The greatest mathematical paper of all time

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  • T h e G r e a t e s t M a t h e m a t i c a l P a p e r o f A l l T i m e A . J . C o l e m a n

    Y o u w i l l s a y t h a t m y t i t l e i s a b s u r d . " M a t h e m a t i c a l p a p e r s c a n n o t b e t o t a l l y o r d e r e d . I t ' s a g r e a t p i t y ! P o o r o l d C o l e m a n h a s o b v i o u s l y g o n e b e r s e r k i n h i s o l d a g e . " P l e a s e r e a d o n . I f i n 1940 y o u h a d a s k e d t h e s t a r r y - e y e d C a n a d i a n

    g r a d u a t e s t u d e n t w h o w a s l a p p i n g u p t h e K - c a l c u l u s f r o m A l o n z o C h u r c h i n P r i n c e t o n t o n a m e t h e s i n g l e m o s t i m p o r t a n t m a t h e m a t i c s p a p e r , w i t h o u t d o u b t I w o u l d h a v e c h o s e n K u r t G 6 d e l ' s b o m b s h e l l [12] t h a t h a d r o c k e d t h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a f e w y e a r s b e f o r e . I n 1970, a f t e r m y t w e n t y y e a r s o f r e f e r e e i n g a n d r e -

    v i e w i n g , i f y o u h a d p o s e d t h e s a m e q u e s t i o n , w i t h o u t a n y h e s i t a t i o n I w o u l d h a v e c h o s e n t h e e n o r m o u s p a p e r o f W a l t e r F e i t a n d J o h n T h o m p s o n [11] c o n - f i r m i n g B u r n s i d e ' s 1911 c o n j e c t u r e [3] t h a t s i m p l e f i - n i t e g r o u p s h a v e e v e n o r d e r .

    N o w , i n t h e a u t u m n a l s e r e n i t y o f s e m i - r e t i r e m e n t , h a v i n g f i n a l l y l o o k e d a t s o m e o f W i l h e l m K i l l i n g ' s w r i t i n g s , w i t h o u t a n y d o u b t o r h e s i t a t i o n I c h o o s e h i s p a p e r d a t e d " B r a u n s b e r g , 2 F e b r u a r , 1 8 8 8 " a s t h e m o s t s i g n i f i c a n t m a t h e m a t i c a l p a p e r I h a v e r e a d o r h e a r d a b o u t i n f i f t y y e a r s . F e w c a n c o n t e s t m y c h o i c e s i n c e a p a r t f r o m E n g e l , U m l a u f , M o l i e n , a n d C a r t a n f e w s e e m t o h a v e r e a d i t . E v e n m y f r i e n d H a n s Z a s - s e n h a u s , w h o s e Liesche Ringe (1940) w a s a l a n d m a r k i n t h e s u b j e c t , a d m i t t e d o v e r o u r s e c o n d b e e r a t t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y m e e t i n g i n J a n u a r y 1 9 8 7 t h a t h e h a d n o t r e a d a w o r d o f K i l l i n g . P r e s u p p o s i n g t h a t m y r e a d e r h a s a r u d i m e n t a r y u n -

    d e r s t a n d i n g o f l i n e a r a l g e b r a a n d g r o u p t h e o r y , I s h a l l a t t e m p t t o e x p l a i n t h e m a i n n e w i d e a s i n t r o d u c e d i n K i l l i n g ' s p a p e r , d e s c r i b e i t s r e m a r k a b l e r e s u l t s , a n d s u g g e s t s o m e o f i t s s u b s e q u e n t e f f e c t s . T h e p a p e r t h a t ,

    THE MATHEMATICAL 1NTELL1GENCER VOL. 11, N O . 3 9 1989 Springer-Veflag N e w Y o r k 29

  • f o l l o w i n g C a r t a n , I s h a l l r e f e r t o a s Z . v . G . I I , w a s t h e s e c o n d o f a s e r i e s o f f o u r [ 1 8 ] a b o u t L i e a l g e b r a s . T h e s e r i e s w a s c h u r n e d o u t i n B r a u n s b e r g , a m a t h e m a t i - c a l l y i s o l a t e d s p o t i n E a s t P r u s s i a , d u r i n g a p e r i o d w h e n K i l l i n g w a s o v e r b u r d e n e d w i t h t e a c h i n g , c i v i c d u t i e s , a n d c o n c e r n s a b o u t h i s f a m i l y .

    T h e A h i s t o r i c i s m o f M a t h e m a t i c i a n s

    M o s t m a t h e m a t i c i a n s s e e m t o h a v e l i t t l e o r n o i n t e r e s t i n h i s t o r y , s o t h a t o f t e n t h e n a m e a t t a c h e d t o a k e y r e s u l t i s t h a t o f t h e f o l l o w - u p p e r s o n w h o e x p l o i t e d a n i d e a o r t h e o r e m r a t h e r t h a n i t s o r i g i n a t o r ( J o r d a n f o r m i s d u e t o W e i e r s t r a s s ; W e d d e r b u r n t h e o r y t o C a r t a n a n d M o l i e n [13]). N o o n e h a s s u f f e r e d f r o m t h i s a h i s - t o r i c i s m m o r e t h a n K i l l i n g . F o r e x a m p l e , t h e s o - c a l l e d " ' C a r t a n s u b - a l g e b r a " a n d " C a r t a n m a t r i x , A = (aij)'" w e r e d e f i n e d a n d e x p l o i t e d b y K i l l i n g . T h e v e r y s y m b o l s aij a n d e f o r t h e r a n k a r e i n Z . v . G . I I . H a w k i n s [14, p . 290] c o r r e c t l y s t a t e s :

    S u c h k e y n o t i o n s a s t h e r a n k o f a n algebra, semi-simple algebra, Cartan algebra, r o o t s y s t e m s a n d C a r t a n i n t e g e r s o r i g i n a t e d w i t h Killing, a s d i d t h e striking t h e o r e m e n u - m e r a t i n g all p o s s i b l e s t r u c t u r e s f o r finite-dimensional Lie algebras o v e r t h e c o m p l e x n u m b e r s . . . . C a r t a n a n d Mo- lien a l s o u s e d Killing's r e s u l t s a s a p a r a d i g m f o r t h e d e v e l - o p m e n t o f t h e s t r u c t u r e t h e o r y o f finite d i m e n s i o n a l linear associative a l g e b r a s o v e r t h e complex n u m b e r s , o b t a i n i n g t h e r e b y t h e t h e o r e m o n s e m i s i m p l e a l g e b r a s l a t e r ex- t e n d e d b y W e d d e r b u r n t o a b s t r a c t fields a n d t h e n a p p l i e d b y E m m y N o e t h e r t o t h e matrix r e p r e s e n t a t i o n s o f finite g r o u p s .

    I n t h i s s a m e p a p e r K i l l i n g i n v e n t e d t h e i d e a o f r o o t s y s t e m s a n d o f o~ r o o t - s e q u e n c e s t h r o u g h / 3 . H e e x h i b - i t e d t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f a n a r b i t r a r y e l e m e n t o f t h e W e y l g r o u p w h e n W e y l w a s 3 y e a r s o l d a n d l i s t e d t h e o r d e r s o f t h e C o x e t e r t r a n s f o r m a t i o n 19 y e a r s b e f o r e C o x e t e r w a s b o r n ! I h a v e f o u n d n o e v i d e n c e t h a t H e r m a n n W e y l r e a d

    a n y t h i n g b y K i l l i n g . W e y l ' s i m p o r t a n t p a p e r s o n t h e r e p r e s e n t a t i o n s o f s e m i s i m p l e g r o u p s [26], w h i c h l a i d t h e b a s i s f o r t h e s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t o f a b s t r a c t h a r m o n i c a n a l y s i s , a r e b a s e d s q u a r e l y o n K i l l i n g ' s r e - s u l t s . B u t K i l l i n g ' s n a m e o c c u r s o n l y i n t w o f o o t n o t e s i n c o n t e x t s s u g g e s t i n g t h a t W e y l h a d a c c e p t e d u n c r i t i - c a l l y t h e u n i v e r s a l m y t h t h a t K i l l i n g ' s w r i t i n g s w e r e s o r i d d l e d w i t h e g r e g i o u s e r r o r s t h a t C a r t a n s h o u l d b e r e g a r d e d a s t h e t r u e c r e a t o r o f t h e t h e o r y o f s i m p l e L i e a l g e b r a s . T h i s i s n o n s e n s e , a s m u s t b e a p p a r e n t t o a n y o n e w h o e v e n g l a n c e s a t Z . v . G . I I o r i n d e e d t o a n y o n e w h o r e a d s C a r t a n ' s t h e s i s c a r e f u l l y . C a r t a n w a s m e t i c u l o u s i n n o t i n g h i s i n d e b t e d n e s s t o K i l l i n g . I n C a r t a n ' s t h e s i s t h e r e a r e 2 0 r e f e r e n c e s t o L i e a n d 6 3 t o K i l l i n g ! F o r t h e m o s t p a r t t h e l a t t e r a r e t h e t h e o r e m s o r a r g u m e n t s o f K i l l i n g t h a t C a r t a n i n c o r p o r a t e d i n t o h i s t h e s i s , t h e f i r s t t w o - t h i r d s o f w h i c h i s e s s e n t i a l l y a c o m m e n t a r y o n Z . v . G . I I .

    C a r t a n d i d g i v e a r e m a r k a b l y e l e g a n t a n d c l e a r e x - p o s i t i o n o f K i l l i n g ' s r e s u l t s . H e a l s o m a d e a n e s s e n t i a l c o n t r i b u t i o n t o t h e l o g i c o f t h e a r g u m e n t b y p r o v i n g t h a t t h e " C a r t a n s u b a l g e b r a " o f a s i m p l e L i e a l g e b r a i s a b e l i a n . T h i s p r o p e r t y w a s a n n o u n c e d b y K i l l i n g b u t h i s p r o o f w a s i n v a l i d . I n p a r t s , o t h e r t h a n I I , o f K i l l i n g ' s f o u r p a p e r s t h e r e a r e m a j o r d e f i c i e n c i e s w h i c h C a r t a n c o r r e c t e d , n o t a b l y i n t h e t r e a t m e n t o f n i l p o t e n t L i e a l g e b r a s . I n t h e l a s t t h i r d o f C a r t a n ' s t h e s i s , m a n y n e w a n d i m p o r t a n t r e s u l t s a r e b a s e d u p o n a n d g o b e y o n d K i l l i n g ' s w o r k . P e r s o n a l l y , f o l - l o w i n g t h e v a l u e s c h e m e o f m y t e a c h e r C l a u d e C h e - v a l l e y , I r a n k C a r t a n a n d W e y l a s t h e t w o g r e a t e s t m a t h e m a t i c i a n s o f t h e f i r s t h a l f o f t h e t w e n t i e t h c e n - t u r y . C a r t a n ' s w o r k o n i n f i n i t e d i m e n s i o n a l L i e a l - g e b r a s , e x t e r i o r d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s , d i f f e r e n t i a l g e - o m e t r y , a n d , a b o v e a l l , t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f s e m i s i m p l e L i e a l g e b r a s w a s o f s u p r e m e v a l u e . B u t b e c a u s e o n e ' s P h . D . t h e s i s s e e m s t o p r e d e t e r m i n e o n e ' s m a t h e m a t i c a l l i f e w o r k , p e r h a p s i f C a r t a n h a d n o t h i t u p o n t h e i d e a o f b a s i n g h i s t h e s i s o n K i l l i n g ' s e p o c h - m a k i n g w o r k h e m i g h t h a v e e n d e d h i s d a y s a s a t e a c h e r i n a p r o v i n c i a l l y c 6 e a n d t h e m a t h e m a t i c a l w o r l d w o u l d h a v e n e v e r h e a r d o f h i m !

    T h e F o o t h i l l s t o P a r n a s s u s

    B e f o r e w e e n t e r d i r e c t l y i n t o t h e c o n t e n t o f Z . v . G . I I , i t m a y b e w e l l t o p r o v i d e s o m e b a c k g r o u n d . W h a t w e n o w c a l l L i e a l g e b r a s w e r e i n v e n t e d b y t h e

    N o r w e g i a n m a t h e m a t i c i a n S o p h u s L i e a b o u t 1870 a n d i n d e p e n d e n t l y b y K i l l i n g a b o u t 1 8 8 0 [14]. L i e w a s s e e k i n g t o d e v e l o p a n a p p r o a c h t o t h e s o l u t i o n o f d i f - f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n a l o g o u s t o t h e G a l o i s t h e o r y o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s . K i l l i n g ' s c o n s u m i n g p a s s i o n w a s n o n - E u c l i d e a n g e o m e t r i e s a n d t h e i r g e n e r a l i z a t i o n s , s o h e w a s l e d t o t h e p r o b l e m o f c l a s s i f y i n g i n f i n i t e s - i m a l m o t i o n s o f a r i g i d b o d y i n a n y t y p e o f s p a c e ( o r R a u m f o r m e n , a s h e c a l l e d t h e m ) . T h u s i n E u c l i d e a n s p a c e , t h e r o t a t i o n s o f a r i g i d b o d y a b o u t a f i x e d p o i n t f o r m a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n w h i c h c a n b e p a r a m - e t e r i z e d b y t h r e e r e a l n u m b e r s - - t h e E u l e r a n g l e s , f o r e x a m p l e . T h e t a n g e n t s p a c e a t t h e i d e n t i t y t o t h e p a - r a m e t e r s p a c e o f t h i s g r o u p i s a t h r e e - d i m e n s i o n a l l i n e a r s p a c e o f " i n f i n i t e s i m a l " r o t a t i o n s . S i m i l a r l y , f o r

    J . a g r o u p t h a t c a n b e p a r a m e t ~ n z e d b y a s m o o t h m a n i - f o l d o f d i m e n s i o n r , t h e r e i s a n r - d i m e n s i o n a l t a n g e n t s p a c e , _z?, a t t h e i d e n t i t y e l e m e n t . I f t h e p r o d u c t o f t w o e l e m e n t s o f t h e g r o u p i s c o n t i n u o u s a n d d i f f e r e n t i a b l e i n t h e p a r a m e t e r s o f i t s f a c t o r s , i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a b i n a r y o p e r a t i o n o n _z? w h i c h w e d e n o t e b y " o , " s u c h t h a t f o r a l l x , y , z , ~ _E, ( x , y ) ~ x o y i s l i n e a r i n e a c h f a c t o r ,

    x o y + y o x = 0 (1)

    3 0 T H E M A T H E M A T I C A L I N T E L L I G E N C E R V O L . 1 1 , N O . 3 , 1 9 8 9

  • L y z e u m H o s i a n u m i n 1 8 3 5 .

    a n d

    x o ( y o z ) + y o ( z o x ) + z o ( x o y ) = 0 (2a)

    o r e q u i v a l e n t l y ,

    x o ( y o z ) = ( x o y ) o z + y o ( x o z ) . ( 2 b )

    T h e e q u a t i o n i n ( 2 a ) i s c a l l e d t h e Jacobi i d e n t i t y a n d i n t h e f o r m ( 2 b ) s h o u l d r e m i n d y o u o f t h e r u l e f o r d i f f e r - e n t i a t i n g a p r o d u c t . (_z?, + , o) i s a L i e a l g e b r a w i t h a n a n t i - c o m m u t a t i v e n o n - a s s o c i a t i v e p r o d u c t . T h e J a c o b i i d e n t i t y r e p l a c e s t h e a s s o c i a t i v i t y o f f a m i l i a r r i n g s s u c h a s t h e i n t e g e r s o r m a t r i x a l g e b r a s . O b v i o u s l y i f ~ i s a s u b s p a c e o f L s u c h t h a t x , y E ~ t x o y E d~, t h e n 9 i s a s u b - a l g e b r a o f 2?. F u r t h e r , i f p:

    (271, + , o) --~ (2?2, + , o) i s a h o m o m o r p h i s m o f o n e L i e a l g e b r a o n t o a n o t h e r , t h e k e r n e l o f p i s n o t m e r e l y a s u b a l g e b r a b u t a n i d e a l . F o r i f K = {x E d?l{p(x)=0}, t h e n f o r a n y x E K a n d a n y y E 271, p ( x o y ) = p(x) o p(y) = 0. T h u s K i s n o t o n l y a s u b - a l g e b r a b u t h a s t h e p r o p e r t y , c h a r a c t e r i s t i c o f a n i d e a l , t h a t f o r a n y x E K, w e h a v e y o x E K f o r e v e r y y E d? 1. W e c a n t h e n d e f i n e a q u o t i e n t a l g e b r a 2?1/K i s o m o r p h i c t o 2?2, i n a m a n n e r a n a l o g o u s t o g r o u p s w i t h n o r m a l s u b g r o u p s . T h u s a L i e a l g e b r a 17 w h o s e o n l y i d e a l s a r e {0} a n d 27 i s h o m o - m o r p h i c o n l y t o 2? o r...

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