Teorija brojeva nakon srednjeg vijeka - mdjumic/uploads/diplomski/ŽUP01.pdf · Sveu cili ste J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Iva Zupan

  • View
    228

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Teorija brojeva nakon srednjeg vijeka - mdjumic/uploads/diplomski/ŽUP01.pdf · Sveu cili ste J.J....

  • Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

    Odjel za matematiku

    Preddiplomski studij matematike

    Iva Zupan

    Teorija brojeva nakon srednjeg vijeka

    Zavrsni rad

    Osijek, 2012. godine

  • Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

    Odjel za matematiku

    Preddiplomski studij matematike

    Iva Zupan

    Teorija brojeva nakon srednjeg vijeka

    Zavrsni rad

    Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matic

    Osijek, 2012. godine

  • Sazetak: U zavrsnom radu cemo se baviti teorijom brojeva nakon srednjeg vijeka.

    Teorija brojeva kao grana matematike dozivljava odredeni preporod nakon srednjeg

    vijeka. Buduci da se mnogi rezultati teorije brojeva nisu uspjeli ukorijeniti u srednjem

    vijeku, njihova ponovna otkrica nakon srednjeg vijeka ucinit ce ih bitnim. U prvom

    dijelu cemo se upoznati s nastankom Pascalovog trokuta, formulama za permutacije i

    kombinacije, te s Fermatovim najznacajnijim rezultatima. Naglasak cemo staviti na

    Mali Fermatov teorem i Veliki Fermatov teorem. U drugom dijelu cemo definirati raci-

    onalni pravokutni trokut, uociti njegova svojstva i primjene. Potom cemo ga povezati

    s racionalnim tockama kubnih krivulja genusa 0 i genusa 1. Na samom kraju cemo

    ukratko iznijeti najbitnije cinjenice iz zivota i rada Pierra Fermata.

    Kljucne rijeci: Pascalov trokut, binomni koeficijent, Mali Fermatov teorem, Veliki

    Fermatov teorem, Pitagorine trojke, racionalni pravokutni trokut, kubne krivulje, ge-

    nus, elipticke funkcije

  • Abstract: In the final work we are going to introduce number theory after the Middle

    Ages. Number theory as part od mathematics gets its own revival after the Middle

    Ages. Many results of number theory failed to take a root in the Middle Ages, so

    their rediscovery will make them important. In the first part we will introduce with

    formation of Pascals triangle and formulas for permutations and combinations and

    most important Fermat results. We will put emphasis on Fermats Little Theorem

    and Fermats Last Theorem. In the second part we will define rational right-angled

    triangles, his characteristics and use. After that, we will combine it with rational points

    on cubics of genus 0 and genus 1. At the and we will state the most important facts

    from Pierre Fermat life and work.

    Key words: Pascals triangle, binomial coefficients, Fermats Little Theorem, Fer-

    mats Last Theorem, Pythagorean triples, rational right-angled triangle, cubics, genus,

    elliptic functions

  • Sadrzaj

    1. Uvod 4

    2. Izmedu Diofanta i Fermata 5

    3. Fermatovi teoremi 8

    4. Racionalni pravokutni trokuti 12

    5. Racionalne tocke na kubnim krivuljama genusa 0 i genusa 1 15

    6. Biografske biljeske: Fermat 20

  • 4

    1. Uvod

    Kao sto je nekad starogrcka matematika svojim ostvarenjima veoma zasjenila sve

    sto je u toj znanosti do tada ucinjeno, tako je novovjekovna matematika neusporedivo

    nadmasila sve sto je u matematici do tada bilo ostvareno. I na podrucju teorije bro-

    jeva su se dogodile znacajne promjene. Razvojem matematike nakon srednjeg vijeka

    dolazimo do one razine kad odabiranje materijala o kojemu ce se raspravljati vise ne

    mora biti motivirano iskljucivo njegovom vaznoscu, vec sve vise treba uzeti u obzir i

    mogucnosti citaoca koji nije matematicar da ga razumije.

    Na samom pocetku ovoga rada cemo vidjeti sto je sve Pascal ucinio kako bi razvio

    Pascalov trokut. Kako je svoje radove povezao s matematickom teorijom vjerojatnosti,

    ujedinio algebarsku i kombinatornu teoriju u jednom djelu, te koristio nove, kasnije vrlo

    vazne metode dokazivanja.

    Nakon toga cemo se koncentrirati na otkrica francuskog matematicara Fermata, a

    njegovu biografiju cemo iznjeti na samom kraju ovog zavrsnog rada. Iskazat cemo Mali

    Fermatov teorem, dokazati ga za n = 2 i prikazati njegovu vezu s kriptografijom. Na

    slican nacin cemo obraditi i Veliki Fermatov teorem.

    U drugoj polovici rada cemo pomocu Fermatovih ideja definirati racionalne pravo-

    kutne trokute, izreci tvrdnje vezane za njih te ih dokazati. Na kraju cemo interpretirati

    Fermatova rjesenja, u pogledu dokaza Velikog Fermatovog teorema, i povezati ih s ra-

    nijim i kasnijim rezulatima. Nakon sto definiramo krivulje genusa 0 i genusa 1 zajedno

    s njihovim parametrizacijama pomocu racionalnih fukcija pokusat cemo pronaci raci-

    onalne tocke kubnih krivulja upravo i genusa 0 i 1.

  • 5

    2. Izmedu Diofanta i Fermata

    Mnogi vazni rezultati teorije brojeva otkriveni su u srednjem vijeku, no nisu se

    uspjeli ukorijeniti dok nisu ponovo otkriveni u 17. stoljecu ili kasnije. Medu njima

    je i otkrice Pascalovog trokuta te Kineski teorem o ostatcima koji su otkrili kineski

    matematicari i formule za permutacije i kombinacije koje je otkrio Levi ben Gershon

    (1321). Kineski teorem o ostatcima se nije ponovo pojavljivao u svojoj danasnjoj verziji

    sve do nakon perioda o kojem cemo raspravljati u ovom radu. S druge strane, Pascalov

    trokut se poceo razvijati u 17. stoljecu nakon dugog mirovanja, tako da je zanimljivo

    vidjeti sto se o njemu znalo u srednjem vijeku i sto je Pascal napravio da ga ozivi.

    Kinezi su koristili Pascalov trokut za generiranje i razvrstavanje binomnih koeficije-

    nata, tj. koeficijenata koji se pojavljuju u sljedecim formulama:

    (a + b)1 = a + b(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

    (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

    (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

    (a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7

    Kada su binomni koeficijenit razvrstani kao ovi (sa trivijalnim redom 1 dodanim

    na vrh, koji odgovara (a + b)0),

    11 1

    1 2 11 3 3 1

    1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

    1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

    k-ti element

    (n

    k

    )n-tog retka je suma

    (n 1k 1

    )+

    (n 1k

    )dva elementa iznad njega

    u (n 1) om retku, kao sto slijedi iz formule

    (a + b)n = (a + b)n1 a + (a + b)n1 b.

  • 6

    Trokut se pojavljuje do dubine 6 u radu Yang Hua (oko 1261) i do dubine 8 u radu

    Zhu Shijie(oko 1303) (Slika 2.1). Yang Hu pripisuje trokut Jia Xianu, koji je zivio u

    11. stoljecu.

    Slika 2.1. Trokut Zhu Shijiea

    Broj

    (n

    k

    )se pojavljuje u srednjovjekovnim hebrejskim zapisima kao broj kombina-

    cija od n stvari uzetih k puta. Levi ben Gershon (1321) daje formulu(n

    k

    )=

    n!

    (n k)!k!.

    Zajedno sa cinjenicom da ima n! permutacija od n elemenata. U njegovom postupa-

    nju sa permutacijama i kombinacijama Levi ben Gershon dolazi jako blizu koristenju

    matematicke indukcije, ako ne i samom njenom izumu. Kako mi sad formuliramo

    ovu metodu dokazivanja, svojstvo P (n) prirodnih brojeva n je dokazano da vrijedi

    za sve n ako se moze dokazati P (1) (baza) i, za proizvoljan n, se moze dokazati da

    P (n) P (n + 1) (korak indukcije).Rabinovich (1970) je napravio izlaganje nekih dokaza Levi ben Gershona koji jasno

    pokazuju podjelu na bazu i korak indukcije, no korak indukcije treba dodatne biljeske

    da postane dokaz za stvarno proizvoljan n. Levi ben Gershon ne kaze Neka je dano

    n elemenata a, b, c, d, . . . e kao sto bi mi, nego Neka su elementi a, b, c, d, e jer u to

    vrijeme nije poznavao tzv. trotocku.

  • 7

    S obzirom na ove odlicne rezultate, zasto zovemo tablicu binomnih koeficijenata

    Pascalov trokut?

    To, naravno, nije jedini put da se matematicki koncept nazove prema ponovnom ot-

    krivatelju nego o izvornom, ali u svakom slucaju Pascal ima zasluge za vise nego samo

    ponovo otrice. U svom Traite du trinagle arithmetique, Pascal je ujedinio algebarsku

    i kombinatornu teoriju pokazujuci da se elementi aritmetickog trokuta mogu interpre-

    tirati na dva nacina: kao koeficijenti ankbk u (a + b)n i kao broj kombinacija od n

    stvari uzetih k puta. Ustvari, pokazao je da je (a + b)n funkcija stvaranja za broj

    kombinacija. Kao primjenu, osnovao je matematicku teoriju vjerojatnosti rjesavajuci

    problem podjele uloga, a kao metodu dokazivanja koristio je matematicku indukciju

    po prvi put na stvarno svjestan i nedvosmislen nacin. Sve u svemu, poprilicno velik

    napredak!

    Odlazeci na Pascalov rad u 1654. preskocili smo kraj perioda u teoriji brojeva prije

    Fermata, posto je Fermat vec 1630-ih bio aktivan u tom podrucju. Medutim, prikladno

    je imati neku pozadinu o uspostavljanju binomnih koeficijenata, posto se Fermatov

    raniji rad pojavljuje u tom vremenu.

  • 8

    3. Fermatovi teoremi

    Najpoznatiji teorem koji je Fermat dokazao (1640), koji je poznat kao njegov mali

    ili slabiji teorem, kako bi se razlikovao od njegovog posljednjeg ili velikog teorema, je

    sljedeci:

    Teorem 3.1 (Mali Fermatov teorem) Ako je p prost, a n relativno prost s p, onda

    vrijedi

    np1 1 (mod p).

    Ekvivalentne formulacije, koje izbjegavaju koristenje kongruentno mod p, jezika nepoz-

    natog u Fermatovo vrijeme, su

    np1 1

    je djeljivo sa p ili

    np n

    je djeljivo sa p.

    Navedeno vrijedi jer np n = n(np1 1) je djeljivo sa p samo ako je np1 1 dje-ljivo sa p, jer je p prost i ne dijeli n. Mali Fermatov teorem je nedavno postao nuzan

    u odredenim podrucjima primjenjene matematike, kao kriptografiji, tako da potice na

    razmisljanje kad se sazna da je proizasao iz jednog od najmanje primjenjivih problema

    u matematici, konstrukcija savrsenih brojeva, sto o