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 Seminar in Salzburg, HLW Annahof 

 

 

 

 

 

sRDP‐orientierte 

Finanzmathematik 

mit TI 82 stats  

                Inhalt: 

               I Display und Screenshots 2 

II Grundbegriffe 3 

III Einfache Verzinsung 3 

IV Zinseszins 4 

VI Äquivalenzprinzip 4 

VII Unterjährige Verzinsung 5 

VIII Renten 7  

IX Schultilgung 9 

Anhang: Leontief‐Modell 12 

 

 

Brigitte Wessenberg, April 2012 

   

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I Sichtbarmachung des Displays und Screenshots 

 

a) GRAPH‐Link  

dient für Übertragungen auf PC mittels Kabel und dazu 

mitgelieferter Software, z.B. TI‐Connect: 

(download von der TI‐Seite möglich.)  

Bei TI connect kann man das Display , das man zeigen oder in 

anderen dokumenten einbauen will, relativ einfach gewinnen.   TI 

screen capture anklicken. 

Sie erhalten das aktuelle Bild. Dieses lässt sich speichern oder 

kopieren und in anderes Dokument übertragen. 

Man kann am Rechner weiterrechnen und wenn man ein weiteres Bild haben möchte auf STRG G 

klicken. Geht rasch und einfach. die Bilder kann man einzeln als Dateien speichern. 

 

 

 

 

 

 

b)TI 84 smart view  

Wenn man keinen Graph‐link hat, so gibt es die Möglichkeit, den Rechner TI 84 zu simulieren, der eine 

ähnliche Führung wie TI 82stats hat. Man erhält das Programm ebenfalls über TI Lehrermaterial. Das 

Programm hat den Vorteil, dass man die einzelnen Tastenfolgen vorzeigen kann. 

Man kann screenshots machen, diese speichern oder kopieren und die Tastenfolge auch als Skript 

aufnehmen und mit gewählter Geschwindigkeit abspielen lassen. 

90 ‐Tage freie Testmöglichkeit.  Hier Finance / TVM‐Solver 

 

  

 

*) Einige Grundaufgaben und Zusammenstellungen zum Teil von Jutta Gut, http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/zinsen.htm

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II Grundbegriffe  

1.   Kompetenzlisten zur Finanzmathematik  

  Inhalt  A  B  C  D 

B6_3.2  Das Bildungsgesetz von geometrischen Folgen verstehen und 

argumentieren     x  x 

B6_3.3  Die Summenformel für endliche geometrische Reihen anwenden                   x  x   

B6_3.4 Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren und 

interpretieren, sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse 

argumentieren  

x  x  x  x 

B6_3.5  Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen 

modellieren, ausführen und interpretieren können, x  x  x  x 

B6_3.6  Sparformen  mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren 

und interpretieren  x  x  x  x 

B6_3.7  Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen, 

dokumentieren und interpretieren x  x  x  x 

 

2. Begriffe, die in diesem Zusammenhang auftreten  

Quotient einer geometrischen Folge, Glieder einer geometrischen Folge; Geometrische Reihe Zinseszinsen Anfangskapital, Endkapital aufzinsen, abzinsen, Zinssatz Eingabe:  in Prozent (bei TVM immer) bzw Dezimalzahl, z.B. i = 5% = 0,05. 

dekursive Verzinsungsart nomineller Jahreszinssatz (im Zusammenhang mit unterjähriger Verzinsung) relativer unterjähriger Zinssatz  konformer(= äquivalenter) unterjähriger Zinssatz p.a., p.s., p.q., p. m. …pro anno, pro semestro, pro quartale, pro mense Aufzinsungsfaktor, Abzinsungsfaktor Barwert, Endwert Verzinsungsperiode Vor‐ und nachschüssige Rentenraten Zeitlinie Tilgungsplan: Tilgungstermin; Annuität; Tilgungsquote; Restschuld (Schuldenrest)  

3. Verzinsungsarten 

Wenn ein Kapital für einen gewissen Zeitraum ausgeliehen wird, muss man dafür Zinsen zahlen. Es gibt 

verschiedene Möglichkeiten, die Zinsen zu berechnen: 

Einfache (lineare) Verzinsung: 

Die Zinsen werden für die gesamte Laufzeit berechnet (proportional zur Laufzeit).  

Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung): 

Nach jeder Zinsperiode (z.B. am Ende des Jahres) werden die aufgelaufenen Zinsen dem Kapital 

zugeschlagen und tragen von da an selbst wieder Zinsen.  

Dekursive Verzinsung  

Die Zinsen werden vom Anfangskapital berechnet und dem Kapital am Ende der Laufzeit bzw. der 

Zinsperiode zugeschlagen. (Antizipative Verzinsung, wo die Zinsen vom Endkapital berechnet 

werden und zu Beginn abgezogen werden, hat heute praktisch keine Bedeutung mehr.)  

 

4  

4. Bezeichnungen: 

händisches Rechnen                                      TVM‐Solver in TI82 

K0: Barwert (Anfangskapital)                      … PV (Present value) 

Kn: Endwert (Kapital nach n Jahren)          … FV (Final value) 

i:  Zinssatz (interest rate)                           …  I% (Jahreszins oder konformer ZS in Prozent) 

n:  Laufzeit                                                     … N (Zahl d. Jahre oder Zinsperioden oder Zahl der Raten)

R:   Renten                                                      … PMT (Payment) 

                                                                          … P/Y  (regelmäßige Zahlungen pro Jahr)   

                                                                          … C/Y  ( Verzinsungsperioden pro Jahr) 

solve: Tastenfolge im TVM‐Solver: Mit dem Cursor auf die gesuchte Größe und ALPHA  ENTER 

 

III Einfache Verzinsung 

 

Ein Kapital K0 wird n Jahre zum Jahreszinssatz i angelegt. Die Zinsen betragen K0∙n∙i, das Endkapital ist 

daher 

Kn = K0 ∙ (1 + n∙i)  

Wir erhalten also eine lineare Funktion der Zeit. 

Die einfache Verzinsung wird nur für Zeiträume unter 1 Jahr angewendet, ist nicht für TVM geeignet. 

 

 

Beispiele  

1. € 400,‐  werden 5 Monate zum Zinssatz i = 6% angelegt. 

Kn = 400∙(1 + 5/12∙0,06) = € 410,‐  

2. Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9 

Monaten € 800,‐  abheben will? 

800 = K0 ∙ (1 + 9/12 ∙ 0,04) = K0 ∙ 1,03 ⇒     K0 = 800/1,03 = € 776,70  

 

IV Zinseszinsen 

Die angelaufenen Zinsen werden am Ende jeder Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt. Das Kapital 

wächst also pro Jahr um den Aufzinsungsfaktor r = 1 + i, und der Endwert beträgt 

Kn = K0 ∙ rn,     wobei r = 1 + i  

Das Endkapital hängt also exponentiell von der Zeit ab. Einsatz des TVM‐Solvers möglich. 

 

Beispiele für grundlegende Funktionen 

3. Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von € 100,‐  in 8 Jahren bei einer Verzinsung von i = 5%?  

Kn = 100 ∙  1,058 = € 147,75  

TVM: FV (N = 8, I% =5, PV = ‐100, PMT = 0, FV= solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 

4. Wie hoch war ein Kapital, wenn es in 5 Jahren bei einer Verzinsung von i = 3% auf € 742,‐  

angewachsen ist? 

742 = K0 ∙ 1,035 ⇒     K0 = 742/1,03

5 = € 640,‐  

TVM: PV (N = 5, I% =3, PV = solve, PMT = 0, FV = 742, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 

5  

5. Jemand leiht sich € 4.000,‐ aus und zahlt nach 4 Jahren € 4.502  zurück. Welchem Zinssatz entspricht 

das? 

4500 = 4000 ∙ r4 ⇒     r = 4√(4500/4000) ≈ 1,03, i ≈ 3%  

TVM: I% (N = 4, I% = solve, PV = 4000, PMT = 0, FV = ‐4500, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 

6. Wie lange dauert es, bis ein Kapital von € 1.500,‐  bei einer Verzinsung von 4,5% auf € 2.000,‐  

anwächst? 

2000 = 1500 ∙ 1,045n ⇒     n = log(2000/1500)/log(1,045) ≈ 6,5 Jahre 

 TVM: N (N = solve, I% = 4,5; PV = 1500, PMT = 0, FV = ‐2000, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 

 

V Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik 

Zahlungen dürfen nur dann verglichen / addiert / subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben 

Stichtag auf‐ oder abgezinst wurden! 

 

Eine mögliche sRDP‐Teilaufgabe für Teil B 

7. a) Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet € 200.000  sofort und € 100.000  in 3 Jahren;  

B bietet je € 150.000  in einem Jahr und in 2 Jahren. Berechnen Sie, welches Angebot bei einer 

jährlichen Verzinsung von 5% für den Verkäufer günstiger ist.                                    Deskriptor 3 B  

Solche Aufgaben veranschaulicht man am besten durch eine 

Zeitlinie: 

 

Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des 3. Jahres aufzinsen: 

A: 200 000 ∙ 1,053 + 100 000 = 331 525 

B: 150 000 ∙ 1,052 + 150 000 ∙ 1,05 = 322 875 

Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger. 

(Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir einen anderen Bezugszeitpunkt, z.B. den Anfang des 1. 

Jahres, gewählt hätten.) 

A: FN (N = 4, I% =5, PV = ‐200000, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) + 100 000 331 525 

B: FN (N = 2, I% =5, PV = ‐150000, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END)  165 375 

    FN (N = 1, I% =5, PV = ‐150000, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END)  157 500 

                                             Addition in der Zeile durchführen:  322 875     

A ist für den Verkäufer günstiger. 

Eine dazu passende Teilaufgabe, die nicht Operieren enthält, Rentenrechnung, könnte zB so lauten: b) Für den Kauf der Immobilie wird ein Kredit K aufgenommen. Die folgende Zeitlinie veranschaulicht zwei mögliche gleichwertige Rückzahlungsarten bei i%. 

 Beschreiben Sie die beiden Zahlungsweisen verbal und argumentieren Sie, ob die angegebene 

Gleichung den Wert von R‘ richtig beschreibt. R‘ = R  (1+r³), wobei r = 1+i bedeutet.   Deskriptor 3,C,D  

6  

VI Unterjährige Verzinsung 

 Oft werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes im (m ist die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeiten:   Relativer unterjähriger Zinssatz: im = i/m  

Der nominelle Jahreszinssatz wird durch die Anzahl der Zinsperioden m geteilt. 

Dabei ergibt sich allerdings ein höherer jährlicher Effektivzinsatz. reff = 1+ ieff =  1   

               Bsp.: K0 = 100, i = 12%, n = 1 

halbjährlich:   i2 = 6%   K1 = 100∙1,062 = 112,36   ieff = 12,36%  

vierteljährlich:   i4 = 3%   K1 = 100∙1,034 = 112,55   ieff = 12,55%  

monatlich:   i12 = 1%   K1 = 100∙1,0112 = 112,68   ieff = 12,68%  

      Vierteljährig mit TVM‐Solver bei relativem Zinssatz     FN (N = 1, I% =12, PV = ‐100, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 4, END)  112,55   Konformer (äquivalenter) unterjähriger Zinssatz im 

rnom = 1 + i =  (1 + im)m    im = m nomr 1   

im wird so bestimmt, dass sich der nominelle Jahreszinssatz ergibt.  

Betrachten wir wieder das Beispiel i = 12%: 

halbjährlich:   (1 + i2)2 = 1,12   i2 = 5,83%  (statt 6% relativer Zinssatz) 

vierteljährlich:   (1 + i4)4 = 1,12   i4 = 2,87%  (statt 3% relativer Zinssatz) 

monatlich:   (1 + i12)12 = 1,12   i12 = 0,95% (statt 1% relativer Zinssatz) 

     Vierteljährig mit TVM‐Solver bei konformen Zinssatz in % !  in Vierteljahren. FN (N = 4, I% =100(1,12^0,25‐1), PV = ‐100, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END)  112 

 

Man kommt also nur zu widerspruchsfreien Ergebnissen, wenn man den konformen unterjährigen 

Zinssatz verwendet! im ist immer etwas kleiner als irelativ. 

 

Beispiele: 

8. Ein Kapital von € 4.000,‐ soll bei halbjährlicher Verzinsung mit 2,75% auf ein Endkapital von € 5.000,‐ 

gebracht werden. Berechnen Sie die Verzinsungsdauer.  

4 000 ∙ 1,02752n = 5 000   Gleichungssolver  n = 4,11 Jahre 

FN (N = solve, I% =2,75 ∙ 2, PV = ‐4000, PMT = 0, FV = 5000, P/Y = 1, C/Y = 2, END)  4,11268…   

Besonderheit: Wenn der unterjährige Zinssatz bekannt ist, dann wird I% mit Multiplikation zu Jahreszins berechnet! Wer das nicht so mag, kann  auch mit Halbjahren rechnen FN (N = solve, I% =2,75, PV = ‐4000, PMT = 0, FV = 5000, P/Y = 1, C/Y = 1, END)  8,22537…Halbjahre   

 

9. Ein Kapital  von € 3.500,‐ soll bei einem nominellen Jahreszinssatz von 5% halbjährlich verzinst 

werden. Berechnen Sie, wie hoch der Betrag nach der 1. Verzinsung ist. 

3500 ∙ r2 = 3586,43 

       FN (N =1, I% =100(1,05^0,5‐1), PV = ‐3500, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 3586,43 

Besonderheit: Hier ist der Jahreszinssatz gegeben und man benötigt den Halbjahreszinssatz, es  kann nur der konforme Zinssatz eingegeben werden. 

 

7  

VII Rentenrechnung 

 

Eine Reihe von gleichhohen Zahlungen (Raten) in regelmäßigen Zeitabständen bezeichnet man als 

Rente. 

Bezeichnungen: 

R: Rate 

E: Endwert (Wert am Ende des Rentenzeitraums) 

B: Barwert (Wert am Beginn des Rentenzeitraums) 

Rentenperiode: Zeitraum zwischen zwei Raten 

Nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode 

Vorschüssige Rente: Zahlungen am Beginn jeder Rentenperiode 

Wir nehmen zunächst an, dass Rentenperiode und Zinsperiode übereinstimmen, und bestimmen den 

Endwert einer n‐maligen, nachschüssigen Rente. (Die Rentenperiode sei ein Jahr.) 

  

Wir zinsen alle Raten, beginnend mit der letzten, auf den Tag der letzten Zahlung auf: 

En = R + R ∙ r + R ∙ r2 + ... + R ∙ rn‐1 = R ∙ (1 + r + r2 + ... + rn‐1) 

n

n

r 1E R

r 1

  

Um den Endwert einer vorschüssigen Rente zu erhalten, muss man diesen Betrag noch durch ein Jahr 

aufzinsen, weil das Ende des Rentenzeitraums ein Jahr nach der letzten Zahlung liegt. 

Den Barwert erhält man, indem man den Endwert durch n Jahre abzinst. Man verwendet für r‐1 häufig 

auch die Abkürzung v … Abzinsungsfaktor. Daher ergeben sich folgende Formeln: 

 

 

 

   nachschüssig  vorschüssig 

Endwert: n

n

r 1E R

r 1

 

n

v

r 1E R r

r 1

 

Barwert: n n

nn n

E 1 r v 1B R R v

r 1 v 1r

 

n nv

v n

E 1 r v 1B R r R

r 1 v 1r

 

 

Wenn Rentenperiode und Zinsperiode nicht gleich lang sind, muss man mit dem äquivalenten Zinssatz rechnen, z.B.: 

monatliche Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%:   r12 =  1,05= 1,0041 zweijährige Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%:   r² = 1,052 = 1,1025     

8  

Beispiele: Teilaufgaben für die sRDP  10. a) Frau A. zahlt 15 Jahre lang am Ende jedes Jahres € 1.000  ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will 

sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen.  Berechnen Sie die Höhe der Rate.                                                                                                              (3B)                                                                                          Wert 5 Jahre nach der letzten Einzahlung: Endwert (nachschüssig), aufgezinst durch 5 Jahre  1 000 ∙ 1,045 (1,0415 ‐ 1)/0,04= 24 361,76 Das ist der Barwert der neuen Rente (vorschüssig): 24 361,76 = R ∙ 1,04∙(1 ‐ 1,04‐20)/0,04 ⇒     R = 1 723,64   FN (N = 15, I% = 4, PV = 0, PMT = ‐1000, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END)  20 023,5876…∙1,04^5=24 361,76  FN (N =20, I% = 4, PV =24 361,76, PMT =  solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn) 1 723,64 

 

Anmerkung: Man kann im TVM‐Solver Zahlen verschieben: Die Zahlen sind in den Variablen 

gespeichert: Finance/Vars  

Man gibt die Zahlenvariable in die Zeile ein, in die man sie verschieben möchte. 

Bei dieser Aufgabe möchte man die Zahl 24 361, 76 nicht nochmals eingeben, daher gibt man bei PV 

die Variable FV aus VARS ein! 

 (So könnte eine weitere Teil B‐Teilaufgabe aussehen)  b) Frau A hat insgesamt einen Betrag B angespart und möchte diesen Betrag in vorschüssigen Monatsraten in der Höhe von R abheben. Stellen Sie eine Formel auf, die die Zahl n der Monatsraten angibt, die an Frau A ausgezahlt werden. (i = Jahreszinssatz)                                                          (3A)                                 

 11. a) Frau B. nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in 

nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Berechnen Sie die Höhe der Raten. (3 B) Den Aufzinsungsfaktor erhalten wir aus dem konformen Monatszinssatz: r = 1 + i12 = 

12√1,08 = 1,0064 Die Kreditsumme ist der Barwert, es sind 120 nachschüssige Raten zu zahlen: 15000 = R ∙ (1 ‐ 1,0064‐120)/0,0064 ⇒     R = 179,79  FN (N = 120, I% =8, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 179,79 … Y ist das Jahr  oder auch in Monaten mit konformen Zinssatz, Y ist ein Monat FN (N = 120, I% =100(1,08^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 179,79  b) Frau B kann einen Kredit K mit monatlichen vorschüssigen Raten von 170 € in 10 Jahren bei 8% 

Jahreszinsen begleichen. 

Die Bank ändert die Zinskondition nach der folgenden Grafik: 

 

 Argumentieren Sie, was sich ändern muss, wenn die Rückzahlung trotzdem zu gleichen Zeit beendet 

sein soll. Erklären Sie, welcher mathematische Ansatz zu genauen Berechnungen von geänderten 

Werten führt.                                                                                                                                      (3 D;A)                                 

 

9  

12 a) Herr N. muss 20 nachschüssige Quartalsraten von € 300,00  zahlen. Er will diese Verpflichtung durch zwei nominell gleich hohe Beträge Z sofort und am Ende des 3. Jahres ablösen. Berechnen Sie die Höhe dieser Beträge (Jahreszinssatz i = 6%).                                                           (3 B) 

       Z∙ 1,065 + Z ∙ 1,062 = 300 ∙ 5

0,25

1,06 -1

1,06 -1   Z = 2 808,84 

FN (N = 20, I% =6, PV = 0, PMT =‐300, FV = solve ,  P/Y = 4,     C/Y= 1, END) 6914,87/(1,06^5+1,06^3)  2 808,84 

 

b) Die Grafik zeigt die Entwicklung eines Kapitals E, 

das Herr N. durch jährliche gleichbleibende Raten R 

bei 10 % Zinseszins anspart. Entnehmen Sie der Grafik 

die ungefähren Jahresraten R und geben Sie mit Hilfe 

der Formeln der Rentenrechnung die 

Funktionsgleichung an.                                             

                                                                           (3 C,A)  

                            

Lösungsmöglichkeit: 

Jahresratenablesung: 1 | 250 der jährliche Sparbetrag Betrag wird mit € 250,‐ abgelesen (Ungenauigkeit wird toleriert) 

Man kann R bei t = 1 ablesen, weil 

1

1

r 1E R R

r 1 

 Mit dem TR sucht man die Funktionsgleichung am besten, indem man einige Punkte abliest. Die allgemeine Endwertformel für nachschüssige Renten ergibt den jeweiligen Spargesamtbetrag

n

n

r 1E R

r 1

 

E(t) = 250 ∙ ( 1,1 t ‐1) / 0,1 =2500 ∙ 1.1 t  ‐ 2500    

  VIII Schuldtilgung 

Es gilt das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik! 

Begriffe: 

Annuität: Jährliches Gesamterfordernis an einen Schuldner 

Tilgungsquote: Betrag, um den die Schuld in diesem Jahr vermindert wird 

Restschuld (besser Schuldrest) ist jene verbleibende Schuld, die nach Abzug aller bisherigen 

Tilgungsquoten übrigbleibt. 

Tilgungsdauer: Zeitraum für die gesamte Tilgung der Schuld 

Tilgungsplan Tabelle, wo für jedes Jahr eine Zeile gilt mit Angabe von:  

Zeilennummer  Annuität  Zinsen der Restschuld  Tilgungsquote  Restschuld 

  A … bekannt  Z = 0,01p ∙ Rvorjahr T = A ‐ Z  R = S ‐ T  

       Beispiel: Kredit von € 50.000,00 bei 4 % Jahreszins und gegebenen Annuitäten 

0        50 000 

1  10 000  50 000 ∙ 0,04 =  2 000 

10 000 – 2 000=  8 000 

50 000 – 8 000 = 42 000 

2  8 000  42 000 ∙ 0,04 = 1 680 

8000 – 1 680 = 6 320 

42 000 – 6 320 = 35 680  usw 

 

10  

Mögliche Matura‐Teilaufgaben: 

13 a) Deskriptor 3 B                                                                               

      Es wird ein Kredit von € 10.000,00 aufgenommen, der mit  nachschüssigen jährlichen  

Rückzahlungsraten (Annuitäten) bei einer jährlichen Verzinsung von 3,75% in 8 Jahren zurückgezahlt 

werden soll. Stellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 2 Jahre auf.                                                                               

Zunächst wird die Annuität (konforme jährliche Einzahlung) berechnet: 

FN (N = 8, I% =3,75, PV = 10000, PMT =solve, FV =0 , P/Y = 1, C/Y= 1, END)  1 469,98.. = A  

... jährliche Forderung an den Schuldner!  

 

Zeilennummer  Annuität  Zinsen d.Restschuld  Tilgungsquote  Restschuld 

Nr  A … berechnet  Z = 0,0366 ∙ RVorjahr T = A ‐ Z  R = S ‐ T 

0        10 000 

1  1 464,5  375  1 094,98  8 905,02 

2  1 464,5  333,94  1 136,04  7 768,97 

usw         

 

Einzelberechnungen: nach Fragestellung die Zeilen ausfüllen  

bal(K) Restschuld nach K Zahlungen (balance) Finance  /9 

∑Prn(K, M) Summe der Tilgungen der Zahlungen K bis M (principal) Finance /0 

∑Int(K, M) Summe der Zinsen der Zahlungen K bis M (interest) Finance /alpha A  

Im Hauptschirm: bal (1)   8905,02. Restschuld im Jahr 1 

∑Prn(1, 1) = 1 094,98 Tilungsrate im Jahr 1 

∑Int(1, 1)  = 375  Zinsen im Jahr 1 

 

b) Deskriptor 3 D 

Argumentieren Sie ohne Rechnung, was sich in einem Tilgungsplan verändert, wenn der Kreditnehmer 

mit dem Kreditgeber vereinbart, dass er ein Jahr lang die Rückzahlungen einstellen kann, trotzdem aber 

in der gleichen Zeit den Kredit zurückzahlen möchte.                                                                                         3 D                       

Für dieses Jahr fällt die Annuität aus (A = 0). Dadurch kommen die Zinsen zur Restschuld dazu, die 

Tilgungsquote ist negativ (‐Z). Damit man den Kredit im gleichen Zeitraum zurückzahlen kann, müssen 

die Annuitäten anschließend neu berechnet werden und fallen entsprechend höher aus. 

Tilgungsplan komplett mit TI 82 stats.  

14) Eine Schuld von S 100.000.‐ soll in 10 Jahren bei einem Zinssatz i = 5 % zurückgezahlt werden. 

Erstellen Sie einen kompletten Tilgungsplan!  

 

Mit dem TVM‐Solver können die Daten eingegeben und die 

Annuität berechnet werden, sie beträgt 12.950,46.  

   

Mit Hilfe von Listen und Folgen kann der komplette Tilgungsplan im 

Zusammenhang mit den Solverwerten erstellt werden.  

Folgen gibt man mit seq ein  

11  

Lists / OPS/ 5 seq  (Ausdruck, Variable, Anfangswert, Endwert [,Schrittweite]) ergibt eine Liste über die 

Berechnung des Ausdrucks mit x für die Variable x, von Beginn bis Ende, Schrittweite kann man auch 

eingeben) 

 

Man definiert vier Listen über das Menü  

STAT > 1:Edit > INS > Name folgendermaßen:  

JR="seq(X,X,1,N) … Ausdruck ist x, Variable = x, 1 ist Beginn, N ist Ende 

ZS="seq(‐∑Int(X,X),X,1,N)  

TG="seq(‐∑Prn(X,X),X,1,N)  

RT="seq(bal(X),X,1,N)  

die Laufzeit N muss aus dem Menü [FINANCE] > VARS > 1:N. eingegeben werden. 

 

Durch die Anführungszeichen ‐ " ‐ bleibt die Eingabe als veränderbare Formel erhalten, durch das 

negative Vorzeichen bei ZINS und TILG erhalten wir positive Beträge.  

 

 [STAT] > 1:Edit durch Scrollen sieht man den Tilgungsplan. In der 

Tabelle können nur 5 signifikante Stellen ausgegeben werden, aber in 

der Anzeige in der unteren Zeile kann der exakte Wert erfragt werden, 

etwa ZINS(5)=3286,63.  

   

 

Änderungen der Variablen N,  

PV, I% und PMT passen den Tilgungsplan nun automatisch an. Soll 

beispielsweise die Schuld von 100.000.‐ bei 5 % durch Annuitäten in der 

Höhe von 10.000.‐ getilgt werden, lässt man vom TVM‐Solver die Laufzeit 

berechnen. Es ergeben sich 14 volle und eine Rest‐Annuität.  

  

 

 

 

Schaltet man nun zu [STAT] > 1:Edit um, so findet man hier den 

angepassten Tilgungsplan.  

 

 

 

Visualisierung:  

Die Entwicklung der Zinsen und der Tilgungen kann mit Statistik‐Plots 

grafisch dargestellt werden. Im Menü [STAT PLOT] > 1:Plot 1 definiert 

man als Xlist das Jahr, als Ylist den Zins, in 2:Plot 2 als Ylist die Tilgung. 

Dazu müssen die Listen JAHR, ZINS und TILG aus dem Menü [LIST] > 

NAMES aufgerufen werden. (Bild 13) 

   

 

Nun muss über [WINDOW] ein geeigneter Ausschnitt definiert werden, 

etwa das Intervall [0, 10] für die X‐Werte und [0, 15000] für die Y‐Werte. 

Mit [GRAPH] können nun Zinsen und Tilgungen grafisch d (Diese Anleitung stammt von Markus Paul, HAK Innsbruck) 

12  

Anhang: Leontief‐Modell auf dem TI 82stats  

Drei Abteilungen R, S und T sind nach dem Modell von Leontief miteinander verflochten. Es ist die Inputmatrix der Waren bekannt: 

 A =     a) Ergänzen Sie die fehlenden Zahlen der Inputmatrix. 

Interpretieren Sie, was A über den Eigenverbrauch der 3 Abteilungen aussagt und wie viel der Waren von R in die Abteilungen S und T  für deren Produktion fließen.                               2,C,D  

  b) Im vergangenen Quartal produzierte R Waren im Wert von 800 GE, S im Wert von 1000 GE und  

T im Wert von 500 GE. Zeigen Sie durch Berechnung, wie Sie zur gegebenen Tabelle kommen, die sowohl die Lieferungen der Abteilungen untereinander, als auch die Lieferungen in den externen Konsum wiedergibt. Dokumentieren Sie die einzelnen Rechenschritte.                                                                         2,B 

            für 

von    R  S  T  N  X 

R  440 250 100 10 800 

S  160 800 0  40 1000

T  80  100 275 45 500 

      c) Erstellen Sie den Gozintographen der Güterströme gemessen in GE aus den Daten der Tabelle in B 

und interpretieren Sie die Grafik                                                                                                           2A,C       

Lösung mit einem TI82stats  

 

a) Den Eigenverbrauch liest man in der Hauptdiagonale ab: 

    R benötigt 55 % der Produktion selber, S 80% und T 55 %. RS 25%, RT  20 %  

b)  

Es gilt der folgende Zusammenhang: Produktion (X)  = Nachfrage (N)  + interner Verbrauch  (A ∙ X)  

X = N + AX  X ‐ AX = N (E – A) X = N           E ist die Einheitsmatrix. 

Nachfrage N = (E – A)  X  bekannt ist:  

 

X =  

 

Die Nachfrage erhält man mit der folgenden Eingabe: 

A ist in [A] gespeichert 

X wird in [B] editiert: Matrix/ Edit [B]  3x1  eingeben und QUIT 

 

13  

 

 

(Matrix/Math Identity (3) – [A])* [B]  eingeben  

Die einzelnen Waren mit den Geldwerten (= Leontief‐Matrix) erhält  man, wenn man die Zeilenelemente 

der Inputmatrix jeweils mit den Spaltenelementen der Produktion multipliziert: 

 

Man kann das mittels Matrizenrechnung so ausführen:  

  

Zusammenfassung in der Leontief‐Tabelle: 

                                                            Input in den Spalten            für 

von    R  S  T  Nachfrage Produktion

R  440 250 100 10  800 

S  160 800 0  40  1000 

T  80  100 275 45  500 

                                             Output in den Zeilen 

 

c)  Aussage: Gozintograf der Güterströme gemessen in 

Geldeinheiten.  

 

R produziert Waren im Wert von 800 GE 

R braucht selber R‐Waren im Wert von 440 GE 

R gibt an S  Waren im Wert von 250 GE = 25% der S‐Produktion 

R gibt an T Waren im Wert von 100 GE = 20 Prozent der T‐

Produktion  

und gibt in den Konsum den Warenwert 800‐440‐250‐100 = 10 

GE 

 

S produziert Waren im Wert von 1000GE 

S benötigt selber S‐Waren  im Wert von 800 GE = 80 Prozent 

der S‐Produktion 

S gibt an R Waren im Wert von 160 GE = 20 % der R‐Produktion 

S gibt von T nichts 

S gibt in den Konsum den Warenwert von 1000 – 800 ‐ 160 = 40 GE 

 

T produziert Waren im Wert von 500 GE 

T benötigt davon selber Waren im Wert von 275 GE = 55% der T‐Produktion 

T gibt an  R  Waren im Wert von 80 GE = 10% der R‐Produktion 

T gibt an S Waren im Wert von 100 GE = 10% der S‐Produktion 

T gibt in den Konsum den Warenwert von 500 – 275 – 80 ‐ 100 = 45 GE