Przetwarzanie sygnaw

Jerzy Szabatin

x[n]

1

12 0 4 8 16 n

23 wrzenia 2003

Spis treciRozdzia 1.Lekcja 1.

Elementy oglnej teorii sygnawSygnay deterministyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 2 2 3 3 5 7 7 8 8 10 12 14 15 16 18 22 22 24 25 26 32 32 32

1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . 1.1.1. Modele matematyczne . 1.1.2. Pojcie sygnau . . . . . 1.1.3. Klasykacja sygnaw . 1.1.4. Sygna a informacja . . 1.1.5. Reprezentacje sygnaw

1.2. Sygnay analogowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Notacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Parametry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Przykady prostych sygnaw analogowych o ograniczonej energii i skoczonym czasie trwania . . . . 1.2.4. Przykady prostych sygnaw analogowych o ograniczonej energii i nieskoczonym czasie trwania . . . . . . . . . . . 1.2.5. Przykady prostych nieokresowych sygnaw analogowych o ograniczonej mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Przykady prostych okresowych sygnaw analogowych o ograniczonej mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Sygnay zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8. Sygnay dystrybucyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sygnay dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Parametry . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Przykady prostych sygnaw dyskretnych energii i skoczonym czasie trwania . . 1.3.3. Przykady prostych sygnaw dyskretnych energii i nieskoczonym czasie trwania . 1.3.4. Przykady prostych sygnaw dyskretnych mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lekcja 2. Przestrzenie sygnaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ograniczonej . . . . . . . . . o ograniczonej . . . . . . . . . o ograniczonej . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Sygnay jako elementy przestrzeni funkcyjnych . . . . . . . . . . 2.1.1. Reprezentacja sygnau za pomoc sygnaw bazowych . . . ii

SPIS TRECI 2.1.2. Przykady przestrzeni sygnaw . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Przestrze Hilberta sygnaw . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Przestrze liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Baza przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Przestrze metryczna. Odlego midzy sygnaami 2.2.4. Przestrze zupena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Przestrze unormowana . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Przestrze Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Iloczyn skalarny sygnaw . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Kt midzy sygnaami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 33 36 37 37 38 39 39 40 41 42 42 42 43 44 44 46 47 48 49 49 51 54 55 57 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 62 63 63 65 66 66 66 67 68 69 73 73 77

2.3. Sygnay ortogonalne. Uoglniony szereg Fouriera . . . . . . . 2.3.1. Pojcie ortogonalnoci sygnaw . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Baza ortogonalna. Orodkowa przestrze Hilberta . . . 2.3.3. Baza ortonormalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Uoglniony szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Zagadnienie najlepszej aproksymacji . . . . . . . . . . 2.3.6. Twierdzenie Parsevala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7. Ukadowa realizacja rozwinicia w ortogonalny szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Przykady ortonormalnych uoglnionych szeregw 2.4.1. Szereg Haara . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Szereg Walsha . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Trygonometryczny szereg Fouriera . . . . 2.4.4. Zespolony szereg Fouriera . . . . . . . . . 2.4.5. Szereg Kotielnikowa-Shannona . . . . . . Lekcja 3. Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

Analiza czstotliwociowa sygnaw analogowych

3.1. Przeksztacenie Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Proste przeksztacenie Fouriera . . . . . . . . . . 3.1.2. Odwrotne przeksztacenie Fouriera . . . . . . . . 3.1.3. F -transformowalno i wzajemna jednoznaczno 3.1.4. Przeksztacenie Fouriera w sensie granicznym . . 3.2. Widmo sygnau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Interpretacja widmowa transformaty Fouriera 3.2.2. Widmo amplitudowe i widmo fazowe . . . . 3.2.3. Widmo jako funkcja czstotliwoci . . . . . 3.2.4. Podstawowe waciwoci widm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Przykady par transformat Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Pary transformat w sensie zwykym . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Pary transformat w sensie granicznym . . . . . . . . . . . iii

SPIS TRECI 3.4.3. Widmo impulsowego sygnau sprbkowanego . . . . . . . 3.5. Szereg Fouriera a przeksztacenie Fouriera . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Widmo sygnau okresowego jako szczeglny przypadek transformaty Fouriera w sensie granicznym . . . . . . . . . 3.5.2. Zwizek midzy widmem sygnau impulsowego a wspczynnikami Fouriera jego przeduenia okresowego 3.6. Zasada nieoznaczonoci w teorii sygnaw . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Zwizek midzy czasem trwania sygnau a szerokoci jego widma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Zasada nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lekcja 4. Analiza czstotliwociowa dyskretnych sygnaw deterministycznych

iv 86 88 88 88 90 90 90

94 95 95 96 96 97 99 100

4.1. Przeksztacenie Fouriera sygnaw dyskretnych . . . . . . . . . . 4.1.1. Proste przeksztacenie Fouriera. Widmo sygnau dyskretnego 4.1.2. Okresowo widma sygnau dyskretnego . . . . . . . . . . 4.1.3. Porwnanie z widmem impulsowego sygnau sprbkowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Widmo jako funkcja pulsacji unormowanej . . . . . . . . . 4.1.5. Odwrotne przeksztacenie Fouriera . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Przeksztacenie Fouriera w sensie granicznym . . . . . . .

4.2. Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3. Dyskretny szereg Fouriera. Widmo dyskretnego sygnau okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Sygnay N -okresowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Dyskretny szereg Fouriera sygnau N -okresowego . . . . 4.3.3. Widmo sygnau N -okresowego . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Waciwoci widma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Dystrybucyjna reprezentacja widma sygnau okresowego 4.4. Dyskretne przeksztacenie Fouriera (DPF) . . . . . . . . . . 4.4.1. Zagadnienie numerycznego obliczania widma sygnau 4.4.2. Proste dyskretne przeksztacenie Fouriera sygnau impulsowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Odwrotne dyskretne przeksztacenie Fouriera sygnau impulsowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.4.4. Interpretacja FD -transformaty . . . . . . . . . . . . 1 4.4.5. Okresowo FD -transformaty . . . . . . . . . . . . 4.4.6. Para dyskretnych transformat Fouriera sygnau N -okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.7. Zwizek z dyskretnym szeregiem Fouriera . . . . . . 4.4.8. Porwnanie DTF sygnau impulsowego i DTF jego przeduenia okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . iv . . . . . . 104 104 105 107 108 109

. . . 109 . . . 109 . . . 110 . . . 113 . . . 114 . . . 114 . . . 115 . . . 115 . . . 116

SPIS TRECI

v

4.5. Waciwoci i twierdzenia DPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6. Odtwarzanie sygnau dyskretnego o nieskoczonym czasie trwania na podstawie prbek jego widma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6.1. Sformuowanie i rozwizanie problemu . . . . . . . . . . . 121 4.6.2. Bd aliasingu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Lekcja 5. Analiza korelacyjna sygnaw 125 125 126 127 130 132 135 135

5.1. Funkcja autokorelacji sygnau analogowego o ograniczonej energii 5.1.1. Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Waciwoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Przykad zastosowania w praktyce . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Zwizek funkcji autokorelacji z widmem energii . . . . . . 5.1.5. Ilustracja zwizkw midzy opisami sygnaw w dziedzinie czasu, korelacyjnej i czstotliwoci . . . . . . . . . . . . . 5.1.6. Efektywny czas korelacji i efektywna szeroko pasma sygnau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Funkcje korelacji wzajemnej sygnaw analogowych o ograniczonej energii . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Waciwoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Widma energii wzajemnej . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

137 137 139 139 140 140 141 143 144

5.3. Funkcja autokorelacji sygnau analogowego o ograniczonej mocy 5.3.1. Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Waciwoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Widmo mocy i jego zwizek z funkcj autokorelacji . . . . 5.3.4. Widmo mocy sygnaw okresowych . . . . . . . . . . . . .

5.4. Funkcje korelacji wzajemnej sygnaw analogowych o ograniczonej mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.4.1. Denicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.4.2. Widma mocy wzajemnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.5. Funkcje korelacyjne sygnaw dyskretnych o ograniczonej energii 5.5.1. Funkcja autokorelacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Zwizek z widmem energii . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3. Funkcje korelacji wzajemnej i widma energii wzajemnej . 5.6. Funkcje korelacyjne sygnaw dyskretnych o 5.6.1. Funkcja autokorelacji . . . . . . . . . 5.6.2. Widmo mocy . . . . . . . . . . . . . 5.6.3. Przypadek sygnaw N -okresowych . v ograniczonej mocy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 147 149 150 151 151 152 153

SPIS TRECI

vi

Rozdzia 2.Lekcja 6.

Podstawy teoretyczne przetwarzania sygnawPrbkowanie sygnaw . . . . . . . . . . . . . .

155156 156 157 157 158 159 159 161 162 162 162 163 164 164 166 166

6.1. Oglne zasady przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnaw 6.1.1. Koncepcja cyfrowego przetwarzania sygnaw . . . . . 6.1.2. Przetwornik analogowo-cyfrowy . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Filtr cyfrowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4. Prbkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5. Kwantowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.6. Kodowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Twierdzenie o prbkowaniu. Wersja podstawowa . . . . . . . . . . 6.2.1. Przypadek oglny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Sygnay o ograniczonym pamie . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Sformuowanie twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4. Wzr interpolacyjny Kotielnikowa-Shannona . . . . . . . . 6.2.5. Dowd twierdzenia 6.2 dla klasy sygnaw o ograniczonej energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6. Idealny ltr dolnoprzepustowy . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7. Dowd twierdzenia 6.2 dla dowolnych sygnaw . . . . . .

6.3. Prbkowanie sygnau z dowoln czstotliwoci . . . . . . . . . . 168 6.3.1. Przypadek fs 2fm . Dowd twierdzenia 6.1 . . . . . . . 168 6.3.2. Przypadek fs < 2fm . Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . 170 6.4. Odtwarzanie sygnau z prbek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Odtwarzanie sygnau przez przetwornik C/A. Metoda schodkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Znieksztacenia widma sygnau przy odtwarzaniu metod schodkow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Odtwarzanie sygnau w impulsowych systemach transmisji sygnaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4. Prbkowanie naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5. Prbkowanie chwilowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Odstpstwa od idealnych zaoe twierdzenia o prbkowaniu 6.5.1. Konsekwencje warunku ograniczonoci pasma . . . . 6.5.2. Bd aliasingu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Filtr ochronny. Bd ucicia pasma . . . . . . . . . . 6.5.4. Miara bdu ucicia pasma . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5. Bd ucicia w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 171 172 174 175 177 179 179 180 181 181 183

6.6. Prbkowanie z czstotliwoci mniejsz od czstotliwoci Nyquista 184 6.6.1. Prbkowanie sygnaw wskopasmowych . . . . . . . . . . 184 6.6.2. Efekt stroboskopowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.7. Inne odstpstwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 vi

SPIS TRECI

vii

6.7.1. Nierealizowalno idealnego ltru dolnoprzepustowego . . 190 6.7.2. Jitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.7.3. Skoczona dokadno reprezentacji danych w cyfrowych ukadach przetwarzania sygnaw . . . . . . . . . . . . . . 192 Lekcja 7. Przetwarzanie sygnaw analogowych przez ukady LS . . . . . . . . . . . . 199 200 200 201 202 203 203 204 205 206 206 207 207

7.1. Pojcie ukadu. Podstawowe denicje . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Ukad jako operator. Ukady analogowe i dyskretne . . . 7.1.2. Ukady liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Ukady stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Ukady LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5. Ukady przyczynowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.6. Ukady skupione i ukady o staych rozoonych . . . . . 7.1.7. Ukad jako ltr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.8. Opis ukadu w dziedzinie czasu . . . . . . . . . . . . . . 7.1.9. Odpowied impulsowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.10. Odpowied jednostkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.11. Odpowied impulsowa ukadu przyczynowego . . . . . . 7.1.12. Zwizki midzy odpowiedzi impulsow a odpowiedzi jednostkow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.13. Oglna posta odpowiedzi impulsowej . . . . . . . . . . 7.1.14. Zwizek midzy sygnaami na wejciu i wyjciu ukadu. Zaleno splotowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.15. Zaleno splotowa w przypadku ukadu przyczynowego 7.1.16. Obliczanie caki splotowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Opis ukadu w dziedzinie zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Przeksztacenie Laplacea . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Wyznaczanie sygnau na wyjciu ukadu w dziedzinie zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Oglna posta transmitancji . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5. Zwizki midzy pooeniem zer i biegunw transmitancji a postaci odpowiedzi impulsowej . . . . . . . . . . . . . 7.3. Opis ukadu w dziedzinie czstotliwoci . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa ukadu . . . . . . 7.3.2. Rwnanie transmisyjne w dziedzinie czstotliwoci . . 7.3.3. Charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa 7.3.4. Krzywa Nyquista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5. Interpretacja charakterystyki amplitudowo-fazowej . . . . . . . . .

. 208 . 209 . 210 . 211 . 212 . 214 . 214 . 215 . 216 . 218 . 219 . . . . . . 220 220 221 222 224 225

7.4. Zastosowanie charakterystyk ukadu do analizy sygnau wyjciowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.4.1. Odpowied ukadu dla rnych klas pobudze . . . . . . . 226 vii

SPIS TRECI

viii

7.4.2. Funkcje korelacyjne i widma energetyczne sygnau na wyjciu ukadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.5. Wybrane ukady . . . . . . . . . . 7.5.1. Ukad opniajcy . . . . . 7.5.2. Idealny ukad rniczkujcy 7.5.3. Idealny ukad cakujcy . . 7.5.4. Filtry idealne . . . . . . . . 7.5.5. Filtry rzdu pierwszego . . 7.5.6. Filtry rzdu drugiego . . . . 7.5.7. Filtry wszechprzepustowe . Lekcja 8. Repetytorium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 230 231 232 233 235 236 238 242

Rozdzia 3.Lekcja 9.

Modulacja sygnawOglna charakterystyka operacji modulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243244 245 245 246 246 246 247 247 248 248 249 250 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 256 257 257 258 258 259 260 262 263

9.1. Schemat systemu telekomunikacyjnego . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Bloki funkcjonalne systemu . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. rdo informacji i przetwornik informacja-sygna . . 9.1.3. Nadajnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4. Kana transmisyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.5. Odbiornik sygnau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.6. Przetwornik sygna-informacja i odbiornik informacji 9.2. Cele i 9.2.1. 9.2.2. 9.2.3. rodzaje modulacji . . . . . . . . . Cele modulacji . . . . . . . . . . Fala nona . . . . . . . . . . . . Klasykacja systemw modulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lekcja 10. Modulacje analogowe amplitudy 10.1. Reprezentacja sygnau za pomoc sygnau analitycznego 10.1.1. Sygna analityczny . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Amplituda chwilowa i pulsacja chwilowa . . . . . 10.1.3. Faza chwilowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Drganie uoglnione . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.5. Skadowa synfazowa i skadowa kwadraturowa . . 10.1.6. Obwiednia zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.7. Filtr Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.8. Widmo sygnau analitycznego . . . . . . . . . . . 10.1.9. Funkcja modulujca . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2. Modulacja AM-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 10.2.1. Sygna AM-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 viii

SPIS TRECI 10.2.2. Szeroko pasma sygnau AM-SC . . . . . . . . . . 10.2.3. Generacja sygnau AM-SC . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4. Demodulacja sygnau AM-SC. Detektor koherentny 10.2.5. Bdy czstotliwoci i fazy . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Modulacja AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1. Sygna AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Szeroko pasma sygnau AM . . . . . . . . . 10.3.3. Wspczynnik gbokoci modulacji . . . . . . 10.3.4. Generacja sygnau AM . . . . . . . . . . . . . 10.3.5. Demodulacja sygnau AM. Detektor obwiedni 10.3.6. Odbir superheterodynowy . . . . . . . . . . . 10.3.7. Przypadek modulacji AM jednym tonem . . . 10.3.8. Sprawno energetyczna systemu AM . . . . . 10.4. Modulacje jednowstgowe SSB-SC i SSB 10.4.1. Sygna SSB-SC . . . . . . . . . . . 10.4.2. Widmo sygnau SSB-SC . . . . . . 10.4.3. Szeroko pasma sygnau SSB-SC . 10.4.4. Generacja sygnau SSB-SC . . . . 10.4.5. Demodulacja sygnau SSB-SC . . . 10.4.6. Sygna SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix 265 266 268 268 270 270 271 272 272 273 274 275 277 279 279 280 281 281 284 286 287 287 288 288 290 293 298 . . . 298 . . . . . . . . . . . . 298 299 302 303 303 303 304 306 309 310

10.5. Porwnanie systemw modulacji amplitudy. Modulacja VSB . 10.5.1. Zestawienie zalet i wad systemw modulacji amplitudy 10.5.2. Systemy z fal non wprowadzon w odbiorniku . . . 10.5.3. System VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4. Generacja sygnau VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.5. Sygna telewizyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lekcja 11. Modulacje analogowe kta 11.1. Oglna charakterystyka systemw modulacji kta . . . . . . 11.1.1. Wymiana szerokoci pasma na stosunek sygnaszum w systemach modulacji kta . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Sygnay PM i FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3. Dewiacja fazy i dewiacja czstotliwoci . . . . . . . . 11.1.4. Sygna wskopasmowy PM . . . . . . . . . . . . . .

11.2. Modulacja szerokopasmowa PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Sygna szerokopasmowy PM. Przypadek modulacji jednym tonem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Widmo sygnau PM zmodulowanego jednym tonem . . . . 11.2.3. Szeroko pasma sygnau PM zmodulowanego jednym tonem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4. Sprawno energetyczna systemu PM . . . . . . . . . . . . 11.2.5. Przypadek modulacji dwoma tonami . . . . . . . . . . . . ix

SPIS TRECI

x

11.2.6. Efektywna szeroko pasma sygnau PM zmodulowanego dowolnym sygnaem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.3. Generacja i demodulacja sygnaw zmodulowanych ktowo 11.3.1. Generacja sygnau PM . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2. Demodulacja sygnau PM . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3. Porwnanie systemw PM i FM . . . . . . . . . . . 11.3.4. Porwnanie sygnaw zmodulowanych amplitudowo i ktowo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lekcja 12. Modulacje impulsowe 12.1. Modulacja PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1. Sygna PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2. Odtwarzanie sygnau informacyjnego z sygnau PAM. Efekt aperturowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3. Transmisja sygnau PAM w systemie zwielokrotnienia czasowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4. Demodulacja zwielokrotnionego czasowo sygnau PAM . . 12.1.5. Modulacja PAM-AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Modulacje PDM i PPM . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1. Sygnay PDM i PPM . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2. Generacja i demodulacja sygnaw PDM i PPM 12.2.3. Porwnanie impulsowych systemw modulacji . 12.3. Modulacje impulsowo-kodowe . . . . . . . . 12.3.1. Modulacja PCM . . . . . . . . . . . . 12.3.2. Generacja sygnau PCM . . . . . . . . 12.3.3. Demodulacja sygnau PCM . . . . . . 12.3.4. Modulacja delta (DM) . . . . . . . . . 12.3.5. Sposoby zycznej reprezentacji znakw w modulacjach impulsowo-kodowych . Lekcja 13. Modulacje cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 312 315 318

. . . . 321 323 324 324 325 326 327 327 328 328 329 331 332 332 334 335 338

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . binarnych . . . . . .

. . . . . 341 345

13.1. Oglna charakterystyka modulacji cyfrowych . . . . . . . . . . . 345 13.1.1. Schemat cyfrowego systemu modulacji . . . . . . . . . . . 346 13.1.2. Waciwoci sygnaw zmodulowanych cyfrowo . . . . . . 347 13.2. Geometryczna reprezentacja sygnaw zmodulowanych cyfrowo 13.2.1. Przestrze i konstelacja sygnaw . . . . . . . . . . . . . 13.2.2. Odlego midzy sygnaami . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3. Detekcja sygnaw zmodulowanych cyfrowo . . . . . . . 13.2.4. Podzia przestrzeni sygnaw na obszary decyzyjne . . . . . . . . 348 348 349 350 350

13.3. Modulacje PSK i FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 13.3.1. Modulacja 2PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 x

SPIS TRECI 13.3.2. Generacja i demodulacja sygnaw 2PSK 13.3.3. Modulacja 2FSK . . . . . . . . . . . . . 13.3.4. Generacja i demodulacja sygnaw 2FSK 13.3.5. M -wartociowe modulacje PSK i FSK . 13.3.6. Modulacja QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi 353 354 355 357 359

13.4. Analiza widmowa sygnaw zmodulowanych cyfrowo . . . . . . 13.4.1. Zwizek midzy widmem sygnau a widmem jego obwiedni zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2. Widmo sygnau 2PSK zmodulowanego okresow fal prostoktn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3. Widmo sygnau 2FSK zmodulowanego okresow fal prostoktn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.4. Widma mocy sygnaw 2PSK i 2FSK zmodulowanych dowolnym sygnaem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.5. Efektywno widmowa systemw 2PSK i 2FSK . . . . . 13.4.6. Efektywno widmowa systemw M PSK i M FSK 13.4.7. Porwnanie 2-wartociowych i M -wartociowych cyfrowych systemw modulacji . . . . . . . . . . . . . . Skorowidz

. 360 . 360 . 361 . 362 . 364 . 366 . 367 . 369 373

xi

Spis rysunkw1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. 1.31. 1.32. 1.33. 1.34. Sygna cigy w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna dyskretny w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna o nieskoczonym czasie trwania . . . . . . . . Sygna impulsowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cigy sygna binarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny sygna binarny . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls prostoktny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przesunity impuls prostoktny . . . . . . . . . . . . . Impuls trjktny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls kosinusoidalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls radiowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna wykadniczy malejcy . . . . . . . . . . . . . . Sygna sinusoidalny malejcy wykadniczo . . . . . . . Sygna Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna Sa2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna stay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skok jednostkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna wykadniczy narastajcy . . . . . . . . . . . . . Sygna znaku sgn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fala prostoktna bipolarna . . . . . . . . . . . . . . . Fala prostoktna unipolarna . . . . . . . . . . . . . . . Impuls Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cig funkcji Gaussa aproksymujcy impuls Diraca . . Dystrybucja grzebieniowa . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna (a), jego wersja sprbkowana (b) i reprezentacja pomoc impulsowego sygnau sprbkowanego (c) . . . Powielenie okresowe sygnau impulsowego . . . . . . . Delta Kroneckera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny impuls prostoktny . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny impuls trjktny . . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny sygna wykadniczy . . . . . . . . . . . . . Dyskretny sygna Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny sygna stay . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . za . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 5 5 10 10 11 11 11 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 16 16 18 19 20 21 22 24 24 24 25 25 26

SPIS RYSUNKW 1.35. 1.36. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. Dyskretny skok jednostkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny sygna harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygnay transmitowane w systemie QPSK . . . . . . . . . . Interpretacja geometryczna sygnaw QPSK . . . . . . . . . Schemat blokowy ukadu realizujcego rozwinicie sygnau w ortogonalny szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . Funkcje Haara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funkcje Walsha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproksymacja impulsu trjktnego szeregiem Walsha . . . . Ortonormalny zbir funkcji Sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii 26 27 34 35 49 50 53 54 58

Widmo amplitudowe (a) i widmo fazowe (b) sygnau wykadniczego malejcego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Widmo amplitudowe (a) i widmo fazowe (b) impulsu prostoktnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.36) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.39) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.40) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.41) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.42) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.43) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.44) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.45) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.46) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.47) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.49) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.50) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.51) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fala prostoktna unipolarna (a), jej widmo amplitudowe (b) i fazowe (c) dla przypadku T /T0 = 1/5 . . . . . . . . . . . . . Fala prostoktna unipolarna (a), jej widmo amplitudowe (b) i fazowe (c) dla przypadku T /T0 = 1/10 . . . . . . . . . . . . Para transformat (3.54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Widmo sygnau dolnopasmowego (a) i widmo reprezentujcego go impulsowego sygnau sprbkowanego (b) dla przypadku s > 2m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 68 74 75 75 76 76 77 78 78 79 80 80 81 81 81 82 84 85 86

87

4.1. 4.2. 4.3.

Widmo dyskretnego impulsu prostoktnego (4.6) dla N = 6 . . 99 Widmo amplitudowe (a) i widmo fazowe (b) dyskretnego sygnau wykadniczego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Dyskretny sygna stay (a) i jego widmo (b) . . . . . . . . . . . 101 xiii

SPIS RYSUNKW 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. Widmo amplitudowe impulsu prostoktnego (4.15) dla L = 8 . Dyskretne widmo amplitudowe impulsu prostoktnego (4.15) dla L=8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyskretny sygna okresowy z przykadu 4.7 (a) oraz jego widmo amplitudowe (b) i fazowe (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Widmo dyskretnego sygnau harmonicznego z przykadu 4.9 . Ilustracja aliasingu w dziedzinie czasu . . . . . . . . . . . . . . Przykady funkcji autokorelacji sygnaw o ograniczonej energii Radar impulsowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schemat ukadu do pomiaru odlegoci w radarze impulsowym . Widmo energii sygnau wykadniczego malejcego (a) oraz funkcja autokorelacji (b) i widmo energii (c) idealnego sygnau dolnopasmowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustracja zwizkw midzy sygnaem a jego charakterystykami Interpretacja efektywnego czasu korelacji dla przypadku monotonicznie malejcej (a) oraz oscylacyjnej funkcji autokorelacji (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretacja efektywnej szerokoci widma dla przypadku sygnau wykadniczego malejcego (a) oraz idealnego sygnau dolnopasmowego (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przykad wyznaczania funkcji korelacji wzajemnej . . . . . . . Funkcja autokorelacji unipolarnej fali prostoktnej . . . . . . . . Funkcja korelacji wzajemnej dwch fal unipolarnych . . . . . . Sygna dyskretny (a) i jego funkcja autokorelacji (b) . . . . . . Dyskretny sygna wykadniczy (a) i jego funkcja autokorelacji (b) 13-pozycyjny sygna Barkera (a) i jego funkcja autokorelacji (b) Widmo energii dyskretnego sygnau wykadniczego . . . . . . . Schemat blokowy ukadu cyfrowego przetwarzania sygnaw . . Podstawowe operacje przetwarzajce sygna analogowy w sygna binarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podstawowe sposoby kwantowania sygnaw . . . . . . . . . . . Niejednoznaczno odtworzenia sygnau na podstawie prbek . Ilustracja dowodu twierdzenia o prbkowaniu z czstotliwoci Nyquista fs = 2fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustracja dowodu twierdzenia o prbkowaniu w przypadku fs 2fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustracja twierdzenia o prbkowaniu w przypadku fs < 2fm . . Metoda schodkowa odtwarzania sygnau z prbek . . . . . . . . Dokadne widmo amplitudowe sygnau (a), widmo amplitudowe sygnau odtworzonego metod schodkow (b) oraz charakterystyka ltru wygadzajcego (c) . . . . . . . . . . . . . Prbkowanie naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

xiv 103 112 117 121 123 128 131 131

5.5. 5.6.

134 135

136

5.7.

5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9.

137 138 142 146 148 149 149 151 157 158 160 162 167 169 170 172

6.10.

174 175

SPIS RYSUNKW 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. Cig prbkujcych impulsw szpilkowych (a) i sygna sprbkowany tym cigiem (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prbkowanie chwilowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porwnanie bdu aliasingu i bdu ucicia pasma . . . . . . . Prbkowanie sygnau wskopasmowego z czstotliwoci mniejsz od czstotliwoci Nyquista . . . . . . . . . . . . . . Efekt stroboskopowy w przypadku sygnau harmonicznego . . Efekt stroboskopowy w dziedzinie czstotliwoci przypadku sygnau harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efekt stroboskopowy w przypadku sygnau okresowego . . . . Efekt stroboskopowy w dziedzinie czstotliwoci w przypadku sygnau okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakterystyka rzeczywistego ltru dolnoprzepustowego . . . Ilustracja jitteru i bdu jitteru . . . . . . . . . . . . . . . . .

xv

. 177 . 178 . 181 . 185 . 187 . 188 . 188 . 189 . 191 . 192 200 207 213 216 216 217 222 224 225

7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15.

7.16. 7.17.

Oglny schemat ukadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretacja odpowiedzi impulsowej i odpowiedzi jednostkowej ukadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ilustracja obliczania caki splotowej dla sygnaw z przykadu 7.9 Opis ukadu w dziedzinie czasu (a) i dziedzinie zespolonej (b) . Zaleno midzy transmitancj i odpowiedzi impulsow ukadu Rwnolegy obwd rezonansowy RLC (a) i jego odpowied jednostkowa (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opis ukadu w dziedzinie czstotliwoci . . . . . . . . . . . . . Charakterystyki amplitudowe i charakterystyki fazowe prostych ukadw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krzywe Nyquista prostych ukadw . . . . . . . . . . . . . . . . Ukad opniajcy (a), sygnay na wejciu i wyjciu (b), charakterystyka amplitudowa (c) i charakterystyka fazowa modulo 2 (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakterystyka amplitudowa (a) i charakterystyka fazowa (b) idealnego ukadu rniczkujcego . . . . . . . . . . . . . . . . Ukad rniczkujcy RC (a) oraz sygnay na jego wejciu (b) i wyjciu (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakterystyka amplitudowa (a) i charakterystyka fazowa (b) idealnego ukadu cakujcego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ukad cakujcy RC (a) oraz sygnay na jego wejciu (b) i wyjciu (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakterystyki ltrw idealnych: dolnoprzepustowego LP (a), grnoprzepustowego HP (b), rodkowoprzepustowego BP (c) i rodkowozaporowego SB (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakterystyki amplitudowe ltrw rzdu pierwszego: dolnoprzepustowego RC (a) i grnoprzepustowego RC (b) . . . Obwd rezonansowy RLC jako ltr rodkowoprzepustowy . . . xv

230 231 232 232 233

234 235 236

SPIS RYSUNKW 7.18. 7.19.

xvi

Charakterystyki amplitudowe (a) i fazowe (b) ltru rodkowoprzepustowego RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Przesuwnik fazy RC (a) oraz jego charakterystyki: amplitudowa (b) i fazowa (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Schemat systemu telekomunikacyjnego . . . . . . . . . . . . . . 245 Fale none: harmoniczna (a) i unipolarna fala prostoktna (b) . 250 Klasykacja systemw modulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Filtr Hilberta (a) oraz jego charakterystyki: amplitudowa (b) i fazowa (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Widmo sygnau (a) i widmo jego sygnau analitycznego (b) . . Widmo sygnau harmonicznego (a) i widmo jego sygnau analitycznego (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna modulujcy (a), jego widmo (b) oraz sygna zmodulowany AM-SC (c) i jego widmo (d) . . . . . . . . . . . Schemat blokowy nadajnika AM-SC . . . . . . . . . . . . . . . Schemat modulatora zrwnowaonego . . . . . . . . . . . . . . Detektor koherentny sygnau AM-SC . . . . . . . . . . . . . . . Sygna modulujcy (a), jego widmo (b) oraz sygna zmodulowany AM (c) i jego widmo (d) . . . . . . . . . . . . . Schemat blokowy modulatora AM . . . . . . . . . . . . . . . . Modulator prostownikowy AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygna modulujcy (a) i przemodulowany sygna AM (b) . . . . Detektor obwiedni (a) i sygna na jego wyjciu (b) . . . . . . . Schemat blokowy odbiornika superheterodynowego . . . . . . . Widmo sygnau AM zmodulowanego jednym tonem . . . . . . Sygnay AM zmodulowane jednym tonem dla rnych wartoci wspczynnika gbokoci modulacji m . . . . . . . . . . . . . Procentowy udzia mocy fali nonej i mocy wstg bocznych w cakowitej mocy sygnau AM zmodulowanego jednym tonem w funkcji wspczynnika gbokoci modulacji m . . . . . . . . Widmo sygnau SSB-SC: wstga grna (a) oraz wstga dolna (b) Generacja sygnau SSB-SC metod ltracji z poredni przemian czstotliwoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generacja sygnau SSB-SC za pomoc modulatora Hartleya . . Schemat blokowy dwukanaowego kompensacyjnego demodulatora sygnau SSB-SC . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schemat blokowy generatora sygnau VSB . . . . . . . . . . . . Interpretacja koncepcji generacji sygnau VSB . . . . . . . . . . Modulator sygnau VSB z modykacj skadowej kwadraturowej Charakterystyki ltrw dolnoprzepustowych HI (j ) i HQ (j ) w modulatorze sygnau VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

9.1. 9.2. 9.3. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12. 10.13. 10.14. 10.15. 10.16.

261 262 263 266 267 267 269 271 272 272 273 274 275 276 277

10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 10.21. 10.22. 10.23. 10.24.

278 281 282 283 285 289 290 291 292

SPIS RYSUNKW

xvii

10.25. Widmo naturalne sygnau wizyjnego (a), widmo sygnau transmitowanego (b) oraz widmo sygnau VSB uksztatowane w odbiorniku (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 11.1. Realizacja modulatora PM za pomoc modulatora FM i ukadu rniczkujcego (a) oraz realizacja modulatora FM za pomoc modulatora PM i ukadu cakujcego (b) . . . . . . . . . . . . . 11.2. Unormowane prawostronne widma amplitudowe sygnau PM zmodulowanego jednym tonem dla rnych wartoci wskanika modulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Funkcje Bessela pierwszego rodzaju . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. Logarytmiczny wykres zalenoci liczby K znaczcych par fal bocznych sygnau PM zmodulowanego jednym tonem w funkcji wskanika modulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Sprawno energetyczna systemu PM w przypadku modulacji jednym tonem w funkcji wskanika modulacji . . . . . . . . 11.6. Schemat blokowy szerokopasmowego modulatora PM Armstronga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7. Element pojemnociowy o liniowej charakterystyce C(u) . . . . 11.8. Schemat blokowy koherentnego detektora wskopasmowego sygnau PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9. Charakterystyka liniowego przetwornika pulsacja-amplituda napicia (a) oraz charakterystyka amplitudowa rwnolegego obwodu rezonansowego (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.10. Jednoobwodowy dyskryminator czstotliwoci . . . . . . . . . . 11.11. Dwuobwodowy dyskryminator czstotliwoci (a) i jego charakterystyka (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.12. Wykresy wskanika modulacji (a, b) i dewiacji czstotliwoci (c, d) sygnaw PM i FM zmodulowanych jednym tonem w funkcji czstotliwoci f0 sygnau modulujcego . . . . . . . . . . . . . 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 12.9. Fala nona sygnau PAM (a), sygna modulujcy (b), sygna zmodulowany PAM (c) i jego widmo (d) . . . . . . . . . . . . . Znieksztacenia aperturowe sygnau PAM w przypadku krtkich (a) i dugich (b) impulsw fali nonej . . . . . . . . . . . . . . Zwielokrotniony czasowo sygna PAM . . . . . . . . . . . . . . Schemat blokowy demodulatora zwielokrotnionego sygnau PAM Sygnay: PAM (b), PDM (c) oraz PPM (d) zmodulowane tym samym sygnaem informacyjnym (a) . . . . . . . . . . . . . . . Schemat blokowy generatora sygnau PDM (a) oraz sygnay wystpujce w jego poszczeglnych punktach (b-e) . . . . . . . Przetwarzanie sygnau PDM w sygna PPM . . . . . . . . . . . Kodowanie sygnau PAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sygnay wystpujce w kolejnych etapach generacji sygnau PCM xvii

301

306 307

309 310 313 315 316

316 317 318

320

324 326 327 328 329 330 331 333 334

SPIS RYSUNKW 12.10. 12.11. 12.12. 12.13. 12.14. 12.15. 12.16. 12.17. 12.18. Schemat blokowy generatora sygnau PCM . . . . . . . . . . . Schemat blokowy demodulatora sygnau PCM . . . . . . . . . . Realizacja ukadowa przetwornika PCM-PAM . . . . . . . . . . Wykres napicia na kondensatorze przetwornika PCM-PAM . . Realizacja ukadowa przetwornika PCM-PAM na tranzystorze JFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zasada generacji sygnau DM (a) i sekwencja kodowa (b) . . . Schemat blokowy modulatora (a) i demodulatora (b) sygnau DM Rne sposoby zycznej reprezentacji znakw binarnych 1 i 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sekwencja binarna 011101001 zakodowana kodami sygnaowymi z rys. 12.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xviii 335 336 336 338 338 339 340 341 342 346 351 353 354 356 357 358

13.1. 13.2.

Schemat blokowy cyfrowego systemu modulacji . . . . . . . . . Dwuwymiarowa przestrze sygnaw i jej podzia na obszary decyzyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Przestrze i konstelacja sygnaw 2PSK . . . . . . . . . . . . . 13.4. Schematy blokowe modulatora (a) i demodulatora (b) sygnaw 2PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Przestrze i konstelacja sygnaw 2FSK . . . . . . . . . . . . . 13.6. Schematy blokowe modulatora (a) i demodulatora (b) sygnaw 2FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. Schemat blokowy demodulatora sygnau 2FSK w przypadku odbioru niekoherentnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. Sygnay 2PSK i 2FSK zmodulowane okresow fal prostoktn: cig znakw binarnych (a), sygna modulujcy (b), sygna zmodulowany 2PSK (c), sygna zmodulowany 2FSK (d), widmo obwiedni zespolonej sygnau 2PSK (e) oraz widmo obwiedni zespolonej sygnau 2FSK dla parametru l = 2,5 (f) . . . . . . . 13.9. Unormowane widma mocy obwiedni zespolonych sygnaw: 2PSK (a) oraz sygnau 2FSK w przypadku modulacji Sundea (b) 13.10. Unormowane widma mocy sygnaw M-PSK . . . . . . . . . .

363 365 368

xviii

Rozdzia 1

Elementy oglnej teorii sygnaw

1

Lekcja 1

Sygnay deterministyczneW lekcji 1 wprowadzimy pojcie sygnau i dokonamy podstawowej klasykacji sygnaw. Podkrelimy rol sygnau jako nonika informacji. Uwag skupimy na sygnaach deterministycznych. Omwimy zarwno analogowe sygnay deterministyczne jak i dyskretne sygnay deterministyczne. Zdeniujemy podstawowe parametry charakteryzujce sygnay, w tym energi i moc sygnau. Na tej podstawie dokonamy podziau sygnaw na sygnay o ograniczonej energii i sygnay o ograniczonej mocy. Podamy take przykady prostych, typowych sygnaw analogowych i dyskretnych nalecych do obu klas, wraz z ich notacj i wykresami przebiegw czasowych.

1.1. Wprowadzenie1.1.1. Modele matematyczneW wielu naukach, badajcych otaczajc nas rzeczywisto zyczn, wprowadza si w celu jej opisania odpowiednie modele matematyczne. Tak postpuje si w zyce, gdzie np. ruch masy zawieszonej na nici jest opisywany i analizowany za pomoc modeli matematycznych: wahada matematycznego lub wahada zycznego. Tak te postpuje si w teorii obwodw, gdzie zyczne elementy: opornik, cewk i kondensator opisuje si modelami matematycznymi w postaci elementw obwodowych: oporu, indukcyjnoci i pojemnoci. Tak rwnie postpuje si w teorii sygnaw, gdzie sygnay wystpujce w rzeczywistoci opisuje si za pomoc rnego rodzaju modeli matematycznych. Posugiwanie si modelami matematycznymi ma szereg istotnych zalet. Opis sygnau za pomoc modelu matematycznego umoliwia przede wszystkim jego formaln, teoretyczn analiz. Wan zalet tego opisu jest take to, i 2

1.1. Wprowadzenie

3

w zalenoci od potrzeb i postawionego celu analizy temu samemu zycznemu sygnaowi moemy przyporzdkowa rne modele o zrnicowanymi stopniu zoonoci. Jeeli interesuj nas jedynie zasadnicze, dominujce cechy sygnau, stosujemy modele prostsze. W przypadku, gdy chcemy w opisie sygnau uwzgldni take jego cechy drugorzdne, wprowadzamy modele bardziej zoone. Operowanie modelami matematycznymi umoliwia ponadto wprowadzenie jednoznacznych kryteriw podziau sygnaw i na tej podstawie dokonanie ich klasykacji. I wreszcie, jeli rozpatrujemy sygnay w kategoriach modeli matematycznych, moemy abstrahowa od ich natury zycznej. W analizie formalnej sygnaw nie jest bowiem istotne jakie jest zyczne rdo ich pochodzenia.

1.1.2. Pojcie sygnauW znaczeniu potocznym pojcie sygnau jest rozumiane jako proces zmian w czasie pewnej wielkoci zycznej lub stanu obiektu zycznego. Z tego wzgldu za modele matematyczne sygnaw przyjmujemy funkcje, ktrych argumentem jest czas t. Opisuj one ewolucj sygnaw w czasie. W najprostszym przypadku s to funkcje tylko jednej zmiennej t. W przypadkach bardziej zoonych, np. w teorii linii dugich lub zagadnieniach przetwarzania obrazw, mog to by funkcje wielu zmiennych: czasu i wsprzdnych przestrzennych. Niekiedy stosowane s take funkcje wektorowe. Jeeli funkcje opisujce sygnay przyjmuj wartoci rzeczywiste, to modele takie nazywamy rzeczywistymi. Do opisu sygnaw czsto s stosowane take funkcje o wartociach zespolonych. Modele zespolone zwikszaj wprawdzie stopie abstrakcji opisu sygnaw, jednak, jak przekonamy si wkrtce, uatwiaj znacznie ich analiz formaln. Jako modele sygnaw wprowadza si rwnie wielkoci niefunkcyjne nazywane dystrybucjami. W dalszym cigu pojcie sygnau bdziemy utosamia z jego modelem matematycznym, a stosujc termin sygna bdziemy mieli na myli jego model.

1.1.3. Klasykacja sygnawSygnay mona klasykowa w rny sposb, stosujc rne kryteria ich podziau. Pierwsze z tych kryteriw wynika z omwionego wyej podziau modeli matematycznych sygnaw, wedug ktrego sygnay dzielimy na rzeczywiste, zespolone i dystrybucyjne. Inne kryterium jest zwizane ze zdolnoci do przewidywania wartoci sygnau w dowolnej chwili t. Prowadzi ono podziau sygnaw na deterministyczne i stochastyczne (losowe). Jeeli w kadej chwili potramy przewidzie warto sygnau, a jego zachowanie opisa jednoznacznie formu matematyczn, przedstawi za pomoc wykresu lub tablicy jego wartoci, to sygna uwaamy za deterministyczny. Jeeli prognozy takiej nie moemy dokona, a znamy jedynie oglne prawa statystyczne, wedug ktrych sygna ewoluuje w czasie, to traktujemy go 3

1.1. Wprowadzenie

4

jako losowy. Naley podkreli, e podzia sygnaw na deterministyczne i losowe jest arbitralny. Ten sam zyczny sygna moemy opisywa raz modelem deterministycznym, innym za razem modelem losowym, w zalenoci od posiadanej o nim wiedzy a priori. W klasie sygnaw losowych wyrnia si czasami podklas sygnaw quasi-deterministycznych, ktrych niedeterminizm jest zwizany jedynie z losowym charakterem pewnych parametrw sygnau. Wana linia podziau sygnaw dotyczy dziedziny ich okrelonoci. Sygnay okrelone w zbiorze cigym osi czasu s nazywane sygnaami cigymi w czasie lub krtko sygnaami cigymi (rys. 1.1). Najczciej dziedzin takich sygnaw jest caa o (, ) , dodatnia po [0, ) lub odcinek [t1 , t2 ] osi czasu. Sygnay okrelone w dyskretnym (przeliczalnym lub skoczonym) zbiorze punktw osi czasu (. . . , t1 , t0 , t1 , t2 , . . . ) i nieokrelone w pozostaych punktach s nazywane sygnaami dyskretnymi w czasie lub krtko sygnaami dyskretnymi (rys. 1.2). Najczciej dziedzin tych sygnaw jest zbir chwil tn = nTs , n A , odlegych od siebie o stay odstp Ts nazywany przedziaem dyskretyzacji . Zbir A wartoci zmiennej dyskretnej n jest zwykle zbiorem wszystkich liczb cakowitych, zbiorem liczb naturalnych lub skoczonym podzbiorem [n1 , n2 ] zbioru liczb cakowitych.x(t) x(tn )

0Rys. 1.1. Sygna cigy w czasie

t

-3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6 tn /Ts

Rys. 1.2. Sygna dyskretny w czasie

Jeeli sygna przybiera wartoci rne od zera w przedziale nieskoczonym, nazywamy go sygnaem o nieskoczonym czasie trwania (rys. 1.3). W przypadku, gdy sygna przybiera wartoci rne od zera jedynie w przedziale skoczonym nazywamy go sygnaem o skoczonym czasie trwania lub krtko sygnaem impulsowym (rys. 1.4).x(t) x(t)

0

t

0Rys. 1.4. Sygna impulsowy

t

Rys. 1.3. Sygna o nieskoczonym czasie trwania

4

1.1. Wprowadzenie

5

Zarwno sygnay cige, jak i dyskretne dzielimy take w zalenoci od rodzaju ich przeciwdziedziny. Jeeli zbir moliwych wartoci sygnau jest zbiorem cigym, sygna nazywamy cigym w amplitudzie. Jeeli zbir ten jest zbiorem dyskretnym (przeliczalnym lub skoczonym), sygna nazywamy dyskretnym w amplitudzie. Ze wzgldu na charakter dziedziny i przeciwdziedziny sygnay dzielimy zatem na: cige w czasie i cige w amplitudzie (nazywane take analogowymi), cige w czasie i dyskretne w amplitudzie, dyskretne w czasie i cige w amplitudzie, dyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie. W tej ostatniej klasie wyrnia si sygnay cyfrowe. S to sygnay dyskretne w czasie, ktrych zbir moliwych wartoci jest skoczony. Szczegln podklas sygnaw dyskretnych w amplitudzie stanowi sygnay, ktre w kadej chwili okrelonoci przybieraj tylko dwie wartoci utosamiane ze znakami (cyframi) binarnymi 0 oraz 1. Sygnay takie s nazywane binarnymi. Sygnay binarne mog by zarwno cige (rys. 1.5), jak i dyskretne w czasie (rys. 1.6). Sygnay binarne dyskretne w czasie otrzymuje si w wyniku binarnego kodowania sygnaw cyfrowych. Sygnay binarne odgrywaj coraz wiksz rol we wspczesnych systemach przetwarzania i transmisji sygnaw.x(t) 1 x(tn )

1

t -1Rys. 1.5. Cigy sygna binarny

-3

0 1 2 3 -1

tn Ts

Rys. 1.6. Dyskretny sygna binarny

Oprcz wymienionych istnieje jeszcze wiele innych linii podziau sygnaw. Bdziemy je omawia w miar wprowadzania odpowiednich denicji parametrw i charakterystyk sygnaw, na ktrych s oparte dalsze kryteria klasykacji.

1.1.4. Sygna a informacjaSygnay su do przekazywania wiadomoci. Wraz z przesaniem wiadomoci dostarczana jest okrelona informacja. Pojcie sygnau jest zatem nierozerwalnie zwizane z pojciem informacji. Mwi si czsto, e sygna jest nonikiem informacji. Informacja, obok materii i pola, jest jednym z najwaniejszych poj przyrodoznawstwa. W wiadomoci ludzkiej dugo funkcjonowaa jako pojcie subiektywne, niemierzalne, tak jak np. dobro, czy pikno. Zobiektywizowa je dopiero Claude E. Shannon. Jego praca A mathematical theory of communication [1], opublikowana w 1948 r. i okrelana dzi zgodnie przez uczonych jako 5

1.1. Wprowadzenie

6

Magna Carta ery informacyjnej, daa pocztek nowej dziedzinie wiedzy teorii informacji. Problematyka teorii informacji wykracza poza ramy wykadu. Studiujc wszake jego kolejne strony, warto pamita, e wraz z przetwarzaniem i przesyaniem sygnau jest przetwarzana i przekazywana informacja. Dzi, dziki Shannonowi, wiemy ju jak t informacj mierzy [2]. Zastanwmy si jednak, czy kady sygna niesie ze sob informacj. Przekazanie informacji jest aktem wypenienia naszej niewiedzy. Jeli sygna jest deterministyczny, znamy dokadnie jego przebieg w przeszoci, warto w chwili biecej i zachowanie si w przyszoci. Nasza wiedza o nim jest pena. Nie moe on nam zatem dostarczy informacji. Informacj przekazuj tylko takie sygnay, ktre dla odbiorcy s losowe. Tylko wtedy bowiem, kiedy nie jestemy w stanie przewidzie zachowania si sygnau w przyszoci, a jego przebieg moemy prognozowa jedynie z pewnym prawdopodobiestwem (dokadniej, przypisa mu pewn miar prawdopodobiestwa), fakt odebrania sygnau wypenia nasz niewiedz. Sygnaami losowymi s oczywicie sygnay transmitowane w systemach komunikacyjnych powszechnego uytku: telefonicznych, radiowych, telewizyjnych. W przeciwnym przypadku rozmawianie przez telefon, suchanie radia, czy ogldanie telewizji byoby pozbawione sensu. Podobnie, gdyby przepyw sygnaw w naszym komputerze osobistym przebiega wedug praw deterministycznych, siedzenie przy nim byoby zajciem nader nudnym. Sygnaami losowymi s rwnie sygnay pochodzce z przestrzeni kosmicznej odbierane przez radioteleskopy. Dostarczaj nam one informacji np. o strukturze gwiazd. Do sygnaw losowych nale take wszelkie szumy i zakcenia towarzyszce nieuchronnie sygnaom uytecznym. Jeeli zastanowimy si gbiej, dojdziemy do przekonania, e w istocie rzeczy wszystkie realne sygnay zyczne s losowe. To my, w zalenoci od celw bada oraz posiadanej wiedzy a priori, tworzymy ich modele deterministyczne lub stochastyczne. Jeeli na oscylogram sygnau sinusoidalnego o znanej amplitudzie, czstotliwoci i fazie pocztkowej, otrzymanego na wyjciu zycznego generatora, spojrzymy goym okiem, to widzimy regularn deterministyczn krzyw o dobrze nam znanym ksztacie. Jeli jednak ten sam oscylogram bdziemy oglda w dostatecznie duym powikszeniu, to okae si, e ta gadka krzywa jest w rzeczywistoci postrzpionym, nieregularnym przebiegiem. Na sygna sinusoidalny nakadaj si bowiem szumy wewntrzne elementw generatora, powodujce jego uktuacje. W przypadku, gdy sygna ten wykorzystujemy do celw technicznych (np. jako sygna nony lub synchronizujcy), przyporzdkowujemy mu makroskopowy model deterministyczny. Jeeli natomiast chcemy pozyska informacj np. o mocy szumu generatora, tworzymy jego dokadniejszy model stochastyczny, uwzgldniajcy take skadow szumow.

6

1.1. Wprowadzenie

7

1.1.5. Reprezentacje sygnawTylko nieliczne proste sygnay mona opisa formuami matematycznymi i analizowa w naturalnej dziedzinie czasu. Wikszo sygnaw, z jakimi spotykamy si w praktyce, ma przebieg na tyle zoony i nieregularny, e ich bezporedni opis w tej dziedzinie jest niemoliwy. Z tego wzgldu w analizie formalnej sygnaw posugujemy si czsto ich rnego rodzaju reprezentacjami. Reprezentacja sygnau stanowi pewien rodzaj jego symbolicznego opisu, niekiedy o znacznym stopniu abstrakcji. Jej istot jest to, e zawiera ona pen informacj o sygnale, cho zwykle wyraon w innym jzyku, ni bezporedni jzyk opisu czasowego. Oznacza to, e znajc sygna, moemy jednoznacznie wyznaczy jego reprezentacj, znajc za t reprezentacj odtworzy jednoznacznie sygna. Istnieje wiele sposobw reprezentacji sygnaw. Kilka najwaniejszych poznamy w trakcie wykadu. Niektrymi z nich ju posugiwalimy si w teorii obwodw. Na przykad, sygna harmoniczny A cos(t + ) o ustalonej i znanej pulsacji reprezentowalimy za pomoc liczby (amplitudy) zespolonej Aej . Znajc t liczb (i pulsacj ), moemy jednoznacznie wyznaczy przebieg sygnau harmonicznego w czasie. Podobnie, sygna okresowy o ustalonym okresie T0 reprezentowalimy za pomoc jego trygonometrycznego szeregu Fouriera :

a0 +k=1

(ak cos k0 t + bk sin k0 t),

(1.1)

gdzie 0 = 2/T0 . Reprezentacj sygnau stanowi w tym przypadku nieskoczony przeliczalny zbir liczb rzeczywistych {a0 , ak , bk : k = 1, 2, . . . } nazywanych wspczynnikami Fouriera. W szczeglnych przypadkach zbir ten jest skoczony. Znajc te liczby (oraz okres T0 ), jestemy w stanie odtworzy jednoznacznie przebieg czasowy sygnau. Mona zatem powiedzie, e przy zaoeniu znanego okresu T0 w zbiorze wspczynnikw Fouriera jest zakodowana pena informacja o sygnale.

1.2. Sygnay analogoweSygnay deterministyczne nie przenosz informacji. Maj zatem ograniczone znaczenie w zagadnieniach telekomunikacji, radiokomunikacji, metrologii i innych dziedzinach, w ktrych punkt cikoci jest pooony na problemy pozyskiwania, przetwarzania i przesyania informacji. Mimo to, znaczna cz wykadu bdzie powicona tej wanie klasie sygnaw. Ich dokadne omwienie jest wane z co najmniej kilku powodw. 7

1.2. Sygnay analogowe

8

Bez opanowania podstaw teorii sygnaw deterministycznych trudno byoby zrozumie znacznie trudniejsz od strony pojciowej i analitycznej problematyk sygnaw stochastycznych. Na przykadzie sygnaw deterministycznych mona w prosty sposb wyjani podstawowe sposoby opisu i reprezentacji sygnaw oraz zdeniowa szereg fundamentalnych poj zwizanych z sygnaem, takich jak funkcja autokorelacji czy widmo. Znajc denicje tych poj dla sygnaw deterministycznych, mona je potem atwo uoglni na sygnay losowe. Ponadto, w kategoriach sygnaw deterministycznych s opisywane podstawowe operacje na sygnaach, a take ukady, przez ktre sygnay te s przetwarzane. I wreszcie, posugiwanie si modelami deterministycznymi jest w wielu zagadnieniach duo prostsze, wygodniejsze, a jednoczenie wystarczajce do przeprowadzenia odpowiedniej analizy. Sytuacja taka wystpuje np. w teorii modulacji, gdzie podstawowe waciwoci rnych systemw modulacji mona zbada stosujc modele deterministyczne sygnaw zmodulowanych, podczas gdy w istocie sygnay transmitowane w tych systemach maj charakter losowy.

1.2.1. NotacjaAnalogowe sygnay deterministyczne bdziemy oznacza literami aciskimi x(t), y(t), z(t), . . . , dodajc w razie potrzeby odpowiednie indeksy. Niektre typowe sygnay bdziemy oznacza symbolami specjalnymi, uatwiajcymi zapis operacji formalnych. Dopki sygnay deterministyczne bdziemy rozpatrywa jako modele matematyczne i nie bdziemy ich wiza z konkretnymi sygnaami zycznymi, dopty wartoci sygnau bdziemy traktowa jako bezwymiarowe.

1.2.2. ParametryNajprostszymi charakterystykami sygnaw s ich parametry. Do najczciej uywanych naley: warto rednia, energia oraz moc. Denicje tych parametrw podamy najpierw dla sygnaw rzeczywistych. Denicja 1.1. Warto rednia analogowego impulsowego sygnau deterministycznego x(t) okrelonego w przedziale [t1 , t2 ] jest cak z tego sygnau w przedziale [t1 , t2 ] odniesion do szerokoci tego przedziau:t2

1 x = t2 t1

x(t) dt.t1

(1.2)

W przypadku sygnaw o nieskoczonym czasie trwania warto rednia jest okrelona jako wielko graniczna:T

1 x = lim T 2TT

x(t) dt.

(1.3)

8

1.2. Sygnay analogowe

9

W szczeglnym przypadku, gdy sygna o nieskoczonym czasie trwania jest sygnaem okresowym o okresie T0 , urednianie w czasie nieskoczonym jest rwnowane urednianiu za okres:t0 +T0

1 x = T0 przy czym chwila t0 jest dowolna.

x(t) dt,t0

(1.4)

Denicja 1.2. Energi analogowego sygnau deterministycznego x(t) nazywamy wielko: Ex =

x2 (t) dt.

(1.5)

Denicja 1.3. Moc (redni) analogowego sygnau deterministycznego x(t) nazywamy wielko graniczn:T

1 Px = lim T 2TT

x2 (t) dt.

(1.6)

W przypadku sygnaw okresowych wzr (1.6) przybiera posta:t0 +T0

1 Px = T0

x2 (t) dt,t0

(1.7)

gdzie T0 jest okresem, a t0 dowoln chwil. Tak zdeniowane wielkoci energii i mocy sygnau nie maj sensu nadawanego im w zyce i naley je rozumie w znaczeniu uoglnionym. Przy przyjtym zaoeniu bezwymiarowoci sygnaw wymiarem energii sygnau jest sekunda, a moc jest bezwymiarowa. Gdyby jednak sygna by sygnaem napicia lub prdu, to wydzieliby na oporze jednostkowym 1 energi (lub moc) rwn liczbowo wielkoci (1.5) (lub (1.6)). Denicja Wartoci skuteczn sygnau jest nazywany pierwiastek z jego mo1.4. cy xsk = Px . Energia i moc charakteryzuj waciwoci energetyczne sygnau. Na ich podstawie sygnay deterministyczne s dzielone na dwie podstawowe rozczne klasy. Denicja 1.5. Sygna x(t) jest nazywany sygnaem o ograniczonej energii , jeli 0 < Ex < . Denicja 1.6. Sygna x(t) jest nazywany sygnaem o ograniczonej mocy , jeli 0 < Px < . Moc sygnaw o ograniczonej energii jest rwna zeru. Energia sygnaw o ograniczonej mocy jest nieskoczona. Klasa sygnaw o ograniczonej energii 9

1.2. Sygnay analogowe

10

obejmuje oczywicie wszystkie sygnay impulsowe ograniczone w amplitudzie, ale nie tylko. Do klasy tej nale take sygnay o nieskoczonym czasie trwania, ktrych wartoci malej dostatecznie szybko w funkcji czasu. Sygnay o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie s sygnaami o nieskoczonym czasie trwania. Szczegln podklas tych ostatnich s sygnay okresowe.

1.2.3. Przykady prostych sygnaw analogowych o ograniczonej energii i skoczonym czasie trwania

Impuls prostoktny

(t)x(t) 1

x(t) =

1 dla |t| < 1/2, (t) = 1/2 dla |t| = 1/2, 0 dla |t| > 1/2,-1/2 0 1/2 t

x = 1,

Ex = 1.Rys. 1.7. Impuls prostoktny

Symbol specjalny (t) oznacza unormowany symetryczny impuls prostoktny o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie. Zarwno warto rednia tego sygnau za czas jego trwania, jak i energia s jednostkowe. Za pomoc tego symbolu mona zapisa impuls prostoktny o dowolnej wysokoci a, dowolnej szerokoci b i przesunity w czasie o dowoln warto c (rys. 1.8).

x(t)

x(t) = a x = a,

tc b

,c 0 b

a

Ex = a2 b.

t

Rys. 1.8. Przesunity impuls prostoktny

Mnoc dany sygna przez x(t) = ((t c)/b) mona wyci jego dowolny fragment. Zapis (t/T ) oznacza symetryczny impuls prostoktny o czasie trwania T . 10

1.2. Sygnay analogowe Impuls trjktny (t)x(t) 1

11

x(t) = (t) =

1 |t| dla |t| 1, 0 dla |t| > 1, 2 Ex = . 3-1 0 1 t

1 x = , 2

Rys. 1.9. Impuls trjktny

Symbol specjalny (t) oznacza unormowany symetryczny impuls trjktny o czasie trwania rwnym 2 i wartoci w zerze rwnej 1. Zapis (t/T ) oznacza symetryczny impuls trjktny o czasie trwania 2T . Impuls kosinusoidalnyx(t) X0

x(t) = X0 cos 0 t 2X0 ,

t /02 X0 . 20

,

x =

Ex =

-p/2w0 0

p/2w0

t

Rys. 1.10. Impuls kosinusoidalny

Sygna ten jest symetrycznym impulsem obejmujcym p okresu sygnau kosinusoidalnego o amplitudzie X0 i pulsacji 0 . Impuls radiowy Sygna ten ma posta y(t) = x(t) cos(0 t + 0 ), gdzie x(t) jest dowolnym sygnaem impulsowym.y(t)

0

T t

Rys. 1.11. Impuls radiowy

11

1.2. Sygnay analogowe

12

Sygnay takie s wykorzystywane m.in. w systemach radiokomunikacyjnych i radiolokacyjnych. Std pochodzi ich nazwa. Sygna x(t) jest nazywany obwiedni impulsu y(t), a funkcja cos(0 t + 0 ) jego wypenieniem. Czas trwania impulsu T jest z reguy wielokrotnie duszy od okresu wypenienia T0 = 2/0 .

1.2.4. Przykady prostych sygnaw analogowych o ograniczonej energii i nieskoczonym czasie trwaniaSygna wykadniczy malejcyx(t)

x(t) =

X0 et 0 x = 0,

dla t 0, > 0, dla t < 0, Ex =2 X0 . 2

X0

0

t

Rys. 1.12. Sygna wykadniczy malejcy

Sygna sinusoidalny malejcy wykadniczo x(t) = X0 et sin 0 t 0 x = 0, Ex = dla t 0, dla t < 0,2 2 X0 0 2. 4 2 + 0

> 0,

Sygna Sa sin 0 t 0 t x(t) = Sa 0 t = 1 x = 0, Ex = dla t = 0, dla t = 0, . 0

Funkcja (sin x)/x, dobrze znana z analizy matematycznej, nie ma wartoci w zerze. W teorii sygnaw przyjmuje si dodatkowo t warto za rwn 1. Symbol specjalny Sa pochodzi od angielskiego sowa sampling (prbkowanie). Przyjcie tego oznaczenia jest uzasadnione szczegln rol, jak sygna Sa odgrywa w zagadnieniach prbkowania sygnaw (por. lekcj 6). W literaturze na oznaczenie tego sygnau jest take stosowany symbol sinc. 12

1.2. Sygnay analogowe

13

x(t) X0

0

p w0

2p w0

3p 4p w0 w0

t

- X0

Rys. 1.13. Sygna sinusoidalny malejcy wykadniczo

x(t) 1

- 3p w0

p -w - 2p w0

0

p w0 0 2p w0

3p w0 4p w0t

- 4p w0

Rys. 1.14. Sygna Sa

Sygna Sa2 2 sin 0 t 2 (0 t)2 x(t) = Sa 0 t = 1 x = 0,1

dla t = 0, dla t = 0,

Ex =x(t)

2 . 3 0

- 4p w0

- 3p w0

- 2p w0

p -w

0

0

p w0

2p w0

3p w0

4p w0

t

Rys. 1.15. Sygna Sa2

13

1.2. Sygnay analogowe Sygna Gaussax(t) 1

14

x(t) = et , x = 0, 1 Ex = . 2-1 0 1t

2

Rys. 1.16. Sygna Gaussa

Sygna ten jest opisany funkcj Gaussa o charakterystycznym ksztacie dzwonu. Jak pamitamy, funkcja ta spenia wan rol w teorii prawdopodobiestwa i jest wykorzystywana do charakteryzowania waciwoci sygnaw losowych. W teorii sygnaw deterministycznych sygna Gaussa suy przede wszystkim jako sygna pomocniczy przy deniowaniu modeli dystrybucyjnych sygnaw (por. p. 1.2.8).

1.2.5. Przykady prostych nieokresowych sygnaw analogowych o ograniczonej mocySygna stayx(t) 1

x(t) = 1

dla < t < , Px = 1.0Rys. 1.17. Sygna stay

x = 1,

t

Skok jednostkowy 1(t) 1 x(t) = 1(t) = 1/2 0 1 x = , 2x(t)

dla t > 0, dla t = 0, dla t < 0,

1 1/2 0t

1 Px = . 2

Rys. 1.18. Skok jednostkowy

Zapis X0 1(t t0 ) oznacza sygna skoku o dowoln warto X0 przesunity o dowolny odcinek t0 osi czasu. Za pomoc symbolu specjalnego 1(t) mona 14

1.2. Sygnay analogowe

15

w wygodny sposb zapisywa sygnay okrelone tylko na dodatniej posi czasu. Na przykad, zapis sin 0 t 1(t) oznacza sygna sinusoidalny rozpoczynajcy si w chwili t = 0. Sygna wykadniczy narastajcyx(t)

x(t) = (1 et )1(t), 1 x = , 2

1

> 0,0t

1 Px = . 2

Rys. 1.19. Sygna wykadniczy narastajcy

Sygna sgn tx(t)

1 dla t > 0, x(t) = sgn t = 0 dla t = 0, 1 dla t < 0. x = 0, Px = 1.

1 0 -1

t

Rys. 1.20. Sygna znaku sgn t

1.2.6. Przykady prostych okresowych sygnaw analogowych o ograniczonej mocySygna harmonicznyx(t) X0 p w0 0 -X 0 j0Rys. 1.21. Sygna harmoniczny

x(t) = X0 sin(0 t + 0 ), < t < , x = 0, 1 2 Px = X0 . 2

...

...t

2p w0

Sygna ten jest okrelony przez trzy parametry: amplitud X0 , pulsacj 0 = 2f0 = 2/T0 , gdzie f0 jest czstotliwoci, a T0 okresem, oraz faz pocztkow 0 . Spenia on w teorii sygnaw szczeglnie wan rol. 15

1.2. Sygnay analogowe Fala prostoktna bipolarnax(t) X0

16

...

...-T0 0 -X0 T0 T0 2 t

x = 0,

Px =

2 X0 .

Rys. 1.22. Fala prostoktna bipolarna

Fala prostoktna unipolarnax(t)

T x = X0 , T0

T 2 Px = X . T0 0

...T

X0 0 T0

...t

Rys. 1.23. Fala prostoktna unipolarna

Iloraz T /T0 jest nazywany wspczynnikiem wypenienia.

1.2.7. Sygnay zespoloneW teorii sygnaw obok modeli rzeczywistych stosowane s czsto zespolone modele sygnaw. O wyborze modelu rzeczywistego lub zespolonego decyduj przede wszystkim wzgldy wygody matematycznej. Modele zespolone, mimo abstrakcyjnego charakteru, umoliwiaj znaczne uproszczenie analizy, zwaszcza w przypadku sygnaw zoonych. Sygna zespolony ma posta: z(t) = x(t) + j y(t), (1.8)

gdzie x(t) = Re z(t) oraz y(t) = Im z(t) s sygnaami rzeczywistymi. Wzr (1.8) opisuje posta algebraiczn sygnau. Podobnie jak kad liczb zespolon, sygna zespolony mona take zapisa w postaci biegunowej: z(t) = |z(t)| ej(t) , (1.9)

gdzie |z(t)| = x2 (t) + y 2 (t) jest moduem, a (t) = arctg[y(t)/x(t)] argumentem sygnau. Sygna: z (t) = x(t) j y(t) = |z(t)| ej(t) . nazywamy sygnaem sprzonym z sygnaem z(t). 16 (1.10)

1.2. Sygnay analogowe

17

Rwnie sygnay zespolone dzielimy na sygnay o ograniczonej energii i ograniczonej mocy. Energia i moc sygnaw zespolonych s zdeniowane identycznie jak w przypadku sygnaw rzeczywistych, z tym, e we wzorach denicyjnych (1.5)(1.7) zamiast kwadratu sygnau x2 (t) naley podstawi kwadrat moduu |x(t)|2 . Rozpatrzymy dwa przykady. Zespolony sygna harmoniczny ej0 t = cos 0 t + j sin 0 t, t (, ). (1.11)

Sygna ten, nazywany niekiedy zespolon sinusoid, jest czsto wykorzystywany jako zespolona reprezentacja rzeczywistego sygnau harmonicznego. Mona atwo sprawdzi, e jest on sygnaem okresowym o okresie T0 = 2/0 : ej0 (t+T0 ) = ej0 t ej0 T0 = ej0 t ej2 = ej0 t i sygnaem o ograniczonej mocy:T0 T0

1 Px = T00

e

j0 t 2

1 dt = T00

1 dt = 1.

Sygna analityczny Sygna analityczny stanowi szczeglnego rodzaju zespolon reprezentacj sygnau rzeczywistego, czsto stosowan w zagadnieniach modulacji sygnaw. Sygnaem analitycznym, reprezentujcym rzeczywisty sygna x(t), nazywamy sygna zespolony: zx (t) = x(t) + j x(t), (1.12) ktrego czci rzeczywist jest sygna x(t), a czci urojon transformata Hilberta x(t) tego sygnau okrelona wzorem:

1 x(t) =

x( ) d, t

(1.13)

gdzie caka jest rozumiana w sensie wartoci gwnej Cauchyego. Podobnie jak przeksztacenia Fouriera i Laplacea, przeksztacenie Hilberta jest przeksztaceniem cakowym odwzorowujcym dany sygna w inn wielko funkcyjn. Cech charakterystyczn przeksztacenia Hilberta jest to, i w odrnieniu od przeksztace Fouriera i Laplacea przeksztaca ono funkcj zmiennej t (sygna) w inn funkcj zmiennej t (inny sygna), a wic w wielko funkcyjn w tej samej dziedzinie. Przeksztacenie Hilberta i pojcie sygnau analitycznego omwimy dokadniej w lekcji 10(p. 10.1) powiconejsygnaom zmodulowanym. W tym miejscu ograniczymy si jedynie do podania przykadu. Mona wykaza, e transformata Hilberta sygnau cos 0 jest rwna sin 0 t. Tak wic sygnaem analitycznym, reprezentujcym rzeczywisty sygna harmoniczny cos 0 t, jest zespolony sygna ej0 t . 17

1.2. Sygnay analogowe

18

1.2.8. Sygnay dystrybucyjneW wielu zagadnieniach teorii sygnaw bardzo uytecznymi modelami sygnaw s wielkoci matematyczne zwane dystrybucjami (funkcjami uoglnionymi). Dystrybucje nie s funkcjami w sensie przyjtym w klasycznej analizie matematycznej i s deniowane w sposb odmienny ni zwyke funkcje. Najwaniejsz z nich jest impuls Diraca (t) (nazywany take dystrybucj Diraca lub delt Diraca). Impuls Diraca (t) =

0

dla t = 0, dla t = 0.

d(t) 1

(t) dt = 1.

0Rys. 1.24. Impuls Diraca

t

Impuls Diraca jest modelem nierealizowalnego zycznie nieskoczenie wskiego sygnau, o nieskoczenie duej amplitudzie i polu rwnym 1. Przyjtym powszechnie symbolem gracznym impulsu Diraca jest prek zakoczony strzak umieszczony w punkcie t = 0, ktrego wysoko jest rwna polu impulsu (rys. 1.24). Symbol X0 (t t0 ) oznacza impuls Diraca o polu X0 wystpujcy w chwili t0 . Impuls Diraca opisuje gsto amplitudy przypadajcej na jednostk czasu. Jej miar jest pole impulsu. W przeciwiestwie do poprzednio omawianych sygnaw, ktre przy przyjtej konwencji s bezwymiarowe, impuls Diraca ma wymiar 1/s, a wic taki sam jak czstotliwo. Naley take podkreli, e z formalnego punktu widzenia impuls Diraca nie naley do klasy sygnaw o ograniczonej mocy, jego moc jest bowiem nieskoczona. Podana denicja dystrybucji Diraca nie spenia wymogu cisoci matematycznej. Dla potrzeb analizy sygnaw konieczne jest przyjcie denicji bardziej cisej, w oparciu o ktr mona byoby poprawnie zdeniowa operacje wykonywane na sygnaach z udziaem dystrybucji Diraca. W tzw. elementarnej teorii dystrybucji dystrybucj Diraca rozumie si jako granic cigu {(t, )} zwykych funkcji (t, ), gdzie > 0 jest parametrem, speniajcego warunki:

(t, ) dt = 1,

0

lim (t, ) = (t).

(1.14)

Cig {(t, )} jest nazywany cigiem aproksymujcym dystrybucj (t). Cigw takich mona utworzy wiele (por. [3], p. 2.3.6). Jako przykad moe suy cig funkcji Gaussa (por. rys. 1.16). 18

1.2. Sygnay analogowe Cig funkcji Gaussa aproksymujcy impuls Diracad(t,a)

19

a 0

(t, ) =

1 22

exp

t2 . 220 t

Rys. 1.25. Cig funkcji Gaussa aproksymujcy impuls Diraca

W miar jak dy do zera funkcje te staj si coraz wsze, a ich warto maksymalna w chwili t = 0 ronie do nieskoczonoci. W granicy, gdy 0, otrzymujemy impuls Diraca. Waciwoci impulsu Diraca Omwimy podstawowe waciwoci impulsu Diraca, na ktre bdziemy si dalej czsto powoywa. 1. Waciwo prbkowania x(t)(t t0 ) = x(t0 )(t t0 ). (1.15)

W wyniku mnoenia dowolnego sygnau przez impuls Diraca (t t0 ) wystpujcy w chwili t = t0 otrzymujemy impuls Diraca w tej samej chwili o polu rwnym wartoci (prbce) tego sygnau w chwili t = t0 . Wyraenie x(t0 )(tt0 ) po prawej stronie rwnoci (1.15) mona przyj za reprezentacj dystrybucyjn prbki x(t0 ). 2. Waciwo ltracji

x(t)(t t0 ) dt = x(t0 ).

(1.16)

Waciwo ta jest konsekwencj waciwoci prbkowania. Caka iloczynu dowolnego sygnau x(t) i impulsu Diraca (t t0 ) wystpujcego w chwili t = t0 jest rwna prbce x(t0 ) tego sygnau w tej chwili. 3. Zwizki ze skokiem jednostkowymt

(t ) dt = 1(t),

(1.17)

19

1.2. Sygnay analogowe

20

d 1(t) = (t). dt

(1.18)

Rniczkowanie i cakowanie naley tu rozumie w sensie dystrybucyjnym, tj. jako operacje na odpowiednich cigach aproksymujcych, a otrzyman rwno jako zwizek midzy granicami tych cigw. 4. Waciwo splotu x(t) (t) = x(t), x(t) (t t0 ) = x(t t0 ). (1.19)

Splot sygnau x(t) z dystrybucj Diraca (t) daje w wyniku ten sam sygna x(t). Wynika std, e (t) jest elementem identycznociowym operacji splotu. W przypadku splatania z dystrybucj przesunit w czasie o t0 otrzymujemy kopi sygnau przesunit o t0 . Waciwo splotu jest czasami nazywana waciwoci powtarzania.Komentarz. Pojcie splotu jest jednym z fundamentalnych poj teorii sygnaw. Bdzie ono dalej czsto wystpowa w rnych fragmentach tekstu, przy czym operacja splotu bdzie rozpatrywana zarwno w dziedzinie czasu, jako operacja na sygnaach, jak i w dziedzinie czstotliwoci, jako operacja na widmach. Bdziemy przy tym zakada, e denicja splotu oraz jego podstawowe wasnoci s znane. Obszerne omwienie operacji splotu mona znale w [4], p. 9.1.1 i 9.1.2.

Okresowy cig impulsw Diraca (dystrybucja grzebieniowa)dT0(t)

1

T0 (t) =n=

(t nT0 )

...-3T0 -2T0 -T0 0

...T0 2T0 3T0 4T0 t

Rys. 1.26. Dystrybucja grzebieniowa

Dystrybucja grzebieniowa jest obok impulsu Diraca modelem dystrybucyjnym najczciej wykorzystywanym w analizie sygnaw. Dystrybucja ta jest okresowym cigiem impulsw Diraca powtarzanych z okresem T0 . Jej wykres przypomina nieskoczony grzebie, ktrego zby s rwnoodlege i maj jednakow wysoko. Uzasadnia to przyjt nazw tej dystrybucji. W literaturze dystrybucja grzebieniowa jest nazywana take dystrybucj sza, dystrybucj comb lub idealnym sygnaem prbkujcym. Waciwoci dystrybucji grzebieniowej 1. Waciwo prbkowania

x(t)T0 (t) =n=

x(nT0 )(t nT0 ). 20

(1.20)

1.2. Sygnay analogowe

21

W wyniku mnoenia dowolnego sygnau x(t) przez dystrybucj grzebieniow T0 (t) otrzymujemy cig powtarzanych z okresem T0 impulsw Diraca o wysokociach okrelonych przez prbki x(nT0 ) sygnau. Obwiedni tych impulsw jest sygna x(t). Mwic obrazowo w wyniku tej operacji otrzymujemy grzebie, ktrego wierzchoki zbw ukadaj si w ksztat sygnau. Sygna dystrybucyjny xs (t) = n= x(nT0 )(t nT0 ). stanowi dystrybucyjn reprezentacj sprbkowanego sygnau x(t). Bdziemy go nazywa impulsowym sygnaem sprbkowanym (rys. 1.27).a) x(t) b) x(tn )

0

t

-T0 0

T0

t

c)

xs (t)

-T0 0

T0

t

Rys. 1.27. Sygna (a), jego wersja sprbkowana (b) i reprezentacja za pomoc impulsowego sygnau sprbkowanego (c)

2. Waciwo powielenia okresowego

x(t) T0 (t) =n=

x(t nT0 ).

(1.21)

W wyniku splecenia dowolnego sygnau x(t) z dystrybucj grzebieniow T0 (t) nastpuje powielenie okresowe tego sygnau z okresem T0 . W przypadku, gdy sygna x(t) jest sygnaem impulsowym o czasie trwania krtszym ni okres dystrybucji grzebieniowej T0 , sygna powielony jest cigiem wiernych kopii sygnau x(t) powtrzonych co przedzia T0 (rys. 1.28). Mona obrazowo powiedzie, e w efekcie splecenia sygnau x(t) z dystrybucj grzebieniow na kadym jej zbie pozostawia on swj wierny lad.

21

1.2. Sygnay analogowe

22

dT0 (t) 1 1

x(t) 1

x(t ) * dT0 (t)

...-T0 0 T0

...2T0 t

*0 t

...-T0 0 T0 2T0

...t

Rys. 1.28. Powielenie okresowe sygnau impulsowego

1.3. Sygnay dyskretneSygna dyskretny jest okrelony jedynie w dyskretnym zbiorze chwil {. . . t1 , t0 , t1 , t2 , . . . } i zdeniowany jako cig swoich wartoci w tych chwilach. Sygnay dyskretne wystpujce w technice otrzymujemy z reguy w wyniku prbkowania sygnaw analogowych, tj. rejestracji wartoci sygnau analogowego w okrelonych chwilach. Najczciej rejestracja prbek lub jak mwimy ich pobieranie nastpuje w chwilach jednakowo od siebie odlegych. Prbkowanie nazywamy wwczas rwnomiernym. Zauwamy, e w sensie przytoczonej denicji sygnaami dyskretnymi s take: cig ocen uzyskany przez studenta podczas studiw, cig notowa kursu zotego wzgldem dolara podawany codziennie w gazecie, cig corocznych pomiarw pooenia pewnej gwiazdy wzgldem Ziemi, czy te cig odczytw wodowskazu mierzcego stan wody w rzece, dokonywanych w okrelonych godzinach. W pierwszych dwch przypadkach sygnay dyskretne nie maj swoich pierwowzorw analogowych. Natomiast w dwch ostatnich przypadkach sygnay dyskretne powstaj w wyniku prbkowania wielkoci analogowych, gdy zarwno pooenie gwiazdy, jak i poziom wody w rzece zmienia si pynnie w czasie. W dalszym cigu bdziemy rozpatrywa wycznie sygnay dyskretne sprbkowane rwnomiernie, a wic okrelone w chwilach tn = nTs , gdzie Ts jest przedziaem dyskretyzacji. Przedzia ten jest nazywany rwnie okresem lub przedziaem prbkowania. Odwrotno okresu prbkowania fs = 1/Ts jest nazywana czstotliwoci prbkowania. Poniewa w analizie formalnej sygnaw dyskretnych nie jest istotne w jakiej chwili tn jest pobierana prbka, a istotny jest jedynie jej kolejny numer w cigu prbek, za argument sygnaw dyskretnych bdziemy przyjmowa zmienn bezwymiarow n = tn /Ts , tj. czas unormowany wzgldem okresu prbkowania. Dyskretne sygnay deterministyczne bdziemy oznacza x[n], y[n], z[n], . . . , a ich prbki x(n), y(n), z(n), . . .

1.3.1. ParametryWzory deniujce podstawowe parametry dyskretnych sygnaw deterministycznych s odpowiednikami wzorw (1.2)(1.7) dla sygnaw cigych i maj posta sum. 22

1.3. Sygnay dyskretne

23

Denicja 1.7. Warto rednia dyskretnego impulsowego sygnau deterministycznego x[n] , okrelonego w skoczonym przedziale [n1 , n2 ], jest stosunkiem sumy wszystkich prbek w tym przedziale do liczby tych prbek: x =2 1 x(n). n2 n1 + 1 n=n 1

n

(1.22)

W przypadku sygnaw o nieskoczonym czasie trwania warto rednia jest okrelona wzorem: 1 x = lim N 2N + 1N

x(n).n=N

(1.23)

W szczeglnym przypadku dyskretnych sygnaw okresowych o okresie N0 wzr (1.23) przybiera posta (n0 jest dowoln liczb cakowit): 1 N0n0 +N0 1

x =

x(n).n=n0

(1.24)

Denicja 1.8. Energi dyskretnego sygnau deterministycznego x[n] nazywamy wielko:

Ex =n=

x2 (n),

(1.25)

a moc wielko graniczn: 1 Px = lim N 2N + 1N

x2 (n).N

(1.26)

Jeli sygna jest okresowy, moc mona oblicza ze wzoru rwnowanego: 1 Px = N0n0 +N0 1

x2 (n),n0

(1.27)

gdzie N0 jest okresem, a n0 dowoln liczb cakowit. Wielko xsk = nazywana wartoci skuteczn sygnau x[n].

Px jest

Podobnie jak sygnay cige, dyskretne sygnay deterministyczne dzielimy na dwie podstawowe klasy. Jeli 0 < Ex < , sygna x[n] nazywamy sygnaem o ograniczonej energii. Jeli 0 < Px < , sygna x[n] nazywamy sygnaem o ograniczonej mocy. 23

1.3. Sygnay dyskretne

24

1.3.2. Przykady prostych sygnaw dyskretnych o ograniczonej energii i skoczonym czasie trwaniaImpuls (delta) Kroneckera [n]d [n]

x[n] = [n] = x = 1,

1 0

dla n = 0, dla n = 0.-5

1

Ex = 1.

0 1 2 34 5

n

Rys. 1.29. Delta Kroneckera

Delta (impuls) Kroneckera jest dla sygnaw dyskretnych odpowiednikiem delty Diraca dla sygnaw analogowych. W przeciwiestwie do delty Diraca jest to zwyka funkcja. Symbol X0 [n n0 ] oznacza sygna o wartoci X0 w punkcie n = n0 i pozostaych wartociach rwnych zeru. Impuls prostoktnyx[n] N=5

x[n] = x = 1,

1 dla n |N |, 0 dla n > |N |. Ex = 2N + 1.-5

1

0 1 2 34 5

n

Rys. 1.30. Dyskretny impuls prostoktny

Impuls trjktnyx[n] 1

|n| 1 x[n] = N 0 x = N , 2N + 1

dla n

|N |,

N=5

dla n > |N |. Ex = 2N 2 + 1 . 3N-5 0 1 2 34 5 n

Rys. 1.31. Dyskretny impuls trjktny

Na rys. 1.31 przedstawiono wykres tego sygnau dla N = 5. W tym przypadku x = 5/11 oraz Ex = 17/5.

24

1.3. Sygnay dyskretne

25

1.3.3. Przykady prostych sygnaw dyskretnych o ograniczonej energii i nieskoczonym czasie trwaniaSygna wykadniczyx[n] 1

x[n] = an , x = 0,

n

0 < a < 1. 1 . Ex = 1 a2 0,

0 1 2 3 4 5

n

Rys. 1.32. Dyskretny sygna wykadniczy

Sygna Sa sin n0 dla n = 0, n0 x[n] = Sa(n0 ) = 1 dla n = 0. x = 0, Ex =x[n] 1

. 0

12 -4 0 4 8 16n

Rys. 1.33. Dyskretny sygna Sa

Bezwymiarowy parametr 0 ma tu znaczenie pulsacji unormowanej. Poniewa parametr ten pojawia si po raz pierwszy, podamy przy tej okazji jego interpretacj. Dyskretny sygna Sa otrzymuje si jako wynik prbkowania cigego sygnau Sa(2f0 t) w chwilach tn = nTs , gdzie Ts jest okresem prbkowania. Po sprbkowaniu sygnau cigego otrzymujemy sygna dyskretny x[n] = Sa(n2f0 Ts ). 25

1.3. Sygnay dyskretne

26

W teorii sygnaw dyskretnych normuje si zwykle nie tylko skal czasu wzgldem okresu prbkowania Ts , lecz rwnie skal czstotliwoci wzgldem czstotliwoci prbkowania fs = 1/Ts . W tym celu wprowadza si pojcie czstotliwoci unormowanej 0 = f0 /fs = f0 Ts . Posugujc si tym parametrem, moemy zapisa dyskretny sygna Sa w postaci x[n] = Sa(n20 ). Deniujc z kolei unormowan pulsacj jako 0 = 20 = 2f0 Ts = 0 Ts , otrzymujemy podany wyej zapis dyskretnego sygnau Sa. Z uwagi na zwizek 0 = 0 Ts mwimy, e pulsacj 0 otrzymujemy w wyniku unormowania pulsacji 0 wzgldem okresu prbkowania Ts . Wykres dyskretnego sygnau Sa przedstawiony na rys. 1.33 zosta sporzdzony dla 0 = /4.

1.3.4. Przykady prostych sygnaw dyskretnych o ograniczonej mocy

Sygna stayx[n] 1

x[n] = 1

dla < n < , Px = 1.

...0 1 2 3 4 5Rys. 1.34. Dyskretny sygna stay

...n

x = 1,

Skok jednostkowy 1[n]x[n]

x[n] = 1[n] = 1 x = , 2

1 0

dla n 0, dla n < 0, 1 Px = . 2

1

...0 1 2 3 4 5Rys. 1.35. Dyskretny skok jednostkowy

n

Zapis X0 1[n n0 ] oznacza sygna skoku o dowolna warto X0 w punkcie n0 osi czasu. 26

Sownik Sygna harmonicznyx[n] X0

27

x[n] = X0 sin(n0 + 0 ), < n < , 1 2 x = 0, Px = , X0 . 2-6 03 -X0

6 12 n

Rys. 1.36. Dyskretny sygna harmoniczny

Dyskretny sygna harmoniczny, nazywany te dyskretn sinusoid, otrzymujemy w wyniku prbkowania cigego sygnau harmonicznego x(t) = X0 sin(0 t+ +0 ) . Parametr 0 = 0 Ts jest jego unormowan pulsacj. Dyskretny sygna harmoniczny nie zawsze jest sygnaem okresowym zmiennej n. Warunkiem okresowoci jest, aby liczba 2/0 bya liczb wymiern. Istnieje wtedy taka liczba cakowita k, e 2k/0 jest liczb cakowit. Okresem (podstawowym) jest wwczas najmniejsza liczba n0 taka, e n0 = 2k/0 dla pewnego k. W przypadku, gdy 2/0 jest liczb niewymiern, dyskretny sygna harmoniczny nie ma okresu (jest tzw. sygnaem prawie okresowym). Wykres na rys. 1.36 zosta sporzdzony dla 0 = /6 i 0 = 0.

Sownikczstotliwo unormowana czstotliwo unormowana wzgldem okresu prbkowania dwubity dwuelementowe cigi znakw binarnych dystrybucja wielko matematyczna nie bdc funkcj, wykorzystywana jako model matematyczny sygnau dystrybucja grzebieniowa okresowy cig impulsw Diraca dziedzina czasu naturalna dziedzina opisu i analizy sygnaw i ukadw w funkcji zmiennej t czasu 27

Sownik

28

fala prostoktna bipolarna analogowy okresowy sygna binarny przybierajcy dwie wartoci: X0 w pierwszej czci okresu i X0 w drugiej czci okresu fala prostoktna unipolarna analogowy okresowy sygna binarny przybierajcy dwie wartoci 0 lub X0 ; okresowy cig impulsw prostoktnych o jednakowej amplitudzie i jednakowym czasie trwania, z reguy znacznie mniejszym od okresu powtarzania impulsw impuls sygna o skoczonym czasie trwania impuls (delta, dystrybucja) Diraca wielko niefunkcyjna, przybierajca wartoci zerowe dla chwil t = 0 i warto nieskoczenie du w chwili t = 0, ktrej pole (caka) jest rwna jednoci; przyjmowana jako model matematyczny nieskoczenie wskiego impulsu o nieskoczonej amplitudzie impuls (delta) Kroneckera sygna dyskretny przybierajcy warto 1 w chwili n = 0 i wartoci zerowe w pozostaych chwilach impuls prostoktny sygna impulsowy o staej wartoci w przedziale jego okrelonoci impuls radiowy sygna oscylacyjny o wysokiej czstotliwoci oscylacji i wolnozmieniajcej si obwiedni (amplitudy chwilowej) impulsowy sygna sprbkowany model matematyczny sygnau sprbkowanego w postaci cigu impulsw Diraca o polach rwnych wartociom kolejnych prbek modulacja QPSK modulacja cyfrowa z czterowartociowym kluczowaniem fazy prbka sygnau warto sygnau w okrelonej chwili prbkowania prbkowanie operacja na sygnale polegajca na pobraniu (zarejestrowaniu) wartoci sygnau analogowego w dyskretnych chwilach, najczciej rwnoodlegych; w wyniku prbkowania sygna analogowy jest przetwarzany w sygna dyskretny prbkowanie rwnomierne prbkowanie ze staym odstpem midzy kolejnymi prbkami 28

Sownik

29

przedzia (okres) prbkowania (dyskretyzacji) dugo odcinka czasu midzy dwiema kolejnymi prbkami przy zaoeniu prbkowania rwnomiernego przeksztacenie Hilberta przeksztacenie cakowe przyporzdkowujce sygnaowi inny sygna (transformat Hilberta) pulsacja unormowna pulsacja unormowana wzgldem okresu prbkowania reprezentacja sygnau przedstawienie sygnau za pomoc innych wielkoci, np. wektora, innego sygnau, sumy waonej innych sygnaw lub funkcji okrelonej w innej dziedzinie ( czstotliwoci, zespolonej) splot w dziedzinie czasu operacja na parze sygnaw przyporzdkowujca im inny sygna sygna proces zmian w czasie pewnej wielkoci zycznej lub stanu obiektu zycznego sygna analityczny reprezentacja sygnau w postaci sygnau zespolonego, ktrego czci rzeczywist jest dany sygna, a czci urojon jego transformata Hilberta sygna analogowy sygna okrelony w cigym przedziale czasu i przybierajcy wartoci w zbiorze cigym sygna binarny sygna, ktry w kadej chwili, w ktrej jest okrelony, przybiera jedn z dwch wartoci sygna cyfrowy sygna okrelony w dyskretnych chwilach czasu i przybierajcy w tych chwilach wartoci ze zbioru skoczonego sygna deterministyczny sygna, ktrego wartoci w kadej chwili s okrelone jednoznacznie sygna dyskretny sygna okrelony w dyskretnych chwilach czasu (najczciej rwnoodlegych) i nieokrelony w pozostaych chwilach sygna dystrybucyjny sygna, ktrego przebieg jest opisany dystrybucj 29

Sownik

30

sygna harmoniczny sygna, ktrego przebieg w czasie jest opisany funkcj sinusoidaln (cig lub dyskretn) o ustalonej amplitudzie, czstotliwoci i fazie pocztkowej sygna impulsowy (o skoczonym czasie trwania) sygna okrelony w skoczonym przedziale czasu (cigym w przypadku sygnaw analogowych lub dyskretnym w przypadku sygnaw dyskretnych) sygna losowy (stochastyczny) sygna, ktrego wartoci w kadej chwili s zmiennymi losowymi i ktrego ewolucja w czasie nastpuje wedug okrelonych praw probabilistycznych sygna o nieskoczonym czasie trwania sygna okrelony w nieskoczonym przedziale czasu (najczciej na dodatniej osi czasu bd caej osi czasu w przypadku sygnaw analogowych lub na zbiorze liczb naturalnych bd zbiorze wszystkich liczb cakowitych w przypadku sygnaw dyskretnych sygna o ograniczonej energii sygna, ktrego energia jest skoczona sygna o ograniczonej mocy sygna, ktrego moc jest skoczona sygna quasi-deterministyczny sygna o parametrach bdcych zmiennymi losowymi (np. sygna harmoniczny o losowej fazie) sygna rzeczywisty sygna, ktrego przebieg jest opisany funkcj rzeczywist czasu sygna zespolony sygna, ktrego przebieg jest opisany funkcj zespolon czasu szum sygna losowy, z reguy szerokopasmowy, zakcajcy sygna uyteczny transformata Hilberta sygna otrzymany w wyniku przeksztacenia Hilberta danego sygnau trygonometryczny szereg Fouriera przedstawienie sygnau okresowego jako sumy waonej (w szczeglnych przypadkach skoczonej) sygnaw harmonicznych o czstotliwociach bdcych wielokrotnociami czstotliwoci podstawowej rwnej odwrotnoci okresu sygnau warto rednia, energia, moc, warto skuteczna sygnau parametry charakteryzujce sygna 30

Sownik wspczynnik wypenienia stosunek czasu trwania impulsu do okresu unipolarnej fali prostoktnej

31

Literatura[1] Shannon C.E.: A mathematical theory of communication. Bell Syst. Techn. Journal, vol. 27, July 1948. [2] Szabatin J.: Era informacyjna a teoria Shannona. Przegld Telekomunikacyjny, r. LXXIII, nr 4, 2000. [3] Szabatin J.: Podstawy teorii sygnaw. WKi, Warszawa, wyd. 3, 2000. [4] Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodw, tom III. WNT, Warszawa, 1995.

3