TECHNISCHE MECHANIK 5 (1984)Heft3

Manuskripteingang: 28. 9. 1983

Test eines Auswerteverfahrens für axialsymmetrisdie Spannungs-

zustände am Beispiel der diametral gedrüdcten Kugel

Martin Stockmann, Klaus UIlmann

I. Einleitung

In der vorangegangenen Arbeit [l] wurde ein Verfahren

zur vollständigen Auswertung eines axialsymmetrischen

Spannungszustandes aus den Isotheten der Meridian-

ebene vorgestellt. Zur Vereinfachung ist dabei Inkom-

pressibilität, also v = 1/2 vorausgesetzt. Da beim prakti-

schen Erstarrungsversuch, zu dessen Auswertung das

Verfahren vordergründig dienen soll, v = 0,49 ist, soll an

einem geeigneten Testbeispiel der dadurch entstehende

systematische Felder abgeschätzt werden. Weiter wird

das Beispiel auch eine Aussage zu den Unsicherheiten des

Auswerteverfahrens hinsichtlich der enthaltenen numeri-

schen Differentiation und Integration gestatten.

2. Testbeispiel

Von einem Testbeispiel, das zur Beurteilung eines Aus-

werteverfahrens für experimentelle Daten dient, ist allge-

mein zu fordern, daß eine exakte theoretische Lösung

vorliegt, daß das Beispiel eine saubere Versuchsdurchfüh-

rung erlaubt (exakte Einhaltung der Randbedingungen

bei möglichst einfachem Versuchsaufbau) und daß es für

eine Klasse praktischer Probleme repräsentativ ist. Unter

diesen Gesichtspunkten wird als Beispiel fiir axialsym-

metrische Probleme die diametral gedrückte Kugel ausge-

wählt.

Über die Technologie der experimentellen Untersuchun—

gen wurde bereits in der Arbeit [2] berichtet. Bevor die

eigentlichen Testergebnisse diskutiert werden, wird des-

halb nur noch auf einige Eigenschaften der theoretischen

Lösung und deren numerische Umsetzung eingegangen.

2.1. Theoretische Lösung fiir die Verschiebungen

Die theoretische Lösung für die Verschiebungen erfolgt

nach Lurje Ausgangspunkt seiner Theorie ist der

Dreifunktionenansatz nach Papkovic und Neuber für die

elastischen Grundgleichungen, der auf sphärische Koor—

dinaten r, 1‘}, cp transformiert wird. Lösungen sind dann

räumliche Kugelfunktionen der Form rn Pn (u), wobei

P“ (u) Legendresche Polynome darstellen. Entsprechend

wird auch die äußere Belastung in Reihen dieser Polyno-

me entwickelt.

Wegen der schlechten Konvergenz der erhaltenen Lösung

werden die Reihen mittels Partialbruchzerlegung der

Koeffizienten in langsam konvergierende Anteile und in

relativ gut konvergierende Reste zerlegt. Die langsam

konvergierenden Teile werden derart angesetzt, daß nach

Integration eine Darstellung in geschlossener Form mög—

lich ist. Die endgültigen Lösungen für die radiale und

meridionale Verschiebung lauten dann

"7‘ 81rGr0

_ In

ä_u

I’

hen konvergieren aber mit dem Faktor k multipliziert

schlechter als die Lösung für die Verschiebungen. Die

Spannungen werden deshalb nach einer Theorie von

_ Fp 2(m——2) °° 4k.+1Sternberg und Rosenthal [4] berechnet, die

auf der

ur — im: { m+1 _ +k§1 A [_(2k+1) (2k“2+4/m) Boussinesqschen Spannungsf

unktion für axialsymmetri-

sehe Probleme beruht und ebenfalls aus einem geschlos-

+ 212(k (4k2 + 4k _ l + 2/m) p_2]p2k PR} ’ (6)senen sow1e einem Reihenanteil besteht

*1 [s] 2 [801+ [R01 .(12)

_ Fp sind[So] stellt darin die Lösung für eine auf d

en Halbraum

“'3 _ — 871Gl-x 1. Es k:l

f l '

ogt -[P2k_(4k2_2k)P_2k_1]p2k—2

Fp 2(m—2) 4(m—1) 1 +p2 a1 [31 0°

= + +o __ _

n

8„g‚o{ mu m 1_p2 1/2 (p +p3) — 2 b_2k_‚2[(—8k3—24k2—2zk—6)

k=2

1+p 0‘ ß - '2k

'(lnÜ-2P)+1/2'(%+%)[(1+p)ln(1+p)+(1_p) P~2k—1 +(2k+3)P

—2k—2]p }~, (13)

‘ p p

F 3p2\/P2+1 2+2+2\/2

- __ _2 0° (3) (3) _2 a :‘ {‘H—BIS-l p_____L+_]

In (1 P) p 1+k§1(sz + M21 P W“} ~ (9) ' m02 (p2+1)3 / n 4

Bei kleinen Werten p ist wiederum nach Gl. (6) zu rech. + 3/304 I ‘02 ' [EI [a—Zk—l (“‘2 — 21‘) P_2k-1 P2k+2

nen. Für die Verschiebung in der Äquatorebene schließ- _

lich berechnet sich mit 11 = 0 — b_2k_2 (8k3 —8k—3) P_2k_1 p2k1}

I

Fp 2(m—2> 4 a1 61 2— + __ . __ _

+2+ 2

817Gr0{ m+1 m2)+1/2 (p +p3) g‘pzi

z_{3/16.[_3ln‘;\/p+i

1T ro 4

x/E + 1 \/§ + l'ln —2+l/2-a+ l +1—2 2(fl_l ) (2 ß2)(nfl_l f) _5+6p2+1—\/P2+1]

p2

+§L(3’+M(3)P 0 1 °°k=1( 2k 2k ) 2k( ) ’ < 0) + 141/152 +15/304-p2 _ z [a_2k_1 112k p2k—2

wobei das Legendresche Polynom sich vereinfacht zu k=2

k 1 2. + b12114 P;2k_2 pzkl} (15>

P = “ ‘.

2k(0) ifl 2i . (11)

A d a _ —192k5 + 480k4 + 1092 k3 + 492 k2 —— 36 k — 40,5

nsonsten wer en die Polynome und deren Ableitung ‘2k-l _ _ 2

zweckmäßig nach den bekannten Rekursionsformeln be- 16 k (k 1) (2k_1) (4k—1) (4k+3) (2k+1) (4klgglkfl’5)

rechnet. b _ — 24 k3 + 12 k2 + 16,5 k — 4,5 (

—2k—2 __ _ 2

2.2. Theoretische Lösung für die Spannungen 8 k (k l) (4k 1) (4k+3) (2k+1) (4k “mi-1’37)

Nach der Lurjeschen Theorie lassen sich zwar die Span- P _ pz “ 1

nungen prinzipiell auch berechnen [3, S. 339]; die Rei- p2 + 1 (18)

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Die Reihen sind alternierend und konvergieren im ge-

samten Definitionsbereich 0

Bild 2

——— aus berechn. Isotheten v=a49

G -Ö ktX—ÖM —-— aus ge’nessenen Isotheten

o

0,1

T — aus berechn. lsotheten v=0‚5 //

Absolute Fehler der Längsspannungen

0,05 _ /

_\/ \

Ü \ / \

' 0.2 - Q4 0,6 —>0,8\

\ 9 \\\

\

- 0,05 \\ ‚

den Kugelmittelpunkt, für einen Erstarrungsversuch LITERATUR

recht klein.

4. Zusammenfassung

Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß mit dem

getesteten Auswerteverfahren die Spannungen aus den

Isothetenscharen mit einer für praktische Belange sehr

hohen Genauigkeit berechnet werden können. Ist der

Werkstoff nicht wie vorausgesetzt inkompressibel, er-

gibt sich ein systematischer Fehler, der im Falle V = 0,49

unter l % liegt und im Vergleich mit den Unsicherheiten

der Messung vernachlässigbar ist.

[ 1 l Ullmann, K.: Vollständige Auswertung eines axialsymme-

trischen Spannungszustandes in einem inkompressiblen

Körper aus lsotheten. Techn. Mechanik 5 (1984) 2.

l 2] Stockmann, M.: Die experimentelle Verschiebungs- und

Spannungsanalyse der diametral gedrückten Kugel und ihr

Vergleich mit der Theorie. Techn. Mechanik 4 (1983) 2,

65 — 69.

[3 ] Lurje, A. 1.: Räumliche Probleme der Elastizitätstheorie.

Berlin: Akademie-Verlag 1963, 335 — 379.

[4] Sternberg, E./F. Rosenthal: Elastic Sphere under Con-

centrated Loads. J. Appl. Mechanics, Dec. (1952), 413 —

42l.

[5'] Frocht, M. M./R. Guemsey: A special investigation to

develop a general method for three-dimensional photo-

elastic stress analysis. National Advisory Committee for

Aeronautics. Technical Note 2822, Washington 1952.

Anschrift der Verfasser: i

Dipl.-Ing. M. Stockmann

Technische Hochschule Karl-Marx-Stadt

Sektion Maschinen-Bauelemente

9001 Karl-Marx—Stadt, Straße der Nationen 62

Dr.-Ing. K. Ullmann

VEB Schwermaschinenbau „Karl Liebknecht”

3011 Magdeburg, Alt-Salbke 6 — 10

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