Topologie, analyse et calcul différentiel

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    05-Jan-2017

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<ul><li><p>Topologie, analyse et calcul diffrentiel</p><p>Frdric Paulin</p><p>Version prliminaire</p><p>Cours de troisime anne de licence</p><p>cole Normale Suprieure</p><p>Anne 2008-2009</p><p>1</p></li><li><p>Table des matires</p><p>1 Vocabulaire 71.1 Le corps ordonn des nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>Topologie dfinie par une famille de pseudo-distances . . . . . . . . . . . . 181.4 Topologie engendre et base douverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>Topologie de lordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6 Intrieur, adhrence, frontire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 Sparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9 Connexit et connexit par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.10 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2 Constructions de topologies 432.1 Comparaison de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Topologie initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>Topologie image rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Topologie dfinie par une famille de pseudo-distances . . . . . . . . . . . . 45Topologie dfinie par une famille de semi-normes . . . . . . . . . . . . . . 45Topologie troite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>2.3 Sous-espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</p><p>2.4 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Topologie limite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>2.5 Topologie finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Topologie somme disjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Topologie faible dfinie par une famille de sous-espaces . . . . . . . . . . . 61Topologie de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>2.6 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Distance quotient dune pseudo-distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Constructions topologiques par quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>2.7 Groupes et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</p><p>Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Anneaux et corps topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Corps valus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>2.8 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Espaces vectoriels norms sur un corps valu . . . . . . . . . . . . . . . . 82Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . . 83Continuit des applications multilinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Topologie faible-toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90</p><p>2.9 Espace quotient dune action de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>2</p></li><li><p>2.10 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96</p><p>3 Limites et valeurs dadhrence 1003.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100</p><p>Proprits des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2 Comparaison asymptotique : notation de Landau . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3 Valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4 Compltude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110</p><p>Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Espaces complets, de Banach, de Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Thorme du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117</p><p>3.5 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119</p><p>4 Compacit 1214.1 Espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.2 Compacit et valeurs dadhrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.3 Compacit et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4 Compacit et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129</p><p>Applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Lespace des bouts dun espace localement compact . . . . . . . . . . . . . . 132</p><p>4.6 Thormes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.7 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137</p><p>5 Topologie fonctionnelle 1385.1 Topologie de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</p><p>Exemples despaces fonctionnels complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Relation avec la convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145</p><p>5.2 Topologie compacte-ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149</p><p>Complt dun espace mtrique. Corps valus complets . . . . . . . . . . . 1545.4 Semi-continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158</p><p>Limites suprieures et infrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Semi-continuit infrieure et suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161</p><p>5.5 Thorme dArzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.7 Thorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.8 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178</p><p>6 Analyse fonctionnelle 1796.1 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179</p><p>Rappels et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Thormes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Rsultats de compacits pour topologies affaiblies . . . . . . . . . . . . . . 191Applications de la thorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196</p><p>6.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Rappels sur les espaces prhilbertiens et dfinitions . . . . . . . . . . . . . 199Projection sur un convexe ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203</p><p>3</p></li><li><p>Autodualit des espaces de Hilbert rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Thormes de Lax-Milgram et de Stampachia . . . . . . . . . . . . . . . . 207Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209</p><p>6.3 Thorie spectrale des oprateurs auto-adjoints borns . . . . . . . . . . . . . 213Spectre des oprateurs borns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Oprateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Oprateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Spectre des oprateurs auto-adjoints compacts . . . . . . . . . . . . . . . 224Rsolution spectrale des oprateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . 225</p><p>6.4 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227</p><p>7 Calcul diffrentiel banachique 2307.1 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230</p><p>Proprits lmentaires des diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.2 Thorme des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . 2367.3 Diffrentielles partielles et dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239</p><p>Diffrentielles partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Diffrentielles dordre suprieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Applications analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248</p><p>7.4 Inversion locale et quations implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.5 Thorie de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255</p><p>Existence locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Solutions approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Unicit locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Explosion des solutions maximales en temps fini . . . . . . . . . . . . . . 262Cas des quations diffrentielles linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Rgularit des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Proprit de la rsolvante dans le cas linaire . . . . . . . . . . . . . . . . 266Dpendance rgulire des conditions initiales et des paramtres . . . . . . 268Des quations diffrentielles dordre p celles du premier ordre . . . . . . 271</p><p>7.6 quations diffrentielles autonomes et champs de vecteurs . . . . . . . . . . 2727.7 Indications pour la rsolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276</p><p>8 Exercices de rvision 2778.1 noncs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277</p><p>Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288</p><p>8.2 Indications de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293</p><p>Index 314</p><p>4</p></li><li><p>Bibliographie 3211</p><p>1Je remercie les lves de la promotion 2007, en particulier Olivier Begassat, Igor Kortchemski etArthur Leclaire, et les lves de la promotion 2008, en particulier Nicolas Dreyfus, David Gontier etArthur Milchior, pour leurs nombreuses corrections sur les premires versions de ce texte, en esprant queceux des promotion suivantes aideront encore le peaufiner !</p><p>5</p></li><li><p>6</p></li><li><p>Dans ces notes, nous supposons connues les notions despaces vectoriels norms relsou complexes (et leurs distance et topologie associes) contenues dans le programme ducours de Mathmatiques Spciales MP*. Nous reviendrons plus longuement sur les espacesvectoriels norms dans le paragraphe 2.8 et le chapitre 6. Les preuves qui ne sont pasdonnes ci-dessous sont les mmes que dans le cas particulier des espaces vectoriels norms,ou sont laisses en exercice. La consultation de livres de contre-exemples [GO, Ste, Kha]est souvent profitable (surtout pour le premier).</p><p>1 Vocabulaire</p><p>Les rfrences recommandes sont [Bou1, Dix, Dug].</p><p>1.1 Le corps ordonn des nombres rels</p><p>On ne ferait pas grand chose en analyse sans le corps ordonn R des nombres rels.Disons quelques mots sur cet objet en prambule.</p><p>Soit E un ensemble. Rappelons quun ordre (ou ordre partiel) sur E est une relation qui est rflexive ( x E, x x), antisymtrique ( x, y E, si x y et y x, alorsx = y) et transitive ( x, y, z E, si x y et y z, alors x z). On note x y si x yet x 6= y, x y si y x, et x y si x y et x 6= y. Un ensemble ordonn est un ensemblemuni dun ordre.</p><p>Si (E,) et (F,) sont deux ensembles ordonns, une application de E dans F prservelordre si f(x) f(y) pour tous x y. Si une bijection prserve lordre, alors son inverseaussi.</p><p>Exemples. Linclusion est un ordre (partiel) sur lensemble P(E) des parties de E, etsera souvent sous-entendu. Si est un ordre sur E, alors la relation dfinie par x y siet seulement si y x est encore un ordre, appel lordre inverse de . Si (E,) et (F,)sont deux ensembles ordonns, alors la relation sur lensemble produit E F , dfiniepar</p><p>(x, y) (x, y) (x x ou (x = x et y y))est une relation dordre sur E F , appel lordre lexicographique. Si f : E F est uneapplication, alors les applications image dune partie A 7 f(A) et image rciproque dunepartie B 7 f1(B) prservent lordre, respectivement de P(E) dans P(F ) et de P(F )dans P(E).</p><p>Soient E un ensemble ordonn et A une partie de E. Un lment x de E est un majorantde A si</p><p> y A y x .Un lment x de E est un minorant de A si</p><p> y A y x .</p><p>La borne suprieure (resp. infrieure) de A est (lorsquil existe) le plus petit majorant(resp. le plus grand minorant) de A (il est alors unique), not supA (resp. inf A). Parexemple, s E est la borne suprieure de A si et seulement si</p><p> x A, x s et s E, ( x A, x s) s s .7</p></li><li><p>Si (xi)iI est une famille dlments de E, on note supiI xi = sup{xi : i I} (resp.infiI xi = inf{xi : i I}), lorsquils existent.</p><p>Pour tous x, y dans un ensemble ordonn (E,), on note</p><p>[x, y] = {z E : x z y} ,]x, y] = {z E : x z y} ,[x, y[ = {z E : x z y} ,]x, y[ = {z E : x z y} ,</p><p>[x,+[ = {z E : x z} ,]x,+[ = {z E : x z} ,] , x] = {z E : x z} ,] , x[ = {z E : x z} ,</p><p>que lon appelle les intervalles de E. Les premiers, cinquimes et septimes sont les inter-valles ferms. Les quatrimes, siximes et huitimes sont les intervalles ouverts.</p><p>Un ordre total sur E est un ordre tel que pour tous x, y dans E, on ait x y ou y x.On note min{x, y} = x et max{x, y} = y si x y, et min{x, y} = y et max{x, y} = xsi y x. Un ensemble muni dun ordre total est un ensemble totalement ordonn. Parexemple, lordre lexicographique sur le produit de deux ensembles totalement ordonns estun ordre total.</p><p>Un corps (totalement) ordonn est un corps (commutatif) K muni dun ordre total tel que, pour tous x, y, z dans K, si x y, alors x + z y + z (proprit de compatibi-lit de lordre avec la structure de groupe additif, aussi appele invariance de lordre partranslations) et si x y et 0 z, alors xz yz (proprit de compatibilit de lordre avecla multiplication, aussi appele invariance de lordre par multiplication par un lmentpositif). Un isomorphisme de corps ordonns est un isomorphisme de corps prservantlordre.</p><p>Nous supposons connus dans ce texte le corps ordonn (R,) et sa valeur absolue| |. Il existe de nombreuses constructions de...</p></li></ul>

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