Tirant Critico en Llanuras

Tirante Critico en Llanuras de Inundacion

INTRODUCCIÓN

El análisis de tirantes críticos en la condición de régimen crítico debe

calcularse a partir de los criterios de energía específica mínima o

del momentum mínimo, toma particular importancia en canales de

sección transversal compuesta, ya que una vez que el agua inunda las

subsecciones laterales los coeficientes α de corrección del flujo de

energía cinética y β de corrección de cantidad de movimiento difieren de

1. Esta monografia presenta una comparación de los resultados

obtenidos al calcular las condiciones críticas en canales de sección

compuesta empleando los métodos propuestos por Blalock y Sturm

(1981) con el criterio de la energía específica mínima, y de Chaudhry y

Bhallamudi (1988) con el criterio del momentum mínimo.


ANÁLISIS DEL TIRANTE CRITICO EN LLANURAS DE INUNDACIÓN Y CANALES DE SECCIÓN COMPUESTA

1. DEFINICIONES GENERALES:

1.1) LLANURAS DE INUNDACIÓN:

Las llanuras de inundación son áreas de superficies adyacentes a ríos o riachuelos, sujetas a inundaciones recurrentes. Debido a su naturaleza siempre cambiante, las llanuras de inundación y otras áreas inundables deben ser examinadas para precisar la manera en que pueden afectar al desarrollo o ser afectadas por él.

1.2). CANALES DE SECCIÓN COMPUESTA

Un canal compuesto consiste de un canal principal que conduce caudales pequeños en la parte más profunda de la sección y de canales laterales más elevados que se inundan al desbordarse el primero, para conducir los caudales de avenidas en conjunto. La figura 1 muestra una sección compuesta, donde las subsecciones laterales suelen designarse como bermas, que pueden ser simétricas o asimétricas.


Fig. 1

El cambio brusco en la geometría de la sección compuesta cambia el flujo del canal principal a los laterales y da lugar a tirantes críticos múltiples, lo que dificulta ubicar la sección de control, así como la interpretación y el cálculo de los perfiles de la superficie del agua. En este tipo de canal, el coeficiente α de corrección del flujo de energía cinética y β de corrección de cantidad de movimiento son diferentes, por lo que el tirante crítico calculado con el concepto de energía específica mínima no es el mismo que el que se obtiene con el concepto de momentum mínimo, por lo cual, al definir la condición de régimen crítico se debe elegir sólo uno de estos criterios.

2. ANÁLISIS DE TEORÍAS

Blalock y Sturm (1981) propusieron el uso de una nueva forma del número de Froude que se basa en el concepto de la energía específica mínima en el procedimiento de cálculo para determinar los tirantes críticos múltiples en canales de sección compuesta.

Sturm y Sadiq (1996) propusieron un método para identificar el intervalo del gasto dentro del que existen tirantes críticos múltiples.

Sotelo (2002) presentó un algoritmo para aplicar el método de Blalock, el cual se puede aplicar a canales de pendiente grande y toma en cuenta las aportaciones en la variación del coeficiente n de Manning que propusieron Sturm y Sadiq.

Chaudhry y Bhallamudi (1988) propusieron otro procedimiento de cálculo que se basa en el concepto del


momentum mínimo y se aplica sólo a canales compuestos simétricos.

3. MÉTODO DE BLALOCK Y STURM (1981). PRINCIPIO DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA MÍNIMA.

Este método define un número de Froude (FB ) para la sección compuesta. Al obtener dE/dy, es necesario considerar que el coeficiente:

en toda la sección sea también función del tirante, aunque αi en cada subsección sea constante, por lo cual, para el régimen crítico se obtiene

(1)donde: E energía específica; y profundidad; Q gasto; T ancho de superficie libre; A área hidráulica; θ ángulo que forma la plantilla de un canal de eje recto con la horizontal;

g’ = g cos θ. Al tomar en cuenta , se llega a que el número de Froude sea

(2)

Donde , es el factor de conducción y los coeficientes σ1, σ2, y σ3 se calculan como sigue:


(3)

(4);

(5)

Cuando la pared se comporta como hidráulicamente rugosa, la variación de n en cada subsección se puede incluir en la ecuación de Nikuradse para el factor de fricción f

(6)

al derivar n con respecto al tirante se llega a

(7)

Sturm y Sadiq (1996) usaron los coeficientes de Keulegan: α N = 2 y c = 12.64, para aplicarlos en el canal compuesto que utilizaron en sus experimentos y encontraron que el valor de n para el canal central se predice muy bien con la ecuación (6) mientras el tirante sea menor que el nivel de desbordamiento; una vez rebasado este nivel, el valor de n en dicho canal resultó 1.19 veces mayor que el que se encuentra con dicha ecuación. El valor de n en los canales laterales también se ajustó a la ecuación (6).

El número de Froude Fm del flujo cuando ocurre solo en la subsección más profunda, es decir,y = ym, se define mediante la expresión:


(8)

Para determinar el intervalo de gastos en el que existen gastos múltiples, la ecuación (2) se divide entre la (8) y se tiene la relación adimensional

(9)

Al establecer que el tirante crítico ocurre cuando FB = 1, existe un intervalo de valores 1/Fm y por tanto un intervalo de gastos dentro del cual hay dos tirantes críticos, uno inferior en la subsección más profunda, yc1 < ym1 y uno superior yc2 > ym1. El gasto límite superior Q U del intervalo ocurre cuando yc 1 = ym1. El gasto límite inferior QL del intervalo es el último para el cual ocurre el tirante crítico yc2 = ym1, es decir, Fm < 1, FB = 1 y (FB/Fm)máx para Q = QL .

(10);

(11)

Para que exista más de un tirante crítico, el gasto debe estar dentro del intervalo:

QL ≤ Q ≤ QU. 3.1 Algoritmo (Energía específica mínima) El tirante crítico yc1 < ym1 se determina con el procedimiento convencional considerando el canal más profundo como un canal sencillo. Para determinar cualquier otro tirante crítico, yci > ym1, se emplea el proceso iterativo propuesto por Sotelo (1998) que a continuación se presenta.

De la ecuación (2), con y al multiplicar por αK3/A2, resulta


(12)

De la ecuación (12) y la definición de energía específica, el tirante en la iteración i+1 resulta

(13)

Por tanto, el algoritmo consiste de los siguientes pasos:

1. Se determina un valor yc1 del tirante crítico con las dimensiones de la subsección más profunda.

2. Si yc1 > ym1, el tirante crítico yc1 no existe y queda cancelado. Si yc1 ≤ ym1, el tirante crítico yc1 existe y queda con el valor calculado.

3. Se elige un valor inicial del tirante y0 que sea ligeramente mayor que ym1.

4. Se calculan los valores de K, α, E, σ1, σ2 y σ3 para el tirante yi elegido en el paso 3 y con ellos se determina un nuevo valor yi+1 con la ecuación (13).

5. Si yi+1 ≥ ym1, se continúa con el paso 6. Si yi+1 < ym1, c yc2 queda cancelado y se sigue con el paso 7.

6. Se obtiene el error . Si e es menor que una tolerancia establecida, el tirante crítico yc2 existe con el valor calculado y se sigue con el paso 7. Si e es mayor que la tolerancia, se repite el proceso desde el paso 3.

7. Si no existen más ampliaciones el proceso concluye, de lo contrario se continúa con el paso 8. El número de veces que se repite el proceso es igual al número de alturas de bermas diferentes que existen en la sección del canal, es decir, para todos los ymj distintos en el canal.


8. Se repite el proceso desde el paso 2, considerando yc2 en lugar de yc1 y ym2 en vez de ym1 y así sucesivamente hasta concluir con todos los procesos.

4. MÉTODO DE CHAUDHRY Y BHALLAMUDI (1988). PRINCIPIO

DEL MOMENTUM MÍNIMO.

Al calcular el mínimo de la función momentum M y con la consideración que

en toda la sección también sea función del tirante aunque en cada subsección βi sea constante, y con

, se obtiene

(14)

la ecuación (14) representa la condición general de régimen crítico en canales de sección compuesta, según el criterio de momentum mínimo.

Este método incorpora una definición general del número de Froude, basada en las ecuaciones de continuidad y momentum obtenidas por Yen. En un canal de pendiente pequeña (cos θ = 1) dicho número es

(15)para que se presente régimen crítico FY = 1.

Se define el parámetro adimensional C cuando el nivel del agua se encuentra a la altura de las bermas de inundación, es decir y = ym.,

(16)


de las ecuaciones (14) y (16) y tomando en cuenta la geometría, se tiene

(17)

El factor C es función de la geometría del canal y del tirante y > ym, de manera que al conocer el caudal se pueden resolver las ecuaciones (16) y (17) en forma simultánea mediante un procedimiento iterativo para obtener los valores de los tirantes críticos cuando el nivel del agua sea mayor que la altura de las bermas laterales.

Chaudhry particularizó las ecuaciones (16) y (17) para canales simétricos con el fin de facilitar el método. La sección compuesta se puede dividir en tres subsecciones: la central (1) y dos laterales simétricas (2). De esta manera se pueden definir las características geométricas como sigue:

; ; ;

; Además, se establece el parámetro

(18)

y se definen también los siguientes parámetros:

(19);

(20); (21)

Con Ti = dAi /dy y considerando los parámetros c1, c2 y c3, la ecuación (17) se convierte en


(22)

Así es que la ecuación (22) expresa el factor C para un canal simétrico con sólo dos llanuras de inundación. La obtención de los tirantes críticos depende de la resolución de las ecuaciones (16) y (22) mediante un procedimiento iterativo.

Chaudhry, a diferencia de Blalock, no propone ningún factor para el coeficiente de Manning del canal principal que tome en cuenta la interacción entre la subsección más profunda y las llanuras de inundación. 4.1 Algoritmo (Momentum mínimo)

1. A partir de la ecuación (16) hacer (23).2. Si ka <1, se determina C de la ecuación (22) para distintos

valores de y empezando con uno mayor que ym y continuando hasta que el calculado sea igual a ka dentro de la tolerancia establecida.

3. Si ka ≥ 1, continuar con los pasos del 4 al 9.4. Calcular Cmáx determinando la magnitud de C mediante la

ecuación (22) para distintos valores de y, a partir de uno inicial ligeramente mayor que ym y terminarlo hasta que se alcance el valor máximo de C.

5. Si ka > Cmáx, entonces se obtiene yc1 al resolver la ecuación Q2/g = A3/T.

6. Si ka < Cmáx, se sigue con los pasos 7 a 9.7. Calcular yc1 a partir de resolver: Q2/g = A3/T.8. Obtener yc2 determinando diferentes valores de C con la

ecuación (22) para distintos valores de y empezando con uno mayor que ym y continuando hasta que el calculado sea igual a ka dentro de la tolerancia establecida.

9. Se repite el proceso del paso 8 para obtener el valor de yc3 con un valor de y mayor que yc2.


5. TIRANTES CRÍTICOS MÚLTIPLES

Energía específica mínima. Para ilustrar la ocurrencia de tirantes críticos múltiples en canales de sección compuesta, se presenta el análisis del canal del ejemplo 1, cuya sección transversal se muestra en la figura 2. Por simplicidad y con fines de comparación entre los métodos presentados en este trabajo, se considera que αi = 1 y que ni es constante, es decir dni /dy = 0.

Figura 2. Ejemplo 1

En la figura 3 se observa el comportamiento del número de Froude FB definido por la ecuación (2), para un gasto Q = 141.58 m3/s.

Figura 3. Curva FB – y Figura 4. Curva FB /Fm - y


En la curva de la figura 3 se puede apreciar que con Q = 141.58

m3/s, FB = 1 en tres puntos diferentes yc1 = 1.58 m, yc2 = 2.06 m, que son los tirantes críticos obtenidos con este criterio, además de un tercero igual a 1.84 m, muy cerca del nivel de berma y que no se considera como tirante crítico ya que representa más bien un máximo de energía específica.

Con el gasto analizado se presentan dos tirantes críticos; sin embargo, es posible que se presente una solo tirante crítico, ya sea en el canal central debajo del nivel de inundación de las bermas para un gasto pequeño o sobre el mencionado nivel para un caudal grande. De acuerdo con lo anterior y por razones de diseño, es conveniente determinar los gastos límite superior e inferior que encierran el intervalo de caudales para los que se presenta más de un tirante crítico, esto se logra graficando FB /Fm - y para el gasto dado. Sin embargo, de la ecuación (9) se observa que esta curva es la misma que se obtiene para cualquier gasto dentro del intervalo que acepte tirantes críticos múltiples, por lo tanto, el valor de (FB/Fm)máx para el gasto dado es el mismo que para el gasto máximo.

En la gráfica de la figura 4 se observa que (FB /Fm)máx = 1.51. Por otro lado, aplicando las ecuaciones (10) y (11) con Am = 43.426 m2, T1 = 25.56 m y α =1, se tiene que el gasto límite superior es QU = 177.28 m3/s y elinferior es QL = 117.28 m3/s. Momentum mínimo. En forma similar a la empleada para ilustrar la ocurrencia de tirantes críticos con el método de Blalock y Sturm, se analizará con el método de Chaudhry el mismo caso del canal del ejemplo 1. Se considera que en cada subsección se tiene que αi = 1, βi = 1 y que dni /d y = 0. En la figura 5 se puede observar el comportamiento del número de Froude FY, definido por la ecuación (15), para un caudal de 141.58 m3/s.


Figura 5. Curva FY - y Figura 6. Curva y - C

En la gráfica de la figura 5 se puede apreciar que el número de Froude es igual a uno para tres puntos diferentes yc1 = 1.58 m, yc2 = 1.84 m y yc3 = 1.93 m, que son los tirantes críticos obtenidos con este criterio. Chaudhry propone la existencia de las tres, a diferencia de Blalock que no toma en cuenta el valor intermedio.

Con la ecuación (22) se calcula la gráfica y - C que se presenta en la figura 6 para valores del tirante por encima del nivel de inundación. Con la geometría del canal y el gasto Q, se obtiene ka = 1.568 de la ecuación (23), que corresponde a los valores de yc2 y yc3.

Por otro lado, en la gráfica 6 se observa que cuando el tirante se acerca al nivel de inundación, el valor de C tiende a uno; este caso es general para cualquier canal. Existe, además, un punto máximo Cmáx = 1.8371 que depende exclusivamente de la geometría del canal. Estos dos puntos ayudan a determinar los caudales límite en los que se presentan tres tirantes críticos. Con Cmáx en la ecuación (16) y despejando el gasto se tiene QU = 177.28 m3/s. De igual forma, con C = 1, que es el valor mínimo a partir del cual se presentan tirantes críticos múltiples, se tiene QL =130.80 m3/s.De esta manera pueden presentarse cualquiera de los tres

siguientes casos:a) Si ka < 1, existe un solo tirante crítico y se ubica sobre el nivel

de inundación (yc > ym).


b) Si 1 ≤ ka < Cmáx, existen tres tirantes críticos, uno se ubica dentro de la subsección de mayor profundidad y los otros dos sobre el nivel de inundación.

c) Si ka ≥ Cmáx, existe un solo tirante crítico y se ubica dentro de la subsección de mayor profundidad.

6. EJEMPLOS Y COMPARACIÓN DE AMBOS MÉTODOS

Comparación analítica: Si se comparan las ecuaciones (1) y (14) se observa que la única forma que estos dos criterios proporcionen los mismos valores de tirantes críticos es con α = β =1 y constante para toda a sección transversal, esto no es posible cuando se presentan diferentes rugosidades en el canal central y los laterales; además se requiere. α’ = β’ = 0. Los estudios realizados muestran que para los canales de sección compuesta los valores de α y β son distintos de uno y cambian con la profundidad del flujo, por lo que no es factible que ambos criterios coincidan en la práctica.

Dado que la comparación analítica no presenta evidencia suficiente, se presenta una comparación de los resultados obtenidos para tres canales diferentes empleando ambos métodos. El primer caso corresponde al canal del ejemplo 1. Este canal es uno de los que presenta Blalock en su artículo de 1981.

El canal del ejemplo 2 que se muestra en la figura 7, corresponde al analizado exhaustivamente por Chaudhry (1988). Los resultados se presentan en la tabla 2.

Figura 7. Ejemplo 2


Adicionalmente, en el ejemplo 3 se analiza el canal que presenta Sotelo (2002), en el cual se han modificado las rugosidades para cada subsección, de manera que se pueda establecer la comparación de los métodos. En la figura 8 se muestra la sección transversal del canal mencionado, cuyo análisis se muestra en la tabla 3.

Figura 8. Ejemplo 3Tabla 1. Resultados del ejemplo 1

Q(m3/s)

yc1

(m)

yc2 (m) Diferencia relativa

(%)Blalock Chaudhry

100.00 1.26 - - -117.27 1.39 1.91 - -130.80 1.50 2.02 1.87 7.34141.58 1.58 2.06 1.93 6.37177.28 1.83 2.17 2.02 6.65200.00 - 2.22 2.07 6.85

Tabla 2. Resultados del ejemplo 2

Q(m3/s)

yc1

(m)yc2 (m) Diferencia

relativa (%)Blalock Chaudhry1.7 0.66 - - -2.0 0.74 1.0850 1.0710 1.292.5 0.86 1.1271 1.1128 1.273.0 0.97 1.1593 1.1453 1.213.5 - 1.1871 1.1739 1.11

Tabla 3. Resultados del ejemplo 3


Q(m3/s)

yc1

(m)yc2 (m) Diferencia

relativa (%)Blalock Chaudhry23.0 1.5219 - - -24.0 1.5592 1.8325 1.7825 2.7325.0 1.5958 1.8659 1.8127 2.8526.0 1.6316 1.8933 1.8364 3.0127.0 1.6668 1.9175 1.8573 3.1428.0 - 1.9397 1.8765 3.26

Tabla 4. Comparación entre los canales estudiados

Canal n1/n2 b1/b2 ym1/b2

Diferencia relativa

(%)1 0.3750 0.1198 0.0100 6.802 0.9028 0.3333 0.3333 1.223 0.5000 0.2500 0.1467 3.00

A pesar de que con los resultados de la tabla 2 se podría establecer que la diferencia relativa entre ambos métodos es mínima y despreciable, los datos de las tablas 1 y 3 contradicen dicha afirmación. En la tabla 4 se incluyen las relaciones entre rugosidades y anchos de plantilla del canal principal y las llanuras de inundación; además del cociente de la altura de la berma y el nivel de las bermas.

A partir de los resultados presentados en la tabla 4, se analizaron varios canales para determinar la influencia de las relaciones n1/n2, b1/b2 y ym1/b2. Para cada sección se obtuvieron los tirantes críticos para cinco caudales diferentes ubicados dentro de los límites superior e inferior de acuerdo con el criterio de Chaudhry, dado que el criterio de Blalock arroja un intervalo más amplio. Se calculó el promedio de los errores relativos para cada canal analizado. Los resultados se presentan en las tablas 5a, b, c y d. Tabla 5a. Error relativo para b1/b2=1.00 Tabla 5b. Error relativo para b1/b2=0.50

n1/n2 n1/n2


ym1/b2 1.000.500.330.250.10 ym1/b2 1.000.500.330.250.10

1.00 0.881.581.712.071.19 1.00 0.541.662.593.274.800.50 1.191.871.892.120.84 0.50 1.022.443.504.204.980.25 1.382.152.112.010.59 0.25 1.493.934.264.964.490.10 0.881.581.712.071.24 0.10 0.551.712.593.274.80

Tabla 5c. Error relativo para b1/b2=0.33 Tabla 5d. Error relativo para b1/b2=0.10

n1/n2 n1/n2

ym1/b2 1.000.500.330.250.10 ym1/b2 1.000.500.330.25 0.10

1.00 0.281.372.313.115.92 1.00 0.171.081.952.73 5.970.50 0.752.173.354.317.24 0.50 0.551.852.993.99 7.580.25 1.273.044.445.497.47 0.25 1.072.764.175.35 8.81

0.100.242.262.313.115.92

0.100.171.081.952.73 13.0

9

CONCLUSIONES A partir de los resultados mostrados en las tablas.5a, b, c, y d, se concluye lo siguiente:

Las ecuaciones de la energía y la de cantidad de movimiento no

conducen a los mismos resultados. La igualdad se logra sólo

cuando α = β =1, lo cual es una simplificación inaceptable en un

canal de sección compuesta.

El método de Blalock y Sturm es más general y más sencillo en su

procedimiento que el de Chaudhry y Bhallamudi

El tirante crítico intermedio que proponen Chaudhry y Bhallamudi,

siempre es muy cercano al nivel de berma y más bien corresponde a


un valor máximo de la energía específica; además, este valor se

determina cuando el nivel del agua es muy bajo en la subsección

lateral, para el cual no puede considerarse un flujo unidimensional

plenamente formado. Además, para esta magnitud del tirante no se

puede considerar flujo turbulento y por lo tanto no se pueden

emplear coeficientes de fricción exclusivos de dicho flujo.

El cálculo de los perfiles de flujo se realiza con la ecuación de la

energía, por lo tanto la condición crítica se debe calcular a partir de

esta ecuación.

El método de Blalock y Sturm proporciona valores del tirante crítico

siempre mayores que el de Chaudhry y Bhallamudi.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA


CÁTEDRA : Aprovechamiento Hidroeléctrico

CATEDRÁTICO : Ing. Ayala Bizarro, Ivan

ALUMNA :

CICLO : X

Huancavelica-Perú-2013


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