teoria structurilor arhitecturale

Universitatea SPIRU HARET BAZELE TEORIEI STRUCTURILOR Facultatea de ARHITECTURA Stelica TOBA ___________________________________________________________________________

1

GRINZI CU ZABRELE Generalitati Grinzile cu zabrele sunt structuri alcatuite din bare drepte pentru care se admite indeplinirea urmatoarelor ipoteze simplificatoare: - axele barelor sunt concurente in noduri, - legaturile barelor in noduri sunt articulatii perfecte, - incarcarile structurii sunt forte concentrate aplicate in noduri. Barele grinzii cu zabrele poarta nume diferite, in functie de pozitia lor in structura: - barele care marginesc grinda cu zabrele la partea de sus si de jos se numesc talpi, respectiv talpa superioara (TS) si inferioara (TI), - barele care leaga talpile intre ele se numesc zabrele si sunt de doua feluri: - montanti (M), care au directie verticala, - diagonale (D), care au directie inclinata si pot fi orientate ascendent sau descendent. Ipotezele de mai sus au drept consecinta faptul ca barele ce compun grinda cu zabrele sunt solicitate numai de efort axial. Aceasta afirmatie se poate demonstra prin metoda reducerii la absurd. Se presupune, prin absurd, ca ar exista, pe bara, si alte eforturi decat forta axiala. Daca, intr-o asemenea situatie, s-ar separa bara de structura si s-ar inlocui legaturile barei cu structura cu forte de legatura, ar trebui ca aceste forte sa actioneze pe o directie care sa faca un unghi diferit de zero cu axa barei. Deoarece pe bara nu mai exista alte forte, fortele de legatura ar trebui sa fie egale si de semn contrar, adica ar constitui un cuplu de forte al carui moment ar fi neechilibrat, ceea ce este absurd intrucat bara este in echilibru. Prin urmare, presupunerea facuta este falsa. Rezulta ca fortele de legatura nu pot fi decat egale, de semn contrar si orientate pe directia axei barei, ceea ce corespunde fortei axiale. In realitate, grinzile cu zabrele nu au nodurile rigide: - in cazul grinzilor metalice, barele se prind in nod prin intermediul guseelor, - la grinzile din beton armat, nodurile sunt legaturi monolit intre bare,

TS

TI

D

TS

TI

DD M

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3 5

6

7

4 8

9 10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

4

3

2 5

6 7 9

8

10

11

12

13

14

15

16

18

19

20

17 2122

23

24

25


2

- la grinzile din lemn, prinderile se realizeaza printr-un numar de cuie. Prin urmare, solicitarile sunt mai complexe decat rezulta din admiterea ipotezelor simplificatoare. Totusi, calculele efectuate pe diverse structuri de tip grinzi cu zabrele arata ca rezultatele obtinute in ipoteza articulatiilor perfecte nu se indeparteaza semnificativ de rezultatele obtinute printr-un calcul riguros. Stabilirea gradului de nedeterminare statica se poate realiza mai simplu decat procedura generala care se utilizeaza pentru structuri oarecare, tinand seama de urmatoarele: - barele fiind solicitate numai la forte axiale, numarul de necunoscute este egal cu numarul de bare insumat cu numarul de legaturi exterioare, - daca se izoleaza fiecare nod, incarcat cu fortele exterioare, cu eforturile transmise de bare si, dupa caz, cu fortele de legatura din rezemari, nodul trebuie sa fie in echilibru, ceea ce se poate exprima prin scrierea a cate doua ecuatii de proiectie a fortelor, - gradul de nedeterminare statica rezulta ca diferenta intre numarul de necunoscute si numarul de ecuatii de echilibru: d = b + e - 2 * n unde: b = numarul de bare, e = numarul de legaturi exterioare, n = numarul de noduri. Aplicand aceasta relatie la exemplele de grinzi cu zabrele din figura de mai sos, rezulta: - pentru prima structura: b = 11 n = 7 e = 2 + 1 = 3 d = 11 + 3 - 2 * 7 = 0 - pentru a doua structura: b = 25 n = 14 e = 2 + 1 = 3 d = 25 + 3 - 2 * 14 = 0 Stabilirea gradului de nedeterminare statica se poate realiza si aplicand relatia generala de la pct. 1.3.: d = 3 * + 2 * A + 1 * S - 3 *c In vederea aplicarii relatiei de mai sus, se mentioneaza faptul ca un nod al grinzii cu zabrele in care se intalnesc doua bare reprezinta o articulatie si ca fiecare noua bara adaugata in nod primelor doua inseamna o noua articulatie, adica numarul articulatiilor dintr-un nod este mai mic decat numarul de bare cu o unitate. In tabelul de mai jos se arata modul de determinare al numarului de articulatii interioare ale fiecareia din cele doua structuri considerate.

Stru

t. 1 Nod 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Bare 2 3 4 4 4 3 2 - - - - - - -Art. 1 2 3 3 3 2 1 - - - - - - - Art. 15 - - - - - - -

Stru

t. 2 Nod 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Bare 2 3 4 4 5 3 3 5 5 3 4 4 2 3Art. 1 2 3 3 4 2 2 4 4 2 3 3 1 2 Art. 36


3

Numarul total de corpuri este egal cu numarul total de bare. Pe baza celor de mai sus se poate scrie: - pentru prima structura: = 0 A = 15 + 1 = 16 S = 1 c = 11 d = 3 * 0 + 2 * 16 + 1 * 1 - 3 *11 = 0 - pentru a doua structura: = 0 A = 36 + 1 = 37 S = 1 c = 25 d = 3 * 0 + 2 * 37 + 1 * 1 - 3 *25 = 0 Conform verificarilor, efectuate prin cele doua procedee, rezulta ca ambele structuri sunt static determinate. Determinarea eforturilor Pentru determinarea eforturilor in barele grinzii cu zabrele se utilizeaza doua metode: - metoda izolarii nodurilor si - metoda sectiunilor. Pentru fiecare din cele doua metode se realizeaza, mai intai determinarea reactiunilor in legaturile exterioare, din conditia de echilibru global al structurii. Metoda izolarii nodurilor se bazeaza pe izolarea fiecarui nod si scrierea conditiilor de echilibru a acestuia sub actiunea fortelor exterioare, a reactiunilor din legaturi si a eforturilor transmise in nod de barele concurente. Ecuatiile de echilibru in nod sunt ecuatii de proiectie a fortelor pe cele doua directii. Se incepe cu un nod avand doua bare, determinand eforturile din ecuatiile de echilibru si se analizeaza nodurile intr-o ordine stabilita astfel incat, de fiecare data, sa fie un nu,mar de doua necunoscute. Se efectueaza calculul, din aproape in aproape, pana la ultimul nod, astfel incat, la penultimul nod sa ramana de determinat numai un efort, iar, ecuatiile de echilibru pentru ultimul nod sa fie ecuatii de verificare a rezultatelor calcului.

Pentru reprezentarea pe bare a eforturilor de intindere si compresiune se adopta conventia de semne din figura alaturata.

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3 5

6

7

4 8

9

10

11

2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

2.0

5tf` 20tf

10tf

Bara intinsa

Bara comprimata


4

Determinarea reactiunilor in legaturile exterioare:

X i = 0 H1 = 0 M 1 = 0 5 * 2.0 + 20 * 6.0 + 10 * 8.0 -V7 * 12.0 = 0 V7 = (10 + 120 + 80) / 12.0 = 210 / 12 = 17.5 tf M 7 = 0 V1 * 12.0 - 5 * 10 - 20 * 6.0 - 10 * 4.0 = 0 V1 = (50 + 120 + 40) / 12.0 = 210 / 12 = 17.5 tf Y i = 0 V1+ V7 - 10 - 20 - 5= 0 17.5 + 17.5 - 10 - 20 - 5= 0 Izolarea nodurilor: Nodul 1: Y1 = 0 17.5 - N12 * sin 450 = 0 N12 = 17.5 / sin 450 = 17.5 2 tf X 1 = 0 N13 - 17.5 2 cos 450 = 0 N13 = 17.5 tf Nodul 2: Y 2 = 0 17.5 2 sin 450 - N23sin 450 - 5 = 0 17.5 - N23/ 2 - 5 = 0 N23 = 12.5 2 tf X2 = 0 17.5 2 cos 450 +12.5 2 cos 450 - - N24 = 0 N24 = 17.5 +12.5 = 30tf Nodul 3: Y 3 = 0 12.5 2 sin 450 - N34sin 450 = 0 N34 = 12.5 2 tf X3 = 0 -17.5-12.5 2 cos 450 -12.5 2 cos 450- + N35 = 0 N35 = 17.5+12.5+12.5 = 42.5 tf

1

2

3

4 6

7

1

2

3 5

6

7

4 8

9

10

11

2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

2.0

5tf` 20tf

10tfV1

H1

V7

17.5tf N13

N12

5tf N24

17.5 2 tf

N23

12.5 2 tf

17.5

N34

N35

5


5

Nodul 4: Y 4 = 0 12.5 2 sin450 + N4-10sin 450 -20 = 0 12.5 - 20 +N45/ 2 = 0 N45 = 7.5 2 tf X4 = 0 30+12.5 2 cos 450 -7.5 2 cos 450 - - N46 = 0 N46 = 30+12.5 -7.5 = 35tf Nodul 5: Y 5 = 0 -7.5 2 sin450 + N56sin 450 -10 = 0 -7.5 - 10 +N56/ 2 = 0 N56 = 17.5 2 tf X5 = 0 - 42.5+7.5 2 cos 450+ +17.5 2 cos 450 + N57 = 0 N57 = 42.5-7.5-17.5 = 17.5tf Nodul 6: Y 6 = 0 -17.5 2 sin 450 +N67sin 450 = 0 -17.5 + N67/ 2 = 0 N67 = 17.5 2 tf X6 = 0 -17.5 2 cos 450 +35 - N67 cos 450 = 0 N67 = (35-17.5)/ cos 450 = 17.5 2 tf Nodul 7: Y7 = 0 17.5 - 17.5 2 * sin 450 = 0 17.5 - 17.5 = 0 X 7 = 0 17.5 - 17.5 2 cos 450 = 0 17.5 - 17.5 = 0 Aceste relatii reprezinta verificarea rezultatelor, eforturile fiind calculate anterior. Dezavantajul metodei izolarii nodurilor consta in faptul ca verificarea corectitudinii rezultatelor se efectueaza la final, dupa ce toate eforturile au fost determinate, nefiind posibila verificarea pe parcurs.

20tf N46

12.5 2 tf

N4-5

30tf

7.5 2 tf

42.5 tf

N56

N57

10tf

35tf

17.5 2 tf N67

17.5tf

17.5tf

17.5 2 tf


6

Metoda sectiunilor consta in sectionarea grinzii si determinarea eforturilor in barele sectionate prin scrierea ecuatiilor de echilibru ale partilor rezultate prin sectionare. Se iau valorile reactiunilor calculate la metoda izolarii nodurilor H1 = 0 V1 =V7 = 17.5 tf Se scriu ecuatiile de echilibru ale partii din stanga sectiunii: M 3 = 0 17.5*4 - 5 * 2 - N24 * 2 = 0 70 - 10 - N24 * 2 = 0 N24 = 60/2 = 30 tf Yi = 0 17.5 - 5 - N34 sin 450 = 0 12.5 =N34 sin 450 N34 = 12.5 / sin 450 = 12. 5 2 tf Pentru determinare efortului N35, este convenabil sa se scrie ecuatia de echilibru a partii din dreapta sectiunii, respectiv ecuatia de moment fata de nodul 4: M 4 = 0 N35 * 2 + 10*2- 17.5*6 = 0 N35 * 2 + 20- 105 = 0 N35 = (105 -20)/ 2= 42.5 tf Observatie: ecuatiile se scriu astfel incat sa rezulte cu o singura necunoscuta. Se constata ca rezultatele obtinute prin aplicarea celor doua metode sunt identice.

1

2

3

4 6

7

1

2

3 5

6

7

4 8

9

10

11

2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

2.0

5tf` 20tf

10tfV1

H1

V7 5

1

2

3

1

2

3 5

4

2.0 2.0

5tf`

V1

H1

4 6

7 5

6

7

4 8

9

10

11

2.0 2.0 2.0

2.0

20tf

10tfV7

5 6

N24

N34

N35


7

Calculul eforturilor in barele grinzilor cu zabrele avand talpile paralele se poate sistematiza daca se asociaza grinzii cu zabrele o grinda simplu rezemata avand aceleasi deschideri si incarcari, pentru care se traseaza diagramele de forta taietoare si moment incovoietor, notate T0 si M0. Din ecuatia de momente fata de nodul 3, valoarea efortului din bara 2-4 rezulta ca raport intre momentul incovoietor 03M si inaltimea grinzii cu zabrele. De asemenea, in ecuatia de momente fata de nodul 4, valoarea efortului din bara 3-5 rezulta ca raport intre momentul incovoietor 04M si inaltimea grinzii cu zabrele. 03M si 04M reprezinta momentele incovoietoare, pe grinda simplu rezemata asociata grinzii cu zabrele, determinate in dreptul nodurilor opuse barelor in care se calculeaza eforturile. Din ecuatia de proiectie a fortelor pe axa y, valoarea efortului din bara 3-4 rezulta ca raport intre forta taietoare T0 pe portiunea 3-4 si sinusul unghiului facut de diagonala 3-4 cu orizontala. Astfel, generalizand, rezulta urmatoarele: - efortul dintr-o bara a talpii grinzii cu zabrele se poate obtine impartind valoarea momentului incovoietor de pe grinda simplu rezemata asociata, din dreptul nodului opus barei respective, la inaltimea grinzii, - efortul dintr-o diagonala a grinzii cu zabrele se obtine impartind valoarea fortei taietoare de pe grinda simpu rezemata, din dreptul diagonalei respective, la sinusul unghiului facut de diagonala cu orizontala.


8


9

Aplicatie


10


11

SCHEMA GRINDA CU ZABRELE FARA MONTANTI

BARE COMPRIMATEBARE INTINSE

GRINDA SIMPLU REZEMATA ASOCIATA

GRINZII CU ZABRELE

DIAGRAMA T(eforturi in diagonale)

DIAGRAMA M(eforturi in talpi)

EFORTURI IN BARELE GRINZII CU ZABRELE

COMPORTATREA GRINZII CU ZABRELE ESTE SIMILARA CU CEA A GRINZII CU INIMA PLINA:

TALPA SUPERIOARA INDEPLINESTE ROLUL ZONEI COMPRIMATE DIN INCOVOIERE ,TALPA INFERIOARA INDEPLINESTE ROLUL ZONEI INTINSE DIN INCOVOIERE

VALOAREA EFORTULUI DE COMPRESIUNE/INTINDERE INTR-O BARA A TALPII ESTE PROPORTIONALA CU MOMENTUL INCOVOIETOR DIN SECTIUNEA NODULUI OPUS TALPII, PE GRINDA SIMPLU REZEMATA ASOCIATA GRINZII CU ZABRELE,

DIAGONALELE INDEPLINESC ROLUL INIMII (PREIAU FORTA TAIETOARE) VALOAREA EFORTULUI DE COMPRESIUNE/INTINDERE INTR-O DIAGONALA

ESTE PROPORTIONALA CU FORTA TAIETOARE DIN ZONA PANOULUI CORESPUNZATOR DIAGONALEI RESPECTIVE, PE GRINDA SIMPLU REZEMATA ASOCIATA GRINZII CU ZABRELE

VALOAREA EFORTULUI DE COMPRESIUNE/INTINDERE INTR-UN MONTANT ESTE PROPORTIONALA CU FORTA TAIETOARE DIN DREPTUL MONTANTULUI RESPECTIV, PE GRINDA SIMPLU REZEMATA ASOCIATA GRINZII CU ZABRELE


12

TEMA STUDIU INDIVIDUAL:

Documents

teoria structurilor arhitecturale