Th orie de l'information et codage pour les canaux de ... · Système MIMO 2 Théorie de l’information Canal déterministe (SISO et MIMO) Canal aléatoire (capacité ergodique,

Théorie de l’information et codagepour les canaux de Rayleigh MIMO

Philippe Ciblat

École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France

Canal de Rayleigh Théorie de l’information Construction de codes

Plan

1 Canal de RayleighModèleDiversitéSystème MIMO

2 Théorie de l’informationCanal déterministe (SISO et MIMO)Canal aléatoire (capacité ergodique, probabilité de coupure)Compromis « gain de multiplexage - gain de diversité »

3 Construction de codesCode d’AlamoutiCode V-BLASTCode d’Or

Philippe Ciblat Théorie de l’information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 2 / 34


Modèle de canal radio-mobile

Débit < Bande de cohérence

Temps symbole ≈ Temps de cohérence

Canal de Rayleigh

y(n) = h(n)x(n) + b(n)

avec

y(n) : signal reçu

x(n) : signal émis

h(n) : canal aléatoire de Rayleigh

b(n) : bruit additif gaussien

Modèle valide aussi pour l’OFDM



Performances

Probabilité d’erreur

Pe = E[Pe(h)] ∝ 1Es/N0

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0 5 10 15 20

Tau

x E

rreu

r S

ymbo

le

Eb/No (en dB)

Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No

BBGABBGA asymptotique

RayleighRayleigh asymptotique

Canal gaussien

Pe ≈ e−Es/N0



Notion de diversité

Problème : lorsque l’évanouissement h(n) est faible, la qualité de latransmission est catastrophique.

Remarque

Si le même signal est reçu par plusieurs canaux indépendants, alorsla probabilité d’erreur va diminuer. Le nombre de versions reçuessera appelé ordre de diversité ou diversité.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 5 10 15 20

Canal 1Canal 2



Performances (I)

yℓ(n) = hℓ(n)x(n) + bℓ(n), ℓ = 1, · · · , L

Récepteur optimal : détecteur à seuil sur la variable

z(n) =

L∑

ℓ=1

hℓ(n)yℓ(n) =

(L∑

ℓ=1

|hℓ(n)|2)

︸︷︷︸

G(n)

x(n) +

L∑

ℓ=1

hℓ(n)bℓ(n)

G(n) suit une loi du χ2 à 2L degrés de liberté.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 20 40 60 80 100

L=1L=5

L=10L=20



Performances (II)


Pe ∝ 1(Es/N0)L

à fort Rapport Signal-à-Bruit.

L = ordre de diversité

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No

Eb/No (en dB)

Tau

x E

rreu

r S

ymbo

le

BBGABBGA asymp.Rayleigh 1Rayleigh 1 asympRayleigh 2Rayleigh 2 asympRayleigh 4Rayleigh 4 asymp



Types de diversité

Type 1 : ne nécessite pas de répétition de l’informationDiversité d’espace en réception (longueur de cohérence : λ/2)Diversité de trajets

Type 2 : nécessite la répétition (ou codage)Diversité de fréquence (bande de cohérence)Diversité de temps (temps de cohérence)Diversité d’espace en émission



Exemples de diversité temporelle

La répétition revient à utiliser un code à répétition de rendement1/n. Cela induit une faible efficacité spectrale.Il convient d’employer un code de rendement k/n et de distanceminimale dmin. On aura

Pe ∝ 1(Es/N0)dmin

Observons y(1) = h(1)x(1) + b(1) et y(2) = h(2)x(2) + b(2),avec x(1) et x(2) des données indépendantes appartenant àune MDP-2. On a

y = Hx + b

avec y = [y(1), y(2)]T, H = diag(h(1), h(2)).

Système à diversité de 1.En lieu et place de x, transmettons Wx avec W une rotation.Système à diversité de 2 et pourtant code de rendement 1.



Système MIMO

.

RX

RX

RX

RX

TX

TX

TX

TX

Mot de codeX Mot de codeY

H

(nt antennes) (nr antennes) .

Signal reçuYnr×T = Hnr×nt Xnt×T + Bnr×T

avec

H parfaitement connu au récepteur.

le canal à évanouissement par bloc

T la longueur temporelle du bloc (T > 1 nécessaire en MIMO !)



Performances (I)

Probabilité d’erreur par paire

A fort Rapport Signal-à-Bruit, le maximum de vraisemblance donne

P(X → X′) ≈(

r∏

k=1

λk

)−nr (

1Es/N0

)rnr

avec λk les v.a.p. et r le rang de la matrice (X − X′).(X − X′)H.

Pseudo-distance :Gaussien : distance euclidienneCanal binaire symétrique : distance de HammingCanal de Rayleigh : distance produit

Diversité et gain de codage

d = rnr γ =

(r∏

k=1

λk

)nr



Performances (II)

Construction de codes :

La diversité à la réception est acquise (nr )

La diversité à l’émission (nt ) est à récupérer

Critère du rang

Afin d’atteindre la diversité maximale nt nr , la matrice(X − X′).(X − X′)H doit être de rang plein (⇒ T > 1 si nt > 1).

Critère du déterminant

Afin de maximiser le gain de codage, le déterminant minimal de lamatrice (X − X′).(X − X′)H doit être maximiser.

Débit :

Rendement du code : nombre de symboles émis partemps-symbole (max. nt )

Performances à débit fixé bien connues

Quid du débit admissible ?Philippe Ciblat Théorie de l’information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 12 / 34


Théorie de l’information : canal déterministe

Canaux discrets stationnaires sans mémoire

Entropie :

H(Z ) = −∑

k

Pr(Z = zk) log2(Pr(Z = zk ))

Information mutuelle :

I(X ; Y ) = H(X) − H(X |Y ) = H(Y ) − H(Y |X)

Exemple :Si Y = X , alors I(X , Y ) = H(X)Si Y et X ind., alors I(X , Y ) = 0



Capacité de canal

Définition mathématique

Soit C la capacité d’un canal, alors

C = maxp(X )

I(X , Y )

Théorème de la capacité

Il existe un codage de taux d’information T et de longueur N tel queT < C pour lequel

limN→∞

Pe = 0

La limite fondamentale est le débit et non la performance

Théorème non constructif (a priori entrelacement longnécessaire)



Exemple : canal BSC (I)

Canal binaire symétrique.

’1’

’0’

’1’

’0’1 − p

1 − p

p

p

.

C = 1 − H(p)

Canal représentant une transmission binaire avec décision dureSi le canal physique est gaussien, alors

p = Q

(√

2Ec

N0

)

= Q

(√

2EbCN0

)

≈ 12

e−EbC/N0



Exemple : canal BSC (II)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Cap

acite

p

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cap

acite

Eb/N0 (en dB)

Capacité nulle pour p = 1/2.

Capacité nulle en dessous de Eb/N0 = 0, 4dB



Capacité du canal gaussien

Canal gaussien à entrées et sorties continues :

y = x + b

avec

la contrainte E[|x |2] ≤ Px

b un bruit gaussien centré de variance 2N0 (par dim. complexe).

Information mutuelle

L’entropie de x et y est infinie.

On définit de manière plus générale l’information mutuelle

I(X ; Y ) =

∫

p(X , Y ) log2

(p(X , Y )

p(X)p(Y )

)

dXdY



Exemple

Capacité

C = log2

(

1 +Es

2N0

)

Comme Es/2 = T × Eb et T < C,

Eb/N0 ≥ (2T − 1)/(T )T→0≥ ln(2) (−1.6dB)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Cap

acite

(bi

ts/s

/Hz)

Eb/N0 (en dB)

Capacite canal BBGA en fonction de Eb/N0



Canal MIMO

Soit X et Y deux processus gaussiens

Information mutuelle

I(X ; Y ) ∝ log2 det(

Id +1

2N0HQHH

)

avecQ = E[XXH]

Cas particulier :Si

Q =PX

ntIdnt (E[Tr(XXH)] ≤ PX)

alors

I(X ; Y ) ∝ log2 det(

Id +PX

nt 2N0HHH

)



Théorie de l’information : canal aléatoire

Canal inconnu à l’émetteur (car canal variant dans le temps)

Capacité ergodique

Si un mot de code visite toutes les réalisations du canal, alors

C = EH[log2 det

(Id + RSBHHH

)]

A fort Rapport Signal-à-Bruit, si H est i.i.d., alors

C = min(nt , nr ) log2(RSB) + O(1)

Remarques :

Gain de multiplexage : min(nt , nr )

le canal doit être de rang plein (min(nt , nr ))

le canal doit varier très rapidement

le code ne doit pas avoir de contraintes de latence



Probabilité de coupure

Canal supposé constant sur un bloc

Equivalent à des contraintes de latence

Modèle plus proche des systèmes pratiques

Probabilité de coupure

L’information mutuelle

I(H) = log2 det(Id + RSBHHH

)

est vue comme une variable aléatoire.Les blocs pour lesquels l’information mutuelle I(H) est inférieure aurendement R du système sont dits en « coupure ».

Pout. = Pr(I(H) < R)

Remarque : la meilleure Pe est « équivalente » à Pout.



Remarque (I)

Canal SISO

Constellation MAQ à M états


Pe =12− 1

21

√

1 + 43

M−1RSB

A fort Rapport Signal-à-Bruit,

Pe =M − 13RSB

Remarque : A débit fixé, la diversité vaut d = 1



Remarque (II)

Remarque

Lorsque le RSB augmente, la capacité de Shannon d’unecommunication SISO se comporte en log2(RSB).

Ainsi, on augmente la taille de la MAQ dans la même proportion,c’est-à-dire, m = r log2(RSB) avec m = log2(M).

A fort Rapport Signal-à-Bruit,

Pe ∝ 1

RSB1−r

Résultat : la diversité vaut d = 1 − r

Compromis entre la fiabilité (d) et le débit (r )



Remarque (III)

.

1e−06

1e−05

1e−04

0.001

0.01

0.1

1

0 10 20 30 40 50

Pe

RSB (dB)

MDP2MAQ4

MAQ16MAQ64

MAQ128

r = 1 etd = 0

r = 0 etd = 1

.



Compromis

On définit une séquence de codes vérifiant

Gain de multiplexage :

r = limRSB→∞

R(RSB)

log2(RSB)

Diversité :

d = − limRSB→∞

log Pe(RSB)

log(RSB)

Théorème

On suppose T ≥ nt + nr − 1. La courbe de compromis optimal d∗(r)est une fonction linéaire par morceaux avec les points de ruptured∗(k) pour k = 0, 1, · · · , min(nt , nr ) et où

d∗(k) = (nt − k)(nr − k)



Illustrations

Exemple : nt = nr = 4.

rmax

dmax

Gai

nd

ed

iver

sitéd

∗(r

)

Gain de multiplexager

(3, 1)

2, 4)

(1, 9)

.

dmax = ntnr et rmax = min(nt , nr )



Construction des codes

Constat

Des codes admettant la même diversité maximale (débit fixe)

ne gèrent pas nécessairement l’augmentation en débit de lamême manière

et donc n’admettent pas nécessairement le même gain demultiplexage

Critères de rang et du déterminant : débit fixe

« Critère » du compromis : débit variable

Critères de rang et du déterminant pas suffisant



Code d’Alamouti (I)

Considérons nt = 2

Si T = 1, il n’y a aucun gain de diversité d’émission

Alors T > 1

X =

[s1 s2

−s2 s1

]

avec s1 et s2 deux symboles complexes

Décodage : exemple nr = 1Si {

r(1) = h(1)y(1) + h(2)y(2)

r(2) = −h(2)y(1) + h(1)y(2)

Alors {r(1) = (|h(1)|2 + |h(2)|2)s1

r(2) = (|h(1)|2 + |h(2)|2)s2

Ce décodage est en fait optimal (car XXH ∝ Id).



Code d’Alamouti (II)

linéaire en fonction des symboles

rendement de 1 symbole par temps-symbole

dAlamouti(r) = 2nr (1 − r)+

Diversité maximale : 2nr

Rendement maximal : 1

Code d’Alamouti vérifie le compromis optimal ssi nr = 1



Code V-BLAST

nr ≥ nt .Principe de multiplexage spatial

X =

s1 snt+1 s2nt +1 · · ·...

snt s2nt s3nt · · ·

linéaire en fonction des symbolesrendement de nt symboles par temps-symbole (plein)

dV−BLAST(r) = (2 − r)+, si (nt = nr = 2)

Diversité dmax maximale : nr

Rendement rmax maximal : nt (≤ nr )

Le code V-BLAST ne vérifie jamais le compromis optimal



Codes orthogonaux

Codes tels que XXH ∝ Id

Décodage ML possible par transformation linéaire

Compromis « mauvais » (sauf Alamouti(1,2))

Résultats

nt = 2 :nr = 1 : optimalnr > 1 : pas optimal

nt > 2 :rendement de 1 maximumdiversité maximale de ntnr



Code d’Or

Pour nt = nr = 2, on a

X =1√5

[α(s1 + s2θ) α(s3 + s4θ)

iα(s3 + s4θ) α(s1 + s2θ)

]

avec

θ = (1 +√

5)/2 et θ = (1 −√

5)/2

α = 1 + i − iθ et α = 1 + i − iθ

Extension possible pour nt = 3, 4 et 6 (codes parfait)

Adaptable aux cas nr > nt

Le code d’Or atteint le compromis optimal



Performances : compromis

Exemple : nt = 2, nr = 2

.

1

3

4

1 2

2

Gai

nd

ed

iver

sitéd

∗(r

)

Gain de multiplexager

dmax

rmax

Code V-BLAST

Code d’Alamouti

Compromis optimal + code d’Or

.Philippe Ciblat Théorie de l’information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 33 / 34


Bibliographie

Théorie de l’information :

L. Zheng, D. Tse, "Diversity ans Multiplexing : a fundamental trade-off inmultiple antennas channels", IEEE Trans. on Information Theory, Mai 2003.E. Biglieri, J. Proakis, S. Shamai, "Fading channels : information-theoreticand communications aspects", IEEE Trans. on Information Theory, Oct.1998.I. Telatar, "Capacity of multi-antenna Gaussian channels", ETT, Nov. 1999.

Construction de code :

V. Tarokh, N. Shesadri, A. Calderbank, "Space-time codes for high data ratewireless communication : performance criterion ans code construction",IEEE Trans. on Information Theory, Mars 1998.S. Alamouti, "Space-time block coding : a simple transmitter diversitytechnique for wireless communications, IEEE JSAC, Oct. 1998.G. Foschini, "Layered space-time architecture for wireless communicationin a fading environment when using multiple antennas", Bell Labs TechnicalJournal, 1996.J.C Belfiore, G. Rekaya, E. Viterbo, "The Golden code : a 2 × 2 full ratespace time code with non vanishing determinants", IEEE Trans. onInformation Theory, Avril 2005.


Documents

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