal. También setienen en cuenta las ramas con transformadores adyacentes al punto de cortocircuito. Este método está limitadoa redes con R<0.3X.

2) Relación R/X en el punto de cortocircuito.

Se calcula el factor κ mediante la gráca 5.12, usando la relación Rk/XK de la impedancia directa equivalenteen el punto de cortocircuito, y multiplicando el resultando de la gráca por 1,15 como factor de seguridad,que sirve para cubrir las imprecisiones causadas por el uso de la relación Rk/XK de una reducción de red conimpedancias complejas. Es necesario tener en todas las ramas una relación R/X<1 para evitar desviacionessuperiores al -5%.


3) Frecuencia equivalente fc = 20Hz.

Se calcula el factor κ mediante la gráca 5.12, usando la relación R/X = (Rc.fc)/(Xc,50), donde Rc + jXc esla impedancia equivalente en el punto de cortocircuito a la frecuencia fc.

Si tenemos un sistema de potencia de la siguiente gura

Generador G: Srg = 100MVA; Urg = 10 kV ; x′′

d = 11 %; rg = 0, 11 %

Transformador T1: ST1 = 100MVA; UT1H = 220 kV ; UT1L = 10 kV ; εccx = 11 %; εccr = 0, 11 %

Transformador T2: ST1 = 31, 5MVA; UT1H = 220 kV ; UT1L = 10 kV ; εccx = 6 %; εccr = 0, 75 %

Cable L: RL = 0, 231 Ω/km; XL = 0, 104 Ω/km; 1,5 km

Reactancia R: RR = 0, 00458 Ω/km; XR = 0, 458 Ω/km

Vamos a reducir el circuito a dos ramas en paralelo

Impedancia del generador (a 10 kV):

Xg = 0, 11 102

100 == 0, 11; rg = 0, 011 102

100 == 0, 011

Impedancia del transformador T1 (a 10 kV):

XT1 = 0, 11 102

100 == 0, 11; rT1 = 0, 011 102

100 == 0, 011

Impedancia del transformador T2 (a 10 kV):

XT2 = 0, 06 102

31,5 == 0, 1904; rT1 = 0, 075 102

31,5 == 0, 0238

Impedancia cable:

RL = 0, 3465; XL = 0, 156

Impedancia reactancia:

RR = 0, 00458; XR = 0, 0458

Impedancia acometida: 0

Las impedancias de las ramas en paralelo son:

ZI = ZT1 + ZL;

ZI = 0, 00513 + j0, 513; RI/XI = 0, 01; ZI = 0, 51303

ZII = (ZT2//ZG) + ZR

ZII = 0, 371 + j0, 345; RII/XII = 1, 0754; ZII = 0, 5066

ZI/ZII = 1, 0127

La impedancia de cortorcircuito en el punto F es


ZK = 0, 11276 + j0,25349; ZK = 0, 27744

Mediante la gráca 5.12, a partir de la relación Rk/Xk = 0, 445, se obtiene κ = 1, 55

Si analizamos los tres métodos de cálculos, tendremos:

1)[RX

]minima

= RIXi

= 0, 01 ; κ = 1, 971. Como Rk > 0, 3Xk

b) RkXk

= 0, 4448; κ = 1, 278 ∗ 1,15 = 1, 4697

c)Zc = Rc + jXcRX = Rc

Xc. 2050 = 0, 1732; κ = 1, 6029

5.3.3.5. Cálculo del poder de corte de los interruptores (valor de corte de la corriente de corto-circuito).

Para determinar el poder de corte, debemos primeramente conocer la intensidad de cortocircuito inicial queuirá desde cada generador, motor síncrono, red o motor asíncrono hacia el punto de cortocircuito.

Cortocircuito alejado de un alternador:

Para cortocircuitos alejados de alternadores, las corrientes de corte son iguales a las corrientes iniciales decortocircuito:

Ib = I′′

k

Cortocircuito cercano a un alternador redes no malladas:

En este caso la corriente de cortocircuito decrece rápidamente durante las primeras décimas de segundo despuésde la aparición del cortocircuito, debido a la variación de ujo en el rotor del generador durante el cortocircuito.No es fácil simular este decrecimiento, pero la norma UNE permite utilizar para el cálculo de la corriente decorte la ecuación

Ib = µI′′

k (5.41)

donde el factor µ se ha obtenido en ensayos de laboratorio y mediante cálculos detallados de los generadorescon diferentes potencias y tipos. La gura las grácas para el cálculo de µ. Este factor depende de la relaciónI′′

K/In (corriente inicial cortocircuito y corriente nominal del generador) y del retardo mínimo de desconexión.

Si las máquinas síncronas están excitadas por excitatrices rotativas o excitatrices de convertidor estático, elvalor de µ es:

µ = 0, 84 + 0, 26e−0,26I′′kG/IrG para tmin = 0, 02 s



µ = 0, 56 + 0, 94e−0,38I′′kG/IrG para tmin ≥ 0, 25 s

(5.42)

Contribución de motores asíncronos:

Ib = µqI′′

k (5.43)

El factor q depende de la relación entre la potencia del motor (en MW) y su número de pares de polos. Coneste valor, y el el retardo mínimo tmin se entra en la gráca y se obtiene el valor.


Se puede utilizar también las siguientes fórmulas:

q = 1, 03 + 0, 12ln(PrM/p) para tmin = 0, 02 sq = 0, 79 + 0, 12ln(PrM/p) para tmin = 0, 05 sq = 0, 57 + 0, 12ln(PrM/p) para tmin = 0, 01 sq = 0, 26 + 0, 12ln(PrM/p) para tmin ≥ 0, 25 s

(5.44)

donde PrM es la potencia asignada en MW; p es el número de pares de polos del motor.

5.4. Componentes simétricas. Introducción.

El método en este caso establece que un sistema de tres fases no equilibradas, se puede descomponer en tressistemas equilibrados. Los conjuntos equilibrados de componentes son:

1. Componentes de secuencia directa (o positiva): Conformado por tres fasores de igual magnitud y unadiferencia de fase de 120º y secuencia de fase directa o positiva.

2. Componentes de secuencia inversa (o negativa): Formada por tres fasores de igual magnitud, con diferenciasde fase de 120º y secuencia de fase inversa o negativa.

3. Componentes de secuencia homopolar (o cero): Formado por tres fasores de igual magnitud y con ángulode fase nulo entre ellos.

Los tres conjuntos de componentes simétricas se designan con el subíndice adicional 1 para las componentes desecuencia directa, 2 para las componentes de secuencia inversa y 0 para las componentes de secuencia homopolar.

Como cada uno de los fasores originales desequilibrados es igual a la suma de sus componentes, los fasoresexpresados en función de sus componentes son (las fórmulas son para tensiones, pero valen también paraintensidades):

V a = V a1 + V a2 + V a0V b = V b1 + V b2 + V b0V c = V c1 + V c2 + V c0

(5.45)


Los fasores de cualquier sistema trifásico equilibrado pueden ser relacionados unos con otros mediante el OP-ERADOR a que origina una rotación de 120º en sentido contrario a las manecillas del reloj. Tal operador esun número complejo de modulo unidad y argumento 120º, y está denido por la siguiente expresión:

a = 1∠120º = −0, 5 + j0, 866 (5.46)

Si se aplica a un fasor el operador a dos veces consecutivas, el vector girará 240º y con tres aplicaciones lohará girar 360º.

a2 = 1∠240º = 1∠− 120º (5.47)

Utilizando el operador a, el sistema de secuencia directa podemos escribir:

V a1V b1 = V a11∠− 120º = a2

V c1 = V a11∠ + 120º = aV a1

V a1 (5.48)

Utilizando el operador a, el sistema de secuencia inversa podemos escribir:

V a2V b2 = V a21∠120º = aV a2

V c2 = V a21∠− 120º = a2V a2

(5.49)

Utilizando el operador a, el sistema de secuencia homopolar podemos escribir:

V aoV bo = V aoV co = V ao

(5.50)

Utilizando el operador a, las tres tensiones originales serán:

V a = V a0 + V a1 + V a2V b = V ao + a2V a1 + aV a2V c = V ao + aV a1 + a2V a2

=

1 1 11 a2 a1 a a2

V a0

V a1V a2

(5.51)

Si representamos por

Vasim =

V aV bV c

Vsim =

V a0V a1V a2

A =

1 1 11 a2 a1 a a2

(5.52)

Vasim = A.Vsim (5.53)

El siguiente paso es calcular las componentes simétricas fundamentales V a0, V a1 y V a2 , que se hace despejandode la ecuación anterior:

V a0V a1V a2

=1

3

1 1 11 a a2

1 a2 a

V a

V bV c

=

13 (V a + V b + V c)

13 (V a + aV b + a2V c)13 (V a + a2V b + aV c)

(5.54)

De forma que:

Vasim =

V aV bV c

Vsim =

V a0V a1V a2

A−1 =1

3

1 1 11 a a2

1 a2 a

(5.55)

Vsim = A−1.Vasim (5.56)

-


Esto signica que no habrá componentes de secuencia homopolar en un sistema trifásico desequilibrado cuandose calculan las componentes simétricas de las tensiones de línea a línea independientemente del desequilibriode estas tensiones. De acuerdo a lo anterior, las tensiones trifásicas de línea a línea desequilibradas solamentetienen componentes de secuencia directa y componentes de secuencia inversa.

Las corrientes también pueden ser expresadas en función de las componentes siméricas.

Iasim =

IaIbIc

Isim =

Ia0Ia1Ia2

A =

1 1 11 a2 a1 a a2

(5.57)

Iasim = A.Isim Isim = A−1.Iasim (5.58)

Para el caso de las intensidades de línea (por ejemplo las absorbidas por una carga en estrella o triángulo), lasintensidades homopolares serán:

Ia0 =1

3(Ia + Ib + Ic) (5.59)

Solamente podrá existir componente homopolar cuando la suma de las tres intensidades de línea sea distinta decero, por lo que será posible solamente en carga en estrella con el centro de la estrella conectado al neutro. Lasuma de las tres intensidades de línea Ia + Ib + Ic es igual a 3Ia0 (tres veces la intensidad homopolar) y es lacorriente que se circula desde el centro de la estrella al neutro. Por lo tanto, en estrella son conexión al neutroy en triángulo, no existen corrientes homopolares.

La potencia es los sistemas trifásicos es

S = VAI∗A + VBI

∗B + VCI

∗C = [VA VB VC ]

I∗AI∗BI∗C

(5.60)

S =

VAVBVC

T I∗AI∗BI∗C

= [Vasim]T I∗asim (5.61)

S = [Vasim]T I∗asim = [Vsim]TATA[Isim]T (5.62)

S = [V ]TATA[Isim]T = 3V aoI∗ao + 3V a1I

∗a1 + 3V a2I

∗a2 (5.63)

5.4.1. Impedancias debidas a las corrientes de diferente secuencia.

La caída de tensión que se origina en un circuito por la corriente de una determinada secuencia, depende de laimpedancia de tal parte del circuito para la corriente de dicha secuencia.

La impedancia que ofrece un circuito cuando por el circulan solamente corrientes de secuencia directa, sedenomina impedancia de secuencia directa:

Z1 =Ua1Ia1

=U b1Ib1

=U c1Ic1

La impedancia que ofrece un circuito cuando por el circulan solamente corrientes de secuencia inversa, sedenomina impedancia de secuencia inversa:

Z2 =Ua2Ia2

=U b2Ib2

=U c2Ic2

La impedancia que ofrece un circuito cuando por el circulan solamente corrientes de secuencia hompoloar, sedenomina impedancia de secuencia homopolar:

Z0 =Ua0Ia0

=U b0Ib0

=U c0Ic0


Los valores de Z1 y Z2 son idénticos para resistencias, condensadores, inductancias, líneas de transporte, trans-formadores, ya la impedancia no depende de la secuencia de fase. En cambio la impedancia homopolar Zo serádiferente debido a la interacción en los campor magnéticos y eléctricos de las tres fases.

En máquinas rotativas, las tres impedancia serán distintas.

En la tabla siguiente se da una relación de valores típicos de estas impedancias para diferentes máquinas y líneas

eléctricas. Los datos están datos en valores por unidad (Zpu = Z/Zbase), siendo Zbase =U2linea

S siendo Ulinea lad.d.p. de línea y S la potencia aparente.

Máquina o línea Z1 Z2 Zo

Transformadores 132 kV j0,1 j0,1Transformadores 220 kV j0,14 j0,14Transformadores 380 kV j0,16 j0,16Alternador 3000 rpm j2 j0,15 j0,1Alternador 1500 rpm j1,2 j0,25 j0,25

Alternador rotor saliente j2 j2 j2Motores de inducción 3,4+j0,8 0,15+j0,8

Líneas transporte 132 kV (8 + j17),10−4 (8 + j17),10−4



5.4.2. Redes de secuencia.

El estudio de fallos asimétricos consiste en la determinación de las componentes simétricas de las corrientesdesequilibradas que circulan. Las componentes de secuencia de la corriente dan lugar a caídas de tensión sola-mente en la misma secuencia, en un sistema equilibrado. Entonces las corrientes de cualquier secuencia puedenconsiderarse circulando por una red independiente conformada exclusivamente por las impedancias a la corrientede tal secuencia.

La red de secuencia corresponde al circuito monofásico equivalente conformado por las impedancias a la corrientede una secuencia particular.

Existen tres tipos de redes de secuencia: secuencia directa (positiva), inversa (negativa) y homopolar (cero).

5.4.2.1. Redes de secuencia de cargas equilibradas.

En los sistemas de potencia es común encontrar cargas pasivas, que son simuladas a través de impedancias. Sise considera que son lineales estáticas y simétricas, sus redes de secuencia son iguales ya que se conoce que laimpedancia de los circuitos es independiente de la secuencia, es decir, es invariante ante el cambio del orden delas fases, a condición de que las tensiones aplicadas estén equilibradas.

Z1 = Z2 = Zcarga (5.64)

Por lo tanto, las redes equivalentes para cargas estáticas en secuencia directa e inversa son iguales, con la salvedadque la forma del modelo equivalente de secuencia cero depende de la forma de conexión de la impedancia.

Carga conectada en estrella sin conexión del neutro a tierra (homopolar). Cuando una carga seconecta en estrella con neutro aislado, la suma de las corrientes que van hacia el neutro es cero, por lo quelas corrientes no poseen componentes de secuencia homopolar (no hay camino de retorno para la secuenciahomopolar por el neutro). En este caso caso, las componentes de secuencia homopolar no puede circular por laslíneas.

Z

Z

Z

A

B

C

Io

Io

Io


El circuito equivalente será:

ZA

G

Io

Carga conectada en estrella con el neutro puesto a tierra (homopolar). En este caso las corrientesde secuencia pueden circular por las líneas.

Z

Z

Z

G

A

B

C

Io

Io

Io

El circuito equivalente es:

ZA

G

Io

Carga conectada en estrella con el neutro puesto a tierra a través de una impedancia (homopolar).En este caso las corrientes de secuencia pueden circular por las líneas y por la impedancia ZN circula 3Io.

Z

Z

Z

ZN

G

A

B

C

Io

Io

Io


Z

3ZN

A

G

Io

Carga conectada en triángulo (homopolar). Una carga conectada en triángulo no dispone de un caminode retorno, presentando una impedancia innita a las corrientes de secuencia homopolar.

Z

ZZ

A

B

C

Io

Io

Io



ZA

G

Io

5.4.2.2. Redes de secuencia de líneas de transmisión.

Ante las corrientes de secuencia directa e inversa no presentan invariabilidad, por lo que se consideran iguales.

Z1 = Z2 = Zlinea (5.65)

Cuando por las líneas circulan solamente corrientes de secuencia homopolar, estas son idénticas en todas lasfases y retornan por tierra o por el cable de guarda. Las corrientes de secuencia homopolar, originan un campomagnético muy diferente al debido a la circulación de las corrientes de secuencia directa e inversa, originandouna reactancia de secuencia homopolar de 2 a 3.5 veces superior a la de secuencia directa. En el caso de laslíneas de doble circuito y líneas sin cable de guarda los valores pueden ser mayores.

5.4.2.3. Redes de secuencia de un generador síncrono en vacío.

Considérese un generador síncrono en vacío operando en condiciones nominales (velocidad nominal y tensión enbornes la nominal), puesto a tierra su neutro a través de una impedancia.

+−

EA Rg jXg

+−

EB Rg jXg

+−

EC Rg jXg

ZN

A

B

C

Ia

Ib

Ic

In

En el instante em que aparece un cortocircuito, por las fases del alternador circulan las corrientes de faseIa, Ib, Ic. Si el fallo implica un contacto a tierra aparecerá una corriente por el neutro In. En situación de fallouna o dos corrientes pueden tener un valor nulo, pero las restantes corrientes pueden descomponerse en suscomponentes simétricas independientemente de lo desequilibrada que se encuentren.

Red de secuencia directa:

Los generadores son diseñados para entregar tres tensiones equilibradas, por lo que las tensiones solo poseensecuencia positiva, entregando solo tensiones equilibradas de esa secuencia.

El circuito equivalente monofásico del generador en secuencia directa es:

+−

EA

01

Z1

Ia1

+

-

Ua1

La impedancia de secuencia directa es Z1.

En función de las condiciones del estado de cortocircuito, la impedancia directa puede ser denida para elrégimen subtransitorio, transitorio o permanente.


Red de secuencia inversa:

La red de secuencia inversa está formada por las impedancias de secuencia inversa, por lo que el circuitoequivalente monofásico del generador en secuencia inversa es:

02

Z2

Ia2

+

-

Ua2

La impedancia de secuencia inversa es Z2.

Ls corrientes de secuencia inversa que circulan por el devando inducido producen un campo magnético giratorioque gira en sentido contrario al rotor y por tanto producen corrientes de doble frencuencia en el circuito deexcitación y en el devanado amortiguador, por lo que las f.m.m. producidas por las corrientes de secuenciainversa en el inducido cambia la dirección de la constante con relación a los ejes directos y de cuadratura, porlo que:

X2 =X′′

d +X′′

q

2(5.66)

siendo X′′

d y X′′

q las reactancias subtransitoria de eje directo y de eje inverso respectivamente.

Red de secuencia homopolar:

La red de secuencia inversa está formada por las impedancias de secuencia homopolar y la impedancia de puestaa tierra, por lo que el circuito equivalente monofásico del generador en secuencia inversa es:

3ZN

00

Zo

Iao

+

-

Uao

5.4.2.4. Desfasaje de las componentes simétricos en bancos de transformadores estrella-triángulo.

En los transformadores es común denotar los terminales de alta tensión por letras como A, B, C mientras quelos de baja tensión a, b, c.

Los transformadores cuyos devanados son en conexión estrella-estrella o triángulo-triángulo, las tensiones re-specto al neutro de los terminales A, B, C están en fase con las tensiones respecto al neutro de los terminalesa, b, c respectivamente.

A

B

C

N

a

b

c

n

Uan

Ubn

Ucn

UAN

UBN

UCN

En los trasnsformadores estrella-triángulo las tensiones de fase y línea en el primario no están en fase con lastensiones respectivas en de sencundario. Debido a ello, las componentes simétricas de secuencia directa e inversano se encuentran en fase en ambos lados del transformador. Estas desfases puede ser ±30o ,±90 ± 150

Por ejemplo en un desfase de 30º:


A

B

C

N

a

b

c

Uab

Ubc

Uca

UAN

UBN

UCN

UaN

UbNUcN

5.4.2.5. Redes de secuencia de transformadores de dos devanados.

Para el estudio de la representación de los transformadores trifásicos se debe tener claro el concepto de circuitoequivalente por fase de un sistema trifásico. Un transformador trifásico puede estar constituido por tres trans-formadores monofásicos separados (cada uno en su propio núcleo) conectados entre sí externamente, o bien,tratarse de una sola unidad con un núcleo trifásico de una sola pieza sobre el cual están montados todos losarrollamientos. Existen dos tipos de núcleos trifásicos, el denominado tipo acorazado (shell type transformer) yel denominado transformador tipo núcleo (core type transformer).

El procedimiento para determinar los circuitos equivalentes por fase para las redes de secuencia directa, inversay homopolar es:

1. Cada uno de los transformadores monofásicos que constituye el transformador trifásico se representa porsu circuito equivalente visto desde los terminales de las inductancias.

2. Las conexiones entre transformadores monofásicos para formar un banco trifásico se representan cir-cuitalmente efectuando estas mismas conexiones entre los terminales de los circuitos equivalentes de cadaunidad.

3. Una vez obtenida la representación circuital de las conexiones del banco trifásico, se le aplican a uno delos lados del banco de tensiones de secuencia directa, inversa y homopolar, según la red de secuencia quese esté determinando. El otro lado del banco se considera conectado a un banco de impedancias simétricascon neutro conectado a tierra (esta última condición solo es necesaria en el caso de la red de secuenciahomopolar), de modo de que pueden circular por las líneas las corrientes de la secuencia que se estudia.

4. Asumiendo que la conexión del banco es simétrica, y que los restantes transformadores monofásicos quela forma son idénticos, las corrientes que circulan por el circuito trifásico serán solo de la secuenciacorrespondiente a las tensiones aplicadas.

5. De la relación entre tensiones y corrientes en este circuito trifásico se tratará de obtener un circuitoequivalente por fase para las cantidades de secuencia correspondiente.

Conexión estrella-estrella sin conexión a tierra (Y-Y). Las estrellas no conectada a tierra, en secuenciahomopolar, se comporta como un circuito abierto para las partes del sistema por el conectado. En cambio, laestrella conectada a tierra, permite la circulación de la corriente homopolar.

Y Y

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

Zo

IAo Iao

P Q

N

Conexión estrella-estrella con un neutro a tierra (Y-Yn). La estrella no conectada a tierra, en secuenciahomopolar, se comporta como un circuito abierto para las partes del sistema por el conectado. En cambio, laestrella conectada a tierra, permite la circulación de la corriente homopolar.

Y Y

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

Zo

IAo Iao

P Q

N


Si existiese impedancia de puesta a tierra, tendríamos:

Y YZn

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

Zo

3Zn

IAo Iao

P Q

N

Conexión estrella-estrella con dos neutros a tierra (Yn-Yn). Las estrellas conectadas a tierra, ensecuencia homopolar, permiten la circulación de la corriente homopolar.

Y Y

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

Zo

IAo Iao

P Q

N

Si hubiese impedancias conectadas entre el centro de las estrellas y tierra, tendríamos:

Y YZn2Zn1

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

3Zn1 Zo 3Zn2

IAo Iao

P Q

N

Conexión triángulo-triángulo (4 − 4). Los triángulos en secuencia homopolar, se comporta como uncircuito abierto para las partes del sistema por el conectado.

4 4

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

Zo

IAo Iao

P Q

N

Conexión triángulo-triángulo (4−Yn). El triángulo en secuencia homopolar, se comporta como un cir-cuito abierto para las partes del sistema por el conectado. En cambio, la estrella conectada a tierra, permite lacirculación de la corriente homopolar.

4 YZn

P Q

Z1

IA1 Ia1

P Q

N

Zo 3Zn

IAo Iao

P Q

N

Transformadores de puesta a tierra. Los transformadores de puesta a tierra, son empleados normalmentecon el objetivo de proporcionar una conexión a tierra en un sistema trifásico que de otra manera dispondría deun neutro aislado. En condiciones de operación los transformadores no transmiten potencia, pero en condicionesde desequilibrios permiten la circulación de corrientes a tierra. En Europa la conexión típica en Zig-Zag.

Este tranformador se basa en tres unidades monofásicas de dos arrollamientos y de relación 1:1:


Se conecta el arrollamiento primario de una unidad en serie con el secundario de otra unidad y el resto de losarrollamiento se conectan de manera similar, estando conectados todos los arrollamientos en polaridad contraria.

En condiciones de equilibrio, es decir, secuencia directa o inversa, no pueden circular corrientes por los arrol-lamientos, debido a la compensación de ujo producido por las corrientes al circular por los arrollamientos. Porlo tanto, el circuito equivalente de secuencia directa e inversa en un circuito abierto.

Cuando circulan las corrientes homopolares:

IAo IBo ICo

3Zt 3Zn

IAo

N

5.5. Análisis de cortocircuitos desequilibrados.

Fuera de los cortocircuitos trifásicos simétricos, en todos los demás casos ya no existirá equilibrio entre las fasesy por tanto será necesario incorporar las componentes inversa y homopolar.

5.5.0.6. Cortorcicuito línea-línea (bifásico).

Vamos a considerar el caso de un cortocircuito bifásico en bornes de una fuente de alimentación. Las condicionesiniciales son:


Ia = 0; Ib = Ic; V b = V c (5.67)

Utilizando las componenes simétricas de corrientes y tensiones, tendremos: Ia0Ia1Ia2

=1

3

1 1 11 a a2

1 a2 a

0

Ib−Ic

=

013 (a− a2)Ib− 1

3 (a− a2)Ib

(5.68)

Luego

Ia0 = 0; Ia1 = −Ia2; I1 = −I2 (5.69)

A partir de la ecuación 5.69, se observa que las redes de secuencia directa e inversa tienen que estar colocadassegún la gura siguiente:

+−E

Z1

Z2

I1

01

I2

02

El circuito equivalente utilizando solamente una única fuente cticia en el punto de cortocircuito es el siguiente:

La fuente equivalente externa siempre se coloca en serie con el circuito de secuencia directa.

5.5.0.7. Cortorcicuito línea-línea a tierra (bifásico a tierra).


Las condiciones iniciales son:

Ia = 0; V b = V c = 0 (5.70)

Utilizando las componenes simétricas , tendremos:

Ua0Ua1Ua2

=1

3

1 1 11 a a2

1 a2 a

Ua

00

(5.71)

Ua0 = Ua1 = Ua2 =1

3Ua (5.72)

A partir de la ecuación 5.72, se observa que las redes de secuencia directa, inversa y hompolar tienen que estarsegún la gura siguiente:

+−E

Z1

Z2

Z0

I1

01

I2

02

I0

00

Utilizando el método de la fuente equivalente:



5.5.0.8. Cortorcicuito liínea a tierra (monofásico).

Las condiciones iniciales son:

Va = 0; Ib = Ic = 0 (5.73)

Utilizando las componenes simétricas , tendremos: Ia0Ia1Ia2

=1

3

1 1 11 a a2

1 a2 a

Ia

00

(5.74)

Ia0 = Ia1 = Ia2 =1

3Ia (5.75)

A partir de la ecuación 5.75, se observa que las redes de secuencia directa, inversa y hompolar tienen que estarsegún la gura siguiente:

+−E

Z1

Z2

Z0

I1

01

I2

02

I0

00


Capítulo 6

CIRCUITOS NO LINEALES

6.1. Funciones periódicas.

Un función periódica se dene comof(t) = f(t+ T ) (6.1)

donde T es el periodo, y vale T = 1/f , siendo f la frecuencia de la función.

La gura muestra un ejemplo de función periódica

Si la función f(t) es una función periódica, entonces se puede representar por una serie trigonométrica (serie deFourier) de la forma:

f(t) = co +

∞∑n=1

cncos(nwot− Φn) (6.2)

donde

co = 12ao; cn =

√a2n + b2n; Φn = arctg bnab ; wo = 2π

T ;

ao = 2T

∫ T/2−T/2 f(t)dt; an = 2

T

∫ T/2−T/2 f(t)cos(nwot)dt bn = 2

T

∫ T/2−T/2 f(t)sem(nwot)dt

Ejemplo:

Sea la función indicada en la gura

Los coecientes son

ao = 2T

∫ T/2−T/2 f(t)dt = 2

T

∫ 0

−T/2(−1)dt+ 2

T

∫ T/20

(1)dt = 0

an = 2T

∫ T/2−T/2 f(t)cos(nwot)dt = 2

T

∫ 0

−T/2(−1)cos(nwot)dt+ 2

T

∫ T/20

(1)cos(nwot)dt

an = −2nwoT

sen(nπ) + −2nwoT

sen(nπ) = 0

bn = 2T

∫ T/2−T/2 f(t)sen(nwot)dt = 2

T

∫ 0

−T/2(−1)sen(nwot)dt+ 2

T

∫ T/20

(1)sen(nwot)dt

bn = 4nwoT

(1− cos(nπ)) =0 para n par

4nπ para n impar

cn = bn; Φn = −90º

La función f(t) representada en serie de Fourier es:

f(t) ' 4π

[cos(wot− 900) + 1

3cos(3wot− 900) + 15cos(5wot− 900) + .....

]83

CAPÍTULO 6. CIRCUITOS NO LINEALES 84

6.2. Circuitos lineales con alimentacion senoidal.

Considerando el circuito lineal alimentado por una fuente senoidal, se tiene que su respuesta (corriente) tambiénes senoidal.

e(t) =√

2Esen(wot) i(t) =√

2Isen(wot− φ) (6.3)

donde si la carga lineal tiene una impedancia equivalente de valor Z = Zejφ, se cumple que E = ZI

Potencia instantánea:

p(t) = e(t).i(t) = E.I.cosφ− E.I.cos(2wt− φ) (6.4)

Potencia media:

P =1

T

∫ T

0

p(t)dt = E.I.cosφ (6.5)

donde φ es el ángulo de desfase entre la tensión y la corriente.

Valores ecaces:

f(t) =√

2Fsen(wot+ Φ) Feficaz =

√1

T

∫ T

0

f2(t)dt = F (6.6)

Potencia aparente y factor de potencia:

S = E.I P = EIcosφ f.d.p. =P

S= cosφ (6.7)

Potencia rectiva:

Q = EIsenφ (6.8)

6.3. Circuitos no lineales con alimentacion senoidal.

La corriente en este caso es no senoidal

e(t) =√

2Esen(wot) i(t) =

N∑n=1

√2Insen(nwot− φn) (6.9)


p(t) = e(t).i(t) =

N∑n=1

E.I cos [(1− n)wot+ φn]− cos [(1 + n)wot+ φn] (6.10)

Potencia media:


P =1

T

∫ T

0

p(t)dt = E.I1.cosφ1 (6.11)

La potencia media depende solamente de las componentes armónicas de la corriente que son iguales a las de lafuente. En este caso, la fundamental n=1.

Valores ecaces:

f(t) =

N∑n=1

√2Fnsen(wot+ Φn) (6.12)

Feficaz =

√1

T

∫ T

0

f2(t)dt =

√√√√ N∑n=1

F 2n (6.13)


S = E.I = E.

√√√√ N∑n=1

I2n (6.14)

S = E.

√√√√ N∑n=1

I2n P = EI1cosφ1 f.d.p. =P

S= cosφ (6.15)

f.d.p. =P

S=

I1√∑Nn=1 I

2n

cosφ1 (6.16)

siendo I1√∑Nn=1I

2n

el denominado factor de distorsión armónica, que siempre es menor que 1. Cuando la corriente

es no senoidal nunca se podrá tener un factor de potencia unitario.

DH =I1√∑Nn=1 I

2n

(6.17)

Ejemplo:

Sea un circuito con la tensión y corriente indicadas a continuación

e(t) =√

2200sen(wot) i(t) =√

220sen(wot− 45º) +√

210sen(3wot+ 60º) +√

210sen(5wot+ 60º)

Los valores ecaces son:

E = 200 I =

√√√√ N∑n=1

I2n =√

202 + 102 + 102 = 24, 49 (6.18)

Potencia aparente, potencia media, factor de distorsión y factor de potencia:

S = EI = (200)(24,49) = 4898, 97 P = EI1cosφ1 = (200)(20)cos(45º) = 2828, 42 (6.19)

f.d.p. =P

S=

2828, 42

4898, 97= 0, 577 (6.20)

DA =I1√∑Nn=1I

2n

=20

24, 49= 0, 8165 (6.21)

Como se observa la presencia de armónicos en la corriente, hace que disminuya el factor de potencia al 81,65%del factor de potencia para la frecuencia fundamental cosφ1 = cos(45º ) = 0, 7071


6.4. Circuitos no lineales con alimentacion no senoidal.

La tensión y la corriente no son senoidales:

e(t) =

N∑n=1

√2Ensen(nwot+ αn) i(t) =

N∑n=1



p(t) = e(t).i(t) (6.23)

Potencia media:

P =1

T

∫ T

0

p(t)dt =

N∑n=1

En.In.cos (αn + φn) (6.24)

La potencia media es dada por la suma de las potencias medias de cada armónico (semejante a si se hace unasuperposición de las fuentes armónicas en una carga lineal).

Valores ecaces:

E =

√√√√ N∑n=1

E2n I =

√√√√ N∑n=1

I2n (6.25)


S = E.I =

√√√√ N∑n=1

E2n.

√√√√ N∑n=1

I2n (6.26)

f.d.p. =P

S= e(t) =

N∑n=1

√2Ensen(nwot+αn) i(t) =

N∑n=1

√2Insen(nwot−φn)

∑Nn=1En.In.cos (αn + φn)√∑N

n=1E2n.√∑N

n=1 I2n

(6.27)

Ejemplo:

Sea un circuito de la gura

vs(t) = 10cos(2π60t) R = 1 ix(t) = vx(t) + 14v

3x(t)

Se cumple que:

e(t) =

N∑n=1

√2Ensen(nwot+ αn) i(t) =

N∑n=1


ix = vs +1

4v3s = 10cos(2π60t) +

1000

4cos3(2π60t) = 10cos(2π60t) + 250

[3

4cos(2π60t) +

1

4cos(6π60t)

](6.29)


ix = 197, 5cos(2π60t) + 62, 5cos(6π60t) (6.30)

iR =vsR

= 10cos(2π60t) (6.31)

is = iR + ix = 207, 5cos(2π60t) + 62, 5cos(6π60t) (6.32)

Los valores ecaces son:

Vs,efi =10√

2= 7, 071 Is,ef =

√√√√ N∑n=1

I2n =

√(207, 5√

2

)2

+

(62, 5√

2

)2

= 153, 23 (6.33)

Potencia aparente, potencia media, factor de distorsión y factor de potencia:

S = Vs,efiIs,efi = (7, 071)(153, 23) = 1083, 54 P = Vs,efiIs,1cosφ1 = (7, 071)(207, 5√

2)cos(0) = 1037, 5 (6.34)

6.5. Deniciones y estándares.

Vamos a denir de nuevo la denición de armónicos en redes eléctricas. Si utilizamos la tensión tendremos:

v(t) =

N∑n=1

√2Vnsen(nwt+αn) =

√2V1sen(sen(wt+α1)+

√2V2sen(sen(2wt+α2)+

√2V3sen(sen(3wt+α3)+...

(6.35)

donde Vh es la armónica de orden h y αh es el ángulo de la armónica.

Se dene la distorsión armónica total como:

DAT =

√∑Nn=1 V

2n − V 2

1

V1100 (6.36)

El factor de distorsión armónica es una medida del alejamiento de una función periódica con respecto a otrasenoidal pura, y se expresa en porcentajes. Existe un factor de distorsión para la tensión y otro para la corriente.Está relacionado directamente con un aumento de calentamiento en las cargas.

Se puede relacionar el factor de distorsion (DA) con el factor de distorsión armónica total (DAT):

DH =

√1

1 +DAT 2(6.37)

En la mayoría de los casos en las redes cuando un transformador alimenta cargas no lineales, este transformadorse sobrecalienta aún cuando no se ha alcanzado sus kVA nominales. Se estima que este calentamiento es debidoa los armónicos y es directamente proporcional al cuadrado del armónico multiplicado por las pérdidas que esta


produce. Se dene el denominado factor K que viene especicado en las placas de las transformadores, y sirvepara indicar la capacidad del transformador para alimentar cargas no lineales sin exceder la temperatura deoperación.

Factor K =

N∑h=1

(IhIefi

)2

.h2 (6.38)

Los factores K más comunes son de 4 y 13, los cuales son utilizados para alimentar cargas que utilizan recticaciónprincipalmente.

Exiten normas que se encargan de jar los límites de los armónicos de la corriente de entrada de aquellos equiposeléctricos y electrónicos que tengan que conectarse a la red de distribución de baja tensión.

Documents

Teoria de Circuitos y Redes Electricas