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Lagrange e la Matematica nel Secolo dei Lumi a Torino, Berlino e Parigi 1736-1813

Bolzano, Cauchy, Fourier, Dirichlet, Weierstrass

Clara Silvia Roero

Università

Torino 1736-1766

“Altro diletto che imparar

non trovo”

Scuola d’artiglieria

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Torino 1736-1766“Altro diletto che imparar non trovo.”

Scienze matematiche e fisiche nella prima metà del XVIII secolo in Italia

Situazione nel Regno sabaudo

1720, 1729 Riordino dell’Università

Vittorio Amedeo II 1680-1730

25 gennaio 1736 a Torino

Carlo Emanuele III1730-1773

Università Collegi o Facoltà

� Teologia

� Giurisprudenza

� Medicina, Arti e Filosofiagiugno 1752 Lagrange ottiene il titolo di

maître-es-art pour le Droit

Jean Antoine Nollet a Torino1739-1740

precettore di Fisica di Vittorio Amedeo III, fa venire da Parigi un gran numero di strumenti poi donati dal Re al Gabinetto di Fisica

1700-1770

Torino 1736-1766

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1739 Museo scientifico

� Camera della Fisica

sperimentale - Gabinetto di Fisica

� Camera della Matematica

�Camera della Botanica e del

Regno Animale

� Camera della Notomia

� Camera di Curiosità

Torino 1736-1766

3 Professori di Filosofia

� Logica e Metafisica

� Fisica sperimentale

� Etica – Filosofia morale

2 Professori di Matematica

� Aritmetica e Geometria

� Algebra, Trigonometria, Coniche,...

Geometria e Algebra

� Giulio Accetta (?-1752)eclisse 1750 astronomia Gli elementi di Euclide ... premessi gli elementi di algebra 1763

� Filippo Antonio RevelliGli elementi dell’aritmetica universale e della geometria ... 1778

Filosofia pratica

� Michele Casati (1699-1782)

padre teatino, dal 1754 vescovo di Mondovì. Era stato a Milano maestro di M.G. Agnesi negli Elementi di Euclide, nella Logica e Metafisica e nella Fisica

Torino 1736-1766

Fisica sperimentale

� Giambatista Beccaria (1716-1781)

1748 -

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Giambattista Beccaria 1716-1781

Mondovì – collegio degli scolopiFrascati, Narni, Roma, Urbino, Palermo

� 1744 cattedra di filosofia Roma Scuola S. Pantaleo

F. Jacquier, R.G. Boscovich

� 1748 Torino Fisica sperimentale� le teorie di Galileo e di Newton� il metodo sperimentale� i risultati dei moderni e dei

contemporaneiKepler, Descartes, Huygens, Newton, Leibniz, Boyle, Musschenbroek, Joh. & D. Bernoulli, … B. Franklin

Torino 1736-1766

Institutio I De Physica et de optima Physicae excolendae viaInstitutio II De corpore, et corporum affectionibusInstitutio III De affectionibus actuosis praesertim de motu universeInstitutio IV De vi inertiae, deque tribus legibus NewtonianisInstitutio V De motuum differentiis, de aestimatione motus uniformisInstitutio VI De pressione et compositione motuum, resolutione, aequilibrioInstitutio VII De pressionibus diffusis, earum aequilibrio, et centro communi

Torino 1748-1781

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Institutio VIII De aequilibrio in machinis …Institutio IX De gravitate terrestri, et motibus, qui ex ipso efficiuntur

Torino 1748-1781

Institutio X De gravitate coelesti

Institutio XI De motu qui fit ex percussione

Institutio XII De Liquidis

Institutio XIII De Aere

Institutio XIV De Lumine

Institutio XV De re electrica …

forze vive Leibniz mv2

Torino 1748-1781

Leggi di Kepler Newton Principia

Newton Optiks

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G. Beccaria ricercatore

Bologna Istituto delle Scienze Londra Royal Society

� studio dei fenomeni elettrici

Dell’Elettricismo artificiale e naturale 1753

(Lettere a G. B. Beccari) Dell’elettricismo 1758

De electricitate vindice (a B. Franklin) 1767

Elettricismo artificiale 1772 (ingl. 1774)

� telescopio, idraulica, parafulmini, …

� arco di meridiano Gradus taurinensis 1774

Torino 1736-1766Lagrange a G.C. Fagnani, 17.7.1754

Io non giacché non lo ha altro da poter, almeno in parte contracambiare questopresente che ella ha destinato di farmi la voglio pregare ad accettare da partemia un libro che al più presto che mi sarà possibile le farò averesull'elettricismo del nostro professor Regio di Fisica P. Beccaria, col quale iosovente mi trattengo comunicando insieme diverse cose sia di Filosofia che diMatematica.

Torino 1736-1766“Altro diletto che imparar non trovo.”

1751-52 studi di logica con Vacca, di geometria con F.A. Revelli, di

filosofia con M. Casati, di morale con S. Gerdil e di fisica con G.

Beccaria

G.A. Eandi, Memorie istoriche intorno gli studi del Padre Giambatista Beccaria …, 1783“La Grange studiò la fisica nel 1752, ed innamoratosi di quelle formole algebraiche, esviluppandosi in lui quel genio, che lo doveva mostrar nato per le scienze esatte, andava spessoa visitare il suo professore [Beccaria], il quale in breve conobbe l’inclinazione, e l’accesabrama, onde ardeva il giovinetto scolare, e lo consigliò a studiare tutto intero il corso di Volfio… Quindi egli era tenuto in tanta strettezza, che non poté mai avere a sua disposizione il corsodi Volfio, e fingendo di attendere alle scuole, passava il suo tempo nella pubblica libreria,dove in tanti piccioli libretti a comodo ed uso suo avea per così dir compendiato il primovolume del Volfio, che è già un compendio, de’ quali libretti io tengo quello che si era fatto perle formole delle sezioni coniche, e de’ luoghi geometrici; in questi egli notavasi i dati deiproblemi e teoremi con l’equazion finale, per potere tra sé e sé, ed al passeggio e in casa edin ogni tempo esercitare il suo spirito calcolando, e tenersi presenti le formole generali.

C. Denina, Grange (Louis de la), in La Prusse Littéraire sous Fréderic II …, 1790“son talent extraordinaire pour les sciences démonstratives se montra d’une manière décisivel’année d’après [1752], lorsqu’il étudioit la physique expérimentale sous le père Beccaria,qui le reconnut bientôt comme supérieur dans le calcul.”

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Torino 1736-1766

1754-1759 Carteggio fra Lagrange e G. C. Fagnani

1754 Lagrange-Fagnani 2 giugno, 3 luglio, 17 luglio, 23-24 luglio, 30 luglio, 14 agosto, 21 agosto, 21 agosto, 28 agosto, 4 settembre, 12 settembre, 29 settembre, 30 ottobre, 6 novembre

1755 Lagrange-Fagnani 24 dicembre

1756 Lagrange-Fagnani 3 gennaio, 4 ottobre, 24 ottobre

1759 Lagrange-Fagnani 2 maggio, 18 maggioGiulio C. Fagnani

1682-1766

“Altro diletto che imparar non trovo.”

Biblioteca dell’Università: C. Wolff, Elementa matheseos universae 1713-15.

M.G. Agnesi Instituzioni Analitiche, 1748, L. Euler l’Introductio in analysininfinitorum, 1748; Institutiones calculi differentialis, 1755; il CommerciumEpistolicum fra Leibniz e Johann Bernoulli (1742); Jac. Bernoulli Opera omnia1744; Joh. Bernoulli Opera 1742; L. Euler Mechanica, sive motus scientiaanalytice exposita 1734, 1736; Methodus inveniendi lineas curvas maximiminimive proprietate gaudentes 1744.

L. BassiF. Scarselli

F. M. ZanottiG. A. Nadi

S. Canterzani

G.C. FagnaniG.F. Fagnani

J.L. Lagrange

G. Settimo

C. GalianiB. Intieri

N. De MartinoP. De Martino

G. GrandiB. IntieriT. Perelli

T. NarducciC. RolloG. Ortes

G. Manfredi

S. ChecozziA. Conti

R. RampinelliM.G. Agnesi

B. ZendriniG. Poleni

P. Michelotti

G. RiccatiL. RivaG. Suzzi

G. Rizzetti

J. HermannJ. Riccati

G. Orlandi

1740-1754

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Matematica in Italia 1700-1706Apprendimento autonomo dei metodi e dei risultati dei Leibniziani attraverso la lettura

dell’Analyse des infiniment petits di L’Hôpital e degli Acta Eruditorum

BOLOGNA allievi di Domenico GuglielminiGabriele Manfredi, Vittorio F. Stancari, Giuseppe Verzaglia

VENEZIA 1704-1706 Società di matematica e di fisica (casa Doro)

Tommaso Pio Maffei (1657-1717) Bernardino Zendrini (1679-1747)

Viaggio di Leibniz in Italia 1689-1690

G. W. Leibniz, Solutio illustris problematis a Galilaeo primum propositi de figura chordae aut catenae e duobus extremis pendentis, pro specimine novae analyseos circa infinitum,

Giornale de’ letterati di Modena 1692 catenaria Aenigma di V. Viviani 4.4.1692

G. W. Leibniz, Nuovo teorema intorno al movimento de’ gravi con un problema nuovo da risolversi, Giornale de’ letterati di Modena 1696 brachistocrona

B. Fontenelle, Eloge de Viviani, Mém. Paris 1703“Il paroît que ceux qui étoient dans l’ancienne Geometrie, quelque profonds qu’il y fussent, n’étoient pas destiné à faire beaucoup de peine par leurs Questions aux Geometres du Calcul différentiel.”

� Cicloide

� Isocrona

� Catenaria

� Elastica

� Brachistocrona

� Trattoria

� Velaria

� Lintearia

� …

Equazioni differenziali

Evolute, caustiche, …

Geometria differenziale

Calcolo delle variazioni

Meccanica, Fisica matematica

curve trascendenti e problemi apertiActa Eruditorum 1690-1710

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Giornale de’ Letterati d’Italia 1710-1740

Jacob Hermann1678-1733

Gabriele Manfredi1681-1761

11 articoli – problemi sulle forze centrali I. Newton

5 Hermann, 2 Verzaglia, 3 S. Checozzi, 2 Nic. I Bernoulli

7 articoli – equazioni differenziali, calcolo integrale

1 Manfredi, 2 Riccati, 2 Nic. I Bernoulli, 2 Fagnani

11 articoli – rettificazione di curve

10 Fagnani, 1 Nic. I Bernoulli

5 applicazioni del calcolo differenziale a problemi di idrodinamica, iatromatematica, ottica, geometria, ...

3 Zendrini, 1 Riccati, 1 Suzzi

2 articoli – infinitesimi e infiniti Varignon, Grandi

9 ampie Recensioni – 8 Elogi – 46 Novelle

Jacopo Riccati

1676-1754

Giulio Fagnani 1682-1766

1754 giugno corrispondenze con G.C. Fagnani e L. Euler Berlino

23.7.1754 prima pubblicazione in italiano – Torino Stamp. RealeLettera di Luigi De La Grange ... G.C. Fagnano contenente unanuova serie per i differenziali e integrali di qualsivoglia gradocorrispondente alla Newtoniana per le potestà e per le radicicalcolo formale basato sull’analogia fra il teorema del binomio di

Newton (a+b)m = amb0+mam-1b+… e le differenziazioni successive

del prodotto di due funzioni dm xy

[2.6.1754 l’aveva comunicato a Fagnani e il 28.6.1754 a L. Euler]

14.8.1754 Lagrange a Fagnani… essendo io l’altro dì a casa del professornostro di Teoria medica Ignazio Somis ecercando non so che in un certo librocontenente lettere latine private diMatematica tra Leibniz e Bernulli … il casoha voluto che ivi io incontrassi quella serieche ho poco fa pubblicata per i differenzialie integrali.

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14.8.1754 Lagrange a FagnaniQuesto veramente da principio mi ha crucciato non poco considerando sopra tutto che quando questo si spargesse molti si troverebbero certo che risguarderebbero me come un plagiario e un impostore. Ma quel che m’ha fatto del tutto acquetare si è stato il riflettere che nientedimeno io aveva quel che principalmente desiderava, ottenuto ... Io credo bene che ella non vorrà ora tener in minor conto quel dono che le ho fatto, sebbene non lo possa più vantar per nuovo, avendo risguardo al buon animo con cui glielo presentai, come primo frutto de’ miei lavori.

21.8.1754 Fagnani a LagrangeSemper invenisse acuminis est; primum invenisse fortunae.

21.8.1754 Lagrange a Fagnani... Allora non aveva ancor fatte niuna di quelle scoperte che adesso sonoper comunicarle ... Mi porgono nuovo ardire a mandarle queste piccolebagatelle ... Per mezzo di quella formula ho costrutto il seguente canonegenerale … il poter aver sulle mie cosettucce il parer d’un uomo che io piùdi qualsivoglia altro istimo, egli è senza fallo il maggior piacere che daimiei studi ricavar io possa. [Fagnani è vecchio e vive isolato]

24.12.1755 Lagrange a FagnaniNell’ultima lettera ... le dimandai se ella avea letta l’Opera Euleriana intitolataMethodus maximorum et minimorum perciocché io ne stava facendo sopraalcune piccole riflessioni, ma ella mi rispose tosto che non aveva mai vedutadetta Opera, onde io conobbi che non potea parteciparle niente di dette miemeditazioncelle perché supponevano una perfetta notizia del libro e dellamateria. ... Mi sono accontentato di comunicarle al Sig. Euler il quale mi harisposto esortandomi a continuar a travagliare su detta materia ... Non consistein altro che nel tanto celebrato problema degli isoperimetri, trovato prima daifratelli Bernulli e di cui si trovano i principi nelle loro opere e che fu posciaridotto in formole e portato quasi alla massima universalità nella detta OperaEuleriana. Ma il Sig. Euler per far questo ha seguito le tracce dei primiinventori servendosi di certe costruzioni lineari ridotte peraltro da esso a moltasemplicità e perfezione. Laddove io coi puri primi principi del calcolodifferenziale senza veruna linear costruzione mi sono aperta la strada a trovaresse formole tutte con altre molto più astruse facendo in poche righe star quellerisoluzioni di detti problemi per cui egli ha nel suo libro impiegate delle paginetre e quattro di calcolo. Queste mie sì fatte cosucce non mancherò certamente dipubblicarle al più presto che mi sarà possibile.

Torino 1736-1766

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1755 - 1766“sostituito del maestro di Matematiche” Regie Scuole militari d’artiglieria e fortificazioneAnalisi sublime Meccanica

Torino 1736-1766

24.12.1755 Lagrange a FagnaniDel resto non debbo tacerle l’impiego di fresco da S.Maestà conferitomi di Maestro nelle Regie scuoleMatematiche d’Artiglieria, il che certamente per esser iogiovine di non ancor 20 anni è stato da tutti reputatoper una cosa assai particolare e meravigliosa. Dicoquesto a V. S. Ill.ma perciocché ella ha in questa miapromozione avuta buona parte per via delle così belle eonorevoli lettere che s’è degnata sempre di scrivermicongiunte colla fama grandissima che qui appo di tuttiha la Persona sua risguardo alle Matematiche.

3.1.1756 Fagnani a Lagrange: Prima d’ogni altra cosa esorto anzi vivamente pregoV.S. Ill.ma a pubblicare colle stampe ciò che ha composto sopra gl’isoperimetri …ancorché fossi colla morte ai denti, leggerò la suddetta bramata sua opera.

Matematica nel Secolo dei Lumi

L. EulerP. de MaupertuisJ.L. LagrangeJ.H. LambertJoh. III Bernoulli

J. HermannD. BernoulliN. II BernoulliL. EulerC. Goldbach

1730-1789

B. FontenelleJ. d’AlembertA.C. ClairautM.J. CondorcetA.M. LegendreJ.L. LagrangeG. MongeP.S. Laplace

Joh. BernoulliD. BernoulliN. I Bernoulli

Academia I. PetropolitanaK. Preuss. Ak. Wiss.

Univ. BasileaAcad. Sci. Paris

C. MaclaurinA.de Moivre

Royal Society

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Matematica nel Secolo dei LumiCalcolo sublime – analisi sublime

� 1753- Problema della corda vibrante D. Bernoulli, Euler, d’Alembert, Lagrange, … Il problema fa nascere l’interesse per le serie trigonometriche e la rappresentazione di una funzione mediante serie di quel tipo

� Calcolo delle variazioni: Newton (solido di minima resistenza), Fermat (luce-tempo minimo), brachistocrona Jac. e Joh. Bernoulli, Newton, Leibniz; problema degli isoperimetri, Euler, Lagrange; metodi variazionali nella meccanica

� Problematiche fondazionali affrontate con l’ausilio dell’algebra e della teoria delle serie, viste come naturale estensione dei polinomi. Processo di algebrizzazionedell’analisi (Lagrange Théorie des fonctions analytiques 1797), fondata sull’assunto che ogni funzione può essere espressa in serie di Taylor (assunto non valido in generale come mostrerà Cauchy negli anni ‘20 dell’Ottocento).

� Equazioni differenziali si giunge a una trattazione sistematica delle eqz diff ordinarie (del primo ordine, eqz di Bernoulli, eqz ordinarie di ordine sup e l’eqz di Riccati) relativamente ai metodi elementari di risoluzione(sep. variabili, sostituzioni, fattori integranti); si individuano la soluzione generale per certe classi di eqz (lineari, di Bernoulli, di d’Alembert, di Clairaut) e i concetti basilari (soluzione generale, partic., singolare). Le eqz alle derivate parziali non sono ancora trattate compiutamente, tranne per casi particolari legati a problemi di meccanica o di fisica. A fine secolo si hanno risultati importanti per la teoria delle eqz alle derivate parziali del primo ordine.

Meccanica nel Secolo dei LumiDopo i vivaci dibattiti della prima metà del secolo su difetti dei Philosophiae Nat. Principia Mathematica di Newton, nelle sue edizioni, da parte dei matematici del continente (probl. inverso delle forze centrali: se vale la legge, dimostrare che l’orbita è una conica), e dopo la ‘traduzione’ dei metodi geometrici nel calcolo infinitesimale leibniziano (Varignon, Euler) nella seconda metà si assiste ad un periodo di assestamento e di rielaborazione che si consolida in tre forme diverse:

� La prima, basata sulle leggi del moto e delle forze, esposte da Newton, • Inerzia Ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto uniforme in linea retta, a meno che non sia

costretto a mutare il proprio stato da forze impresse (legge di natura, Galilei)• Moto Il mutamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa e avviene nella direzione della linea

retta in cui quella forza è impressa. • Azione-reazione (urti elastici e anelastici)

e incentrata sulla legge dell’attrazione fra 2 corpi che agisce come l’inverso del quadrato della distanza, si affermò nell’astronomia e finì per unificare la meccanica terrestre e quella celeste (Laplace, Lagrange, Euler 1736 Mechanica).

� La seconda si legava al principio di conservazione e scambio di energia (Leibniz)� La terza, caratterizzata da un approccio ‘analitico’ o ‘variazionale’ fu proposta da

Lagrange (Méchanique anal. 1788) con il principio delle velocità virtuali.

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� Meccanica celeste planetaria - figura della Terra

A Parigi vi figurate la Terra fatta come un melone, a Londra essa è appiattita ai due poli Voltaire 1734 Lettres philosophiques

� Tecniche per Approssimazioni (applicazioni in vari campi: strumenti musicali, cartografia e costruzione di mappe geografiche J.H. Lambert)

Geometria� Differenziale (curvatura, inviluppi, …)� Descrittiva (usi militari) Monge� ipotesi non euclidea G. Saccheri

Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers 1751-1780 35vol. Encyclopédie méthodique 1781-91 matematica 192 vol.

Sviluppo editoriale della manualistica dopo la Rivoluzione – ampliamento dell’istruzione pubblica

Matematica nel Secolo dei Lumi

Berlino 1740-1766 Académie Royale des Sciences et de Belles Lettres

Leonhard Euler1744-1766

Federico II il Grande1712-1786

Pierre L. M. de Maupertuis1740-1759Sans-Souci

Voltaire

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“Studiando assiduamente nei giorni passati il tuo celeberrimo libro sul metodo dei massimi e minimi applicato alle linee curve, sono infine giunto a trovare, cosa che desideravo da lungo tempo, un’altra via molto più breve per risolvere questo genere di problemi, che porta a dimostrare le tue formule senza alcuna costruzione geometrica. Ritengo pertanto che, considerata la sua semplicità, questo metodo non ti dispiacerà affatto, dal momento che mi sembra che tu ne auspicassi uno simile, là dove scrivi: Si desidera perciò un metodo libero da considerazioni geometriche … Per questo oso permettermi di comunicartelo, … In attesa, mentre mi rimetto con fiducia al tuo favore e alla tua benevolenza, desidero massimamente che mi rendi partecipe del tuo giudizio…. Non ti nascondo che ho applicato questo calcolo, con la stessa facilità ed universalità, anche alla ricerca delle superficie dotate di qualche proprietà di massimo e di minimo.”

J. L. Lagrange a L. Euler 12 agosto 1755

Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes , Lausannae et Genevae 1744

Torino 1736-1766

“Dopo aver letto la tua lettera, da cui vedo che hai portato pressoché al massimogrado di perfezione la teoria dei massimi e dei minimi, non posso non essereammirato dall’eccelsa acutezza del tuo ingegno. Poiché infatti non solo nelmio trattato su questo argomento avevo desiderato trovare un metodopuramente analitico che permettesse di dedurre le regole lì presentate, maanche in seguito avevo impegnato non pochi sforzi alla ricerca di un similemetodo, tu mi hai veramente procurato una gioia immensa nell’aver volutocomunicarmi le tue profondissime e solidissime riflessioni su questo tema. Perquesto mi sento molto obbligato nei tuoi confronti. Ho subito esaminato il tuometodo che con le sole tecniche dell’analisi permette di ottenere le miesoluzioni dei problemi di questo tipo, in modo molto più generale del miometodo che si basava su idee geometriche.”

L. Euler a J. L. Lagrange, 6 settembre 1755

Euler L., Analytica explicatio methodi maximorum et minimorum, 9.9.1756 Berlino; Elementa calculi variationum 16.9.1756 Berlino, Novi Comm. Petrop. 10, 1764 (1766)

Torino 1736-1766

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Contatti di Lagrange con l’Accademia di Berlino24 aprile 1756 Maupertuis è disposto a nominare Lagrange socio straniero e a proporgli di trasferirsi a Berlino 2 settembre 1756 Lagrange è nominato socio dell’AccademiaPrincipio di minima azione 1751 polemica Maupertuis–S. Koenig (lettera di Leibniz a Hermann 1707 con la formulazione del principio); Euler sostiene l’originalità di Maupertuis; Voltaire (pamphlet satirico) Diatribe du Dr. Akakia; Fed. II offeso dall’affronto, caccia Voltaire.5 ottobre 1756 1756-1759 interruzione carteggio Euler-Lagrange (guerra dei 7 anni 1756-1763)5 gennaio 1757 Maupertuis scrive a Lagrange che il lavoro, spedito a Euler, sul principio di minima azione, sarà pubblicato sulle Mem. dell’Accademia4 maggio 1757 Lagrange scrive a Paolo Frisi che sta terminando un trattato, con l’applicazione del principio di minima azione a tutti i casi più complicati della dinamica e idrodinamica, oltre agli appunti di meccanica per i suoi studenti

Società Privata TorineseMiscellanea primo volume non compare nulla delle ricerche su questi temi.28 luglio 1759 spedisce a Euler il volume della Miscellanea4 agosto 1759 lettera di Lagrange a Maupertuis (morto in luglio) è perduta

1747 carriera militare - R. Scuola di Artiglieria Lagrange

1757-1788 Presidente della Società Scientifica Privata

1759 Sur la nature du Fluide Elastique qui se développe dela Poudre à Canon Lavoisier flogisto e salnitro

1794 Generale di Artiglieria

1756 rottura dei rapporti con G. Beccaria espulsione dal Gabinetto di Fisica

Giuseppe Angelo SALUZZO 1734 – 1810

Torino 1736-1766

Gianfrancesco CIGNA1734-1790

1750 studi di Fisica con G. Beccaria

1755 laurea in Medicina

1757 Segretario della Società Scientifica Privata

1757-1765 ricerche sulla respirazione e sull’elettricità

1770 lettore all’ospedale San Giovanni

1775 Professore di Anatomia all’Università

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MISCELLANEA 1759

Lagrange J.L. Recherches sur la nature et la propagation du son, Misc. Taur. 1759, p. 1-112

•stabilisce le condizioni da imporre alla configurazione iniziale della corda

•sostituisce alla corda elastica un sistema oscillante formato da n puntimateriali e, passando al limite per n ∞ ottiene per l’elongazione della corda,nel punto x e al tempo t, l’espressione

dove Y e V rappresentano rispettivamente la posizione e la velocità iniziali.

( ) ( )∫ ∫ ∑∑+∞

=

+∞

=

+=l l

rr l

trc

l

xrd

l

r

rV

cl

trc

l

xrd

l

rY

ltxy

0 0 11

sinsinsin1

)(2

cossinsin2

,ππ

ξπξ

ξπ

ππξ

πξξ

“Je tire de mes formules la même construction du problème de chordisvibrantibus que M. Euler a donné, et qui a été si fort contestée par M.D’Alembert. Je donne de plus à cette construction toute la généralité dontelle est capable...”

1759Miscellanea Philosophico-Mathematica Societatis

Privatae Taurinensis

Lagrange J.L. Recherches sur la méthode de maximiset minimis, I2, p. 18-32

Lagrange J.L. Sur l’intégration d’une équationdifférentielle à différences finies, qui contient lathéorie des suites récurrentes, I2, p. 33-42

Lagrange J.L. Recherches sur la nature et lapropagation du son, I3, p. 1-112

J.L. Lagrange a L. Euler, Settembre 1759Il y a quelques jours, je vous ai envoyé un exemplaire del’ouvrage qu’une Société privée de Turin a fait paraîtresous le titre Miscellanea Philosophico-Mathematica.

L. Euler a J.L. Lagrange, 23 ottobre 1759... tout le monde doit convenir que ce premier Volume de vos travauxest un vray chef d’œuvre, et renferme bien plus de profondeur quetant d’autres volumes des Académies établies et jamais societéparticulière n’a plus mérité d’être soutenue par son souverain.”

Vittorio Amedeo III

1760Società Reale

di Torino

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Nella memoria Elementa calculi variationum edita a Pietroburgo 1764-66 Eulerdichiarava il suo debito nei confronti di Lagrange dicendo che dopo essersi a lungo e inutilmente affaticato a cercare la soluzione del suo problema variazionale, rimase stupito “d’apprendere che nelle memorie di Torino il problema si trovava risolto con facilità pari alla sua completezza.” E proseguiva affermando: “Questa bella scoperta ha destato in me tanta più ammirazione in quanto essa differiva dai metodi che io avevo proposti, superandoli anche di molto nella loro semplicità.” Lagrange sperava di pubblicare a Berlino il suo metodo sul calcolo delle variazioni, su presentazione di Euler o di Maupertuis, cosa che non accadde. I manoscritti allegati alle lettere si sono persi. Il consiglio di Euler (2 ottobre 1759) di pubblicare a Ginevra l’opera sul calcolo delle variazioni deluse le aspettative di Lagrange e causò l’abbandono del trattato che aveva già quasi terminato, come aveva scritto a Frisi. [Galletto 1990, Galletto, Barberis 2008] Nel secondo volume della Società Privata Torinese (Mélanges) Lagrange si limitò a pubblicare solo le due memorie Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima et Application de la méthode précédent à la solution de différens problèmes de Dynamique. Euler dedicò poi a questo argomento anche un’Appendice del terzo volume delle sue Institutiones calculi integralis (1770) e Lagrange, dopo averlo letto, ribadì a d’Alembert che quella parte dell’opera di Euler era il frutto delle sue personali scoperte.

Rapporti fra Euler e Lagrange sul calcolo delle variazioni

Euler L., Lettre à M.r De La Grange. Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique, II2, p. 1-10

Influenzato dal saggio di Lagrange sul 1° numero della rivista torinese, Euler riprende i sui studi sul suono e presenta tre lavori a Berlino (E 305-306-307), fra il 1 novembre 1759 e la fine di dicembre 1759 e a Torino invia la parte teorica esposta nelle memorie (E306-307), che saranno edite a Berlino nel 1766.

Lagrange J.L., Nouvelles recherches sur la nature er la propagation du son, II1, p. 11-172.

de Foncenex D., Sur les principes fondamentaux de la méchaniqueLagrange J.L., Addition à la première partie des recherches sur la nature

et la propagation du son, II2, p. 323-336

� Straordinaria convergenza di ricerche e di risultati ott.-dic. 1759

� Formulazione generale della teoria delle onde acustiche piane e sferiche

�Primi fondamenti cinematici della teoria delle deformazioni finite dei mezzi continui

�Primi studi sistematici sulle equazioni differenziali alle derivate parziali

MÉLANGES II, 1760-1761Socio1 gennaio 1760

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Lagrange J. L., Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima etles minima des formules intégrales indéfinies, II2, p. 173-195.Lagrange J.L., Application de la méthode précédent à la solution de différensproblèmes de Dynamique, II2, p. 196-298.

MÉLANGES II, 1760-1761

Lagrange a Euler, 28.10.1762 “Ayant appris, par une de vos lettres de 1759, quevous aviez fait assez de cas de ma méthode de maximis et minimis pour l’étendre etla perfectionner dans un Traité particulier, j’ai cru devoir supprimer entièrementcelui que j’avais presque déjà achevé sur ce sujet, et je me suis borné à en exposersimplement les principes dans un Mémoire que j’ai tâché de rendre le plus courtqu’il m’a été possible; je ne me suis même déterminé à composer ce Mémoire queparce que vous m’avez fait l’honneur de me mander dans la même lettre que vousne vouliez point publier votre travail avant le mien.”

Euler a Lagrange, 2.10.1759 “Analytica tua solutio problematis isoperimetricicontinet, ut video, quicquid in hac quaestione desiderari potest et ego maximegaudeo hoc argumentum a te potissimum ad summum perfectionis fastigium esseevectum. Rei dignitas me excitavit, ut tuis luminibus adiutus, ipse solutionemanalyticam conscripserim, quam autem celare statui donec ipse tuas meditationespublici iuris feceris, ne ullam partem gloriae tibi debitae praeripiam.”

Lagrange J. L. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer lesmaxima et les minima des formules intégrales indéfinies, II2, 1760-61, p.173-195.Lagrange J.L. Application de la méthode précédent à la solution dedifférens problemes de Dynamique, II2, 1760-61, p. 196-298.

• calcolo delle variazioni: ricerca delle estremanti di integrali nei quali siasupposta variabile l’intera funzione integranda – strumenti puramente analitici

• dà forma analitica rigorosa ai metodi di Jacob, di Johann Bernoulli e di Euler

• scinde la variazione totale dell’integrale in parti di diverso ordine diinfinitesimo, ottenuta considerando le variazioni prima, seconda, terza, ...

• la famosa equazione di Euler-Lagrange per le estremali di integrali multipli

Euler L., Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes , Lausannae et Genevae 1744

C. Carathéodory (1873-1950) «Lagrange crea uno strumento di precisione di talepotenza che l’uso che ne è stato fatto per un secolo e mezzo non è riuscito aperfezionare.»

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A. Clairaut

Condorcet

Viaggio a Parigi 1763-1764

Lagrange a Condorcet 19.10.1773

Il y a bientôt dix ans que j’ai eu le bonheur de faire votre connaissance à Paris, et que j’ai conçu pour vous le plus tendre attachement. Je regarde toujours cette époque comme la plus heureuse de ma vie. »

Le trattative di D’Alembert

“un homme du plus rare talent dans la Géométrie, fort au dessus de tout ce que l’Italie renferme en ce genre, et à côté pour le moins de tout ce qu’il y a de meilleur dans le reste de l’Europe”.

È d’uopo che il più grande dei geometri di Europa

si trovi appresso al più grande dei suoi Re.

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Berlino 1766-1787

“Philosophe sans crier”

Federico II

Sans-Souci

d’Alembert

Lagrange dialoga con Fed. II di storia della matematica

Berlino 1766-1787� Partenza da Torino 21.8.1766, soggiorna a Parigi e a

Londra dal suo amico ambasciatore D. Caraccioli

� Arrivo a Berlino 27.10.1766 direttore della Classe di Matematica dell’Accademia delle Scienze

6 novembre 1766 - agosto 1787

stipendio 6000 franchi legge 1 memoria al mese e cura le pubblicazioni dell’Accademia delle Scienze

Scrive le sue Memorie in francese, studia il tedesco e conduce una vita riservata

1767 sposa Vittoria Conti, una sua cugina che l’aveva curato, e che morirà nel 1783 dopo lunga malattia.

17.8.1786 muore Federico II e peggiorano le condizioni sociali e culturali, per cui decide di lasciare la Prussia.

Tentativi per riportare Lagrange in Italia:

Regno di Napoli, Regno di Sardegna, Granducato di Toscana, ma sarà la Francia, tramite Mirabeau a riuscire nell’operazione. L. partirà da Berlino nell’Agosto 1787

“Filosofo senza strepito”

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mathematicorum princeps‘Ciclope limitato’ ‘piovra’

Euler 1707-1783

� analisi infinitesimale

� calcolo delle variazioni

� teoria delle equazioni differenziali

� geometria differenziale

� teoria dei numeri

� algebra

� meccanica razionale

� meccanica celeste

� teoria dell’elasticità

� idraulica, idrodinamica

� fisica

� teoria della musica

� ottica, diottrica

� scienza navale

� analisi infinitesimale

� calcolo delle variazioni

� teoria dei numeri

� algebra

� meccanica analitica

� meccanica celeste e astronomia

� teoria delle equazioni differenziali

� teoria dell’elasticità

� idraulica, idrodinamica

� fisica

� acustica, teoria della musica

� teoria degli errori, probabilità, …

‘Filosofo senza clamore’Lagrange 1736-1813

Meccanica e Principio delle velocità virtualiLa stesura dell’importante trattato di Lagrange, Méchanique analytique, risale al periodo berlinese e si situa in quel processo di riformulazione della meccanica, che intende ridurre il numero dei suoi principi fondanti, come si era già prefisso d’Alembert nel Traité de dynamique (1743, 1758) col suo tentativo di ridurre la dinamica alla statica, restringendo le leggi della meccanica a tre sole: «quella della forza d’inerzia, quella sulla composizione dei moti e quella sull’equilibrio».

Lagrange scelse il principio delle velocità virtuali (vecchio principio della statica noto a Galilei, Torricelli, Wallis, e usato da Johann Bernoulli nel 1717) di cui aveva compreso, attraverso anni di studi e di applicazioni, tutta la portata, la fecondità e l’universalità perché «tutti gli altri infatti si riconducono ad esso senza fatica: il principio della conservazione delle forze vive [energia cinetica], e generalmente tutti quelli che alcuni Matematici hanno immaginato per facilitare la soluzione di svariati problemi, non ne sono che una conseguenza matematica, o piuttosto non sono che il medesimo principio ridotto in formule.» (Galletto, Barberis 2007)

D. de Foncenex, Sur les principes fondamentaux de la méchanique Mélanges Turin 2, 1762

Berlino 1766-1787

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Parigi 1787-1813

Ridurre la teoria a formule generali

Novità

Riunire e presentare i diversi principi sotto uno stesso punto di vista

I metodi che espongo non richiedono costruzioni, néragionamenti geometrici o meccanici, ma solo operazionialgebriche, secondo un percorso regolare e uniforme. Coloroche amano l’Analisi vedranno con piacere che la Meccanica neè diventata una nuova branca e mi saranno grati d’averne cosìesteso il dominio.

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Parigi 1787-1813

trattative condotte da Mirabeau, M. de Vergennes (ambasciatore francese a Berlino) e M. Marie su Louis XVI� stipendio 6000 franchi, Louvre, Pensionnaire vétérandell’Académie, con diritto di voto� cittadinanza francese - Rivoluzione riceve molti aiuti� presidente di commissioni, docente EN, EP� onorificenze: Senatore, Grand’ufficiale della Legion d’onore, conte dell’Impero

“La haute pyramide des sciences mathématiques”

Parigi 1787 - 10 aprile 1813

1788 Méchanique analytique M. Marie, A.M. Legendre� ottimi rapporti con Bailly, Lavoisier, Lemonnier, Guyton-

Morveau, … 1792 sposa Adelaide Lemonnier

1794 è nominato, con P. S. Laplace, professore all'École Normale

1795-1799 insegna meccanica e analisi matematica all’EcoleCentrale des Travaux Publics, poi detta Ecole Polytechnique

1797 Théorie des fonctions analytiques 2 ed. 1813

1798 Traité de la résolution des équations numériques

1806 Leçons sur le calcul des fonctions

1811 Mécanique analytique 2 ed. 2 vol. 1811, 1815; 3 ed. 1853-55

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Prend une grande part à l'organisation de l'Ecole polytechnique. Inaugure le cours d'analyse devant tout le personnel réuni

le 24 mai 1795

J. Fourier 1795

« Lagrange, le premier des savants d'Europe, paraît avoir de 50 à 60 ans : il est cependant plus jeune [aveva 59 anni] ; il a dans les traits de la dignité, et de la finesse dans la physionomie ; il paraît un peu grêlé et pâle ; sa voix est très faible, à moins qu'il ne s'échauffe ; il a l'accent italien très marqué, il prononce les s comme des z ; il est très modestement vêtu en noir ou en brun ; il parle familièrement et avec quelque peine ; il a dans la parole l'embarras et la simplicité d'un enfant. Tout le monde sait bien que c'est un homme extraordinaire, mais il faut l'avoir vu pour reconnaître un grand homme.Les élèves, dont la plus part sont incapables de l’apprécier, lui font assez peu d’accueil, mais les professeurs le dédommagent ».

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L’ascesa di un matematico italiano sulla scena europea� talento e determinazione – formazione in un contesto provinciale• contatti con i protagonisti: Euler, d’Alembert, … Accademie• amicizie fortunate: I. Somis, D. Caraccioli, C. Denina, Beccaria,

Fagnani, …

• condizioni ottimali per la ricerca (Berlino, Parigi – accad., riviste)

• intensità di lavoro – immediata pubblicazione dei risultati� interazione con studiosi di altri campi (Torino, Berlino, Parigi)• Fisica, Chimica, Scienze naturali, Astronomia, storia della

matematica, assicurazioni, economia, linguistica, … � riservatezza e disponibilità • distanza dalla politica e dai salotti (evita pettegoli, boriosi,

ciarlatani, …); nelle controversie cerca di conciliare e mitigare i toni, invece di attaccare e offendere

� affidabilità e scrupoloso adempimento dei compiti• direttore dell’Accademia di Berlino, membro di commissioni

…, docente EN e EP Risorgimento, unità ‘esempio da imitare’

Parigi PantheonP.S. Laplace , B. G. de Lacépède,

Torino 18 67via e piazzetta Lagrange

F. Sclopis, L.F. Menabrea Elogio

10.4.1813

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sviluppo della funzione primitiva f(x) mediante un procedimentoricorsivo. Assegnato alla variabile x un incremento i, esprime ilvalore di f nel punto x+i nella forma:

da cui

operando allo stesso modo su P,

che, sostituito nell’espressione iniziale, porta a

Reiterando il procedimento su Q giunge infine allo sviluppo in seriedi potenze intere positive

(1)

dove p, q, r, … sono delle nuove funzioni di x, derivate dallafunzione primitiva e indipendenti dall’incremento i.

( ) ( ) ( )ixiPxfixf ,+=+( ) ( )

i

xfixfP

−+=

( ) ( ) ( )ixiQxpixP ,, +=

( ) ( ) ( ) ( )ixQixipxfixf ,2++=+

( ) ( ) ...32 ++++=+ riqiipxfixf

1797 Théorie des fonctions analytiques

1797 Théorie des fonctions analytiques

Per ricavare “la legge generale di derivazione” delle funzioni Lagrange considera un incremento o indipendente da i e andando a sostituire al posto di i nella (1), ottiene

sostituendo invece in luogo di x, si trova

Poiché risulta anche

sostituendo tali espressioni e ordinando

Dal confronto termine a termine deduce

( ) ( ) ...)(3)(2)(...)()()()( 232 ++++++++=++ xorixioqxopxrixqixipxfoixf

ox +

( ) ( ) ...)()()())( 32 ++++++++=++ oxrioxqioxipoxfioxf

( ) ( ) ...)()( 2 +′′+′+=+ xfoxfoxfoxf

( ) ( ) ...)()( 2 +′′+′+=+ xpoxpoxpoxp

( ) ( ) ...)()( 2 +′′+′+=+ xqoxqoxqoxq

( ) ( ) ...)()()(...)()()())( 32 +′+′+′+++++=++ xqioxpioxfoxrixqixipxfioxf

( ) ( ) ... );()(2)( 32 );()(2 ;)( xfxqxrxfxpxqxfxp ′′′=′=⋅′′=′=′=

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Sylvestre-François Lacroix 1765-1843Traité du calcul différentiel et du calcul intégral

Un problema che non è affrontato in modo convincente e adeguato è quello dellaconvergenza della serie alla funzione primitiva, cioè della sviluppabilità dellafunzione primitiva in serie di Taylor. Lagrange si limita a mostrare che, per lefunzioni algebriche, se l’incremento i è abbastanza piccolo, ciascun termine dellaserie è (in valore assoluto) maggiore (del valore assoluto) della somma di tutti itermini successivi (cioè del resto della serie) e fornisce la determinazionedell’espressione analitica del resto, nella forma che da lui prende il nome.

Lacroix nel suo Traité rileva che la mancanza di una dimostrazione rigorosa delfatto che una funzione generica sia rappresentabile tramite una serie di potenzeintere positive getta delle ombre sui fondamenti della teoria lagrangiana. Esistonofunzioni infinitamente derivabili il cui sviluppo in serie di potenze converge aduna funzione diversa dalla funzione primitiva e sarà Cauchy negli anni ventidell’Ottocento a fornire un controesempio e a trovare delle condizioni sufficientiaffinché ciò non accada.

La funzione si annulla in O (0,0) con tutte le suederivate, ma nell’intorno di O la funzione è diversa da zero.

2

1

xey−

=

Cos’è una funzione ? Cos’è una funzione continua?

I fondatori avevano evitato l’argomento

(Newton - movimento; Leibniz - principio di continuità )

Euler Introductio in analysin infinitorum, 1748

“una curva è continua se la sua natura è espressa tramite una solafunzione della variabile x”

una curva è “discontinua” se invece è composta da almeno due“porzioni” continue BM e MD, definite tramite funzioni diverse dellavariabile x.

Le curve discontinue (che sono continue nel senso moderno) sonodunque rappresentate da formule diverse in due o più intervalli del lorodominio, e per questo motivo egli le chiama anche “miste e irregolari”

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La storiografia del rigore� anche in matematica nuove teorie e nuovi punti di vista si sono

storicamente affermati attraverso discussioni, polemiche, talvoltadecise contrapposizioni di concezioni e metodi (controversia Leibniz-Newton)

� per tutto il XVIII e XIX secolo il problema dei principi - dellametafisica - del calcolo infinitesimale resta una questione aperta

� l’impostazione di Lagrange, che al suo apparire aveva riscossonotevoli consensi (vedi trattati di Analisi di metà ottocento) è contestatae rovesciata nella sistemazione dovuta indipendentemente a B. Bolzanoe, in forma più completa a A. Louis Cauchy

� secondo un’impostazione storiografica ampiamente avvalorata, soltantocon Cauchy prevalsero i metodi rigorosi in Analisi

L’approccio storiografico correntequello di rigore è un concetto storicamente determinato

i metodi algebrici di Lagrange, cui si oppone Cauchy, non erano consideratipoco rigorosi da matematici come Poisson o Ampère. Viceversa: il rigoregeometrico di cui si farà vanto Cauchy sarà a sua volta accusato di essere‘deficiente’ da Darboux, Dedekind, Weierstrass.

Tutto ciò sembra suggerire una lettura dello sviluppo della matematica, edell’analisi in particolare, dominato da una continua ricerca di un sempremaggior rigore. Di fatto l’immagine dei matematici tormentati da questionidi fondamenti, da un’ansia di rigore perennemente insoddisfatta edall’incubo dei controesempi, apparterrà forse alle ricostruzioni razionali[I. Lakatos] della storia della matematica, ma ha poco a che fare con lareale dinamica storica. [Bottazzini 1989, p. 15-16]

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nuove preoccupazioni di rigore nei fondamenti portano alladelucidazione dei concetti di base specifici dell’analisi:infinitesimolimitecontinuitàconvergenzaderivataintegralemisura …

Esigenza di rigorizzazione dell’analisiCarl F. GAUSS (1777-1855)Bernhard BOLZANO (1781-1848)A. L. CAUCHY (1789-1857), Cours d’anlyse 1821Niels Henrik ABEL (1802-1829)Karl WEIERSTRASS (1815-1897)Introduction à la theorie des fonctions analytiques 1878Bernhard RIEMANN (1826-1866)Richard DEDEKIND (1831-1916)Georg CANTOR (1845-1918) …

La matematica nel XIX sec.

� nuove dinamiche di costruzione, diffusione, trasmissione del sapere scientifico e matematico

� nuovi contesti: Università, Grandi Scuole� democratizzazione di tutte le attività culturali e associazionismo� nuove riviste: 1826 Journal für reine und angewandte Mathematik

Crelle; Journal de mathématiques pures et appliquées Liouville …� insegnamento: nuove Istituzioni

École normale supérieure; École centrale des travaux publiques; École Polytechnique; École des Ponts et Chaussées; École des Mines

� maggiore cura della didattica: a Königsberg: 1834 Carl Jacobi 1°Seminario mat.; a Zurigo, Monaco, Dresda, ... istituti politecnici come a Parigi

� crescente specializzazione e ‘professionalizzazione’ dei matematici� tendenza all’astrazione, alla generalità: matem. pura vs. matem.

applicata� internazionalizzazione della ricerca� spirito nazionale: Scuole di Parigi, Berlino, Gottinga, ...

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Esigenza di rigorizzazione dell’analisi

Bernhard Bolzano (1781-1848) per primo pone l’accento sui concetti base: continuità, derivabilità, legami fra i due, ma la sua opera resta senza influenza per 50 anni circa.

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) principale artefice delprocesso di rigorizzazione

1821 Cours d’analyse

1823 Resumé des leçons sur le calcul infinitésimal

1829 Leçons sur le calcul différentiel

Bernhard Bolzano 1781-1848

� Nasce a Praga

� 1791-96: Piarist Gymnasium

� 1796 si iscrive alla Facoltà di Filosofia, influenza del maestro Kaestner; siinteressa alla filosofia della matematica

La mia speciale predilezione per la Matematica si fonda in modo particolare suisuoi aspetti speculativi, in altre parole apprezzo molto quella parte dellaMatematica che è stata allo stesso tempo Filosofia.

� 1799-1800 studia matematica

� 1804 tesi di dottorato in geometria, poco dopo la discussione è ordinato sacerdote

Non potrei essere soddisfatto di una dimostrazione strettamente rigorosa, sequesta non derivasse dai concetti contenuti nella tesi che deve essere dimostrata.

� 1807 ottiene la cattedra di matematica

� 1819 è sospeso dalla sua posizione, con l'accusa di eresia, è posto agli arrestidomiciliari e gli viene proibito di pubblicare

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1817, B. Bolzano, Rein analytischerBeweis …Dimostrazione puramente analiticadel teorema che tra due valori chedanno risultati opposti c’è almenouna radice reale dell’equazione- Wissenschaftslehre (1810)- Grössenlehre (1830-1840)- Paradoxien des Unendlichen (1854)

Per dare una dimostrazione delteorema degli zeri introduce in modorigoroso

� la continuità delle funzioni� la convergenza delle successioni e

delle serie� l’estremo superiore

Se in una successione di grandezze F1(x), F2(x), F3(x), ... Fn(x), ... Fn+r(x), ladifferenza fra il termine n-esimo Fn(x) e ogni termine successivo Fn+r(x) lontanoquanto si vuole dall’n-esimo si mantiene più piccola di ogni grandezza data,prendendo n sufficientemente grande, allora esiste sempre una certa grandezzacostante ed una sola a cui si avvicinano sempre più i termini di questa successionee a cui si possono avvicinare tanto quanto si vuole prolungando la seriesufficientemente lontano. [B. Bolzano, Rein analytischer Beweis ...]

� Bolzano intendeva liberare i concetti di limite, convergenza e derivata da nozionigeometriche, sostituendoli con concetti puramente aritmetici. Egli eraconsapevole di un problema più profondo: la necessità di raffinare e arricchire ilconcetto di numero. In questo saggio viene fornita la dimostrazione del teoremadel valore medio con il nuovo approccio di Bolzano, e viene definita quella cheora è chiamata serie di Cauchy

� I contributi di Bolzano rimasero però sconosciuti e riscoperti solo più tardi

� Diversa fu l’influenza dei lavori di Cauchy, che segnarono un punto di svoltanel calcolo infinitesimale, determinando il successivo percorso della teoria.

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Augustin-Louis CAUCHY

1789 Nasce a Parigi alta borghesia1802-04 école del Panthéon1805 école polytechnique (Lagrange, Lacroix, Laplace) premi1810 ingegnere Cherbourg – costruzione del porto1811-12 ricerche sui poliedri, memorie sulla teoria dei gruppi di permutazioni (1845, Galois genesi della teoria dei gruppi)

1814-15 analisi – integrali definiti, teorema di Fermat sui numeri poligonali

1815 [Cento giorni, Waterloo, ... epurazione]

1816 prof. di analisi all’école Polytechnique

1817, 1821, 1824-30 prof. di meccanica Faculté des Sciences, di fisica mat. Collège de France

1830 Svizzera, Torino, Praga

1838 rientra 1848 Repubblica 1849 Prof. Sorbona

1847 tenta la dim. dell’ultimo teorema di Fermat scomposizione in fattori primi complessi – E. Kummer1857 Muore a Parigi

1830: lascia Parigi dopo la rivoluzione di Luglio1831-32: soggiorna e insegna a Torino, dove ottiene da Carlo Alberto la cattedradi Fisica. Fra i suoi uditori vi è F. Menabrea, che così descrive le sue lezioni :

Son enseignement était une nuage obscur parfois illuminé par des éclairs degénie … Ce que les mathématiciens du jour appellent l’analyse moderne mesemble être à l’analyse si simple du temps de Lagrange comme la musique deWagner est à la musique mélodieuse du temps de Rossini, Bellini, Donizzetti.[Briguglio, Bulferetti, 1971, pp. 14 e 45]

1833 si reca a Praga come precettore dei figli del re Carlo X. Incontra Bolzano.1838 ritorna a Parigi, ed è reintegrato nell’Accademiama non nell’insegnamento, rifiutandosi di prestare giuramentodi fedeltà1848: dopo la restaurazione, è reintegrato anche nell’Università

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Il concetto di limite

1821, A.L. Cauchy, Coursd'analyse de l'École Polytechnique

� trattato scritto per i suoi studentiall’Ecole Polytechnique

� riprende la visione di d’Alembert

� il concetto di limite come basedell'analisi: per mezzo di essoCauchy recupera la nozione diinfinitesimo, quella di infinito edefinisce la continuità di funzione;studio della convergenza di serie esuccessioni.

1823, A.L. Cauchy, Résumé desleçons sur le calcul infinitesimal

� la teoria dei limiti è applicata alcalcolo infinitesimale

� la derivata (conservando laterminologia di Lagrange) è definitacome limite del rapportoincrementale

� sono dimostrati i teoremi delcalcolo infinitesimale

� Lezioni I-XX. Derivazione� Lezioni XXI-XL Integrazione

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� critica il ricorso ai “ragionamenti tratti dalla generalità dell'algebra”,in polemica con Lagrange

Ragionamenti di questo tipo, benché ammessi abbastanzacomunemente, soprattutto nel passaggio dalle serie convergenti alleserie divergenti e dalle quantità reali alle espressioni immaginarie, nonpossono essere considerati, mi sembra, che come delle induzioni adattea far talvolta presentire la verità, ma che poco si accordano conl'esattezza tanto vantata dalle scienze matematiche. Bisogna inoltreosservare che essi tendono a far attribuire alle formule algebricheun'estensione indefinita, mentre in realtà la maggior parte di questeformule sussiste unicamente sotto certe condizioni e per certi valoridelle quantità in esse contenute [...] Così, prima di effettuare la sommadi una qualunque serie, ho dovuto esaminare in quali casi le seriepossono essere sommate o, in altri termini, quali sono le condizionidella loro convergenza; e, su questo argomento, ho stabilito delleregole generali, che mi sembrano meritare qualche attenzione.[Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), Cours d’analyse]

Il punto fondamentale della costruzione di Cauchy è la definizione dilimite

Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile siavvicinano indefinitamente a un valore fissato, in modo da finire perdifferirne di tanto poco quanto si vorrà, quest'ultimo è chiamato il limitedi tutti gli altri. Così ad esempio un numero irrazionale è il limite dellediverse frazioni che ne forniscono valori sempre più approssimati. Ingeometria la superficie di un cerchio è il limite verso il quale convergonole superfici dei poligoni inscritti, mentre il numero dei loro lati crescesempre di più, ecc. Allorché i successivi valori numerici di una stessavariabile decrescono indefinitamente in modo da diventare minori di unnumero dato, questa variabile diviene ciò che si chiama un infinitesimo ouna quantità infinitesima. Una variabile di questo tipo ha zero comelimite. [A.L. Cauchy, Cours d'analyse]

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� la definizione di Cauchy non appare molto differente daquelle precedenti, ad esempio da quella usata da D’Alembert

� la definizione è esposta in un linguaggio volutamenteantiquato

� ciò che la rende veramente nuova è il modo in cui essa entranelle dimostrazioni

� per dimostrare che il limite di una successione an è il numeroL, Cauchy fa vedere che comunque si prenda un ε>0 si puòsempre trovare un indice ν tale che per ogni n> ν risulta

| an − L | < ε

Definizione di derivata

Definito il limite, nel Cours d’analyse Cauchy utilizza questo concetto perdefinire la derivata come limite del rapporto incrementale

.)()(

lim)(0 h

xfhxfxf

h

−+=′

→

Cauchy dimostra poi l’illusorietà della definizione di Lagrange di funzione analitica.

Fornisce l’esempio di una funzione che può annullarsi in un punto insieme atutte le sue derivate, e nondimeno essere diversa da 0, quindi non è valida larelazione

...)()()( 202010 +−+−+= xxaxxaaxf

2

1

xey−

= nell’origine

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InfinitesimiLe grandezze infinitesime vengono espunte dai fondamenti delcalcolo, ma possono essere usate nelle applicazioni, potendosempre essere ricondotte alla teoria dei limiti.

Si dice che una quantità variabile diventa infinitamente piccolaquando il suo valore numerico decresce indefinitamente in mododa convergere verso il limite zero.

Integrazione� fin dagli inizi del calcolo infinitesimale l’integrazione era stata

vista come l’operazione inversa della derivazione (impostazionecodificata da Johann Bernoulli, nelle Lectiones de calculointegralium a G.F. de l’Hôpital, …)

� tale impostazione inizia a mostrare le sue lacune quando J.Fourier, nei suoi studi sulle serie trigonometriche, deve integrarefunzioni discontinue, che palesemente non potevano esserescritte come derivate, cioè che non ammettevano una primitiva.(es. la funzione che vale 1 nell’intervallo [0, 1] e o altrove)

� per definire l’integrale di tali funzioni, Joseph Fourier tornaall’antico concetto di area, dando come intuitiva questa nozione.

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� probabilmente stimolato dai risultati di Fourier, Cauchy rivede ladefinizione di integrale in termini di primitive, e la sostituiscerigorosamente con una definizione di integrale, indipendente dalladerivata, nel Resumé des leçons sur le calcul infinitésimal.

� è il secondo trattato redatto per i suoi studenti

� in esso Cauchy affronta il calcolo differenziale – in particolare le operazionidi derivazione e di integrazione – con gli stessi criteri di rigore con i qualiaveva trattato la teoria dei limiti e delle serie nel Cours d’Analyse

� Cauchy rovesciò l’impostazione tradizionale seguita fino adallora, nella quale la precedenza era data alla ricerca delle funzioniprimitive (quelle cioè che avevano come derivata la funzione data)e che vedeva il calcolo delle aree come una semplice applicazionedel metodo generale.

� Cauchy iniziò la trattazione proprio dall’integrale definito:

Nel calcolo integrale mi è sembrato necessario dimostraregeneralmente l'esistenza degli integrali o funzioni primitive primadi far conoscere le loro diverse proprietà. Allo scopo, è statoanzitutto necessario stabilire la nozione di integrale preso entrolimiti dati o integrale definito.”

� l'integrale è introdotto in maniera indipendente dalla derivata, salvopoi confrontare le due operazioni, con un punto di vista in uncerto senso più simile alle idee sulla misura delle figure che sierano sviluppate con Cavalieri e i suoi continuatori.

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Per definire l'integrale di una funzione continua f(x) nell'intervallo [x0,X] Cauchyconsidera una partizione dell'intervallo, cioè divide l’intervallo in un numero finito diintervalli (per semplicità tutti di uguale lunghezza)

[x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1, X]e calcola la somma, oggi detta di Cauchy

S = (x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)+…+(X-xn-1)f(xn-1)

che non è altro che la somma delle aree dei rettangoli in figura, di altezze f(x0), f(x1), ...f(xn-1)

Cauchy dimostra poi che quando, infittendo la partizione, gli intervallidiventano molto piccoli:il valore di S finirà per essere sensibilmente costante o in altritermini finirà per raggiungere un certo limite che dipenderàunicamente dalla forma della funzione f(x) e dai valori estremiattribuiti alla variabile x.Questo limite è ciò che si chiama integrale definito.

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La spirale di Archimedel’area racchiusa dalla spirale S nel suo primo giro è uguale a un terzo dell’area del cerchio C di raggio HA: S = (1/3)C

definizione cinematica: la spirale è ottenuta dalla composizione di due moti:moto rotatorio uniforme, in senso orario, della semiretta p di origine Amoto rettilineo uniforme di un punto P che si muove sulla semiretta p

sia p0 la posizione iniziale della semiretta p e φ l’angolo che si forma con il primo moto, per cui è φ (0) = 0, φ•(t) = φ•

0, φ•0 > 0.

L’equazione del moto rotatorio sarà

φ = φ••••0 t (1)

40

se si indica con r il raggio vettore descritto dal punto P che si muove di moto uniforme sulla semiretta p, risulta r > 0, r (0) = 0, r • (t) = r• 0, con r• 0 >0. L’equazione del moto sarà r = r0 t (2)La traiettoria descritta da P è conseguenza di questi due moti e costituisce la spirale di Archimede.Dalla (1) si ricava t, si sostituisce nella (2) e, con semplici calcoli, si perviene a

r = a φ (a costante arbitraria)

Con il metodo alla Cauchy. Suddividiamo l’angolo giro in n parti uguali econsideriamo n settori circolari simili, circoscritti alla spirale. Sia ad esempio n =8 ed i settori siano

HA1A’1, HA2A’2, ... HA8A

Ricordando che r = aφ i raggi di questi settori sono ρi = ih con i= 1, 2, 3, ... ne h = (2π/n)a

41

L’area Sn dello scaloide circoscritto, cioè della figura formata dagli n settoricircoscritti è

ed essendo

� La nuova definizione di Cauchy presenta ancora vari aspettinon completi, su cui si svilupperanno le riflessionisuccessive:

� mancanza di una chiara distinzione fra continuità euniforme continuità

� mancanza di una sistemazione dei numeri reali, senza laquale l’esistenza del limite delle somme non può esseredimostrata rigorosamente

� la definizione vale per le sole funzioni continue, o al piùcon un’opportuna generalizzazione, con un numero finito didiscontinuità (limitazione che ne rende difficile l’uso nellatrattazione della serie di Fourier)

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J. Fourier, Lejeune-Dirichlet, B. Riemann

1805 Joseph Fourier Theorie de la chaleur

studia gli scambi di calore tra un certo numero di corpi disgiunti, poi, aumentando il numero di questi corpi e diminuendo le loro dimensioni, vuole arrivare a una formula che mostri il cammino del calore in un corpo continuo.

I risultati di questi matematici in analisi sono originati dai problemi posti dalla fisica e dalla rappresentazione delle funzioni con serie trigonometriche.

Huygens-Catenaria Daniel Bernoulli-corda vibrante

Lo sviluppo delle funzioni in serie trigonometriche

Fourier considera la temperatura v di una lamina infinitamente sottile di un solido di cui un punto qualunque ha per coordinate x e y. Esse verificano l’equazione alle derivate parziali

Per sovrapposizione di soluzioni particolari, egli ottiene una soluzione generale per v nella forma:

Per determinare i coefficienti i, Fourier utilizza le condizioni ai limiti, deriva un’infinità di volte le serie infinite e poi ponendo y=0 nelle equazioni ottenute, risolve un’infinità di equazioni lineari con un’infinità di incognite. Tutto ciò è fatto senza giustificazioni matematiche sufficienti, ma guidato da un’intuizione del fenomeno fisico studiato. Questo metodo del passaggio dal finito all’infinito trascurato nell’Ottocento tornerà di attualità nelle equazioni integrali viste come limiti di sistemi d’equazioni lineari Fredholm, Volterra, Peano, Hilbert, ...

02

2

2

2

=∂

∂+∂

∂

y

v

x

v

( )⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +++++=

+−−− yieayeayeav xixx

i 12cos3coscos 12330

43

Joseph Fourier Théorie analytique de la chaleur 1822

sez. VI sullo sviluppo di una funzione arbitraria in serietrigonometrica, considera definita nell’intervallo

il cui sviluppo in serie ha la forma

e si propone di calcolarne i coefficienti quando la funzione èdiscontinua e arbitraria. Moltiplicando per sen kx e integrandotermine a termine la serie, senza alcuna giustificazione, giungeal risultato:

e conclude che “ogni funzione di una variabile può essere rappresentata in serie trigonometrica”

( )xfy =

+−2

,2

ππ

( ) ...sen...2sensen 21 ++++= kxaxaxaxf k

( )∫=π

π 0

sen2

kxdxxfak

Théorie analytique de la chaleur, VI Sviluppo di una funzione arbitraria in serie trigonometriche

“la funzione f(x) rappresenti una sequenza di valori dove l’ordine di ciascuno è arbitrario… Supponendo che le coordinate dei punti non siano soggette a una legge comune, esse si succedono in maniera qualunque e ciascuna di esse è dato come se fosse una sola quantità.”

Egli osserva che in tutti i casi incontrati, questi integrali hanno significato e conclude che tutte le funzioni di una variabile possono essere rappresentate con una funzione trigonometrica. Queste conclusioni, sebbene non rigorose, furono accettate dalla comunità matematica.

( ) dxkxxfa a sin2

0∫=π

π

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In ragione stessa della grandissima generalità della nozione di funzione, apparve ben presto che non si potevano ottenere dei risultati di qualche importanza sulla teoria delle funzioni, operando classificazioni tra le forme delle espressioni analitiche e dei procedimenti di calcolo che definivano le funzioni, come aveva fatto Euler, ma che bisognava distinguere piuttosto tra le funzioni possibili, indicandone alcuni tipi determinati, caratterizzati da un numero sufficiente di proprietà date. Si iniziò quindi a studiare differenti classi di funzioni: continue, discontinue (puntualmente o totalmente), differenziabili, a variazione limitata, integrabili, ecc.

1829 Lejeune Dirichlet Sur la convergence des séries trigononométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre limites données

dimostra l’enunciato di Fourier precisando le condizioni per cui una serie trigonometrica che abbia per coefficienti quelli di Fourier converge e rappresenta, in un intervallo finito dato, una funzione arbitraria.

Le condizioni sono:

� è univoca e limitata

� ha un numero finito di discontinuità (è quindi continua a pezzi)

� possiede solo un numero finito di max e min per periodo (èquindi monotona a pezzi)

Nei punti di discontinuità la serie di Fourier della funzioneconverge verso ( ) ( )( )00

2

1−++ xfxf

( )xfy =

45

Riflessioni e problemi aperti che nascono:

La memoria di Dirichlet ebbe un’influenza profonda non solo sul concetto di funzione ma anche su quello d’integrale, di convergenza uniforme e di insiemi di punti.

Le condizioni del teorema di Dirichlet mettono l’accento sulle nozioni di continuità, di derivabilità, sul “numero” di punti nei quali una funzione non è continua, oppure non derivabile o nei quali la derivata si annulla.

� costruire funzioni che non soddisfino alle condizioni di Dirichlet

� separare le nozioni di continuità e di derivabilità

� caratterizzare l’insieme dei punti di discontinuità, quellodei max e min, …

Sviluppo in serie di Fourier di una funzione

funzione continua e monotona a tratti che vale•x/2 , se x Є [ 0, π [ •0 se x = πcontroesempio di Abel 1826 al teorema inesatto di Cauchy: Cours d’analyse, se una serie di funzioni continue è convergente nell’intorno di un punto allora la sua somma è una funzione continua nello stesso insieme

⋅⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+

n

nxxxn sin1

2

2sinsin1

46

Karl Weierstrass

1815: nasce a Ostenfelde. Cresce nei circoli cattolici, insegnando anche invarie scuole medie cattoliche.

1834: Si iscrive all'Università di Bonn dove, secondo i desideri del padre,doveva essere preparato a ricoprire un incarico governativo, ma è attiratodalla lettura dei Fundamenta Nova di Jacobi. Continua a studiare daautodidatta matematica, leggendo il giornale di Crelle.

1841: docente di ginnasio a Monaco

1854: pubblica la celebre memoria Zur Theorie der Abelschen Functionen

1857 cattedra di matematica all'Università di Berlino. Si sviluppa in lui unavera fobia della pubblicazione per cui esige che le sue lezioni circolino tra idiscepoli solo in copie trascritte a mano. Ha come studenti GeorgCantor, Felix Klein, Sophus Lie, Hermann Minkowski. Dà anche lezioniprivate a Sofia Kovalevskaya, dal momento che le donne non potevanoiscriversi all'università.

1897: muore a Berlino

Le lezioni berlinesi

� 1859-1894: lezioni a Berlino� 1878 Introduction à la theorie des fonctions analytiques� insiste sulla necessità di una definizione precisa del numero reale� liberare l'analisi da nozioni geometriche, di moto o intuitive

concetto di continuità di funzione in termini di disuguaglianze ditipo "epsilon-delta", già avvicinata da Riemann e ispirata allelezioni di Dirichlet

� aritmetizzazione dell'analisi

Dicesi che col tendere di x verso a, y=f(x) ha per limite A, se fissata una

quantità piccola ad arbitrio ε, si può determinare una quantità h tale che perogni valore di x, che differisca da a meno di h, sia f(x)-A in valore assoluto

minore di ε. Dicesi che col crescere indefinitamente di x, y=f(x) ha per limite A,se fissata una quantità piccola ad arbitrio ε, si può determinare un numero Ntale che per ogni valore di x>N sia f(x)-A<ε in valore assoluto.”

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1872: escono ben quattro scritti in cui vengono posti i fondamenti dei numeri reali, ad opera diG. Cantor (1845-1918)E. Heine (1821-1881)C. Méray (1835-1911)R. Dedekind (1831-1916)

1869: Charles Méray pubblica sulla Revue des Sociétés savantes lamemoria Remarques sur la nature des quantités définies par la condition deservir de limites à des variables données dove utilizza certi oggetti dettivarianti che giocano un ruolo analogo alle successioni di Cauchy dirazionali

1872: Méray ripropone la costruzione di R nel suo trattato di calcolodifferenziale ma il contributo è del tutto dimenticato (recensione di H.Laurent)

1872: Georg Cantor pubblica sui Mathematische Annalen l’articolo Űberdie Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen(sull’estensione di un teorema della teoria delle serie trigonometriche),dedicato allo studio di insiemi infiniti di punti in relazione al problema dellaconvergenza della serie trigonometriche)

Dirichlet 1829

alla fine della memoria dà l’esempio di una funzionediscontinua in ogni suo punto:

( )iirrazional0

razionali1

∈

∈=

x

xxf

Weierstrass

( )∑∞

=

=1 !

!sen

n n

xny

la funzione è continua e finita, ma non è derivabile in nessun punto

48

Karl Theodor Weierstrass

Weierstrass scopre delle

funzioni continue in un

intervallo ma non

differenziabili in alcun

punto

( )xabxf n

n

n πcos)(1∑∞

=

=

1861

Molti matematici si allarmarono per le conseguenze di questescoperte. Tra i molti, Hermite e Poincaré definirono questa ed altrenuove creazioni di Weierstrass come “deplorabili malvagità”.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

L’evoluzione del concetto di integraleL’intreccio fra il calcolo integrale e le serie di Fourier è uno dei caratteridominanti dell’evoluzione del concetto di integrale: il tentativo disviluppare in serie trigonometriche funzioni sempre più generali portavaimmediatamente con sé la necessità di estendere l’integrale a queste funzioni,mentre ogni estensione dell’integrale che aumentasse il numero delle funzioniintegrabili poneva immediatamente il problema della sviluppabilità di questeultime in serie di Fourier.

1829 G. Lejeune-Dirichlet nella memoria Sur la convergence des sériestrigonométriques si pone il problema dell’integrabilità delle funzioni conun numero infinito di discontinuità.

Dopo aver dato una dimostrazione rigorosa dell’integrabilità delle funzionicontinue, Dirichlet afferma che l’integrabilità di una funzione con infinitediscontinuità dipende dalla ‘topologia’ dell’insieme dei suoi punti didiscontinuità.

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Un nuovo concetto di funzioneL’insieme delle discontinuità ammissibili deve essere tale che la sua chiusuranon abbia punti interni.

La condizione in realtà non è né necessaria né sufficiente.

Dirichlet però, a suo sostegno, porta un esempio di funzione f(x) che vale 1 se xè razionale e 0 se x è irrazionale, dicendo che si tratta di una funzione nonintegrabile.

Il merito dell’esempio non sta tanto nell’effettiva integrabilità o meno di questafunzione, ma nel fatto che ci si è sbarazzati ormai del tutto dell’idea difunzione come espressione analitica introdotta da Bernoulli e ripresa da Euler,per arrivare al moderno concetto di funzione, come corrispondenza oapplicazione tra due insiemi.

Bernhard Riemann 1826-1866

1826 nasce a Breselenz, figlio di un pastore protestante. Trascorre l’infanzia incondizioni di indigenza

1846 si iscrive all’Università di Gottinga, ma nel 1847 si trasferisce aBerlino. Entra in contatto con alcuni tra i matematici tedeschi più famosi, tracui Carl G. Jacobi e Dirichlet.

1849 Ritorna a Göttinga; tesi di dottorato diretta da Gauss, discussa nel 1851,riguarda una nuova teoria sulle funzioni di variabile complessa, nuovo ramodella matematica che grazie al suo contributo riceve un notevole impulso.

1854 per l’abilitazione all'insegnamento scrive la sua seconda tesi, intitolataÜber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Sulle ipotesiche stanno alla base della geometria, pubblicata postuma nel 1867, doveintroduce i concetti di varietà, curvatura di una varietà, gli spazi noneuclidei

1855 cattedra a Gottinga

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1858 viaggio in Germania di E. Betti, F. Brioschi e F. Casorati.

1859 presenta all'Accademia delle scienze prussiana, l'unico lavoro scritto sullateoria dei numeri (Ipotesi di Riemann).

1862 si ammala di tubercolosi

1863-65 tre soggiorni a Pisa, presso Betti. Corsi alla Scuola Normale Superiore diPisa, seguiti da A. Roiti

1866 muore a Selasca, sul Lago Maggiore

Il corso del 1867-68 è ancora dedicato alla teoria delle funzioni ellittiche, che è per altrol'argomento più ricorrente nei vari anni di insegnamento. Impostazione e contenuto delcorso sono però notevolmente diversi da quelli della Teorica. .... Qui l'influsso delladissertazione inaugurale di Riemann, da Betti tradotta qualche anno prima, si faevidente. Nel suo corso Betti però offre una rielaborazione semplificata dell'opera diRiemann. A più riprese, è posto ben in evidenza il messaggio che si debba operare''secondo la tendenza dell'analisi moderna'', sulle caratteristiche, a prescindere dal-l' effettiva espressione analitica di una funzione. … Non solo l'impostazione generale èmutata, ma anche gli strumenti: in questo anno di corso Betti introduce anche ad esempioi risultati relativi alla connessione e le superfici di Riemann, che utilizza nella trattazionedelle funzioni ellittiche per i moduli di periodicità. [Petti 2003, p. 31-32]

Bernhard Riemann Ueber die Darstellbarkeit einerFunktion durch eine trigonometrische Reihe, 1854 (tesidi abilitazione per ottenere la libera docenza, pubblicata acura di R. Dedekind nel 1867)

Una nuova definizione di integrale che estende laclasse delle funzioni integrabili anche a funzioni con unnumero infinito (numerabile) di punti di discontinuità.

Introduce una generalizzazione delle somme di Cauchy(già considerata da Cauchy), prendendo in ogni intervalloil valore della funzione f(x) non nel primo estremo, ma inun punto qualsiasi dell’intervallo. Complicazioneinessenziale? NO

Mentre Cauchy si era limitato a funzioni continue perpoter dimostrare la convergenza delle somme,Riemann prende questa convergenza come definizionedell’integrabilità di una funzione.

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La funzione f(x), non importa se continua o meno, è integrabile se,quando l’ampiezza degli intervalli della divisione tende a zero, le sommedi Cauchy hanno un limite finito.

Il problema diventa non dimostrare la convergenza delle somme, sottoopportune ipotesi, ma trovare delle condizioni necessarie e sufficienti diintegrabilità delle funzioni, in modo da caratterizzare quelle integrabili.

12 SSS << dove

nnMMMMS δδδδ ++++= ...3322111

2 1 1 2 2 3 3 ... n nS m m m mδ δ δ δ= + + + +

Mi e mi sono i valori massimo e minimo della funzione f(x) nell’intervallo [xi-1, xi].

La differenza fra questi due valori è nnSS ωδωδωδωδ ++++=− ...33221112

dove ωi è l’oscillazione della funzione f nell’intervallo considerato.

Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata f(x) sia integrabile è che per ogni σ>0 e δ>0 esista una partizione dell'intervallo di definizione in un numero finito di intervalli tali che la somma delle lunghezze di quelli nei quali l'oscillazione della funzione supera σ risulti minore di δ .

La generalità di tale condizione è mostrata costruendo un esempiodi funzione che la soddisfa, ed è dunque integrabile, ma chepossiede un insieme denso di punti di discontinuità, in contrastocon la condizione ritenuta necessaria da Dirichlet.

F(x) = 0 se x è irrazionale;

F(x) = 1/n se x è razionale.

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Molteplici linee di sviluppoda Riemann:

� la precisazione di concetti topologici e delle proprietà della retta (G. Cantor, teoria degli insiemi)

� … deplorevoli malvagità

� la costruzione di una teoria della misura (Lebesgue)

da Cauchy:

� la teoria dei numeri reali

� i fondamenti dell’aritmetica

� la precisazione del linguaggio e dei simboli dell’analisi; gli ‘errori’ di Cauchy