Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Iva Zupan

Teorija brojeva nakon srednjeg vijeka

Zavrsni rad

Osijek, 2012. godine

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Preddiplomski studij matematike

Iva Zupan

Teorija brojeva nakon srednjeg vijeka

Zavrsni rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

Osijek, 2012. godine

Sazetak: U zavrsnom radu cemo se baviti teorijom brojeva nakon srednjeg vijeka.

Teorija brojeva kao grana matematike dozivljava odredeni preporod nakon srednjeg

vijeka. Buduci da se mnogi rezultati teorije brojeva nisu uspjeli ukorijeniti u srednjem

vijeku, njihova ponovna otkrica nakon srednjeg vijeka ucinit ce ih bitnim. U prvom

dijelu cemo se upoznati s nastankom Pascalovog trokuta, formulama za permutacije i

kombinacije, te s Fermatovim najznacajnijim rezultatima. Naglasak cemo staviti na

Mali Fermatov teorem i Veliki Fermatov teorem. U drugom dijelu cemo definirati raci-

onalni pravokutni trokut, uociti njegova svojstva i primjene. Potom cemo ga povezati

s racionalnim tockama kubnih krivulja genusa 0 i genusa 1. Na samom kraju cemo

ukratko iznijeti najbitnije cinjenice iz zivota i rada Pierra Fermata.

Kljucne rijeci: Pascalov trokut, binomni koeficijent, Mali Fermatov teorem, Veliki

Fermatov teorem, Pitagorine trojke, racionalni pravokutni trokut, kubne krivulje, ge-

nus, elipticke funkcije

Abstract: In the final work we are going to introduce number theory after the Middle

Ages. Number theory as part od mathematics gets it’s own revival after the Middle

Ages. Many results of number theory failed to take a root in the Middle Ages, so

their rediscovery will make them important. In the first part we will introduce with

formation of Pascal’s triangle and formulas for permutations and combinations and

most important Fermat results. We will put emphasis on Fermat’s Little Theorem

and Fermat’s Last Theorem. In the second part we will define rational right-angled

triangles, his characteristics and use. After that, we will combine it with rational points

on cubics of genus 0 and genus 1. At the and we will state the most important facts

from Pierre Fermat life and work.

Key words: Pascal’s triangle, binomial coefficients, Fermat’s Little Theorem, Fer-

mat’s Last Theorem, Pythagorean triples, rational right-angled triangle, cubics, genus,

elliptic functions

Sadrzaj

1. Uvod 4

2. Izmedu Diofanta i Fermata 5

3. Fermatovi teoremi 8

4. Racionalni pravokutni trokuti 12

5. Racionalne tocke na kubnim krivuljama genusa 0 i genusa 1 15

6. Biografske biljeske: Fermat 20

4

1. Uvod

Kao sto je nekad starogrcka matematika svojim ostvarenjima veoma zasjenila sve

sto je u toj znanosti do tada ucinjeno, tako je novovjekovna matematika neusporedivo

nadmasila sve sto je u matematici do tada bilo ostvareno. I na podrucju teorije bro-

jeva su se dogodile znacajne promjene. Razvojem matematike nakon srednjeg vijeka

dolazimo do one razine kad odabiranje materijala o kojemu ce se raspravljati vise ne

mora biti motivirano iskljucivo njegovom vaznoscu, vec sve vise treba uzeti u obzir i

mogucnosti citaoca koji nije matematicar da ga razumije.

Na samom pocetku ovoga rada cemo vidjeti sto je sve Pascal ucinio kako bi razvio

Pascalov trokut. Kako je svoje radove povezao s matematickom teorijom vjerojatnosti,

ujedinio algebarsku i kombinatornu teoriju u jednom djelu, te koristio nove, kasnije vrlo

vazne metode dokazivanja.

Nakon toga cemo se koncentrirati na otkrica francuskog matematicara Fermata, a

njegovu biografiju cemo iznjeti na samom kraju ovog zavrsnog rada. Iskazat cemo Mali

Fermatov teorem, dokazati ga za n = 2 i prikazati njegovu vezu s kriptografijom. Na

slican nacin cemo obraditi i Veliki Fermatov teorem.

U drugoj polovici rada cemo pomocu Fermatovih ideja definirati racionalne pravo-

kutne trokute, izreci tvrdnje vezane za njih te ih dokazati. Na kraju cemo interpretirati

Fermatova rjesenja, u pogledu dokaza Velikog Fermatovog teorema, i povezati ih s ra-

nijim i kasnijim rezulatima. Nakon sto definiramo krivulje genusa 0 i genusa 1 zajedno

s njihovim parametrizacijama pomocu racionalnih fukcija pokusat cemo pronaci raci-

onalne tocke kubnih krivulja upravo i genusa 0 i 1.

5

2. Izmedu Diofanta i Fermata

Mnogi vazni rezultati teorije brojeva otkriveni su u srednjem vijeku, no nisu se

uspjeli ukorijeniti dok nisu ponovo otkriveni u 17. stoljecu ili kasnije. Medu njima

je i otkrice Pascalovog trokuta te Kineski teorem o ostatcima koji su otkrili kineski

matematicari i formule za permutacije i kombinacije koje je otkrio Levi ben Gershon

(1321). Kineski teorem o ostatcima se nije ponovo pojavljivao u svojoj danasnjoj verziji

sve do nakon perioda o kojem cemo raspravljati u ovom radu. S druge strane, Pascalov

trokut se poceo razvijati u 17. stoljecu nakon dugog mirovanja, tako da je zanimljivo

vidjeti sto se o njemu znalo u srednjem vijeku i sto je Pascal napravio da ga ozivi.

Kinezi su koristili Pascalov trokut za generiranje i razvrstavanje binomnih koeficije-

nata, tj. koeficijenata koji se pojavljuju u sljedecim formulama:

(a + b)1 = a + b(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

(a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7

Kada su binomni koeficijenit razvrstani kao ovi (sa trivijalnim redom 1 dodanim

na vrh, koji odgovara (a + b)0),

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

k-ti element

(n

k

)n-tog retka je suma

(n− 1

k − 1

)+

(n− 1

k

)dva elementa iznad njega

u (n− 1) om retku, kao sto slijedi iz formule

(a + b)n = (a + b)n−1 · a + (a + b)n−1 · b.

6

Trokut se pojavljuje do dubine 6 u radu Yang Huıa (oko 1261) i do dubine 8 u radu

Zhu Shijie(oko 1303) (Slika 2.1). Yang Huı pripisuje trokut Jia Xianu, koji je zivio u

11. stoljecu.

Slika 2.1. Trokut Zhu Shijiea

Broj

(n

k

)se pojavljuje u srednjovjekovnim hebrejskim zapisima kao broj kombina-

cija od n stvari uzetih k puta. Levi ben Gershon (1321) daje formulu(n

k

)=

n!

(n− k)!k!.

Zajedno sa cinjenicom da ima n! permutacija od n elemenata. U njegovom postupa-

nju sa permutacijama i kombinacijama Levi ben Gershon dolazi jako blizu koristenju

matematicke indukcije, ako ne i samom njenom izumu. Kako mi sad formuliramo

ovu metodu dokazivanja, svojstvo P (n) prirodnih brojeva n je dokazano da vrijedi

za sve n ako se moze dokazati P (1) (baza) i, za proizvoljan n, se moze dokazati da

P (n)⇒ P (n + 1) (korak indukcije).

Rabinovich (1970) je napravio izlaganje nekih dokaza Levi ben Gershona koji jasno

pokazuju podjelu na bazu i korak indukcije, no korak indukcije treba dodatne biljeske

da postane dokaz za stvarno proizvoljan n. Levi ben Gershon ne kaze Neka je dano

n elemenata a, b, c, d, . . . e kao sto bi mi, nego Neka su elementi a, b, c, d, e jer u to

vrijeme nije poznavao tzv. trotocku.

7

S obzirom na ove odlicne rezultate, zasto zovemo tablicu binomnih koeficijenata

Pascalov trokut?

To, naravno, nije jedini put da se matematicki koncept nazove prema ponovnom ot-

krivatelju nego o izvornom, ali u svakom slucaju Pascal ima zasluge za vise nego samo

ponovo otrice. U svom Traite du trinagle arithmetique, Pascal je ujedinio algebarsku

i kombinatornu teoriju pokazujuci da se elementi aritmetickog trokuta mogu interpre-

tirati na dva nacina: kao koeficijenti an−kbk u (a + b)n i kao broj kombinacija od n

stvari uzetih k puta. Ustvari, pokazao je da je (a + b)n funkcija stvaranja za broj

kombinacija. Kao primjenu, osnovao je matematicku teoriju vjerojatnosti rjesavajuci

problem podjele uloga, a kao metodu dokazivanja koristio je matematicku indukciju

po prvi put na stvarno svjestan i nedvosmislen nacin. Sve u svemu, poprilicno velik

napredak!

Odlazeci na Pascalov rad u 1654. preskocili smo kraj perioda u teoriji brojeva prije

Fermata, posto je Fermat vec 1630-ih bio aktivan u tom podrucju. Medutim, prikladno

je imati neku pozadinu o uspostavljanju binomnih koeficijenata, posto se Fermatov

raniji rad pojavljuje u tom vremenu.

8

3. Fermatovi teoremi

Najpoznatiji teorem koji je Fermat dokazao (1640), koji je poznat kao njegov mali

ili slabiji teorem, kako bi se razlikovao od njegovog posljednjeg ili velikog teorema, je

sljedeci:

Teorem 3.1 (Mali Fermatov teorem) Ako je p prost, a n relativno prost s p, onda

vrijedi

np−1 ≡ 1 (mod p).

Ekvivalentne formulacije, koje izbjegavaju koristenje kongruentno mod p, jezika nepoz-

natog u Fermatovo vrijeme, su

np−1 − 1

je djeljivo sa p ili

np − n

je djeljivo sa p.

Navedeno vrijedi jer np − n = n(np−1 − 1) je djeljivo sa p samo ako je np−1 − 1 dje-

ljivo sa p, jer je p prost i ne dijeli n. Mali Fermatov teorem je nedavno postao nuzan

u odredenim podrucjima primjenjene matematike, kao kriptografiji, tako da potice na

razmisljanje kad se sazna da je proizasao iz jednog od najmanje primjenjivih problema

u matematici, konstrukcija savrsenih brojeva, sto ovisi o konstrukciji prostih brojeva iz

oblika 2m − 1. Prvenstveno se zbog toga Fermat zainteresirao za uvjete da 2m − 1 ima

djelitelje. U isto vrijeme (sredina 1630-ih) istrazivao je binomne koeficijente, i kombi-

nacija ova dva interesa je navjerojatnije dovela do otkrica njegovog malog teorema, za

n = 2 .

Pravi izvorni dokaz Fermatovog malog teorema je nepoznat, no razliciti su autori

istaknuli da teorem odmah slijedi iz cinjenice da su

(p

1

),

(p

2

), . . . ,

(p

p− 1

)za proste

p, djeljivi sa p:

2p = (1 + 1)p = 1 +

(p

1

)+

(p

2

)+ . . . +

(p

p− 1

)+ 1

odakle

2p − 2 =

(p

1

)+

(p

2

)+ . . . +

(p

p− 1

)je djeljivo sa p, te stoga i 2p−1 − 1.

No kako dokazati da je

(p

1

),

(p

2

), . . . ,

(p

p− 1

)djeljivo sa p? To slijedi lako iz Levi

ben Gershonove formule (p

k

)=

p!

(p− k)!k!,

9

koja pokazuje da je p faktor brojnika, ali ne i nazivnika. Nazivnik svejedno dijeli

brojnik, buduci da je

(p

k

)cijeli broj, tako da faktor mora ostati citav nakon djeljenja.

Fermat vjerojatno nije imao tocno taj rezultat, buduci da jos nije imao Pascalovu

kombinatornu interpretaciju binomnih koeficijenata, ali je imao formulu

n

(n + m− 1

m− 1

)= m

(n + m− 1

m

),

koja ga implicira i iz koje se moze izvesti svojstvo djeljivosti.

Dosad imamo dokaz malog Fermatovog teorema za n = 2. Weil (1984) predlaze

dva moguca puta do opceg teorema. Prvi je preko iteracija binomnog teorema, metode

koju je Euler (1736) koristio u prvom objavljivanju dokaza Fermatovog teorema. Drugi

je direktna primjena multinomnog teorema, metoda najranije znanog dokaza, koja se

nalazi u Leibnizovom neobjavljenom radu iz kasnijih 1670-ih.

Kao sto je koeficijent od ap−kbk u (a + b)p jednakp!

(p− k)!k!, tako je koeficijent

od aq11 aq22 . . . aqnn u (a1 +a2 + . . .+an)p jednak

p!

q1!q2! . . . qn!, gdje je q1 + q2 + . . .+ qn = p

Ovaj multinomni koeficijent je djeljiv sa p, zbog istog razloga kao i prije, po-

drazumijevajuci da nijedan qi = p. Stoga su svi koeficijenti osim aq11 aq22 · · · aqnn u

(a1 + a2 + . . . + an)p djeljivi sa prostim brojem p. Slijedi, zamjenom svih n uvjeta

a1, a2, . . . , an sa 1, da

(1 + 1 + . . . + 1)p = 1p + 1p + . . . + 1p

plus uvjeti djeljivi sa p, da je np − n djeljivo sa p. Tada ako je n relativno prost sa

p (dakle nije djeljiv sa p), slijedi da je (np−1 − 1) djeljivo sa p, ili opci Mali Fermatov

teorem.

S druge strane, nemoguce je zapisati kub kao sumu dva kuba ili cetvrtu potenciju kao

sumu dvije cetvrte potencije ili, opcenito, bilo koju potenciju koja je veca od dva zapi-

sati kao sumu dviju jednakih potencija. Imam prekrasan dokaz te propozicije za koju

je ova korica premala. [Fermat]

Ova primjedba, napisana na korici kopije Bachetovog Diofanta dok je kasnih 1660-ih

proucavao taj rad, je druga stavka u Fermatovom Promatranju Diofanta, publiciranom

nakon smrti, 1670. Fermat je odgovarao na Diofantovu obradu problema izrazavanja

kvadrata kao sume dva kvadrata. To je problem pronalazenja Pitagorinih trojki (a, b, c)

ili, ekvivalentno, pronalazenja racionalnih tocki (a

c,b

c)na kruznici x2 + y2 = 1.

10

Teorem 3.2 (Veliki Fermatov teorem) Ne postoji uredena trojka prirodnih brojeva

(a, b, c) za koju vrijedi

an + bn = cn,

gdje je n prirodan broj veci od 2.

Veliki Fermatov teorem postao je najpoznatiji problem u matematici. Mnogi mate-

maticari su pridonijeli rjesenju za odredene vrijednosti od n: Euler za n = 3 , sam

Fermat za n = 4 , Legendre i Dirichlet za n = 5 , Lame za n = 7 , Kummer za sve

proste n < 100 osim 37, 59, 67. Svakako je dovoljno dokazati teorem za proste potencije,

buduci da kontraprimjer

an + bn = cn

za slozene potencije n = mp, gdje je p prost, bi takoder bio kontraprimjer

(am)p + (bm)p = (cm)p

za prostu potenciju p.

Nakon Kummera, nije bilo napretka do 1980-ih, kada su se javila dva nova pris-

tupa. Faltings je pokazao da za svaku potenciju n postoji najvise konacno mnogo

kontraprimjera za Veliki Fermatov teorem. To je posljedica Faltingsovog generalnijeg

teorema, rjesavanje Mordellove pretpostavke, da svaka krivulja genusa > 1 ima najvise

konacno mnogo racionalnih tocaka.

Za sada cemo spomenuti da Fermatova krivulja

x2 + y2 = 1

ima genus 0 za n = 2 , genus 1 za n = 3 i genus > 1 inace. Stoga je Faltingsov teorem

pokazao da Fermatova krivulja moze imati najvise konacno mnogo racionalnih tocaka

(i stoga an + bn = cn moze imati najvise konacno mnogo cjelobrojnih rjesenja) u jos

nerjesenim slucajevima.

Drugi pristup je pokrenuo Frey (1986), napravivsi nevjerojatan prijedlog da

an + bn = cn

Velikom Fermatovu teoremu moze implicirati nesto nemoguce o kubnoj krivulji

y2 = x(x− an)(x + bn).

U to vrijeme, ovo svojstvo zvano nemodularnost se samo pretpostavljalo ne-

mogucim, i nije se znalo da je implicirano kontraprimjerom Velikog Fermatovog te-

orema. Medutim, 1990. Ribet je dokazao da kontraprimjer implicira nemodularnost,

11

a 1994. Andrew Wiles je dokazao da je nemodularnost nemoguca za kubne krivulje

gornjeg oblika. Tako da niti jedan kontraprimjer za Veliki Fermatov teorem ne moze

postojati.

Bio je dramatican preokret ovom zavrsetku poglavlja u prici o Velikom Fermatovom

teoremu, jer je Wiles prvi put objavio rezultate 1993. (nakon sedam rada u osami), da

bi otkrio unutar par mjeseci da postoji ozbiljan propust u dokazu. Medutim, uz pomoc

Richarda Taylora, propust je dopunjen 1994. i cijeli dokaz je objavljen 1995. Dokaz je

jako sofisticiran, ali barem mozemo objasniti opce postavke kubnih krivulja i eliptickih

funkcija.

12

4. Racionalni pravokutni trokuti

Povrsina pravokutnog trokuta cije su strane racionalni brojevi ne moze biti kvadratni

broj. Ovu propoziciju, koja je moje otkrice, sam uspio opsirno dokazati, iako ne bez

puno rada i dugog razmisljanja. Dajem dokaz ovdje, jer ce ova metoda omoguciti ne-

vjerojatan razvoj u teoriji brojeva. [Fermat]

To je broj 45 od Fermatovih Promatranja Diofanta, koji odgovara na problem

koji je postavio Bachet: naci pravokutan trokut cija je povrsina jednaka danom broju.

Promatranje je vazno ne samo zbog teorema i najavljene metode, nego zato sto ga sli-

jedi jedini razumni dovrsen dokaz koji je Fermat ostavio u teoriji brojeva. Kao bonus

dokaz neizravno rjesava Veliki Fermatov teorem za n = 4 i odlican je za ilustriraciju

njegove metode za beskonacni spust, koja je doista dovela do nevjerojatnog razvoja u

teoriji brojeva. U onome sto slijedi, izjave koje sacinjavaju Fermatov dokaz, javljajuci

se uvuceno kao citat gore, su prosirene i izrazene koristeci moderne biljeske prateci

Zeuthenovu rekonstrukciju. Koristimo Fermatov prijevod, koji nam je dao Heath u

svojoj verziji rekonstrukcije.

Ako bi povrsina pravokutnog trokuta bila kvadrat, onda bi postojala dva bikvadrata cija

bi razlika bila kvadratni broj. Stoga, postojala bi dva kvadratna broja te njihova suma

i razlika bi bili kvadrat.

Uzimajuci prikladnu jedinicu duljine, mozemo izraziti strane racionalnog pravokut-

nog trokuta kao Pitagorine trojke relativno prostih cijelih brojeva p2− q2, 2pq, p2 + q2.

Buduci da im je najveci zajednicki djelitelj jednak 1, onda je takoder i (p, q) = 1.

Stoga, kako je 2pq paran, p2 − q2 i njegovi faktori p + q, p − q moraju biti neparni.

Takoder, nijedna dva p, q, p+ q, p− q nemaju zajednickog prostog djelitelja inace bi p,

q imali. Onda, ako je povrsina pq(p + q)(p − q) kvadrat, svi njeni faktori isto moraju

bit kvadrati:

p = r2, q = s2, p + q = r2 + s2 = t2, p− q = r2 − s2 = u2 (1)

Stoga su suma i razlika kvadrata r2,s2 isto kvadrati, pa je

r4 − s4 = (r2 + s2)(r2 − s2) = t2u2 = v2.

Stoga, trebali bi imati kvadrat broja koji bi bio jednak sumi kvadrata jednog i dvostru-

kog kvadrata drugog broja, dok kvadrati od kojih je ova suma sacinjena bi sami imali

kvadratni broj za svoju sumu.

13

Iz (1) imamo

t2 − u2 = 2s2, (2)

tj.

t2 = u2 + 2s2

Takoder iz (1) dobivamo

u2 + s2 = r2.

No ako je kvadrat napravljen od kvadrata jednog i dvostrukog kvadrata drugog broja,

njegova strana, sto mogu lagano dokazati, je isto napravljena od kvadrata jednog i dvos-

trukog kvadrata drugog broja.

Buduci da je (t + u)(t − u) = t2 − u2 = 2s2, iz (2), (t + u)(t − u) parno. Tada je

jedan od t + u, t− u paran, iz cega slijedi da je i drugi. Stavimo da je

t + u = 2w, (3)

t− u = 2x.

Tada je

s2 =(t + u)(t− u)

2= 2wx.

Gledajuci unatrag kroz (3),(2),(1) vidimo da bi svaki zajednicki djelitelj od w, x

isto bio zajednicki djelitelj za t, u, t2, u2, r2, s2 i stoga za p, q. Prema tome su w,x

relativno prosti i stoga, buduci da je wx dvaput kvadrat, imamo ili

w = y2, x = 2z2

ili

w = 2z2, x = y2.

U svakom slucaju,

t = w + x = y2 + 2z2. (4)

Iz ovoga zakljucujemo da je uzeta stranica jednaka sumi stranica oko pravog kuta u

pravokutnom trokutu, i da je jednostavni kvadrat sadrzan u sumi njegove baze, a dvos-

truki kvadrat drugog broja okomica.

14

Ako pustimo da y2, 2z2 budu stranice pravokutnog trokuta onda hipotenuza h zado-

voljava

h2 = (y2)2 + (2z2)2 =(y2 + 2z2)2 + (y2 − 2z2)2

2=

t2 + u2

2= r2.

Stoga h = r i trokut je racionalan.

Ovaj pravokutan trokut je tako napravljen od dva kvadrata te sume i razlike koji ce

bit kvadrati. No oba ta kvadrata mogu biti prikazani kao manji nego sto smo pretpos-

tavili u pocetku tako da su oboje, njihova suma i razlika, kvadrati.

Pocetni kvadrati sa sumom i razlikom jednakom kvadratima su p = r2, q = s2,

koji su proizasli iz okomitih stranica p2 − q2 i 2pq pravokutnog trokuta za ciju se

povrsinu pretpostavilo da je kvadratna. Sada imamo racionalan (ustvari cjelobrojan)

pravokutan trokut sa okomitim stranicama y2, 2z2 cija povrsina y2z2 je isto kvadratna.

Ovaj trokut je manji, buduci da mu je hipotenuza r manja od strane 2pq pocetnog

trokuta, i stoga daje manji par (cjelobrojnih) kvadrata p′, q′, cija su suma i razlika,

kvadrati.

Stoga, ako postoje dva kvadrata takva da su suma i razlika oboje kvadrati, onda ce

postojati dva druga cjelobrojna kvadrata sa istim svojstvom, ali manjom sumom. Istim

zakljucivanjem pronalazimo sumu manju od prosle pronadene, i mozemo tako ici u be-

skonacnost pronalazeci cjelobrojne kvadratne brojeve manje i manje sa istim svojstvom.

To je, medutim, nemoguce jer ne moze postojati beskonacan niz brojeva manjih od bilo

kojeg cijelog broja.

Ova kontradikcija znaci da je pocetna pretpostavka o racionalnom pravokutnom

trokutu sa kvadratnom povrsinom bila pogresna. Verzije Zeuthena i Heatha nastav-

ljaju se izravnije na kontradikciju nego Fermat, promatrajuci da se silazak od pocetnog

hipotetskog trokuta do onog sa povrsinom y2z2 moze iterirati tako da daje beskonacan

padajuci niz cjelobrojnih povrsina.

Logicki princip ukljucen u Fermatovu metodu spusta je naravno isti kao onaj po

kojem se temelji matematicka indukcija: bilo koji skup prirodnih brojeva ima najmanji

clan. Medutim, okolnosti u kojima se ove dvije metode mogu primjeniti su poprilicno

razlicite. Kod indukcije je potrebno imati pogodnu hipotezu pomocu koje ce se napra-

viti korak indukcije; sa silaskom je potrebno imati dovoljnu kolicinu po kojoj se silazi.

U praksi, silazak je puno posebnija metoda, te je povezana sa geometrijskim svojstvima

odredenih krivulja. Opci problem koji je podigao Bachet odlucivanje koji su brojevi n

povrsine racionalnih pravokutnih trokuta je u stvari usko povezan sa teorijom krivlja

1. reda, a njihov nedavni preporod je predivno pokrio Koblitz.

15

5. Racionalne tocke na kubnim krivuljama genusa

0 i genusa 1

Moze se sumnjati da je Fermat imao tocan dokaz Velikog Fermatovog teorema zato

jer se vecina njegovih radova bave krivuljama malog stupnja (≤ 4) i vrlo je nevjero-

vatno da je mogao predvidjeti Freyevu redukciju Fermatovog problema n-tog stupnja

na pitanje o kubnim krivuljama. Doduse, ne znamo sa sigurnoscu koje su bile Fer-

matove metode, a on nije pricao u pogledu trazenja racionalnih tocaka na krivuljama.

Ipak, ovo je najprirodniji nacin interpretacije njegovih rjesenja diofantskih jednadzbi

i povezivanja u istom duhu sa ranijim i kasnijim rezultatima kao Diofant i Euler, re-

dom. Upoznati samo s metodama pronalaska racionalnih tocaka na krivuljama 2. i 3.

stupnja. Sada cemo ih ponovo ispitati iz pogleda genusa, koji postaju sve vazniji kako

uzimamo u obzir krivulje veceg stupnja. U ovom odjeljku se ogranicavamo na genus 0.

Jedno od svojstava krivulje 2. stupnja (neka se zove C) jest da racionalan pra-

vac (neka se zove L) koji prolazi kroz racionalnu tocku (neka se zove P ) na krivulji C

sjiece krivulju C u drugoj racionalnoj tocki, pod pretpostavkom da jednadzba krivulje

C ima racionalne koeficijente. Ujedno, rotacijom pravca L oko C dobivamo sve raci-

onalne tocke Q na C. Postoji jos jedna vazna posljedica ove konstrukcije koja ne ovisi

o racionalnosti krivulje C ili pravca L. Ta je da izrazavanjem x, y koordinata tocke Q

u smislu koeficijenta smjera t pravca L dobivamo parametrizaciju krivulje C pomocu

racionalnih funkcija (podsjetimo se da racionalna funkcija ne mora imati racionalne

koeficijente).

Slika 5.1. Parametrizirana kruznica

Na primjer, ova konstrukcija na kruznici x2 + y2 = 1 daje parametrizaciju

x =1− t2

1 + t2,

16

y =2t

1 + t2,

kao sto je vidljivo na Slici 5.1.

Krivulje genusa 0 se mogu definirati kao one koje je moguce parametrizirati ra-

cionalnim funkcijama. Sada cemo pokazati da krivulje genusa 0 ukljucuju neke kubne

krivulje primjenjujuci slicnu konstrukciju na Descartesov list.

Descartesov list je definiran jednadzbom:

x3 + y3 = 3axy. (5)

Ishodiste O je ocita racionalna tocka na listu; stovise O je dvostruka tocka krivulje,

kao sto prikazuje Slika 5.2. Stoga, prolaskom pravca y = tx kroz ishodiste O dobivamo

tocku P , a za razliciti t dobivamo sve tocke P na krivulji. Pronalazeci koordinate tocke

P kao funkcije od t, dobivamo parametrizaciju.

Da bi nasli P supstituiramo y = tx u (5) i dobivamo

x3 + t3x3 = 3axtx

odakle slijedi

x(1 + t3) = 3at

Slika 5.2: Parametrizacija Descartesovog lista

i

x =3at

1 + t3, (6)

i stoga

y =3at2

1 + t3. (7)

Slicna konstrukcija se primjenjuje za svaku kubnu funkciju sa dvostrukom tockom,

17

ili opcenitije za svaku krivulju n + 1 stupnja sa n-terostrukom tockom; stoga su sve

takve krivulje genusa 0.

Ne mozemo jos dati tocnu definiciju genusa 1, no stvar je da je ovo red svih kubicnih

krivulja koje nisu genusa 0. Znamo da kubne krivulje 1. reda ne mogu imati dvostruke

tocke, u stvari ne mogu imati ni vrhove jer oba slucaja vode racionalnoj parametriza-

ciji. Jos trebamo izloziti funkcije koje parametriziraju kubne krivulje genusa 1. Takve

funkcije, npr. elipticka funkcija, nisu bile definirane do 19. stoljeca i prvi ih je koristio

Clebsch za parametrizaciju kubnih funkcija.

Mnogi tragovi za postojanje eliptickih funkcija su bili poznati i prije ovoga, ali

u pocetku su pokazivali u drugom smjeru. Prvenstveno je bila zagonetka kako su

Diofant i Fermat kreirali rjesenja Diofantskih jednadzbi. Newtonova interpretacija nji-

hovih rezultata pomocu tetivno-tangentne konstrukcije rjesila je prvu zagonetku ili

bi rijesila da je netko primjetio tada. No prije nego su matematicari postali svjesni

tetivno-tangentne konstrukcije, morali su objasniti neke zbunjujuce veze izmedu inte-

grala funkcija kao1√

ax3 + bx2 + cx + d, koje su pronasli Fagnano i Euler. Konacno je

Jacobi (1834) primjetio da tetivno-tangentna konstrukcija objasnjava ovu zagonetku.

Jacobijevo objasnjenje je bilo zagonetno i, iako su elipticke funkcije bile poznate tada u

spoju sa integralima, nisu bile u potpunosti uvucene u teoriju brojeva i teoriju krivulja

do pojavljivanja Poincare (1901).

O analitickom podrijetlu eliptickih funkcija trenutacno za sada necemo reci nista.

Nego cemo se pripremiti za povezivanje s ovom teorijom deriviranjem algebarskih veza

izmedu kolinearnih tocaka na kubnoj krivulji.

Pocet cemo sa Newtonovim oblikom jednadzbe za kubnu krivulju:

y2 = ax3 + bx2 + cx + d (8)

Slika 5.3 pokazuje ovu krivulju kad je y = 0 za tri izrazite realne vrijednosti x.

18

Slika 5.3: Kolinearne tocke na kubicnoj krivulji

Znamo da ako su a,b,c,d racionalni brojevi i ako su P1, P2 racionalne tocke na

krivulji, onda pravac kroz P1, P2 sijece krivulju u trecoj racionalnoj tocki P3. Ako je

jednadzba pravca

y = tx + k, (9)

onda je rezultat supstitucije (9) u (8) jednadzba

ax3 + bx2 + cx + d− (tx + k)2 = 0 (10)

za x koordinate x1, x2, x3 od tri tocke P1, P2, P3. No ako su korijeni od (9) x1, x2, x3,

njena lijeva strana mora imati oblik

a(x− x1)(x− x2)(x− x3)

Posebno, koeficijent od x2 mora biti

−a(x1 + x2 + x3).

Usporedujuci to sa stvarnim koeficijentom od x2 u (9), nalazimo

b− t2 = −a(x1 + x2 + x3),

stoga

x3 = −(x1 + x2)−b− t2

a, (11)

Ako P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2), onda t =y2 − y1x2 − x1

i uvrstavanjem toga u (11) napokon

dobivamo

x3 = −(x1 + x2)−b−

( y2 − y1x2 − x1

)2

a, (12)

19

dobivajuci x3 kao eksplicitnu racionalnu kombinaciju koordinata od P1 i P2. Ako su

P1 i P2 racionalne tocke, onda (12) pokazuje da je x3 (i stoga i y3 = tx3 + k) isto

racionalna, kao sto smo znali.

Sto je neocekivano jest da je (12) ujedno i teorem sume za elipticke funkcije. To

ima posljedicu da se krivulja moze parametrizirati eliptickom funkcijom x = f(u), y =

g(u) tako da je (12) tocno jednadzba koja izrazava x3=f(u1+u2) u terminima f(u1) =

x1, f(u2) = x2, g(u1) = y1, f(u2) = y2 . Tako da pravocrtna konstrukcija x3 pomocu x1

i x2 se moze interpretirati kao zbrajanje parametarskih vrijednosti, u1 i u2 od x1 i x2.

Prve teoreme o zbrajanju parametarskih vrijednosti otkrili su Fagnano i Euler pomocu

transformacije integrala. Euler je shvatio da ima veza izmedu takvih transformacija i

teorije brojeva, ali nikad nije mogao dokuciti. Cak i prije, Leibniz je sumnjao u takvu

vezu kad je napisao:

Ja... se sjecam da sam predlozio (sto moze izgledati cudno nekima) da napredak u

nasem integralnom racunu ovisi dobrim djelom o razvoju takvog tipa aritmetike s ko-

jom je, kako dosad znamo, Diofant prvi postupao sistematski. [Leibniz]

Jacobi (1834) je ocito vidio vezu prvi puta nakon primitka sveska Eulerovih ra-

dova o transformaciji integrala, no trebala je poprilicno objasnjenje eliptickih funkcija

prije nego je Jacobijev uvid postao opce dostupan.

20

6. Biografske biljeske: Fermat

Pierre Fermat (Slika 6.1) je roden u Beaumontu, pored Toulouse, 1601., a umro

je u Castresu, takod pored Toulousea, 1665. Njegov zivot nije poznat u detalje kao i

njegova matematika no izgleda da je bio relativno jednolican. Fermatov otac, Domi-

nique, bio je bogati trgovac i odvjetnik, a njegova je majka, Claire de Long, dolazila iz

ugledne obitelji. Imali su dva sina i dvije kcerke. Pierre je pohadao skolu u Beaumontu,

zapoceo studij na sveucilistu u Toulouseu i zavrsio ga sa diplomom iz prava u Orleansu

1631. Tako da je Fermatov akademski napredak bio sve samo ne brz, ne zbog toga

sto mu je matematika odvracala paznju. Koliko znamo, njegov najraniji matematicki

rad je bila analiticka geometrija 1629., a po Weilovom (1984) misljenju, njegova teorija

brojeva nije sazrila dok Fermat nije bio u kasnim 30-ima.

Iz dostupnih dokaza, izgleda da je Fermat prkosio uobicajenim klisejima o ma-

tematickim genijima: nije poceo rano, nije radio strastvenim intenzitetom i opcenito

nije bio voljan objaljivati svoje rezultate (iako se nekad hvalio s njima). Istina je da se

malo matematicara Fermatovog vremena bavilo matematikom da zaradi za zivot, ali

Fermat je bio pravi amater. Izgleda da matematika nikad nije uzrokovala neki prekid

u njegovom profesionalnom zivotu.

Ustvari, nakon sto je dobio diplomu iz prava 1631. ozenio je daljnju rodakinju s

majcine strane, Louise de Long, pokupio izadsan miraz, i smjestio se u lagodnu pravnu

karijeru. Njegov polozaj mu je omogucio da ga se oslovljava sa Monsieur de Fermat,

odakle ime Pierre de Fermat po kojem je sad poznat. On i Louise su imali petero djece,

od kojih je najstariji, Clement-Samuel, uredivao oceve matematicke radove. Vjerojatno

najdramaticnije i zastrasujuce iskustvo u Fermatovu zivotu je bilo oboljevanje od kuge

tokom njenog izbijanja u Toulouseu 1652. i 1653. U pocetku su javili da je umro, ali

je bio medu sretnom nekolicinom koji su se oporavili.

Tokom 1660-ih Fermat je bio slabijeg zdravlja. Sastanak sa Pascalom se morao

otkazati jer nijedan od njih nije bio dovoljno dobro za putovanje. Kao rezultat, Fermat

je propustio jedinu sansu da upozna znacajnijeg matematicara. Nikad nije putovao

daleko od Toulouse i sav njegov rad je obavljen dopisivanjem, vecinom sa clanovima

Mersennskog kruga u Parizu. Nakon 1662. njegova pisma su se prestala odnositi na

znanstveni rad, no potpisivao je pravne dokumente do tri dana prije smrti. Umro je u

Castresu dok je bio na sudskom krugu, i tamo je i pokopan. Medutim, njegovi ostaci

su 1675. prebaceni u kriptu obitelji Fermat u Augustinsku crkvu u Toulouse.

Fermatovo ocigledno odbijanje stavljanja matematike ispred svoj profesije cini du-

binu i sirinu njegovih matematickih uspjeha jos zbunjujucim. Mozda nikad necemo

21

znati dovoljno o Fermatu da shvatimo njegove matematicke misli, no pokusaji koji

su dosad napravljeni podizu nadu da se moze napraviti jos. Mahoney daje pregled

cijele Fermatove matematike, no ne uspijeva sasvim pojasniti Fermatovu teoriju bro-

jeva. Weil, s druge strane, daje brilijantnu analizu Fermatove teorije brojeva, no drugi

aspekti Fermatove matematike se ipak jos moraju dodatno analizirati.

Slika 6.1: Pierre Fermat

22

Literatura

[1] F. M. Bruckler, Matematicki dvoboji, Math.e, 4 (2005)

dostupno na http://e.math.hr/dvoboji/index.html

[2] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer-Verlag, New York, 2002.

[3] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Fermat.html

[4] http://ahyco.ffri.hr/seminari2007/povijestmatematike/literatura.htm