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Test einesAuswerteverfahrensfüraxialsymmetrisdieSpannungs ...€¦ · nach Lurje Ausgangspunkt seiner Theorie ist der Dreifunktionenansatz nach Papkovic und Neuberfürdie elastischen

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  • TECHNISCHE MECHANIK 5 (1984)Heft3

    Manuskripteingang: 28. 9. 1983

    Test eines Auswerteverfahrens für axialsymmetrisdie Spannungs-

    zustände am Beispiel der diametral gedrüdcten Kugel

    Martin Stockmann, Klaus UIlmann

    I. Einleitung

    In der vorangegangenen Arbeit [l] wurde ein Verfahren

    zur vollständigen Auswertung eines axialsymmetrischen

    Spannungszustandes aus den Isotheten der Meridian-

    ebene vorgestellt. Zur Vereinfachung ist dabei Inkom-

    pressibilität, also v = 1/2 vorausgesetzt. Da beim prakti-

    schen Erstarrungsversuch, zu dessen Auswertung das

    Verfahren vordergründig dienen soll, v = 0,49 ist, soll an

    einem geeigneten Testbeispiel der dadurch entstehende

    systematische Felder abgeschätzt werden. Weiter wird

    das Beispiel auch eine Aussage zu den Unsicherheiten des

    Auswerteverfahrens hinsichtlich der enthaltenen numeri-

    schen Differentiation und Integration gestatten.

    2. Testbeispiel

    Von einem Testbeispiel, das zur Beurteilung eines Aus-

    werteverfahrens für experimentelle Daten dient, ist allge-

    mein zu fordern, daß eine exakte theoretische Lösung

    vorliegt, daß das Beispiel eine saubere Versuchsdurchfüh-

    rung erlaubt (exakte Einhaltung der Randbedingungen

    bei möglichst einfachem Versuchsaufbau) und daß es für

    eine Klasse praktischer Probleme repräsentativ ist. Unter

    diesen Gesichtspunkten wird als Beispiel fiir axialsym-

    metrische Probleme die diametral gedrückte Kugel ausge-

    wählt.

    Über die Technologie der experimentellen Untersuchun—

    gen wurde bereits in der Arbeit [2] berichtet. Bevor die

    eigentlichen Testergebnisse diskutiert werden, wird des-

    halb nur noch auf einige Eigenschaften der theoretischen

    Lösung und deren numerische Umsetzung eingegangen.

    2.1. Theoretische Lösung fiir die Verschiebungen

    Die theoretische Lösung für die Verschiebungen erfolgt

    nach Lurje Ausgangspunkt seiner Theorie ist der

    Dreifunktionenansatz nach Papkovic und Neuber für die

    elastischen Grundgleichungen, der auf sphärische Koor—

    dinaten r, 1‘}, cp transformiert wird. Lösungen sind dann

    räumliche Kugelfunktionen der Form rn Pn (u), wobei

    P“ (u) Legendresche Polynome darstellen. Entsprechend

    wird auch die äußere Belastung in Reihen dieser Polyno-

    me entwickelt.

    Wegen der schlechten Konvergenz der erhaltenen Lösung

    werden die Reihen mittels Partialbruchzerlegung der

    Koeffizienten in langsam konvergierende Anteile und in

    relativ gut konvergierende Reste zerlegt. Die langsam

    konvergierenden Teile werden derart angesetzt, daß nach

    Integration eine Darstellung in geschlossener Form mög—

    lich ist. Die endgültigen Lösungen für die radiale und

    meridionale Verschiebung lauten dann

    "7‘ 81rGr0

    _ In

  • ä_u

    I’

    hen konvergieren aber mit dem Faktor k multipliziert

    schlechter als die Lösung für die Verschiebungen. Die

    Spannungen werden deshalb nach einer Theorie von

    _ Fp 2(m——2) °° 4k.+1Sternberg und Rosenthal [4] berechnet, die

    auf der

    ur — im: { m+1 _ +k§1 A [_(2k+1) (2k“2+4/m) Boussinesqschen Spannungsf

    unktion für axialsymmetri-

    sehe Probleme beruht und ebenfalls aus einem geschlos-

    + 212(k (4k2 + 4k _ l + 2/m) p_2]p2k PR} ’ (6)senen sow1e einem Reihenanteil besteht

    *1 [s] 2 [801+ [R01 .(12)

    _ Fp sind[So] stellt darin die Lösung für eine auf d

    en Halbraum

    “'3 _ — 871Gl-x 1. Es k:l

    f l '

    ogt -[P2k_(4k2_2k)P_2k_1]p2k—2

    Fp 2(m—2) 4(m—1) 1 +p2 a1 [31 0°

    = + +o __ _

    n

    8„g‚o{ mu m 1_p2 1/2 (p +p3) — 2 b_2k_‚2[(—8k3—24k2—2zk—6)

    k=2

    1+p 0‘ ß - '2k

    '(lnÜ-2P)+1/2'(%+%)[(1+p)ln(1+p)+(1_p) P~2k—1 +(2k+3)P

    —2k—2]p }~, (13)

    ‘ p p

    F 3p2\/P2+1 2+2+2\/2

    - __ _2 0° (3) (3) _2 a :‘ {‘H—BIS-l p_____L+_]

    In (1 P) p 1+k§1(sz + M21 P W“} ~ (9) ' m02 (p2+1)3 / n 4

    Bei kleinen Werten p ist wiederum nach Gl. (6) zu rech. + 3/304 I ‘02 ' [EI [a—Zk—l (“‘2 — 21‘) P_2k-1 P2k+2

    nen. Für die Verschiebung in der Äquatorebene schließ- _

    lich berechnet sich mit 11 = 0 — b_2k_2 (8k3 —8k—3) P_2k_1 p2k1}

    I

    Fp 2(m—2> 4 a1 61 2— + __ . __ _

    +2+ 2

    817Gr0{ m+1 m2)+1/2 (p +p3) g‘pzi

    z_{3/16.[_3ln‘;\/p+i

    1T ro 4

    x/E + 1 \/§ + l'ln —2+l/2-a+ l +1—2 2(fl_l ) (2 ß2)(nfl_l f) _5+6p2+1—\/P2+1]

    p2

    +§L(3’+M(3)P 0 1 °°k=1( 2k 2k ) 2k( ) ’ < 0) + 141/152 +15/304-p2 _ z [a_2k_1 112k p2k—2

    wobei das Legendresche Polynom sich vereinfacht zu k=2

    k 1 2. + b12114 P;2k_2 pzkl} (15>

    P = “ ‘.

    2k(0) ifl 2i . (11)

    A d a _ —192k5 + 480k4 + 1092 k3 + 492 k2 —— 36 k — 40,5

    nsonsten wer en die Polynome und deren Ableitung ‘2k-l _ _ 2

    zweckmäßig nach den bekannten Rekursionsformeln be- 16 k (k 1) (2k_1) (4k—1) (4k+3) (2k+1) (4klgglkfl’5)

    rechnet. b _ — 24 k3 + 12 k2 + 16,5 k — 4,5 (

    —2k—2 __ _ 2

    2.2. Theoretische Lösung für die Spannungen 8 k (k l) (4k 1) (4k+3) (2k+1) (4k “mi-1’37)

    Nach der Lurjeschen Theorie lassen sich zwar die Span- P _ pz “ 1

    nungen prinzipiell auch berechnen [3, S. 339]; die Rei- p2 + 1 (18)

    73

  • Die Reihen sind alternierend und konvergieren im ge-

    samten Definitionsbereich 0

  • Bild 2

    ——— aus berechn. Isotheten v=a49

    G -Ö ktX—ÖM —-— aus ge’nessenen Isotheten

    o

    0,1

    T — aus berechn. lsotheten v=0‚5 //

    Absolute Fehler der Längsspannungen

    0,05 _ /

    _\/ \

    Ü \ / \

    ' 0.2 - Q4 0,6 —>0,8\

    \ 9 \\\

    \

    - 0,05 \\ ‚

    den Kugelmittelpunkt, für einen Erstarrungsversuch LITERATUR

    recht klein.

    4. Zusammenfassung

    Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß mit dem

    getesteten Auswerteverfahren die Spannungen aus den

    Isothetenscharen mit einer für praktische Belange sehr

    hohen Genauigkeit berechnet werden können. Ist der

    Werkstoff nicht wie vorausgesetzt inkompressibel, er-

    gibt sich ein systematischer Fehler, der im Falle V = 0,49

    unter l % liegt und im Vergleich mit den Unsicherheiten

    der Messung vernachlässigbar ist.

    [ 1 l Ullmann, K.: Vollständige Auswertung eines axialsymme-

    trischen Spannungszustandes in einem inkompressiblen

    Körper aus lsotheten. Techn. Mechanik 5 (1984) 2.

    l 2] Stockmann, M.: Die experimentelle Verschiebungs- und

    Spannungsanalyse der diametral gedrückten Kugel und ihr

    Vergleich mit der Theorie. Techn. Mechanik 4 (1983) 2,

    65 — 69.

    [3 ] Lurje, A. 1.: Räumliche Probleme der Elastizitätstheorie.

    Berlin: Akademie-Verlag 1963, 335 — 379.

    [4] Sternberg, E./F. Rosenthal: Elastic Sphere under Con-

    centrated Loads. J. Appl. Mechanics, Dec. (1952), 413 —

    42l.

    [5'] Frocht, M. M./R. Guemsey: A special investigation to

    develop a general method for three-dimensional photo-

    elastic stress analysis. National Advisory Committee for

    Aeronautics. Technical Note 2822, Washington 1952.

    Anschrift der Verfasser: i

    Dipl.-Ing. M. Stockmann

    Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt

    Sektion Maschinen-Bauelemente

    9001 Karl-Marx—Stadt, Straße der Nationen 62

    Dr.-Ing. K. Ullmann

    VEB Schwermaschinenbau „Karl Liebknecht”

    3011 Magdeburg, Alt-Salbke 6 — 10

    75